COMPUTANDO UN EQUILIBRIO GENERAL PARA UNA

ECONOMÍA SIMPLE DE PROPIEDAD PRIVADA: EJERCICIO

MÍNIMO EN MICROECONOMÍA APLICADA

Por: J.C. SEGURA-ORTIZ

CE-08 12 (AGOSTO DE 2012)

COMPUTANDO UN EQUILIBRIO GENERAL PARA

UNA ECONOMÍA SIMPLE DE PROPIEDAD PRIVADA: UN EJERCICIO MÍNIMO EN MICROECONOMÍA

APLICADA Por:

J.C. SEGURA-ORTIZ

CE-08 12 (AGOSTO DE 2012)

LOS CUADERNOS DE ECONOMÍA DE LA UNIVERSIDAD DE LA SALLE QUIEREN CONTRIBUIR AL

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Computando un Equilibrio General

para una Economía Simple de Propiedad Privada:

Un Ejercicio Mínimo en Microeconomía Aplicada

J.C.Segura Facultad de Economía, Universidad de La Salle

jcsegura@lasalle.edu.co

Resumen

Se propone un modelo mínimo de equilibrio económico con dos consumidores que

detentan la propiedad de dos factores productivos y demandan cantidades no

negativas de los bienes que las dos firmas en la economía producen, utilizando los

factores productivos como inputs. Hay cuatro mercancías en esta economía cuyo

equilibrio se caracteriza como el conjunto de precios que son solución del sistema

de exceso de demanda. Se hace uso de una hoja electrónica típica para representar

el modelo y para hallar el equilibrio.

JEL: A22, C68, D58.

Computando un Equilibrio General

para una Economía Simple de Propiedad Privada:

Un Ejercicio Mínimo en Microeconomía Aplicada

J.C.Segura1

Facultad de Economía, Universidad de La Salle

jcsegura@lasalle.edu.co

Preliminar

Los fundamentales de una economía de propiedad privada, esto es, una economía en la que los

hogares son los propietarios de los factores de producción, pueden ser convenientemente

ordenados mediante un arreglo2:

��� = ����, ���� ; �������� ; �� [1]

En esta 3(m+n+1) tupla, del espacio de economías:

i. �, �� son representación cuasi-cóncava para ≿� y el conjunto de elección del i-ésimo

consumidor respectivamente;

ii. �� es el conjunto de elección de la j-ésima empresa, y

iii. � ∈ ℝℓ es un arreglo que contiene los recursos disponibles en la economía, siendo ℓ el

número de mercancías.

1 Director, Programa de Economía Universidad de La Salle, Bogotá, D.C.

2 En el caso de producción bajo rendimientos constantes a escala, no tiene sentido incluir el parámetro ���

que indica la participación del i-ésimo consumidor en la propiedad de la j-ésima firma.

Se muestra a continuación la manera de especificar, parametrizar y solucionar un modelo de

equilibrio general computable sencillo con ayuda de una hoja de cálculo típica, como un paso

necesario para la construcción de modelos matemáticos de economías de mayor complejidad.

Las Condiciones Fundamentales

Mediante la asignación de datos numéricos a los elementos de ��� es posible adelantar un

ejercicio computacional consistente en hallar un equilibrio para la economía modelo. La

definición del equilibrio para un modelo matemático supone una definición adecuada de la

naturaleza de la solución. Por ejemplo, en una economía como la propuesta, un equilibrio se

define como un vector de precios y una asignación ��∗, ����∗��� , ���∗����� � tales que:

i. x�∗ = argmax&��x�: p′x� = p′ω�+; ii. y�∗ = argmax-.� = p′y�: y� ∈ ��0, y

iii. Σ�x� − Σ�y� − Σ�ω� = 0.

Es decir, un equilibrio es un vector de precios y una asignación tales que (i) los consumidores

maximizan su bienestar sobre su conjunto presupuestal, (ii) los productores maximizan su

beneficio sobre su conjunto de producción, y (iii) los mercados se vacían en el sentido de que

para cada una de las 4 = 1,… , ℓ mercancías, las ofertas igualan a las demandas.

