u2-interacion gravitacional

Apuntes de fsica II. Gravitacin

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Captulo 2.

Interaccin gravitacional

2.1 INTRODUCCION. Segn la leyenda Newton descubri la ley de la gravitacin universal sentado en su jardn y contemplando la cada de una manzana. En realidad este descubrimiento se desarroll durante un perodo de 20 aos, y es un ejemplo caracterstico de cmo avanza la ciencia. Durante esas dos dcadas, Newton refin y desarroll las ideas heredadas, combati el error y finalmente logr resultados poderosos. Su xito ha tenido un impacto enorme en nuestra ciencia y en nuestra cultura general. En 1632 Galileo haba establecido las bases de la mecnica, y Kepler haba descrito con exactitud el movimiento planetario: Ambos legaron un desafo: Explicar las causas fsicas del comportamiento planetario. Muchas personas trataron de resolver ese problema, pero avanzaron muy poco. Entre las piezas claves del rompecabezas, que se empezaba a armar, estaba el clculo de la aceleracin de un objeto en movimiento circular uniforme, por Christiaan Huygens (1629-1695). Pero de all en adelante no se saba como avanzar ms. Newton que haba inventado el clculo infinitesimal, descubri su tercera ley al estudiar con cuidado los choques, y encontr una forma para volver a deducir el resultado de Huygens. Pero no saba qu causa podra producir la relacin del inverso del cuadrado de la distancia y las aceleraciones de los planetas. Todava no haba captado que la fuerza es un proceso entre dos cuerpos. Primero pensaba que la fuerza es una propiedad del objeto que la siente o experimenta. Tambin, de acuerdo con Huygens, consideraba que la aceleracin de un objeto en movimiento circular tena una tendencia a huir del centro, del objeto mismo. Para avanzar en su investigacin del mundo natural, Newton tuvo que reconocer primero estas diferencias. Irnicamente, el catalizador fue una carta de su rival, Robert Hooke. Newton se dio cuenta que no haba una tendencia a huir del centro. En lugar de ello, cada planeta acelera directamente hacia el sol, porque una fuerza acta sobre l en esa direccin. Es el sol, al ejercer una fuerza de atraccin, el que mantiene al planeta en rbita. Esa atraccin no exista en los conceptos fsicos de aquella poca. El siguiente paso de Newton fue proponer una analoga con la fsica en la tierra. Saba que las fuerzas en la tierra siempre se dan en pares, y supuso que su tercera ley debera ser una regla general acerca de las



fuerzas en cualquier lugar. Si el sol tira de la tierra, la tierra tambin tira del sol. Como el sol y cada planeta ejercen fuerzas de atraccin mutua, Newton dedujo que tambin los planetas se atraen entre s. Sabia por las observaciones telescpicas de Jpiter y de Saturno que estos se desviaban ligeramente de sus rbitas elpticas. Newton pudo demostrar que las desviaciones eran las que resultaban de una atraccin entre planetas. Esta lnea de razonamiento fue la que lo condujo a la idea de una atraccin universal. El paso final fue comprobar si la atraccin universal es lo mismo que la gravedad en la tierra. Si ambas eran causadas por la atraccin de la tierra, la cada de una manzana debera relacionarse con la aceleracin de la luna en su rbita. Las aceleraciones de los dos objetos hacia la tierra deberan estar en relacin inversa con los cuadrados de sus distancias al centro de la tierra. Al hacerse la comparacin, se encontr que las dos relaciones concordaban casi exactamente. El descubrimiento por parte de Newton, de la gravitacin universal y las tres leyes del movimiento, transformaron a la ciencia. Esas leyes ofrecen una explicacin de los movimientos planetarios en trminos de una sola ley de atraccin, y al mismo tiempo un lineamiento completo para hacer fsica en la tierra. As, la fsica ces de ser una disputa acerca de principios bsicos y se transform en un programa de aplicacin de las leyes de Newton, en investigaciones y en la ingeniera. 2.2 LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL. La ley de gravitacin universal de Newton fue publicada por Sir Isaac Newton en 1687 en sus Mathematical Principles of Natural Philosophy. Generalmente esta ley se enuncia as: (Cambiar) La interaccin gravitacional entre dos cuerpos de masas m1 y m2 es una fuerza de atraccin proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa y dirigida a lo largo de la lnea que los une. Tiene un valor en magnitud de:

