estudio de la radiacion eb en un campo gravitacional intenso
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This document contains a preliminary version of the thermodynamic estates of the electromagnetic radiation in a field intense gravitational. It is also studied the photon concept applying Einstein's method 1905.TRANSCRIPT
TERMODINAMICA DE UN GAS DEFOTONES EN LA VECINDAD DE UNA
SUPERFICIE DE SCHWARZSCHILD
wilson alexander rojas castillocodigo 189453
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Observatorio Astronomico Nacional
Bogota, Colombia
2009
TERMODINAMICA DE UN GAS DEFOTONES EN LA VECINDAD DE UNA
SUPERFICIE DE SCHWARZSCHILD
wilson alexander rojas castillocodigo 189453
tesis de maestrıa sometido como
requisito para optar al grado de
Magıster en Ciencias - Astronomıa
director
jose robel arenas
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Observatorio Astronomico Nacional
Bogota, Colombia
2009
jonathanTABLA DE CONTENIDO
1. Introduccion 1
1.1. Problema particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Termodinamica de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Cuatro leyes de la termodinamcia de agujeros negros . . . . . . . . . . . . 4
2. El cuanto de radiacion 6
2.1. Entropıa asociada a un gas de fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. La aproximacion Mukohyama e Israel [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. El problema de la entropıa [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Termodinamica Relativista [14] 14
3.1. Analogo relativista de la Primera Ley de Termodinamica . . . . . . . . . . 14
3.1.1. Naturaleza del tensor momentum-energıa. Expresion en el caso deun fluido perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2. Comportamiento mecanico de un fluido perfecto . . . . . . . . . . . 16
3.2. Equilibrio termico en campo gravitacional estatico . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1. Efectos de la Ley de Tolman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. termodinamica de la radiacion 22
4.1. Osciladores armonicos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2. Propiedades de la radiacion en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . 23
4.3. Termodinamica de la radiacion para un campo gravitacional intenso . . . . 30
5. nocion de foton en un campo gravitacional intenso 44
5.1. Construccion de la funcion de distribucion de Wien en un campo gravita-cional intenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2. Nocion de foton en un campo gravitacional intenso . . . . . . . . . . . . . 49
6. Analisis de Resultados 54
iii
7. Conclusiones 59
8. Anexos 61
8.1. Anexo A:Propiedades de la radiacion en el espacio-tiempo de Minkowski . 61
8.2. Anexo B:Propiedades de la radiacion en el espacio-tiempo curvo . . . . . . 62
8.3. Anexo C:Deduccion empıricam de la ley de Wien [25-30] . . . . . . . . . . 62
Bibliografıa 69
iv
CAPITULO 1INTRODUCCION
En el desarrollo de la investigacion acerca de la termodinamica de agujeros negros, el
origen mecanico cuantico de la entropıa de Bekenstein-Hawking sigue siendo un problema
abierto. La teorıa de cuerdas tiene una de las mas completas derivaciones de esta entropıa,
sin embargo no describe los correspondientes grados de libertad microscopicos reales y
su localizacion. Este aspecto complementario se ha estado investigando con base en las
propiedades del vacıo en presencia de campos gravitacionales fuertes. Un observador en
reposo con respecto a un horizonte de eventos percibe excitaciones del vacıo como una
atmosfera termica alrededor del agujero negro. Existe una interesante relacion entre la
entropıa de Bekenstein-Hawking y la atmosfera termica del vacıo [3,4,19].
En el marco de investigacion descrito, existen una gran cantidad de problemas basicos
a nivel conceptual y operacional, en particular en relacion con la concepcion de la entropıa
en estos escenarios gravitacionales extremos [5].
1.1. Problema particular
En el contexto descrito arriba, a nivel basico, se pueden plantear problemas interesantes
que contribuirıan al esclarecimiento y fundamentacion de la estructura teorica que soporta
los modelos complejos que pretender explicar el origen microscopico de la entropıa de
Bekenstein-Hawking. En este sentido se plantea el problema de modelar la termodinamica
de un gas de fotones en la vecindad de una superficie de Schwarzschild con base en la
descripcion de partıculas como aproximacion a la termodinamica estadıstica de campos de
materia. Para ello se recurrira a la nocion de quantum de energıa introducido por Einstein
en 1905 con base monocromatica de baja densidad, bajo la aproximacion de Wien [1]. En
el caso particular del trabajo a formular se usara la metodologıa de Einstein para describir
la termodinamica asociada a la radiacion electromagnetica confinada en un recipiente de
paredes reflectoras comprendido entre una superficie esferica de radio un poco mayor que
1
2
el radio de Schwarzschild y una superficie esferica concentrica de radio mucho mayor que
el primero. Para completar las descripcion relativista planteada se recurrira al modelo de
Brick-Wall simplificado por Israel y Mukohyama [5].
1.1.1. Formulacion del problema
Consideremos un objeto masivo con un campo gravitacional intenso. Sean dos cas-
quetes esfericos de superficies reflectoras concentricas que rodean al cuerpo gravitacional.
Tal que los radios de cada uno de los casquetes son mayores que el radio de Schwarzschild
(Rs), como se puede ver en la Figura (1.1):
Figura 1.1: Cuerpo gravitacional rodeado por dos superficies reflectoras.
En el espacio comprendido entre las dos superficies reflectoras se coloca un gas de
fotones, que alcanza una temperatura T∞ cuando es medida sobre el casquete exterior.
Y para cuando la temperatura de la radiacion es medida sobre el casquete interno estara
dada por la Ley de Tolman.
3
Con la aproxinacion de altas energıas para la radiacion, de tal forma que la longitud
de onda es pequena en comparacion con los radios de las superficies reflectoras o a la
curvatura espacio-tiempo, se tendra una aproximacion a la fısica estadıstica clasica. En
este punto es importante formular las siguientes cuestiones que seran el eje central del
presente trabajo:
Que diferencias de las propiedades termodinamicas de la radiacion existen cuando
estas son calculadas en las superficies externa e interna?
Einstein en su trabajo de 1905 [1]. Hallo que bajo la aproximacion de altas energıas la
radiacion se comporta como un gas ideal con cuantos de energıa hν. Tal condicion se
mantendra cuando la radiacion esta en presencia de un campo gravitacional intenso.
1.2. Termodinamica de agujeros negros
Desde los trabajos de Hawking [9] y Bekenstein [10], se tiene una clara compresion
de los agujeros negros como objetos termodinamicos con una temperatura y entropıa
caracteristica. La radiacion de Hawking no puede ser observada directamente pues para
un agujero negro con una masa estelar tıpica la temperatura Hawking TH es del orden de
unos cuantos microkelvin, quedando muy por debajo de la radiacion cosmica de fondo. Las
propiedades de los agujeros negros son bien comprendidas y existen una gran cantidad de
metodos para encontrar los mismo resultados cuantitativos:
TH =~κ
2πkB(1)
Y
SBH =A
4~G(2)
Que corresponde a la temperatura Hawking TH , a la entropıa sobre el horizonte SBH ,
el area del horizonte A y κ la gravedad superficial. En un sistema tıpico termodinamico,
las propiedades termicas son un reflejo de la fısica microscopica. La temperatura es una
medida de la energıa promedio de los constituyentes microscopicos. La entropıa cuenta el
numero de microestados. Luego es valido preguntarnos si lo anterior es similar para los
4
agujeros negros. Esta es una importante cuestion: la entropıa Bekenstein-Hawking depende
de las constantes de planck (h) y la de Newton (G). Por lo que una descripcion mecanico
estadistica de la termodinamica de un agujero negro podria decirnos algo sobre la gravedad
cuantica.
1.3. Cuatro leyes de la termodinamcia de agujeros
negros
En un espacio-tiempo cuadridimencional, un agujero negro estacionario asintotica-
mente plano esta caracterizado unicamente por su masa (M), momentum angular (J) y
su carga (Q). Ya en la decada de los 70s fueron halladas un conjunto de relaciones que
son similares a las cuatro leyes de la termodinamica clasica:
Ley Cero: la gravedad superficial (κ) es constante sobre todo el horizonte.
Primera Ley: para dos agujeros negros estacionarios con pequenas variaciones en
sus parametros M , J y Q[11] se tiene:
δM =κ
8πGδA+ ΩHδJ + ΦHδQ (3)
Segunda ley de termodinamica: el area del horizonte de un agujero negro nunca
decrece:
δA ≥ 0
La entropıa de un agujero negro debe tener su origen en la configuracion de los
microestados del sistema. Se ha de buscar una teoria de caracter estadıstico que
responda a la termodinamica. Se ha de encontrar los estados responsables a nivel
microscopico de la entropıa de un agujero negro. Tal teoria debera corresponde a
una teoria cuantica de la gravedad de identifique y responda:
S ∝ A
4
5
Tercera ley de termodinamica: Esta se puede expresar de la siguiente manera:
No es posible la temperatura del cero absoluto. En los agujeros negros, la gravedad
superficial κ juega el papel de temperatura. De acuerdo a lo anterior: la gravedad
superficial no es cero. Como los agujeros negros radian y pierden masa parecerıa que
se violase esta ley, pero si se aceptan las conjeturas del censor cosmico1. Tenemos
que en un agujero negro de Schwarzschild debe permanecer por lo menos una masa
de planck, por lo que κ debe ser necesariamente diferente de cero. Es imposible por
cualquier proceso reducir a κ a cero por una finita secuencia de operaciones [13].
1En donde no puede existir singularidades desnudas en este universo.
CAPITULO 2EL CUANTO DE RADIACION
Es bien sabido que la teorıa ondulatoria de Maxwell ofrece una buena descripcion de
los fenomenos opticos tales como la difraccion o la reflexion, pero una teorıa con funciones
continuas puede fracasar cuando se aplica a la produccion y la transformacion de la luz,
como lo observado en experimentos tales como la radiacion de cuerpo negro o la produccion
de rayos catodicos. Se propone como hipotesis que la propagacion de un haz de luz no se
distribuye de manera continua, si no que lo hace en un conjunto finito de cuantos de
energıa localizables en el espacio, que son emitidos y absorbidos como un todo [1].
