del calculo mental

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DEL CLCULO MENTAL

Jos Enrique Fernndez del Campo

Madrid, junio 2004


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Del clculo mentalJos Enrique Fernndez del Campo.

Primera edicin: Madrid, 2004

De esta edicin: Organizacin Nacional de Ciegos Espaoles (ONCE)Direccin General. Direccin de Educacin.Calle del Prado, 24, 28014 Madrid

El autor

Coordinador: Javier Lpez del Rio

Diseo de la cubierta: ONCEDireccin de Comunicacin e Imagen,Gabinete de Diseo.

Realizacin de la edicin: ONCEDireccin de Cultura y Deporte.Departamento de Recursos Culturales.

La presente edicin ha estado al cuidado de Carmen Roig.

ISBN: 84-484-0148-4D.L.:Realizacin grfica: INFORNET SYSTEMS. S.L.Impreso en Espaa Printed in Spain


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Dedicatoria

A mi amigo Luis,Compaero de estudios,

Que me ense a no calcularCuando as convena.

Gracias a l, aqu estoy.


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7NDICE

NDICE

Presentacin.................................................................... 11

1. EL CLCULO MENTAL EN EL CONTEXTO EDUCATIVO................................................................ 151.1 El clculo y la resolucin de situaciones

problemticas.........................................................151.2 Un tringulo de destrezas calculatorias bsicas......18

2. UN AMPLIO PANORAMA MOTIVACIONAL................... 212.1 Cotidianidad........................................................... 222.2 Empleo interdisciplinar............................................ 222.3 Valor instrumental en las Ciencias

Fsico-matemticas.............................................. 23

2.4 Variedad de situaciones didcticas para su cultivo... 232.5 Graduabilidad........................................................ 242.6 Comodidad y rapidez............................................. 242.7 Valor de consolidacin de los hechos numricos

elementales y destrezas bsicas...........................252.8 Fundamento de los algoritmos escritos.................. 252.9 Deteccin de errores en clculos efectuados

por otros medios....................................................25

2.10 Manifestacin y ejercitacin de aspectos estructurales........................................... ............. 262.11 Familiarizacin con los nmeros, su combinacin,

sus relaciones...................................................... 272.12 Ocasin para ejercitar la creatividad e iniciativa

personal............................................................ ... 27


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8 DEL CLCULO MENTAL

2.13 Ocasin para el desarrollo de estrategias de pensamiento................................................. ...... 28

2.14 Desarrollo de la memoria inmediata.................... 29

2.15 Ejercitacin de la capacidad de concentracin... 302.16 Ocasin para el desarrollo de la atencin

y agilidad mental................................................ 312.17 Ocasin para el ejercicio de la flexibilidad

y apertura de mente........................................... 312.18 Prestigio social.................................................... 322.19 Prestacin social................................................. 322.20 Autosatisfaccin................................................. 33

3. DIFICULTADES DIDCTICAS...................................... 373.1 Caractersticas del alumno.................................... 373.2 Evaluacin del progreso en Clculo Mental........... 403.3 Formacin especfica del profesor......................... 453.4 Materiales............................................................. 48

4. TCNICAS Y ESTRATEGIAS..................................... 50

4.1 Tcnicas y estrategias para la adicin.................. 514.2 Tcnicas y estrategias para la sustraccin........... 594.3 Tcnicas y estrategias para la multiplicacin........ 654.4 Tcnicas y estrategias para la divisin.................. 734.5 Tcnicas y estrategias para el clculo de potencias.. 774.6 Tcnicas y estrategias para el clculo de races...... 79

5. ESTIMAR, APROXIMAR.............................................. 80

5.1 Consideraciones generales................................... 805.2 Tcnicas y estrategias.......................................... 82

6. GRADACIN Y PREVISIONES CURRICULARES... 876.1 Principios didcticos............................................. 87 6.2 Previsiones curriculares........................................ 92

7. PROPUESTA DE EJERCICIOS GRADUADOS............ 104

7.1 Conteos............................................................... 1067.2 rdenes de unidades........................................... 1067.3 Sumas.................................................................. 1077.4 Descomposiciones aditivas.................................. 1117.5 Restas.................................................................. 1137.6 Descomposiciones sustractivas........................... 117


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9NDICE

7.7 Multiplicaciones................................................. 1187.8 Descomposiciones en productos...................... 1247.9 Divisiones.......................................................... 126

7.10 Descomposiciones en cocientes....................... 1307.11 Potencias.......................................................... 1307.12 Races cuadradas............................................. 132

8. PEQUEA LUDOTECA.............................................. 134a) Sucesiones............................................................ 138

1. Tropiezos.......................................................... 1382. Pin.................................................................... 139

3. Despertando cucos........................................... 1404. La escalera........................................................ 1405. La pirmide....................................................... 141

B) Construccin de expresiones numricas............... 1416. Permutaciones................................................. 1417. El nmero que crece....................................... 1428. Crecer hecho un lo......................................... 1439. Crecer cabeza abajo....................................... 143

10. El orden protegido........................................... 14311. Muertos y heridos............................................ 144C) Construccin de nmeros mediante operaciones. 144

12. El prncipe que prohibi una cifra..................... 14413. El prncipe que se enamor del 5.................... 14514. Dos cincos...................................................... 14615. Las dos cifras del destino................................ 14616. Tresyds.......................................................... 147

17. Cincocincos..................................................... 14718. La magia de un ao......................................... 14819. La clave desintegradora................................... 14820. El monolito....................................................... 15021. Desvelar el secreto.......................................... 15022. El nmero fantasma......................................... 15123. La diana........................................................... 151

D) Cadenas................................................................ 152

24. Tenis matemtico............................................. 15225. Ftbol matemtico........................................... 15326. Ping-pong matemtico.................................... 15427. Por despistado!............................................... 155

E

) Otros juegos. Aprovechamiento marginal.............. 15628. Las torres de Hanoi.......................................... 156


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10 DEL CLCULO MENTAL

29. Nim.................................................................. 15730. Divide y vencers............................................. 15731. Sol y sombra................................................... 158

32. Ladrones honrados.......................................... 15933. Una a una........................................................ 159


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11PRESENTACIN

PRESENTACIN

El clculo es, ante todo, clculo mental. Su primera forma enla vida de cada hombre. La ms independiente, universal yestimada. La ms prxima al ser de la Matemtica.

Aparte de la preferencia por lo manipulativo en geome

tra, qu otros aspectos de la didctica de la matemticason caractersticos de la enseanza de ciegos?

Esta pregunta, que entonces escuch ponindole un filtrode simple cortesa o curiosidad por parte de un colega conquien hablaba por primera vez, me abrira, sin saberlo, unhorizonte de interrogantes e inquietudes que an no se hacerrado. Los aos transcurridos desde aquel verano de

1989, en Cuenca, me han demostrado que la pregunta nacade un inters y aprecio verdaderos, y que llevaban el sello delinvestigador experimentado.

La educacin de ciegos, al ver mermada la comunicacinde soporte visual, tal vez podra resaltar dificultades y recursos invisibles a la luz. Algo as como senderos difuminadosy an perdidos para el espectro visible, que slo se muestran

a los rayos infrarrojos.

No poda eludir pregunta tan directa. En aquel Seminario,se supone era el nico representante presuntamente cualificado en Didctica de la Matemtica para ciegos. Y el atrevimiento puso palabras a un reflejo de imaginacin:


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El clculo mental, quizs. Aunque la matemtica esaccesible para una persona ciega en igualdad de condiciones que para una persona que ve; salvo en aspectos instru

mentales y -muy escasamente- didcticos... Pero el recursoal clculo mental facilita sobremanera el trabajo, al dispensarcon frecuencia del empleo de instrumental de clculo que,por lo general, es lento y fatigante...

Entonces, dedicaris tiempo a cultivarlo, no?...Segus algn mtodo especial?... Porque la literatura esmuy escasa en ese terreno.

Mtodos. Programacin. Actividades.

Pese a que hayan transcurrido casi quince aos desdeaquella conversacin, estas pginas pretenden una respuesta, aunque modesta. Bien que caera en la tentacin de mostrar anticipos en otros lugares.

La finalidad primordial es poner a disposicin de los educadores que tienen relacin con estudiantes ciegos dePrimaria y Secundaria un material que pueda contribuir adesarrollar en ellos destrezas calculatorias... -no s decirlode otra manera- ...autnomas. Esto es: prescindiendo de laescritura, la calculadora o cualquier instrumental especficode clculo aritmtico.

Pero el trabajo no poda reducirse a un puado de actividades, o a fijar niveles mnimos a lo largo del currculo.

Tras un breve encuadre del papel del clculo mental en laescuela (Captulo 1), haba que intentar justificar la consideracin que merece, ms all de la simple comodidad instrumental. El Captulo 2 ofrece como un verdadero argumentarioen favor del clculo mental, ya sean personas ciegas o viden

tes quienes de l se sirvan. La presentacin es en forma demotivaciones, con referencia a sus efectos benficos.

Y haba tambin que buscar justificacin a su ausencia enel quehacer de aula como forma individualizada en objetivosy tareas, o la carencia de sistematicidad. El captulo 3 inten


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13PRESENTACIN

ta mostrar un panel de dificultades didcticas, no fcilmentesoslayables, pero que no alcanzan la categora de eximentesni disculpas.

El captulo 4 -el de contenido ms claramente matemtico-intenta recopilar y clasificar tcnicas y estrategias aplicablescon cada una de las operaciones aritmticas, prolongado enel captulo 5 por las tcnicas de aproximacin y estimacin.No todas son empleadas por losbuenos calculistas, ni todastienen igual grado de eficacia general; su utilidad dependerde la situacin a resolver. En cualquier caso, se trata de un

muestrario ejemplificado, al que puede acudirse en busca desugerencias.

La parte ms propiamente didctica la constituyen loscaptulos 6 y 7. A una exposicin de Principios Didcticos,sigue una breve consideracin sobre objetivos terminalespara las distintas etapas y an niveles educativos, que seplasmar en el captulo 7 con una coleccin graduada de

ms de 260 situaciones numricas. Puede calificarse degua didctica, con sealamiento de destrezas/objetivo poroperaciones, niveles educativos y dominios numricos.

La inevitable pequea ludoteca del captulo 8 recogealgunas sugerencias para el diseo de situaciones dinmicas que pueden incitar al alumno al cultivo del clculo mental, al margen de contextos reglados, adaptadas a sus

necesidades perceptivas; como es lgico, vlidas tambinpara estudiantes sin problemas visuales. La matemticarecreativa es, sin duda, matemtica, y su acento dulcepuede ayudar a mitigar el esfuerzo amargoso que exigesiempre el quehacer abstracto.