Una de las distintas formas de resolver este problema consiste en hallar un vector p de

precios tal que el sistema de excesos de demanda se resuelva con igualdad, e.g.:

Encontrar � ∈ ℝ778 tal que z�� ≦ 0

siendo � = �;�,⋯ , ;ℓ, y z�� un sistema compuesto por ℓ ecuaciones y ℓ variables en el cual

las ecuaciones son los excesos de demanda de cada una de las ℓ mercancías disponibles

mientras que los elementos del vector p son las incógnitas en este sistema. Por ejemplo, en el

caso de la k-ésima mercancía, la función de exceso de demanda está definida por:

=>�� ≡ Σ�@��� − Σ�A��� − Σ��� [2]

Aquí Σ�@��� es la suma de las demandas de los B = 1,⋯ ,C consumidores, Σ�A��� es la suma

de las ofertas de los D = 1,⋯ , E productores, y Σ��� representa la suma de las dotaciones de la

mercancía k de todos y cada uno de los consumidores. El mercado de la k-ésima mercancía

estará en equilibrio si bajo el régimen de precios p:

�@��� = �A��� + ��� [3]

Esto es, si a los precios p la ecuación [2] es idénticamente igual a cero. Las demandas y las

ofertas son la solución a los problemas específicos de optimización de los agentes

involucrados y son funciones continuas de los precios. Un tratamiento detallado pero

accesible de estos temas es el de Mas-Colell, Whinston and Green (1995); las propiedades del

sistema de excesos de demanda son explicadas en profundidad por Ginsburgh y Keyzer

(1997).

Ejemplo Computacional

Considere una parametrización del modelo teórico propuesto a partir de algunos datos

ficticios sobre los fundamentales de la economía, empezando por definir las dotaciones de

capital k y de trabajo l de cada uno de los m=2 consumidores; estos elementos pueden ser

dispuestos en la matriz �:

� = �1 22 2� [4]

En esta matriz las filas corresponden a los i=HI, JK consumidores en tanto que las columnas

corresponden a los factores de producción H4, LK. De esta manera, por ejemplo, el consumidor

A tiene una unidad de capital y dos unidades de trabajo mientras que el consumidor B tiene

dos unidades de capital y dos de trabajo. Los factores de producción son adquiridos por las D = H1,2K firmas responsables de la producción de los bienes de consumo ��, �M

respectivamente: no hay producción conjunta de modo que la firma 1 produce únicamente

mercancía �� y la firma 2, el bien de consumo �M. Cada consumidor elige una cesta de consumo ���� , �M� � para, mediante este expediente, maximizar su utilidad, representada en cada caso por

las funciones:

N = ���NOP��MN���QOPR = ���ROS��MR��QOST [5]

Los argumentos de estas funciones de utilidad se eligen de tal forma que maximicen la

utilidad sobre el conjunto presupuestal. Las firmas operan bajo las condiciones habituales: en

el caso presente las funciones de producción son linealmente homogéneas de la clase Cobb-

Douglas,

�� = ��4�UVL���QUV�M = �M4MUWL���QUWT [6]

La producción es parte de un plan de producción óptimo en cuanto a que constituye una

elección que maximiza el beneficio (o minimiza el coste) del productor j. Con esta información

es posible implementar numéricamente el modelo. Antes, sin embargo, se precisa definir la

naturaleza de la elección de los agentes (consumidores y productores) involucrados.

El Problema del Consumidor.— El i-ésimo consumidor debe elegir un plan de consumo x� = ����, ��M a fin de maximizar su utilidad sobre el conjunto presupuestal definido por X��� = Hx� ∈ ��|�′x� ≤ �′��K. En específico el problema es:

max[\V,[\W ����� , �M� � = �����O\��M� ���QO\AD]^__:;���� + ;M�M� = `4� +aL� b [7]

Sea c� = `4� +aL� de manera que la función Lagrangeana queda:

ℒ���� , �M� ; e� = �����O\��M� ���QO\ + e-c� − ;���� − ;M�M� 0 [8]

Las condiciones relevantes para óptimo son:

&���+: f�������O\Q���M� ���QO\ − e;� = 0&��M+: �1 − f�������O\Q���M� ���QO\Q� − e;M = 0&e+:c� − ;���� + ;M�M� = 0 ghi

[9]

Operando sobre el sistema [9] se llega a la conocida función de demanda de Marshall, de

acuerdo con la cual, en el caso Cobb-Douglas, el gasto nominal del i-ésimo consumidor en la k-

ésima mercancía es fracción constante f� del ingreso:

;>�>� ∗ = f�c� [10]

O, lo que es lo mismo �>� ∗ = f�c� ;>⁄ . Bajo [10], la demanda por la k-ésima mercancía de

consumo es una función continua de los precios y del ingreso, esto es, �>� ∗ = @���,c�; sin

embargo, dado que el ingreso del consumidor proviene de la venta de sus dotaciones, es decir, c� = `4� +aL� , resulta que la demanda es función continua de los precios: �>� ∗ = @���.