Esta fue una de las conclusiones a las cuales llego Einstein en 1905 en su trabajo Sobre un
punto heurıstico concerniente a la produccion y transformacion de la luz. En tal trabajo con
argumentos puramente termodinamicos1 llego a la conclusion de la existencia del cuanto
de radiacion y todo ello con base en la comparacion de entre el comportamiento estadıstico
de un gas de ideal y lo que ahora conocemos como un gas de fotones.
2.1. Entropıa asociada a un gas de fotones
Ya en el siglo XIX, Robert Kirchhoff introduce el concepto de cuerpo negro en el estudio de
la radiacion termica y demuestra que la distribucion espectral para un cuerpo negro debe
obedecer una funcion de universal que sea independiente de la composicion del cuerpo, de
la frecuencia de la radiacion y de la temperatura absoluta de cuerpo ρ [1]:
ρ =8πh
c3ν3e− hνkBT (1)
ρ =R
N
8πν2
c3T (2)
1Siguiendo el principio de Boltzmann.
6
7
ρ =
[8πν3
c3
]h
ehν/kBT − 1(3)
Las ecuaciones (1), (2) y (3) corresponden a las distribuciones de Wien, Rayleigh-
Jeans y planck que fueron dadas para la funcion postulada por Kirchhoff. Funciones que
eran conocidas por Einstein y que a la postre sirvieron como punto de partida para su
trabajo de 1905. Este parte de la funcion de distribucion propuesta por Wien2 en 1896 que
funciona bien para altas frecuencias y cuyo fundamento es en parte termodinamico y en
parte experimental [1]. Ahora Einstein considera la entropıa de la radiacion en el rango de
frecuencias de validez de la ley de Wien, comenta que la radiacion a diferentes frecuencias
se puede separar sin gastos de calor o trabajo y que por lo tanto la energıa y la entropıa
son cantidades aditivas respecto de las frecuencias componentes [1]. Denota la energıa por
unidad de frecuencia en el volumen V como η, por lo que η = V u :
S = −kBηhν
[ln
∣∣∣∣ ηc3
V 8πν3dν
∣∣∣∣− 1
](4)
Que corresponde a la entropıa por unidad de frecuencia. La anterior expresion Einstein
la dedujo a partir de la Ley de Wien y de:
∂S
∂u=
1
T(5)
A continuacion, manteniendo la energıa constante se deja expandir la radiacion hasta
un volumen V0. Einstein obtiene entonces la siguiente expresion para la dependencia de la
entropıa de la radiacion (por intervalo de frecuencia) y el volumen:
S − S0 = kBln
[V
V0
]η/hν(6)
Por otro lado, la probabilidad de que N partıculas de un gas ideal se hallen todas
contenidas en un volumen V en lugar de hallarse distribuidas en el volumen total V0 es:
Ω =
[V
V0
]N(7)
2Ecuacion 1.
8
Seguidamente empleando la ley:
S − S0 = kBln |Ω| (8)
La cual vincula la entropıa con la probabildad por Boltzmann [7-8] y al comparar las
expresiones (6), (7) y (8), halla que:
η = Nhν (9)
Seguidamente afirma: En consecuencia, la radiacion monocromatica de baja densidad,
en el rango de altas frecuencias donde vale la ley de Wien, se comporta desde el punto de
vista termodinamico como si consistiera de cuantos de energıa mutuamente independientes
de valor hν [1] .
2.2. La aproximacion Mukohyama e Israel [2]
Se tiene que para estudiar la termodinamica de campos cuanticos calientes, se rodea un
objeto gravitacional (estrella o agujero negro) con una superficie perfectamente reflejante
de radio L rs. Se considera que la metrica fuera de la estrella tiene la forma:
ds2 = −f(r)dt2 +dr2
f(r)+ r2dΩ2 (10)
En donde la metrica de Schwarzschild corresponde a uno de los casos contenidos en la
forma descrita arriba [2]. En este espacio se introducen una coleccion de campos cuanti-
cos que alcanzan cierta temperatura T∞ a grandes distancias y en equilibrio termico. La
temperatura local esta dada por la ley Tolman:
T (r) =T∞√f(r)
(11)
La cual tiende a hacerse muy grande cuando:
r → r1 = r0 + ∆r (12)
9
Si se considera que T∞ = TH del horizonte cuando r = r0 del exterior de la metrica, se
tiene que las longitudes de onda de la radiacion son pequenas en comparacion con otros
valores tales como la curvatura espacio-tiempo o el tamano del contenedor, por lo tanto
se puede realizar la siguiente aproximacion3:
λ ∝ ~T
= f 1/2 ~T∞ r0 (13)
Para un lugar alejado se tendra:
λ =~T∞∝ r0 L (14)
f ≈ 1 (15)
Por la condiciones anteriores tendremos una buena aproximacion a la estadıstica clasica
de campos. Tenemos que para partıculas con masa en reposo diferente de cero m0, un 3-
momentum P, 3-velocidad v medidos por un observador estacionario local tenemos que la
densidad de energıa ρ, la presion p y la densidad de entropıa estan dadas por las expresiones
clasicas:
ρ = N
∫ ∞0
E
eβE − e∗4πp2dp
h3
P =N
3
∫ ∞0
vP
eβE − e∗4πp2dp
h3(16)
S = β(ρ+ P )
donde:
E2 − p2 = m2 (17)
3La cual corresponde a una aproximacion de altas energıas para la radiacion contenida. Tal aproxi-macion permite observar en la radiacion un comportamiento mas corpuscular que ondulatorio.
10
v =p
E(18)
β =1
T(19)
y el factor e* es +1 para los bosones y -1 para los fermiones, el factor N toma con
cuidado las helicidades4.
Luego tendremos que la entropıa total estara dada por:
S =
∫ L
r1
s(r)4πr2dr√f
(21)
Se toma en cuenta el elemento de volumen propio dado por la metrica, donde el factor
que aparece en el denominador de la anterior integral para la masa gravitacional de la
exitacion termal:
∆M =
∫ L
r1
ρ(r)4πr2dr (22)
Donde las dos ultimas integrales esta dominadas para grandes radios del contenedor
L y pequenos ∆r.
Se pueden resaltar los siguientes aspectos:
Un termino volumetrico, que representa la entropıa y la masa-energıa de un gas
homogeneo cuantico en un espacio plano con f ∼= 1 si Lr0→∞.
La contribucion del gas en la cara interna de la pared r = r1, en donde tal contribu-
cion es proporcional a la superficie de la pared y diverge con (∆r)−1, si ∆r → 0.
El modelo de t’Hooft [6], provee una consistente descripcion de una configuracion
que es indistiguible para un observador que esta afuera del agujero negro5. Se puede
4Que corresponde a la proyeccion del spin en la direccion del momentum :
h = ~s · p (20)
5Debemos recordar que Mukohyama e Israel corrigieron la divergencia en el trabajo de t’Hooft al tomarel vacıo cuantico correcto (Boulware) [2].
11
considerar la entropıa Bekenstein-Hawking [2] como una entropıa termal de los campos
cuanticos a la temperatura Hawking6. Considerando un anzatz aceptable para la longitud
de onda cerca del horizonte. Si bien que la pared es insustancial 7. El espacio esta libre de
radiacion y materia8 y la curvartura local es baja, es sin embargo el deposito de toda la
entropıa Bekenstein-Hawking en el modelo. Esto se puede comprender desde la vision de
entanglement, la cual surge de la creacion virtual de pares. Tales pares son creados muy
cerca del horizonte; por lo que desde este punto de vista, la entropıa de entanglement (y
su divergencia) surgen casi enteramente de la correlacion de las variables de campo sobre
los dos lados de la particion, que es un efecto presente en el espacio plano. Una alternativa
posible es que la concentracion de entropıa sobre la pared es que se deba a algun tipo de
artificio en el modelo usado o bien de la representacion de Fock 9 [2] .
2.3. El problema de la entropıa [5]
Entraremos a considerar una de los problemas fundamentales en la termodinamica
de agujeros negros: Cuando, bajo que condiciones y que caracteristicas podemos asignar
entropıa a un agujero negro? Que adicionalmente a esta pregunta surgen las siguientes
cuestiones:
1. En un agujero negro cuando la entropıa y el area son proporcionales?
2. Cual es la naturaleza del horizonte de eventos de un agujero negro?
Los trabajos de Bekenstein [5] y Hawking [4] establecieron una relacion directa entre
el area de un agujero negro y su entropıa. Lo cual se ha dado por identificar los grados de
libertad y el concepto de entropıa en un agujero negro, esto se ha convertido en uno de
los mayores retos para una posible teoria cuantica de la gravedad.
Sobre la cuestion de que cuando la entropıa es proporcional a A/4 nos conduce a tres
preguntas:
Bajo que condiciones exactas asignamos entropıa?
Cuando es la entropıa asignada proporcional a 1/4 de su area?
6En un estado de Hartle-Hawking.7Solo como un horizonte.8Vacio desde el punto de vista newtoniano. Vacuum.9Basada en la definicion estatica de un observador de frecuencia positiva.
12
A que area exactamente debemos referirnos como respuesta a la pregunta anterior?
Empecemos por analizar la primera pregunta de las tres ultimas que hemos formulado:
Bajo que condiciones exactas asignamos entropıa? Que podemos partir en tres nuevas
inquetudes, a saber:
Bajo que condiciones fısicas asignamos entropıa?
A que le estamos asignando entropıa? A un estado instantaneo del sistema? A nuestra
vision de como es el estado del sistema?
Que necesitamos para ser especificada y asignada una entropıa?
En cuanto las circustancias fısicas referidas, podemos mencionar:
Todo tipo de situacion.
Situaciones estacionarias.
Situaciones cuasiestacionarias.
Situaciones mayores a las estacionarias.
A algunas situaciones no tan generales.
De que tipo de entropıa estamos hablando:
Entropıa termodinamica.
Entropıa estadıstica.
