“De Escher a los movimientos en el plano”Teselados

Índice general

1 M. C. Escher 11.1 Biografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Selección de sus trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Teselado 42.1 Teselados regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Teselados semirregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Teselados irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.3 Hexágonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.4 Teselado de El Cairo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.5 Polígonos cóncavos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Construcción de teselados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.1 Método “Quita y ponla y remoja” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.2 Teselados e isometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Teselados y mallas de doble capa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.9 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Isometría afín 83.1 Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1 Simetría central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.2 Simetría axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Composición de simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

i

ii ÍNDICE GENERAL

3.5 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.6 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.6.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Capítulo 1

M. C. Escher

Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, Países Bajos,17 de junio de 1898-Hilversum, Países Bajos, 27 demarzo de 1972), más conocido como M. C. Escher,fue un artista neerlandés conocido por sus grabadosxilográficos,sus grabados al mezzotinto y sus dibujos, queconsisten en figuras imposibles, teselados y mundos ima-ginarios.Su obra experimenta con diversos métodos de representar(en dibujos de 2 o 3 dimensiones) espacios paradójicosque desafían a los modos habituales de representación.

1.1 Biografía

No fue precisamente un estudiante brillante, y solo llegó adestacar en las clases de dibujo. En 1919 y bajo presiónpaterna, empieza los estudios de arquitectura en la Es-cuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem,estudios que abandonó poco después para pasar comodiscípulo de un profesor de artes gráficas, Jesserum deMesquita. Adquirió unos buenos conocimientos básicosde dibujo, y destacó sobremanera en la técnica de graba-do en madera, la cual llegó a dominar con gran maestría.Entre 1922 y 1935 se traslada a Italia donde realiza diver-sos bocetos y grabados principalmente de temas paisajis-tas. Abandona Italia debido al clima político de aquellasfechas, trasladándose a Suiza, y pasó algunos años allí,cuyo clima le resultó muy desagradable y poco inspira-dor. Añora el sur de Italia y lo frecuenta repetidas veces.También viaja a España, y en particular a Granada. Visitados veces la Alhambra, la segunda vez de formamás dete-nida, copiando numerosos motivos ornamentales. Lo queaprendió allí tendría fuertes influencias en muchos de sustrabajos, especialmente en los relacionados con la parti-ción regular del plano y el uso de patrones que rellenan elespacio sin dejar ningún hueco.En 1941 se muda a Baarn, Países Bajos, después de unaestancia difícil en Bélgica durante la Segunda GuerraMundial. Parece que debido al habitual mal tiempo deesa región, donde los días soleados se consideran una ben-dición, es por lo que abandona los motivos paisajísticoscomo modelos y se centra más en su propia mente, en-contrando en ella una potentísima fuente de inspiración.

Hasta 1951 vivió básicamente dependiendo económica-mente de sus padres. A partir de entonces fue cuando co-menzó a vender sus grabados y obtener un buen dineropor ellos. Esto le permitió vivir sus últimos años con unaeconomía personal excelente. Generalmente hacía copiasde las litografías y grabados por encargo. También hizopor encargo diseños de sellos, portadas de libros, y al-gunas esculturas en marfil y madera. En cierto modo leresulta gratificante y a la vez fácil, y se admiraba de teneren su taller una especie de «máquina de fabricar billetes»reproduciendo sus propias obras. Normalmente no usa-ba elementos de obras anteriores en las nuevas, exceptoen los encargos especiales. Hacía, por ejemplo, escultu-ras en madera basadas en algunos de sus dibujos, y paraalgunas peticiones especiales reciclaba parte de las ideasy elementos de obras anteriores. Quizás por ello en es-te período su producción sea tan fructífera y regular, ysólo se verá interrumpida por la operación que sufrió en1962, consecuencia de su debilitada salud. En 1969, con71 años, realiza su grabado Serpientes donde demuestrasus facultades a pesar de su avanzada edad.En 1970 se traslada a la Casa Rosa Spier de Laren, alnorte de los Países Bajos, donde los artistas podían tenerestudio propio. Murió dos años más tarde, en Hilversum,el 27 de marzo de 1972 a la edad de 74 años, y fue ente-rrado en el cementerio de Baarn.

