DEL NMERO RACIONAL A LA RAZN DE CAMBIO

1. INTRODUCCIN

Los docentes de secundaria son conscientes de las dificultades que se tienen cuando se aborda en el aula el concepto de nmero racional, las cuales no solo se refieren al bajo nivel de compresin de los algoritmos de clculo de la aritmtica, sino a su interpretacin en contextos de aplicacin como: nmero, operador, cociente de nmeros, elemento de un cuerpo cociente, divisin indicada, en la relacin como parte-todo o como razn.

Veamos las siguientes situaciones:

1. La solucin de la ecuacin ax=b siendo a y b nmeros enteros

2. 1/3 =0.3333..

3.

4.

5 12 son los tres quintos de 20

4. Si repartimos 4 chocolatinas entre cinco nios a cada uno le tocar 4/5

6. Se pint solo las TRES CUARTAS PARTES DE LA FACHADA

7 En la clase hay tres nias por cada cuatro nios

8. La razn entre el nmero de nios y las nias es de 3 a 4

9 3/7 de los alumnos son nias

10 La velocidad mxima permitida es de 80 kilmetros por hora.

11. El agua est formada por dos partes de hidrgeno y una de oxgeno

Para cada situacin dar la interpretacin respectiva de la fraccin.2. DE LA FRACCIN COMO PARTE TODO A LA FRACCIN COMO RAZN.

Consideremos la fraccin irreducible 3/4 como parte de un todo, en este caso la parte sombreada de un rectngulo que sera la unidad. (Hacer un grfico de la situacin para luego dividirlo tambin en 8 y 12 partes iguales).A partir de la actividad anterior se observa que:

Ya que coinciden las partes sombreadas, que es lo mismo

De donde podemos concluir que las fracciones son iguales a la Fraccin irreducible y descomponiendo esta igualdad de fracciones en las siguientes igualdades