En el caso de estar refiriendonos a una entropıa estadistica, a que puntos de vista:
1. Al de Boltzmann: la cual depende sobre el numero exacto de microestados del sis-
tema y esta definido como el logaritmo del numero de microestados, siendo macroscopi-
camente indistinguible uno del otro:
S = log |Ni| (23)
13
2. Al de Gibbs: que corresponde a un conjunto estadıstico, una funcion del estado ac-
tual del sistema. Asociado al conjunto estadıstico esta una densidad de probabilidad
ξ sobre el espacio de microestados, por lo que la entropıa de Gibbs es:
∫dxξ(x)log
∣∣∣∣ 1
ξ(x)
∣∣∣∣ (24)
En la practica, cada descripcion nos permite construir una nocion de microestado para
la entropıa de Boltzmann o el ensamble para la entropıa de Gibbs. Tenemos ası que la
entropıa estadıstica es mas general que la entropıa termodinamica, pues la podemos definir
para situaciones estacionarias o cuasiestacionarias. Una vez hemos decidido que tipo de
entropıa vamos asignar, debemos especificar a que objeto se la vamos a asociar. En el caso
de un agujero negro, a que parte de este sera: si al interior, al exterior o al horizonte.
El concepto de conservacion de la energıa esta asociado a la presencia de una invarianza
temporal, similar a esto debemos contar con una definicion similar a la de energıa para
la entropıa. Ello es que en un proceso fısico podemos convertir un tipo de energıa en otro
sin que esta se destruya, de manera analoga podamos convertir algun tipo de entropıa en
otra, una vez se halla logrado una cabal comprension de la segunda ley generalizada de
termodinamica.
Asumiendo que estamos dispuestos a asignar una entropıa a todas las situaciones: Es la
entropıa asignada proporcional al area de un agujero negro? Es claro en la situacion cuasi-
estacionaria. Pero inmediatamente nos preguntamos tambien lo sera en el caso dinamico.
Y que podemos decir acerca de los horizontes aislados o no [5]. Y en el caso dinamico las
definiciones no estan unificadas. Acaso las respuestas a estas y mas preguntas que surjan
se hallen en el seno de una teoria cuantica de la gravedad de la cual aun no disponemos
en su totalidad.
CAPITULO 3TERMODINAMICA RELATIVISTA [14]
En el desarrollo de la termodinamica clasica existe dos limitaciones:
Los sistemas termodinamicos son considerados en reposo respecto a un observador.
Tales sistemas no toman en cuenta los efectos gravitacionales.
Tales limitaciones se deben remover al considerar efectos gravitacionales en donde la
curvatura espacio-tiempo no pueda ser removida.
3.1. Analogo relativista de la Primera Ley de Ter-
modinamica
Consideremos la primera ley de termodicamica en su forma clasica:
dE = δQ− δW (1)
La cual se refiere a la conservacion de la energıa de un sistema termodinamico y
establece la distincion entre dos metodos de tranferencia de energıa a traves de una frontera
a saber Q que refiere al calor y W trabajo. Para introducir un analogo a la primera ley
en el contexto de la Teorıa General de la Relatividad (TGR) se debe tener en cuenta una
definicion que satisfasga los principios de la TGR. Tales principios estan implicitos en las
ecuaciones de campo de Einstein:
Rµν − 1
2Rgµν + Λgµν = −8πT µν (2)
Que conecta el tensor momentum-energıa T µν con la geometrıa del espacio-tiempo Gµν .
14
15
Asi tenemos que las leyes de conservacion de la masa, energıa y momentum en leguaje
cuadridimensional se puede expresar de la forma:
∂T µν
∂xν= 0 (3)
Donde las componentes del tensor momentum-energıa estan relacionadas con las den-
sidades de masa, energıa y el momentum de acuerdo a:
T µν =
c2ρ cgx cgy cgzcgx Pxx Pxy Pxzcgy Pyx Pyy Pyzcgz Pzx Pzy Pzz
(4)
La ecuacion (3) nos es util para investigar los cambios de energıa dentro de un sistema
mecanico de acuerdo a la relacion establecida con la primera ley de termodinamica.
3.1.1. Naturaleza del tensor momentum-energıa. Expresion enel caso de un fluido perfecto
Procedamos a hallar expresiones del tensor T µν en terminos de cantidades que puedan
ser medibles por metodos ordinarios. En el caso de un medio puramente mecanico, donde
el estado de cualquier punto puede ser especificado por las tensiones mecanicas p0ij y la
densidad ρ00 como medidas realizadas por un observador local, luego se encuentra que T µν
en el marco de la Teoria Especial de la Relatividad (TER) como:
Tαβ0 =
ρ00 0 0 00 P 0
xx P 0xy P 0
xz
0 P 0yx P 0
yy P 0yz
0 P 0zx P 0
zy P 0zz
(5)
Donde las componentes del tensor momentum-energıa corresponden a un grupo espe-
cial de coordenadas galieanas que se toman de tal forma que se hallen en reposo respecto
al punto de estudio. Para en caso de TGR por el principio de equivalencia, el tensor T µν se
debe reducir a un mismo arreglo de coordendas propias (x00, x
10, x
20, x
30) para cualquier punto
16
de interes. De acuerdo a lo anterior para obtener las componentes de tensor momentum-
energıa debemos usar la regla de transformacion de tensores:
T µν =∂xµ
∂xα0
∂xν
∂xβTαβ0 (6)
La que nos permite calcular las componentes en terminos de la densidad propia ρ00
y las tensiones mecanicas p0ij como medidas por un observador local que emplea metodos
ordinarios para medirlas. Consideremos el caso de un fluido perfecto tal que este es incapaz
de ejercer una tension transversal; del tal forma solo hay presentes las componentes de la
tension para un observador local las cuales corresponden a la presion hidrostatica propia
P0. Por lo que las componentes de tensor momentum-energıa Tαβ0 en las coordenadas
propias son:
Tαβ0 =
ρ00 0 0 00 P0 0 00 0 P0 00 0 0 P0
(7)
Por lo tanto el tensor momentum-energia se reduce a1:
T µν = [P0 + ρ00]∂xµ
∂s
∂xν
∂s(8)
Donde ρ00 y P0 corresponde a la densidad propia macroscopica y la presion del fluido,∂xµ
∂sson las componentes macroscopicas de la velocidad respecto al actual sistema coor-
denado. Para una distribucion desordenada de radiacion puede ser caracterizada como un
fluido perfecto por su densidad y presion mediante la relacion:
ρ00 = 3P0 (9)
3.1.2. Comportamiento mecanico de un fluido perfecto
Sabemos que cuando empleamos coordenadas propias:
T µν ; ν = 0
1Un desarrollo detallado de la ecuacion (8) se halla en la referencia [14]
17
Lo cual conduce a un valor nulo de los tres primeros simbolos de Christoffel en las
coordenadas propias. Ademas en el sistema de coordenadas propias las componentes del
tensor metrico se pueden asumir como valores galileanos y sus primeras derivadas de los
coeficientes desaparecen en el punto de interes:
∂gµν∂xα
=∂gµν
∂xα= 0 (10)
Ademas las componentes espaciales y temporal de la velocidad del fluido posee los
valores:
dx
ds=dy
ds=dz
ds= 0,
dt
ds= 1 (11)
Por lo que se puede escribir:
∂
∂xα
[dt
ds
]2
= 0 (12)
en el punto de interes, es evidente que la diferenciacion de todos los terminos conduce a
terminos nulos excepto el ultimo. Sin embargo en las coordenadas propias del punto de
estudio las derivadas de las componentes temporales de la velocidad desaparecen aunque
en general las componentes no sean cero. Por lo tanto el tensor momentum-energıa es:
T µν = [ρ00 + p0]dxµ
ds
dxν
ds− gµνp0 (13)
Sustituyendo lo anterior en (1) para el caso µ = 1 resulta:
∂p0
∂x+ [ρ00 + p0]
duxds
= 0 (14)
Donde ux = dxdt
y duxdt
son la velocidad y aceleracion en direccion x. Ademas debemos
recordar que la contribucion al momentum debe anticiparse por el trabajo realizado por
las fuerzas mecanicas tales como la presion sin olvidar que la velocidad del fluido es cero en
el punto de interes de acuerdo con las coordenadas que se estan usando, este resultado es de
esperarse debido a la relacion existente entre la fuerza y la rata de cambio de momentum.
Se obtienen similares expresiones para µ = 2 y 3. En el caso de µ = 0:
d
dt[ρ00δv0] + p0
d
dt[δv0] = 0 (15)
18
la ecuacion (15) corresponde a la rata de cambio de energıa del elemento de fluido que
puede ser calculada por la rata de cambio de trabajo realizado por la presion externa.
3.2. Equilibrio termico en campo gravitacional estati-
co
Se examina una estructura solida esferica, a cual posee una temperatura de equilibrio
termico. Suponemos que todas las partes del solido estan en contacto termico con un
pequeno tubo que contiene radiacion de cuerpo negro. Tal tubo se puede introducir dentro
del sistema sin que exista cambio alguno en la naturaleza de este. Este tubo puede ser
llamado termometro radiativo2 y por el calculo del cambio de la presion radiativa se puede
determinar la distribucion de temperatura del solido en estudio.
Consideremos el elemento de linea:
ds2 = g00dt2 + gijdx
idxj (16)
Se define el tensor momentum-energıa (T µν) para la radiacion desordenada como [14]:
T µν = (ρ00 + P0)dxµ
ds
dxν
ds− gµνP0 (17)
Donde:
ρ00 = 3P0
Ademas en el caso de un sistema estatico, tenemos que la velocidad macroscopica del
flujo de radiacion es igual a cero para sus componentes espaciales:
dxi
ds=dxj
ds= 0
Y para la componente temporal:
dx0
dt=
1√g00
(18)
2Radiation thermometer.