1.2 Obra

A lo largo de su carrera realizó más de 400 litografíasy grabados en madera, y también unos 2.000 dibujos yborradores. De muchos existen decenas de reproduccio-nes, cientos e incluso miles de otros. Al final de su carreradestruyó algunas de las planchas para que no se realizaranmás reproducciones de originales. También existen estu-dios y borradores de muchas de sus obras, en ocasionestambién varias versiones de algunas de ellas. Muchas desus obras se vendieron masivamente poco después de sumuerte y están esparcidas por el mundo. Un grupo im-portante está expuesto de forma permanente en el MuseoEscher en La Haya, Holanda.Como artista, M.C. Escher resulta difícil de clasificar. Sehan hecho múltiples interpretaciones de sus obras, pero

1

2 CAPÍTULO 1. M. C. ESCHER

la realidad es que Escher no tenía grandes pretensiones nimensajes que transmitir, sino que básicamente plasmabalo que le gustaba. No basaba su trabajo en los sentimien-tos, como otros artistas, sino simplemente en situaciones,soluciones a problemas, juegos visuales y guiños al es-pectador. Visiones, en ocasiones, que le sobrevenían porlas noches, que pasaban por su imaginación y que creíamerecedoras de ser plasmadas en sus cuadros.Él mismo reconocería que no le interesabamucho la reali-dad, ni la humanidad en general, las personas o la psico-logía, sino sólo las cosas que pasaban por su cabeza. Encierto modo era alguien introvertido, dicen incluso que detrato difícil, que prefería crear su propio universo.Los expertos coinciden, y es bastante evidente examinan-do la mayor parte de sus obras, en que una de sus prin-cipales características es la dualidad y la búsqueda delequilibrio, la utilización del blanco y el negro, la sime-tría, el infinito frente a lo limitado, el que todo objetorepresentado tenga su contrapartida.El análisis de sus obras, tal y como definió Bruno Ernst,uno de sus biógrafos y amigo personal, permite clasificar-las básicamente en tres temas y diversas categorías:

• La estructura del espacio – Incluyendopaisajes, compenetración de mundo ycuerpos matemáticos.

• La estructura de la superficie – Metamor-fosis, ciclos y aproximaciones al infinito.

• La proyección del espacio tridimensionalen el plano – Representación pictóricatradicional, perspectiva y figuras imposi-bles.

Las obrasmás conocidas de Escher son probablemente lasfiguras imposibles, seguidas de los ciclos, metamorfosisy, directa o indirectamente, sus diversos trabajos sobre laestructura de la superficie y la partición regular del plano(patrones que rellenan el plano o teselado).Gran parte de su obra se guarda en el Museo Escher (Es-cher in het paleis) en La Haya (Holanda).

1.3 Selección de sus trabajos• Trees, tinta, (1920)

• St. Bavo’s, Haarlem, tinta, (1920)

• Flor de Pascua (The Easter Flower), madera, librode ilustraciones, (1921)

• Eight Heads, madera, (1922)

• Dolphins (Delfines en mar fosforescente), madera,(1923)

• Tower of Babel, madera, (1928)

• Landscape at Abruzzi, rayado, tinta y tiza, (1929)

• Street in Scanno, Abruzzi, litografía, (1930)

• Castrovalva, litografía, (1930)

• The Bridge, litografía, (1930)

• Palizzi, Calabria, madera, (1930)

• Pentedattilo, Calabria, litografía, (1930)

• Atrani, Costa de Amalfi, litografía, (1931)

• Ravello and the Coast of Amalfi, litografía, (1931)

• Covered Alley in Atrani, Coast of Amalfi, maderagrabada, (1931)

• Naturaleza muerta con Espejo Esférico, litografía,(1934)

• Hand with Reflecting Sphere (Autorretrato en EsferaReflectante), litografía, (1935)

• Inside St. Peter’s, madera grabada, (1935)

• Portrait of G.A. Escher, litografía, (1935)

• 'Hell' , litografía, (1935) (copiado de una pintura deHieronymus Bosch)

• Regular Division of the Plane, series dibujos,(1936−1967)

• Still Life and Street, madera, (1937)

• Metamorphosis I, madera, (1937)

• Day and Night, madera, (1938)

• Cycle, litografía, (1938)

• Sky and Water I, madera, (1938)

• Metamorphosis II, madera, (1939-1940)

• Verbum (Earth, Sky and Water), litografía, (1942)