El Problema del Productor.— Un plan de producción es un nivel de producción y un nivel de

inputs que maximizan el beneficio del productor. Alternativamente, la conducta de estos

agentes puede ser representada como una elección de insumos que minimiza el coste de

producir una cantidad particular de producto. En el caso que nos ocupa, el j-ésimo productor

elige capital y trabajo con el fin de minimizar el costo de producir k�:

min>n,on p̅ = `4� +aL�AD]^__:k� = ��4�UnL���QUVn� b [11]

Con Varian (1993, p. 65), sustitúyase L� en la función objetivo con el valor que se deriva del

despeje de este factor de la restricción. Así, el problema [11] se convierte en uno más fácil de

extremos libres en 4�:

min>n `4� +a��Q VVrsnk� VVrsn4�Q snVrsn [12]

La condición de primer orden es:

a − Un�QUn `��Q VVrsnk� VVrsn4�Q snVrsn = 0 [13]

De [13] la demanda condicional por capital de la firma j es:

4��`, a, k�� = tnun v Un��QUn� wx y��QUn� [14]

En forma paralela,

L��`, a, k�� = tnun v��QUn�Un xwyUn [15]

El Sistema de Excesos de Demanda.— Disponiendo de expresiones para las ofertas y demandas

de todas y cada una de las mercancías de esta economía en función de los precios, es posible

ahora construir el sistema de excesos de demanda z(p) en el que, para el caso presente las

ecuaciones son los equilibrios en los mercados de los bienes de consumo, ��, �M y en los

mercados de los factores de producción, k, l; las ecuaciones [10], [13] y [14] son precisamente

los elementos sobre los que se construye el sistema. Note que estas expresiones son funciones

de todos los precios constituyendo éstos las variables de elección o incógnitas a determinar.

Teniendo en cuenta la expresión [2] las demandas de una mercancía deben ser iguales a las

ofertas, que incluyen tanto la producción como las dotaciones; no obstante, observe que en

este ejemplo, no hay dotaciones iníciales de los bienes de consumo ��, �M asi como tampoco

hay oferta producida de factores. Con estas anotaciones, el sistema de excesos de demanda

para esta economía modelo admite la siguiente representación3:

=[V�;�, ;M, `, a ≡ Σ���� �;�, ;M, `, a − k��;�, ;M, `, a − 0 = 0=[W�;�, ;M, `, a ≡ Σ��M� �;�, ;M, `, a − kM�;�, ;M, `, a − 0 = 0=>�;�, ;M, `, a ≡ Σ�4��;�, ;M, `, a; k�� − 0 − Σ�4z� = 0=o�;�, ;M, `, a ≡ Σ�L��;�, ;M, `, a; k�� − 0 − Σ�L�̅ = 0 g{h{i

[16]

La solución de [16] es un vector �∗ = �;�∗, ;M∗ , `∗, a∗ tal que z�� ≡ 0. Más aún, dada la

homogeneidad de las funciones de demanda, se deberá observar que �z�� ≡ 0. Además, visto

que en [15] hay ℓ − 1 ecuaciones linealmente independientes, se deberá omitir del trabajo

computacional uno de los excesos; mediante la fijación de uno de los precios, por ejemplo

haciendo a| = 1, (el precio del numerario) el sistema resultante será de dimensiones �ℓ − 1 × �ℓ − 1. La solución papel y lápiz es tarea de náufragos solitarios y la dejaremos de

lado en favor de una solución numérica, haciendo uso de una hoja de cálculo corriente.Especificación Computable con MS-Excel

La Figura 1 ilustra la disposición de los datos y un diseño ad-hoc para resolver

numéricamente el modelo [16] en el MS-Excel 2007. En la hoja electrónica se identifican tres

áreas principales. La primera, en el rango B4:D21 contiene la información relativa a los

fundamentes de la economía, según la especificación [1]. La segunda sección, que abarca el

rango F4:G12 contiene los valores de las variables de elección principales que, en este caso, y

de acuerdo con las condiciones de equilibrio señaladas, son las variables endógenas del

modelo. Finalmente el rango I4:P14 contiene el sistema de ecuaciones de exceso de demanda

para todas y cada una de las ℓ = 4 mercancías que son sujeto de transacción en la economía

modelo.

