calculo mental con numeros naturales

5/22/2018 Calculo Mental Con Numeros Naturales

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Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires

S e c r e t a r a d e E d u c a c i n

Direccin General de Planeamiento

D i r e c c i n d e C u r r c u l a

MatemticaClculo mental

con nmeros naturales

Apuntes para la enseanza


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Matemtica

Clculo mental con nmeros naturales

Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretara de Educacin.

Direccin General de Planeamiento. Direccin de Currcula

Apuntes para la enseanza


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ISBN-10: 987-549-299-XISBN-13: 978-987-549-299-8 Gobierno de la Ciudad de Buenos AiresSecretara de EducacinDireccin General de PlaneamientoDireccin de Currcula. 2006

Hecho el depsito que marca la Ley n 11.723

Paseo Coln 255. 9 piso.CPAc1063aco. Buenos Aires

Correo electrnico: [email protected]

Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras,segn Ley 11.723, art. 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente;

si ste excediera la extensin mencionada deber solicitarse autorizacin a la Direccin deCurrcula. Distribucin gratuita. Prohibida su venta.

Clculo mental con nmeros naturales : apuntes para la enseanza /coordinado por Susana Wolman - 1a ed. - Buenos Aires :Secretara de Educacin - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires,2006.72 p. ; 28x22 cm. (Plan plurianual para el mejoramiento de laenseanza 2004-2007)

ISBN 987-549-299-X

1. Nmeros Naturales-Enseanza. I. Wolman, Susana, coord. II. TtuloCDD 372.7

Tapa: La calesita de los lechones, Roberto Delaunay (1885-1941)


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GOBIERNO DE LA CIUDAD DE BUENOS AIRES

Jefe de Gobierno

DR. ANBAL IBARRA

Vicejefe de Gobierno

Sr. JORGE TELERMAN

Secretaria de Educacin

LIC. ROXANA PERAZZA

Subsecretaria de Educacin

LIC. FLAVIA TERIGI

Directora General

de Educacin

PROF. HAYDE CHIOCCHIO DE CAFFARENA

Directora General

de Planeamiento

LIC. FLORENCIA FINNEGAN

Directora General

de Educacin Superior

LIC. GRACIELA MORGADE

Directora

de Currcula

LIC. CECILIA PARRA

Director de rea

de Educacin Primaria

PROF. CARLOS PRADO


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"Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseanza 2004-2007"

Direccin de CurrculaDireccin: Cecilia Parra.Coordinacin del rea de Educacin Primaria: Susana Wolman.Colaboracin en el rea de Educacin Primaria: Adriana Casamajor.

Coordinacin del rea de Matemtica: Patricia Sadovsky.

MATEMTICA. CLCULO MENTAL CON NMEROS NATURALESCOORDINACIN AUTORAL: PATRICIASADOVSKY.ELABORACIN DEL MATERIAL: MARAEMILIAQUARANTA, HCTORPONCE.

EDICIN A CARGO DE LA DIRECCIN DE CURRCULA.

Coordinacin editorial: Virginia Piera.Coordinacin grfica: Patricia Leguizamn.Diseo grfico y supervisin de edicin: Mara Laura Cianciolo, Patricia Peralta, Natalia Udrisard,Cristina Pruzzo, Paula Galdeano.

Apoyo administrativo y logstico: Olga Loste, Jorge Louit, Miguel ngel Ruiz.


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Presentacin ....................................................................................................................9 Introduccin ..................................................................................................................13

Clculo mental y clculo algortmico ....................................................................13Dos clases de conocimientos en el trabajo sobre clculo mental ................15La actividad matemtica en el aula a propsito del clculo mental............18La gestin docente en las clases de clculo mental ..........................................19El uso de la calculadora..............................................................................................20

Acerca de este documento ........................................................................................21

Adicin y sustraccin ..................................................................................................23ACTIVIDAD 1. El juego de adivinar el nmero ........................................................23ACTIVIDAD 2. Revisin y ampliacin del repertorio aditivo ..................................25ACTIVIDAD 3. Sumas y restas con algunos nmeros particulares....................27ACTIVIDAD 4. Estimaciones..............................................................................................29ACTIVIDAD 5. Sumas y restas con mltiplos de 25 ..................................................30ACTIVIDAD 6. Clculo de distancias entre nmeros ................................................32ACTIVIDAD 7. Dobles y mitades......................................................................................34

Multiplicacin y divisin ............................................................................................37ACTIVIDAD 1. Tabla de multiplicaciones......................................................................37ACTIVIDAD 2. La tabla pitagrica para resolver divisiones ....................................41ACTIVIDAD 3. Multiplicacin y divisin por 10, 100 y 1.000y por otros nmeros terminados en ceros ............................................................42ACTIVIDAD 4. Multiplicacin por algunos nmeros particulares(19; 21; etc.), a partir de la multiplicacin por nmeros redondos ..........45ACTIVIDAD 5. Resolver clculos a partir de uno conocido ....................................47ACTIVIDAD 6. Estimacin de cocientes ........................................................................53

Sistema de numeracin ..............................................................................................57

ACTIVIDAD 1. Pagando con monedas de $1y billetes de $10, $100 y $1.000 ..........................................................................57ACTIVIDAD 2. Armando nmeros con multiplicaciones por 10, 100 y 1.000 ......59ACTIVIDAD 3. El sistema de numeracin y la calculadora. Primera parte ........60ACTIVIDAD 4. Descomposiciones de nmerosque involucran la decena de mil ..............................................................................62ACTIVIDAD 5. El sistema de numeracin y la multiplicaciny divisin por 10, 100 y 1.000..................................................................................64ACTIVIDAD 6. El sistema de numeracin y la calculadora. Segunda parte ......68

Matemtica. Clculo mental con nmeros naturales Apuntes para la enseanza 7

ndice


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Presentacin

1 Existe una versin digi-tal en www.buenosaires.gov.ar/educacin

La Secretara de Educacin del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires se propo-ne en el marco de su poltica educativa desplegar una serie de acciones para im-pulsar el mejoramiento de la enseanza en el nivel primario. En pos de ese pro-psito puso en marcha, para el perodo 2004-2007, el Plan Plurianual para elMejoramiento de la Enseanza en el Segundo Ciclo del Nivel Primario de las es-cuelas de la Ciudad. Dentro de las acciones previstas, se asume el compromisode proveer recursos de enseanza y materiales destinados a maestros y alumnos.

Ya han sido presentadas a la comunidad educativa las siguientes publicacio-nes para el trabajo en el aula en las reas de Matemtica y Prcticas del Len-guaje: Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. Apuntes para la enseanza

de 4 a 7 y Pginas para el alumnode 4 a 6. Prcticas del Lenguaje. Robin Hood. Novela. Orientaciones para el docente

y Pginas para el alumno. Prcticas del Lenguaje. El diablo en la botella. Novela. Orientaciones para

el docentey Pginas para el alumno. Prcticas del Lenguaje. Don Quijote de la Mancha. Seleccin de la novela.

Orientaciones para el docentey Pginas para lectores caminantes.1

En continuidad con el compromiso asumido, se presentan ahora los siguien-tes materiales: Prcticas del Lenguaje. El Negro de Pars. Orientaciones para el docentey

Pginas para el alumno. Prcticas del Lenguaje. Mitos. Seleccin. Orientaciones para el docente y

Pginas para el alumno. Matemtica. Clculo mental con nmeros naturales. Apuntes para la ense-

anza. Matemtica. Clculo mental con nmeros racionales. Apuntes para la en-

seanza.

Los documentos y libros son concebidos como recursos disponibles para elequipo docente, que es quien decide su utilizacin. Se incorporan a la biblioteca dela escuela para facilitar que los maestros dispongan de ellos cuando lo prefieran.

La voluntad de aportar al trabajo pedaggico de los docentes en las escue-las lograr mejores concreciones si se alimenta de informaciones y de una ela-boracin, lo ms compartida posible, de criterios con los que tomar decisiones.

Por ello, resulta fundamental que docentes y directivos los evalen y haganllegar todos los comentarios y sugerencias que permitan un mejoramiento de losmateriales a favor de su efectiva utilidad en las escuelas y las aulas.


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G.C.B.A. Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula10

PLANPLURIANUAL PARA ELMEJORAMIENTO DE LAENSEANZAEN ELSEGUNDOCICLO DELNIVELPRIMARIOPUBLICACIONES

Matemtica. Fracciones y nmeros decimales integra un conjunto de documen-

tos destinados a cada grado del segundo ciclo, en los que se aborda el tratamien-to didctico de los nmeros racionales contemplando el complejo problema desu continuidad y profundizacin a lo largo del ciclo. La serie se compone deApuntes para la enseanza, destinados a docentes de 4, 5, 6 y 7 grado, y dePginas para el alumnode 4 a 6 grado. Cada documento de Apuntes para la en-seanzaest organizado en actividades que implican una secuencia de trabajoen relacin con un contenido. En cada actividad, los docentes encontrarn unaintroduccin al tema, problemas para los alumnos, su anlisis y otros aportes quecontribuyen a la gestin de la clase. En Pginas para el alumnose presentan esosproblemas en formato integrable a las carpetas de trabajo.

Prcticas del Lenguaje. Robin Hood. Novela. Orientaciones para el docentey P-ginas para el alumno tienen el propsito de alentar la lectura de novelas desdeel inicio del segundo ciclo. La lectura de novelas, por la extensin de las mismas,da la oportunidad de sostener el tema a lo largo de varias clases permitiendo quelos lectores se introduzcan progresivamente en el mundo narrado y lean cada vezcon mayor conocimiento de las aventuras y desventuras de los personajes. Estapropuesta, particularmente, ofrece a los alumnos la oportunidad de enfrentarsesimultneamente con una experiencia literaria interesante, sostenida en el tiem-po, y con diversos textos informativos artculos de enciclopedia, esquemas conreferencias, notas al pie de pgina y numerosos epgrafes.

Prcticas del Lenguaje. El diablo en la botella, de R. L. Stevenson. Novela.Orientaciones para el docentey Pginas para el alumnotambin tienen el prop-sito de alentar la lectura de novelas pero se dirigen, en este caso, a 6 y 7 gra-do. Se ofrece informacin sobre el tiempo histrico en el que ocurren los hechosnarrados, las realidades de las regiones a las que alude el relato y datos sobre elautor. Pero sobre todo invita a un interminable recorrido por el mundo de losdiablos en la literatura jalonado por bellas imgenes.

