departamento de ingenierÍa industrial

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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

MANUAL DE GESTION DE

INVENTARIO

Autores: Reinier Rodríguez Miranda

Dr.C. Fernando Marrero Delgado

Santa Clara, 2011

PROLOGO

La gestión de inventario ha sido un elemento clave en el mejoramiento de la

productividad en los negocios en todo el mundo. Hoy más que nunca, juega un

papel primordial en las contribuciones que pueden hacer los sistemas y modelos

de inventario a la mejora del desempeño de las organizaciones productoras de

bienes y servicios, la aplicación correcta de estos sistemas y modelos resultan

valiosas herramientas en manos de la gerencia empresarial. Existen otras técnicas

y métodos no estudiados en la investigación de operaciones, y la gestión de

procesos y cadenas de suministro, del plan de estudio D, del Ingeniero Industrial

en Cuba, que requieren ser enseñados a estos profesionales.

En este sentido, un manual para la asignatura gestión de inventario de esta

especialidad contribuiría a lograr en los estudiantes los conocimientos necesarios

sobre técnicas y métodos, como los sistemas de revisión continua y periódica,

clasificación ABC, los modelos de descuento por cantidad, restricción de recursos,

estocástico para un solo producto y los métodos heurísticos de Silver-Meal,

Wagner-Whitin, inventarios para productos perecederos, costo unitario

mínimo y balanceo de periodo fragmentado.

Si a esto se le añade el cómo utilizar herramientas informáticas para aplicar los

métodos de solución, se logra un material docente de incuestionable valor.

Sirva entonces el presente manual de Gestión de inventario como una excelente

referencia para aquellos que necesiten o deseen adentrarse en este campo de la

solución de problemas de inventarios en función del perfeccionamiento del

proceso de toma de decisiones en la gestión empresarial.

Índice general

Introducción / 1

Parte I. Introducción a los modelos de inventario

Capítulo 1. Conceptos básicos de inventarios y sistemas de inventarios / 3

1.1. Conceptos básicos de inventarios / 4

1.2. Conceptos básicos de gestión de inventarios / 5

1.3. Costos de un sistema de inventarios / 8

1.4. Decisiones sobre inventarios. Modelos de inventarios / 10

1.5. Políticas de inventario / 13

1.6. Preguntas de comprobación / 16

1.7. Bibliografía consultada / 19

Capítulo 2. Modelo general determinístico para un solo producto / 21

2.1. Modelo general de un único producto / 21

2.2. Modelo en que no se permite déficit. Modelo EPQ / 27

2.3. Modelo con reaprovisionamiento instantáneo que no permite

déficit. Modelo EOQ / 31

2.4. Modelo con reaprovisionamiento instantáneo. Modelo EOQ con

faltantes / 34

2.5 Ejercicios resueltos / 38

2.6 Ejercicios propuestos / 47

2.7 Bibliografía consultada / 51

Parte II. Sistemas y modelos de inventario

Capítulo 3. Modelos de tamaño estático de lote / 53

3.1. Modelo de descuento por cantidad / 53

3.2. Modelos para múltiples artículos con restricciones de recursos/57

3.3. Ejercicios resueltos / 63

3.4. Ejercicios propuestos / 67


Capítulo 4. Métodos heurísticos / 74

4.1. Método Silver-Meal / 74

4.2. Algoritmo de Wagner-Whitin / 76

4.3. Modelo de inventarios para productos perecederos / 79

4.4. Costo unitario mínimo / 82

4.5. Balanceo de periodo fragmentado / 84




Capítulo 5 Modelo de inventario estocástico para un solo producto sin costo de

lanzamiento / 95




Capítulo 6 Sistemas de control del inventario / 110

6.1. Modelo de revisión continua / 110

6.2. Modelo de revisión periódica / 114

6.3. Sistema ABC de control de inventarios / 117




Capítulo 7 Sistemas de inventario con WINQSB / 130

7.1. Método de trabajo con WINQSB / 130

7.2. Teoría y sistemas de inventario / 134

7.3. Ejemplos resueltos / 135



Apéndice: Modelos de inventario en acción / 150

Casos de estudio 1: fábrica de estructuras de concreto / 150

Casos de estudio 2: taller de confecciones / 150

Casos de estudio 3: establecimientos de la empresa de talleres y desmonte del MINAZ / 151

Casos de estudio 4: Copextel / 153

Casos de estudio 5: Hewlett – Packard: surtir la impresora Deskjet en Europa / 154

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INTRODUCCIÓN

Como respuesta a la necesidad que tienen los estudiantes de la carrera de

Ingeniería Industrial de un manual para la asignatura “Gestión de inventario” del

plan de estudio D surge este libro que integra el sistema de conocimientos

previstos de acuerdo con el plan de estudio.

Es justificada la escritura de esta obra, debido a que la bibliografía para los temas

de gestión de inventarios, referida a modelos de tamaño estático de lote, métodos

heurísticos, sistemas de control de inventario y sistemas de inventario con

WINQSB se encuentra muy dispersa, y en el mejor de los casos inaccesible a los

estudiantes.

El manual consta de siete capítulos: conceptos básicos de inventario y sistemas

de inventario, modelo general determinístico para un solo producto, modelos de

tamaño estático de lote, métodos heurísticos, modelo de inventario estocástico

para un solo producto sin costo de lanzamiento, sistemas de control del inventario

y solución de sistemas de inventario con WINQSB.

El inventario tiene como propósito fundamental proveer a la empresa de

materiales necesarios, para su continuo y regular desenvolvimiento. El capítulo

uno trata los conceptos básicos de inventario y sistemas de inventario, costos de

un sistema de inventario, decisiones sobre inventario y políticas de inventario, y

otros conceptos de interés para el estudiante.

Un buen número de modelos matemáticos que han sido desarrollados, permiten

mantener, bajo un conjunto de condiciones dadas, la manera óptima de tener

inventarios. Dados los objetivos establecidos para el capítulo dos, solo se

abordarán el modelo general para un solo producto con sus tres casos

particulares.

No es común en el mundo real encontrar un ambiente de demanda constante y

uniforme, sin embargo es un punto para desarrollar modelos de inventario. En el

capítulo tres se desarrollan dos modelos en esta categoría los cuales son el

modelo de descuento por cantidad y el modelo para múltiples artículos con

restricciones de recursos.

Introducción

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Existen métodos en que se obtienen una solución cercana a la óptima, o en

ocasiones la óptima, en un problema de inventario mediante el uso de un conjunto

de reglas “racionales”, estos se llaman métodos heurísticos. Los métodos

heurísticos se usan cuando no es posible o no es computacionalmente factible

obtener el óptimo. En el cuarto capítulo se abordarán el método de Silver-Meal, el

de Wagner-Whitin, un modelo de inventarios para productos perecederos, el

método del costo unitario mínimo y el del balanceo de periodo fragmentado; todos

son métodos muy efectivos en el cálculo de soluciones cercanas a las óptimas.

El modelo tratado en el quinto capítulo se trató de forma particular. Es un modelo

de inventario en el cual la demanda de un periodo es una variable aleatoria y que

tiene una distribución de probabilidad conocida. Se conoce a este como modelo de

inventario estocástico para un solo producto sin costo de lanzamiento.

La ineficiencia en el control de inventarios para un nivel dado de flexibilidad, afecta

al monto de los inventarios que se requieren. En el capítulo seis se abordaran tres

sistemas de control del inventario los cuales son: sistema de revisión continua,

sistema de revisión periódica y clasificación ABC.

Con la popularización de los computadores personales han surgido programas y

aplicaciones muy completas para el tratamiento de los problemas de gestión

mediante herramientas cuantitativas, las que en su conjunto constituyen los

métodos de la investigación de operaciones. En el séptimo capítulo se aborda el

procedimiento de trabajo con WINQSB y en particular el módulo Teoría y sistemas

de inventario.

Finalmente este manual consta con un apéndice, en el cual se da a conocer casos

prácticos sobre la problemática de gestión de inventario.

Parte I. Introducción a los modelos de inventario

Capítulo 1. Conceptos básicos de inventarios y sistemas de

inventarios

Conceptos básicos de inventarios

Conceptos básicos de gestión de inventarios

Costos de un sistema de inventarios

Decisiones sobre inventarios. Modelos de inventarios

Políticas de inventario

Capítulo 2. Modelo general determinístico para un solo producto

Modelo general de un único producto

Modelo en que no se permite déficit. Modelo EPQ

Modelo con reaprovisionamiento instantáneo que no permite déficit.

Modelo EOQ

Modelo con reaprovisionamiento instantáneo. Modelo EOQ con

faltantes

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Capítulo 1. Conceptos básicos de inventarios y sistemas de inventarios

Desde tiempos inmemorables, los egipcios y demás pueblos de la antigüedad,

acostumbraban almacenar grandes cantidades de alimentos para ser utilizados en

los tiempos de sequía o de calamidades. Es así como surge o nace el problema

de los inventarios, como una forma de hacer frente a los periodos de escasez.

Que le aseguraran la subsistencia de la vida y el desarrollo de sus actividades

normales. Esta forma de almacenamiento de todos los bienes y alimentos

necesarios para sobrevivir motivó la existencia de los inventarios.

Como es de saber; la base de toda empresa comercial es la compra y ventas de

bienes y servicios; de aquí viene la importancia del manejo de inventario por parte

de la misma. Este manejo contable permitirá a la empresa mantener el control

oportunamente, así como también conocer al final del periodo contable un estado

confiable de la situación económica de la empresa.

El inventario tiene como propósito fundamental proveer a la empresa de

materiales necesarios, para su continuo y regular desenvolvimiento, es decir, el

inventario tiene un papel vital para el funcionamiento acorde y coherente dentro

del proceso de producción y de esta forma afrontar la demanda.

Algunas personas que tengan relación principal con los costos y las finanzas

responderán que el inventario es dinero, un activo o efectivo en forma de material.

Los inventarios tienen un valor, particularmente en compañías dedicadas a las

compras o a las ventas y su valor siempre se muestra por el lado de los activos en

el balance general.

Los inventarios desde el punto de vista financiero mientras menos cantidades

mejor (la conclusión correcta por razones equivocadas y una forma extraña de

tratar un verdadero activo). Los que ven los inventarios como materiales de

producción tiene una miopía similar. Por lo general creen que mientras mas

mejor.


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1.1. Conceptos básicos de inventarios

El inventario constituye una reserva de materiales, materias primas, producción en

procesos o productos terminados, que no tiene un empleo sistemático y son

originados por la baja fiabilidad, para garantizar un determinado servicio al cliente.

Se puede definir inventarios de materias primas, partes en proceso y productos

terminados, ya que se encuentran en algún lugar y en un determinado tiempo

dentro del sistema de producción.

El objetivo del inventario es emitir y/o facilitar la producción entre dos unidades

de producción o dos etapas de producción que están ubicadas

secuencialmente, por lo tanto, el inventario cumple una función de capacitor

entre ambas unidades, permitiendo por un lado, absorber las distintas

capacidades y formas de producción, y por otro, las variaciones que

experimenta cada unidad dentro del proceso de producción.

A continuación, se presentan dos sistemas de producción, A y B, los cuales

funcionan con distinta tasa de producción y en el que el sistema A alimenta al

sistema B.

Sistema Productivo A Sistema Productivo B

A C

B D

Figura 1.1. Sistemas de producción.


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De las figuras anteriores se pueden observar dos situaciones básicas:

a) En la medida que exista un inventario, es posible "acoplar" dos unidades

productivas con distinta "capacidad de producción" (entendiendo por

capacidad de producción como la cantidad producida por unidad de tiempo).

b) En la medida que el tamaño del inventario es mayor, es posible establecer

mayor independencia entre ambas unidades de producción.

En caso contrario, cuando el tamaño del inventario es menor, mayor es la

dependencia entre ambas unidades.

Por lo tanto, el principal objetivo de analizar un Sistema de Inventario es encontrar

respuestas a preguntas como las que se presentan a continuación:

¿Qué artículos deben mantenerse en inventario?

¿Qué cantidad de artículos debe ser ordenada o producida?

¿Cuándo deben generarse las órdenes para que el costo total de manejo de

inventarios sea el mínimo posible?

¿Qué sistema de control de inventario deberá utilizarse para cada caso?

1.2. Conceptos básicos de gestión de inventarios

La gestión de inventarios es la técnica que permite mantener una existencia de

productos a un nivel adecuado, según sean las necesidades de las unidades

productivas que están relacionadas, y en consecuencia de las estrategias de

producción.

Si se mira al inventario del punto de vista de análisis del valor, este no adiciona

valor al sistema de producción, por lo tanto, lo ideal es que el tamaño del

inventario que manejemos sea lo más pequeño posible. Su tamaño, en este caso,

es dependiente de consideraciones de variabilidad que se manejan dentro del

sistema productivo y de los niveles de riesgo que sean aceptables para un

determinado sistema de producción.

Dentro de la filosofía de producción JIT (del inglés Just In Time, Justo a tiempo), lo

ideal es que no existieran inventarios, o que estos sean mínimos. Por lo tanto, la


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filosofía JIT trabaja desde la perspectiva de entregar y recibir la cantidad

especificada en el instante preciso.

Pero si se analiza con detenimiento lo que propone la filosofía JIT, se puede decir

que es demasiado idealista, ya que físicamente es imposible eliminar

completamente la existencia del inventario, ya que su papel básico es permitir el

acoplamiento entre dos unidades productivas de distinta capacidad, lo que no

debemos obviar.

Clasificación de los sistemas productivos según la demanda

Dependiendo del tipo de demanda final que tenga un producto, se puede decir que

existen dos esquemas básicos de administración de inventarios:

a) Con demanda independiente: cuando se tiene una demanda independiente, la

cantidad de productos en inventario no depende solamente de las decisiones

internas del sistema de producción, sino que fundamentalmente de las

condiciones del mercado. Estas condiciones del mercado se ven reflejadas

como el consumo de un determinado bien en un determinado momento.

Los modelos que permiten dimensionar el volumen del inventario cuando se

tiene una demanda independiente se llaman modelos de tipo reactivo, y se

aplican para dimensionar el volumen de productos finales a fabricar y a

dimensionar el stock de productos que se tiene en inventario. Los modelos de

tipo reactivos también son usados, desde una perspectiva tradicional, para

dimensionar los lotes de producción que deben ser manufacturados bajo

condiciones de estructura de costos similares a las que se definen para el caso

de compras y almacenamiento.

b) Con demanda dependiente: en este caso, como su nombre lo indica, la

demanda que experimenta un determinado producto depende de las

negociaciones y acuerdos que se tomen entre el cliente y la empresa, a nivel

del sistema de planificación de la producción.


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Los modelos que permiten cuantificar el nivel de inventarios bajo este

esquema son llamados modelos de tipo proactivos, o de cálculo de

necesidades.

Al ver estos dos enfoques, podemos ver que existe una diferencia fundamental

con relación a como se origina una decisión y cuales son las variables y/o

parámetros considerados para tomar una decisión.

Así en el caso de los modelos de tipo reactivo, la pregunta básica que se plantea

es: ¿qué se debe hacer cuando se llega a cierto nivel crítico, llamado punto de

reorden?

Es decir, un modelo de tipo reactivo lleva a definir un cierto punto de reorden, este

modelo avisa cuando se tiene que realizar un reaprovisionamiento. Este punto de

reorden va a depender de la política de reposición que definamos.

En el caso de los modelos de tipo proactivos, el problema básico esta en definir

que se va hacer en un determinado futuro, por lo tanto las preguntas básicas que

se plantean son:

¿Qué es la que se necesitará en el futuro?

¿Qué cantidad y en qué momento?

Es decir, un modelo de tipo proactivo lleva a definir un plan maestro de

producción, de acuerdo a la demanda que se fija a nivel de sistema de

planificación de la producción.

Ahora si se hace un análisis desde una perspectiva histórica, se puede decir que

en un principio las empresas planificaban las existencias de materiales usando

modelos de tipo reactivo, lo que les traía las siguientes ventajas y desventajas:

1) Ventajas de la utilización de sistemas de tipo reactivo:

La facilidad de controlar los niveles de inventario.

Se pueden llevar, de manera más sencilla, los registros tanto de entrada o

salida de productos.

2) Desventajas de la utilización de sistemas de tipo reactivo:


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El volumen de material almacenado es voluminoso.

El problema (peligro) de obsolescencia de productos que se almacenan.

El deterioro y pérdida de productos.

Posteriormente, surgieron los modelos de tipo proactivos o de cálculo de

necesidades, los cuales son aplicados a sistemas de manufactura y,

específicamente, cuando existen productos de tipo estandarizado o

semiestandarizado.

1) Ventajas de la utilización de sistemas de tipo proactivo:

Permiten dimensionar los inventarios de acuerdo a las necesidades del

sistema de producción.

2) Desventajas de la utilización de sistemas de tipo proactivo:

Sólo se pueden implementar si en la empresa que utiliza este sistema

existe una infraestructura computacional adecuada.

En consecuencia, en este capítulo se analizará, preferentemente, lo relacionado

con demanda independiente.

1.3. Costos de un sistema de inventarios

Muchos problemas de decisión de inventarios pueden resolverse empleando

criterios económicos. Sin embargo, uno de los prerrequisitos más importantes

para aplicar un criterio económico es tener una estructura de costos adecuada.

Muchas de estas estructuras de costos involucran alguno o todos de los cuatro

tipos de costos siguientes:

a) Costo unitario del artículo (c): es el costo derivado de comprar o producir los

artículos individuales de inventarios. Su unidad de medida es unidades

monetarias / unidad de producto.

b) Costos de ordenar o pedir (k): es el costo relacionado a la adquisición de un

grupo o lote de artículos, también se dice que es el costo de las acciones

necesaria para realizar una nueva compra. Este costo de pedir no depende del


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número de artículos que tenga el lote respectivo, sino que esta asociado a las

actividades de hacer el pedido si es desde el punto de vista de comprar, o de

los costos de transformar el sistema (costos de set up) y adecuarlo a la

fabricación de un nuevo lote o corrida de producción. Su unidad de medida es

unidades monetarias / orden.

c) Costos de mantener o poseer inventarios (h): este costo está asociado a la

permanencia del artículo durante un período de tiempo. Su valoración se

determina en función del tiempo almacenado y del valor del bien involucrado.

Por lo tanto, el costo de mantener, involucra aspectos tales como:

Costo de capital.

Costo de almacenamiento.

Costo de obsolescencia y pérdida.

Su unidad de medida es unidades monetarias / unidad de producto – unidad de

tiempo.

d) Costos de inexistencia (W, u, π): son los costos que reflejan las consecuencias

de quedarse sin material en un determinado momento. También se conocen

como costos por déficit o por faltantes.

Entre estos costos podemos indicar:

Falta de materia prima (debido a paro de la producción, mano de obra

ociosa)

Falta de productos terminados (perdida por no ventas, necesidad de

subcontratación, pérdida de prestigio frente a clientes)

Falta de repuestos.

Su unidad de medida es unidades monetarias / unidad de producto.

Para establecer los diferentes modelos de costos asociados a cada sistema de

inventario, es necesario, en primer lugar, definir una nomenclatura adecuada

para entender las ecuaciones respectivas.


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Sean las definiciones siguientes:

D; a = Demanda anual (unidades de producto / unidades de tiempo).

c = Costo de compra (si el artículo es comprado) o costo unitario variable (si el

artículo ha sido producido) (unidades monetarias / unidades de producto).

Q = Cantidad ordenada por lote (unidades de producto / lote).

Q* = Tamaño del lote económico (unidades de producto / lote).

P; r; ψ = Razón o tasa de aprovisionamiento o producción (unidades de producto /

unidades de tiempo).

ROP, R = Punto de Reorden (del inglés Reorder Point) (unidades de producto).

L; tl = Tiempo de espera o plazo de entrega (unidades de tiempo).

A; k = Costo de preparación para fabricar un lote o emisión de la orden (unidades

monetarias / unidades de tiempo).

dl = Demanda durante el período de espera o plazo de entrega (unidades de

producto / día).

CT; K (Q*) = Costo total (unidades monetarias / unidades de tiempo).

h = Costo de mantener una unidad en términos % del valor de la unidad y por

unidad de tiempo (unidades monetarias / unidad de producto – unidad de

tiempo).

T = Longitud del periodo de análisis (unidad de tiempo: días o años).

1.4. Decisiones sobre inventarios. Modelos de inventarios

Las decisiones en inventarios son tomadas en función de como se espera que sea

la demanda futura, la cual puede ser clasificada en los términos reflejados en la

figura 1.2.

La figura 1.2 da origen a distintos modelos de inventarios, en función del tipo de

demanda:

a) Modelos de inventarios con demanda determinística estática: estos modelos se

utilizan cuando la demanda es conocida y constante para todos los períodos.


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Figura 1.2. Clasificación de la demanda.

b) Modelos de inventarios con demanda probabilística estática: estos modelos se

utilizan cuando la demanda es aleatoria y tiene una distribución de

probabilidades, pero es igual para todos los períodos.

c) Modelos de inventarios con demanda determinística dinámica: estos modelos

se utilizan cuando la demanda es conocida y constante, pero varía para cada

período.

d) Modelo de inventarios con demanda probabilística dinámica: estos modelos se

utilizan cuando la demanda es probabilística con una distribución de

probabilidades, y es variable en cada período.

Los modelos de inventarios también están condicionados por la tasa de demanda

y tasa de reposición.

Desde el punto de vista de su comportamiento o variación en el tiempo (tasa de

cambio), la demanda se puede clasificar en:

a) Demanda infinita uniforme.

b) Demanda fuente uniforme.

c) Demanda exponencial.

La figura siguiente ayudará a visualizar de mejor forma lo anteriormente dicho:

Demanda

Dependiente Cálculo de Necesidades

Estática

Dinámica

Determinística(conocida)

Probabilística(aleatoria)

Probabilística

Independiente

Determinística


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Figura 1.3. Diferente comportamiento o variación en el tiempo de la

demanda.

En general, el nivel del inventario en un momento determinado esta dado por la

expresión:

n TtXQoQ(t) (1.1)

Qo = Inventario inicial en el tiempo 0.

X = Tamaño de lo demandado durante un período T.

t = Tiempo considerado.

n = Índice del exponente de la demanda.

T = Longitud del período.

Para el caso de la tasa de reposición de inventarios, se pueden postular diversos

modelos de comportamiento, también visualizados en la tabla 1.4.

a) Tasa de reposición uniforme.

b) Tasa de reposición exponencial.

c) Tasa de reposición infinita.

d) Tasa de reposición en lotes.

Tipos de decisiones sobre inventarios

Con relación a las decisiones que se deben tomar sobre la gestión de los

inventarios, las podemos clasificar en base a lo siguiente:


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a) Políticas de inventarios, para las cuales se definen diferentes modelos de

análisis.

Figura 1.4. Modelos de comportamiento de la tasa de reposición.

b) Dimensionamiento de las cantidades a ordenar, las cuales están en función de

las políticas definidas.

c) Sistemas de control a implementar.

1.5. Políticas de inventario

La política de inventario se refiere a la revisión y disciplina utilizada para ordenar y

controlar los inventarios.

La política de inventario trata de responder a las interrogantes siguientes:

¿Cuándo debe ser emitida la orden?

¿Cuánto se debe comprar (tamaño del lote)?

Existen dos tipos de políticas de revisión de inventarios: política de revisión

periódica y política de revisión continua.

a) Política de revisión periódica.

Bajo esta política, los niveles de inventario son monitoreados a intervalos de

tiempo T, donde T es la longitud de tiempo determinada según sea el criterio

ordenado.

La cantidad a ordenar está dada en función de como sean las decisiones de

reposición.

Cantidad de inventario Q

Tiempo

uniforme exponencial infinita en lotes

T T t=0 T


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a.1) Revisión periódica con reposición bajo un punto de quiebre (r). En este

sistema, la reposición del inventario se realiza siempre que el nivel de

existencia en el inventario sea menor que un punto mínimo aceptable o de

quiebre (r).

Imax

T1 T2 T3

It

Imax-It

nivel de reordenr

Nivel maximo de inventario

Figura 1.5. Revisión periódica con reposición bajo un punto de quiebre.

Así la cantidad ordenada es: 0 si It >r; ó Imax- It si It < r

a.2) Revisión periódica y emisión de orden de compra. En este sistema, toda

vez que se cumple el periodo T, se emite una orden igual a Imax-It, por lo

tanto, la cantidad ordenada siempre es variable.

b) Política de revisión continua.

Bajo esta política, el monitoreo del inventario es permanente y una vez que se

alcanza el punto de reorden (r) es emitida una orden de compra.

El punto (r) se determina en función de un nivel de seguridad aceptado y en

función de la cantidad consumida durante el tiempo que demora en obtenerse

la reposición.

Q Q QQ

reposición instantaneareposición no instantanea

r

Figura 1.6. Política de revisión continua.


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La elección de un sistema de revisión dependerá de varios factores, entre estos se

pueden señalar:

En el caso de sistemas de revisión periódica, estos sistemas están asociados

básicamente a modelos de reaprovisionamiento.

Como ventajas de estos sistemas de revisión periódicos se pueden mencionar:

Fácil de llevar.

Es bueno para coordinar ítems relacionados, ya que aprovecha mejor la

infraestructura de transporte.

Es bueno en el caso de que se quiera manejar artículos baratos.

Como desventajas de los sistemas de revisión periódicos se pueden

mencionar:

Es más caro del punto de vista de que maneja una mayor cantidad de

mercadería en inventario.

Es susceptible a que ocurran faltas cuando la demanda es variable.

En el caso de los sistemas de revisión continua, como ventajas tenemos que:

Optimiza los niveles de recursos involucrados.

El nivel de servicio es mejor, ya que mejora la probabilidad de que el pedido

sea abastecido con el inventario existente.

Es apropiado para artículos caros.

Pero el sistema de revisión continua tiene los inconvenientes siguientes:

Tiene un alto costo por manejos de registro y requiere una constante

atención en el producto.

En la tabla 1.1 se pueden observar las principales técnicas y métodos de la

gestión de inventarios empleados actualmente en la logística empresarial (Díaz

Lago, 1997).


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1.6. Preguntas de comprobación

1. Defina el concepto de inventario y puntualice en su localización dentro de las

organizaciones y las causas por las que se mantiene generalmente en las

empresas.

2. Defina el concepto de administración de inventarios y mencione las principales

decisiones a tomar sobre el inventario.

3. Utilice la definición de inventario para clasificar las siguientes entidades como”

inventario” o “sin inventario”. Explique.

Mercancía en una tienda.

Agua en un depósito.

Dinero en una cuenta de ahorros.

Árboles en un bosque.

Troncos cortados en una fábrica de pulpa.

Cuerdas de alambre para puente.

Barras de acero en una fábrica metalúrgica.

Una mina de hierro.

Brandy en barriles en una destilería.

Botella de brandy en casa.

4. Enumere y explique unos cuantos factores exógenos que contribuyan a la

necesidad de inventario.

5. Suponga que la demanda de un producto se conoce con certidumbre.

¿Todavía se requiere un inventario? ¿Por qué? Proporcione un ejemplo.

6. Considere un producto como una bicicleta que se esta fabricando. Haga un

bosquejo sencillo de ese producto e identifique lo siguiente:

a) Artículos con demanda independiente y dependiente.

b) Inventario de materia prima.

c) Inventario en proceso.

d) Inventario de productos terminados.


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Tabla 1.1. Principales técnicas y métodos empleados actualmente en la logística

empresarial (Díaz Lago, 1997).

Modelo de Inventario

Resultados que aporta Observaciones

Modelo general de inventario determinístico para un solo producto.