19
Luego las componentes del tensor momentum-energıa son:
T 11 = T 2
2 = T 33 = −P0 (19)
T 00 = ρ00
Lo que nos permite hallar una relacion entre la presion en el termometro radiativo y
la coordenada x1:
∂Log |P0|∂x1
+ 2∂Log |g00|
∂x1= 0 (20)
Similares relaciones se pueden obtener para las otras coordenadas espaciales. Integran-
do (20):
P0 (g00)2 = Cte (21)
Por otro lado sabemos que la presion que ejerce la radiacion esta dada por:
P0 =1
3aT 4
0 (22)
Introduciendo (21) en (22):
T0√g00 = Cte (23)
La cual puede se reescribir:
T (r) =T∞√g00
(24)
La derivacion de (22) fue realizada solo para puntos dentro de los termometros ra-
diativos. Pero dado que T µν y gµν poseen funciones continuas se pueden aplicar a puntos
20
que se hallan fuera del termometro pero que se hallan en contacto termico con este. Es
importante notar que T (r) varia punto a punto en un sistema gravitacional que esta en
equilibrio termodinamico. Sin embargo la constancia de T (r)√g00 puede proveer algunas
ventajas del principio clasico de la constancia de la temperatura como criterio de equilibrio
termodinamico.
El mismo Einstein llego a conclusiones tempranas sobre la naturaleza de la gravitacion
en distinguir dos cantidades. Una llamada wahre temperatur (T∞)3, que suele ser constante
en un sistema en equilibrio termico de otra llamada taschentemperatur (T (r)) que suele
variar con el potencial gravitacional (gµν). Lo cual no significa que el sistema no este en
equilibrio termodinamico. Sino que la temperatura se ve afectada por el campo gravita-
cional cuando es medida.
3.2.1. Efectos de la Ley de Tolman
La temperatura local T (r) de un sistema estatico autogravitante [15] en equilibrio
termico:
T∞ =√f(r)T (r) = κρT (r) (25)
Con f(r) = κ2ρ2 para la metrica de Rindler, donde κ es la gravedad superficial. Si para
un observador la temperatura sobre el horizonte corresponde a temperatura Hawking, TH :
T∞ =κ~
2πkB(26)
Igualando (25) y (26), tendremos que la temperatura sera:
TH =~ρ−1
2πkB(27)
Que corresponde a la temperatura medida por un observador estatico cerca del hori-
zonte. Sea ρ = a−1, donde a es la aceleracion propia:
TU =~a
2πkB(28)
3La cual es valida para un observador local.
21
La ecuacion (28) corresponde a la temperatura Unruh. Esta es un caracteristica de
la mecanica cuantica, el que un observador acelerado en el espacio tiempo de Minkowski
observe un bano termico a la temperatura Unruh [3,15].
CAPITULO 4TERMODINAMICA DE LA RADIACION
4.1. Osciladores armonicos lineales
Sea un sistema de osciladores armonicos lineales en equilibrio termico. La funcion de
particion Z, la energıa libre de Helmoltz F y la energıa promedio del sistema puede ser
encontrada a partir de:
Los osciladores no interactuan entre ellos y solo lo hacen con el bano termico; cada
oscilador es independiente y podemos hallar Fi, que corresponde a la energıa libre de cada
uno de los osciladores con:
F =M∑i=1
Fi (1)
Donde M es el numero total de osciladores. Sea la funcion de particion Z de la forma:
Zi =∑n
e−EinkBT (2)
Con Ein = ~iωi(n+ 1
2) y n = 0, 1, 2...; por lo que la funcion de particion Zi es:
Zi =∑n
e−~iωi(n+ 12)/kBT (3)
Por lo que la energıa libre por oscilador sera:
Fi = −kBT lnZi
22
23
Fi =~ωi2
+ kBTLn
∣∣∣∣1− e− ~ωikBT
∣∣∣∣ (4)
Asi mismo sabemos que la energıa promedio por oscilador es de la forma:
Ui =1
Qi
∑n
Eine− EinkBT =
∂
∂(1/T )
FiT
Ui =~ωi2
+~ωi
e− ~ωikBT − 1
(5)
Por lo que la energıa libre de Helmoltz para un sistema de osciladores armonicos
lineales no interactuantes sera de la forma:
F=∑
i
[~ωi2
+ kBTLn
∣∣∣∣1− e− ~ωikBT
∣∣∣∣] (6)
4.2. Propiedades de la radiacion en el espacio de Minkows-
ki
En el tratamiento de la radiacion de cuerpo negro, seguiremos la siguiente hipotesis:
En una cavidad (cuerpo negro), existen una gran cantidad de modos de oscilacion.
El numero de modos de oscilacion por unidad de volumen, por unidad de frecuencia esta
dado por consideraciones clasicas. Cada modo sin embargo se comporta como un oscilador
cuantico.
Se desea eliminar el ~ω2
ya que conduce a infinita energıa cuando hay infinitos modos
de oscilacion dentro de una cavidad. Para ello el hamiltonianio que elimina al termino ~ω2
es:
Hi =1
2
[P 2i + ω2
i q2i
]− ~ω
2
Con la anterior hipotesis, podemos hallar una expresion para la energıa. Sea una caja
grande de dimensiones a, b, c. Se tiene que las ondas son periodicas sobre las paredes de
la caja:
24
1
λx=
α
cm
a
λx=
α
cm
Donde se tiene que α corresponde al numero de ondas en direccion x. Por condiciones de
fronteras periodicas:
a
λx= nx
Consideremos los numeros de onda en las tres direcciones posibles, es decir x, y y z:
kx =2π
λx→ nx =
kxa
2π→ dnx =
dkxa
2π
ky =2π
λy→ ny =
kyb
2π→ dny =
dkyb
2π
kz =2π
λz→ nz =
kzc
2π→ dnz =
dkzc
2π
De acuerdo a lo anterior:
d3n = dnxdnydnz =abc
(2π)3dkxdkydkz
Por lo que para el numero de onda k, existen dos posibles polarizaciones, asi el numero de
modos por unidad de volumen con un numero de onda comprendidos entre k y k + dk es:
d3n = abc(2π)3
d3K
d3n
abc=
d3K
(2π)3(7)
Consideremos de nuevo la expresion (6) que corresponde a la energıa libre de Helmoltz:
25
F =∑i
[~ωi2
+ kBTLn
∣∣∣∣1− e− ~ωikBT
∣∣∣∣]Cuando dentro de una cavidad hay una larga suma sobre todos los modos de oscilacion
puede ser reemplazada por una integral:
F
V=
∫ ∫ ∫kBTLn
[1− e−
~ω(K)kBT
]2d3K
(2π)3(8)
Asi para la ecuacion (8) tenemos que se ha omitido el termino ~ω2
. Para la anterior
expresion, tenemos que el termino d3K corresponde al volumen del vector de onda en
coordenadas cartesianas en el espacio K. Se busca que el volumen del vector de onda K
en coordenadas cartesianas sea igual al volumen del angulo solido en coordenadas polares:
d3K =4πK2dK
(2π)3(9)
Por lo que la integral se transforma en:
F
V=
∫kBTLn
[1− e−
~ω(K)kBT
]4πK2dK
(2π)3(10)
Evaluando la integral entre 0 y ∞ tenemos:
F
V=
∫ ∞0
kBTLn
[1− e−
~ω(K)kBT
]4πK2dK
(2π)3(11)
Realicemos la sustitucion:
z =~cKkBT
dz =~cdKkBT
Introduciendo en (11):
26
F
V=
4πkBT
(2π)3
∫ ∞0
[zkBT
~c
]2
Ln |1− ez|[kBT
~c
]dz
Se tiene asi que la integral de arriba converge a −π2
45. Por lo que la energia libre de
Helmholtz queda:
F
V= −π
2k4BT
4
90~3c3(12)
100 200 300 400 500T K
0.000015
0.00001
5. 106
F J
Figura 4.1: Comportamiento de la energıa libre de Helmholtz en el espacio-tiempo deMinkowski.
La Figura (4.1) muestra el comportamiento de la energıa libre de Helmholtz en funcion
de la temperatura a volumen constante para la radiacion el espacio-tiempo de Minkowski.
Se observa que con un incremento de la temperatura la energıa de Helmholtz decrece en
funcion de la temperatura mantiniendo el volumen constente (en una trayectoria isocorica).
27
Se ha trazado varias trayectorias isocoricas en donde se observa que la rata de cambio dF/dt
es menos pronunciada para un volumen V = 1 (en azul) y que la rata de cambio aumenta
cuando se hace el proceso isocorico para un volumen V = 2 (en amarillo). Ello se debe al
caracter extensivo tanto de la energıa libre de Helmholtz y del volumen del sistema.
Calculemos la entropıa asociada a la radiacıon:
S = −(∂F
∂T
)V
S =2
45
π2k4BT
3V
~3c3(13)
100 200 300 400 500T K
2. 108
4. 108
6. 108
8. 108
1. 107
1.2 107
S JK
Figura 4.2: Comportamiento de la entropıa en el espacio-tiempo de Minkowski.
En la Figura (4.2), se aprecia la entropıa de la radiacion en funcion de la temperatura en
proceso isocorico como es de esperar a medida que la temperatura aumenta la entropıa que
28
posee al radiacion pues la energıa por foton crece en un factor hν. Se han trazado diferentes
curvas isocoricas donde se deduce que la rata de cambio dS/dT es mas pronunciada para
una trayectoria isocorica V = 2 (en amarillo) que para una trayectoria isocorica V = 1
(azul). Ello debıdo al caracter extensivo de las variables en consideracion.
La energıa interna se puede calcular de la definicion de la energıa libre de Helmholtz
(siguiendo a Landau) [7]:
F = E − TS
E =1
30
π2k4BT
4V
~3c3(14)
100 200 300 400 500T K
0.00001
0.00002
0.00003
0.00004
EJ
Figura 4.3: Comportamiento de la energıa interna de la radiacion en el espacio-tiempo deMinkowski.
La Figura (4.3) muestra el comportamiento de la energıa total interna de la radiacion
en funcion de la temperatura a volumen constante. Se aprecia un aumento de la energıa
29
interna de la radiacion cuando aumenta la temperatura, lo que es debıdo a un crecimiento
en la frecuencia de los fotones cuando aumenta la temperatura1. Se trazaron varias trayec-
torias isocoricas al igual que las Figuras anteriores, al ser consideradas diferentes isocoras
aumenta la rata de cambio dE/dT .
