ECONOMETRICA PREFERENCIAS LISAS

Por Gérard Debreu

En un intento de explicar el estado observado de una economía como un equilibrio que resulta de la interacción de agentes con objetivos contradictorios, se parte de un modelo matemático y de que la economía se construye. Vamos

a denotar el conjunto de equilibrios de por . Entonces deben ser contestadas tres preguntas básicas acerca de la idoneidad del modelo y. Antes de formularlas, sin embargo, debo hacer hincapié en su generalidad. Aunque en la siguiente discusión, se hará únicamente referencia al concepto de equilibrio walrasiano de una economía de intercambio con un conjunto finito de mercancías privadas, estas preguntas se aplican a cualquier concepto de equilibrio introducido en el estudio matemático de los sistemas sociales.

1. NO VACIO

Dado que el propósito del modelo es explicar el equilibrio económico, es

adecuado sólo si no está vacío. Este es el problema de la existencia a la que A. Wald [39] se dirigió en 1935 a 1936, y al que se hicieron numerosas contribuciones durante los últimos veinte años. Las principales herramientas para su solución se proporciono por la topología algebraica en forma de teoremas de punto fijo. En lugar de demorarse en esta primera pregunta, que es cómplice de mi objetivo principal, me refiero a la cuenta extensa reciente de KJ Arrow y Hahn FH [2], a la que se pueden añadir los artículos de RJ Aumann [4], D. Schmeidler [35], y W. Hildenbrand [23] sobre las economías con un espacio de medida de los agentes, y la monografía de H. Bufanda y T. Hansen [34] sobre el cálculo de los equilibrios económicos.

2. DISCRECION DE

Lo ideal sería que el conjunto tendría exactamente un elemento. Una cantidad significativa de trabajo también se ha hecho sobre el problema de la unicidad de equilibrio (KJ Arrow y Hahn FH [2, Ch. 9] dan una encuesta global de la cuestión), pero hay una solución muy satisfactoria que se ha ofrecido hasta ahora. Los supuestos hechos en y con el fin de obtener un equilibrio único son extremadamente fuertes. De hecho, basta con mirar en la caja de Edgeworth para encontrar economías con dos productos y dos consumidores que no tienen patologías, exhibiendo varios equilibrios, incluso un continuo de equilibrios.

Un enfoque alternativo es la introducción de una topología apropiada en el

conjunto de estados de ya que es el requisito más débil de la singularidad

local. Un estado de que tiene un barrio en el que es el único elemento de

proporciona una explicación de equilibrio determinada en la medida en que sólo pequeños cambios en ese estado pueden tener lugar. Por el contrario, si un equilibrio e no es localmente único, hay arbitrariamente pequeñas perturbaciones del estado de la economía de correo que dan lugar a ninguna tendencia para la economía para volver a e. Así uno es llevado a la búsqueda

de los supuestos en asegurando que todos los elementos de son

localmente únicos, es decir, que el conjunto es discreto. En realidad, este segundo requisito de suficiencia suele aparecer en una forma más fuerte, ya que en casi todos los casos (posiblemente en todos los casos) en el que un

teorema de existencia de equilibrio se ha probado para la economía , el

conjunto de vectores de precios de equilibrio de era compacta. Pero para que un conjunto compacto, sea discreto debe ser equivalente a la finitud.

En lugar de exigir que todos los elementos de sean localmente únicos,

uno podría estar satisfecho con un modelo de para el que hay al menos un equilibrio localmente único, pero las condiciones de uno se llevó a imponer a