3 Cfr. Villar (1999)., p. 134.

Figura 1

La sección de parámetros distingue aquellos que caracterizan a los productores de aquellos

que caracterizan a los consumidores. El bloque Productores tiene dos columnas que para cada

uno de los D = H1,2K productores contienen los valores de los parámetros relativos a, en su

orden, la elasticidad del producto respecto del capital, el factor de escala; en este bloque

también se incluyen una computación del costo de producción (c), y de la producción a que

daría lugar la aplicación total de recursos a la firma j (qmax_). La definición de la frontera de

posibilidades de producción de la economía tiene por objetivo resolver un problema

particular que se describirá más adelante.

En el bloque Consumidores se hace lo propio: para cada uno de los B = HI, JK consumidores se

registran en esta tabla la fracción del ingreso dedicada al pago de la mercancía ��, y los

valores de las dotaciones de capital y de trabajo de cada consumidor, que es el contenido de la

matriz �; aquí, según se habrá notado en relación con [4], los datos aparecen transpuestos por

simples razones de diseño y conveniencia. Las tres últimas filas de este bloque contienen un

cómputo de los ingresos (M) y los gastos (e) de los consumidores al régimen de precios que

aparece en el bloque de variables endógenas, así como una medida de la distancia entre estos

valores.

El bloque de formulas bajo el rótulo Sistema de Excesos de Demanda se ha construido

buscando seguir estrictamente el modelo [16]. En cada una de las celdas de esta matriz se

incluyen las expresiones derivadas del trabajo analítico en las secciones anteriores. Así por

ejemplo, en la submatriz correspondiente a las demandas de los consumidores (rango J9:K10),

se incorporan fórmulas análogas a las soluciones del problema de maximización de la utilidad

representadas en las ecuaciones [10]. En la Figura 2 se muestra la entrada asociada a la

demanda del consumidor A por la mercancía 1 que es funcion continua de los precios (p1_) y

del ingreso (mA), dada la elasticidad bA. Las dependencias funcionales de esta fórmula son

señaladas en la Figura 3.

A la celda J9 que contiene la función de demanda marshalliana del consumidor A por el bien 1

se ha asignado el nombre de x1A, según se observa en el extremo superior izquierdo de la

Figura 3. En la misma figura se señalan con flechas las dependencias relevantes.

Específicamente, el valor de la celda J9 depende, por un lado, del precio de la mercancía 1

(celda G8), de la elasticidad asociada (celda C15) y del ingreso (celda C18); a su vez el ingreso

es expresión de la venta de los activos del consumidor analizado (celdas C16, C17) a los

precios r,w (celdas G10, G11) que es, precisamente, el RHS en la restricción del problema [7].

Figura 2

Figura 3

Las demás celdas en la matriz de ecuaciones de exceso de demanda se llenan bajo el mismo

método. En este punto surge un problema importante asociado al hecho de que en las hojas

electrónicas corrientes, las formulas se calculan en tiempo real tan pronto como son

especificadas. En particular, las celdas correspondientes a las ofertas de mercancías

producidas (celdas N9, N10), deberían contener una fórmula análoga a la restricción en el

problema [11], cuyos argumentos son elegidos en un contexto de optimalidad: los argumentos

son las funciones de demanda condicionada de factores [14] y [15] que dependen,

precisamente del valor de la producción, esto es, los valores de las celdas N9 y N10.

Naturalmente, al intentar entrar los contenidos funcionales prescritos en el modelo analítico,

la detección de referencias circulares no se hace esperar.