F =G

m1 m2 r2

2.1



Donde G es una constante universal que tiene el mismo valor para todos los pares de partculas. En la figura 2.1 se muestra como es la interaccin entre dos partculas y su representacin vectorial.

Figura 2.1

v Donde F12 es la fuerza ejercida sobre la partcula 1 debida a la partcula v 2 y F21 es la fuerza sobre la partcula 2 debida a la partcula 1, entonces,r mm F21 = G 1 2 2 r12 r2.2

v Que indica que la fuerza F21 esta dirigida hacia 1 y es antiparalela al vector unitario r12 el cual esta dirigido de la partcula 1 hacia la partcula 2. El signo menos en la ecuacin 2.2 representa una fuerza de atracv v cin. Adems, F12 y F21 forman un par de fuerzas de accin-reaccin o v v sea F12 = F21 .Es importante notar que la ecuacin 2.2 se aplica solo a masas puntuales (partculas), pero en algunos casos la fuerza gravitacional ejercida por una distribucin de masa, de tamao finito y de simetra esfrica, sobre una partcula afuera de la esfera es la misma que se tiene si se considera toda la masa concentrada en el centro de la esfera. Tambin merece atencin el hecho de que la fuerza gravitacional es de accin a distancia y que siempre existe entre dos partculas, sin importar el medio que exista entre ellas. La ley representada por la ecuacin 2.1 se ha verificado experimentalmente y en esos procesos se ha determinado el valor de G. La primera determinacin en el laboratorio del valor de G, a partir de la fuerza entre masas esfricas situadas entre s a corta distancia, la realiz Sir Henry Cavendish en 1798. Para ello us un equipo parecido a la versin moderna que aparece en la figura 2.2.



Figura 2.211

El experimento original de Cavendish dio un valor para G de 6.75x10N-m2-kg-2. En los casi 200 aos desde los tiempos de Cavendish, se ha usado la misma tcnica bsica de la balanza de torsin para repetir esta medicin muchas veces, conduciendo al valor de G aceptado actualmente, G = 6.67259 x 10-11 N.m2.kg-2 2.3 FUERZA GRAVITACIONAL CERCA DE LA TIERRA. Si se considera la tierra como una esfera en el sentido de la ecuacin 2.1, la fuerza ejercida sobre un punto de masa m que se encuentre sobre su superficie es: F =G M Em RE2

donde ME es la masa de la tierra y RE es el radio de la tierra. Tambin esta fuerza se puede indicar como se hacia en el curso de Fsica I, o sea como v v F = mg , Donde g es la aceleracin de m debida a la gravedad. ecuaciones anteriores son iguales se tiene: Como las dos

g =G

ME , 2 RE

2.3



as, en general, que g no es constante y se dirige hacia el centro de la tierra. La ecuacin 2.3 se puede usar para determinar la masa de la tierra suponiendo que en la superficie g = 9.8 m-s-2. Para otras posiciones se define r = RE+h, donde h es una posicin de m respecto a la superficie de la tierra. Entonces g para cualquier altura respecto a la superficie de la tierra es:

g =G

ME r2

2.4

La ecuacin 2.4 se usa tambin para determinar las variaciones de g debidas a distancias pequeas comparadas con el radio terrestre. En general,

M g dg = 2G 3E = 2 r dr rPor ello, dg dr = 2 g r 2.5

La ecuacin 2.5 puede emplearse como una aproximacin para cambios finitos en g, debido a cambios finitos en r, estipulando que, r 0, E = 0 y E < 0, respectivamente. Estudiemos cada caso en particular. Parbola: Haciendo E = 0 en - 5 -:



1 M S m 2 (1 1) = rf L2

Si escogiramos el signo obtendramos r f = , que no tiene sentido: para la parbola se toma el signo + en - 7 -. Hiprbola: Cuando E > 0 la raz cuadrada que aparece en - 5 - es mayor que uno; si escogiramos el signo menos en - 5 - obtendramos rf < 0, que no tiene sentido: para la hiprbola se toma el signo + en - 7 -. Elipse: Cuando E < 0 la raz cuadrada que aparece en - 5 - es menor que uno, y conservamos los dos signos en - 5 - y en - 7 -. Se obtienen as dos valores para rf correspondientes al perigeo y al apogeo, los dos puntos donde cos = 0 . 2.7 Un cuerpo se suelta desde una altura h considerada respecto a la superficie terrestre. Muestre que si h es bastante menor que el radio RT de la tierra, entonces la velocidad con que toca el suelo viene dada aproximadamente por v = 2 gh , que es un resultado bien conocido de

M fsica elemental. g 2T RT

.

Usaremos la ley de la conservacin de la energa. En el instante en que M T m , y en el instante en el objeto se suelta la energa se escribe E = RT + h que el objeto golpea la superficie terrestre la energa se escribe M T m 1 2 + mv . Al igualar estas dos expresiones se obtiene: E= RT 2 M T m 1 2 M T m + mv = , es decir: RT 2 RT + h

1 1 v 2 = 2M T RT RT + h



2M T 1 1 = h RT 1+ RT

,

pero

M TRT2

=g

1 h = 2 gRt 1 1 + RT

Ahora usando la frmula del binomio de Newton: h v 2 = 2 gRT 1 1 R + ... T

h = 2 gRT ... 2 gh RT

2.8 Una partcula de masa m puede moverse en un tubo horizontal, 2 sin friccin, como muestra la figura. Pruebe que para x L. Puede observarse sin dificultad y aplicando el teo-



rema LHopital a 4- que V=0 cuando x , como era de esperar. La velocidad de escape es: 2M x v 2 esc = ln L xLv v Nota: Sabemos que, en general, G = V :

-5-

v V V V uz uy + ux + G= x y z

Para que - 5 - tenga sentido se requiere que las tres derivadas V V V , y existan, es decir, que la funcin V est definida en el esx y z pacio tridimensional x, y, z. Como V est evaluada en y=0 y z=0 entonces el campo lo calculamos a lo largo de cualquier punto a lo largo V de x aplicando simplemente : x M V x ln = x L x x L

=

Mx ( x L)

Que corrobora el resultado - 2 -. 2.10 Un anillo de radio r tiene su masa M uniformemente distribuida. Considere un punto en el eje del anillo v a una distancia z del centro. y Para este punto calcule: a) el campo G ; b) el potencial V; c) la velocidad de escape.



Solucin: Un segmento infinitesimal de anillo, de longitud dl, tiene una masa Mdl y se encuentra a una distancia r 2 + z 2 del punto P a lo largo de 2r z como en la figura. a) El segmento dl produce en p un campo de magnitud -1-

Mdl2r (r 2 + z 2 )

;

Este campo tiene una componente horizontal (de acuerdo con el dibujo de arriba) que se cancela con la componente horizontal del campo producido por otro segmento del anillo, que es opuesto al anterior. De - 1 - sobrevive apenas la componente en direccin vertical uz :

Mdl2r (r + z )2 2

cosu z =

Mdl2r (r + z )2 2

z r2 + z23 2

uz = dl u z

Mz2r (r + z )2 2 3 2

dlu z

v G=

Mz

2r (r 2 + z 2 ) v Mz uz G= 3 (r 2 + z 2 ) 2

2r

0

b) El segmento dl produce en z un potencial dV:dV =

Mdl2r r 2 + z 2

,2r

entonces, integrando:

V =

M2r r 2 + z 2

0

dl

-3V z

V ( z) =

Mr2 + z2

Tomando la derivada

se obtiene el campo gravitacional de - 3 -:



M V = z z r2 + z2

Mz = 3 2 2 2 (r + z )

que est de acuerdo con - 2 -. c) Ahora consideremos una partcula de masa m, que pasa por el pun1 to z con velocidad v. Su energa cintica es mv 2 y la energa po2 tencial es mV con - 3 -. La energa total E es -4E=

Mm 1 2 mv 2 r2 + z2

la velocidad de escape vesc es el valor de v para E = 0, pues se esta tomando a V=0 en en z ; bien, hacemos E = 0 en - 4 - y encontramos:2 vesc =

2M r2 + z2

2.11 Un disco de radio b, con un agujero circular de radio a, tiene una densidad superficial de masa uniforme. Considere un vpunto sobre el eje del disco y a una distancia z. En z: a) halle G ; b) halle V; c) halle la velocidad de escape.

Solucin Para resolver este problema concebimos al disco como la unin de muchos anillos de radios diferentes. El dibujo de arriba muestra un anillo genrico de radio r, ancho dr, circunferencia 2 r y una masa 2rdr .



De acuerdo con las frmulas del problema anterior, este anillo genrico produce en p a lo largo de z lo siguiente: -1v 2 rdr z dG = uz 3

(r 2 + z 2 ) 2-2-

dV =

2 rdr r2 + z2

Para hallar el campo total integramos - 1 -: v b G ( z ) = 2 z a

rdr (r + z )2 2 3 2

uz ,

lo que da:

-3-

v 1 1 G ( z ) = 2 z 2 2 b2 + z 2 a +z

u z

Para hallar el potencial total se integra - 2 -:

V ( z ) = 2 -4Tomando la derivada largo del eje z :

b

r dr r2 + z2

a

V ( z ) = 2

V -4- calculamos el campo gravitacional a lo z

[b

2

+ z2 a2 + z2

]

V = 2 z z

(

[b

2

+ z2 a2 + z2

])

1 1 = 2 z 2 2 b2 + z 2 a +z

que est de acuerdo con - 3 -. c) Pensemos en una partcula de masa m, que pasa por el punto z 1 con velocidad v. Su energa cintica es mv 2 y la energa potencial es 2 mV(z) con V(z) dado por - 4 -. La energa total es:



1 2 mv 2 m b 2 + z 2 a 2 + z 2 2 la velocidad de escape vesc es el valor de v para E = 0; bien, hacemos E = 0 en - 5 - para encontrar:

-5-

E=

(

)

2 vesc = 4

(b

2

+ z2 a2 + z2

)

2.12 Una esfera maciza de radio a tiene su masav M uniformemente distribuida en todo el volumen. Halle el campo G y el potencial V dentro de la esfera. Primero que todo calculemos la densidad de masa : -1-

=

M 4 3 a 3

A una distancia de radio r:

r a , el campo

v G

se debe nicamente a una esfera

v masa de esfera de radio r G= ur r2

=

r3 ur

4 3 r2

usar - 1

v Mr - 2 - G (r ) = 3 u r a

- 2 - es expresable como menos el gradiente de un potencial:v Mr V = 3 u r ; a

en coordenadas esfricas:

v 1 1 u + u ; = ur + r r rsen



-3-

Mr 1 1 ur + r r u + rsen u V (r , , ) = a 3 u r

Igualando componentes a lado y lado de - 3 - encontramos: -4 V ( r , , )u = 0 r

1 V (r , , )u = 0 r sen -5V ( r , , ) Mr = 3 r a

Las ecuaciones - 4 - dicen que V no depende de los ngulos , es decir, V = V ( r ) ; entonces la derivada parcial en - 5 - se puede sustituir por derivada total: -6dV Mr = 3 dr a dV M = 2 dr r para r a

y,

para r a

v Como el campo G dentro y fuera de la esfera es diferente, la integral desde infinito hasta un r

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