Tamaño óptimo del lote de producción, en unidades.Tamaño óptimo del número de unidades en déficit.Tiempo óptimo entre reaprovisionamientos.Frecuencia óptima de los reaprovisionamientos.Valor del inventario máximo, en unidades.

Con frecuencia se impone a este modelo algunas restricciones en cuanto a las posibilidades de existencia o no de déficit de unidades.

Modelo periódico único sin costo de lanzamiento.

Valor óptimo de la demanda (Punto de pedido), en unidades. (r*)

Cuando la demanda sea una variable con distribución normal con parámetros µ y σ2

es aplicable la expresión :r * 2

Modelo básico EOQ.

Tamaño óptimo del lote. Constituye uno de los modelos más empleados en la práctica.

Sistema R,S Plazo óptimo para realizar un conteo de las unidades en existencias, en unidades de tiempo.

Resulta útil en presencia de varios productos que se transportan en un mismo medio.

Cuando se realiza descuento por cantidades.

Tamaño del lote mínimo antes del descuento, en unidades.Tamaño del lote mínimo después del descuento, en unidades.

Pueden presentarse diferentes casos.

Retropedidos. Tamaño calculado del retropedido, en unidades.

Su aplicación debe tener un carácter temporal, por la importancia actual del cliente.

Llegada continua de artículos.

Costo total anual del inventario, en pesos.Tamaño óptimo del lote, en unidades.

Cl debe interpretarse como el costo de preparación de las máquinas.

Gestión multiproducto e introducción de restricciones.

Costo total anual, en pesos. Aparecen restricciones que limitan los tamaños de las órdenes de diferentes productos.

Método Min-Max.

Norma de inventario máxima.Norma de inventario mínima.

Resulta útil para determinar, en qué rango fluctúa el inventario.


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7. Tres compañías en la industria electrónica tienen los siguientes ciclos de

inventario.

Compañía A 6

Compañía B 8

Compañía C 4

¿Qué compañía tendrá el menor costo de mantener inventario? Explique por

que.

8. Considere las tres variables de decisión en los sistemas de inventario. Analice

las relaciones entre ellos.

9. Las siguientes situaciones representan ambientes “tipo inventario” que se

encuentran en la vida diaria. Clasifíquelas según si, por implicación, usan una

política de revisión periódica o continua. Explique.

1. El tanque de gasolina de un automóvil.

2. El dinero en una cuenta de cheques.

Los alimentos en un refrigerador.

Las botellas de vino en una cava.

El aceite del motor de un vehiculo.

10.La compañía ETECSA lo contrató para trabajar en su departamento de costos.

Ellos acaban de comprar un nuevo paquete de software para inventarios y,

entre otras cosas. A usted se le pide clasificar los costos que se exponen a

continuación:

a) Costo de preparación de un equipo.

b) Costo de carga/descarga por artículo.

c) Corrida inicial de prueba por lote.

d) Costo de preparación de una orden de producción por lote, tiempo estándar

y dibujos.


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e) Costo de capital.

f) Costo de manejo de una unidad.

11.Señale las diferencias entre demanda dependiente y la independiente en un

restaurante, en una fábrica integrada de copiadoras personales y en un

negocio de suministros farmacéuticos.

12.Señale las diferencias entre inventario en proceso, inventario de existencias de

reserva e inventario estacional.

13.Explique la naturaleza de los costos que afectan al tamaño del inventario.

14.¿En que circunstancias el gerente de una planta optaría por usar el modelo de

la cantidad fija de orden en vez de un modelo de periodos fijos?

15.Explique los supuestos inherentes al costo de preparación de la producción, el

costo de ordenar y el costo de mantener el inventario. ¿Qué tan válidos son?

16.¿Qué tipo de política o procedimiento recomendaría usted para mejorar el

funcionamiento del inventario en una tienda de departamentos?

1.7. Bibliografía consultada

1. Álvarez - Buylla Valle, Mercedes (1987). Modelos Económico-Matemáticos II.

Tomo II, Capítulo 4 “Modelos de inventario”, pp. 390-450, La Habana, Editora

ISPJAE.

2. Bragg, S. M. (2004).Inventory Accounting A Comprehensive Guide. John Wiley

& Sons. Disponible en Intranet de la Facultad de Ingeniería Industrial y

Turismo.

3. Cespón Castro, R. y Amador Orellana, M.A. (2003). Administración de la

cadena de suministros. Manual para estudiantes de la especialidad de

Ingeniería Industrial. Universidad Tecnológica Centroamericana, San Pedro

Sula, Honduras.

4. Chase, R. B.; Jacobs, F. R; Aquilano, N. J (2005). Administración de la

producción y operaciones para una ventaja competitiva. Capítulo 14” Control

de inventario” pp. 604-647, Editorial Mc. Graw-Hill. Interamericana.


20

5. Ghiani, G; Laporte, G; Musmanno, R. (2004). Introduction to Logistics Systems

Planning and Control. John Wiley & Sons. Disponible en Intranet de la Facultad

de Ingeniería Industrial y Turismo.

6. Hillier, F.S. y Lieberman, G.J. (1997). Introducción a la Investigación de

Operaciones.

7. Materiales ubicados en el portal docente:

http://docente.fiit.uclv.edu.cu/formacion-del-

profesional/Especialidades/ingenieria-industrial/modalidad-

presencial/copy_of_plan-de-estudio-c/4to/segundo-

semestre/copy8_of_asignatura-1/

8. Schroeder, R. G. (1992). Administración de operaciones.

9. Sipper, D. y Bulfin, R. L. (1999). Planeación y control de la producción. Primera

Edición, Primera reimpresión, México D.F, Mc. Graw-Hill, pp. 221-227.

21


Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos

terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso

de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la

demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan

frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las

cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la

descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para

estas decisiones.

Los modelos para demanda independiente surgen del supuesto clave que la

demanda de un artículo que se lleva en inventario es independiente de la

demanda de cualquier otro artículo que se lleve también en dicho inventario. La

demanda de estos artículos se estima a partir de pronósticos o de pedidos reales

de los clientes. Cuando la demanda es conocida con cierto grado de certidumbre

estamos en presencia de un modelo determinístico.

La necesidad de las empresas y productores de mantener inventarios, trajo como

consecuencia el estudio de éstos, de manera tal, que se garantizara la forma más

económica de mantenerlos. Un buen número de modelos matemáticos que han

sido desarrollados, permite mantener, bajo un conjunto de condiciones dadas, la

manera óptima de tener inventarios.

Dados los objetivos establecidos para este capítulo, solo se abordarán el modelo

general para un solo producto con sus tres casos particulares.

2.1. Modelo general de un único producto

Este modelo considera muchas de las características reales que pueden

presentarse en un problema determinístico de inventario, cuyo objetivo es

encontrar un valor para el número de unidades que hay que producir en una

corrida determinada.

Para este caso, consideramos:

Una tasa de demanda a.


22

Nivel de inventario

r-a

0t1 t 2

a

t 2

t3t 2

t 4

a r-a

S

Una tasa de producción r (es decir, una unidad es adicionada al inventario una

a la vez).

Las faltas son permitidas, de manera que no se sobrepase un máximo d*.

El diagrama siguiente permitirá visualizar de mejor forma el modelo de

dimensionamiento de inventario para un único producto:

Figura 2.1. Modelo general de un único producto.

El ciclo de este inventario es el siguiente:

1. Comienza con el inventario igual a cero.

2. Comienza la producción con una razón constante r. Habrá una razón de

consumo a constante, donde r > a, hasta que se alcance un nivel determinado,

deteniéndose la producción (intervalo t1).

3. Después habrá un consumo del intervalo a una razón constante a ocurriendo

durante un tiempo t 2. Entonces se produce la ruptura en dicho inventario,

hasta llegar a un déficit determinado (intervalo t3).

4. Se comienza a producir con una razón r, hasta llegar a cubrir el déficit,

repitiéndose de nuevo el proceso (t 4).

Para la formulación de este modelo algunos autores definen:

r, ψ: Razón de producción constante.


23

a, D: Demanda constante.

S, Imáx: Nivel máximo de inventario.

d, B: Cantidad máxima de unidades en déficit.

Q: Cantidad de unidades a producir en cada corrida o tamaño del lote.

t1, t 2

, t3, t 4

: intervalos de tiempo representados en el gráfico 2.1.

Se tendrán además, los siguientes costos:

c: Costo unitario de producción.

h: Costo por mantener en inventario.

u, π: Costo por déficit.

k, A: Costo de lanzamiento.

A los efectos de este texto se utilizarán: r, a, S, d, Q, c, h, u, k.

Resumen de formulas modelo general. Modelo EPQ con faltantes.

Dados r, a, c, h, u y k:

Tamaño óptimo del lote de producción:

u

uh

rah

akQ

1

12* (unidades físicas) (2.1)

Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las

corridas:

a

QttttT

****** )4321( (unidades de tiempo) (2.2)

**

1*

Q

a

Tf (corridas por tiempo) (2.3)

Déficit máximo:


24

*3)(

)1(2* at

uuhr

aahkd

(unidades físicas) (2.4)

Nivel de inventario máximo:

*1

*2

* )( taratS (unidades físicas) (2.5)

Intervalos de tiempo (sus significados están dados por las características del

gráfico anterior):

ar

at

ar

St

*2

**1

(2.6)

)(

)1(2*2 uhah

rauk

t

(2.7)

)(

)1(2*3 uhau

rahk

t

(2.8)

ar

dt

**4

(2.9)

Costos:

Costo por mantener en inventario:

2

)()(

*2

*1

* tthSIC

(2.10)

Costo debido al déficit:

2

)()(

*4

*3

* ttudDC

(2.11)

Costo de producción:

kcQPC *)( (2.12)

Costo total:

)()()()( PCDCICTC (por periodo de tiempo) (2.13)


25

*4

*3

*2

*1

)()()()(

tttt

PCDCICTC

(por unidad de tiempo) (2.14)

Ejemplo 2.1. Un taller mecánico especializado en la reparación de televisores

recibe piezas de repuesto, las cuales consume a razón de 3000 por mes. Las

piezas le son suministradas por un taller situado en la misma empresa, cuya

capacidad de producción es de 8000 piezas al mes. Cada pieza cuesta $ 4.00 y el

costo de preparar una nueva orden de producción es de $ 100.00. El taller de

reparación tiene un pequeño almacén y el costo por mantener una pieza en

inventario es de $3.00 por mes; pero si al solicitar una pieza esta no puede ser

suministrada, se incurre en un costo de $2.00 en un mes. El taller trabaja 24 días

al mes.

La empresa desea conocer:

a) Cantidad óptima de piezas suministradas al taller de reparación en cada

corrida de producción.

b) ¿Con qué frecuencia se inicia una nueva corrida de producción?

c) ¿Cuál es el nivel máximo que se tendrá en inventario y en qué momento se

alcanza este?

d) ¿En qué momento se produce la ruptura del inventario y cuál es el déficit

máximo que puede permitirse?

Solución:

Identificación del modelo.

Datos:

a = 3000 piezas/mes

r = 8000 piezas/mes

c = $ 4.00/pieza

k = $ 100.00

h = $ 3.00/ (pieza • mes)


26

u = $ 2.00/ (pieza • mes)

Modelo general de inventario determinístico.

a) Utilizando la ecuación (2.1):

* ?Q

* 894.43Q piezas

Como fue explicado anteriormente, cuando se requiera que el valor de Q* sea

discreto, como en este caso, se calcula el costo total del sistema con los

valores de Q* para el entero inferior y el superior y se selecciona la opción de

menor costo.

)()()()( PCDCICTC

mestthS

IC /$20.8442

)()(

*2

*1

*

* * *3 4( )

( ) $25.368/2

ud t tC D mes

*3

2 (1 )0.0083

( )

ahk rt diasau h u

**4 0.0672

dt

r a

día

kcQPC *)(

Para Q* = 894 piezas

meskcQPC /$3676)( *

mesTC /$568.45453676368.2520.844)(

Para Q* = 895 piezas

meskcQPC /$3680)( *


27

mesTC /$568.45493680368.2520.844)(

El menor costo total se obtuvo con Q* = 894 piezas.

?* f*

*

Q

af * 3.35 /f veces mes

En cada corrida de producción se le suministra al taller de reparación 894

piezas y 3.35 veces por mes se inicia una nueva corrida de producción.

b) ?* S y *1 ?t

*2

2 (1 )

( )

auk rtah h u

*2 0.07 24t mes días/mes *

2 1.68t días

*2

* atS * 3000(0.7)S * 210S piezas

ak

St

**1

*1 0.042 24t mes días/mes *

1 1.00t días

El nivel de inventario es de 210 piezas y se alcanza en un día.

c) ?*2

*1 tt y * ?d

*1 1.00t días *

2 1.68t días * *1 2 2.68t días

uuhr

aahkd

)(

)1(2*

* 336d piezas

La ruptura del inventario se produce a los 2.68 días y el déficit máximo que

puede permitirse es de 336 piezas.

El modelo general incluye 3 casos particulares en dependencia de cómo se

comporta el reaprovisionamiento y de si se permite déficit o no. Estos casos se

verán seguidamente.

2.2. Modelo en que no se permite déficit. Modelo EPQ

Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos

para desarrollar las actividades de cualquier empresa y se encuentra basado en

las siguientes suposiciones:


28

t2 Tiempo

Parte del ciclo de inventario durante el cual se lleva a cabo la producción

Parte de solo demande en el ciclo

a-ra

Inventario

t1

Nivel de inventario

La demanda se efectúa a tasa constante.

El reemplazo es instantáneo (la tasa de reemplazo es infinita).

Todos los coeficientes de costos son constantes.

Símbolos:

a: Demanda anual en unidades para el producto del inventario.

Q: Número de piezas por pedidos.

k: costo de emisión, preparación o lanzamiento para cada pedido.

h: costo de posesión o almacenamiento por unidad por año.

d: tasa de demanda diaria o tasa de utilización.

t: duración de la tanda de producción en días.

T: duración de la tanda de demanda en días.

Q*: número óptimo de piezas por pedido (EPQ).

En la figura siguiente se ilustra esquemáticamente este modelo.

Figura 2.2. Modelo en que no se permite déficit.

Resumen de fórmulas, modelo en que no se permite déficit. Modelo EPQ.

Dados r, a, c, h, y k:

Tamaño óptimo del lote de producción:


29

rah

akQ

1



corridas:

a

QttT

**** )21( (unidades de tiempo) (2.16)

**

Q

af (corridas por tiempo) (2.17)


*1

*2

* )( taratS (unidades físicas) (2.18)


grafico anterior) :

ar

att

*2*

1 (2.19) (2.20)

Costos:


2

)()(

*2

*1

* tthSIC

(2.21)

Costo de producción:

kcQPC *)( (2.22)

Costo total:

)()()( PCICTC (por periodo de tiempo) (2.23)

*2

*1

)()()(

tt

PCICTC


ahr

akt

)1(2*2


30

Ejemplo 2.2. En la empresa pesquera de Villa Clara se producen minutas de

pescados a razón de 670kg diariamente y la demanda de minutas al mes es de

15400 kg. La preparación para una corrida de producción implica un costo de

$100.00 y el costo de producir un 1 kg de pescado es de $ 0.20. Al tener un kg de

pescado en inventario, se incurre en un costo de $0.40 al mes, y se puede señalar

que no se puede detener la producción de minutas por falta de pescado, además

que se consideran laborables 24 días al mes. La empresa desea conocer:

a) El tamaño óptimo que deben tener las corridas de producción.

b) La frecuencia con que se inicia una nueva corrida de producción.

c) La máxima cantidad de kg de pescado que se tendrá en inventario.

Solución:


Datos:

a =15400 kg/mes

r = 670 kg/día = 16080 kg /mes

k = $100.00

c = $0.20 /kg

h = $0.40 /kg

Modelo en el que no se permite déficit.


?* Q * 13382.90Q kg

b) Utilizando la ecuación (2.17):

?* f * 1.15 /f veces mes

El tamaño óptimo de cada corrida de producción es de 13382.9 kg de pescado y la

frecuencia con que deben hacerse dichas corridas no debe exceder las 1.15

veces/ mes.


31

c) Utilizando la ecuación (2.18) y (2.20):

037.0*2 t * ?S * *

2 569.8S at kg

La cantidad máxima que puede permanecer en inventario es de 569.8 kg de

pescado.

2.3. Modelo con reaprovisionamiento instantáneo que no permite déficit.

Modelo EOQ

El modelo de cantidad económica de pedido obtiene el equilibrio entre los costos

de preparación o de la orden de compra y los costos de almacenamiento. El EOQ

ofrece la mínima posición del costo si se satisfacen las premisas de invariabilidad

del costo y certidumbre de la demanda (conocida y constante). El modelo básico

de lote económico de pedido (EOQ), también conocido como modelo de Wilson

en honor a su creador, tiene el mérito de haber servido de base a casi la totalidad

de los modelos de administración de inventario existentes. Aunque su aplicación

práctica tiene limitaciones, derivadas del conjunto de supuestos que requiere, bajo

las siguientes consideraciones:

La demande es conocida y tasas constante.

El tiempo de entrega es conocido.

La recepción del pedido es instantánea.

Los descuentos por cantidad no son posibles.

No se acepta ruptura de inventario.

Tamaño del lote no restringido.

Los únicos costos variables son los de emisión y posesión.

En las figuras 2.3 y 2.4 se ilustra esquemáticamente este modelo.

Símbolos:


c: Precio por unidad.

Q: Número de unidades por pedido.


32

t1

S

Figura 2.3 Modelo con reaprovisionamiento instantáneo y sin déficit.

Modelo EOQ.

Tiempo

Nivel de inventario

k: Costo de emisión, preparación o lanzamiento para cada pedido (unitario).

h: Costo de posesión o almacenamiento por unidad y año.

Q*: Número óptimo de piezas por pedido (EOQ).

Objetivo EOQ:

Minimizar el costo total de inventario

Figura 2.4 Objetivo EOQ, minimizar el costo total de inventario.

Resumen de fórmulas, modelo con reaprovisionamiento instantáneo y sin

déficit (modelo del lote económico) modelo EOQ.

Dados a, h, y k:

Tamaño optimo del lote de producción:

Costo total

Costo de lanzamiento

Costo de almacenamiento

Cantidad de pedido

Costo anual

Costo total

Q*(Cantidad óptima)


33

h

akQ



corridas:

a

QtT

*** 1 (unidades de tiempo) (2.26)

**

1*

Q

a



** QS (unidades físicas) (2.28)

Costos:


2)(

*1

*thSIC

(2.29)

Costo de lanzamiento:

kPC )( (2.30)

Costo total:

( ) ( ) ( )C T C I C P (por periodo de tiempo) (2.31)

*1

)()()(

t

PCICTC


Ejemplo 2.3. El producto Y elaborado en la planta de plásticos de la EINPUD,

tiene una demanda semanal de 100 unidades, siendo su costo de producción de

$120.00 cada uno. La tasa anual de inventario es de un 5% y el costo de

preparación de cada orden es de $35.00, laborándose 52 semanas al año.

Determine:

a) Cantidad económica del pedido.

b) Frecuencia de solicitud.

c) Cantidad de pedidos anuales.


34

d) Costo total.

Solución:

a = 100 unidades / semana • 52 semanas / año = 5200 unidades / año

h= c • i = 0.05 / año • 120 pesos / unidad = 6 pesos / unidad – año


* 2(5200)(35)246 /

6Q unidades orden


5200* 21 /

246f órdenes año

c) Utilizando la ecuación (2.26):

246* 0.047 52 2.45

5200T años semanas

d) Utilizando las ecuaciones (2.28), (2.29), (2.30) y (2.31):

* * 2461 0.047

5200T t

* * 246 /S Q unidades orden

* *1

*1

6 246 0.047 69,68+k = 35 $1483.00

2 2

hS tCT por año

t

De los resultados de los diferentes incisos, se infiere que la forma de operar el

sistema de administración de inventarios diseñado es: se emitirá una orden de 246

unidades del producto cada 2.45 semanas, lo que en el año equivaldría a 21

pedidos a un costo de $1478.00.

2.4. Modelo con reaprovisionamiento instantáneo. Modelo EOQ con faltantes

El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes

suposiciones:

La demanda se efectúa a tasa constante.

El reemplazo es instantáneo (la tasa de reemplazo es infinita).


35

Todos los coeficientes son constantes.

Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar

una compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo

adicional, el costo por unidad de faltante.

En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la

cantidad pedida desaparece el déficit, esto se representa claramente en la figura

2.5.

Símbolos:


c: Precio por unidad.

Q: Número de unidades por pedido.

k: Costo de emisión, preparación o lanzamiento para cada pedido (unitario).

h: Costo de posesión o almacenamiento por unidad y año.

Q*: Número óptimo de piezas por pedido (EOQ).

Resumen de fórmulas, modelo con reaprovisionamiento instantáneo. Modelo

EOQ con faltantes.

Nivel de inventario

0

t1 t 2

S

Tiempod

a

Figura 2.5. Modelo con reaprovisionamiento instantáneo y déficit. EOQ

con faltantes.


36

Dados a, h, u y k:

Tamaño optimo del lote de producción:

u

uh

h

akQ



corridas:

a

QttT

**** )21( (unidades de tiempo) (2.34)

**

1*

Q

a


Déficit máximo:

*2)(

2* at

uuh

ahkd

(unidades físicas) (2.36)


*** dQS (unidades físicas) (2.37)


gráfico 2.5):

*1

2

( )

ukt

ah h u

(2.38)

**2

2

( )

hk dt

au h u a

(2.39)

Costos:


2)(

*1

*thSIC

(2.40)

Costo debido al déficit:

* *2( )

2

ud tC D (2.41)


37

Costo de lanzamiento:

( )C P k (2.42)

Costo total:

)()()()( PCDCICTC (por periodo de tiempo). (2.43)

*2

*1

)()()()(

tt

PCDCICTC

(por unidad de tiempo). (2.44)

Ejemplo 2.4. En una empresa de carpintería de aluminio se fabrican persianas de

aluminio a partir de planchas de este material. La unidad obtiene las planchas de

un suministrador externo, que entrega un lote completo cada vez que recibe una

orden. El costo por mantener inventario es de $2.00/ plancha-mes y el de poner

una orden es de $150.00. Es conocido que en un mes se utilizan 200 planchas y

que de faltar alguna se incurre en un costo de $4.00 / plancha-mes. Es necesario

conocer por parte de los directivos: ¿cuál debe ser el tamaño óptimo del lote y con

qué frecuencia debe pedirse?

Solución:


Datos:

a = 200 planchas/mes

k = $ 150.00

h = $2.00 / plancha-mes

u = $4.00 / plancha-mes

Modelo con reaprovisionamiento instantáneo (EOQ con faltantes).

?* Q y * ?f

Utilizando la ecuación (2.33):

planchasQ 13.212*


38

Para planchasQ 212* CT = 297.216

Para planchasQ 213* CT = 297.923

El menor costo total se obtuvo con * 212Q planchas

Utilizando la ecuación (2.35):

94.0* f

* 1.00 /f corridas mes

El tamaño óptimo del lote debe ser de 212 planchas y debe pedirse la realización

de 1 corrida al mes.

2.5. Ejercicios resueltos

1. Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades

por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el

costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $

1.00. No se permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es

instantánea. Determinar:

¿La cantidad óptima a pedir?

¿El costo total por año?

¿El número de pedidos por año?

¿El tiempo entre pedidos?

Datos: Modelo de inventario sin déficit.

c = $ 1.00

k = $ 400.00

h = $ 1.20

a = 18 000 unidades

La cantidad óptima a pedir se calcula utilizando la ecuación (2.25):


39

2 400 18000* 3465

1.20Q unidades

El costo total estará determinado por:

* * 3465S Q unidades

* *1 1.20 3465 0.1925

( ) 400.212 2

hS tC I

( ) 400C P k

*1

( ) ( ) 400.21 400( ) $4157

0.1925

C I C PC T por año

t

El número de pedidos por año es:

18000* 5.2

* 3465

af pedidos por año

Q

El tiempo entre pedidos es:

* 3465* 0.1925

18000

QT año

a

2. Téngase en cuenta el ejemplo resuelto uno pero permitiendo faltante a un

costo del mismo de $ 5.00 por año. Determinar:

¿La cantidad optima pedida?

¿El costo total por año?

¿El número de pedidos por año?

¿El tiempo entre pedidos?

Datos: Modelo de inventario con déficit.

a= 18000 unidades

**1 3465 /18000 0.1925

Qt

a


40

c= $ 1.00

k = $ 400.00

h = $ 1.20

u = $ 5.00

La cantidad óptima a pedir se calcula utilizando la ecuación (2.33):

* (2)(18000)(400) 1.20 53857

1.20 5Q unidades

El costo total está determinado por:

*1

2 2 5 4000.1728

( ) 18000 1.20(1.20 5)

ukt

ah h u

*2* 18000 0.0414 745.2d at unidades

* * * 3857 745.2 3111.8S Q d unidades

*2

2 2 1.20 4000.0414

( ) 18000 5(1.20 5)

hkt

au h u

* *1 1.20 3111.8 0.1728

( ) 645.262 2

hS tC I

* *

2 5 745.2 0.0414( ) 77.13

2 2

ud tC D

( ) 400C P k

* *1 2

( ) ( ) ( ) 645.26 77.13 400( ) $5240

0.1728 0.0414

C I C D C PC T por año

t t

El número de pedidos esta dado por la expresión:

* 118000/3857=4.66

* *

af corridas al año

T Q

El tiempo entre pedidos esta dado por la expresión:


41

** * *( 1 2 ) 3857/1800 = 0.215

QT t t

a

3. La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000

unidades por año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3

000 unidades por mes. El costo de organizar una tanda de producción es $

500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes.

Determinar la cantidad óptima que debe de manufacturarse y el costo total por

año suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00.

Datos: Modelo de producción sin déficit

a = 18000 unidades por año

r = 3000(12) = 36000 unidades por año

k = $500.00

h = $0.15 (12) = 1.80 por año

c = $2.00

Cantidad óptima que debe producirse:

* 2 1 2(500)(18000)4470

(1.8)(1 18000 / 36000)1

akQ unidades

ahr

El costo total esta dado por:

*2

2 (1 ) 2 500(1 18000 / 36000)0.124

1.8(18000)

ak rtah

** 21

0.124(18000)0.124

36000 18000

t at

r a

* *

2 18000(0.124) 2232S at unidades

* * *1 2( ) 1.8(2232)(0.124 0.124)

( ) 996.362 2

hS t tC I

*( ) 2(4470) 500 9440C P cQ k


42

* *1 2

( ) ( ) 996.36 9440( ) $42082

0.248

C I C PC T por año

t t

4. Tomándose el ejemplo resuelto anterior determine la cantidad óptima a ordenar

y el costo total anual si el costo por unidad agotada es de $20.00 por año.

