departamento de ingenierÍa industrial manual de
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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
MANUAL DE INVESTIGACION DE OPERACIONES II
Autores: Barbara Rodriguez Morera
Dr. C. Fernando Marrero Delgado
Santa Clara, 2011
A: Mis padres por el apoyo que me han brindado durante toda mi vida. Mis hermanos por su preocupación y sacrificio en todo momento. Mi esposo Raúl por brindarme su amor y confianza y por incentivarme cada día a seguir adelante. Mis sobrinos Cristian y Kevin por hacerme reir en los momentos que más lo necesitaba. Mi abuelo Alfredo y a la memoria de mi abuela Inocencia por la formación que de ellos recibí.
Mis más sinceros agradecimientos: A mi tutor Dr. C. Fernando Marrero Delgado por su interés, dedicación y exigencia en la realización de la investigación. A todos los profesores del departamento de Ingeniería Industrial, en especial a Andrey Vinagera Zamora por sus enseñanzas y por toda la ayuda brindada. A Reinier por sacarme de bastantes apuros. A mi tía Isora y mis primos por su apoyo en la medida de lo posible. A todos mis compañeros de estudio, por tener paciencia conmigo. A todos los que me proporcionaron tiempo de máquina. En general a todos por existir.
PRÓLOGO
La Investigación de Operaciones, hoy más que nunca, juega un papel primordial en las
contribuciones que pueden hacer las técnicas y métodos de la matemática aplicada a la
mejora del desempeño de las organizaciones productoras de bienes y servicios. Así,
como la programación lineal, sus extensiones y casos particulares, pasando por la
programación discreta y los problemas de camino y árbol extremal, resultan valerosas
herramientas en manos de la gerencia empresarial, existen otras técnicas y métodos no
estudiados en la Investigación de Operaciones I del plan de estudio D del Ingeniero
Industrial en Cuba que requieren ser enseñados a estos profesionales.
En este sentido, un manual para la asignatura Investigación de Operaciones II de esta
especialidad contribuiría a lograr en los estudiantes los conocimientos necesarios sobre
otras técnicas y métodos como la Teoría de Colas, los Sistemas y modelos de
inventario, la Programación dinámica, la Teoría de la decisión, la Gestión de proyectos,
los Métodos de clasificación y las Rutas de distribución. Si a esto se le añade el cómo
utilizar herramientas informáticas para aplicar los métodos de solución, se logra un
material docente de incuestionable valor.
Sirva entonces el presente manual de Investigación de Operaciones II como una
excelente referencia para aquellos que necesiten o deseen adentrarse en este campo
de las matemáticas en función del perfeccionamiento del proceso de toma de
decisiones en la gestión empresarial.
Dr. C. Fernando Marrero Delgado
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................................1 CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS..............................................................................................3
1.1. Introducción.........................................................................................................................3 1.2. Fundamentación teórica de la teoría de colas ..............................................................3 1.3. Modelos matemáticos de la teoría de colas ..................................................................4 1.4. Análisis económico de los modelos de cola ................................................................20 1.5. Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de colas ......................22 1.6. Aplicaciones de la teoría de colas .................................................................................26 1.7. Ejercicios resueltos ..........................................................................................................27 1.8. Ejercicios propuestos ......................................................................................................33 1.9. Preguntas de autoevaluación.........................................................................................36 1.10. Bibliografía consultada ..................................................................................................36
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS .................................................38 2.1. Introducción.......................................................................................................................38 2.2. Conceptos básicos de inventario...................................................................................38 2.3. Conceptos básicos de gestión de inventario ...............................................................40 2.4. Modelo de inventario determinístico para un solo producto......................................42 2.5. Modelo de inventario estocástico para un solo producto sin costo de lanzamiento ....................................................................................................................................................56 2.6. Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de inventarios ............61 2. 7. Ejercicios resueltos .........................................................................................................64 2.8. Ejercicios propuestos ......................................................................................................69 2.9. Preguntas de autoevaluación.........................................................................................71 2.10. Bibliografía consultada ..................................................................................................72
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA ........................................................................74 3.1. Introducción.......................................................................................................................74 3.2. Fundamentación teórica de la programación dinámica .............................................74
3.2.1. Elementos de un problema de programación dinámica .....................................75 3.3. Problema del camino óptimo ..........................................................................................76 3.4. Problema de asignación de recursos............................................................................80 3.5. El problema de producción con inventarios para un determinado período ............84 3.6. Utilización del WinQSB para resolver problemas de camino óptimo y producción con inventario ...........................................................................................................................88 3.7. Ejercicios resueltos ..........................................................................................................94 3.8. Ejercicios propuestos ....................................................................................................101 3.9. Preguntas de autoevaluación.......................................................................................105 3.10 Bibliografía consultada .................................................................................................106
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN ...........................................................................108 4.1. Introducción.....................................................................................................................108 4.2. Fundamentación de la teoría de la decisión ..............................................................108
4.2.1. Decisiones bajo certeza.........................................................................................112 4.2.2. Decisiones bajo riesgo ...........................................................................................113 4.2.3. Decisiones bajo incertidumbre..............................................................................124 4.2.4. Decisiones en conflicto ..........................................................................................129
4.3. Métodos multicriterios vs métodos monocriterios .....................................................132 4.4. Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de juegos y árboles de decisión....................................................................................................................................134
4.4.1. Decisiones en conflicto: teoría de juegos ................................................ 134 4.4.2. Decisiones bajo riesgo: árboles de decisión ............................................ 138
4.5. Ejercicios resueltos ........................................................................................................141 4.6. Ejercicios propuestos ....................................................................................................152 4.7. Preguntas de autoevaluación.......................................................................................156 4.8. Bibliografía consultada ..................................................................................................157
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS .........................................................................159 5.1. Introducción.....................................................................................................................159 5.2. Fundamentación teórica de la gestión de proyectos ................................................159 5.3. Utilización del WinQSB para resolver problemas de PERT/CPM ..........................165
5.3.1. Administración de proyectos: CPM ......................................................... 165 5.3.1. Administración de proyectos: PERT ....................................................... 168
5.4. Ejercicio resuelto ............................................................................................................171 5.5. Ejercicios propuestos ....................................................................................................173 5.6. Preguntas de autoevaluación.......................................................................................178 5.7. Bibliografía consultada ..................................................................................................178
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN ................................................................180 6.1. Introducción.....................................................................................................................180 6.2. Fundamentación teórica de los métodos de clasificación .......................................180
6.2.1. Conceptos básicos del análisis cluster .................................................... 181 6.2.2. Procedimiento de aplicación del método de conglomerados..................... 182
6.3. Elaboración del perfil de los cluster y validación de conglomerados obtenidos ..201 6.4. Uso del SPSS para el trabajo con cluster ..................................................................203 6.5. Ejercicios resueltos ........................................................................................................209 6.6. Ejercicios propuestos ....................................................................................................213 6.7. Preguntas de autoevaluación.......................................................................................214 6.8. Bibliografía consultada ..................................................................................................215
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN ........................................................................217 7.1. Introducción.....................................................................................................................217 7.2. Fundamentación teórica de las rutas de distribución ...............................................217
7.2.1. Casos particulares del VRP ..................................................................................220 7.3. Métodos fundamentales para resolver el problema de ruteo de vehículos (VRP) ..................................................................................................................................................222 7. 4. Ejercicio resuelto ...........................................................................................................237 7.5. Ejercicios propuestos ....................................................................................................239 7.6. Preguntas de autoevaluación.......................................................................................242 7.7. Bibliografía consultada ..................................................................................................242
APÉNDICE 1. GENERALIDADES DEL MODELADO ........................................................244 APÉNDICE 2. TABLAS DE P0 Y L PARA MODELOS DE COLA: M/M/S, ∞ ...................246 APÉNDICE 3. TABLAS DE DISTRIBUCION NORMAL ......................................................248 APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS .........................................................................250
1
INTRODUCCIÓN Este libro surge como respuesta a la necesidad que tienen los estudiantes de la carrera
de Ingeniería Industrial de un manual para la asignatura “Investigación de operaciones
II” del plan de estudio D que integre el sistema de conocimientos previstos de acuerdo
con el plan de estudio.
El hecho de escribir esta obra se justifica debido a que la bibliografía para los temas:
Teoría de Colas, Teoría de Inventario, Programación Dinámica y Teoría de la Decisión
se encuentra muy dispersa y además algunos temas como: Rutas de Distribución,
Gestión de proyectos y Métodos de Clasificación no cuentan con bibliografía al alcance
de los estudiantes.
El manual consta de siete capítulos: Teoría de Colas, Teoría de Inventario,
Programación Dinámica, Teoría de la Decisión, Rutas de Distribución, Gestión de
proyectos y Métodos de Clasificación.
En el capítulo uno se tratará los conceptos fundamentales, la estructura básica y el
análisis económico de modelos de cola, además se utiliza el software WinQSB para
resolver problemas de este tipo a través de la opción Queuing Analysis.
En el capítulo dos se abordan los conceptos fundamentales de inventario, así como los
modelos de inventario determinístico para un solo producto y el modelo estocástico
para un solo producto sin costo de lanzamiento, utilizando además la opción Inventory
Theory and System del software WinQSB para resolver problemas de este tipo.
El capítulo tres trata el tema de la programación dinámica, en el cual se estudiará la
fundamentación teórica de esta técnica, así como los problemas de camino óptimo,
asignación de recursos y producción con inventarios para un determinado período. Se
explica cómo utilizar el software WinQSB para resolver problemas de camino óptimo y
producción con inventarios empleando la opción Dinamic Programming.
El cuarto capítulo abarca el tema de teoría de la decisión, en el cual se estudiarán los
conceptos fundamentales así como las decisiones bajo riesgo, incertidumbre y conflicto.
Se incluye la utilización de la opción Decision Analysis para resolver problemas de
teoría de juegos y árbol de decisión con el software WinQSB.
En el capítulo cinco se estudiará la fundamentación teórica de las técnicas de
INTRODUCCIÓN
2
administración de proyectos (PERT y CPM). El capítulo concluye explicando como
emplear el WinQSB, a través de la opción PERT - CPM para resolver problemas de
este tipo.
El capítulo seis aborda el tema de los métodos de clasificación, en el cual se tratarán
los conceptos fundamentales del análisis de conglomerados (análisis cluster), además
se utiliza el software SPSS para Windows para resolver problemas usando análisis de
conglomerados.
En el capítulo siete se estudian los conceptos fundamentales de las rutas de
distribución, así como los casos y métodos fundamentales para resolver el problema de
ruteo de vehículos (VRP), en particular el método de la margarita.
Finalmente se ofrece un conjunto de apéndices donde el lector podrá profundizar sobre
como recolectar datos y trabajar con escalas y herramientas desarrolladas con este fin.
En este apartado se incluyen también tablas para la determinación de algunos
parámetros de los modelos de teoría de colas, así como una tabla de la distribución
normal para apoyar la solución de problemas de PERT y CPM.
3
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
1.1. Introducción
El presente capítulo aborda el tema Teoría de Colas, en el cual se tratarán los
conceptos fundamentales, la estructura básica y el análisis económico de modelos de
cola.
Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:
1. Identificar los elementos que caracterizan la teoría de colas.
2. Solucionar manualmente problemas relacionados con la teoría de colas.
3. Analizar e interpretar económicamente la solución matemática de dichos problemas.
4. Aplicar el software existente a estos tipos de problemas.
5. Conocer las posibilidades prácticas del uso de esta técnica en esferas de la
producción de bienes y servicios en condiciones reales, preparando a los
estudiantes en las variantes y alternativas que se puedan presentar.
Como prerrequisitos para este tema se exigen:
El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, cálculo diferencial e
integral, teoría de las probabilidades, e Informática.
1.2. Fundamentación teórica de la teoría de colas
El origen de la teoría de colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca,
1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de
cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus
investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas
de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un
gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión
llegada - salida.
El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo
de servicio que se puede esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual
dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio
a sus clientes.
La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera.
Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
4
“servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de
espera.
Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos
matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de
colas. Los modelos sirven para encontrar un balance económico entre el costo del
servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no
resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones.
1.3. Modelos matemáticos de la teoría de colas
Estructura básica de los modelos de cola
Para analizar un sistema de colas, se hace necesario tener en cuenta la estructura
siguiente:
Proceso básico de colas
El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente.
Los clientes que requieren un servicio se generan a través del tiempo en una fase de
entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado
momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio,
mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el
servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el
cliente sale del sistema de colas.
Fuente de entrada (población potencial)
Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total
de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número
total de clientes potenciales distintos. Esta población a partir de la cual surgen las
unidades que llegan se conoce como población de entrada. Puede suponerse que el
tamaño es infinito o finito (de modo que también se dice que la fuente de entrada es
ilimitada o limitada). Como los cálculos son mucho más sencillos para el caso infinito,
esta suposición se hace muy seguida aún cuando el tamaño real sea un número fijo
relativamente grande, y deberá tomarse como una suposición implícita en cualquier
modelo que no establezca otra cosa. El caso finito es más difícil analíticamente, pues el
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
5
número de clientes en la cola afecta el número potencial de clientes fuera del sistema
en cualquier tiempo; pero debe hacerse esta suposición finita si la tasa a la que la
fuente de entrada genera clientes nuevos queda afectada en forma significativa por el
número de clientes en el sistema de líneas de espera.
También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los
clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo a un
proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta un tiempo específico
tiene una distribución Poisson. En el caso estudiado corresponde a aquel cuyas
llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin
importar cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es
infinito). Una suposición equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo
que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al
tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.
Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:
Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo
y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos
llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de
tiempo).
Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los
tiempos entre llegadas probabilístico se describen mediante una distribución de
probabilidad.
En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta
difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser
confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de densidad, para una
distribución exponencial depende de un parámetro, ג y está dada por:
( ) 1 * tF t e (1.1)
Donde λ es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo.
Con una cantidad, T, de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad para
calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T
unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente:
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
6
P (tiempo entre llegadas ≤ T) = 1 te (1.2)
Cola
Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir.
Las colas pueden ser finitas o infinitas, según si este número es finito o infinito. La
suposición de una cola infinita es la estándar para la mayor parte de los modelos,
incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente
grande) sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota así puede ser
un factor complicado para el análisis. Los sistemas de colas en los que la cota superior
es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, necesitan suponer una cola
finita.
Disciplina de la cola
La disciplina de la cola es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser
servidos. Las disciplinas más habituales son:
La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served):
según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first
served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.
La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona
a los clientes de forma aleatoria.
Mecanismo de servicio
El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de
ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más
de una instalación de servicio, puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia
de ellas (canales de servicio en serie). En una instalación dada, el cliente entra en uno
de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe
especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos)
en cada una. Los modelos más elementales suponen una instalación, ya sea con un
servidor o con un número finito de servidores.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
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El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación
en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de
un sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los
tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos tipos de clientes),
aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores.
Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo puede ser determinístico o
probabilístico. Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere
precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un
tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta
de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen
matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. En la práctica resulta
difícil determinar cuál es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha
resultado confiable en muchas aplicaciones, es la distribución exponencial. En este
caso, su función de densidad depende de un parámetro, µ y está dada por:
( ) 1 * tS t e (1.3)
Donde:
µ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo, de modo que
1/ µ = tiempo promedio invertido en atender a un cliente
Un proceso de colas elemental
La teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que más
prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que puede estar vacía en ciertos
lapsos de tiempos) se forma frente a una instalación de servicio, dentro de la cual se
encuentran uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada
recibe servicio de uno de los servidores, quizá después de esperar un poco en la cola
(línea de espera).
Papel de la distribución exponencial
Las características operativas de los sistemas de colas están determinadas en gran
parte por dos propiedades estadísticas: la distribución de probabilidad de los tiempos
entre llegadas y la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio. Para los
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
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sistemas de colas reales, estas distribuciones pueden tomar casi cualquier forma (la
única restricción es que no pueden ocurrir valores negativos). Sin embargo, para
formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es
necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones. Para que
sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista como para que el
modelo proporcione predicciones razonables y al mismo tiempo debe ser lo
suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable. Con estas
consideraciones en mente, la distribución de probabilidad más importante en la teoría
de colas es la distribución exponencial.
Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de colas
Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para evaluar un
sistema de colas en estado estable, algunas de las cuales se describen en la presente
sección. Para diseñar y poner en operación un sistema de colas, por lo general, los
administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así como el
uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas de las medidas
que se utilizan para evaluar el rendimiento surgen de hacerse un conjunto de preguntas
como se detalla a continuación.
Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente, como:
a. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado tiene que esperar en la
fila antes de ser atendido? La medida de rendimiento asociada es el tiempo
promedio de espera, representado con Wq.
b. ¿Cuál es el tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo
de espera y el de servicio? La medida de rendimiento asociada es el tiempo
promedio en el sistema, denotado con W.
Preguntas cuantitativas relacionadas al número de cliente, como:
a. En promedio ¿cuántos clientes están esperando en la cola para ser atendidos? La
medida de rendimiento asociada es la longitud media de la cola, representada con
Lq.
b. ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema? La medida de rendimiento
asociada es el número medio en el sistema, representado con L.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
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Preguntas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los servidores, por
ejemplo:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar a ser atendido? La
medida de rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, que se representa por,
pw.
b. En cualquier tiempo particular, ¿cuál es la probabilidad de que un servidor esté
ocupado? La medida de rendimiento asociada es la utilización, denotada con U. Esta
medida indica también la fracción de tiempo que un servidor está ocupado.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que existan n clientes en el sistema? La medida de
rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad Po de que no haya clientes
en el sistema, la probabilidad Pi de que haya un cliente en el sistema, y así
sucesivamente. Esto tiene como resultado la distribución de probabilidad de estado,
representada por Pn, n = 0,1…
d. Si el espacio de espera es finito, ¿Cuál es la probabilidad de que la cola esté llena y
que un cliente que llega no sea atendido? La medida de rendimiento de trabajo se
necesitan para lograr mayor efectividad asociada es la probabilidad de negación del
servicio, representada por Pd.
Preguntas relacionadas con los costos, como:
a. ¿Cuál es el costo por unidad de tiempo por operar el sistema?
b. ¿Cuántas estaciones en los costos?
El cálculo específico de estas medidas de rendimiento depende de la clase de sistema
de colas. Algunas de estas medidas están relacionadas entre sí. Conocer el valor de
una medida le permite encontrar el valor de una medida relacionada.
Relaciones entre L, W, Lq y Wq
Suponga que λn es una constante para toda n. Se ha demostrado que en un proceso de
colas en estado estable:
*L W (1.4)
Dado que John D. C. proporcionó la primera demostración rigurosa, con el nombre de
fórmula de Little, la misma demostración prueba que:
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
10
*Lq Wq (1.5)
Ahora suponga que el tiempo medio de servicio es una constante 1 / μ, para toda n ≥ 1.
Se tiene entonces que:
1W Wq (1.6)
Diferentes modelos que se utilizan para la resolución de problemas
Cada modelo de los que a continuación se analizan se describe en términos de la
notación extendida por Kendall, como la deducción de pn es completamente
independiente de la disciplina de la línea de espera, es apropiado usar el símbolo DG
(disciplina general) en la notación de Kendall.
Características claves
n – cantidad de unidades en el sistema
El sistema está compuesto por el área de la cola y el área de servicio.
Notación del modelo 1/2/3:4,5
Donde:
1. Distribución del tiempo entre arribos.
2. Distribución del tiempo de servicio.
3. Número de canales o estaciones de servicio (1; S).
4. Tamaño de la población y la cola.
5. Disciplina de servicio.
Distribución del tiempo entre arribos o del tiempo de servicio
M: Exponencial.
D: Determinística o constante.
Ek: Erlang.
GI: Independiente general cualquiera.
G: General.
Tamaño de la población y la cola
∞: Cola y población infinitas.
CF: Cola finita, población infinita.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
11
FL: Población limitada o finita (cola finita).
Disciplina de servicio
FIFO: Por orden de llegada – primero en llegar, primero en entrar (del inglés:
First In, First Out).
LIFO: Último en llegar, primero en entrar (del inglés: Last In, First Out).
Prioritaria.
Aleatoria.
En este texto solamente se estudiarán modelos cuyos tiempos entre arribos y tiempo de
servicio siguen una distribución exponencial y la disciplina de servicio sea por orden de
llegada.
MODELOS DE COLA INFINITA CON ENTRADAS POISSON
1. Modelo de estación única: M/M/1:∞, FIFO
Dados λ y µ, se determinan las medidas de rendimiento siguientes:
Factor de utilización del sistema: (1.7)
Probar que 1; para que el sistema sea estable
Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: 10P (1.8)
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:
1
0* nnn
n PP (1.9)
Número medio de unidades en el sistema:
0
**1 n
nPnWL (unidades físicas) (1.10)
Número medio de unidades en la cola.
2
0* 1 * ( )*( )
n
n s
Lq Wq L L P L n s P (unidades físicas)
(1.11)
Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema.
1LW (unidades de tiempo/unidad física) (1.12)
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
12
Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola.
LLqWq
)( (unidades de tiempo/unidad física)
(1.13)
Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar.
0
1
0 1 1 0n
n
P T P P P T (1.14)
Donde T es el tiempo de espera de una unidad.
Probabilidad de que una entidad llegue al sistema y no tenga que esperar
0110 0 TPPTP (1.15)
2. Modelo de estación múltiple: M/M/S:∞, FIFO
Este modelo es una extensión del primero para el caso en que hay múltiples canales o
estaciones de servicio en paralelo.
Dados λ, µ y S se determinan las medidas de rendimiento siguientes:
Factor de utilización del sistema: *S (1.16)
Probar que 1; para que el sistema sea estable
Intensidad de tráfico por estación (1.17)
Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:
1
1*
!!
1
1
0
0
Sn
S
S
n
nP (1.18)
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:
!
*0)/(
n
Pn
Si 0 ≤ n ≤ S (1.19)
s
PSn
n
S!*
*0)/( Si n ≥ S (1.20)
Pn =
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
13
Número medio de unidades en el sistema:
LqWqWL )1
(** (unidades físicas) (1.21)
Número medio de unidades en la cola.
0
2
* ** /
!
( / )
(1 )
S
Lq Wq LS
P (unidades físicas) (1.22)
Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema.
1Wq
LW (unidades de tiempo/unidad física) (1.23)
Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola.
11W
LLqWq (unidades de tiempo/unidad física) (1.24)
Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y no tenga que esperar.
0101
0
TPTPS
nnP)( (1.25)
Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar.
01)1(!
*0)/(
TPS
PS
(1.26)
Sn
n
S
nn
PP1
0
1 (1.27)
Donde T es el tiempo de espera de una unidad.
MODELOS DE COLA FINITA CON ENTRADAS POISSON
Para este tipo de modelo M es la cantidad de clientes en el sistema, que se puede
calcular como la cantidad de estaciones de servicio más los espacios totales que hay
para la espera.
3. Modelo de Estación Única: M/M/1: CF, FIFO
Expresiones para ρ ≠1
Dados λ, μ y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes:
P (T > 0) =
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
14
ρ= λ / μ ρ ≠1 (1.28)
Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:
M
n
nMP
0
10
1
1
1 (1.29)
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema.
nn
Mn PP **)1
1(
01 Para n = 1, 2, 3,…, M (1.30)
Número medio de unidades en el sistema.
M
nnM
M
PnM
L0
1
1
1
1
1*
)( (unidades físicas) (1.31)
Número medio de unidades en la cola.
)1( PoLLq (unidades físicas) (1.32)
Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema.
LW (unidades de tiempo/unidad física) (1.33)
Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola.
LqWq (unidades de tiempo/unidad física) (1.34)
Donde:
1
0 0
* 1 * *M
M n n n
n n
P P P (1.35)
Probabilidad de que una unidad llegue y se pueda incorporar (no tenga que
esperar).
1
0
0M
n
n
P T P (1.36)
Fracción de clientes potenciales que se pierden o probabilidad de que una unidad
llegue al sistema y no se pueda incorporar. 1
00*1
M
n
M
nM PPP (1.37)
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
15
Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar.
1
0
1
( 0) 1 * 1M
M
nn
P T PP (1.38)
Donde T es el tiempo de espera de una unidad.
Si ρ=1 (λ = μ), nótese que se indefinen algunas de las expresiones anteriores (Pn y L).
Por tanto, cuando ρ = 1 (λ = μ) las expresiones para el cálculo cambian, según se
muestran seguidamente.
Expresiones para ρ = 1
Dados λ, μ y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes:
1 (1.39)
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema.
1
1nP
M Para n = 0, 1, 2, 3,…, M (1.40)
Número medio de unidades en el sistema.
M
nn
M
n
PnnM
L001
1** (unidades físicas) (1.41)
Número medio de unidades en la cola.
1
1* ( 1) ( )*
1
M M
n
n n s
Lq n n s PM
(unidades físicas) (1.42)
Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema.
LW (unidades de tiempo/unidad física) (1.43)
Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola.
LqWq (unidades de tiempo/unidad física) (1.44)
Donde:
( ) (1 )1
M
MP
M (1.45)
Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
16
1
0
1
1( 0) ( 1)* 1 (1 )
1
MM
n
n
P T M P PM
(1.46)
Donde T es el tiempo de espera de una unidad.
Fracción de clientes que se pierden (Probabilidad de que una unidad arribe al
sistema y no se pueda incorporar).
1
1
MPM (1.47)
Para n = M nM PP (1.48)
Para n ≠ M M
M PP *0 (1.49)
Probabilidad de que una unidad llegue al sistema y no tenga que esperar.
1
1
1010M
nnPTPTP (1.50)
4. Modelo de estación múltiple: M/M/S: CF, FIFO
Dados λ, μ, S y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes:
ρ= λ / (S * μ) Cualquier ρ (1.51)
Probabilidad de que no haya unidades en el sistema
0
1 1
1
( / ) ( / )1 * ( )
! ! *
n ss Mn s
n n s
P
n s s
(1.52)
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema
0*!
)/(P
n
n
para n = 1, 2,…, s-1 (1.53)
0*!*
)/(P
SS Sn
n
para n = s, s+1,…, M (1.54)
0 para n > M
Número medio de unidades en el sistema.
1
0
1
0
)1(*S
n
S
n
n PnSLqnPL (unidades físicas) (1.55)
Pn =
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
17
Número medio de unidades en la cola.
)1(**)(1)1(!
*)/(*2
0 SMSM
S
SMS
PLq (unidades físicas)
(1.56)
Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema.
1WqLW (unidades de tiempo/unidad física) (1.57)
Tiempo medio de estancia de una unidad en la cola.
LqWq (unidades de tiempo/unidad física) (1.58)
Donde:
)1( PM (1.59)
Fracción de clientes potenciales que se pierden o probabilidad de que una unidad
llegue al sistema y no se pueda incorporar.
1
0
1M
M n
n
P P (1.60)
Para n = M nM PP (1.61)
Probabilidad de que una unidad llegue al sistema y no tenga que esperar.
1
0
)0(S
nnPTP (1.62)
Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar.
1
)0(M
SnnPTP (1.63)
Donde T es el tiempo de espera de una unidad.
MODELOS DE FUENTE LIMITADA CON ENTRADAS POISSON
M es el tamaño de la población y si se le resta el valor correspondiente a las unidades
en el sistema, daría la cantidad de unidades que hay fuera del sistema.
5. Modelo de Estación Única: M/M/1: FL, FIFO
Dados λ, μ y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes:
Factor de servicio:
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
18
(1.64)
Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema.
M
n
n
nM
MP
0
0
1
*!
!
(1.65)
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema.
0 1
!* * ( 1)* *
!
n
n n
MP P M n P
M n (1.66)
n = 1, 2,…, M
Número medio de unidades en el sistema.
01 PML * (unidades físicas) (1.67)
Número medio de unidades en cola.
0 0
1
* 1 1 * (1 )M
n
n
Lq M P n P L P (unidades físicas) (1.68)
Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema.
LW (unidades de tiempo/unidad física) (1.69)
Tiempo medio de estancia de una unidad en cola.
1
1
1
0P
MLqWq * (unidades de tiempo/unidad física) (1.70)
Donde:
LM (1.71)
Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar.
0
1
1
10 PPTPM
nn (1.72)
Donde T es el Tiempo de espera de una unidad.
6. Modelo de estación múltiple: M / M / S: FL, FIFO
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
19
Dados λ, μ, S y M se determinan las medidas de rendimiento siguientes:
Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema.
01
1
0
11
! !* *
!* ! !* !*
M
nn nS M
n
n Sn n S
P PM M
M n n M n S S
(1.73)
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema.
0
0
!* * * Si 0 n S
!* !
!* * Si S n M
!* !*
0 Si n M
n
n
nn S
Mn P
M n n
MP PM n S S
Número medio de unidades en el sistema.
1
0
1
0
1S
nn
S
nn PSLqPnL ** (1.76)
Número medio de unidades en cola.
M
SnnPSnLq * (1.77)
Tiempo medio de estancia de una unidad en el sistema.
LW (1.78)
Tiempo medio de estancia de una unidad en cola.
LqWq (1.79)
Donde:
* M L (1.80)
Probabilidad de que una unidad llegue al sistema y no tenga que esperar.
(1.74)
(1.75)
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
20
1
0
( 0)S
n
n
P T P (1.81)
Probabilidad de que una unidad arribe al sistema y tenga que esperar.
1
0M
SnnPTP (1.82)
Coeficiente de indisponibilidad por clientes.
1
LqK
M (1.83)
Coeficiente de inactividad por estación.
S
PnS
K
S
nn
02
*
(1.84)
1.4. Análisis económico de los modelos de cola
Todo sistema de servicio requiere de un análisis económico para poder tomar la
decisión más correcta. Dicho análisis incluye dos elementos:
1. El nivel del servicio.
2. El tiempo de espera de las unidades que acuden a recibir servicio.
Con el objetivo de reducir el costo de servicio, se recomienda un mínimo nivel de este,
mientras que al no ser deseables largos tiempos de espera, es aconsejable un alto nivel
de dicho servicio, por lo que se hace necesaria la búsqueda de una solución que
satisfaga ambas condiciones.
Como primera aproximación se superponen las curvas E(CS) y E(CE), se obtiene la
figura1.1.
Donde:
E(CS): valor esperado del costo del servicio.
E(CE): valor esperado del costo de espera.
E(CT): valor esperado del costo total.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
21
Figura 1.1 Costo total del sistema de servicio.
Las funciones que caracterizan a las curvas de E(CS) y E(CE) no son convexas, pero
para E(CT) si se cumple esta propiedad, por ello es posible determinar un punto mínimo
en la curva, que da el mejor balance entre el costo por el tiempo de espera y el costo
por el servicio.
Entonces, suponiendo que ha sido posible estimar el costo por el tiempo de espera, el
objetivo a alcanzar se formula como: determinar el nivel de servicio que minimiza el
total del valor esperado del costo de servicio y el valor esperado del costo del tiempo de
espera para recibir ese servicio.
Matemáticamente esto se expresa como:
MINIMIZAR E(CT) = E(CS)+ E(CE) (1.85)
Para el valor del costo total en que se cumpla esta condición, se está
garantizando un nivel de servicio tal que se logra un balance en la evaluación
económica del sistema.
Ecuaciones para el cálculo del análisis económico
Para el modelo de cola infinita (Modelo M/M/1 ó S; ∞, FIFO):
LCeSCsCECECTE ES ** (1.86)
Para el modelo de cola finita Modelo M/M/1 ó S; CF, FIFO):
Costo del servicio
Nivel del servicio
E(CS)
E(CE)
E(CT)
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
22
MPES PCpLCeSCsCECECECTE **** (1.87)
Para el modelo de fuente limitada (Modelo M/M/1 ó S; FL, FIFO):
M
LCeSCs
M
CECECTE ES **
(1.88)
Quizás se le sugiere al lector que investigue en la literatura sobre otros modelos de cola
existentes y con aplicación práctica en la gestión empresarial.
1.5. Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de colas
El WinQSB es un software de apoyo para la toma de decisiones, que puede ser
utilizado por los estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial para diferentes
asignaturas, una de ellas es la Investigación de Operaciones II y dentro de esta, uno de
los temas a los cuales se aplica, es la teoría de colas.
Usando este software se puede acceder a través del menú Inicio – Programas –
WinQSB - Queuing Analysis.
Para solucionar un problema de colas a través del WinQSB, se va a tomar el caso para
S = 2 del ejemplo siguiente.
Ejemplo 1.1
En la sala de urgencias del policlínico “Marta Abreu” del municipio de Santa Clara, se
proporciona atención a las personas que lo requieran. Se conoce que los arribos de los
pacientes se producen con una tasa media de 3 por hora, siguiendo una distribución
Poisson. La sala cuenta con dos enfermeras las cuales invierten 15 minutos como
promedio en cada uno de los pacientes, según una distribución exponencial.
En la sala ha surgido un problema por dos planteamientos aparentemente
contradictorios: uno del jefe de la sala, el que plantea que los pacientes están teniendo
que esperar mucho en la cola para hacer atendidos, por lo que solicita que se adicione
una enfermera más a la sala, el otro de la dirección del hospital, que plantea que en
ocasiones las dos enfermeras están ociosas y cree que se debe reducir la cantidad de
enfermeras a una.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
23
Considere que una enfermera cobra $2.00 por hora y se ha valorado que por cada hora
que un paciente permanezca en la sala el costo será de $1.00. Proponga cuántas
enfermeras debe tener la sala para minimizar el costo total del sistema.
Solución del problema:
Una ves recorrido el camino de acceso al WinQSB mencionado anteriormente, dar clic
en el botón correspondiente en la barra de herramientas, el cual significa, que vas a
comenzar a solucionar un nuevo problema (New Problem), la ventana que sale como
resultado de esta acción, es la que se muestra en la figura 1.2.
Figura 1.2. Ventana de entrada de datos generales de un problema de teoría de
colas con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
En esta ventana se pone el título del problema, se establece la unidad de tiempo que
por defecto es horas (por tanto todos los datos del problema tienen que estar en horas
o la unidad especificada) y también se deja la opción que aparece marcada: Simple
M/M System (que es la que contempla los modelos estudiados en este texto); luego se
da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura 1.3.
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, como se muestra a
continuación:
Number of servers: número de servidores (S), en este caso S = 2.
Service rate (per Server per hour): tasa media de servicio por estación ( ); = 4.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
24
Customer arrival rate (per hour): tasa media de llegada de clientes al sistema
( ); = 3.
Queve capacity (maximum waiting space): capacidad de la cola, aparece por defecto
M, lo cual significa que el tamaño de la cola es infinita, como en este caso, pero si
no fuera así, por ejemplo para el caso de cola finita, se pusiera el tamaño de la cola
máxima más los servidores.
Customer population: tamaño de la población, al igual que en el caso anterior,
aparece por defecto M, lo cual es válido para este caso, porque el tamaño de la
población también es infinito, pero si fuera por ejemplo el caso de fuente limitada, se
pusiera el tamaño de la población.
El costo relacionado con los servidores tiene dos partidas: una primera vinculada al
costo del servidor cuando está ocupado (busy server cost per hour) y una segunda
al costo del servidor cuando está ocioso (idle server cost per hour). En el caso del
ejemplo analizado solamente existe el primero.
Para los clientes también existen dos partidas del costo: una primera vinculada al
costo que estos tienen cuando están esperando (customer waiting cost per hour) y
una segunda vinculada a cuando estos reciben el servicio (customer being served
cost per hour). En el caso vinculado al ejemplo tratado solamente existe la primera
de estas dos.
Cost of customer being balked: costo por la pérdida de clientes, para el caso en que
la cola sea finita.
Unit queve capacity cost: costo unitario de capacidad de cada unidad de cola.
Figura 1.3. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de colas con el
WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
25
Para guardar los resultados se utiliza la opción: File – Save Problem As. Al concluir la
entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón
correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del menú
Solve and Analyze, obteniendo como resultado la figura 1.4.
Figura 1.4. Ventana de resultados de un problema de teoría de colas con el
WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
Esta ventana muestra todos los resultados que se pueden obtener al solucionar un
problema de teoría de colas con el uso del WinQSB. Los cuales se describen a
continuación:
1. Tipo de modelo: en esta notación se obvia la disciplina de servicio así como el
tamaño de la población y la cola, pues queda establecido en la entrada de datos.
2. Razón de arribos de los clientes por hora ( ), 3 pacientes/h.
3. Razón de servicio por servidor por hora ( ), 4 pacientes/h.
4. Razón de arribo efectivo del sistema completo por hora, 3 pacientes/h.
5. Razón de servicio efectivo del sistema completo por hora, 3 pacientes/h.
6. Utilización del sistema completo ( ), 37.50 %.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
26
7. Número medio de clientes en el sistema (L), 0.8727 clientes.
8. Número medio de clientes en la cola (Lq), .0.1227 clientes.
9. Número medio de clientes en la cola cuando el sistema esté lleno (Lb), 0.6.
10. Tiempo medio de estancia de un cliente en el sistema (W), 0.2909 h.
11. Tiempo medio de estancia de un cliente en la cola (Wq), 0.0409.
12. Tiempo medio de estancia de clientes en la cola cuando el sistema está lleno (Wb),
0.2 h.
13. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema, equivalente a la probabilidad de
que todos los servidores estén ociosos (Po), 45.4545 %.
14. Probabilidad de que un cliente arribe al sistema y tenga que esperar, equivalente a
la probabilidad de que esté ocupado el sistema (P (T>0)), 20.4545 %.
15. Número medio de clientes que abandonan la cola por hora (para el caso de cola
finita), en este caso como la cola es infinita es cero.
16. Costo total de que el servidor esté ocupado por hora, $1.50/h.
17. Costo total de que el servidor esté desocupado por hora, $0.00/h.
18. Costo total de la espera de los clientes por hora, $0.1227/h.
19. Costo total de ser atendido el cliente por hora, $0.00/h.
20. Costo total por los clientes perdidos por hora, $0.00/h.
21. Costo total del espacio en cola por hora, $0.00/h.
22. Costo total del sistema por hora, $1.6227/h.
Presionando F1 en Glossary – Queuing Related Cost aparecen las fórmulas utilizadas
por el software para calcular los costos.
Se le sugiere al lector que resuelva a través del WinQSB los casos para S = 1 y S = 3.
1.6. Aplicaciones de la teoría de colas
La teoría de colas ha gozado de un lugar sobresaliente entre las técnicas analíticas
modernas de investigación de operaciones, pero hasta aquí el enfoque se ha limitado a
la formulación de una teoría matemática descriptiva. Aquí pues, no concierne a la teoría
de colas alcanzar la meta de investigación de operaciones: la toma de decisiones
óptimas. En lugar de ello obtiene información sobre el comportamiento del sistema de
colas.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
27
Esta teoría proporciona parte de la información necesaria para llevar a cabo un estudio
de investigación de operaciones que intenta encontrar el mejor diseño para un sistema
de colas.
En el contexto de la informática y de las nuevas tecnologías estas situaciones de
espera son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para
ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada,
a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la
congestión en la red.
En logística de los procesos industriales de producción, ingeniería de redes y servicios,
ingeniería de sistemas informáticos, elaboración de proyectos sustentables, etc.
En la telefonía también tienen gran aplicación. Las redes telefónicas se diseñan para
acomodar la intensidad ofrecida del tráfico con solamente una pequeña pérdida. El
funcionamiento de los sistemas depende de si la llamada es rechazada, de si está
pérdida, etc. Normalmente los sistemas de desbordamiento hacen uso de rutas
alternativas e incluso estos sistemas tienen una capacidad de carga finita o máxima de
tráfico. Sin embargo, el uso de las colas permite que los sistemas esperen por las
peticiones de su cliente hasta que los recursos libres estén disponibles. Esto significa
que si los niveles de la intensidad del tráfico exceden de la capacidad disponible, las
llamadas del cliente se perderían. La disciplina de colas determina la manera de cómo
manejar las llamadas de los clientes. Define la manera en que les servirán, la orden de
las cuales se sirven, y la manera en la que los recursos se dividen entre los clientes.
1.7. Ejercicios resueltos
1. Una tienda TRD que se dedica a brindar servicios gastronómicos, cuenta con un
dependiente, el cual atiende a los clientes a una velocidad promedio de 10 clientes
por hora, según una distribución exponencial. Además, se conoce, que la razón de
llegada de los clientes sigue una distribución Poisson con media de 7 clientes por
hora. Se desea conocer:
a) La probabilidad de que no halla clientes en la tienda.
b) El número medio de clientes en la tienda.
c) El número medio de clientes en la cola.
d) El tiempo que permanece un cliente en la tienda.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
28
e) El tiempo de espera de un cliente para ser atendido.
f) La probabilidad de que un cliente llegue y tenga que esperar.
Solución:
Características y datos:
1. Entradas Poisson.
7clientes/h
2. Tiempo de servicio exponencial.
10 clientes/h
3. Estación única: un cajero bancario
4. Población infinita, cola infinita.
5. Disciplina de servicios: FIFO.
Modelo: M / M / 1: ∞, FIFO
Utilizando la fórmula (1.7):
70.7
10
a) ?Po
Utilizando la fórmula (1.8):
3.07.01Po
La probabilidad de que no haya clientes en la tienda es de 0.3.
b) ?L
Utilizando la fórmula (1.10):
0.72.33
1 0.7L clientes
En la tienda hay un promedio de 2.33 personas.
c) ?Lq
Utilizando la fórmula (1.11): 2
1.6310(10 7)
7Lq clientes
En la cola estarán esperando un promedio de 1.63 personas.
d) ?W
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
29
Utilizando la fórmula (1.12):
2.330.33
7W clientes/h
El tiempo medio que permanece una persona en la tienda es 0.33 horas.
e) ?Wq
Utilizando la fórmula (1.13):
1.630.23
7Wq clientes/h
El cliente pasa un promedio de 0.23 horas para ser atendido.
f) ? )0(TP
Utilizando la fórmula (1.14):
( 0) 1 0.3 0.7P T
La probabilidad de que un cliente llegue a la tienda y tenga que esperar es de un 70
%.
2. En el área de Contabilidad y Finanzas de la empresa Constructora de Obras de
Arquitectura # 44 (ECOA 44) de Villa Clara, hay una oficina donde se realiza el pago
a los trabajadores de toda la entidad. Las dimensiones del local son pequeñas, por
lo que solamente hay espacio para 3 trabajadores: uno recibiendo el pago y los
otros dos esperando. Cuando este espacio está lleno no puede entrar a la oficina
ningún trabajador, por lo que cuando concluye la jornada laboral de ocho horas, los
trabajadores que no pudieron cobrar, se quedan para el otro día y los turnos se
atienden por orden de llegada.
Si hay un solo empleado en la oficina, el cual se demora 6 min, como promedio de
una distribución exponencial, en atender a cada trabajador y la llegada de los
empleados, es de 1 cada 3 min, según una distribución Poisson, determine:
a) La probabilidad de que al llegar un trabajador, este no tenga que esperar.
b) El número medio de trabajadores en la cola.
c) La fracción de trabajadores que se pierden el primer día de pago.
Solución:
Características y datos:
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
30
M = S + cola Máxima = 1 + 2
M = 3
1. Entradas Poisson.
1
3 trabajadores/min
2. Tiempo de servicio exponencial.
16 min/trabajador
1
6 trabajadores/min
3. Estación única: S=1 empleado
4. Población infinita, cola finita.
5. Disciplina de servicios: FIFO.
Modelo: M / M / 1: CF, FIFO
Utilizando la fórmula (1.28):
1 32 1
1 6
a) ?Po
Utilizando la fórmula (1.29):
4
1 20.066
1 2oP
La probabilidad de que al llegar un trabajador este no tenga que esperar es de
0.066.
b) ?Lq
Utilizando la fórmula (1.31): 4
4
4*22.26
1 2 1
22
L trabajadores
Utilizando la fórmula (1.32):
33.1)066.01(26.2Lq trabajadores
En la cola habrá un promedio de 1.33 trabajadores.
c) ?PM
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
31
Utilizando la fórmula (1.37):
30.066* 0.532MP
El 53 % de los trabajadores que acuden a recibir el cobro el primer día de pago
tienen que marcharse y regresar el día siguiente.
3. El taller de moldes y troqueles de la empresa INPUD 1ro de mayo de Villa Clara,
posee 4 equipos y solamente cuenta con un mecánico para repararlos cuando se
rompen, el cual requiere de 40 minutos como promedio para realizar cada
reparación, según una distribución exponencial. El tiempo de funcionamiento de un
equipo, hasta que se rompe, sigue una distribución exponencial con media de 3
horas. Dada esta situación se desea determinar:
a) La probabilidad de que no haya ningún equipo roto.
b) El número esperado de equipos que están rotos.
Solución:
Características y datos:
M = 4 equipos.
1. Tiempo entre roturas (arribos) exponencial. (Equivalente a razón de roturas
Poisson).
13 h/equipo
1
3 equipo/h
2. Tiempo de servicio exponencial.
140 min/equipo
1 3min *60min
40 2equipos equipo/h
3. Estación única: S = 1 mecánico.
4. Población finita o fuente limitada de tamaño M (M = 4 equipos).
5. Disciplina de servicios: FIFO.
Modelo: M / M / 1: FL, FIFO.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
32
a) ?Po
Utilizando la fórmula (1.65):
10.26
4*
(4 )
1 3
3 2
no
M
n o n
P
La probabilidad de que no haya ningún equipo roto es de 0.26.
b) ?L
Utilizando la fórmula (1.67):
64.0)26.01(*31
234L equipos
Estarán rotos como promedio 0.64 equipos, es decir, aproximadamente 1 equipo.
4. Resuelva de forma manual el ejemplo 1.1 solucionado anteriormente empleando el
software WinQSB.
Solución:
Identificación del modelo.
Modelo: M / M / S: ∞, FIFO.
Datos:
3 pacientes/h
115 min/paciente
1min*60min 4
15pacientes h pacientes/h
S =? (S = 1, 2, 3 enfermeras)
Cs = $2.00/h – enfermera
CE = $1.00/h - enfermera
Para S = 1
Utilizando la fórmula (1.7):
30.75
4
Cálculo de L.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
33
De la tabla del apéndice 2 con 0.75 utilizando la fórmula (1.17) y S = 1 se obtiene
el valor de L:
L = 3.000
Utilizando la fórmula (1.86):
( ) 2.00*1 1.00*3 $5.00E CT /h
Para S = 2
Utilizando la fórmula (1.16):
30.375
2*4
Cálculo de L.
De la tabla del apéndice 2 con 0.75 utilizando la fórmula (1.17) y S = 2 se obtiene
el valor de L:
L = 0.873
Sustituyendo:
Utilizando la fórmula (1.86):
( ) 2.00*2 1.00*0.873 $4.873E CT /h
Para S = 3
Si el sistema fue estable para S = 2, lo continuará siendo si S aumenta, por lo tanto
no es necesario volver a probar si
De la tabla del apéndice 2 con 0.75 utilizando la fórmula 1.17 y S = 3 se obtiene
el valor de L:
L = 0.765
Utilizando la fórmula (1.86):
( ) 2.00*3 1.00*0.675 $6.675E CT /h
El costo mínimo es $4.873/h y se obtiene con dos enfermeras, por lo tanto, resulta
más económico mantener la misma cantidad de enfermeras que existe actualmente.
1.8. Ejercicios propuestos
1. Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad
promedio de ocho clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la
ventanilla del cajero a una tasa promedio de 5 por hora. Se considera que las
llegadas siguen la distribución exponencial.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
34
Encontrar el tiempo ocioso promedio en el sistema, el número promedio de
personas en el banco y la probabilidad de que haya 3 clientes en el mismo, la
cantidad promedio de clientes en la cola, el tiempo promedio que permanece una
persona en el banco y el tiempo promedio que permanece un cliente en la cola.
2. En la casa de la cultura del municipio de Placetas, se encuentran instaladas dos
líneas telefónicas. Un promedio de 30 personas por hora tratan de llamar a la
entidad y la longitud promedio de cada llamada es de 1 min. Si una persona trata de
llamar cuando ambas líneas están ocupadas, cuelga y se pierde del sistema.
Suponga que el tiempo entre llamadas que tratan de comunicarse, así como los
tiempos de servicio, son exponenciales.
a) ¿Qué fracción de tiempo están libres ambas líneas?
b) ¿Qué fracción de tiempo están ocupadas ambas líneas?
c) ¿Qué fracción de tiempo está ocupada exactamente una línea?
d) En promedio cuántas solicitudes colgarán por hora.
3. En el parqueo de la fábrica de pastas alimenticias “La Pinta” solamente hay espacio
para tres camiones: uno siendo cargado y dos esperando en la cola. Los camiones
arriban al parqueo según una distribución Poisson a razón media de un camión por
hora. La fábrica cuenta con un obrero solamente, encargado de la carga de los
camiones y esta requiere de 45 min como promedio, según una distribución
exponencial, para realizar cada carga.
La dirección de la empresa quiere saber: el número promedio de carros en la fábrica
y el tiempo medio de estancia de un camión en la cola.
4. Un centro Multiservicio o Tele punto, tiene espacio para cuatro personas: dos
recibiendo atención por dos especialistas y dos esperando turno. Cuando hay cuatro
clientes no se admite la entrada de otros y los turnos se atienden por orden de
llegada. El arribo de los clientes al sistema sigue una distribución Poisson a razón
de 30 clientes por día y el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con
media de 5 min por cada cliente.
Se desea determinar:
a) La probabilidad de que al llegar un cliente, este no tenga que esperar.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
35
b) La probabilidad de que llegue un cliente y se encuentre que hay uno esperando.
c) El número medio de clientes en el Tele punto.
d) El tiempo que permanece un cliente en el Tele punto.
e) La probabilidad de que un cliente llegue al Tele Punto y no pueda entrar.
5. En la empresa INDUVILLA la dirección no está conforme con la calidad del producto
terminado (croquetas de pescado), por lo cual se quiere conocer si esto se debe a
que las cajas de materia prima (Tenca) tienen que esperar para ser procesadas un
largo tiempo, lo cual provoca que las mismas no mantengan la temperatura
adecuada. En un día de trabajo las cajas llegan a razón de una cada 4 minutos,
según una distribución Poisson. En el proceso laboran 5 trabajadores con similar
ritmo de trabajo, cada uno invierte aproximadamente 15 minutos en procesar una
caja, siguiendo una distribución exponencial y las cajas se van procesando según el
orden de llegada.
6. Un Rent Car tiene 6 autos, esta entidad cuenta con un empleado encargado de
realizar el servicio de limpieza a los carros, y este requiere de 1,5 horas, como
promedio, según una distribución exponencial, para realizar cada servicio. Los
carros sucios arriban a la entidad, según una distribución exponencial, con media de
2 horas. Los autos se atienden por el orden en que llegan. Determine:
a) La probabilidad de que no haya ningún auto recibiendo el servicio de limpiado.
b) El tiempo que un auto permanece esperando para ser limpiado.
c) La probabilidad de que un auto arribe al Rent Car sucio y tenga que esperar para
recibir el servicio.
7. La Ronera Central ubicada en el municipio de Santo Domingo, cuenta con 8
rastras para realizar la distribución de sus productos en la provincia de Villa Clara.
Las rastras son cargadas por dos obreros, el tiempo que invierte cada obrero en
cargar una rastra es aleatorio y sigue una distribución exponencial con media de
1 hora. El tiempo promedio que invierte una rastra en distribuir toda la mercancía
y regresar a la empresa, para ser cargada nuevamente, es de 2 horas, según una
distribución exponencial.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
36
Si se ha evaluado que el costo por cada hora que un chofer y su rastra no se
dediquen a la distribución por estar cargando en la empresa es de $6.00 y el
salario de cada obrero es $4.00 por hora. Determine:
a) El tiempo que estará esperando una grúa para ser cargada.
b) El tiempo promedio que permanece una rastra en la Ronera.
c) El costo total del sistema.
1.9. Preguntas de autoevaluación
1. ¿Qué es un sistema de colas?
2. ¿Cuál es la estructura básica de los modelos de cola?
3. ¿Qué importancia tiene la distribución exponencial en la teoría de colas?
4. ¿Cómo se clasifica un sistema de colas?
5. ¿Cuáles son los elementos que incluye el análisis económico de un sistema de
servicio?
6. ¿Cuál es la importancia del análisis económico en los modelos de cola?
7. ¿Cuál es la aplicación del WinQSB en la teoría de colas?
8. Ponga un ejemplo de la vida práctica en que se pueda aplicar la teoría de colas.
1.10. Bibliografía consultada
1. Álvarez – Buylla Valle, Mercedes (1987). Modelos Económico – Matemáticos II.
Tomo I, Capítulo 3 “Sistemas de servicio” pp. 225 – 377, La Habana, Editora
ISPJAE.
2. Arbonas, M. E. (1989). Optimización Industrial (I). Distribución de los recursos.
Colección Productica No. 26. Marcombo S.A.
3. Arbonas, M. E. (1989). Optimización Industrial (II). Programación de recursos.
Colección Productica No. 29. Marcombo S.A.
4. Bose, S. J. (2002). Chapter 1 – An Introduction to Queueing Systems,
Kluwer/Plenum Publishers.
5. Buffa, E. (1968) Operations Management: Problems and Models. La Habana,
Edición Revolucionaria.
6. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (2005). Métodos Cuantitativos para la Toma de
Decisiones en Administración. Tomo II, Capítulo 15 “Líneas de Espera” pp. 462
– 491, La Habana, Editorial Félix Varela.
CAPÍTULO I: TEORÍA DE COLAS
37
7. Gazmuri, P. (1995). Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas.
Santiago, Ediciones Universidad Católica.
8. Grupo EUMEDNET de la Universidad de Málaga (2011). La Teoría de Colas,
disponible en: http://www.eumed.net/cursecon/dic/oc/colas.htm [Consultado el 4
de febrero de 2011].
9. Hillier, F.S y Lieberman, G.J. (2007). Introducción a la Investigación de
Operaciones. Tomo III, Capítulo 15 “Teoría de colas” pp. 661 – 713, Quinta
Edición, La Habana, Editorial Félix Varela.
10. Kaufmann, A. (1981). Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones.
Capítulo 3 “Fenómenos de Espera” pp. 105 –183, Cuarta Edición, La Habana,
Editorial Pueblo y Educación.
11. Marrero Delgado, F. (2009 [a]). Conferencia 1 “Teoría de Colas”, disponible en
http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 7 de febrero de 2010].
12. Marrero Delgado, F. (2009 [b]). Conferencia 2 “Teoría de Colas. Análisis
económico”, disponible en http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 7 de
febrero de 2010].
13. Martínez Ferreira, M. (2005). Teoría de colas, disponible en:
http://www.gestiopolis.com/recursos4/docs/mkt/teoriacola.htm
[Consultado el 4 de febrero de 2011].
14. Moskowitz, H. y Wright, G. P. (1991). Investigación de Operaciones.
Prentice_Hall Hispanoamericana S.A.
15. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (2003). Análisis cuantitativo con WinQSB.
Programa de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 2
“Programación lineal y entera” pp. 12 – 22.
16. República Bolivariana de Venezuela, Universidad Santa María, Facultad de
Ingeniería, Cátedra: Investigación de Operaciones (2000). Teoría de Colas,
disponible en: http://html.rincondelvago.com/teoria-de-colas_3.html [Consultado
el 7 de febrero de 2011].
17. Tijms, H. C. (2003). Algorithmic Analysis of Queues. Capítulo 9 en A First
Course in Stochastic Models, Wiley, Chichester.
38
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
2.1. Introducción
El presente capítulo aborda el tema teoría de inventarios, en el cual se tratarán los
conceptos fundamentales de inventario, así como los modelos de inventario
determinístico para un solo producto y el modelo estocástico para un solo producto sin
costo de lanzamiento.
Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:
1. Identificar elementos que caracterizan los sistemas de inventario, y los relacionados
con los diferentes modelos de inventario, particularizando en el modelo general
determinístico para un solo producto y sus casos particulares.
2. Solucionar manualmente y a través de ordenadores personales, problemas de este
tipo. Hacer énfasis en la interpretación económica y analítica de estas soluciones a
la luz de las condiciones particulares de los problemas que se presentan.
3. Conocer las tendencias internacionales de la aplicación de estas técnicas en el
campo de la ingeniería industrial.
Como prerrequisitos para este tema se exigen:
El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, cálculo diferencial e
integral, teoría de las probabilidades, e Informática.
2.2. Conceptos básicos de inventario
Desde tiempos inmemorables, los egipcios y demás pueblos de la antigüedad,
acostumbraban almacenar grandes cantidades de alimentos para ser utilizados en los
tiempos de sequía o de calamidades. Es así como surge o nace el problema de los
inventarios, como una forma de hacer frente a los períodos de escasez que le
aseguraran la subsistencia de la vida y el desarrollo de sus actividades normales. Esta
forma de almacenamiento de todos los bienes y alimentos necesarios para sobrevivir,
motivó la existencia de los inventarios.
La base de toda empresa comercial, es la compra y ventas de bienes y servicios; de
aquí viene la importancia del manejo de inventario por parte de la misma. Este manejo
contable, permitirá a la empresa mantener el control oportunamente. El inventario, tiene
como propósito fundamental, proveer a la empresa de materiales necesarios, tales
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
39
como: la materia prima, la producción en proceso, los artículos terminados y otros
materiales que se utilicen en el empaque, envase de mercancía o las refacciones para
el mantenimiento que se consuman en el ciclo de operaciones para su continuo y
regular desenvolvimiento, es decir, el inventario tiene un papel vital para el
funcionamiento acorde y coherente dentro del proceso de producción, y de esta forma,
afrontar la demanda.
Dentro de todo este entorno, se encuentran algunas ventajas y a su vez desventajas,
que pueden ratificar esta técnica como la de mayor conveniencia o la de menor
eficiencia, estas se pueden resaltar de la siguiente manera:
Ventajas
Obtención de resultados reales que determinan en cantidad física los bienes de una
organización; es decir se determina con lo que se contó, se cuenta o se contará
durante un determinado plazo.
Diversidad en métodos de ejecución adaptables a las exigencias y formas de trabajo
de las distintas organizaciones, permitiendo así un plano exitoso en cuanto la
búsqueda de los resultados que se quieren lograr.
Estimula el trabajo en equipo, en ejercer funciones diferentes para un fin en común
empleando la actitud y el deseo de perfección pero esta vez mediante el
compromiso mancomunado.
Resume detalle a detalle los bienes de una organización logrando así el
conocimiento clave de la mercancía depreciada, mercancía en deterioro, mercancía
vencida o simplemente la de óptimo estado.
Al comparar un inventario inicial con el inventario final de una organización, se
determina un estado de ganancias y pérdidas. Importante a la hora de cálculos que
determinen el patrimonio real de la organización.
Se evita la malversación de mercancías, el hurto y descontrol en los almacenes.
Desventajas
El factor tiempo es determinante para la obtención de resultados; si se buscan
resultados reales se debe contar con tiempo determinado que tal vez pueda afectar
en la operatividad de la organización.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
40
El agotamiento físico puede recalcar durante el procedimiento de inventario; ya que
se requiere de esfuerzos extralimitado para la ejecución del mismo.
La aplicación del inventario y su mantenimiento genera costos como lo son más
personal capacitado, espacio físico, mercancía en deterioro o mercancía vencida,
entre otros.
Los inventarios están presentes en el aprovisionamiento, la producción y la distribución
y cumplen al menos cinco funciones de la empresa:
Permiten utilizar economía de escala.
Equilibran la oferta y la demanda.
Permiten la especialización en la producción.
Permiten protegerse de la inseguridad de la demanda y del ciclo de abastecimiento.
Actúan como colchón en los diferentes niveles de la cadena logística.
2.3. Conceptos básicos de gestión de inventario
La gestión de inventario es el proceso de administración del inventario, de manera que
se logre reducir al máximo su cuantía, sin afectar el servicio al cliente, mediante una
adecuada planeación y control del mismo. El enfoque tradicional, en lo que respecta a
la gestión de inventarios, se basa en los conceptos de punto de pedido y cantidad a
pedir, como base para tomar las decisiones de: ¿qué pedir?, ¿cuánto pedir?, ¿cuándo
pedir? y ¿cómo pedir?
Los sistemas de inventario se clasifican de diversas formas que serán descritas
seguidamente.
1. Clasificación de los sistemas de inventario según la dependencia de la demanda:
Sistemas de demanda independiente: la demanda de un artículo no relacionada
con otro artículo y afectada principalmente por las condiciones del mercado. Por
ejemplo; Sistema de Revisión Continua (Q), Revisión Periódica (P), Sistema
MinMax y Sistema para Múltiples Artículos.
Sistemas de demanda dependiente: la demanda está determinada por la de
otros artículos, no recibiendo una influencia del mercado. Por ejemplo; sistemas
de Planeación de los Requerimientos Materiales (MRP). Ejemplo: Automóvil –
llantas – tuercas.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
41
2. Clasificación de los sistemas de inventario según el carácter de la demanda:
Sistemas determinístico: significa que se conoce con certidumbre la demanda
futura de un artículo en inventario.
Sistemas Estocásticos: significa que no se conoce con certidumbre la demanda
futura de un artículo en inventario o sea es aleatoria.
Los inventarios constituyen un beneficio mixto para el administrador. Se incurre en
costos al adquirir bienes y mantener el inventario. Por otro lado, se mejora el servicio al
cliente cuando se tiene un artículo en almacén siempre que se demande. Los costos
asociados con un sistema de inventario son:
Costo de Emisión, Lanzamiento y Preparación.
Fijos: personal administrativo, almaceneros….
Variables: viajes para negociar, teléfono, elaboración de contratos.
Cálculo: suma de todos lo costos anteriores por cada pedido.
Costo de Posesión, Almacenamiento, Mantenimiento.
Costo de oportunidad: dinero inmovilizado no destinado a otros fines (interés
medio de beneficios que la empresa puede conseguir con su actividad más
lucrativa).
Costo de tenencia: alquiler de naves, luz, calefacción, seguros, robos
obsolescencia, costos de operación,….
Cálculo: costo unitario anual de posesión:
h = (% oportunidad + % tenencia) * c = i * c (2.1)
Costo de Ruptura o Rotura del inventario.
Costos por lo no vendido.
Costos de insatisfacción del cliente, pérdida de imagen.
Costos de carencia: cuando se aplaza el suministro hasta que se disponga de
existencias, compensándolo mediante un descuento.
Cálculo: costo unitario de rotura (carencia): u = (%descuento) * c. (2.2)
Costo de adquisición o de producción.
No es un costo del inventario como tal, pero es necesario para el caso del
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
42
cálculo del modelo de descuentos por cantidades.
En ocasiones se suele considerar aquí incluido el costo del transporte.
Este costo se representa con la letra c.
La necesidad de las empresas y productores de mantener inventarios, trajo como
consecuencia el estudio de éstos, de manera tal, que se garantizara la forma más
económica de mantenerlos. Un buen número de modelos matemáticos que han sido
desarrollados, permite mantener, bajo un conjunto de condiciones dadas, la manera
óptima de tener inventarios.
Dados los objetivos establecidos para esta asignatura, solo se abordarán los modelos
determinísticos para un solo producto y el modelo estocástico para un solo producto sin
costo de preparación del lote de producción o a ordenar.
2.4. Modelo de inventario determinístico para un solo producto
Existen diferentes tipos de modelos de inventario determinístico, donde la demanda es
siempre conocida para un período determinado. En este capítulo será estudiado
específicamente un tipo de modelo determinístico: modelo general para un solo
producto y sus tres casos particulares.
Caso general
Este modelo considera muchas de las características reales que pueden presentarse en
un problema determinístico de inventario, cuyo objetivo es encontrar un valor para el
número de unidades que hay que producir en una corrida determinada.
La representación gráfica de este modelo se muestra en la figura 2.1.
El ciclo de este inventario es el siguiente:
1. Comienza con el inventario igual a cero.
2. Comienza la producción con una razón constante Ψ. Habrá una razón de consumo
D constante, donde Ψ > D, hasta que se alcance un nivel determinado,
deteniéndose la producción (intervalo t1).
3. Después habrá un consumo del intervalo a una razón constante D ocurriendo
durante un tiempo t2. Entonces se produce la ruptura en dicho inventario, hasta
llegar a un déficit determinado (intervalo t3).
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
43
4. Se comienza a producir con una razón r, hasta llegar a cubrir el déficit, repitiéndose
de nuevo el proceso (t4).
Figura 2.1. Representación gráfica del caso general.
Para la formulación de este modelo algunos autores definen:
r, ψ: razón de producción constante.
a, D: demanda constante.
S, Imáx: nivel máximo de inventario.
d, B: cantidad máxima de unidades en déficit.
Q: cantidad de unidades a producir en cada corrida o tamaño del lote.
t1, t2, t3, t4: intervalos de tiempo representados en el gráfico 2.1.
Se tendrán además, los siguientes costos:
c: costo unitario de producción.
h: costo por mantener en inventario.
u, π: costo por déficit.
k, A: costo de lanzamiento.
A los efectos de este texto se utilizarán los términos: ψ, D, Imáx, B, Q, c, h, π, A.
Resumen de fórmulas modelo general
Dados ψ, D, c, h, π y A:
Tamaño óptimo del lote de producción:
Tiempo
Ψ-D
0 t1
t 2
D
t 2
t 3
t 2
t 4
D Ψ-D
I máx
Nivel de inventario
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
44
h
Dh
DAQ
1
12* (unidades físicas) (2.3)
En el caso de que el valor de Q* de como resultado un valor no discreto y la unidad de
medida empleada en el caso estudiado sea discreta, se calcula el costo total del
sistema con los valores de Q* para el entero superior y el inferior y se selecciona el Q*
de menor costo.
Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las corridas.
D
QT tttt
**
4
*
3
*
2
*
1
* )( (unidades de tiempo) (2.4)
**
1*
Q
D
Tf (corridas por tiempo) (2.5)
Déficit máximo.
*
3)(
)1(2* Dt
h
DDhAB (unidades físicas) (2.6)
Nivel de inventario máximo.
*
1
*
2
*)( tDDtI máx
(unidades físicas) (2.7)
Intervalos de tiempo (sus significados están dados por las características del gráfico
anterior).
D
Dt
Dt
I máx
*
2
*
*
1 (2.8)
)(
)1(2*
2hDh
DAt (2.9)
)(
)1(2*
3hD
DhAt (2.10)
D
Bt
**
4 (2.11)
Costos
Costo por mantener en inventario
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
45
2
)()(
*
2
*
1
*tth
ICI máx (2.12)
Costo debido al déficit
2
)()(
*
4
*
3
* ttBDC (2.13)
Costo de producción
AcQPC *)( (2.14)
Costo total
)()()()( PCDCICTC (por período de tiempo) (2.15)
*
4
*
3
*
2
*
1
)()()()(
tttt
PCDCICTC (por unidad de tiempo) (2.16)
Ejemplo 2.1
Un taller mecánico especializado en la reparación de televisores recibe piezas de
repuesto, las cuales consume a razón de 3 000 por mes. Las piezas le son
suministradas por un taller situado en la misma empresa, cuya capacidad de producción
es de 8 000 piezas al mes. Cada pieza cuesta $4.00 y el costo de preparar una nueva
orden de producción es de $100.00. El taller de reparación tiene un pequeño almacén y
el costo por mantener una pieza en inventario es de $3.00 por mes; pero si al solicitar
una pieza esta no puede ser suministrada, se incurre en un costo de $2.00 en un mes.
El taller trabaja 24 días al mes.
La empresa desea conocer:
a) Cantidad óptima de piezas suministradas al taller de reparación en cada corrida de
producción.
b) ¿Con qué frecuencia se inicia una nueva corrida de producción?
c) ¿Cuál es el nivel máximo que se tendrá en inventario y en qué momento se alcanza
este?
d) ¿En qué momento se produce la ruptura del inventario y cuál es el déficit máximo
que puede permitirse?
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
46
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
D = 3 000 piezas/mes
ψ = 8 000 piezas/mes
c = $4.00/pieza
A = $100.00
h = $3.00/(pieza – mes)
π = $2.00/(pieza – mes)
Modelo general de inventario determinístico
a) *Q ?
Utilizando la fórmula (2.3):
* 2*3000*100 1 3 2
30003 218000
Q
43.894*Q piezas
Como fue explicado anteriormente, cuando se requiera que el valor de Q* sea discreto,
como en este caso, se calcula el costo total del sistema con los valores de Q* para el
entero inferior y el superior y se selecciona la opción de menor costo.
Utilizando la fórmula (2.12):
3*210 (1 1.68)( ) $844.20
2C I /mes
Utilizando la fórmula (2.10):
*
3
30002*3*100(1 )8000 0.0083
3000*2(3 2)t días
Utilizando la fórmula (2.11):
*
4
3360.0672
8000 3000t días
Utilizando la fórmula (2.13):
2*336(0.0083*0.0672)( ) $25.368
2C D /mes
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
47
Para Q* = 894 piezas
Utilizando la fórmula (2.14):
( ) 4*894 100 $3676.00C P /mes
Utilizando la fórmula (2.15):
( ) 844.20 25.368 3676 $4545.568C T /mes
Para Q* = 895 piezas
Utilizando la fórmula (2.14):
( ) 4*895 100 $3680.00C P /mes
Utilizando la fórmula (2.15):
( ) 844.20 25.368 3680 $4549.568C T /mes
El menor costo total se obtuvo con Q* = 894 piezas.
b) *f ?
Utilizando la fórmula (2.5):
* 30003.35
894f veces/mes
En cada corrida de producción se le suministra al taller de reparación 894 piezas y 3.35
veces por mes se inicia una nueva corrida de producción.
c) *
I máx? y *
1t ?
Utilizando la fórmula (2.9):
*
2
*DtI máx
*
2
30002*2*100(1 )8000 0.07 *24 1.68
3000*3(3 2)
dt mes
mes días
Utilizando la fórmula (2.7):
*3000*0.07 210
máxI piezas
Utilizando la fórmula (2.8):
*
1
2100.042 *24 1.00
8000 3000
dt mes
mes día
El nivel de inventario es de 210 piezas y se alcanza en un día.
d) *
2
*
1t ? y *B ?
00.1*
1t días
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
48
68.1*
2t días
68.2*
2
*
1t días
Utilizando la fórmula (2.6):
30002*3000*3*100(1 )8000* 336
(3 2)2B piezas
La ruptura del inventario se produce a los 2.68 días y el déficit máximo que puede
permitirse es de 336 piezas.
El modelo general incluye 3 casos particulares en dependencia de cómo se comporta el
reaprovisionamiento y de si se permite déficit o no. Estos casos se verán seguidamente.
Caso1: no se permite déficit. Lote Económico de Producción (EPQ)
Suponga que en un determinado sistema de inventario determinístico no se desea que
haya déficit de unidades. El gráfico de este sistema de inventario se representa en la
figura 2.2.
Figura 2.2. Representación gráfica del caso1.
El ciclo de inventario para este caso es el siguiente:
1. Comienza con el inventario igual a cero.
2. Comienza la producción con una razón constante Ψ. Habrá una razón de consumo
D constante, donde Ψ > D, hasta que se alcance un nivel determinado,
deteniéndose la producción (intervalo t1).
Ψ-D
0 t1
t 2
D
I máx
Tiempo
Nivel de inventario
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
49
3. Después habrá un consumo del inventario a una razón constante D ocurriendo
durante un tiempo t2, y se vuelve a repetir el proceso descrito anteriormente.
Resumen de fórmulas modelo en que no se permite déficit.
Dados ψ, D, c, h, y A:
Tamaño óptimo del lote de producción:
Dh
DAQ
1
12* (unidades físicas). (2.17)
Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las corridas.
D
QT tt
**
2
*
1
* )( (unidades de tiempo) (2.18)
*
*
Q
Df (corridas por tiempo) (2.19)
Nivel de inventario máximo.
*
1
*
2
*)( tDDtI máx
(unidades físicas) (2.20)
Intervalos de tiempo (sus significados están daos por las características del gráfico
anterior).
D
Dtt
*
2*
1 (2.21)
Dh
DAt
)1(2*
2 (2.22)
Costos.
Costo por mantener en inventario
2
)()(
*
2
*
1
*tth
ICI máx (2.23)
Costo de producción.
AcQPC *)( (2.24)
Costo total.
)()()( PCICTC (por período de tiempo) (2.25)
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
50
*
2
*
1
)()()(
tt
PCICTC (por unidad de tiempo) (2.26)
Ejemplo 2. 2
En la UEB Pescasilda se producen minutas de pescados a razón de 670 kg diariamente
y la demanda de minutas al mes es de 15 400 kg. La preparación para una corrida de
producción implica un costo de $100.00 y el costo de producir un 1 kg de pescado es de
$0.20. Al tener 1 kg de pescado en inventario, se incurre en un costo de $0.40 al mes, y
se puede señalar que no se puede detener la producción de minutas por falta de
pescado, además que se consideran laborables 24 días al mes. La empresa desea
conocer:
a) El tamaño óptimo que deben tener las corridas de producción.
b) La frecuencia con que se inicia una nueva corrida de producción.
c) La máxima cantidad de Kg de pescado que se tendrá en inventario.
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
D =15 400 kg/mes
ψ = 670 kg/día = 16 080 kg/mes
A = $100.00
c = $0.20/kg
h = $0.40/kg
Modelo en el que no se permite déficit.
a) *Q ?
Utilizando la fórmula (2.17):
* 2*15400*100 113382.90
154000.4 116080
Q kg
b) *f ?
Utilizando la fórmula (2.19):
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
51
* 154001.15
13382.90f veces/mes
El tamaño óptimo de cada corrida de producción es de 13 382.90 kg de pescado y la
frecuencia con que deben hacerse dichas corridas no debe exceder las 1.15 veces/
mes.
c) Utilizando la fórmula (2.22):
*
2
154002*100(1 )16080 0.037
15400*0.40t
Utilizando la fórmula (2.20):
*15400*0.037 569.8
máxI Kg
La cantidad máxima que puede permanecer en inventario es de 569.80 Kg de pescado.
Caso 2: reaprovisionamiento instantáneo y no se permite déficit. Modelo de lote
económico (EOQ)
Este es el caso más sencillo de un problema de inventario determinístico, tiene el mérito
de haber servido de base a casi la totalidad de los modelos de administración de
inventario existentes. Su representación gráfica, se muestra en la figura 2.3.
Figura 2.3. Representación gráfica del caso 2.
El ciclo de este inventario comienza con un nivel de inventario determinado, después
habrá una razón de consumo D hasta que se agota el inventario (intervalo t1); se recibe
el lote solicitado y entonces se repite el proceso anterior.
Nivel de inventario
0 t1
I máx
Tiempo
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
52
Resumen de fórmulas modelo con reaprovisionamiento instantáneo y sin déficit
Dados D, h, y A:
Tamaño óptimo del lote de producción:
h
DAQ
2* (unidades físicas) (2.27)
Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las corridas.
D
QT t
**
1
* (unidades de tiempo) (2.28)
**
1*
Q
D
Tf (corridas por tiempo) (2.29)
Nivel de inventario máximo.
**QI máx
(unidades físicas) (2.30)
Costos.
Costo por mantener en inventario
2)(
*
1
*th
ICI máx (2.31)
Costo de lanzamiento.
APC )( (2.32)
Costo total.
)()()( PCICTC (por período de tiempo) (2.33)
*
1
)()()(
t
PCICTC (por unidad de tiempo) (2.34)
Ejemplo 2. 3
La Empresa CUBALUB de Villa Clara es la encargada de abastecer a la provincia de
lubricantes. Mensualmente dicha entidad les suministra a los diferentes organismos 400
toneladas. Al llevarse a cabo el pedido de lubricantes, la cantidad exacta es enviada de
una vez y no se permite faltante de los mismos, debido a la importancia que poseen en
las diferentes organizaciones para el mantenimiento y la puesta en marcha de sus
equipos. El costo de adquirir dicha mercancía es de $2.00 por tonelada, una vez que se
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
53
hace el pedido se incurre en un costo de $15.00 y el costo de almacenamiento es de
$1.50 por tonelada. La empresa está interesada en conocer:
a) La cantidad máxima de lubricantes que habrá en inventario.
b) El período de solicitar un nuevo pedido.
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
D = 400 toneladas/mes
A = $15.00
c = $2.00
h= $1.5/tonelada
Modelo con reaprovisionamiento instantáneo y no se permite Déficit (EOQ).
a) Utilizando la fórmula (2.27):
* 2*400*1589.44
1.5
AQ toneladas
Utilizando la fórmula (2.30):
*89.44
máxI toneladas
La cantidad máxima de lubricantes que habrá en inventario es de 89.44 toneladas.
b) *T ?
Utilizando la fórmula (2.28):
* 89.440.22
400T meses
Se solicitará un nuevo pedido cada 0.22 meses.
Caso 3: reaprovisionamiento instantáneo (EOQ con faltantes)
Otro caso especial es aquel sistema de inventario determinístico, cuyo tiempo de
reaprovisionamiento es cero, o dicho de otra forma, que tiene reaprovisionamiento
instantáneo. Su representación gráfica es la que aparece en la figura 2.4.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
54
Para este caso el ciclo de inventario es el siguiente:
1. Comienza con un nivel de inventario determinado, después habrá una razón de
consumo D ocurriendo durante un tiempo t1. Entonces se produce la ruptura en
dicho inventario, hasta llegar a un déficit determinado (intervalo t2).
2. Se recibe el lote solicitado repitiéndose de nuevo el proceso.
Figura 2. 4. Representación gráfica del caso 2.
Resumen de fórmulas modelo con reaprovisionamiento instantáneo
Dados D, h, u y A:
Tamaño óptimo del lote de producción:
h
h
DAQ
2* (unidades físicas). (2.35)
Tiempo que transcurre entre dos corridas de producción y frecuencia de las corridas.
D
QT tt
**
2
*
1
* )( (unidades de tiempo) (2.36)
**
1*
Q
D
Tf (corridas por tiempo) (2.37)
Déficit máximo.
*
2)(
2* Dt
h
DhAB (unidades físicas) (2.38)
Nivel de inventario máximo.
***BQI máx
(unidades físicas) (2.39)
Tiempo 0
t1 t 2
I máx
B
D
Nivel de inventario
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
55
Intervalos de tiempo (sus significados están daos por las características del gráfico
anterior).
)(
2*
1hDh
At (2.40)
D
B
hD
hAt
**
2)(
2 (2.41)
Costos.
Costo por mantener en inventario
2)(
*
1
*th
ICI máx (2.42)
Costo debido al déficit.
2)(
*
2
*tBDC (2.43)
Costo de lanzamiento.
APC )( (2.44)
Costo total.
)()()()( PCDCICTC (por período de tiempo). (2.45)
*
2
*
1
)()()()(
tt
PCDCICTC (por unidad de tiempo). (2.46)
Ejemplo 2. 4
En la UEB Carpintería de aluminio se fabrican persianas de aluminio a partir de
planchas de este material. La unidad obtiene las planchas de un suministrador externo,
que entrega un lote completo cada vez que recibe una orden. El costo por mantener
inventario es de $2.00/plancha – mes y el de poner una orden es de $150.00. Es
conocido que en un mes se utilizan 200 planchas y que de faltar alguna se incurre en
un costo de $4.00/plancha – mes. Es necesario conocer por parte de los directivos:
¿cuál debe ser el tamaño óptimo del lote y con qué frecuencia debe pedirse?
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
56
D = 200 planchas/mes
A = $150.00
h = $2.00/plancha – mes
π = $4.00 / plancha – mes
Modelo con reaprovisionamiento instantáneo (EOQ con faltantes).
*Q ? y *f ?
Utilizando la fórmula (2.35):
* 2*200*150 2 4212.13
2 4Q planchas
Para Q* = 212 planchas CT = 297.216.
Para Q* = 213 planchas CT = 297.923.
El menor costo total se obtuvo con Q* = 212 planchas.
Utilizando la fórmula (2.37):
* 2000.94 1.00
212f corrida/mes
El tamaño óptimo del lote debe ser de 212 planchas y debe pedirse la realización de 1
corrida al mes.
2.5. Modelo de inventario estocástico para un solo producto sin costo de
lanzamiento
Esta sección trata de los modelos de inventario en los que la demanda de un período es
una variable aleatoria, que tiene una distribución de probabilidad conocida. De manera
particular se abordará el modelo de período único sin costo de lanzamiento.
Características del modelo de período único sin costo de lanzamiento:
1. Se analiza un solo tipo de producto.
2. Se considera un período único de planificación.
3. La demanda es aleatoria, con una función de probabilidad conocida y se denota
como:
(D): función de densidad probabilística de D para distribuciones continuas y
función de probabilidad para distribuciones discretas.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
57
D (t): función de densidad acumulada de D para distribuciones continuas y función
de probabilidad acumulada para distribuciones discretas, donde como es conocido:
t
DdDDt
0
)()( (2.47)
Si D es una variable que sigue una distribución continua.
t
DD
Dt0
)()( (2.48)
Si D es una variable que sigue una distribución discreta.
Los costos para este modelo son:
A: costo de lanzamiento = 0.
h: costo por mantener unidades en inventario al final del período, es decir, se
produce o adquiere más de lo demandado (costo/unidad física).
π: costo por déficit de unidades al final del período, es decir, se produce o adquiere
menos de lo demandado (costo/unidad física).
En h y π como es un solo período, no se expresa en (costo/unidad física – período).
c: costo unitario de producción (costo/unidad física).
Tiene que cumplirse que π c.
4. El objetivo del modelo es encontrar un valor r (tamaño de lote) que haga mínimo el
costo total.
Valor esperado del costo de mantener inventarios cuando se producen o adquieren r
unidades de producto.
)(*)(*)(0
DDrhrHEr
; r > D (2.49)
r –D: unidades en inventario
Valor esperado del costo por déficit cuando se producen o adquieren r unidades de
producto.
dDDrDrDEr
)(*)(**)( ; D > r (2.50)
)(*)(**)( DrDrDEr
(2.51)
D – r: unidades en déficit.
Valor esperado del costo de producción o adquisición de r unidades de producto.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
58
rcrCE **)( (2.52)
Valor esperado del costo total cuando se producen o adquieren r unidades de
producto.
rcdDDrDdDDDrhrCTEr
r
*)(*)(*)(*)(**)(0
(2.53)
rcDrDDDrhrCTEr
r
*)(*)(*)(*)(**)(0
(2.54)
Derivando respecto a r se obtiene:
h
cr
D*)( (2.55)
Es decir, el valor de r* puede hallarse:
Para distribuciones continuas de la demanda:
t
h
cdDD
0
)( (2.56)
Para distribuciones discretas de la demanda:
h
cD
t
D 0
)( (2.57)
En el caso particular que la demanda sea una variable con distribución continua que
sigue una distribución normal con media y variancia 2, se tendrá que encontrar el
valor de z que corresponde a una probabilidad con valor h
c y se planteará entonces:
x
Z (2.58)
Despejando x e igualando al valor de r*, quedará:
Zr ** (2.59)
Probabilidad de déficit (α)
*rDP (2.60)
*
)(r
dDD *
)(rD
D (2.61)
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
59
Cantidad a pedir cuando la demanda es aleatoria y se realiza una revisión periódica del
nivel de inventario.
Sean:
x: nivel de inventario en el momento de la revisión.
r*: nivel óptimo del inventario.
Si x ≥ r* no se pide.
Si x < r* se piden r* - x unidades del producto.
h
cr*)( (2.62)
Inventario de reserva para garantizar una probabilidad de déficit inferior a α con
un tiempo de reaprovisionamiento fijo
Sean:
NI: nivel de inventario.
M: consumo del producto por unidad de tiempo.
α: probabilidad de déficit.
T: tiempo de reaprovisionamiento.
r*: nivel de inventario máximo.
So: inventario de reserva.
En la figura 2.5 se muestra una representación gráfica del inventario de reserva.
Figura 2.5. Representación gráfica del inventario de reserva.
)( MDP (2.63)
M
dDD)( M
D)( (2.64)
0 *S M T (2.65)
NI
So
T
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
60
*M Z (2.66)
Cuando NI = So se piden r* unidades para que la probabilidad de déficit no sea mayor
de α durante el tiempo de reaprovisionamiento. Estas unidades arribarán transcurridas
T unidades de tiempo.
Ejemplo 2.5
Suponga que la demanda de una pieza de repuesto para aviones tiene la función de
probabilidad siguiente:
0 a todoPara 0
0 a todoPara 40
1
)(
e 40
a
a
Los costos de producción son de $500.00 por pieza y el costo de existir déficit es de $5
000.00 por pieza. Si el costo de mantener un producto en inventario es de $100.00.
Determine el número óptimo de piezas de repuesto que se deben producir para
minimizar el costo total.
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
c = $500.00/unidad
h = $100.00/unidad
π = $5 000.00/unidad
Demanda aleatoria, con distribución uniforme.
Modelo de período único sin costo de lanzamiento.
r* = ?
Utilizando la fórmula (2.56): *
40
0
5000 500 1( *)
5000 100 40
r D
r dDe
Donde:
5000 500( *) 0.88
5000 100r
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
61
Y:
eeeerrDDr
dD0
40
**
0
4040
*
040
1
Como:
88.01 40
*
er
88.0140
*
er
Aplicando logaritmo neperiano en ambos términos, para despejar r*.
12.0lnln 40
*
er
Pero:
40
*ln 40
* re
r
y 12.0ln 2.12
Entonces:
40
*r2.12
40*12.2*r
84*r piezas
Habrá que producir un lote de 84 piezas para minimizar el costo total.
2.6. Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de inventarios
La teoría de inventarios es otro de los temas dentro de la Investigación de Operaciones
II en el cual se aplica el software WinQSB.
Para solucionar un problema de inventario a través del WinQSB, se va a tomar el
ejemplo siguiente:
Ejemplo 2.6
La planta de Conexiones, perteneciente a la empresa Ciegoplast, se encarga de la
fabricación de los codos de 90°. La materia prima que se utiliza es suministrada por un
proveedor externo y una vez que es pedida llega el lote completo. En la planta se
consumen 3 000 toneladas al año. El costo por mantener en inventario una tonelada es
de $0.50, y el costo de ordenar es de $50.00/pedido. Debido a las características de las
producciones que se realizan no se permiten faltantes.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
62
Solución del problema:
Una vez seleccionada la opción Inventory Theory and System del WinQSB, dar clic en
el botón correspondiente en la barra de herramientas, la ventana que sale como
resultado de esta acción, es la que se muestra en la figura 2.6.
Figura 2.6. Ventana de entrada de datos generales de un problema de teoría de
inventario con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
En esta ventana se pone el título del problema, se establece la unidad de tiempo que
por defecto es año (por tanto todos los datos del problema tienen que estar en año o la
unidad especificada) y de todas las opciones que aparecen en: Problem Type, se
trabajará en este texto con la primera, que aunque el título de la opción hace referencia
al modelo EOQ, en la entrada de datos se puede establecer la información que conlleve
al modelo determinista para un solo producto; luego se da clic en OK y se obtiene la
figura 2.7.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
63
Figura 2.7. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de inventario
con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, como se muestra a
continuación:
Demand per year: demanda por período (lo que generalmente se expresa en
unidades por año).
Order or setup cost per order: costo de ordenar una orden o de preparar un lote.
Unit holding cost per year: costo unitario de almacenamiento por período de tiempo.
Unit shortage cost per year: costo unitario por déficit por período de tiempo.
1. Unit shortage cost independent of time: costo unitario por déficit, independiente del
tiempo.
2. Replenishment or production rate per year: razón de producción o de
reaprovisionamiento por período de tiempo.
Lead time for a new order in year: plazo de entrega para una nueva orden en
unidad de tiempo.
Unit acquisition cost without discount: costo unitario de adquisición sin descuento.
Number of discount breaks (quantities): número de cortes de descuento (cantidad).
Order quantity if you known: cantidad a ordenar si se conoce.
Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el
botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del
menú Solve and Analyze, obteniendo como resultado la figura 2.8.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
64
Figura 2.8. Ventana de resultados de un problema de teoría de inventario con el
WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
Esta tabla queda dividida en dos partes, en la primera parte se muestran los datos de la
tabla de entrada de datos explicada anteriormente y en la segunda se muestran todos
los resultados que se pueden obtener al solucionar un problema de teoría de
inventarios con el uso del WinQSB, los cuales se describen a continuación:
Cantidad a ordenar (Q*), 774.5967 codos.
Inventario máximo (Imáx), 774.5967 codos.
Déficit máximo (B*), 0.
Intervalo para ordenar por períodos de tiempo (T), 0.2582 año.
Punto de reorden (ROP), 0.
Costo total de preparación o ordenar, $193.6492.
Costo total de mantener inventario, $193.6492.
Costo total por déficit, 0.
Subtotal (suma de los tres costos anteriores), $387.2983.
Costo total del material (c*D), 0.
Costo total (subtotal + costo total del material), $387.2983.
2. 7. Ejercicios resueltos
1. La empresa de Conservas de Vegetales “Los Atrevidos” tiene una demanda de
36 000 pomos de mayonesa al mes y su capacidad de producción es de 7 200
pomos de mayonesa al día. Se conoce que el costo de producción es de
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
65
$2.00/pomo, el costo de lanzamiento $28.00 y el costo por mantener el
inventario es de $0.1/día. Se sabe además, que dada la política de inventario en
la empresa, no se permite déficit y que se trabajan 25 días al mes. La empresa
desea conocer:
a) El tamaño óptimo que deben tener las corridas de producción y la frecuencia
con que se deben hacer dichas corridas.
b) La cantidad máxima de pomos de mayonesa que tendrá que tener en
inventario.
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
ψ = 7 200 pomos/d
D = 36 000 pomos/m = 1 440 pomos/día
A = $28.00
c = $2.00/pomo
h = $0.10/día
Modelo en que no se permite déficit.
a) *Q ? y *f ?
Utilizando la fórmula (2.17):
* 2*36000*28 11003
360000.10 17200
Q pomos
Para Q* = 1003 pomos CT = 2062.21
Para Q* = 1004 pomos CT = 2064.21
El menor costo total se obtiene con Q* = 1 003 pomos.
Utilizando la fórmula (2.19):
* 360001.43
1003f días
En cada corrida se deben llenar aproximadamente 1003 pomos de mayonesa y
cada 1.43 días se debe comenzar la producción de una nueva corrida.
b) Utilizando la fórmula (2.22):
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
66
*
2
14402*28(1 )7200 0.56
1440*0.1t
Utilizando la fórmula (2.20):
*1440*0.56 806.4 807
máxI pomos
El nivel máximo de inventario será de 807 pomos de mayonesa.
2. Resuelva de forma manual el ejemplo 2.6 solucionado anteriormente mediante el
software WinQSB.
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
D = 3 000 toneladas/año
A = $50.00
h = $0.50/t
Modelo con reaprovisionamiento instantáneo y no se permite Déficit (EOQ).
*Q ? Y *f ?
Utilizando la fórmula (2.27):
* 2*3000*50774.60
0.50Q toneladas
Utilizando la fórmula (2.29):
* 30003.87
774.60f veces/año
El tamaño óptimo del lote es de 775 toneladas y se debe pedir 3.87 veces al año.
3. En la empresa de bebidas y refrescos se reciben piezas de repuesto para
reponer la embotelladora, las cuales son usadas a razón de 2 000 por mes. Las
piezas son suministradas por otra empresa y se piden en una sola partida que
demora 1 día a partir del momento de la solicitud. Cada pieza cuesta $4.00 y el
costo de ordenar es de $80.00. El costo por mantener una pieza en inventario
es de $2.00 por mes y si no hay piezas cuando estas se soliciten, se incurre en
un costo de $1.00/pieza – mes. Ante esta situación, el director ha ordenado
realizar un estudio para determinar:
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
67
a) Cantidad óptima de piezas suministradas a la empresa en cada corrida.
b) Frecuencia con que se deben hacer las corridas de producción.
c) Déficit máximo que se puede permitir.
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
D = 2 000 piezas/mes
A = $80.00
c = $4.00
h = $2.00/piezas – mes
π = $1.00/piezas – mes
Modelo con reaprovisionamiento instantáneo.
a) *Q ?
Utilizando la fórmula (2.35):
* 2*2000*80 2 1692.82
2 1Q piezas
Para Q* = 692 piezas CT = 158.54.
Para Q* = 693 piezas CT = 158.65.
El valor de Q* es 692 piezas ya que con este se alcanza el menor valor de costo
total.
b) *f ?
Utilizando la fórmula (2.37):
* 20002.89
692.82f
En el mes se harán 2.89 corridas y el tamaño de cada lote será de 692 piezas.
c) *B ?
Utilizando la fórmula (2.38):
2*2000*2*2*80* 461.88 462
(2 1)1B piezas
El déficit máximo que se puede permitir es de 462 piezas por pedido.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
68
4. En la planta de Gas Licuado de Petróleo, se realiza el llenado de cilindros para
brindar el servicio al sector residencial. En la planta de llenado de dichos cilindros,
se tiene que la demanda sigue una distribución uniforme entre 800 y 900 cilindros
diarios. Se conoce que el costo por mantener inventario es de $0.01/cilindro y el
costo de producción hasta el proceso de llenado, es de $5.6/cilindro. En caso de que
la empresa trabajara con déficit de cilindros para llenar, su costo sería de
$7.475/cilindro. A partir de lo datos que se conocen acerca del sistema de inventario
de la planta de llenado, se desea conocer:
a) ¿Qué cantidad de cilindros deben arribar diariamente para minimizar los costos
del proceso?
b) Si se conoce que el llenado de cilindro es aleatorio y sigue una distribución
normal, con media diaria de 788 cilindros y desviación típica de 56 cilindros,
además se conoce que el reaprovisionamiento ocurre en el plazo de un día.
¿Cuánto hay que tener en inventario para que en el momento de recomenzar el
llenado la probabilidad de déficit no sea mayor del 5%?
Solución:
Identificación del modelo.
Datos:
c = $5.60/cilindro
h = $0.01/cilindro
π = $7.48/cilindro
Demanda aleatoria, donde D sigue una distribución uniforme.
1 para 800 D 900
100
( )
0 para otro valor
D
Modelo de período único sin costo de lanzamiento.
a) r*=?
Utilizando la fórmula (2.55):
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
69
7.48 5.60( *) 0.25
7.48 0.01r
Utilizando la fórmula (2.56):
**
800800
1 1( *)
100 100
rr
r dD D
25.0800*100
1*)( rr
Despejando r*:
80010025.0*r
825*r cilindros
Para minimizar los costos del proceso deben arribar al área de llenado 825 cilindros
al día.
b) a N (788; 56)
Utilizando la fórmula (2.66):
788 56*1.96 897.76 898M cilindros/día
Como T = 1 día
Utilizando la fórmula (2.65):
0 898*1 898S cilindros
Se debe tener en inventario 898 cilindros para que la probabilidad de déficit no sea
mayor del 5%.
2.8. Ejercicios propuestos
1. La empresa Súchel S.A. requiere de 250 toneladas por año de glicerina para
ejecutar la producción de los tipos diferentes de sus jabones de tocador. El
proveedor es capaz de suministrarle el material señalado a una razón de 1 000
toneladas por año y a un costo de $500/tonelada.
De acuerdo a la situación de sus inventarios, la glicerina tiene un costo de
almacenamiento de un 30 % al año. La existencia de faltantes pudiera generar
costos irrecuperables para la empresa.
Si ordenar un lote le cuesta a Súchel S.A. $160.00, determine:
a) Tamaño económico del lote a adquirir.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
70
b) Nivel de inventario máximo a alcanzar y el momento en que se alcanza este.
c) Frecuencia de pedidos en el año.
2. Una empresa necesita 20 000 unidades al año del producto x para realizar el
ensamblaje de su producto insignia. Realizar el almacenamiento representa un
costo del 25% anual. La empresa presenta 2 opciones para lograr el inventario de
este producto x:
a) Producirlo a una razón de 50 000 unidades al año y a un costo de producción de
$5/unidad con un costo de lanzamiento de un lote de $100.00.
b) Comprarlo a una razón de 60 000 unidades al año y a un costo de adquisición de
6 $/unidad con un costo de ordenar un lote de $120.00.
Se conoce además que la compañía se puede trazar dos políticas de inventario:
1. Permitir que exista faltante del producto a un costo de 4 $/unidad – año.
2. No permitir la existencia de faltantes.
Para cada política de inventario, determine:
Cantidad óptima de unidades del producto x a producir o comprar para hacer
mínimo el costo total de inventario ¿A cuánto asciende este?
¿Cuántas veces al año se debe realizar la adquisición o producción de un lote de
productos x en la cantidad determinada anteriormente?
¿Cuál es el nivel máximo que tendrá el inventario y en qué momento se alcanza
este?
¿En qué momento se produce la ruptura del inventario?
3. Un jefe de compras desea conocer la cantidad económica a ordenar de
empaques plásticos para su posterior comercialización. La demanda anual se
estima en 2 000 unidades, el costo de una orden es de $30.00/pedido. Cada
empaque se compra a $10.00/unidad y el costo de almacenaje asciende al 15%
anual.
a) Encuentre el tamaño de lote económico.
b) Calcule el número de pedidos a comprar en el año.
c) Calcule el tiempo entre pedidos.
d) Calcule el costo total del manejo de inventarios anual.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
71
4. Una tienda vende equipos de sonido. La demanda histórica mensual de un
reproductor de CD indica que tiene una distribución normal con media de 28 y
desviación estándar de 8. Lleva alrededor de tres meses que llegue un pedido, una
vez colocada la orden. El costo de un equipo es de $60.00. La tasa de costo de
mantener el inventario es de un 30%. La empresa desea conocer qué cantidad de
equipos deben arribar mensualmente a la empresa para minimizar los costos
totales.
5. En una empresa textil la demanda de telas para una semana sigue una distribución
uniforme, entre 70 y 120 m. Cada metro de tela cuesta $30.00 y la tasa de interés
anual para evaluar el costo del inventario es del 7%. La existencia de faltante implica
un costo de $40.00 por m. Determine:
a) La cantidad de metros de tela que deben arribar semanalmente a la empresa
para minimizar los costos totales.
b) Si se conoce que el reaprovisionamiento ocurre en el plazo de un día ¿a qué
nivel de inventario debe hacerse un pedido para que la probabilidad de que
ocurra déficit sea de 0.05?
6. Una empresa produce bujes a razón de 1 000 bujes/día y lo consume en otra línea
de producción a razón de 700 bujes/día. Se conoce que el costo de lanzamiento es
de $50.00 por pedido y el costo de almacenamiento es de $5.00/unidad. Se sabe
además, que la carencia de este producto originaría graves problemas en la
empresa. La empresa desea conocer:
a) El número óptimo de unidades a producir en cada lote de producción.
b) ¿Cada qué tiempo se debe comenzar la producción de un lote?
c) Determine los costos totales anuales del inventario.
2.9. Preguntas de autoevaluación
1. Defina el concepto de inventario y diga algunas ventajas y desventajas del mismo.
2. ¿Cuáles son las funciones del inventario en una empresa?
3. Defina el concepto de Administración de inventarios.
4. ¿Cómo se clasifican y cuáles son los costos de un sistema de inventario?
5. Diga las características y el ciclo de inventario para el modelo general de inventario
determinístico y sus tres casos particulares.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
72
6. ¿Cuáles son las características del modelo de inventario estocástico para un solo
período sin costo de lanzamiento?
7. En una empresa de servicios o de producción, analice las particularidades del
sistema de inventarios.
2.10 Bibliografía consultada
1. Acevedo Suárez, J.A.et al. (2010). La logística moderna en la empresa. Capítulo 6
“Gestión de inventario” pp. 168 – 230, La Habana, Editorial Félix Varela.
2. Álvarez – Buylla Valle, Mercedes (1987). Modelos Económicos – Matemáticos.
Tomo II, Capítulo 4 “Modelos de inventario” pp. 390 – 450, La Habana, Editora
ISPJAE.
3. Cespón Castro, R. y Amador Orellana, María A. (2003). Administración de la cadena
de suministros: manual para estudiantes de la especialidad de Ingeniería Industrial.
Universidad Tecnológica Centroamericana, San Pedro Sula, Honduras. Parte V,
“Gestión de inventarios” pp. 58 – 74.
4. Chase, R. B.; Jacobs, F. R; Aquilano, N. J (2005). Administración de la producción y
operaciones para una ventaja competitiva. Capítulo 14 “Control de inventario” pp.
604 – 647, Editorial Mc. Graw-Hill. Interamericana.
5. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (2005). Métodos Cuantitativos para la Toma de
Decisiones en Administración. Tomo II, Capítulo 13 “Sistemas y modelos de
inventarios” pp. 402 – 430, La Habana, Editorial Félix Varela.
6. Garces, S. (2010). Teoría de inventarios, disponible en:
http://boards5.melodysoft.com/FORON1UNEFA/teoria-de-inventarios-ensayo-
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7. Hillier, F.S y Lieberman, G.J. (2007). Introducción a la Investigación de Operaciones.
Tomo III, Capítulo 17 “Teoría de inventarios” pp. 756 – 797, Quinta Edición, La
Habana, Editorial Félix Varela.
8. Investigación operaciones (2011), disponible en: http://www.investigacion-
operaciones.com/Modelo%20Inventarios.htm [Consultado el 15 de febrero de 2011].
9. Kaufmann, A. (1981). Métodos y Modelos de la Investigación de Operaciones.
Capítulo 4 “Problemas de inventarios” pp. 195 – 235, Cuarta Edición, La Habana,
Editorial Pueblo y Educación.
CAPÍTULO II: MODELOS DE TEORÍA DE INVENTARIOS
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10. Marrero Delgado, F. (2009 [a]). Conferencia “Modelos de inventarios
determinísticos”, disponible en http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 15 de
marzo de 2011].
11. Marrero Delgado, F. (2009 [b]) Conferencia “Modelos de inventarios estocásticos”,
disponible en: http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 5 de marzo de 2011].
12. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (2003) Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa
de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 7 “Teoría y
sistemas de inventario” pp. 70 – 77.
13. Richard, I. L y Kirkpatrick, C. H. Modelos de inventario, disponible en:
http://www.ur.mx/cursos/post/obarraga/base/davila.htm [Consultado el 15 de febrero
de 2011].
14. Sipper, D. y Bulfin, R. L. (1999). Planeación y control de la producción. Primera
Edición, Primera reimpresión, México D.F, Mc. Graw – Hill, pp. 238 – 240.
15. Sipper, D y Bulfon, R. L. (2004). Planeación y control de la producción. Capítulo 6
“Inventarios: sistemas de demanda independiente” pp. 218 – 313. Editorial Mc.
Graw-Hill. Interamericana.
16. Vargas Martínez, J. E. (2011). Administración de inventarios, disponible en:
http://www.investigacion-operaciones.com/Lote%20Economico.htm [Consultado el 8
de marzo de 2011].
17. Wiley, J. y Sons, Ltd. (2004). Introduction to logistics systems planning and control.
74
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
3.1. Introducción
El presente capítulo aborda el tema de la programación dinámica, en el cual se tratarán
los conceptos fundamentales, así como algunas de las diversas técnicas que incluye,
como los problemas de camino óptimo, asignación de recursos y producción con
inventarios para un determinado período.
Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:
6. Conocer los conceptos básicos en los que se basan los problemas de programación
dinámica.
7. Solucionar manualmente problemas de este tipo. Hacer énfasis en la interpretación
económica y analítica de estas soluciones a la luz de las condiciones particulares de
los problemas que se presentan.
Como prerrequisitos para este tema se exigen:
El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, cálculo diferencial e
integral, de la formulación y solución del problema de programación lineal e informática.
3.2. Fundamentación teórica de la programación dinámica
Muchos problemas de programación matemática determinan soluciones que repercuten
en la formulación de los problemas a resolver en el próximo período o etapa. Una
alternativa es construir un único modelo completo que tenga un gran conjunto de
variables. Sin embargo, esto puede agrandar mucho el tamaño del problema. Surge así
la programación dinámica como una alternativa de descomposición en que se resuelven
subproblemas más pequeños y luego se complementan. Básicamente, la programación
dinámica es esa transformación: analiza un proceso de toma de decisiones
secuenciales o de pasos múltiples, que contiene muchas variables de decisión
interrelacionadas y lo convierte en una serie de subsistemas de un solo paso, cada uno
con pocas variables.
Esta trasformación tan importante se basa en el principio de la optimización de la
programación dinámica, que fue formulado por Richard E. Bellman como sigue:
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
75
“Una política óptima tiene la propiedad de que cualquiera que sea el estado y la
decisión inicial, las decisiones restantes deben constituir una política óptima con
respecto al estado resultante de la primera decisión” (Bellman, 1957).
En este tipo de problemas se pueden obtener varias (incluso infinitas) soluciones
distintas. Más que un modelo concreto es una estrategia de resolución, y la solución
obtenida está estrechamente relacionada con la situación que se desea modelar. La
principal ventaja de esta técnica es que mediante un esquema simple de cálculo,
permite obtener la o las soluciones óptimas de un árbol de posibilidades.
El óptimo de un problema de programación dinámica se encuentra en la última etapa al
ser evaluada la función recursiva para cada una de las etapas o subproblemas en que
está dividido un problema de programación dinámica.
Los problemas que resuelve la programación dinámica pueden ser determinísticos o
estocásticos. En este texto se estudiará la programación dinámica determinística con
horizonte finito, es decir, con un número finito de etapas y, dentro de esta, resulta de
interés el estudio de tres tipos de problemas en particular: el problema del camino
óptimo, el problema de asignación de recursos y el problema de producción con
inventarios. Aunque existen otros como por ejemplo, el problema de la mochila.
Para cada tipo de problema se plantearán algunos elementos de carácter general; pero
debe tenerse en cuenta que cada problema presenta características particulares que se
analizarán en el momento de darle solución.
De acuerdo a la literatura científica internacional, las principales aplicaciones de la
programación dinámica están encaminadas a:
Para resolver problemas de camino óptimo.
Para resolver problemas de asignación en los cuales se asignen varios recursos a
una actividad.
Para resolver problemas de producción con inventarios.
Para resolver problemas de conformación de cargas.
3.2.1. Elementos de un problema de programación dinámica
Los elementos que caracterizan la programación dinámica son:
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
76
1. Etapas (n): cada uno de los subproblemas en que puede dividirse el sistema o
problema analizado.