Prcticas del Lenguaje. Don Quijote de la Mancha. Seleccin. Tiene el propsitode poner en contacto a los alumnos con la obra de Miguel de Cervantes Saavedra.

En Pginas para el docente, se sugieren actividades orientadas a hacer acce-sible, interesante y placentera la lectura de la obra. Tambin se busca compartirdiferentes miradas sobre Don Quijote de la Mancha que contribuirn a comen-tar el texto y a apreciarlo con profundidad.

En Para lectores caminantes, los alumnos encontrarn informacin sobre lavida de Cervantes, sobre la escritura de la novela, el mapa de la ruta del Quijotey algunas de las obras de otros autores inspirados por el hidalgo caballero.


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Prcticas del Lenguaje. El Negro de Pars, de Osvaldo Soriano. El negro... y otrosgatos, Orientaciones para el docentey Pginas para el alumno. Esta propuesta, detres ttulos, permitir a alumnos de 4 o 5 acercarse a un relato con aspectos pro-pios del cuento maravilloso, en el que, desde las vivencias de un nio, se alude ala dictadura militar en la Argentina y al exilio. Soriano rene memoria y maravi-

lla en una sntesis que pocos autores pueden lograr. Pginas para el alumno in-cluye una biografa del autor y de los muchos gatos que lo acompaaron, as co-mo otros cuentos, poesas y refranes y adivinanzas habitados por gatos.

Prcticas del Lenguaje. Mitos comprende una seleccin de mitos griegos y lati-nos destinados a los alumnos de los ltimos grados de la primaria. En Pginaspara el alumno se ofrece informacin sobre el origen de los mitos, textos infor-mativos sobre el sistema solar y los Juegos Olmpicos que, como sabemos, tu-vieron impulso u origen entre los griegos y mitos americanos. Orientaciones pa-ra el docentepropone actividades para enriquecer el acercamiento al inabarca-

ble mundo de los mitos, tan lejano y tan presente.

Matemtica. Clculo mental con nmeros naturales y Clculo mental con n-meros racionales constituyen referencias para los docentes del segundo ciclo: elmaterial referido a nmeros naturales se encuadra en los contenidos de 4 y 5grado, y el relativo a nmeros racionales est orientado a 6 y 7 grado. Sin em-bargo, cabe la posibilidad de que alumnos de 6 o 7 grado que hayan tenido po-ca experiencia de trabajo con el clculo mental tomen contacto con algunas delas propuestas incluidas en el documento sobre nmeros naturales.

Los materiales constan adems de una introduccin terica sobre la con-

cepcin de clculo mental, las diferencias y relaciones entre el clculo mental yel algortmico, reflexiones acerca de la gestin de la clase, etc. de secuencias deactividades para la enseanza del clculo mental y anlisis de algunos de los pro-cedimientos que frecuentemente despliegan los alumnos, de 4/5 y 6/7 respec-tivamente.

En ambos documentos se proponen actividades que involucran conocimien-tos que han sido objeto de construccin en aos precedentes o en ese mismo aoa travs de situaciones que han permitido darles un sentido, con la intencin deretomarlos en un contexto exclusivamente numrico para analizar algunas rela-ciones internas e identificar aspectos de esos clculos y relaciones. Por esa mis-ma razn encontrarn en el documento de Matemtica. Clculo mental con n-meros racionalesreferencias a los documentos Matemtica. Fracciones y nme-ros decimales, ya mencionados.


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Introduccin

2 G.C.B.A., Secretara deEducacin, Direccin Ge-neral de Planeamiento,Direccin de Currcula, Di-seo Curricular para la Es-

cuela Primaria. Segundo

ciclo de la Escuela Prima-

ria/Educacin General B-

sica, 2004, tomos 1 y 2.3 Parra, Cecilia. El clculomental en la escuela pri-maria, en C. Parra e I. Saiz(comps.), Didctica de lamatemtica. Aportes y re-

flexiones, Buenos Aires,Paids, 1994.

Este documento, junto con Clculo mental con nmeros racionales, integra unacoleccin de materiales para el segundo ciclo que se publican en el marco delPlan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseanza en el Segundo Ciclo delNivel Primario. A travs de este material se propone discutir bajo qu condicio-

nes didcticas el clculo mental puede constituirse en una prctica relevante pa-ra la construccin del sentido de los nmeros y las operaciones. Se busca, ade-ms, compartir con los docentes algunas secuencias de trabajo posibles, entrelas muchas que se podran disear.

CLCULO MENTAL Y CLCULO ALGORTMICO

Desde la perspectiva propuesta en el Diseo Curricular,2 los procedimientos declculo mental se definen por contraste con aquellos que responden a clculosalgoritmizados. Estos ltimos consisten en una serie de reglas aplicables en un

orden determinado, siempre del mismo modo, independientemente de los datosque garantizan alcanzar el resultado buscado en un nmero finito de pasos. Lascuentas convencionales que se utilizan para resolver las operaciones constituyenprocedimientos de este tipo: en ellas se recurre a una nica tcnica para unaoperacin dada, siempre la misma, independientemente de cules sean los n-meros en juego.

El clculo mental, en cambio, hace referencia al conjunto de procedimientosque, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo prees-tablecido, para obtener resultados exactos o aproximados.3 Es decir, se caracte-riza por la presencia de una diversidad de tcnicas que se adaptan a los nmerosen juego y a los conocimientos (o preferencias) del sujeto que las despliega.

Examinemos el clculo mental en relacin con el clculo algortmico a par-tir de un par de ejemplos.

a) Cunto hay que restarle a 1.000 para obtener 755? Esta pregunta podraresponderse apelando al algoritmo de la resta:

1.000 755

245


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A travs de estrategias de clculo mental, podra resolverse de diversas ma-neras. Algunas posibilidades son:

Calcular el complemento de 755 a 1.000 de diferentes modos. Por ejemplo,apoyndose en nmeros redondos:

755 + 5 = 760760 + 40 = 800800 + 200 = 1.000200 + 40 + 5 = 245

Ir restando sucesivos nmeros a 1.000 hasta alcanzar 755:

1.000 200 = 800800 45 = 755200 + 45 = 245

b) La multiplicacin 4 x 53 podra resolverse mediante el algoritmo conven-cional de la multiplicacin, o tambin a travs de procedimientos de clculomental. Por ejemplo:

4 x 50 + 4 x 3Como el doble de 53 es 106, 4 x 53 es el doble de 106, 212,etctera.

Aqu puede observarse que la distincin entre clculo algortmico y clculomental no reside en que el primero sea escrito y el segundo no se apoye en el usode lpiz y papel. Como mencionamos anteriormente, el clculo algortmico utili-

za siempre la misma tcnica para una operacin dada, cualquiera sean los n-meros. En cambio, cuando se propone un trabajo de clculo mental no se espe-ra una nica manera de proceder. La idea es instalar una prctica que requieradiferentes estrategias basadas en propiedades de la numeracin decimal y de lasoperaciones. Al desplegar estas estrategias en una situacin especfica, se favo-rece el anlisis de las relaciones involucradas en las mismas.

Los algoritmos convencionales para las operaciones tambin apelan a laspropiedades de los nmeros y de las operaciones, slo que, una vez automatiza-dos los mecanismos, como stos son siempre iguales, es posible resolverlos sintener en cuenta el sentido de las descomposiciones de los nmeros y de las ope-raciones parciales que se realizan. En la resta de nuestro ejemplo, cuando se pi-

de uno al nmero del orden siguiente, no hay necesidad de pensar que se estdescomponiendo 1.000 en 900 + 90 + 10.

En el clculo mental, los nmeros se tratan de manera global sin considerarsus cifras aisladas, como ocurre en los algoritmos convencionales. Esto, sumadoal hecho de tener que poner en juego estrategias especficas en funcin de losnmeros con los que se trabaja, habilita un mayor control de las propiedades quehacen vlida la estrategia que se despliega.

Por otro lado, como se ver a lo largo de este documento, para que los alum-nos produzcan estrategias de clculo mental cada vez ms elaboradas, tendrn


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4 Butlen, Denis y MoniquePezard. Calcul mental etresolution de problmesmultiplicatifs, une experi-mentation du CP au CM2.Recherches en didactique

des mathmatiques, Vol.12, No 2.3, Grenoble, LaPense Sauvage, pp. 319-367, 1992.

que apoyarse tanto en el conocimiento de las propiedades de las operaciones ydel sistema de numeracin como en los resultados que debern tener disponiblesen su memoria.

El hecho de que el clculo mental se distinga del clculo algortmico no su-pone que se oponga a l; todo lo contrario, los conocimientos construidos acer-ca de uno y otro tipo de clculo se alimentan recprocamente. Es finalidad de la

escuela que los alumnos se apropien de los algoritmos convencionales para re-solver las operaciones. Todo clculo algortmico contempla momentos de apela-cin al clculo mental y se enriquece con sus aportes, tanto para anticipar y con-trolar la magnitud del resultado como para comprender el sentido de los pasosdel algoritmo convencional.

Los algoritmos convencionales constituyen tcnicas de clculo valiosaspor la economa que procuran y por el alivio que supone la automatizacin deciertos mecanismos. La riqueza del trabajo sobre el clculo mental y algort-mico incluye el hecho de que los alumnos tienen que decidir la estrategiams conveniente para cada situacin en particular. Pensamos que el clculomental abona la construccin de relaciones que permiten un aprendizaje de

los algoritmos convencionales basado en la comprensin de sus pasos, en uncontrol de los resultados intermedios y finales que se obtienen. Al mismotiempo, la finalidad de transmitir los algoritmos vinculados con las operacio-nes se inserta en el marco de la transmisin de un amplio abanico de recursosde clculo y de su adecuacin con las situaciones que enfrentan. La prcticade clculo mental, bajo ciertas condiciones, hace evolucionar los procedimien-tos de clculo de los alumnos y enriquece las conceptualizaciones numricasde los nios.4

Es necesario resaltar que las actividades que se incluyen en este materialse proponen en un contexto exclusivamente numrico. Se est suponiendo, en-tonces, que los alumnos ya han abordado estos contenidos en un trabajo ab-

solutamente necesario con situaciones que apelen a otros contextos de refe-rencia, como problemas de reparto para el tratamiento de la divisin. Nos ocu-pamos aqu de un trabajo posterior dirigido a enriquecer un sentido de lo nu-mrico, para lo cual tambin es necesaria una descontextualizacin de los co-nocimientos.