Terminado el trabajo, me pregunto qu hay de especficode la educacin de ciegos en estas pginas. Y no s si debo

sonrojarme o alegrarme.

Slo una cosa: la intencin. Espero que sea de alguna utilidad, directa o indirectamente, a los estudiantes ciegosy deficientes visuales; que desarrollenantes, ms y mejor-como reza el adagio italiano- sus habilidades de clculo


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mental; que sean ms giles, capaces y seguros al calcularde forma autnoma, sin recurso a medios materiales.

Por otra parte, no me extraa: la matemtica es la misma,con vista o sin ella. Y es tambin idntica la matemtica quetienen que aprender y usar en la escuela los estudiantestodos, tengan o no dificultades de visin.


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15EL CLCULO MENTAL EN EL CONTEXTO EDUCATIVO

1. EL CLCULO MENTAL EN EL CONTEXTO EDUCATIVO

1.1 El clculo y la resolucin de situaciones problemticas

Calcular es obtener nmeros nuevos a partir de otros dados,utilizando las operaciones aritmticas.

La adquisicin de tcnicas de clculo debe permitir resolver problemas y tambin aumentar y profundizar en el conocimiento de los nmeros y de las operaciones. Este

conocimiento debe favorecer la flexibilidad y tambin lacreacin de rutinas de clculo personal adaptadas a la neutralidad y a los conocimientos previos del alumnado.

Calcular responde a una necesidad de resolucin, la prctica sistemtica fuera de contexto acaba perdiendo sentidoy no se logra ninguno de los objetivos.1

Pero el clculo no queda limitado en su valorinstrumental.Por el contrario: toma un valor esencial en el campo educativo.Un problema no queda resuelto mientras no se alcance lasolucin cuantitativa, si ste es el caso.

Al resolver situaciones problemticas, las etapas de comprensin del enunciado (o percepcin de la situacin), repre-sentacin/traduccin, abstraccin y razonamiento son, sin

lugar a dudas, las ms profundas y complejas; y la solucines imposible sin ellas. Pero quedaran estriles si no fueraposible alcanzar y expresar la respuesta correcta. En lassituaciones de carcter cuantitativo, esta respuesta es unnmero, a calcular a partir de los datos.

Los clculos pueden efectuarse:

a) Con ayudas manipulativas. Sean los propios dedos,material general (cuentas, botones, legumbres, palillos, etc.)o especfico (bloques multibase, ciertos bacos, etc.).

1ALSINA C., C. BURGUES, J. M. FORTUNY, J. GIMENEZ, M. TORRA(1996): Ensear Matemticas. Ed. Gra, Barcelona; pg. 113.


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b) Con ayudas grficas. Que van desde simples colecciones de trazos, constelaciones de puntos, figuras diversas,hasta diagramas constructivos, bacos grficos, etc.

c) Mentalmente.

d) Con ayuda de escritura simblica (guarismos). Entre lasque se encuentran los algoritmos tradicionales.

e) Con ayuda de instrumental especfico: electrnico omecnico (calculadora, baco chino-japons, Tinkunako).

Ayudas o soportes calculatorios

Manipulativos Dedos

Material general LegumbresBotonesPalillos...

Material especfico No estructurado Tira numricaCuadro numrico

bacos de repres.Regletas CousseniaireBloques multibase

Grficos No estructurado Colecciones de trazosConstelaciones de puntos

Estructurado Diagramas constructivosbacos grficos...

Escritura simblica Simple ListadosTablas dehechos numricos

Compleja Algoritmos escritos

Instrumentos Mecnicos bacosespecficos Calculadoras

manuales....Electrnicos Calculadoras

Programasinformticos

Mental puro Inmediato o Evocacin dehechos numricosautomatizado Evocacin de listados

Pensado (actuacin Verbalizacinsobre repres. Int. desituaciones)

Escritura simblicaFsicasManipulativas

Grficas

La eleccin de una u otra forma o soporte calculatorioviene condicionada por factores varios:

La tendencia: cmo se vienen realizando los clculos ensituaciones anlogas inmediatas anteriores.


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La va marcada o sugerida por la representacin interiorde la situacin, que, a su vez, es fruto de la tendenciaen la actividad representativa.

Disponibilidad del material o instrumental adecuado;incluido el de escritura/dibujo para procedimientos escritos o grficos.

La naturaleza de los datos: salvo una destreza notable enclculo mental o artificios muy determinados de clculomanipulativo o grfico, las cantidades de tamao grande

(segn el nivel), las expresiones decimales y fraccionariasexigen el empleo de calculadora o algoritmos escritos.

La confianza del resolutor en cada una de las formas declculo personal.

La condicin sealada, en su caso, por la demanda:mediante clculo mental..., ayudndote de... (baco, caja

de aritmtica, material...), por escrito..., etc.

Lo que no significa que la ejecucin se realice necesariamente en una determinada forma: se inicia el camino por una deellas, pero puede revocarse, para elegir otra que apunta comoms cmoda o segura; con independencia, incluso, de la condicin de demanda: ya se traducir, si es posible y necesario.

A mayor libertad de eleccin -a mayor nivel de destrezasen las diferentes formas de clculo-, mayores posibilidadesde avanzar y culminar con xito -subjetivo, al menos- el proceso de solucin. Esto implica:

Capacidad para traducir la situacin a trminos del lenguaje operatorio. En ltima instancia:

Capacidad para traducir expresiones entre lenguajesoperatorios.

Capacidad operatoria real en dicho lenguaje.

Aparece as toda una gama de destrezas calculatorias,verdaderos objetivos didcticos.


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Como es obvio, en los itinerarios didcticos de iniciacin se aprovechan sinergias entre las diferentes destrezas:importan las traducciones entre los diferentes lenguajes

o transformaciones, mucho ms que en la pura resolucin de problemas, donde stas son refuerzos o comprobaciones.

Al tratar de introducir el concepto de adicin, por ejemplo, carecera de sentido acudir a la escritura numrica, o alclculo mental de la suma directa. En cambio, puedenefectuarse sumas para valores pequeos -antes incluso de

denominarlas sumas-, sirvindose de recuento de dedosu otros objetos, material diverso, recursos grficos, conteomental o sus combinaciones.

Por el contrario, la introduccin de una determinada tcnica de clculo mental puede partir de la observacin dedescomposiciones en clculo escrito, resultados por calculadora, etc. La confeccin de las tablas de hechos numricos

se efecta por lo general mediante clculo mental o manipulacin fsica o grfica...

1.2 UN TRINGULO DE DESTREZAS CALCULATORIASBSICAS

Secularmente, hablar de clculo aritmtico era sinnimo en

la prctica de clculo escrito. Saber calcular equivala asaber aplicar algoritmos escritos de clculo.

Desde hace veinte o veinticinco aos, es creciente el interspor el clculo mental. Incluso por la aproximacin y estimacin como formas de clculo. En Espaa, ha llegado a plasmarse como verdadero objetivo curricular (vase: Elementosbsicos del currculo de Educacin Primaria, Ministerio de

Educacin, Ciencia y Deporte, D.830/2003). Su expresin ycontrol ms inmediatos son la verbalizacin de resultados.

La calculadora ha dejado de ser considerada como cmplice y encubridora de impericias calculatorias del alumno,para apreciarla como aliada didctica. Es hoy un instrumen


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to que hay que conocer y saber utilizar, alcanzando la categora tambin de objetivo curricular (ibd). E incluso comomaterial de enseanza-aprendizaje del clculo en sus esta

dios ms elementales2.

Se configura as un Tringulo de Destrezas calculatorias:Clculo Escrito, Clculo Mental y Clculo por Calculadora.En esta ltima pueden considerarse incluidas las tcnicasque se sirven de artefactos o dispositivos, manuales o mecnicos, que reducen la operatoria de clculo a simples ejercicios dgito-manuales, conforme a reglas o normas de ejecu

cin (baco chino-japons, por ejemplo).

Esta terna de destrezas est presente en la vida toda -noslo escolar- de nuestros alumnos, tanto de Secundaria comode Primaria, y estamos persuadidos de que seguir creciendoen los prximos aos. El inters didctico se orienta en determinar el orden de aparicin, dimensiones y ritmo de desarrollo de cada uno de los vrtices y lados de este tringulo.

Cierto, que tradicionalmente no se ha tenido concienciade tal tringulo. Incluso en numerosos ambientes, ni siquieraera posible. De cundo ac la calculadora? Acaso no seefectuaban -y efectan- clculos aritmticos por personas ypoblaciones -civilizaciones enteras!- no alfabetizadas ocarentes de instrumental especfico de clculo?

El clculo mental

Para qu fatigar la mente con prcticas que la calculadoraresuelve sin esfuerzo?

En el fondo, tal pregunta trasluce un desconocimiento dela realidad cotidiana y de las posibilidades intelectuales mselementales.

2Vase, por ejemplo:ALSINA, C. (1989): La calculadora en la escuela.GRUPO 0 (Ismael Blasco y otros), (1997): Matemticas: materiales curriculares de Enseanza Primaria (6-12 aos): 1. Estructura y Materiales; 2.Primer Ciclo; 3. Segundo Ciclo; 4. Tercer Ciclo. MEC. Edelvives, Valencia.


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El desarrollo del clculo mental puede considerarse comoel objetivo ltimo en el aprendizaje de las cuatro operaciones fundamentales3.

La afirmacin puede juzgarse un tanto maximalista. Perono olvidemos que uno de los fines prioritarios de la educacin es cooperar en el desarrollo de la autonoma personaldel alumno. Autonoma que -para el clculo aritmtico- llegaa su culmen en el clculo mental, independiente de mediosfsicos, por simples que sean, como lpiz y papel, tiza oarena (por no decir calculadoras).

Por otra parte, su marginacin -consciente o inconsciente-tiene efectos negativos. Es algo ms que parcialidad: es opinin general, como se advierte en el prestigioso y realistaInforme Cockroff:

Creemos que la decadencia del trabajo oral y mental enlas clases de Matemticas son consecuencia de la falta

de reconocimiento y la importancia que el clculo mentaltiene en esta asignatura; incluso los mtodos de clculosobre papel utilizados tradicionalmente se basan en larealizacin mental de determinadas operaciones4.

El itinerario de aparicin de los vrtices de nuestrotringulo de destrezas calculatorias parece claro: clculo mental, escrito y por calculadora. Irn ubicndose cada

uno con respecto a los otros, desarrollando y conformando la mayor o menor escalenidad, til y dinmica, en unjuego de necesidades reales y conveniencias didcticas.Siempre con referencia a la realidad cotidiana y contextual; conforme a los datos a manejar, como recursossimultneamente disponibles, nunca excluyentes, prestndose mutuos servicios.