2. Estados (S): cada situación en que puede encontrarse el sistema en una etapa dada
y a partir del cual se adopta una política de decisión determinada.
3. Variable de decisión (xn): alternativa de solución que se le puede dar al sistema en
una etapa determinada conociéndose el estado en el cual se encuentra al comenzar
dicha etapa.
4. Función objetivo o función recursiva (fn*(S)): función que optimiza la medida de la
efectividad elegida.
fn*(S) = Máx/Mín [fn(S, xn)] (3.1)
fn*(S, xn) = Máx/Mín [fn(xn) + f*n-1(xn)] (3.2)
Donde:
f*n-1( xn ): expresión recursiva que permite encontrar el valor óptimo en la etapa
anterior, a partir de la decisión tomada en la etapa n.
Para cada tipo de problema se definirán estos elementos de forma específica, pero
siempre estos deben reflejarse claramente antes de iniciar la solución matemática del
problema.
3.3. Problema del camino óptimo
Una definición general para este tipo de problema puede ser:
Considerar un conjunto de puntos {Pi}, i = 1, 2,..., m, con una matriz de costos asociada
Cij, donde Cij es el costo de moverse directamente de Pi a Pj en un paso y se asume
que Cij 0 .
El problema del camino óptimo consiste en ir del punto Pi al punto Pm con un costo total
mínimo. Igualmente puede ser el de cubrir la distancia mínima o el de minimizar el
tiempo requerido para ir de Pi a Pm.
Este tipo de problema puede abarcar otro caso más general. El punto puede
representar el estado de un producto en cualquier etapa de producción, o aún más,
puede representar el estado de cualquier sistema u objeto en cualquier etapa, durante
la transición o transformación de algún estado inicial dado a algún estado final deseado.
Dondequiera que haya alternativas entre transiciones intermedias se puede representar
el problema como uno de camino óptimo, siempre y cuando las decisiones involucradas
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
77
sean equivalentes, en todos los aspectos del modelo, a la selección de hacia que
estado moverse.
Elementos del problema
1. Etapas (n): cada una de las partes (tramos, períodos, etc.) en que puede dividirse el
sistema.
2. Estados (S): la posible situación del sistema al inicio de cada etapa.
3. Variable de decisión (Xn): la situación en la que podrá encontrarse el sistema en la
etapa n.
4. Función de recursividad
f*n(S) = Máx/Mín [fn (S, xn)] (3.3)
f*n(S, xn) = Máx/Mín [fn (xn) + f*n-1(xn )] (3.4)
Este planteamiento general variará en dependencia de las características particulares
que presenta el problema específico del camino óptimo que se está tratando.
El ejemplo siguiente ha sido desarrollado especialmente para ilustrar las características
de este tipo de problemas.
Ejemplo 3.1
Encuentre el mejor camino para que un viajante vaya de 1 a 5, si cada nodo representa
un pueblo y las ramas las distancias en km.
Figura 3.1. Posibles rutas a recorrer por el viajante.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
78
Solución:
1. Etapas (n): tramos del camino que faltan para terminar el recorrido: n = 1 (de 41, 42
y 43 a 5); n = 2 (de 31, 32, 33 y 34 a 41, 42 y 43); n = 3 (de 21, 22 y 23 a 31, 32, 33
y 34); n = 4 (de 1 a 21, 22 y 23).
2. Estados (S): posibles pueblos en que se puede encontrar el viajante en una etapa
determinada.
3. Variable de decisión (Xn): ciudad a la que se dirige el viajante cuando le faltan n
etapas.
4. Función recursiva.
f*n(S) = mín [fn (S, xn)] (3.5)
f*n(S, xn) = mín [DS, xn + f*n-1(xn )] (3.6)
Donde:
DS, xn: distancia en que se incurre cuando se está en el estado S y se decide moverse a
xn.
Para n = 1, cuando falta solamente una etapa:
Se debe encontrar lo política óptima, por medio de la función de recursividad f*1(s), para
cuando al viajante le falta solamente una etapa por recorrer.
En este caso:
f*1(S) = min (DS, x1)
Y no existen alternativas para la solución, ya que esta está determinada por el destino
final del viaje, es decir, la ciudad 5. El resultado de este análisis se expresa en la tabla
3.1.
Tabla 3.1. Resultados para la etapa n = 1
S f*1(s) x*1
41 4 5 42 5 5 43 5 5
Para n = 2, cuando faltan dos etapas:
Cuando faltan dos etapas el procedimiento requiere más cálculos.
Por ejemplo, suponga que el viajante está en la ciudad 31 y debe ir a la 41 ó la 42, a
una distancia de 4 ó 7 km, respectivamente; si decide ir a la 41 la distancia es de 4 km y
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
79
la distancia mínima por ir de ahí al pueblo 5 ya fue determinada en la tabla 3.1 y es 4,
por lo que el costo total de su decisión para esas dos etapas será: 4 + 4 = 8 km.
De forma similar, la distancia total, si decide ir al pueblo 42 desde el 31, será:
7 + 5 = 12 km.
Por lo tanto, el viajante debe seleccionar la ciudad 41, x2 = 42, ya que es la decisión
que ofrece el mínimo costo total cuando se parte de la ciudad 31, f*2(31) = 8.
Procediendo de igual forma para el análisis de los pueblos 32, 33 y 34, se obtienen los
resultados que se muestran en la tabla 3.2.
Tabla 3.2. Resultados para la etapa n = 2
X2 S
f2 (S, x2) = DS, x2 + f*1( x2 ) f*2(S)
x*2 41 42 43
31 4 + 4 = 8 7 + 5 = 12 - 8 41
32 5 + 4 = 9 4 + 5 = 9 - 9 41 ó 42
33 6 + 4 = 10 5 + 5 = 10 - 10 41 ó 42
34 - 6 + 5 = 11 7 + 5 = 12 11 42
Para n = 3, cuando faltan tres etapas:
Para solucionar este subproblema se hace un análisis semejante al de la etapa anterior,
teniendo en cuenta que la expresión recursiva se evalúa con el valor óptimo obtenido
para n = 2; es decir, con f*2(x3). El procedimiento y los resultados obtenidos para cada
estado posible se muestran en la tabla 3.3.
Tabla 3.3. Resultados para la etapa n = 3
X3 S
f3 (S, x3) = DS, x3 + f*2( x3 ) f*3(S)
x*3 31 32 33 34
21 7 + 8 = 15 4 + 9 = 13 7 + 10 = 17 - 13 32
22 - 5 + 9 = 14 4 + 10 = 14 - 14 32 ó 33
23 - 6 + 9 = 15 5 + 10 = 15 6 + 11 = 17 15 32 ó 33
Para n = 4, cuando faltan cuatro etapas:
En este caso existe un solo estado, el pueblo 1, de donde parte el viajante. La distancia
de las alternativas de solución será el de ir del pueblo 1 al destino inmediato, más el
costo mínimo a partir de esa decisión, dado por la expresión recursiva f*3(x4),
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
80
seleccionándose la alternativa que proporcione la mínima distancia total. En la tabla 3.4
se presentan los resultados de este análisis.
Tabla 3.4. Resultados para la etapa n = 4
X4 S
f4 (S, x4) = DS, x4 + f*3( x4 ) f*4(s)
x*4 21 22 23
1 5 + 13 = 18 4 + 14 = 18 6 + 15 = 21 18 21 ó 22
Interpretación de la solución
Para obtener el resultado del problema se parte de la última etapa, es decir, n = 4
considerando que el problema real se inicia en el pueblo 1. Para esa etapa, los
resultados indican que el viajante debe ir inicialmente a la ciudad 21 ó 22, ya que para
ambas se obtiene el mismo valor óptimo.
Suponga que se selecciona x*4 = 21. El resultado del subproblema para tres etapas,
partiendo del pueblo 21, será x*3 = 32. Prosiguiendo el mismo análisis para el
subproblema de dos etapas se encuentra que para la ciudad 32 la decisión óptima será
x*2 = 42 y finalmente, cuando falta solamente una etapa, a partir del 42, x*1 = 5.
Si al determinar el nodo destino más de uno cumplen con esta condición, se generan
alternativas múltiples (más de una ruta óptima) y entonces seguidamente se muestran
las rutas óptimas para el caso analizado.
1 21 32 41 5
1 21 32 42 5
1 22 32 41 5
1 22 32 42 5
1 22 33 41 5
1 22 33 42 5
Para estas seis alternativas de solución existe una única distancia total a recorrer que
es de 18 km, por lo que el viajante podrá seleccionar entonces, cualquiera de las seis
rutas obtenidas para ir del pueblo 1 al pueblo 5, a una distancia total mínima de 18 km.
3.4. Problema de asignación de recursos
El problema de asignación, se ocupa de la distribución de diferentes tipos de recursos a
varias actividades competitivas de diferente naturaleza; de manera que la variable de
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
81
decisión está dada por la cantidad de recursos que se asignan a cada actividad, y
resulta característico que esta cantidad sea entera.
Una definición general para este tipo de problema puede ser: se dispone de una
cantidad de medios (recursos) k que deben ser distribuidos entre objetivos económicos
O1, O2,…, Om. La inversión de cierta cantidad de medios x en cada uno de los objetivos
económicos Oj rinde un beneficio que depende de x, es decir, representa una función
fi(x) conocida. Por lo que puede formularse la pregunta: ¿cómo se deben distribuir los
medios k entre los objetivos económicos para obtener en conjunto un beneficio total
máximo?
Elementos del problema
1. Etapas (n): actividades que van a recibir los recursos.
2. Estados (S): recursos disponibles para asignar en la etapa analizada.
3. Variable de decisión (Xn): cantidad de recursos a asignar en la etapa n.
4. Función de recursividad:
f*n(S) = Máx/Mín [fn (S, xn)] (3.7)
f*n(S, xn) = mín [R(i,xn) + f*n-1(S - xn )] (3.8)
A continuación se desarrollará un ejemplo para analizar las características de este tipo
de problemas.
Ejemplo 3.2
El Grupo empresarial de la construcción de Villa Clara está llevando a cabo la
construcción de tres edificios. La empresa dispone de cuatro brigadas especializadas y
quiere determinar la forma óptima de asignar éstas a cada edificio en construcción.
Los datos de los días que dura la construcción de cada edificio, según el número de
brigadas que se asignen, se muestran en la tabla 3.5.
Solución:
1. Etapas (n): cada edificio en construcción n = 1 (edificio 1); n =2 (edificio 2);
n = 3 (edificio 3).
2. Estados (S): cantidad de brigadas pendientes por distribuir cuando faltan n etapas.
3. Variable de decisión (Xn): cantidad de brigadas a asignar en la etapa n.
4. Función recursiva.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
82
f*n(S) = mín [fn (S, xn)] (3.9)
f*n(S, xn) = mín [Di, xn + f*n-1(S - xn )] (3.10)
Donde:
Di, xn: cantidad de días de construcción de la obra i (i = 4 - n) cuando se le asignan xn
brigadas.
Tabla 3.5. Cantidad de días que demora cada construcción de acuerdo con el
número de brigadas que se asignen
Número de brigadas
Edificio en construcción 1 2 3
0 270 245 280 1 235 210 245 2 200 190 215 3 160 180 195 4 130 150 160
Para n =1 (Edificio 3)
Al analizar los estados posibles se tiene en cuenta que pueden quedar disponibles
todas las brigadas para el edificio 3, si no se le asigna ninguna a los edificios 1 y 2, o
que pueden haberse asignado a esos edificios todas las brigadas y que no quede
ninguna para el edificio tres. En esta etapa la decisión es única, es decir, se asignan al
último edificio todas las brigadas que queden disponibles. Los resultados para esta
etapa se muestran en la tabla 3.6.
Tabla 3.6. Resultados para la etapa n = 1
S f*1(s) x*1 0 280 0 1 245 1 2 215 2 3 195 3 4 160 4
Para n = 2 (Edificio 2)
Que falten dos etapas significa que aún falta por distribuir brigadas al edificio 2 y 3. La
cantidad máxima de brigadas disponibles para los edificios 2 y 3 es de cuatro, mientras
que la cantidad mínima disponible es cero; esto es posible, además, porque tanto el
edificio 2 como el tres admiten que se les asignen cero brigadas. Entre estos estados
mínimo y máximo están los restantes posibles; por cada uno se pueden evaluar
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
83
diferentes alternativas, siempre que se cumpla que x*2 ≤ S, como se muestra en la tabla
3.7.
Tabla 3.7. Resultados para la etapa n = 2
X2
S
f2 (S, x2) = DS, x2 + f*1(S - x2 ) f*2(s)
x*2
0 1 2 3 4
0 245 + 280 = 525
- - - - 525 0
1 245 + 245 = 490
210 + 280 = 490
490 0, 1
2 245 + 215 = 460
210 + 245 = 455
190 + 280 = 470
- - 455 1
3 245 + 195 = 440
210 + 215 = 425
190 + 245 = 435
180 + 280 = 460
- 425 1
4 245 + 160 = 405
210 + 195 = 405
190 + 215 = 405
180 + 245 = 425
150 + 280 = 430
405 0, 1, 2
Para n = 3 (Edificio 1)
En esta etapa solamente hay un estado posible. Es decir, el total de brigadas
disponibles, a partir del cual la solución obtenida para cada alternativa y la decisión
óptima se presentan en la tabla 3.8.
Tabla 3.8. Resultados para la etapa n = 3
X3
S
f3 (S, x3) = DS, x3 + f*2(S – x3 ) f*3(s)
x*3 0 1 2 3 4
4 270 + 405 = 675
235 + 425 = 660
200 + 455 = 655
160 + 490 = 650
130 + 525 = 655
650 3
Interpretación de la solución
A partir del estado S = 4 en la etapa n = 3 la decisión óptima es x*3 = 3, y queda una
brigada disponible cuando falta por asignar aún en los edificios 2 y 3. La decisión
óptima en la etapa n = 2 es x*2 = 0 ó x*2 = 1, o sea, la brigada no se asigna al edificio 2
y queda disponible para el edificio 3 o se le asigna la brigada al edificio 2 y no queda
disponible para el edificio 3. La asignación óptima será entonces como se muestra en la
tabla 3.9.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
84
La cantidad total mínima de días de construcción de los 3 edificios es 650, resultado
que se obtiene del valor óptimo de la función recursiva en la última etapa: f*3(4) = 650
Tabla 3.9. Asignación de brigadas a los edificios
Edificio Número de brigadas asignadas
1 3 3
2 0 1
3 1 0
3.5. El problema de producción con inventarios para un determinado período
Los sistemas de producción con inventarios son muy variados, cada uno presenta un
nivel de complejidad diferente y es innegable la importancia que tienen para la
planificación y el desarrollo de la economía. Determinar el nivel de inventario para
diferentes períodos de forma que se garantice cierto flujo de producción, calcular el
tiempo de reaprovisionamiento de materias primas y materiales, estudiar el
comportamiento de la demanda, son algunos de los aspectos más importantes
analizados por estos sistemas.
La programación dinámica da solución a uno de los casos más sencillos: el problema
de producción con inventarios de un solo producto para un determinado período, con
demanda conocida para cada subperíodo.
La descripción general de este tipo de problema es:
Se debe producir un producto x en un determinado período; se conoce la capacidad de
producción y la demanda del mismo para cada subperíodo y se puede almacenar para
ser utilizado posteriormente. Se conocen los costos de producción y de
almacenamiento, y se desea determinar la cantidad a producir en cada subperíodo para
minimizar los costos totales del período.
Elementos que componen un problema de producción con inventario
1. Etapas (n): cada uno de los subperíodos de tiempo en que se puede dividir el
período de planificación.
2. Estados (S): cantidad de unidades del producto en inventario al inicio de cada etapa.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
85
3. Variable de decisión (Xn): cantidad de unidades a producir en cada uno de los
subperíodos de tiempo.
4. Función de recursividad
f*n(S) = mín [fn (S, xn)] (3.11)
f*n(S, xn) = mín [Cp(xn) + CI(S) + f*n-1(S + xn - dn)] (3.12)
Para analizar las características de este tipo de problemas se resolverá el ejemplo
siguiente.
Ejemplo 3.3
La UEB NO 1 de tabaco torcido para la exportación de Santa Clara desea confeccionar
su plan de producción para los próximos tres meses, considerando que debe cumplir la
demanda mensual y que sus productos son elaborados por lotes. Los tabacos se
pueden producir en un mes y almacenarse para ser vendidos posteriormente; al
comienzo del trimestre hay un lote en inventario y se desea que al final haya la misma
cantidad.
Se desea conocer cuánto debe producirse cada mes para minimizar el costo total en el
trimestre. Los datos necesarios se muestran en la tabla 3.10.
Tabla 3.10. Datos del ejemplo
Febrero Marzo Abril Demanda 3 3 2 Costo de producción (MP/lote) 6 6 6
Costo de inventario (MP/lote) 3 3 3
Capacidad de producción (lotes/mes) 4 4 4
Capacidad de almacenamiento (lotes/mes) 6 6 6
Solución:
1. Etapas (n): número de meses que faltan para el fin del trimestre n = 1 (abril); n =2
(marzo); n = 3 (febrero).
2. Estados (S): cantidad de lotes en inventario al inicio de cada etapa.
3. Variable de decisión (Xn): cantidad de lotes a producir en cada etapa.
4. Función recursiva.
f*n(S) = mín [fn(S, xn)] (3.13)
f*n(S) = mín [CPxn + CIS + f*n - 1(S + xn – dn)] (3.14)
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
86
Para una mejor comprensión del procedimiento de solución para este ejemplo, se
muestra las relaciones entre todos sus elementos en la figura 3.2.
Figura 3.2. Representación de las relaciones entre las etapas, estados, variables
de decisión y demanda del ejemplo.
El procedimiento de solución se muestra a continuación:
Para n = 1 (abril)
En esta primera etapa la decisión es única porque solo se producirá en dependencia de
la cantidad de equipos que hay en inventario para satisfacer la demanda de la etapa y
cumplir con la restricción del inventario al final del trimestre. De esta forma, si hay 0
lotes en inventario, la decisión será producir 3 lotes: dos para la demanda y otro para el
inventario final. Si hay un lote almacenado, se producirán dos lotes, y si hay tres en
inventario no será necesario producir ninguno, porque con esa cantidad se satisfacen
los requisitos planteados. Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.11.
Tabla 3.11. Resultados para la etapa n = 1
S f*1(s) x*1 0 18 + 0 = 18 3 1 12 + 3 = 15 2 2 6 + 6 = 12 1 3 0 + 9 = 9 0
Un análisis similar se hará para las restantes etapas, pero en esos casos se tendrán en
cuenta varias alternativas para cada estado y no solo una, ya que para n = 2 y n = 3 es
posible que S + xn ≥ dn, o sea, la cantidad en inventario más la producción en la etapa,
Si = 1
d = 3 n = 3
d = 3 n = 2
d = 2 n = 1
Febrero Marzo Abril Sf = 1
0 ≤ Cp ≥ 4
0 ≤ Ca ≥ 6
0 ≤ Cp ≥ 4
0 ≤ Ca ≥ 6
0 ≤ Cp ≥ 4
0 ≤ Ca ≥ 6
S 0 1 2
S 0 1 2 3
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
87
puede sobrepasar o ser igual a la demanda en ese subperíodo determinando esto los
estados posibles en la etapa anterior, es decir en el mes siguiente.
Para n = 2 (marzo)
Considerando los estados posibles para esta etapa, como se presenta en la figura 3.2 y
evaluando cada alternativa según lo que plantea la función recursiva, se obtienen los
resultados mostrados en la tabla 3.12.
Tabla 3.12. Resultados para la etapa n = 2
X2
S
f2(S, x2) = CPx2 + CIS + f*1(S + x2 - d2) f*2(S) x*2 1 2 3 4
0 - - 18 + 0 + 18 = 36
24 + 0 + 15 = 39
36 3
1 - 12 + 3 + 18 = 33
18 + 3 + 15 = 36
24 + 3 + 12 = 39
33 2
2 6 + 6 + 18 = 30
12 + 6 + 15 = 33
18 + 6 + 12 = 36
24 + 6 + 9 = 39
30 1
Para n = 3 (Febrero)
En esta etapa, que representa al primer mes del trimestre, habrá solamente un estado
posible, que será la cantidad de lotes en inventario al inicio del período, que como se
especifica en el problema es uno. La solución se muestra en la tabla 3.13.
Tabla 3.13. Resultados para la etapa n = 3
Interpretación de la solución
El mes de febrero se comienza con 1 lote en inventario, la decisión óptima es producir
dos lotes y como la demanda es 3, quedarán 0 lotes en inventario para el mes de
marzo.
En la tabla 3.12 (n = 2) se comienza con S = 0, la decisión óptima es producir 3 lotes,
como la demanda es 3, quedarán 0 lotes en inventario para el mes de abril.
X3 S
f3 (S, x3) = CP x3 + CIS + f*2(S + x3 – d3 ) f*3(S)
x*3
2 3 4 1 12 + 3 + 36
= 51
18 + 3 + 33
= 54
24 + 3 + 30
= 57
51 2
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
88
Para el último mes en la tabla 3.11 (n = 1), se tendrán 0 equipos en inventario y en este
caso la decisión es única y óptima, es decir, se producirán 3 lotes, con dos se satisface
la demanda y quedará un lote almacenado, cumpliéndose la restricción planteada en el
problema.
La solución óptima se muestra en la tabla 3.14.
Tabla 3.14. Solución óptima del ejemplo 3.3
Mes Inventario inicial
Producir Inventario final
Costo
Febrero 1 2 0 12 + 0 = 12 Marzo 0 3 0 18 + 0 = 18 Abril 0 3 1 18 + 3 = 21
El costo total mínimo al final del trimestre es de $51.00.
3.6. Utilización del WinQSB para resolver problemas de camino óptimo y
producción con inventario
El WinQSB permite resolver problemas de camino óptimo, producción con inventario y
el problema de la mochila, no siendo así para el caso de asignación de recursos.
3.6.1. Programación dinámica: camino óptimo
Para solucionar un problema de camino óptimo a través del WinQSB, se va a tomar
como base el ejemplo siguiente.
Ejemplo 3.4
El taller de maquinado de una empresa Sideromecánica recibe un pedido de cierta
pieza. Para su producción es necesario realizar 5 operaciones y se tienen 5 grupos de
máquinas para efectuar las mismas.
En la red de la figura 3.3 se representa el proceso, donde las ramas reflejan el tiempo
de procesamiento de la pieza en cada máquina. Determine el camino mínimo para que
la producción salga en el menor tiempo posible.
Solución del problema:
Una vez que se accede a la opción Dinamic Programming del software WinQSB se da
clic en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
89
barra de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se
muestra en la figura 3.4.
Figura 3.3 Representación gráfica del proceso.
Figura 3.4. Ventana de entrada de datos generales de un problema de
programación dinámica: camino óptimo con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión
1.0 for Windows.
En esta ventana se pone el título del problema, se establecen la cantidad de nodos del
problema y también se elige la opción que aparece marcada: Stagecoach (Shortest
A
B
C E
G
H
I
2
4
3
2
4
1
3
4
3
6
3
4
6
3
D F
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
90
Route) Problem (que es la que contempla los problemas de camino óptimo); luego se
da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura 3.5.
Figura 3.5. Ventana de entrada de datos de un problema de programación
dinámica: camino óptimo con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for
Windows.
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso sería
la distancia que existe entre los diferentes nodos.
Utilizando la opción Edit – Node Names se puede cambiar el nombre de los nodos.
Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el
botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del
menú Solve and Analyze, solicitándose la selección del nodo inicial y del nodo final,
como se muestra en la figura 3.6. Realizada esta selección se da clic en Solve y se
obtiene la ventana de resultados que se muestra en la figura 3.7.
Figura 3.6. Selección del nodo inicial y del nodo final.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
91
La tabla de los resultados incluye los elementos siguientes:
From Input State: desde (nodo inicial en la etapa analizada).
To Output State: hasta (nodo final en la etapa analizada).
Distance: distancia entre los nodos indicados anteriormente.
Cumulative Distance: distancia acumulada desde las etapas anteriores.
Distance to I: distancia hasta el nodo destino final del recorrido a realizar (en este
caso el nodo I).
Figura 3.7. Ventana de resultados de un problema de programación dinámica:
camino óptimo con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
El último renglón de esta tabla de resultados indica la distancia mínima que hay desde
el nodo origen hasta el nodo destino final del recorrido a realizar (en este caso desde el
nodo A hasta el nodo I, distancia mínima 11 km), así como el tiempo aproximado de
procesamiento del procesador (CPU).
3.6.2. Programación dinámica: producción con inventarios
Para solucionar un problema de producción con inventarios a través del WinQSB, se va
a tomar el ejemplo siguiente.
Ejemplo 3.5
La empresa Ciego – Plast ubicada en la provincia de Ciego de Ávila quiere confeccionar
para los primeros cinco meses del año entrante el plan de producción de los tanques de
agua para escuelas primarias. El producto puede producirse en un mes y almacenarse
para ser vendido posteriormente. En la tabla 3.15 se muestra la demanda y la
capacidad de producción para cada mes y el costo unitario de producción y
almacenamiento. Al comienzo del período no hay tanques en el almacén, ni se desea
que haya al final.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
92
La empresa desea conocer cuántos tanques debe producir cada mes para minimizar el
costo total al final del período, aclarando que no permite tener más de 3 tanques en
inventario.
Tabla 3.15. Programación de la producción para el trimestre
Mes
Demanda (Tanques)
Capacidad de producción (Tanques)
Costo unitario de producción ($/tanque)
Costo unitario de Almacenamiento ($/tanque)
Enero 2 4 30.00 2.00
Febrero 4 5 60.00 1.00
Marzo 5 5 30.00 5.00
Abril 3 4 50.00 2.00
Mayo 1 5 20.00 5.00
Solución del problema:
Una vez que se accede a la opción Dinamic Programming del software WinQSB se da
clic en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la
barra de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se
muestra en la figura 3.8.
Figura 3.8. Ventana de entrada de datos generales de un problema de
programación dinámica: producción con inventarios con el WinQSB. Fuente:
WinQSB versión 1.0 for Windows.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
93
En esta ventana se elige la opción que aparece marcada: Production and Inventory
Scheduling (que es la que contempla los problemas de producción con inventarios);
además se pone el título del problema, se establece la cantidad de períodos (los
períodos de tiempo en que se divide el estudio; constituyen las etapas del modelo de
programación dinámica: producción con inventarios); luego se da clic en OK y se
obtiene la ventana contenida en la figura 3.9.
Figura 3.9. Ventana de entrada de datos de un problema de programación
dinámica: producción con inventarios con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión
1.0 for Windows.
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, como se muestra a
continuación:
Period Identication: identificación de los períodos de tiempo en que se divide el
estudio (etapas).
Demand: demanda para cada período.
Production Capacity: capacidad de producción de cada período.
Storage Capacity: capacidad de almacenamiento de cada período.
Production Setup Cost: costo de lanzamiento o preparación para el período (es
independiente de la cantidad de unidades a producir en el período).
Variable Cost Function: función del costo variable.
Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el
botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del
menú Solve and Analyze, obteniendo como resultado la tabla contenida en la figura
3.10.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
94
Figura 3.10. Ventana de resultados de un problema de programación dinámica:
producción con inventarios con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for
Windows.
Esta tabla muestra los resultados que se pueden obtener al solucionar un problema de
producción con inventarios con el uso del WinQSB, ofreciendo los períodos de tiempo y
para cada uno de éstos: la demanda, inventario inicial, unidades producidas, inventario
final, costo de lanzamiento o preparación, función del costo variable (obtenido al evaluar
la función del costo variable), costo variable y costo total. El último renglón ofrece el
costo variable total y el costo total para esa política de producción con inventarios.
3.7. Ejercicios resueltos
1. Resuelva de forma manual el ejemplo 3.4 solucionado anteriormente empleando el
software WinQSB.
Solución:
1. Etapas (n): cada una de las operaciones: n = 1 (de G y H a I); n =2 (de E y F a G
y H); n = 3 (de B, C y D a E y F); n = 4 (de A a B, C y D).
2. Estados (S): posibles máquinas que realizan la operación en la etapa n.
3. Variable de decisión (Xn): posibles máquinas que van a realizar la operación en
la etapa siguiente.
4. Función recursiva.
fn*(S) = mín [fn(S, xn)] (3.15)
fn(S, xn) = mín [Ts,xn + f*n-1( xn )] (3.16)
Donde:
Ts,xn : tiempo de procesamiento cuando se está en el estado S y decide moverse a
Xn.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
95
Para n = 1, cuando falta una etapa.
El resultado de este análisis se expresa en la tabla 3.16.
Tabla 3.16. Resultados para la etapa n = 1
S f*1(s) x*1 G 3 I H 4 I
Para n = 2, cuando faltan dos etapas:
El procedimiento de solución para n = 2 aparece en la tabla 3.17.
Tabla 3.17. Resultados para la etapa n = 2
Para n = 3, cuando faltan tres etapas:
El procedimiento y los resultados obtenidos para cada estado posible se muestran
en la tabla 3.18.
Tabla 3.18. Resultados para la etapa n = 3
Para n = 4, cuando faltan cuatro etapas:
Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.19.
Tabla 3.19. Resultados para la etapa n = 4
X4 S
f4 (S, x4) = Ts,x4 + f*3( x4 ) f*4(S)
x*4 B C D
A 2 + 11 = 13
4 + 9 = 13
3 + 8 = 11
11 D
Interpretación de la solución
Para que el tiempo de procesamiento total sea el mínimo, se encontró el camino:
A D E G I, con una duración del proceso de 13 min.
X2 S
f2 (S, x2) = Ts,x2 + f*1( x2 ) f*2(S)
x*2 G H
E 6 + 3 = 9 3 + 4 = 7 7 H F 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 6 G
X3 S
f3 (S, x3) = Ts,x3 + f*2( x3 ) f*2(S)
x*2 E F
B 4 + 7 = 11 6 + 6 = 12 11 E C 2 + 7 = 9 4 + 6 = 10 9 E D 1 + 7 = 8 5 + 6 = 11 8 E
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
96
2. La UEB ¨ El Pinto desea conocer la programación de la producción para el próximo
trimestre de su producto principal (pan). Se conoce que se deben producir seis lotes
del producto para los tres meses y la capacidad de producción mensual es de tres
lotes.
La ganancia que obtiene la unidad por la venta de este producto varía en cada mes,
la que se estima para el próximo trimestre aparece en la tabla 3.20.
Cada lote que se produce es vendido en el propio mes.
Tabla 3.20. Ganancia para el trimestre
Ganancia por la venta de:
Mes Abril Mayo Junio
1 lote 170 165 160 2 lotes 300 285 290 3 lotes 425 410 430
Determine la programación de la producción para el próximo trimestre si se debe
producir un lote al menos en cada mes para garantizar el plan y se desea maximizar
la ganancia total.
Solución:
Aunque el problema se refiere a la producción de un producto por lotes, es un caso
de asignación, porque debe distribuirse la producción entre los tres meses.
1. Etapas (n): cada mes en que puede distribuirse el trimestre: n = 1 (junio); n =2
(mayo); n = 3 (abril).
2. Estados (S): cantidad de lotes del producto que quedan por producir cuando
faltan n etapas.
3. Variable de decisión (Xn): cantidad de lotes a producir en la etapa n.
4. Función recursiva.
fn*(S) = máx [fn(S, xn)] (3.17)
fn*(S) = máx [(Gs, xn + f*n-1(S - xn)] (3.18)
xn = 1, 2, 3 para n = 1, 2, 3, 4
Donde:
Gi, xn: ganancia que se obtiene por la venta en el mes i (i = 5 - n) de xn.
Para n = 1 (junio)
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
97
Los estados posibles son 1, 2 ó 3 porque al menos debe producirse un lote en ese
mes y no podrán producirse más de tres. La solución para esta etapa se muestra en
la tabla 3.21.
Tabla 3.21. Resultados para la etapa n = 1
S f*1(s) x*1
1 160 1
2 290 2
3 430 3
Para n = 2 (mayo)
Los estados posibles son 3, 4 ó 5 porque deben quedar al menos 2 lotes por
producir, para poder hacer uno en mayo y otro en junio, entonces quedarán como
máximo 5 lotes por producir porque al menos se debe haber hecho uno en abril.
El procedimiento de solución se muestra en la tabla 3.22.
Tabla 3. 22. Resultados para la etapa n = 2
X2
S
f2 (S, x2) = Gs,x2 + f*1 (S - x2 ) f*2(S)
x*2 1 2 3
3 165 + 290 = 455
285 + 160 = 445
- 455 1
4 165 + 430 = 595
285 + 290 = 575
410 + 160 = 570
595 1
5 - 285 + 430 = 715
410 + 290 = 700
715 2
Para n = 3 (abril)
Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.23
Tabla 3.23. Resultados para la etapa n = 3
X3
S
f3 (S, x3) = G1,x3 + f*2(S – x3 ) f*3(S) x*3 1 2 3
6 170 + 700 = 870
300 + 570 = 870
425 + 445 = 870
870 1 ó 2 ó 3
La solución óptima se presenta en la tabla 3.24.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
98
Tabla 3.24. Programación de la producción para el trimestre
Mes Producir
Abril 1 2 3
Mayo 2 1 1
junio 3 3 2
En el procedimiento de solución se ha tenido en cuenta la restricción en la cual se
plantea que se debe producir al menos un lote en cada mes; además, la capacidad
de producción es de tres lotes por mes, por lo que la producción no puede
sobrepasar esta cantidad.
3. Resuelva de forma manual el ejemplo 3.5 solucionado anteriormente empelando el
software WinQSB.
Solución:
1. Etapas (n): número de meses que faltan para el fin del período n = 1 (mayo); n =2
(abril); n = 3 (marzo); n = 4 (febrero); n = 5 (enero).
2. Estados (S): cantidad de unidades en inventario al inicio de cada etapa.
3. Variable de decisión (Xn): cantidad de unidades a producir en cada etapa.
4. Función recursiva.
f*n(S) = mín [fn(S, xn )] (3.19)
f*n(S) = mín [CPxn + CIS + f*n - 1(S + xn – dn)] (3.20)
En la figura 3.11 se representan las relaciones entre todos los elementos del
ejercicio resuelto 3.
El procedimiento de solución se muestra a continuación:
Para n = 1 (mayo)
Los resultados para esta etapa se muestran en la tabla 3.25.
Tabla 3.25. Resultados para la etapa n = 1
S f*1(S) x*1 0 20 + 0 = 20 1 1 0 + 5 = 5 0
Si hay 0 unidades en inventario, la decisión será producir 1 unidad para la demanda
y que quede 0 unidades en inventario final. Si hay una unidad almacenada, no será
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
99
necesario producir ninguna, porque con esa cantidad se satisfacen los requisitos
planteados.
Figura 3.11. Representación de las relaciones entre las etapas, estados,
variables de decisión y demanda del ejercicio resuelto 3.
Para n = 2 (abril)
El procedimiento de solución para esta etapa se muestra en la tabla 3.26.
Tabla 3. 26. Resultados para la etapa n = 2
X2 S
f2(S, x2) = CP x2 + CIS + f*1(S + x2 - d2) f*2(S) x*2
0 1 2 3 4 0 - - - 150 + 0 +
20 = 170 200 + 0 + 5 = 205
170 3
1 - - 100 + 2+ 20 = 122
150 + 2 + 5 = 157
- 122 2
2 - 50 + 4 + 20 = 74
100 + 4 + 5 = 109
- - 74 1
3 0 + 6 + 20 = 26
50 + 6 + 5 = 61
- - - 26 0
Para n = 3 (marzo)
Para etapa los resultados se muestran en la tabla 3.27.
Para n = 4 (febrero)
Los resultados para esta etapa se exponen en la tabla 3.28.
Para n = 5 (enero)
En esta etapa, que representa al primer mes del período, habrá solamente un
estado posible, que será la cantidad de unidades en inventario al inicio del período,
Si = 0
Sf = 0
Febrero Marzo Abril
0 ≤ Cp ≥ 5
0 ≤ Ca ≥ 3
0 ≤ Cp ≥ 5
0 ≤ Ca ≥ 3
0 ≤ Cp ≥ 4
0 ≤ Ca ≥ 3
d = 5
n = 3
d = 3
n = 2
d = 4
n = 4
0 ≤ Cp ≥ 4
0 ≤ Ca ≥ 3
Enero
d = 2
n = 5
d = 1
n = 1
Mayo
0 ≤ Cp ≥ 5
0 ≤ Ca ≥ 3
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
100
que como se especifica en el problema es cero. La solución se muestra en la tabla
3.29.
Tabla 3. 27. Resultados para la etapa n = 3
X3
S
f3(S, x3) = CPx3 + CIS + f*2(S + x3 – d3) f*3(S) x*3
2 3 4 5
0 - - - 150 + 0 +
170 = 320
320 5
1 - - 120 + 5 + 170
= 295
150+ 5 +
122 = 277
277 5
2 - 90 + 10 +
170 = 270
120 + 10 + 122
= 252
150 + 10 +
74 = 234
234 5
3 60 + 15 +
170 = 245
90 + 15 +
122 = 227
120 + 15 +
74 = 209
150 + 15 +
26 = 191
191 5
Tabla 3. 28. Resultados para la etapa n = 4
X4
S
f4(S, x4) = CPx4 + CIS + f*3(S + x4 – d4) f*4(S) x*4
2 3 4 5
0 - - 240 + 0 +
320 = 560
300 + 0 +
277 = 577
560 4
1 - 180 + 1 +
320 = 501
240 + 1 +
277 = 518
300+ 1 +
234 = 535
501 3
2 120 + 2 + 320 =
442
180 + 2 +
277 = 459
240 + 2 +
234 = 476
300 + 2 +
191 = 493
442 2
Tabla 3. 29. Resultados para la etapa n = 5
X5
S
f5(S, x5) = CPx5 + CIS + f*4(S + x5 – d5) f*5(S)
x*5
2 3 4
0 60 + 0 + 560 =
620
90 + 0 + 501 =
591
120 + 0 + 442 =
562
562 4
Interpretación de la solución
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
101
El mes de enero se comienza con 0 unidades en inventario, la decisión óptima es
producir 4 unidades y como la demanda es de 2, quedarán 2 unidades en inventario
para el mes de febrero.
En la tabla 3.28 (n = 4) se comienza con S = 2, la decisión óptima es producir 2
unidades, como la demanda es 4, quedarán 0 unidades en inventario para el mes de
marzo.
En la tabla 3.27 (n = 3) se comienza con S = 0, la decisión óptima es producir 5
unidades, como la demanda es 5, quedarán 0 unidades en inventario para el mes de
abril.
En la tabla 3.26 (n = 2) se comienza con S = 0, la decisión óptima es producir 3
unidades, como la demanda es 3, quedarán 0 unidades en inventario para el mes de
mayo.
Para el último mes en la tabla 3.25 (n = 1), se tendrán 0 equipos en inventario y en
este caso la decisión es única y óptima, es decir, se producirá 1 unidad con la cual
se satisface la demanda y no quedarán unidades almacenadas, cumpliéndose con
la restricción planteada en el problema.
La solución óptima se muestra en la tabla 3.30.
Tabla 3.30. Solución óptima del ejercicio resuelto 3
Mes Demanda Inventario inicial
Producir Inventario final
Costo
Enero 2 0 4 2 120 + 4 = 124
Febrero 4 2 2 0 120 + 0 = 120
Marzo 5 0 5 0 150 + 0 = 150
Abril 3 0 3 0 150 + 0 = 150
Mayo 1 0 1 0 20 + 0 = 20
El costo total mínimo al final del quinto mes es de $564.00.
3.8. Ejercicios propuestos
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
102
1. Considere el gráfico 3.12 que contempla las rutas posibles para ir desde la ciudad 1
hasta la 10. Cada nodo representa una ciudad y los arcos la infraestructura vial
disponible. En las tablas 3.31, 3.32, 3.33 y 3.34 se muestran los costos asociados al
desplazamiento entre cada par de nodos para cada una de las etapas. Determine la
solución óptima para ir de la ciudad 1 hasta la 10 minimizando el costo total del
sistema.
Figura 3.12. Representación gráfica del ejercicio propuesto 1.
Las tabla 3.31 muestra los costos de transportación entre las ciudades en (MP):
Tabla 3.31. Costos de transportación entre las ciudades
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 4 6 - - - - - - 2 - - - 2 3 5 - - - 3 - - - 3 3 3 - - - 4 - - - 6 5 3 - - - 5 - - - - - - 4 7 - 6 - - - - - - 5 7 - 7 - - - - - - 8 9 - 8 - - - - - - - - 4 9 - - - - - - - - 5
2. En la planta PROTUR de la empresa INPUD se producen 4 productos para la venta
en divisas al mercado interno; para ello existe en la planta una línea y 6 grupos de
máquinas: la materia prima se saca del almacén (1) y se lleva a la sierra eléctrica
(21, 22) para su corte, luego se lleva al puesto de soldadura (31, 32, 33) para su
unión, más tarde se lleva a doblar (41, 42) para luego ensamblarlos (51, 52) y
finalmente guardarlos en el almacén de productos terminados (6). La representación
de este proceso se observa en el grafo, siendo las uniones entre los nodos el tiempo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
103
de transportación en minutos entre un puesto y otro ¿Cuál es el camino mínimo para
que la producción salga en el menor tiempo posible? Considere que todas las
máquinas de un mismo grupo tienen iguales características que hacen que los
tiempos operativos sean iguales (10, 12, 15, 8, 9, 12 min para los grupos 1, 2, 3, 4,
5, 6, respectivamente).
Figura 3. 13. Representación gráfica del proceso.
3. El director del frigorífico del municipio de Santa Clara, quiere determinar cómo debe
asignar seis cargas de papas a cuatro placitas para maximizar la cantidad de
toneladas del producto vendido antes de que se deteriore. En la tabla 3.31 se
presentan un estimado de las toneladas de papas vendidas en cada una de las
placitas, dependiendo del número de cargas asignadas. ¿Cuántas cargas debe
asignar a cada placita de manera que maximice la cantidad de toneladas de papas
vendidas?
Tabla 3.31. Toneladas de papas vendidas en cada placita según el número de
cargas asignadas
Número de cargas Toneladas de papas vendidas en cada placita 1 2 3 4
1 4 6 2 5 2 5 8 7 6 3 9 9 14 12 4 11 10 15 13 5 15 11 17 14 6 16 13 18 16
1
22 42
52
21
32
41 51
31
33
6
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
104
4. El director del INDER quiere reforzar cuatro de los equipos de béisbol con tres
jugadores, para así mejorar las probabilidades de ganar el campeonato.
En la tabla 3.32 se muestran las probabilidades de que cada equipo gane el
campeonato dependiendo de la asignación de jugadores para reforzarlos.
Tabla 3.32. Probabilidad de cada equipo ganar el campeonato según el
numero de jugadores asignados
Número de jugadores asignados
Probabilidad de ganar el campeonato por el equipo
1 2 3 4 0 0.40 0.30 0.60 0.70 1 0.50 0.50 0.70 0.90 2 0.70 0.60 0.80 0.90 3 0.80 0.65 0.90 0.95
En las condiciones actuales, la probabilidad total de que ganen el campeonato es:
0.40 x 0.30 x 0.60 x 0.70 = 0.0504.
¿Cómo deben asignarse los jugadores para maximizar la probabilidad de que ganen
el campeonato?
5. La Empresa de Confecciones Fénix está elaborando el plan de producción para los
jeans de mezclilla para el próximo cuatrimestre, teniendo en cuenta que se debe
satisfacer la demanda mensual. Los jeans pueden producirse en un mes y
almacenarse para ser vendidos posteriormente. Al comienzo del trimestre no hay
unidades de este producto en el almacén, ni se desea que queden en inventario al
final del período. El departamento económico de la empresa ha determinado que los
costos de almacenamiento son variables por mes: si se designa con la letra A los
costos unitarios de almacenamiento, se estima que cambiarán por meses según las
funciones mostradas en la tabla 3.33. Se dispone de la información siguiente:
Tabla 3.33. Probabilidad de cada equipo ganar el campeonato según el
número de jugadores asignados
Mes D Cap. P Cp Cap. A Ca Septiembre 3 3 70.00 2 5.00 + 5.00 A
Octubre 3 4 60.00 2 2.00 + 3.00 A Noviembre 4 5 50.00 3 2.50 + 4.00 A Diciembre 3 3 50.00 3 1.80 + 2.00 A
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
105
¿Cuántos lotes de jeans deben producirse cada mes para minimizar el costo total en
el cuatrimestre?
Donde:
D: demanda (lotes/mes).
Cap. P: capacidad de producción (lotes/mes).
Cp: costo de producción (decenas $/lotes).
Cap. A: capacidad de almacenamiento (lotes/mes).
Ca: costo de almacenamiento (decenas $/lotes - mes).
6. La planta productora de jabón LUX en la empresa Suchel es capaz de producir
hasta 5 lotes de jabones cada mes (un lote contiene 20 mil unidades). El
departamento económico ha estimado el costo de mantener en inventario 0, 1, 2 y 3
lotes de jabones en 12, 20, 50 y 60 en cientos de pesos, respectivamente. Por otra
parte, el costo de producción depende de los lotes producidos y de una componente
fija, siendo de 5, 21, 45, 81, 126, 180 cientos de pesos para 0, 1, 2, 3, 4 y 5 lotes de
jabones producidos, respectivamente. Se quiere establecer la política de producción
con inventarios de los lotes de jabones para los próximos tres meses del año 2011,
si se conoce que es necesario entregar 3, 4 y 3 lotes en febrero, marzo y abril,
respectivamente. Se desea que al inicio de mayo haya 1 lote en inventario, al
finalizar enero no existían lotes en inventario; la capacidad de almacenamiento no
excede los 3 lotes de jabones cada mes.
3.9. Preguntas de autoevaluación
9. ¿En qué consiste el principio de optimalidad de Richard E. Bellman?
10. ¿Cuáles son los elementos de un problema de programación dinámica?
11. ¿Cuáles son las aplicaciones más comunes de la programación dinámica?
12. ¿En qué consiste el problema del camino óptimo y cuáles son sus elementos?
13. ¿Para qué se utiliza el problema de asignación de recursos y cuáles son las
características de dicho problema?
14. ¿Cuál es el objetivo del problema de producción con inventarios y cuáles son los
elementos de dicho problema?
15. Ponga ejemplos de la vida práctica en que se puedan aplicar cada uno de los tres
tipos de problemas tratados en este capítulo.
CAPÍTULO lII: PROGRAMACIÓN DINÁMICA
106
3.10 Bibliografía consultada
1. Álvarez – Buylla Valle, Mercedes (1987). Modelos Económicos – Matemáticos II.
Tomo I, Capítulo 1 “Programación dinámica”, pp. 1 - 92, La Habana, Editora ISPJAE.
2. Bellman, R. E. (1957). Dynamic Programming. Research Study. Princeton University
Press. Princeton, New Jersey.
3. Biscayart, Caraolina y de Torres Curth, Mónica I. (2009). La programación dinámica
en el estudio de procesos de migración. Revista Ecología austral. Vol. 19, número 2.
versión On – line ISSN: 1667–782X, disponible en:
http://www.scielo.org.ar/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1667-
782X2009000200002 [Consultado el 15 de marzo de 2011].
4. Goic, M. (2011). Programación Dinámica. Universidad de Chile, Facultad de
Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Ingeniería Industrial, disponible
en:
http://www.andrew.cmu.edu/user/mgoic/files/documents/optimization/pdinamica.pdf
[Consultado el 6 de marzo de 2011].
5. Hillier, F. S. y Lieberman, G.J. (2007). Introducción a la Investigación de
Operaciones. Tomo II, Capítulo 10 “Programación Dinámica”, pp. 424 – 458, Quinta
Edición, La Habana, Editorial Félix Varela.
6. Marrero Delgado, F. (2009 [a]). Conferencia “La programación dinámica y su
relación con el camino óptimo y la asignación de recursos”, disponible en
http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 15 de marzo de 2011].
7. Marrero Delgado, F. (2009 [b]). Conferencia “La programación dinámica y su
relación con la teoría de inventario”, disponible en http://docente.fiit.uclv.edu.cu
[Consultado el 15 de febrero de 2011].
8. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (2003). Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa
de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 10 “Programación
dinámica”, pp. 107 – 115.
9. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (2010). Programación Dinámica, disponible en:
http://www.eumed.net/libros/2006c/216/1j.htm [Consultado el 2 de marzo de 2011].
10. Ramos, A. (2011). Programación Dinámica. Universidad Pontificia Comillas,
disponible en: http://www.iit.upcomillas.es/aramos/ [Consultado el 2 de marzo de
2011].
108
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
4.1. Introducción
En este capítulo se aborda el tema de teoría de la decisión, en el cual se tratarán los
conceptos fundamentales, así como las decisiones bajo riesgo, incertidumbre y
conflicto.
Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:
1. Conocer los conceptos básicos de la teoría de la decisión y la necesidad de su
aplicación en el campo de la Ingeniería Industrial.
2. Identificar los elementos que caracterizan a los modelos de teoría de la decisión y
sus posibilidades prácticas en la esfera de la producción y los servicios. Incluir,
mediante la vinculación entre asignaturas, conceptos más amplios de sistemas de
producción de bienes o servicios, a través de condiciones reales de explotación.
3. Solucionar manualmente y a través de ordenadores personales, problemas de este
tipo. Hacer énfasis en la interpretación económica y analítica de estas soluciones a
la luz de las condiciones particulares de los problemas que se presentan.
Como prerrequisitos para este tema se exigen:
El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, cálculo diferencial e
integral, de la formulación y solución del problema de programación lineal e informática.
4.2. Fundamentación de la teoría de la decisión
El problema de la decisión, motivado por la existencia de ciertos estados de
ambigüedad que constan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es
tan antiguo como la vida misma. Se puede afirmar que todos los seres vivientes, aún
los más simples, se enfrentan con problemas de decisión.
Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus
decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, se pasa de una toma de decisiones
guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por
un pensamiento racional en el ser humano. La teoría de la decisión tratará, por tanto, el
estudio de los procesos de toma de decisiones desde una perspectiva racional.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
109
Muchos autores afirman que la teoría de la decisión es esencialmente una herramienta
de ayuda en la toma de decisiones con procesos más estructurados, tanto para
personas como organizaciones, seleccionando el mejor curso de acción respecto a las
expectativas del decisor.
Para poder comprender el proceso de toma de decisiones es necesario partir del
concepto de decisión, como elección que se hace entre medidas optativas. Siempre
que se sabe que hay medidas optativas es preciso elegir. En la decisión interviene un
conjunto de decisiones como (1) la decisión de buscar medidas optativas, (2) la
decisión de determinar las posibilidades de éxito, (3) la elección real de las medidas
optativas para satisfacer más plenamente las posibilidades.
El proceso de decisión consta de las fases fundamentales siguientes:
1. Predicción de las consecuencias de cada actuación. Esta predicción deberá basarse
en la experiencia y se obtiene por inducción sobre un conjunto de datos. La
recopilación de este conjunto de datos y su utilización entran dentro del campo de la
estadística.
2. Valoración de las consecuencias de acuerdo con una escala de bondad o
deseabilidad. Esta escala de valor dará lugar a un sistema de preferencias.
3. Elección de la alternativa mediante un criterio de decisión adecuado. Este punto
lleva a su vez asociado el problema de elección del criterio más adecuado para la
decisión, cuestión que no siempre es fácil de resolver de un modo totalmente
satisfactorio.
Muchos autores han definido un conjunto de pasos a seguir para la toma de decisiones,
pero todos de una forma u otra coinciden en que es necesario acometer el
procedimiento reflejado en la figura 4.1.
El dinamismo en el que se desenvuelven actualmente las empresas incluyendo todos
los sectores productivos y la dificultad que tienen los empresarios en la predicción del
futuro, ha motivado a las personas que laboran, tanto en el campo técnico como
estratégico, a desarrollar modelos que hagan la función de simuladores de hechos
futuros, como herramienta en la toma de decisiones, que aseguren la supervivencia y el
crecimiento de la organización; ya que es difícil para el centro decisor analizar todas las
variables que inciden en la toma de decisiones.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
110
Instrumentar la decisión
Identificar y Evaluar las alternativas
Definir el problema
Establecer criterios y metas
Elegir la mejor alternativa
Formular el modelo
Figura 4.1. Proceso de la toma de decisiones.
Con la ilusión de adelantarse a los hechos, se han creado técnicas cuantitativas con las
que resulta más práctico y confiable tomar decisiones, que dan respuestas óptimas, ya
que descompone las variables del problema y es posible analizarlo de manera racional
y no influenciado por factores tan subjetivos como lo es la intuición.
En todo problema de decisión pueden distinguirse una serie de elementos
característicos, como son:
El decisor, encargado de realizar la elección de la mejor forma de acuerdo con sus
intereses.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
111
Las alternativas o acciones (Ai), i = 1,…, m, que son las diferentes formas de actuar
posibles, de entre las cuales se seleccionará una. Deben ser excluyentes entre sí.
Los posibles estados de la naturaleza (Ej), j =1,…n, término mediante el cual se
designan a todos aquellos eventos futuros que escapan al control del decisor y que
influyen en el proceso.