La capacidad calorıfica o calor especıfico a volumen constante sera:
Cv =
(∂E
∂T
)V
Cv =2
15
π2k4BT
3V
~3c3(15)
100 200 300 400 500T K
5. 108
1. 107
1.5 107
2. 107
2.5 107
3. 107
3.5 107
C JK
Figura 4.4: Comportamiento de calor especıfico de la radiacion en el espacio-tiempo deMinkowski.
1 Notese que E ∝ T 4(Ley de Sthepan-Boltzmann).
30
De acuerdo con la Figura (4.4) se tiene que la capacidad calorıfica de la radiacion crece
cuando aumenta la temperatura en un proceso isocorico. Sean trazado diferentes isocoras
siendo mas pronunciada la que presenta un mayor volumen (V = 2, en amarillo) lo cual
necesariamente afecta la rata de cambio dCV /dT .
Y la presion:
P = −(∂F
∂V
)T
P =1
90
π2k4BT
4
~3c3(16)
La Figura (4.5) corresponde la presion de la radiacion en funcion de la temperatura a
volumen constante. La presion ejercida por la radiacion es independiente del volumen del
sistema y proporcional a T 4 2.
4.3. Termodinamica de la radiacion para un campo
gravitacional intenso
Sea una metrica de la forma:
ds2 = −f(r)dt2 + f(r)−1dr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2 (17)
cuyo tensor metrico gµν posee la forma:
gµν =
−f(r) 0 0 0
0 1f(r)
0 0
0 0 r2 00 0 0 r2sin2θ
por lo que el determinante es
g = det |gµν | = −r4sin2θ
2Para un gas ıdeal esta es proporcional al cociente entre la temperatura y el volumen.
31
100 200 300 400 500T C
2. 106
4. 106
6. 106
8. 106
P Pa
Figura 4.5: Comportamiento de la presion ejercida por la radiacion en el espacio-tiempode Minkowski.
√−g = r2sinθ (18)
Retomando la expresion (12) para la energıa libre de Helmoltz:
F = −π2k4BT
4
90~3c3V
Sea V , el volumen de una esfera:
V =
∫ ∫ ∫r2sinθdrdθdφ
Introduciendo la anterior expresion en la ecuacion (12) se halla:
32
F = − π2k4B
90~3c3
∫ ∫ ∫T 4r2sinθdrdθdφ
F = − π2k4B
90~3c3
∫T 4√−gd3x (19)
donde el termino d3x = dθdφdr, si la energıa libre de Helmholtz es:
F = −π2k4BT
4
90~3c3V
y
T 4V =
∫T 4√−gd3x
Tendremos que la forma final para la energıa libre helmoltz en un campo gravitacional
intenso es:
F =
∫kBTLn
∣∣∣∣1− e~ω(K)kBT
∣∣∣∣ 4πK2dK
(2π)2
∫T 4√−gd3x (20)
De nuevo podemos hacer uso de la sustitucion:
z =~cKkBT
dz =~cdKkBT
para evaluar primera integral que existe en (20), la cual converge al valor de −π4
45, asi
que:
F = − π2k4B
90~3c3
∫T 4√−gd3x (21)
33
si f(r) en la metrica (17) corresponde al caso de Schwarzchild:
ds2 = −c2(
1− 2Gm
c2r
)dt2 +
(1− 2Gm
c2r
)−1
dr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2 (22)
y cuyo tensor metrico es de la forma:
gµν =
1− 2Gm
c2r0 0 0
0 11− 2Gm
c2r
0 0
0 0 r2 00 0 0 r2sin2θ
por lo que el determinante es:
g = det |gµν | = −r4sin2θ
Y T en (21) esta dado por la ley de Tolman:
T (r) =T∞√f(r)
(23)
T (r) =T∞√
1− 2Gmc2r
(24)
En donde T∞ corresponde a la temperatura medida por un observador en el infinito
[3]. Por lo anterior (21) se reduce a:
F =π2k4
B
90~3c3
∫ [T∞√f(r)
]4
r2sinθd3x (25)
Si consideramos el limite cuando r → ∞ conduce a la forma de la energıa libre de
Helmholtz para la radiacion de cuerpo negro en el espacio euclideo, para cuando f(r) =
1− 2Gmc2r
.
34
Cerca del horizonte se puede reemplazar la coordenada r por la coordenada ρ [20], que
mide la distancia propia desde el radio de Schwarzschild, RS = 2Gmc2
:
ρ =
∫ R
RS
√1
f(r′)dr′ =
∫ R
RS
√1
1− 2Gmc2r′
dr′
Integrado:
ρ =√R(R−RS) +RSArcsinh
[√R
RS
− 1
]
Cerca al radio de Schwarzschild la coordenada ρ se puede aproximar a:
ρ ≈ 2
√2Gm
c2(R− 2Gm
c2) (26)
Despejando el termino r − 2Gmc2
:
r − 2Gm
c2=
c2ρ2
8Gm(27)
Por lo que el factor 1− 2Gmc2r
de la metrica de Schwarzchild queda:
1− 2Gm
c2r=
ρ2κ2
c4
1 + ρ2κ2
c4
(28)
Siendo κ 3:
κ =c4
4Gm
Que corresponde a la gravedad superficial cerca del horizonte4. Hagamos una expansion
en serie para la expresion (27):
3La gravedad superficial cerca del radio de Schwarzschild esta definida como:
κ = −c2
2df(r)r
Siendo f(r) = −(1− 2Gm
c2r
)4Ver referecia [15].
35
ρ2κ2
c4
1 + ρ2κ2
c4
=κ2ρ2
c4− κ4ρ4
c8+κ6ρ6
c12+ ...
Con una aproximacion a primer orden:
1− 2Cm
c2r≈ κ2ρ2
c4(29)
De otro lado considerando el diferencial para la expresion (26):
dr =c2ρdρ
4Gm
dr2 =κ2ρ2dρ2
c4(30)
Por lo que la metrica (22) se transforma a:
ds2 = −c2[κ2ρ2
c4
]dt2 + dρ2 + r2(dθ2 + sin2θdφ2) (31)
Veamos en detalle la parte angular para la metrica (30), es decir el termino r2(dθ2 +
sin2θdφ2), que corresponde al elemento de linea en coordenadas esfericas. Si hacemos que
tal elemento de linea sea igual a otro en coordenadas cartesianas5 tendremos:
r2(dθ2 + sin2θdφ2) = dx2 + dy2 (32)
Por lo que la metrica (30) se reduce a:
ds2 = −c2[κ2ρ2
c4
]dt2 + dρ2 + dx2 + dy2 (33)
ds2 = −c2[κ2ρ2
c4
]dt2 + dρ2 + dσ2 (34)
5Ello es valido solo localmente cerca del horizonte.
36
Con dσ2 = dx2 + dy2 y cuyo tensor metrico asociado gµν es:
gµν =
−κ2ρ2
c40 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 1
(35)
Dado que gµν es diagonal, su determinante es el producto de las elementos que se
hallan sobre la diagonal:
g = det |gµν | = −κ2ρ2
c4(36)
Por otro lado consideremos la Ley de Tolman:
T (r) =T∞√f(r)
Donde f(r) corresponde a la componente temporal del tensor metrico (34), −κ2ρ2
c4y
T∞ es la temperatura medida por un observador asintoticamente lejano del horizonte, por
que la Ley de Tolman queda:
T =T∞c
2
κρ(37)
La energıa libre de Helmoltz para un sistema que se halla en un campo gravitacional
de acuerdo a (21) en coordenadas de Rindler toma la forma:
F = −π2k4Bc
3
90~3T 4∞κ−3
∫d2σ
∫ρ−3dρ (38)
Donde hemos aprovechado el hecho de hacer d3x = dρd2σ. Haciendo A =∫d2σ e
integrando entre ρ = 0 y ρ = ρ0:
F = −π2k4Bc
3
90~3T 4∞κ−3A
∫ ρ=ρ0
ρ=0
ρ−3dρ (39)
37
F = −π2k4Bc
3
90~3T 4∞κ−3A
[− 1
2ρ2
]ρ=ρ0ρ=0
(40)
Asi, tenemos que la funcion para la energıa libre de Helmholtz diverge para cuando
ρ = 0 (sobre el horizonte). Luego se hace necesario introducir un cut off para evitar la
divergencia y asi poder evaluar (38):
F = −π2k4Bc
3
90~3T 4∞κ−3A
∫ ρ=δ
ρ=ε
ρ−3dρ (41)
F = −π2k4Bc
3
90~3T 4∞κ−3A
[− 1
2ρ2
]ρ=δρ=ε
F = −π2k4Bc
3
90~3T 4∞κ−3A
[−1
2
(1
δ2− 1
ε2
)](42)
Con la aproximacion de δ ε,(41) se puede reduce a:
F = −π2k4Bc
3
90~3T 4∞κ−3A
1
2ε2
F = − π2k4Bc
3
180~3ε2T 4∞κ−3A (43)
La Figura (4.6) muestra el comportamiento de la energıa libre de Helmholtz en fun-
cion de la temperatura. Se han trazado varias trayectorias a area constante6, donde se
presenta un decreciemiento mas pronunciado (dF/dT < 0) para un area mayor (marcado
en amarillo).
De la termodınamica estandar sabemos la relacion entre entropıa y la energıa libre de
Helmholtz:
S = −(∂F
∂T∞
)V
38
100 200 300 400 500T K
15 000
10 000
5000
F J
Figura 4.6: Comportamiento de la energia libre de helmholtz en espacio-tiempo de Rindlerpara un cut off e = 10.
S =π2k4
Bc3
45~3ε2T 3∞κ−3A (44)
La Figura (4.7) muestra el comportamiento de la entropıa de la radiacion manteniendo
el area constante en funcion de la temperatura. Esta muestra que la entropıa es una funcion
creciente de la temperatura. Y que para diferentes trayectorias a area constante la rata de
cambio es mas pronunciada para un mayor area (amarillo) que para una menor (azul).