Datos: Modelo de producción con déficit

a= 18000 Unidades por año

r = 3000 por mes

c = $ 2.00

k = $ 500.00

h = $ 0.15 por mes

u = $ 20.00 por año

La cantidad óptima estará definida por la ecuación (2.1):

* 2(500)(18000) 1 0.15(12) 204670

180000.15(12) 201 3000(12)

Q unidades

El costo total quedará definido por:

*2

2 (1 ) 2(20)(500)(1 18000 / 3000(12))0.118

( ) 18000(0.15)(12)(0.15(12) 20)

auk rtah h u

* *2 18000(0.118) 2124S at unidades

**1

21240.118

3000(12) 18000

St

r a

*3

2 (1 ) 2(0.15)(12)500(1 18000 / 3000(12))0.033

( ) 18000(20)(0.15(12) 20)

ahk rtau h u

*3* 18000 0.033 5940d at unidades


43

**4

59400.33

3000(12) 18000

dt

r a

* * *1 2( ) 0.15(12)(2124)(0.118 0.118)

( ) 451.132 2

hS t tC I

* * *3 4( ) 20(5940)(0.033 0.33)

( ) 21562.22 2

ud t tC D

*( ) 2(4670) 500 9840C P cQ k

* * * *1 2 3 4

( ) ( ) ( ) 451.13 21562.2 9840( ) $53177.51

0.118 0.118 0.033 0.33

C I C P C DC T por año

t t t t

5. La empresa CUBALUB es la encargada de abastecer a su provincia de

lubricantes. Mensualmente dicha entidad les suministra a los diferentes

organismos 400 toneladas. Al llevarse a cabo el pedido de lubricantes, la

cantidad exacta es enviada de una vez y no se permite faltante de los mismos,

debido a la importancia que poseen en las diferentes organizaciones para el

mantenimiento y la puesta en marcha de sus equipos. El costo de adquirir

dicha mercancía es de $2.00 por tonelada, una vez que se hace el pedido se

incurre en un costo de $15.00 y el costo de almacenamiento es de $1.50 por

tonelada. La empresa está interesada en conocer:

a) La cantidad máxima de lubricantes que habrá en inventario.

b) El periodo de solicitar un nuevo pedido.

Solución:


Datos:

a = 400 toneladas/mes

k = $15.00

c = $2.00

h= $1.50/tonelada


44

Modelo con reaprovisionamiento instantáneo y no se permite déficit (EOQ).


* 2(400)1589.44

1.5Q toneladas

Utilizando la fórmula (2.28):

* 89.44S toneladas

La cantidad máxima de lubricantes que habrá en inventario es de 89.44

toneladas.

b) Utilizando la fórmula (2.26):

* ?T * 89.440.22

400T meses

Se solicitará un nuevo pedido cada 0.22 meses.

6. La empresa de conservas de vegetales “Los Atrevidos” tiene una demanda de

36000 pomos de mayonesa al mes y su capacidad de producción es de 7200

pomos de mayonesa al día. Se conoce que el costo de producción es de

$2.00/pomo, el costo de lanzamiento $28.00 y el costo por mantener el

inventario es de $0.10/día. Se sabe además, que dada la política de inventario

en la empresa, no se permite déficit y que se trabajan 25 días al mes. La

empresa desea conocer:

a) El tamaño óptimo que deben tener las corridas de producción y la

frecuencia con que se deben hacer dichas corridas.

b) La cantidad máxima de pomos de mayonesa que tendrá que tener en

inventario.

Solución:


Datos:

r = 7 200 pomos/día


45

a = 36 000 pomos/mes = 1 440 pomos/día

k = $28.00

c = $2.00/pomos

h = $0.10/día

Modelo en que no se permite déficit.

a) *Q ? y *f ?


* 2(36000)(28) 11003

360000.10 1 7200

Q pomos

Para Q* = 1003 pomos CT = 2062.21

Para Q* = 1004 pomos CT = 2064.21

El menor costo total se obtiene con Q* = 1003 pomos.


* 360001.43

1003f días

En cada corrida se deben llenar aproximadamente 1003 pomos de

mayonesa y cada 1.43 días se debe comenzar la producción de una nueva

corrida.

b) Utilizando la fórmula (2.20):

*2

14402(28)(1 )7200 0.561440(0.1)

t


* 1440(0.56) 806.4 807S pomos

El nivel máximo de inventario será de 807 pomos de mayonesa.


46

7. En la empresa de bebidas y refrescos se reciben piezas de repuesto para

reponer la embotelladora, las cuales son usadas a razón de 2000 por mes. Las

piezas son suministradas por otra empresa y se piden en una sola partida que

demora 1 día a partir del momento de la solicitud. Cada pieza cuesta $4.00 y el

costo de ordenar es de $80.00. El costo por mantener una pieza en inventario

es de $2.00 por mes y si no hay piezas cuando estas se soliciten, se incurre en

un costo de $1.00/pieza-mes. Ante esta situación, el director ha ordenado

realizar un estudio para determinar:

a) Cantidad óptima de piezas suministradas a la empresa en cada corrida.

b) Frecuencia con que se deben hacer las corridas de producción.

c) Déficit máximo que se puede permitir.

Solución:


Datos:

a = 2000 piezas/mes

k = $80.00

c = $4.00/pieza

h = $2.00/piezas - mes

u = $1.00/piezas - mes

Modelo con reaprovisionamiento instantáneo.


* ?Q * 2(2000)(80) 2 1692.82

2 1Q piezas

Para Q* = 692 piezas CT = 158.54

Para Q* = 693 piezas CT = 158.65


47

El valor de Q* es 692 piezas ya que con este se alcanza el menor valor

de costo total.


* ?f * 20002.89

692.82f

En el mes se harán 2.89 corridas y el tamaño de cada lote será de 692

piezas.

c) Utilizando la ecuación (2.36):

*d ?2(2000)(2)(2)(80)

* 461.88 462(2 1)1

d piezas

El déficit máximo que se puede permitir es de 462 piezas por pedido.

2.6. Ejercicios propuestos

1. Lo bueno de los modelos de inventario es que uno puede tomar cualquiera de

ellos y aplicarlo siempre y cuando los cálculos de los costos sean exactos.

Comente esta afirmación.

2. Una compañía que comercializa agujas hipodérmicas para hospitales, desea

reducir su coste de inventario determinando el número óptimo de agujas

hipodérmicas que ha de solicitar por pedido. La demanda anual es de 1000

unidades, el coste de preparación o lanzamiento es de $10.00 por pedido y el

coste de almacenamiento por unidad y por año es de $0.50. Se trabajan 250

días al año.

a) Determine el número óptimo de unidades por pedido.

b) Determine el número de pedidos.

c) Determine el tiempo esperado entre los pedidos.

d) Determine los costos totales anuales del inventario.

3. El gerente de SUCHEL está intentando llevar a cabo un análisis de inventario

en uno de sus productos más populares. La demanda anual de este producto

es de 5000 unidades, el costo por unidad es de $200.00, el costo de


48

almacenamiento se considera aproximadamente el 25% del costo unitario. Los

costos de lanzamiento de su compañía normalmente suponen alrededor de

$30.00 por pedido y los plazos de entrega son por regla general de 10 días

(Suponga un año de 50 semanas).

a) ¿Cuál es la cantidad económica de pedido?

b) ¿Cuál es el punto de pedido?

c) ¿Cuál es el costo total de inventario más el costo de lanzamiento?

d) ¿Cuál es el número óptimo de pedidos por año?

4. Raúl utiliza 1500 piezas por año de un determinado submontaje que tiene un

costo de almacenamiento de inventario de $45.00 por unidad. Cada pedido que

lanza le cuesta a Raúl $150.00. Raúl opera 300 días por año y ha encontrado

que un pedido debe lanzarse a su proveedor 6 días laborables antes de

cuando quiera recibir ese pedido, halle para este submontaje:

a) La cantidad económica de pedido.

b) El coste anual de almacenamiento.

c) El coste anual de lanzamiento.

d) El punto de pedido.

5. Cristina, utiliza 1200 piezas de un recambio que cuesta $25.00 por cada pedido

y el coste anual de almacenamiento es de $24.00. Calcule el costo total para

tamaños de pedido de 25, 40, 50, 60 y 100. Identifique la cantidad de pedido

económico y considere las consecuencias de cometer un error en el cálculo de

la cantidad de pedido económico.

6. ARTEX vende camas de agua y productos afines. La cama de mejor venta en

la tienda tiene una demanda anual de 400 unidades. El costo de lanzamiento

es de $40.00, el coste de almacenamiento es de $5.00 por unidad al año. Hay

250 días laborables en un año y el plazo de entrega es de 6 días.

a) Para minimizar el costo total, ¿cuántas unidades deben pedirse cada vez

que se realice un pedido?


49

b) Si el costo de almacenamiento por unidad fuera de $6.00 en lugar de

$5.00. ¿Cuál será la cantidad óptima de pedido?

7. COPEXTEL vende una impresora por $200.00. La demanda de esta es

constante durante el año y la previsión de demanda anual es de 600 unidades.

El coste de almacenamiento es de $20.00 por unidad por año y el costo de

lanzamiento es de $60.00 por pedido. Actualmente, la compañía realiza

pedidos 12 veces al año (50 unidades cada vez). Hay 250 días laborables al

año y el plazo de entrega es de 10 días.

Dada la política actual de pedir 50 unidades cada vez, ¿cuál es el total del

costo anual de lanzamiento y del costo anual de almacenamiento?

Si la compañía utilizara la mejor política de inventarios ¿cuáles serían los

costos totales de lanzamiento y de almacenamiento?

8. Una empresa necesita 20000 unidades al año del producto x para realizar el

ensamblaje de su producto insignia. Realizar el almacenamiento representa un

costo del 25% anual. La compañía presenta 2 opciones para lograr el

inventario de este producto x:

a) Producirlo a una razón de 50000 unidades al año y a un costo de

producción de $5.00 / unidad con un costo de lanzamiento de un lote de

$100.00.

b) Comprarlo a una razón de 60000 unidades al año y a un costo de

adquisición de $6.00/ unidad con un costo de ordenar un lote de $120.00.

Se conoce además que la compañía se puede trazar dos políticas de

inventario:

1) Permitir que exista faltante del producto a un costo de $4.00/ unidad-año.

2) No permitir la existencia de faltantes.

Para cada política de inventario, determine:

Cantidad óptima de unidades del producto x a producir o comprar para hacer

mínimo el costo total de inventario. ¿A cuánto asciende éste?


50

¿Cuántas veces al año se debe realizar la adquisición o producción de un

lote de productos x en la cantidad determinada anteriormente?

¿Cuál es el nivel máximo que tendrá el inventario y en qué momento se

alcanza éste?

¿En qué momento se produce la ruptura del inventario?

9. En cierta compañía se ha obtenido un costo total de $3500.00/ mes con una

política de no permitir déficit. Se ha podido recopilar los datos siguientes:

Demanda: 10000 unidades / mes

Razón de producción: 40 000 unidades / mes

Costo de ordenar un lote: $120.00

Tamaño del lote económico a ordenar: 1265 unidades

Por problemas de control en el almacén se desconoce de cuánto es el costo de

mantener una unidad en inventario. Además se desea determinar:

a) Nivel máximo que puede alcanzar el inventario y en qué momento se

alcanza este.

b) Tiempo que trascurre entre ordenar 2 lotes consecutivos.

c) Momento en que se produce la ruptura del inventario.

10.La empresa de soldadura de Placetas (SOLCAR) necesita 2000 raíles cortos

para soldar el próximo año. El costo de los raíles es de $50.00 cada uno. El

proveedor extranjero es capaz de hacer la entrega en un plazo de un mes,

pero el costo de ordenar para esta empresa es de $ 500.00 por orden. El costo

de conservación es de $15.00 al año por el almacenamiento, más 10 % por

unidad por año por el costo de oportunidad del capital.

Identifique el modelo de gestión de inventarios factible de aplicar en este caso

y sus parámetros dados como datos.

11.Doña Delicia produce un aderezo de ensalada. La demanda de este aderezo

es alrededor de 400 libras por mes y Doña Delicia puede fabricar a una tasa de


51

2000 libras por mes. Para iniciar la producción, tiene que verificar y limpiar las

maquinas en forma exhaustiva y cada preparación cuesta $120.00. El costo de

producir este aderezo es 43 por libra y el costo de mantenerlo en inventario se

estima en 20% anual. Si la demanda de este aderezo excede a lo disponible en

inventario la orden se surte después. La administración piensa que los faltantes

incurren en dos tipos de costo, la pérdida de buena voluntad y una sanción por

el faltante. La pérdida de la buena voluntad se estima en $ 0.10 por libra y la

sanción se estima en $ 1.20 por libra que falta por mes. Analice este problema.


1. Acevedo Suárez, J.A.et al. (2010). La logística moderna en la empresa.

Capitulo 6 “Gestión de inventario” pp. 168-230, La Habana, Editorial Félix

Varela.

2. Àlvarez-Buylla Valle, Mercedes (1987). Modelos Económico-Matemáticos II.

Tomo II, Capítulo 4 “Modelos de inventario”, pp. 390-450, La Habana, Editora

ISPJAE.




4. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (2005). Métodos Cuantitativos para la Toma

de Decisiones en Administración. Tomo II, Capítulo 13 “Sistemas y modelos de

inventarios” pp. 402-430, La Habana, Editorial Félix Varela.

5. Hillier, F.S y Lieberman, G.J. (2007). Introducción a la Investigación de

Operaciones. Tomo III, Capítulo 17 “Teoría de inventarios” pp. 756-797, Quinta

Edición, La Habana, Editorial Félix Varela.

6. Investigación operaciones (2011), disponible en: http://www.investigacion-

operaciones.com/Modelo%20Inventarios.htm [Consultado el 15 de febrero de

2011].


52

7. Kaufmann, A. (1981). Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones.

Capítulo 4 “Problemas de inventarios” pp. 195-235, Cuarta Edición, La Habana,

Editorial Pueblo y Educación.

8. Marrero Delgado, F. (2009 [a]). Conferencia “Inventarios determinísticos”,

disponible en http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 10 de abril de 2011].





semestre/copy8_of_asignatura-1/.

10.Richard, I. L y Kirkpatrick, C. H. Modelos de inventario, disponible en

http://www.ur.mx/cursos/post/obarraga/base/davila.htm [Consultado el 15 de

febrero de 2011].

11.Schroeder, R. G. (1992). Administración de operaciones.

12.Sipper, D. y Bulfin, R. L. (1999). Planeación y control de la producción. Primera


13.Vargas Martínez, J. E. (2011). Administración de inventarios, disponible en

http://www.investigacion-operaciones.com/Lote%20Economico.htm

[Consultado el 8 de marzo de 2011].

14.Wiley, J. y Sons, Ltd. (2004). Introduction to logistics systems planning and

control.

Parte II. Sistemas y modelos de inventario

Capítulo 3. Modelos de tamaño estático de lote

Modelo de descuento por cantidad

Modelos para múltiples artículos con restricciones de recursos

Capítulo 4. Métodos heurísticos

Método Silver-Meal

Algoritmo de Wagner-Whitin

Modelo de inventarios para productos perecederos

Costo unitario mínimo

Balanceo de periodo fragmentado

Capítulo 5. Modelo de inventario estocástico para un solo producto sin costo

de lanzamiento

Capítulo 6. Sistemas de control del inventario

Modelo de revisión continua

Modelo de revisión periódica

Sistema ABC de control de inventarios

Capítulo 7. Sistemas de inventario con WINQSB

53


Un ambiente de demanda constante y uniforme no es común en el mundo real, sin

embargo, es un punto de inicio conveniente para desarrollar modelos de inventario

y lograr entender las relaciones dentro de un sistema de inventarios. En este

capítulo se desarrollan dos modelos en esta categoría los cuales son el modelo de

descuento por cantidad y el modelo para múltiples artículos con restricciones de

recursos.

3.1. Modelo de descuento por cantidad

El modelo de descuento por cantidad constituye una variante del modelo de

revisión continua muy generalizado en la práctica de la función de compras, pues

en el mismo, el proveedor aplica una estrategia de marketing consistente donde,

en la medida que se adquiere una cantidad superior, el precio por unidad se

reduce. En consecuencia, este sistema se aplica, cuando el precio de los

productos o insumos, varía en dependencia de las cantidades que serán

adquiridas por los clientes. La compra de cantidades grandes, al tiempo que

reduce el precio por unidad, requiere de menos preparaciones para obtener el

pedido, lo que también constituye un ahorro, pero en cambio, implica que se

mantenga inventarios de productos y materiales, en cantidades superiores a las

necesarias y en ocasiones, durante un tiempo relativamente largo. Esto hace, que

no siempre resulte más económico adquirir grandes cantidades,

fundamentalmente cuando se trata de insumos costosos, con un alto costo de

inventario.

Son dos las situaciones que se pueden presentar en el modelo de descuento por

cantidades, las cuales son fijadas en las condiciones que ofrece el proveedor.

Estas son:

1. Descuento incremental: se ofrecen varios intervalos de descuento, los que se

aplican a las cantidades compradas, diferenciándolas en cada uno de esos

intervalos. De esta forma, los menores precios se van añadiendo solo a la

parte comprada que cae en cada uno de ellos. Generalmente, es esta una

situación que resulta más ventajosa para el proveedor, quien solo debe


54

descontar el precio en las unidades que pasan los límites de determinado

descuento.

2. Descuento en todas las unidades: es la forma más empleada en la práctica, en

la cual también se ofrecen varios intervalos de descuento, pero a diferencia de

la anterior, todas las unidades compradas tendrán el precio del último intervalo

de descuento, lo que resulta más ventajoso para el comprador.

En ambas situaciones, se aplica la propia ecuación (2.25) pero con la diferencia de

que se incluye el precio de compra que será una magnitud variable, en la medida

que se pase de uno a otro intervalo de descuento.

Términos a emplear:

m : Número de cortes de precios (qj-1 <= Qj < qj).

Kj (Q): Costo de Q unidades en el intervalo j.

Kj (Qj): Costo de EOQ unidades en el intervalo j.

Kj (Qj*): Costo mínimo en el intervalo j.

K* (Q*): Costo mínimo para todos los precios.

Procedimiento de trabajo: descuento en todas las unidades.

Paso 0. Se hace Q* = 0, K* (Q*) = ∞ y j = m.

Paso 1. Se calcula Qj; si qj-1 <= Qj <= qj, se va al paso 3. De otra manera, se hace

Qj* = qj y Kj (Qj*) = Kj (qj).

Paso 2. Si Kj (Qj*) < K* (Q*), se hace Q* = Qj y K* (Q*) = Kj (Qj*). Se establece j = j -

1 y se va al paso 1.

Paso 3. Se hace Kj (Qj*) = cja + raíz cuadrada (2kaicj). Si Kj (Qj*) < K* (Q*),

entonces Q* = Qj* y K* (Q*) = Kj (Qj*). Se detiene el proceso; la cantidad óptima a

ordenar es Q* con costo total K* (Q*).

Procedimiento de trabajo: descuento incremental.

Paso 0. Se hace Q* = 0, K* (Q*) = ∞ y j = 1.


55

Paso 1. Se calcula Qj; si qj-1 < Qj < qj, se calcula Kj (Qj). Si Qj no está en el

intervalo, se establece Kj (Qj) = ∞.

Paso 2. Se hace j = j + 1. Si j <= m, se va al paso 1.

Paso 3. Sea Kl (Ql) = minj = 1,m Kj (Qj); entonces Q* = Ql y K* (Q*) = Kl (Ql).

Ejemplo 3.1. La EPEM de Villa Clara, dedicada entre otras cosas al ensamble de

metro contadores de energía eléctrica, requiere de cierto componente para realizar

esta labor. En un estudio del mercado chino se detectó la existencia de 2

proveedores de este componente: Shanghái Electronics y Haier, cuyos productos

y servicios son iguales, de manera que la compra del componente solo se

diferenciaría por el costo. Ambos proveedores ofrecen descuentos por cantidad

según el tamaño del lote, no obstante, estas empresas tienen diferentes planes de

precios.

En Shanghái Electronics, si la cantidad ordenada es menor que 500 unidades (q1),

el precio es de $0.60 por unidad; si la cantidad es 500 o más, pero menos de 1000

(q2), el precio unitario es de $0.58; cualquier cantidad mayor o igual a 1000

unidades tiene un precio unitario de $0.56.

Haier ofrece el mismo rango de precios y cantidades; sin embargo, la tasa de

descuento se aplica sólo a la cantidad ordenada en exceso. Es decir, si la cantidad

ordenada es 500 unidades, las primeras 499 cuestan $0.60 y la que sigue cuesta

$0.58. Si se ordenan 1000 unidades, las primeras 499 cuestan $0.60, las

siguientes 500 cuestan $0.58 y la que sigue cuesta $0.56. Cualquier cantidad

mayor e igual a 1000 cuesta $0.56.

Tabla 3.1. Descuento por cantidades de los proveedores de la EPEM de Villa

Clara.

Cantidad (Q) Shanghái Electronics Haier0 <= Q < 500 0.60 Q 0.60 Q500 <= Q <

10000.58 Q 0.60 * 500 + 0.58 * (Q-500)

1000 <= Q < ∞ 0.56 Q 0.60 * 500 + 0.58 * 500 + 0.56 * (Q-1000)

¿A qué proveedor debe comprarle el componente requerido la EPEM de Villa

Clara?


56

Tenga en cuenta que el costo de colocar una orden es de $20.00 y que la

demanda anual uniforme para este componente es de 800 unidades. El costo de

mantener inventario es de un 20% anual.

Solución:

Caso Shanghái Electronics.

Este proveedor ofrece un descuento en todas las unidades.

k = $20.00

a = 800 unidades / año

i = 0.20 / año

m = 3

Paso 0. Se hace Q* = 0, K* (Q*) = ∞ y j = 3

Paso 1. Se calcula Q3 con c3 = 0.56, Q3 = 535 unidades / orden

Como Q3 < 1000, no cumple con 1000 <= Q3 <= ∞, se establece Q3* =

1000 unidades / orden = q3 y K3 (Q3*) = K3 (q3) = $520.00.

Paso 2. Como K3 (Q3*) < K* (Q*), 520.00 < ∞, se hace Q* = Q3 = 1000 y K* (Q*) =

K3 (Q3*). Se establece j = j -1 = 2 y se va al paso 1.

Paso 1. Se calcula Q2 con c2 = 0.58, Q2 = 525 unidades / orden

Como Q2 cumple con 500 <= Q2 <= 1000, se va al paso 3.

Paso 3. Se hace K2 (Q2*) = c2a + raíz cuadrada (2kaic2) = $525.00. Como K2 (Q2*)

< K* (Q*), 525.00 > 520.00, entonces se detiene el proceso; la cantidad óptima a

ordenar es Q* = 1000 unidades / orden con costo total K* (Q*) = $520.00.

Caso Haier

Este proveedor ofrece un descuento incremental.

m = 3

k = $20.00

a = 800 unidades / año


57

i = 0.20 / año

Paso 0. Se hace Q* = 0, K* (Q*) = ∞ y j = 1.

Paso 1. Se calcula Q1, Q1 = 516; como Q1 = 516 > 500 (q1) no está en el intervalo

0 < Q1 < 500, se establece K1 (Q1) = ∞.

Paso 2. Se hace j = j + 1, j = 2, como 2 <= m, se va al paso 1.

Paso 1. Se calcula Q2, Q2 = 643; como Q2 = 643 > 500 (q1) y < 1000 (q2) está en el

intervalo 500 < Q1 < 1000, se calcula K2 (Q2) = $539.63.


Paso 1. Se calcula Q3, Q3 = 845; como Q3 = 845 < 1000 (q3) no está en el intervalo

1000 < Q1 < ∞, se establece K3 (Q3) = ∞.


Paso 3. Sea Kl (Ql) = minj = 1,m Kj (Qj); entonces Q* = Q2 = 643 unidades / orden y

K* (Q*) = K2 (Q2) = $539.62.

Como se puede ver la cantidad de pedido que ofrece un menor costo la ofrece la

Shanghái Electronics por lo tanto la empresa debe comprarle el componente a

esta.

3.2. Modelos para múltiples artículos con restricciones de recursos

EOQ es para un solo artículo, pero si fueran varios artículos ¿qué hacer?

1. Cuando no hay interacción entre los artículos (ejemplo: compartir recursos), se

manejan múltiples sistemas de un artículo.

2. Cuando hay interacción entre los artículos (ejemplo: compartir recursos de

presupuesto, capacidad de almacenaje, o ambas), se aplican los modelos de

artículos múltiples con restricción de recursos.

Procedimiento de trabajo de los modelos de artículos múltiples con

restricción de recursos.

Caso: un recurso.

Minimizar


58

1 1

( ) ( ) ( )2

n ni i i

i i i i ii i i

a k QK Q K Q c a h

Q

(3.1)

Sujeto a:

Si la restricción es de presupuesto:

1

n

i ii

f Q C

0 1,...,iQ i n (3.2)

O, si la restricción es de espacio:

1

n

i ii

f Q F

0 1,...,iQ i n (3.3)

1. Resolver el problema no restringido.

2

1,...,i ii i

i

k aQ i n

h (3.4)

2. Comprobar si se satisface la restricción.

Si la restricción es de presupuesto se utiliza (3.2) o si la restricción es de

espacio (3.3).

En caso positivo, ir al paso 4, sino al 3.

3. Cálculo de los iQ , utilizando los multiplicadores de Lagrange.

Restricción de presupuesto:

1

2

2

ni i

i i i iii i

k aQ c Q C

h c

Se despeja y se sustituye en iQ ,

obteniendo sus valores. (3.5)

Restricción de espacio:

1

2

2

ni i

i i i iii i

k aQ f Q F

h f

Se despeja y se sustituye en iQ ,

obteniendo sus valores. (3.6)

Cálculo del costo total.


59

Si es la restricción de presupuesto:

11 1

,...., ,2

n ni i i

n i i i i ii ii

k a QK Q Q c a h c Q C

Q

(3.7)

o, si es la restricción de espacio:

1

1 1

,...., ,2

n ni i i

n i i i i ii ii

k a QK Q Q c a h f Q F

Q

(3.8)

Ejemplo 3.2. Copextel compra dos tipos de lectoras de discos. Debido al bajo

volumen que maneja Copextel, el gerente limita la inversión en inventario a un

máximo de $5000.00. El precio de estas dos lectoras es de $50.00 y $80.00,

respectivamente, y su demanda anual es 250 y 484 unidades, respectivamente.

Copextel tiene un gasto de $50.00 para procesar la orden de cualquiera de esas

lectoras, y el gerente usa un 20% anual para las evaluaciones financieras.

Solución: se analiza el problema estableciendo los parámetros básicos.

K = $50.00

i = 20% anual

C = $5000.00

c1 = $50.00 h1 = i• c1 = $10.00 por unidad por año

a1 = 250 unidades por año

c2 = $80.00 h2 = i• c2 = $16.00 por unidad por año


1) Se calcula el EOQ para cada lectora; es decir, se resuelve el problema no

restringido usando la ecuación (3.4):

1 11

1

2 (2)(50)(250)50

(0.2)(50)

k aQ unidades

h

2 22

2

2 (2)(50)(484)55

(0.2)(80)

k aQ unidades

h


60

2) Se utilizan estos valores y se calcula la inversión en inventario mediante (3.2):

1

(50)(50) + (80)(55) = 6900 > 5000n

i ii

c Q C

Es decir, se viola la restricción de presupuesto, por lo tanto, se aplica el

método de multiplicadores de Lagrange.

3) Se calcula Q1 y Q2 utilizando la ecuación (3.5).

1

25000 50

10 100 * 1 10 *Q

2

48400 55

16 160 * 1 10 *Q

Por último 1 1 2 2 5000c Q c Q se hace 1 10 *X

Sustituyendo:

1 1 2 2 (50) (50) / (80) (55) / 5000c Q c Q X X

Despejando X = 6900/5000 = 1.38 se obtiene * 0.09044 . Así,

1 50 /1.38 36.23 36Q

2 55/1.38 39.86 40Q

4) Utilizando la ecuación (3.7) se calcula el costo total:

(50)(250) (10)(36) (50)(484) (16)(40)

36,40,0.09044 (50)(250) (80)(484)36 2 40 2

K

(0.90044) (50)(36) (80)(40) 5000 52672.22

(Observe que el último término es cero, ¿Por qué?) Entonces, la inversión total

en inventario es (36) (50)+ (40) (80) = 5000

Caso: dos recursos:

Minimizar


61

1 1

( )2

n ni i i

i i i i ii i i

k a QK Q K Q c a h

Q

(3.9)

Sujeto a:

Restricción de presupuesto:

(3.10)

Restricción de espacio:

1

n

i ii

f Q F

0 1,...,iQ i n (3.11)

1. Resolver el problema no restringido.

21,...,i i

i ii

k aQ i n

h

(3.12)

2. Utilizando las expresiones (3.10) y (3.11) comprobar si se satisfacen ambas

restricciones.