De esta experiencia numrica podemos generalizar y dar una definicin de igualdad entre fracciones formadas a partir de nmeros naturales:2.1 DEFINICIN: Diremos que dos fracciones son iguales si existen nmeros naturales p, q primos entre si tales que se cumplen las igualdades(1) Para algunos nmeros naturales a y b.Si se multiplican trmino a trmino las igualdades anteriores obtenemos que ms = nr = pqablo que quiere decir que la definicin 2.1 implica la igualdad fundamental de las fracciones (2) ms = nrVeamos tambin que si asumimos como vlida la igualdad (2) de ella tambin se deducen las igualdades (1). En efecto:Sea a el mximo comn divisor entre m y n, esto quiere decir que existen enteros p y q primos relativos que satisfacen las igualdades m=pa ; n = qa que es el primer par de igualdades, sustituyendo en (2) obtenemos pas = qar simplificando obtenemos la igualdad (3) ps=qr lo que quiere decir es que q es un divisor del nmero ps, luego como q no puede tener divisores comunes con p concluimos que q es un divisor de de s, luego s= qb para algn entero b, sustituyendo en (3) pqb=qr donde tenemos la otra igualdad despus de simplificar r=pb. Con esto tenemos la:2.2 Definicin. Dos fracciones son iguales si ms=nrQue como ya se prob resulta equivalente a la definicin 2.2Si tenemos una fraccin donde no necesariamente m y n son primos relativos, al determinar su mximo comn divisor a se establecen automticamente las igualdades ya determinadas anteriormente, donde a, p, q son nmeros naturales nicos, establecindose analoga con la medicin de la siguiente manera, si m y n son cantidades y a es la unidad de medida, entonces p y q seran las medidas de las cantidades con respecto a la unidad, justificndose as la definicin de razn3. EL CONCEPTO DE RAZN3.1 DEFINCIN. Diremos que dos Cantidades M y N de una misma magnitud estn en la razn p a q dos nmeros naturales y primos relativos; si existe una medida comn A denominada unidad de medida tal que M = pA y N = qA, a los nmero se les denominara medida de la cantidad. Observemos los alcances y limitaciones de esta definicin, formulando los siguientes cuestionamientos: cul es el significado de pA donde p es un nmero natural y A es una cantidad?; qu otro tipo de relaciones se pueden establecer entre cantidades?; si existe una medida, ella es nica? y qu pasa si no se encuentra una medida comn?La primera pregunta parece tener una respuesta natural, al hacer la analoga con la magnitud longitud, si A es un segmento pA sera la prolongacin de ese segmento y existe una manera de construir esta prolongacin con regla y comps, pero si se trata del rea y el volumen ya no es tan evidente la existencia de un mtodo para encontrar la ampliacin de esas cantidades, ya que se conoce la imposibilidad de la duplicacin del cubo con regla y comps, luego parece que el camino que queda es aceptar, que tericamente es posible considerar la existencia fsica de la ampliacin de la cantidad el nmero de veces que se quiera, adems la definicin est sustentada sobre la concepcin de nmero de los Pitagricos, para quienes el nmero era multitud de unidades (excluyendo al cero y el uno como nmeros), pero en la actualidad podemos considerar a 1A como A y si se acepta al vaco como una cantidad esta medira cero, lo que no excluye la posibilidad de definir una razn de n a 0, teniendo que reformular la equivalencia entre las dos definiciones.Sobre la segunda pregunta, consideraremos magnitudes para las cuales se puede definir una operacin interna denominada suma, que satisface las propiedades de asociatividad, cancelacin, conmutatividad, una relacin de orden que satisface la tricotoma y transitividad, adems si una cantidad a es menor que b, existe una cantidad c tal que b =a+c lo que introduce la resta, y tambin para cada cantidad dada b y un nmero natural n dado, existe una cantidad a tal que b=na o llamada propiedad de divisibilidad lo que se puede interpretar a la cantidad a, como la n-sima parte de b.Para los Pitagricos la existencia de la medida comn era un problema de paciencia, pues como el nmero era el principio de las cosas, siempre existira la medida comn para cualquier de las magnitudes continuas consideradas por ellos, como era el caso de la longitud, el rea, el volumen y el tiempo. En el caso de la longitud se recurra al mtodo del carpintero que algunos llaman tambin el algoritmo de Euclides, bajo este principio la medida que se encuentra no es nica ya que ella tambin es una cantidad y su subdivisiones tambin son cantidades establecindose entonces dos pares de igualdades, para las cantidades M y N de la siguiente manera, M = pA ; N = qA y M = pA; N=qA, luego ahora la pregunta es qu relacin existe entre los nmeros p, q, p, q?. de las igualdades anteriores por sustitucin obtenemos qM = q(pA) = p(qA) = pN es decir se satisface la igualdad qM = pN (3); pero al sustituir en esta igualdad M y N por sus equivalentes de la segunda pareja de igualdades tendremos que p q A = pq A luego pq = qp que como ya vimos en la primera parte significa que las fracciones p/ q y p/q son iguales. Pero por otro lado si consideramos valida la igualdad entre estas fracciones y la definicin de razn 3.1 se puede ver que tambin existe una cantidad A que satisface la igualdades M=pA; N=qA; generando esta discusin la justificacin para la notacin de razn entre cantidades como una fraccin ya que el lado izquierdo de la igualdad no tiene sentido pues M y N son cantidades y no nmeros, mientras que el lado derecho es un nmero, lo que quiere decir que se le da significado al lado izquierdo con el nmero racional del lado derecho.Si consideramos que M y N estn en la razn p a q, quiere decir que existe una medida comn A tal que M = pA y N = qA , multiplicando la primera igualdad por q y la segunda por p obtenemos qM = pN (3) lo que quiere decir es que la definicin 3.1 implica la igualdad (3). Pero si asumimos como vlida la igualdad (3) y dividimos la cantidad M en p parte iguales y a cada parte la llamamos A, entonces M = pA y esta igualdad la sustituimos en (3) obtenemos pqA = pN es decir qA = N. con esto la definicin 3.1 se puede sustituir por la siguiente definicin equivalente.3.2 DEFINICIN. Diremos que dos cantidades M y N de una misma magnitud, estn en la razn p a q si se satisface la equivalencia Como se puede observar la equivalencia de las definiciones 3.1 y 3.2 estn sustentadas en la existencia de una medida comn, si tomamos como hilo conductor la historia, se sabe que para magnitudes continuas como es el caso de las longitudes, existen pares de segmentos para los cuales no existe la medida comn y que cuando esta existe a las cantidades se les denominar conmensurables. Tambin la definicin nos muestra, que en este caso, la razn entre dos cantidades est definida mediante el nmero racional formado a partir de las medidas enteras positivas de las cantidades de una misma magnitud, sin embargo en la actualidad, se presenta a la razn como una relacin entre dos cantidades de diferentes magnitudes, tal es el caso de: 3 artculos por $5000, segn esto la razn (3 artculos/$5000) no es una fraccin, pero si se toma el nmero racional solo, este se interpreta como una tasa unitaria, la cantidad de artculos por peso. Claramente la nocin de razn y de fraccin o nmero racional no es lo mismo, veamos algunas diferencias:1. La razn es una relacin parte-parte o todo- todo, mientras que la fraccin es entre parte y todo; en la razn el todo no est claramente definido2. La fraccin es un par ordenado de nmeros enteros con segunda componente no nula, mientras que la razn es un par ordenado de cantidades de una magnitud (siendo la medida de la cantidad, el nmero real que se le asigna con respecto a una unidad)3. Las razones comparan entre s cantidades de magnitudes diferentes como ya vimos y su representacin de este caso no es una fraccin, esto es algunas razones no tienen como representacin una fraccin como por ejemplo 2 habitantes por metro cuadrado.4. Las razones se pueden representar de manera distinta a las fracciones como 3 a 4, 3:4 345. Las razones pueden tener segunda componente cero: la relacin entre nios y nias de una clase es de 40 a 0, como otra forma de decir que todos son nios sin que se est dividiendo entre cero.6. Las razones tambin puede interpretarse como cociente y ser por ejemplo un nmero irracional, tal es el caso de o de las razones trigonomtricas.7. La operatividad entre razones no es anloga a la que se efecta entre fracciones, como por ejemplo: en una clase de cada dos alumnos uno es nio, mientras que en otra la razn es de un nio de cada tres, luego se deduce que entre las dos clases de cada cinco alumnos dos nios, sin que esto quiera decir que

EJERCICIOS1. El siguiente resultado fue planteado por Arqumedes: Si a un semicrculo se le circunscribe un rectngulo y se le inscribe un tringulo issceles; luego la figura se rota sobre su eje de simetra, obtenindose un cono, una semiesfera y un cilindro con volmenes que estn en la razn 1: 2: 3. Aplique las definiciones para dar significado a esto.