Siguiendo el mismo metodo empleado para calcular las propiedades termodinamicas de
la radiacion en un espacio-tiempo plano, lo haremos para cerca del horizonte. La energıa
interna corresponde a:
dE = dF + T∞dS
6la curvas corresponden a los siguientes valores azul = 1, rojo = 1.5 y amarillo = 2.0
39
100 200 300 400 500T K
20
40
60
80
100
120
S JK
Figura 4.7: Comportamiento de la entropıa en espacio-tiempo de Rindler para un cut offe = 10.
donde F viene dado por (42), por lo que E es:
E =π2k4
Bc3
60~3ε2T 4∞κ−3A (45)
La Figura (4.8) muestra la energıa interna de la radiacion en un funcion de la tem-
peratura manteniendo el area constante. Esta muestra un comportamiento creciente en
funcion de la temperatura, ello es dado pues con un crecimiento de la temperatura se
evidencia la presencia de fotones mas energeticos en el gas7.
La capacidad calorıfica a volumen constante es:
Cv =
(∂E
∂T∞
)V
7Como se sabe estos deben estar aumentando su energıa en un factor hν.
40
100 200 300 400 500T K
10 000
20 000
30 000
40 000
EJ
Figura 4.8: Comportamiento de la energıa interna en espacio-tiempo de Rindler con cutoff e = 10.
Cv =π2k4
Bc3
15~3ε2T 3∞κ−3A (46)
La Figura (4.9) muestra el comportamiento de la capacidad calorıfica de la radiacion
en funcion de la temperatura a un area dada constante. Este se muestra como una funcion
creciente de la temperatura. Al igual que las propiedades anteriores es funcion del area
considerada, a un mayor area (amarillo) la razon de crecimiento es mas pronuciada que a
una menor (azul).
Finalmente la presion ejercida por la radiacion:
P = −(∂F
∂V
)T∞
Dado que la presion viene dada en terminos de un diferencial energetico (F ) respecto a
41
100 200 300 400 500T K
50 000
100 000
150 000
C JK
Figura 4.9: Comportamiento del capacidad calorıfica en espacio-tiempo de Rindler con cutoff e = 10.
uno volumetrico a temperatura constante; tal diferencial podemos expresarlo como ∂V =
ε∂A. Entonces:
P = −1
ε
(∂F
∂V
)T∞
P =π2k4
Bc3
180~3ε3T 4∞κ−3 (47)
La Figura (4.10) muestra el comportamiento de la presion ejercida por la radiacion
en funcion de la temperatura. Notese que igual que la presion en el caso de Minkowski la
presion es proporcional a T 4.
En el Apendice A, se muestran las Figuras de superficie para las propiedades de las
radiacion en el espacio-tiempo de Minkowski (superficie reflectora exterior) y en el espacio-
tiempo de Rindler (superficie reflectora interior). El comportamiento cuando se comparan
42
100 200 300 400 500T C
200
400
600
800
P Pa
Figura 4.10: Comportamiento de la presion ejercida por la radiacion en espacio-tiempo deRindler con cut off e = 10.
las superficies de la energıa libre de Helmholtz en Minkowski (Figura 8.1) y en Rindler son
similares (Figura 8.6 con diferentes cut off) con una disminucion en las escalas de energıa lo
cual implica una disminucion en los grados de libertad del sistema. Similares conclusiones
se pueden obtener cuando se comparan las propiedades termicas de la radiacion cuando
se calcularon sobre la superficie exterior y la superficie reflectora interior.
Las ecuaciones que describen las propiedades termodinamicas de la radiacion cerca
del horizonte se pueden rescribir en terminos de la propiedades de un gas de fotones en el
espacio de Minkowski por un factor que incluye la gravedad (geometrico):
Para la energıa libre de Helmholtz
F =F0
V0
[Ac6
2ε2κ3
](48)
Donde F0 y V0 corresponden a la energıa libre de Helmholtz y el volumen ocupado
43
por la radiacion en el espacio-tiempo de Minkowski.
Para la entropıa tendremos:
S =S0
V0
[Ac6
2ε2κ3
](49)
Donde S0 y V0 corresponden a la entropıa y el volumen ocupado por la radiacion en
el espacio-tiempo de Minkowski.
la energıa interna:
E =E0
V0
[Ac6
2ε2κ3
](50)
Donde E0 y V0 corresponden a la energıa y el volumen ocupado por la radiacion en
el espacio-tiempo de Minkowski.
La capacidad calorıfica a volumen constante:
CV =CV0
V0
[Ac6
2ε2κ3
](51)
Donde CV0 y V0 corresponden la capacidad calorıfica y el volumen ocupado por la
radiacion en el espacio-tiempo de Minkowski.
la presion ejercida por la radiacion:
P = P0
[c6
ε3κ3
](52)
CAPITULO 5NOCION DE FOTON EN UN CAMPO
GRAVITACIONAL INTENSO
5.1. Construccion de la funcion de distribucion de
Wien en un campo gravitacional intenso
Si consideramos que la radiacion cerca del radio de Schwarzschild se halla en equilibrio
con este, se podria argumentar que la radiacion cerca del horizonte tendrıa una temperatua
T∞ = TH medida por un observador asintoticamente lejano. Si el espectro de luz que emite
la radiacion cercana la horizonte obedece a la ley de cuerpo negro. Es de esperar que tal
radiacion tambien este sujeta a la Ley de Desplazamiento de Wien que nos permite asociar
un parametro de equilibiro termodinamico como lo es la temperatura con la longitud de
onda maxima a la cual radia el gas de fotones:
T (r)λmax(r) = 0, 2898 ∗ 10−3mK (1)
Donde T (r) corresponde a la temperatura que obedece la Ley de Tolman:
T (r) =T∞√f(r)
Por lo tanto:
T (r) =0, 2898 ∗ 10−3mK
λmax(r)(2)
De otro lado la radiacion encerrada dentro de una cavidad que se halle en el espacio-
tiempo plano tambien obedece la Ley de Desplazamiento de Wien. Por lo que podemos
44
45
escribir:
T∞ =0, 2898 ∗ 10−3mK
λmax∞(3)
Luego la Ley de Tolman se transforma a:
λmax(r) =√f(r)λmax∞ (4)
2000 4000 6000 8000 10 000r
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 5.1: Correccion de la longitud de onda de los fotones debido a la presencia del campogravitacional con f(r) = 1 − 2Gm
c2r. Notese que se presenta un comportamiento asintotico
para r = Rs. El calculo se realizo para un objeto gravitante de una masa solar.
La Figura (5.1) muestra la correccion de la longitud de onda de la radiacion electro-
magnetica debido a la presencia del campo gravitacional. Se observa que los fotones de
46
menor logitud de onda (y por ende los mas energeticos) se hallan mas cercanos a la su-
perficie reflectora interna y los de mayor longitud de onda se empiezan a alejar de esta
superficie.
La longitud de onda de la radiacion se puede reescribir en terminos de la frecuencia
de los fotones:
νmax(r) =νmax∞√f(r)
(5)
2000 4000 6000 8000 10 000r
5. 108
6. 108
7. 108
8. 108
Figura 5.2: Correccion de la frecuencia de onda de los fotones debido a la presencia delcampo gravitacional con f(r) = 1− 2Gm
c2r.
La Figura (5.2) muestra la correccion de la frecuencia de la radiacion electromagnetica
debido a la presencia del campo gravitacional. Se observa que los fotones de mayor fre-
cuencia se hallan mas cercanos a la superficie reflectora interna y los de menor frecuencia
47
se empiezan a alejar de esta superficie.
Asi cuando el gas se halla muy se cerca del horizonte debe tener una temperatura
T (r) = TH y de acuerdo a la Ley de Desplazamiento de Wien tendremos la longitud de
onda λmaxH :
λmaxH = 0, 2898 ∗ 10−2 8πGkBm
~c3(6)
Consideremos la ley de radiacion de cuerpo negro dada por Wien:
ρ =8πh
c3ν3e− hνkBT (7)
De acuerdo a las ecuaciones (4), (5) y la ley de Tolman. Se tendra que la funcion de
distribucion de cuerpo negro dada por Wien para cuando un gas de fotones esta cerca del
horizonte sera:
ρg =8πh
c3ν3(r)e
− hν(r)kBT (r) (8)
ρg =8πh
c3ν3∞
[f(r)]3/2e− hν∞kBT∞ (9)
Donde ν∞ y T∞ corresponden a la frecuencia y la temperatura medidas en el infinito.
En el caso de Schwarzschild, la funcion de distribucion de Wien toma la forma:
ρg =8πh
c3ν3∞[
1− 2Gmc2r
]3/2 e− hν∞kBT∞ (10)
La Figura (5.3) muestra el comportamiento de la funcion de distribucion de cuerpo
negro de Wien en presencia de un campo gravitacional para la metrica de Schwarzschild.
A medida que la radiacion se acerca a la superficie reflectora interna la funcion tiende a
incrementar el area bajo la curva, que en ultimas es la cantidad total de energıa que hay
presente en el gas (linea azul)1.
1Que corresponde a r = 103.8m, rojo a r = 104m, amarillo a r = 104.5m y verde r = 105.2m.
48
2000 4000 6000 8000 10 000
1. 1048
2. 1048
3. 1048
4. 1048
Figura 5.3: Correccion de la distribucion de Wien debido al campo gravitacional con lametrica de schwarzschild.
Si realizamos el cociente en las distribuciones de cuerpo negro dadas en (7) y (8):
ρgρ
=1[
1− 2Gmc2r
]3/2 (11)
Tomando el limite cuando r →∞, ρg se reduce a ρ que corresponde al caso clasico de
la funcion de distribucion dada por Wien.
La Figura (5.4) muestra el comportamiento de la funcion de distribucion de cuerpo ne-
gro de Wien en presencia de un campo gravitacional para la metrica de Rindler. Se observa
un comportamiento similar la distribucion de Wien en el espacio-tiempo de Schwarzschild.