los para obtener la última implicación. Estas condiciones son suposiciones de diferenciabilidad (por ejemplo, sobre las funciones de demanda individuales), y aquí las principales herramientas matemáticas para la solución del problema de la discontinuidad del conjunto de equilibrios han sido proporcionadas por topología diferencial. Los resultados obtenidos en los últimos dos años, G. Debreu [11], F. Delbaen [14], E. Dierker [15], E. y H. Dierker [16], K. Hildenbrand [21, 24, Sec. 2.5], T. Rader [30,31], y S. Smale [37] son de la siguiente naturaleza. Una definición precisa de una economía de buen comportamiento o regular se da tal que cada economía regular tiene un conjunto discreto de equilibrios; critico significa no regular. Una topología apropiada se introduce en el set de las economías y el conjunto de las economías críticas se demuestra que es" insignificante". Si es de dimensión finita (por ejemplo, el conjunto de las economías con un conjunto finito de agentes, preferencias fijas, y la dotación de variables), "insignificante" significa cerrado y de medida de Lebesgue cero. Cuando es infinito dimensional (que es el caso en el ejemplo anterior, tan pronto como las preferencias varían en un espacio de dimensión infinita, o el conjunto de los agentes es infinita), en las situaciones estudiadas hasta ahora el conjunto crítico le ha demostrado ser "insignificante" en el sentido de que está cerrado y tiene un interior vacío o, en la situación investigada por S. Smale [37], en el sentido de que está contenida en una unión numerable de conjuntos cerrados con interiores vacíos.Los comentarios hechos anteriormente sobre el problema de la singularidad mundial de equilibrio convocan una digresión. Considere las economías con l

productos. Las características de un agente son su función de demanda

y su dotación . Denotando por P el conjunto de vectores estrictamente

positivos en , por S el conjunto de vectores en P cuya coordenada lth es la unidad, y por L el conjunto de números reales estrictamente positivos,

suponemos que establece una correspondencia uno a uno entre SxL y P,

donde por cada par de vectores de precios pinS, y por una

riqueza winL y que es continua diferencialmente. El conjunto de funciones

de demanda que cumplan estas condiciones se denota por . Asumimos

que pertenece a P. Por lo tanto es un un elemento de

donde dotamos con una topología adecuada. Una economía se identifica con una medida v positiva en A tal que v(A)=1. El conjunto de estas economías (medidas) es también dotado de una topología adecuada. Ahora bien, si todos los agentes de la economía son idénticos, es decir, si la medida v esta

concentrada en un punto de A, un caso trivial de singularidad mundial que el equilibrio obtiene. Cada agente consume el vector de los productos

básicos , y el vector único de precio de equilibrio es tal que

. Se asume en adición de que el determinante Jacobiano de

es diferente a cero en , una condición que discutiremos en detalle más

abajo. Finalmente sea la función desde S a definido por

. No es difícil probar que el

determinante Jacobiano de F en iguala el determinante Jacobiano de

en . Por lo tanto la economía con agentes idénticos descrita arriba, satisface la definición de regularidad de F. Delbaen [14, 4,12] yK. Hildenbrand [24, Sec. 2,5]. Consecuentemente tiene un sector de economías también en posesión de un equilibrio único. En otras palabras, las economías con suficientes agentes similares, en el preciso sentido que hemos dado, tiene exactamente un equilibrio. Uno aspiraría a ir mas allá de esta suposición general acerca de singularidad global estudiando clases específicas de economías (las medidas en A) exhibiendo concentración alrededor de un punto central. En efecto la posibilidad de llegar a fuertes conclusiones de la investigación de clases específicas de medidas en A parece ser, una promesa incumplida de la aproximación en análisis de equilibrio de la teoría de medida.

3. CONTINUIDAD DE E

Los datos del modelo (dotaciones, relaciones de preferencia, o las funciones de demanda) no pueden ser observadas excatamente. Si la

correspondencia de E no es continua en , un pequeño arbitrario error de

observación en arroja un conjunto esencialmente diferente de equilibrio

esperado. En tal situación el valor explicativo del modelo de parece ser limitado. Por lo tanto, el tercer requerimiento de adecuación es tal que la correspondencia E sea continua. Las anteriores consideraciones, que son comunes en el estudio de sistemas físicos, se aplican incluso con mayor fuerza a los sistemas sociales.