Las consecuencias o resultados que se obtienen al seleccionar las diferentes
alternativas bajo cada uno de los posibles estados de la naturaleza (V(Xij)).
La regla de decisión o criterio, que es la especificación de un procedimiento para
identificar la mejor alternativa en un problema de decisión.
El criterio de decisión es un término general que engloba los conceptos de atributos,
objetivos y metas para un cierto problema decisional.
Atributos: representan los valores del centro decisor relacionados con una realidad
objetiva y que pueden medirse independientemente de los deseos del centro
decisor, siendo usualmente susceptibles de expresarse como una función
matemática f(x) de las variables de decisión.
Objetivos: representan direcciones de mejora de los atributos. La mejora puede
interpretarse en el sentido, «más del atributo mejor» (maximización) o bien «menos
del atributo mejor» (minimización). Por consiguiente los objetivos implican la
maximización o minimización de las funciones que corresponden a los atributos que
reflejan los valores del centro decisor.
Nivel de Aspiración: representa un nivel aceptable de logro para el correspondiente
atributo.
Meta: es la combinación de un atributo con un nivel de aspiración.
La matriz de decisión o de pago de un problema de teoría de la decisión es la que se
muestra en la tabla 4.1.
Tabla 4.1. Matriz de decisión o de pago
E1 E2 Ej
A1 V(X11) V(X11) V(X1n)
A2 V(X21) V(X22) V(X2n)
Am V(Xm1) V(Xm2) V(Xmn)
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
112
En la toma de decisiones se puede adoptar un esquema de clasificación en cuatro
categorías, considerando el nivel de conocimiento que se tenga sobre las
probabilidades de los estados. De este modo se obtiene la clasificación siguiente:
Decisiones bajo certeza.
Decisiones bajo riesgo.
Decisiones bajo incertidumbre.
Decisiones en conflicto.
Causas del riesgo y la incertidumbre
Las causas de la variabilidad son básicamente atribuibles al comportamiento humano.
Más aún, la incertidumbre es consecuencia de la naturaleza humana; es consecuencia
del conocimiento limitado que se tiene de las cosas, esto es, de la ignorancia. Sin
embargo existen fenómenos no atribuibles directamente al ser humano que también
causan riesgo e incertidumbre. Algunas manifestaciones de ambos se mencionan a
continuación:
Inexistencia de datos históricos directamente relacionados con las alternativas que
se estudian.
Sesgos en el cálculo de datos o de eventos posibles.
Cambios en la economía, tanto nacional como mundial.
Cambios en políticas de países que en forma directa o indirecta afectan el entorno
económico local.
Análisis e interpretaciones erróneas de la información disponible.
Obsolescencia.
Situación política.
Catástrofes naturales o comportamiento del clima.
Baja cobertura y poca confiabilidad de los datos estadísticos con que se cuenta.
4.2.1. Decisiones bajo certeza
La toma de decisiones en condiciones de certidumbre ocurre cuando el que las toma,
conoce el estado natural que ocurrirá con absoluta seguridad; es decir, en los procesos
de decisión bajo certidumbre se supone que el verdadero estado de la naturaleza es
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
113
conocido por el decisor antes de realizar su elección, es decir, puede predecir con
certeza total las consecuencias de sus acciones.
Conceptualmente, la resolución de un problema de este tipo es inmediata: basta elegir
la alternativa que proporcione un mejor resultado. El problema de decisión se reduce,
por tanto, a un problema de optimización, ya que se trata de escoger la alternativa que
conduzca a la consecuencia con mayor valor numérico asociado.
Dentro de los procesos de decisión bajo certeza se pueden encontrar problemas de
programación lineal, de transporte, de asignación, de redes y de programación
discreta, programación dinámica determinística, modelos de inventario con demanda
determinística, entre otros.
A los efectos de este capítulo sólo se abordarán las decisiones bajo riesgo,
incertidumbre y conflicto, ya que las decisiones bajo certeza ya fueron estudiadas en
capítulos y asignaturas previas.
4.2.2. Decisiones bajo riesgo
La toma de decisiones bajo riesgo incluye aquellas decisiones para las que las
consecuencias de una acción dada dependen de algún evento probabilista. Permite
analizar situaciones complejas con muchos cursos de acción influenciadas por las
creencias del decisor, de tal forma que la decisión sea lo más cercana a la realidad.
Un primer instrumento para valorar la amplitud del riesgo está constituido por el
principio de la probabilidad estadística (o frecuencia relativa), que deriva del hecho de
que si un determinado tipo de suceso se ha unificado en el pasado con determinada
frecuencia en un número de casos considerados, existe un cierto grado de probabilidad
determinable, estadísticamente de que se repita también en el futuro.
Un segundo instrumento al que se recurre para reducir el riesgo en la decisión está
constituido por la llamada probabilidad subjetiva. Se obtiene este tipo de probabilidad
cuando, de algunos datos limitados, se deduce la probabilidad de que se presente o no
un suceso concreto. La probabilidad no es determinada estadísticamente, sino
solamente establecida por medio del razonamiento.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
114
La decisión bajo riesgo se basa en el criterio del valor esperado, donde las alternativas
de decisión se comparan con base de máximo en el caso de utilidades esperadas, etc.;
y de mínimo en costos esperados, etc.
La aparición de los estados de la naturaleza (Ej), en las decisiones bajo riesgo tienen
una oportunidad de ocurrencia probabilística.
A continuación se verá el primer caso de análisis de riesgo en el diseño del modelo.
Sea f(x) la función de densidad probabilística uniforme que representa la cantidad de
productos a almacenar para su posterior entrega al cliente:
ab
1 a ≤ x ≤ b (4.1)
f(x) =
0 para otro valor
Si se determina la función de densidad probabilística acumulada, quedaría como:
ab
a
ab
xda
abxF
b
a
1)( (4.2)
ab
ax
ab
a
ab
xxF )( (4.3)
Considerando que los valores de la función de densidad probabilística acumulada F(x)
están entre 0 y 1, se puede asumir su valor como R, por tanto:
axabR )( ; despejando x se obtiene que:
Rabax )( (4.4)
Por lo que si consideramos a R como el nivel de satisfacción del cliente, pudiera
determinarse la cantidad de productos a almacenar, asumiendo un riesgo de valor R.
El proceso de toma de decisión con riesgo se describe a continuación:
1. Usar la información que se tenga para asignar su parecer personal (llamado
probabilidades subjetivas) sobre el estado de la naturaleza, p(s).
2. Cada curso de acción tiene asociado un determinado beneficio con cada uno de los
estados de la naturaleza, X(a, s).
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
115
3. Se calcula el beneficio esperado, también llamado riesgo o R, correspondiente a
cada curso de acción como R(a) = Sumas de [X(a, s) p(s)].
4. Se acepta el principio que dice que se debería actuar para minimizar o maximizar el
beneficio esperado.
5. Se ejecuta la acción que minimice R(a).
En general, la información con la que se cuenta para solucionar el problema es
incompleta, es decir, se conoce el problema, se conocen las posibles soluciones, pero
no se conoce con certeza los resultados que pueden arrojar.
Cuando se evalúan las alternativas de una sola etapa se utilizan diferentes criterios; los
cuales se muestran a continuación:
1. Optimización del valor esperado (Expected Value Criterion).
Una extensión natural de decisiones con certeza es el uso del criterio del valor
esperado, donde se desea maximizar el beneficio esperado o minimizar el costo
esperado.
1
( ) * ( )n
i
i
Máx E Ai Pj V Xij Beneficio (4.5)
1
( ) * ( )n
i
i
Mín E Ai Pj V Xij Pérdida (4.6)
2. Método de las lamentaciones mínimas esperadas (Expected Regret Criterion).
En este método el valor o costo puede ser cambiado por las lamentaciones. Este
método implica la obtención de la matriz de las lamentaciones, con tal objetivo se
toma el mejor resultado y se resta de los demás elementos de los diferentes
sucesos.
Los valores de las lamentaciones pueden ser sustituido por ij en la expresión
siguiente:
1
( *( )n
i ij
E Pj ijMín (4.7)
)()( XijVXkjVij (4.8)
)(XkjV : mejor valor del estado de la naturaleza.
3. Minimización de la varianza del valor o costo.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
116
Este método está dirigido a minimizar el valor de la varianza o costo donde la
adaptación de la decisión será: 2
*i ji
j
VAR ij iV EMIN A PX A (4.9)
Este principio se emplea con el fin de seleccionar aquella estrategia en la cual tenga
presente la variación mínima esperada con respecto a su valor medio.
4. Principio de Farrar.
Este principio puede ser considerado como una combinación de los principios del
valor esperado y el de mínima varianza, aquí se toma una decisión en función del
menor valor acotado o del mayor costo acotado, en forma similar a la obtención de
un intervalo de confianza.
( ) ( )iMáx E Ai k VAR Ai Beneficio (4.10)
( ) ( )iMín E Ai k VAR Ai Pérdida (4.11)
k – Factor de peso, a menudo k = 1. También conocido como factor de aversión al
riesgo.
5. Principio de la semi-varianza.
2
*i j
j
SVAR ij iV EA PX A (4.12)
donde V(Xij) < E[Ai]; para beneficios
AAMAX iiiSVARKE (4.13)
2
*) ( )(i jj
SVARiij
V E AXA P (4.14)
Donde V(Xij) > E[Ai]; para pérdidas
i iiE K SVARMIN A A (4.15)
k: factor de peso, a menudo k = 1.
6. Principio de aspiración.
Está basado en el concepto de la satisfacción. De forma operativa, este principio
requiere que el decisor prefije un nivel de beneficios que aspira a obtener, o un nivel
de pérdidas que aspira a mantener bajo. Considerando estos precedentes, se debe
seleccionar aquella alternativa la cual maximiza la creencia que el nivel de
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
117
aspiración sea alcanzado y de esta forma, ser análogo el nivel de satisfacción, este
principio sirve para sentirse más ampliamente satisfecho. Se aprecia que este
principio es muy subjetivo.
7. Criterio del futuro probable.
Se examina cada valor de probabilidad asociado a cada estado de la naturaleza,
analizando el de mayor valor de probabilidad. Bajo el criterio de que ese estado de
la naturaleza es el más probable, entonces se selecciona la alternativa que presente
el mejor valor, según sea el problema de Máx o de Mín.
Ejemplo 4.1
El taller de metales perteneciente a la empresa de muebles “LIDEX” desea tomar una
decisión referente a qué tipo de materiales utilizar (tubo de 19mm o de 25mm) para la
producción de juegos de comedor del próximo año. Las probabilidades de que los
precios de venta aumenten, permanezcan iguales o disminuyan son las siguientes:
0.28; 0.35; 0.37. Los ingresos en (MP) se muestran en la tabla 4.2.
Tabla 4.2. Ingresos para los tubos de 19 y 25 mm según aumenten, permanezcan
igual o disminuyan los precios de venta
Ej
Ai
0.28
Aumenten
0.35
Iguales
0.37
Disminuyan
Tubos 19 mm (A) 25 20 -14
Tubos 25 mm (B) 15 10 -8
Solución:
Para seleccionar que tubo se va a utilizar se tienen en cuenta los criterios de evaluación
siguientes:
1. Optimización del valor esperado E(Ai)
Utilizando la fórmula (4.5):
( ) 25*(0.28) 20*(0.35) 14*(0.37) 8.82E A MP
( ) 15*(0.28) 10*(0.35) 8*(0.37) 4.74E B MP
Según el criterio 1 se selecciona A ya que es el de mayor valor esperado.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
118
2. Lamentaciones mínimas esperadas
Utilizando la fórmula (4.8) se obtiene la matriz de lamentaciones como se muestra
en la tabla 4.3.
Tabla 4.3. Matriz de lamentaciones
Ej Ai
0.28 Aumenten
0.35 Iguales
0.37 Disminuyan
A 0 0 6
B 10 10 0
Utilizando la fórmula (4.7):
( ) 0*(0.28) 0*(0.35) 6*(0.37) 2.22AE MP
( ) 10*(0.28) 10*(0.35) 0*(0.37) 6.3BE MP
Según el criterio 2, se selecciona A porque es el de menor lamentación mínima
esperada.
3. Minimización de la varianza
Utilizando la fórmula (4.9): 2 2 2( ) (25 8.82) *0.28 (20 8.82) *0.35 ( 14 8.82) *0.37 309.64VAR A MP
2 2 2( ) (15 4.74) *0.28 (10 4.74) *0.35 ( 8 4.74) *0.37 99.2VAR B MP
Según el criterio 3, se selecciona B porque es el de menor varianza.
4. Principio de Farrar
Utilizando la fórmula (4.10):
k = 1
8.82 309.64 8.77A MP
4.74 99.2 5.21B MP
De acuerdo a este criterio, se selecciona B.
5. Principio de la semivarianza
Utilizando la fórmula (4.12) y (4.13):
K=1
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
119
2( ) ( 14 8.82) *0.37 192.67SVAR A MP
2( ) ( 8 4.74) *0.37 60SVAR B MP
8.82 192.67 5A MP
4.74 60 3B MP
Según el criterio de la semivarianza se selecciona la alternativa B.
6. Principio de aspiración
Valor Fijado: P (Ingresos ≥ 15MP)
Frecuencia Relativa
A – 2/3 = 0.67 B – 1/3 = 0.33
Probabilidad Acumulada
A – 0.28 + 0.35 = 0.63 B – 0.28
Se selecciona B.
7. Criterio del futuro probado
El estado de la naturaleza más probable es el de que los precios de venta
disminuyan. Por lo que en este caso la mejor alternativa sería B.
En la tabla 4.4 se muestra un resumen de los resultados para los diferentes criterios.
Tabla 4.4. Resumen de los diferentes criterios del ejemplo 4.1
Criterios Tubos de 19mm (A) Tubos de 25mm (B) 1 1 2 2 1 2 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 1
1 2 2
7 2 1 ∑ 12 12
Se puede decir que la elección de cualquiera de los dos tubos no implicaría ninguna
pérdida, si se valoran de manera integral todas las reglas de decisión.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
120
Árboles de decisión
Otra herramienta que se utiliza en los análisis de riesgos son los árboles de decisión.
Los árboles de decisión son herramientas para ayudar a la gerencia entre varios cursos
de acción. Proporcionan una estructura muy eficaz dentro de la que se pueden poner
opciones e investigar los posibles resultados al escoger esas opciones. Ayudan además
a la formación de un cuadro equilibrado de los riesgos y premios asociados con cada
posible curso de acción.
Los árboles de decisión son diagramas que muestran los resultados alternativos y la
interdependencia de opciones en un proceso de decisión multifase, o secuencial. El
diagrama del árbol es construido de izquierda a derecha, usando cuadros para los
puntos controlables (decisiones) y círculos para los no controlables (eventos). Cada
rama lleva una consecuencia que es establecida en forma monetaria (o utilidad) a la
derecha del diagrama.
A continuación se definen algunos conceptos implicados en esta temática:
Probabilidad: la probabilidad proporciona medios numéricos para expresar la
posibilidad de que ocurra un evento estocástico.
Evento: posible resultado de un proceso aleatorio, o sea, que no puede predecirse con
certidumbre.
Valor esperado: este concepto ha sido muy útil en situaciones de toma de decisiones
de naturaleza probabilística. Matemáticamente es idéntico al promedio aritmético; sin
embargo, es común usar una notación especial para la esperanza matemática. Si x es
una variable aleatoria discreta entonces el valor esperado de x está dado por:
)(*)(1
i
m
i
i XPXXE (4.16)
Donde P (Xi): probabilidad de ocurrencia de Xi.
Los componentes y la estructura de un árbol de decisión se describen a continuación:
1. Alternativas de decisión (A1,… Am): están presentes en cada punto de decisión
(D1,…Dk).
2. Eventos (E1,... En): ocurren como resultado de cada alternativa de decisión.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
121
3. Probabilidades de que ocurran los eventos posibles como resultado de las
decisiones (P1,.... Pn).
4. Resultados (casi siempre expresados en términos económicos) de las posibles
interacciones entre las alternativas de decisión y los eventos (X1,... Xn).
Estos datos se organizan mediante la estructura de un diagrama de árbol que ilustra las
interacciones posibles entre las decisiones y los eventos.
Para explicar cómo se construye un árbol de decisión, así como su solución se
desarrollará el ejemplo siguiente.
Ejemplo 4.2
Para construir el árbol representado en la figura 4.2 inicialmente debe hacerse una
decisión entre tres alternativas. Estas se encuentran en el primer punto de decisión
como D1, D2 y D3.
Los eventos que pueden ocurrir como resultado del primer conjunto de decisiones son
E1, E2, E3, E4 y E5. Sus probabilidades respectivas están dadas por P1,…, P5. Si se
selecciona D3, el resultado se conoce con claridad. Este resultado se muestra al final de
la rama D3 como X1.
Si ocurren los eventos E1, E2 y E3, los resultados se conocen con certidumbre y no se
requiere ninguna otra decisión. Estos resultados están dados por X2, X3 y X4,
respectivamente. Sin embargo, en respuesta a cualquiera de los eventos E4 o E5, se
debe seleccionar otra alternativa en la serie de decisiones. A partir del evento E4, debe
escogerse entre D4 y D5, mientras que E5 lleva a una selección entre D6 y D7. En este
ejemplo, todos los eventos están seguidos por un resultado o por otro punto de
decisión, pero existen situaciones en que a los eventos siguen otros eventos.
Los eventos que pueden ocurrir como resultado de la decisión que se tomó en el
segundo punto de decisión son E6, E7, E8 y E9. Estos son eventos finales y llevan a los
resultados X7, X8, X9 y X10. El resultado de X5 y X6 se obtiene directamente de la
decisión D4 y D6 respectivamente.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
122
Figura 4.2. Esquema de un árbol de decisión.
Realización del análisis
El análisis comienza en el extremo derecho del árbol de decisión y se mueve a través
de los nodos de eventos y puntos de decisión hasta que se ha identificado una
secuencia óptima de decisiones que comienza en el primer punto de decisión, de usar
las reglas siguientes:
1. En cada nodo de evento se hace un cálculo del valor esperado.
2. En cada punto de decisión se selecciona la alternativa con el valor esperado óptimo.
El árbol de decisión que se muestra en la figura 4.3 se ha modificado y ahora da los
resultados económicos y las probabilidades de los eventos. Se supondrá que el objetivo
es maximizar la serie de decisiones.
Primero se encuentran los nodos de eventos que requieren cálculos del valor esperado.
Al nodo del evento en la intersección E6 y E7 utilizando la fórmula (4.16) se obtiene:
E (E6 y E7) = (0.3) * 40 000 + (0.7) * 30 000 = $33 000.00
En el nodo de evento para E8 y E9 utilizando la fórmula (4.16) se obtiene:
E (E8 y E9) = (0.5) * 50 000 + (0.5) * 20 000 = $35 000.00
Continuando de derecha a izquierda se encuentran después los segundos puntos de
decisión. Estos requieren la selección de la alternativa de decisión con el mejor valor
esperado y el rechazo de las otras opciones. En el punto de decisión para la
1 2
2
X1
D3
D1
D2
X2
X3
X5 X4
X6
E1, P1
E2, P2
E3, P3
E4, P4
E5, P5
D4
D5
D6
D7
E6, P6
E7, P7
E8, P8
E9, P9
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
123
intersección D4 y D5 se selecciona la alternativa de decisión D4, ya que $38 000.00 es
un valor esperado más alto que $33 000.00. En este caso $38 000.00 es también un
resultado cierto o seguro. La alternativa de decisión D5 se ignora de aquí en adelante.
En el punto de decisión para D6 y D7, la alternativa D7, que tiene un valor esperado de
$35 000.00, es mejor que D6 que tiene un valor esperado (cierto) de $15 000.00. En
consecuencia, D6 se elimina para el resto del análisis.
El siguiente paso requiere que se realicen más cálculos del valor esperado.
En el nodo de evento para E1 y E2 utilizando la fórmula (4.16):
E (E1 y E2) = (0.5) * 50 000 + (0.5) *(- 30 000) = $20 000.00
Se debe tener cuidado en incluir los resultados correctos para los eventos E4 y E5. Sólo
se usa el resultado asociado con la alternativa de decisión que se seleccionó
previamente. En el caso de E4, éste es $38 000.00 que se asoció con D4; para E5 es
$35 000.00 que se asoció con D7.
En el nodo de evento para E3, E4 y E5 utilizando la fórmula (4.16):
E (E3, E4 y E5) = (0.1) * 10 000 + (0.4) *(38 000) + (0.5) * 35 000 = $33 700.00
Se ha trabajado hacia atrás hasta el primer punto de decisión. La alternativa de decisión
D1 ofrece un valor esperado de $20 000.00. D2 tiene un valor esperado de $33 700.00.
D3 ofrece $0.00, por tanto la selección que debe hacerse es D2; por lo que D1 y D3 se
eliminan para las siguientes consideraciones.
Ahora es posible identificar el plan óptimo de acción. Se pone en práctica la alternativa
de decisión D2. Si ocurre el evento E4, la administración debe seguir con D4. Si ocurre
E5, se deberá poner en práctica D7. Este plan ofrece un valor esperado de $33 700.00.
También es útil examinar el grado de riesgo asociado con este plan. Al hacerlo es
importante incluir sólo aquellos resultados asociados con las alternativas de decisión
que la administración pretende seguir. Como una medida aproximada del riesgo se
considera lo mejor y lo peor que puede ocurrir. Lo peor es un rendimiento de $10
000.00 como resultado del evento E3. Lo mejor es un rendimiento de $50 000.00 si
ocurre E8.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
124
Figura 4.3. Árbol de decisión con resultados económicos y probabilidades de los
eventos.
4.2.3. Decisiones bajo incertidumbre
La toma de decisiones bajo incertidumbre, permite a un gerente o administrador elegir
entre alternativas de una manera óptima, tomando en cuenta el valor de la adquisición
de datos experimentales para reducir la incertidumbre. Se parece a la toma de
decisiones bajo riesgo con una diferencia importante, no se tiene conocimiento de las
probabilidades de los eventos futuros, ni se tiene idea de cuan posibles son las
diferentes consecuencias.
Para tomar decisiones debe de reducirse el nivel de subjetivismo, para esto existen
criterios aunque estos están sujetos al grado de optimismo o pesimismo que tenga el
decisor. Los criterios de decisión que se emplean cuando predominan estas
condiciones de incertidumbre, reflejan los valores personales y las actitudes
fundamentales hacia el riesgo que tienen los responsables de la toma de decisiones.
Los principales criterios de decisión son:
1. Criterio pesimista o de Wald
El decisor piensa que una vez seleccionada una estrategia se va a presentar el estado
de la naturaleza más desfavorable, este criterio recibe también el nombre de maximin.
De acuerdo con este criterio, el decisor seleccionará la estrategia que proporcione una
$40 000.00
$50 000.00
$20 000.00
1 2
2
$0.00
D3
D1
D2
$50 000.00
$ - 10 000.00
$38 000.00 $10 000.00
X6
0.5
0.5
0.1
0.4
0.5
D4
D5
D6
D7
0.3
0.7
0.5
0.5
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
125
retribución más alta en el peor de los casos, es decir, buscar la alternativa que
proporcione el máximo de las consecuencias mínimas.
i ijjVMáx Mín X Beneficio (4.17)
i ijjVMín Máx X Pérdida (4.18)
2. Criterio optimista
Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor supone que la
naturaleza siempre estará de su parte, por lo que siempre se presentará el estado más
favorable. Este criterio recibe también el nombre de máximax.
j ijiVMáx Máx X Beneficio (4.19)
iji jVMín Mín X Pérdida (4.20)
3. Criterio de Hurwicz (pesimismo – optimismo)
El llamado criterio de Hurwics, se basa en la definición de un coeficiente de optimismo
( ), de que ocurra el desenlace entre los límites 0 – 1. En consecuencia, el coeficiente
de pesimismo será 1 - . Coeficiente que intenta describir el estado del sujeto decisor
frente al horizonte económico. Además este sujeto para cada estrategia, solo se
interesa de los valores extremos de los desenlaces que componen aquellos, por lo que
el desenlace máximo de ese intervalo se pondera con el coeficiente de optimismo y el
desenlace mínimo con el de pesimismo. El valor de la estrategia será la suma de estos
productos, eligiéndose aquella alternativa con mayor valor.
* ( ) (1 )* ( )i j i j j i jMáx Máx V X Mín V X Beneficio (4.21)
* ( ) (1 )* ( )i j i j j i jMín Mín V X Máx V X Pérdida (4.22)
Cuando existe mucha probabilidad de riesgo escojo un α cercano a 1 y si está bajo
condiciones normales lo escojo de 0.4 a 0.6 aproximadamente, considerando así
alguna probabilidad de riesgo.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
126
4. Criterio de Laplace:
Consiste en que frente a la ignorancia de las probabilidades de ocurrencia de cada
estado de la naturaleza se asigna a cada uno de ellos la misma probabilidad, eligiendo
aquella alternativa que ofrece un valor esperado más alto.
Es el promedio de los valores de cada fila (valor esperado).
i iMáx E A Beneficio (4.23)
i iMín E A Pérdida (4.24)
5. Criterio de Savage:
El criterio de Savage conocido también como de riesgo mínimo, decide sobre una
matriz de lamentaciones o penalizaciones, formada por los elementos θij. Cada columna
de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna
y cada uno de los valores que aparecen en ella. El valor de la estrategia será el mínimo
de esas lamentaciones escogiéndose el de mayor valor.
)()( XkjVXijVij (4.25)
)(XkjV : mejor valor del estado de la naturaleza.
ijji MínMáx (4.26)
Ejemplo 4.3
La empresa confitera de Caibarién se dedica a la producción y comercialización de
distintos productos. De ellos los más importantes financieramente son los sorbetos (A1),
los caramelos (A2) y las galletas dulces (A3); pero para el próximo mes debido a una
remodelación que se realizará en la fábrica podrá dedicarse solo a la producción de
uno; los ingresos obtenidos en dependencia de la procedencia de la materia prima
(eventos) son representados en la matriz de pagos como se muestra en la tabla 4.5.
Tabla 4.5. Utilidades según cada alternativa
Ej
Ai E1 E2 E3
A1 5 2 6 A2 4 7 8 A3 6 4 3
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
127
Matriz de pagos (utilidades en MP) para las alternativas A1, A2 y A3 y los eventos E1, E2
y E3:
Solución:
Criterios a probar:
1. Criterio de WALD
Como en el problema se habla de ganancia (beneficio), utilizando la fórmula (4.17), se
busca el mínimo por fila de cada alternativa y luego se selecciona el mayor de ellos,
como se muestra en la tabla 4.6.
Tabla 4.6. Resultados para el criterio de Wald
Ej
Ai E1 E2 E3 Mín
A1 5 2 6 2 A2 4 7 8 4 A3 6 4 3 3
La mejor alternativa es A2, luego A3 y por último A1.
2. Criterio optimista
Según la fórmula (4.19), se busca el máximo por fila de cada alternativa y luego se
selecciona el mayor de ellos, como se muestra en la tabla 4.7.
Tabla 4.7. Resultados para el criterio optimista
Ej
Ai E1 E2 E3 Máx
A1 5 2 6 6 A2 4 7 8 8 A3 6 4 3 6
La mejor alternativa es A2, luego A1 y A3 igualmente.
3. Criterio de Hurwics
Utilizando la fórmula (4.21) y tomando α = 0.5:
1 0.5*6 (1 0.5)*2 4A
2 0.5*8 (1 0.5)*4 6A
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
128
3 0.5*6 (1 0.5)*3 4.5A
La mejor alternativa es A2, luego A3 y por último A1.
4. Criterio de Laplace
Utilizando la fórmula (4.20), se halla el promedio de los valores de cada fila (valor
esperado) y luego se selecciona el mayor de ellos, como se muestra en la tabla 4.8.
Tabla 4.8. Resultados para el criterio de Laplace
Ej
Ai E1 E2 E3 E(Aj)
A1 5 2 6 6.5 A2 4 7 8 9.5 A3 6 4 3 6.5
La mejor alternativa es A2, luego A1 y A3 igualmente.
5. Criterio de Savage
Utilizando la fórmula (4.22), se halla la matriz de las lamentaciones, restándole al mayor
número por columna todos los demás, después utilizando la fórmula (4.22) se busca el
menor por alternativa y de estos se escoge el mayor, como se muestra en la tabla 4.9.
Tabla 4.9. Matriz de las lamentaciones y resultados para el criterio de Savage
Ej
Ai E1 E2 E3 Mín
A1 1 5 2 1 A2 2 0 0 0 A3 0 3 5 0
La mejor alternativa es A1, luego A2 y A3 igualmente.
En la tabla 4.10 se muestra un resumen de los resultados según los diferentes criterios.
De acuerdo al criterio de Kendall, cuando existen dos o más criterios empatados se le
asigna toda la puntuación promedio que le correspondería. En este ejemplo el criterio
optimista, Laplace y Savage están empatados en el segundo y tercer lugar
respectivamente, por lo que se le asigna el promedio de la suma de estos dos lugares,
en este caso 2.5.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
129
La empresa debe en primer lugar seleccionar la alternativa de producir caramelos
porque es la que maximiza las ganancias. En caso de esta no poderse llevar a cabo, se
seleccionaría la producción de galletas dulces o sorbetos.
Tabla 4.10. Resultados de cada criterio para el ejemplo 4.2
Criterios Sorbetos Caramelos Galletas dulces Wald 3 1 2 Optimista 2.5 1 2.5 Hurwics 3 1 2 Laplace 2.5 1 2.5 Savage 1 2.5 2.5 11.5 6.5 11.5
4.2.4. Decisiones en conflicto
Muchos autores plantean el conflicto como la variable más relevante en el proceso de
toma de decisiones. Hay que entender el conflicto de una forma positiva, puesto que sin
conflicto, difícilmente podría haber cambio e innovación.
En toda situación de toma de decisión, se encuentra ante un conflicto entre opiniones,
juicios y soluciones diferentes. Si no existe diversidad y, por consiguiente, conflicto,
tampoco hay necesidad de elegir y decidir. Todo depende de la manera como se
aborde el conflicto.
La teoría de juegos es una técnica para la toma de decisiones en situaciones de
conflicto, donde se comprende el mismo y sus posibles soluciones a partir de una
matriz formal. Fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clásico The
Theory of Games Behavior, publicado en 1944.
En síntesis, la teoría de juegos es el análisis matemático de un ambiente en el que se
presenta un conflicto de intereses, con el objetivo de hallar las alternativas óptimas a fin
de lograr un determinado resultado.
Los juegos se clasifican en:
Finitos, en dependencia del número de estrategias (juego competitivo).
Infinitos.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
130
A los efectos de este texto se estudiarán los juegos de tipo competitivo, cuyas
características son que posee un número finito de competidores y cada competidor
tiene una lista finita de cursos de acción.
Para darle solución a este tipo de juego se utiliza el principio del MINIMAX, el cual se
describe a continuación:
Se selecciona para cada matriz de juegos un valor α (valor inferior del juego) y uno β
(valor superior del juego).
Para hallar el valor de α, se busca el valor mínimo de cada fila y de estos se selecciona
el mayor, como se expresa en la fórmula (4.27).
iji j i iVMáx Mín MáxX (4.27)
Para determinar el valor de β, se busca el valor máximo de cada columna y de estos se
selecciona el menor, como se expresa en la fórmula (4.28).
ijj i j jVMín Máx MínX (4.28)
Si α = β el juego es de estrategia pura, o también conocido como punto de silla o de
estrategia estable.
Si α ≠ β el juego es de estrategia mixta.
Cuando el juego es de estrategia pura se tiene la decisión, pero cuando es de
estrategia mixta no es así, se utiliza la programación lineal para resolver el problema,
utilizando el método simplex y así determinar las estrategias que tiene el jugador A para
ganarle al B y para determinar las estrategias que tiene el jugador B de ganarle al A se
aplica el dual.
En la tabla 4.11 se representa la matriz de pago para la teoría de juegos.
Tabla 4.11. Matriz de pago
B1 B2 B3
A1 a11 a12 a13 A2 a21 a22 a23 A3 a31 a32 a33
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
131
A continuación se muestran las diferentes ecuaciones empleando el método simplex y
el dual, para darle solución a un juego cuando la estrategia es mixta.
Max (z)= V
a11X1+ a21 X2+ a31 X3 - V ≥ 0
a12X1+ a22X2 + a32 X3 - V ≥ 0
a13X1+ a23 X2+ a33 X3 - V ≥ 0
X1+ X2+ X3 = 1
X1+ X2+ X3 ≥ 0
(4.29)
(4.30)
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
Min (z) = W
a11y1+ a12 y2+ a13 y3 - W ≤ 0
a21y1+ a22 y2+ a23 y3 - W ≤ 0
a31y1+ a32 y2+ a33 y3 - W ≤ 0
y1+ y2+ y3 = 1
y1+y2+y3≥ 0
(4.35)
(4.36)
(4.37)
(4.38)
(4.39)
(4.40)
V: no restringida en signo (NRS) W: no restringida en signo (NRS)
Para demostrar más claramente lo explicado anteriormente se va desarrollar el ejemplo
4.3.
Ejemplo 4.4
La Cervecería Bucanero S.A para el año 2011 tiene trazado como meta que sus
cervezas desfilen entre las mejores marcas a nivel mundial en el concurso llevado a
cabo en Canadá para esta fecha. Dentro de los competidores que participarán el que
representa mayor competencia es la Budweiser de Estados Unidos. Bucanero tiene tres
alternativas: poner en competencia a la Bucanero Max, la Bucanero fuerte o la Cristal,
por otro lado la Budweiser tiene también tres marcas para poner en competencia. En
estudios realizados se ha podido determinar la probabilidad que tiene cada cerveza
Bucanero de ganarle a cada cerveza de la Budweiser, como se muestra en la tabla
4.12. Determine que estrategia debe utilizar la Cervecería Bucanero para ganar el
concurso.
Tabla 4.12. Probabilidad de cada cerveza Bucanero ganarle a cada tipo de cerveza
Budweiser
1 2 3 Bucanero Max 0.50 0.66 0.73
Bucanero fuerte 0.40 0.2 0.38 Cristal 0.45 0.33 0.42
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
132
Solución:
Para determinar el valor de α se utiliza la fórmula (4.24), seleccionando el valor mínimo
por fila y de estos el mayor, siendo entonces α = 0.50.
Para determinar el valor de β se utiliza la fórmula (4.25), seleccionando el valor máximo
de cada columna y de estos el menor, siendo entonces β =0.50.
Los resultados del análisis anterior se muestran en la tabla 4.13.
Tabla 4.13. Determinación de α y β
1 2 3 Mín Bucanero Max 0.50 0.66 0.73 0.50
Bucanero Fuerte 0.40 0.20 0.38 0.20 Cristal 0.45 0.33 0.42 0.33 Máx 0.50 0.66 0.73
Por tanto α = β, juego de estrategia pura, para ganar el concurso la Cervecería
Bucanero debe utilizar la cerveza Bucanero Max.
4.3. Métodos multicriterios vs métodos monocriterios
En la vida corriente como en las organizaciones, a menudo las personas se enfrentan a
difíciles decisiones debido a la necesidad de cubrir varios imperativos; el decisor se
encuentra en disposición de escoger entre varias posibilidades, denominadas
alternativas, el conjunto de las cuales constituye el llamado conjunto de elección. Para
escoger en este conjunto el decisor tiene diversos puntos de vista, denominadas
criterios. Estos criterios son, al menos parcialmente, contradictorios en el sentido de
que si el decisor adopta uno de dichos puntos de vista, por ejemplo la minimización del
riesgo, no escogerá la misma alternativa que si se basa en otro criterio, por ejemplo el
de mejor rendimiento.
Las ventajas de la modelización multicriterios deben ser valoradas en relación con la
modelización clásica en la que el objetivo consiste en llegar a un problema de
maximización con restricciones en la que la solución óptima representa la mejor
elección según.
La tarea de traducir a costos monetarios los elementos en la función de ganancia no se
suele efectuar, sino que tan solo los costos monetarios inmediatos se tienen en
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
133
consideración. Cualquier ejemplo llevaría a una conclusión idéntica. Ciertos aspectos
de las decisiones son muy difíciles de evaluar en términos de costos.
La modelización multicriterio proporciona al decisor una libertad de juicio que le es
ocultada por la modelización monocriterio. La modelización multicriterio es así mucho
más realista puesto que considera las restricciones por lo que realmente son, a saber,
elementos de la decisión, es decir, criterios. En ciertos modelos puede considerarse el
dejar la elección al decisor de fijar el mismo cuales son criterios y cuales son
restricciones.
Los componentes de la decisión van a ser evaluados separadamente como criterio que
influyen en la misma. La primera consecuencia de ello es la que el modelo va a guardar
todo su sentido para el decisor, por tanto un análisis interactivo cobra ahora todo su
valor, incorpora los criterios en la función objetivo o en las restricciones no es más que
un artificio, ciertamente lícito en términos conceptuales pero incoherentes desde el
punto de vista decisional pues impide toda intervención del decisor e introduce una gran
rapidez en las decisiones.
Un modelo cerrado en el que los criterios de los unos y los otros están enmascarados,
en la función a optimizar o en las restricciones, no es de absolutamente ninguna utilidad
en un proceso de discusión. Por lo contrario un modelo que muestra explícito tales
criterios diferentes puede ser utilizado como instrumento de búsqueda del consenso, lo
que constituye una de las más interesantes del análisis multicriterio.
Otro inconveniente de la modelación monocriterio es el de su falta de realismo desde un
punto de vista humano. Esta opinión es desarrollada por Simón (1983) en su libro sobre
la crítica del modelo de maximización de utilidad esperada. Puntualiza Simón (1983)
que la práctica de la gestión administrativa, tal y como él la observa, consiste
justamente en utilizar en instantes diferentes, criterios asimismo diferentes y a menudo
en conflicto, en definitiva, el análisis multicriterio tiene a su favor el realismo y la
legibilidad, lo que son activos importantes en las organizaciones en un momento en el
que la complejidad de las decisiones es reconocida por la mayor parte de los actores
aún cuando no todos ellos muestren la misma sensibilidad, ante los diferentes criterios.
Se sabe ya que toda decisión, incluso individual, es un compromiso entre diversas
aspiraciones imposibles de satisfacer en toda su plenitud.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
134
La tabla 4.14 resume las diferencias fundamentales que existen entre ambos
paradigmas.
4.4. Utilización del WinQSB para resolver problemas de teoría de juegos y árboles
de decisión
El WinQSB permite resolver problemas de decisiones en conflicto: teoría de juegos y
decisiones bajo riesgo: árboles de decisión.
4.4.1. Decisiones en conflicto: teoría de juegos
Para solucionar un problema de teoría de juegos a través del WinQSB, se va a tomar
como base el ejemplo siguiente.
Ejemplo 4.5
La fábrica de helados Periquín de la provincia de Villa Clara compite en el mercado
nacional con los helados producidos por la empresa Nestlé. La fábrica Periquín tiene las
opciones de subir sus precios, dejarlos como están o disminuirlos. Nestlé tiene las
mismas opciones. Las cuentas brutas en miles de pesos de la fábrica Periquín se
muestran en la tabla 4.15. Determine qué estrategia debe elegir Periquín y cuál Nestlé
para mantenerse en el mercado.
Tabla 4.15. Datos del ejercicio resuelto 3
Aumenten Igual Disminuyan Aumenten 130 140 150
Igual 150 140 130 Disminuyan 160 140 120
Solución del problema:
Una vez que se accede a la opción Decision Analysis del software WinQSB se da clic
en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra
de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra
en la figura 4.4.
En la ventana se elige la opción que aparece marcada: Two–player, Zero–sum Game
(que es la que contempla los problemas de teoría de juegos), se pone el título del
problema y se establece el número de estrategias del jugador uno y dos; luego se da
clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura 4.5.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
135
Figura 4.4. Ventana de entrada de datos generales de un problema de teoría de la
decisión: teoría de juegos con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for
Windows.
Figura 4.5. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de la decisión:
teoría de juegos con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso
serían las estrategias que tiene la fábrica Periquín de ganarle a la empresa Nestlé.
Utilizando la opción Edit – Player 1 Strategy Name y Player 2 Strategy Name se puede
cambiar el nombre de las estrategias tanto de la fábrica Periquín como de la empresa
Nestlé, como se muestra en la figura 4.6 y 4.7.
Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el
botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve the Problem del
menú Solve and Analyze, se da clic en Solve y se obtiene la ventana de resultados que
se muestra en la figura 4.8.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
136
Tabla 4.14. Diferencias entre los métodos multicriterios y los métodos
monocriterios
Aspecto Monocriterio Multicriterio
Cantidad de criterios de decisión
único al menos 2
Preferencias del decisor se tiene en cuenta en la función objetivo
se considera en la solución del problema
Paradigma tradicional multicriterio
Problemas a los que se aplica
tecnológicos económicos y tecnológicos
Deseos del decisor a través de
un criterio criterios en conflicto
Calidad de la solución obtenida
solución óptima mejor solución compromiso entre los
criterios utilizados Tipo de datos que utiliza cuantitativos cuantitativos y
cualitativos Cercanía a las preferencias del decisor
escasa grande
Libertad de juicio del decisor
ocultada proporcionada
Posibilidad de análisis interactivo
escasa grande
Forma en que se muestran los diferentes criterios
enmascarados en la función objetivo y las restricciones
de manera explícita
Objetividad desde el punto de vista humano
escasa grande
Proximidad de la modelización del proceso de toma de decisiones a la realidad
escasa grande
Elementos componentes alternativas y criterio alternativas, criterios y pesos
Debilidad fundamental se desvía considerablemente de los problemas reales de
toma de decisiones
Fortaleza fundamental mayor precisión en los problemas reales de
toma de decisión
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
137
Figura 4.6. Estrategias de la fábrica Periquín.
Figura 4.7. Estrategias de la empresa Nestlé.
La tabla de los resultados indica que la mejor estrategia para Periquín es la uno, o sea
aumentar los precios, con una probabilidad de un 67 % y la mejor estrategia para Nestlé
es la dos que es la de mantener igual los precios con una probabilidad de un 100 %.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
138
El último renglón de esta tabla de resultados indica el pago esperado (Z) para Periquín,
en este caso $140.
Figura 4.8. Ventana de resultados de un problema de programación dinámica:
camino óptimo con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
4.4.2. Decisiones bajo riesgo: árboles de decisión
Para solucionar un problema de árboles de decisión a través del WinQSB, se va a
tomar como base el ejemplo siguiente.
Ejemplo 4.6
Se lanzan tres monedas al mismo tiempo. El jugador gana si las tres monedas caen
cara, pierde en caso de que se de un suceso contrario. La probabilidad de que salga
cara o escudo es de 0.50. El jugador invierte por jugada $100.00 y si gana recibe $5
000.00 ¿Es conveniente participar en el juego?
Solución del problema:
Una vez que se accede a la opción Decision Analysis del software WinQSB se da clic
en la opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra
de herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra
en la figura 4.9.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
139
Figura 4.9. Ventana de entrada de datos generales de un problema de teoría de la
decisión: árboles de decisión con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for
Windows.
En esta ventana se elige la opción que aparece marcada: Decision Tree Analysis (que
es la que contempla los problemas árboles de decisión), se pone el título del problema y
se establece el número de nodos o eventos; luego se da clic en OK y se obtiene la
figura 4.10.
Figura 4.10. Ventana de entrada de datos de un problema de teoría de la decisión:
árboles de decisión con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
140
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema. La primera columna
indica el consecutivo de los eventos. La segunda columna corresponde al nombre del
nodo. Para indicar el tipo de nodo solamente se marcó con la letra C para un nodo tipo
oportunidad.
Para mostrar la secuencia en la columna nodo siguiente inmediato (Immediate
Following Node), los nodos terminales se indican claramente por no tener sucesores.
Las ganancias y pérdidas ocurren con el resultado de la última moneda (nodos
terminales). Para el nodo CCC (cuando las tres caras caen) corresponde a un ingreso
de $5 000.00 (el jugador gana). Los demás nodos terminales producen una pérdida de
$100.00. La probabilidad de cada evento es de 0.50 indicado en la última columna.
Para obtener un modelo gráfico del árbol dar clic en la opción Draw Decision Tree del
menú Solve and Analyze, obteniendo como resultado la figura 4.11.
Figura 4.11. Árbol de decisión con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for
Windows.
Para obtener los resultados del problema dar clic en el botón correspondiente de la
barra de herramientas o la opción Solve the Problem del menú Solve and Analyze, y se
obtiene la ventana de resultados que se muestra en la figura 4.12.
El ingreso esperado (Expected value) se muestra al final, equivalente a un valor de
$537.50. El cálculo se realiza así:
( ) 5*(0.125) 100*(0.125)*7 $537.50E X
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
141
Figura 4.12. Ventana de resultados de un problema de programación dinámica:
árboles de decisión con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
La respuesta al problema es que según la esperanza positiva, es conveniente participar
en el juego ya que la ganancia esperada supera a la inversión en el tiempo.
4.5. Ejercicios resueltos
1. En la empresa de Productos Lácteos ¨Río Zaza de Sancti – Spíritus, se produce,
distribuye y comercializa de forma mayorista productos derivados de la leche y sus
análogos en moneda nacional y divisa.
Actualmente la dirección del centro se enfrenta ante la disyuntiva de decidir entre
dos variantes de una nueva línea de producción de queso crema, las cuales están
relacionadas a tres posibles sucesos futuros.
La primera alternativa de producción (A) requiere la inversión de 100 MP, valor que
puede llevar en el primer suceso posible (E1) a una ganancia de 200 MP; sin
embargo una verificación del segundo o tercer suceso (E2 ó E3) demuestra la
pérdida del dinero inicialmente invertido.
La segunda alternativa de producción (B) implica la inversión de 40 MP, que puede
traducirse en una ganancia de 70 MP en el caso de los sucesos E1 y E2, de lo
contrario este dinero invertido puede perderse en el tercer suceso (E3). Se estima
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
142
que el grado de probabilidad de ocurrencia de los sucesos E1, E2 y E3 es de 0.5, 0.2
y 0.3 respectivamente. La situación descrita en el problema se muestra en la tabla
4.16.
Tabla 4.16. Datos del ejercicio resuelto 1
Ej
Ai
E1 0.5
E2 0.2
E3 0.3
A 200 -100 - 100 B 70 70 - 40 C 0 0 0
Solución:
Para dar solución al problema planteado se utiliza la teoría de la decisión bajo
riesgo, en la que se manejan 5 criterios de decisión para elegir la mejor alternativa:
1. Optimización del valor esperado.
Utilizando la fórmula (4.5):
( ) 200*(0.5) 100*(0.2) 100*(0.3) 50E A MP
( ) 70*(0.5) 70*(0.2) 40*(0.3) 37E B MP
( ) 0E C
Según el criterio 1, se selecciona A ya que es el de mayor valor esperado.
2. Lamentaciones mínimas esperadas
Utilizando la fórmula (4.8), se obtiene la matriz de lamentaciones como se muestra
en la tabla 4.17.
Tabla 4.17. Matriz de lamentaciones
Ej Ai
0.5 0.2 0.3
A 0 170 100
B 130 0 40
C 200 70 0
Utilizando la fórmula (4.7):
( ) 0*(0.5) 170*(0.2) 100*(0.3) 64AE MP
( ) 130*(0.5) 0*(0.2) 40*(0.3) 77BE MP
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
143
( ) 200*(0.5) 70*(0.2) 0*(0.3) 114CE MP
Según el criterio 2, se selecciona A porque es el de menor lamentación mínima
esperada.
3. Minimización de la varianza
Utilizando la fórmula (4.9):
2 2 2( ) (200 50) *0.5 ( 100 50) *0.2 ( 100 50) *0.3 22500VAR A MP
2 2 2( ) (70 37) *0.5 (70 37) *0.2 ( 40 37) *0.3 2541VAR A MP
( ) 0VAR C
Según el criterio 3, se selecciona C porque es el de menor varianza.
4. Principio de Farrar
Utilizando la fórmula (4.10):
k = 1
50 22500 100A MP
37 2541 13.41B MP
0C
De acuerdo a este criterio, se selecciona B.
5. Principio de la semivarianza
Utilizando la fórmula (4.12):
K=1
2 2( ) ( 100 50) *0.2 ( 100 50) *0.3 11.250SVAR A MP
2( ) ( 40 37) *0.3 1778.70SVAR B MP
( ) 0SVAR C
Utilizando la fórmula (4.13):
50 11250 56.07A MP
37 1778.70 5.17B MP
0C
Según el criterio de la semivarianza se selecciona la alternativa B.
6. Principio de Aspiración
Se toma como nivel de satisfacción 70 MP o más.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
144
Frecuencia Relativa
A – 1/3 = 0.33 B – 2/3 = 0.66 C – 0/3 = 0
Probabilidad Acumulada
A – 0.5 B – 0.5 + 0.2 = 0.7 C = 0
En los dos casos se selecciono B.
7. Criterio del futuro probado
El estado de la naturaleza más probable es el E1. Por lo que en este caso la mejor
alternativa sería la inversión de 100.00 MP.
En la tabla 4.18 se muestra un resumen de los diferentes criterios.
Tabla 4.18. Resumen de los diferentes criterios
Criterios A B C 1 1 2 3 2 1 2 3 3 3 2 1 4 3 2 1 5 3 2 1 6 2
2 1 1
3 3
7 1 2 3 ∑ 16 14 18
La mejor alternativa para realizar la nueva línea de producción de queso crema en la
Empresa de Productos Lácteos, es la que requiere de una inversión inicial de 40
MP.
2. Un productor de pequeñas herramientas está enfrentando competencia, por lo cual
necesita modificar su producto existente o abandonarlo y ofrecer un nuevo producto.
Sin importar cual curso de acción siga, tendrá la oportunidad de disminuir o
aumentar sus precios si experimenta una demanda inicial baja.
Los valores de las consecuencias y probabilidades asociadas con los cursos de
acción alternativos se muestran en la figura 4.8. Las cantidades monetarias están en
valor presente.
Analice el árbol de decisión y determine cuál curso de acción se debe escoger para
maximizar el valor monetario esperado.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
145
Solución:
Se analiza el árbol de decisión de derecha a izquierda, y se calcula el valor
esperado de todos los posibles cursos de acción, seleccionando la rama con el
mayor valor esperado. Se comienza con la rama superior (producto modificado).
Utilizando la fórmula (4.16):
En el evento 2
Rama bajar precio:
( ) (0.2)*20000 (0.8)*150000 $124000E X
Rama aumentar precio:
( ) (0.9)*40000 (0.1)*200000 $56000E X
Por tanto, se escoge bajar el precio y se usa $124000 como el valor de esta rama en
la decisión 2.
En el evento 1
Utilizando la fórmula (4.16):
Si la demanda (baja, alta):
( ) (0.3)*124000 (0.7)*400000 $317200E X
Por tanto, se usa $317 000.00 como valor para esta rama en la decisión 1.
De manera similar se realiza el análisis para la rama inferior (nuevo producto).
En el evento 2
Utilizando la fórmula (4.16):
Rama bajar precio:
( ) (0.2)*30000 (0.8)*100000 $86000E X
Rama aumentar precio:
( ) (1.0)*50000 (0)*300000 $50000E X
Por tanto, se escoge la rama bajar el precio y se usa $86000 como el valor de esta
rama en la decisión 2.
En el evento 1
Si la demanda (baja, alta):
( ) (0.5)*86000 (0.5)*600000 $343000E X
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
146
Por tanto el valor esperado en la decisión 1 es $343 000.00.
Para maximizar el valor monetario esperado el plan óptimo de acción es realizar un
nuevo producto y bajar el precio.
3. La empresa ¨Plastimec va a crear una fábrica para la producción de un nuevo
material, que sustituye con ventajas de peso y de resistencia a la corrosión, a varios
metales empleados en producciones mecánicas. Las alternativas de decisiones
existentes son:
A: construir una fábrica intensiva en mano de obra.
B: construir una fábrica intensiva en equipos de producción y con escasa necesidad
de mano de obra.
C: construir una fábrica medianamente intensiva en mano de obra y en equipos de
producción.
El criterio de decisión es minimizar los costos de producción y éstos dependen de la
evolución de los costos de la mano de obra y de mantenimientos y reparación
(M+R) de los delicados equipos de producción que son necesarios si no se utiliza
intensivamente el factor trabajo. Existen, por consiguiente, cuatro situaciones ó
estados de la naturaleza posibles:
I: costos de mano de obra y M+R bajos.
II: costos de mano de obra bajos y costos de M+R elevados.
III: costos de mano de obra elevados y costos de M+R bajos.
IV: costos de mano de obra y M+R elevados.
Tras los diversos estudios realizados, se estima que los costos globales del proyecto
en cuestión, según la alternativa elegida se muestran en la tabla 4.19. La empresa
desea conocer las estrategias a seguir para la construcción de la fábrica.
108
F igura 4.13. Árbo l de decisión del ejercicio resuelto 4.