2. Use la definicin 3.1 para probar que si dos segmentos estn en la razn ma n, existe un segmento C tal que se satisfacen las igualdades siguientes: (m+n)A = mC , (m+n)B = nC.

3. Con regla y comps como repartira un segmento C en dos segmentos A y B que estn en la razn 2 a 3?

4. Use la definicin 31 para encontrar los dos nmeros que estn en la razn 3 a 7 y cuya diferencia es 24.

5. El nmero 50 ha sido dividido en tres partes que estn en la razn 1:3:6 cules son esos nmeros?

6. En un colegio la razn entre el nmero de nios y nias es de 2 a3 y la razn entre el nmero de nias y los maestros es de 8 a 1. Cul es razn entre el nmero total de estudiantes y el de los maestros?

4. LA PROPORCIN

Las definiciones anteriores estn justificadas sobre la existencia de la medida comn, pero de todos es conocido que entre el lado de un cuadrado y su lado no existe la medida comn, lo que provoc la llamada, primera crisis de la matemtica y que origin la reformulacin dada por Eudoxio para ser ms tarde empleada por Euclides en el desarrollo de su obra, tambin es importante recordar que la formulacin del concepto de proporcin se hace para dar una cuantificacin de la semejanza. Los pitagricos resuelven el problema de cmo se definen la igualdad de dos razones o cuando dos pares de cantidades se encuentran en la misma razn, basada en la existencia de la medida comn as: 4.1 DEFINCICIN. Las cantidades M y N estn en la misma razn p a q, que las cantidades Q y R donde p y q son nmeros naturales primos relativos, si existen dos medidas comunes A y B, tales que se satisfacen simultneamente las igualdades M = p A; N = q A; Q = pB y R = qBComo ya se dijo, esta teora necesit de una reformulacin, la cual fue dada por Eudoxio, donde no se necesita la existencia de la medida comn y que da la base siglos ms tarde, para que Dedekind elaborara un modelo de los nmeros reales llamado el de las cortaduras de Dedekind. 4.2 DEFINICIN. M, N, P y Q cantidades estn en la misma razn, si para cualquier par de nmeros naturales p, q entonces pM < qN pQ < qR pM = qN pQ = qRpM > qN pq > qR En tal caso notaremos el hecho as M : N :: Q : R y se lee M es a N como Q es a R o tambin mediante la notacin moderna ; con los significados dados anteriormente ya que los trminos son cantidades y no nmeros.Dedekind percibe que en esta definicin, dadas las cantidades M, N ellas determinan dos clases de fracciones las que hacen vlida la proposicin y las que hacen vlida la proposicin , mientras que por otro lado para las cantidades Q y R tambin se determinan otras dos clases, las que satisfacen y las que cumplen denominadas A y B respectivamente, la coincidencia entre las clases A y A, B y B determina la proporcin y adems dentro de los nmeros racionales, una cortadura denominada por el par (A,B), Dedekind determina un nico nmero denominado nmero real, ya que el demuestra que existen cortaduras que no determinan un nmero racional . Pero esta conclusin tambin puede dar lugar a interpretar la razn entre dos cantidades como un nmero determinado por el cociente entre las medidas de las dos cantidades, paso necesario para concebir la proporcionalidad como una relacin funcional lineal, puesto que si tenemos dos cantidades M y N ya no necesariamente de la misma magnitud, cuya razn es un nmero k el hecho se notar mediante la igualdad M/N = k o tambin M = kN, donde el nmero K se obtiene como cociente de las medidas de M y N respectivamente, en tal caso se establece una proporcin con otro par de cantidades Q y R si M/N = Q/R = k .EJERCICIOSReformule la definicin 4.1 sustituyendo M, N, Q y R por nmeros naturales y sela para probar las proposiciones siguientes con a, b, c, d nmeros naturales1. Si a:b :: c:d entonces ad = bc ( producto de extremos igual a producto de medios)2. Si a:b::c:d entonces a:c::b:d3. Si a:b:: c: d entonces a+b: b :: c+d : d4. Si ad = bc entonces a:b :: c : d 5. Dar ejemplos provenientes de las ciencias de igualdades entre dos razones, que se puedan usar como actividades de aula en la escuela bsica secundaria. 5. PROPORCIONALIDAD ENTRE MAGNITUDESDiremos que dos magnitudes M y N son proporcionales, si existe un isomorfismo K entre sus cantidades f: MN tal que satisface las siguientes propiedades:1. si a y b son cantidades de M tales que a