• Reptiles, litografía, (1943)

• Ant, litografía, (1943)

• Encounter, litografía, (1944)

• Doric Columns, madera grabada, (1945)

• Three Spheres I, madera grabada, (1945)

• Magic Mirror, litografía, (1946)

• Eye, litografía, (1946)

• Three Spheres II, litografía, (1946)

• Another World Mezzotint (Other World Gallery),mezzotinto, (1946)

1.5. BIBLIOGRAFÍA 3

• Another World (Other World), grabado en madera,(1947)

• Crystal, mezzotinto, (1947)

• Up and Down, litografía, (1947)

• Drawing Hands, litografía, (1948)

• Dewdrop, mezzotinto, (1948)

• Stars, madera grabada, (1948)

• Double Planetoid, madera grabada, (1949)

• Order and Chaos (Contrast), litografía, (1950)

• Rippled Surface, madera y linóleo cortado, (1950)

• Curl-up, litografía, (1951)

• House of Stairs, litografía, (1951)

• House of Stairs II, litografía, (1951)

• Puddle, madera, (1952)

• Gravitation, litografía y acuarela, (1952)

• Cubic Space Division, litografía, (1952)

• Relativity, litografía, (1953)

• Tetrahedral Planetoid, madera, (1954)

• Compass Rose (Order and Chaos II), litografía,(1955)

• Convex and Concave, litografía, (1955)

• Three Worlds, litografía, (1955)

• Print Gallery, litografía, (1956)

• Belvedere, litografía, (1958)

• Sphere Spirals, madera, (1958)

• Ascending and Descending, litografía, (1960)

• Waterfall (Cascada), litografía, (1961)

• Möbius Strip II (Red Ants) madera, (1963)

• Knot, pincel y cera, (1966)

• Metamorphosis III, madera, (1967-1968)

• Snakes, madera, (1969)

1.4 Véase también• Gödel, Escher, Bach

• Nudo infinito

• Objeto imposible

1.5 Bibliografía• Escher, M.C. (1994). Estampas y dibujos. BenediktTaschen Verlag GmbH. ISBN 3-8228-0678-1.

• Ernst, Bruno (1978). El espejo mágico de Escher.Benedikt Taschen Verlag GmbH. ISBN 3-8228-3704-7.

• Ernst, Bruno (2006). Mundos imposibles. BenediktTaschen Verlag GmbH. ISBN 3-8228-5630-7.

1.6 Enlaces externos• Wikiquote alberga frases célebres de o sobreM.C. Escher. Wikiquote

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobreM. C. EscherCommons.

• Sitio oficial de The M.C. Escher Company, propie-taria de los derechos de autor de Escher (en inglés yen holandés).

• Escher Museo (en inglés y en neerlandés)

• Exposición en Madrid

• Biografía en Microsiervos

• Página bilingüe dedicada a M. C. Escher en la Uni-versidad de Valencia

• Artículo “M. C. Escher, y el fractal onco-socio-político de la especie"; del Prof. Patricio Lepe Ca-rrión (Artículo indexado al Directorio de publica-ciones científicas hispanoamericanas DIALNET)

• Exposición en Granada “M.C.Escher. Universos In-finitos”

Capítulo 2

Teselado

Un teselado visto en el pavimento de una calle

Teselado hexagonal de un piso en Roma

Los términos teselaciones y teselado[1] hacen referenciaa una regularidad o patrón de figuras que recubren o pavi-mentan completamente una superficie plana que cumplecon dos requisitos:

1. Que no queden espacios.

2. Que no se superpongan las figuras.

Ejemplo de pavimento teselado natural en la península Tasman,Tasmania, Australia.

Los teselados se crean usando transformaciones isométri-cas sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas deuna o diversas piezas o teselas con las cuales se componenfiguras para recubrir enteramente una superficie.Distintas culturas a lo largo de la historia han utilizadoesta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicosen catedrales y palacios.

• Algunosmosaicos sumerios con variosmiles de añosde antigüedad contienen regularidades geométricas.

• Arquímedes, en el siglo III a. C., hizo un estudioacerca de los polígonos regulares que pueden cubrirel plano.

• Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los po-lígonos regulares que pueden cubrir el plano, en suobra Harmonice mundi, de 1619. Además, realizóestudios en tres dimensiones de los llamados sólidosplatónicos.

• Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan,el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorovy la psicóloga Camila Rial estudiaron completamen-te las simetrías del plano, e iniciaron así el estudiosistemático y profundo de los teselados.

• Un personaje clave en este tema es el artista holandésM. C. Escher (1898-1972), quien, por sugerencia desu amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió

4

2.2. TESELADOS SEMIRREGULARES 5

los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interéspor el palacio de La Alhambra, en Granada. Llegó aun sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obrasde arte.

Ángulos que concurren a un vértice

2.1 Teselados regulares

Los únicos polígonos regulares que cubren completamen-te una superficie plana son: triángulos equiláteros, cuadra-dos y hexágonos regulares.En cada vértice la suma de ángulos es de 360º, para queno queden espacios:

• Triángulos equiláteros

• Cuadrados

• Hexágonos

Ejemplo: Los cuadrados, al tener ángulos de 90°, puedenencajar cuatro por vértice y teselar localmente el entornode dicho vértice.

2.2 Teselados semirregulares

Son aquellos que contienen dos o más polígonos regularesen su formación.Un teselado semirregular tiene las siguientes propiedades:

1. Está formado sólo por polígonos regulares.

2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.

3. Sólo existen ocho teselados semirregulares.

• 4 8 8

• 3 3 3 4 4

• 3 3 4 3 4

• 3 3 3 3 6

• 3 12 12

• 3 4 6 4

• 3 6 3 6

• 4 6 12

Teselados con figuras semi-regulares

• 4 8 8

• 3 3 4 3 4

• 3 3 3 3 6

• 3 12 12

• 3 4 6 4

• 3 6 3 6

• 4 6 12

2.3 Teselados irregulares

Son aquellos formados por polígonos no regulares, peronunca dejan espacios o fisuras.

6 CAPÍTULO 2. TESELADO

2.3.1 Cuadriláteros

Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo deben pro-longarse sus lados paralelos y construirse los nuevos pa-ralelogramos congruentes al primero.Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, esposible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo esfácil de demostrar, con el teorema de Varignon, que lospuntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelo-gramo y luego tesela. Este método se llama método de lamalla invisible.

Diagrama de cuadrilátero que tesela

2.3.2 Triángulos

Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano.Esto se verifica formando el paralelogramo correspon-diente.

Diagrama de triángulo que tesela

2.3.3 Hexágonos

Además de los hexágonos regulares, los hexágonos noregulares con simetría central también teselan el plano.Otros hexágonos no regulares no teselan el plano.

2.3.4 Teselado de El Cairo

Este teselado aparece frecuentemente en las calles de ElCairo, Egipto, y en el arte islámico; de ahí su nombre. Es-te pentágono posee dos ángulos rectos, un ángulo de 144°

Teselado de El Cairo, Egipto.

y dos ángulos de 108°. Al igual que para todo pentágono,la suma de sus ángulos es de 540°.

2.3.5 Polígonos cóncavos

• Flecha derecha

• Cruz griega

• Ángulo himterk

• Chevron ayaoku-landt

2.4 Construcción de teselados

2.4.1 Método “Quita y ponla y remoja”

Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados cons-truidos con estos métodos.

2.4.2 Teselados e isometría

A partir de los movimientos o transformaciones en elplano se pueden lograr diversos diseños.

2.5 Notación

La notación comúnmente empleada para identificar losdistintos tipos de teselados se debe a A. P. Rollett y HenryMartyn Cundy. En su libroModelos matemáticos (1951),los autores proponen una nomenclatura consistente enenumerar en el sentido de las agujas del reloj y, separa-dos mediante puntos, los lados de los polígonos que ro-dean cada vértice. De esta forma, la nomenclatura de losteselados regulares sería 3.3.3.3.3.3 en el caso de triángu-los equiláteros, 4.4.4.4 en el caso de un teselado formadomediante cuadrados y, finalmente, para un teselado com-puesto de hexágonos regulares, 6.6.6. Con el objetivo deacortar la notación, se acepta que, cuando el mismo polí-gono rodea en varias ocasiones el mismo vértice, se indica