1
2
2
D E C IS IÓ N 1 P robab ilidad de
E ven to 1
(D em anda In ic ia l)
D E C IS IÓ N 2 P A G O S P robab ilidad de
E ven to 2
(D em anda F ina l)
P roduc to
m od ificado
N uevo
P roduc to
D em anda
ba ja (0 .3 )
D em anda
a lta (0 .7 )
D em anda
ba ja (0.5)
D em anda
ba ja (0 .5 )
B a ja r P rec io
A um en ta r
P rec io
B a ja r P rec io
A um en ta r
P rec io
B a ja (0 .2 )
A lta (0 .8 )
B a ja (0 .9 )
A lta (0 .1 )
B a ja (0 .2 )
A lta (0 .8 )
B a ja (1 .0 )
A lta (0 .0 )
$20 000 .00
$150 000 .00
$40 000 .00
$200 000 .00
$400 000 .00
$30 000 .00
$100 000 .00
$50 000 .00
$300 000 .00
$600 000 .00
Tabla 4.19. Costos según cada alternativa
Estrategia Estados de la naturaleza
I II III IV A 100 110 300 310 B 90 400 100 420 C 95 550 105 460
Solución:
Para resolver el problema planteado anteriormente se utiliza la teoría de la decisión
bajo incertidumbre, en la que se manejan 5 criterios de decisión para elegir la mejor
alternativa:
1. Criterio de WALD
Como en el problema se habla de costos, utilizando la fórmula (4.18), se busca el
máximo por fila de cada alternativa y luego se selecciona el menor de ellos, como se
muestra en la tabla 4.20.
Tabla 4.20. Resultados para el criterio de Wald
La mejor alternativa es A, luego B y por último C.
2. Criterio optimista
Utilizando la fórmula (4.20), se busca el mínimo por fila de cada alternativa y luego
se selecciona el menor de ellos, como se muestra en la tabla 4.21.
3. Criterio de Hurwics
Utilizando la fórmula (4.22) y tomando α = 0.5:
0.5*100 (1 0.5)*310 205A
0.5*90 (1 0.5)*420 255B
0.5*95 (1 0.5)*550 322.50C
Ej
Ai I II III IV Máx
A 100 110 300 310 310
B 90 400 100 420 420
C 95 550 105 460 550
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
149
La mejor alternativa es A, luego B y por último C.
Tabla 4.21. Resultados para el criterio optimista
Ej
Ai I II III IV Mín
A 100 110 300 310 100
B 90 400 100 420 90
C 95 550 105 460 95
La mejor alternativa es B, luego C y por último A.
4. Criterio de Laplace
Utilizando la fórmula (4.24), se halla el promedio de los valores de cada fila (valor
esperado) y luego se selecciona el menor de ellos, como se muestra en la tabla
4.22.
Tabla 4.22. Resultados para el criterio de Laplace
Ej
Ai
I II III IV E(Ai)
A 100 110 300 310 205
B 90 400 100 420 252.5
C 95 550 105 460 302.5
La mejor alternativa es A, luego B y por último C.
5. Criterio de Savage
Utilizando la fórmula (4.25) se determina la matriz de las lamentaciones, restándole
al menor número por columnas todos los demás, ya que el problema es de costo.
Utilizando la fórmula (4.26) se busca el menor número por alternativa de la matriz de
lamentaciones y de estos se escoge el mayor, como se muestra en la tabla 4.23.
La mejor alternativa es C luego A y B igualmente.
En la tabla 4.24 se muestran los resultados de cada criterio.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
150
Tabla 4.23. Matriz de las lamentaciones y resultados para el criterio de Savage
Ej
Ai
I II III IV Mín
A 10 0 200 0 0
B 0 290 0 110 0
C 5 440 5 150 5
Tabla 4.24. Resultados de cada criterio para el ejercicio resuelto 2
Criterios A B C
Wald 1 2 3
Optimista 3 1 2
Hurwics 1 2 3
Laplace 1 2 3
Savage 2.5 2.5 1
∑ 8.5 9.5 12
4. Resuelva de forma manual el ejemplo 4.5 solucionado anteriormente empleando
el software WinQSB.
Los datos del problema se muestran en la tabla 4.25.
Tabla 4.25. Datos del ejercicio resuelto 3
Aumenten Igual Disminuyan
Aumenten 130 140 150
Igual 150 140 130
Disminuyan 160 140 120
Solución:
Utilizando la fórmula (4.24), se determina el valor de α, seleccionando el menor
valor por fila y de ellos se escoge el mayor, siendo α = 130.
Utilizando la fórmula (4.25), se determina el valor de β, seleccionando el mayor
valor por columna y de ellos se escoge el menor, siendo β = 140.
El resultado del análisis explicado anteriormente se muestra en la tabla 4.26.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
151
Tabla 4.26. Determinación de α y β
Aumenten Igual Disminuyan Mín
Aumenten 130 140 150 130
Igual 150 140 130 130
Disminuyan 160 140 120 120
Máx 160 140 150
Como α ≠ β (130 ≠ 140), la estrategia es mixta, por tanto no se tiene la solución del
problema, hay que utilizar el método simplex para solucionar un problema de
programación lineal.
Las ecuaciones que se forman utilizando las fórmulas (4.29, 4.30, 4.31, 4.32, 4.33
y 4.34) para determinar qué estrategia debe elegir Periquín para mantenerse en el
mercado son:
MáxZ V
1 2 3130 150 160 0X X X V
1 2 3140 140 140 0X X X V
1 2 3150 130 120 0X X X V
1 2 3 1X X X
1 2 3, , 0X X X
V: NRS
Resultados:
1 0.67X
2 0X
3 0.33X
140V
La fábrica Periquín para mantenerse en el mercado debe aumentar sus precios.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
152
Las ecuaciones que se forman al aplicar el dual utilizando las fórmulas (4.35, 4.36,
4.37, 4.38, 4.39 y 4.40) para determinar qué estrategia debe elegir Nestlé para
mantenerse en el mercado son:
MáxZ W
1 2 3130 140 150 0y y y W
1 2 3150 140 130 0y y y W
1 2 3160 140 120 0y y y W
1 2 3 1y y y
1 2 3, , 0y y y
W: NRS
Resultados:
1 0.50y
2 0y
3 0.50y
140W
Resultados:
La empresa Nestlé debe aumentar o disminuir sus precios, con igual probabilidad,
para mantenerse en el mercado.
4.6. Ejercicios propuestos
1. En una empresa de cemento se está obligado a tomar una decisión referido a qué
tipo de cemento (blanco o gris) se debe centrar la producción para el próximo año.
Las probabilidades de que se produzca bajo las consecuencias de que aumenten,
disminuyan o permanezcan igual las ganancias son: 0.3, 0.2 y 0.4 respectivamente.
En la tabla 4.27 se muestran los ingresos en MP.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
153
Tabla 4.27. Ingresos para el cemento gris y blanco
Cemento gris 2.9 3 3.2 Cemento blanco 18 6 2
2. La dirección del Taller de Confecciones Textiles VICLAR de Santa Clara recibió para
el mes de enero tres pedidos de diferentes artículos: pantalón de hombre (A1),
sábana (A2) y canastilla (A3). El pedido de pantalones es de 60, el pedido de
sábanas es de 150 y el de canastilla es de 40. Por falta de capacidad productiva el
taller podrá realizar un solo pedido en el mes de enero, entonces se encuentra ante
la disyuntiva de qué pedido escoger. De acuerdo al esfuerzo de las costureras los
pedidos en el taller pueden ser entregados tres, dos y un día antes de la fecha
acordada con el cliente. Mientras antes se entregue el pedido mayor serán los
ingresos a recibir. Se sabe que un pedido se termina tres días antes en el 2% de las
veces (E1), se termina dos días antes en el 20% de las veces (E2) y se termina un
día antes en el 30% de las veces (E3). El 40% de las veces el pedido es terminado
en la fecha acordada (E4) y el 8% de las veces es acabado después de esta (E5). En
la tabla 4.28 se reflejan los ingresos en miles de pesos que se obtendrán por cada
pedido en dependencia de cuando se entreguen.
Tabla 4.28. Ingresos por cada pedido
Ej
Ai E1 E2 E3 E4 E5
A1 20 18.2 16 14 12.5 A2 5 4.5 3.5 3 2 A3 17 16 15.5 15 13
3. Se desea instalar una base de taxis para las nuevas instalaciones hoteleras
construidas en Cayo Santa María, es necesario estudiar la cantidad de taxis que se
debe tener, de forma que se obtenga una mayor ganancia. Para dicha instalación se
realiza el cálculo de los gastos de adquisición de los taxis, así como el ingreso
esperado en dependencia de la cantidad de taxis que se alquilan. Ai: cantidad de
taxis (10,15, 20, 25). Ej: cantidad de taxis alquilados (0, 5, 10, 15, 20, 25).
Los valores de la tabla 4.29 expresan la ganancia para cada alternativa en miles de
pesos.
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
154
Tabla 4.29. Ganancia para cada alternativa
Ej
Ai 0 5 10 15 20 25
10 - 40 29 78 78 78 78 15 - 68 8 70 160 160 160 20 -86 - 15 60 100 200 200 25 - 104 - 33 52 80 188 260
4. Una empresa de servicios computarizados especializada en servicios de
información, desea seleccionar un sistema de computadora que utilizará en una
nueva dependencia que abrirá próximamente. Aunque la empresa ya ha decidido la
marca de computadoras que utilizará, está tratando de determinar el tamaño del
sistema de computadoras que para sus condiciones resulta más económica
comprar.
A partir del análisis realizado en la empresa, se consideró que existen tres
alternativas de decisión, pudiendo ocurrir dos estados de la naturaleza, los cuales
son:
Decisiones alternativas:
D1 - Comprar un sistema de computadoras grande.
D2 - Comprar un sistema de computadoras mediano.
D3 -Comprar un sistema de computadoras pequeño.
Estados de la naturaleza:
E1 – Alta aceptación de los servicios de la PST
E2 – Baja aceptación de los servicios de la PST
Teniendo en cuenta lo anterior, la empresa ha estimado la posible ganancia en MP,
a obtener para cada alternativa, la cual aparece en la tabla 4.30:
Tabla 4.30. Ganancia para cada alternativa
Ej
Ai E1 E2
D1 200 -20 D2 150 20 D3 100 60
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
155
La empresa desea determinar la decisión que debe tomar para lograr la máxima
ganancia.
5. Para la próxima estación de cultivo la granja estatal del Yabú tiene para vender en el
mercado (maíz, boniato, papa y yuca). Pero tiene como competidores a los
pequeños agricultores que pueden vender también las mismas viandas. La tabla
4.31. muestra las ganancias (en cientos de pesos) para cada alternativa. Determine
cuál es la mejor alternativa para la granja estatal del Yabú.
Tabla 4.31. Ganancias para cada alternativa
Ej
Ai Maíz Boniato Papa Yuca
Maíz -20 20 30 5 Boniato 40 30 35 50 Papa 50 10 -45 10 Yuca 12 15 15 -100
6. Ante cualquier situación de guerra se dispone de tres clases de armamentos: A1, A2
y A3; el enemigo cuenta con tres tipos de aviones: B1, B2 y B3. El objetivo que se
persigue es hacer blanco en uno de los aviones del enemigo. Si se emplea el
armamento A1 se hará blanco en los aviones de las clases B1, B2 y B3 con los
respectivas probabilidades 0.9, 0.4, y 0.2; con el armamento A2, las probabilidades
serán de 0.3, 0.6 y 0.8; con el armamento A3 serán 0.5, 0.7 y 0.2. Se requiere definir
la situación en los términos de la teoría de juegos.
7. Un mayorista está estudiando sus necesidades de bodega para los próximos ocho
años. Tiene hasta el momento tres alternativas bajo estudio:
Construir una nueva bodega a un costo de 700 miles de pesos.
Ampliar las existentes incurriendo en un costo de 400 miles de pesos.
Posponer la decisión de ampliar, lo cual tiene un costo de 600 miles de pesos.
Si la decisión se pospone esperará cuatro años y entonces decidirá ampliar o
dejarlas como están.
Se espera que la demanda sea alta para los próximos 8 años, esto se denotará
como (A1, A2) o sea, alta para el primer período de 4 años y nuevamente alta en el
segundo período también de 4 años; alta para 4 años y baja para los otros 4 años
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
156
(A1, B2); baja los primeros 4 años y alta los últimos 4 años (B1, A2); o baja durante
los 8 años (B1, B2). Dependiendo de estos niveles se esperan los ingresos que se
muestran en la tabla 4.32 de las dos alternativas que requieren inversión al
momento (MP al año):
Tabla 4.32. Ingresos de las dos alternativas que requieren inversión al
momento
(A1,A2) (A1,B2) (B1,A2) (B1,B2)
Bodega nueva 1548 775 532 390
Aceptar ahora 970 726 484 242
Los ingresos para una demanda alta y baja durante los primeros 4 años si no se
amplía serán de 150 y 60 MP al año respectivamente. Para los 4 años restantes se
muestran en la tabla 4.33.
Tabla 4.33. Ingresos para una demanda alta y baja para los 4 años restantes
Decisión A2 B2 Ampliar después de 4 años
763 190
No ampliar después de 4 años
152 76
Las probabilidades de que la demanda tenga un determinado nivel a lo largo del
período de 8 años se muestran en la tabla 4.34.
Tabla 4.34. Probabilidades de la demanda
(A1,A2) (A1,B2) (B1,A2) (B1,B2)
Probabilidad 0.3 0.2 0.1 0.4
Determine la política decisoria a seguir para maximizar los ingresos si la tasa de
interés es de un 10% anual compuesta anualmente.
4.7. Preguntas de autoevaluación
16. ¿En qué consiste la teoría de la decisión?
17. ¿Cuáles son las características, fases y elementos fundamentales de un problema
de decisión?
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
157
18. ¿En qué consiste la toma de decisiones bajo certeza?
19. ¿Defina las decisiones bajo riesgo y diga cuáles son los criterios que se utilizan para
resolver un problema de este tipo?
20. ¿En qué consisten las decisiones bajo incertidumbre y cuáles son los criterios que
se utilizan?
21. ¿En qué consiste la teoría de juegos y cuáles son las estrategias de solución para
problemas de este tipo?
22. Ponga ejemplos de la vida práctica en que se puedan aplicar cada una de las
clasificaciones de la toma de decisiones tratadas en este capítulo.
4.8. Bibliografía consultada
1. Andrés, M. R. (2008). Teoría de la decisión, disponible en:
http://www.eumed.net/tesis/2008/amr/Teoria%20de%20la%20decision.htm
[Consultado el 23 de marzo de 2011].
2. Barba, Sergio – Romero Casillas y Pomerol, Jean Charles (1997). Decisiones
Multicriterios. Fundamentos teóricos y aplicación práctica. Servicio de publicaciones
de la Universidad de Alcalá. Madrid.
3. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (2005). Métodos Cuantitativos para la Toma de
Decisiones en Administración. Tomo I, Capítulo 2 “Construcción de modelos
cuantitativos” pp. 15 – 27, Capítulo 4 “Matriz de pago y árboles de decisión” pp. 58 –
88, Capítulo 5 “Cuando hay un oponente: Teoría de juegos” pp. 89 – 111, La
Habana, Editorial Félix Varela.
4. Hillier, F. S. y Lieberman, G.J. (2007). Introducción a la Investigación de
Operaciones. Tomo II, Capítulo 20 “Análisis de decisión”, pp. 864 – 883, Quinta
Edición, La Habana, Editorial Félix Varela.
5. Marrero Delgado, F. (2009 [a]). Conferencia 7 “Teoría de la decisión. Teoría de
juegos”, disponible en http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 15 de febrero de
2011].
6. Marrero Delgado, F. (2009 [b]). Conferencia 8 “Teoría de la decisión. Decisiones
bajo riesgo e incertidumbre”, disponible en http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado
el 15 de febrero de 2011].
CAPÍTULO lV: TEORÍA DE LA DECISIÓN
158
7. Marrero Delgado, F.; Asencio, J.; Cárdenas, Diana. M. y López, l. (2002). “El
proceso de toma de decisiones y el paradigma decisional multicriterio”. Universidad
Nacional de Colombia, Facultad Ingeniería y arquitectura, Sede Manizales.
8. Marrero Delgado, F. (2002). Seminario “Teoría de la decisión”. Universidad Nacional
de Colombia, Facultad Ingeniería y arquitectura, Sede Manizales.
9. Marrero Delgado, F., Asencio García, J., Cespón Castro, R., Abreu Ledón, R.,
Hernández Pascual, K. y Borroto Pentón, Y. (2004). Toma de decisiones con
enfoque multicriterio y su incidencia en la logística empresarial de la cadena de
corte, alza y transporte de la caña de azúcar. Editorial Samuel Feijoó. Santa Clara.
ISBN 959 – 250 – 146 – 7. Monografía.
10. MITECNOLOGICO (2011). Teoría Decisión Introducción, disponible en:
http://www.mitecnologico.com/Main/TeoriaDecisionIntroduccion, [Consultado el 30
de marzo de 2011].
11. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (2003) Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa
de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 8 “Análisis de
Decisiones”, pp. 81 – 92.
12. Simon H.A. (1983). Reason in Human Affairs, Basil Blackwell, Orford.
13. TUOBRA (2011).Teoría de la toma de decisiones, disponible en:
http://www.tuobra.unam.mx/obrasPDF/publicadas/040921170149.html [Consultado
el 6 de febrero de 2011].
14. Thales (2011). Proceso de decisión. Publicación de la Sociedad Andaluza de
Educación Matemática Thales. Madrid, disponible en: http://thales.cica.es/,
[Consultado el 6 de febrero de 2011].
15. White, D, J. 1972. Teoría de la Decisión. Editorial Alianza, S.A, Madrid.
159
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
5.1. Introducción
En este capítulo se aborda el tema de gestión de proyectos, en el cual se tratarán los
conceptos fundamentales, así como las técnicas de administración de proyectos (PERT
y CPM).
Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:
1. Conocer los conceptos básicos en los que se basa la gestión de proyectos.
2. Identificar los elementos que caracterizan a los métodos PERT y CPM.
3. Solucionar manualmente y a través de ordenadores personales, problemas de este
tipo. Hacer énfasis en la interpretación analítica de estas soluciones a la luz de las
condiciones particulares de los problemas que se presentan.
Como prerrequisitos para este tema se exigen:
El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, probabilidades,
estadística e informática.
5.2. Fundamentación teórica de la gestión de proyectos
Los proyectos en gran escala han existido desde tiempos antiguos; este hecho lo
atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero
sólo desde la segunda mitad del siglo XX se han analizado por parte de los
investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos
proyectos.
Un proyecto es un conjunto de actividades relacionadas entre sí, que están dirigidas
hacia un resultado común y cuyo desempeño requiere un período significativo.
La administración de proyectos es la planeación, dirección y control de recursos
(personas, equipos, materiales) para asegurar que los proyectos se hagan dentro del
presupuesto, recursos disponibles e itinerario planificado y para mejorar la efectividad
en la ejecución de un proyecto empresarial.
La administración de proyectos ha evolucionado con el desarrollo de dos técnicas
analíticas para la planeación, programación y control de proyectos. Tales son el Método
de la ruta crítica (CPM, del inglés Critical Path Method) y la Técnica de Evaluación y
Revisión de Proyectos (PERT, del inglés Program Evaluation and Review Technique).
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
160
El método CPM se desarrolló para resolver el problema de los trueques entre el tiempo
y los recursos. El método supone que las duraciones y los costos de las actividades se
pueden predecir bastante bien para poder usar estimaciones deterministas. Sin
embargo, el CPM requiere dos estimaciones de tiempo y costo para cada una de las
actividades, en lugar de una sola. Toma en cuenta la posibilidad de que el esfuerzo
extra (costo) puede reducir el tiempo de terminación de una actividad.
El método PERT se desarrolló con el fin de poder incluir la incertidumbre en las
estimaciones de la duración. Al usar PERT se estiman la duración máxima, la mínima y
la más probable para cada actividad del proyecto.
La principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los
estimados de tiempo. El PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las
actividades, es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. El
CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma
determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.
La técnica PERT y CPM han demostrado ser extremadamente valiosas para ayudar a
los administradores en la responsabilidad de proyectos. En lo que se refiere a las
cuestiones de planificación previas al inicio del proyecto, el método PERT/CPM permite
al administrador calcular el tiempo total esperado para concluir el proyecto. El método
destaca las actividades del proyecto que son cuellos de botella (recurso de capacidad
limitada), para que el gerente les asigne más recursos o las vigile en el transcurso del
proyecto. En lo que se refiere al control una vez que inició el proyecto, el método ofrece
un medio para supervisar el avance y detectar las demoras en actividades que
ocasionarán demoras en la fecha de culminación del proyecto
Los conceptos básicos similares utilizados por los métodos PERT/CPM son los
siguientes:
Proyecto: conjunto de actividades o tareas relacionadas entre sí que poseen un
inicio y un fin bien definido.
Grafo: forma de representar un proyecto. Es una red con orientación.
Actividad real (aij): son las actividades a realizar para cumplir el proyecto, las cuales
requieren para ello de determinados recursos y se realizan en cierto tiempo (dij). Se
pueden representar mediante flechas o nodos.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
161
Actividad ficticia: actividades con duración cero que no consumen recursos. Solo se
emplean cuando las actividades se representan mediante flechas y éstas se
representan con líneas discontinuas, su propósito es mantener la lógica del grafo.
Nodo: representa el principio y el fin de cada actividad. Pueden representar
actividades o nexos entre actividades, en dependencia de lo que representen.
Iniciación más temprana (IT o Ei): momento más próximo en que puede comenzar
una actividad o tarea.
Terminación más temprana (TT o Ej): momento más próximo en que puede terminar
una actividad o tarea.
Iniciación más tardía (Ita o Li): momento más alejado en que puede comenzar una
tarea, sin que afecte la duración total del proyecto.
Terminación más tardía (TTa o Lj): momento más alejado en que puede terminar
una tarea sin que afecte la duración total del proyecto.
Margen total (MTaij): holgura de tiempo, en la cual se puede retrasar una actividad,
sin que se atrase el proyecto.
Actividad crítica: actividad con margen total cero, se representan con dos rayitas en
la actividad.
Ruta crítica (RC): indican la secuencia de actividades críticas que van desde el nodo
inicial hasta el nodo final.
A los efectos de este texto las actividades reales de un proyecto se representarán
mediante flechas, además se utilizarán los términos: Ei, Ej, Li y Lj.
Los componentes de una red de actividades se muestran en la figura 5.1.
Donde:
Ej = mayor valor (Ei + dij) (5.1)
Para determinar las iniciaciones más tardías se utiliza el método retrospectivo.
Li = menor valor (Lj – dij) (5.2)
MTaij = Lj – Ei – dij (5.3)
Figura 5.1. Componentes de una red de actividades.
j
Lj Ej Ei Li Ei aij
dij
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
162
Procedimiento para el cálculo de la ruta crítica
1. Determinación de las actividades del proyecto.
2. Fijación de las relaciones de precedencia entre las actividades.
3. Determinación de la duración de cada actividad.
4. Construir la red de actividades.
5. Determinación de los inicios y terminaciones más tempranos para cada tarea.
6. Determinación de los inicios y terminaciones más tardías para cada tarea.
7. Determinación del margen total de cada actividad.
8. Determinación de las actividades críticas y de la (s) ruta (s) crítica (s).
Fórmulas empleadas en el PERT:
4
6 te
o m p
aij
t t t (5.4)
RC
aijTE te (5.5)
Para el cálculo de E(T) se consideran en la suma el tiempo esperado de duración de las
actividades de la ruta crítica.
2
26
p o
aij
t t (5.6)
2
te
2
RC
T (5.7)
2
te
Timpuesto TnormalZ (5.8)
Donde:
te: tiempo esperado de duración de las actividades.
to: tiempo optimista.
tp: tiempo pesimista.
tm: tiempo más probable.
E (T): valor esperado del proyecto.
σ: desviación estándar.
Z: percentil de la distribución normal.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
163
La gráfica de Gantt fue desarrollada por Henry L. Gantt en 1918 y continúa siendo un
instrumento útil en la producción y programación de proyectos. Su simplicidad y su claro
desarrollo gráfico lo han establecido como un recurso usual para los problemas simples
de programación. El diagrama de Gantt es una técnica no matemática simple y que
muestra visualmente la relación entre las distintas actividades de un proyecto. Identifica
las relaciones de precedencia, permite hacer un mejor uso de los recursos humanos,
materiales y monetarios para el proyecto.
Ejemplo 5.1
ETECSA quiere trasladar oficinas a los diferentes municipios de la provincia de Villa
Clara. La junta de directores ha puesto un plazo de 22 semanas para la mudanza que
se va a realizar. El gerente del grupo análisis de operaciones está a cargo de la
planeación del movimiento, cuidando de que todo acabe de acuerdo con el plan y que
se cumpla con el plazo.
La tabla 5.1 contiene la lista de las actividades propuestas y las relaciones de
precedencia entre ellas.
Tabla 5.1. Actividades propuestas y relaciones de precedencia entre ellas
Actividad Descripción
Predecesoras Duración
(semanas)
A Elegir local - 3
B Crear plan - 5 C Requerimiento de personal B 3 D Diseñar medios A, C 4 E Construir interior D 8 F Elegir personal a mudar C 2 G Contratar nuevos empleados F 4 H Mudar oficinas F 2 I Hacer arreglos financieros B 5 J Entrenar personal E, G, H 3
Solución:
Desde el punto de vista conceptual, la tabla es sencilla, cada actividad está colocada en
un renglón separado y sus predecesoras están registradas en el mismo renglón. Las
actividades predecesoras son aquellas que deben ser iniciadas o ejecutadas con
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
164
anterioridad al inicio de la actividad en cuestión. Por ejemplo; la actividad
requerimientos del personal (A) no se puede comenzar mientras no se efectúe la
actividad crear plan (B). De la misma manera, la actividad contratar nuevos empleados
(G) no puede comenzar sin que termine la actividad elegir personal a mudar (F).
Para dar solución a este ejemplo se va utilizar la gráfica de Gantt que se muestra en la
figura 5.2. En el eje vertical se representan las actividades del proyecto y en el eje
horizontal el tiempo que cada una de ellas necesita para ejecutarse completamente.
Figura 5.2. Diagrama de Gantt.
La gráfica de Gantt indica el tiempo de inicio más temprano posible para cada actividad.
La barra azul oscuro indica el inicio más temprano y la azul claro la terminación más
tardía de cada actividad, el espacio entre estos dos tiempos representa la holgura, en el
caso que la holgura sea cero la duración de dicha actividad se representa con dos
barras: una roja y la otra rosada.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
165
En la tabla 5.2 se muestra el inicio más temprano (Ei), inicio más tardío (Li), terminación
más temprana (Ej), terminación más tardía (Lj) y el margen total (MT) para cada
actividad, así como las actividades críticas y la duración del proyecto.
Tabla 5.2. Respuesta del ejemplo 5.1
Actividad Ei Li Ej Lj MT Crítica
A 0 3 5 8 2 No
B 0 5 0 5 0 Sí C 5 8 5 8 0 Sí D 8 12 8 12 0 Sí E 12 20 12 20 0 Sí F 8 10 14 16 4 No G 10 14 16 20 2 No H 10 14 18 20 6 No I 5 10 18 23 8 No J 20 23 20 23 0 Sí
Duración del proyecto = 23 semanas
Este simple ejemplo muestra que la gráfica de Gantt se usa sobre todo como un
registro para llevar el seguimiento de la progresión en el tiempo de las subtareas de un
proyecto.
5.3. Utilización del WinQSB para resolver problemas de PERT/CPM
El WinQSB permite resolver tanto los problemas de PERT como de CPM.
5.3.1. Administración de proyectos: CPM
Para resolver un problema de CPM se va a tomar como base el ejemplo siguiente.
Ejemplo 5.2
En la tabla 5.3 se muestran las actividades, duración y precedente de cada una de las
actividades de un proyecto. Determine la duración del proyecto.
Solución del problema:
Una vez que se accede a la opción PERT – CPM del software WinQSB se da clic en la
opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra de
herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra en
la figura 5.3.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
166
Tabla 5.3. Actividades, precedente y duración del proyecto
Actividad Precedente Tiempo (días) A - 4 B - 6 C - 5 D A, B 7 E B, C 5 F B, C 4 G C 5 H D, E, F, G 6 I F, G 8 J H, I 3
Figura 5.3. Ventana de entrada de datos generales de un problema de gestión de
proyecto: CPM con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
En esta ventana en la opción Problem Title se pone el nombre del problema, se
establece el número de actividades del proyecto y la unidad de tiempo que en este caso
es días, también se elige la opción: deterministic CPM, Spreadsheet y además se
selecciona la opción Normal Time que es la que permite especificar el tiempo normal de
cada actividad; luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la
figura 5.4.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
167
Figura 5.4. Ventana de entrada de datos de un problema de gestión de proyecto:
CPM con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso sería
el predecesor de cada actividad y el tiempo de duración de las mismas. Al concluir la
entrada de datos, para obtener la solución del problema, dar clic en el botón
correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve Critical Path del menú
Solve and Analyze y se obtiene la figura 5.5.
Figura 5.5. Ventana de resultados de un problema de gestión de proyecto: CPM
con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
La tabla de los resultados incluye los elementos siguientes:
Activity Name: nombre de la actividad.
On Critical Path: actividades críticas las cuales se marcan con Yes.
Activity Time: tiempo de la actividad.
Earliest Start: iniciación más temprana.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
168
Earliest Finish: terminación más temprana.
Latest Start: iniciación más tardía.
Latest Finish: terminación más tardía.
Slack: tiempos de holgura.
Las dos últimas filas de esta tabla de resultados indican el tiempo de duración total del
proyecto y el número de rutas críticas.
Para obtener el diagrama de redes dar clic en la opción Graphic Activity Analysis del
menú Results y se obtiene el diagrama que se muestra en la figura 5.6.
Figura 5.6. Diagrama de redes con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for
Windows.
En este diagrama las actividades ficticias no se representan.
5.3.1. Administración de proyectos: PERT
Para resolver un problema de PERT se va a tomar como base el ejemplo siguiente.
Ejemplo 5.3
Juan está llevando a cabo la construcción de un cuarto en su casa. En la tabla 5.4 se
muestran las actividades del proyecto de construcción.
Juan desea conocer:
a) La duración del proyecto.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
169
b) Si el último nodo fue programado para ser terminado en 9.5 días, la probabilidad de
su cumplimiento.
Tabla 5.4. Actividades, relaciones de precedencia, to, tmp y tp del proyecto de
construcción
Actividad Descripción Predecesor to (días) tmp (días) tp (días) A Cimientos - 2 4 6 B Paredes - 1 4 7 C Techo A, B 2 4 6 D Electricidad B 3 6 9 E Pintura C 2 3 4
Solución del problema:
Una vez que se accede a la opción PERT - CPM del software WinQSB se da clic en la
opción problema nuevo (New Problem) o en el botón correspondiente en la barra de
herramientas. Como resultado de esta acción se obtiene la ventana que se muestra en
la figura 5.7.
Figura 5.7. Ventana de entrada de datos generales de un problema de gestión de
proyecto: PERT con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
En esta ventana en la opción Problem Title se pone el nombre del problema, se
establece el número de actividades del proyecto y la unidad de tiempo que en este caso
es días, también se elige la opción: Probabilistic PERT, Spreadsheet y además se
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
170
selecciona la opción Normal Time que es la que permite especificar el tiempo normal de
cada actividad; luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la
figura 5.8.
Figura 5.8. Ventana de entrada de datos de un problema de gestión de proyecto:
PERT con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso sería
el predecesor de cada actividad y el tiempo optimista, más probable y pesimista de
cada actividad. Al concluir la entrada de datos, para obtener la solución del problema,
dar clic en el botón correspondiente de la barra de herramientas o la opción Solve
Critical Path del menú Solve and Analyze y se obtiene la ventana de resultados que se
muestra en la figura 5.9.
La tabla de los resultados incluye los elementos siguientes:
Activity Name: nombre de la actividad.
On Critical Path: actividades críticas las cuales se marcan con Yes.
Activity Mean Time: tiempo medio de la actividad.
Earliest Start: iniciación más temprana.
Earliest Finish: terminación más temprana.
Latest Start: iniciación más tardía.
Latest Finish: terminación más tardía.
Slack: tiempos de holgura
Activity Time Distribution: distribución para el tiempo de la actividad.
Standard Desviation: desviación estándar.
Las dos últimas filas de esta tabla de resultados indican el tiempo de duración total del
proyecto y el número de rutas críticas.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
171
Figura 5.9. Ventana de resultados de un problema de gestión de proyecto: PERT
con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for Windows.
Para obtener el diagrama de redes dar clic en la opción Graphic Activity Analysis del
menú Results y se obtiene el diagrama que se muestra en la figura 5.10.
Figura 5.10. Diagrama de redes con el WinQSB. Fuente: WinQSB versión 1.0 for
Windows.
5.4. Ejercicio resuelto
Resuelva de forma manual el ejemplo 5.3 solucionado anteriormente mediante el
sotware WinQSB..
Solución:
a) Para determinar la duración del proyecto es necesario determinar los tiempos de
duración de cada actividad. Para ello se utiliza la fórmula (5.5), los resultados
obtenidos se muestran en la tabla 5.5.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
172
Tabla 5.5. Resultados del te del proyecto de construcción
Actividad Descripción Predecesor to (días) tmp
(días)
tp
(días)
te
(días)
A Cimientos - 2 4 6 4
B Paredes - 1 4 7 4
C Techo A, B 2 4 6 4
D Electricidad B 3 6 9 6
E Pintura C 2 3 4 3
Luego se procede a la construcción del diagrama de redes como se muestra en la
figura 5.11. Para realizar dicho diagrama fue necesario la actividad ficticia 2 – 3, ya que
C depende de A y de C. Para determinar la terminación más temprana (Ej) de cada
actividad se utiliza la fórmula (5.1) comenzando la actividad A con cero. Para
determinar la iniciación más tardía (Li) se utiliza el método retrospectivo, en el último
nodo se iguala este valor al de Ej y se utiliza la fórmula (5.2) para las restantes
actividades.
Figura 5.11. Diagrama de redes del proyecto de construcción de un cuarto.
Para determinar el margen total de cada actividad se utiliza la fórmula (5.3), como se
muestra a continuación:
12 4 0 4 0MT
13 4 0 4 0MT
23 4 0 4 0MT
25 11 4 6 1MT
34 8 4 4 0MT
A
B
C E
D
1 0 0
3
4 4
4 4
2
4
8 8
11
4 4 3
4 6
5
11
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
173
45 11 8 3 0MT
Las actividades críticas son las que tienen margen total cero, por tanto las rutas críticas
del proyecto son:
1) 1 – 3, 3 – 4, 4 – 5.
2) 1 – 2, 2 – 3, 3 – 4, 4 – 5.
La duración del proyecto está dada por el resultado del último nodo, en este caso 11
días.
b) Utilizando la fórmula (5.6):
13 0.45
12 1
34 0.45
25 1
45 0.11
Utilizando la fórmula (5.7):
( )1 0.45 0.45 0.11 1.01T
( )2 1 0 0.45 0.11 1.56T
Utilizando la fórmula (5.8):
9.5 11
1.56P Z
1.02 1.02 0.1539P Z P Z
La probabilidad de que el último nodo termine en 9.5 días es de un 15.39 %.
5.5. Ejercicios propuestos
1. La tabla 5.6 resume las actividades de un proyecto.
Determine las fechas de inicio y terminación del proyecto utilizando gráficos de
Gantt.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
174
Tabla 5.6. Actividades y predecesor del proyecto
Actividad Predecesor inmediato
Tiempo (días)
A - 4 B - 6 C - 5 D A, B 7 E B, C 5 F B, C 4 G C 5 H D, E, F, G 6 I F, G 8 J H, I 3
2. En la tabla 5.7 se muestran las actividades, duración y el precedente de un
proyecto. Dibuje el diagrama de redes que represente el proyecto y determine la ruta
crítica.
Tabla 5.7. Actividades, predecesor y duración del proyecto
Actividad Precedente Duración (semanas)
1 - 4 2 1 2 3 2 2 4 3 4 5 3 3 6 4, 5 1
3. Se considera el desarrollo de una versión nueva de un software. La tabla 5.8 resume
las actividades para completar el proyecto y el tiempo en semanas.
Tabla 5.8. Actividades, predecesor y tiempo normal del proyecto
Actividad Predecesor inmediato Tiempo normal A - 4 B A 2 C A 3 D A 8 E B, D 6 F C, E 3 G F 4
Determine:
a) ¿Cuándo se espera completar el proyecto?
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
175
b) La fecha de iniciación más tardía de A.
c) La fecha de terminación más próxima de C.
4. Suchel fabrica una línea completa de champú. Recientemente, un competidor
presentó un nuevo producto que en los últimos seis meses ha absorbido una parte
significativa de un mercado que Suchel había tenido durante años.
Los administradores de Suchel han decidido que deben introducir un producto
competidor.
El vicepresidente de planeación y desarrollo, ha identificado las actividades que se
necesitan para diseñar, desarrollar y comercializar el nuevo producto y el tiempo
esperado que se requiere para llevar a cabo cada una de ellas (véase la tabla 5.9).
Tabla 5.9. Actividad, predecesores y tiempo esperado para el nuevo producto
Código de actividad
Predecesores Tiempo esperado
A - 6 B - 2 C A 3 D B 3 E C 4 F D 3 G E 6 H F 4 I G, H 1 J I 2
Descripción de las actividades:
A: diseñar el producto.
B: diseñar el envase.
C: ordenar y recibir los materiales para el producto.
D: ordenar y recibir los materiales para el envase.
E: fabricar el producto.
F: fabricar el envase.
G: empacar el producto.
H: prueba de mercado del producto.
I: prueba de mercado del envase.
J: entregar a los distribuidores.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
176
Suchel le pidió a su gerente asesor, revisar las actividades y entregarle un informe
resumido que señale:
a) El tiempo total que se requiere desde el principio del proyecto hasta que el
producto nuevo se encuentre en las manos del distribuidor.
b) Las fechas específicas de inicio y terminación para cada actividad.
c) Las actividades críticas, es decir, las que deban terminarse a tiempo para que el
proyecto se concluya en una fecha específica.
5. Un proyecto tiene las actividades con las tres estimaciones de tiempo respectivas
que se muestran en la tabla 5.10.
Tabla 5.10. Actividades y estimaciones de tiempo del proyecto
Actividades Precedente to tm tp A - 9 22 29
B A 4 6 10
C A 5 7 15
D A 2 10 12
E B, C, D 2 4 6
Determine:
a) Las fechas de inicio y terminación para cada actividad.
b) La duración del proyecto.
6. Dados los datos que se muestran en la tabla 5.11 de un proyecto:
Tabla 5.11 Actividades, to, tmp y tp del proyecto
Actividad to (semanas) tm (semanas) tp (semanas)
1, 2 1 3 11 1, 3 5 8 11 2, 3 1 8 9 3, 4 1 7 7 3, 5 6 9 12 4, 5 2 5 8
c) Dibuje el diagrama de red y encuéntrese los tiempos de terminación próxima y
lejana de cada actividad.
d) ¿Cuál es la ruta crítica?
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
177
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto termine en 20 semanas? ¿en 25
semanas?
7. Para arrancar una nueva planta se requieren las actividades que se muestran en la
tabla 5.12
Tabla 5.12 Actividades, precedente y duración para la planta
Actividad, Precedente Duración, días
a - 3 b - 2 c a 1 d b 4 e b 4 f c, d 2 g e, c, d 3
a) Calcule la ruta crítica.
b) Para las actividades b, c, f, calcule:
- inicio más temprano.
- inicio más tardío.
- terminación más temprana.
- terminación más tardía.
- margen total.
8. Un proyecto tiene las tareas y las tres estimaciones de tiempo respectivas que se
muestran en la tabla 5.13.
Tabla 5.13 Actividades, precedente y duración para la planta
Tarea Precedente Duración (días) To Tm Tp Te δ
a 1 3 5 3 0.6 b 1 2 3 2 0.3 c a 2 3 4 3 0.3 d a,b 3 4 6 4.2 0.5 e a,b 2 3 7 3.5 0.8 F c,d 1 3 4 2.8 0.5 g c,d,e 2 4 6 4 0.6
a) Calcule la ruta crítica del proyecto.
b) Calcule la probabilidad de que el proyecto termine en 12 días.
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
178
c) Calcule la probabilidad de que termine en 6 días.
5.6. Preguntas de autoevaluación
23. ¿Defina el concepto de proyecto y administración de proyecto?
24. ¿En qué consiste el método PERT y CPM?
25. ¿Cuáles son los los conceptos utilizados por los métodos PERT y CPM?
26. ¿Cuál es la diferencia entre el método PERT y CPM?
27. ¿Cuáles son las ventajas del método PERT y CPM?
28. Ponga ejemplos de la vida práctica en que se puedan aplicar las técnicas de la
administración de proyecto estudiadas en este capítulo.
5.7. Bibliografía consultada
1. Chase Richard B., Nicholas J. Aquilano y F. Robert Jacobs. Administración de la
producción y operacione para una ventaja competitiva. Octava edición. Mc. Graw Hill
México 2005.
2. Daccach J. C. (2011). Proyecto, disponible en:
http://www.webtaller.com/maletin/articulos/administracion-proyectos-5.php
[Consultado el 11 de abril de 2011].
3. Gallagher, Ch. A y Watson, H. J. (2005). Métodos Cuantitativos para la Toma de
Decisiones en Administración. Tomo II, Capítulo 12 “Planeación de proyectos: PERT
y CPM” pp. 358 – 398, La Habana, Editorial Félix Varela.
4. Hillier, F. S. y Lieberman, G.J. (2007). Introducción a la Investigación de
Operaciones. Tomo II, Capítulo 9 “Análisis de redes, incluyendo PERT – CPM”, pp.
353 – 404, Quinta Edición, La Habana, Editorial Félix Varela.
5. López, W. (2007). Gerencia de Proyectos. Módulo instruccional preparado para el
Centro de Competencias de la Comunicación. Universidad de Puerto Rico en
Humacao.
6. Quesada, V. M. y Vergara, J. C. (2003). Análisis cuantitativo con WinQSB. Programa
de Administración Industrial, Universidad de Cartagena, Capítulo 4 “PERT – CPM”,
pp. 29 – 45.
7. Rivera, I. (2005). PERT y CPM, disponible en: http://www.monografias.com
[Consultado el 13 de abril de 2011].
CAPÍTULO V: GESTIÓN DE PROYECTOS
179
8. Rodríguez, A. (2010). Planificación y Evaluación de Proyectos, disponible en:
http://es.kioskea.net/contents/projet/pert.php3 [Consultado el 15 de abril de 2011].
9. Romero, J. A. (2004). Administración de proyectos, disponible en:
http://www.gestiopolis.com/recursos2/documentos/fulldocs/eco/adproyectanto.htm
[Consultado el 13 de abril de 2011].
10. Schroeder, R. G. (1987). Administración de operaciones. Tomo I, Capítulo 13
“Planeación y programación de proyectos” pp. 418 – 449, ENSPES, La Habana.
Edición Fotorreproducida.
11. Willman, A. (2001). REDES y PERT/CPM. Método del camino crítico. Universidad
Naciona lAbierta. Caracas – Venezuela, disponible en:
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/pertcpm-1.htm
[Consultado el 11 de abril de 2011].
180
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
6.1. Introducción
En este capítulo se aborda el tema de los métodos de clasificación, en el cual se
tratarán los conceptos fundamentales del análisis de conglomerados (análisis cluster).
Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:
4. Conocer los conceptos básicos del análisis cluster y la necesidad de su aplicación
en el campo de la Ingeniería Industrial.
5. Identificar los elementos que caracterizan al método de conglomerados y sus
posibilidades prácticas en la esfera de la producción de bienes y servicios.
6. Solucionar manualmente y a través de ordenadores personales, problemas de este
tipo.
Como prerrequisitos para este tema se exigen:
El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, estadística e informática.
6.2. Fundamentación teórica de los métodos de clasificación
Académicos e investigadores de mercado a menudo encuentran la mejor solución para
resolver sus estudios mediante la definición de grupos homogéneos de objetos, ya sean
ellos individuos, firmas, productos, o incluso comportamientos. En todos estos casos el
analista trata de encontrar una estructura natural a través de las observaciones
basándose en un perfil multivariado. La técnica más comúnmente usada para este
propósito es el análisis de conglomerados (análisis cluster).
El análisis de conglomerados no es más que un conjunto de técnicas que se utilizan
para clasificar los objetos o casos en grupos relativamente homogéneos llamados
conglomerados (clusters). Los objetos en cada grupo (conglomerado) tienden a ser
similares entre sí (alta homogeneidad interna, dentro del cluster) y diferentes a los
objetos de los otros grupos (alta heterogeneidad externa, entre clusters) con respecto a
algún criterio de selección predeterminado. De este modo, si la clasificación es un éxito,
los objetos dentro del cluster estarán muy cercanos unos de otros en la representación
geométrica, y los clusters diferentes estarán muy apartados. Este análisis se conoce
también como análisis de clasificación o taxonomía numérica.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
181
El análisis de conglomerados tiene como propósito esencial, agrupar aquellos objetos
que reúnan idénticas características, es decir, se convierte así en una técnica de
análisis exploratorio diseñada para revelar las agrupaciones naturales dentro de una
colección de datos. Este análisis no hace ninguna distinción entre variables
dependientes (VD) y variables independientes (VI) sino que calcula las relaciones
interdependientes de todo el conjunto de variables.
6.2.1. Conceptos básicos del análisis cluster
La mayoría de los procedimientos utilizados en esta técnica multivariante son
relativamente sencillos, ya que no están respaldados por el razonamiento estadístico.
La mayor parte de los métodos de agrupación son heurísticos, basados en algoritmos.
De este modo, el análisis de conglomerados presenta un fuerte contraste con el análisis
de la varianza, la regresión, el análisis discriminante y el análisis factorial, que se basan
en un razonamiento estadístico.
Los principios fundamentales implicados en cualquier análisis de conglomerados son:
Informe de aglomeración: ofrece información sobre los objetos o casos que se
combinan en cada etapa de un proceso de agrupación jerárquica.
Centroides de agrupamiento: son los valores medios (medias) de las variables para
todos los casos u objetos de un grupo particular.
Centros de agrupamiento: son los puntos de partida iniciales en la agrupación no
jerárquica. Los grupos se construyen alrededor de estos centros o semillas.
Participación en el grupo: indica el grupo al que pertenece cada objeto o caso.
Dendograma: llamado también gráfica de árbol, es un dispositivo gráfico para
presentar los resultados del conglomerado. Las líneas verticales representan los grupos
que están unidos. La posición de la línea en la escala indica las distancias en las que se
unieron los grupos. Se lee de izquierda a derecha.
Distancias entre centros de grupos: indican la separación existente entre los pares
individuales de los grupos. Los grupos muy separados son distintos y, por tanto,
deseables.
Diagrama de carámbanos o de chorrera: es una representación gráfica de los
resultados del conglomerado, se llama así porque se asemeja a una hilera de
carámbanos que pende del alero de una casa. Las columnas corresponden a los
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
182
objetos que se agrupan y los renglones corresponden al número de conglomerados. Se
lee de abajo hacia arriba.
Matriz de coeficientes de distancia/similitud: es una matriz de triángulo inferior o
superior que contiene las distancias en dirección pareada entre los objetos o casos.
6.2.2. Procedimiento de aplicación del método de conglomerados
Los pasos que comprende la realización del análisis de conglomerados se presentan a
continuación:
1. Formulación del problema
Quizás la parte más importante de la formulación del problema del análisis de
conglomerados sea la selección de las variables en las que se basa la agrupación. La
inclusión de una o más variables irrelevantes puede distorsionar una solución de
agrupación que de otra forma podría ser útil. Básicamente, el conjunto de variables
seleccionado debe describir la similitud entre los objetos en términos relevantes para el
problema de investigación de mercados. Las variables deben seleccionarse con base
en la investigación previa, la teoría o una consideración de las hipótesis que se
prueban. En la investigación exploratoria, el investigador debe poner en práctica el
criterio y la intuición.
2. Identificar el tipo de situación de clasificación que se presenta
Situación uno: se tiene un grupo de objetos y varios atributos, estos atributos
pueden verificarse o no en un objeto particular. Esta verificación se denota variables
binarias, donde el uno expresaría que ese atributo se manifiesta en el objeto y el
cero que no se manifiesta el atributo en el objeto. De forma general se utiliza esta
situación para agrupar equipos.
Situación dos: se quiere agrupar objetos a partir de varias características. Esto se
presenta cuando se tiene varios objetos y varios atributos, y se verifican todos en
cada objeto, pero puede cambiar su valor. Por tanto la variable que se utiliza es una
variable real e incluso puede ser hasta una variable cualitativa. Generalmente se
usa para agrupar piezas.
3. Determinación de la medida de similitud
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
183
Ya que el objetivo del conglomerado es agrupar objetos similares, se necesita alguna
medida para evaluar las diferencias y similitudes entre objetos. El concepto de
similaridad es fundamental en el análisis cluster. La similaridad (similitud) es una
medida de correspondencia o semejanza entre los objetos que van a ser agrupados. La
estrategia más común consiste en medir la equivalencia en términos de la distancia
entre los pares de objetos. Los objetos con distancias reducidas entre ellos son más
parecidos entre sí que aquellos que tienen distancias mayores y se agruparán, por
tanto, dentro del mismo cluster. De esta manera, cualquier objeto puede compararse
con cualquier otro objeto a través de la medida de similaridad.
En la medición de la similitud entre los objetos de un análisis de conglomerados existen
tres métodos:
Medidas de correlación.
Medidas de distancia.
Medidas de asociación.
Cada uno de estos métodos representa una particular perspectiva de la similitud,
dependiendo tanto de los objetivos como del tipo de datos. Las medidas de correlación
y las de distancia requieren datos métricos, mientras que las medidas de asociación
requieren datos no métricos.
Muchos programas informáticos han limitado la ayuda para las medidas de asociación,
y el investigador se ve forzado con frecuencia a calcular primero las medidas de
similaridad y después a introducir la matriz de similaridad dentro de un programa
cluster.
4. Estandarización de los datos
Una vez seleccionada la medida para cuantificar la similaridad entre pares de objetos,
el investigador debe plantearse una última cuestión: ¿deben estandarizarse los datos
antes de calcular las similaridades? Para poder responder a esta pregunta de forma
adecuada, el investigador debe tener en cuenta que la mayoría de las medidas de
distancia son bastante sensibles a las diferencias de escalas o de magnitudes hechas
entre las variables. En general, las variables con una gran dispersión (valores grandes
de sus desviaciones típicas) tienen más impacto en el valor final de la similaridad.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
184
Se considera como ejemplo que se quieren agrupar las individualidades de una serie de
personas en tres variables, que son: actitud frente a un producto, edad e ingresos. Se
supone que si se mide la actitud en una escala de siete puntos de gusto - disgusto,
mientras que la edad se mide en años y los ingresos en pesos. Si se representan los
resultados obtenidos de la pertinente encuesta en un gráfico tridimensional, la distancia
entre los puntos (y sus similaridades) estarían basadas casi totalmente en las
diferencias de ingresos.
La explicación es bien sencilla, mientras que las posibles diferencias de actitud frente al
producto se encuentran en un rango de actitudes que va de uno a siete, las producidas
en los ingresos pueden tener un rango cien veces mayor. De este modo, no hubiera
(gráficamente) ninguna diferencia en la dimensión asociada a la actitud frente al
producto. Por este motivo, el investigador debe ser consciente del peso implícito de las
variables que participan en el estudio de investigación.
La forma más común de estandarización es la conversión de cada variable en
puntuaciones típicas (también conocidas como puntuaciones Z). La forma de cálculo se
muestra en la fórmula 6.1. Este proceso convierte la puntuación de cada dato original
en un valor estandarizado con una media de cero y una desviación típica de uno. En
definitiva, lo que se consigue con ello es eliminar, uno por uno, los prejuicios
introducidos por las diferencias en las escalas de los distintos atributos (variables)
usados en el análisis. Para el caso de la primera situación vista en el paso 2 no se
aplica este paso.
X XZ (6.1)
2
1
X X
n (6.2)
Donde:
X: observación de cada variable.
X : media.
σ: desviación estándar.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
185
Z: valor estandarizado.
5. Determinación de la unidad de distancia.
El análisis de conglomerados es un objetivo metodológico para cuantificar las
características de un conjunto de observaciones. Por ello, tiene fuertes propiedades
matemáticas, pero no fundamentos estadísticos. Los requisitos de normalidad,
linealidad y homocedasticidad (tan relevantes en otras técnicas), tienen poca
consistencia en el análisis de conglomerados.
El investigador debe, sin embargo, centrar su atención en otras dos cuestiones
esenciales para este tipo de análisis, como son: la representatividad de la muestra y la
multicolinealidad.
En muchas ocasiones se dispone de un censo de población para hacer uso del análisis
cluster. Se obtiene entonces una muestra de casos y se espera que los cluster
obtenidos de ella sean representativos de la estructura de la población original. El
analista debe tener siempre presente que el análisis cluster será tan bueno como lo sea
la representatividad de la muestra. Así, todos los esfuerzos deben centrarse en
asegurar esa representatividad, para que los resultados puedan ser generalizables a la
población de interés.
