Demonio de Maxwell:Una Simulacion y la Implementacion de la Segunda Ley

Daniel Asenjo A.*Universidad de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de Fısica

(Dated: Diciembre 2004)

Simulacion de un Demonio de Maxwell mediante dos programas (uno en tres dimensiones y otro endos con interfaz grafica) desarrollados en C++. Se inicializa un cierto numero de partıculas gaseosasde masas iguales en una caja separada en dos subvolumenes del mismo tamano. Las velocidadesiniciales se eligen aleatoriamente. El demonio de Maxwell ordena las partıculas segun sus velocidades,dejando pasar a un lado las rapidas y al otro las lentas. Esto produce una baja de entropıa y unadiferencia de temperatura entre los subvolumenes. Esta baja de entropıa se compensa con un alzade entropıa en el demonio, conservando la validez de la Segunda Ley de la Termodinamica.

I. INTRODUCCION

El Demonio de Maxwell aparecio por primera vez enel ano 1871 en [9] en la seccion Limitacion de la SegundaLey de la Termodinamica. Aquı Maxwell dice:

“Uno de los hechos mas relevantes de la ter-modinamica es que no se puede producir unadiferencia de temperatura y/o presion en unsistema adiabatico a volumen constante sinejercer trabajo sobre el sistema. Esta es la se-gunda ley de la termodinamica y se cumplemientras tratamos solo con las propiedadesmacroscopicas de los cuerpos y no podemospercibir o manipular las moleculas que loscomponen. Si concebimos un ser cuyos sen-tidos son tan agudos que puede seguir la tra-yectoria de cada molecula, entonces este ser,cuyos atributos son tan finitos como los nues-tros, podrıa hacer lo que es imposible paranosotros. Hemos visto que para una caja llenade gas a temperatura constante las velocida-des de las moleculas no son constantes aunquela velocidad media se mantiene constane paraun numero grande de ellas. Supongamos aho-ra que la caja se divide en dos con un pequenoagujero en la division y que un ser que ve lasmoleculas abre y cierra el agujero dejando pa-sar las moleculas rapidas para un lado y laslentas para el otro. Ası crea una diferenciade temperatura entre los dos lados sin hacertrabajo, contradiciendo la segunda ley de latermodinamica. ”

Con este experimento pensado, Maxwell querıa enfatizarel caracter estadıstico de la segunda ley. Ahora se sabeque la entropıa tiene una estrecha relacion con la informa-cion y la capacidad de retener y borrar tal informacion.Como el demonio debe por lo menos conocer las veloci-dades y trayectorias de las partıculas en cada instante,

*Correo electronico: dasenjo@zeth.ciencias.uchile.cl

podemos suponer que posee algun tipo de memoria y quedebe borrarla cada cierto tiempo para poder almacenarnuevas trayectorias y velocidades. Este proceso produ-ce cambios en la entropıa del sistema (sistema = gas +demonio). Veremos que de esta manera podemos justifi-car el cambio de temperatura y/o presion que produce eldemonio.

Simulamos el demonio en dos y tres dimensiones. Endos dimensiones se implementa una representacion grafi-ca en tiempo real. La simulacion en tres dimensiones sir-ve para aproximarnos mas a un gas real. Consideremosun demonio de temperatura el cual ordena las partıculassegun sus velocidades creando una diferencia de tempera-tura (el demonio de presion implementa una puerta quese abre para un solo lado, creando una diferencia de pre-sion). Notemos que disminuye la entropıa sin cambiar laenergıa del sistema.

Maxwell solamente querıa resaltar el caracter estadısti-co de la segunda ley. No sabıa que su demonio iba a serun pionero de la teorıa de informacion.

II. PROPIEDADES TERMODINAMICAS

Es importante destacar que nuestro sistema es cerrado,adiabatico e impermeable. La temperatura la definimoscomo

T =1

3kBmv2

rms (1)

donde m = 1 es la masa de las partıculas en nuestromodelo y

v2rms =

1N

N∑i=1

v2i .

Nos damos cuenta que la temperatura se determina cono-ciendo la distribucion de velocidades. Esto es importanteya que el programa en dos dimensiones nos va mostrandola distribucion en cada instante. Ası podemos comprobarel comportamiento del demonio para distintos casos.

2

W

Q=W

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 1: Cuatro etapas del modelo de Szilard.

A. Primera y Segunda Ley

Es importante ver el papel de la primera y la segundaley en nuestro demonio de temperatura. Como ya dijimosnuestro sistema esta totalmente aislado. Por esta razonla segunda ley nos dice que la entropıa del demonio de-be aumentar por lo menos lo que disminuye la entropıadel gas (mientras este lo “ordena”). Como no hay inter-cambio de energıa de ningun tipo entre demonio y gas,la primera ley dice que las energıas internas del gas ydel demonio son fijas, por lo que la entropıa del demoniodebe aumentar a energıa constante.

B. Modelo de Szilard

El model de Szilard consiste en un demonio y una solapartıcula de gas (Figura 1). Fue creado por Leo Szilarden [10]. Es un ciclo con cuatro etapas.