3 FERNNDEZ BAROJA F., LLOPIS PARED A., y DE PABLO MARCO C.(1991): Matemticas Bsicas. Dificultades de aprendizaje y recuperacin.Ed. Santillana, Madrid. Pg. 201.4 COCKCROFT, W. S H. (1982): Mathematics counts. Report of theCommittee if Inquiry into the Teaching of Mathematics in Schools underthe Chairmansship of dr. W. H. Cockcroft. London, England: HerMajestys Stationery office. Pg. 92.


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21UN AMPLIO PANORAMA MOTIVACIONAL

2. UN AMPLIO PANORAMA MOTIVACIONAL

Nos asisten razones de peso que justifican el anlisis queaqu se recoge acerca del clculo mental, su inters didcticoy tcnicas concretas: la aplicacin en la enseanza de alumnos ciegos y el propsito de dotar a su profesorado de informacin especfica.

Las dificultades instrumentales para el clculo escrito yla mayor complejidad de uso de los instrumentos especficos

de clculo, hacen del clculo mental la modalidad porexcelencia para el alumno ciego. La motivacin de comodidad y rapidez lo convierten en prevalente, muy por encimade las otras dos formas. Los rangos numricos de clculoson, en general, muy superiores a los habituales paraalumnos videntes del mismo nivel. o edad. (Aunque secarece de constatacin estadstica, basta una simple visita aun aula donde haya un alumno ciego para comprobarlo

inmediatamente.)

Bueno ser recordar algunas de las aplicaciones mspalmarias, aceptadas y eficaces y, por ello, fuentes de contagiosa motivacin para el alumno -y para el profesor!-

Basta una simple reflexin para aflorar multitud de aplicaciones prcticas del clculo mental. Algunas de ellas revis

ten el carcter inmediato de estmulos motivacionales.Otras, lo adquieren con el uso habitual. Por ltimo, algunasde ellas escapan a la percepcin inmediata del alumno perosu valor didctico y formativo confieren dimensiones tal vezimpensadas a esta forma de clculo, sobrepasando elcarcter de pura destreza para tornarse medio de intervencin pedaggica.

Consideraremos cuatro grandes grupos de argumentoseducacionales:- proximidad de las situaciones de aplicacin - ventajas didcticas especficas- efectos didcticos generales- efectos psicolgicos y comportamentales.


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2.1 Cotidianeidad

Cualquiera de nosotros, ya ha ejercitado a media maana

una buena decena de veces su capacidad de clculo mental,si no directamente, al menos como elemento corrector o deaproximacin.

Y as, calcula exacta o aproximadamente los minutos quemedian entre la hora que marca su reloj digital y el comienzoo final de la clase, el importe de las consumiciones del grupode compaeros en la cafetera, y las vueltas correctas, las

pginas de un captulo, sin ms que mirar el ndice, la cuantaabsoluta de la subida de sueldo o el anunciado incrementodel precio de un servicio, la repercusin efectiva del descuento prometido en un escaparate, etc.

La vida corriente de un ciudadano no importa de qu edado condicin est plagada de oportunidades para ejercitar elclculo mental en provecho propio y ajeno. Las ocasiones,

por repentinas y frecuentes, apenas si dan tiempo -ni faltaque hace- al uso del lpiz y el papel o la calculadora.

El alumno tal vez no se enfrente a las mismas situacionescotidianas que un adulto para ejercitar el clculo mental(tampoco coincidirn para dos adultos); pero s con otrasmuchas anlogas. Situaciones de compra-venta, puntuaciones deportivas o de juegos, paginaciones, tiempos, pre

visiones de gasto, etc.

2.2 Empleo interdisciplinar

Y no slo en las reas ms propiamente fsico-matemticas.Desde la determinacin de los aos de vida que disfrut unrey, artista o personaje histrico de relieve, dadas susfechas de nacimiento y muerte, hasta el tamao relativo de

un pas respecto del nuestro, su densidad media, riqueza oproducciones. Tal vez sea consecuencia de la crecientecuantificacin que padecen todos los dominios del saber,pero es innegable la abundancia de cifras que adornancualquier manual o documento de uso en los estudiossecundarios o superiores.


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A fin de cuentas, es una proyeccin de las situaciones devida diaria, concretadas a los campos del estudio y la cultura.

2.3 Valor instrumental en las ciencias fsico-matemticas

An ms especfico, mucho ms frecuente en estos mbitos,tambin.

Las primeras y ms importantes situaciones las proporciona la resolucin de problemas, sea como ensayo, estimacin o clculo efectivo. Pero, a medida que se progresa en

el curriculum, ascendiendo de niveles educativos, la diversificacin en las reas experimentales multiplica las necesidades calculatorias, all donde la matemtica cobra un papelinstrumental ms claro.

En la Educacin Secundaria es de uso permanente. Al margen de los tpicos ms estrechamente relacionados con elclculo: fracciones y proporciones, ecuaciones e inecuaciones,

clculos geomtricos, polinomios, etc. La fsica y la qumica seven forzadas al recurso al clculo aritmtico, facilitado o anticipado por el clculo mental; especialmente, si la astucia y periciadel profesor o autor de las situaciones problemticas propuestas as lo permiten, gracias a la sencillez de los datos. Y, en cualquier caso, como clculo comprobatorio por estimacin.

Estos tres grupos de situaciones o motivaciones surgen

espontneamente: ni siquiera es preciso crearlas; son tanfrecuentes y prximas, que basta su mencin para que seanaprovechadas como situaciones problemticas. En cuanto ala sensibilizacin en el ejercicio del clculo mental, toca alprofesor advertir de su existencia, resaltndolas cuando surjan.Tal como la fotografa matemtica invita a descubrir formasgeomtricas, las agencias de detectives y reporterosmatemticos descubren situaciones de Clculo Mental en la

vida corriente, dentro o fuera del aula.

2.4 Variedad de situaciones didcticas para su cultivo

Sean como unos minutos de precalentamiento -al inicio decada clase- o las competiciones de clculo; sean como


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ejercitaciones ocasionales en el transcurso de la resolucinde problemas -ensayo, estimacin o clculo efectivo-.

En especial, conviene recordar todo gnero de juegos yactividades propias de la matemtica recreativa con baseen el Clculo. Desde los solitarios de programas informticos, hasta los juegos de pequeo o gran grupo, verbales,con material ordinario, tableros, fichas y tarjetas peculiares,etc., que cada da proliferan ms en las aulas y en el mercado.

2.5 Graduabilidad

En un triple sentido. Por una parte, consiste en un conjuntolimitado de hechos numricos1. Por otra, pueden hacerseaparecer y tratarse mtodos relativamente sofisticadoscomo compensacin, descomposicin, factorizacin, etc.,incluso con combinaciones numricas muy sencillas2.Finalmente, la dificultad de los clculos es graduable por el

tipo y tamao de las cantidades involucradas.

Todo ello permite adaptar el nivel de dificultad a las posibilidades, curriculum y adiestramiento del alumno. Haciendoasequible el xito, fomentando la seguridad en s mismo yalejando el riesgo de fracaso sistemtico.

2.6 Comodidad y rapidez

Puede parecer una futilidad: libra del esfuerzo de escribir,(Alsina y otros, 1996, 114) o de la tensin de acertar lasteclas de la calculadora. Pero si se contempla bajo la perspectiva de la educacin de los ms pequeos o con problemas de motricidad dgito-manual, la observacin estms que justificada. Y, dentro de los mrgenes de destreza personal -all donde est prescrito-, el clculo mental

supera en velocidad incluso al logrado mediante el empleode la calculadora.

1 GMEZ ALFONSO, B. (1988): Numeracin y Clculo. Ed. Sntesis,Madrid. Pg. 65.2 COCKCROFT, W. S H.: op. Cit., Pg. 114.


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Otras aplicaciones no sern tan motivantes para el alumno, pero tienen un valor didctico innegable.

2.7 Valor de consolidacin de los hechos numricoselementales y destrezas bsicas

El clculo mental se basa en la continua aplicacin de resultados elementales; dicho de otra forma: evocacin -consciente y orientada- de las tablas de operaciones o hechosnumricos. Pero no slo esto: requiere ciertas habilidades-conteos, recolocaciones, compensaciones, descomposi

ciones, redistribuciones, etc.-, buscando sustituir o alterarlos datos iniciales para trabajar con otros ms cmodos, oms fciles de calcular (Gmez, 1988, 65)

2.8 Fundamento de los algoritmos escritos

Incluso los mtodos de clculo sobre papel utilizados tradicionalmente se basan en la realizacin mental de determina

das operaciones3. Habra que invertir los papeles: el clculoescrito es una ampliacin y ayuda al clculo mental. Sin ste,aqul sera poco menos que inviable.

2.9 Deteccin de errores en clculos efectuados porotros medios

Con tres detectores principales: cifra de las unidades de

menor orden, resultado entre las de orden mayor y estimacin global (por no mencionar las tradicionales pruebas del9 u otras anlogas).

Si al multiplicar por calculadora 437x1898 el resultadoque apareciera fuese 823732, est claro que algo falla: enla cifra de las unidades debiera aparecer un 6 -fruto de7x8=56-; nunca un 2.

En otros casos, pueden ser las cifras correspondientesa rdenes mayores las que denuncien el error. Sera untanto extrao que 283x5469 nos diera 981727: al multi

3 Cockcroft, W. S H.: op. Cit. pg. 92


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plicar 2x5, por muchas unidades del orden anterior quedebiramos aadir, nunca aparecera un 9... (tal vez sepuls un 3 en lugar del 5 para 5469...)

Asimismo, si multiplicando 1248x3579 la respuestafuese 43835592, en alguna parte nos hemos equivocado:mil y pico, por tres mil y pico andara entre tres millones y ocho millones, jams por los cuarenta y picomillones. (Obsrvese que aqu s parecen satisfacerse loscriterios de las cifras extremas.)

2.10 Manifestacin y ejercitacin de aspectos estructurales

Al efectuar un clculo mental -tambin escrito, aunque encubiertamente- se aplican propiedades definitorias de lacorrespondiente estructura algebraica: conmutativa,asociativa, distributiva, etc.-; mostrando, a su vez, la proximidadprctica de stas: son algo ms que formalismos hueros. Esdecir, se alimenta una motivacin recproca entre estructura

yaplicabilidad.