De hecho este tercer requerimiento está estrechamente relacionado al segundo, ya que en los artículos, enumerados en la sección 2 que investigan este problema, demuestran que E es continuo en el conjunto de economías regulares. También se relacionan con estudios de teoremas de límites y propiedades de hemi-continuidad para varios conceptos de equilibrio económico. Referencias para los dos conceptos del nucleo del equilibrio Walrasiano son F.Y. Edgeworth [18], M. Shubik [36], H. Scarf [33], G. Debreu y H. Scarf [12, 13], Y. Kannai [26], W. Hildenbrand [22,24], W. Hildenbrand y JF Mertens [25], KJArrow y F.H.Hahn [2], B.Grodal [19], T.Bewley [6], y D.J.Brownand A. Robinson [7 , 8]. Con la motivación de los dos últimos requerimientos de adecuación, propongo ahora estudiar desde el punto de vista diferenciable de tres de los conceptos principales de la teoría del comportamiento del consumidor: (i) relaciones de preferencia, (ii) funciones de demanda y (iii) funciones de utilidad. El tercero es insatisfactorio como concepto primitivo, ya que los axiomas de la teoría deben ser formulados en términos de opciones observables hechas por un consumidor entre los vectores de productos, y la existencia de una función de utilidad con propiedades especificas (por ejemplo, una función de utilidad dos veces continuamente diferenciable) deben derivarse de estos axiomas de comportamiento. La preferencia revelada elige el segundo como un concepto primitivo. Vamos a elegir el primero.El estudio de las relaciones de preferencia diferenciables, que se remonta al artículo de GB Antonelli [1] de 1886, ha dado lugar a una extensa literatura, completamente encuestada por L. Hurwicz [9, cap. 9]. Antes de presentar el enfoque de preferencias diferenciables, una tradición de Antonelli, notemos que de aquí en adelante los vectores de consumo pertenecerán a P, el interior del

cono positivo de . Una descripción de las preferencias de un consumidor

puede darse especificando para cada x en P, un vector no cero ', la interpretación pretendida por la cual el hiperplano H(x) a través de x ortogonal para g(x) es tangente en x a la indiferencia de hipersuperficie de x, y g(x) indica la dirección de preferencia. Normalizamos g(x) diciendo que

, en donde las barras verticales denotan norma euclidiana, y

suponemos que la función g de P a la esfera de unidad de es de clase

(con continuidad diferenciable) . Un problema básico es entonces la

existencia de una función de utilidad u de P a R, de la clase (dos veces continuamente diferenciable), y tal que su derivado Du sea en todas partes un múltiplo de g estrictamente positivo, es decir, de manera que por todas partes en P,

Donde es una función de P para el conjunto de números reales

estrictamente positivos. Al equiparar las derivadas parciales y escribiendo igualdades similares para los pares (j, k) y (k, i) de los índices, y

mediante la eliminación de y sus primeras derivadas parciales, se obtienen las siguientes condiciones necesarias con g para la existencia de funciones u y

respectivamente de clase y satisfaciendo (1) en P:

Sin embargo, la cuestión de la suficiencia de estas condiciones (que claramente no son independientes) es un asunto menos trivial. Es posible

demostrar que (2) implica para cada punto de P, la existencia de un

entorno abierto V de , y de una función de utilidad u de clase definida y satisfactoria para (1) en V. Este resultado, cuya larga historia en la teoría económica es contada en detalle en L. Hurwicz [9, Ch. 9], se puede establecer como una aplicación de un teorema estándar de topología diferencial (NJ Hicks [20, Sec. 9.1]), íntimamente relacionado con el teorema de Frobenius en ecuaciones diferenciales totales (J. Dieudonné [17, Sec. 10.9]). La función H

introdujo antes, asociándose con toda x en P, el hiperplano H(x) en , es una

(l - 1) la distribución dimensional de clase . Considere ahora dos campos

vectoriales X e Y de la clase definida en un subconjunto abierto U de P y acostado en H, es decir, para cada x en U

, y compruebe que el soporte de X y Y

i.e., el vector [X, Y] de cuya coordenada ith es reside también en H. Por lo tanto la distribución H es involutiva, y el primer teorema de [20, Sec. 9.1] se aplica (la prueba dada en [20] se escribe para una

distribución , pero se puede transponer en favor de una distribución ).