(a) Dividir el compartimiento en dos partes iguales.

(b) El demonio reconoce en que lado se encuentra lapartıcula y guarda esta informacion.

(c) En la division pone un piston movil y el resultadodel paso anterior es usado para acoplar una masaal piston y efectuar un trabajo W sobre ella.

(d) El piston vuelve a su posicion original gracias a lapresion del gas.

El gas recibe energıa en forma de calor (Q = W ) de un re-servorio, el cual entrega energıa y disminuye su entropıa.Pareciera que hemos violado la segunda ley. Szilard sedio cuenta de que las mediciones hechas por el demonioestan asociadas a un aumento en su entropıa que debeser por lo menos ser suficiente para respaldar la segundaley. Esto serıa el principio de la teorıa de la informacion.

Veamos un modelo de los estados de la memoria deldemonio presentado por Fahn en [4]. Supondremos queel demonio tiene algun tipo de memoria que tiene tresestados posibles: O, L y R. El estado O es un estado dereferencia que corresponde al estado inicial de la memo-ria. Los otros dos estados, L y R resultan de alguna tipode retencion de informacion proveniente de la medicion.Veamos los estados de la memoria durante las mismascuatro etapas descritas anteriormente.

(a) Empezamos con la memoria en el estado O.

(b) Se mide en que lado se encuentra la partıcula y estainformacion se guarda. El estado de la memoria en-tonces sera L o R segun la posicion de la partıcula.

(c) La memoria sigue igual.

(d) Se borra la informacion guardada para completarel ciclo. La memoria queda en O nuevamente.

Aqui vemos que en el paso (d) la memoria del demonioes borrada para volverla a su estado inicial. Este pro-ceso entrega entropıa al ambiente. Este es el principiode Landauer. Este paso es donde se compensa la baja deentropıa producida por el ordenamiento de las partıculas.

C. Principio de Landauer

En [6] Landauer relaciona el concepto de borrar alguntipo de memoria con una entrega de entropıa al ambiente.

Principio de Landauer: cuando borras un bit de in-formacion, la entropıa del ambiente aumenta por lo me-nos en kBln2.

III. CARACTERISTICAS DEL MODELO

El modelo que utilizamos para simular el movimientode las partıculas se denomina esferas duras, para masdetalles ver Apendice A . Para nuestro modelo haremoslas siguientes suposiciones:

Todas las paredes del sistema son totalmente res-trictivas.

Se consideran particulas de gas ideal monocompo-nente como, por ejemplo, un gas noble (He, Ne, Ar)a temperatura ambiente. No hay fuerzas de interac-cion entre las partıculas.

Todas las particulas tienen igual masa y radio.

Partıculas esfericas.

Choques entre dos partıculas y pared-partıcula.

Todos los choques son elasticos. Se conserva mo-mentum lineal y energıa cinetica.

Todos los movimientos con roce despreciable.

3

Figura 2: Salida del programa con IGLU.

El demonio se implemento como una pequena puerta quese encuentra en el medio de la pared que separa los doslados de la caja. Las partıculas con una velocidad mayorque la velocidad media son consideradas como rapidas yel resto como lentas.

Los dos programas fueron hechos en C++. Para el pro-grama en dos dimensiones con interfaz grafica utilizamosla biblioteca grafica IGLU. Para los dos programas seusaron las siguientes herramientas:

Clase de vectores de tres dimensiones.

Clase de partıculas.

Las velocidades se inicializan al azar y las posicionesse eligen tal que las partıculas queden equiespaciadas.El programa con implementacion en IGLU muestra, entiempo real, la simulacion en una ventana y la distribu-cion de velocidades de los dos lados en otras dos ventanas.El programa en tres dimensiones guarda las velocidadespara luego graficarlas y ver su distribucion. El algorit-mo implementado en los dos programas es time-driven yconsta de los siguientes pasos (despues de inicializarlas)

1. Determinar, partıcula por partıcula, si se producenchoques.

2. Para las partıculas que chocan, modificar velocida-des correspondientes.

3. Avanzar en un paso de tiempo y volver al primerpaso.

IV. RESULTADOS

A. Programa en dos Dimensiones con IGLU

Se ven las distribuciones de velocidades de los dos ladosde la caja en tiempo real. Se nota un cambio en las distri-buciones aunque es lento cuando hay muchas partıculas.El programa ocupa muchos recursos del sistema por loque se aprecia bien con aproximadamente veinte partıcu-las por lado.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Lado 2Lado 1

Figura 3: Distribucion de velocidades de 1000 partıculas porlado despues de 10000 choques.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Lado 2Lado 1

Figura 4: Distribucion de velocidades de 500 partıculas porlado despues de 10000 choques.