2.9. ENLACES EXTERNOS 7

mediante un superíndice el número de veces que esto su-cede. Es decir, la nomenclatura previamente descrita delos teselados regulares pasará a ser 36, 44 y 63, respecti-vamente.Originalmente, la notación fue concebida únicamente pa-ra describir teselados regulares pero, en la actualidad,su uso se ha extendido igualmente a teselados semi-regulares. La nomenclatura de los ocho teselados semi-regulares existentes es la que aparece en el apartado co-rrespondiente. Del mismomodo, también se acepta el usode esta notación para teselados compuestos por polígonosregulares en los que no todos los vértices están rodeadospor los mismos polígonos. Recientemente, una nueva no-menclatura ha sido propuesta por el Grupo EGICAD dela Universidad de Cantabria, en un intento de dar res-puesta a los inconvenientes (excesiva longitud, relaciónno unívoca, no intuitiva) que presenta la nomenclatura deCundy y Rollett.[2]

2.6 Teselados y mallas de doble ca-pa

Las mallas de doble capa son mallas espaciales en la quelos nudos se disponen en dos capas o superficies, general-mente paralelas entre sí, y se unen mediante barras situa-das bien en uno de los dos planos anteriormente mencio-nados o en el espacio situado entre ellos. Así, se distingueentre cordón inferior, cordón superior y cordón diagonal.Cada uno de los cordones anteriormente mencionados,que compone una malla de doble capa, puede represen-tarse como un teselado, de forma que toda malla de doblecapa resulta de la combinación de tres teselados (inferior,superior, diagonal).[3]

2.7 Véase también• Maurits Cornelis Escher

• friso o teselación longitudinal

• polígonos de Thiessen

• teselado de El Cairo

• teselación de Penrose

• transformaciones isométricas

2.8 Notas y referencias[1] ElDiccionario de la lengua española, de la Real Academia

Española, recoge «teselado».

[2] Generation and Nomenclature of Tessellations andDouble-layer Grids, Gómez-Jáuregui V., Otero C., AriasR. and Manchado C.

[3] Diseño geométrico de cúpulas no esféricas, Otero C.

2.9 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre TeseladoCommons.

• Sitio web oficial de M. C. Escher

• 14 pentágonos que teselan el plano

Capítulo 3

Isometría afín

La imagen de un objeto reflejado en un espejo plano, es un ejem-plo de transformación isométrica: la simetría.

Las transformaciones isométricas son transformacio-nes de figuras en el plano que se realizan sin variar lasdimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y lafinal son semejantes, y geométricamente congruentes.La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igualo mismo) y metria (medir), una definición cercana esigual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación,simetría y rotación.

3.1 Traslación

La traslación es una isometría que realiza un cambio deposición o lugar en el espacio, manteniendo las direccio-nes (medidas angulares) y longitudinales de todos los ele-mentos del espacio, dicha traslación puede ser determina-das por un vector o por dos puntos(el origen y el destino).

3.2 Simetría

Simetría es la correspondencia exacta en la disposiciónregular de las partes o puntos de un cuerpo o figura conrelación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano.Se denominan: central, axial y especular o bilateral.

3.2.1 Simetría central

La simetría central, en geometría, es una transformaciónen la que a cada punto se le asocia otro punto, que debecumplir las siguientes condiciones:a) El punto y su imagen estén a igual distancia de un puntollamado centro de simetría.b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenezcana una misma recta.Según estas definiciones, con una simetría central se ob-tiene la misma figura con una rotación de 180 grados.

3.2.2 Simetría axial

La simetría axial, en geometría, es una transformaciónrespecto de un eje de simetría, en la cual, cada punto deuna figura se asocia a otro punto llamado imagen, quecumple con las siguientes condiciones:a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría,es la misma.b) El segmento que une un punto con su imagen, es per-pendicular al eje de simetría.En la simetría axial se conservan las distancias pero no ladirección de los ángulos. El eje de simetría es la mediatrizdel segmento AA'.

3.3 Composición de simetrías

Si se aplica la misma simetría dos veces, se obtiene unaidentidad.Si se aplican dos simetrías respecto de ejes paralelos, seobtiene una traslación cuyo desplazamiento es el doble de

8

3.5. ENLACES EXTERNOS 9

la distancia entre dichos ejes.Si se aplican dos simetrías respecto de ejes que se cortanen O, se obtiene giro con centro en O, cuyo ángulo es eldoble del que forman dichos ejes.

3.4 Rotación

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cam-bio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado unpunto cualquiera del mismo, este permanece a una dis-tancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientescaracterísticas:

• Un punto denominado centro de rotación.