Dado un punto de P, existe un entorno abierto V de y un sistema de

coordenadas definido en V de tal manera que los

subconjuntos de V donde son constantes los colectores integrales de H. La

función es una función de utilidad en V.

Pero las condiciones (2) no implican la existencia de una función de utilidad u

de clase definido y satisfactorio (1) por todas partes en P. Como P.A. Samuelson [32] utiliza espirales alrededor de un punto en su discusión de integrabilidad locales, vamos a utilizar espirales alrededor de un círculo para demostrar que la integrabilidad global no es una consecuencia de integrabilidad

local. Considerar en la círculos Cr con centro 0 y radio r tal que

, y las espirales Sk con ecuaciones en

coordenadas polares, donde el ángulo se mide en radianes y

. Para cada uno de esos k, la espiral Sk gira alrededor, y

enfoques, como como crece indefinidamente. A través de cada punto x

de diferente de 0, hay una curva única de la familia anterior. Sea g(x) su unidad que señala hacia 0. Claramente g satisface a (2). Sin embargo, no

puede haber función con valores reales para , porque satisface (1) en

. Supongamos que hay una función , y examina un punto del

círculo C1, una pequeña bola B abierta de centro , y una espiral Sk. La

función tiene el mismo valor constante en cada arco de Sk y en B, mientras

que (1) implica que el valor de aumenta a medida que uno se mueve hacia 0 en B, una contradicción. Desde este ejemplo no cumplir la condición impuesta anteriormente que los vectores de consumo pertenecen al cono

abierto P positivo de , traducimos la Figura 1 de 0 a un punto 0' con las dos coordenadas estrictamente mayor que 1, y restringimos nuestra atención a aquellas partes del las espirales que yacen en P.

El ejemplo anterior todavía no es plenamente satisfactorio, ya que el campo vectorial g no puede extenderse de forma continua en 0', en términos económicos, 0’ es un punto de saciedad. Para superar esta dificultad, considere el triangulo equilátero con vértices a1, a2, a3 en las coordenadas de

a una distancia de 3 desde el origen,

donde x >> 0 significa que todas las coordenadas de x son

estrictamente positivas; sea la línea recta en definida por las

ecuaciones x1 = x2 = x3; y e sea el punto (1, 1, 1), donde se cruza con T. Ahora ponemos la figura 1 en el plano de T con el centro de los círculos

concéntricos, y elegimos un punto q de con coordenadas estrictamente

negativas, y construimos para cada espiral Sk, el cono con q vértice

generada por Sk. La Figura 4 se dibuja en el plano Q1 teniendo y el primer

eje de coordenadas. El segmento , con puntos finales excluidos, es la

intersección de T con el plano Q1. Los puntos c, c' del segmento a una distancia de 1 e son la intersección de la C1 círculo en Twith el plano Q1. El

punto b es la intersección de las dos líneas rectas q, C y 0, . Luego

dibujamos una curva convexa y lisa simétrica, alrededor de un , coincidiendo con la línea recta q, C por encima de b, y que corta una por

debajo de 0. Denotamos por la superficie de revolución generada por la

rotación de alrededor de , y por una distancia la superficie obtenida

de hacia arriba por una traslación paralela a por una distancia

. Un punto x de P, el cono positivo abierto de , pertenece a

exactamente una superficie de cualquiera de la familia , o la familia

. La unidad normal g(x) a la superficie en el punto x, apuntando hacia satisface las condiciones (2) en todas partes en P. Como antes, considerando