As, al operar 12x37, podemos descomponer:

(4x3)x37 = 4x(3x37) = 4x111 = 444,

aplicando fructferamente la propiedad asociativa; adems, al efectuar 3x37 estamos empleando lapropiedad dis

tributiva de la multiplicacin respecto de la adicin, junto conlaasociatividad de la suma:

3x37 = 3x(30+7) = 3x30+3x7 = 90+21 = (90+20)+1 =110+1 = 111,

Tcnica habitual para reducir cantidades mayores a menores obuscar operandos ms sencillos o familiares es la descomposicin:

12x37= (4x3)x373x37= 3x(30+7)

que algo o mucho tiene que ver con lapropiedad asociativa en sentido inverso (propiedad disociativa), el primer


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caso, o como paso intermedio de la propiedad distributiva,el segundo.

2.11 Familiarizacin con los nmeros, su combinacin,sus relaciones.

Como afirmara Mialaret, tras una experiencia de tres meses:

Hemos podido asistir a una especie de desarrollo de laimaginacin numrica que nos ha sorprendido grandemente. Los alumnos no solamente calculaban deprisa y

bien, sino que no vacilaban en recurrir a combinacionescada vez menos corrientes4.

Algunos autores (Sowder, 1990)5 hablan de un tratamientoholstico preferente de la operacin y de los operandos. Loque implica en general un conocimiento en profundidad dela naturaleza y caractersticas de operaciones y cantidades,ms que de su expresin numeral o algortmica. En el origen

de este comportamiento se halla la diversidad de situaciones y estrategias aplicables a cada una: para un mismonmero, y segn el caso, se manejan nmeros contiguos,descomposiciones aditivas y factoriales varias, su doble omitad, etc.

Tambin debe tenerse en cuenta otro grupo nada despreciable de motivaciones, de las que raramente se hace

mencin. Son, es cierto, menos claras en su aceptacingeneralizada, incluso en su valor didctico. quizs por la noinmediatez de sus efectos y la consiguiente dificultad decomprobacin objetiva.

2.12 Ocasin para ejercitar la creatividad e iniciativa personal

Una operacin aritmtica efectuada mentalmente no tiene, por

lo general, una nica va de clculo. Un sencillo ejemplo:

4 MIALARET, G. (1984): Las Matemticas: cmo se ensean, cmo seaprenden. Visor Aprendizaje Madrid. Pg. 59.5 SOWDER (1990): Mental computation and number sense, Arithmetic

Teacher. 37, 18-20.


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7 + 5 = 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12 (con ayuda de representacin interior o fsica de recuento de dedos)

7 + 5 = (5 + 2) +5 = 5 + (2 + 5) = (5 + 5) + 2 = 10 + 2 = 12

7 + 5 = (2 + 5) + 5 = 2 + (5 + 5) = 2 + 10 = 12

7 + 5 = 5 + 7 = 5 + (5 + 2) = (5 + 5) + 2 = 10 + 2 = 12

7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12

7 + 5 = 7 + (1 + 4) = (7 + 1) + 4 = 8 + 4 = 8 + (2 + 2) =(8 +2) + 2 = 10 + 2 = 12

7 + 5 = (6 + 1) + 5 = 6 + (1 + 5) = 6 + 6 = 6 x 2 = 12

Tal vez el lector tenga otras. Pero, lo que es ms importante: qu modelos de representacin se estn utilizando?,son tiles a otras operaciones?, a cules s, y a cules

no?...

A poco que se reflexione, sorprende la variedad de enfoques posibles. Explorarlos, inspeccionar todas las posibilidades, optar por una de ellas, determinar el orden deactuacin, estudiar las transformaciones ms apropiadas,valorar el resultado, etc., convierte al clculo a secas enclculo pensado. Es un pequeo desafo, una labor inteli

gente, divertida, personal.6

2.13 Ocasin para el desarrollo de estrategias de pensamiento

Continuando con el ejemplo anterior: son las nicas vas?,cul es la mejor de todas?, por qu?

Estas cuestiones encierran todo un plan de investigacinsituacional: anlisis de las cantidades involucradas, estrategias posibles de clculo, anlisis de dificultades, ventajas e

6 GMEZ ALFONSO, B. (1988): Numeracin y Clculo. Ed. Sntesis,Madrid. Pg. 87.


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inconvenientes, eleccin, optimizacin, decisin, transferenciaa situaciones anlogas, diseo de patrones o estrategiasgeneralizables...

Poco a poco se va conformando en la mente del alumnoun programa completo de estudio de situaciones problemticas. Que, si bien se circunscribe en principio al campo delo numrico, pronto puede servir de matriz para esquemasms generales y formativos.

Sowder (1990) seala una serie de caractersticas del

clculo mental, que se orientan claramente a la formacin enestrategias del pensamiento:

Empleo de procedimientos constructivos. Ya que laobtencin del resultado es el objetivo nico, director yselector de estrategias y operaciones.

Empleo de procedimientos no uniformes; variables y fle

xibles. basta observar el ejemplo de 7 + 5, para comprender que la diversidad de situaciones es enorme, influidas porvariables objetivas -operacin aritmtica, naturaleza ytamao de los operandos, finalidad del clculo- y subjetivas -tcnicas conocidas, recursos de memoria, soporteimaginativo, tensin, etc.-, diversificndose, al mismotiempo, las tcnicas aplicables.

Empleo de procedimientos activos. Con un mayor control del mtodo utilizado en cada situacin. Debido, fundamentalmente, a la variedad de situaciones y la consiguientevariabilidad y flexibilidad de estrategias aplicables. Se alejaas el riesgo de rutina y memorizacin mecnica.

2.14 Desarrollo de la memoria inmediata

Al operar mentalmente se ponen en juego registros dememoria en los que se almacenan datos sencillos -o no tansencillos- a recuperar en momentos inmediatos posteriores.

Basta un simple ejemplo. Al calcular 42+35, puedo muybien marginar momentneamente el 2 y el 5, en espera de


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calcular 40+30; retengo ahora el 70, y busco en los registrosde memoria ocupados: hallo el 2, luego 70+2=72, buscodespus: hallo el 5, luego 72+5=77. (Que nadie piense que

el itinerario es nico: ni en el soporte ni en la estrategia.)

La limitacin natural de la capacidad de memoria incitaincluso al diseo de estrategias de clculo que, a su vez,engendran tcnicas para una mejor gestin de los recursos dememoria (otra aportacin a las estrategias de pensamiento).

Y as, es frecuente que las operaciones se inicien por las

unidades de mayor orden, acumulndose resultados sucesivos. Junto con ser una estrategia minimizadora de erroresrelativos, permite a la memoria verbal mantener buena partedel resultado acumulativo (en espaol, y en las lenguas latinas en general).

Calculistas famosos -como Jaime Garca Flores (1989)-llevan al extremo esta interrelacin entre memoria y clculo

mental, reducindolo prcticamente a la localizacin y traduccin de valores en tablas icnicas o simblicas puras.

2.15 Ejercitacin de la capacidad de concentracin

Estrechamente relacionada con el aspecto anterior, un ejercicio mental abstracto favorece el aislamiento de los estmulos externos -en alguna medida, la inhibicin sensorial-, el

ejercicio operativo de funciones mentales diversas -representacin, memoria inmediata, mediata (reglas y automatismos), combinatoria, etc.- y orientar la atencin hacia objetospredefinidos. En suma: preparar y ejercitar moderadamenteun buen cmulo de funciones cognitivas, predisponindolaspara ms duras tareas abstractas.

No en vano, los expertos en tcnicas de estudio -trans

versal, en el sistema educativo espaol- proponen comoejercicios de concentracin, previos a la sesin de estudio,la realizacin de clculos mentales sencillos: adiciones o sustracciones en iteracin, permutaciones de cifras y ordenaciones numricas, sustituciones, etc., que si no son clculomental en sentido estricto, mucho se le parecen en las ope


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raciones y procesos elementales: son un modo de precalentamiento para el deporte intelectual.

2.16 Ocasin para el desarrollo de la atencin y agilidadmental

En las actividades que se desarrollan de forma organizada,se exige del participante una orientacin de la atencin y unaflexibilidad y prontitud de respuesta, comprobables inmediatamente por el propio sujeto y, en su caso, por los otros participantes, quienes, a su vez, se ven obligados a efectuar

interiormente las operaciones y comparar sus resultados conlas respuestas ajenas.

Esto, que podra predicarse de cualquier actividad, resalta especialmente en las que tienen como objeto el clculomental, por la precisin de las respuestas, la mencionadainmediatez, la sucesin o encadenamiento, la posibilidad devariantes, etc. No se trata simplemente del aprovechamiento y

cultivo de la sana competencia: es una llamada permanentea la propia superacin, tal como el atletismo reclama elesfuerzo continuado por mejorar los resultados personales,aqu fcilmente comprobables.

Por ltimo, un grupo de consecuencias de la prctica delclculo mental, teidas por el tinte de lo discutible -y an de loinconfesable- de la apreciacin subjetiva. Los tcnicos -psico

pedagogos-, de una parte, y la experiencia didctica del profesor y la propia de los alumnos, de otra, las avaloran comoresortes educativos tiles, como autnticas motivaciones.

2.17 Ocasin para el ejercicio de la flexibilidad y aperturade mente

Conocida la diversidad de estrategias aplicables para un

determinado clculo, cabe plantearse cul de ellas es preferible y por qu. Pero esto supone, cuanto menos, la aceptacin de esa pluralidad y su validez, previa a la controversia enbusca de la mejor solucin; si es que existe: lo ms probable es que la declaracin demejor estrategia quede en suspenso, como variedad de opciones personales.


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Una sencilla y fructfera situacin de enseanza-aprendi-zaje para la discusin en grupo con alternativas todas ellasvlidas, ocasin para conocer y aceptar aportaciones dife

rentes de la propia, respetarlas, argumentar convenientemente la postura personal, etc.

2.18 Prestigio social

Tal vez suene presuntuoso afirmar que las matemticasdespiertan admiracin. Pero es innegable que la mayorade la gente se admira -nos admiramos- de quienes efec

tan clculos a velocidades vertiginosas, sin error, y conuna seguridad pasmosa, en ocasiones, desafiando a lascalculadoras, anticipando resultados o corrigiendo erroresde manipulacin.

Las matemticas tiles despiertan admiracin e inocenteenvidia, o no tan inocente: el desprecio que algunos hacende la matemtica -y aun de los matemticos- parece traducir

un gnero de impotencia, de rechazo a aquello que no se lesomete, que le supera. Y los adolescentes -tambin losnios- son muy sensibles a los estmulos de la consideracin social.

2.19 Prestacin social

No faltan los errores al calcular mentalmente. Y, por fortuna,

al exteriorizarlos, tampoco falta una voz o mano amiga quelos corrija.