DOS CLASES DE CONOCIMIENTOS EN EL TRABAJO SOBRE CLCULO MENTAL

En el trabajo con clculo mental es posible distinguir dos aspectos: por un lado,la sistematizacin de un conjunto de resultados y, por el otro, la construccin de

procedimientos personales. Veamos en qu consiste cada uno de ellos:

a) La sistematizacin de un conjunto de resultados permite la construccinprogresiva de un repertorio de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones dispo-nibles en la memoria o fcilmente reconstruibles a partir de aquellos memoriza-dos. As, se espera que los alumnos puedan aplicar sus conocimientos para las su-mas de una cifra (por ejemplo, 4 + 5) para conocer otras con nmeros de dos oms cifras que las involucren (por ejemplo, 40 + 50) o tambin restas asociadasa ellas (por ejemplo, 90 50 y 90 40). Se trata, en pocas palabras, de conocer


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y utilizar resultados memorizados y procedimientos automatizados sobre la basede la comprensin de las relaciones involucradas y del control consecuente de lasacciones. Este conjunto de conocimientos a ensear refiere a resultados de base,como las tablas de multiplicacin, que se utilizan tanto en clculos mentales co-mo en los algoritmos convencionales.

Tal repertorio de clculos debera ir incluyendo a lo largo del primer y segun-

do ciclo entre otras cuestiones:

Sumas de nmeros de una cifra (por ejemplo, 5 + 5; 5 + 6) y restas asocia-das a dichas sumas (11 5; 11 6, etctera).

Identificacin de descomposiciones aditivas del nmero 10 y de las restasasociadas a ellas; identificacin de las descomposiciones aditivas del nme-ro 100 en nmeros redondos y de las restas asociadas a ellas.

Sumas de un nmero redondo de dos cifras ms un nmero de una cifra,por ejemplo, 70 + 9; restas vinculadas a dichas sumas, por ejemplo, 79 9.

Suma o resta de 10, 100 1.000 a un nmero cualquiera. Suma o resta de un nmero redondo a un nmero cualquiera.

Otras descomposiciones aditivas de los nmeros vinculadas con la organiza-cin del sistema de numeracin, por ejemplo, 2.000 + 500 + 40 + 6; 800 + 7;200 + 19, etc., restas vinculadas a ellas, por ejemplo, 4.271 271; 384 80,etctera.

Clculos de complementos de un nmero cualquiera respecto de un nmeroredondo a travs del anlisis de las escrituras numricas, por ejemplo,cunto es necesario sumarle a 578 para obtener 600.

Resultados de la tabla pitagrica para la multiplicacin y el uso de esos co-nocimientos para conocer el cociente y el resto de dividendos menores que100 y divisores de una cifra.

Multiplicacin y divisin por 10, 100, 1.000, etctera.

Descomposiciones multiplicativas de las escrituras numricas y clculos aso-ciados a ellas, por ejemplo, 3 x 1.000 + 4 x 100 + 5 x 10 + 8; etctera.

Extensin de los conocimientos sobre la tabla pitagrica a multiplicacionescon nmeros redondos de ms de una cifra, por ejemplo. 40 x 30; 200 x 500;2.000 x 60; etctera.

Extensin de los conocimientos sobre las divisiones a partir de los resulta-dos de la tabla pitagrica y de la divisin por 10, 100, 1.000, etc., para re-solver otras divisiones que involucran nmeros redondos como dividendosy divisores.

Identificacin de mltiplos y divisores.

En sntesis, es tambin un objetivo del clculo mental que los alumnos me-moricen ciertos resultados o puedan recuperarlos fcilmente. Insistimos en queesta memorizacin debe apoyarse en la construccin e identificacin previa derelaciones que tejan una red desde la cual sostenerla y darle sentido.

b) La construccin de procedimientos personales que permiten dar res-puesta a una situacin ha sido denominada clculo pensado o reflexionado.5

Al no tratarse de procesos automatizados, consisten en el despliegue de dife-rentes caminos a partir de decisiones que los alumnos van tomando durante la

5 Institut National de Re-cherche Pdagogique (ER-MEL). Apprentissages nu-mriques et rsolution de

problmes, Pars, Hatier(2001).


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resolucin. Tales decisiones se vinculan con la comprensin de la tarea, con di-ferentes relaciones que se establecen y con el control de lo que sucede duran-te la resolucin.

El clculo mental permite, a su vez, un trabajo sobre los nmeros de ma-nera descontextualizada ya que familiariza a los alumnos con una actividad

matemtica que tambin encuentra sentido en s misma: hallar un procedi-miento, confrontarlo con otros y analizar su validez. Pone a los nios en situa-cin de vrselas con los nmeros; expresar un mismo nmero de diferentesmaneras, que guardan relacin con la numeracin decimal. Por ejemplo, esta-blecer cules de las siguientes descomposiciones son equivalentes al nmero5.348 requiere analizar el significado de cada una de las cifras en funcin desu posicin, y de las relaciones que guarda con las posiciones contiguas y nocontiguas:

5 x 1.000 + 4 x 10 + 3 x 100 + 8

53 x 100 + 485.348

51 x 100 + 24 x 10 + 8

53 x 100 + 40 x 10 + 8

Como sealamos, el clculo mental es tambin una buena herramienta parahacer funcionar las propiedades de las operaciones, para analizar su dominio devalidez y para identificarlas. Por ejemplo:

9 x 8, puede pensarse a partir de:

el doble que 9 x 4 : 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 729 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72;9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72;9 x 8 = 10 x 8 8 = 80 8 = 72;9 x 10 9 x 2 = 90 18 = 72;etctera.

Estas relaciones se basan en las propiedades asociativa y distributiva de lasuma y de la resta respecto de la multiplicacin.

De este modo, la enseanza del clculo mental tambin ofrece a los alumnos

la oportunidad de tomar conciencia de que algunos clculos son ms sencillos queotros, y de que es posible valerse de ellos para resolver otros ms complejos. Porejemplo, 24 x 12 puede pensarse como 24 x 10 + 24 x 2. Se apela, de este mo-do, a propiedades de las operaciones para hacerlas intervenir en la resolucin deverdaderos problemas: en este caso, para facilitar un clculo; en otros, para de-mostrar la validez de un procedimiento.

El anlisis de la validez de las reglas aplicadas en cada caso, resultar de untrabajo de reflexin sobre las resoluciones que el docente gestione con toda laclase.


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Dentro de las estrategias de clculo mental, tambin se espera que los alum-nos desarrollen, basndose en los clculos ms sencillos, estrategias de estimaciny de clculo aproximado. Por ejemplo, es posible anticipar la cantidad de cifras quetendr el cociente de 4.579 : 37, a partir de encuadrarlo en multiplicaciones porpotencias de diez: el cociente buscado es mayor que 100 (porque 37 x 100 = 3.700)y menor que 1.000 (porque 37 x 1.000 = 37.000), es decir que el resultado ten-

dr tres cifras. Tambin es posible anticipar que ese cociente estar ms cerca de100 que de 1.000 (porque 4.579 se aproxima ms a 3.700 que a 37.000).

Para algunas situaciones, la bsqueda de un resultado aproximado es sufi-ciente; para otras, se requiere hallar un resultado exacto. Para estas ltimas, elclculo aproximado constituye una poderosa herramienta de anticipacin y decontrol. Para que los alumnos comiencen a poner en juego esa opcin, es nece-sario aunque no suficiente que el docente los oriente en esa direccin.

En sntesis, el clculo mental incluyendo la construccin de procedimien-tos ms personales y de repertorios de resultados memorizados propone unaocasin privilegiada de hacer funcionar las propiedades de las operaciones en re-lacin con las caractersticas del sistema de numeracin posicional y decimal.

Permite, por esa misma razn, una profundizacin en los conocimientos sobre lasoperaciones y sobre nuestro sistema de numeracin.

LA ACTIVIDAD MATEMTICA EN EL AULA A PROPSITO DEL CLCULO MENTAL

Las decisiones a cargo del alumno que resuelve, los anlisis que puede hacermientras trabaja y las discusiones acerca de la validez de sus razonamientos consus pares y con el docente van tejiendo una red de conocimientos que funda-mentan el funcionamiento de los nmeros y de las operaciones. Abrir el juego dela clase a la bsqueda de estrategias, a su explicitacin y confrontacin, a su cir-

culacin y difusin en momentos de intercambio permite a los alumnos ayuda-dos por el docente identificar los conocimientos a retener relativos a los nme-ros y a los clculos. Al mismo tiempo, los nios participan en la construccinde criterios de validacin de los procedimientos elaborados (cmo es posibleestar seguro de que una estrategia es correcta, cmo mostrar el error de unprocedimiento) y de criterios de eleccin de procedimientos adecuados en fun-cin de la tarea. De este modo, a travs de este tipo de prctica se est comu-nicando a la clase que se espera que las producciones sean validadas y que pue-de haber varios modos de hacerlo, que hay razones que hacen a la correccin oincorreccin de las resoluciones, que hay criterios para la seleccin de formas deresolver ms o menos adaptadas en funcin de las situaciones particulares y que

no se trata de hechos azarosos. Estos aspectos podrn ser objeto de reflexin enla clase para que los alumnos puedan identificarlos.

Es decir, del mismo modo que para todo el trabajo matemtico, se apunta aposicionar a los alumnos desde cierta actitud intelectual frente a los problemas pa-ra que se animen a abordar la tarea con los conocimientos disponibles, a explorar,buscar por diferentes vas, equivocarse, comunicar a otros, analizar la validez deprocedimientos, etc. A veces se cree que este posicionamiento depende de aptitu-des o voluntades particulares de los nios; desde nuestra perspectiva, constituyeun aprendizaje que se logra con un tipo de prctica sostenida en el tiempo.


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LA GESTIN DOCENTE EN LAS CLASES DE CLCULO MENTAL

La enseanza del clculo se enmarca, pues, en el mismo clima de trabajo ma-temtico que queremos instalar en las clases: bsquedas, reflexiones, discusio-nes, argumentaciones, produccin y anlisis de escrituras matemticas e identi-ficacin de nuevos conocimientos. En este sentido, la intervencin del docente

es fundamental: hacer explicitar y comparar los procedimientos para llevar a losalumnos a analizarlos y explicarlos colaborando l mismo en estas tareas,constituyen condiciones esenciales para promover avances en los conocimientosproducidos en este espacio.