Una alternativa de solución parte de la consideración del Primer Teorema del Bienestar:

En una economía de propiedad privada ��� en la que cada

consumidor posee una función de utilidad que satisface que

satisface el supuesto de no saciabilidad local, si ��∗, ����∗��� , ���∗����� � es un equilibrio competitivo, la

asignación ����∗��� , ���∗����� � es eficiente en el sentido de

Pareto4.

Desde el punto de vista del análisis marginal la condición para una asignación Pareto Óptima

global exige que la evaluación marginal de cada mercancía sea igual para todos y cada uno de

los individuos y que esa evaluación marginal sea igual al costo marginal de producir tales

bienes (por ejemplo, Silberberg & Suen [2001], pp. 588-589). En la Figura 4 la curva PP

representa la frontera de posibilidades de producción de la economía para las dotaciones de

recursos dadas. La pendiente en el punto A es el costo marginal de producir �M en términos

del bien �� dejado de producir. En cualquier punto, sobre la frontera, se puede construir una

Caja de Edgeworth que representará las asignaciones de ��, �M de cada uno de los

consumidores que se avendrán a intercambio sobre la curva de contrato 0A. En cualquier

punto de la curva de contrato las pendientes de las curvas de indiferencia serán iguales a la

pendiente de la curva de transformación que es un punto Pareto eficiente global: las tasas

marginales de sustitución de los consumidores son iguales entre sí, e iguales a la pendiente de

la frontera de transformación que da el conjunto de planes de producción eficientes para la

economía. Dado que no es posible producir eficientemente si no hay asignaciones eficientes de

factores se sigue que la producción bajo elección óptima de factores, es eficiente.

Figura 4

4 Cfr. Villar (1999).

1x

2x

O

A

P

P

Esto significa que las celdas que contendrían la producción óptima pueden dejarse libres y

disponibles para que el solucionador ponga en ellas valores coherentes con el modelo [16]. En

aplicaciones basadas en Matrices de Contabilidad Social (MCS) el problema de simultaneidad

que se enfrenta no existe porque que la MCS representa en sí mismo un equilibrio de la

economía. El problema pues, se reduce a elegir precios de los bienes producidos y del capital

(visto que se ha fijado el precio del trabajo, w) y niveles de producción de las mercancías

finales para hacer que la suma del valor de los excesos de demanda sea cero; como es natural,

se exige que el valor del exceso de demanda de cada mercancía sea cero.

En el contexto del modelo propuesto, esto significa buscar valores para las celdas G8, G9 y G10

que corresponden a los precios, y para las celdas N9 y N10 que corresponden a los niveles de

producción de las mercancías ��, �M tales que los valores en las celdas P9, P10 y P12 sean

iguales a cero. La celda objetivo es la que contiene la suma de las celdas antedichas: en este

caso, es la celda P13 la que constituye el objetivo (Figura 5).

Figura 5

Tras la invocación del solucionador (Solver) se abre un formulario electrónico en el que se

deberá poner la información necesaria para que el procesador inicie el trabajo computacional:

Figura 6

La Figura 7 muestra la manera en que hemos diligenciado el formulario del Solver: el objetivo

es la celda P13 para la cual se ha señalado como objetivo el valor de cero. De manera paralela,

en la sección del formulario que indica Cambiando las Celdas se han entrado los nombres p1_,

p2_, r_, x1s, x2s, que son los nombres asignados a las celdas de los precios de las mercancías

producidas, a la renta del capital y a la producción de los dos bienes de consumo,

respectivamente. Las restricciones del problema se entran en la sección del formulario bajo el

rótulo Sujetas a las siguientes restricciones. La restricción $J$9:$N$12 >=0 indica al procesador

que las asignaciones resultantes de su búsqueda en el espacio de los precios (y de las

cantidades producidas) deben ser números reales positivos. Las restricciones $P$10 = 0,

$P$12 = 0, y $P$9 = 0 indican al procesador que los excesos de demanda de las mercancías

relevantes deben ser cero. Finalmente, el conjunto de restricciones x1s <= q01_, x2s <= q02_

exigen que los valores de las celdas dispuestas para la producción de bienes finales, no debe

quedar fuera de la frontera de posibilidades de producción, especificada en el bloque de

parámetros del modelo.