Arriba me he referido al movimiento de admiracin yposible repunte de pequea envidia o dolor de orgullo herido. Pero es ms natural el agradecimiento por el servicioprestado, y ms eficaz como motivacin la satisfaccincuando se tiene la oportunidad de resolver un problema a

alguien. Llmese prestacin o contribucin social, trabajo cooperativo, prctica del compaerismo o comose quiera: anhelo de prestar un servicio a los dems,deseo y realidad de ser til en beneficio de otros; despliegue de potencialidades de la persona en su dimensinsocial.


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2.20 Autosatisfaccin

En la misma lnea, pero en plano bien diferente, no podemos

olvidar la satisfaccin que produce el comprobar que todauna legin de entes -los nmeros- se nos estn sometidos.Desde el ya s sumar! o ya s dividir! de un escolar dePrimaria, ingenuamente exteriorizado al llegar a casa, hastael silencioso no hay integral que se me resista! -ms ingenua, por ignorante- de un universitario principiante.

Es una forma del placer intelectual que generan el cono

cimiento y la prctica de destrezas intelectuales, pero ahoracon la posibilidad de ejercitarlas habitualmente, en serviciopropio o ajeno. Adems, el mbito de este poder se encuentra casi perfectamente determinado en cada momento: quoperaciones, con qu tipo de nmeros -conjunto, tamao,etc.-, en qu tiempos, seguridad...

sta es sin duda tambin la motivacin en la que hunde

sus races la satisfaccin del clculo por el clculo -nonecesariamente mental- que algunos escolares experimentan, y que alcanza en ocasiones niveles enfermizos.

Un extrao fenmeno que los profesores nos tropezamoscon frecuencia lo constituye aquellos alumnos que, arrastrando toda una historia personal de fracasos y rechazoshacia el estudio en general y la Matemtica en particular, se

sienten atrados y motivados hasta la excitacin por las actividades en relacin con el clculo mental. Esto sirve paraalgo; esto es mucho ms divertido -esto mola, en argot-,ojal fuera as todo... observaciones de alumnos que invitan a considerar que

El clculo mental es motivante en s mismo

til para recabar atencin, predisponer al esfuerzo dematematizacin y, convenientemente graduado, regalo parael caminante fatigado de lo arduo y abstracto.

Recojamos en un panel todos estos argumentos


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Del clculo mental: motivaciones, justificaciones y sugerencias

Proximidad

Ventajasdidcticasespecficas

CotidianidadEmpleo interdisciplinar

Valor instrumental; en las ciencias fsico-matemticas

Ventajas didcticas especficas

minutos de precalentamiento

estimacinRegladas resolucin ensayode problemas

clculo efectivo

solitariosjuegos de pequeo grupojuegos de gran grupo

juegos no competitivosjuegos competitivos

Recreativasasverbales

con lpiz y papelde tablerode calculadorainformticos y electrnicos

juegos de gran grupo

Variedad desituacionesdidcticaspara sucultivo

Graduabilidad

De las operacionespresentadas

AdicinSustracin

DivisinOtras

Multiplicacin

Sustracin

Del tipo de cantidadesDivisinMultiplicacin

OtrasComodidad y rpidez

Deteccin de errores en Revisin local (cifras extremas

clculos efectuados porotros medios

Revisin global (tamao de)cantidades


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37DIFICULTADES DIDCTICAS

3. DIFICULTADES DIDCTICAS

Pero no todo son laureles. Como en cualquier actividad, y

ms en las matemticas, el clculo mental conlleva dificultades e inconvenientes, sobre todo, de orden didctico.

3.1 Caractersticas del alumno

A) Exige unos niveles mnimos de desarrollo de ciertasaptitudes especficas. En particular: atencin, concentracin mental y recursos de memoria

Hope1, desde una ptica de anlisis de factores favorecedores del clculo mental, considera cuatro de ellos: concentracin, hbito, atencin e inters. Entiendo que el hbitoguarda una estrecha relacin con la explotacin y aplicacinde los recursos de memoria, en cuanto al inters, se contempla a continuacin en forma ampliada.

Contrariamente a lo que pudiera pensarse no precisa, enprincipio, ni de memorizacin de hechos numricos bsicos-tablas- ni estrategias predefinidas. Su desconocimiento uolvido puede lentificar un clculo concreto, condicionarloincluso, pero no impedirlo absolutamente salvo que provoque bloqueo.

Sin embargo, la automatizacin de hechos numricos ele

mentales e incluso de ciertas estrategias estereotipadasfavorece la agilidad y seguridad en los clculos. De otromodo, obliga al alumno a recurrir a procedimientos extremadamente rudimentarios (recuentos ascendentes o descendentes vase, pginas atrs, el ejemplo de 7 + 5, sumasreiteradas, etc.), propios de estadios iniciales, o al empleosistemtico de imgenes de situaciones fsicas o manipulativas (dedos, trazos, materiales estructurados, algoritmos

escritos, etc.) que, si bien son acreedores al ttulo de clculo pensado, pueden tornarlo lento y trabajoso. Sin olvidar

1 HOPE, J. A. (1985): Unraelling the Mysteries of Expert MentalCalculation. Educational Studies in Mathematics, vol. 16 (4), 355-374.Pg. 372.


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que el uso de estrategias puede acabar en memorizacin deresultados, pero la memorizacin de resultados no slo noconduce al diseo de estrategias sino que las obstruye

(Heege, 1985).

b) Exige un cierto nivel de comprensin de la situacin ydestrezas aritmticas relacionadas con ella. En tresaspectos

Asimilacin de la operacin presentada. Que se extiendems all de la mera interpretacin simblica del signo lin

gstico que la representa, ya que condiciona las estrategiasaplicables.

Dominio de la estructura numrica y sus representaciones en los diferentes lenguajes; o, ms concretamente, enel universo de representaciones interiores del lenguaje operatorio. Tal vez sea esta destreza la que condiciona msfuertemente el dominio numrico el paso de nmeros

naturales a enteros, fraccionarios o decimales y el rango otamao de operandos y resultado operandos de una, doso ms cifras. Pinsese, por ejemplo, en el soporte imaginativo de la escalera o la recta numrica para la adicinde enteros, o en la aplicacin reiterada de la propiedad distributiva para la multiplicacin de nmeros de varias cifrasen expresin decimal.

Naturaleza de las cantidades intervinientes; tanto de losoperandos como del resultado. Que favorecen la seleccinde estrategias particulares y estimacin del resultado.

c) Fuerte influjo de los intereses personales del alumnoy del contexto socio-familiar

Que, si bien pueden ser un estmulo positivo, tambin pue

den actuar negativamente, debilitando no pocos de los valores antes apuntados.

Se incluyen en este grupo el conflicto provocado por elempleo irregular de instrumentos de clculo tales comocalculadora, baco, etc., o del mismo clculo escrito.


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Subryese el calificativo de irregular, por inadecuacin a laconcreta situacin aritmtica o por la circunstancia deempleo. La actuacin pedaggica podra inducir entonces a

un enfrentamiento que desorientara al alumno o que provocara su pasividad reactiva (estamos tratando, esencialmente,de los niveles elementales de enseanza).

Una adecuada intervencin didctica mediante el diseode actividades y reglas de juego debe acabar por anulardevaluar, al menos estas actitudes desviadas. Convieneno exagerar la importancia de tales carencias cognitivas, curri

culares o actitudinales como decisivas. Ms bien son circunstancias personales o contextuales que inciden en un desarrollo del clculo mental, su aprecio, aprendizaje de tcnicaspeculiares, eficacia y progreso. Pero son claramente modificables por prcticas y actuaciones didcticas oportunas.

d) Heterogeneidad en los niveles de destreza entre alumnos de un mismo grupo

Al inicio de la escolaridad o en sus primeros aos, es pocomenos que impredecible el nivel de un alumno medio. Losconocimientos y destrezas adquiridos extraescolarmenteson de origen bien variado: ambiente familiar, contexto cultural, medios de comunicacin, curiosidad y oportunidadespersonales, etc.

Junto con ello, las capacidades especficas de cada alumno para captar, retener y aplicar hechos y tcnicas. Mientrasa algunos alumnos les basta una observacin o comprobacin de un determinado hecho numrico, otros precisarn deuna veintena de oportunidades. Para unos la conmutatividades evidente; para otros, exigir una comprobacin reiteraday casi exhaustiva de casos.

La consecuencia didctica es clara: se dificulta gravemente el diseo y aplicacin de actividades grupales. Secorre el riesgo de hacer imposible una participacin equilibrada -provechosa, por tanto- de todos ellos: lo queseran simplezas para unos, quedaran inaccesibles o sinposibilidad de xito para otros. Como de costumbre, los


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grupos homogneos facilitan la intervencin didcticaintensiva, que permite una mayor especificidad en lassituaciones y objetivos a proponer, adecuados a todos

sus miembros.

atencinNiveles mnimos de desarrollo

concentracinde aptitudes especficas

SubjetivosNivel de asimilacin(del alumno)de los conceptosaritmticos

recursos de memoria

de la naturaleza de lascantidades intervinientes

de la estructura numricay su representacin libre

de la naturaleza de laoperacin presentada

del alumnoActitud especfica

del contexto socio-familiar

con origen en diferenciasNiveles individualesheterogneos

entre alumnosde un mismogrupo

para captar hechoso tcnicas

para retener hechoso tcnicas

para aplicar tcnicaso recursos especficos

de receptividad hacia losestmulos motivacionales

conocimientos previos de hechoscon origen en y tcnicaslos contextos

prctica en la aplicacin desocio-familiarestcnicas o recursos especficos

3.2 Evaluacin del progreso en clculo mental

En el clculo mental pueden distinguirse variedad de aspectosa evaluar:


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Tiempo invertido. Para ser exactos tiempo transcurridoentre la percepcin/interpretacin del clculo a realizar(con sus propias dificultades de determinacin del instan

te preciso) y momento de obtencin del resultado (que nodebe confundirse con el momento de exteriorizacin -verbal, escrita...- o aparicin de indicios exteriorizados).Condicionado el primero por capacidades perceptivas;expresivas, el segundo.

Estrategia utilizada. Que slo puede observarse simedia verbalizacin, manipulacin o relato inmediato,

supuesto que el proceso sea consciente y pormenorizableen todos sus detalles.

Exactitud o aproximacin; segn se trate de clculo oestimacin de resultados. Pero, qu baremo adoptarpara evaluar errores? importa slo el resultado o tambindeben considerarse aspectos procesuales?