El despliegue del trabajo que se propone no puede quedar relegado a clasesaisladas, sino que es necesario organizar una progresin de aprendizajes y plani-ficar una secuencia de enseanza, en la cual cada nuevo conocimiento puedaapoyarse en aquello que los alumnos ya conocen, al mismo tiempo que introdu-ce novedades, siendo por su parte base para nuevos aprendizajes. Esto requierede un proyecto de enseanza cuya globalidad el docente pueda concebir.

Un proceso de esta naturaleza requiere considerar tiempos de adquisicin a

largo plazo, con secuencias que involucren una variedad de situaciones que seocupen de diferentes aspectos de los conceptos y, a la vez, retomen cuestionestratadas en sucesivas vueltas.

Si bien los avances en los recursos de clculo mental resultan beneficiosospara todos, lo son, en particular, para aquellos alumnos que presentan mayorgrado de dificultad porque les permiten acceder a estrategias que, a veces, otrosnios elaboran por su cuenta, estrategias que los posicionan mejor ante las si-tuaciones, ya sea porque les abren diferentes posibilidades de solucin o porqueles permiten realizar anticipaciones y un control sobre las soluciones ms con-vencionales.

Puede resultar paradojal que el clculo mental beneficie ms a quienes tie-

nen mayor dificultad para acceder a l. En efecto, a estos alumnos les suele in-sumir mucho tiempo la apropiacin de estrategias que a otros que las adquierenrpidamente. Sin embargo, como son estos mismos alumnos los que con frecuen-cia no recuerdan las tcnicas (Cmo se haca?) o tienen bajo control sobreellas (si se olvidan un paso o comenten un error, no saben cmo continuar o co-rregir), son particularmente relevantes las intervenciones del docente dirigidas ala difusin, identificacin y prctica de ciertos procedimientos de clculo men-tal que les permitan, a los alumnos que se presentan como ms flojos, creceren dominio y ganar en confianza.

Cmo gestionar esta diversidad? No hay evidentemente una nica posibi-lidad. La organizacin de las clases deber planificarse de acuerdo con las in-

tenciones del docente frente a cada situacin en particular. A veces, convieneel trabajo en parejas para promover intercambios en el momento de la resolu-cin; en otras ocasiones, la tarea individual, para que cada nio tenga la opor-tunidad de interactuar solo frente al problema, y otras, con toda la clase.

Cuando se trabaja colectivamente, suele ocurrir que los alumnos que ms re-cursos tienen dan respuestas rpidamente sin dejar tiempo suficiente para quealgunos de sus compaeros puedan pensar. El clculo pensado no se identificacon la velocidad.6 Instalar un trabajo sobre clculo mental demanda concebir laorganizacin de la clase tanto como el trabajo sobre otros asuntos matemticos.

6 Eventualmente, la velo-cidad o la competenciapuede ser incluida cuandofavorece el propsito de laactividad. Por ejemplo,cuando se busca que losalumnos tomen concienciade qu resultados tienendisponibles en la memoria.


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Forma parte de la consigna plantear cmo, quines, cundo pueden intervenir.Algunas veces trabajarn con la misma situacin en forma individual, en pareja,en pequeos grupos, etc. y presentarn su trabajo designados por el docente, oal azar, o por eleccin dentro del grupo. Otras veces, los alumnos podrn traba-

jar en pequeos grupos ante distintas situaciones mientras el docente se dedicaespecialmente a aquellos que ms lo necesitan. Es decir, en algunas ocasiones,

podrn gestarse espacios diferenciados que posibiliten la revisin de conoci-mientos (repertorios, procedimientos, reglas) de manera ms sistemtica para al-gunos grupos.

Cuando se busca que los alumnos exploren procedimientos de resolucin, lasanotaciones del proceso son esenciales por varios motivos. Por un lado, consti-tuyen un soporte para pensar la solucin, tanto para recordar pasos y resultadosintermedios como para reflexionar sobre el procedimiento que se est siguiendo:la escritura exterioriza algunos aspectos de ese conocimiento y lo convierte, deese modo, en objeto de anlisis. Por otro lado, dichas anotaciones resultan indis-pensables cuando los nios deben explicar lo que hicieron ante la clase.

Si se asume que la fase colectiva es parte del trabajo de produccin matem-

tica, hay dos aspectos del rol docente que cobran relevancia. En primer lugar, c-mo identificar qu cuestiones merecen discutirse y, en segundo, en qu situacio-nes puede resultar interesante que los alumnos confronten sus puntos de vista.

Es interesante tener en cuenta que, si las respuestas que los alumnos ofre-cen provienen de ideas similares entre s, posiblemente no aporte demasiado a laclase alentar que se comenten todas en el aula. Si las estrategias no compartenla misma idea, es importante sostener el debate precisando qu cuestiones se es-tn discutiendo.

Sealamos y queremos volver a resaltar la necesidad de identificar losnuevos conocimientos que se van elaborando durante el desarrollo de las activi-dades de clculo mental, y de las discusiones generadas a partir de ellas. Esto es,

no basta con que se expliciten y validen los procedimientos y las reglas estable-cidas, sino que, adems, resulta necesario que aquellos que tienen un alcancems general, sean reconocidos y nombrados por el docente y se desarrolle unaprctica en torno a ellos que permita cierta automatizacin. Esto, a veces, pue-de resultar difcil: qu poner en comn acerca de procedimientos ajustados asituaciones particulares?, cules son los aspectos generalizables de dichos pro-cedimientos?, etctera.

EL USO DE LA CALCULADORA

La inclusin de la calculadora en el trabajo matemtico de la escuela primariaresulta esencial por diversos motivos. Por un lado, como se ha convertido en unaherramienta de clculo muy extendida en la sociedad llegando incluso a modi-ficar los hbitos de clculo, sostenemos que la formacin matemtica de losalumnos debe incluir el aprender a decidir cundo utilizarla y, para ello, su uso,en trminos generales, debe estar plenamente autorizado.

... la vieja pregunta Tienen que usar los alumnos calculadora en clase?no tiene ya sentido, dado que las calculadoras existen, estn ah, en las manos


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de los alumnos, y es evidente que tienen una relacin ntima con el mundodel clculo aritmtico y con las matemticas en general. La pregunta debe-ra plantearse del siguiente modo: Cmo hay que usar la calculadora enclase de matemticas para que se convierta en un poderoso auxiliar didc-tico y para evitar los peligros de su utilizacin irreflexiva?.7

Muchas veces, los docentes admiten el uso de la calculadora para que susalumnos verifiquen clculos resueltos de otro modo; otras, lo admiten para ha-llar resultados y as aliviar la tarea del clculo. Estos son los usos ms habitua-les cuando se autoriza el empleo de este recurso. Sin embargo, habr momentosen los que, dado el asunto especfico que se est trabajando, el maestro decidi-r no habilitarlo.

Queremos resaltar otro uso posible de la calculadora, menos extendido y, sinembargo, sumamente relevante. Con frecuencia, las situaciones planteadas re-quieren usos particulares de este recurso que no necesariamente estn en fun-cin de obtener un resultado. Es as como, en ciertas situaciones, la calculadoraser una herramienta para explorar propiedades, para encontrar una regularidad,

para validar un procedimiento; en otras, su beneficio radicar en la posibilidadde constatar de manera inmediata e independiente del docente los resultadosde las anticipaciones que se le han solicitado al alumno. Por ejemplo, hallar culsera el resto de una divisin realizada con la calculadora que haya arrojado uncociente con coma, si se tratara de una divisin entera, requiere poner en accinuna serie de relaciones entre el cociente, el divisor, el dividendo y el resto; es de-cir, constituye un punto de partida para llevar adelante un anlisis sobre las re-laciones internas entre los diferentes nmeros que intervienen en esta operacin.En pocas palabras, la calculadora tambin es un soporte sobre el cual proponerproblemas y una dinmica de trabajo muy fructferos, desde el punto de vista delos conocimientos que pone en escena.

La reflexin sobre las actividades que se realicen permitir ir construyendotanto una actitud de control sobre la utilizacin de la calculadora como la ela-boracin de conocimientos que permitan hacer efectivo este control.8 Por esa ra-zn, el trabajo con la calculadora no degrada ni reemplaza el tratamiento de losclculos convencionales con lpiz y papel u otros clculos mentales, sino que loenriquece.

ACERCA DE ESTE DOCUMENTO

Este documento presenta secuencias de actividades para la enseanza del clcu-

lo mental en relacin con los nmeros naturales referidas a los siguientes ejes decontenidos:

adicin y sustraccin, multiplicacin y divisin, sistema de numeracin.

Dentro de cada uno de ellos, las actividades se organizan segn una pro-gresin de dificultades. Operaciones y sistema de numeracin, tienen fuertes

7 Udina i Abell, Frederic.Aritmtica y calculado-ras, en Matemticas: cul-tura y aprendizaje, Madrid,Sntesis, 1992.8 Diseo Curricular para laEscuela Primaria, Segundo

ciclo de la Escuela Prima-

ria/Educacin General B-

sica, op. cit.


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relaciones y el avance en uno de estos ejes se vincula con el avance en el otro.Sintticamente: no se propone agotar uno para pasar al otro. Por eso, es posibleencontrar, avanzado el trabajo en uno de los captulos, problemas ms comple-

jos que los que se proponen inicialmente en el siguiente. El docente decidir, alelaborar su proyecto de enseanza, en qu orden ir abordando los diferentes ejes,si ir proponiendo un trabajo en paralelo sobre ms de uno de ellos; si iniciar al-

gunas actividades sobre uno, abordar otro, antes de continuar con el primero,etc. Por este motivo, se seala la conveniencia de analizar las relaciones posiblese intercambiar con los colegas sobre posibles progresiones.

En este material, se plantean actividades que involucran conocimientos quehabrn sido objeto de construccin en aos precedentes o durante este mismoao a travs de situaciones que han permitido darles un sentido, con la inten-cin de retomarlos para analizar algunas relaciones internas9 e identificar aspec-tos de esos clculos y relaciones.

En algunos casos, encontrarn en el documento otras veces lo podr pro-poner el mismo docente situaciones que solicitan a los alumnos elaborar acti-vidades similares a las realizadas para plantear a sus compaeros (o a chicos de

otro grado). Esta tarea permite revisar lo trabajado en dichas actividades desdeun posicionamiento diferente, llevando a los nios a plantearse nuevas cuestio-nes acerca de las actividades realizadas: analizar qu se busca poner en prcti-ca, debiendo resolverlos y verificarlos, prever dificultades que puedan tener suscompaeros, desarrollando aclaraciones al respecto, etctera.