Figura 7

La solución se obtiene luego de oprimir el botón Resolver, habiendo verificado que el

problema ha sido bien especificado: en la Figura 8 aparecen los precios (relativos) que

constituyen las soluciones esperadas. Note que el salario, que se ha predeterminado como fijo,

sigue siendo el patrón de comparación y es una constante respecto de la cual se evalúan los

demás precios. Las soluciones son tales que satisfacen todas las restricciones y condiciones

impuestas: las asignaciones son todas no negativas y los excesos de demanda son cero, así

como la suma de éstos. Una prueba de que estas soluciones son coherentes es aquella que se

refiere a la verificación de la Ley de Walras. La ecuación de exceso de demanda del factor

capital, que ha sido omitida del modelo, y que aparece resaltada en la Figura 8, se ve satisfecha

al régimen de precios relativos encontrados por el procesador. La prueba de homogeneidad

también puede llevarse a cabo con facilidad multiplicando los precios por cualquier escalar

para verificar que los precios absolutos carecen de importancia aquí: solo los precios relativos

son de interés de manera que las cantidades de mercancías, así como el ingreso y el gasto del

consumidor deben permanecer inalteradas ante cambios nominales de cualquier especie.

Figura 8

Comentario Final

La tarea de especificar y solucionar un modelo sencillo de equilibrio económico se ha

mostrado como una labor fácil que, a pesar de todo no excusa el fundamento teórico necesario

y suficiente5. No basta con conocer la mecánica del Solver: un conocimiento previo y completo

del modelo Arrow-Debreu es indispensable. La clase de modelos que hemos ensayado suele

ser muy útil en la evaluación de cambios de régimen que, introducidos por una autoridad, por

ejemplo, puedan modificar los fundamentales de la economía. Es posible computar equilibrios

alternativos dados cambios en las elasticidades del producto respecto del capital o del trabajo,

cambios en las dotaciones iniciales, cambios en el régimen fiscal, cambios en los sistemas de

transferencias inter alia. La recomputación del modelo, luego de la introducción de cambios

en los parámetros que caracterizan a la economía dará lugar a un sistema de precios relativos

distinto al inicial, haciendo posible medir las variaciones equivalentes y compensatorias

Hicksianas, y a través de ellos cambios en el bienestar de los agentes para estimar el costo o

beneficio relativo de una iniciativa de política determinada (Shoven and Whalley [1992]).

El uso de hojas electrónicas como el MS-Excel no se limita necesariamente a modelos

abstractos de pequeñas dimensiones como este que hemos especificado: ejemplos de

aplicaciones más elaboradas con hojas electrónicas se ilustran en Devarajan, Go, Lewis,

Robinson and Sinkko (1997) o en Sadoulet and de Janvry (1993). Las dimensiones de un

modelo computable de equilibrio general están limitadas únicamente por la información

disponible que incluye no únicamente la MCS, sino el conjunto de parámetros sueltos

necesarios para una representación razonablemente objetiva de una economía real. Por esta

razón, en muchos de los casos más elaborados, se precisa de paquetes computacionales

mucho más flexibles como el GAMS6, que será introducido con este mismo ejemplo, más

adelante, en otro documento.

Referencias

� Devarajan S., D.S. Go, J.D. Lewis, S. Robinson and P. Sinkko (1997): Simple General

Equilibrium Modeling. Chapter 6 In: Francois, J. and K. Reinert (1997).

� Francoise J. and K. Reinert (1997): Applied Methods for Trade Policy Analysis – A

Handbook. Cambridge University Press.

5 El modelo en MS-Excel puede ser descargado de http://microeconomica.googlepages.com o ser solicitado

vía e-mail. 6 General Algebraic Modeling System

� Ginsburgh, V. and M. Keyzer (1997): The Structure of Applied General Equilibrium

Models. MIT Press.

� Mas-Colell, A., M.D. Whinston and J.R. Green (1995): Microeconomic Theory. Oxford

University Press.

� Silberberg E. and W. Suen (2001): The Structure of Economics. A Mathematical Analysis.

McGraw-Hill.

� Sadoulet E. and A. de Janvry (1995): Quantitative Development Policy: John Hopkins

University Press.

� Shoven, J. and J. Whalley (1992): Applying General Equilibrium. Cambridge University

Press.

� Varian, H. (1993): Análisis Microeconómico. Antoni Bosch.

� Villar A. (1999): Lecciones de Microeconomía. Antoni Bosch.