[depa] departamento de programas audiovisuales -...

Capítulo 28

28 El campo eléctricoEl 25 de agosto de 1989, doce años después de su lanzamiento, la nave espacialVoyager 2 pasó cerca del planeta Neptuno, a una distancia de 4.4 ×109 km. de laTierra. Entre otros descubriminetos, el Voyager reportó la observación de seis lunaspreviamente desconocidas de Neptuno y un sistema de anillos.

La clave para entender este tipo de comunicación está en el campo electromagné-tico. Los electrones que se mueven en los circuitos eléctricos del Voyager establecenun campo eléctrico y las variaciones de su movimiento causan perturbaciones en elcampo para viajar a la velocidad de la luz. Más de 4 horas más tarde, los electro-nes en los cricuitos de la Tierra detectan estos cambios en el campo y se mueven enconcordancia con estas.

28.1. Los campos

En la matemática se estudia a los campos escalares y a los campos vectoriales. Lasdistribuciones de temperatura o presión en un recinto son ejemplos de campos esca-lares que asocian un valor numérico a cada punto en el espacio, en tanto que una

Halliday, Resnick, Krane 1 Fisica II

Capítulo 28

distribución de velocidades en un fluído y la aceleración gravitacional son ejemploscampos vectoriales que asocian un vector a cada punto en el espacio.

Cuando se estudió al campo gravitacional g, se definió como la fuerza gravitacio-nal F por unidad de masa de prueba m0, o

g= Fm0

. (28.1)

Este es un campo vectorial y es, generalmente, estático cuando la distribución demasas del cuerpo gravitacional permanece constante. Cerca de la superficie de laTierra, y en puntos cercanos entre sí, el campo es uniforme, lo que significa que gtiene la misma magnitud y dirección en los puntos vecinos.

En el caso gravitacional se tiene que una masa interactúa directamente con otra

masamasa

pero más propiamente la interacción se puede expresar como

masa campomasa

.


Capítulo 28

28.2. El campo eléctrico E

Haciendo una analogía con la fuerza gravitacional, la fuerza de Coulomb entre lascargas invita a representar la interacción entre cargas como

carga carga.

Y si de nuevo se tiene a un intermediario, entonces

carga campo carga.

Esto es, la primera carga establece un campo eléctrico y la segunda interactúa condicho campo. Así, el problema de determinar la interacción entre las cargas se reducea: (1) determinar, mediante mediciones o cálculos, el campo eléctrico establecido porla primera carga en cada punto del espacio y (2) calcular la fuerza que el cmapoejerce sobre la segnuda carga puesta en un punto particular del espacio.

Así, por analogía con el caso gravitacional, y usando una carga de prueba positivaq0 en un punto partivcular, se tiene

E= Fq0

. (28.2)


Capítulo 28

La dirección de E es la misma que la de F ya que q0 > 0. En el SI la unidad demedida es (N/C).

Figura 28.1

La figura 28.1 ilustra el campo eléctrico que actúa como intermediario en lainteracción entre dos cargas. En la figura 1a, la carga q1 establece un campo eléctricoen el espacio que la rodea. El campo actúa sobre la carga q2, que resulta en la fuerzaF2. La figura 1b muestra la situación simétrica.


Capítulo 28

Estrictamente lo correcto es considerar

E= lımq0→0

Fq0

. (28.3)

Ejercicio 1. Se coloca a un protón dentro de un campo eléctrico uniforme E. ¿Cuáldebe ser la magnitud y dirección de la fuerza electrostática que actúe sobre el protónpara balancear justo su peso?

Solución. De la ecuación (28.2), reemplazando q0 por e y F por mg, se tiene

E = Fq0

= mge

= (1.67×10−27kg)(9.8 m/s2)1.60×10−19C

= 1.0×10−7N/C

que apunta verticalmente hacia arriba.

28.3. El campo eléctrico debido a cargas puntuales

Sea q0 una carga de prueba positiva colocada a una distancia r de una carga puntualq. La magnitud de la fuerza que experimenta q0 debida a la presencia de q es


Capítulo 28

Figura 28.2

F = 14πε0

qq0

r2 .