• Un ángulo

• Un sentido de rotación.

estas transformaciones pueden ser positivas o negativasdependiendo del sentido de giro. Para el primer caso de-be ser un giro en sentido contrario a las manecillas delreloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de lasmanecillas.Ty canderplomber

3.5 Enlaces externos• Simetrías, en Descartes.cnice.mec.es

• Simetrías, en isftic.mepsyd.es

• Función simétrica, en Descartes.cnice.mec.es

10 CAPÍTULO 3. ISOMETRÍA AFÍN

3.6 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

3.6.1 Texto• M. C. Escher Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher?oldid=86719205 Colaboradores: Sanbec, Rosarino, Ascánder, Cookie,Tostadora, Erri4a, Rondador, Mig29x, Balderai, Renabot, Kiekvogel, Soulreaper, Petronas, Airunp, Edub, Emijrp, Rembiapo pohyiete(bot), RobotQuistnix, Chobot, Yrbot, Amadís, Vitamine, BOTijo, YurikBot, Lobillo, Gaudio, Zaqarbal, Eskimbot, Maldoror, Alfredobi,Fev, BOTpolicia, CEM-bot, Astrokey44~eswiki, Ignacio Icke, Marianov, Rosarinagazo, Antur, Montgomery, Thijs!bot, Alvaro qc, Srengel,Mahadeva, RoyFocker, Alvarogonzalezsotillo, IrwinSantos, Siebrand, Isha, JAnDbot, Wybot, Xavigivax, CommonsDelinker, TXiKiBoT,Zack Holly Venturi, Xosema, Moondraco92, Pólux, Lanuevacuestion, Bucephala, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, DJNietzsche, Elvire, BlackBeast, Muro Bot, Gerakibot, SieBot, PaintBot, Loveless, BOTarate, Garber, Paconi, Nicop, Global.minimum, An-nestars, Juanpr, Leonpolanco, Alexbot, Juan Mayordomo, UA31, Shalbat, AVBOT, MastiBot, NicolasAlejandro, EivindBot, Diegusjaimes,DumZiBoT, Luckas-bot, Ptbotgourou, LordboT, Nixón, ArthurBot, Diogeneselcinico42, Ruy Pugliesi, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, CallyBerry, Gabriel HF, LastraX, Panderine!, TobeBot, Halfdrag, RedBot, Enrique Cordero, AnselmiJuan, PatruBOT, Angelito7, Tarawa1943,EmausBot, Savh, Sergio Andres Segovia, Auricalco, Park leon, Rufflos, Encanto Oculto, MerlIwBot, KLBot2, Peliculaspiratas, MetroBot,Invadibot, Gerchant, DLeandroc, MaKiNeoH, Vysotsky, Camila 94, Andrespalopcervera, Asdfghjklñ12345, Arstempo, Jarould, Egis57,Ritalaiajeje, Enrique azo, Superpolllo, Eldiigente, Lohpesones y Anónimos: 222

• Teselado Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teselado?oldid=86306093 Colaboradores: Sabbut, Yearofthedragon, Rondador, Balderai,Pati, Soulreaper, Airunp, .Marfil., Magister Mathematicae, Aeoris, Yrbot, BOTijo, GermanX, Gaijin, Fev, Cerato, BOTpolicia, CEM-bot,Chuffo, Laura Fiorucci, Pinar~eswiki, -jem-, Marianov, Davius, Rosarinagazo, Antur, Jgomo3, Fache, Montgomery, Thijs!bot, DFTDER,PabloCastellano, RoyFocker, Botones, Isha, Endermuabdib, Chuck es dios, Kved, Xenon chile, TXiKiBoT, Madas, Humberto, Netito777,Idioma-bot, Pólux, Rovnet, Manuel Trujillo Berges, Biasoli, AlnoktaBOT, VolkovBot, Queninosta, Matdrodes, DJ Nietzsche, Lucien le-Grey, AlleborgoBot, J.M.Domingo, SieBot, PaintBot, STBot~eswiki, Jbch, Correogsk, Tirithel, Antón Francho, Nicop, Eduardosalg, Neo-dop, Leonpolanco, Poco a poco, Juan Mayordomo, Rαge, UA31, LittleAngryAlien, Armando-Martin, AVBOT, Angel GN, Diegusjaimes,Arjuno3, Luckas-bot, Nallimbot, DiegoFb, SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Ricardogpn, Botarel, White Master King, Mon-dalorBot, Jerowiki, PatruBOT, Hmchmchmc, SeoMac, Bea.miau, ArwinJ, Alph Bot, Ripchip Bot, Nitchenm, Rafandalucia, EmausBot,Esmeralda pt, CVNBot, ZéroBot, Waka Waka, WikitanvirBot, Asdifu, KLBot2, Sebrev, Milartino, Addihockey10 (automated), Avrtm,NiicolasDiiaz, YFdyh-bot, Johteku, Legobot, Guicho marquez, Patitata, MiguelCasero, Balles2601, JacobRodrigues, Normenox, Morales-marcelesp, Jarould, Matiia, Gonzalo Rodriguez Zabala y Anónimos: 238