un punto de C1, nos muestra que no puede haber una C2, función real satisface (1) sobre P.Sin embargo, es posible demostrar que si para cada x en P, el cono positivo

abierto de , uno tiene g(x) > 0, entonces la integrabilidad local implica integrabilidad global. La inequidad g(x)>0 significa que el vector g(x) tiene todas sus coordenadas no negativas, y es diferente de 0; en términos económicos, las preferencias son localmente monótonas. Como consecuencia de (2), es a través de cada punto de P, un máximo conectado integralcolector de la distribución H (L. Auslander y RE MacKenzie [5, Sec. 8.8] o S. Sternberg [38, Sec. 3.5]). Para el estudio de la estructura de estos colectores, examinamos

sus intersecciones con planos bidimensionales que contienen una , la línea

recta en con ecuaciones . Sea Q tal plano, y dejar que Kq sea la intersección de Q y P. Dado un punto x de KQ, el hiperplano H(x) apoya el traducir de P de 0 a x, puesto que g (x)> 0. Por lo

tanto la línea recta , intersección de H(x) y Q, apoya la traducción de KQ de 0 a x. Ahora la intersección de Q y un colector integral de la distribución H es una curva integral de la distribución GQ. Es evidente que una curva integral conectada GQ a través de x no puede intersectar las traducciones de KQ y -KQ de 0 a x (representado por los ángulos sombreados de la Figura 5); si lo hiciera, no habría un punto en esta curva en la que la tangente no apoyaría el traducir de KQ de 0 a ese punto. En consecuencia, la máxima conectada integral (MCI) curva de GQ a través de x cruza cualquier rayo de 0 en KQ en exactamente un punto; y, o bien tiende a una línea recta paralela o a un borde de KQ, o su cierre se cruza en el límite de KQ. Dadas dos curvas MCI de GQ, una está por encima de la otra en el sentido de que todos los rayos de 0 en KQ intersectan estas dos curvas en el mismo orden. Consideremos ahora un punto

de . Como oscila Q sobre el conjunto de planos que contienen una , las

curvas MCI de GQ a través de generan el colector de MCI de H a través de

. Dado x en P, el colector de MCI a través de H a través de x interseca en un único punto U(x) con igual coordenada u(x). La función u es de clase C2 y satisface (1) en todas partes en P (en particular, Du(x) > 0 para todo x en P).El razonamiento anterior falla en el ejemplo ilustrado por las Figuras 3 y 4

porque para cualquier plano Q que contiene , hay curvas MCI de GQ las

cuales no se intersecan con . Una ligera modificación de ese ejemplo también muestra que la monotonía local de las preferencias es de alguna manera necesaria para la integrabilidad local para implicar la integrabilidad global. Para ver esto, basta con reemplazar el círculo C1 por una curva lisa C'1 a la frontera del triángulo equilátero T, para insertar una familia adecuada de espirales entre C'1 y el límite de T, y una familia adecuada de curvas cerradas dentro de C’1, y elegir una q cercana a 0. De esta manera uno puede aproximar la monotonía local tan cerca como uno desee, y aun asi no obtener integrabilidad local. Así, siguiendo el enfoque de Antonelli, se nos ha guiado a las preferencias

caracterizadas por una función g > 0 de la clase C1 de P, el cono positivo

abierto de , a la esfera de unidad de , satisfaciendo (2) sobre P. Sea el conjunto de funciones g cumpliendo todas estas condiciones. Una topología

física se puede definir en este conjunto de relaciones de preferencia, por ejemplo, como la topología de la convergencia uniforme (o de convergencia

uniforme sobre subconjuntos compactos de P) de g y de sus derivados

parciales de .Un enfoque alternativo para las relaciones de preferencia lisas consiste en hacer suposiciones de diferenciabilidad en sus gráficos. Dados dos conjuntos

abiertos X e Y en , una función h de X en Y es un difeomorfismo de Ck si h

es uno a uno, y ambos h y son de clase .Un conjunto M de puntos en

es una hipersuperficie Ck si por cada , hay un barrio abierto U de

z, a un difeomorfismo de Ck h de U sobre un conjunto abierto V en , y un

hiperplano H en tal que es realizado por h en . En otras palabras, M es localmente un hiperplano, hacia un difeomormfismo de Ck. Sea

ahora una preferencia completa, reordenando en P, i.e., un completo,

transitivo y reflexiva relación binaria en el cono positivamente abierto de . Definir la relación de estricta preferencia

