ANÁLISIS DE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS A UNA VIGA ELÁSTICA

Empleando un programa de elemento finito triangular, se realizó el análisis de esfuerzos y deformaciones para una viga elástica. Para el primer análisis se tomaron en cuenta dos elementos y en el segundo análisis, 8 elementos para el estudio de la viga.

1. Análisis con dos elementos

Figura 1.1 Viga idealizada en dos elementos

Las entradas y salidas para este análisis se muestran en la tabla 1.1

Número de elementos: 2 Número de nodos: 4 Condición de estado: 1 (Esfuerzos)

Tabla 1.1. Entrada del programa

Nodo Coordenadas RestriccionesFuerzas

aplicadas

No X Y U V Px Py

1 0,00 3,00 1 10,00E+0

0 0,00E+00

2 0,00 0,00 1 10,00E+0

0 0,00E+00

3 6,00 3,00 0 00,00E+0

0-

1,00E+01

4 6,00 0,00 0 00,00E+0

0 0,00E+00

Tabla 1.2 ElementosElement

o Nodos Espesor Módulo de Relación

de

No I J K (m)elasticida

d Poisson

1 1 2 4 0,30 2,00E+06 0,30

2 1 4 3 0,30 2,00E+06 0,30

Tabla 1.3. Salidas

Nodos Desplazamientos

No X Y

1 0 0

2 0 0

3 3,51801E-05 -1,55292E-04

4 -2,47718E-05 -1,37945E-04

Tabla 1.4. Esfuerzos en los nodosElement

o X Y XYNo

1-

9,07392E+00-

2,72218E+00-

1,76853E+01

2 9,07392E+00-

8,84263E+00-

4,53696E+00

2. Análisis con ocho elementos

Figura 2.1 Viga idealizada en ocho elementos

Los datos de entrada y los resultados obtenidos con el método de elementos finitos para este caso se muestran en las tablas 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4

Número de elementos: 8 Número de nodos: 9 Condición de estado: 1 (Esfuerzos)

Tabla 2.1 Entrada del programa

Nodo Coordenadas RestriccionesFuerzas

aplicadas

No X Y U V Px Py

1 0,0 3,0 1 10,00E+0

0 0,00E+00

2 0,0 1,5 1 10,00E+0

0 0,00E+00

3 0,0 0,0 1 10,00E+0

0 0,00E+00

4 3,0 3,0 0 00,00E+0

0 0,00E+00

5 3,0 1,5 0 00,00E+0

0 0,00E+00

6 3,0 0,0 0 00,00E+0

0 0,00E+00

7 6,0 3,0 0 00,00E+0

0-

1,00E+01

8 6,0 1,5 0 00,00E+0

0 0,00E+00

9 6,0 0,0 0 00,00E+0

0 0,00E+00

Tabla 2.2. ElementosElement

o Nodos Espesor Módulo de Relación

de

No I J K (m)elasticida

d Poisson

1 1 5 4 0,3 2,00E+06 0,3

2 1 2 5 0,3 2,00E+06 0,3

3 2 6 5 0,3 2,00E+06 0,3

4 2 3 6 0,3 2,00E+06 0,3

5 4 8 7 0,3 2,00E+06 0,3

6 4 5 8 0,3 2,00E+06 0,3

7 5 9 8 0,3 2,00E+06 0,3

8 5 6 9 0,3 2,00E+06 0,3

Tabla 1.3 SalidasNodos Desplazamientos

No X Y

1 0,00000E+00 0,00000E+00

2 0,00000E+00 0,00000E+00

3 0,00000E+00 0,00000E+00

4 5,69453E-05 -1,03213E-04

5 2,07685E-07 -9,71275E-05

6 -5,35644E-05 -9,68858E-05

7 8,45974E-05 -2,89335E-04

8 3,94052E-06 -2,72191E-04

9 -7,10197E-05 -2,66224E-04

Tabla 2.4. EsfuerzosElement

o X Y XYNo

1 3,90433E+01 3,59940E+00 2,63139E+00

2 1,52150E-01 4,56451E-02-

2,49045E+01

3 4,59137E-02 -3,08472E-01 2,67096E+00

4-

3,92414E+01-

1,17724E+01-

2,48425E+01

5 1,27222E+01-

1,90418E+01-

6,36113E+00

6 5,98593E-02-

8,09564E+00-

1,57919E+01

7 1,11862E-01-

7,92230E+00-

6,44699E+00

8-

1,28940E+01-

4,19043E+00-

1,58447E+01

Tabla 2.4 Resultados para esfuerzos y

3. Cálculo de esfuerzos y deformaciones por medio de las fórmulas de la teoría de la elasticidad

Las fórmulas de la teoría de la elasticidad que permiten calcular esfuerzos y deformaciones para este tipo de viga son:

Deformación máxima (extremo izquierdo de la viga):

En donde P corresponde a la carga aplicada, L a la longitud del elemento, E al módulo de elasticidad e I a la inercia, que para el caso de secciones rectangulares se obtiene mediante la fórmula:

Siendo b la base y h la altura de la sección transversal.