La magnitud del campo eléctrico en el sitio en el que seencuentra q0 es

E = Fq0

= 14πε0

qr2 . (28.4)

La figura 28.2 muestra la magnitud y dirección de E en varios puntos alrededorde una carga puntual.

Cuando se tienen N cargas puntuales se aplica el principio de superposiciónpara calcular el campo eléctrico en un punto dado (diferente de la localización de lascargas puntuales), de modo que E en el punto de interés es

E=E1 +E2 +E3 + . . .=N∑

i=1Ei. (28.5)


Capítulo 28

Ejercicio 2. En un átomo de helio ionizado (un átomo de helio en el que se haeliminado a uno de sus dos electrones), el electrón y el núcleo están separados por unadistancia de 26.5 pm. ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la localizacióndel electrón?

Solución. De la ecuación (28.4), con q0 (la carga total del núcleo) igual a +2e :

E = 14πε0

qr2 =

(8.99)×109 N ·m2

C2

) 2(1.60×10−9 C)(26.5×10−12 m)2 = 4.086×1012N/C.

Ejercicio 3. La figura 28.3 muestra una carga q1 =+1.5 µC y una carga q2 =+2.3µC. La primera carga está en el origne del eje x y la segunda está en una posiciónx = L, donde L = 13 cm. ¿En cuál punto P, a lo largo del eje x el campo eléctrico escero?

De la ecuación (28.4) se tiene que

14πε0

q1

x2 = 14πε0

q2

(L− x)2 ,


Capítulo 28

E2 E1P

x

x

L

q1 q

2

Figura 28.3

Solución. El punto debe estar entre las posiciones de lascargas debido a que sólo en esta región las fuerzas ejercidaspor q1 y q2 sobre una carga de prueba se oponen mutua-mente. Si E1 es el campo eléctrico debido a q1 y E2 el debidoa q2, las magnitudes de estos vectores deben ser iguales, oE1 = E2.

donde x es la coordenada del punto P. Resolviendo para x

x = L

1+√q2/q1

= 13cm

1+√2.3µC/1.5µC

= 5.8 cm.


Capítulo 28

El dipolo eléctrico

zq

q

d

r

r

xxP

EE

Eq

q

q q

Figura 28.4

La figura 28.4 muestra una carga positiva y una ne-gativa de la misma magnitud, q, y separadas unadisdtancia d; a esta configuracion se le llama dipoloeléctrico. Se pretende calcular E en el punto P, a unadistancia x a lo largo del bisector perpendicular de lalínea que pasa a través a las cargas.

E=E++E−.

E+ = E− = 14πε0

qr2 = 1

4πε0

qx2 + (d/2)2 , (28.6)

es la magnitud del campo.Haciendo el desarrollo en forma vectorial: las posiciones de las cargas son (0,d/2)


Capítulo 28

para q+, (0,−d/2) para q− y (x,0) para el punto P. Así que

E= q4πε0

(xi− (d/2)j

[x2 + (d/2)2]3/2 − xi+ (d/2)j[x2 + (d/2)2]3/2

)= 1

4πε0

−qd j[x2 + (d/2)2]3/2 .

Como puede verse, coincide con el resultado que se muestra en la figura 28.4.Así, se define a p como el momento dipolar eléctrico:

p = qd. (28.7)

El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas,que con frecuencia tienen una carga positiva y una carga negativa de la mismamagnitud, separadas por una distancia definida.

En muchas ocasiones se observa al campo eléctrico de un dipolo desde puntos Pdesde una distancia x À d. Usando la expansión binomial

(1+ y)n = 1+ny+ n(n−1)2!

y2 + . . . ,

se puede aproximar

E = 14πε0

px3

1[x2 + (d/2)2]3/2 = 1

4πε0

px3

[1+

(d2x

)2]−3/2

= 14πε0

px3

[1+

(− 3

2

)(d2x

)2]Halliday, Resnick, Krane 10 Fisica II

Capítulo 28

E = 14πε0

px3

[1+

(− 3

2

)(d2x

)2

+ . . .]

por lo que

E = 14πε0

px3 . (28.8)

La figura 28.5 muestra la magnitud del campo eléctrico como función de la dis-tancia.

