deducción ec. hagen-pousielle

Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular

SOLUCIONES DE LOS BALANCES MICROSCOPICOS DE MATERIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

-La obtención de estas soluciones permite conocer los “campos” o perfiles de velocidad y presión en un fluido (variación punto a punto en el sistema de presión y/o velocidad con “x”, “y”, “z” y “t”). -Debe tenerse en cuenta que esta metodología permite obtener resultados analíticos en sistemas de flujo muy simples. -En sistemas mas complejos es necesario realizar simplificaciones adicionales u obtener soluciones numéricas. -A pesar de estas limitaciones la metodología que vamos a describir es útil porque permite obtener de manera sistemática las ecuaciones diferenciales que gobiernan al sistema en estudio.

SOLUCIONES ANALÍTICAS COMPLETAS. ECUACIÓN DE HAGEN-POISEUILLE

Objetivo: obtener una expresión que permita evaluar el caudal de fluido que circula por un tubo cilíndrico y recto en función de la diferencia de presión aplicada y de las propiedades fisicoquímicas del fluido. El caudal de fluido viene dado por:

2RvflujodeciónmediavelocidadQ z π=⋅⋅×⋅= sec -Para encontrar la velocidad media es necesario obtener en primer término el perfil de velocidad. Suposiciones: 1)Se cumple la hipótesis del continuo y la conservación de la materia 2)El flujo es estacionario (no existen variaciones en el tiempo) y unidireccional (sólo existe componente de velocidad en una única dirección, esta restricción es equivalente a suponer flujo laminar).

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Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular 3)El fluido es newtoniano, incompresible (ρ=cte) y de viscosidad constante (μ=cte). 4)Se desprecian los “efectos de entrada y salida” del sistema. Es decir que se toma una sección de tubo de longitud “L” lo suficientemente alejada de la entrada y la salida como para despreciar las perturbaciones que estas pudieran originar. -El sistema se puede esquematizar de la siguiente manera:

z

r

R

L

Vz(r)

P0

PL

-Teniendo en cuenta la geometría del sistema se emplearán coordenadas cilíndricas y adoptaremos como volumen de control (región del espacio al cual aplicaremos los balances) la región comprendida entre 0 ≤ z ≤ L y 0 ≤ r ≤ R. -Planteamos el balance microscópico de materia:

( ) ( ) ( )011

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

zvv

rrrv

rtzr ρ

θρρρ θ

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Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular -Aplicando las suposiciones:

0=∂∂

tρ pues el sistema se encuentra en estado estacionario.

( )01

=∂

∂rrv

rrρ pues como el flujo es unidireccional sólo existe vz.

( )01

=∂

∂θρ θv

r pues como el flujo es unidireccional sólo existe vz.

-Por lo tanto el balance se reduce a:

( )

0=∂

∂zvzρ

-Como el fluido es incompresible ρ es constante y además es distinto de cero, por lo tanto:

0=∂∂

zvz

-Cuando el flujo de un sistema cumple con esta ecuación se dice que el flujo es “desarrollado”. La ecuación nos dice que los elementos de volumen del fluido fluyen sin cambiar su velocidad en la dirección del movimiento, ni se aceleran ni se frenan. -Cuando el flujo es desarrollado las fuerzas que actúan sobre el fluido: de presión, viscosas y gravitatorias se encuentran equilibradas. -A continuación se plantea la componente “z” (se elige la componente en la dirección del movimiento) de la ecuación de Navier-Stokes (pues el fluido es Newtoniano) en coordenadas cilíndricas:

zzzzz

zzz

rz g

z

vv

rrv

rrrz

pz

vv

vr

vr

vv

tv

ρθ

μθ

ρ θ +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

211

0=∂∂

tvz pues el sistema opera en estado estacionario

37


0=∂∂

rv

v zr pues como el flujo es unidireccional sólo existe vz

0=∂∂θ

θ zvr

v pues como el flujo es unidireccional sólo existe vz

0=∂∂

zv

v zz pues de acuerdo con la ecuación de continuidad 0=

∂∂

zvz

012

2

2=

∂

∂

θzv

r pues la componente vz de la velocidad sólo es función de “r”.