La multicolinealidad era un resultado en otras técnicas multivariantes, ya que se hacía
difícil diferenciar el verdadero impacto de las variables multicolineales. En el análisis
cluster, en cambio, el efecto es diferente, ya que las variables multicolineales están
ponderadas, implícitamente, de un modo más severo.
Se supone, por ejemplo, que se agrupan a los encuestados en diez variables
relacionadas con un determinado servicio. Al examinar la multicolinealidad, se aprecia
que realmente hay dos grupos de variables claramente diferenciados. El primero está
compuesto por ocho elementos (variables) y el segundo de los dos restantes.
Si lo que se pretende es agrupar realmente a los encuestados en las dimensiones del
servicio analizado (en este caso representado por los dos grupos de variables), no se
podrá considerar a las diez variables como un todo, ya que eso significaría ponderar
equitativamente cada variable. Es decir, al ponderar el análisis cluster uniformemente
cada variable, la primera dimensión tendría cuatro veces más oportunidades (ocho
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
186
items frente a dos) de afectar a la medida de similaridad de las que tendría la segunda
dimensión.
Así, el acto de la multicolinealidad es un proceso de ponderación oculto al observador,
pero que afecta, sin embargo, al análisis. Por esta razón, el analista debe fomentar el
estudio exhaustivo de las variables utilizadas en el análisis cluster para poder hallar así
la posible multicolinealidad. Si se encuentra multicolinealidad en las variables
empleadas para el estudio, habrá que conseguir igual número de ellas en cada conjunto
o usar una de las medidas de distancia, como la distancia de Mahalanobis o la de
Roger-Tanimoto, para compensar la correlación existente descubierta.
Expresiones para el cálculo de las distancias
Las distancias que se usan en el análisis de conglomerados parten de las conocidas
distancias Dp establecidas por Minkowsky para la Teoría de la decisión:
(6.3)
Donde:
Dp: distancia de orden p.
p: permite establecer los casos particulares de esta distancia.
x , y: constituyen los “objetos” entre los que se desea establecer la distancia.
n: cantidad de “objetos” a agrupar.
Así se tiene:
Distancia Manhattan o City - Block: p=1,
(6.4)
Distancia Euclidiana: p=2,
(6.5)
Distancia Chebychev o distancia dominante, p= ∞
(6.6)
Otras distancias a valorar en el análisis de conglomerados son la distancia de Rogers –
Tanimoto y la distancia cuadrática de Euclides.
1/
1
( ) ( ( ) )
pnp
p i i
i
D x yx,y
1
1
| |n
i i
i
D x y
2
2
1
( ( ) )n
i i
i
D x y
1
| |max i ii n
D x y
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
187
Distancia de Rogers - Tanimoto
Para calcular la distancia Rogers - Tanimoto desde el punto o equipo i y el punto o
equipo anterior se utiliza la fórmula 6.3.
12
a dD i ic
a d b c (6.7)
Donde:
a: cantidad de atributos que se verifican en los objetos i e i c.
b: cantidad de atributos que se verifican en el objeto ic que no se verifica en i.
c: cantidad de atributos que se verifican en el objeto i, que no se verifican en el objeto
ic.
d: cantidad de atributos que no se verifican en los objetos i e i c.
Distancia cuadrática de Euclides
Para calcular la distancia cuadrática Euclides se utiliza la fórmula (6.4).
2 2
1
( )n
ij icj
j
D i ic Z Z (6.8)
6. Construir la matriz de distancia
Con las distancias determinadas en el paso cinco se conforma la matriz de distancia.
7. Formación de los cluster
Existen dos formas básicas de conocer el modo de agrupación de los objetos en
cuestión:
Gráfico de carámbanos o de chorrera: sus columnas corresponden a los objetos que
se agrupan (entrevistados, piezas, etc.) y las filas al número de grupos. Esta figura
se lee de abajo hacia arriba. Inicialmente todos los casos se consideran como
grupos individuales. En el primer caso, se combinan los dos objetos más cercanos.
Cada paso subsecuente lleva a la formación de un nuevo grupo en una de las
siguientes tres formas: (1) se agrupan dos casos individuales, (2) un caso se une a
un grupo ya existente, (3) se unen dos grupos.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
188
Dendograma: se lee de izquierda a derecha. Las líneas verticales representan los
grupos unidos. La posición de la línea en la escala indica las distancias en las que
se unen los grupos. Debido a que, en las primeras etapas, muchas distancias tienen
magnitudes similares, es difícil determinar la secuencia en la que se forman algunos
de los primeros conglomerados. Sin embargo, es evidente que en las últimas dos
etapas, las distancias en las que se combinan los conglomerados son grandes. Esta
información es útil para decidir el número de conglomerados.
8. Decisión del número de conglomerados
Una vez seleccionadas las variables y calculada la matriz de similaridades, comienza el
proceso de partición. Primeramente el investigador debe seleccionar el algoritmo de
agrupación que se va a emplear para formar los clusters (grupos) y posteriormente
tomar la decisión sobre el número de grupos que se quieren formar.
Ambas decisiones tienen substanciales implicaciones no solamente en los resultados
que se obtengan, sino también en la interpretación que pudiera derivarse de ellos.
Hay dos tipos de procedimientos: los jerárquicos y los no jerárquicos. El conglomerado
jerárquico se caracteriza por el desarrollo de una jerarquía o estructura en forma de
árbol. Una característica importante de los procedimientos jerárquicos es que los
resultados de la primera etapa pueden estar anidados con los resultados de la última
etapa, dando lugar a una similaridad parecida a la de un árbol.
Los métodos jerárquicos pueden ser por aglomeración o por división. El conglomerado
por aglomeración empieza con cada objeto en un grupo separado. Los conglomerados
se forman al agrupar los objetos en conjuntos cada vez más grandes. Este proceso
continúa hasta que todos los objetos formen parte de un solo grupo. El conglomerado
por división comienza con todos los objetos agrupados en un solo conjunto. Los
conglomerados se dividen hasta que cada objeto sea un grupo independiente.
Dentro de los conglomerados por aglomeración, se encuentran los métodos de
conglomerados, que se utilizan con frecuencia en la investigación de mercados.
Consisten en métodos de enlace, métodos de varianza o de sumas de los cuadrados
del error y el método centroide. Los métodos de enlace incluyen el enlace sencillo, el
completo y el promedio. El método de enlace sencillo se basa en la distancia mínima o
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
189
la regla del vecino más próximo. Los primeros dos objetos conglomerados son aquellos
que tienen la menor distancia entre sí. La siguiente distancia más corta se identifica, ya
sea que el tercer objeto se agrupe con los dos primeros o que se forme un nuevo
conglomerado de dos objetos. En cada etapa, la distancia entre dos conglomerados es
la distancia entre sus dos puntos más próximos.
En cualquier etapa, dos conglomerados surgen por el enlace sencillo más corto entre
estos. Este proceso continúa hasta que todos los objetos se encuentren en un
conglomerado. El método del enlace sencillo no funciona adecuadamente cuando los
conglomerados no están bien definidos. El método del enlace completo es similar al
enlace sencillo, excepto que se basa en la distancia máxima o la estrategia del vecino
más lejano. En este caso, la distancia entre dos conglomerados se calcula como la
distancia entre sus puntos más lejanos. El método del enlace promedio funciona de
manera similar, pero en este método, la distancia entre dos conglomerados se define
como el promedio de las distancias entre todos los pares de objetos, donde se
encuentra un miembro del par de cada uno de los conglomerados. Como puede
apreciarse, el método del enlace promedio emplea la información sobre todos los pares
de distancias, no sólo las mínimas o máximas. Por esta razón, generalmente se prefiere
a los métodos de enlace sencillo y completo.
Los métodos de varianza tratan de generar conglomerados a fin de reducir la varianza
dentro de los grupos. Un método de la varianza que se utiliza con frecuencia es el
procedimiento de Ward. Para cada conglomerado, se calculan las medias para todas
las variables. Después, para cada objeto, se calcula la distancia euclidiana cuadrada
para las medias de los grupos; estas distancias se suman a todos los objetos. En cada
etapa, se combinan los dos conglomerados con el menor incremento en la suma total
de los cuadrados de las distancias dentro de los conglomerados.
En el método centroide, la distancia entre dos grupos es la distancia entre sus
centroides (medias para todas las variables). Cada vez que se agrupan los objetos, se
calcula un centroide nuevo. De los métodos jerárquicos, el método de enlace promedio
y el procedimiento de Ward han demostrado un mejor desempeño que los otros.
El segundo tipo de procedimientos de conglomerados, los métodos de conglomerados
no jerárquicos, con frecuencia se conocen como agrupación de K Medias. Estos
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
190
métodos incluyen el umbral secuencial, umbral paralelo y la división para la
optimización. En el método del umbral secuencial, se selecciona un centro de grupo y
se agrupan todos los objetos dentro de un valor de umbral que se especifica
previamente a partir del centro. Después, se selecciona un nuevo centro o semilla de
grupo y el proceso se repite para los puntos sin agrupar. Una vez que un objeto se
agrupa con una semilla, ya no se considera para su conglomerado con semillas
subsecuentes. El método del umbral paralelo funciona de manera similar, excepto que
se seleccionan simultáneamente varios centros de grupo y se agrupan los objetos del
nivel del umbral dentro del centro más próximo. El método de división para la
optimización difiere de los otros dos procedimientos de umbral en que los objetos
pueden reasignarse posteriormente a otros grupos, a fin de optimizar un criterio
general, como la distancia promedio dentro de los grupos para un número determinado
de conglomerados.
Un gran problema en todas las técnicas de aglomeración es cómo seleccionar el
número de grupos (clusters). Desgraciadamente, no existe un proceso objetivo de
selección. Para el caso del análisis cluster jerárquico, las distancias existentes entre los
clusters reflejadas en las distintas etapas del proceso de aglomeración pueden servir de
guía útil, el analista podría así establecer un tope para detener el proceso a su
conveniencia (esta información puede obtenerse del programa de aglomeración o del
dendrograma). Por ejemplo, podría hacerlo cuando la distancia entre los grupos exceda
un valor específico o cuando las distancias sucesivas entre los pasos marquen un
repentino salto. Sin embargo, la opción más utilizada es calcular distintas soluciones de
aglomeración (dos, tres, cuatro grupos, por ejemplo) para después decidir entre las
soluciones alternativas con ayuda de un criterio prefijado de antemano, del sentido
común, o de fundamentos teóricos. Estas distancias reciben a menudo el nombre de
medidas de variabilidad del error.
Para el caso del análisis cluster no jerárquico, se puede trazar un gráfico que compare
el número de grupos con la relación entre la varianza total de los grupos y la varianza
entre los grupos. El punto del gráfico donde se presente un recodo o doblez marcado
indicará el número apropiado de grupos. Por lo general, no merecerá la pena aumentar
el número de grupos más allá de este punto. Otra posibilidad para decidir el número
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
191
óptimo de grupos es definir algún tipo de conceptualización intuitiva de la relación
teórica de los datos.
Los investigadores deben examinar la variación producida entre los tamaños de los
grupos desde una perspectiva conceptual, comparando los resultados obtenidos con las
expectativas creadas en los objetivos del estudio.
Otro problema que puede presentarse en este tipo de análisis es la presencia de grupos
unipersonales, es decir, clusters formados por un solo individuo. Son un problema
porque podrían ser outliers (valores atípicos) no detectados en el proceso de
depuración de la fuente de datos. Si aparece un grupo de un solo miembro, el analista
debe estudiar si representa un componente estructural válido en la muestra o si, por el
contrario, debiera suprimirse por no ser representativo. Si se suprime del análisis
alguna observación, el investigador deberá ejecutar de nuevo el análisis cluster para las
nuevas observaciones válidas y conseguir así definir nuevos grupos.
9. Interpretación de los clusters
La interpretación de los grupos comprende el análisis de los centroides de grupo. Los
centroides representan los valores medios de los objetos que contiene el grupo en cada
una de las variables. Los centroides permiten describir cada grupo al asignarle un
nombre o etiqueta. Si el programa de conglomerado no ofrece esta información, puede
obtenerse por medio del análisis discriminante. El objetivo de esta etapa es,
esencialmente, examinar la variación de los clusters para asignar etiquetas que
describan de un modo veraz su naturaleza.
Ejemplo 6.1
En un taller que se proyecta su construcción se prevé ubicar ocho equipos y haciendo
un análisis de la misión del mismo esos equipos procesarán diez tipos de piezas. Se
desea agrupar los equipos considerando el conjunto de piezas que procesarán y para el
cual se dispone de la información de la tabla 6.1.
Solución:
Para dar solución a este ejemplo se va a utilizar el procedimiento anteriormente
explicado.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
192
1. En la formulación del problema ya las variables vienen definidas como equipos y
piezas.
Tabla 6.1. Equipos que procesarán las piezas
Tipo de pieza Equipo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 7 1 1 1 8 1 1 1 1 1
2. La situación de clasificación es la situación uno ya que los objetos y atributos se
denotan con variables binarias y además es un caso para agrupar equipos.
3. La medida de similitud seleccionada es la medida de distancia.
4. La estandarización de los datos no es necesaria ya que los datos ya están
estandarizados.
5. Para calcular las distancias se utilizará la distancia de Roger – Tanimoto.
Utilizando la fórmula (6.7) se calculan las distancias existentes entre los diferentes
equipos.
Para el equipo 1
95.054210
101)21(D
33.020253
531)31(D
020255
551)41(D
155200
001)51(D
95.054210
101)61(D
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
193
89.053220
201)71(D
155200
001)81(D
Para el equipo 2
82.043230
301)32(D
95.045210
101)42(D
18.001254
541)52(D
33.011253
531)62(D
18.01026
631)72(D
18.001254
541)82(D
Para el equipo 3
33.002253
531)43(D
89.035220
201)53(D
82.034230
301)63(D
75.033240
401)73(D
89.035220
201)83(D
Para el equipo 4
155200
001)54(D
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
194
95.054210
101)64(D
89.053220
201)74(D
155200
001)84(D
Para el equipo 5
18.010254
541)65(D
33.020253
531)75(D
000255
551)85(D
Para el equipo 6
18.010263
631)76(D
18.001254
541)86(D
Para el equipo 7
33.002253
531)87(D
6. La matriz de distancia se muestra en la tabla 6.2.
7. Para la formación de los cluster se utiliza el dendograma, como se muestra en la
figura 6.1.
8. Decisión del número de conglomerados.
Pudiera utilizarse como alternativa de grupos de piezas la siguiente:
Grupo 1: 5 – 8 – 2 – 6 – 7
Grupo 2: 1 – 4 – 3.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
195
Tabla 6.2. Matriz de distancia
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 0.95 0.33 0 1 0.95 0.89 1
2 0 0.82 0.95 0.18 0.33 0.18 0.18
3 0 0.33 0.89 0.82 0.75 0.89
4 0 1 0.95 0.89 1
5 0 0.18 0.33 0
6 0 0.18 0.18
7 0 0.33
8 0
Figura 6.1. Dendograma. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
9. Interpretación de los clusters
Los equipos se agruparán en dos grupos: el primero procesará las piezas 5, 8, 2, 6 y 7
y el segundo procesará las piezas 1, 4 y 3.
Si los equipos son de alta complejidad se hace el corte más pequeño para que las
diferencias entre estos sean mínimas, obteniéndose como ejemplo los grupos:
Grupo 1: 5 – 8
Grupo 2: 1 – 4
Grupo 3: 2
Grupo 4: 3
Grupo 5: 6
Grupo 6: 7.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
196
Ejemplo 6.2
Se desea agrupar un conjunto de piezas de las cuales se conoce la masa, gasto de
tiempo en su producción y el volumen como se refleja en la tabla 6.3.
Tabla 6.3. Masa, gasto de tiempo y volumen para cada pieza
Pieza Masa (kg / pieza) Gasto de tiempo (h / pieza) Volumen (cm3 / pieza)
1 6.80 0.28 210
2 0.42 1.60 52
3 2.20 2.50 292
4 2.70 1.10 149
5 0.30 3.00 62
6 3.30 2.50 463
7 0.68 1.60 106
8 1.50 1.60 143
9 0.17 3.00 18
10 0.75 2.00 121
Solución:
1. En la formulación del problema ya las variables están definidas como masa de la
pieza, gasto de tiempo en la producción de la pieza y el volumen de la pieza.
2. El tipo de situación de clasificación es la situación dos (se quiere agrupar objetos a
partir de varias características. Esto se presenta cuando se tienen varios objetos y
varios atributos, y se verifican todos en cada objeto, pero puede cambiar su valor.
Por tanto la variable que se utiliza es una variable real e incluso puede ser hasta una
variable cualitativa. Generalmente se usa para agrupar piezas) ya que se pretende
agrupar piezas a partir de tres características.
3. La medida de similitud seleccionada es la medida de distancia.
4. Estandarización de los datos.
1X = 1.88 Kg.
2X = 1.92 h
3X = 161.6 cm3
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
197
Utilizando la fórmula (6.2):
9
88.130.088.170.288.120.288.142.088.180.622222
1
= 03.29
88.175.088.117.088.150.188.168.088.130.322222
1ˆ = 2.03
2ˆ = 0.86
3ˆ = 132.49
Utilizando la fórmula (6.1) se obtienen los resultados de Z para la masa, tiempo y
volumen de la pieza 1.
6.80 1.88( ) 2.42
2.03Z M
0.28 1.92( ) 1.9
0.86Z T
210 161.6( ) 0.36
132.49Z V
De igual forma se calculan los resultados de Z para las restantes piezas como se
muestra en la tabla 6.4.
Tabla 6.4. Valores estandarizados
Pieza Masa Tiempo Volumen
1 2.42 -1.9 0.36 2 -0.71 -0.37 -0.82 3 0.15 0.67 0.98 4 0.40 -0.95 -0.09 5 -0.77 1.25 -0.75 6 0.69 0.67 2.27 7 -0.59 -0.32 -0.42 8 -0.18 -0.32 -0.14 9 -0.84 1.25 -1.08 10 -0.55 0.14 -0.31
5. Para calcular las distancias se utilizará la distancia cuadrática de Euclides.
Utilizando la fórmula (6.8):
Para la pieza 1
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
198
2 2 2 2(1 2) (2.42 0.71) ( 1.9 0.37) (0.36 0.82) 13.53D
2 2 2 2(1 3) (2.42 0.15) ( 1.9 0.67) (0.36 0.98) 12.14D
2 2 2 2(1 4) (2.42 0.40) ( 1.9 0.95) (0.36 0.09) 5.18D
2 2 2 2(1 5) (2.42 0.77) ( 1.9 1.25) (0.36 0.75) 21.33D
2 2 2 2(1 6) (2.42 0.69) ( 1.9 0.67) (0.36 2.27) 13.24D
2 2 2 2(1 7) (2.42 0.59) ( 1.9 0.32) (0.36 0.42) 12.16D
2 2 2 2(1 8) (2.42 0.18) ( 1.9 0.32) (0.36 0.14) 9.51D
2 2 2 2(1 9) (2.42 0.84) ( 1.9 1.25) (0.36 1.08) 22.62D
2 2 2 2(1 10) (2.42 0.55) ( 1.9 0.14) (0.36 0.31) 13.43D
Para la pieza 2
2 2 2 2(2 3) ( 0.71 0.15) ( 0.37 0.67) ( 0.82 0.98) 5.06D
2 2 2 2(2 4) ( 0.71 0.40) ( 0.37 0.95) ( 0.82 0.09) 2.1D
2 2 2 2(2 5) ( 0.71 0.77) ( 0.37 1.25) ( 0.82 0.75) 2.63D
58.12)27.282.0()67.037.0()69.071.0()62( 2222D
18.0)42.082.0()32.037.0()59.071.0()72( 2222D
74.0)14.082.0()32.037.0()18.071.0()82( 2222D
71.2)08.182.0()25.137.0()84.071.0()92( 2222D
54.0)31.082.0()14.037.0()55.071.0()102( 2222D
Para la pieza 3
83.3)09.098.0()95.067.0()40.015.0()43( 2222D
17.4)75.098.0()25.167.0()77.015.0()53( 2222D
95.1)27.298.0()67.067.0()69.015.0()63( 2222D
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
199
48.3)42.098.0()32.067.0()59.015.0()73( 2222D
34.2)14.098.0()32.067.0()18.015.0()83( 2222D
56.5)08.198.0()25.167.0()84.015.0()93( 2222D
43.2)31.098.0()14.067.0()55.015.0()103( 2222D
Para la pieza 4
64.6)75.009.0()25.195.0()77.040.0()54( 2222D
27.8)27.209.0()67.095.0()69.040.0()64( 2222D
48.1)42.009.0()32.095.0()59.040.0()74( 2222D
73.0)14.009.0()32.095.0()18.040.0()84( 2222D
35.7)08.109.0()25.195.0()84.040.0()94( 2222D
14.2)31.009.0()14.095.0()55.040.0()104( 2222D
Para la pieza 5
58.11)27.275.0()67.025.1()69.077.0()65( 2222D
61.2)42.075.0()32.025.1()59.077.0()75( 2222D
18.3)14.075.0()32.025.1()18.077.0()85( 2222D
11.0)08.175.0()25.125.1()84.077.0()95( 2222D
47.1)31.075.0()14.025.1()55.077.0()105( 2222D
Para la pieza 6
85.9)42.027.2()32.067.0()59.069.0()76( 2222D
54.7)14.027.2()32.067.0()18.069.0()86( 2222D
89.13)08.127.2()25.167.0()84.069.0()96( 2222D
47.8)31.027.2()14.067.0()55.069.0()106( 2222D
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
200
Para la pieza 7
24.0)14.042.0()32.032.0()18.059.0()87( 2222D
96.2)08.142.0()25.132.0()84.059.0()97( 2222D
22.0)31.042.0()14.032.0()55.059.0()107( 2222D
Para la pieza 8
78.3)08.114.0()25.132.0()84.018.0()98( 2222D
37.0)31.014.0()14.032.0()55.018.0()108( 2222D
Para la pieza 9
91.1)31.008.1()14.025.1()55.084.0()109( 2222D
6. La matriz de distancia se muestra en la tabla 6.5.
Tabla 6.5. Matriz de distancia
Para la formación de los cluster se utiliza el diagrama de chorrera, ver tabla 6.6.
7. Decisión del número de conglomerados.
En el nivel cuatro se produce un salto significativo en la distancia, por lo que pudiera
tomarse este como el momento para establecer los grupos que quedarían de la
forma siguiente:
Grupo 1: 2 – 7 – 8 – 10
Grupo 2: 5 – 9
Grupo 3: 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 13.53 12.14 5.18 21.33 13.24 12.16 9.51 22.62 13.43 2 0 5.06 2.1 2.63 12.58 0.18 0.74 2.71 0.54 3 0 3.83 4.17 1.95 3.48 2.34 5.56 2.43 4 0 6.64 8.27 1.48 0.73 7.35 2.14 5 0 11.58 2.61 3.18 0.11 1.47 6 0 9.85 7.54 13.89 8.47 7 0 0.24 2.96 0.22 8 0 3.78 0.37 9 0 1.91 10 0
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
201
Grupo 4: 3
Grupo 5: 4
Grupo 6: 6
Tabla 6.6. Diagrama de chorrera
1 3 6 5 9 4 8 7 2 10 Nivel D2(i – ic)
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 9 5.18
x x x x x x x x x x x x x x x x x x 8 2.34
x x x x x x x x x x x x x x x x x 7 1.95
x x x x x x x x x x x x x x x x 6 1.47
x x x x x x x x x x x x x x x 5 0.73
x x x x x x x x x x x x x x 4 0.24
x x x x x x x x x x x x x 3 0.22
x x x x x x x x x x x x 2 0.18
x x x x x x x x x x x 1 0.11
x x x x x x x x x x 0 0
8. Interpretación de los clusters
Las piezas deben agruparse en seis grupos: 2 – 7 – 8 – 10 en el primero, 5 – 9 en el
segundo, 1 en el tercero, 3 en el cuarto, 4 en el quinto y 6 en el sexto.
6.3. Elaboración del perfil de los cluster y validación de conglomerados obtenidos
Elaboración del perfil de los clusters
Una vez interpretado los conglomerados obtenidos se elabora el perfil de los grupos.
Resulta útil elaborar el perfil de los grupos en términos de las variables utilizadas para
el conglomerado, como los datos demográficos, los psicográficos, uso del producto, uso
de los medios u otras variables. Se considerará un ejemplo para poder comprender
mejor el funcionamiento del proceso. Si se está interesado en estudiar la dieta eficaz
contra la ingesta regular de bebidas ligeras. Para ello, se confeccionó una escala de
evaluación de la actitud del encuestado que se componía de siete aseveraciones
diferentes. De este modo, los individuos entrevistados arrojaron valores de 1 a 7
puntos. Las afirmaciones que formaban parte de la escala de siete puntos eran del tipo:
las bebidas ligeras dietéticas saben más fuerte, las bebidas dietéticas son más sanas,
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
202
etc. Se convino en recoger los datos demográficos y los datos de consumo de bebidas
refrescantes por su relevancia para el estudio planteado.
Como se dijo anteriormente, en esta fase se examinan los promedios de la puntuación
de los perfiles. Para el caso concreto, basándose en la escala de actitud diseñada para
cada grupo y poder asignar de esta manera una etiqueta descriptiva a cada uno de
ellos. Si se supone que dos de los grupos resultantes del análisis cluster tuvieran
actitudes favorables hacia las bebidas dietéticas ligeras y un tercer grupo actitudes
negativas. Se podría manejar la posibilidad de que, de los dos grupos favorables en
actitud, uno de ellos fuera favorable sólo hacia las bebidas dietéticas ligeras y el otro
favorable tanto hacia refrescos ligeros como hacia refrescos normales. Se evaluaría
entonces las actitudes de cada cluster y se desarrollarían interpretaciones substantivas
para facilitar el etiquetado de cada grupo. Por ejemplo, uno de los cluster podría
etiquetarse como individuos conscientes de la salud y las calorías y el otro como
individuos indiferentes a una subida de azúcar.
Con respecto al perfilado de los conglomerados o grupos, cabe decir que no es más
que la descripción de las características de cada cluster para explicar como podrían
inferir en dimensiones relevantes. Para conseguir esto, se recurre normalmente al
empleo del análisis discriminante o a algún otro estadístico apropiado. El analista utiliza
los datos no incluidos previamente en el procedimiento de aglomeración para perfilar
las características de cada cluster. Estos datos suelen ser características demográficas,
perfiles psicográficos, pautas de consumo, etc.
Aplicando este proceso y extrapolándolo al ejemplo de las bebidas se concluiría que el
cluster individuos conscientes de la salud y las calorías radica en una mejor educación
o en mayores ingresos profesionales al ser consumidores moderados de bebidas
refrescantes. En resumen, el análisis de perfiles se enfoca a describir no a lo que
determinan directamente los clusters sino (una vez que se han determinado los distintos
grupos) a sus características propias. Por ello, se hace especial énfasis en las
características que definen los grupos y en la capacidad de los miembros de cada
conglomerado para predecir una actitud particular del cluster en cuestión.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
203
Validación de conglomerados obtenidos
Dados los criterios generales que comprende el análisis de conglomerados, no debe
aceptarse ninguna solución de agrupación sin una evaluación de su confianza y validez.
La validación es el intento por parte del analista de asegurar que los clusters obtenidos
sean representativos de la población original y que sean generalizables a otros objetos
y estables a lo largo del tiempo.
Los procedimientos siguientes ofrecen revisiones adecuadas de la calidad de los
resultados de la agrupación:
Realizar el análisis de conglomerados con los mismos datos y utilizar distintas
medidas de distancia. Comparar los resultados con todas las medidas a fin de
determinar la estabilidad de las soluciones.
Utilizar diversos métodos de conglomerado y comparar los resultados.
Dividir los datos a la mitad de forma aleatoria. Realizar el análisis de conglomerados
por separado en cada mitad (submuestra). Comparar las soluciones de los dos
análisis y evaluar la correspondencia de los resultados o bien comparar los
centroides de grupo de las dos submuestras.
Eliminar las variables de forma aleatoria. Realizar la agrupación basándose en el
conjunto reducido de variables. Comparar los resultados basados en el conjunto
completo con los que se obtuvieron al realizar el conglomerado.
En el conglomerado no jerárquico la solución puede depender del orden de los
casos en el conjunto de datos. Para estudiar esto, es recomendable llevar a cabo
corridas múltiples y utilizar distintos órdenes de los casos hasta estabilizar la
solución.
6.4. Uso del SPSS para el trabajo con cluster
Para solucionar un problema de conglomerados a través del SPSS, se va a tomar como
base el ejemplo siguiente.
Ejemplo 6.3
En un almacén de la industria ligera se espera recibir un surtido nuevo de seis
productos diferentes embalados en cajas de distintas dimensiones. El jefe de almacén
desea saber cómo debe agrupar dichos productos para su ubicación en los diferentes
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
204
locales y ha solicitado información sobre el peso de cada caja y su altura, variables que
pueden limitar el almacenamiento en uno u otro local. Esta información se resume en la
tabla 6.7 ¿Cuál será la combinación más racional para agrupar dichos productos?
Tabla 6.7. Peso y altura para cada surtido
Surtido Peso (kg) Altura (cm) A 10 100 B 20 200 C 12 120 D 21 210 E 50 500 F 10 110
Solución del problema:
Una vez que se accede a la opción SPSS 13.0 for Windows del software SPSS aparece
la ventana que se muestra en la figura 6.2.
Figura 6.2. Ventana de entrada de datos generales de un problema de
conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
205
En esta ventana se elige la opción Type in data la cual permite introducir los datos al
software, luego se da clic en OK y se obtiene la ventana que se muestra en la figura
6.3.
.
Figura 6.3. Ventana de entrada de datos de un problema de conglomerados con el
SPSS. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
En esta ventana es donde se introducen los datos del problema, que en este caso
serían el peso y la altura para cada surtido.
Una vez concluida la entrada de datos en el menú Analize en la opción Classify –
Hierarchical Cluster se obtiene la figura 6.4, en esta ventana se pasan las variables, en
este caso el peso y la altura; luego se elige la opción Cases.
Figura 6.4. Ventana para la configuración de opciones de un problema de
conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
En la opción Statistics de la figura 6.4 se elige la opción Proximity matrix que representa
la matriz de proximidad o de distancia y también se elige la opción None la cual indica
que se obtengan todos los cluster posibles, como se muestra en la figura 6.5
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
206
Figura 6.5 Ventana para la configuración de opciones estadísticas de un problema
de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
En la opción Plots de la figura 6.4se elige la opción Dendrogram para representar el
conglomerado así como la orientación del mismo (vertical u horizontal), en este caso se
eligió la opción horizontal, como se muestra en la figura 6.6
Figura 6.6 Ventana para la configuración de opciones gráficas de un problema de
conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
En la opción Method de la figura 6.4 se elige la expresión para el cálculo de las
distancias, en este caso sería Interval – Squared Euclidean distance (distancia
cuadrática de Euclides), como se muestra en la figura 6.7
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
207
Figura 6.7 Ventana para la configuración del método de cálculo de distancia de un
problema de conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 13.0 for
Windows.
Al concluir la selección en cada una de las opciones de la figura 6.4se da clic en OK
obteniendo como resultado las figuras 6.8, 6.9, 6.10 y 6.11.
En la figura 6.8 se muestra el número de variables analizadas y el porcentaje del
análisis, así como las variables no analizadas y su porcentaje.
Case Processing Summary(a,b)
Cases
Valid Missing Total
N Percent N Percent N Percent
6 100.0 0 .0 6 100.0
a Squared Euclidean Distance used
b Average Linkage (Between Groups)
Figura 6.8. Resumen de procesamiento de casos de un problema de
conglomerados con el SPSS . Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
208
En la figura 6.9 se muestra la matriz de distancia para cada una de las variables
utilizando la distancia cuadrática de Euclides y la figura 6.10 muestra el diagrama de
chorrera.
Proximity Matrix
Case Squared Euclidean Distance
1 2 3 4 5 6
1 .000 10100.000 404.000 12221.000 161600.000 100.000
2 10100.000 .000 6464.000 101.000 90900.000 8200.000
3 404.000 6464.000 .000 8181.000 145844.000 104.000
4 12221.000 101.000 8181.000 .000 84941.000 10121.000
5 161600.000 90900.000 145844.000 84941.000 .000 153700.000
6 100.000 8200.000 104.000 10121.000 153700.000 .000
Figura 6.9. Matriz de distancia de un problema de conglomerados con el SPSS.
Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
Horizontal Icicle
Case
Number of clusters
1 2 3 4 5
5 X X X X X
X
4 X X X X X
X X X X
2 X X X X X
X X
3 X X X X X
X X X
6 X X X X X
X X X X X
1 X X X X X
Figura 6.10. Diagrama de chorrera o carámbanos de un problema de
conglomerados con el SPSS. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
209
En la figura 6.11 se representa el dendograma.
Figura 6.11. Dendograma de un problema de conglomerados con el SPSS. Fuente:
SPSS versión 13.0 for Windows.
6.5. Ejercicios resueltos
1. El MINTUR está realizando un estudio con vistas a formar grupos de turistas de
distintas procedencias para el mayor disfrute de su estancia en nuestro país.
Según las encuestas realizadas se han determinado las preferencias de acuerdo al
país de procedencia, las cuales se muestran en la tabla 6.7.
Tabla 6.8. Preferencias de los turistas de cada país
Opción País
1 2 3 4 5 6 7 8 9
México (A) 1 1 1 Canadá (B) 1 1 1 1 1
Venezuela (C) 1 1 Honduras (D) 1 1 1 1 1
Haití (E) 1 1 1
Donde:
1: playa
2: casa
3: pesca
4: científico
5: ecología
6: expedición
7: cultura
8: evento
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
210
9: salud
Solución:
Para dar solución a este ejemplo se va a utilizar el procedimiento anteriormente
explicado.
1. En la formulación del problema ya las variables están definidas.
2. En la identificación del tipo de situación de clasificación es la situación uno ya
que los objetos y atributos se denotan con variables binarias.
3. La medida de similitud seleccionada es la medida de distancia.
4. La estandarización de los datos no es necesaria ya que los datos ya están
estandarizados.
5. Para calcular las distancias se utilizará la distancia de Roger – Tanimoto.
Utilizando la fórmula (6.7) se calculan las distancias existentes entre los diferentes
países
6. La matriz de distancia se muestra en la tabla 6.9.
Tabla 6.9. Matriz de distancia
A B C D E A 0 0.36 0.71 0.61 0.36 B 0 0.87 0.67 0.61 C 0 0.71 0.50 D 0 0.36 E 0
7. Para la formación de los cluster se utiliza el dendograma, como se muestra en la
figura 6.12.
Figura 6.12. Dendograma. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
8. Decisión del número de conglomerados.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
211
Grupo 1: 4 - 5 -1 – 2
Grupo 2: 3
9. Interpretación
Los países se agruparán en dos grupos, un grupo lo conformarán los países
Honduras, Haití, México y Canadá, y el otro grupo estará integrado por Venezuela.
2. Resuelva de forma manual el ejemplo 6.3 solucionado anteriormente empleando el
software SPSS.
Solución:
1. En la formulación del problema ya las variables están definidas.
2. El tipo de situación de clasificación es la situación dos ya que se pretende
agrupar surtidos a partir de dos características.
3. La medida de similitud seleccionada es la medida de distancia.
4. Estandarización de los datos.
1 20,5X 67,2062X
Utilizando la fórmula (6.2):
1ˆ = 15.25
2ˆ = 151.21
Utilizando la fórmula (6.1) se obtienen los resultados que se muestran en la tabla
6.10.
Tabla 6.10. Valores estandarizados
Peso Altura A -0.68 -0.70 B -0.032 -0.04 C -0.55 -0.57 D 0.032 0.02 E 1.93 1.94 F -0.68 -0.64
5. Para calcular las distancias se utilizará la fórmula (6.8) de la distancia cuadrática
de Euclides.
6. La matriz de distancia se muestra en la tabla 6.11.
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
212
Tabla 6.11. Matriz de distancia
A B C D E F A
0 0,85 0,03 1,02 13,78 0,0036
B 0 0,55 0,0076 7,76 0,77 C 0 0,68 12,45 0,021 D 0 7,28 0,94 E 0 13,46 F 0
7. Para la formación de los cluster se utiliza el dendograma como se muestra en la
figura 6.13.
Figura 6.13. Dendograma. Fuente: SPSS versión 13.0 for Windows.
8. Decisión del número de conglomerados.
1 – 6 – 3 1 – 6 – 3 – 2 – 4
2 – 4 5
5
Tomar una alternativa o la otra depende de las características particulares del
problema y de los objetivos que se persiguen.
9. Interpretación de los clusters
En la primera alternativa un grupo lo formarán los surtidos A, F y C; otro grupo estará
compuesto por los surtidos B y D y el último lo integrará el surtido E.
En la segunda alternativa un grupo estará integrado por los surtidos A, F, C, B y D y el
otro grupo lo integrará el surtido E.
Alternativa 1 Alternativa 2
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
213
6.6. Ejercicios propuestos
1. Un guía turístico quiere formar grupos de turistas de distintos países para realizar un
recorrido por diferentes provincias de Cuba.
Se han determinado las preferencias según el país de procedencia, las cuales se
muestran en la tabla 6.12.
Tabla 6.12. Preferencias de los turistas de cada país
Donde:
A: Pinar del Río
B: Habana
C: Matanzas
D: Cienfuegos
E: Villa clara
F: Santis Spiritus
G: Camagüey
H: Holguín
I: Santiago de cuba
2. En la planta de moldes y troqueles de la EINPUD se van a reemplazar seis equipos
los cuales procesarán siete tipos de moldes. El director de la planta desea conocer
cómo se deben agrupar los equipos teniendo en cuenta el conjunto de piezas que
Opción País
A B C D E F G H I
China 1 1 1
Alemania 1 1 1 1 Suecia 1 1 Francia 1 1 1
España 1 1 1 México 1 1 1 Brasil 1 1
Panamá 1 1 1 Argentina 1 1
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
214
procesarán y para lo cual se dispone de la información que se muestra en la tabla
6.13.
Tabla 6.13. Equipos que procesarán los moldes
3. En la fábrica de Panqué de Villa Clara se recibirán seis tipos de materia prima
embalados en sacos de distintas dimensiones. El administrador de la fábrica desea
conocer cómo debe agrupar los sacos para su ubicación en el almacén, para ello se
conoce la información que se muestra en la tabla 6.14.
Tabla 6.14. Masa y altura para cada tipo de materia prima
Tipo de Materia prima Masa (kg) Altura (cm)
A 15 120
B 25 220
C 34 130
D 26 210
E 55 500
F 15 130
4. En la empresa Metalconf se desea agrupar un conjunto de artículos de los cuales se
conoce la masa y el volumen como se refleja en la tabla 6.15.
6.7. Preguntas de autoevaluación
1. ¿En qué consiste el análisis de conglomerados?
2. Defina los términos siguientes: centroides de agrupamiento, dendograma, diagrama
de chorrera y matriz de distancia.
Piezas Equipos
1 2 3 4 5 6 7
Taladro 1 1 1 1
Torno 1 1
Fresadora 1 1 1
lijadora 1 1
Mortajadora 1 1 1
Recortador 1 1 1
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
215
3. ¿Cuál es el procedimiento de aplicación del método de conglomerados?
4. Ponga un ejemplo de la vida práctica en el cual se aplique el análisis de
conglomerados.
Tabla 6.15. Masa y volumen para cada artículo
Artículo Masa (kg) Volumen (cm3)
1 16.80 220
2 10.40 60
3 12.40 302
4 12.80 160
5 10.50 75
6 13.50 480
6.8. Bibliografía consultada
1. Abascal, E. y Grande, I. (1994). Fundamentos y Técnicas de Investigación
Comercial.
2. Baro, J. y Alemany, R. (2000). Estadística. Fundació per a la Universitat Oberta de
Catalunya. Barcelona.
3. DATUM (2011). Cluster Analysis, disponible en:
www.datum.com.pe/Datum_english/cluster.pdf [Consultado el 2 de mayo de 2011].
4. EMAGISTER (2011). Debate análisis cluster - dendograma, disponible en:
www.grupos.emagister.com/...cluster_dendograma/6428-723330 [Consultado el 2
de mayo de 2011].
5. HALWEB (2011). Análisis de Cluster y Árboles de Clasificación, disponible en:
www.halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/.../tema6dm.pdf
[Consultado el 2 de mayo de 2011]
6. Johnson, R. y Wichern, D. (1982). Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice
– Hall International
7. Johnson, R. R. (1996). Elementary statistics. Duxbury corporation, Belmont:
8. Kinnear y Taylor (1998). Investigación de Mercados. McGraw – Hill Interamericana.
9. Marrero Delgado, F. (2009 [b]). Conferencia “Métodos de clasificación”, disponible
en http://docente.fiit.uclv.edu.cu [Consultado el 25 de febrero de 2011].
CAPÍTULO VI: MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
216
10. Martín – Guzmán, P. (1991). Curso básico de estadística económica. AC, DL.
Madrid. ISBN: 84 – 7288 – 142 – 3.
11. Peña Sánchez de Rivera, D. (1987). Estadística. Modelos y Métodos. Volumen II,
Alianza Editorial, Madrid, ISBN: 84 – 206 – 8110 – 5.
12. UGR (2011). Análisis cluster, disponible en:
www.ugr.es/~ramongs/sociologia/tema6_cluster.pdf [Consultado el 2 de mayo de
2011].
13. Vicente, J. L. (2011) Introducción al análisis cluster. Departamento de Estadística,
Universidad de Salamanca, disponible en:
http://biplot.usal.es/ALUMNOS/CIENCIAS/2ESTADISTICA/MULTIVAR/cluster.pdf
[Consultado el 25 de abril de 2011].
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
217
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
7.1. Introducción
El presente capítulo aborda el tema de las rutas de distribución, en el cual se estudiarán
conceptos fundamentales, así como el método de la margarita.
Los objetivos que se persiguen con este capítulo son:
8. Conocer los conceptos básicos en los que se basan las rutas de distribución.
9. Solucionar manualmente problemas de este tipo. Hacer énfasis en la interpretación
económica y analítica de estas soluciones a la luz de las condiciones particulares de
los problemas que se presentan.
Como prerrequisitos para este tema se exigen:
El estudiante debe tener conocimientos de matemática básica, teoría de grafos e
informática.
7.2. Fundamentación teórica de las rutas de distribución
A fines de los años 50 del siglo pasado se comenzaron a estudiar académicamente los
problemas de transporte y distribución para convertirse luego en uno de los más
importantes dentro del área de investigación operativa, principalmente por el hecho de
aparecer en una gran cantidad de situaciones prácticas, por su complejidad y dificultad
de resolución. Por la naturaleza del problema, que pertenece a una clase
computacionalmente difícil (NP - hard), aún con la creciente capacidad de cálculo de las
computadoras los algoritmos que buscan soluciones exactas son de poca utilidad en la
práctica ya que requieren una cantidad de tiempo que crece exponencialmente con el
tamaño del problema. Surge entonces la necesidad de heurísticas que proporcionen un
resultado aproximado: se busca una buena solución aunque no sea necesariamente la
mejor.
La necesidad de transportar determinadas cosas de un lugar a otro, hace que las
empresas que se dediquen a la transportación de bienes deban tener un importante
proceso logístico en cuanto a programación y designación de las diferentes rutas a
realizar para prestar el servicio.
La ruta es aquel camino o trayectoria a recorrer para ir de un lado a otro, recorriendo
determinada distancia. En términos de rutas de distribución o reparto se puede decir
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
218
que la ruta no es más que el camino habitual que permite trasladar los productos
(mercancías) desde un origen ya sea una fábrica, un almacén central, una delegación,
etc., hasta un cliente o destino que puede estar dado por una fábrica - taller, un
almacén regulador, grandes superficies, o evidentemente el consumidor final.
En relación con lo que se plantea con anterioridad es fundamental puntualizar que el
objetivo que se debe tener en cuenta al realizar un diseño correcto de las rutas de
distribución y aprovisionamiento, no es otro que el de conseguir alcanzar el nivel de
servicio al cliente correcto, al menor costo posible.
Sin embargo, cabe destacar que, en presencia de una cantidad grande de alternativas a
seleccionar en el diseño correcto de las rutas, su solución en general, resulta compleja
y en muchos casos, la evaluación de cada una de las posibles combinaciones,
constituye una tarea extremadamente costosa en tiempo.
El problema de ruteo de vehículos (VRP, por las siglas en inglés de Vehicle Routing
Problem) consiste en establecer las rutas para una flota de vehículos que deben salir de
un depósito y recorrer determinados puntos (clientes) una sola vez y regresar al
depósito, de manera que se minimice la distancia total recorrida por todos los vehículos.
El planteamiento del problema se hará mediante teoría de conjuntos y funciones. Se
establece entonces que existen n clientes y un depósito representados por un conjunto
P:
P = {p0, p1, p2,..., pn}
En donde p0 es el punto que representa el depósito y los demás puntos representan a
cada uno de los n clientes. Se tiene en cuenta la relación R:
R P × P
En donde (pi, pj) R implica que hay una conexión entre el punto pi y el punto pj.
Existen m vehículos representados por el conjunto V:
V = {v1, v2, .., vm}
En donde m puede ser constante o variable no mayor que n, cada vehículo tiene una
capacidad asociada representada por la función Q:
Q: V N+
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
219
Esta capacidad es generalmente igual para cada vehículo, en algunas ocasiones la
capacidad podría ser infinita. Existe un costo asociado representado por la función C:
Esta capacidad es generalmente igual para cada vehículo, en algunas ocasiones la
capacidad podría ser infinita. Existe un costo asociado representado por la función C:
C: R R+
En donde C (pi, pj) es el costo de ir de un punto pi a un punto pj y C (pi, pj) = C (pj , pi).
Cada cliente tiene una demanda asociada representada por la función D:
D: p1...pn N+
Finalmente en algunos casos se presentan situaciones en donde la ruta de cada
vehículo no puede exceder un límite de tiempo TL, entonces se tiene en cuenta un
tiempo representado por la función T:
T: R R+
En donde T (pi, pj) es el tiempo que un vehículo se tarda en ir de un punto pi a un punto
pj. Se tienen en cuenta las variables de número de clientes que visita cada vehículo
representadas por U:
U: V 1...n
Se representan las rutas de cada vehículo mediante las funciones
Fi, i = 1, 2,…,m:
Fi: 1...U (vi) p1…pn
En donde Fi es la función que representa la ruta del vehículo vi y Fi (j) representa el j -
ésimo punto que recorre el vehículo vi, esta función a diferencia de las anteriores es
inyectiva ya que cada cliente solo puede ser visitado una vez. Se plantea entonces el
problema de optimización de la manera siguiente:
Minimizar:
1
0 0
1 1
, 1 , 1 ,ium
i i i i i
i j
C F j F j C p F C F U u p (7.1)
Sujeto a:
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
220
1
m
i
i
ran F (7.2)
1 1
1
...m
n
i
p p ran F (7.3)
( )
1
iu
i
j
Q i D F j para todo i = 1, 2,…, m (7.4)
( ) 1
0
1
, 1 , 1 ( ) ,0iu
i i i i i
j
TL T F j F j T p F T F u (7.5)
Para todo i = 1,2,…, m 7.5
Nótese que en (1) se establece que no pueden haber clientes asignados a más de un
vehículo, en (2) se establece que no queden clientes sin ser atendidos, la restricción (3)
determina que la demanda de los clientes asignados a un vehículo no exceda la
capacidad de éste y en (4) se determina que cada vehículo no se tarde más de un
tiempo límite TL haciendo el recorrido. Como se nombraba anteriormente hay VRP s en
donde no se tiene en cuenta un TL y/o se tiene capacidad infinita para cada vehículo,
dependiendo de estos dos aspectos las restricciones (3) y/o (4) serán tenidas en
cuenta.
7.2.1. Casos particulares del VRP
Existen varios casos particulares del VRP, para los fundamentales se hará el
planteamiento matemático en esta sección.
VRP con capacidades (CVRP)
Este problema consiste en un VRP con la cualidad de que cada uno de los vehículos de
la flota tiene la misma capacidad y se tendrá en cuenta que:
Q(vi) = Q(vj) para todo i, j = 1, 2, ..,m
VRP con ventanas de tiempo (VRPTW)
El VRPTW consiste en que cada cliente tiene asociado un intervalo de tiempo en el cual
puede ser visitado. Para lo cual se define la hora más temprana en la que puede ser
atendido cada cliente mediante la función EH:
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
221
EH: P R+
Y la hora más tardía en la que puede ser atendido cada cliente mediante LH:
LH: P R+
Teniendo en cuenta también una hora de partida para cada vehículo representada por
la función HV:
HV: V R+
Entonces, para el VRPTW se tiene en cuenta la restricción (7.5) mostrada
anteriormente con las restricciones siguientes:
1
0
1
, 1 , 1k
i j i i i i j
z
F K P HV U T p F T F z F z EH p (7.6)
1
0
1
, 1 , 1 < k
i j i i i i j
z
F K P HV U T p F T F z F z LH p (7.7)
Para todo k = 1,2,…, U (i), i = 1, 2,…, m, j = 1, 2,…, n.
VRP con múltiples depósitos (MDVRP)
En este problema existen varios depósitos y cada cliente está asignado a uno de éstos,
teniendo cada depósito una flota de vehículos disponibles, los vehículos deben partir
del respectivo depósito visitando clientes asociados a éste y llegando de nuevo al
mismo depósito.
VRP con entregas y devoluciones (VRPPD)
El VRPPD consiste en que determinados clientes pueden no tener una demanda
definida sino que en lugar de eso tienen algún tipo de cantidad de mercancía para
devolución. En el caso de transporte de personas se puede plantear de manera que hay
puntos en los que se recogen personas y hay puntos en los que se dejan personas. De
esta manera la demanda asociada a cada punto podría ser positiva o negativa.
VRP periódico (PVRP)
En esta variación del VRP los vehículos no deben visitar todos los clientes el mismo día
por lo que los vehículos pueden visitar solo algunos de los clientes asignados y luego
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
222
regresar al depósito para visitar los demás clientes otro día. En este problema se tiene
en cuenta que se debe asignar un día para visitar determinado cliente.
VRP con ventanas de tiempo y dependencia temporal (TDVRPTW)
El problema de ruteo de vehículos con ventanas de tiempo y dependencia temporal
(TDVRPTW – del inglés Time Dependent Vehicle Routing Problem with Time Windows)
presenta una variante particular que contempla los horarios de entrega de los clientes y
el efecto del tránsito.
En esta versión hay una cantidad k preestablecida de vehículos que pueden tener
distintas capacidades Ck, parten y retornan a un mismo y único depósito y pueden
realizar un único viaje en el día. .
Hay n clientes que deben ser visitados todos una sola vez. A cada cliente se le debe
entregar una cantidad de mercadería di por lo cual se demora un tiempo de servicio si.
El cliente impone un horario de entrega o ventana de tiempo (ai, bi) dentro del cual debe
ser visitado. El valor inferior ai indica el instante más temprano que puede comenzar el
servicio y en caso de arribar antes el mismo debe esperar hasta ser atendido. Las
ventanas de tiempo son duras, es decir no se permite que el arribo al cliente sea más
tarde que bi aunque puede suceder que el vehículo llegue hacia el final de la ventana de
tiempo, entregue la mercadería y se retire a una hora superior a bi.
7.3. Métodos fundamentales para resolver el problema de ruteo de vehículos (VRP)
Los métodos de solución del problema de ruteo de vehículos (VRP, por las siglas en
inglés de Vehicle Routing Problem) están orientados hacia tres grupos fundamentales:
métodos de optimización (exactos), los de prueba y error (aproximados) y métodos
heurísticos (incluyendo heurísticas y metaheurísticas). De ellos, los que mayor
aplicación han encontrado en la práctica son los dos últimos, dado que permiten llegar a
soluciones adecuadas de una manera relativamente rápida como lo exigen la mayoría
de los sistemas logísticos, a lo que cabe añadir que su carácter práctico y de fácil
análisis los hacen apetecidos por la mayoría de los profesionales que se desempeñan
en el campo de la administración de cadenas de suministros. No obstante a ello,
también es conveniente señalar a favor de los métodos de optimización, sus
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
223
potencialidades para llegar a una solución óptima en presencia de una gran variedad de
variables y donde los supuestos que los limitan, poco a poco han ido reduciéndose.
En este capítulo se estudiarán los métodos heurísticos, específicamente el método de
la margarita.
Métodos de optimización (métodos exactos)
La programación lineal también conocida como optimización lineal, es la maximización
o minimización de una función lineal sobre un poliedro convexo definido por un conjunto
de restricciones lineales no negativas. La teoría de la programación lineal cae dentro de
la teoría de la optimización convexa y es también considerada como parte importante
de la Investigación de Operaciones, la cual constituye una herramienta de modelos
cuantitativos para manejar diferentes tipos de problemas y ayudar a la toma de
decisiones.
La programación lineal entera (PLE) es el conjunto de problemas de programación
lineal para los cuales todas o parte de sus variables pertenecen a los números enteros.