Para concluir, reiteramos la necesidad de abrir un lugar importante al clcu-lo mental, porque es un espacio de problemas privilegiado para alcanzar un co-nocimiento fundamentado de los nmeros y de las operaciones.

9 Por ejemplo, a partir delresultado de una suma, esposible conocer el resulta-do de dos restas.


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El juego de adivinar el nmero

Actividad

1

Las dos primeras actividades que proponemos a continuacin apuntan a tratar ex-plcitamente con los alumnos la posibilidad de apoyarse en algunos resultados desumas y restas, conocidos por ellos, para establecer el resultado de otros clculos.Por ejemplo, se busca que puedan utilizar el conocimiento de que 6 + 4 = 10,

para resolver mentalmente otras sumas y restas, como 600 + 400; 100 60;200 60; 1.200 40; 1.000 400; 140 + 60; 124 + 36; etctera.

Se trata de utilizar las relaciones construidas para unos nmeros exten-dindolas a otros, haciendo pie en la organizacin de la numeracin escritay en las propiedades de la suma y de la resta. Se busca, adems, que los alum-nos lleguen a elaborar, difundir y establecer colectivamente un conjunto de re-glas que facilitan los clculos, las estimaciones, el control sobre diferentes re-soluciones, etc. En otras palabras, las reglas utilizadas en estos clculos se basanen la comprensin del funcionamiento del sistema de numeracin y de las ope-raciones.

Para dar lugar al trabajo que se propone, es necesario que los alumnos ten-

gan disponible cierto repertorio aditivo, en el cual puedan apoyarse. Si bien, des-de el Diseo Curricular, ese repertorio se propone como contenido del Primer ci-clo, slo recientemente se ha comenzado a difundir la necesidad de automatizarciertos resultados de sumas y restas, y de analizar cmo resultados conocidospermiten calcular con facilidad otros. Por esa razn, resulta posible que algunosalumnos del Segundo ciclo no tengan completamente disponible esta prcticaque se ir consolidando a medida que se despliegue en las clases.

Adicin y sustraccin

CONTENIDOS

Construccin y difusin de diferentes estrategias de clculo para distintasclases de problemas de suma y resta en un mismo contexto.

Extensin de los resultados conocidos a nmeros mayores. Relaciones entre sumas y restas.


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EL JUEGO DEADIVINAR EL NMERO

En este juego, el docente plantea adivinan-

zas que los alumnos debern responder. Estasadivinanzas requieren apelar a la relacin

entre suma y resta: dados dos elementos de

Es importante insistir en que cada alumno busque y escriba su respuesta sindecirla en voz alta, para dar a todos la oportunidad de intentar una solucin. Pa-ra habilitar a los alumnos a que busquen y anoten lo que van pensando, es pre-ciso desacartonar un poco el uso del cuaderno o la carpeta, explicitarles quepueden hacer all todo lo que ellos necesiten para averiguar lo pedido: probar,borrar, tachar, etc. Este trabajo requiere que se permitan ciertas desprolijidades

en los espacios dedicados a los momentos de bsqueda.El problema planteado involucra una cantidad inicial (40) que se transforma

(+ 30) dando lugar a una cantidad final (70). En general, los nios estn ms ha-bituados a trabajar con problemas en los que, dados los sumandos, se pide el re-sultado. En el enunciado propuesto, en cambio, la incgnita se refiere a la canti-dad inicial, esto se vuelve tal vez ms complejo que aquellos problemas de sumay resta que vienen resolviendo desde el Primer ciclo. En efecto, buscar la canti-dad inicial lleva a utilizar una resta en un problema donde se agrega; requierereconocer que, para hallar esa cantidad, es necesario deshacer lo que se agre-g. La resta es el recurso que permite deshacer la accin de agregar o, en otrostrminos, deshacer la suma. Esto no significa que la resta sea el nico modo v-

lido de resolver el problema; de hecho, muchas veces los alumnos prueban su-mando buscando el complemento. Ser interesante vincular estos dos proce-dimientos: 40 + 30 = 70 y 70 30 = 40.

Despus de un tiempo dedicado a la bsqueda de la respuesta, es centralproponer una discusin sobre los procedimientos usados antes de pasar a una se-gunda adivinanza, para analizar su validez y para hacerlos circular en la clase.Como producto de estas discusiones, es interesante que queden anotados los di-ferentes clculos que se utilizaron en la resolucin. Muchas veces, los alumnosrecurren a un clculo sin poder anotarlo, el maestro podr escribirlo entonces porellos. Por ejemplo:

un alumno dice: yo fui probando, iba de diez en diez sumando treinta, hicediez ms treinta... as hasta cuarenta ms treinta, que me dio setenta.Valela pena que queden esos tanteos anotados:10 + 30 = 40; 20 + 30 = 50; 30 + 30 = 60; 40 + 30 = 70;

otro nio afirma: como le haba agregado treinta y me dio setenta, a setentahay que sacarle los treinta para saber cunto tena; setenta menos treinta es

cuarenta70 30 = 40; o tambin como treinta ms treinta es sesenta, entonces eran diez ms, cuarenta.

una suma, hay que determinar el tercero. Porejemplo, una primera adivinanza podra ser:

Pienso un nmero, le agrego 30, y obtengo70. Cul es el nmero que pens?


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Es importante vincular entre s estos diferentes procedimientos: por ejemplo,si sabemos que 30 + 30 es 60, eso nos ahorra ir probando de a 10, o de a 20.Tambin se podr establecer la relacin entre la suma y la resta, tal como lo ex-plicita el alumno que la utiliza.

En otros trminos, en el espacio colectivo se podrn validar los resultados re-construyendo el clculo a partir de los nmeros propuestos por los alumnos co-mo respuesta, y que el docente escribir en el pizarrn. Se intentar, tambin,

vincular estos clculos con los resultados que ya forman parte del repertorio dis-ponible en la clase.

Algunos ejemplos de adivinanzas para ir planteando sucesivamente:

a) Pienso un nmero, le quito 200 y obtengo 700. Qu nmero pens?b) Al nmero 300 le agrego otro nmero y obtengo 1.000. Qu nmero le agre-

gu?c) Al nmero 6.000 le resto un nmero y obtengo 2.000. Qu nmero le rest?d) Pienso un nmero, le agrego 100 y obtengo 450. Qu nmero pens?e) Pienso un nmero, le agrego 3.000 y obtengo 8.000. Qu nmero pens?

f) Pienso un nmero, le resto 900 y obtengo 100. Qu nmero pens?

El anlisis posterior a las resoluciones debe centrarse en las relaciones entrestos y los clculos conocidos. Por ejemplo, para a), ... 200 = 700 puede pen-sarse a partir de 7 + 2 = 9, 9 2 = 7.

Luego se propondrn otras adivinanzas que no involucren solamente n-meros redondos. Presentamos algunos ejemplos posibles, a modo de stock,para que el docente seleccione los que considere pertinentes para su clase:

g) Pienso un nmero, le agrego 250 y obtengo 600, qu nmero pens?h) Pienso un nmero, le quito 150 y obtengo 450, qu nmero pens?

i) A 450 le agrego 250, qu nmero obtengo?j) A 900 le quito 450, qu nmero obtengo?k) A 470 le agrego 140, qu nmero obtengo?l) A 530 le quito 150, qu nmero obtengo?

Revisin y ampliacin del repertorio aditivo

Actividad

2

CONTENIDOS

Extensin del repertorio de resultados de sumas y restas conocidos a clculoscon nmeros mayores.

Relaciones entre sumas y restas.


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REVISIN Y AMPLIACIN DEL REPERTORIO ADITIVO

1) Si el visor de la calculadora muestra el nmero que aparece en la columna de la izquierda, quclculo se podra hacer a continuacin para que el visor mostrara el resultado que figura en la co-lumna de la derecha? Anotalo primero en la columna del centro, y recin despus verificalo con la

calculadora.

Si el visor muestra Clculo propuesto Resultado esperado

a) 300 900

b) 270 300

c) 320 400

d) 560 610

e) 740 540

f) 500 410

g) 400 1.000

h) 650 1.000

i) 830 1.000

j) 1.600 2.000

2) Si el visor de la calculadora muestra el nmero que aparece en la columna de la izquierda, quclculo se podra hacer a continuacin para que el visor mostrara el resultado que figura en la co-lumna de la derecha? Anotalo primero en la columna del centro y recin despus verificalo con la cal-culadora.

Si el visor muestra Clculo propuesto Resultado esperadoa) 840 1.000

b) 2.300 1.900

c) 4.000 3.600

d) 3.400 4.200

e) 780 2.000

f) 670 580

g) 3.900 6.000

h) 980 5.000

i) 8.000 6.700

3) Complet los siguientes clculos:

a) 530 + ... = 600

b) 720 + ... = 1.000c) 45 + ... = 1.000d) 890 + ... = 3.000e) 600 + 800 = ...

f) 1.500 + 700 = ...g) 900 700 = ...

h) 800 250 = ...i) 1.000 400 = ...aj) 3.400 600 = ...


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En estos problemas se apunta a reconocer la relacin entre los clculos pro-puestos y las sumas y restas conocidas entre nmeros del 1 al 10. Efectivamen-te, a partir de la discusin de diferentes estrategias, se espera identificar con losalumnos de qu modo pueden apoyarse en el repertorio conocido.

En sus cuadernos o carpetas, podran anotar las conclusiones a las que vayaarribando toda la clase. Se espera llegar a afirmaciones del tipo: 600 + 800 es co-

mo 6 + 8 pero le agregs dos ceros; como 4 + 6 = 10, 40 + 60 = 100; 400 + 600= 1.000; 1.000 400 = 600, si 7 2 = 5; 700 200 = 500, etctera.

Es interesante analizar aquellos procedimientos basados en descomposicionesque permiten hacer pie en un nmero redondo. Por ejemplo, en el problema 1d),560 + ... = 610; es posible ir sumando 560 + 40 = 600; 600 + 10 = 610, se suma-ron entonces 50. Tambin es posible pensar que, como 6 + 5 = 11; 60 + 50 = 110;entonces 560 + 50 = 500 + 60 + 50 = 500 + 110 = 610.

Resulta pertinente explicitar esta estrategia de apoyarse en un nmero re-dondo al resolver una resta. Por ejemplo, para ir de 2.300 a 1.900, se puedepensar que, si se restan 300, se cae en el 2.000, y luego hay que restar otros100; resulta entonces que hay que restar 400. Se puede hacer notar asimismo

que los clculos 9 + 4 = 13 13 9 = 4 pueden ser puentes al resultado: si13 9 = 4; 23 19 = 4; entonces, 2.300 1.900 = 400.