, y la relación de indiferencia

. Digamos también que la relación de

preferencia es continua en el conjunto es

cerrada en P x P, y que es monótona si implica . De ahora en

adelante asumiremos que es monótono, continuo, reordenado

completamente en P. En estas condiciones, la barrera de en P x P es el

conjunto . Diremos que es una relación de

preferencia de clase Ck si es un hiperplano de Ck en En este punto, tres formas de abordar la cuestión de preferencias suaves han sido, explícita o implícitamente, mencionadas. Uno puede postular (i) una monótonia, continua, completa preferencia de reordenamiento en la clase C2,

(ii) una función g > 0 de P a la esfera de unidad de de la clase C1 satisfaciendo (2) en P, o (iii) una función u de utilidad real valorada en P de la clase C2, satisfaciendo Du(x )> 0 para todo x en P. Vamos a demostrar que estos tres postulados son equivalentes.Se ha establecido anteriormente que (ii) implica (iii).

Luego observe que (iii) implica (i) .La sola propiedad de preferencia de

reordenar que no es obvio es que es de la clase C2. Dejar que

nosotros obtenemos

.

Desde que Du es diferente de 0 en P, también lo es en P x P. En

consecuencia en cada punto z de , hay un local difeomorfismo de C2 en h del tipo deseado.

Finalmente ver que (i) implica (ii), considere un punto en P, y dejar

, que es un punto de por la reflexividad de . Como

consecuencia de (i), existe un entorno abierto V de en P x P, y una función

de valor real C2 v en V tal que v(z) = 0 es equivalente a

es equivalente a en V. La simetría de la relación y

la monotonía de la relación implica que para cada (x,x) en V, Dv(x,x) tiene

la forma (q (x), - q (x)) donde q(x) > 0. Dado cualquier en P, la clase de

indiferencia de es Se obtiene tomando la

intersección de y el colector lineal y

proyectándolo en el espacio de primer factor . Dado que para toda x en un

entorno abierto U de tal que el normal para

en (x, x) se proyecta hacia el espacio de primer factor como q(x) > 0, se obtiene el g(x) normal de unidad en x para la hipersuperficie indiferencia través x dividiendo q(x) por su norma euclídea. Claramente g tiene todas las propiedades que figuran en (ii).Uno de los tres postulados equivalentes anteriores, a saber, (i), se harán a

partir de ahora. También vamos a suponer que es fuertemente convexa, es

decir, y , y

que los cierres de indiferencia de hipersuperficie de no intersecta con la barrera de P. Por lo tanto, además de las condiciones ya impuestas, a partir de

ahora suponemos que es una relación de preferencia fuertemente convexa de la clase C2, y que los cierres de su hipersuperficie son indiferencia de contenidos en P. De ello se desprende que, dado un vector de precios p en

tal que y una riqueza w en R tal que w > 0, hay un único vector de mercancía f(p, w) que satisface de manera óptima la

preferencia en el conjunto .