En caso positivo, ir al paso 4, sino al 3.

3. Escoger una de las restricciones y calcular iQ , utilizando los multiplicadores de

Lagrange, por ejemplo para la restricción de presupuesto:

11

2

2

ni i

i i i iii i

k aQ c Q C

h c

(3.13)

Se despeja 1 y se sustituye en *iQ , obteniendo sus valores.

3.1. Probar la solución obtenida para la otra restricción, por ejemplo para la de

espacio (3.11).

3.2. Si no se cumple la segunda restricción, se calcula iQ , utilizando los

multiplicadores de Lagrange, para esa otra restricción, si fuera la de

espacio, por ejemplo:

1

n

i ii

c Q C


62

12

2

2

ni i

i i i iii i

k aQ f Q F

h f

(3.14)

Se despeja 2 y se sustituye en iQ , obteniendo sus valores.

Verificar si se cumple la primera restricción, por ejemplo la de

presupuesto (3.10).

3.3. Si se cumplen ambas restricciones ir al paso 5, sino al 4.

4. Si con las 2 restricciones no se llega a una solución óptima, se dice que ambas

restricciones son activas y debe aplicarse Lagrange con ambas restricciones,

calculando iQ como sigue en el sistema de ecuaciones:

11

2

2

ni i

i i i iii i

k aQ c Q C

h c

(3.15)

12

2

2

ni i

i i i iii i

k aQ f Q F

h f

(3.16)

Se resuelve el sistema de ecuaciones obteniendo valores de 1 , 2 y los iQ

5. Cálculo del costo total, utilizando la expresión:

1 1 2 1 21 1 1

,..., , ,2

n n ni i i

n i i i i i i ii i ii

k a QK Q Q c a h cQ C f Q F

Q

(3.17)

Ejemplo 3.3. Tomando el ejemplo 3.2, Copextel no tiene mucho espacio para

almacenar las lectoras de discos. Suponga que cada tipo de lectora requiere 10 y

8, unidades de espacio respectivamente, y cuenta con un total de 500 unidades.

¿Satisfacen los resultados previos la restricción de espacio? Resuelva este

problema como se necesite.

Solución:

Recuerde el procedimiento en el ejemplo 3.2.

1. Como del ejemplo 3.2 se sabe que la solución no restringida viola la

restricción de presupuesto, el paso dos se puede omitir.


63

2. Se selecciona una de las restricciones y se resuelve como un problema de una

restricción. En el ejemplo 3.2 se resolvió el problema con la restricción de

presupuesto. Por lo tanto, se selecciona el presupuesto como la única

restricción, y se tiene la solución ' '1 236 40Q y Q .

3. Se verifica la solución de la restricción de presupuesto para ver si se satisface

la restricción de espacio:

10(36) 8(40) 680>500

Se viola la restricción de espacio.

4. Se resuelve el problema de multiplicadores de Lagrange con la restricción de

espacio solamente.

1 11

1 2 1 2

2 50

2 1 2* *

a kQ

h f

2 22

2 2 2 2

2 55

2 1* *

a kQ

h f

Por último 1 1 2 2 500f Q f Q

De las tres ecuaciones se obtiene:

2 2

50 5510 +8 =500

1 2 * 1 *

y al resolver se obtiene *2 ≈ 1.76 y 1Q = 23.51 ≈ 23 2Q = 33,11≈ 33

Se verifica esta solución con la restricción de presupuesto.

23(50) 33(80) 3790>5000

No viola la restricción de presupuesto. Las cantidades óptimas a ordenar bajo las

restricciones de presupuesto y espacio son 1Q = 23 y 2Q = 33.


1. Minerva es la empresa más importante de bicicletas en Cuba. En su planta solo

ensamblan y todos los componentes los compran de proveedores externos. No

están contentos con el proveedor actual de ruedas y decidieron encontrar una

nueva fuente para su mejor modelo. La demanda es de 400000 ruedas al año y

han recibido diferentes planes de precios de otros proveedores.


64

El proveedor A ofrece una tasa pareja de $3.00 por rueda sin importar la

cantidad.

El proveedor B tiene el siguiente plan de descuento en todas las unidades:

$3.25 por rueda si la cantidad ordenada es menor o igual que 5000, $3.00 por

rueda si la cantidad ordenada es mayor que 5000 y menor que 15000, y $2.60

por rueda si ordenan 15000 o más.

El proveedor C ofrece un precio de $3.25 si la orden es menor de 10000 y

$2.80 por cada unidad comprada adicionalmente a las 10000, usando un

descuento incremental.

Los tres proveedores tienen la misma calidad de ruedas. El costo de la orden

es de $150 y el costo de mantener el inventario se toma como un 10% anual.

Evalué la cantidad óptima a ordenar y determine que proveedor ofrece la mejor

opción.

Proveedor A:

* 2 2(400000)(150)Q 20000 /

0.1(3)

akruedas orden

i c

* *( ) 2 3(400000) 6000 $1206000.00K Q c a k a i c

Proveedor B:

Descuento en todas las unidades

Paso 0: Q* = 0 K*(Q*) = ∞ j = m = 3

Paso 1: *3

3

2 2(400000)(150)Q 21483 /

0.1(2.60)

akruedas orden

i c

15000 < Q3 < ∞ se cumple

Paso 3: *3 3 3 3( ) 2 2.60(400000) 5585 $1045585.00K Q c a k a i c

K3 (Q*3) < K*(Q*)


65

1045585 < ∞ se cumple

Se ordenan 21483 ruedas a un costo de $1045585.00

Proveedor C:

Paso 0: Q* = 0 K*(Q*) = ∞ j = 1

Paso 1: *1

1

2 2(400000)(150)Q 19215 /

0.1(3.25)

akruedas orden

i c

0 < Q1 < 10000 no se cumple, se establece K1 (Q1) = ∞

Paso 2: j = 2 ≤ 2 = m pasamos al paso uno.

Paso 1: *2

2

2 2(400000)(150)Q 20702 /

0.1(2.80)

akruedas orden

i c

10000 < 20702 < ∞ se cumple

*2 2 2 2( ) 2 $1125796.00K Q c a k a i c

Paso 2: j = 3 ≤ 2 = m no se cumple, se pasa al paso tres.

Paso 3: Kl(Ql) = minj = 1,m Kj (Qj) = mínimo (∞, 1125796)

Q*= 20702 ruedas/ orden K*(Q*) = $1125 796.00

Respuesta: Se debe contratar al proveedor B con órdenes de 21483 ruedas a

un costo de $1045585.00.

2. Imagen y Sonido compra dos tipos de computadoras. Debido al bajo volumen

que maneja Imagen y Sonido, el gerente limita la inversión en inventario a un

máximo de $6000.00. Estas dos computadoras tienen un precio de $60.00 y

$90.00, respectivamente, y su demanda anual es 360 y 594 unidades,

respectivamente. Imagen y Sonido tiene un gasto de $60.00 para procesar la

orden de cualquiera de esas computadoras, y el gerente usa un 20% anual

para las evaluaciones financieras. ¿Qué cantidad a ordenar recomendaría?


66

K = $60.00

i = 20% anual

C = $6000.00

c1 = $60.00 h1 = i • c1 = $12.00 por unidad por año


c2 = $90.00 h2 = i • c2 = $18.00 por unidad por año


1. Se calcula el EOQ para cada lectora; es decir, se resuelve el problema no

restringido usando la ecuación (3.4).

1 11

1

2 (2)(60)(360)60

12

k aQ unidades

h

2 22

2

2 (2)(60)(594)63

18

k aQ unidades

h

2. Se utilizan estos valores y se calcula la inversión en inventario mediante

(3.2):

1

60(60) 63(90) 9270 6000n

i ii

f Q C

Se viola la restricción de presupuesto, por lo tanto, se aplica el método de

multiplicadores de Lagrange.

3. Utilizando la ecuación (3.5) se calcula Q1 y Q2

1

43200 60

12 120 * 1 10 *Q

2

71280 62.93

18 180 * 1 10 *Q

Por último 1 1 2 2 6000c Q c Q se hace 1 10 *X


67

Sustituyendo:

1 1 2 2 (60) (60) / (90) (62.93) / 6000c Q c Q X X

Despejando X = 9270/6000 = 1.543 se obtiene * 0.1387

1 60 /1.543 38.88 38Q

2 63/1.543 40.82 40Q se aproxima por defecto por para que no se

exceda la restricción de presupuesto.

4. Utilizando la ecuación (3.7) se calcula el costo total:

(60)(360) (12)(38) (60)(594) (18)(40)

39,41,0.13716 (60)(360) (90)(594)38 2 40 2

K

(0.13716) (60)(38) (90)(40) 6000 60890.97

Entonces, la inversión total en inventario es (38) (60)+ (40) (90) = $5880.00

Se recomienda ordenar 38 computadoras del tipo uno y 40 del tipo dos con una

inversión total en inventario de $5880.00.


1. Mascotas Contentas es una gran tienda para animales domésticos. La tienda

se especializa en perros, también venden productos para peces, tortugas y

pájaros. Una correa de piel para perros le cuesta a Mascotas Contentas $7.00

cada una, existe una demanda anual de 6000 de estas correas. El

administrador de Mascotas Contentas ha determinado que el coste de

lanzamiento de un pedido es de $20.00 y que el coste de almacenamiento de

inventario como porcentaje del coste unitario es del 15%. Mascotas Contentas

esta considerado ahora a un nuevo proveedor de correas de piel. Cada correa

costaría únicamente $6.65, pero para obtener este descuento la tienda tendría

que comparar envíos de 3000 correas a la vez.

a) ¿Debería utilizar Mascotas Contentas al nuevo proveedor y tomar este

descuento de compra por cantidad?


68

2. Acueductos Villa Clara tiene una demanda de 1 000 bombas cada año. Cada

bomba tiene un costo de $50.00. Emitir un pedido le cuesta $40.00 y el coste

de almacenar el inventario es el 25% del costo unitario. Si las bombas se piden

en lotes de 200, Acueductos Villa Clara puede conseguir un descuento del 3%

sobre el costo de las bombas. ¿Debe pedir 200 bombas al mismo tiempo y

aceptar el 3% de descuento?

3. Una empresa ordena dos artículos. El artículo uno cuesta $10.00 y tiene una

demanda anual de 100 unidades y un costo de ordenar de $40.00. El artículo

dos cuesta $40.00 y tiene una demanda anual de 180 y costos de ordenar de

$20.00. La tasa por mantener un inventario es del 20% al año. El espacio de

almacén para los dos artículos está limitado y, como son del mismo tamaño, no

puede haber más de 40 unidades en total en inventario en ningún momento.

Además, el valor total del inventario debe estar dentro de un presupuesto de

$400.00 en todo momento. ¿Qué cantidad a ordenar recomendaría?

4. Una frutería almacena tres productos, manzanas, melones y sandías. Las

demandas (en temporadas), costos unitarios, costos de ordenar y tamaño de

lote de los tres productos son: manzanas, 2500, 0.50, 25, 1; melones, 1000, 1,

20, 3; sandías, 600, 3.50, 30, 10. Suponga que la tasa de costo de inventario

es 10% por temporada. Los lotes económicos para los tres productos son

1581, 632 y 321 respectivamente. Sin embargo, la frutería tiene solo 6000

unidades de espacio, donde una manzana es igual a una unidad de espacio.

Usando multiplicadores de Lagrange, un estudiante determina los tamaños de

lote para el problema restringido en 1392, 536 y 300, con λ= 0.37. Un

carpintero local puede construir 500 unidades de espacio adicionales por

$160.00. ¿Debe la frutería contratar el espacio adicional?

5. Roberto es un pequeño fabricante de bancos de madera. Su línea incluye

cuatro tipos de bancos de diferente tamaño, material, terminado y color. Los

datos relevantes de producción se muestran en la tabla 3.2. Roberto tiene un

pequeño almacén para bancos terminados con un área de 1500 m2. Cada tipo

de banco tiene un lugar fijo. Suponiendo que i = 20% anual, calcule las

cantidades óptimas que deben almacenarse.


69

Tabla 3.2. Datos de la producción de bancos.

Tipo de banco1 2 3 4

Demanda anual (unidades) 1 000 5 000 10 000 8 000Costo de preparación ($) 6 10 10 8Costo unitario ($) 10 3 5 2Espacio por unidad (m2) 5 1 1 1.5

a) Roberto tiene una oferta del doble de espacio de almacén que dará como

resultado un incremento de $200.00 en los gastos anuales. ¿Debe Roberto

aceptar esta oferta?

b) Suponga que Roberto, además de un espacio limitado en el almacén tiene

un límite en el presupuesto de $3800.00 para inversión en inventario.

Calcule las cantidades óptimas que deben almacenarse.

c) Si un proveedor extranjero es capaz de ofrecer un descuento incremental

de acuerdo a los intervalos y porcentajes siguientes:

Tabla 3.3. Descuento del proveedor.

intervalo Porcentaje de descuento

0 Q 500 0%500 Q 10000 10%

1000 Q 20%

Determine cuál sería la política óptima de inventarios.

6. Una gran compañía produce dos artículos A y B con diferentes tamaños,

materiales y colores. Los datos fundamentales son los siguientes:

Tabla 3.4. Datos de los artículos A y B.

Datos Generales A BDemanda anual 4000 7000Espacio por unidad 12 15Costo unitario 7 8Costo de preparación 15 17

El almacén de productos terminados tiene un área de 2600 unidades de

espacio. Suponga que el inventario es de un 30%.

a) Calcule las cantidades óptimas que deben almacenarse.


70

b) Suponga que esta compañía además de su espacio también tiene límite en

el presupuesto que es de $10000.00 para la inversión de inventarios.

Resuelva el problema y de la solución óptima del mismo.

c) Suponga que el presupuesto es de $4000.00 para la inversión de

inventarios.

7. Almacenes Universales almacena autos de juguete. Recientemente, han

estado ofreciendo un programa de descuento por cantidad para los autos, de

tal forma que el costo normal de los autos es de $5.00, para pedidos entre

1.000 y 1.999 unidades, el costo por unidad es de $4.80, y para pedidos de

2.000 o más unidades, el coste por unidad es de $4.75, además el coste de

lanzamiento es de $49.00 por pedido, la demanda anual es de 5.000 autos y el

coste de almacenamiento del inventario como porcentaje del costo, i es del 20

%. ¿Cuál es la cantidad de pedido que minimizará el costo total del inventario?

8. El material utilizado por el producto X, tiene una demanda semanal de 100

unidades, una tasa anual de inventario de un 5% y el costo de preparación de

cada orden es de $35.00, laborándose 52 semanas al año. El proveedor ofrece

los descuentos que se muestran en la tabla 3.5, a partir de las cantidades que

serán compradas, aplicándose una variante de descuento para todas las

unidades.

Tabla 3.5. Oferta del proveedor.

Código de descuento Intervalo Descuento (%) Precio($/ unidad)1 0 - 1000 0 82 1000 – 2500 5 7.63 2500 y más 6 7.52

Para estas condiciones, determine la cantidad de material que se debe

solicitar.

9. El gerente de compras de una empresa industrial, recibe de su proveedor la

oferta que se muestra a continuación sobre determinado tipo de material, que

muestra una ligera variación en los precios de compra por cada unidad, en

dependencia de la cantidad que será comprada. Esta variación será aplicada

por igual a todas las unidades, pero se ha determinado que la demanda


71

promedio de este material es de 800 unidades anuales, con una tasa anual de

inventario del 20% y un costo de ordenar de $20.00 que se mantiene fija en

cada solicitud.


Cantidad a comprar

(Q: en unidades)

Precio por unidad

($ / unidad)0 Q 500 0.6

500 Q 800 0.58800 Q 0.56

a) Determine la cantidad que debe ser comprada por el gerente de compras,

aplicando el sistema de administración de inventarios correspondiente.

10.Raúl el gerente de compras de un fabricante de zapatos que tiene una línea de

botas de escalar fuertes. El compra las agujetas para las botas a distintos

proveedores. La demanda es de 30000 pares de agujetas al año, y no se

permiten faltantes. Su principal proveedor tiene el plan de descuento en todas

las unidades en la tabla 3.7. Raúl sabe que emitir una orden le cuesta $100.00

y que el costo de mantener el inventario es de 35% anual.

Analizando los posibles descuentos por la cantidad a ordenar encuentre:

a) La cantidad óptima a ordenar.


Cantidad a comprar

(Q: en unidades)

Precio por unidad

($ / unidad)Q < 1000 1.00

1000 Q < 3000 0.983000 Q < 5000 0.96

5000 Q < 0.94

11.Una empresa constructora requiere 600 lb anuales de varilla de soldadura de

una aleación especial. Cada vez que colocan una orden incurren en un costo

de $8.00. El precio de compra depende de la cantidad ordenada y está dado

por:

Tabla 3.8. Precio de compra por cantidad ordenada.


72

Cantidad a comprar

(Q: en unidades)

Precio por unidad

($ / unidad)0 Q 500 0.6

500 Q 800 0.58800 Q 0.56

Este es un descuento en todas las unidades. Si la tasa de mantener el

inventario por $ por año es 0.20, ¿cuantas unidades deben ordenarse cada vez

que se coloca una orden?


1. Cespón Castro, R. y Amador Orellana, M.A.(2003). Administración de la



Sula, Honduras.











74


Un método heurístico es un enfoque que aprovecha la estructura del problema.

Mediante el uso de un conjunto de reglas “racionales”, obtiene una solución

“buena”, es decir, cercana a la óptima, o en ocasiones, la óptima. Los métodos

heurísticos se usan cuando no es posible o no es computacionalmente factible

obtener el óptimo.

4.1. Método Silver-Meal

El principio de esta heurística es que considera ordenar para varios periodos

futuros, digamos m. Intenta lograr el costo promedio mínimo por periodos para el

lapso de m períodos. El costo considerado es el costo variable, esto es, el costo

de ordenar (preparar) mas el costo de mantener el inventario. La demanda futura

para los siguientes n períodos está dada y es:

(a1, a2,…..,an)

Sea K (m) el costo variable promedio por período si la orden cubre m periodos. Se

supone que el costo de mantener inventario ocurre al final del período y que la

cantidad necesaria para el período se usa al principio del mismo. Si se ordena a1

para cumplir con la demanda en el periodo 1, se obtiene:

K (1) = k (4.1)

Si se ordena a1 + a2 en el periodo 1 para cumplir con la demanda de los periodos

1 y 2, se obtiene:

K (2) = ½(k + ha2) (4.2)

Donde h es el costo de almacenar una unidad en inventario durante un período.

Como se almacenan S2 unidades un período más, esa cantidad se multiplica por h

y para obtener el costo promedio para los dos períodos, se divide entre dos. De

manera similar:

K (3) = ⅓(k + ha2 + 2ha3) (4.3)

y, en general:

K (m) = 1/m (k + ha2 + 2ha3 +…. + (m-1)ham) (4.4)


75

Se calcula K (m), m = 1,2,…, m, y se detiene cuando:

K (m + 1) > K (m) (4.5)

es decir, en el periodo en el que el costo promedio por periodo comienza a crecer.

En el periodo uno se ordena una cantidad que cumpla con la demanda de los

siguientes m periodos, esto es:

Q1 = a1 + a2 +…+ am (4.6)

En general Qi es la cantidad ordenada en el periodo i y cubre m periodos futuros.

Si no se emite la orden en el periodo i, entonces Q1 es cero. El proceso se repite

en el período (m + 1) y continúa durante todo el horizonte de planeación.

Ejemplo 4.1. El gerente de una tienda de Copextel, estima que la demanda de

discos 3.5 para los próximos cinco meses será 100, 100, 50, 50 y 210 cajas de 10

discos. Como la demanda es irregular, se aplica el método de Silver-Meal para

ordenar la cantidad correcta. El costo de colocar la orden independientemente de

su tamaño es de $50.00 y se estima que almacenar una caja durante un mes le

costará $0.50. ¿Qué le puede sugerir?

Solución:

Los datos básicos para este problema son:

k = $50

h = $0.50 por caja por mes

La demanda, ai, para los próximos cinco meses esta dada por la siguiente tabla.

Tabla 4.1. Demanda para los próximos cinco meses de discos 3,5 en la tienda de

Copextel.

mes 1 2 3 4 5demanda 100 100 50 50 210

Se aplica la ecuación (4.4) (ecuación de Silver-Meal) para calcular K (m)

1. m = 1 k(1) = 50

2. m = 2 k(2) = (½)(50+(0.5)(100))


76

= 50 ≤ 50 = k(1), continuar

3. m = 3 k(3) = (⅓)(50+(0.5)(100) + 2(0.5)(50))

= 50 ≤ 50 = k(2), continuar

4. m = 4 k(4) = (¼)(50+(0.5)(100) + 2(0.5)(50)

+3(0.5)(50))= 56.25 > k(3)=50, detenerse

La primera cantidad a ordenar es:

Q1 = 100 + 100 + 50 = 250

Se continúa con el procedimiento comenzando en el cuarto mes.

1. m = 1; comienza en el mes 4.

k(1) = 50

2. m = 2 k(2) = (½)(50+(0.5)(210))

= 72.50 > k(1), detenerse

La cantidad de la segunda orden es: Q4 = 50

Se continúa con el procedimiento comenzando en el quinto mes.

1. m = 1; comienza en el quinto mes.

k(1) = 50

Como no hay información adicional, el procedimiento se detiene en Q5 = 210.

De acuerdo con las demandas de los cinco meses, se ordenará tres veces, al

principio del primero, cuarto y quinto meses. Las cantidades a ordenar son las

siguientes: Q1 = 250, Q4 = 50 y Q5 = 210, sin embargo, cuando se disponga de

cada nuevo pronóstico para un periodo posterior, las cantidades a partir del mes

cinco se deben volver a calcular.

4.2. Algoritmo de Wagner-Whitin

Este algoritmo tiene el mismo objetivo que algunos enfoques heurísticos,

minimizar el costo variable de inventario, costo de ordenar (preparar) y el

mantener inventario durante el horizonte de planeación. La diferencia es que el

algoritmo de Wagner-Whitin genera una solución de costo mínimo que conduce a

una cantidad óptima a ordenar iQ . El procedimiento de optimización está basado


77

en programación dinámica; evalúa todas las maneras posibles de ordenar para

cubrir la demanda en cada período del horizonte de planeación. Su elegancia

estriba en que no considera todas las políticas posibles; para un horizonte de n

períodos, el número de políticas posibles es 2 n-1. Se observa el hecho de que una

orden debe de satisfacer toda la demanda para cierto número de periodos. Esto

es, una cantidad óptima a ordenar, digamos Qi satisface:

j

i kQ ak

para alguna j ≥ i (4.7)

y 1 0i il Q

para toda i = 1,2,3,...,n – 1 (4.8)

iQ es el número de unidades ordenadas en el periodo i para cubrir la demanda

hasta el periodo j, con la siguiente orden colocada en el periodo j + 1. Este

concepto usado en los modelos heurísticos, reduce el número de políticas que se

examinan a una cantidad del orden de n2, lo cual significa que el algoritmo ignora

muchas de las políticas.

Wagner-Whitin sustituye al EOQ para el caso de demanda irregular. Sin embargo,

como es un poco difícil de entender, normalmente no se aplica en la industria. Su

mayor ventaja es que sirve como estándar para medir la efectividad de otros

algoritmos para tamaño de lote dinámico.

Se establecerá formalmente el algoritmo usando la notación definida. Sea ,t lK el

costo de colocar una orden para cubrir la demanda de los periodos t, t + 1,…, l,

suponiendo que el inventario al principio del periodo t y al final del periodo l es

cero. Matemáticamente, este costo es:

, ( )l

t l jj t lK k h j t a

(4.9)

1 1,2,...,t N 1, 2,...,l t t n

Ahora se determina el costo mínimo del periodo 1 al suponiendo que no debe

haber inventario restante al final del periodo . La ecuación para este mínimo se

puede encontrar de manera recursiva, si es este mínimo, estará dado por:


78

* *1,2,..., 1 ,minl t l t t lK K K , 1,2,...,l N (4.10)

*0K Se define como cero, y el valor de la solución de costo mínimo esta dado por

*nK .

Ejemplo 4.2. Considere el ejemplo 4.1.

Para 1l se tiene

1, 1( 1) 50 0.5(0) $50.00

l

l jj lK k h j a

Donde la suma de un índice mayor a uno menor(es decir, de 2 a 1) se define como

cero. El costo óptimo, si no se tiene inventario al final del periodo uno, es

* *1 1 0 1.1min 0 50 $50.00tK K K

Para calcular 1,2K y 2,2K se tiene:

2

1,2 1 1( 1) 50 0.5(110) $100.00jj

K k h j a

2

2,2 2 1( 2) 50 0 $50.00jj

K k h j a

Se tiene para calcular el costo mínimo para los primeros dos periodos:

* *2 1,2 1 ,2mint t tK K K

* *0 1,2 1 2,2min ,K K K K

min 0 100,50 50

$100.00

Es sencillo realizar estas operaciones con una hoja de cálculo. En la tabla 4.2 se

presentan los cálculos del ejemplo completos; los datos del problema se repiten

para que sea claro. En lugar de calcular ,1tK se calcula 1 ,t t lK K en las celdas y

*lK es el valor mínimo de cada columna.

Los cálculos en una columna con índice menor deben completarse antes de

comenzar con la siguiente columna.


79

Por ejemplo existen varias soluciones óptimas alternativas, todas con un costo

total de $225.00. Para encontrar las cantidades a ordenar se observa que el índice

del renglón representa el periodo en el que se colocó la orden que cubre la

demanda del periodo especificado por el índice de la columna. Se comienza con el

último periodo (5) y se trabaja hacia atrás, como el costo mínimo ($225.00) para el

periodo 5 ocurre en el renglón 5, en el periodo 5 se ordena solo para ese (Q5 =

210). La demanda del periodo 5 quedó satisfecha con una orden en el periodo 5,

entonces se procede al periodo 4. El mínimo para la columna 4(175) se alcanza en

los renglones 2,3 y 4, por lo que se tienen soluciones óptimas alternativas; se elige

el renglón 3 de manera arbitraria. Así se ordena en el periodo 3 para los periodos

3 y 4(Q3 = 100). Como se colocó una orden en el periodo 3, se examina a

continuación el periodo 2, que también tiene mínimos alternativos (100) en los

renglones 1 y 2. Arbitrariamente se elige el renglón 1; se ordena en el periodo 1

para los periodos 1 y 2(Q1 = 200). Se debe verificar que (Q1 = 100, Q2 = 100, Q3 =

100, Q5 = 210); (Q1 = 100, Q2 = 150, Q4 = 150, Q5 = 210) y (Q1 = 100, Q2 = 200, Q5

= 210), todas son soluciones óptimas.

Tabla 4.2. Ejemplo resuelto por el algoritmo Wagner-Whitin

Periodo, l 1 2 3 4 5Demanda pronosticada, al 100 100 50 50 210Costo fijo, k 50 50 50 50 50Costo de inventario, h 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5t 1 ,t t lK K

1 50 100 150 225 6452 100 125 175 4903 150 175 3854 175 2805 225

*lK 50 100 125 175 225

4.3. Modelo de inventarios para productos perecederos

Hay numerosos mercados que operan con productos perecederos, como es el

caso de productos vegetales, frutas, pescados, cárnicos, lácteos, conservas,

bebidas, medicinas, etc. En general todo tipo de mercancías sensibles a la

temperatura, humedad, luz, al paso del tiempo, etc.