Se podr pedir a los alumnos que anoten clculos como stos que puedan re-solverse, a partir de las sumas y restas conocidas por ellos.

Sumas y restas con algunos nmeros particulares

Actividad

3

CONTENIDOS

Sumas y restas de 10, 100 y 1.000, a partir del anlisis de las escrituras nu-mricas, relaciones entre la organizacin del sistema de numeracin y losclculos de sumas y restas.

Sumas y restas de nmeros particulares (90, 900, 110, 80, 120, etc.) a partirde las sumas y restas de 10, 100 y 1.000.

SUMAS Y RESTAS CON ALGUNOS NMEROSPARTICULARES

1) Calcul:

a) 1.900 + 100 =b) 990 + 10 =

c) 3.900 + 1.100 =d) 790 + 110 =

2) Cuando hayas encontrado los resultados, ex-plic si hay alguna forma rpida de hacer es-tas sumas.

3) Busc una manera de conocer rpidamente el

resultado de:a) 43 + 99 =

b) 1.362 + 99 =c) 2.240 + 900 =d) 3.572 + 990 =e) 368 + 9 =f) 262 90 =g) 5.639 900 =

h) 1.970 99 =


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4) Busc un modo de obtener rpidamente el re-sultado de:

a) 86 + 11 =b) 529 + 11 =c) 894 + 101 =

d) 963 + 101 =e) 7.305 + 11 =f) 7.305 + 101 =g) 7.305 + 1.001 =

5) Busc una manera de saber rpidamente la so-lucin para:

a) 26 + 59 =b) 108 + 79 =c) 463 + 41 =

d) 579 + 21 =

Esta Actividad apunta a que los alumnos puedan apoyarse en clculos re-lativos a nmeros redondos para pensar otros: por ejemplo, la descomposicin9 + 1 = 10, permite pensar 90 + 10; 900 + 100; sumar 10 puede ser una estra-tegia puente si se requiere sumar 11; 8; etc. La discusin posterior a la resolu-

cin de cada problema, donde se pongan de relieve las estrategias posibles y selas valide mediante la explicitacin de las razones de su funcionamiento y suidentificacin conjunta ante toda la clase, es central para que su uso se extien-da y comience a estar disponible para todos.

Los problemas 1 y 2 ponen en escena el anlisis de complementos de un n-mero respecto de otros nmeros redondos, en particular complementos de nme-ros con la cifra 9 en alguna posicin, lo que requiere establecer cmo se trans-forma esa cifra en 0 de acuerdo con su valor, por ejemplo, 790 + 110. Por su-puesto, tambin requiere analizar cules son las cifras del primer sumando y c-mo se modifican en funcin de las caractersticas del segundo nmero.

Los problemas 3, 4 y 5 apuntan a identificar que es posible basarse en cl-

culos con nmeros redondos para sumar o restar otros nmeros cercanos aellos. As, por ejemplo, para sumar o restar 90, es posible sumar o restar 100, yluego restar o sumar 10, respectivamente. Se espera que estas equivalencias que-den identificadas para toda la clase y registradas en las carpetas en formulacio-nes del tipo: Restar 900 es equivalente a restar 1.000 y agregar 100; etctera.

Es importante que, aunque se prestigien ciertas relaciones que surgen de lasestrategias puestas en juego para estos clculos, quede abierta la posibilidad derecurrir a otros procedimientos que, segn los nmeros, tambin puedan resultarpertinentes. Por ejemplo, en el problema 5, 26 + 59 puede resolverse apelando alresultado de 6 + 9 = 15; a 60 + 25; a 59 + 20 + 1 + 5; etc. Es decir, buscamosque el recurso a los clculos con nmeros redondos se encuentre disponible, pe-

ro no que se convierta en un procedimiento nico y que anule la riqueza de ladiversidad de posibilidades que abre el clculo mental.


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Estimaciones

Actividad

4

CONTENIDOS

Estrategias de clculo aproximado basadas en conocimientos sobre el siste-ma de numeracin y en el uso de las propiedades de las operaciones.

La estimacin en clculos aritmticos consiste en la posibilidad de realizaraproximaciones a resultados, sin necesidad de hallar una respuesta exacta. Co-mo el grado de aproximacin puede variar, hay varias respuestas igualmente v-lidas para un mismo clculo. La estimacin busca rapidez, por ello utiliza nme-ros redondos para facilitar las operaciones.

Es importante que la estimacin se convierta en objeto de enseanza. Por unlado, porque forma parte de conocimientos matemticos bsicos de los cualesdebe disponer todo ciudadano por su potencia para anticipar y controlar clcu-los; por otro lado, por su valor para la comprensin de las propiedades del siste-ma de numeracin y de las operaciones y, finalmente, para la construccin de un

sentido de lo numrico.

ESTIMACIONES

1) Trat de responder, sin hacer el clculo exacto:

a) 235 + 185 ser mayor o menor que 500?b) 567 203 ser mayor o menor que 300?

c) 567 243 ser mayor o menor que 300?d) 418 + 283 ser mayor o menor que 600?e) 639 278 ser mayor o menor que 400?

2) Para cada uno de los siguientes clculos, te da-mos tres opciones. Una de ellas, corresponde alresultado correcto. Sin hacer la cuenta, anali-z las opciones y marc cul te parece que es

el resultado:

a) 235 + 185 = 620 320 420b) 567 203 = 464 264 364c) 186 + 238 = 424 224 324d) 639 278 = 361 461 261

En el problema 1, los alumnos deben realizar un anlisis global que lespermita encuadrar el resultado. Por ejemplo, en el c), frente a la tarea de de-

cidir si 567 243 es menor o mayor que 300, algn alumno podra plantear:567 243 no puede ser menor que 300 porque 567 200 = 367 y 367 43da ms que 300.

En el problema 2, si bien aparecen tres resultados para cada caso, stos ya es-tn dados, y los nmeros elegidos hacen que no sea necesario llegar a calcular elresultado exacto porque las aproximaciones permiten ir descartando los resulta-dos incorrectos.

Las estimaciones pueden requerir diferente nivel de precisin. A veces, bas-ta con slo referirse a las unidades de orden mayor, como sucede en el proble-


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ma 1: 418 + 283 seguramente ser mayor que 600, porque 400 + 200 es 600.Otras veces, es necesario avanzar haciendo un anlisis ms exhaustivo. Por ejem-plo, en el problema 2, para decidir con relacin al clculo 235 + 185, entre 320y 420, no basta con pensar en las centenas, es necesario tener en cuenta que 30+ 80 supera los 100; por lo tanto, el resultado supera los 400.

Abrir el trabajo escolar a situaciones que requieren o admiten la estima-

cin no constituye una prctica habitual; en general, las actividades apuntan a re-sultados exactos. Por ello, para favorecer que los alumnos entren en este tipo deprctica no resultar fcil inicialmente, ser necesario sostener la propuesta,alentar la bsqueda, mostrar estrategias, explicitar las ventajas de dominar estra-tegias de estimacin por la rapidez que procuran, porque permiten anticipar ycontrolar resultados para clculos exactos, etctera.

En estas tareas es importante retomar las diversas estrategias que se pon-gan en juego para difundir en la clase aqullas que queremos que todos losalumnos aprendan. A su vez, ser necesario justificar la validez de dichas estra-tegias, basndose en clculos ya reconocidos, o en conocimientos sobre el siste-ma de numeracin.

Resulta tambin interesante discutir las diferencias entre las respuestas delos alumnos antes de dirimir la cuestin a travs de la realizacin del clculoefectivo. Como ya mencionamos, la necesidad de buscar una manera de estar se-guros de que cierta respuesta es o no correcta, sin apelar a los resultados, invi-ta a recurrir a las propiedades utilizadas.

De manera transversal, el hecho de pedir explicaciones comunica implcita-mente a la clase que el trabajo matemtico incluye la elaboracin de argumen-tos que justifiquen los resultados que se van encontrando, y que los mismos noestn ligados a la suerte, sino a la puesta en marcha de procedimientos basadosen propiedades y en razonamientos.

Sumas y restas con mltiplos de 25

Actividad

5

CONTENIDOS

Sistematizacin y prctica de sumas y restas con mltiplos de 25. Utilizacin de sumas y restas conocidas que involucran mltiplos de 25.

Los problemas que siguen apuntan a que los alumnos se familiaricen con losresultados de sumar o restar 25, 50, 75, 125, etc. Proponemos un trabajo en el que,

a partir de la resolucin sostenida de un conjunto de clculos y de la reflexin so-bre los mismos, los nios puedan tener disponible en memoria ciertas relaciones y,tambin, ciertos resultados. Estos problemas pueden constituir adems una opor-tunidad para recuperar estrategias puestas en juego en actividades precedentes.Por ejemplo, 75 + 25 puede pensarse como 50 + 25 + 25 = 100; 75 + 50 puedepensarse como 75 + 25 (que ya se sabe que da 100), para luego sumarle otros25, etctera.


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Se trata de identificar que:

25 + 25 = 5050 + 50 = 10050 + 25 = 75

A partir de los clculos anteriores, establecer tambin que:

25 + 25 + 25 + 25 = 10025 + 25 + 25 = 7575 + 25 = 100

Se plantearn adems restas asociadas a estos clculos, por ejemplo:

100 25 = 7575 25 = 50, etctera.

Con algunos clculos se busca, adems, establecer la estrategia que con-siste en buscar maneras convenientes de agrupar los nmeros para sumar orestar. Por supuesto, estas maneras no son nicas, y diferentes resoluciones

pueden apelar a distintos ordenamientos de los nmeros. Por ejemplo, para175 + 125 es posible sumar todas las centenas por un lado, 100 + 100 = 200y, por otro, agrupar las partes restantes de los nmeros 75 + 25 = 100; otambin, 175 + 25 + 100 = 200 + 100.

Estos procedimientos se apoyan en el uso de las propiedades de los nmerosy de las operaciones. En la discusin colectiva, deber quedar claro para toda laclase que, en las diferentes descomposiciones, siempre se est reacomodando dedistinto modo el mismo nmero. Los alumnos tienen que guardar control de quesiempre estn sumando o restando la cantidad solicitada.