1

0

10

E(x

) x1

0

-10x x10

2 3 4 5 6

24

68

Figura 28.5


Capítulo 28

Tal como se esperaba, a medida que crece la distancia entre P y el dipolo ambasexpresiones dan resultados cada vez más parecidos.

Tarea: Complete la Tabla 1 considerando el cálculo del campo eléctrico alrededor deuna carga puntual q = 5µC, localizada en (5, 5)m. Los valores de Ex, E y y Eproceden de un factor multiplicativo de 1/8000 para efectos del trazo de losvectores. Las direcciones están dadas en grados (°).

x y Ex Ey E Direccion

[m] [m] [N/C] [N/C] [N/C] °

5.5 5.9 2.1 3.6 4.1 60

5.3 6.3 0.7 2.5 2.6 75

5.0 6.6 0.0 1.8 1.8 90

4.5 6.8 ‐0.3 1.3 1.3 105

4.0 6.8 ‐0.5 0.9 1.0 120

3.3 6.7 ‐0.6 0.6 0.8 135

2.7 6.3 ‐0.6 0.3 0.7 150

2.2 5.7 ‐0.5 0.1 0.5 165

1.9 5.0 ‐0.5 0.0 0.5 180

1.7 4.1 ‐0.4 ‐0.1 0.4 195

1.8 3.2 ‐0.3 ‐0.2 0.3 210

2.2 2.2 ‐0.2 ‐0.2 0.3 225

2.9 1.4 ‐0.1 ‐0.2 0.3 240

Tabla 1. El vector campo eléctrico en las proximidades de una carga puntual q=5 mC, localizada en (5, 5)m.


Capítulo 28

28.4. Las líneas de fuerza

Michael Faraday no apreció el concepto del vector campo eléctrico pues lo considera-ba en términos de líneas de fuerza.

1 Las líneas de fuerza indican la dirección del campo eléctrico en cualquierpunto.

2 Las líneas de fuerza se originan en las cargas positivas y teminan en lasnegativas.

3 Las líneas de fuerza se trazan de manera que el número de líneas por uni-dad de sección transversal (perpendicular a las líneas) sea proporcional a lamagnitud del campo eléctrico.

28.5. El campo eléctrico debido a distribuciones conti-nuas de carga

Aunque la carga eléctrica está cuantizada, una colección de un gran número decargas elementales se puede ver como una distribución continua de carga.


Capítulo 28

El campo establecido por una distribución continua de cargas se puede calculardividiendo a la distribución en elementos infinitesimales dq. Cada elemento de cargaestablece un campo dE en un punto P, y el campo resultante se en P se encuentrausando el principio de superposicion, de modo que

E=∫

dE. (28.9)

En coordenadas rectangulares

Ex =∫

dEx, E y =∫

dE y y Ez =∫

dEz.

Por lo que

dE = 14πε0

dqr2 , (28.10)

donde r es la distancia entre el elemento de carga dq y el punto P.Una distribución continua de carga está descrita por su denisdad de carga.En una distribución lineal, con densidad lineal de carga λ se tiene

dq =λds, (28.11)


Capítulo 28

Si la distribución de cargas es uniforme entonces λ es constante y si L es lalongitud del objeto

dq = qL

ds. (28.12)

Si la carga está distribuida sobre una superficie, con densidad superficial decarga σ se tiene

dq =σdA, (28.13)

Si la distribución de cargas es uniforme entonces σ es constante y si A es el áreasuperficial del objeto

dq = qA

dA. (28.14)

Cuando la carga está distribuida en tres dimensiones, con densidad volumétricade carga ρ se tiene

dq = ρdV , (28.15)

Si la distribución de cargas es uniforme entonces ρ es constante y si V es elvolumen del objeto


Capítulo 28

dq = qV

dV . (28.16)

Un anillo de cargaLa figura 28.6 muestra un anillo delgado de radio R que porta una densidad linealde carga uniforme λ alrededor de su circunferencia.

x

y

z

z

R

ds

P

r

q

q

dE

q

dEdE cos q

Figura 28.6

¿Cuál es el campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del plano del anillo y


Capítulo 28

a lo largo de su eje central?Considere un elemento ds del anillo en alguna posición arbitraria del mismo. El

elemento de carga es dq =λds, y establece un elemento diferencial de campo dE enel punto P.