• Isometría afín Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Isometr%C3%ADa_af%C3%ADn?oldid=87095523 Colaboradores: Dodo, Richy,Petronas, Taichi, Yrbot, BOT-Superzerocool, Maleiva, Vitamine, GermanX, Götz, BludgerPan, Er Komandante, Cheveri, BOTpolicia,CEM-bot, Fedaro, JMCC1, Marianov, Retama, Antur, Gafotas, Ggenellina, Srengel, Indarkide, Claudio Ray, Mpeinadopa, Humberto,Nioger, Pólux, Rovnet, Manuel Trujillo Berges, Bucephala, Technopat, Raystorm, Matdrodes, AlleborgoBot, Dinopmi, Macarrones, ST-Bot~eswiki, Manwë, Greek, BuenaGente, Relleu, Yonseca, Tirithel, HUB, Petruss, Juan Mayordomo, Camilo, AVBOT, Diegusjaimes,Arjuno3, Luckas-bot, DiegoFb, Vic Fede, Ruy Pugliesi, SuperBraulio13, Jkbw, Ricardogpn, Botarel, Hprmedina, PatruBOT, Foundling,Acht, Axvolution, Savh, *el*koko0*, Dak000000000, Elvisor, Addbot, Jarould y Anónimos: 119

3.6.2 Imágenes• Archivo:Angulos360punto.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/Angulos360punto.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Commons-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public do-main Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions usedto be slightly warped.) Artista original: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version,created by Reidab.

• Archivo:Cuadrilatero_tesela_diagrama.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a5/Cuadrilatero_tesela_diagrama.png Licencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Escher.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Escher.jpg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores:Ga het na (Nationaal Archief NL) Artista original: Photographer: Hans Peters (ANEFO)

• Archivo:Flag_of_the_Netherlands.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/Flag_of_the_Netherlands.svgLicencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Zscout370

• Archivo:Hexagonal_tessellation.JPG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Hexagonal_tessellation.JPG Li-cencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Mirror.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Mirror.jpg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaborado-res: English Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Mirror.jpeg) Artista original: Cgs

• Archivo:Simetria_axial.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Simetria_axial.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Simetria_axial_triangulo.pngFuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Simetria_axial_triangulo.pngLi-cencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Simetria_central.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Simetria_central.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Simetria_central_triangulo.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/Simetria_central_triangulo.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Spanish_Wikiquote.SVG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: derived from Wikiquote-logo.svg Artista original: James.mcd.nz

• Archivo:Tasman_Peninsula-Tasmania-Australia02.JPG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/Tasman_Peninsula-Tasmania-Australia02.JPG Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Diego Delso

3.6. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 11

• Archivo:Tesela_cairo.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Tesela_cairo.png Licencia: CC-BY-SA-3.0Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Tile_3,6.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/Tile_3%2C6.svg Licencia: Public domain Colabo-radores: ? Artista original: ?

• Archivo:Traslacion.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Traslacion.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Cola-boradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Traslacion_triangulo.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Traslacion_triangulo.png Licencia:CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Triangulo_tesela_diagrama.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Triangulo_tesela_diagrama.png Licencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Rovnet

• Archivo:Wallpaper_group-p3-1.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Wallpaper_group-p3-1.jpg Licen-cia: Public domain Colaboradores: w:en:Image:Wallpaper_group-p3-1.jpg Artista original: Dmharvey

3.6.3 Licencia del contenido• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0