Los estudios de la diferenciación de las E( ), el conjunto de equilibrios de la

economía , y de la continuidad de la correspondencia E mencionada anteriormente hace hincapié en la conveniencia de obtener por el procedimiento del último párrafo de una función de demanda continuamente diferenciable f. La derivación de la función de demanda de un C1 de una

relación de preferencia C2 es también parte del programa general de investigación de la equivalencia de los dos enfoques de la teoría del comportamiento del consumidor a partir de relaciones de preferencia o de las funciones de demanda. Divagando sobre la importancia de este programa, notemos que la introducción de un conjunto infinito A de agentes para analizar la conexión entre el núcleo de la economía y el conjunto de sus equilibrios ha llevado a la búsqueda de estructuras matemáticas más ricos y más ricos en A. Así, en RJ Aumann [3], A es un espacio medible. En Y. Kannai [26], G. Debreu [10], y W. Hildenbrand [22], A se convierte en un espacio métrico medible. El siguiente paso natural es la de dotar a A con una estructura algebraica. Dicha estructura debe ayudar en el estudio de las clases específicas de medidas de la A a la que una alusión se hizo al final de la Sección 2, así como en el estudio del efecto de suavizado de la agregación de demandas individuales a los que alude la voluntad que se formulará más adelante. Ahora bien, aunque una medida satisfactoria podría definirse en A mediante la adopción de relaciones de preferencia como concepto primitivo, parece que hay más esperanza de encontrar una estructura algebraica económicamente con significado en A mediante la adopción de las funciones de demanda como primitivo.Las suposiciones hechas hasta ahora sobre la relación de preferencia no implican la diferenciabilidad de la función de demanda f asociada con , como un ejemplo de los espectáculos de DW Katzner [27]. Nuestro objetivo ahora es dar un adicional, necesario y suficiente, para f para ser de clase C1. La discusión se centra en un concepto estándar de la geometría diferencial, la

curvatura de Gauss de una hipersuperficie en , que se puede definir de la siguiente manera (NJ Hicks [20, Sec. 2.2]). Sea M una hipersuperficie C2 en

, sea un punto de M, y denotan la unidad normal a M en un punto x de

M en un entorno de por g (x). Para definir la curvatura gaussiana de M en

, considerar una curva parametrizada en M a través de con vector

tangente t en . Asociado a cada punto x de y, el punto g(x) en la esfera de

unidad M' de . Obtenemos de esta manera que una curva parametrizada

en M’ a través de g( ) con vector de tangente t’ en g( ). El vector t'

depende sólo del vector t (y no en la curva parametrizada). Es paralelo al

hiperplano H( ) tangente a M en . La función de t - + t '(el mapa Weingarten) es lineal. Por definición, su determinante es la curvatura de Gauss

de M en .

Para calcular la curvatura c( ) a una punto de P de la indiferencia de

hipersuperficie a través , nótese primero que la monotonía y la fuerte

convexidad de la relación implica fuerte monotonía, es decir, g (x) >> 0 en

P . A continuación elija las primeras coordenadas l -1

en de un punto de M, respectivamente de M', como un sistema de

coordenadas en un barrio de , respectivamente de g( ). De este modo c(

) es el determinante Jacobiano de la transformación

se determina implícitamente por . Por lo tanto,

donde i, j = 1,..., l - 1. Sustituyendo y realizando manipulaciones determinantes directas, obtenemos

En esta fórmula, la matriz cuadrada l . l está bordeada por una columna de gi, una fila de GJ, y el número 0.Dado un vector unitario p en P, denotamos por p el (1 - 1) -vector (Pi ,…,p1- 1) . La función de demanda f correspondiente a esta representación particular del

sistema de precios es la inversa de la función donde x es un

vector de los productos básicos en P y es el producto interno g(x).x. La

función será estudiada como la composición de dos funciones

es estrictamente

un vector de unidad positiva en , y es un numero real en el rango de u, y

. El determinante Jacobiano,

Donde i = l,....,l - 1, y j = 1, ..., l. Por una sencilla manipulación de este

determinante, obtenemos . Como para el Jacobiano de

, es . Sin embargo la función de m es la inversa de la función

donde w es un número real estrictamente positivo. Por

un cálculo simple y clásico, . Por lo tanto

. Resumiendo, . Desde y son de clase C1,

si en el punto , entonces la función f de demanda es de clase

C1 en el punto . A la inversa si f es de clase C1 entonces es un difeomorfismo de C1, y consecuentemente, es un Jacobiano no singular; véase J. Milnor [29, p. 4]. En conclusión, la función de demanda f es de clase