80

El manejo de estos productos implica un elevado control por parte de las

empresas que comercializan este tipo de mercancías, con el objetivo de darles

salida antes de su caducidad evitando con ello pérdidas de rentabilidad

importantes. Lo mismo ocurre con productos afectados por obsolescencia y

demandas de los mercados estacionales o puntuales. A continuación se exponen

los pasos a seguir para la aplicación de dicho modelo:

1. Estudio de mercado.

2. Calcular ganancia unitaria (Gu) y el valor de la pérdida unitaria (Pu).

Gu = Vi - Cu (4.11) Pu = Cu - Vr (4.12)

valor de venta/ unidad (Vi)

costo unitario (Cu)

valor de recuperación/ unidad (Vr)

3. Calcular las alternativas disponibles para el número de unidades que van a ser

ordenadas. Para cada alternativa determinar la utilidad condicional para los

valores de la distribución demanda.

La utilidad condicional para cada combinación demandada seria:

Si Q > a; UQ, a = (Gu • a) – • {(Pu • (Q - a)} (4.13)

Si Q ≤ a; UQ, a = Gu • Q (4.14)

UQ, a negativo: indica pérdida

Para Q >a más unidades fueron ordenadas, mientras algunas fueron vendidas

al final de la semana. Para Q ≤ a, las unidades demandadas son menos o igual

a la cantidad ordenada y así, ninguna unidad es dejada al final de la semana.

4. Se calcula la ganancia esperada asociada a cada tamaño de Q.

,1 1

( )m n

e Q a iQ a

G Q U P a

Se decide por el valor máximo de eG Q (4.15)

Ejemplo 4.3. Un supermercado de la cadena ideal en la Habana compra la caja

de tomates a Acopio de la provincia de Artemisa a $40.00 pesos y la vende a

$70.00. Si los tomates no son vendidos en una semana, en la siguiente el costo


81

bajará $10.00 por caja. Determine el tamaño de la orden para optimizar la

ganancia esperada; la distribución de la demanda se muestra en la tabla 4.3.

1. Estudio de mercado.

2. Valor de ventas/unidad (Vi) = $70.00

Costo unitario (Cu) = $40.00

Valor de recuperación/unidad (Vr) = $10.00

Tabla 4.3. Tabla de distribución de la demanda del ejemplo 4.3.

Demanda(ai)(cajas/semana)

tarja Frecuencia(f)

ProbabilidadP(ai) = f/n

1 I 1 0.052 II 2 0.103 IIII 4 0.204 IIIII III 8 0.405 IIII 4 0.206 I 1 0.05

Total (n) 20 ∑ = 1.00

Utilizando las ecuaciones (4.11) y (4.12) se calcula la ganancia unitaria (Gu) y

el valor de la pérdida unitaria (Pu).

Gu = $30.00

Pu = $30.00

No necesariamente tienen que ser iguales.

3. En el ejemplo las posibles órdenes son de 1,2,3,4,5,6 cajas (Q =

1,2,3,4,5,6).Utilizando las ecuaciones (4.13) y (4.14) se calcula la utilidad

condicional para cada combinación demandada, los resultados se muestran en

la tabla 4.4.

4. Utilizando la ecuación (4.15) se calcula la ganancia esperada asociada a cada

tamaño de Q.

1eG = 30• 0.05 + 30 • 0.10 + 30 • 0.20 + 30 • 0.40 + 30 • 0.20 + 30 • 0.05 = 30.0

2eG = 57 3eG = 78 4eG = 87 5eG = 45

La máxima eG Q es la 4eG = 87.00


82

Respuesta: El tamaño de orden que optimiza la ganancia esperada es de 4 cajas

que producirán una ganancia de $87.00.

Taba 4.4. Resultados de los cálculos de la utilidad condicional.

U1,1 = 30 • 1 = 30U1,2 = 30 • 1 = 30U1,3 = 30 • 1 = 30U1,4 = 30 • 1 = 30U1,5 = 30 • 1 = 30U1,6 = 30 • 1 = 30

U2,1 = 30 • 1 - 30(2 - 1) = 0U2,2 = 30 • 2 = 60U2,3 = 30 • 2 = 60U2,4 = 30 • 2 = 60U2,5 = 30 • 2 = 60U2,6 = 30 • 2 = 60

U3,1 = 30 • 1 - 30(3 - 1) = - 30U3.2 = 30 • 2 - 30(3 - 2 ) = 30U3.3 = 30 • 3 = 90U3.4 = 30 • 3 = 90U3.5 = 30 • 3 = 90U3.6 = 30 • 3 = 90

U4,1 = 30 • 1 - 30(4 -1) = - 60U4,2 = 30 • 2 -30(4 - 2) = 0U4,3 = 30 • 3 - 30(4 - 3) = 60U4,4 = 30 • 4 = 120U4,5 = 30 • 4 = 120U4,6 = 30 • 4 = 120

U5,1 = 30 • 1 - 30(5 - 1) = - 90U5,2 = 30 • 2 - 30(5 - 2) = - 30 U5,3 = 30 • 3 - 30(5 - 3) = 30 U5,4 = 30 • 4 - 30(5 - 4) = 90U5.5 = 30 • 5 = 150U5.6 = 30 • 5 = 150

U6,1 = 30 • 1 - 30(6 - 1) = -120U6,2 = 30 • 2 - 30(6 - 2) = - 60U6,3 = 30 • 3 - 30(6 - 3) = 0U6,4 = 30 • 4 - 30(6 - 4) = 60U6,5 = 30 • 5 - 30(6 - 5) = 120U6,6 = 30 • 6 = 180

4.4. Costo unitario mínimo

Este procedimiento es similar al de Silver-Meal. La diferencia radica en que la

decisión se basa en el costo variable promedio por unidad en lugar de por periodo.

Sea:

' ( )K m = Costo variable promedio por unidad si la orden cubre m periodos.

Siguiendo el mismo razonamiento que en el caso Silver-Meal:

'

1

(1)k

Ka

(4.16)

' 2

1 2

(2)k ha

Ka a

(4.17)

' 2 3

1 2 3

2(3)

k ha haK

a a a

+ +=

+ + (4.18)


83

Y en general:

' 2 3

1 2

2 ... ( 1)( )

...m

m

k ha ha m haK m

a a a

+ + + + -=

+ + (4.19)

Igual que antes la regla de detención es:

' ( 1)> ( )K m K m+ (4.20)

y Q1 = a1 + a2 + ...+ am (4.21)

De nuevo, el proceso se repite a partir del periodo (m + 1)

La limitación tanto del enfoque Silver-Meal como de Costo unitario mínimo es que

consideran un lote a la ves, y el costo por periodo (o unitario) puede variar mucho

de un periodo a otro.

Ejemplo 4.4. Considere el ejemplo 4.1 utilizando el método de costo unitario

mínimo.

Solución: los datos básicos son los mismos de antes.

1. m = 1, Comienza en el mes 1. Utilizando la ecuación (4.16): ' 50(1)

100K =

2. m = 2 Utilizando la ecuación (4.17):

' '50 (0.5)(100)(2) 0.5 (1) 0.5

100 100K K

,

continuar


' '50 0.5(100) 2(0.5)(100)(3) 0.6> (2) 0.5

100 100 50K K

+ += = =

+ +

detenerse

La primera orden se coloca en el primer mes y se calcula mediante la expresión

(4.21): Q1 = 100 + 100 = 200, el procedimiento continua a partir del tercer mes.

1. m = 1, comienza en el mes 3. Utilizando la ecuación (4.16): ' 50(1) 1

50K = =



84

' '50 (0.5)(50)(2) 0.75< (1) 1

50 50K K

,

continuar


' '50 0.5(50) 2(0.5)(210)(3) 0.92> (2) 0.75

50 50 210K K

detenerse

El segundo punto a ordenar es el tercer mes y utilizando la expresión (4.21): Q3 =

50 + 50 + 210 = 310

Como no se dispone de más información, el procedimiento se detiene. Se

ordenará dos veces una en el primer mes y otra en el tercero. Las cantidades a

ordenar son 200 y 310, respectivamente.

4.5. Balanceo de periodo fragmentado

Este método intenta minimizar la suma del costo variable para todos los lotes.

Recuerde del análisis del EOQ que si la demanda es uniforme, el costo de ordenar

(preparar) es igual al costo de almacenar. Aunque este argumento es correcto

para demanda uniforme, no es cierto para demanda irregular, en la que el

inventario promedio no es la mitad del tamaño de lote. Sin embargo, puede

proporcionar soluciones razonables para la demanda irregular.

Para obtener el costo de mantener el inventario se introduce el periodo

fragmentado, definido como una unidad del artículo almacenada durante un

periodo. Entonces, diez unidades en inventario durante un periodo son iguales a

diez periodos fragmentados, lo que es igual a cinco unidades en inventario durante

dos periodos. Sea

PFm = periodo fragmentado para m periodos

Así, PF1 = 0 (4.22)

PF2 = a2 (4.23)

PF3 = a2 + 2a3 (4.24)

PFm = a2 + 2a3 +…+ (m - 1) am (4.25)


85

El costo de mantener el inventario es h(PFm), y se quiere seleccionar el horizonte

de pedidos m que cubra, en términos generales, el costo de ordenar k, esto es,

elegir m tal que:

mk = h(PF ) (4.26)

O sea mPF = k

h (4.27)

que también es la regla de detención. La razón k/h se llama” factor económico de

periodo fragmentado”. El tamaño de la orden es:

Q1 = a1 + a2 +…+am (4.28)

Y el proceso se repite comenzando con el periodo m + 1. El método heurístico

Balance de periodo fragmentado también se conoce como de costo total mínimo y

es uno de los que mas se aplican en la industrial.

Ejemplo 4.5. Considere el ejemplo 4.1 aplicando el método de Balanceo de

periodo fragmentado.

Solución: el factor de periodo fragmentado = k/h = 50/0.5 = 100 = FPF. Se calcula

el valor fragmentado con la ecuación (4.25).

1. Comenzando con el mes 1.

PF1 = 0

PF2 = 100 ≤ 100 = FPF

PF3 = 100 + (2) (50) = 200 > FPF detenerse

El punto para ordenar es en el mes 1, la cantidad a ordenar mediante la ecuación

(4.28) es: Q1 = 100 + 100 = 200 que cubre dos meses.

2. Comenzando en el mes 3:

PF1 = 0

PF2 = 50 < FPF

PF3 = 50 + (2) (210) = 470 > FPF detenerse


86

El segundo punto para ordenar es en el mes tres y la cantidad a ordenar utilizando

la ecuación (4.28) es: Q2 = 50 + 50 = 100 que también cubre dos meses.

Como el mes cinco es el último mes, se ordena la demanda del mes cinco al

principio de ese mes. Se colocan tres órdenes en el periodo de cinco meses en el

primero, tercero y quinto mes, con cantidades a ordenar de 200, 100 y 210,

respectivamente. De nuevo, cuando se disponga de datos posteriores al mes

cinco, el resto de las cantidades debe volver a calcularse.


1. La librería de una universidad vende varios pósteres. Uno de ellos, el jefe, tiene

los pronósticos de la demanda para los próximos seis meses reflejados en la

tabla 4.5.

Colocar una orden cuesta $20.00, el costo de un póster es de $2.00 y el costo

por mes de almacenar un póster es de $0.05.

Tabla 4.5. Tabla de demanda de pósteres.

E F M A M J55 70 105 120 115 95

Para cada uno de los siguientes métodos desarrolle el patrón de

reabastecimiento para cubrir los seis meses.

a) Método Silver-Meal.

b) Costo unitario mínimo

c) Balanceo de periodo fragmentado

Solución:

a) Método Silver-Meal.

k = $20.00

h = $0.05 unidad - mes

Se aplica la ecuación (4.4) (ecuación de Silver-Meal) para calcular K (m)

1. m = 1 k(1) = 55

2. m = 2 k(2) = (½)(20+(0.05)(70))


87

=11.75 ≤ 55 = k (1), continuar

3. m = 3 k(3) = (⅓)(20+(0.05)(70) + 2(0.05)(105))

= 103.03> 11.75 = k (2), detenerse

La primera cantidad a ordenar es:

Q1 = 55 + 70 = 125 pósteres

Se continúa con el procedimiento comenzando en el tercer mes:

1. m = 1 k(1) = 105

2. m = 2 k(2) = (½)(20+(0.05)(120))

=13 ≤ 105 = k (1), continuar

3. m = 3 k(3) = (⅓)(20+(0.05)(120) + 2(0.05)(115))

= 113 >13 = k (2), detenerse

La segunda cantidad a ordenar es:

Q3 = 105 + 120 = 225 pósteres

Se continúa con el procedimiento comenzando en el quinto mes:

1. m = 1 k(1) = 115

2. m = 2 k(2) = (½)(20+(0.05)( 95))

=12 ≤ 115 = k (1), continuar

Como no hay información adicional se detiene el proceso.

Q5 = 115 + 95 = 210

De acuerdo con las demandas de los seis meses, se ordenará tres veces,

al principio del primero, tercero y quinto mes. Las cantidades a ordenar son

las siguientes Q1 = 125, Q3 = 225 y Q5 = 210. Sin embargo, cuando se

disponga de cada nuevo pronóstico para un periodo posterior, las

cantidades a partir del mes seis se deben volver a calcular.

b) Costo unitario mínimo.

k = $20.00

h = $0.05 unidad - mes


88

1. m = 1 comienza en el mes 1. '

1

20(1) 0.36

55

kK

a

2. m = 2 ' 2

1 2

20 0.05(70)(2) 0.188<0.36

55 70

k haK

a a

continuar

3. m = 3 ' 2 3

1 2 3

2 20 0.05(70) 2(0.05)(105)(3) 0.14<0.18

55 70 105

k ha haK

a a a

continuar

4. m = 4 ' 2 3 4

1 2 3 4

2 3(3)

k ha ha haK

a a a a

20 0.05(70) 2(0.05)(105) 3(0.05)(120)0.61<0.14

55 70 105 120

detenerse

La primera orden se coloca en el primer mes y se calcula mediante la

expresión (4.21): Q1 = 55 + 70 + 105 = 230. El procedimiento continua a

partir del cuarto mes:

1. m = 1 comienza en el mes 4: '

1

20(1) 0.166

120

kK

a

2. m = 2 ' 2

1 2

20 0.05(115)(2) 0.11<0.16

120 115

k haK

a a

continuar

3. m = 3 ' 2 3

1 2 3

2 20 0.05(115) 2(0.05)(95)(3) 0.15>0.11

120 115 95

k ha haK

a a a

detenerse

La segunda orden se coloca en el cuarto mes y se calcula con la expresión

(4.21): Q4 = 120 + 115 = 235. El procedimiento continua a partir del sexto

mes:

1. m = 1 comienza en el mes 6. '

1

20(1) 0.21

95

kK

a Q6 = 95


89

Como no se dispone de más información, el procedimiento se detiene. Se

ordenará tres veces una en el primer mes, otra en el cuarto y por último en

el sexto. Las cantidades a ordenar son 230, 235 y 95 respectivamente.

c) Balanceo de periodo fragmentado

Solución: el factor de periodo fragmentado = k/h = 20/0.05 = 400 = FPF. Se

calcula el valor fragmentado con la ecuación (4.25).

1. Comenzando con el mes 1:

PF1 = 0

PF2 = 70 ≤ 400 < FPF

PF3 = 70 + 2(105) = 280 < FPF

PF4 = 70 + 2 (105) + 3(120) = 640 > FPF detenerse

El punto para ordenar es en el mes uno, la cantidad a ordenar mediante la

ecuación (4.28) es: Q1 = 55 + 70 + 105 = 230 que cubre tres meses.

2. Comenzando en el mes 4:

PF1 = 0

PF2 = 115 < FPF

PF3 = 115 + (2) (95) = 315 < FPF

El segundo punto para ordenar es en el mes cuatro y la cantidad a ordenar

se calcula utilizando la ecuación (4.28) es: Q4 = 120 + 115 + 95 = 330 que

también cubre tres meses.

Se colocan dos órdenes en el periodo de seis meses, en el primero y cuarto

mes, con cantidades a ordenar de 230 y 330, respectivamente. De nuevo,

cuando se disponga de datos posteriores al mes seis, el resto de las

cantidades debe volver a calcularse.

2. En la EPEM de Villa Clara se estima la demanda de fusibles para el próximo

año (tabla 4.6). Independiente de su tamaño el costo de colocar la orden es de

$3232.32 y almacenar una caja durante un mes costaría $0.050. Se pide como


90

la demanda es irregular utilizar el método Silver-Meal y determinar la cantidad

correcta a ordenar.

Datos

k = $3232.32 K (m) = 1/m (k + ha2 + 2ha3 +…. + (m-1)ham)

h = $0.050

K (1) = $ 3232.32

K (2) = $1798 k (2) = (½) (3232.32+ (0.050) (7191))

Tabla 4.6. Demanda mensual de fusibles en la EPEM.

E F M A M J4229 7191 7108 17836 32329 33035$3232 $1798 $1438 $1755 2713 $3653k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) $3232

k(1)J A S O N D

35271 17124 36442 35957 36082 37393

$2508 $2250 $3070 $3911k(2) k(3) k(4) $3232 $2529 $2947

k(1) k(2) k(3)

Como k(6) > $ 3232 entonces

Q1 = 4229 + 7191 + 7108 + 17836 + 32329 = 68694 unidades

Como k(5) > $ 3232 entonces

Q2 = 33035 + 35271 + 17124 + 36442 = 121873 unidades

Q3 = 35957 + 36082 + 37393 = 109433 unidades


1. Copextel vende discos compactos (CD) de 700 mega bits. El jefe, tiene la

información de los pronósticos de la demanda para los próximos seis meses

reflejados en la tabla 4.7.

Colocar una orden cuesta $15.00, el costo de un CD es de $1.00 y el costo

anual de mantener inventario es 15%.


91


reabastecimiento para cubrir los 12 meses.

a) Algoritmo Wagner-Whitin

b) Balanceo de periodo fragmentado

c) Costo unitario mínimo

Tabla 4.7. Pronósticos de la demanda de discos compactos.

E F M A M J3249 5131 5158 15826 30349 31025

J A S O N D33231 15154 34482 33257 34092 35343

2. En la EIMPUD de Villa Clara se estima la demanda de cubetas plásticas para

el próximo año (tabla 4.8). Independiente de su tamaño el costo de colocar la

orden es de $2121.32 y almacenar una caja durante un mes costaría $0.040.

Se pide como la demanda es irregular utilizar el método Silver-Meal y

determinar la cantidad correcta a ordenar.

Tabla 4.8. Pronósticos de la demanda de cubetas plásticas en la EINPUD.

E F M A M J3118 6080 6007 16725 21218 22024

J A S O N D14160 16013 35331 34846 35071 36282

3. En un correo se tiene el pronóstico de 12 meses para la venta de postales a la

población, dicho pronóstico se puede ver en la tabla 4.9.

Tabla 4.9. Pronóstico de la venta de postales.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

580 440 288 202 150 102 68 50 38 24 15 12

Colocar una orden cuesta $20.00, el costo de una postal es de $2.00, y el

costo anual de mantener el inventario es el 20%.


reabastecimiento para cubrir los 12 meses y el costo asociado.

a) Método de Silver-Meal.

b) Costo unitario mínimo


92

c) Balanceo de periodo fragmentado.

4. Una empresa eléctrica firmó pedidos de rollos de cable de cobre calibre 12

para los seis siguientes periodos de planeación los cuales se muestran en la

tabla 4.10. Cada vez que fabrica el cable se realiza una preparación que

cuesta $150.00. Un equipo de reducción de preparaciones ha trabajado para

reducir el tiempo de preparación e implantará sus resultados dentro de tres

periodos; el costo de preparación se reducirá a $100.00. El costo actual de

fabricación de un rollo es de $5.00, pero un aumento en el precio del cobre

incrementara este costo 20% en el periodo 3. un nuevo contrato de trabajo se

llevará a cabo en el periodo cinco, aumentando $1 al costo del rollo. El costo

de almacenar un rollo es $1.00 en los primeros dos periodos y $2 en los

subsecuentes. Encuentre una política óptima de tamaño de lote óptimo para

esa empresa.

Tabla 4.10. Pedidos de rollo de cable calibre 12.

E F M A M J60 100 10 200 120 15

5. En las tablas 4.11 y 4.12 se dan los pronósticos de demanda para doce

semanas, colocar una orden cuesta $15.00, el costo unitario es de $2.00 y el

costo anual de mantener inventario el 20%.

Tabla 4.11. Tabla de pronósticos 1.

semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

demanda 50 70 30 90 80 10 100 55 60 65 80 45

Tabla 4.12. Tabla de pronósticos 2.

semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

demanda 120 80 - 40 - - 75 85 - 60 - 90

a) Para ambas tablas, evalué la cantidad a ordenar para 4, 8 y 12 semanas de

demanda.

b) Basándose en su respuesta haga observaciones sobre los métodos con los

que se podría resolver este problema.


93

6. Cierta empresa produce sistemas de anclaje para instalaciones

almacenamiento, casas móviles, etcétera. Tienen un contrato con una

compañía de energía eléctrica para abastecerlos de anclas para postes de

servicio. La compañía de energía eléctrica ha ordenado anclas para los

siguientes seis meses. La cantidad, el costo de preparación, el costo variable y

los costos de almacenar son:

Tabla 4.13. Datos del problema

Mes, i 1 2 3 4 5 6

Demanda, ai 1500 100 700 1200 200 1700

Costo fijo, k i 150 150 150 200 200 200

Costo variable, ci 10.0 10.5 10.0 11.0 11.0 11.0

Costo de almacenar, hi 1.0 1.0 1.0 1.5 1.5 1.5

a) Encuentre una política de tamaño óptimo de lote.

7. Una empresa pronostica la demanda de su producto principal para los

próximos cinco meses, esta información se muestra en la tabla 4.14. El costo

de colocar la orden independientemente de su tamaño es de $60.00 y se

estima que el costo de almacenaje durante un mes es de $1.00.

Tabla 4.14. Pronóstico del producto.

mes 1 2 3 4 5demanda 100 100 50 50 210

Desarrolle el patrón de reabastecimiento para cubrir los 5 meses utilizando el

algoritmo de Wagner-Whitin.

8. Se pronostica que la demanda de cierto perfume para el próximo semestre es

de 10, 10, 25, 30, 25, 50. Independientemente del tamaño de la orden su costo

es de $10.00 y por concepto de almacenaje el costo es de 0.05 mensualmente.

El algoritmo de Wagner-Whitin es una herramienta muy valiosa en el cálculo de

soluciones óptimas y sustituye al modelo EOQ cuando la demanda es irregular,

determine mediante este algoritmo el patrón de reabastecimiento.

9. Raúl tiene un pequeño restaurante ubicado en el centro de la ciudad pero esta

teniendo problemas para decidir las cantidades y el momento en que ordenar

la harina de pan para la preparación de algunos platos, teniendo en cuenta lo


94

que utilizó en el año anterior realizó un pronóstico de la cantidad de harina de

pan que usaría durante el próximo año. Las cantidades en libras del producto

pronosticadas son: 15, 15, 20, 25, 25, 40, 45, 45, 10, 10, 15, 60. Lo irregular de

la demanda se debe a que en los meses de verano y en fin de año hay una

mayor demanda de los servicios ofrecido por el restaurante. El costo de hacer

una orden independientemente de la cantidad es de $5.00 y el costo de

almacén es de $0.50 por mes. Encuentre la cantidad correcta a ordenar y en

que momento.









95

Capítulo 5. Modelo de inventario estocástico para un solo producto sin

costo de lanzamiento

Este capítulo de manera particular abordará el modelo de período único sin

costo de lanzamiento. Este trata de un modelo de inventario en el cual la

demanda de un periodo es una variable aleatoria, que tiene una distribución de

probabilidad conocida.

Características del modelo de período único sin costo de lanzamiento:

1. Se analiza un solo tipo de producto.

2. Se considera un periodo único de planificación.

3. La demanda es aleatoria, con una función de probabilidad conocida y se

denota como:

( )a : Función de densidad probabilística de a para distribuciones continuas

y función de probabilidad para distribuciones discretas.

( )a

t : Función de densidad acumulada de a para distribuciones continuas y

función de probabilidad acumulada para distribuciones discretas,

donde como es conocido:

Si a es una variable que sigue una distribución continua:

0

( ) ( )t

at a da (5.1)

Si (a) es una variable que sigue una distribución discreta:

0

( ) ( )t

aa

t a

(5.2)

Los costos para este modelo son:

k: Costo de lanzamiento = 0.

h: Costo por mantener unidades en inventario al final del periodo, es

decir, se produce o adquiere más de lo demandado (costo / unidad

física).

u: Costo por déficit de unidades al final del periodo, es decir, se produce

o adquiere menos de lo demandado (costo / unidad física).

Capítulo 5. Modelo de inventario estocástico para un solo producto sin costo de lanzamiento

96

c: Costo unitario de producción (costo / unidad física).

En h y u como es un solo periodo, no se expresa en (costo / unidad física -

periodo).

Tiene que cumplirse que u c.

4. El objetivo del modelo es encontrar un valor r (tamaño de lote) que haga

mínimo el costo total.

Valor esperado del costo de mantener inventarios cuando se producen o

adquieren r unidades de producto:

0

( ) *( )* ( ) ;r

E h r h r a a da r a ; (5.3)

r - a: unidades en inventario

Valor esperado del costo por déficit cuando se producen o adquieren r

unidades de producto:

( *) *( )* ( ) ;r

E a r u a r a da r a

(5.4)

( *) *( )* ( )r

E a r u a r a

(5.5)

a – r: unidades en déficit.

Valor esperado del costo de producción o adquisición de r unidades de

producto:

rcrCE **)( (5.6)

Valor esperado del costo total cuando se producen o adquieren r unidades

de producto:

0

( *) *( )* ( ) *( )* ( ) *r

r

E CT r h r a a da u a r a da c r

(5.7)

0

( *) *( )* ( ) *( )* ( ) *r

r

E CT r h r a a u a r a c r

(5.8)

Derivando respecto a r se obtiene:


97

( *)a

u cr

u h

(5.9)

Es decir, el valor de r* puede hallarse:

Para distribuciones continuas de la demanda:

*

0

( )r u c

a dau h

(5.10)

Para distribuciones discretas de la demanda:

*

0

( )r

a

u ca

u h

(5.11)

En el caso particular que la demanda sea una variable con distribución continua

que sigue una distribución normal con media y variancia 2, se tendrá que

encontrar el valor de Z que corresponde a una probabilidad con valor u c

u h

y

se planteará entonces:

x

Z (5.12)

Despejando x e igualando al valor de r*, quedará:

Zr ** (5.13)

Probabilidad de déficit (α):

*P a r (5.14)

*

( )r

a da

*

( )a r

a

(5.15)

Cantidad a pedir cuando la demanda es aleatoria y se realiza una revisión

periódica del nivel de inventario.

Sean:

x: Nivel de inventario en el momento de la revisión.

r*: Nivel óptimo del inventario.


98

Si x ≥ r* no se pide.

Si x < r* se piden r*- x unidades del producto:

( *)u c

ru h

(5.16)

Inventario de reserva para garantizar una probabilidad de déficit inferior a

α con un tiempo de reaprovisionamiento fijo.

Sean:

NI: Nivel de inventario.

M: Consumo del producto por unidad de tiempo.

α: Probabilidad de déficit.

T: Tiempo de reaprovisionamiento.

r*: Nivel de inventario máximo.

