Deflexión de una viga Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se flexionan o

distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a

continuación, esta flexión ( )xy está determinada por una ecuación diferencial lineal de

cuarto orden, relativamente sencilla.

Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección

transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su

propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que

se llama eje de simetría (Ver figura).

Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría como

se ve en la figura,

sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se

llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión

describe la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que

la flexión ( o flecha) ( )xy m medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría

de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante ( )xM en un punto x a lo largo

de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud ( )xw mediante la ecuación

( )xwdx

Md=

2

2

(1)

Además, el momento flexionante ( )xM es proporcional a la curvatura, κ , de la curva

elástica

( ) κIExM = (2)

donde E e I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga

e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta , respecto de un eje llamado

eje neutro. El producto EI se denomina rigidez a la flexión.

Según el cálculo diferencial, la curvatura es

( )[ ]23

21 y

y

′+

′′=κ . Cuando la flexión ( )xy es

pequeña, la pendiente 0=′y , de modo que ( )[ ] 11 2

32

≈′+ y . Si y ′′=κ , la ecuación (2) se

transforma en yEIM ′′= . La segunda derivada de esta ecuación es

4

4

2

2

2

2

dx

ydEIy

dx

ydEI

dx

Md=′′= (3)

Aplicamos el resultado de la ecuación (1) para reemplazar 2

2

dx

Md en la (3) y vemos que la

flexión ( )xy satisface la ecuación diferencial de cuarto orden

( )xwdx

ydEI =

4

4

(4)

Las condiciones en la frontera asociada a esta ecuación dependen de la forma en que están

sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo (en cantilíver) está empotrada en

un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, el ala de un avión y una

marquesina son ejemplos comunes de este caso, pero hasta los árboles, las astas de

banderas, los rascacielos y los monumentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya que

están empotrados en su base y sufren la fuerza del viento, que los tiende a flexionar. Para

una viga en voladizo, la flexión ( )xy debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el

extremo empotrado en 0=x :

� ( ) 00 =y porque no hay flexión en ese lugar

� ( ) 00 =′y porque la curva de deflexión es tangente al eje x (en otras palabras, la

pendiente de la curva de flexión es cero en ese punto).

Cuando Lx = las condiciones del extremo libre son:

� ( ) 0=′′ Ly porque el momento flexionante es cero

� ( ) 0=′′′ Ly porque la fuerza cortante es cero.

La función ( )3

3

dx

ydEI

dx

dMxF == se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga está

simplemente apoyado (a esto también se le llama embisagrado, articulado o empernado),

se debe cumplir que 0=y y 0=′′y en ese extremo. La siguiente tabla es un resumen de

las condiciones en la frontera asociada con la ecuación (4).

Extremos de la viga Condiciones en la frontera

Empotrado 0=y , 0=′y

Libre 0=′′y , 0=′′′y

Simplemente apoyado 0=y , 0=′′y

Ejemplo: Viga empotrada Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determina la flexión de esa

viga si sostiene una carga constante., 0w , uniformemente distribuida en su longitud; esto

es, ( ) Lxwxw <<= 0,0 .

Solución Según lo que acabamos de plantear, la flexión ( )xy satisface a

04

4

wdx

ydEI =

Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo ( )0=x y en su extremo derecho

( )Lx = no hay flexión vertical y la curva elástica es horizontal en esos puntos. Así, las

condiciones en la frontera son

( ) ( ) ( ) 0,00,00 ==′= Lyyy y ( ) 0=′ Ly

Podemos resolver la ecuación diferencial no homogénea en la forma acostumbrada

(determinar cy teniendo en cuenta que 0=m es una raíz de multiplicidad cuatro de la

ecuación auxiliar 04 =m , para después hallar una solución particular py por el método de

coeficientes indeterminados) o simplemente integramos la ecuación EI

w

dx

ydEI 0

4

4

= cuatro

veces sucesivas. De cualquier manera, llegamos a que la solución general de la ecuación es

( ) 403

4

2

32124

xEI

wxCxCxCCxy ++++=

A su vez, las condiciones ( ) 00 =y y ( ) 0=′ Ly , aplicadas a

( ) 403

4

2

324

xEI

wxCxCxy ++= originan las ecuaciones

06

32

024

302

43

403

4

2

3

=++

=++

LEI

wLCLC

xEI

wLCLC

Al resolver este sistema se obtiene EI

LwC

24

2

0

3 = y EI

LwC

12

0

4 −= entonces la flexión es

( ) ( )22040302

2

0

24241224Lxx

EI

wx

EI

wx

EI

Lwx

EI

Lwxy −=+−=

Si EIw 240 = y 1=L , se obtiene la gráfica de la curva elástica de la

figura.

Bibliografía: Ecuaciones diferenciales con problemas de valores de la frontera – Dennos G.

Zill – Michel R. Cullen. Editorial Thomson