Seguridad. Absoluta o relativa a la confianza generaldel alumno en s mismo? No estar ligada a la tensinsituacional de repercusin del xito o fracaso? Debepenalizarse acaso la precaucin de verificar el proceso oel resultado difiriendo la respuesta?

Todo ello respecto de dominios o variables predefinidas:

Dominio de operadores que incluye tanto el camponumrico (naturales, enteros, fracciones, etc.) como elrango en el que se contienen operandos y resultado.

Operacin presentada que no debe confundirse conel mtodo o estrategia operatoria seguida en la resolucin. As, una multiplicacin puede tornarla suma el ejecutante, una divisin, resta, una adicin o sustraccin,

conteo, etc.

Forma de presentacin de la situacin a resolver yforma expresiva exigida para la respuesta.

Carcter de la situacin propuesta: simple operacin


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abstracta, contexto problemtico, complejidad de ste,etc.

Sin olvidar las inevitables variables personales:

Edad.

Nivel educativo.

Trayectoria curricular en clculo mental.

Capacidad y destreza interpretativa de la forma de presentacin de la situacin a resolver, ya que a su dificultadcalculatoria intrnseca pueden agregarse otras, relacionadas con las capacidades perceptivas y destrezas lectorasdel sujeto. De especial importancia en el caso de estudiantes ciegos y deficientes visuales.

No faltan entre personas quasi-analfabetas excelentes

calculistas verbales (frecuente en el mundo mercantil), comotampoco faltan quienes, dotados de una gran destreza lectoescritora y capacidad de comprensin abstracta, carecende estrategias y hbitos calculatorios. Asimismo, por idnticos motivos:

Forma expresiva exigida para la respuesta.

Recogemos en sendos cuadros esta retahila de inconvenientes:


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Aspectos a evaluar en el clculo mental. Dificultadesy condicionantes

Aspecto Complejidad Condicionantes

Tiempo aparente Percepcin/lectura Defic. perceptivas

Interpretacin Defic. curriculares

Exteriorizacin del Dific. expresivasresultado

Tiempo real Dificultad de determinacin

Resultado Exacto Tipo de error Condicionado aexteriorizacin del

Momento procesual proceso

BaremacinAproximado Determinacin Grado

de aproximacin

Estrategia utlizada Control Simultnea Verbalizacin

Descripcin RecuerdoA posteriori Verbalizacin

Ausencia de escalas

Seguridad Objetiva Determinacin de Factores

subjetiva sntomas situacionalesControlCalibrado

Ausencia de escalas

Complejidad evaluatoria en el cculo mental. Variables

Objetivas De orden matemtico Operacin presentada

Naturaleza de losoperandosTamao de losoperandos

Tamao del resultado

De orden didctico Complejidadcalculatoria

Operacin simpleOperacin compuesta

Carcter AbstractoContexto problemtico

Forma expresiva De la presentacinExigencia para el resultado

Subjetivas Edad del alumno (nivel madurativo)

Nivel curricular Conocimiento de hechos numricosConocimiento de tcnicas y estrategias

Trayectoria curricularen Clculo Mental

Destrezas previasPrctica acumuladaHbito


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Se deduce de todo ello que:

Deben emplearse metodologas del tipo de la entrevista

clnica (entindase: en sus caractersticas, no en sus finesexploratorios de patologas). Lo que implica individualizaciny prolongado tiempo de aplicacin y, si no quieren perturbarselos resultados de la observacin, contextos de aula suficientemente ecolgicos.

Una posible evaluacin de eficacia calculatoria es deesperar se vea afectada por las caractersticas y dificultades

perceptivas y expresivas del sujeto; especialmente, en loreferente a agilidad, funcin del tiempo de respuesta,que incluye tanto la toma de conciencia del clculo a realizar(fase perceptivo-interpretativa), su realizacin efectiva (fasecalculatoria) y su exteriorizacin (fase expresiva). Grossomodo, se distinguiran:

Forma de presentacin Respuesta

Oral OralEscrita

Icnica (ordenador) Opcin

Escrita Oral

Escrita

Teclado (calculadora)

Cierto que a lo largo del curriculum debern ejercitarsetodas las combinaciones, que podran y deberan ser evaluadas convenientemente. Pero la evaluacin no lo sera delclculo mental en s mismo, sino referido al tipo de situacin y respuesta. Y aunque exista una cierta correlacinentre resultados evaluatorios, no debe esperarse que sean nisiquiera anlogos; sobre todo, si se trata de alumnos condificultades perceptivas y/o expresivas -nuestro caso-.

Deben establecerse escalas o criterios de valoracinde las variables a evaluar, condicionadas a su vez a lascaractersticas subjetivas y situacionales. Y ello, sin atentar ala flexibilidad y estrategias personales que tantos elogiosmerecen.


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La evaluacin del clculo mental o pensado no es imposible. Pero poco menos que inviable en las condiciones ordinarias del contexto escolar. Conformmonos con apreciacio

nes o valoraciones parciales.

3.3 Formacin especfica del profesor

Este apartado nos remite a consideraciones de anlisissituacional.

En su dimensin matemtica es bien concreta:

Hay un nmero limitado de reglas, estrategias y caminosque facilitan la tarea. Lo que ocurre es que muchos maes

Formacinespecfica delprofesor

Formacinmatemtica

Informacindidctica

Informacinsicopedggica

Experienciadocente

Conocimiento de los fundamentosdel contenido a tratarConocimiento de la proyeccindel contenido a tratar

Conocimiento acerca de estructurasrelacionadas, etc.

Relativa a metodos

Relativa a materialRelativa a situaciones deenseanza-aprendizaje

Relativa a estrategias particularesRelativa a instrumentos deevaluacin, etc.

Relativa a las caractersticas generalespresumibles en los alumnos

Relativa a las necesidades de losalumnos respecto de los contenidosmatemticos a tratar

Relativa al nivel curricular

Relativa al tipo general de alumnosRelativa objetivos y cont. previstos

Relativa a los materiales disponibles

Relativa a las dificultades yfacilitadores ms frecuentes, etc


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En caso deFormacin atender en elespecfica aula a algn

del profesor alumno connecesidadeseducativasespeciales

Alumno con

dificultadesde ordenperceptivoy/o psicomotor

Alumno concarenciascurriculares

Alumno contrastornosafectivos odepersonalidad

Informacin/formacin

Afectados por transtornos

anlogos

Para situacionesConfeccin de enseanza-y adapta- aprendizajecin demateriales De actividadesespecficos De evaluacin

Experiencia docente con

alumnos afectados por esedeficit

Deteccin de carencias

Conocimiento y diseo defrmulas de remediacin

Experiencia docente conalumnos afectados porcarencias anlogas

Conocimiento de manifestaciones, hiptesis esti-mulo/respuesta, tratamientos habituales y coyunturales, etc (de tipo general)Experiencia docente conalumnos

tros y profesores no tienen ellos mismos consciencia delos procesos que aplican cuando calculan mentalmente, ynunca se han parado a analizarlos -sobre un papel- con lafinalidad de enserselos a sus alumnos2.

A tal fin, y aunque pudiera entenderse como exceso en elmarco del presente trabajo, se ha intentado recoger en la

prxima Seccin un abanico -no exhaustivo- de tcnicaspara el clculo mental de las cuatro operaciones aritmticascon nmeros enteros.

2 GMEZ ALFONSO, B. (1988): op. Cit., pg. 69.


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No abundan las monografas sobre el tema. Es precisoespigar tcnicas y sugerencias incluidas en manuales declculo aritmtico y su didctica. No obstante, en los lti

mos aos se viene gestando un movimiento de aproximacin al tema (vase, por ejemplo: Gmez, 1988 Op. Cit.;Gimnez, 1989).

En particular, hay que destacar el ingente esfuerzo que seest realizando por desarrollar actividades y materiales especficos para la ejercitacin como son: domins, bingos y loteras, juegos de tablero, programas informticos, etc. Un buen

repertorio de estos materiales y juegos puede encontrarseen las obras de Kamii (1986, 1988, 1991, existe versinespaola).

Como ejemplo de orientaciones didcticas para un desarrollo de tcnicas o estrategias de clculo mental, citar enesquema las propuestas del Grupo 0 (1997), dirigidas aalumnos entre 6 y 12 aos:

El profesor debe conocer los procedimientos-tipoms usuales en clculo mental.

Es preciso disear una planificacin detallada y ajustadaa los previsibles avances de los alumnos en la clase.

Han de anticiparse los puntos delicados, cmo y en

qu momento abordarlos y tener previstas cuestiones deprocedimiento.

Los algoritmos mentales se practicarn oralmente, sinayuda de material.

Debe realizarse diariamente, en sesiones cortas (noms de 10 minutos), por el considerable esfuerzo y aten

cin que requiere esta actividad. Unas veces dirigida agrupos pequeos de alumnos (6 7), otras a toda laclase.

Los ejercicios que se propongan debern estar cuidadosamente dosificados y en orden creciente de dificultad.


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La actitud favorable por parte de los nios se conseguir con la forma de llevar la actividad, adecundose asu ritmo.

El profesor no tiene que decir las tcnicas que utiliza,sino que estar atento a las que utilizan los alumnos y aconocer sus dificultades concretas. En consecuencia:

Que cada alumno exprese cul es el nmero quecorresponde a la propuesta que se le hace y tenga laoportunidad de explicar cmo lo ha calculado.

La discusin y el anlisis, con todo el grupo, de los procedimientos empleados por los alumnos, es imprescindiblepara ampliar su catlogo de estrategias de clculo mentaly su conocimiento del significado y propiedades de lasoperaciones utilizadas, as como para evaluar los logrosalcanzados y las dificultades que persisten.

En otra sesin diferente, que no debera ser consecutiva,se puede trabajar la generalizacin de una estrategia declculo, utilizada en una operacin determinada, paraoperar con nmeros de la misma familia.

En ningn caso se pedir a los alumnos que formalicensus respuestas.

Realizar una evaluacin continua.

3.4 Materiales

En el caso concreto de alumnos ciegos totales o afectadospor una deficiencia visual grave, adems, existe una limitacin no pequea en el diseo de situaciones adecuadas aeste dficit. Se manifiestan, especialmente, en las activida

des ldico-matemticas:

Si el soporte es informtico, debe adecuarse a unapresentacin accesible a su limitacin visual. Lo que condiciona el equipo preciso, el entorno informtico, lasituacin incluso. As, las presentaciones grficas, figura


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tivas y muchas bidimensionales sern de todo puntoinaccesibles -e inadaptables- al alumno ciego total; enresumen: prcticamente todo el software actualmente

disponible es inadecuado.