dE= 14πε0

λdsx2 + y2 + z2

−xi− yj+ zk√x2 + y2 + z2

(28.17)

es la contribución al campo.Considerando un elemento ds del lado diametralmente opuesto (haciendo una

rotación de180° alrededor del eje z), se localizará en (−x,−y, z), así el elemento dife-rencial del campo eléctrico es

dE= 14πε0

λdsx2 + y2 + z2

xi+ yj+ zk√x2 + y2 + z2

Por lo que sumando estas dos contribuciones se tiene

dE= 14πε0

λdsx2 + y2 + z2

zk√x2 + y2 + z2

(28.18)


Capítulo 28

Este resultado es el mismo para cada pareja de elementos ds que sean diame-tralmente opuestos, asqí que

E=(∫

14πε0

zλds(R2 + z2)3/2

)k (28.19)

Entonces,

E= zλ4πε0

(∫ds

(R2 + z2)3/2

)k=

(zλ(2πR)

4πε0(R2 + z2)3/2

)k. (28.20)

Pero q =λ(2πR), así que

E= qz4πε0(R2 + z2)3/2 k. (28.21)

La magnitud de E en la ecuación (28.21), ¿da la dirección correcta para el campocuando z < 0?, y ¿cuando q < 0?

Para puntos z À R se tiene

E≈(

14πε0

qz2

)k (z À R). (28.22)


Capítulo 28

¡A grandes distancias la distribución de cargas se parece a una carga puntual!

Un disco de cargaLa figura 28.8 muestra un disco circular de plástico de radio R, que porta unadensidad de carga superficial uniforme σ en su superficie superior.

¿Cuál es del campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del disco a lo largode su eje?

z

P

dE

x

y

z

R

wdw

Figura 28.7

Conviene dividir al disco en sectores anulares de radio w y anchura dw, de modo


Capítulo 28

que su carga esdq =σdA =σ(2πw)dw. (28.23)

Usando el resultado del ejercicio anterior se tiene

dE=(

zσ2πw dw4πε0(z2 +w2)3/2

)k=

(σz4ε0

(z2 +w2)−3/2(2w)dw)k.

Así

E=∫

dE= σz4ε0

(∫ R

0(z2 +w2)−3/2(2w)dw

)k. (28.24)

Integrando se obtiene

E= σ

2ε0

(1− zp

z2 +R2

)k (disco cargado). (28.25)

Para R À z se tiene que la magnitud del campo es

E = σ

2ε0(hoja infinita). (28.26)


Capítulo 28

La línea infinita de cargaLa figura 28.8 muestra una sección de una línea infinita de carga con λ constante.¿Cuál es el campo E a una distancia “y” de la línea de carga?

y

r

r

dq

-z

z

dz

P

x

y

z

qq q

dE

dEy

dEz

Figura 28.8

De acuerdo con la figura 28.8, la posición del punto P es (0, y,0) y la posición dedq es (0,0, z) así, la contribución de dq al campo total es


Capítulo 28

dE= 14πε0

λdsy2 + z2

yj+ zk√y2 + z2

(28.27)

y considerando un elemento dq en el lado diametralmente opuesto se tiene

dE= 14πε0

λdsy2 + z2

yj− zk√y2 + z2

(28.28)

por lo que la suma da

dE= 14πε0

λdsy2 + z2

2yj√y2 + z2

. (28.29)

Por lo que

E= λ

2πε0

(∫ z=∞

z=0

y√y2 + z2

dzy2 + z2

)j, (28.30)

o bienE= λ

2πε0

(∫ z=∞

z=0cosθ

dzy2 + z2

)j. (28.31)


Capítulo 28

De la figura 28.8 se observa que

z = ytanθ.

Derivando se tienedz = ysec2θ dθ.

Así,

E= λ

2πε0

(∫ θ=π/2

θ=0cosθdθ

)j,

por lo que

E=(

λ

2πε0r

)j. (28.32)

Como puede verse, este resultado corresponde a un sistema de referencia encoordenadas rectangulares, así que considerando la simetría cilíndrica del problemase tiene, en coordenadas cilíndricas:

E=(

λ

2πε0r

)r. (28.33)


Capítulo 28

28.6. Una carga puntual dentro de un campo eléctrico

¿Qué sucede cuando se coloca una carga puntualdentro de un campo eléctrico?