B. Programa en tres dimensiones

Se marco una diferencia entre la distribucion de veloci-dades antes y despues en algunos casos. Estos resultadosno fueron faciles de obtener ya que pocas partıculas cho-can en el lugar adecuado. Las partıculas se demoran mu-cho en pasar de un lado a otro. Como nuestro modelo esun gas las partıculas deberıan estar muy lejos entre ellas.Tomando condiciones mas “reales” la simulacion es len-ta. Si tomamos 500 partıculas por lado y 10000 choquesse demora aproximadamente 3 horas. Cuando tomamosmuy pocas partıculas (o muchas en una caja muy pe-quena) la distribucion no se asemeja a una de Maxwell-Boltzmann. Mostramos, en las Figuras 3 y 4 distribucio-nes de 500 y 1000 particulas por lado despues de 10000choques. Nos damos cuenta que con 1000 partıculas porlado y despues de 100000 choques podemos notar que latemperatura del lado dos subio con respecto al lado 1.

4

v1

2v

kr12

1 2

j

Figura 5: Representacion bidimensional de un choque entredos partıculas

V. CONCLUSIONES

En conclusion podemos decir que el demonio hace sutrabajo y ordena las partıculas, creando una diferencia detemperatura y bajando la entropıa del sistema. El princi-pio de Landauer sirve para justificar un alza de entropıaen el demonio aunque lo ideal serıa desarrollar un modelopara cuantizar la entropıa y ver en detalle los distintoscambios. La simulacion es computacionalmente lenta yse requiere de mucho tiempo para lograr una diferenciaimportante de temperatura entre los dos lados de la caja.Para mejorar esto es necesario implementar un algoritmoque sea event-driven, es decir, que se rige por los eventos(choques en este caso) que ocurren y no necesita calcularlas posiciones y velocidades en cada paso.

Apendice A: ESFERAS DURAS

Si dos partıculas chocan queremos determinar las ve-locidades nuevas de cada una despues del choque. Pa-

ra esto usamos la conservacion de momentum y energıa.En el momento del choque definimos ~r12 = ~r2 − ~r1 don-de ~r1 corresponde al vector posicion de la partıcula 1.Solo las componentes de las velocidades paralelas a ~r12

son afectadas por un choque perfectamente elastico. De-finimos tambien un plano tangente a las dos partıculas(perpendicular a ~r12) La Figura 5 muestra una represen-tacion bidimensional del choque. Definimos ejes ortogo-nales {r12, , k} tal que y k estan en el plano tangente.Podemos escribir las velocidades anteriores al choque co-mo

~vi = (~vi · r12)r12 + (~vi · ) + (~vi · k)k (A1)

las velocidades despues del choque son

~v′i = (~v′

i · r12)r12 + (~v′i · ) + (~v′

i · k)k (A2)donde las componentes y k de ~v′

i permanecen iguales ylas componentes en r12 son

~v′1 · r12 = ~v2 · r12 (A3a)

~v′2 · r12 = ~v1 · r12 (A3b)

reemplazando en (A2) nos queda

~v′1 = ~v1 − [(~v1 − ~v2) · r12]r12 (A4a)

~v′2 = ~v2 + [(~v1 − ~v2) · r12]r12 (A4b)

Cuando una partıcual choca con una pared, la compo-nente perpendicular a la pared de la velocidad cambia designo y la componente paralela no cambia.

[1] C. H. Bennett, Notes on Landauer’s Principle, Re-versible Computation, and Maxwell’s Demon, (ar-Xiv:physics/0210005 v2, January 10, 2003).

[2] H. B. Callen, Thermodynamics and an introduction toThermostatics, (John Wiley & Sons, New York, NY, se-cond edition, 1985).

[3] M. T. Cerda and P. Maldonado, Dinamica Molecular:Choque de Partıculas, (2003).

[4] P. N. Fahn, Maxwell’s Demon and the Entropy Cost ofInformation, (November 8, 1995).

[5] J. M. Haile, Molecular Dynamics Simulation: ElementaryMethods, (John Wiley & Sons, New York, NY, 1992).

[6] R. Landauer, Irreversibility and heat generation in thecomputing process, (IBM J. Res. Dev. 5, 183-191, 1961).

[7] R. Landauer, Computation: A fundamental physical view,(Phys. Scr. 35, 88-95, 1987).

[8] H. S. Leff and A. F. Rex, Maxwell’s Demon 2: Entropy,Classical and Quantum Information, Computing, (IOPPublishing, second edition, 2003).

[9] J. C. Maxwell, Theory of Heat, (Longmans, Green, Lon-don, seventh edition, 1883).

[10] L. Szilard, On the decrease of entropy in a thermodyna-mic system by the intervention of intelligent beings, (Z.Physik 53, 840-856, 1929).

[11] W. H. Zurek and P. A. Skordos, Maxwell’s Demon, recti-fiers, and the second law: Computer simulation of Smolu-chowski’s trapdoor, (Am. J. Phys. 60 (10), October 1992).

[12] W. H. Zurek, Algorithmic randomness, physical entropy,measurements, and the demon of choice, (in “Feynmanand Computation: Exploring the Limits of Computers”,393-410, Perseus, Reading, 1999).