02

2=

∂

∂

z

vz pues de acuerdo con la ecuación de continuidad 0=∂∂

zvz

En consecuencia el balance simplificado queda:

zz g

rv

rrrz

p ρμ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂ 1

Como el término de la izquierda no depende de “r” y el de la derecha no depende de “z”, pueden tomarse derivadas totales en lugar de parciales:

zz g

drdv

rdrd

rdzdp ρμ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

-Esta ecuación representa físicamente lo que ya se había deducido del balance microscópico de materia: la fuerzas de presión, viscosas y gravitatorias están equilibradas y por lo tanto los elementos de volumen circulan sin acelerarse. -Para cumplir con nuestro objetivo (encontrar una expresión para el caudal de fluido que circula por el tubo) es necesario resolver la ecuación diferencial.

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Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular -Para facilitar la resolución se hace un cambio de variables agrupando los términos de presión y gravitatorio:

zgp zρ−=Ρ

zgdzdp

dzd ρ−=Ρ

-Reemplazando:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ρdr

dvr

drd

rdzd z1μ

-Puesto que el término de la izquierda es independiente de “r”, para él el miembro de la derecha es una constante y viceversa, por lo tanto:

11 C

drdv

rdrd

rdzd z =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ρ μ

-Por lo tanto es posible integrar cada miembro de manera independiente:

∫∫ =Ρ

Ρ

Ρ

L

dzCdL

0

1

0

Donde: P0=p0 para z=0 PL=pL-ρgzL para z=L

Por lo tanto:

LC L 0

1Ρ−Ρ

=

-Reemplazando:

39


Ldrdv

rdrd

rLz 01 Ρ−Ρ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ rdrLdr

dvrd Lz

μ0

22

02

CrLdr

dvr Lz +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ=

μ

-Nótese que esta integración es indefinida pues estamos buscando el perfil de velocidad. Si hacemos una integración definida obtenemos un único valor. -Para evaluar C2 utilizamos la condición de simetría:

00 =⋅⋅=⋅dr

dvrEn z

-Por lo tanto C2=0.

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ= rdr

Ldv L

z μ20

32

022

CrL

v Lz +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ=

μ

-Para evaluar C3 se utiliza la condición de contorno de la pared:

0=⋅⋅=⋅ zvRrEn -Por lo tanto:

203 4

RL

C L⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ−=

μ

40


( )220202

04422

rRL

RL

rL

v LLLz −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ=

μμμ

-Este es el perfil de velocidad dentro del fluido. Tiene forma parabólica y tiene un máximo en r=0. O sea que la máxima velocidad dentro del fluido está en el centro del tubo y es igual a:

204

RL

v Lz ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ=

μmax

-Ahora es posible calcular la velocidad media en el tubo haciendo el promedio de vz en toda la sección de flujo:

( )∫ ∫∫∫∫

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ

==⋅⋅

=

π

π

θπ

μ

π

θ2

0 0

222

0

2

2

0 0 4RL

R

z

flujocion

z

z rdrdrRR

L

R

rdrdv

flujodeción

dAv

vsec

sec

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Ρ−Ρ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

Ρ−Ρ=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ−Ρ

= ∫ 422422

24 44

20

0

4

0

22

20

0

322

0

RRLR

rrRLR

drrrRRL

v LRR

L

RL

z μμπ

πμ

( ) ( )L

R

LR

Rv LL

z μμ 842

20

2

40 Ρ−Ρ

=Ρ−Ρ

=

-Por lo tanto el caudal volumétrico será:

( ) ( )L

RR

LR

Q LLμ

ππ

μ 88

402

20 Ρ−Ρ

=Ρ−Ρ

=

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Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular -Esta ecuación recibe el nombre de Hagen-Poiseuille y describe la relación entre el caudal de fluido y las fuerzas que lo originan: la diferencia de presión, la fuerza gravitatoria y la fuerza viscosa. -La variable P permite aplicar la ecuación para cualquier posición del conducto colocando la correspondiente componente de g en la dirección del balance. -Es muy importante tener que en cuenta que la ecuación constituirá un modelo adecuado siempre que se cumplan las suposiciones que se realizaron en la deducción de la misma.

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