Si se trata de un juego con tablero, fichas o tarjetas,debe asegurarse la participacin en igualdad de condiciones, adaptando el material o fijando normas complementarias, verbalizando cuestiones, resultados o posiciones.

Si los datos o informacin de partida se presentan en

forma visual (tablero del aula, panel, bandejas, tarjetas,etc.) puede ser suficiente el leerla o suministrarla en braille;esto ltimo implica el prerrequisito de que el alumnoposea la suficiente destreza lectora para el sistema.

Si intervienen elementos generadores de azar -dados,ruleta, bolas, etc.- debe garantizarse asimismo el uso autnomo de stos (dados parlantes, fichas o naipes adapta

dos, etc.)

Las actividades de carcter verbal no sufrirn merma enabsoluto (caso bien distinto del que afecta a alumnos sordoso hipoacsicos; vase: Nez, J. A., Rosich, N., y Fernndezdel Campo, J. E. (1996): Matemtica y deficiencia sensorial.Ed. Sntesis Madrid.


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4. TCNICAS Y ESTRATEGIAS

Como se adelantaba al comienzo, pueden distinguirse dos

formas fundamentales de clculo mental: el inmediato oautomatizado y el pensado. La diferenciacin, por extraoque parezca, no es sencilla.

Salvo que aceptemos las teoras asociacionistas en suformulacin ms radical, el clculo mental suele apoyarseen representaciones varias: situaciones fsicas, manipulativas o grficas, la propia verbalizacin, la escritura simblica

imaginada. Es decir: el clculo se efecta en el nivel derepresentaciones interiores. Por esta razn, suele designarsecomo clculo pensado, cuando supone la mediacin de unejercicio mental efectivo sobre imgenes, y que implicatoma de decisiones y eleccin de estrategias.

La eleccin misma de la forma representativa ya tendrael carcter de una decisin o estrategia: elegir el mbito de

imgenes/smbolos en el que el calculista se siente msseguro, o en el queacumula mayor experiencia de eficaciay xito.

En contraposicin a este modo de proceder, se hallaranlasrespuestas inmediatas, sin mediar reflexin ni combinatoria representativa. Se ajustaran al esquema estmulo-respuesta del clculo mental automatizado o inmediato, y

que es tpico de la memorizacin de las tablas, aunqueno se restringe a loshechos numricos bsicos (operaciones con nmeros de una cifra, en escritura decimal): esfrecuente en actividades mercantiles memorizar los mltiplos y fracciones de un cierto valor, sin recurrir a clculoalguno.

As pues, es preciso admitir relaciones mutuas:

El clculo pensado es la va ms segura para la automatizacin y aplicacin eficaz del clculo aritmtico

El clculo pensado es un recurso siempre disponible enel clculo automatizado


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51TCNICAS Y ESTRATEGIAS

Clculo automatizado -o inmediato- y clculo pensadoson independientes en sus primeros estadios, pero sepotencian y apoyan mutuamente

Ya que, sin la automatizacin de hechos numricos, elclculo pensado con cantidades de una cierta dimensin-nmeros de varias cifras, en escritura decimal- se verareducido a rutinas tan sumamente elementales, que lo lentificaran y haran despreciable.

El clculo automatizado es el objetivo; el clculo pensado,

la va ms segura para alcanzarlo.

Hasta el extremo de poder considerar como clculo automatizado la aplicacin mecnica -inmediata, por reiteracin- de estrategias o algoritmos del clculo pensado.

Los lmites del clculo automatizado vienen perfilados porlas necesidades prcticas del alumno; los del clculo pensa

do, los decide el propio alumno.

He aqu un intento de descripcin de las tcnicas yestrategias ms frecuentes en el clculo pensado. Setoma como esquema general de clasificacin las operaciones aritmticas con nmeros naturales, aunque no faltarnlas referencias a otros dominios numricos. Las subdivisiones siguen un supuesto orden de complejidad lgico-ope-

ratoria.

4.1 TCNICAS Y ESTRATEGIAS PARA LA ADICIN

1. Conteos unidad a unidad

No podemos desdear tcnicas tan elementales como las

basadas en el conteo o recuento en la sucesin numrica, propias de los primeros estadios de aprendizaje. Peroincluso en este nivel tan bajo, se han encontrado procedimientos varios:

1.1 Por recuento total. Propias de adiciones de nmeros


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naturales. Se parte de la unidad, superponiendo en sucesinambas cantidades-operandos:

5 + 7 = {1, 2..., (5 pasos)..., 5; 6, 7, 8, 9..., (7 pasos)} 12

1.2 Por recuento parcial. Se elude el recuento para uno delos sumandos. Con dos formas, no universales.

1.2.1 Con origen predeterminado por la presentacin.Partiendo de la cantidad enunciada en primer lugar, se prosigue el recuento conforme al segundo sumando:

5 + 7 = {5; 6, 7, 8..., (7 pasos)} 12

No es exclusiva de los ms jvenes, ni de operandosnecesariamente ambos pequeos:

45 + 7 = {45; 46, 47..., (7 pasos)} 52

Incluso en niveles medios o superiores, cuando se trata dela adicin de nmeros enteros, siendo negativo el primerode ellos, se encuentran ejemplos de esta forma de proceder:

-3 + 5 = {-3; -2, -1, 0, 1} 2

1.2.2 Con estrategia de eleccin del origen. Se toma comopunto de partida para el recuento el sumando mayor:

5 + 7 = {7; 8, 9, 10..., (5 pasos)} 12

2. Permuta previa

O aplicacin de la propiedad conmutativa. Puede pareceruna simpleza; pero todo apunta a sealar que resultan mssencillas -mayor rapidez y frecuencia de xito- aquellas adi

ciones en las que el primer sumando supera al segundo;tanto entre nmeros inferiores a la decena -hechos elementales-, como entre aquellos otros superiores. La causa queexplicara esta actitud generalizada no est clara.

5 + 8 = 8 + 5 = 13


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En cualquier caso, la aplicacin de la tcnica conmutativaes general en las adiciones con nmeros superiores a ladecena:

7 + 56 = 56 + 7 = 63

3. Descomposicin

Este grupo de tcnicas tienen como aspecto comn undominio de la descomposicin de una cantidad en otras dos,por va exclusivamente aditiva o aditivo-sustractiva..

Dado que las descomposiciones posibles son mltiples,supone, a su vez, una capacidad de eleccin de la mejor.Eleccin que no tiene por qu ser universal: responder aestrategias personales, ms o menos desarrolladas o segnel nivel de prctica que se haya alcanzado.

3.1 Descomposicin aditiva. O mediante adicin de partes o

cantidades; se entiende: no unitarias, ya que se reducira auna estrategia de recuento.

3.1.1 Descomposicin de uno de los sumandos en dos par-tes arbitrarias. Se aplica incluso en casos elementales:

6 + 7 = 6 + (4 + 3) = (6 + 4) + 3 = 10 + 3 = 13

6 + 7 = 6 + (6 + 1) = (6 + 6) + 1 = 12 + 1 = 13(Se ha observado que las sumas del tipo doble 2+2,

3+3, 6+6, etc. son aprendidas por los nios con gran rapidez y firmeza.)

Precisamente en los dos ejemplos ofrecidos aparecen las dosdescomposiciones ms frecuentes -aunque no sean las nicas-,

la que permite al primer sumando alcanzar ladecena, y

la que le hace presente como parte del segundosumando.


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La generalizacin a casos en uno de cuyos nmerossupera la decena es inmediata:

79 + 8 = 79 + (1 + 7) = (79 + 1) + 7 = 80 + 7 = 87

Obsrvese cmo la estructura numrica decimal empiezaa cobrar importancia. Lo que sugiere que no pocas estrategias del clculo pensado -las que aqu se describen y seemplean ms a menudo por nios y adultos- tal vez estnligadas a dos soportes fundamentales:

Soporte verbal. Ya que la mayora de las nomenclaturasverbales de las cantidades responden a la estructura decimal:diec-i-sis, veint-i-cuatro, ciento - cuarenta y dos, etc.

Soporte de escritura simblica imaginada; con preponderancia en nuestra cultura de la escritura decimal.

La escritura/verbalizacin de cantidades en forma decimal

-polinmica o posicional- abre un campo casi ilimitado deestrategias.

3.1.2 Por rdenes de unidades. Su referente comn es la descomposicin decimal, su campo de aplicacin, las sumascuyos sumandos -uno, al menos- superan la decena. En cualquier caso exigen (estructuralmente) la aplicacin reiterada delas propiedades asociativa y conmutativa de la adicin.

3.1.2.1 Procediendo por rdenes descendentes. Es, sinduda, la tcnica ms fecunda en la adicin de nmeros deun cierto tamao mediante clculo pensado. Adems comoen el proceso de clculo se van obteniendo resultados cadavez ms prximos al objetivo final, la convierte en tcnica declculo aproximado.

En espaol, se corresponde con la lectura verbal de lascantidades. Por tanto, supone un ahorro -mejor gestin derecursos de memoria-. Pero los espacios de memoria de trabajo omemoria inmediata deben contener elementos indivisibles, es decir, trminos. De otro modo -si se acude a la representacin simblica- el esfuerzo de memoria se complica.


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38 + 9 = (30 + 8) + 9 = 30 + (8 + 9) = 30 + 17 = 30 +(10 + 7) = (30 + 10) + 7 = 40 + 7 = 47

46 + 25 = (40 + 6) + (20 + 5) = (40 + 20) + (6 + 5) = 60+ (6 + 5) = 60 + 11 = 60 + (10 + 1) = (60 + 10) + 1 = 70+ 1 = 71

134 + 29 = (100 + 30 + 4) + (20 + 9) = 100 + (30 + 20)+ (4 + 9) = 100 + 50 + (4 + 9) = 100 + 50 + 13 = 100 +50 + 13 = 100 + 50 + (10 + 3) = 100 + (50 + 10) + 3 =100 + 60 + 3 = 100 + 63 = 163

317 + 468 = (300+17) + (400+68) = 300+400 + (17+68)= 700 + (10+7 + 60+8) = 700 + (10+60) + 7+8 = 700 +70 + 15 = 770 + (10+5) = (770+10) + 5 = 780 + 5 = 785

3.1.2.2 Procediendo por rdenes ascendentes. En realidad,es una versin verbalizada del algoritmo usual, ahora sinlpiz ni papel, muy posiblemente con recurso a la imagen

escrita de aqul.