Se tiene que un observador local ubicado a una distancia de r = 1lp (linea azul 2 ) medira
2Que corresponde a r = 1lp, rojo a r = 2lp, amarillo a r = 3lp y verde r = 4lp. Siendo lp la longitud
49
2000 4000 6000 8000 10 000
1. 1015
2. 1015
3. 1015
4. 1015
5. 1015
Figura 5.4: Correccion de la distribucion de Wien debido al campo gravitacional con lametrica de rindler.
una distribucion de de la radiacion circundante como la marcada en azul. De alli en ade-
lante si se aleja del radio gravitacional Rs; apreciara un disminucion del area bajo la curva
lo que corresponde a una disminucion de la energıa interna de la radiacion. Se presenta un
corrimiento al rojo para un observador asintoticamente lejano. La energıa por foton esta
disminuyendo en un factor hν. Lo cual concuerda con las Figuras (5.1) y (5.2). Los fotones
mas energetıcos se hallan cerca del radio gravitacional.
5.2. Nocion de foton en un campo gravitacional in-
tenso
En este apartado verificaremos si la nocion de foton hallada por Einstein en 1905 [1]
se mantiene cuando se estudia la radiacion en una superficie de Schwarzschild. Seguiremos
de Planck lp =√
G~c3 = 1.61624 ∗ 10−35m
50
el metodo usado por Einstein. En condiciones de equilibrio termodinamico, la radiacion
que rodea al horizonte tendra maxima entropıa:
S = V
∫ ∞0
φ(ρ, ν)dν (12)
Para (12) tenemos que φ es funcion de la distribucion de cuerpo negro de Wien3 y la
frecuencia de la radiacion. En condiciones de equilibrio termodinamico se tendra:
δ
∫ ∞0
φ(ρ, ν)dν = 0 (13)
δ
∫ ∞0
νdν = 0 (14)
Asi, Einstein anade que para un cuerpo negro δρ(ν):
δ
∫ ∞0
[∂φ
∂ρ− λ]δρdν = 0 (15)
Con λ y ∂φ∂ρ
funciones independientes de ν. Con un gradiente de temperatura dT de la
radiacion de cuerpo negro para un volumen V = 1:
dS =
∫ ∞0
∂φ
∂ρdρdν (16)
Y seguidamente Einstein asegura que el termino de ∂φ∂ρdρ es independiente de la fre-
cuencia de la radiacion:
dS =∂φ
∂ρdρ
∫ ∞0
dν
Si hacemos:
dE = dρ
∫ ∞0
dν
3Dentro de rango de validez de altas energıas y altas frecuencias.
51
Por lo que tendremos:
dS
dE=dφ
dρ(17)
De la termodinamica estandar sabemos que:
dS =dE
T
∂S
∂E=
1
T(18)
Igualando (17) y (18):
dφ
dρ=
1
T(19)
Tomando la funcion de distribucion de cuerpo negro de Wien en un campo gravitacional
(ρg) para el caso de Schwarzschild:
ρg =8πh
c3ν3∞[
1− 2Gmc2r
]3/2 e− hν∞kBT∞
Despejando el termino 1/T∞:
1
T∞= − kB
hν∞ln
∣∣∣∣∣ρgc3(1− 2Gm
c2r
)3/28πhν3
∞
∣∣∣∣∣ (20)
Igualando (19) y (20). Valiendonos del hecho que T y T∞ son la misma, corresponde
a la tempetarura medida por un observador en el infinito :
dφ
dρg= − kB
hν∞ln
∣∣∣∣∣ρgc3(1− 2Gm
c2r
)3/28πhν3
∞
∣∣∣∣∣
52
Integrando:
φ = −kBρghν
[ln
∣∣∣∣∣c3ρg(1− 2Gm
c2r
)3/28πhν3
∣∣∣∣∣− 1
](21)
Einstein sigue:
S = V φ(ρ, ν)dν
Donde:
ρg =E
V
Por lo que la entropıa de la radiacion cerca del horizonte sera:
S = −kBEhν
[ln
∣∣∣∣∣Ec3(1− 2Gm
c2r
)3/28πV hν3dν
∣∣∣∣∣− 1
](22)
Sea S0 la entropıa de la radiacion confinada a un volumen V0 = A0ε y V = Aε:
S0 = −kBEhν
[ln
∣∣∣∣∣Ec3(1− 2Gm
c2r
)3/28πεA0hν3dν
∣∣∣∣∣− 1
](23)
Restando (23) de (22):
S − S0 = −kBEhν
ln
∣∣∣∣ AA0
∣∣∣∣ (24)
∆S = kBln
∣∣∣∣ AA0
∣∣∣∣ Ehν (25)
De la termodinamica estandar se sabe que la entropıa es proporcional al logaritmo de
numero de microestados del sistema:
∆S = kBln |Ω| (26)
53
Y Eintein hallo que la entropıa es:
∆S = kBln
∣∣∣∣ VV0
∣∣∣∣ Ehν (27)
Hemos de considerar siempre valido en nuestro estudio el principio de Boltzmann y
dado que la entropıa de la radiacion cuando se halla cerca al horizonte es proporcional al
area. Se puede llegar a la conclusion que:
Ω =
[A
A0
] Ehν
(28)
Que surge de la comparacion entre (25), (26) y (27). Dado que Ω en este caso es
proporcional al area, el numero de grados de libertad disminuye cuando la radiacion se
halla cerca del horizonte. En la aproximacion de Wien que funciona bien en el rango de
altas energıas, la radiacion cerca a la superficie interior se comporta como un gas ideal,
con cuantos de energıa hν. Los mas energeticos se hallan en las proximidades de superficie
interior y los de mas alta longitud de onda mas lejos4.
4Tal distribucion de la radiacion observada desde el infinito apareceria con un corrimiento al rojo.
CAPITULO 6ANALISIS DE RESULTADOS
En el capıtulo 4 se demostro que las propiedades1 de la radiacion cuando son medi-
das sobre la superficie exterior se obtiene la descripcion termodinamica estandar de la
radiacion. Tales propiedades son proporcionales al volumen del sistema.
En el contexto gravitatorio las propiedades de la radiacion son proporcionales al area
cuando estas son medidas sobre la superficie reflectora interna. Lo que conduce necesaria-
mente a una perdida de grados de libertad en el sistema. Ello se justifica en el hecho que
si consideramos siempre valido el pricipio de Boltzmann, que nos indica que la entropıa es
proporcional a logaritmo de la probabilidad y tal esta ligada al conjunto de microestados2
que le son igualmente accesibles:
S ∝ Ln |Ω| (1)
En espacio de Minkowski, Einstein hallo que tal probabilidad es de la forma:
Ω =
[V
V0
]N(2)
Que nos da la probabildad de que N partıculas de un gas ideal se hallen confinadas en
un momento dado a un volumen V en lugar de hallarse en un volumen V0. El capitulo 4
se hallo que la entropıa es proporcional al area cuando esta es medida cerca del casquete
interno. El numero de microestados que ahora son accesibles al sistema ha disminiudo
cuando se ha incorporado la gravedad en la descripcion termodinamica de la radiacion:
Ω =
[A
A0
]N(3)
1Energıa libre de Helmholtz, entropıa, energıa interna, calor especıfico y presion2Tal numero de configuraciones esta ligada necesariamenta al numero de grados de libertad que posee
el sistema
54
55
Que ha pasado con esos microestados que ya no son accesibles al sistema? En condi-
ciones de equilibrio termico todos los microestados son equiprobables. Cuando consider-
amos la gravedad en la descripcion estadistica de la radiacion ciertos microestados dejan
de ser equiprobables y por lo tanto ya no son accesibles al sistema.
En ultimas la gravedad lo que hace es imponer una ligadura sobre el sistema. Lo cual
limita el numero de grados de libertad y por ende el conjunto de microestados decrece
pues ciertos microestados que antes le eran accesibles ya no lo son pues dejaron de ser
equiprobables3. Ello tambien se evidencia cuando se comparan las escalas de las Figuras
(8.1) y (8.6) de Apendice A. El comportamiento de las superficies F (T, V ) y F (T,A) es
similar pero los ordenes de magnitud son muy diferentes4.
Igual ocurre para las Figuras (8.2) y (8.7) que corresponde a la descripcion de la
entropıa asociada a la radiacion en los casquetes exterior e interior respectivamente. El
comportamiento de las superficie S(T, V ) y S(T,A) muy similar con ordenes de magnitud
diferentes. Y para cuando es medida cerca de la superficie de Schwarzschild5.
Un analisis dimensional de las entropıas en el espacio-tiempo de Minkowski (ecuacion
4.13) y en el espacio-tiempo de Rindler (ecuacion 4.44) nos permite verificar algunos prin-
cipios:
S =2
45
π2k4BT
3V
~3c3
3Es importante comentar en este punto existe un disminucion del numero de microestados que sonaccesibles al sistema cuando se calculo la entropıa en la pared reflectora interna dado que S ∝ A y noS ∝ V como suele suceder en la termodinamica clasica. Por lo que se podria argumentar que se presentaun disminucion en la entropıa lo que a la postre seria una violacion a la segunda ley. Evidentemente sepresenta una disminucion en la entropıa asociada a la radiacion cuando es calculada en la pared internapues el numero de microestados ha disminuido pues hay menos grados de libertad. Pero una disminucionen la entropıa asociada al radiacion no significa que vaya en contra de la segunda ley, sino que debemosconsiderar un aumento de la entropıa en algun otro campo que no hallamos tenido en cuenta en el presentetrabajo. O a que la entropıa que estamos calculando sobre la pared interna sea solamente local y no global.
4Si reemplazaramos los fotones por partıculas de un gas ideal y midieramos la energıa total promediode cada una de las partıculas encontrariamos que tal se distribuye en una parte cinetica y una potencialET = K − V (r). Esta ultima es estrictamente de caracter atractivo y dado la radiacıon esta inmersadentro de un campo gravitacional fuerte los efectos de la energıa potencial sobre la radiacion son la fuentedel comportamiento exhibido en las graficas de las superficies termodinamicas estudiadas.