Esfuerzo normal X

M es el valor del momento para la sección en el cual se está evaluando el esfuerzo, I es la inercia correspondiente y y es la distancia del centro de gravedad del elemento considerado al eje neutro.

Esfuerzo normal Y

El esfuerzo normal se obtiene de esta manera teniendo en cuenta la relación de Poisson, la cual corresponde al cociente entre la deformación lateral y la deformación axial de un elemento. Esta relación puede ser aplicable considerando la ley de Hooke:

Esfuerzo cortante

En esta expresión V es el esfuerzo cortante para una sección transversal determinada, I es la inercia correspondiente, d es la altura de dicha sección y y es la distancia del centro de gravedad del elemento considerado al eje neutro de la viga.

Con el fin de conocer los valores de esfuerzo cortante y momento flector para diferentes secciones de la viga, fue necesario obtener los respectivos diagramas de distribución. De esta manera se determinaron los valores de V y M a utilizar en las ecuaciones anteriores.

Figura 3.1 Diagrama de esfuerzo cortante V

Figura 3.2 Diagrama de momento flector M

Reacción en el empotramiento: 10 t. Momento en el empotramiento: 10 t x 6 m = 60 t.m Esfuerzo cortante en toda la longitud de la viga: 10 t/m2

El cálculo correspondiente a la inercia I fue el siguiente:

Haciendo uso del valor I obtenido anteriormente, se determinó el desplazamiento en el extremo derecho, punto medio de la sección transversal de la viga:

a) Análisis de esfuerzos para la viga dividida en dos elementos

Los cálculos que se presentan a continuación fueron llevados a cabo con base en las respectivas fórmulas relacionadas en el punto 3.

Cálculo de esfuerzos normales X

Cálculo de esfuerzos normales Y

Cálculo de esfuerzos cortantes

b) Análisis de esfuerzos para la viga dividida en ocho elementos

Cálculo de esfuerzos normales X

Cálculo de esfuerzos normales Y

Cálculo de esfuerzos cortantes

4. Comparación y análisis de resultados

Debido a que se tiene el resultado de los desplazamientos para el centro de la viga por las tres diferentes opciones de cálculo, se realizará la comparación para dicho punto.

Desplazamientos exactos en el extremo libre de la viga, calculados al centro del ancho:

X = 0

Y = -5,333x10-4 m

Desplazamientos por el método del elemento finito en el extremo libre de la viga, calculados al centro del ancho (dos elementos):

Desplazamientos por el método del elemento finito en el extremo libre de la viga, calculados al centro del ancho (ocho elementos):

X = 3,94052x10-4 m

Y = -2,72191x10-4 m

De acuerdo a la fórmula de la teoría de la elasticidad para este tipo de viga, ante la aplicación de la carga sólo se presenta desplazamiento vertical. Empleando el método de elementos finitos se obtienen valores para X diferentes de cero, sin embargo dichos valores son muy pequeños, por lo cual se puede concluir que el error no es muy representativo.

Comparando los resultados de desplazamiento vertical calculado con elementos finitos respecto a los calculados por fórmula teórica, se observa que la discrepancia es alta:

En la figura se puede observar una relación aproximada entre el número de elementos a considerar en el análisis y el porcentaje de error respectivo. Aunque esta curva se realizó con base en un número insuficiente de puntos (errores para 2 y 8 elementos), puede dar una primera idea de la forma como disminuye el error cuando los elementos van aumentando.

Figura 4.1 Relación entre número de elementos en un análisis y su porcentaje de error

En las tablas 4.1 y 4.2 se pueden observar los porcentajes de error que se presentan en los análisis de la viga discretizada en 2 y 8 elementos respectivamente, comparados con el análisis teórico. Este procedimiento se realizó de la misma manera como se calculó el error correspondiente para las deformaciones.

Tabla 4.1. Error porcentual para dos elementosElement

o X Y XYNo

1 161,27% 38,69% 219,41%

2 130,62% 199,58% 130,63%

Promedio 145,95% 119,13% 175,02%

Tabla 4.2. Error porcentual para ocho elementosElemento

X Y XYNo

1 34,12% 120,24% 71,58%

2 99,55% 100,41% 268,16%

3 100,15% 103,47% 81,97%

4 47,02% 152,98% 368,28%

5 14,10% -328,87% 168,69%

6 99,60% -82,33% 206,63%

7 101,51% 456,86% 143,53%

8 56,48% 147,14% 271,11%

Promedio 69,07% 83,74% 197,49%

REFERENCIAS

BEER, Ferdinand P. y JOHNSTON, E. Russell. Mecánica de materiales. Editorial McGraw-Hill. Bogotá, 1993.

ZEEVAERT, Leonardo. Interacción suelo-estructura de cimentaciones superficiales y profundas, sujetas a cargas estáticas y sísmicas. Editorial Limusa, S.A. de C.V., México, 1980

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE

MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

DEPARTAMENTO DE GEOTECNIA

MECÁNICA DE SUELOS TEÓRICA

CUERPO DOCENTE:

DR. ABRAHAM DÍAZ RODRÍGUEZ

ING. LUIS ADRIÁN LÓPEZ

TAREA 2

ELABORÓ:

ALBERTO HERNÁNDEZ YOLANDA

Semestre 2008-II