Datos Generales

Unidad: lztapalapa

/División: Ciencias Básicas e Ingeniería

/Carrera: Licenciatura en Computación

Materia: Proyecto Terminal

A Título: Caos en el Sistema Planetario

Fecha: 25 de Febrero del 2003,

'Alumna: Yuriria Cortés Poza

Matrícula: 9421 61 03

JAsesor:

Yuriria Cortés Poza

Proyecto Terminal Licenciatura en Computación

25 de Febrero del 2000

Asesor: Emilio Cortés Reyna

Ciencias ]Básicas e Ingeniería Un:idad Iztapalapa

UNIVFSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

lndice

I .

II .

111 .

I\

V .

VI .

VI1 .

Vlll

IX .

Estudio

Introducción ............................................................................. 3

Antecedentes Históricos ............................................................ 3

Teoría del Caos ........................................................................ 5

Evolución Espacio de Estados y Atractor Caótico Estabilidad

Recientes ................................................................... 8

Resolución de las Ecuaciones de Movimiento .............................. 11

Resolución del Problema de tres cuerpos ................................... 12

Simulación ............................................................................ 14

- Gráficas

Conclusiones ......................................................................... 20

Bibliografía ............................................................................ 21

CAOS EN EL SISTEMA PLANETARIO

I. Introducción

Durante muchos años se pens6 que el sistema solar funcionaba como un reloj, y que las órbitas de los planetas, se podían predecir con precisión absoluta. Gracias a los avances computacionales y los avances en la teoría del caos, se sabe que el sistema planetario es un sistema dinámico sumamente complejo. Los planetas no orbitan al rededor del Sol con la exactitud de un cronómetro.

La teoría del caos se enfoca en fenómenos conocidos como sistemas dinámicos, los cuales son sensibles a condiciones iniciales, donde aun ecuaciones simples, deterniinísiticas pueden dar como resultado soluciones sumamente complicadas e impredecibles.

II. Antecedentes Históricos

En el periodo temprano de la historia griega, una de las funciones principales que se esperaba de los astrónomos eira la regulación adecuada del calendario. Los griegos, como otras naciones antiguas empezaron con un calendario basado en la luna. A diferencia de otros astrónomos griegos, Pitágoras y sus seguidores llevaron a cabo avances considerables.

No se sabe mucho de la vida de Pitágoras. Nació en la primera parte del siglo VI A.C., y murió a principios del siglo VI1 A.C.. Pitarrosa pensaba que tanto la tierra icomo los demás astros celestes se encontraban en una esfera, y que la tierra descansaba sin necesidad de soporte en el centro del universo.

Pitágoras sabía que la luna brilla por que el sol brilla sobre ella y que las fases de la luna son causadas por la cantided de iluminación que recibe la mitad de la luna que da hacia la tierra. Además sabía que la forma curva de la frontera entre la porción brillante y obscura era una evidencia de que la luna es esférica, y que por lo tanto la tierra también es esférica.

Pitágoras desarrolló una idea que tuvo una influencia extremadamente importante en la astronomía antigua y medieval. Pensaba que las estrellas estaban fijas en una esfera de cristal que daba vueltas en un eje a través de la tierra, y cada uno de los siete planetas (incluyendo al sol y la luna) se movía en una esfera

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propia. Las distancias de estas esferas a la tierra estaban fijas de acuerdo con ciertas nociones especulativas de Pitiigoras de 13s números y la música. Así las esferas al revolucionar producían sonidos armónicos, los cuales solo podían ser escuchados por ciertas personas con un don especial.

Este es el origen de la idea de la música de las esferas. Después las esferas de Pitágoras se desarrollaron en una iepresentación científica del movimiento de los cuerpos celestiales. Esto fue la base de la astronomía hasta los tiempos de Kepler.

En el siglo XVI, ante la controversia que existía entre el modelo de Ptolomeo (sistema geocéntrico del Universo) y el de Copérnico (sistema heliocéntrico), el astrónomo Tycho Brahe (1 546-1 601 ), quien fue el último astrónomo que no utilizó telescopio, lleva a cabo una compilación de un gran número de datos astronómicos.