5Similares conclusiones sugeren de la comparacion de las Figuras (8.2) y (8.8) que corresponde a lassuperficies de la energıa interna de la radiacion. De las Figuras (8.4) y (8.9) que corresponde a las superficiesdel calor especıfico de la radiacion y de las Figuras (8.5) y (8.10) que corresponde a las superficies de lapresion de la radiacion.
56
S
[J4
K4K3m3
J3s3m3
s3
]
S
[J4
K4K3
J3s3 1s3
] [m3
m3
]Lo anterior permite asegurar que la ecuacion (4.13) que describe la entropıa en la
superficie reflectora exterior es proporcional al volumen. Es interesante anotar que esta
expresion de la entropıa vista de esta forma es similar a la que Einstein hallo en su trabajo
original (ecuacion 2.6) que describe el numero de microestados de la radiacion en el espacio-
tiempo de Minkowski. La entropıa para cuando se esta cerca del radio de Schwarzschild
(ecuacion 4.44) es:
S =1
45
π2k4Bc
3T 3A
~3ε3κ3
S
[J4
K4K3m3
s3m2
J3s3m3
s6m2
]
S
[J4
K4K3m3
s3
J3s3m3
s6
] [m2
m2
]Esto ultimo nos permite asegurar que la expresion (4.44) es proporcional al area donde
esta se puede expresar como A = nε2, que corresponde al corte que se elija6. Esta ecuacion
es muy similar desde este analisis a la ecuacion (5.25) que corresponde a la entropıa cerca
del radio de Schwarzschild.
Si la radiacion proxima a la superficie reflectora interna esta en equilibrio termico con
esta y si su espectro es de caracter planckiano debera. Entonses debera obdecer la Ley de
desplazamiento de Wien que junto con la Ley de Tolman nos permite vincular la longitud
de onda y la temperatura de la radicacion cerca del horizonte:
λmax(r) =√f(r)λmax∞ (4)
6Las propiedades termicas de la radiacion dependen del tipo de corte que se elija, hay libertad en esteestudio para ello.
57
Considerando valida la funcion de distribucion de Wien de para la radiacion de cuerpo
negro dentro del rango de altas energıas se mostro que esta viene corrigida por el campo
gravitacional de la forma:
ρg =8πh
c3ν3∞
[f(r)]3/2e− hν∞kBT∞ (5)
En el caso de el espacio-tiempo de Schawrzschild, f(r) corresponde a 1 − 2Gmc2r
, por
lo que la distribucion de Wien para la radiacion de cuerpo negro inmersa en un campo
gravitacional sera:
ρg =8πh
c3ν3∞[
1− 2Gmc2r
]3/2 e− hν∞kBT∞ (6)
Vemos en la Figura (5.3) se observa que la funcion de distribucion de Wien se ve
corregida por el campo gravitacional y si consideramos el lımite cuando r → ∞ se tiene
que la funcion de distribucion se reduce a la distribucion clasica.
Bajo la consideracion que la entropıa es proporcional al area y siguiendo el metodo de
Einstein se hallo:
∆S = kBln
∣∣∣∣ AA0
∣∣∣∣ Ehν (7)
De la termodinamica estandar se sabe que la entropıa es proporcional al logaritmo de
numero de microestados del sistema:
∆S = kBln |Ω| (8)
Y Eintein en su trabajo hallo que la entropıa es:
∆S = kBln
∣∣∣∣ VV0
∣∣∣∣ Ehν (9)
Hemos de considerar siempre valido en nuestro estudio el principio de Boltzmann y
dado que la entropıa de la radiacion cuando se halla cerca al horizonte es proporcional al
58
area. Se puede llegar a la conclusion que:
Ω =
[A
A0
] Ehν
(10)
Que surge de la comparacion entre (5.25), (5.26) y (5.27). Dado que Ω en este caso
es proporcional al area, el numero de grados de libertad disminuye cuando la radiacion
se halla cerca del horizonte. En la aproximacion de Wien que funciona bien en el rango
de altas energıas. La radiacion de cerca del horizonte se comporta como un gas ideal, con
cuantos de energıa hν. Los mas energeticos se hallan en las proximidades del horizonte
y los de mas alta longitud de onda mas lejos. Tal distribucion de la radiacion observada
desde el infinito apareceria con un corrimiento al rojo.
CAPITULO 7CONCLUSIONES
En el presente trabajo se calcularon las propiedades de termodinamicas de radiacion
sobre dos superficies esfericas reflectoras que rodean a un cuerpo gravitacional. Se mostro
que cuandos se miden las propiedades termicas en el casquete exterior estas son propor-
cionales al volumen. Cuando estas mismas propiedades se midieron en el casquete interno
fueron proporcionales al area. El comportamiento termico de la radiacion se ve corregida
por la presencia del campo gravitacional lo cual implica que el numero de microestados y
por consiguiente el numero de grados de libertad se ven disminuidos.
En la aproximacion de altas energıas, se construyo una funcion que vincula la ley de
Tolman y la ley de desplazamiento de Wien que diera cuenta como se afecta la longitud
de onda en funcion de la distancia radial:
λmax(r) =√f(r)λmax∞ (1)
Lo que nos permite determinar que los fotones mas energeticos se hallan en las prox-
imidades de la superficie reflectora interna y los menos energeticos mas alejados.
Aprovechando este hecho se pudo construir la funcion de distribucion de cuerpo negro
de Wien:
ρg =8πh
c3ν3∞[
1− 2Gmc2r
]3/2 e− hν∞kBT∞ (2)
Bajo la consideracion que la entropıa es proporcional al area y siguiendo el metodo de
Einstein se hallo:
∆S = kBln
∣∣∣∣ AA0
∣∣∣∣ Ehν (3)
59
60
De la termodinamica estandar se sabe que la entropıa es proporcional al logaritmo de
numero de microestados del sistema:
∆S = kBln |Ω| (4)
Y Eintein en su trabajo hallo que la entropıa es:
∆S = kBln
∣∣∣∣ VV0
∣∣∣∣ Ehν (5)
Hemos de considerar siempre valido en nuestro estudio el principio de Boltzmann y
dado que la entropıa de la radiacion cuando se halla cerca al horizonte es proporcional al
area. Se puede llegar a la conclusion que:
Ω =
[A
A0
] Ehν
(6)
Dado que Ω en este caso es proporcional al area, el numero de grados de libertad disminuye
cuando la radiacion se halla cerca del horizonte. En la aproximacion de Wien que funciona
bien en el rango de altas energıas. La radiacion de cerca del horizonte se comporta como
un gas ideal, con cuantos de energıa hν.
CAPITULO 8ANEXOS
8.1. Anexo A:Propiedades de la radiacion en el espacio-
tiempo de Minkowski
Figura 8.1: Comportamiento de la energıa libre de Helmholtz en el espacio-tiempo deMinkowski.
61
62
Figura 8.2: Comportamiento de la entropıa en el espacio-tiempo de Minkowski.
8.2. Anexo B:Propiedades de la radiacion en el espacio-
tiempo curvo
8.3. Anexo C:Deduccion empıricam de la ley de Wien
[25-30]
No era difıcil para W. Wien ubicar la funcion de distribucion de cuerpo negro en una
funcion analıtica, cerca del origen, esta se comporta como una funcion ax2 o ax3 y lejos se
comporta como e−bx. Asi tenemos que en una parte la funcion es creciente, llega a cierto
maximo y posteriormente decrece pero nunca es cero. Una forma es
y = x−ne−1/x (1)
Que ofrecen una descripcion similar a la funcion de distribucion de cuerpo negro. En
1894, Wien llego preliminarmente a una ecuacion empırica para el espectro de cuerpo
negro de la forma:
ρ(λ) = aλγe−f (2)
63
Figura 8.3: Comportamiento de la energıa interna de la radiacion en el espacio-tiempo deMinkowski.
donde a es una constante, γ es un exponente entre−5 y−6 y f una funcion desconocida
[29]. Wien simplimente buscaba una ecuacıon analıtica que describiera el comportamiento
de ρ(λ) en funcion de λ. El no buscaba una derivacion de primeros principios. En 1895,
Paschen y Wien propusieron una funcion para la radiacion de cuerpo negro de la forma:
ρ(λ) = aλγe−bλT (3)
Cambiando ρ(λ) por ρ(ν):
ρ(ν) = acγ+1ν−(γ+2)e−bνcT (4)
Siendo c la velocidad de la luz y T la temperatura del cuerpo negro. Sea:
n = −(γ + 2)
α = acγ+1
y
β =b
c
64
Figura 8.4: Comportamiento de calor especıfico de la radiacion en el espacio-tiempo deMinkowski.
Por lo que (4) se reduce a:
ρ(ν) = ανne−βνT (5)
Wien pronto pudo demostrar que n debe ser igual a 3 para que fuese consistente con
la ley de Stefan-Boltzmann:
ρ = σT 4 (6)
La radiacıon total en todas las frecuencias es:
ρ =
∫ ∞0
ρ(ν)dν = α
∫ ∞0
νne−βνT dν =
αn!(βT
)n+1 (7)
Donde se ha aprovechado el hecho que:
∫ ∞0
xne−axdx =n!
an+1
65
Figura 8.5: Comportamiento de la presion ejercida por la radiacion en el espacio-tiempode Minkowski.
En el caso de n=3:
ρ =αn!(βT
)n+1 =α(1 ∗ 2 ∗ 3)(
βT
)4 =6α
β4T 4
Luego:
ρ(ν) ∝ cte ∗ T 4
66
Figura 8.6: Comportamiento de la energia libre de helmholtz en espacio-tiempo de Rindlerpara diferentes cut off.
Figura 8.7: Comportamiento de la entropıa en espacio-tiempo de Rindler para diferentescut off.
67
Figura 8.8: Comportamiento de la energıa interna en espacio-tiempo de Rindler con difer-entes cut off.
Figura 8.9: Comportamiento del calor especifico en espacio-tiempo de Rindler con difer-entes cut off.
68
Figura 8.10: Comportamiento de la presion ejercida por la radiacion en espacio-tiempo deRindler para diferentes cut off.
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