Se sabe que F= qE, así que el movimiento dela partícula se puede describir con la segunda leyde Newton. Se considerará que F es constante,ver la figura 28.9, donde E es uniforme y por elloconstante en la región central entre las placas.Se omiten los efectos de borde.

E

y

mg

qE

Figura 28.9

Ejercicio 5. Se mantiene en equilibrio a una gota de aceite cargada, de radioR =2.76µm y densidad ρ=920kg/m3, bajo la influencia combinada de su peso y uncampo eléctrico que apunta hacia abajo, E =1.65×106N/C, ver la figura 28.9. (a) Cal-cule la magnitud y signo de la carga en la gota. Exprese el resultado en términosde la carga elemental e. (b) La gota se expone a una fuente radiactiva que emiteelectrones. Dos electrones se impactan con la gota y esta los captura, cambiando su


Capítulo 28

carga en dos unidades. Si el campo eléctrico mantiene su valor constante, calcule laaceleración resultante de la gota.

Solución. (a) Para mantener a la gota en equilibrio, mg=qE. La condición deequilibrio es

ΣF= mg+ qE= 0, o bien −mg+ q(−E)= 0

así que

q =−mgE

=−43πR3ρg

E=−4.8×10−19C.

Por lo tanton = q

−e= 3.

(b) Si se añaden dos electrones, entonces

q′ = (n+2)(−e)= 5(−1.6×10−19C=−8.0×10−19C.

De la segunda ley de Newton

ΣF= mg+ q′E= ma, por lo que a =−g− (q′E/m)=+6.5 m/s2.


Capítulo 28

Ejercicio 6. La figura 28.10 muestra el sistema de electrodos para la desviación deuna impresora de inyección de tinta. Una gota de tinta cuya masa m es 1.3×10−10 kgporta una craga q de −1.5×10−13 C y entra en el sistema de placas para la desviacióncon una rapidez v = 18 m/s. La longitud L de las placas es 1.6 cm y la magnitud delcampo eléctrico E entre las placas es 1.4×106 N/C. ¿Cuál es la desviación vertical dela gota al alcanzar el borde de las placas? Ignore las variaciones del campo eléctricoen los bordes de las placas.

E

Inputsignals

Dropgenerator

Chargingunit

Deflectingplates

Gutter

(a)

m, q

yLL

E

x

(b)

Figura 28.10


Capítulo 28

Solución. Sea t el tiempo de paso de la gota a través del sistema de desviación.Los desplazamientos vertical y horizontal están dados por

y= 12

at2 y L = vt,

por lo que

y= −qEL22mv2 = 0.64 mm.

28.7. Un dipolo en un campo eléctrico

La dirección de la fuerza sobre la carga positiva del dipolo tiene dirección opuesta ala ejercida sobre la carga negativa.

Aquí se define al vector p (= qd) con dirección que parte de −q y termina en q.La figura 28.11 muestra a un dipolo dentro de un campo eléctrico uniforme, E.

La torca neta alrededor del centro del dipolo tiene magnitud

τ= Fd2

sinθ+Fd2

sinθ = Fd sinθ, (28.34)


Capítulo 28

d

p

q

q

q

-F

F

E

(a)

p q

Et

(b)

Figura 28.11

con lo queτ= (qE)d sinθ = (qd)E sinθ = pE sinθ, (28.35)

o bienτ =p×E. (28.36)

Así, cuando las fuerzas son conservativas

W =∫

dW =∫ θ

θ0

τ ·dθ =∫ θ

θ0

(−τdθ) , (28.37)


Capítulo 28

por lo que

W =∫ θ

θ0

−pE sinθdθ = pE(cosθ−cosθ0). (28.38)

Considerando el teorema del trabajo y la energía

∆U ≡U(θ)−U(θ0)=−W =−pE(cosθ−cosθ0), (28.39)

y si θ0 = 90°, entoncesU =−pE cosθ, (28.40)

o bienU =−p ·E. (28.41)

Entonces, el mínimo se alcnza cuando p y E son paralelos.


[depa] departamento de programas audiovisuales -...

Documents