So: Inventario de reserva.

Figura 5.1 Representación gráfica del inventario de reserva.

( )P a M (5.17)

( )M

a da

( )M

a

(5.18)

0 *S M T (5.19)

*M Z (5.20)

Cuando NI = So se piden r* unidades para que la probabilidad de déficit no sea

mayor de α durante el tiempo de reaprovisionamiento. Estas unidades arribarán

transcurridas T unidades de tiempo.

NI

So

T


99

Ejemplo 5.1. Suponga que la demanda de una pieza de repuesto para aviones

tiene la función de probabilidad siguiente:

0a todoPara 0

0a todoPara 40

1

)(

e 40

a

a

Los costos de producción son de $500.00 por pieza y el costo de existir déficit

es de $5000.00 por pieza. Si el costo de mantener un producto en inventario es

de $100.00. Determine el número óptimo de piezas de repuesto que se deben

producir para minimizar el costo total.

Solución:


Datos:

c = $500.00/unidad

h = $100.00/unidad

u = $5 000.00/unidad

Demanda aleatoria, con distribución uniforme.

Modelo de período único sin costo de lanzamiento.

r* = ?

Utilizando la fórmula (5.10):*

40

0

5000 500 1( *)

5000 100 40

r a

r dae

Donde:5000 500

( *) 0.885000 100

r

Y:* * *

040 40 40

00

1

40

r ra a r

dae e e e

Como: 88.01 40

*

er

88.0140

*

er

Aplicando logaritmo neperiano en ambos términos, para despejar r*.


100

12.0lnln 40

*

er

Pero:40

*ln 40

* re

r

y ln0.12 2.12

Entonces:*

2.1240

r 40*12.2* r * 84r piezas

Habrá que producir un lote de 84 piezas para minimizar el costo total.


1. En una planta de gas licuado de petróleo, se realiza el llenado de cilindros

para brindar el servicio al sector residencial. En la planta de llenado de

dichos cilindros, se tiene que la demanda sigue una distribución uniforme

entre 800 y 900 cilindros diarios. Se conoce que el costo por mantener

inventario es de $0.01/cilindro y el costo de producción hasta el proceso de

llenado, es de $5.60/ cilindro. En caso de que la empresa trabajara con

déficit de cilindros para llenar, su costo sería de $7.47/cilindro. A partir de lo

datos que se conocen acerca del sistema de inventario de la planta de

llenado, se desea conocer:

a) ¿Qué cantidad de cilindros deben arribar diariamente para minimizar los

costos del proceso?

b) Si se conoce que el llenado de cilindro es aleatorio y sigue una

distribución normal, con media diaria de 788 cilindros y desviación típica

de 56 cilindros, además se conoce que el reaprovisionamiento ocurre en

el plazo de un día. ¿Cuánto hay que tener en inventario para que en el

momento de recomenzar el llenado la probabilidad de déficit no sea

mayor del 5%?

Solución:


Datos:

c = $5.60/cilindro

h = $0.01/cilindro


101

u = $7.48/cilindro

Demanda aleatoria, donde a sigue una distribución uniforme.

1 Para 800 900

100( )

0 Para otro valor

a

a

Modelo de período único sin costo de lanzamiento.

a) r*=?


7.48 5.60( *) 0.25

7.48 0.01r


**

800800

1 1( *)

100 100

rr

r da a

25.0800*100

1*)( rr

Despejando r*:

80010025.0* r

* 825r cilindros

Para minimizar los costos del proceso deben arribar al área de llenado

825 cilindros al día.

b) a N (788; 56)


788 56*1.96 897.76 898 /M cilindros días

Como T = 1 día


0 898*1 898S cilindros


102

Se debe tener en inventario 898 cilindros para que la probabilidad de

déficit no sea mayor del 5%.

2. Un central azucarero utiliza bagazo como combustible para sus calderas. El

consumo diario de bajazo es aleatorio y sigue una distribución normal, con

media de 1.5 t y varianza de 0.25 t. Como la producción de bagazo depende

de la molida, se hace necesario tener cierta cantidad de vagazo que permita

salvar sus variaciones y en el caso de que el bagazo se acabe, habrá que

utilizar petróleo como combustible. El costo de producción del bagazo se

puede considerar nulo, ya que es un subproducto de la fabricación del

azúcar. Se ha calculado que el almacenamiento de una tonelada de bagazo

cuesta $100.00 y se sabe además, que el costo de una tonelada de

petróleo es de $350.00.

Bajo estas condiciones, calcule la cantidad de bagazo que se debe tener

disponible para minimizar los costos totales.

Solución:


Datos:

c = $0.00

h = $100.00

u = $350.00

La demanda es aleatoria y sigue una distribución normal con:

μ = 1.5 t

σ = 0.5 t

Modelo de periodo único sin costo de lanzamiento.

r* = ?

350 0( *) 0.77

350 100

u cr

u h

Buscando en la tabla de distribución normal el valor de Z, por debajo del

cual hay una probabilidad acumulado igual a 0.77, se tiene que:


103

Z0.77 = 0.72

0.77* * 1.5 0.5(0.72) 1.86r Z t

La cantidad de bagazo que es necesario tener para minimizar los costos

totales de 1.86 t.

3. La siguiente demanda de un producto determinado es aleatoria, con la

siguiente función de probabilidad para una semana:

Si el tiempo de reaprovisionamiento es de tres semanas, ¿Qué nivel de

inventario de reserva será necesario para garantizar que la probabilidad de

déficit o rotura en el inventario sea como máximo de 0.10?

Solución:

Datos:

α = 0.10

T = 3 semanas

Demanda aleatoria con distribución uniforme.

So = ?

So = M • T

Cálculo de M: probabilidad 20

( ) ( )M

a M a da 20 1

0.1020M

da 201

0.1020 M

a 20

0.1020

M

18 /M unidades de producto semana

So = 18 • 3 = 54 unidades de producto

1 si 0 a 20

20( )

0 Para otro valor

a


104


1. En una empresa textil la demanda de telas para una semana sigue una

distribución uniforme, entre 70 y 120 m. Cada metro de tela cuesta $30.00 y

la tasa de interés anual para evaluar el costo del inventario es del 7%. La

existencia de faltante implica un costo de $40.00 por m. Determine:

a) La cantidad de m de tela que deben arribar semanalmente a la empresa

para minimizar los costos totales.

b) Si se conoce que el reaprovisionamiento ocurre en el plazo de un día ¿a

qué nivel de inventario debe hacerse un pedido para que la probabilidad

de que ocurra déficit sea de 0.05?

2. Una empresa vende la tonelada de producto terminado en $1500.00. se

conoce que el costo de producción de dicho producto es de $1000.00 por

tonelada. La demanda del producto es aleatoria siguiendo una distribución

normal, con media de 25 t y una desviación típica de 5 t. La política óptima

en el momento actual garantiza una probabilidad de 0.20 de que la

demanda este por debajo del valor del lote óptimo. Se ha realizado un

estudio que da como resultado, que en los próximos meses la demanda de

dicho producto aumentará, siguiendo una distribución normal, con media de

40 t y permaneciendo igual el valor de la desviación típica. En relación con

los costos, se conoce que para los próximos meses solo cambiará el costo

de producción que aumentará a $1200.00 por tonelada.

a) Calcule para las condiciones de los próximos meses, cual será el

tamaño de lote económico para este producto.

b) Si queda un 20% del lote óptimo del mes actual en inventario, ¿Cuánto

habría que solicitar para el próximo mes?

3. Una empresa necesita una determinada materia prima para la producción

de varios artículos. La demanda de dicha materia prima sigue una

distribución uniforme entre 50 y 100 unidades. El costo de producción de la

materia prima es de $120.00/unidad y en caso de que se acabe, se incurre

en un costo de $750.00/unidad. Por cada unidad de materia prima que

quede al final del mes se debe pagar $50.00.


105

Bajo estas condiciones determine:

a) Cantidad de materia prima que debe tener disponible la fábrica para

minimizar los costos totales en ese periodo de tiempo.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra déficit bajo la política óptima?

c) Si el tiempo de reaprovisionamiento es de 10 días, ¿Qué inventario de

reserva será necesario para garantizar que la probabilidad de que ocurra

la ruptura del inventario sea como máximo de 0.05?

4. La cantidad de vehículos necesarios cada año para una mina es una

variable aleatoria, que tiene la distribución de probabilidad siguiente:

Tabla 5.1. Tabla de distribución de probabilidad.

Número de vehículos 6 7 8 9 10 11 12Probabilidad 0.10 0.15 0.30 0.20 0.15 0.05 0.05

Se ha determinado que el costo de un vehículo es de $18000.00 y que la

pérdida que se produce por la falta de uno de estos equipos es de

$90000.00.

a) ¿Cuál será la cantidad óptima de estos vehículos que debe solicitarse

cada año?

b) Si al inicio de este año hay tres vehículos que están disponibles para

trabajar, ¿cuánto se solicitaría de acuerdo con la política óptima?

5. El Ministerio de la agricultura desea estimar el plan de importación de

determinado herbicida que se utiliza durante cierto periodo en las empresas

citrícolas. Se ha estimado que el consumo global de herbicida dependerá de

muchos factores y puede considerarse aleatorio con una distribución

uniforme entre 5000 y 5600 toneladas. Se conoce que el costo de

adquisición de este producto es de $600.00 por tonelada, que el herbicida

que no se utilice durante ese periodo habrá que almacenarlo para el

próximo año a un costo de $300.00 por tonelada y que si no alcanza el

herbicida, esto implicará pérdidas estimadas en $2400.00 por cada tonelada

de déficit del producto.

Con esta información se desea determinar:


106

a) Cantidad de herbicida que se debe adquirir para minimizar los costos

totales, si en el la actualidad se dispone de 400 toneladas de dicho

producto.

b) Probabilidad de déficit bajo la política óptima.

c) Si durante el periodo de utilización del herbicida, determinada empresa

consume una cantidad diaria que sigue una distribución normal con

media de 10 toneladas y desviación típica de 2 toneladas, y se conoce

que el tiempo de reaprovisionamiento del producto es de cinco días.

¿Cuánto hay que tener en el inventario en el momento de hacer un

pedido para garantizar que la probabilidad de déficit no sea mayor que

0.05?

6. El número de especialistas necesarios para el diseño de un determinado

sistema es una variable aleatoria que depende de la dificultad que vaya

adquiriendo este y tiene la siguiente distribución de probabilidad:

Tabla 5.2. Tabla de distribución de probabilidad.

Especialistas 1 2 3 4 5 6Probabilidad 0.30 0.20 0.25 0.14 0.08 0.03

Para dicho trabajo se contrataran especialistas extranjeros a los cuales se

les pagará $5000.00; sin embargo, si el número de contratados inicialmente

no es suficiente, entonces deben de contratarse más a los que se les

pagará $10000.00 a cada uno.

De acuerdo con esta situación determine:

a) ¿Cuántos especialistas deben ser contratados inicialmente?

b) Para la respuesta anterior: ¿cuál es la probabilidad de que sea

necesario contratar más especialistas?

7. Suponga un producto para el cual la demanda tiene la función de

probabilidad siguiente:


107

501

Para todo a 050

( )

0 Para todo a 0

ea

a

Se sabe que el costo de adquirir cada producto nuevo es de $1000.00 y que

el costo de existir déficit es de $10000.00. Si el costo de mantener un

producto sobrante en inventario es de $100.00. ¿Cuántos productos hay

que pedir para minimizar el costo total?

8. En el ejercicio propuesto número siete debió ser calculado el nivel óptimo

de inventario para un sistema con demanda aleatoria por medio de la

expresión:

hu

cur

*)(

Suponga que el resultado obtenido fue r* = 111 productos, y que se ha

instituido este sistema y se va adoptar un sistema de revisiones periódicas

al principio de cada mes. Al comienzo del mes siguiente al de la

implantación de dicho sistema hay una existencia de 48 productos,

determine si es necesario hacer un nuevo pedido y, en caso afirmativo,

cuántos productos se deben solicitar.

9. La demanda de un producto sigue una distribución uniforme entre 50 y 100

unidades para un periodo determinado. Se conoce que el costo de

almacenamiento por unidad para el periodo es de $2.00, el costo de

producción es de $1.00 por unidad y el costo por tener déficit es de $5.00

por unidad. Determine:

a) ¿Cuál es lote óptimo de reaprovisionamiento?

b) Si se conoce que el tiempo de reaprovisionamiento es exactamente ¼

del periodo, ¿a que nivel de inventario debe hacerse un pedido para que

la probabilidad de que ocurra déficit sea de 0.05?

10.La demanda de cierto producto sigue una distribución Poisson con media de

cinco artículos por quincena. Se conoce que el costo de adquisición de un


108

artículo es $20.00, que el costo de almacenaje es de $5.00 para cada

quincena y que se pierden $30.00 por cada artículo en déficit. Se desea

hacer las peticiones al final de cada mes. ¿Cuál es el nivel óptimo de

inventario para este artículo cada mes? Si al final del primer mes implantado

el sistema quedaran tres unidades en inventario, ¿cuál sería la cantidad

óptima a reaprovisionar?

11. El consumo de un determinado producto es una variable aleatoria que

sigue una distribución uniforme entre 70 y 130/kg cada mes. Se ha

determinado el costo de adquisición del producto y es de $100.00/kg; si al

final queda producto el costo en que se incurre es de $60.00/kg y si el

producto adquirido no alcanza, se incurre en un costo de $630.00/kg.

Bajo las condiciones anteriores, determine:

a) ¿Cuál seria la cantidad óptima del producto que se debe solicitar?

b) ¿Cuál es la probabilidad de déficit bajo la política óptima?

c) Si se va a implantar el sistema con de revisión periódica y al inicio de

este mes hay 50 kg en inventario, ¿cuánto habrá que solicitar?

5.3. Bibliografía

1. Àlvarez-Buylla Valle, Mercedes (1987). Modelos Económico-Matemáticos II.

Tomo II, Capítulo 4 “Modelos de inventario”, pp. 421-450, La Habana,

Editora ISPJAE.

2. Marrero Delgado, F. (2009 [b]) Conferencia “Modelos de inventarios

estocásticos”, disponible en http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 5

de marzo de 2011].






110


Los inventarios, por lo general, representan un porcentaje considerable de

capital total invertido en una organización de negocios (25% o más). Un

inventario desbalanceado provoca efectos negativos en la utilidad o dicho en

otras palabras la ineficiencia en el control de inventarios para un nivel dado de

flexibilidad afecta al monto de los inventarios que se requieren. Se presentan a

continuación tres sistemas muy eficientes en el control de estos.

6.1. Modelo de revisión continua

Se conoce también como sistema de punto de pedido, sistema de cantidad fija

o sistema Q. En el mismo, a partir de determinada cantidad de inventario se le

va haciendo entrega de los productos a los clientes internos o externos, hasta

llegar a un momento en que queda almacenada cierta cantidad (punto de

reorden), en el cual se emite un pedido que será siempre por la misma

cantidad, aunque el tiempo entre un pedido y otro pasa a ser variable (Figura

6.1), siendo esta última la característica principal de este sistema: cantidad fija

y frecuencia variable.

Figura 6.1. Sistema de gestión de inventarios de punto de pedido (Sistema

Q).

Q

Q

QQ

Unidades

R

S´

LTiempoL


111

Este sistema es conveniente utilizarlo cuando se trata de productos o

materiales fáciles de contabilizar; de costo elevado que requieren un estricto

control, la variedad de surtidos no es muy grande y preferentemente cuando

hay cercanía con el proveedor o cliente.

Q: Cantidad solicitada.

L: Plazo de entrega.

R: Punto de pedido o de reorden.

S´: Stock de seguridad.

Generalmente son cuatro las situaciones que pueden presentarse con el

Sistema de revisión continua, estas son:

1. Considerar la demanda y el plazo de entrega constantes.

2. Considerar el plazo de entrega aleatorio y la demanda constante.

3. Considerar la demanda aleatoria y el plazo de entrega constante.

4. Considerar aleatorios tanto la demanda como el plazo de entrega.

Para fines prácticos resulta más conveniente utilizar la tercera de las

situaciones, pues la cuarta solo es soluble mediante el empleo de la simulación

lo que hace compleja su real aplicación. En la figura 6.1, se muestra la

mencionada consideración número tres, donde se percibe una demanda

aleatoria que va agotando el inventario, hasta llegar al punto de reorden (R), en

el cual se solicita una cantidad “Q” de productos o materiales que demora un

plazo de tiempo “L” en llegar. Estas dos magnitudes como puede observarse se

mantienen fijas cada vez que se realiza un pedido. Por otra parte, también se

percibe que a diferencia del modelo EOQ, en este se reconoce la existencia de

un plazo de entrega y el comportamiento aleatorio de la demanda.

De la propia figura 6.1 se evidencia que el diseño del modelo de revisión

continua tiene como parámetros básicos: la cantidad a solicitar (Q), el punto de

reorden (R) y el inventario o stock de seguridad (S). Existen dos enfoques

principales para el cálculo del inventario de seguridad que son:

Enfoque probabilístico, en el cual a partir del nivel de servicio fijado en la

estrategia, se determina el percentil que le corresponde y se calcula el


112

stock de seguridad, siendo su resultado más aproximado, pero dada la

sencillez del procedimiento resulta muy fácil de aplicar en la práctica.

Enfoque basado en el nivel de servicio, que considera la existencia de

faltantes durante el plazo de entrega, siendo su resultado más exacto

pero también menos práctico en cuanto a su empleo frecuente.

Procedimiento para el diseño del Sistema de revisión continua, cuando el

plazo de entrega es constante y la demanda aleatoria.

1. Determinación del tamaño óptimo del lote (Q):

* 2akQ

h (6.1)

2. Determinación del inventario de seguridad (S’):

' 'S Z (6.2)

' L (6.3)

Donde:

Z: Percentil de la distribución normal, obtenido para el nivel de servicio

fijado.

' : Desviación estándar en el plazo L.

: Desviación estándar de la demanda, referidas a las mismas unidades

que el plazo L.

3. Determinación del punto de reorden (R):

' 'R M S (6.4)

Donde:

M’: Demanda promedio en el intervalo L.

4. Administración del sistema a partir de los parámetros calculados:

Se procede a solicitar una cantidad “Q” cada vez que el inventario llega al

punto de reorden “R”, debiéndose estar atentos a los cambios de demanda,

pues una variación muy pronunciada puede implicar que el sistema tenga

que ser rediseñado.


113

En la práctica, estos parámetros se ajustan de acuerdo a las condiciones

específicas de la compañía, así por ejemplo, la cantidad a solicitar puede

ajustarse a la capacidad del medio de transporte y el punto de reorden a la

capacidad del almacén. Además, el sistema se aplica tantas veces como

productos existan con esta concepción de administración del inventario,

siendo lo más difundido en las empresas el empleo de tarjetas CARDEX

que permitan el seguimiento del consumo.

Ejemplo 6.1. El producto X tiene una demanda semanal de 100 unidades con

una desviación estándar de 10 unidades semanales, siendo su costo de

producción de $120.00 cada uno. La tasa anual de inventario es de un 5% y el

costo de preparación de cada orden es de $35.00, laborándose 52 semanas al

año. Se requiere un plazo de una semana para recibir cada pedido, una vez

que es solicitado. Según la estrategia planteada se desea garantizar un nivel

de servicio al cliente para este producto de un 95%. Diseñe un modelo de

administración de inventario de revisión continua, determinando:

a) Cantidad a solicitar.

b) Inventario de seguridad.

c) Punto de reorden.

Solución:


h = i • c = 0.05 / año • $120.00 / unidad = $6.00 / unidad – año


2(5200)(35)246 /

6Q unidades orden

b) Utilizando las fórmulas (6.2) y (6.3):

Buscando (1-) = 0.95 en una tabla de distribución normal, se obtiene que

el percentil correspondiente tiene un valor de Z =1.64

' = 10 unidades

S´ = 16 unidades


114

c) Utilizando la fórmula (6.4)

M’ = 100 unidades/semana • 1 semana = 100 unidades

R = 100 unidades + 16 unidades = 116 unidades

Cada vez que el inventario del producto llegue a 116 unidades, se realizará

un pedido por una cantidad de 246 unidades, siendo variable el tiempo

entre una y otra solicitud, manteniéndose un inventario de seguridad de 16

unidades.

6.2. Modelo de revisión periódica

Conocido también como sistema de frecuencia fija o sistema “P”, se

caracteriza porque en el mismo la frecuencia de suministro se mantiene fija,

mientras que la cantidad solicitada en cada pedido, constituye una magnitud

variable (Figura 6.2). Su aplicación se recomienda, en presencia de productos

muy difíciles de contabilizar, de costo reducido que no requieren de un estricto

control, cuando en una misma solicitud se incluyen varios productos y además

si el proveedor se encuentra en un lugar relativamente alejado.

Figura 6.2. Sistema de gestión de inventario de revisión periódica.

PP

Tiempo

S´

T

LL

Q1

Q2

Q2Q1

Unidades


115

Qi: Cantidad solicitada.

T: Inventario objetivo.

L: Plazo de entrega.

S´: Stock de seguridad.

P: Frecuencia de revisión.

Procedimiento de aplicación del Sistema de revisión periódica con plazo

de entrega constante y demanda aleatoria.

Como puede observarse en la figura 6.2 los parámetros principales que

constituyen el diseño de un sistema de revisión periódica, son: la frecuencia de

suministro, el inventario objetivo, el inventario de seguridad y la cantidad a

solicitar en cada revisión, siendo éstos los que a continuación aparecen en las

diferentes expresiones de cálculo.

1. Determinación del intervalo periódico de revisión:

2kP

ah (6.5)

Donde:

k: Costo de preparación del pedido, en unidades monetarias.

a: Demanda del producto, en unidades / unidad de tiempo.

P: Frecuencia de suministro, en unidades de tiempo.

h: Costo de inventario, en unidades monetarias / unidad de tiempo – unidad.

2. Determinación del inventario de seguridad:

' 'S Z (6.6)

' P L (6.7)

Z: Percentil para el nivel de servicio fijado.

: Desviación estándar de la demanda referida al plazo P+L.

’: Desviación estándar en el plazo P+L.

3. Determinación del inventario objetivo:

' ´T M S (6.8)


116

M´: Demanda promedio del inventario en el intervalo P+L.

4. Cálculo de la cantidad a solicitar:

Q = T – Disponibilidad de inventario (6.9)

5. Administración y corrección del sistema:

Se procede a gestionar el inventario con los parámetros calculados en el

diseño. Al igual que en el sistema de revisión continua, estos parámetros de

diseño son corregidos para fines prácticos, atendiendo a las características

específicas de las organizaciones.

Es evidente que en el Sistema ‘P’, siempre se requerirá mayores niveles de

inventario que en el tratado en el epígrafe anterior, pues tanto el inventario de

seguridad como el inventario objetivo, deben estar referidos a un periodo de

tiempo “P + L”, superior al “L” que se emplea en la revisión continua. Además,

también en este sistema de revisión periódica, es evidente el nexo existente

con la estrategia de servicio al cliente trazada, pues el porcentaje que se fije en

la misma, constituye la base para calcular el inventario de seguridad, siendo

éste quien garantiza el cumplimiento de la misma, como elemento

imprescindible en toda cadena de suministros.

Ejemplo 2.15. En el ejemplo anterior suponga que en el momento del diseño,

existe una disponibilidad de stock de 200 unidades. Diseñe un modelo de

administración de inventario de revisión periódica, determinando:

a) Frecuencia de revisión

b) Inventario de seguridad

c) Inventario objetivo

d) Cantidad a solicitar en el momento del diseño

Solución:


h= i • c = 0.05 / año • $120/ unidad = $6/ unidad – año

a) Utilizando la fórmula (6.5):

2(35) 0.047 52 semanas / año 2.46 semanas

5200(6)P


117

b) Utilizando las fórmulas (6.6 y 6.7):


el percentil correspondiente tiene un valor de Z =1.64

' 1 2.46 semanas • 10 unidades/semana = 18.6 = 19 unidades

S´ 1.64(19) unidades/semana = 31.16 = 31 unidades

c) Utilizando la fórmula (6.8):

M’ = 100 unidades/semana • (1 + 2.46) semanas = 346 unidades

T = 346 unidades + 31 unidades = 377 unidades

d) Aplicando la fórmula (6.9):

Q = 377 – 200 = 177 unidades

Se mantendrá un inventario objetivo de 377 unidades, a partir del cual se

realizan las entregas, realizándose un pedido cada 2.46 semanas, los que

demoran una semana en llegar. La cantidad a solicitar sería la diferencia entre

el nivel máximo de existencias (inventario objetivo) y la disponibilidad de ese

momento. Así por ejemplo, en el momento del diseño se solicitarán 177

unidades, la cual no tiene necesariamente que repetirse en otras solicitudes.

La comparación de los resultados de este problema con el del epígrafe anterior,

demuestra que los niveles de inventario que se manejan en este sistema, son

superiores al caso de la revisión continua.

6.3. Sistema ABC de control de inventarios

Cuando se desea perfeccionar la administración de inventarios, siempre el

primer paso será clasificar el inventario. El método más utilizado para ello es la

clasificación ABC, también denominada diagrama de Paretto, Curvas ABC o

regla 80-20.

Por regla general, entre el 5 y el 15% de los artículos en inventario representan

entre el 70 y el 80% del valor total del mismo. Estos artículos son clasificados

como "artículos A". Los "artículos B" representan aproximadamente el 30% del

total de artículos almacenados, pero sólo un 15% del valor total del inventario.

Los "artículos C" constituyen generalmente el 50 - 60% de todos los artículos


118

almacenados pero representan un modesto 5 ó 10% del total del valor del

inventario.

Figura 6.3. Representación gráfica del análisis ABC

Un principio subyacente a la aplicación del análisis ABC es que cada tipo de

artículos requiere distintos niveles de control. Así, a mayor valor de inventario,

mayor control sobre el mismo. La clase A deberá ser controlada más

estrictamente, sin embargo, las clases B y C requieren una atención menos

estricta.

El primer paso en la aplicación del análisis ABC es la clasificación de todos los

artículos en cada una de las clases. Esto significa que a cada ítem en el

almacén se le asigna un valor contable (de costo o de adquisición). Dicho valor

se obtiene al multiplicar el coste unitario por la demanda anual de cada artículo.

Posteriormente todos los artículos son ordenados en función de su valor. La

clasificación resultante puede que no sea exacta, pero normalmente se

aproxima bastante a la realidad en gran parte de las empresas.

El siguiente paso en el análisis ABC es determinar el nivel de control para cada

tipo de ítem almacenado. El mayor esfuerzo de control se ha de realizar sobre

los artículos "clase A". Esto se traduce en la necesidad de realizar una correcta

previsión de la demanda y en implementar un estricto sistema de registro de los

movimientos en almacén. Al mismo tiempo se debe implementar el sistema

más apropiado de control de inventario (determinístico, probabilístico; de

cantidad o período fijo, etc.).

0

100

80

60

20

40

Porcentaje de uso anual en dólares

50 100

Porcentaje de artículos en inventario

AB

C

clases porcentaje del porcentaje de

volumen monetario los artículos

A

B

C

80

15

5

15

30

55


119

Los artículos B y C requieren un control menos estricto. Así se pueden

mantener inventarios de seguridad mayores en este tipo de ítems sin temor a

incurrir en costos excesivamente elevados. En estos casos no es necesario

implementar sistemas de control de inventarios, siendo suficiente el mero

control visual directo.

Ejemplo 6.3. Una empresa tiene contabilizados sus 10 artículos que mantiene

en inventario, en la tabla 6.1 se muestra la información referente a dicha

empresa.