Compite en frecuencia con el anterior para la adicin denmeros superiores a la decena, coincidiendo en apariencia,si uno de ellos es menor. Pero tanto los recursos de memoriacomo el esfuerzo de atencin son muy superiores aqu.Parece estar ligado a estilos de gestin de recursos por modalidad visual, ms que auditiva o verbal. (Con el orden en los tr

minos se pretende subrayar el foco atencional:)38 + 9 = (8 + 30) + 9 = (8 + 9) + 30 = 17 + 30 = (7 + 10)+ 30 = 7 + (10 + 30) = 7 + 40 = 47

46 + 25 = (6 + 40) + (5 + 20) = (6 + 5) + (40 + 20) = 11+ (40 + 20) = 11 + 60 = (1 + 10) + 60 = 1 + (10 + 60) =1 + 70 = 71

134 + 29 = (4 + 130) + (9 + 20) = (4 + 9) + 130 + 20 = 13+ 130 + 20 = 13 + (30 + 100) + 20 = 3 + 10 + (30 + 100)+ 20 = 3 + (10 + 30) + 100 + 20 = 3 + 40 + 20 + 100 = 3+ (40 + 20) + 100 = 3 + 60 + 100 = 163


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-


317 + 468 = (7+310) + (8+460) = (7+8) + (310+460) = 15+ (10+300 + 60+400) = 15 + (10+60) + (300+400) = 15+ 70 + (300+400) = 5 + 10 + 70 + (300+400) = 85 +

(300+400) = 85 + 700 = 785

3.1.2.3 Procediendo sin secuencia estricta de rdenes de unida-des. Parece apoyarse en recursos de memoria verbal de muyescasa aplicacin en el rea cultural espaola o hispano-parlante.

46 + 25 = (40 + 6) + (5 + 20) = 40 + (6 + 5) + 20 = 40 +11 + 20 = 40 + (11 + 20) = 40 + (1 + 10) + 20 = 40 + 1

+ (10 + 20) = 40 + 1 + 30 = (40 + 30) + 1 = 70 + 1 = 71

134 + 29 = (4 + 130) + (9 + 20) = (4 + 9) + 130 + 20 =13 + 130 + 20 = 13 + (30 + 100) + 20 = (13 + 30) + 100+ 20 = (10 + 3 + 30) + 100 + 20 = 3 + (10 + 30) + 100+ 20 = 3 + 40 + 100 + 20 = 143 + 20 = (140 + 3) + 20= (140 + 20) + 3 = 160 + 3 = 163

317 + 468 = (300+17) + (400+68) = 300+400 + (17+68)= 700 + (10+7) + (60+8) = 700 + (10+60) + (7+8) = 700+ (10+60) + 15 = 700 + (10+60) + (10+5) = 700 +(10+60+10) + 5 = 700 + 80 + 5 = 785

3.1.3 Descomposiciones para la aparicin reiterada de unsumando arbitrario. En algunos ambientes mercantiles esusual el clculo de cantidades como mltiplos de otra bien

determinada, la docena, por ejemplo. Se tiende entonces adescomponer los nmeros en sumas reiteradas de dichacantidad-base y sus restos.

Puede considerarse como generalizacin de la suma porduplicacin de un sumando, que se contemplaba en 3.1.1.2.Asimismo, tiene un cierto sabor de clculo en base no decimal.

38 + 27 = (12+12+12+2) + (12+12+3) = (12+12+12+12+12) + (2+3) = 60 + (2+3) = 60 + 5 = 65

3.2 Descomposiciones aditivo-sustractivas

Uno de los sumandos se descompone como sustraccin.


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Por lo general, aparecen como minuendo decenas completas, facilitndose as la adicin. Es muy frecuente consumandos que cuentan con 8 9 unidades:

Tiene un amplio campo de aplicacin: desde loshechosnumricos elementales hasta cantidades importantes. Antesque clculo por sustraccin efectiva, parece proceder porrecuento descendente (ver ms adelante), pues el sujetocalculista no parece servirse en ningn caso del algoritmoescrito imaginado.

4 + 9 = 4 + (10 - 1) = (4 + 10) - 1 = 14 - 1 = 13

73 + 9 = 73 + (10 - 1) = (73 + 10) - 1 = 83 - 1 = 82

73 + 28 = 73 + (30 - 2) = (73 + 30) - 2 = 103 - 2 = 101

282 + 89 = 282 + (90 - 1) = 282 + (100 - 10 - 1) = (282+ 100) - 10 - 1 = 382 - 10 - 1 = 372 - 1 = 371

4. Mediante representacin interior

La observacin y control externos del proceso calculatorio,como se indic pginas atrs, no son sencillos ni definitivos.Tres son las fuentes principales:

Observacin ecolgica de acciones en el sujeto-calculista.

Por la que pueden detectarse recuentos de dedos, movimientos de labios e incluso verbalizaciones espontneas.

Verbalizacin solicitada. Por la que el sujeto-calculistadescribe en voz alta las operaciones que realiza.

Relato a posteriori. Anlogo al anterior, pero una vezobtenido el resultado, como descripcin introspectiva.

Se han obtenido as tres grupos de representaciones; pororden de frecuencia:

a) Representacin simblica grfica o de algoritmos escritos (no necesariamente el cannico).


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b) Representacin de acciones sobre material manipulativo.Por lo general, aqul que le resulta ms familiar: regletasde Gategno, bloques multibase, bacos, etc.

c) Representacin de situaciones grficas. Sean puntos,trazos, etc.

Como frmula mixta, se encuentra la representacin dela tira numrica o sucesin de nmeros en forma simblica ordenados espacialmente. Debiera esperarse quedicha ordenacin tomara una configuracin de lnea recta;

pero sta slo aparece en niveles muy elementales. Pronto-quizs al superarse la veintena- se desplaza en zig-zag,espiral, tabla bidimensional; tal vez en funcin de la experiencia manipulativa o representativa: cinta mtrica, calendario, paneles, etc.

En sentido estricto, esta forma de proceder por va imaginativa no debera merecer el ttulo de clculo pensado, ya

que el esfuerzo de accin propiamente numrica y aplicacinde estrategias es casi inexistente. Sin embargo, es difcil asegurar que no se aplica alguna de estas caractersticas en unpaso determinado, o si la misma eleccin de representaciones no es ya una estrategia adecuada a las posibilidades yhbitos del sujeto-calculista.

Estrategias o tcnicas para el clculo pensado de adiciones

Conteos Por recuento total

Por recuento parcial Con origen predeterminado por presentacin

Con estrategia de elccin del origen

Premuta previa (aplicacin de la propiedad conmutativa)

Descomposicin Descomposicinaditiva (medianteadicin de partes)

De uno de lossumandos en dospartes arbitrarias

Alcance de ladecena inmediata

Generacin de dobles

En rdenes deunidades

Descendentes

Ascendentes

Sin secuencia estrictaPara la aparicin reiterada de un sumandoarbitrario

Descomposiciones aditivo-sustractivas

Medianterepresentacin interior

Simblica grfica (de algoritmos escritos)De acciones sobre material manipulativo

De situaciones grficas


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4.2 TCNICAS PARA LA SUSTRACCIN

En razn de la estructura algebraica aditiva de grupo, y

segn las teoras psicopedaggicas, la sustraccin es inseparable de la adicin, por ms que el algoritmo escrito lashaya alejado formalmente. Es, pues, de esperar que seanparalelas o anlogas las estrategias empleadas en una y otrapor el clculo pensado.

1 Recuentos

O conteos, mediante operacin unidad a unidad.

1.1 Recuento ascendente o de conversin aditiva. Partiendode la cantidad sustraendo, se asciende por recuento hasta elminuendo:

12 - 7 = {7; 8, 9, 10..., (5 pasos)} 12

92 - 87 = {87; 88, 89..., (5 pasos)} 92

1.2 Descendente. Ciertamente, es menos frecuente que laprimera, y mucho ms difcil: lenta, con tropiezos y errores,inseguridad manifiesta, etc. Pero es que el enunciado descendente de la serie numrica tambin lo es. Y es ciertoasimismo que apenas se ejercita en el aula. No obstante,es muy utilizada para cantidades grandes.

Obsrvese que en estas tcnicas sustractivas el resultadono se verbaliza con la serie numrica: es fruto de un recuentoajeno a dicha serie, que puede ayudarse de refuerzos fsicos-dedos, golpes, representaciones interiores-.

12 - 7 = {12; 11, 10..., (5 pasos)} 7

92 - 87 = {92; 91, 90..., (5 pasos)} 872. Permuta previa

Oreduccin al contrario. Se ha observado que la adicin deenteros de distinto signo se reduce, normalmente, a sus


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traccin de naturales, identificada a la sustraccin de enteros positivos. Se sigue entonces uno de los procesossiguientes:

A) Primer sumando positivo y segundo negativo. Con dossituaciones:

a) Primer sumando mayor que el valor absoluto delsegundo. Equivale a una resta posible y ordinaria entrenaturales:1

+7 + -5 = 7 - 5 = 2 = +2

b) Primer sumando menor que el valor absoluto delsegundo. Equivale a una sustraccin imposible entrenaturales. La operacin se facilita mediante un doble pasoa los contrarios: el contrario de la suma de contrarios; quedevuelve, operatoriamente, a la situacin anterior:

+5 + -7 = -(7 + -5) = -(+7 + -5) = -(7 - 5) = -(2) = -2

B) Primer sumando negativo y segundo positivo.Asimismo, con dos situaciones:

c) Valor absoluto del primero menor que el del segundo.La permuta en la suma lleva, de nuevo a la situacin a) deresta posible y ordinaria entre naturales:

-5 + +7 = +7 + -5 = 7 - 5 = 2 = +2

d) Valor absoluto del primero mayor que el del segundo.La permuta de la suma conduce a la situacin b), quesera reducida a la a):

-7 + +5 = -(+7 + -5) = -(7 - 5) = -(2) = -2

Aunque las operaciones entre nmeros enteros o consigno suelen ser ms propias de niveles posteriores a los de

1 Los nmeros enteros van afectados del correspondiente signo, queindica si es positivo o negativo.


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simple iniciacin aritmtica, se han incluido aqu para completar este cuadro de estrategias, al menos hasta el dominiode nmeros enteros, tanto positivos como negativos.

Obsrvese el cambio alternativo entre dominiosnumricos:

contemplacin de la suma de nmeros enteros de distinto signo como resta de naturales,

operacin de resta entre naturales,

retorno al dominio de nmeros enteros.

Las estrategias aditivas para dos nmeros enteros deigual signo son idnticas a las empleadas para naturales.Si ambos son positivos, por la coincidencia estructural. Sinegativos, mediante el paso a los contrarios, como en b).

3. Operaciones sobre partes o cantidades no unitarias

3.1 Descomposicin. Consistente

del calculo mental

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