Estos datos son interpretados durante un periodo de 20 años por Johannes Kepler (1 571-1630), quien había sido’ el asistente de Brahe. Kepler encuentra regularidades importantes en el movimiento de los planetas. Sus trascendentales conclusiones son sintetizadas en las conocidas tres leyes de Kepler:

I.

ii.

111.

Todos los planetas SE! mueven en órbitas elípticas, teniendo el sol como uno de sus focos. El segmento que une a cualquier planeta con el Sol, barre áreas iguales, en tiempos iguales. El cuadrado del periodo de cualquier planeta alrededor del Sol, es proporcional al cubo ide la distancia media al Sol.

<..

Como culminación de la gran contribución a la astronomía por Galileo y Kepler, en el siglo 17, Isaac Newton .formula la Ley de Gravitación Universal:

” Entre dos cuerpos cualesqluiera existe una fuerza de atracción, que es proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al

cuadrado cle la distancia entre ellos. ”

Fij = G mi mi di:

Donde G = 6.67 x I O ” (constante universal) di, = distancia entre los cuerpos

Partiendo de la ley de Gravitación, el problema del movimiento de solamente dos cuerpos es soluble usando ecuaciones matemáticas relativamente simples.

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Para dos cuerpos, podemos predecir cualquier configuración futura del sistema con una precisión arbitraria e i i cualquier instante. Para un sistema con mas de dos cuerpos la solución se complic:a.

El matemático francés Pierre Simon de Laplace, trato de resolver el problema de la estabilidad del sistema solar, haciendo suposiciones que simplificaban las interacciones gravitacionales de los planetas. Laplace demostró que su sistema simplificado era soluble y que había periodicidades a largo tiempo (decenas de cientos de años) en el movimiento de las órbitas de los planetas. Laplace pensó que había llegado a una solución analítica, desafortunadamente, los términos que no consideró en si1 teoría, eran aquellos que podían generar el comportamiento caótico. Así la demostración de estabilidad de Laplace quedó desechada.

A finales del siglo XIX, el matemático francés, Henri Poincaré, atacó el problema de 3-cuerpos, y demostró que no existe una solución general para este problema. Sin embargo Poincaré fue el primero en darse cuenta de lo complicado que es el comportamiento que puede resultar de la interacción gravitacional entre tres cuerpos.

111. Teoría del Caos

En los últimos 25 años, científicos que trabajan en mecánica de fluidos, química y biología de población, han idesarrollado modelos matemáticos exitosos para estos fenómenos naturales.

Algunos de estos fenómenos cuentan con dos características que parecen ser contradictorias: consisten de solamente unas cuantas ecuaciones simples, y en sus soluciones se observa un comportamiento extremadamente complicado e incluso impredecible. Este tipo de cornportarniento se encuentra en diversas áreas de investigación, y se puede simular mediante programas de cómputo aparentemente triviales. El análisis de! estos modelos y la investigación de este tipo de comportamiento se llama "Teoría idel Caos".

La teoría del caos es un nuevo campo de investigación. Se puede definir como el estudio cualitativo del comportamiento inestable y aperiódico en sistemas dinámicos determinísticos no lineales.

El caos es cualitativo puesto que busca conocer el carácter general del comportamiento a largo plazo de un sistema, en vez de buscar la predicción numérica sobre un estado futuro. Los sistemas caóticos son inestables puesto que tienden a no resistir perturbaciones del exterior, reaccionando de diversas formas. Las variables que describen el estado de un sistema, no llevan a cabo una

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.. .

repetición de variables y por lo tanto 110 son periódicas. Este comportamiento periódico e irregular es altamente complejo, puesto que nunca se repite y refleja los efectos de las perturbaciones. Estos sistemas son determinísticos puesto que están compuestos de unas cuantas ecuaciones diferenciales sencillas y no hacen referencia a mecanismos implícitos de probabilidad. Finalmente, un sistema dinámico es un modelo simplificado del comportamiento que cambia en el tiempo de un sistema real. Estos sistemas se describen mediante ecuaciones diferenciales que especifican las razones de cambio para cada variable.