Tabla 6.1. Información sobre los artículos.

código unidades Costo unitario

c 775 2890g 1000 102d 175 7140e 500 2040b 250 26180i 600 68f 300 2380h 50 1445a 500 15300

j 125 102

=4275

Los resultados de esta clasificación se muestran en la tabla 6.2. Se ordenaron

por su volumen.

Tabla 6.2. Clasificación de los artículos utilizando el análisis ABC.

código unidades Costo Unitario Volumen(u.m) % del volumenen (u.m.)

Clasificación

a 500 15300 7650000 38,94b 250 26180 6545000 33,31

A A 72,25%

c 775 2890 2239750 11,40d 175 7140 1249500 6,36e 500 2040 1020000 5,19

BBB 22.95%

f 300 2380 714000 3,63g 1000 102 102000 0,52h 50 1445 72250 0,37i 600 68 40800 0,21j 125 102 12750 0,06

CCCCC 4,78%

=4275 =19646050 =100,00 =100,00


120


1. Un artículo se comercializa durante 50 semanas al año. El costo de compra

es de $10.00 / unidad, con un costo de ordenar de $250.00 / pedido,

incurriéndose en un 33% anual de costo de almacenamiento por unidad. La

demanda promedio es de 515 unidades por semana con una desviación

estándar de 25 unidades semanales y el tiempo de entrega por parte del

proveedor es de 2 semanas. La empresa desea tener un nivel de servicio

del 95%. Se desea determinar la cantidad a pedir y el punto de reorden para

el artículo.

Solución:

Utilizando la expresión matemática para el lote económico simple (6.1) se

obtiene el lote económico:

* 2(250)(515 50)1975

0.33(10)Q unidades

El punto de reorden para un nivel de servicio del 95%, corresponde a un

valor de Z = 1,65.

El punto de reorden estará determinado por las ecuaciones (6.2), (6.3) y

(6.4).

R= (515) (2) + 1,65 (1.41) (25)

R= 1088 unidades

2. Pensemos en el caso de la cantidad económica de orden donde la demanda

anual es a = 1000 unidades, la cantidad económica de la orden Q = 200

unidades, la probabilidad deseada de no sufrir desabasto es de un 95%, la

desviación estándar de la demanda durante el periodo de entrega es de 25

unidades y el tiempo de entrega es 15. Determine el punto de reorden.

Suponga que la demanda es para un año de 250 días laborables.

Solución:

4250

aM unidades por día

' 4(15) 60M M plazo de entrega unidades


121


el percentil correspondiente tiene un valor de Z =1.64.

' ' 1.64(25) 41S Z unidades

' ' 60 41 101R M S unidades

Como solución se tiene que cuando los artículos en existencia bajan a 101

unidades, se tiene que pedir 200 unidades más.

3. La demanda diaria de un producto dado normalmente esta distribuida con

una media de 60 y una desviación estándar de 7. La fuente de suministro es

confiable y tiene un tiempo de entrega constante de seis días. El costo por

colocar el pedido es de $10.00 y los costos anuales por mantener el

inventario son de $0.50 por unidad. No hay costos por desabasto y las

órdenes atrasadas son atendidas tan pronto como llega la orden. Suponga

que las ventas tienen lugar los 365 días del año. Encuentre la cantidad de la

orden y el punto de reorden necesarios para satisfacer una probabilidad del

95% de no sufrir desabastos durante el tiempo de entrega.

Solución:

En este problema tenemos que calcular la cantidad de la orden Q, como el

punto de reorden R.

60M $10.00k $0.50h

7 60(365)a 6L

La cantidad óptima de la orden será:

* 2 2(60)(365)(10)936

0.50

akQ unidades

h

Para calcular el punto de reorden se calcula la cantidad de producto que

usaremos durante el tiempo de espera y sumarlas a las existencias de

reserva.

' 6 7 17.15L

El valor de z para un 95% es 1.64.


122

' ' 1.64(17.15) 28.126S Z

' 60(6) 360M M plazo de entrega

' ' 360 28.126 388R M S unidades

Para resumir la política derivada de este ejemplo, se coloca un pedido de

936 unidades siempre que la cantidad de unidades restantes en el

inventario baje a 388.

4. La demanda diaria de un producto es de 120 unidades, con una desviación

estándar de 30 unidades. El periodo ente revisiones es de 4 días y el tiempo

de entrega es de 7 días. En el momento de la revisión, las existencias

suman 130 unidades. Si lo aceptable es un riesgo de desabasto de solo 1%,

¿cuántas unidades deberíamos ordenar?

Solución:

14P

7L

30

' 30 14 7 137.47P L

Para 1% el valor de Z = 2.33

' ' 2.33(137.47) 320.30S Z

' 120(14 7) 2520M M plazo de entrega L P

' ´ 2520 320.30 2840T M S

2840 130 2710Q T Disponibilidad de inventario

La cantidad a ordenar es 2710 unidades.

5. Una compañía tiene 200 unidades de un producto en existencia y coloca

órdenes cada dos semanas, cuando el vendedor acude a sus instalaciones.

La demanda del producto es, en promedio, de 20 unidades diarias, con una

desviación estándar de cinco unidades. El tiempo de entrega para que le

llegue el producto es de 7 días. La gerencia ha establecido la meta de un

95% de probabilidad de no quedarse sin existencia del producto.


123

El vendedor vendrá por la tarde, cuando la compañía tiene 180 unidades en

existencia (suponiendo que se venderán 20 durante el día). ¿Cuántas

unidades deberíamos ordenar?

Solución:

14P

7L

5

' 5 14 7 23P L

Para 95% el valor de Z = 1.64

' ' 1.64(23) 37.62S Z

' 20(14 7) 420M M plazo de entrega L P

' ´ 420 37.62 457.62T M S

457.62 180 278Q T Disponibilidad de inventario


1. ¿Por qué es aconsejable clasificar los bienes en grupos, como lo hace la

clasificación ABC?

2. Compare los modelos de revisión continua y revisión periódica, atendiendo

a su concepción, parámetros principales de diseño, condiciones de

aplicación y niveles de inventario, que se maneja en cada uno de ellos.

3. Seleccione una empresa que le resulte conocida e identifique las políticas

de inventario que en la misma se aplican. De ser procedente diseñe para el

insumo, semiproducto o producto terminado más representativo, alguno de

los sistemas de administración de inventarios tratados en el presente

capítulo.

4. Una empresa produce 5 tipos de artículos, cuyas demandas promedios y

costos se muestran. Los mismos se almacenan para luego ser enviados a

los clientes, deseándose en particular definir la forma de administrar el

inventario del producto 1, para lo cual se conoce que cada orden cuesta

alrededor de $25.00, mientras que la tasa anual de inventario es de 0.02. La

demanda de este producto tiene además una desviación estándar de 50

unidades anuales, requiriéndose una semana para entregarlo al cliente. Se


124

laboran 52 semanas al año durante 5 días por semana, siendo el nivel de

servicio al cliente fijado de un 90%. Bajo estas condiciones, determine:

a) Realice una clasificación ABC para el inventario de estos productos.

b) Diseñe el sistema de administración de inventarios que se ajusta a las

condiciones del producto 1. Tome como referencia los resultados del

inciso a).

Tabla 6.3. Información sobre los artículos de la empresa.

Artículo Demanda(unidades/año)

Costo unitario($/unidad)

1 6000 62 130 43 80 44 850 35 69 5

5. Una empresa produce 5 tipos de artículos, cuyas demandas promedios y

costos se muestran en la tabla 6.4. Los mismos se almacenan para luego

ser enviados a los clientes, deseándose en particular definir la forma de

administrar el inventario del producto A, para lo cual se conoce que cada

orden cuesta alrededor de $30.00, mientras que la tasa anual de inventario

es de 0.015. La demanda de este producto tiene además una desviación

estándar de 68 unidades anuales, requiriéndose una semana para

entregarlo al cliente. Se laboran 52 semanas al año durante 5 días por

semana, siendo el nivel de servicio al cliente fijado de un 95%. Bajo estas

condiciones, determine:

a) Realice una clasificación ABC para el inventario de estos productos.

b) Diseñe el sistema de administración de inventarios que se ajusta a las

condiciones del producto A. Tome como referencia los resultados del

inciso A.

Tabla 6.4. Información sobre los artículos de la empresa.

Artículo Demanda(unidades/año)

Costo unitario($/unidad)

A 5000 4B 120 3C 90 3D 900 2E 83 4


125

6. Supóngase que se está administrando un almacén que distribuye cierto tipo

de desayunos a distribuidores menores. La demanda promedio para estos

alimentos es de 200 cajas /día, el tiempo de reabastecimiento por parte del

proveedor es de 4 días, y tiene una desviación estándar de la demanda

diaria de 150 cajas. El costo de compra es de $10.00 / por solicitud, con un

costo de ordenar es de $20.00 / pedido, incurriéndose en un 20% anual de

costo de almacenamiento por unidad. Se desea tener un nivel de servicio

del 95%.

Diseñe un sistema de revisión continua teniendo en cuenta que el almacén

abre 250 días al año.

Resolver el problema anterior mediante un sistema de revisión periódica.

7. En el almacén territorial de una empresa que fabrica utensilios domésticos,

la demanda diaria es de 200 envases con una desviación estándar de 150

envases / día. El costo de cada envase es de $10.00, mientras que la tasa

anual de inventario es de un 20 % anual, laborándose 250 días al año.

Cada vez que se emite una orden de compra, se incurre en un costo de

$80.00, requiriéndose además de 4 días para que llegue dicha orden desde

el proveedor hasta el almacén. Si cuando se realizó el diseño de la

estrategia enfocada hacia el servicio al cliente, se fijó un nivel de servicio

del 95%, determine:

a) Diseñe un sistema de administración de inventarios de revisión continua.

b) Diseñe un sistema de administración de inventarios de revisión

periódica. Determine la cantidad a solicitar si existiera en la primera

revisión una disponibilidad de 800 envases.

c) Compare los niveles de inventario que se manejan en ambos sistemas y

explique por qué difieren de uno a otro.

d) Explique en qué elemento del diseño de los sistemas de administración

de inventarios antes resueltos se garantiza el 95% de nivel de servicio al

cliente fijado en la respectiva estrategia.

e) Determine el costo promedio anual de cada sistema.

f) Rediseñe ambos sistemas para un nivel de servicio del 90% e interprete

los resultados obtenidos.


126

8. La demanda mensual de carne del restaurante ‘La Toscana’ es de 900

libras con una desviación estándar de 130 libras mensuales, lo que

representa 30 libras diarias con una desviación estándar de 5 libras / día.

Dadas las condiciones de refrigeración en que debe almacenarse este

producto, la tasa de inventario es de 30% mensual, siendo el costo de

ordenar de $180.00. Se requiere solo de un día para traer los suministros de

carne desde el proveedor, conociéndose que se trabajan 30 días al mes y

que el nivel de servicio al cliente fijado es de un 98%. Bajo estas

condiciones, determine:

a) Diseñe un sistema de administración de inventarios de revisión continua.

b) Diseñe un sistema de administración de inventarios de revisión periódica.

Determine la cantidad a solicitar, si existiera en la primera revisión una

disponibilidad de 800 libras.

c) Determine el costo promedio anual de cada sistema

d) Suponga que con el objetivo de lograr un máximo aprovechamiento del

medio de transporte utilizado, el gerente del restaurante ha establecido

como política fijar el tamaño de la orden en 450 libras. Rediseñe para

estas condiciones el sistema de administración de inventarios de

revisión continua. Determine el costo promedio anual y compárelo con el

obtenido para las condiciones del inciso a).

e) Considere ahora que el gerente ha establecido como política, fijar el

período de revisión en 10 días. Rediseñe el sistema de administración

de inventarios de revisión periódica. Determine la cantidad a solicitar, si

en la primera revisión existiera una disponibilidad de 800 libras. Calcule

el costo promedio anual y compárelo con las condiciones del inciso b).

f) Realice un listado de elementos prácticos que lleven a que se deban

establecer como políticas, la fijación de determinados valores del

tamaño de la orden y del período de revisión.

9. Una empresa quiere elaborar una política de órdenes para su inventario,

que represente una probabilidad del 95% de no sufrir un desabasto. Para

ilustrar el procedimiento que usted recomienda, use como ejemplo la

política para colocar órdenes de sábanas blancas de percal.


127

La demanda de sábanas blancas de percal es de cinco mil al año. La tienda

abre sus puertas todos los días del año. Cada dos semanas (14 días) revisa

su inventario y coloca una nueva orden. La entrega de las sábanas tarda

diez días. La desviación estándar de la demanda es de cinco por día.

Actualmente tiene 150 sabanas en existencia. ¿Cuantas sábanas debía

ordenar?

10.La demanda anual de un producto es de 15600 unidades. La demanda

semanal es de 300 unidades con una desviación estándar de 90 unidades.

El costo de colocar una orden es de $31.20 y el tiempo para recibirlo de

cuatro semanas. El costo anual por mantener el inventario es de $0.10 por

unidad. Encuentre el punto de reorden de modo que tenga una probabilidad

de servicio del 98%.

Suponga que pida al gerente de producción que disminuya las existencias

de reserva de este artículo en 50%. Si lo hace, ¿Cuál será la nueva

probabilidad del servicio?

11.La demanda diaria de un producto es de 100 unidades, con una desviación

estándar de 25 unidades. El periodo entre revisiones es de diez días y el

tiempo de entrega es de seis días. En el momento de la revisión hay 50

unidades en existencia. Si desea una probabilidad de servicio de 98%,

¿cuántas unidades debía ordenar?

12.La demanda anual de un producto es de trece mil unidades, la demanda

semanal es de 250 unidades con una desviación estándar de 40 unidades.

El costo de colocar una orden es de $100.00 y el tiempo para recibirlo es de

cuatro semanas. El costo anual por mantener el inventario es de $0.65 por

unidad. Para tener una probabilidad de servicio de 98%, ¿cuál debe ser el

punto de reorden?

Suponga que pide al gerente de producción que disminuya en 100 unidades

las existencias de reserva de este producto. En tal caso, ¿cuál seria la

nueva probabilidad de servicio?

13.Copextel ha venido usando un sistema de inventario con periodos fijos que

involucraba contar todos los vienes del inventario cada mes. Sin embargo,

el aumento de los costos laborales ha llevado a esa empresa a considerar

otras alternativas para disminuir la cantidad de trabajo involucrado en los


128

almacenes del inventario, pero sin aumentar sus costos, como serían los de

desabasto. En la tabla 6.5 se tiene una muestra aleatoria de 20 artículos de

Copextel:

a) ¿Qué le recomendaría a Copextel para reducir el costo de la mano de

obra? Ilustre empleando un plan ABC.

b) El artículo 15 es esencial para proseguir con las operaciones. ¿Cómo

recomendaría usted que fuese clasificado?

Tabla 6.5. Muestra aleatoria de 20 artículos de Copextel.

Número del

artículos

Uso anual Número del

artículos

Uso anual

1 $1500 11 $13000

2 12000 12 600

3 2200 13 42000

4 50000 14 9900

5 9600 15 1200

6 750 16 10200

7 2000 17 4000

8 11000 18 61000

9 800 19 3500

10 15000 20 2900


1. Acevedo Suárez, J.A.et al. (2010). La logística moderna en la empresa.

Capitulo 6 “Gestión de inventario” pp. 168-230, La Habana, Editorial Félix

Varela.

2. Cespón Castro, R. y Amador Orellana, M.A. (2003). Administración de la



Sula, Honduras.


producción y operaciones para una ventaja competitiva. Capítulo 14”

Control de inventario” pp. 604-647, Editorial Mc. Graw-Hill. Interamericana.


129

4. Investigación operaciones (2011), disponible en: http://www.investigacion-

operaciones.com/Modelo%20Inventarios.htm [Consultado el 20 de febrero

de 2011]

5. Kaufmann, A. (1981). Métodos y Modelos de la Investigación de

Operaciones. Capítulo 4 “Problemas de inventarios” pp. 195-235, Cuarta

Edición, La Habana, Editorial Pueblo y Educación.

6. Marrero Delgado, F. (2009 [a]). Conferencia “Método ABC”, disponible en

http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 8 de marzo de 2011].






8. Sipper, D y Bulfon, R. L. (2004). Planeación y control de la producción.

Capítulo 6 ¨Inventarios: sistemas de demanda independiente¨, pp. 218 -

313. Editorial Mc. Graw-Hill. Interamericana.

9. Vargas Martínez, J. E. (2011). Administración de inventarios, disponible en

http://www.investigacion-operaciones.com/Lote%20Economico.htm

[Consultado el 30 de marzo de 2011].

130

Capítulo 7. Solución de sistemas de inventario con WINQSB

La toma de decisiones en los distintos niveles de las organizaciones cada vez

es de mayor complejidad, dadas las crecientes restricciones de disponibilidad

de todo tipo de recursos. La ingeniería se ha preocupado de investigar y

proporcionar herramientas que faciliten a los gerentes el abordaje de estos

procesos, teniendo en cuenta que no es recomendable asumir un curso de

acción confiados únicamente en la intuición. La llamada administración

científica aboga por el uso de los métodos cuantitativos en la toma de

decisiones empresariales; de ahí que en los planes de estudio

correspondientes a la formación de profesionales de la ingeniería industrial, la

administración en sus diferentes matices, las finanzas y muchas más

disciplinas, figuren asignaturas que pretendan que los egresados de estas

titulaciones se apropien de un cúmulo de herramientas que les facilite el

análisis y la toma de decisiones en situaciones complejas.

Con la popularización de los computadores personales han surgido programas

y aplicaciones muy completas para el tratamiento de los problemas de gestión

mediante herramientas cuantitativas, las que en su conjunto constituyen los

métodos de la investigación de operaciones.

WINQSB es una aplicación versátil que permite la solución de una gran

cantidad de problemas: administrativos, de producción, de recurso humano,

dirección de proyectos, etc. El modulo tratado en este capítulo es Teoría y

sistemas de inventario.

Este capítulo conduce el desarrollo de ejemplos completos explicados paso a

paso para que el lector pueda dedicarse más al análisis detallado de la solución

de los problemas.

7.1. Método de trabajo con WINQSB

El acceso al WINQSB se puede hacer a través del botón inicio del sistema

operativo Windows, en el menú programas en la carpeta WINQSB.

WINQSB es una herramienta poderosa para el manejo de métodos

cuantitativos, el cual está conformado por 19 módulos:


131

Figura 7.1. Modulos del WINQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for

Windows.

1. Análisis de muestreo de aceptación (Acceptance Sampling Analysis).

2. Planeación agregada (Aggregate Planning).

3. Análisis de decisiones (Decision Analysis).

4. Programación dinámica (Dynamic Programming).

5. Diseño y localización de plantas (Facility Location and Layout).

6. Pronósticos (Forecasting).

7. Programación por objetivos (Goal Programming).

8. Teoría y sistemas de inventarios (Inventory Theory and System).

9. Programación de jornadas de trabajo (Job Scheduling).

10. Programación lineal y entera (Linear and integer programming).

11. Procesos de Harkov.

12. Planeación de Requerimiento de Materiales.

13. Modelación de redes (Network Modeling).


132

14. Programación no lineal (Nonlinear Programming).

15. PERT y CPM (PERT_CPM).

16. Programación cuadrática (Quadratic Programming).

17. Cartas de control de calidad (Quality Control Chart).

18. Sistemas de cola (Queuing Analysis).

19. Simulación de sistemas de cola (Queuing Analysis Simulation).

Una vez seleccionado el módulo con el cual se desee trabajar, aparecerá una

ventana cuyas características iniciales serán similares para todos los módulos

del WINQSB.

Figura 7.2. Ventana inicial para todos los modulos del WINQSB. Fuente:

WinQSB versión 1.0 for Windows.

La parte superior de la ventana llamada TITULO indica el nombre del módulo

seleccionado, en este caso se optó por mostrar el módulo de Programación

Lineal y Entera (Linear and integer programming).

Debajo encontramos los menú Archivo (File) y Ayuda (Help). El menú archivo

comprende las siguientes opciones:


133

Figura 7.3. Menu File de la ventana inicial del WINQSB. Fuente: WinQSB

versión 1.0 for Windows.

- Nuevo problema (New Problem): Permite introducir un nuevo problema.

- Abrir Problema (Load Problem): Abre un problema que se ha guardado

con anterioridad.

- Salir (Exit): Sale del programa.

El menú Ayuda (Help) lo conforman:

Figura 7.4. Menu Help de la ventana inicial del WINQSB. Fuente: WinQSB


- Contenido (Contents): Contenido completo de la ayuda sobre el módulo

seleccionado.

- Buscar ayuda en... (Search for Help on...): Búsqueda de ayuda mediante

palabras claves.

- Cómo usar la ayuda (How to Use Help): Indicaciones (puede ser en

español) de como se utiliza la ayuda para sacarle el máximo provecho.

- Ayuda sobre la ventana actual (Help on Current Windows): Interesante

opción que muestra la ayuda sólo sobre los elementos que aparecen

actualmente en la ventana.

- Acerca de... (About LP-ILP): Muestra datos sobre la creación del

programa e información sobre la licencia.


134

El programa también cuenta con una barra de herramientas que ayuda de

forma significativa la selección de las opciones más usadas.

Figura 7.5. Barra de herramientas de la ventana inicial del WINQSB.

Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.

El primer botón permite la creación de un nuevo problema, el segundo abre un

problema existente, mientras que el tercero, permite salir del programa.

En el centro de la ventana se encuentra un espacio vacío el cual llamaremos

zona de trabajo, donde se procederá a alimentar con información al programa.

7.2. Teoría y sistemas de inventario

La teoría de inventarios es un tema en el cual se aplica el software WINQSB.

La opción Nuevo Problema (New Problem) genera una plantilla en la cual se

introducirán las características de nuestro problema:

Figura 7.6. Ventana de entrada de datos generales de un problema de

teoría de inventario con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for

Windows.


135

A continuación se describirán los diferentes tipos de problemas de inventario

disponibles en la ventana Especificaciones del problema de inventario

(Inventory Problem Specification):

Problema de cantidad económica de la orden para demanda determinística

(Deterministic Demand Economic Order Quantity Problem)

Análisis del problema de cantidad discontinua para demanda determinística

(Deterministic Demand Quantity Discount Analysis Problem)

Problemas con demanda estocástica para un solo periodo (Single-Period

Stochastic Demand Problem)

Problemas con demanda dinámica con existencias de reserva (Multiple-

Period Dynamic Demand Lot-Sizing Problem)

Sistema o modelo de cantidad fija de orden continuo (Continuous Review

Fixed-Order-Quantity System)

Sistema o modelo revisión continua (Continuous Review Order- Up-To

System)

Sistema o modelo de intervalo fijo de revisión periódica (Periodic Review

Fixed-Order-Interval System)

Sistema o modelo de revisión periódica con reaprovisionamiento opcional

(Periodic Review Optional Replenishment System)

A continuación explicaremos algunos de ellos.


1. Ejemplo de un problema de cantidad económica de la orden para demanda

determinística.

La materia prima principal para la creación de un producto cuesta $20.00

por unidad. Cada unidad del producto final requiere una unidad de esa

materia prima. Si la demanda para el próximo año es de 1000 unidades

¿Qué cantidad se debe pedir? Cada orden por más unidades cuesta $5.00

y el costo de almacenaje por unidad por año es de $4.00.


136

En la ventana Especificaciones del problema de inventario (Inventory

Problem Specification) procedemos a digitar los datos básicos para la

solución del problema:


cantidad económica de la orden para demanda determinística con el

WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.

En esta ventana se pone el título del problema, se establece la unidad de

tiempo que por defecto es año (por tanto todos los datos del problema

tienen que estar en año o la unidad especificada) y de todas las opciones

que aparecen en: Problem Type, se trabajará en este texto con la primera,

que aunque el título de la opción hace referencia al modelo EOQ, en la

entrada de datos se puede establecer la información que conlleve al modelo

determinista para un solo producto, luego se da clic en OK y se obtiene la

figura 7.8.


137

Figura 7.8. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de

inventario con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.

Demanda por año (Demand per Año): La demanda para el próximo año

es de 1000 unidades.

Costo de la orden (Order or Setup Cost per Order): Costo de cada nueva

orden ($5.00).

Costo de almacenar una unidad por año (Unit Holding Cost per Año): El

costo de mantener una unidad es de $4.00.

Costo por la falta de una unidad por año (Unit Shortage Cost per Año):

El valor predeterminado es M, equivalente a un costo muy grande.

Costo por la falta de una unidad independiente del tiempo (Unit Shortage

Cost Independent of Time): Valor no suministrado en el ejemplo, por

tanto lo dejamos en blanco.

Razón de reaprovisionamiento o producción por año (Replenishment or

Production Rate per Año): El valor predeterminado es M, equivalente a

una tasa muy grande.

Tiempo de salida para una nueva orden por año (Lead Time for a New

Order in Año): Valor no suministrado en el ejemplo, por tanto lo dejamos

en blanco.

Costo de adquisición de una unidad sin descuento (Unit acquisition Cost

Without Discount): Costo de compra de una unidad ($20.00).


138

Número de puntos de descuento (Number of Discount Breaks): Valor no

suministrado en el ejemplo, por tanto lo dejamos en blanco.

Cantidad de orden si es conocida (Order Quantity If You Known):

cantidad de unidades por pedido, si es conocido. Una vez introducida la

información procedemos a su solución mediante la opción Resolver el

problema (Solve the Problem):

Figura 7.9. Ventana de la obcion Resolver el problema(Solve the

Problem) en la barra de herramientas.

La solución óptima del problema se muestra a continuación:

Figura 7.10. Ventana de resultados de un problema de teoría de


La primera parte muestra un resumen de la información disponible por el

ejemplo (Columna Input Data).

La columna Economic Order Analysis presenta el análisis resultante del

problema y la columna Value los valores de estos.

El número de unidades a pedir por Orden es de 50 unidades, generando un

máximo de 50 unidades de inventario:


139

Figura 7.11. Filas de resultados de un problema de teoría de inventario

con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.

La fila Order Interval in Año nos muestra cada cuanto realizaremos el

pedido de las 50 unidades (en este caso 0,05 equivale a una proporción del

año). El costo total de ordenar unidades y el costo total de mantener

unidades en inventario son de $100.00 y $100.00 respectivamente.



El costo total de compra equivale a $20000.00 (Resulta de la multiplicación

de los $20.00 que vale cada unidad por las 1000 unidades que se van a

pedir el próximo año). El costo total de este sistema por tanto será de

$20200.00



Gráficos resultantes:

Podremos también realizar un análisis gráfico de los costos de este sistema

activando la opción Análisis gráfico de los costos (Graphic Cost Analysis) en

el menú Resultados (Results):


140

Figura 7.14. Ventana del menu Results de un problema de teoría de


Aparecerá una ventana donde indicaremos unos simples parámetros de

visualización del gráfico: Máximo costo, mínimo costo (ambos para el eje Y),

mínima cantidad de reorden y máxima cantidad de reorden. Podremos

pulsar OK sin modificar estos parámetros.

Figura 7.15. Grafico de analisis de costo de un problema de teoría de


Para mostrar un gráfico que señale la intensidad de los pedidos elegiremos

la opción Gráfico de la utilidad del inventario (Graphic Inventory Profile):


141

Figura 7.14. Ventana del menu Results de un problema de teoría de


Figura 7.15. Grafico de utilidad del inventario de un problema de teoría

de inventario con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for

Windows.

2. Ejemplo de un problema con demanda estocástica para un solo periodo.

Un supermercado compra uno de sus artículos a un precio de $50.00 y lo

vende a $75.00. La demanda para el próximo mes tiene un comportamiento

normal con media de 1000 unidades y desviación de 35 unidades. El costo

de hacer una nueva orden es de $25.00. Una unidad faltante en inventario

tiene un costo para la empresa de $70.00.