SUMAS Y RESTAS CON MLTIPLOS DE25

1) Sum mentalmente:

150 + 25 =350 + 125 =425 + 150 =1.025 + 350 =

1.325 + 350 =175 + 125 =425 + 275 =375 + 425 =1.075 + 125 =1.025 + 175 =

2) Rest mentalmente:

375 175 =125 75 =125 50 =450 125 =

475 125 =450 75 =675 150 =


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Clculo de distancias entre nmeros

Actividad

6

CONTENIDOS

Clculo de complementos a unidades de mil o decenas de mil, a partir delanlisis de las escrituras numricas.

Relaciones entre suma y resta.

Para estos problemas puede resultar interesante el uso de la calculadora por-que exige a los alumnos anticipar el clculo y, al hacerlo efectivamente en la m-quina, es posible recibir una verificacin inmediata de esa anticipacin. Se lespuede pedir que anoten el nmero que consideran que debe sumarse y que, an-tes de comprobarlo con la calculadora, busquen una manera de estar seguros delo que han anticipado.

CLCULO DE DISTANCIAS ENTRE NMEROS

1) Cunto hay que sumarle a... para obtener...?

2) Cunto hay que restarle a para obtener...?

Cunto hay que para obtener...? Respuesta Anotaciones en borradorsumarle a que necesites hacer

para averiguarlo

358 1.000

699 3.000

2.455 10.000

678 10.000

8.322 15.000

6.189 7.200

199 10.000

9.999 50.000

Cunto hay que para obtener...? Respuesta Anotaciones en borradorrestarle a que necesites hacer

para averiguarlo

1.000 755

2.000 898

10.000 4.570

10.000 999


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Estas situaciones permiten poner en relacin la suma y la resta. As, por ejem-plo, el problema 2 ofrece la posibilidad de discutir con los nios que, aunque elproblema trate de una resta, se puede resolver a partir de una suma. Para deter-minar cunto hay que restarle a 1.000 para obtener 755, una estrategia frecuen-te consiste en buscar el complemento, por ejemplo, de la siguiente manera:

755 + 5 = 760760 + 40 = 800800 + 200 = 1.000

Se trata de analizar colectivamente la relacin entre este procedimiento ba-sado en la suma (755 + 245 = 1.000) y la resta (1.000 755 = 245).

Los alumnos suelen resolver de manera similar el problema 1 calculandocunto hay que sumarle a un nmero para alcanzar otro. Por ejemplo, para ave-riguar cunto hay que sumarle a 358 para obtener 1.000, una manera en que losalumnos pueden pensar este problema es a partir de sumas parciales que permi-tan redondear el nmero:

358 + 2 = 360360 + 40 = 400400 + 600 = 1.000Entonces, a 358 se le sum 642.

Un aspecto a identificar en el anlisis colectivo es cmo reconstruir la res-puesta a partir de la serie de clculos realizados. Esto exige tener un control detodos los clculos, y no slo del ltimo, para llegar a establecer que, por ejem-plo, para el caso anterior, finalmente se ha sumado 642 a 358 y se obtuvo 1.000,con lo cual la respuesta es 642. Nuevamente en este caso se pueden resaltar las

relaciones:

358 + 642 = 1.0001.000 358 = 642

Observemos que, en el trabajo de clculo mental de sumas y restas, a veces re-sulta conveniente comenzar a operar por las cifras de mayor orden (por ejemplo,para hacer 372 + 135, calcular 300 + 100 = 400 372 + 100 = 472, y luego agre-gar las decenas y las unidades); otras veces es til comenzar por las unidades por-que de esa manera se redondea el nmero, de modo que las sumas siguientes seanms sencillas (por ejemplo, para hacer 358 + 642 convieneempezar haciendo 8 +

2, para obtener 10 y tratar ms fcilmente los clculos siguientes).La riqueza del trabajo de clculo mental incluye el hecho de que los nios

tienen que decidir la estrategia ms conveniente. La posibilidad de los alumnosde abordar los problemas depender de la familiaridad que tengan con este tipode actividades, de sus conocimientos sobre el sistema de numeracin, del redon-deo, etc. Si para algunos nios resultara muy difcil, se podrn proponer activi-dades similares con nmeros ms pequeos, de manera que tengan la posibili-dad de poner en juego estrategias como las reseadas a propsito de un rangonumrico sobre el que tienen mayor dominio.


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Dobles y mitades

Actividad

7

CONTENIDOS

Clculo de dobles y mitades a partir del repertorio aditivo. Uso de los conocimientos sobre el sistema de numeracin y la propiedad dis-

tributiva, respecto de la suma para la multiplicacin y para la divisin en elclculo de dobles y mitades.

El conocimiento de dobles y mitades constituye un buen punto de apoyo pa-ra organizar la resolucin de algunos clculos mentales. Por esa razn, conside-ramos que es relevante que la enseanza dedique un espacio a garantizar su do-minio por parte de los alumnos. Si bien este conocimiento se retomar a prop-sito de la multiplicacin y la divisin, buscamos una primera aproximacin a par-tir de sumar dos veces el mismo nmero.

Es necesario estar alerta a que no todos estos clculos son equivalentes, sucomplejidad depende mucho de los nmeros involucrados. Sabemos que encon-trar el doble de un nmero resulta ms fcil a los nios que hallar la mitad. A suvez, calcular la mitad de nmeros cuyas cifras son todas pares como 24, 48, 866,etc. ocasiona menos dificultades que calcular la mitad de nmeros con alguna

o algunas cifras impares como 38, 562, etc.. Por ejemplo, para pensar la mi-tad de 48, es posible apelar a la mitad de 4 y de 8, lo cual facilita su resolucin;en cambio, para pensar la mitad de 38, no es posible hacerlo de la misma mane-ra: la mitad de 30 es 15 y la mitad de 8 es 4, con lo cual la mitad de 38 resulta19. Ser interesante que esta mayor complejidad para ciertos nmeros se con-vierta en objeto de anlisis en la clase.

Se espera que los alumnos apelen al uso de relaciones que estn vinculadascon la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma o de la res-ta, y con la propiedad distributiva a derecha de la divisin respecto de la suma ode la resta. Como producto de un anlisis conjunto de toda la clase, posterior a lasresoluciones, se espera que los alumnos, con ayuda del docente, lleguen a iden-

tificar procedimientos del tipo:

El doble de 29 es igual al doble de 20 ms el doble de 9. El doble de 29 es igual al doble de 30 menos 2, que es el doble de 1. La mitad de 52 es igual a la mitad de 50 ms la mitad de 2. La mitad de 98 es igual a la mitad de 100 menos la mitad de 2.

Las siguientes son actividades que el maestro podr proponer, si lo conside-ra pertinente, para completar o profundizar el trabajo realizado:

De la misma manera, tambin se pretende que los criterios que se usan pa-ra validar una cierta estrategia vayan avanzando y dejen de ser sabemos que es-t bien porque nos dio lo mismo para progresivamente acercarse a sabemosque est bien porque nos apoyamos en estas relaciones que consideramos queson correctas. En este marco, resulta esencial el trabajo de debate colectivo.


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Calcul el doble de cada uno de estos nmeros:

12 21 26 29 34 5715 18 25 42 37 3855 80 100 150 - 300

Calcul la mitad de cada uno de estos nmeros:

26 30 36 48 5222 38 46 56 94260 500 1.000 930


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Multiplicacin y divisin

Tabla de multiplicaciones

Actividad

1

CONTENIDOS

Sistematizacin y ampliacin del repertorio de multiplicaciones. Exploracin de las relaciones de proporcionalidad involucradas en las multi-

plicaciones.

El propsito de esta actividad consiste en completar el cuadro, para luegoestablecer diferentes relaciones entre algunas tablas de multiplicar. De maneraanloga a lo mencionado respecto del repertorio aditivo, se trata aqu de que losalumnos puedan construir una red de relaciones que les faciliten la memoriza-cin de algunos productos, o una fcil reconstruccin a partir de resultados me-

morizados. Por ejemplo, recordar 7 x 8 sabiendo que es el doble de 7 x 4, o elcudruple de 7 x 2, o a partir de 5 x 8 + 2 x 8, o de 7 x 10 7 x 2; etc. Busca-mos as apoyar la memorizacin en la comprensin, de modo de contribuir a evi-tar una escena tan frecuente en las aulas: los nios se olvidan las tablas, a pe-sar de que se les solicita estudiarlas y repasarlas todos los aos.

Se propondr a los alumnos completar individualmente, en un cuadro comoel que sigue denominado cuadro o tabla pitagrica los casilleros correspon-dientes a aquellos productos que recuerden de memoria.

El ncleo de esta actividad consiste en el anlisis colectivo posterior, en elcual se apunta a establecer relaciones entre las diferentes tablas y a explicitarel modo en que estas relaciones ayudan a conocer los resultados de una multi-

plicacin a partir de otras.

Material:

Una tabla pitagrica para completar por alumno. Un afiche con la misma tabla, en tamao de pizarrn, para el anlisis

colectivo posterior.


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Del anlisis colectivo, se espera llegar a establecer las siguientes relaciones:

a) Las diferentes tablas pueden relacionarse entre s.

Un aspecto central a trabajar en esta discusin colectiva es que los alumnosreflexionen acerca de cmo usar los resultados que recuerdan para averiguarotros, a partir de las relaciones entre las diferentes filas y columnas de esta tabla.

Respecto de la tabla del 5, es interesante retomar lo que los alumnos ya sa-ben a propsito de la multiplicacin por 10 y vincularlo con la multiplicacin por5, para producir formulaciones similares a:

la tabla del 5 es fcil, porque todos los nmeros terminan en 0 o en 5; si recorremos la tabla del 5 de a dos casilleros a partir del 10 (5 x 2), encon-

tramos la tabla del 10; porque dos veces cinco equivale a una vez diez: ya seconocan las multiplicaciones por 10; multiplicar por 5 es la mitad de mul-tiplicar por 10;

si recorremos la tabla del 5 de a dos casilleros, a partir de un nmero quetermina en 5, se cae en otro nmero que tambin termina en 5, y que esel resultado de haberle sumado 10 al anterior.

Del mismo modo, se comentar que la tabla del 4 es el doble de la tabla del2, la del 8 es el doble que la del 4, la del 6 es el doble que la del 3, la del 9 es el

triple que la del 3, etctera.Tambin es posible establecer que la tabla del 7 puede reconstruirse suman-

do los resultados de las tablas del 3 y del 4, o restando la tabla del 10 y la tabladel 3. Del mismo modo, es posible conocer los resultados de otras multiplicacio-nes, tales como las multiplicaciones por 9, a partir de sumar los resultados demultiplicar por 4 y por 5; por 7 y por 2, etctera.