Métodos de prueba y error (métodos aproximados)
En ciencias de la computación e Investigación de Operaciones, un algoritmo de
aproximación es un algoritmo usado para encontrar soluciones aproximadas a
problemas de optimización cuyos tiempos de ejecución están acotados por cotas
conocidas. Dentro de este método se encuentran las técnicas tales como:
Algoritmo de Ford
Este algoritmo está diseñado para determinar en un cierto gráfico o red, el camino más
corto o más largo entre dos puntos elegidos, un origen y un final.
El procedimiento asocia a cada nodo etiquetas Pi, que indican la distancia más corta
hasta el origen, obtenida hasta el momento, y variables ti, que indican el nodo que
precede ai en el camino más corto obtenido.
Por su parte en la filosofía de solución está compuesto por tres fases:
Fase 1: Inicialmente se asocia una etiqueta y una variable a cada vértice (Pi y ti
respectivamente)
Fase 2: Se busca un arco tal que: Pi > Pj + dji
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
224
En el caso de encontrar un arco que no cumpla con la desigualdad anterior, recalcular
el valor Pi y el de ti, donde: Pi = Pj + dji y ti= j
Fase 3: Si no se ha encontrado ningún arco que cumpla con la desigualdad de la fase
2, entonces finalizar el proceso.
La exploración puede realizarse de diferentes formas en la matriz de distancias origen
(filas)/destinos (columnas).
Este algoritmo de Ford es más simple que el de Bellman Kalaba e intuitivamente más
claro.
Método de Bellman – Kalaban
El algoritmo de Bellman – Kalaban resuelve exactamente el mismo problema que el
anterior algoritmo de Ford, sin embargo tiene la ventaja de ser programable en
ordenador.
Su filosofía se basa en determinar la etiqueta de un nodo en una iteración a partir de las
etiquetas de los nodos de los que proceden los arcos que llegan al nodo considerado,
tal como se explica seguidamente.
Paso 0: inicio
1. Asociar a cada arco aij un valor dij. Si no hay posibilidad de conexión directa entre
los nodos i y j, dicho valor será infinito.
2. Definir las etiquetas Pi: se define una etiqueta P para cada nodo i, y se inicializa la
etiqueta del nodo origen a cero (Po = 0) y el resto de etiquetas a la distancia existente
entre el origen y este nodo en una conexión directa (Pi = doi).
3. Definir las variables ti: se define una variable t para cada nodo y se inicializan con el
nodo origen (ti = 0).
4. Definir la variable detector de cambios, cuya variable puede tomar valores ciertos o
falsos.
Paso 1: proceso
1. Inicializar detector de cambios a falso.
2. Definir la variable i, que puede tomar como valor todos los nodos del gráfico.
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
225
3. Definir la variable z, que puede tomar como valor todos los nodos del gráfico.
Para cada nodo (i) y para cada nodo j se calcula Mj = Pj + dji
Entre todos los valores calcular el valor mínimo: mín. (Mj) = Pj* + dj * i
Se define j* como el nodo donde se ha hallado el mínimo.
Si Pi > Pj * + dj * i, entonces:
Pi = Pj * + dj * i y t i= j* (7.8)
El detector de cambios = cierto, luego ir al paso 2
Paso 2:
1. Si el detector de cambios = cierto, entonces ir al paso 1, si no es cierto, finalizar.
El resultado final es el camino más corto entre el nodo origen (0) y el resto de nodos del
gráfico. Se expresa a partir de:
a. Un conjunto de etiquetas Pi que indican el valor del camino más corto del origen
hasta el nodo i.
b. Un conjunto de variables ti, que indica (excepto para el origen) el nodo que precede
al nodo i en el camino más corto entre los nodos origen (0) e i. Dichos valores permiten
determinar el camino más corto del origen hasta un nodo cualquiera.
Ventajas: fácil implementación; no requiere memoria adicional y es programable en
ordenador.
Desventajas: muy lento, muchas comparaciones e intercambios.
Algoritmo de Floyd
El algoritmo de Floyd intenta resolver el problema de encontrar el camino más corto
entre todos los pares de nodos o vértices de un grafo. Esto es similar a construir una
tabla con todas las distancias mínimas entre pares de ciudades de un mapa, indicando
la ruta a seguir para ir de la primera ciudad a la segunda.
Esto puede verse de la manera siguiente:
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
226
Sea G = (V, A) un gráfico en el cual cada arco tiene asociado un costo no negativo.
El problema es hallar para cualquier par de vértices (v, w) el camino más corto de v
a w.
G = (V,A), V= {1,...,n} y C[i,j] es el costo del arco que va de i a j.
El algoritmo calcula la serie de matrices.
Ak [i,j] significa el costo del camino más corto que va de i a j y que no pasa por
algún vértice mayor que k.
El objetivo es calcular An[i,j].
Como se dijo anteriormente, la complejidad temporal es (n3), pues la función Floyd
presenta un triple bucle por anidado, dentro del cual se realizan operaciones sencillas
de asignaciones y sumas.
Ventajas: fácil implementación. Requerimientos mínimos de memoria.
Desventajas: lento. Numerosas comparaciones.
Método del transporte
El modelo de transporte por medio del cual un administrador debe determinar la mejor
forma de como hacer llegar los productos de sus diversos almacenes a sus
consumidores, con el fin de satisfacer a los clientes y a un costo mínimo.
El modelo de transporte es un problema de optimización de redes donde debe
determinarse como hacer llegar los productos desde los puntos de existencia hasta los
puntos de demanda, minimizando los costos de envío.
El modelo busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes
a varios destinos. Entre los datos del modelo se cuenta:
1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2. El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino. El
modelo se utiliza para realizar actividades como: control de inventarios,
programación del empleo, asignación de personal, flujo de efectivo, programación
de niveles de reservas en prensas entre otras.
Algoritmo del barrido
Pertenece al grupo de algoritmo de dos fases consistentes en agrupar primero y diseñar
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
227
las rutas luego. La naturaleza de su procedimiento resulta muy práctica, dado que
obedece al sentido lógico que requiere un análisis de rutas. Constituye quizás la
herramienta que mayor empleo posee en la práctica, dado que el propio sentido común
lleva a su concepción. Se recomienda en situaciones relativamente sencillas para el
profesional encargado de trazar las rutas y en aquellos casos en que las distancias
entre los puntos a recorrer son similares, tanto a la ida como al regreso, por lo que
mayor atención se dirige hacia la cantidad de materiales o productos que deben ser
distribuidos y la capacidad estática de los medios de transporte seleccionados. Su
procedimiento consta de los pasos que se comentan a continuación:
1. Ubicación de los puntos de la red logística.
2. Determinación de la demanda de los puntos que serán abastecidos.
3. Determinar la capacidad de transportación.
4. Trazar una línea en cualquier dirección, partiendo del punto abastecedor.
5. Mover la línea en sentido contrario a las manecillas del reloj, formando los diferentes
ciclos.
La mayor desventaja del método es que genera las rutas a partir de los nodos
determinados por el barrido, lo cual puede traer problemas en que las rutas tengan una
restricción de tiempo y/o longitud, ya que muchas veces el grupo de nodos elegidos por
el barrido las superan.
La manera en la que se forman las rutas. El proceso tiene dos etapas: primero, las
paradas se asignan a los vehículos, y luego se determina la secuencia de las paradas
dentro de las rutas. Dado este proceso de dos etapas, el tema de sincronización, como
el tiempo total empleado en una ruta y el permiso de momento oportuno, no están bien
manejados.
La solución proporcionada por el algoritmo no es óptima y depende enormemente del
cliente escogido para empezar a barrer y del orden en el cual se asignan los vehículos.
De hecho en ciertos casos no es ni siquiera recomendable.
De ahí que la ventaja del método "de barrido" es que tiene la posibilidad de dar muy
buenas soluciones cuando:
1) Cada volumen de parada es una pequeña fracción de la capacidad del vehículo.
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
228
2) Todos los vehículos tienen el mismo tamaño.
3) No hay restricciones de tiempo en las rutas.
Algoritmo del agente viajero
Es un método muy conocido y utilizado para definir rutas de distribución y a diferencia
del método del barrido considera las distancias entre los diferentes puntos a distribuir,
estableciendo secuencias de recorrido. Existe una gran cantidad de variantes de este
procedimiento, muchas de las cuales pueden considerarse como métodos de
optimización, aplicables fundamentalmente cuando no son muchos los puntos a
distribuir. Sin embargo, la complejidad de las mismas y la limitación en cuanto al
número de puntos, hizo que se desarrollaran toda una gama de procedimientos
basados en reglas heurísticas, que si bien no siempre ofrecen un resultado óptimo, si
permiten lograr buenos resultados de una manera mucho más rápida.
Este tipo de problema se denomina problema del agente viajero, porque refleja la tarea
de un vendedor que necesita iniciar en su ciudad de residencia, visitar clientes en varias
ciudades exactamente una vez y posteriormente regresar a su propia ciudad,
minimizando el costo total del esfuerzo. Su procedimiento general es el siguiente:
1. Seleccionar dos nodos iniciales que garanticen el menor ciclo en cuanto al
parámetro que se minimiza (distancia, tiempo, costo, etc.).
2. Evaluar los nodos no incluidos en el ciclo e introducir aquel que lo minimiza,
repitiendo este paso, hasta que la totalidad de ellos han sido incorporados.
El objetivo es hallar la secuencia en la que los puntos deberían visitarse, de manera
que se pueda reducir al máximo el tiempo o la distancia total del recorrido.
Luego de haber fundamentado algunas de las técnicas que por su tipología se clasifican
dentro del grupo de los métodos aproximados, se puede comentar que estos por su
parte suelen proporcionar buenos resultados a muchos problemas sin incurrir en un
tiempo computacional extremadamente perjudicioso, a pesar de no encontrar el
resultado óptimo absoluto.
Métodos heurísticos
Se denomina heurística a la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata
innovaciones positivas para sus fines. La capacidad heurística es un rasgo
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
229
característico de los humanos, desde cuyo punto de vista puede describirse como el
arte y la ciencia del descubrimiento y de la invención o de resolver problemas mediante
la creatividad y el pensamiento lateral o pensamiento divergente. Los métodos
heurísticos se emplean para resolver problemas no polinomiales (NP), son aplicables a
cualquier ciencia. Dentro de este método se encuentra el de la margarita.
Método de la margarita (algoritmo de Lemaire)
Para aplicar este método es necesario conocer un conjunto de características con
relación a dos de los elementos fundamentales del problema: los vehículos y los
clientes.
Vehículos:
Cada vehículo debe tener límites (capacidad, peso, volumen o número de
mercancías o personas) según el tipo de carga que lleve.
En la mayoría de los casos cada vehículo tiene un determinado tiempo de
funcionamiento ya que los choferes tienen un horario determinado.
Cada vehículo tiene un costo asociado con su uso (entre otros: combustible, gomas,
reparaciones, etc.)
Un vehículo puede satisfacer las demandas de varios clientes.
Clientes:
Cada cliente tiene una demanda que debe ser satisfecha.
Cada cliente tiene un determinado período de tiempo en el que puede recibir la
mercancía.
En algunos casos si se especifica los clientes pueden ser servidos por ciertas
prioridades.
Un cliente puede necesitar más de un vehículo para satisfacer su demanda.
El diseño correcto de las rutas tiene como tarea principal la reducción de los costos en
que se pueden incurrir debido a distancias recorridas, gastos de combustible, uso
innecesario de la técnica, etc.
Descripción formal del problema:
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
230
Se considera n clientes x1,…,xn que son atendidos por un centro x0 mediante camiones
de capacidad C cada uno. Las respectivas demandas (cantidad a entregar) de cada
cliente xi se denotarán por el vector Q = (q1,…,qn). Se define también la matriz de las
distancias D = dij , donde dij identifica el valor del camino más corto (camino de valor
mínimo hallado por el algoritmo de Ford, por ejemplo) de xi a xj (i j = 0,1,…, n) y en la
cual dii = 0 y dij = si se excluye un camino de xi a xj.
Considerando entonces una red G = AV , , finita y conexa, cuyos vértices x0, x1,…, xn
son el centro y los clientes, mientras que cada arco (xi, xj) A representa el camino de
valor mínimo de xi a xj. A todo vértice cliente xi V está vinculado el número real qi 0 ,
su demanda, y a todo su arco (xi, xj) A está asociado el número real dij 0 , su
distancia. Suponiendo que para todo vértice xi x0 existirán en G los arcos (xi, x0) y (x0,
xi).
Si n
i 1
q1 C sería el problema del viajante, es decir, ante la terminación en la red G
del circuito hamiltoniano (cuando la ruta recorre todos los vértices de la red terminando
en el mismo punto de partida) de menor valor. Este enfoque es más general y está
dirigido a hallar el mejor conjunto S* de rutas o recorridos Rk (K = 0, 1,…, m) que
pertenecen al centro x0 y retornan a él. Cada ruta o recorrido Rk es un circuito
hamiltoniano en la subred por él definida; esto puede apreciarse en las figuras 7.1 y 7.2,
donde se muestran dos soluciones posibles S1 = R1, R2, R3 2,1 RR y S2 = R1, R2,
R3 3,2,1 RRR para una red G de 7 vértices.
Para cada ruta Rk, la suma de las cantidades entregadas a los clientes de ese recorrido,
no debe exceder la capacidad del camión, o sea:
Rki
Cqi para k = i,…, m (7.9)
Se denotará por F(S) a la suma de las distancias totales de los m recorridos que
constituyen una solución S = mRR ,...,1 , es decir
F(S ) = SRk RkXjXi
dij),(
(7.10)
GHDYYRET
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
231
El objetivo que se persigue es hallar una solución S* que dé el menor valor a esa
función.
Figura 7.1. Red G1 Figura 7. 2. Red G2
Noción de separación:
Se definirá separación eij del arco (xi, xj) con respecto a un centro x0 como:
eij =di0 + d0j - dij (7.11)
Propiedades de la separación:
La separación de un arco incidente en el centro x0, es nula es decir, ei0 = eoj = 0.
Si la red es simétrica (debido a que dij = dji, ij ) entonces eij = eji.
En la red G se tiene que eij ≥ 0, dik ≤ dij + djk ya que se ha determinado el camino
mínimo para todos los pares de vértices de la red.
Centralidad de x0 y caso particular de la margarita de Fletcher:
Se definirá la centralidad del vértice x0 por la fórmula:
= 2
1 n
i 1
(di0 + d0j) (7.12)
Donde se ve que 2 representa el valor de la solución trivial S0 que consiste en crear
una ruta por cliente (La margarita de Fletcher), como se muestra en la figura 7.3.
Para toda solución S se tiene la igualdad:
2 = AXjXi
dij),(
+AXjXi
eij),(
(7.13)
X5
X0
X1
X2
X3 X4
R1
R2
X5
X6
X5
X0
X1
X2
X3 X4
R3
R2
R1
X5
X6
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
232
Es decir, que la suma de las distancias de los arcos de una solución, más la suma de
las separaciones de esos arcos, es independiente de dicha solución e igual a dos veces
la centralidad.
Para ver esto se parte de la solución inicial S0 (la margarita) de valor F (S0) = 2 y se
introduce un arco (xk, xm). Y se pasa así de una solución con n rutas, a otra solución S1
con n -1 recorridos; esto debido a que se han unido dos rutas.
Figura 7.3. Red que representa la margarita de Fletcher
Se denota por (S ) a la suma de las separaciones de los arcos que forman la
solución S , se puede expresar el valor de la nueva solución S1, como:
F (S1) = F (S0) – ekm = F (S0) - (S1) = 2 de donde: (7.14)
F (S1) + (S1) = F (S0) = 2 (7.15)
Aquí se aprecia que minimizar el valor de F equivale a maximizar el valor de .
Las restricciones:
Con el objetivo de mejorar una solución, se escogerá en la matriz E el arco (x, y) de
mayor separación y que satisface las tres restricciones siguientes:
1. El arco (x, y) no forma una bifurcación con los arcos ya seleccionados.
2. Rki
qi
+ Rki
Cqi
(7.16)
3. El arco (x, y) no forma un trayecto inútil con los arcos ya seleccionados.
Definición de los vectores antecesor y sucesor:
Toda solución de un problema es tal que en la red – solución Gs = (V, Ts) cada vértice
(excepto el centro x0) solo admite un antecesor y un sucesor, ya que cada ruta es un
X0
X1 X2
X3 X4
R1 R2
R3 R4
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
233
circuito hamiltoniano en la subred por el definida. Por tanto se describirá el sucesor de
cada uno de los vértices de Gs mediante el vector de sucesores:
Tsv = )(),...,(),( 21 nxTsxTsxTs (7.17)
Y también se describirá el antecesor de cada uno de los vértices por el vector:
T-1sv = )(),...,(),( 1
2
1
1
1
nxTsxTsxsT (7.18)
Así por ejemplo para la red de la figura 7.4 se muestra la tabla 7. 1 con los vectores Tsv y
T-1 sv.
Algoritmo de solución:
1. A partir de la matriz D = dij de las distancias, construir la matriz
E = eij de las separaciones, donde:
eii = -
eij = di0 + d0j - dij (7.19)
eij = 0 para i = 0 o j = 0
2. Tomar la ¨margarita como solución inicial, o sea :
Ts-1(xi) = Ts (xi) = x0 para xi x0
F(S) = 2 = n
i 1
(di0 + d0j); (S) = 0 (7.20)
Rutina general
3.1 Localizar el arco (x, y) de máxima separación exy, en la parte no tachada de la
matriz E, es decir, aquel con Ts(x) = Ts-1(y) = xo:
--Si exy > 0 pasar a 3.2
--Si exy 0 se terminó el computo.
3.2 verificar que el arco (x, y) cumple con la restricción 2:
--Si qx + qy C pasar a 3.3
-- Si qx + qy > C hacer exy = - y pasar a 3.1.
3.3 Tratamiento del arco (x, y) aceptado:
-- (S) = (S) + exy (7.21)
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
234
-- F(S) = F(S) - exy (7.22)
-- Ts(x) = y; T-1s (y) = x, o sea, tachar la fila x y la columna y en la matriz E.
-- qx = qy = qx + qy (7.23)
-- ey x = -
-- Inscribir la nueva ruta y pasar a 3.1.
Ejemplo 7.1
La red de comercio y gastronomía de la Empresa Azucarera Perucho Figueredo cuenta
con 5 merenderos los cuales basan sus ventas en ofertas de productos elaborados con
pan, el cual es distribuido desde una panadería mediante una camioneta pequeña. A
raíz del problema que existe en el país con el combustible, se está estudiando la
posibilidad de sustituir el actual carro de reparto, por una serie de triciclos que tienen un
costo asequible y una capacidad máxima de 500 unidades. El director de la empresa ha
llegado a la conclusión de que la inversión es factible solo si la cantidad de triciclos a
comprar es menor que 5. Sabiendo que las distancias de un establecimiento a otro
(x1,x2,x3,x4,x5, con demandas respectivas de 200,100,150, 300 y 450 unidades ) y de
ellos a la panadería (x0), forman la matriz simétrica (dij = dji ij en cientos de metros )
que se muestra en la tabla 7.1.
Se desea saber si el cambio de vehículos es ventajoso, y de serlo, ¿Cómo se deben
distribuir los triciclos para el reparto y qué distancia recorre cada uno? , para así fijar un
sistema de CPL que diferencie el sueldo de sus chóferes.
Tabla 7.1. Matriz de distancia
Solución:
1. A partir de la matriz D = dij de las distancias, construir la matriz E = eij de las
separaciones.
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X0 0 8 3 4 2 10 X1 8 0 5 7 6 15 X2 3 5 0 3 4 10 X3 4 7 3 0 3 8 X4 2 6 4 3 0 9 X5 10 15 10 8 9 0
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
235
Utilizando la fórmula (7.19):
Fila 1
e12 = d10 + d02 – d12 = 8 + 3 – 5 = 6
e13 = d10 + d03 – d13 = 8 + 4 – 7 = 5
e14 = d10 + d04 – d14 = 8 + 2 – 6 = 4
e15 = d10 + d05 – d15 = 8 + 10 –15 = 3
Fila 2
e23 = d20 + d03 – d23 = 3 + 4 – 3 = 4
e24 = d20 + d04 – d24 = 3 + 2 – 4 = 1
e25 = d20 + d05 – d25 = 3 + 10 – 10 = 3
Fila 3
e34 = d30 + d04 – d34 = 4 + 2 – 3 = 3
e35 = d30 + d05 – d35 = 4 + 10 – 8 = 6
Fila 4
e45 = d40 + d05 – d45 = 2 + 10 – 9 = 3
La matriz de separaciones se muestra en la tabla 7.2.
2. Después de tener la matriz de las separaciones E se toma la margarita como
solución inicial.
Utilizando la fórmula (7.23): F (S0) = 2 (8 + 3 + 4 + 2 + 10) = 54, con (S) = 0
Tabla 7.2. Matriz de separaciones
X0 X1 X2 X3 X4 X5
X0 - 0 0 0 0 0
X1 - 6 5 4 3
X2 - 4 1 3
X3 - 3 6
X4 - 3
X5 -
235
3. La rutina general se comienza buscando el arco (x, y) de mayor separación (paso
(3.1)) que en este caso es 6 perteneciente al arco(1, 2) y como cumple en (3.2) con
que:
qx + qy = q1 + q2 = 200 +100 = 300 C = 500 se pasa a (3.3) donde se hace el
tratamiento del arco aceptado, entre otras cosas allí se tachan la fila x1 y columna x2 de
la matriz E. Esto será la iteración #1 luego de la cual se retorna a (3.1).
Se puede ver que el arco de mayor separación que queda sin tachar es el (1, 3) con 5,
pero como cumple con (3.2) en qx + qy > C, esa casilla toma el valor de - porque la
demanda de esos dos puntos superan la capacidad del vehículo de reparto, lo mismo
pasa con los arcos (3, 4) y (4, 5) ambos con 3 de separación (todos estos casos se
diferencian con el color amarillo en la tabla 7.5.
La otra iteración (Iteración #2) ocurre entre los puntos (2, 3) con una separación de 4
que cumple con (3.2) de la forma siguiente:
q1 + q2 + q3 = 200 +100 + 150 = 450 C = 500
Aquí se tiene que tener en cuenta que los puntos x1 y x2 ya estaban unidos mediante la
iteración #1 y mediante la iteración #2 se les une x3. Se aclara que cada iteración
conlleva a la unión de dos rutas. Sobre esta base se confecciona la tabla 7.3.
Tabla 7.3. Resultados del ejemplo 7.1
Xi Iteraciones 0 1 2
T-1 T Q T-1 T Q T-1 T Q 0 - - - - - - - - - 1 0 0 200 0 2 300 0 2 300 2 0 0 100 1 0 300 1 3 450 3 0 0 150 2 0 450 4 0 0 300 5 0 0 450
Arco seleccionado (1,2) (2,3) e xy 6 4 (s) 6 10
F (s) 48 44 Rutas formadas (1,2);(3);(4);(5) (1,2,3);(4);(5)
Tachar E[eij]
Fila 1 2 Columna 2 3
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
236
En esta tabla es donde se tabulan los resultados de una forma completa y en la tabla
7.4 se muestra el trabajo con la matriz E y las demandas de cada establecimiento que
también se integran a la tabla 7.3.
Tabla 7.4. Matriz E
La inversión es ventajosa ya que solo se necesitan 3 triciclos para el reparto del pan.
Esto se determinó por el número de rutas que arrojan los resultados del problema, las
cuales son: (0,1, 2, 3, 0) en la que se recorren 2000m; (0, 4, 0) en la que se recorren
400m y (0, 5, 0) en la que se recorren 2000m.
La red de solución se muestra en la figura 7.4
Figura 7. 4. Rutas formadas para el caso del ejemplo 7.1.
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
237
7. 4. Ejercicio resuelto
La Pasteurizadora del municipio de Placetas distribuye yogurt a dos escuelas, tres
círculos infantiles y un hospital, para ello dispone de un camión con capacidad para 500
canastas. Las que a su vez pueden contener 12 botellas de un litro cada una. La
demanda semanal de botellas de litro de yogurt se muestra en la tabla 7.5. Además se
conocen las distancias entre la empresa y sus clientes y la de sus clientes entre sí, tal
como se muestra en la tabla 7.6. Distancia de ir igual a la de regresar.
Determinar cuál es la ruta de distribución más adecuada para que la empresa pueda
llevar el yogurt a sus clientes.
Tabla 7.5. Demanda
Demanda X1 X2 X3 X4 X5 X6
Botellas (lts) 1956 4728 4704 780 1008 2400
Tabla 7.6. Matriz de distancia (km)
Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 Xo - X1 30 X2 26 24 X3 13 29 17 X4 14 31 35 24 X5 20 24 25 19 33 X6 22 18 49 14 21 16
Solución:
1. A partir de la matriz D = dij de las distancias, construir la matriz E = eij de las
separaciones.
Utilizando la fórmula (7.19) se calculan los valores de eij para los diferentes puntos,
obteniendo como resultado la matriz de separación que se muestra en la tabla 7.7.
2. Tomar la margarita como solución inicial.
Utilizando la fórmula (7.19)
F (S0) = 2 [30 + 26 + 13 + 14 + 20 + 22] = 250
La distancia total a recorrer es de 250 km, considerando que en cada ruta se visita a
un solo cliente.
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
238
Tabla 7.7. Matriz de separación
Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 Xo -∞ 0 0 0 0 0 0 X1 -∞ -32 14 13 26 34 X2 -∞ 22 9 11 30 X3 -∞ 3 14 21 X4 -∞ 1 15 X5 -∞ 26 X6 -∞
3. Aplicar la rutina general
La mayor separación en la matriz de separaciones es 34, la que corresponde al arco
X16. Como la separación es mayor que cero se pasa a (3.2) cumpliendo con que:
163 + 200 = 363 C = 500. Como la capacidad (500) es mayor que la carga entre los
dos puntos (363), entonces se pasa a 3.3, de lo contrario se hace exy = -∞ y se pasa a
3.1. Se declara al arco (1, 6) aceptado donde entre otras cosas se tacha la fila de x1 y la
columna de x6. Esto será la iteración #1 luego de la cual se retorna a (3.1).
Tabla 7.8. Resultados del ejercicio resuelto
Xi Iteraciones 0 1 2
T-1 T Q T-1 T Q T-1 T Q 0 - - - - - - - - - 1 0 0 163 0 0 363 0 6 363 2 0 0 394 0 0 394 0 0 394 3 0 0 392 0 0 392 0 0 476 4 0 0 65 0 0 65 0 5 65 5 0 0 84 0 0 84 4 0 476 6 0 0 200 1 0 363 1 0 363
Arco seleccionado (1,6) (4,5) e xy 34 1 (s) 34 35
F (s) 216 215 Rutas formadas (0,1,6,0),
(0,2,0),(0,3,0),(0,4,0), (0,5,0)
(0,1,6,0), (0,2,0),(0,3,0),(0,4,
,5,0) Tachar E[eij]
Fila 1 4 Columna 6 5
La tabla 7. 8 muestra el procedimiento que se aplicó para la segunda iteración.
Las rutas formadas se muestran en la figura 7.5
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
239
Figura 7.5 Rutas formadas para el caso del ejercicio resuelto.
7.5. Ejercicios propuestos
1. La cadena ideal desea distribuir arroz desde el almacén central hasta los 6 puntos
de venta ubicados en la ciudad de Santa Clara, para realizar esta tarea, dispone de
un camión con capacidad de 7 000 kg. El almacén central puede satisfacer las
cantidades demandadas por los puntos de venta.
La distancia que existe entre el almacén central y cada uno de los puntos de venta,
como también, la distancia entre cada punto de venta se muestra en la tabla 7.19
Tabla 7.9 Matriz de distancias
Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 Q Xo - 0 X1 12 - 11 X2 7 15 - 15 X3 14 11 9 - 10 X4 8 6 7 13 - 16 X5 10 16 12 9 6 - 18
X6 5 10 8 7 9 10 - 12
El administrador de la cadena desea conocer la mejor ruta de distribución del arroz
en la ciudad.
2. La planta de oxígeno del municipio de Santa Clara desea distribuir balones de
oxígeno desde su planta de producción hacia 6 clientes fijos de la región.
Se dispone de un camión, cuya capacidad es de 400 balones y se conoce la
demanda de los 6 clientes, la cual puede ser satisfecha por la empresa.
1 4 5
6
0
2
3
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
240
En la tabla 7.10se presenta la distancia en kilómetros que existe entre cada uno de
los clientes fijos y entre éstos y la planta de producción, siendo la distancia de ida
igual a la de regreso.
Tabla 7.10 Matriz de distancia
Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 Q Xo __ 12 18 9 13 6 8 __ X1 12 __ 11 8 16 7 6 153 X2 18 11 __ 4 14 14 18 100 X3 9 8 4 __ 11 5 8 75 X4 13 16 14 11 __ 19 15 178 X5 6 7 14 5 19 __ 6 93 X6 8 6 18 8 15 6 __ 160
El director de la planta quiere saber la mejor ruta para realizar la distribución de los
balones de oxígeno a los clientes.
3. Desde el almacén de la fábrica de helados Periquín se pretende distribuir potes de
helado a seis puntos de venta ubicados en la cayería norte de la provincia de Villa
Clara. La fábrica tiene disponible un camión con capacidad de 4 000 potes de
helado o lo que es igual 800 cajas por viaje, además se conoce la demanda de cada
punto de venta, la cual se está dispuesta a satisfacer.
En la tabla 7.11se muestra la distancia que existe entre cada uno de los puntos de
venta y entre éstos y la fábrica.
Tabla 7.11 Matriz de distancia
Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 Q
Xo __ 0 0 0 0 0 0 0 X1 0.8 __ 1200 X2 0.8 0.8 __ 900 X3 0,7 1,2 1,5 __ 2200 X4 1,0 1,4 1,7 9,8 __ 2000 X5 1,4 1,8 1,9 0,8 0,8 __ 1500 X6 2 2,2 2 1 0.8 0.8 __ 1000
La distancia de ida y vuelta está dada en km. Y en la parte derecha se observa la
demanda total en cada punto de venta o supermercado.
Encontrar las posibles rutas de tal modo que se minimice el recorrido empleando el
algorítmo de la margarita.
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
241
4. Un vendedor de frutas por cuenta propia acaba de abrir un negocio en La Habana y
tiene que recorrer desde su organopónico seis municipios de la ciudad: Playa,
Plaza, Centro Habana, Habana vieja, Marianao y la Víbora, que son los municipios
donde actualmente ha conseguido clientes. El vendedor cuenta con un motor, el
cual tiene una resistencia máxima de 170 kg.
En la matriz de distancia que se muestra en la tabla 7.12 se ilustra la distancia en
metros que existe entre el organopónico y cada uno de los municipios, así como la
demanda en kg en cada uno de estos municipios. En esta matriz la distancia de ir,
es igual a la distancia de regresar. ¿Cuál debe ser la ruta seguida por el vendedor
diariamente?
Tabla 7.12 Matriz de distancias
Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 Q Xo - X1 20 - 30 X2 10 10 - 50 X3 25 25 15 - 80 X4 10 30 20 20 - 25 X5 15 35 25 45 25 - 32 X6 15 35 25 45 25 10 - 45
5. Un camión distribuidor de azúcar, debe repartir este producto desde una refinería
hasta 6 grandes supermercados. El camión cuenta con una capacidad para 700 kg.
Además se tiene determinada la demanda en cada uno de los supermercados, la
cual puede ser satisfecha por la refinería.
Tabla 7.13. Matriz de distancia (en cientos de metros)
Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 Q Xo X1 15 230 X2 17 21 180 X3 26 23 28 300 X4 19 25 22 11 200 X5 41 13 18 33 20 250 X6 24 32 40 29 19 27 140 La distancia entre cada uno de los supermercados, así como entre éstos y la
refinería se muestra en la tabla 7.13, siendo la distancia de ida igual a la de regreso.
Determinar la forma de hacer el recorrido empleando el algoritmo de la margarita.
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
242
7.6. Preguntas de autoevaluación
1. Defina el término rutas de distribución.
2. ¿En qué consiste el problema de ruteo de vehículos (VRP)?
3. Diga cuáles son los casos particulares del VRP y las características de cada uno.
4. ¿Cuáles son los métodos fundamentales para resolver el problema de ruteo de
vehículos y explique las características de cada uno?
5. ¿En qué consiste el método de la Margarita?
6. Ponga ejemplos de la vida práctica en que se pueda aplicar el método de la
Margarita.
7.7. Bibliografía consultada
1. Calvo Reyes, Yanesey (2009). Procedimiento general para el ruteo de vehículos en
la distribución de productos. Aplicación parcial en la Pasteurizadora Placetas.
Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: Trabajo de diploma para la
culminación de los estudios en Ingeniería Industrial. [Consultado el 27 de abril de
2011].
2. Cespón Castro, R.; Amador Orellana, M. A. (2003). Administración de la Cadena de
Suministros. Manual para estudiantes de la especialidad de Ingeniería Industrial.
Universidad Tecnología Centroamericana de Honduras. UNITEC.
3. Delgado Sobrino, D. R. (2009). Procedimiento general para el diseño, implantación y
control de rutas en cadenas de productos lácteos. Aplicación a la distribución de
productos de la Pasteurizadora de Sancti Spiritus. Universidad Central Marta Abreu
de Las Villas: Tesis en opción al grado académico de Master en Ingeniería Industrial,
Mención Logística. [Consultado el 27 de abril de 2011].
4. González Méndez, L. y Felipe Valdés, Pilar (1977). Introducción a la teoría y
aplicaciones de las redes. Editorial pueblo y educación.
5. Yahoo Respuestas. (2011) ¿Qué es heurística?, disponible en:
mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070306203536AABafDW…
[Consultado el 30 de abril de 2011].
6. NEO. (2011). The VRP Web, disponible en: http://neo.lcc.uma.es/radi-aeb/webVRP
[Consultado el 30 de abril de 2011].
7. Suárez Aguilera, A.; Felipe Valdés, P. y Pérez Cordero, B. M. (2002). Enfoque
cuantitativo para decisiones de distribución. Universidad de la Habana, disponible en:
CAPÍTULO VII: RUTAS DE DISTRIBUCIÓN
243
http://www.gestiopolis.com/marketing/decisiones-de-distribucion-y-logistica.htm.
[Consultado el 30 de abril de 2011].
244
APÉNDICE 1. GENERALIDADES DEL MODELADO
Un modelo es una representación de la realidad desarrollado con el propósito de
estudiarla. En la mayoría de los análisis no es necesario considerar todos los detalles
de la realidad, entonces, el modelo no sólo es un sustituto de la realidad sino también
una simplificación de ella. Tomando en cuenta las herramientas que se utilizan, una
clasificación de los modelos daría como resultado:
Modelos icónicos
Son los modelos físicos que se asemejan al sistema real, generalmente manejados en
otra escala.
Modelos análogos
Son los modelos en los que una propiedad del sistema real se puede sustituir por una
propiedad diferente que se comporta de manera similar.
Modelos simbólicos
Son aquéllos en los que se utiliza un conjunto de símbolos en lugar de una entidad
física para representar a la realidad.
Los modelos simbólicos, dentro de los cuales se encuentran los modelos de simulación,
se clasifican a su vez en:
Modelos determinísticos
En estos modelos, los valores de las variables no se ven afectados por variaciones
aleatorias y se conocen con exactitud. Un ejemplo es el modelo de inventarios
conocido como lote económico.
Modelos estocásticos o probabilísticos
Los valores de las variables dentro de un modelo estocástico sufren modificaciones
aleatorias con respecto a un valor promedio; dichas variaciones pueden ser manejadas
mediante distribuciones de probabilidad. Un buen número de estos modelos se pueden
encontrar en la teoría de líneas de espera.
Modelos dinámicos
La característica de estos modelos es el cambio que presentan las variables en función
APÉNDICE 1. GENERALIDADES DEL MODELADO
245
del tiempo; son ejemplo de éstos los modelos de series de tiempo, pronósticos y
programación dinámica.
Modelos estáticos
En este tipo de modelos no se maneja la variable tiempo, esto es, representan a un
sistema en un punto particular del tiempo; son ejemplo los modelos de programación
lineal.
Modelos continuos
Son modelos en los que las variables pueden tomar valores reales y manejarse
mediante las técnicas de optimización clásica. Son ejemplos los modelos para el
estudio de fluidos, intercambio de calor, etcétera.
Modelos discretos
Las variables del sistema toman valores sólo en el rango de números enteros. Por
ejemplo, los modelos que representen la producción de piezas en una empresa metal-
mecánica.
Independientemente de la clasificación de un modelo, existe una tendencia a
seleccionarlos dependiendo de ciertas características, las cuales hacen más deseables
algunos modelos sobre otros. La lista siguiente muestra las características principales
que debe tener todo modelo:
Confiabilidad.
Sencillez.
Bajo costo de desarrollo y operación.
Manejabilidad.
De fácil entendimiento, tanto el modelo como los resultados.
La relación costo-beneficio debe ser positiva.
246
APÉNDICE 2. TABLAS DE P0 Y L PARA MODELOS DE COLA: M/M/S, ∞
APÉNDICE 2. TABLAS DE P0 Y L PARA MODELOS DE COLA: M/M/S, ∞
247
248
APÉNDICE 3. TABLAS DE DISTRIBUCION NORMAL
APÉNDICE 3. TABLAS DE DISTRIBUCION NORMAL
249
250
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
Por su complejidad y alcance, los trabajos de modelación raramente pueden
emprenderse por especialistas trabajando individualmente. El trabajo interdisciplinario
es imprescindible, e incluso, dentro de una misma especialidad pueden requerirse
especialistas en diferentes ramas; pero lo que caracteriza el trabajo multidisciplinario en
este tipo de tareas es normalmente, la necesidad de especialistas matemáticos en
Investigación de Operaciones y/o Estadística, y la necesidad de especialistas de la
materia objeto de modelación y directivos del sistema formando parte de un " team",
"equipo" o "grupo" de modelación".
Así, el equipo de modelación está compuesto esencialmente de tres grupos de
profesionales:
1. Directivos y especialistas de la materia.
2. Matemáticos que actúan como analistas desde el punto de vista de la Investigación
de Operaciones o la Estadística.
3. Analistas de sistemas, programadores, o especialistas en Ciencias de la
Computación en sí.
En dependencia de la complejidad de la tarea, el equipo de modelación puede
descomponerse en varios grupos, que atiendan la modelación y la programación de
determinados "bloques", "subsistemas", u "objetos". En este caso, los programadores,
como "codificadores" pueden estar organizados "ad-hoc", subordinados a diferentes
subgrupos en cada momento bajo la dirección de analistas o de un "programador
principal". La organización de la programación a su vez, puede ser automatizada
optimizándola con técnicas de ruta crítica, que además actualizan los costos de la labor
en una forma efectiva. Pueden utilizarse herramientas como el Microsoft Project.
La dirección y control de todo este proceso, así como la validación de la modelación y
la decisión en cada momento sobre el desarrollo sucesivo exigen la definición de un
"equipo de control". En principio este "equipo" puede tener la misma estructura
profesional que cada "equipo de modelación" pero es imprescindible que al menos el
representante de los directivos y de los especialistas de la materia tenga autoridad
administrativa. Se requiere además que el analista, especialista en Investigación de
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
251
Operaciones / Estadística de este equipo tenga la formación más versátil posible. El
"analista de este equipo" actúa como "programador principal" coordinando tareas y el
programador de este equipo de control es el responsable de ejecutar las pruebas de
validación a ciegas con los restantes programadores.
El nivel de conocimiento del sistema, la visión general de la modelación y los detalles
de sus pasos por cada miembro del equipo de modelación y del equipo de control
puede ser diferente, de acuerdo a sus funciones. A continuación, se proporciona una
tabla que puede ayudar a la conformación óptima de estos equipos.
Tabla A3.1. Conformación óptima de los equipos de modelación
Equipo de Modelación Equipo de control Dirección más arriba A B C D E F
Conceptos X X X X X + + Visión general del proceso
X X + X X + +
Modelo + X + + X + Análisis de Sistema + X X + + X Progra-mación de la modelación
+ + X + + X
Prueba o validación X + + X X X X: necesario +: Preferible
Leyenda:
A: Directivos o Especialistas de la Materia
B: Especialistas de Investigación de Operaciones o Estadística
C: Analistas de Sistemas y Programadores
D: Directivos o Especialistas de la Materia
E: Especialistas de Investigación de Operaciones o Estadística
F: Analistas de Sistemas y Programadores.
Se incluye en la tabla anterior la dirección "más arriba" que se supone que es la que
financia o autoriza la modelación.
Vistos estos elementos sobre el trabajo en grupos es necesario analizar algunos
métodos para recolectar datos e informaciones.
¿CÓMO RECOLECTAR DATOS?
Una vez que seleccionamos el diseño de investigación apropiado y la muestra
adecuada de acuerdo con nuestro problema de estudio e hipótesis, la siguiente etapa
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
252
consiste en recolectar los datos pertinentes sobre las variables involucradas en la
investigación.
Recolectar los datos implica tres actividades estrechamente vinculadas entre si:
a. Seleccionar un instrumento de medición de los disponibles en el estudio del
comportamiento o desarrollar uno (el instrumento de recolección de los datos).
Este instrumento debe ser válido y confiable, de lo contrario no podemos basarnos
en sus resultados.
b. Aplicar ese instrumento de medición. Es decir, obtener las observaciones y
mediciones de las variables que son de interés para nuestro estudio (medir
variables).
c. Preparar las mediciones obtenidas para que puedan analizarse correctamente (a
esta actividad se le llama codificación de datos).
ESCALAS DE MEDICIÓN
Todo problema de investigación científica, aún el más abstracto, implica de algún modo
una tarea de medición de los conceptos que intervienen en el mismo. Porque si
tratamos con objetos como una especie vegetal o un comportamiento humano nos
veremos obligados ya sea a describir sus características o a relacionarse éstas con
otras con las que pueden estar conectadas: en todo caso tendremos que utilizar
determinadas variables –tamaño, tipo de flor, semilla, o las variables que definan el
comportamiento de estudio- y tendremos que encontrar el valor que éstas asumen en el
caso estudiado. En eso consiste, desde el punto de vista lógico más general, la tares
de medir.
La idea de medición, de medida, es intrínsicamente comparativa. Medir algo, en el caso
más sencillo, es determinar cuantas veces una cierta unidad o patrón de medida, cabe
en el objeto a medir. Para medir la longitud de un objeto físico nosotros desplazamos
una regla o cinta graduada sobre el mismo, observando cuantas unidades (en este
caso centímetros o metros) abarca el objeto en cuestión. Es decir que comparamos el
objeto con nuestro patrón de medición para determinar cuántas unidades y fracciones
del mismo incluye.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
253
La medición de variables no físicas resulta, en esencia, un proceso idéntico al anterior.
La dificultad reside en que las variables de este tipo no pueden medirse con escalas tan
sencillas como las lineales y en que, por otra parte, no existen para su comparación
patrones de medida universalmente definidos y aceptados. Si deseamos medir el peso
de un objeto podremos expresar el valor del mismo en kilogramos, libras o cualquier
unidad que, de todas maneras, tiene un equivalente fijo y constante con las otras que
utilizan. En cambio para medir el grado de autoritarismo de un dirigente no existe ni una
unidad ni una escala generalmente reconocidas, por lo que el investigador se ve
obligado a elegir alguna escala de las que se han utilizado en otros trabajos o, lo que
es bastante frecuente, a construir una adaptada a sus necesidades específicas. Resulta
evidente, además, que el grado de autoritarismo no es una variable simple como el
peso y la longitud, sino una resaltante compleja de una multitud de acciones y actitudes
parciales. Por esta razón, medir un concepto complejo implica realizar una serie de
operaciones que no tienen lugar en el caso de variables como el peso o la longitud;
será necesario definir las dimensiones que integran la variable, encontrar indicadores
diversos que la reflejen y construir luego una escala apropiada para el caso.
Una escala puede concebirse como un continuo de valores ordenados correlativamente
que admite un punto inicial y otro final. Si evaluamos el rendimiento académico de
estudiantes podemos asignar el valor cero al mínimo rendimiento imaginable al
respecto; al mayor rendimiento posible podemos atribuirle un valor de 100, 20, 10 o 7
puntos, según resulte más práctico. Con estos dos valores tendríamos ya marcados los
límites de nuestra escala; para concluir de confeccionarla será necesario asignar a los
posibles rendimientos intermedios puntajes también intermedios. Con ello obtendremos
una escala capaz de medir la variable rendimiento académico a través de los
indicadores concretos de los trabajos presentados por los estudiantes, de sus
exámenes, pruebas y otras formas de evaluación posibles.
Para que una escala pueda considerarse como capaz de aportar información objetiva
debe reunir los dos siguiente requisitos básicos:
a. Confiabilidad: se refiere a la consistencia interior de la misma, a su capacidad para
discriminar en forma constante entre un valor y otro."Cabe confiar en una escala –
anotan Goode y Hatt- cuando produzca constantemente los mismos resultados al
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
254
aplicarla a una misma muestra", es decir, cuando siempre los mismos objetos
aparezcan valorados en la misma forma.
b. Validez: indica la capacidad de la escala para medir las cualidades para las cuales
ha sido construida y no otras parecidas. Una escala confusa no puede tener
validez, lo mismo que en una escala que esté midiendo, a la vez e
indiscriminadamente, distintas variables superpuestas. "Una escala tiene validez
cuando verdaderamente mide lo que afirma medir".
Existen diferentes tipos de escalas que se distinguen de acuerdo a la rigurosidad con
que han sido construidas y al propio comportamiento de las variables que miden. Se
acostumbra a clasificarlas en cuatro tipos generales que son los siguientes: escalas
nominales, ordinales, de intervalos iguales y de cocientes o razones.
Escalas nominales son aquellas en que sólo se manifiesta una equivalencia de
categorías entre los diferentes puntos que asume la variable. Es como una simple lista
de las diferentes posiciones que pueda adoptar la variable, pero sin que en ella se
defina ningún tipo de orden o de relación. Si es una investigación sobre producción
agrícola queremos determinar los cereales que se cultivan en una cierta región,
tendremos una variable que se designará como "cereal cultivado". Los distintos valores
que esa variable reconoce serán, concretamente: trigo, maíz, centeno, etc. Entre estos
valores no cabe obviamente ninguna jerarquía, no se puede trazar ningún
ordenamiento. Sin embargo, a la enunciación explícita de todas estas posibilidades la
consideramos como una escala, pues de algún modo es útil para medir el
comportamiento de la variable, indicándonos en que posición se halla en cada caso.
Las escalas ordinales distinguen los diferentes valores de la variable jerarquizándolos
simplemente de acuerdo a un rango. Establecen que existe una gradación entre uno y
otro valor de la escala, de tal modo que cualquiera de ellos es mayor que el precedente
y menor que el que le sigue a continuación. Sin embargo la distancia entre un valor y
otro no queda definida sino que es indeterminada. En otras palabras, tales escalas nos
esclarecen solamente el rango que las distintas posiciones guardan entre sí. Un
ejemplo de escala ordinal es el que suele usarse para medir la variable "grado de
escolaridad": podemos decir que una persona que ha tenido 2 años de instrucción
escolar ha recibido más instrucción que quien solo tiene un año y menos que quien
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
255
posee tres. Sin embargo no puede afirmarse válidamente que la diferencia entre quien
posee 2 años de instrucción y quien ha recibido un año es igual a la diferencia entre
quienes han recibido 16 y 17años de educación formal. Por tanto, como no podemos
determinar la equivalencia entre las distancias que separan un valor de otro, debemos
concluir que la escala pertenece a la categoría ordinal.
Las escalas de intervalos iguales, además de poseer la equivalencia de categorías y el
ordenamiento interno entre ellas, como en el caso de las ordinales, tienen las
características de que la distancia entre sus intervalos está claramente determinada y
que estos son iguales entre sí. Un ejemplo típico de las escalas de intervalos iguales
esta dado por las escalas termométricas. Entre 23 y 24 grados centígrados, por
ejemplo, existe la misma diferencia que hay entre 45 y 46 grados. Muchas otras
escalas, como las que se utilizan en los test psicológicos y de rendimiento, pertenecen
a este tipo. La limitación que poseen es que no definen un cero absoluto, un valor límite
que exprese realmente la ausencia completa de la cualidad medida. Por ello no se
pueden establecer equivalencias matemáticas como las de la proporcionalidad: no
puede afirmarse que 24° C es el doble de temperatura que 12° C, porque el cero de la
escala es un valor arbitrario y no se corresponde con la ausencia absoluta de la
variable que se mide.
Por último tenemos las escalas de cocientes, llamadas también de razones. En ellas se
conservan todas las propiedades de los casos anteriores pero además se añade la
existencia de un valor cero real, con lo que se hacen posibles ciertas operaciones
matemáticas, tales como la obtención de proporciones y cocientes. Esto quiete decir
que un valor de 20 en una escala de este tipo es el doble de un valor de 10, o de las
dos terceras partes de un valor de 30. Son escalas de cocientes las que miden la
longitud, la masa, la intensidad de corriente eléctrica y otras variables del mundo físico.
Difícilmente las variables que interviene en las ciencias sociales son medidas con
escalas de razones, pues son contados los casos en que dichas variables pueden ser
definidas con la exactitud y precisión necesarias. La economía y la demografía son,
entre estas disciplinas, las que más utilizan escalas de razones.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
256
INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN
Un instrumento de recolección de datos es, en principio, cualquier recurso de que se
vale el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de ellos información. Ya
adelantábamos que dentro de cada instrumento concreto pueden distinguirse dos
aspectos diferentes: forma y contenido. La forma del instrumento se refiere al tipo de
aproximación que establecemos con lo empírico, a las técnicas que utilizamos para
esta tarea. En cuanto al contenido éste queda expresado en la especificación de los
datos que necesitamos conseguir; se concreta, por lo tanto, en una serie de “ítems”que
no son otra cosa que los mismos indicadores que permiten medir las variables, pero
que asumen ahora la forma de pregunta, puntos a observar, elementos a registrar, etc.
De este modo, el instrumento sintetiza en sí toda la labor previa de investigación:
resume los aportes del marco teórico al seleccionar datos que corresponden a los
indicadores y, por lo tanto, a las variables o conceptos utilizados; pero también expresa
todo lo que tiene de específicamente empírico nuestro objeto de estudio pues sintetiza,
a través de las técnicas de recolección que emplea, el diseño concreto escogido para el
trabajo.
Es medianamente una adecuada construcción de los instrumentos de recolección que
la investigación alcanza entonces la necesaria correspondencia entre teoría y hechos;
es más, podríamos decir que es gracias a ellos que ambos términos efectivamente se
vinculan. Si en una investigación los instrumentos son defectuosos se producirán,
inevitablemente, algunas de las dificultades siguientes: o bien los datos recogidos no
servirán para satisfacer los interrogantes iniciales o bien so se podrán obtener los datos
que necesitamos, o vendrán falseados, distorsionados, porque el instrumento no se
adecua al tipo de hechos en estudio. En ambos casos habrá, seguramente, uno o
varios errores en las etapas anteriores del proceso de investigación. Será entonces
necesario volver hacia atrás y revisar las diferentes tareas realizadas, hasta alcanzar
una mejor aproximación al problema.
COMO SE SABE SI UN INSTRUMENTO DE MEDICIÓN ES CONFIABLE Y VÁLIDO
En la práctica es casi imposible que una medición sea perfecta. Generalmente se tiene
un grado de error. Desde luego, se trata de que este error sea el mínimo posible. Es por
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
257
esto que la medición de cualquier fenómeno se conceptualiza con la siguiente formula
básica:
X = t + e
Donde "X" representa los valores observados (resultados disponibles), "t" son los
valores verdaderos y "e" es el grado de error en la medición. Si no hay error de
medición ("e" es igual a cero), el valor observado y el verdadero son equivalentes. Esto
puede verse claramente así:
X = t + 0
X = t
Esta situación representa el ideal de medición. Entre mayor sea el error al medir, el
valor que observamos (en el cual nos basamos) se aleja más del valor real o verdadero.
Por ejemplo, si medimos la motivación de un individuo y esta medición está
contaminada por un grado de error considerable, la motivación registrada por el
instrumento será bastante diferente de la motivación real que tiene ese individuo. Por
ello es importante que el error sea reducido lo más posible.
PROCEDIMIENTO QUE SE SIGUE PARA CONSTRUIR UN INSTRUMENTO DE
MEDICIÓN
Existen diversos tipos de instrumentos de medición, cada uno con características
diferentes. Sin embargo, el procedimiento general para construirlos es semejante.