142

La empresa cuenta con un inventario inicial de 100 unidades. Se desea

prestar un nivel de servicio del 98%, determinar la utilidad del modelo. En la

ventana Especificaciones del problema de inventario (Inventory Problem

Specification) procedemos a ingresar los datos básicos del problema,

seleccionando el modelo de inventario adecuado:


demanda estocástica para un solo periodo con el WinQSB. Fuente:


El problema nos pide trabajar con una demanda con comportamiento

normal:

Figura 7.16. Ventana de ingreso de la distribucion de un problema de

demanda estocástica para un solo periodo con el WinQSB. Fuente:


En el caso que se desee cambiar la distribución simplemente haremos

doble clic con el mouse sobre esta fila hasta aparecer la siguiente ventana:


143

Figura 7.17. Ventana de tipos de distribucion a ingresar en un

problema de demanda estocástica para un solo periodo con el

WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.

Ingresamos el resto de la información:

Figura 7.18. Ventana de entrada de datos, de un problema de demanda

estocástica para un solo periodo con el WinQSB. Fuente: WinQSB


Los nuevos campos son:

Media (Mean): Media o promedio de la demanda en un periodo de

tiempo.


144

Desviación estándar (Standard Deviation): Desviación estándar de la

demanda.

Precio de venta unitario (Unit Selling Price): Precio de venta de cada

unidad.

Costo de la unidad faltante (Unit Shortage Cost): Costo e no tener una

unidad disponible. Puede interpretarse como un costo de oportunidad.

Inventario inicial (Initial Inventory): Cantidad de unidades disponibles al

iniciar el periodo.

Nivel de servicio deseado en el caso de que sea conocido (Desired

Service Level (%) If You Know).

Al resolver el problema tenemos la utilidad esperada del producto

incluyendo los costos de inventario y el nivel deseado de servicio de ese

producto a los clientes.

Los resultados muestran varios aspectos importantes para el análisis:

En el caso de un pedido, este deberá hacerse por cantidad aproximada

de 872 unidades.

El nivel de inventario alcanzará un punto máximo de 972 unidades (le

sumamos 100 unidades disponibles a las 872 que se piden).

El nivel de servicio es del 98%.

La utilidad alcanzada es de $21.349,63.

Además, WINQSB permite realizar un diagnóstico óptimo proponiendo un

nivel de servicio diferente que alcanza una mayor utilidad en el sistema.

Para este caso tenemos:

En el caso de un pedido, este deberá hacerse por cantidad aproximada

de 814 unidades.

El nivel de inventario alcanzará un punto máximo de 914 unidades (le

sumamos 100 unidades disponibles a las 814 que se piden).

El nivel de servicio es del 65,5182%.

La utilidad alcanzada es de $23.1059, 54.


145


1. Un jefe de compras desea conocer la cantidad económica a ordenar de

empaques plásticos para su posterior comercialización. La demanda

anual se estima en 2000 unidades, el costo de una orden es de

$30.00/pedido. Cada empaque se compra a $10.00/unidad y el costo de

almacenaje asciende al 15% anual. Utilizando el módulo de Teoría y

sistemas de inventario del WINQSB calcule:

a) Calcule el tamaño de lote económico.

b) Calcule el número de pedidos a comprar en el año.

c) Calcule el tiempo entre pedidos.

d) Calcule el costo total del manejo de inventarios anual.

2. Una tienda vende equipos de sonido. La demanda histórica mensual de

un reproductor de CD indica que tiene una distribución normal con

media de 28 y desviación estándar de 8. Lleva alrededor de tres meses

que llegue un pedido, una vez colocada la orden. El costo de un equipo

es de $60.00. La tasa de costo de mantener el inventario es de 30%. La

empresa desea conocer que cantidad de equipos deben arribar

mensualmente a la empresa para minimizar los costos totales. Utilice el

modulo de Teoría y sistemas de inventario del WINQSB para resolver

este problema.

3. Una empresa produce bujes a razón de 1000 bujes/día y lo consume en

otra línea de producción a razón de 700 bujes/día. Se conoce que el

costo de lanzamiento es de $50.00 por pedido y el costo de

almacenamiento es de $5.00/unidad. Se sabe además, que la carencia

de este producto originaría graves problemas en la empresa. Haciendo

uso del WINQSB determine:

a) El número óptimo de unidades a producir en cada lote de producción.

b) ¿Cada qué tiempo se debe comenzar la producción de un lote?

c) Determine los costos totales anuales del inventario.


146

4. La planta de conexiones, perteneciente a la empresa Ciegoplast, se

encarga de la fabricación de los codos de 90°. La materia prima que se

utiliza es suministrada por un proveedor externo y una vez que es

pedida llega el lote completo. En la planta se consumen 3000 toneladas

al año. El costo por mantener en inventario una tonelada es de $0.50, y

el costo de ordenar es de $50.00/pedido. Debido a las características

de las producciones que se realizan no se permiten faltantes. Utilizando

el software WINQSB determine la cantidad óptima de orden y el costo

total.

5. La empresa Súchel S.A. requiere de 250 toneladas por año de glicerina

para ejecutar la producción de los tipos diferentes de sus jabones de

tocador. El proveedor es capaz de suministrarle el material señalado a

una razón de 1000 toneladas por año y a un costo de $500.00/tonelada.

De acuerdo a la situación de sus inventarios, la glicerina tiene un costo de

almacenamiento de un 30 % al año. La existencia de faltantes pudiera

generar costos irrecuperables para la empresa.

Si ordenar un lote le cuesta a Súchel S.A. $160.00, encuentre aplicando una

herramienta informática:

a) Tamaño económico del lote a adquirir.

b) Nivel de inventario máximo a alcanzar y el momento en que se alcanza

éste.

c) Frecuencia de pedidos en el año.

6. Una empresa necesita 20000 unidades al año de cierto producto.

Realizar el almacenamiento representa un costo del 25% anual. La

empresa presenta 2 opciones para lograr el inventario de este producto:

a) Producirlo a una razón de 50 000 unidades al año y a un costo de

producción de $5.00/unidad con un costo de lanzamiento de un lote de

$100.00.

b) Comprarlo a una razón de 60 000 unidades al año y a un costo de

adquisición de $6.00/unidad con un costo de ordenar un lote de $120.00.

Se conoce además que la compañía se puede trazar dos políticas de

inventario:


147

4. Permitir que exista faltante del producto a un costo de $4.00/unidad-año.

5. No permitir la existencia de faltantes.

Para cada política de inventario determine lo siguiente empleando el

WINQSB:

a) Cantidad óptima de unidades del producto a producir o comprar para

hacer mínimo el costo total de inventario. ¿A cuánto asciende éste?

b) ¿Cuántas veces al año se debe realizar la adquisición o producción de

un lote de productos en la cantidad determinada anteriormente?

c) ¿Cuál es el nivel máximo que tendrá el inventario y en qué momento se

alcanza éste?

d) ¿En qué momento se produce la ruptura del inventario?

7. Un jefe de compras desea conocer la cantidad económica a ordenar de

empaques plásticos para su posterior comercialización. La demanda

anual se estima en 2000 unidades, el costo de una orden es de

$30.00/pedido. Cada empaque se compra a $10.00/unidad y el costo de

almacenaje asciende al 15% anual. Haciendo uso de la valiosa

herramienta WINQSB determine:

a) Encuentre el tamaño de lote económico.

b) Calcule el número de pedidos a comprar en el año.

c) Calcule el tiempo entre pedidos.

d) Calcule el costo total del manejo de inventarios anual.

8. Una empresa produce bujes a razón de 1000 bujes/día y lo consume en

otra línea de producción a razón de 700 bujes/día. Se conoce que el

costo de lanzamiento es de $50.00 por pedido y el costo de

almacenamiento es de $5.00/unidad. Se sabe además, que la carencia

de este producto originaría graves problemas en la empresa. Utilice el

WINQSB para conocer:

El número óptimo de unidades a producir en cada lote de producción.

¿Cada qué tiempo se debe comenzar la producción de un lote?

Determine los costos totales anuales del inventario.

9. Una empresa coloca una orden diaria para sus artículos de gran

volumen (hamburguesas, pan, leche, etc.). La empresa cuenta las


148

existencias de su inventario una vez al día y llama por teléfono para

colocar la orden, la cual será entregada 24 horas después. Determine

mediante el WINQSB la cantidad de hamburguesas a ordenar en las

siguientes circunstancias:

Demanda promedio diaria 600

Desviación estándar de la demanda 100

Probabilidad deseada del servicio 99 por ciento

Inventario de hamburguesas 800

10.Una farmacia pide sus antibióticos cada dos semanas (14 días) cuando

recibe la visita del vendedor de una compañía farmacéutica. La

tetraciclina es uno de los antibióticos mas recetados, con una demanda

promedio diaria de dos mil pasillas. La farmacia derivó la desviación

estándar de la demanda estudiando las recetas surtidas en los tres

meses pasados y encontró que eran 800 pastillas. El pedido tarda cinco

días en llegar. La empresa quiere surtir 99 por ciento de las recetas. El

vendedor acaba de llegar y, en la actualidad, hay 25 mil pastillas en

existencia. Haga uso de herramientas informáticas para determinar

cuantas pastillas debe ordenar.

11.Para determinar el siguiente problema utilice el WINQSB.

La demanda diaria de un producto es de 60 unidades con una desviación

estándar de diez unidades. El periodo entre revisiones es de diez días y el

tiempo de entrega es de dos días. En el momento de la revisión hay 100

unidades en existencia. Si se desea una probabilidad de servicio de 98 por

ciento, ¿Cuántas unidades deberíamos ordenar?


1. Álvarez-Buylla Valle, Mercedes (1987). Modelos Económico-Matemáticos II.

Tomo II, Capítulo 4 “Modelos de inventario”, pp. 390-450, La Habana,

Editora ISPJAE.

2. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (2003) Análisis cuantitativo con WinQSB.

Programa de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo

7 “Teoría y sistemas de inventario”, pp. 70 – 77.


149

3. Schroeder, R. G. (1992). Administración de operaciones.

4. Kaufmann, A. (1981). Métodos y Modelos de la Investigación de

Operaciones. Capítulo 4 “Problemas de inventarios” pp. 195-235, Cuarta

Edición, La Habana, Editorial Pueblo y Educación.

5. Sipper, D. y Bulfin, R. L. (1999). Planeación y control de la producción.

Primera Edición, Primera reimpresión, México D.F, Mc. Graw-Hill, pp. 238-

240.

150

Apéndice: Modelos de inventario en acciónCasos de estudio 1: fábrica de estructuras de concreto

En una fábrica de estructuras de concreto se desea establecer una estrategia

orientada hacia el servicio al cliente, para lo cual se realizó un estudio de las

preferencias de los mismos, obteniéndose que las actividades claves de mayor

interés fueran la disponibilidad de Stock (DS) y la variedad de productos (VP).

El sistema de puntuación empleado, se basó en otorgar la calificación de un

punto a la más importante y dos a la menos importante, siendo los resultados

los siguientes:

Tabla A.1. Respuestas de los clientes

ComponentesCliente Zona Demanda (%)DS VP

1 1 34 1 22 2 65 1 23 3 1 2 1

La empresa tiene la posibilidad de ampliar su mercado, por lo que solo se

desea considerar en la estrategia las zonas más importantes y la componente

clave que resulte de mayor prioridad.

La empresa ofrece una variedad de 30 productos y un nivel de servicio del

90%, mientras que su competidor oferta 25 productos con un 95% de servicio

al cliente. La demanda diaria de estas estructuras es de 30 toneladas con una

desviación estándar de 5 toneladas diarias, siendo el costo de expedición para

la distribución de $10.00 y el costo de mantenimiento del inventario de 1.10 $ /

unidad – día.

a) Establezca la estrategia que debe seguir la empresa para enfocarse hacia el

cliente.

b) Aplique la estrategia establecida, mediante el diseño de un sistema de

administración de inventarios de revisión continua.

c) Comente acerca de la integración de las componentes claves de la logística

que se integran en el problema descrito.

Casos de estudio 2: taller de confecciones

Un taller de confecciones lleva en su inventario de materia prima tres tipos de

tejidos con las características siguientes:

Apéndice: Modelos de inventario en acción

151

Tabla A.2. Características de los tejidos

Tipo Demanda(m/año)

Costo del tejido($/m)

Desviación estándar de la demanda (m/día)

A 300 10 2B 200 8 1C 100 6 1

El taller sólo cuenta con un camión plataforma ZIL-130 de capacidad de carga

igual a 10 t, con una altura desde el piso a la superficie de carga de 1245 mm.

Esto unido a la existencia de un solo proveedor y a la distancia a la que se

encuentra el mismo (305 km) ha provocado que se decidiera como estrategia

transportar los tres tipos de tejido de forma conjunta con una velocidad técnica

de 50 km/h; incurriéndose en un costo por ordenar los pedidos de $20.00 por

orden. El costo anual por mantener el inventario es del 20 % para los tres tipos

de tejido y se labora como promedio 24 días al mes.

Si se conoce que existen dificultades en el conteo de las disponibilidades de

tejidos, que el nivel de servicio al cliente es del 97 % y que el ciclo de pedido

(tiempo de suministro) es de 3 días:

a) Diseñe el sistema de gestión de inventario que más se adecua a las

condiciones del taller analizado.

b) Si el taller tiene un camión con las características mencionadas

anteriormente:

¿Podrán ser estibados los tres pedidos en el mismo?

¿Qué cantidad de rollos de tejido de cada tipo deberá ser estibada en el

camión si su masa (peso) promedio es de 15 kg/ rollo?

¿Podrá ser entregado el pedido en el tiempo previsto?

Casos de estudio 3: establecimientos de la empresa de talleres y

desmonte del MINAZ

Uno de los establecimientos de la empresa de talleres y desmonte del MINAZ

se dedica a la reparación del turbo compresor KSU, la cual promedia un costo

de $768.62. El plan de reparación de dicho establecimiento asciende a 4824

compresores al año, pero para cumplimentar las mismas se requiere de un


152

buje, cuyo precio de venta es de $128.00 / buje y su masa bruta es de 2.5 kg/

buje.

El único proveedor del establecimiento es el almacén central, el cual a su vez

compra esta pieza a las fábricas A ó B en dependencia de la demanda que

recibe del establecimiento y del estado de su inventario; adaptando las

entregas al embalaje empleado para los bujes y a la capacidad nominal de 1t

que tiene la camioneta empleada en las transportaciones.

Acerca de los bujes se conoce que:

La desviación estándar de la demanda mensual es de 300 bujes.

El gasto de almacenamiento anual es de 24 % y el margen de beneficio es

el 1 % de su precio de venta.

La adquisición de un lote de buje consume un salario de $16.00, un gasto

de transporte de $15.40 y $2.00 por otros gastos.

La solicitud del pedido es por teléfono, por lo que demora 5 minutos.

Están envasados individualmente en cajas de cartón y embalados en cajas

de madera con capacidad para 50 bujes, las cuales se unitarizan en paletas

cajas ubicadas en la estantería para paletas.

La distancia promedio a recorrer en el almacén es de 45 m con una

velocidad de 10 m/min.

El tiempo de preparación de la documentación para la extracción es de 15

minutos y paralelamente se hace la recogida de los productos de las

paletas.

La elevación y descenso del mástil del equipo demora aproximadamente 2

minutos.

La colocación de la cantidad solicitada demora 5 minutos y su conteo dura

10 minutos.

Además se conoce que entre el establecimiento y el almacén central la

distancia es de 10 km y la velocidad técnica del vehículo empleado es de 40

km/h. Por otra parte la carga y descarga de la camioneta demoran 10 minutos

en total.


153

También se conoce que por cada cambio del nivel de servicio en un 1 % los

ingresos en el almacén central sufren un cambio del 10 %.

A Usted se le pide determinar:

a) ¿Cuál será el nivel de servicio al cliente actual del almacén central?

b) ¿A cuánto ascenderá el tiempo de ciclo de pedido para ese nivel de servicio

al cliente?

c) ¿Cuál será el aprovechamiento de la capacidad del medio de transporte?

d) El diseño del sistema de control de inventario para el Almacén Central.

Casos de estudio 4: Copextel, lectores de CD

Copextel fabrica y vende sistemas de sonido tanto para casa como para el

coche. Todas las partes de los sistemas de sonido, con la excepción de los

lectores de CD, se producen en la fábrica de la Habana. Los lectores de CD

utilizados en el montaje de los sistemas de Copextel, se compran a Imagen y

Sonido.

María, agente de compras de Copextel, presenta un pedido de compra para los

lectores de CD una vez cada cuatro semanas. Las necesidades anuales de la

compañía ascienden en total a 5000 unidades (20 por cada día laborable), y el

coste por unidad es de $60.00. (Copextel no compra en grandes cantidades

porque Imagen y Sonido, el proveedor, no ofrece descuentos por cantidad).

Rara vez se da una falta de lectores de CD porque Imagen y Sonido promete la

entrega en una semana a partir de la recepción de un pedido de compra. (El

tiempo total entre la fecha del pedido y la fecha de recepción es de 10 días.)

Los costos de adquisición están asociados con la compra de cada envío, estos

costos, que ascienden a $20.00 por pedido, incluyen los costos de preparación

del pedido, inspección y almacenamiento de los artículos enviados,

actualización de los registros de inventario y emisión de un comprobante y un

cheque para el pago. Además de los costos de adquisición, Copextel tiene

costes de almacenamiento del inventario que incluyen el seguro,

almacenamiento, manipulación, impuestos, etcétera. Estos costos equivalen a

$6.00 por unidad por año.


154

En agosto de este año, la dirección de Copextel emprenderá un programa de

control de costos en toda la compañía, para intentar mejorar sus beneficios. Un

área que será examinada minuciosamente para posibles ahorros de costos es

la de adquisición de inventarios.

Preguntas de discusión:

a) Calcule la cantidad de pedido óptimo de los lectores de CD.

b) Determine el punto de pedido apropiado (en unidades).

c) Calcule los ahorros de costes que la compañía realizará si lleva a cabo la

decisión óptima de adquisición de inventario.

d) ¿Debería considerarse que los costes de adquisición son una función lineal

del número de pedidos?

Casos de estudio 5: Hewlett – Packard: surtir la impresora Deskjet en

Europa

La impresora Deskjet fue introducida en 1988 y se ha convertido en uno de los

productos más exitosos de Hewlett – Packard. Las ventas han aumentado

consistentemente, llegando a un nivel de más de 600 mil unidades en 1990.

Por desgracia, el crecimiento del inventario ha seguido la tendencia del

crecimiento de las ventas. Los centros de distribución de HP están llenos de

anaqueles de la impresora Deskjet. Peor aún, la organización en Europa dice

que los niveles de inventario ahí deben subir aún más para mantener una

disponibilidad satisfactoria del producto.

La red de proveedores, sitios de producción, centros de distribución (CD),

distribuidores y clientes del producto Deskjet constituyes la cadena de

suministro del producto (véase figura A.1.). HP de Vancouver se encarga de la

fabricación. Hay dos etapas claves en el proceso de manufactura: (1) el

montaje de los circuitos impresos y su prueba (MCIP) y (2) el montaje final y su

prueba (MFP). El primero incluye el montaje y las pruebas de los componentes

electrónicos (como los circuitos integrados, memorias solo lectura y tableros

desnudos de circuitos impresos) para fabricar los tableros lógicos usados en la

impresora. El segundo incluye el montaje de otros subensambles (como

motores, cables, teclados, chasis de plástico, dispositivos y los montajes de los


155

circuitos impresos del MCIP) para producir una impresora que funcione, así

como las pruebas finales de la impresora. Los componentes que se necesitan

para ambos casos son suministrados por otras divisiones de la HP, así como

de proveedores externos de todo el mundo.

Para vender la Deskjet en Europa se necesita adaptar la impresora a los

requisitos de lenguaje y suministro eléctrico de cada país, un proceso que se

conoce como ‘’localización’’. Específicamente, la localización de la Deskjet para

los diferentes países implica el ensamble del módulo de fuente de poder

adecuado para cumplir con los requisitos de voltaje de cada país (110 o 220)

con el cable de conexión correspondiente, empaquetados con la impresora

junto con un manual redactado en el idioma correcto. En la actualidad, la

prueba final se realiza con la fuente de poder que viene incluida con la

impresora, de lo cual se desprende que los productos finales que salen de la

fábrica son versiones ‘’localizadas’’ de la impresora que se enviaran a los

distintos países. Actualmente se producen seis versiones diferentes para el

mercado europeo, que se designan con las claves A, AA, AB, AQ, AU y AY que

aparecen en la lista de materiales de la figura A.2.

Proveedor

Proveedor

Proveedor

Fab CI

MCIP MFP

FacMec Imp

Proveedor

Cliente

Cliente

CD Lejano Orinte

Cliente

CD Europa

CD EUA

Figura A.1. Cadena de suministro de la Deskjet de HP.

Clave: Fab CI, fabricación del circuito integrado. MCIP, montaje de circuitos impreso y prueba. MFP, montaje final y prueba. Fac Mec Imp, fabricación de mecanismo de impresión.


156

El tiempo total de rendimiento de la empresa a través de las etapas MCIP y

MFP es de alrededor de una semana. El tiempo de transporte de Vancouver al

centro de distribución (CD) europeo es de cinco semanas. El tiempo tan largo

de embargue a Europa se debe al tránsito por mar y los trámites aduanales en

el puerto de entrada. La planta envía embargues semanales de impresoras al

CD en Europa.

La industria de las impresoras es muy competida. Los intermediarios tratan de

mantener el menor nivel posible de inventarios. Por consiguiente, ha habido

una presión creciente para que HP, como fabricante, proporcione niveles altos

de disponibilidad a los CD. Como respuesta, la gerencia ha decidido proveer

suministros suficientes a los CD para que se mantenga este nivel alto de

disponibilidad.

Limitar el volumen del inventario en toda la cadena de suministro de la Deskjet

y, al mismo tiempo, ofrecer el elevado grado de servicio ha sido todo un reto

para la gerencia de Vancouver. El grupo de manufactura ha tenido mucho éxito

en lo que se refiere a reducir las incertidumbres causadas por las entregas a

los CD europeos. Sin embargo, pronosticar la demanda en Europa es un

problema considerable. En algunos países ha sido común que ocurra un

desabasto de productos de ciertos modelos, mientras que el inventario de otros

sigue acumulándose. En el pasado, el objetivo de los niveles del inventario de

los CD se basaba en una cantidad de existencias de reserva que era producto

del juicio, aplicando alguna regla general. Concretamente, los objetivos de los

Discos desnudos

PCB en bruto

Tablero en bruto de la cabeza delcontrolador

ASIC

PCB

Mecanismo de impresión

CablesTablerosMortoresPlásticos

Impresora Deskjet

Fuente de energía

Manuales

Producto terminado

AAAABAQAUAY

Versiones:

Figura A.2. Lista de materiales de la Deskjet de HP.


157

niveles de inventario (una cantidad equivalente a las ventas promedio para un

mes) eran establecidos para cada uno de los modelos que guardara el CD. Sin

embargo, ahora parece que la creciente dificultad para obtener pronósticos

exactos significa que es necesario revisar las reglas para cuantificar las

existencias de reserva.

HP ha reunido un grupo de empleados para que le ayuden a instrumentar un

sistema de existencias de reserva con una base científica, que responda a los

errores en el pronóstico y a los tiempos de entrega para el reabasto. El equipo

debe recomendar un método para calcular los niveles correctos de existencias

de reserva de los diversos modelos de la Deskjet que llevan a los CD de

Europa. El equipo tiene una muestra aceptable de datos de la demanda que

podrá usar para desarrollar la metodología de las existencias de reserva (véase

tabla A.3). HP espera que esta nueva metodología pueda resolver el problema

de los inventarios y el servicio.

Un tema que sigue surgiendo es el costo de mantener inventarios que se

escogerá y que será usado para el análisis de las existencias de reserva.

Algunas estimaciones hechas en la compañía van del 12% (el costo de la

deuda de HP más algunos gastos de almacenaje) hasta el 60% (basado en el

rendimiento de la inversión esperada sobre los proyectos para el desarrollo de

productos nuevos). La administración ha decidido usar 25% para este estudio.

Suponen que el costo de producción y envió a Europa a todas las impresoras

es, en promedio, de $250.00 cada una. Otra cuestión es escoger la

probabilidad de las existencias de reserva para el modelo. La empresa ha

decidido usar una probabilidad de 98%, cifra que el departamento de marketing

considera adecuada.

Los CD tradicionalmente han considerado que su proceso es simple, estándar

y en línea recta. El proceso tiene cuatro pasos:

1. Recibir productos (completos) de diversos proveedores y almacenarlos.

2. Tomar los diversos productos que se necesitan para llenar la orden de un

cliente.

3. Envolver la orden completa y etiquetarla.

4. Enviar la orden por medio del transportista adecuado.


158

Tabla A.3. Demanda de la Deskjet en Europa.

Opcionesen Europa

Nov. Dic. Ene. Feb. Mar. Abr.

A 80 - 60 90 21 48AB 20572 20895 19252 11052 19864 20316AU 4564 3207 7485 4908 5295 90AA 400 255 408 645 210 87AQ 4008 2196 4761 1953 1008 2358AY 248 450 378 306 219 204

Total 29872 27003 32344 18954 26617 23103May Jun. Jul. Ago. Sep. Oct.

A - 9 20 54 84 42AB 13336 10578 6095 14496 23712 9792AU - 5004 4385 5103 4302 6153AA 432 816 430 630 456 273AQ 1676 540 2310 2046 1797 2961AY 248 484 164 363 384 234

Total 15692 17431 13405 22692 30735 19455

La impresora Deskjet encaja bien en el proceso estándar. En cambio, otros

productos, como las computadoras personales y los monitores, requieren de un

procesamiento especial llamado ‘’integración’’, que incluye sumar un teclado y

un manual adecuado para el país de destino. Si bien este proceso adicional no

requiere de mucha mano de obra extra, es difícil acomodarse en el proceso

estándar y altera el flujo de materiales. La gerencia de los CD está bastante

molesta respecto del apoyo que debe dar a los procesos de producción. En

general, la gerencia de los CD hace hincapié en que el papel del CD es el

almacén y es necesario que siga haciendo lo que hace mejor; es decir, la

distribución.

No obstante, la alta gerencia piensa que la integración del producto en el

almacén es sumamente valiosa porque permite enviar productos genéricos al

CD con una configuración final del producto hecha justo antes de su embarque

al cliente. En lugar de que la fábrica haga productos específicos para un país,

puede fabricar productos genéricos y embarcarlos para Europa. La gerencia

está muy interesada en estudiar el valor de este enfoque que podría aplicar a

las impresoras Deskjet.

Cuestionario:


159

1. Desarrolle un modelo de inventario para administrar las impresoras Deskjet

en Europa, suponiendo que la planta de Vancouver sigue produciendo los

seis modelos que vende en Europa. Usando los datos de la figura A.3,

aplique su modelo y calcule la inversión anual esperada para el inventario

de impresoras Deskjet en el CD de Europa.

2. Compare los resultados de la pregunta uno con la política actual de

mantener un inventario para un promedio de un mes en la CD.

3. Evalúe la idea de suministrar impresoras genéricas al CD de Europa y de

integrar el producto empacando la fuente de poder y el manual de

instrucciones en el CD justo antes de entregarlas a los intermediarios

europeos. En el análisis, concéntrese en el efecto de la inversión en el

inventario del DC.

4. ¿Qué le recomendaría usted a HP?

departamento de ingenierÍa industrial

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