Se trata, en sntesis, de establecer una red de relaciones entre multiplicacionesa partir del cuadro pitagrico, que alimentarn la necesaria memorizacin de los pro-ductos para facilitar que estn disponibles en el momento de realizar un clculo.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

45

6

7

8

9

10


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b) La propiedad conmutativa de la multiplicacin hace que baste con memo-rizar la mitad de los productos del cuadro.

Otro aspecto a analizar se refiere a los resultados que se reiteran a partir deun eje de simetra constituido por una diagonal del cuadro. Esto, basado en laconmutatividad de la multiplicacin, permite reconstruir una mitad del cuadro a

travs del conocimiento de la otra mitad.

c) Podra rescatarse qu sucede cuando se multiplica por 0 y por 1, respec-tivamente, como casos especiales.

d) Puede haber diferentes multiplicaciones que den el mismo resultado.

Podrn buscarse distintas multiplicaciones que arrojen un mismo resultado.Por ejemplo, para los siguientes nmeros: 24, 18, 30, 32, 36, etctera.

Como conclusin de estos anlisis se espera que los alumnos comprendan que

las propiedades de las operaciones pueden contribuir a reconstruir los clculos ya recuperarlos en caso de olvido.

Resulta necesario proponer en sucesivas oportunidades, un trabajo siste-mtico dirigido a que los alumnos memoricen este repertorio. Para ello, elmaestro podr pedirles que anoten cules son las tablas o multiplicaciones querecuerdan fcilmente de memoria y no tienen que volver a calcular cada vez,y cules les resultan muy difciles de recordar. En instancias colectivas, los ni-os podrn presentar las multiplicaciones que les resultan complicadas y, en-tre todos, buscar pistas a partir de las diferentes relaciones que permitanrecordarlas.

Si alguien no recuerda 9 x 8, es posible reconstruirlo. Por ejemplo,

9 x 4: vimos que 9 x 8 es el doble de 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72; 9 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72; 9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72; 10 x 8 8 = 80 8 = 72; 9 x 10 9 x 2 = 90 18 = 72; etctera.

Estas pistas quedarn registradas en las carpetas para que los alumnospuedan volver sobre ellas las veces que lo consideren necesario. Todo este baga-

je de conocimientos constituir una trama que contribuir al trabajo de memo-

rizacin de las tablas.

Algunas prolongaciones posibles:

a) Podr proponerse a los alumnos jugar a la tapadita: el docente muestrala tabla pitagrica del afiche completa, pero con algunos casilleros tapados, y losalumnos debern anotar en sus cuadernos los resultados de las multiplicacionesque se encuentran ocultos (sin consultar sus tablas pitagricas personales).


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b) Tambin se les pueden presentar tablas completas con algunos errores pa-ra que ellos las corrijan.

c) Utilizando la calculadora, es posible plantear a los nios problemas querequieran reconstruir un resultado de la tabla pitagrica a partir de otros:

En la calculadora tens que hacer las siguientes multiplicaciones, cmo po-dras resolverlas si no funcionara la tecla 8?

4 x 8 =6 x 8 =7 x 8 =5 x 8 =

Y si no pudieras usar la tecla del 6?

9 x 6 =

8 x 6 =7 x 6 =

Si no funcionara la tecla del 7?

4 x 7 =10 x 7 =5 x 7 =

d) Para que los alumnos mismos puedan controlar cules son las multiplica-ciones que recuerdan y cules no, es posible organizar el siguiente juego. El

maestro dice una multiplicacin y la anota en el pizarrn. Da slo unos brevesinstantes para que los nios, de manera individual, la escriban en su carpeta yanoten tambin el resultado. Enseguida dicta otra multiplicacin y los nios re-piten el procedimiento. Si no recordaran ese producto, de todos modos la copianen su hoja.

Luego de varias multiplicaciones, se controlan los resultados con la calcula-dora y se discute, entre todos, cules han sido las cuentas en las que no pudie-ron responder o se equivocaron.

El maestro selecciona qu casos analizar y gestiona, entonces, una discusincolectiva en la que entre todos los jugadores establecen pistas para que se pue-dan recordar esas multiplicaciones en una prxima oportunidad.

Cada alumno, a su vez, deber organizar las multiplicaciones que debe estu-diar. Para ello, trabajar en su carpeta y podr agruparlas, anotar las pistas su-geridas en la clase, solicitar pistas para algunas multiplicaciones que no se ha-yan discutido, distribuir su estudio a lo largo de los das, etctera.

Ser interesante que, en sucesivas jugadas, los alumnos evalen cmo dis-minuyen las multiplicaciones que desconocen, es decir, cules van dejando deformar parte de las que no pueden resolver para convertirse en las que ya do-minan.


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La tabla pitagrica para resolver divisiones

Actividad

2

CONTENIDOS

Uso del repertorio multiplicativo para resolver divisiones exactas. Relaciones entre multiplicacin y divisin.

La divisin como la bsqueda del factor desconocido de una multiplicacin.

Estas situaciones tratan de la bsqueda de un factor desconocido de unamultiplicacin. Para los alumnos, no resulta evidente que buscar el factordesconocido de una multiplicacin equivale a dividir el producto por el otro fac-tor: establecer esta relacin es un objetivo de la actividad. As, por ejemplo, apartir de 6 x 7 = 42, es posible afirmar que 42 : 7 = 6 y 42 : 6 = 7.

A continuacin, el docente podr proponer diferentes divisiones que puedanresolverse a partir de los resultados de la tabla pitagrica y pedir a los alumnosque piensen otros ejemplos.

LA TABLA PITAGRICA PARA RESOLVER DIVISIONES

Cul es el nmero que, multiplicado por7, da 21?

6 3 9


7 3 4

3) Inventen adivinanzas similares y desafen asus compaeros.

1) Un nmero, multiplicado por 7, da 56. Qunmero es?

Despus de buscar el nmero, identificentre las siguientes escrituras la que repre-

senta esta adivinanza:7 + ... = 56 ... x 7 = 56 ... 7 = 56

2) Para cada una de las siguientes preguntas, se-al la respuesta correcta y anot el clculo quehiciste para responder:


5 8 10

LA TABLA PITAGRICA PARA RESOLVER DIVISIONES

4) A partir de los resultados de la tabla de mul-tiplicaciones, complet el cociente de lassiguientes divisiones:

36 : 6 = 36 : 4 =48 : 8 = 42 : 7 =81 : 9 =


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Multiplicacin y divisin por 10, 100 y 1.000y por otros nmeros terminados en ceros

Actividad

3

Esta actividad aborda contenidos relacionados con las operaciones multiplicati-vas involucradas en las escrituras de los nmeros. Se trata de trabajar sobre lasmultiplicaciones y divisiones por 10, 100 y 1.000, y extenderlas como puntos de

apoyo para resolver otros clculos.

CONTENIDOS

Clculo mental de multiplicaciones y divisiones apoyndose en propiedadesde las operaciones y del sistema de numeracin:multiplicacin y divisin por potencias de 10,multiplicacin y divisin por nmeros redondos.

MULTIPLICACIN Y DIVISIN POR10, 100 Y1.000Y POR OTROS NMEROS TERMINADOS EN CEROS

1)

a) En la tabla de multiplicaciones encontramos algo que ya sabamos: al multiplicar un nmero por10, el producto termina en cero. Eso sucede siempre? Podemos saber con certeza que si unocontina con la tabla del 10 hasta un nmero cualquiera, el producto terminar en 0? Por qusucede eso?

b) Pods dar rpidamente el resultado de 25 x 10? Y, luego el de 64 x 10?

c) Cules de estos nmeros podran ser el resultado de una multiplicacin por 10?

168 7.980 7.809 9.800 5.076 3.460

2)Vamos a retomar las relaciones anteriores para analizar las multiplicaciones por 100.

a) Calcul

23 x 100 20 x 100 105 x 100 123 x 100 120 x 100

b) Cules de estos nmeros podran ser el resultado de una multiplicacin por 100?

450 400 2.350 2.300 2.003 2.030 1.200.000


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3) Calcul mentalmente:

a) 45 x ... = 4.500b) 128 x ... = 1.280c) 17 x ... = 17.000d) ... x 10 = 320

e) ... x 100 = 800

4)

a) Anoten divisiones que se pueden conocer a partir de las multiplicaciones que hicieron en los pro-

blemas anteriores.

Por ejemplo, si 45 x 100 = 4.500, entonces se puede escribir:

4.500 : 100 = 45 y

4.500 : 45 = 100

b) En parejas, traten de recordar o elaborar una regla que sirva para las divisiones por 10, 100 1.000.

5) Analiz estos clculos para anticipar cules darn el mismo resultado.Explic cmo lo pensaste.

4 x 2 x 10 =

80 x 10 =4 x 2 x 10 x 10 =

6)

a) Imaginate que el visor de la calculadora muestra cada uno de los nmeros que aparecen en la co-

lumna de la izquierda. Anot cmo es posible, con una nica operacin en cada caso, lograr queaparezca en el visor de la calculadora el resultado escrito en la columna de la derecha. Comosiempre, te pedimos que primero lo anticipes y, recin despus, lo verifiques en tu calculadora.

f) ... x 100 = 1.300g) ... x 100 = 4.000h) ... x 1.000 = 7.000i) ... x 1.000 = 29.000

j) ... x 1.000 = 50.000

4 x 20 =

5 x 10 x 4 x 10 =50 x 40 =

28 280

6 120

470 47

8 2.400

6.300 63

12 3.600

4.000 40


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Esta Actividad pone en juego la relacin entre el sistema de numeracin, yla multiplicacin y divisin por potencias de 10 y mltiplos de ellas (10, 100,1.000, etc. y nmeros como 20, 500, 3.000, etc., respectivamente). Se apunta aque los alumnos amplen su repertorio multiplicativo, mediante la inclusin dereglas automatizadas para estos clculos y que se apoyen tambin en las multi-plicaciones conocidas a partir de la tabla pitagrica.

As, es importante detenerse a analizar que, por ejemplo, 4 x 30 es equivalentea 4 x 3 x 10, porque 30 es 3 x 10; entonces, 4 x 30 equivale a hacer 4 x 3 x 10.Por esa razn, resulta posible apelar a 4 x 3 para luego multiplicarlo por 10.

Estas equivalencias se fundamentan en la propiedad asociativa de la multipli-cacin.

Estas relaciones y la vinculacin entre la multiplicacin y la divisin per-miten justificar un procedimie

calculo mental con numeros naturales

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