El procedimiento que sugerimos para construir un instrumento de medición es el
siguiente:
Pasos
a. Listar las variables que se pretende medir u observar.
b. Revisar su definición conceptual y comprender su significado. Por ejemplo,
comprender bien que es la motivación intrínseca y que dimensiones la integran.
c. Revisar como han sido definidas operacionalmente las variables, esto es, como se
ha medido cada variable. Ello implica comparar los distintos instrumentos o maneras
utilizadas para medir las variables (comparar su confiabilidad, validez, sujetos a los
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
258
cuales se les aplicó, facilidad de administración, veces que las mediciones han
resultado exitosas y posibilidad de uso en el contexto de la investigación).
d. Elegir el instrumento o los instrumentos (ya desarrollados) que hayan sido
favorecidos por la comparación y adaptarlos al contexto de la investigación. Para
este caso sólo deben seleccionarse instrumentos cuya confiabilidad y validez se
reporte. No se puede confiar en una forma de medir que carezca de evidencia clara
y precisa de confiabilidad y validez. Cualquier investigación seria reporta la
confiabilidad y validez de su instrumento de medición. Recuérdese que la primera
varía de 0 a 1 para la segunda se debe mencionar el método utilizado de validación
y su interpretación. De no ser así no podemos asegurar que el instrumento sea el
adecuado. Si se selecciona un instrumento desarrollado en otro país, deben
hacerse pruebas piloto más extensas. Tampoco no debe olvidarse que traducir no
es validad un instrumento, por muy buena que sea la traducción.
En este segundo caso, debemos asegurarnos de tener un número suficiente de
“items” para medir todas las variables en todas sus dimensiones. Ya sea que se
seleccione un instrumento previamente desarrollado y se adapte o bien, se
construya uno, éste constituye la versión preliminar de nuestra medición.
e. Indicar el nivel de medición de cada “ítem” y, por ende, el de las variables. Existen
cuatro variables de medición ampliamente conocidos.
1. Nivel de medición nominal. En este nivel se tienen dos más categorías del “ítem”
o variable. Las categorías no tienen orden o jerarquía. Lo que se mide es colocado
en una u otra categoría, lo que indica solamente diferencias respecto a una o más
características. Por ejemplo, las variables sexo de la persona tiene sólo dos
categorías: masculino y femenino. Ninguna de las categorías tiene mayor jerarquía
que la otra, las categorías únicamente reflejan deferencias en la variable. No hay
orden de mayor a menor.
Si le asignamos una etiqueta o símbolo a cada categoría, esto identifica
exclusivamente a la categoría. Por ejemplo:
* = Masculino
z = Femenino
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
259
Si usamos numerales es lo mismo:
1 = Masculino 2 = Masculino
es igual a
2 = Femenino 1 = Femenino
Los números utilizados en este nivel de medición tienen una función puramente de
clasificación y no se pueden manipular aritméticamente. Por ejemplo, la afiliación
religiosa es una variable nominal, si pretendiéramos operarla aritméticamente
tendríamos situaciones tan ridículas como esta:
1 = Católico
2 = Judío 1+2=3
3 = Protestante
4 = Musulmán Un católico + un judío = protestante?
5 = Otros (no tiene sentido)
Las variables nominales pueden incluir dos categorías (dicotómicas), o bien, tres o
más categorías (categóricas). Ejemplos de variables nominales dicotómicas sería el
sexo y el tipo de escuela a la que se asiste (privada – pública); y de nominales
categóricas tendríamos a la afiliación política (Partido A, Partido B,…), la carrera
elegida, la raza, el departamento o provincia o estado de nacimiento y el canal de
televisión preferido.
2. Nivel de medición ordinal. En este nivel hay varias categorías, pero además
éstas mantienen un orden de mayor a menor. Las etiquetas o símbolos de las
categorías sí indican jerarquía. Por ejemplo, el prestigio ocupacional en Estados
Unidos ha sido medido por diversas escalas que reordenan a las profesiones de
acuerdo con su prestigio, por ejemplo:
Valor de escala Profesión
90. Ingeniero químico
80. Científico de ciencias naturales (excluyendo la química)
60. Actor
50. Operador de estaciones eléctricas de potencia.
40. Manufactureros de tabaco
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
260
90 es más que 80, 80 más que 60, 60 más que 50 y así sucesivamente; es decir, los
números (símbolos de categorías) definen posiciones. Sin embargo, las categorías
no están ubicadas a intervalos iguales (no hay intervalo común). No se podría decir
con exactitud que entre un actor (60) y un operador de estaciones de poder (50)
existe la misma distancia en prestigio que entre un científico de ciencias naturales
(80) y un ingeniero químico (90). Aparentemente en ambos casos la distancia es 10,
pero no es una distancia real. Otra escala clasificó el prestigio de dichas profesiones
de la siguiente manera:
Valor de escala Profesión
98. Ingeniero químico
95. Científico de ciencias naturales (excluyendo la química)
84. Actor
78. Operador de estaciones eléctricas de potencia.
13. Manufactureros de tabaco
Aquí la distancia entre un actor (84) y un operador de estaciones (78) es de 6, y la
distancia entre un ingeniero químico (98) y un científico de ciencias naturales (95) es
de 3.
Otro ejemplo sería la posición jerárquica en la empresa:
Presidente 10
Vicepresidente 9
Director general 8
Gerente de área 7
Subgerente o superintendente 6
Jefe 5
Empleado A 4
Empleado B 3
Empleado C 2
Intendencia 1
Se sabe que el presidente (10) es más que el vicepresidente (9), éste más que el
director general (8), a su vez este último más que el gerente (7) y así
sucesivamente; pero no puede precisarse en cada caso canto más. Tampoco
podemos utilizar las operaciones aritméticas básicas: no podríamos decir que 4
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
261
(empleado A) y 5 (jefe) = 9 (vicepresidente), ni que 10 (presidente) / 5 (jefe) = 2
(empleado C). Sería absurdo, no tiene sentido.
3. Nivel de medición por intervalos. Además del orden o jerarquía entre categorías,
se establecen intervalos iguales en la medición. Las distancias entre categorías son
las mismas a lo largo de toda la escala. Hay intervalo constante, una unidad de
medida.
Por ejemplo: una prueba de resolución de problemas matemáticos (30 problemas de
igual dificultad). Si Ana Cecilia resolvió 10, Laura resolvió 20 y Brenda 30. La
distancia entre Ana Cecilia y Laura es igual a la distancia entre Laura y Brenda.
Sin embargo, el cero (0) en la medición, es un cero arbitrario, no es real (se asigna
arbitrariamente a una categoría el valor de cero y a partir de ésta se construye la
escala). Un ejemplo clásico en ciencias naturales es la temperatura (en grados
centígrados y Fahrenheit): el cero es arbitrario, no implica que realmente haya cero
(ninguna) temperatura (incluso en ambas escalas el cero es diferente).
Cabe agregar que diversas mediciones en el estudio del comportamiento humano
no son verdaderamente de intervalo, pero se acercan a ese nivel y se suele tratarlas
como si fueran mediciones de intervalo. Esto se hace porque este nivel de medición
permite utilizar las operaciones aritméticas básicas y algunas estadísticas
modernas, que de otro modo no se usarían. Aunque algunos investigadores no
están de acuerdo en suponer tales mediciones como si fueran de intervalo.
4. Nivel de medición de razón. En este nivel, además de tenerse todas las
características del nivel de intervalos (intervalos iguales entre las categorías y
aplicación de operaciones aritméticas básicas y sus derivaciones), el cero es real,
es absoluto (no es arbitrario). Cero absoluto implica que hay un punto en la escala
donde no existe la propiedad.
Ejemplos de estas mediciones sería la exposición a la exposición a la televisión, el
número de hijos, la productividad, las ventas de un producto y el ingreso. Desde
luego, hay variables que pueden medirse en más de un nivel, según el propósito de
medición. Por ejemplo, la variable "antigüedad en la empresa".
Nivel de medición Categorías
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
262
De razón: En días (0 a K días)
Ordinal: Bastante antigüedad, Antigüedad regular, Poca antigüedad
Es muy importante indicar el nivel de medición de todas las variables e “ítems”de la
investigación, porque dependiendo de dicho nivel se selecciona uno u otro tipo de
análisis estadístico (por ejemplo, la prueba estadística para correlacionar dos
variables de intervalo es muy distinta a la prueba para correlacionar dos variables
ordinales). Así, es necesario hacer una relación de variables, “ítems”y niveles de
medición.
f. Indicar como se habrán de codificar los datos en cada “ítem” y variable. Codificar los
datos significa asignarles un valor numérico que los represente. Es decir, a las
categorías de cada “ítem” y variable se les asignan valores numéricos que tienen un
significado. Por ejemplo, si tuviéramos la variable "sexo" con sus respectivas
categorías, "masculino" y "femenino", a cada categoría le asignaríamos un valor.
Éste podría ser:
Categoría Codificación (valor asignado)
Masculino 1
Femenino 2
Así, Carla Magaña en la variable sexo sería un "2". Luis Gerardo Vera y Rubén
Reyes serían un "1", Verónica Larios un "2" y así sucesivamente.
Otro ejemplo sería la variable "horas de exposición diaria a la televisión", que podría
codificarse de la siguiente manera:
Categoría Codificación (valor asignado)
No ve televisión - 0
Menos de una hora -1
Una hora - 2
Más de un hora, pero menos de dos - 3
Dos horas - 4
Más de dos horas, pero menos de tres - 5
Tres horas - 6
Más de tres horas, pero menos de cuatro - 7
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
263
Cuatro horas - 8
Más de cuatro horas - 9
Es necesario insistir que cada “ítem” y variable deberán tener una codificación
(códigos numéricos) para sus categorías. Desde luego, hay veces que un “ítem” no
puede ser codificado a priori (precodificado) porque es sumamente difícil conocer
cuales serán sus categorías. Por ejemplo, si en una investigación fuéramos a
preguntar: "¿Qué opina del programa económico que recientemente aplico el
gobierno?" Las categorías podrían ser muchas más de las que nos imaginemos y
resultaría difícil predecir con precisión cuantas y cuales serán. En estos casos la
codificación se lleva a cabo una vez que se aplica el “ítem” (a posteriori).
La codificación es necesaria para analizar cuantitativamente los datos (aplicar
análisis estadístico). A veces se utilizan letras o símbolos en lugar de números (*, A,
Z).
g. Una vez que se indica el nivel de medición de cada variable e “ítem” y que se
determina su codificación, se procede a aplicar una "prueba piloto" del instrumento
de medición. Es decir, se aplica a personas con características semejantes a las de
la muestra o población objetivo de la investigación.
En esta prueba se analiza se las instrucciones se comprenden y si los “items”
funcionan adecuadamente. Los resultados se usan para calcular la confiabilidad y,
de ser posible, la validez del instrumento de medición.
La prueba piloto se realiza con una pequeña muestra (inferior a la muestra
definitiva). Los autores aconsejamos que cuando la muestra sea de 200 o más, se
lleve a cabo la prueba piloto con entre 25 y 60 personas. Salvo que la investigación
exija un número mayor.
h. Sobre base de la prueba piloto, el instrumento de medición preliminar se modifica,
ajusta y se mejora, los indicadores de confiabilidad y validez son una breve ayuda, y
estaremos en condiciones de aplicarlo. Este procedimiento general para desarrollar
una medición debe adaptarse a las características de los tipos de instrumentos de
que disponemos en el estudio del comportamiento.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
264
INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN
Existen interesantes instrumentos de medición; algunos de ellos se describen a
continuación.
ENCUESTAS
El diseño encuesta es exclusivo de las ciencias sociales y parte de la premisa de que
si, queremos conocer algo sobre el comportamiento de las personas, lo mejor, lo más
directo y simple, es preguntárselo directamente a ellas. Se trata por tanto de requerir
información a un grupo socialmente significativo de personas acerca de los problemas
en estudio para luego, mediante un análisis de tipo cuantitativo, sacar las conclusiones
que se correspondan con los datos recogidos.
Cuando se recaba información a todas las personas que están involucradas en el
problema en estudio este diseño adopta el nombre de censo. Los censos, por las
dificultades materiales que implica su realización, son casi siempre trabajos de
envergadura, que sólo pueden ser acometidos por los Estados o por instituciones de
muy amplios recursos. Son sumamente útiles porque a través de ellos tenemos una
información general de referencia, indispensable para casi cualquier trabajo de
indagación social posterior. Por la gran cantidad de personas a entrevistar no es factible
en ellos obtener información muy detallada, pues se convertirían en trabajos
desproporcionadamente difíciles de ejecutar y analizar.
En su lugar se emplean las encuestas por muestreo, donde se escoge mediante
procedimientos estadísticos una parte significativa de todo el diverso, que se toma
como objeto a investigar. Las conclusiones que se obtienen para este grupo se
proyectan luego a la totalidad del universo, teniendo en cuenta los errores maestrales
que se calculen para el caso. De esta forma los hallazgos obtenidos a partir de la
muestra pueden generalizarse a todo el universo con un margen de error conocido y
limitado previamente por el investigador.
El método de encuestas ha alcanzado gran popularidad entre los investigadores
sociales, lo que ha llevado a que muchas personas confundan encuestas con
investigación social como si fuera una misma cosa, siendo que en la realidad la
encuesta es sólo uno de los métodos posibles de estudio de la realidad social y que
presenta, como todos los métodos, sus puntos a favor y en contra.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
265
Las principales ventajas que han ayudado a difundir el diseño encuesta son las
siguientes:
1. Su conocimiento de la realidad es primario, no mediado, y por lo tanto menos
engañoso. Al acudir directamente a la gente (a los actores sociales) para conocer su
situación, conducta u opinión, nos precavemos contra una multiplicidad de
distorsiones y nos ponemos a salvo de interpretaciones que pueden estar altamente
teñidas de subjetividad.
2. Como es posible agrupar los datos en forma de cuadros estadísticos se hace más
accesible la medición de las variables en estudio. De esta forma se puede
cuantificar una serie de variables operando con ellas con mayor precisión,
permitiendo el uso de correlaciones y de otros recursos matemáticos; se supera así
una de las dificultades básicas de la investigación social que es su limitada
rigurosidad y la alta posibilidad de errores por un tratamiento poco exacto de los
fenómenos.
3. La encuesta es un método de trabajo relativamente económico y rápido. Si se
cuenta con un equipo de entrevistadores y codificadores convenientemente
entrenado, resulta fácil llegar rápidamente a una multitud de personas y obtener una
gran cantidad de datos en poco tiempo. Su costo, para los casos simples, es
sensiblemente bajo.
En los últimos años después del relativo abuso precedente, la mayoría de los
investigadores ha comprendido que este diseño resulta del valor para determinado tipo
de problemas pero que, en otros casos, aparecen una serie de inconvenientes serios
que le restan validez como diseño. Las desventajas mas frecuentes que se le han
reconocido son:
1. La encuesta recoge la visión que la gente tiene de sí misma; no puede dudarse de
que ésta es siempre una imagen singular y muy subjetiva y que, para algunos
temas, puede ser deliberadamente falsa e imprecisa. No es lo mismo lo que las
personas hacen, sienten o creen, que lo que ellas mismas dicen que hacen, creen o
sienten. Existen algunos recursos para reducir la magnitud de este serio problema,
entre los que se cuentan: omitir algunas preguntas que sabemos la mayoría no
desea o no puede contestar con veracidad, buscar formas indirectas de
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
266
corroboración, prestar cuidadosa atención a la presentación personal del
encuestador, etc. A pesar de estas técnicas de trabajo es imposible eliminar por
completo el fenómeno antes señalado, por lo que el investigador tendrá que tomar
en cuenta, al momento de hacer el análisis, las limitaciones que el mismo acarrea.
2. La encuesta no relata los hechos sociales desde el punto de vista de sus actores;
puede, en este sentido, llegar a una cierta profundidad y sistematicidad, pero resulta
poco apta para reconocer las relaciones sociales ya sean interpersonales o
institucionales.
3. El diseño encuesta es básicamente estático. Tiende, de por sí, a proporcionar una
especie de imagen instantánea de un determinado problema, pero no nos indica sus
tendencias a la variación y menos aún sus posibles cambios estructurales. Esta
característica reduce notablemente su eficacia predictiva, salvo para fenómenos de
bastante simplicidad.
4. El tratamiento de la información es estadístico, lo que supone agrupar a todas las
respuestas dándole a cada una igual peso relativo. Ello puede resultar muy
democrático y útil en ciertos casos, pero casi nunca se corresponde con la realidad
de los hechos sociales, donde el liderazgo y al asimetría de las posiciones sociales
con por lo general la norma.
De los comentarios expuestos puede inferirse cual es el campo de mayor utilidad de
este diseño. Las encuestas resultan apropiadas casi siempre para estudios de tipo
descriptivo, aunque no tanto para los explicativos. Son inadecuadas para profundizar
ciertos aspectos psicológicos o psico - sociales profundos pero muy eficaces para
problemas menos delicados, como los del mercado masivo y las actitudes electorales.
Resultan poco valiosas para determinar tipos de liderazgo y en general todos los
problemas que se refieren más a las relaciones y estructuras sociales que a las
conductas más simples o a los comportamientos, actitudes y opiniones masivas, donde
sí adquieren mayor eficacia.
La lógica de la verificación mediante encuestas se basa naturalmente en la correlación
estadística que presentan las distribuciones de frecuencias (o los porcentajes) de dos o
más variables sobre las cuales se supone que existen relaciones de determinación. De
este modo se puede inferir si existe o no una asociación entre los valores de las
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
267
mismas, con lo cual queda establecida una cierta relación. Determinar, más allá de
esto, el tipo de relación que se ha detectado y el grado de influencia que ejerce una
sobre otra requiere de otras nuevas pruebas que no siempre es posible realizar por
medio de este diseño.
ENTREVISTA
La entrevista, desde el punto de vista del método, es una forma específica de
interacción social que tiene por objeto recolectar datos para una indagación. El
investigador formula preguntas a las personas capaces de aportarle datos de interés,
estableciendo un diálogo peculiar, asimétrico, donde una de las partes busca recoger
informaciones y la otra es la fuente de esas informaciones. Por razones obvias sólo se
emplea, salvo raras excepciones, en las ciencias humanas.
La ventaja esencial de la entrevista reside en que son los mismos actores sociales
quienes proporcionan los datos relativos a sus conductas, opiniones, deseos, actitudes
y expectativas, cosa que por su misma naturaleza es casi imposible de observar desde
fuera. Nadie mejor que la misma persona involucrada para hablarnos acerca de todo
aquello que piensa y siente, de lo que ha experimentado o proyecta hacer.
Pero existe un inconveniente de considerable peso que reduce y limita los alcances de
esta técnica. Cualquier persona entrevistada podrá hablarnos de aquello que le
preguntemos pero siempre nos dará la imagen que tiene de las cosas, lo que cree que
son, a través de toda su carga subjetiva de intereses, prejuicios y estereotipos. La
propia imagen que el entrevistado tiene de sí mismo podrá ser radicalmente falsa y, en
todo caso, estará siempre idealizada de algún modo, distorsionada, mejorada o
retocada según factores que no es del caso analizar aquí, pero que nunca podemos
prever en detalle.
Este problema nos obliga a dejar fuera de esta técnica a un campo considerable de
problemas y de temas que, por lo anterior, son explorados mejor por medio de otros
procedimientos que resultan más confiables. Por otra parte nos obliga a utilizar, a
veces, caminos indirectos, mediante preguntas que alcancen nuestro objetivo
elípticamente, utilizando todo tipo de rodeos. Es clásico de ejemplo de que las
personas nunca contestan la verdad respecto a sus ingresos personales en dinero, ya
sea porque los disminuyen (ante el temor de estar frente a algún tipo de inspector de
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
268
impuestos), o porque los aumentan (con fines de ostentación social o para reforzar su
autoestima). Tal como en este caso, el lector podrá imaginar una amplia variedad de
preguntas a las que los entrevistados sólo nos proporcionarían respuestas inexactas o
falsificadas, cuando no una reacción adversa que interrumpa toda comunicación.
Para que una entrevista obtenga éxito es preciso prestar atención a una serie de
factores aparentemente menores, pero que en la práctica son decisiones para un
correcto desarrollo del trabajo. Así, es importante que la apariencia exterior del
entrevistador resulte adecuada al medio social donde habrá de formular sus preguntas,
evitando innecesarias, reacciones de temor, agresividad o desconfianza. El
entrevistador, aparte de este aspecto formal, deberá ser una persona de por lo menos
una cultura media, que comprenda el valor y la importancia de cada dato recogido y la
función que su trabajo desempeña en el conjunto de la investigación. Tendrá que ser
mentalmente ágil, no tener prejuicios marcados frente a ninguna categoría de personas
y, sobre todo, ser capaz de dejar hablar libremente a los demás, eliminando por
completo todo intento de convencerlos, apresurarlos, o agredirlos por sus opiniones. La
entrevista deberá realizarse a las horas más apropiadas para las personas que
responden, teniendo en cuenta que su posible duración no afecte la confiabilidad de los
datos.
Queremos destacar que las entrevistas no son excluyentes con respecto a las técnicas
de observación, ya que ambos procedimientos pueden ser combinados sin ninguna
dificultad, tratando precisamente de compensar sus ventajas y desventajas, con lo que
se puede lograr una información mucho más confiable y amplia. Así, en muchas
encuestas, hay datos que el entrevistador recoge mediante la observación y no
mediante preguntas, como por ejemplo las características de la vivienda, la edad del
responderte, etc.
Parece apropiado, además, despejar aquí la confusión que siempre vincula a las
entrevistas con las encuestas. Ni ellas son la misma cosa aunque las encuestas se
realicen generalmente por medio de entrevistas ni ambas son técnicas diferentes
aplicables a distintos casos. La encuesta, es un modelo general de investigación, un
diseño o método, que se apoya fundamentalmente en una técnica de recolección que
es la entrevista, aunque también utiliza observaciones y datos secundarios. Además
pueden utilizarse entrevistas en otros tipos de diseños, como en los estudios de caso y
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
269
experimentos, sin que por ello estemos en presencia de una encuesta. Lo que
vulgarmente se llama entrevista no estructurada y lo que suele llamarse encuesta es
igual a lo que denominamos, en metodología científica, entrevista estructurada. Por eso
no tiene sentido hablar de entrevistas y encuestas como dos técnicas diferentes sino de
entrevistas estructuradas o no que se aplican dentro de determinados diseños de
investigación: encuestas, estudios de caso, etc.
Pasando ahora a la clasificación de los diversos tipos de entrevistas diremos que ellas
pueden ordenarse como una serie, de acuerdo principalmente a un elemento: su grado
de estructuración o formalización. Las entrevistas más estructuradas serán aquellas
que predeterminan en una mayor medida las respuestas a obtener, que fijan de
antemano sus elementos con más rigidez, mientras que las entrevistas informales
serán precisamente las que discurran de un modo más espontáneo, más libre, sin
sujetarse a ningún canon preestablecido. Los distintos tipos de entrevista quedan
expuestos a continuación:
Entrevistas no estructuradas
De un modo general, una entrevista no estructurada o no formalizada es aquella en que
exista un margen más o menos grande de libertad para formular las preguntas y las
respuestas. No se guían por lo tanto por un cuestionario o modelo rígido, sino que
discurren con cierto grado de espontaneidad, mayor o menor según el tipo concreto de
entrevista que se realice. Entre estos tenemos los siguientes:
Entrevista informal: es la modalidad menos estructurada posible de entrevista ya que
la misma se reduce a una simple conversación sobre el tema de estudio. Lo importante
no es aquí definir los límites de lo tratado ni ceñirse a algún esquema previo, sino
"hacer hablar" al entrevistado, de modo de obtener un panorama de los problemas más
salientes, de los mecanismos lógicos y mentales del responderte, de los temas que
para él resultan de importancia. Es de gran utilidad en estudios exploratorios y
recomendable cuando se trata de abordar realidades poco conocidas por el
investigador, también suele utilizarse en las fases iniciales –aproximativas- de
investigación de cualquier naturaleza, recurriendo a informantes claves que pueden ser
expertos sobre el tema en estudio, líderes formales o informales, personalidades
destacadas o cualquier persona que, en general, posea informaciones de particular
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
270
interés para la indagación. Lo más importante, en este tipo de entrevista, es dar al
responderte la sensación clara y definida de que puede hablar libremente, alentándolo
y estimulándolo para que lo haga y cuidando de no influirlo demasiado con nuestras
actitudes o las palabras que decimos.
Entrevista focalizada: es prácticamente tan libre y espontánea como la anterior, pero
tiene la particularidad de concentrarse en un único tema. El entrevistador deja hablar
sin restricciones al entrevistado, proponiéndole apenas algunas orientaciones básicas
pero, cuando éste se desvía del tema original y se desliza hacia otros distintos, el
entrevistador vuelve a centrar la conversación sobre el primer asunto, y así
repetidamente. Se emplea normalmente con el objeto de explorar a fondo alguna
experiencia vivida por el entrevistado o cuando nuestros informantes son testigos
presénciales de hechos de interés, por lo que resulta adecuado a la vez insistir sobre lo
mismo, pero dejando entera libertad para captarlos en toda su riqueza. Esto ocurre
también cuando se trata de interrogar a los actores principales de ciertos hechos o a
testigos históricos. Tal tipo de entrevista requiere de gran habilidad en su desarrollo
para evitar tanto la dispersión temática como caer en formas más estructuradas de
interrogación.
Entrevistas por pautas o guías: son aquellas, ya algo más formalizadas, que se guían
por una lista de puntos de interés que se van explorando en el curso de la entrevista.
Los temas deben guardar una cierta relación entre sí. El entrevistador, en este caso,
hace muy pocas preguntas directas, y deja hablar al responderte siempre que vaya
tocando alguno de los temas señalados en la pauta o guía. En el caso de que éste se
aparte de ellos, o que no toque alguno de los puntos en cuestión, el investigador
llamará la atención sobre ellos, aunque tratando siempre de preservar en lo posible la
espontaneidad de la interacción. Se usan en situaciones parecidas a las anteriores y
cuando se presentan casos en que los sujetos investigados prefieren más un desarrollo
flexible que un rígido por sus propias actitudes culturales o necesidades personales.
Son un complemento magnífico de las entrevistas más estructuradas que se realizan en
la encuestas por muestreo, pues permiten añadir a éstas un tipo de información más
subjetiva o profunda que facilita el análisis de los otros datos.
Todas estas formas de entrevistas, que tienen en común su poca formalización, poseen
la ventaja de permitir un diálogo más profundo y rico, de presentar los hechos en toda
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
271
su complejidad, captando no sólo las respuestas a los temas elegidos sino también las
actitudes, valores y formas de pensar de los entrevistados, a veces inaccesibles por
otras vías. Su principal inconveniente radica en que es poco práctico sistematizar un
gran número de entrevistas de este tipo, organizándolas estadísticamente, pues
pueden tener muy pocos puntos de contacto entre sí. Otra dificultad que no debe
omitirse es su costo, pues involucran la presencia de personal altamente especializado
durante tiempos relativamente largos.
Los problemas de registro pueden ser importantes, pues existe un gran número de
palabras que es casi imposible registrar en su totalidad. Pueden utilizarse grabadores
para solventar este inconveniente, aunque es preciso determinar previamente si la
presencia de tales aparatos cohíbe o no a los informantes. En todo caso es preciso
realizar un esfuerzo especial para transcribir, organizar e interpretar cada una de las
entrevistas realizadas, de modo de que sus datos puedan sintetizarse, posteriormente,
en una forma adecuada.
Entrevistas formalizadas
Estas se desarrollan en base a un listado fijo de preguntas cuyo orden y redacción
permanece invariable. Comúnmente se administran a un gran número de entrevistados
para su posterior tratamiento estadístico. Por este motivo es la forma de recolección de
datos más adecuada para el diseño de encuesta, tanto que a veces provoca
confusiones entre instrumento y método.
Entre sus ventajas principales mencionaremos su rapidez y el hecho de que pueden ser
llevadas a cabo por personas con mediana preparación, lo cual redunda en su bajo
costo. Otra ventaja evidente es su posibilidad de procesamiento matemático, ya que al
guardar una estricta homogeneidad sus respuestas resultan comparables y agrupables.
Su desventaja mayor estriba en que reducen grandemente el campo de información
registrado, limitando los datos a los que surgen de una lista taxativa de preguntas. Esta
lista de preguntas, que es el instrumento concreto de recolección empleado en este
caso, recibe el nombre de cuestionario y puede ser administrado sin que
necesariamente medie una entrevista. Debe ser cuidadosamente redactado, evitando
preguntas demasiado generales, confusas o de doble sentido, y tratando de conservar
un orden lo más natural posible.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
272
Según el tipo de preguntas que se incluyan en un cuestionario las entrevistas
resultantes serán más o menos estructuradas. Para ello suelen dividirse las preguntas
en dos grandes tipos: de alternativas fijas, de final abierto.
Las preguntas de alternativas fijas, llamadas comúnmente cerradas, formalizan más el
cuestionario, pues en ellas sólo se otorga al entrevistado la posibilidad de escoger entre
un número limitado de respuestas posibles. Si se pregunta "¿cree ud. en los OVNIS, sí
o no?", estaremos ante una típica pregunta cerrada. Hay que tener sumo cuidado en la
redacción de estas alternativas ofrecidas, sean éstas dos, tres, o veinte, si el
responderte no puede elegir una respuesta que esté fuera de la lista, la pregunta se
habrá de considerar cerrada. Hay que tener sumo cuidado en la redacción de estas
alternativas, procurando especialmente que ellas sean exhaustivas y mutuamente
excluyentes, tal como ocurría para la confección en un sentido determinado.
Las preguntas de final abierto, llamadas también simplemente abiertas, proporcionan
una variedad más amplia de respuestas pues éstas pueden ser escogidas libremente
por los respondientes. Su redacción debe ser muy cuidadosa para evitar respuestas
confusas o erróneas, y para evitar además que ellas predispongan a los entrevistados
en uno u otro sentido. Un ejemplo de pregunta abierta sería: "¿Qué opina Ud. Acerca
de los OVNIS?"; como resulta evidente, la respuesta aquí puede ser infinitamente
variada, según lo opinión de cada persona consultada. La información que se obtendrá
será mucho más completa y valiosa con esta pregunta que con la del ejemplo anterior,
pero el trabajo de procesamiento de los datos, en compensación, tendrá que ser sin
duda mucho mejor.
Una vez que se redacta el conjunto de preguntas que constituyen un cuestionario es
necesario revisar éste una y otra vez para asegurarse de su consistencia y eliminar los
posibles errores u omisiones. Casi siempre se realiza lo que se denomina una prueba
piloto, que consiste en administrar el cuestionario a un conjunto reducido de personas
para calcular su duración, conocer sus dificultades y corregir sus defectos, antes de
aplicarlo a la totalidad de la muestra.
Durante las entrevistas se utilizan frecuentemente ayudas visuales (fotografías,
esquemas, tarjetas con frases o palabras, etc.), que contribuyen a veces a obtener
conocimientos más complejos y que, en otros casos, cumplen función de preservar la
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
273
objetividad, evitando que la forma en que se pronuncia o describe algo introduzca un
sesgo determinado en las respuestas.
CUESTIONARIOS
Un cuestionario consiste en un conjunto de preguntas respecto a una o más variables a
medir. El contenido de las preguntas de un cuestionario puede ser tan variado como los
aspectos que mida. Y básicamente, podemos hablar de dos tipos de preguntas:
cerradas y abiertas.
Las preguntas cerradas contienen categorías o alternativas de respuestas que han sido
delimitadas. Es decir, se presentan a los sujetos las posibilidades de respuestas y ellos
deben circunscribirse a ellas. Pueden ser dicotómicas (dos alternativas de respuestas)
o incluir varias alternativas de respuestas.
En las preguntas cerradas las categorías de respuestas son definidas a priori por el
investigador y se le presentan al respondiente, quien debe elegir la opción que describa
más adecuadamente su respuesta. Las escalas de actitudes en forma de pregunta
caerían dentro de la categoría de preguntas cerradas.
Ahora bien, hay preguntas cerradas, donde el respondiente puede seleccionar más de
una opción o categoría de respuesta. Algunos respondientes pudieran marcar una, dos,
tres, cuatro o cinco opciones de respuesta. Las categorías no son mutuamente
excluyentes. En otras ocasiones, el respondiente tiene que jerarquizar opciones. O bien
debe asignar un puntaje a una o diversas cuestiones. En otras se anota una cifra.
En cambio, las preguntas abiertas no delimitan de antemano las alternativas de
respuesta. Por lo cual el número de categorías de respuesta es muy elevado; en teoría,
es infinito.
Tamaño de un cuestionario
No existe una regla al respecto; pero, si es muy corto se pierde información y si resulta
largo puede resultar tedioso. En este último caso, las personas pueden negarse a
responder, o al menos, lo responderán en forma incompleta. El tamaño depende del
número de variables y dimensiones a medir, el interés de los respondientes y la manera
como es administrado. Cuestionarios que duran más de 35 minutos deben resultar
tediosos a menos que los respondientes estén muy motivados para contestar. Una
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
274
recomendación que puede ayudarnos a evitar un cuestionario más largo de lo requerido
es: "No hacer preguntas innecesarias o injustificadas".
Como aplicar cuestionarios
Los cuestionarios pueden ser aplicados de diversas maneras:
A. Autoadministrado. El cuestionario se proporciona directamente a los respondientes,
quienes lo contestan. No hay intermediarios y las respuestas las marcan ellos.
Obviamente que esta manera de aplicar el cuestionario es impropia para
analfabetas, personas que tienen dificultades de lectura o niños que todavía no leen
adecuadamente.
B. Por entrevista personal. Un entrevistador aplica el cuestionario a los respondientes
(entrevistados). El entrevistador va haciéndole las preguntas al respondiente y va
anotando las respuestas. Las instrucciones son para el entrevistador. Normalmente
se tienen varios entrevistadores, quienes deberán estar capacitados en el arte de
entrevistar y conocer a fondo el cuestionario, y no deben sesgar o influir las
respuestas.
C. Por entrevista telefónica. Esta situación es similar a la anterior, sólo que la entrevista
no es "cara a cara" sino a través del teléfono. El entrevistador le hace las preguntas
al respondiente por este medio de comunicación.
D. Autoadministrado y enviado por correo postal, electrónico o servicio de mensajería.
Los respondientes contestan directamente el cuestionario, ellos marcan o anotan las
respuestas, no hay intermediario. Pero los cuestionarios no se entregan
directamente a los respondientes ("en propia mano") sino que se les envían por
correo u otro medio, no hay retroalimentación inmediata, si los sujetos tienen alguna
duda no se les puede aclarar en el momento.
OBSERVACIÓN
La observación consiste en el registro sistemático, válido y confiable de
comportamiento o conducta manifiesta. Puede utilizarse como instrumento de medición
en muy diversas circunstancias. Es un método más utilizado por quienes están
orientados conductualmente. Puede servir para determinar la aceptación de un grupo
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
275
respecto a su profesor, analizar conflictos familiares, eventos masivos, la aceptación de
un producto en un supermercado, el comportamiento de deficientes mentales, etc.
Pasos para construir un sistema de observación
Los pasos para construir un sistema de observación son:
1. Definir con precisión el universo de aspectos, eventos o conductas a observar. Por
ejemplo, si nuestro interés es observar los recursos con que cuentan las escuelas
de un distrito escolar debemos definir lo que concebimos como "recurso escolar".
Un universo podría ser el comportamiento verbal y no verbal de un grupo de
alumnos durante un semestre. Otro universo sería las conductas de un grupo de
trabajadores durante sus sesiones en círculos de calidad o equipos para la calidad,
en un periodo de un año. O bien las conductas agresivas de un grupo de
esquizofrénicos en sesiones terapéuticas.
2. Extraer una muestra representativa de los aspectos, eventos o conductas a
observar. Un repertorio suficiente de conductas a observar.
3. Establecer y definir las unidades de observación. Por ejemplo, cada vez que se
presenta una conducta agresiva, cada minuto se analizará si el alumno está o no
atento a la clase, durante dos horas al día, el número de personas que leyeron el
tablero de avisos de la compañía, etc. El concepto de unidades de análisis es el
mismo que en el análisis de contenido, sólo que en la observación se trata de
conductas, eventos o aspectos.
4. Establecer y definir las categorías y subcategorías de observación.
Tipos de observación
La observación puede ser participante o no participante. En la primera, el observador
interactúa con los sujetos observados y en la segunda no ocurre esta interacción.
Ventajas de la observación
Tanto la observación como el análisis de contenido tienen varias ventajas:
1. Son técnicas de medición no obstructivas. En el sentido que el instrumento de
medición no "estimula" el comportamiento de los sujetos (las escalas de actitud y los
cuestionarios pretenden "estimular" una respuesta a cada “ítem”). Los métodos no
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
276
obstruidos simplemente registran algo que fue estimulado por otros factores ajenos
al instrumento de medición.
2. Aceptan material no estructurado.
3. Pueden trabajar con grandes volúmenes de datos (material).
ESCALA DE LIKERT
Este método fue desarrollado por Rensis Likert a principios de la década de los treinta
del pasado siglo; sin embargo, se trata de un enfoque vigente y bastante popularizado.
Consiste en un conjunto de “ítems” presentados en forma de afirmaciones o juicios ante
los cuales se pide la reacción de los sujetos. Es decir, se presenta cada afirmación y se
pide al sujeto que externe su reacción eligiendo uno de los cinco puntos de la escala. A
cada punto se le asigna un valor numérico. Así, el sujeto obtiene una puntuación
respecto a la afirmación y al final se obtiene su puntuación total sumando las
puntuaciones obtenidas en relación a todas las afirmaciones.
Las afirmaciones califican al objeto de actitud que se está midiendo y deben expresar
sólo una relación lógica, además es muy recomendable que no excedan de 20
palabras.
En este caso, la afirmación incluye o palabras y expresa una sola relación lógica (X –
Y). Las alternativas de respuesta o puntos de la escala son cinco e indican cuánto se
está de acuerdo con la afirmación correspondiente. Debe recordarse que a cada una de
ellas se le asigna un valor numérico y sólo puede marcarse una opción. Se considera
un dato inválido a quien marque dos o más opciones.
Como se construye una escala Likert
En términos generales, una escala Likert se construye generando un elevado número
de afirmaciones que califiquen al objeto de actitud y se administran a un grupo piloto
para obtener las puntuaciones del grupo en cada afirmación. Estas puntuaciones se
correlacionan con las puntuaciones del grupo a toda la escala (la suma de las
puntuaciones de todas las afirmaciones), y las afirmaciones cuyas puntuaciones se
correlacionen significativamente con las puntuaciones de toda la escala, se selecciona
para integrar el instrumento de medición. Asimismo, debe calcularse la confiabilidad y
validez de la escala.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
277
Maneras de aplicar la escala Likert
Existen dos formas básicas de aplicar una escala Likert. La primera es de manera
autoadministrada: se le entrega la escala al respondiente y éste marca respecto a cada
afirmación, la categoría que mejor describe su reacción o respuesta, es decir, marcan
respuestas. La segunda forma es la entrevista; un entrevistador lee las afirmaciones y
alternativas de respuesta al sujeto y anota lo que éste conteste. Cuando se aplica vía
entrevista, es necesario que se le entregue al entrevistador una tarjeta donde se
muestran las alternativas de respuesta o categorías.
Al construir una escala Likert se debe asegurar que las afirmaciones y alternativas de
respuesta serán comprendidas por los sujetos a los que se les aplicará y que éstos
tendrán la capacidad de discriminación requerida.
CODIFICACIÓN
El objetivo de este procedimiento es agrupar numéricamente los datos que se expresen
en forma verbal para poder luego operar con ellos como si se tratara, simplemente, de
datos cuantitativos. Para lograrlo se habrá de partir de un cúmulo de informaciones que
tengan una mínima homogeneidad, lo cual es necesario para poder integrarlas. Pueden
tratarse de cientos de respuestas a una misma pregunta o de una variedad de posibles
situaciones observadas mediante un mismo “ítem” de una pauta de observación: en
ambos casos existirá una determinada variedad de respuesta o de observaciones que
presenten las elecciones o los comportamientos de los objetos de estudio.
El primer paso a dar frente a todos estos datos es realizar una revisión atenta de un
subgrupo reducido de ellos con el objeto de encontrar una tipología de respuestas
posibles, en concordancia, por otra parte, con las formulaciones teóricas que guían la
investigación y con los criterios adoptados en la etapa de operacionalización. A cada
categoría de respuestas habremos de darle un código particular, un número o letra
diferente, que servirá para agrupar tras de sí a todas las respuestas u observaciones
que sean idénticas o que, al menos, aparezcan como equivalentes. Luego
procederemos a señalar a cada uno de los cuestionarios o pautas con el código que le
corresponde en cada caso, con la que quedará sintetizada la respuesta que contiene.
El proceso se facilita grandemente cuando se realiza mediante computadoras.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
278
Supongamos que hemos preguntado, por medio de entrevistas estructuradas hechas a
una muestra, la opinión que tienen las personas respecto a las Naciones Unidas. Si la
pregunta ha sido abierta, cada responderte habrá expuesto sus opiniones en algunas
breves frases. La codificación nos permitirá agrupar sus respuestas, para poder evaluar
cuáles son las opiniones más salientes al respecto. Nuestros códigos, por ejemplo,
pondrán ser:
1. Es una institución que garantiza (o protege) la paz mundial.
2. Es una institución que debería ser reformada.
3. Es útil por los servicios que presta a los países menos desarrollados.
4. Es inoperante, ineficiente, etc.
5. No sabe o no opina al respecto.
Por supuesto que podrían elaborarse otros códigos, categorizando más o menos
detalladamente las respuestas. Casi siempre que se encuentran ideas similares pero
que se expresan a través de palabras diferentes se procede a unificarlas en un mismo
código; excepcionalmente, cuando no sólo interesa la idea sino además los aspectos
lingüísticos con que ésta se manifiesta, es necesario buscar un código para cada
respuesta tomada textualmente. Los casos difíciles de ubicar, de respuestas que
pudieran situarse en más de una categoría, sólo pueden ser resueltos consultando con
el marco teórico. Cuando aparecen respuestas ambiguas, extrañas o simplemente
anómalas, es conveniente agruparlas en el código "otras respuestas", para no abrir
demasiadas categorías simultáneamente.
DIAGRAMA DE FLUJO
Es una representación pictórica de los pasos en proceso. Útil para determinar cómo
funciona realmente el proceso para producir un resultado. El resultado puede ser un
producto, un servicio, información o una combinación de los tres. Al examinar cómo los
diferentes pasos es un proceso se relacionan entre sí, se puede descubrir con
frecuencia las fuentes de problemas potenciales. Los diagramas de flujo se pueden
aplicar a cualquier aspecto del proceso desde el flujo de materiales hasta los pasos
para hacer la venta u ofrecer un producto. Con frecuencia este nivel de detalle no es
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
279
necesario, pero cuando se necesita, el equipo completo de trabajo más pequeño puede
agregar niveles según sea necesario durante el proyecto.
¿Cuándo se utiliza un Diagrama de Flujo?
Cuando un equipo necesita ver cómo funciona realmente un proceso completo. Este
esfuerzo con frecuencia revela problemas potenciales tales como cuellos de botella en
el sistema, pasos innecesarios y círculos de duplicación de trabajo.
Algunas aplicaciones comunes son:
Definición de Proyectos:
Identificar oportunidades de cambios en el proceso.
Desarrollar estimados de costos de mala calidad.
Identificar organizaciones que deben estar representadas en el equipo.
Desarrollar una base común de conocimiento para los nuevos miembros del equipo.
Involucrar a trabajadores en los esfuerzos de resolución de problemas para reducir
las resistencias futuras al cambio.
Identificación de las causas principales:
Desarrollar planes para reunir datos.
Generar teorías sobre las causas principales.
Discutir las formas de estratificar los datos para el análisis para identificar las causas
principales.
Examinar el tiempo requerido para las diferentes vías del proceso.
Diseño de soluciones
Describir los cambios potenciales en el proceso y sus efectos potenciales.
Identificar las organizaciones que será afectadas por los cambios propuestos.
Aplicaciones de soluciones:
Explicar otros el proceso actual y la solución propuesta.
Superar la resistencia al cambio demostrando cómo los cambios propuestos
simplificarán el proceso.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
280
Control (retener las Ganancias):
Revisar y establecer controles y monitorías al proceso.
Auditar el proceso periódicamente para asegurar que están siguiendo los nuevos
procedimientos.
Entrenar a nuevos empleados.
¿Cómo se utiliza un Diagrama de Flujo?
La metodología para preparar un Diagrama de Flujo es;
1. PROPÓSITO: analizar como se pretende utilizar el Diagrama de Flujo. Exhibir esta
hoja en el pared y consultarla en cualquier momento para verificar que se Diagrama
de Flujo es apropiado para las aplicaciones que se pretende.
2. DETERMINAR EL NIVEL DE DETALLE REQUERIDO.
3. DEFINIR LOS LIMITES: después de establecer los límites del proceso, enumerar los
resultados y los clientes en el extremo derecho del diagrama.
4. UTILIZAR SÍMBOLOS APROPIADOS: utilizando los símbolos apropiados para el
Diagrama de Flujo, presentar las respuestas como los primeros pasos en el
diagrama.
5. HACER PREGUNTAS: para cada entrada, haga preguntas como:
¿Quién recibe la entrada?
¿Qué es lo primero que se hace con la entrada?
6. DOCUMENTAR: cada paso en la secuencia, empezando con el primer (ó último)
paso. Para cada paso, hacer preguntas como:
¿Qué produce este paso?
¿Quién recibe este resultado?
¿Qué pasa después?
¿Alguno de los pasos requiere de entradas que actualmente no se muestran?
7. COMPLETAR: continuar la construcción del Diagrama de Flujo hasta que se
conecte todos los resultados (salidas) definidos en el extremo derecho del diagrama.
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
281
Si se encuentra un segmento del proceso que es extraña para todos en el salón, se
deberá tomar nota y continuar haciendo el diagrama.
8. REVISIÓN: Preguntar:
¿Todos los flujos de información encajan en las entradas y salidas del proceso?
¿El Diagrama muestra la naturaleza serial y paralela de los pasos?
¿El Diagrama capta de forma exacta lo que realmente ocurrió, a diferencia de la
forma cómo se piensa que las cosas deberías pasar o como fueron diseñadas
originalmente?
9. DETERMINAR OPORTUNIDADES
Nota: El Diagrama de flujo final deberá actuar como un registro de cómo el proceso
actual realmente opera. Indicar la fecha.
Hay literalmente docenas de símbolos especializados utilizados para hacer Diagrama
de Flujos. Las "líneas de flujos" son utilizadas para representar el progreso de los pasos
en la secuencia. La punta de la fecha indica la dirección del flujo del proceso.
Dos símbolos que no son utilizados tan comúnmente y que pueden ser útiles son:
El "Símbolo del documento" representa la información escrita pertinente al proceso.
El "Símbolo de la Base de Datos" representa información almacenada
electrónicamente con respecto al proceso
Consejos para la construcción / Interpretación:
Si un Diagrama de Flujo se construye de forma apropiada y refleja el proceso de la
forma que realmente opera, todos los miembros del equipo poseerán un conocimiento
común, exacto del funcionamiento del proceso. Adicionalmente, el equipo no necesita
invertir el tiempo y la energía en observar el proceso físicamente cada vez que se
quiera identificar problemas para trabajar, discutir teorías sobre las causas principales,
examinar el impacto de las soluciones propuestas o discutir las formas para mantener
las mejoras.
Los Diagramas de Flujo pueden ayudar a un equipo en su tarea de diagnóstico para
lograr mejoras. Uno de sus usos es el de ayudar a un equipo a generar teorías sobre
las posibles causas principales de un problema. El Diagrama de Flujo se dibuja en una
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282
pared de la sala de reuniones. El equipo que investiga un problema redacta una
descripción del problema en un pedazo pequeño del papel y lo pega en el Diagrama de
Flujo en el punto, en el proceso donde el problema se ha detectado. El equipo luego
discute cada uno de los pasos en el proceso antes del punto donde el problema se ha
detectado, y produce teorías sobre las cosas que podrían salir mal en el paso del
proceso de forma sistemática a medida que producen teorías sobre las posibles causas
principales del problema.
Otro uso de un Diagramas de Flujo es el de ayudar a un equipo a identificar las formas
apropiadas para separar los datos para su análisis. Por ejemplo, considérese el
problema de analizar los tiempos de reparación. Una rápida revisión del Diagrama de
Flujo puede sugerir un número de grupos posibles que pueden explicar el tiempo que
se necesita para hacer reparación.
Relación con otras herramientas:
Los Diagramas de Flujo de procesos generalmente se relacionan con:
Mapa de Relaciones
Mapa de Proceso Interfuncional (Cross-Funcional)
DICCIONARIO DE DATOS
Los diccionarios de datos son el segundo componente del análisis del flujo de datos. En
sí mismos los diagramas de flujo de datos no describen por completo el objeto de la
investigación. El diccionario de datos proporciona información adicional sobre el
sistema. Esta sección analiza que es un diccionario de datos, por qué se necesita en el
análisis de flujo de datos y como desarrollarlo. Se utilizará el ejemplo del sistema de
contabilidad para describir los diccionarios de datos.
Un diccionario de datos es una lista de todos los elementos incluido en el conjunto de
los diagramas de flujo de datos que describen un sistema. Los elementos principales en
un sistema, estudiados en las secciones anteriores, son el flujo de datos, el
almacenamiento de datos y los procesos. El diccionario de datos almacena detalles y
descripciones de estos elementos.
Si los analistas desean conocer cuántos caracteres hay en un dato, con qué otros
nombres se le conoce en el sistema, o en donde se utilizan dentro del sistema deben
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
283
ser capaces de encontrar las respuestas en un diccionario de datos desarrollado
apropiadamente.
El diccionario de dato se desarrolla durante el análisis de flujo de datos y ayuda el
analista involucrado en la determinación de los requerimientos de sistemas. Sin
embargo, como se verá más adelante, también el contenido del diccionario de datos se
utiliza durante el diseño del sistema.
En informática, base de datos acerca de la terminología que se utilizará en un sistema
de información. Para comprender mejor el significado de un diccionario de datos, puede
considerarse su contenido como "datos acerca de los datos"; es decir, descripciones de
todos los demás objetos (archivos, programas, informes, sinónimos...) existentes en el
sistema. Un diccionario de datos almacena la totalidad de los diversos esquemas y
especificaciones de archivos, así como sus ubicaciones. Si es completo incluye también
información acerca de qué programas utilizan qué datos, y qué usuarios están
interesados en unos u otros informes. Por lo general, el diccionario de datos está
integrado en el sistema de información que describe.
Descripción de los Datos en el Diccionario
Cada entrada en el diccionario de dato consiste en un conjunto de detalles que
describen los datos utilizados o producidos en el sistema. Cada artículo se identifica por
un nombre de dato, descripción, sinónimo y longitud de campo y tiene valores
específicos que se permiten para éste en el sistema estudiado.
Nombre de los Datos
Para distinguir un dato de otro, los analistas les asignan nombre significativos que se
utilizan para tener una referencia de cada elemento a través del proceso total de
desarrollo de sistemas. Por lo tanto, debe tenerse cuidado para seleccionar, en forma
significativa y entendible, los nombres de los datos, por ejemplo la fecha de factura es
más significativa si se llama FECHA FACTURA que si se le conoce como ABCXXX.
Descripción de los Datos
Establece brevemente lo que representa el dato en el sistema; por ejemplo, la
descripción para FECHA-DE-FACTURA indica que es la fecha en la cual se está
APÉNDICE 4. RECOLECCIÓN DE DATOS
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preparando la misma (para distinguirla de la fecha en la que se envió por correo o se
recibió.
Las descripciones de datos se deben escribir suponiendo que la gente que las lea no
conoce nada en relación del sistema. Deben evitarse termino especiales o argot, todas
las palabras deben se entendible para el lector
Alias
Con frecuencia el mismo dato puede conocerse con diferentes nombres, dependiendo
de quien lo utilice. El uso de los alias debe evitar confusión. Un diccionario de dato
significativo incluirá todos los alias.
Longitud de campo
Cuando las características del diseño del sistema se ejecuten más tarde en el proceso
de desarrollo del sistema, será importante conocer la cantidad de espacio que necesita
para cada dato.
Valores de los datos
En algunos procesos solo se permiten valores de datos específicos. Por ejemplo, en
muchas compañías con frecuencia los números de orden de compra se proporcionan
con un prefijo de una letra para indicar el departamento del origen.
Registro de las descripciones de datos
Dadas que las descripciones se utilizarán en forma repetitiva a través de una
información y después, durante el diseño, se sugiere un formato fácil para utilizar que
simplifique el registro y los detalles de consulta cuando se necesiten.
CONCLUSIONES
Recolectar los datos implica seleccionar un instrumento de medición disponible o
desarrollar uno propio, aplicar el instrumento de medición y preparar las mediciones
obtenidas para que puedan analizarse correctamente.
Medir es el proceso de vincular conceptos abstractos con indicadores empíricos,
mediante clasificación y/o cuantificación. Un instrumento de medición debe cubrir dos
requisitos: confiabilidad y validez.
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La confiabilidad se refiere al grado en que la aplicación repetida de un instrumento de
medición al mismo sujeto u objeto, produce iguales resultados. La validez refiere al
grado en que un instrumento de medición mide realmente la(s) variable(s) que pretende
medir. Se pueden aportar tres tipos de evidencia para la validez: evidencia relacionada
con el contenido, evidencia relacionada con el criterio y evidencia relacionada con el
instrumento.
Los factores que principalmente pueden afectar la validez son: improvisación, utilizar
instrumentos desarrollados en el extranjero y que no han sido validados a nuestro
contexto, poca o nula empatía, factores de aplicación.
No hay medición perfecta, pero el error de medición debe reducirse a límites tolerables.