C1 en el punto si y solo si la curvatura Gaussiana en de la

hipersuperficie de indiferencia a través de es diferente a cero. Desde que c se puede expresar en términos de determinantes clásicos

Según la fórmula , que se deriva fácilmente a partir de (3), la condición intuitiva anterior de curvatura distinto de cero está

directamente relacionada con la condición propuesta por DW Katzner [27] para la diferenciación de la demanda. También es equivalente a la "fuerte hipótesis de convexidad" de E. Malinvaud [28], al que me remito para una prueba de esta afirmación.

En este punto, consideramos una relación de preferencia de P, así se comporta si es monótona, convexa, continua preordenada y completa de la clase C2, si su indiferencia de hipersuperficie en todas partes una curvatura distinta de cero, y si sus cierres se contenían en P. Por definición, una preferencia preordenada en P es convexa si para cada x en P, el conjunto de vectores de las materias primas al menos como se desee cuando x es convexa. Las condiciones mencionadas anteriormente claramente implican que

es fuertemente convexo. Para valorar la fuerza de estas condiciones, vamos a dotar al conjunto de continuas relaciones de preferencias, completos sobre P con uno de los indicadores propuestos hasta el momento (Y. Kannai [26], G. Debreu [10], y W. Hildenbrand [22]). Como una extensión de resultados no publicados de B. Grodal sobre la aproximación de una relación de preferencia convexo por una secuencia de relaciones de preferencia fuertemente convexas, uno puede conjeturar que en este marco, un tono monótono, convexo, tiene completa relación continua, la preferencia en P se puede aproximar en subconjuntos compactos de P por una secuencia de relaciones de preferencia que satisfacen todas las condiciones enumerados al principio de este párrafo.Yendo más lejos en este sentido, se podría buscar una topología en el conjunto

de relaciones de preferencia que satisfacen todas las condiciones mencionadas en el comienzo del último párrafo, con la excepción de curvaturas diferentes de cero, de indiferencia de hipersuperficies, de forma que el

subconjunto de relaciones de preferencia para satisfacer todas esas

condiciones es abierto y denso en . Dado que puede ser identificado

con un subconjunto del conjunto definida al final de la discusión de integrabilidad global, la topología debería estar estrechamente relacionada las

topologías sugeridas para . A la luz de los resultados de F. Delbaen [14] y E. y H. Dierker [16] de la densidad abierto del conjunto de economías regulares con un conjunto finito de los consumidores, la dotación de variables, y

funciones de demanda variable de C1,tal tipología en guiaría fácilmente a una teoría en S. Smale [37] tipo en el que el conjunto de las economías regulares es denso y abierto en el espacio de las economías, aunque las funciones de demanda pueden no estar continuamente diferenciable en todas partes, y de hecho no puede siquiera ser definido en todas partes.4 añadido en la prueba: Esta conjetura se comprobó de forma independiente por F. Delbaen y por A. Mas-Colell (quien también ha respondido a la pregunta planteada en los siguientes dos oraciones).

Otra forma de abordar el estudio de economías regulares diferenciables es postular una medida v en el espacio A de los agentes económicos defininidos como el producto cartesiano P x F, donde el primer factor se interpreta como el conjunto de las dotaciones, y F es el conjunto de monótonia, convexidad, continuidad y relaciones completas de preferencia en P, dotado de una de las métricas de Y. Kannai [26], G. Debreu [10], y W. Hildenbrand [22]. Uno espera que si la medida v se difunde adecuadamente a lo largo del espacio A, la integración sobre A de la demanda la correspondencia de los agentes dará lugar a una función de la demanda total, posiblemente incluso una función de demanda total de clase C1.