Muchos de los fenómenos que ocurren en la naturaleza pueden describirse muy bien con modelos matemáticos lineales, donde lineales significa que el resultado de una acción siempre es proporcional a su causa. Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos en la naturaleza son no lineales. La ciencia tradicional se enfoca principalmente en los sistema!; lineales. Recientemente se han desarrollado métodos y tecnología que han logrado un progreso significativo en los sistemas no lineales.

Una clase entera de fenómenos que no existen en el marco de la teoría lineal se ha vuelto conocida en el mundo del caos. La noción moderna del caos describe estructuras irregulares y sumamente icomplejas en el tiempo y en el espacio que siguen leyes y ecuaciones determinisitas. Esto contrasta con el caos sin estructura que se encuentra en el equilibrio de la termodinámica tradicional.

La teoría del caos pertenece a 110s logros más grandes en la ciencia en este siglo. Una paradoja aparente, es que el caos es determinístico, generado por reglas fijas que no involucran elementos de cambio en sí. En principio, el futuro está completamente determinado por e l pasado, pero en la práctica, las pequeñas incertidumbres, como errores mínimos o errores de medición las cuales entran en los cálculos son amplificadas con el efecto que aún que el comportamiento es predecible en corto plazo es impredecible en largo plazo.

El descubrimiento de este comiportamiento es uno de los logros mas importantes de la teoría del caos.

Evolución de la teoría del caos

En un principio, la teoría del caos se aplicaba al análisis de circuitos electrónicos, encontrando resultados tales como el aumento de la potencia de Iáseres (Ditto y Pecora) y la sincronización de circuitos. Fue demostrado entonces, que era posible sincronizar dos sistemas caóticos, siempre y cuando fuesen excitados por la misma señal, independientemente de/ estado inicial de cada sistema (Neff y Carroll). O sea, que al perturbar adecuadamente un sistema caótico, se le forza a tomar uno de los muchos comportamientos posibles. Lo que ocurre, es

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que el caos es sensible a las condicioines iniciales. Sin sincronismo, dos sistemas caóticos virtualmente idénticos, evolucionarán hacia estados finales distintos,

Mas tarde, pudo aplicarse al análisis de oscilaciones en reacciones químicas, y al seguimiento del latido cardiaco. En los últimos años, se han estudiado procesos biológicos como los procesos enzimáticos (Hess y Markus) que muestran un comportamiento caótico. Los sistemas naturales son, en su gran mayoría, no lineales, y justamente el caos, es un comportamiento no lineal.

Espacio de estados y atractor caótico

Para caracterizar un sistema dinámico, contamos con variables dinámicas (por ejemplo, posición y velocidad), y variables estáticas (parámetros o constantes). Un espacio de estados, es una representación gráfica cartesiana, donde cada eje es una variable dinámica. Cada punto es una instantánea del estado, y la línea descrita por esa sucesión de puntos, se denornina trayectoria. Dicha trayectoria es arrastrada hacia una región del espacio de estados llamada atractor, que no es sino la manifestación de los parámetros fijos y de las ecuaciones que determinan los valores de las variables dinámicas (Hamilton-Jacobi).

El período del atractor, siempre y cuando no posea un número infinito de ciclos, será predecible. Un atractor caótico es un sistema que posee un periodo infinito de ciclos. Consta de una colección infinita de comportamientos periódicos inestables, o en todo caso, una comb~inación de órbitas periódicas e inestables.

Estabilidad

Un sistema se considera estable, si frente a una perturbación ligera, su trayectoria cambia muy poco. El mulliplicador de Lyapunov, es una magnitud creada con el fin de discernir entre dos posibilidades extremas: un valor < 1 significa que la perturbación se amortiguará y el sistema es estable, un valor > 1 significa que el sistema se tornará inestable a la perturbación. Por ello, todo sistema caótico tiene Lyapunov > 1.

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IV. Estudios Recientes

El estudio del caos ha reveladci que aun sistemas completamente determinísticos, como aquellos que involucran interacciones gravitacionales, pueden ser caóticos.

El campo gravitacional del Sol domina el movimiento de todos los planetas y, aproximadamente, cada planeta se mueve describiendo una órbita elíptica alrededor del Sol. Sin embargo, cada planeta tiene una cierta influencia sobre los demás, todos siguiendo la ley de la gravitación universal. Por ejemplo, la elipse básica que forma la órbita de la Tierra no está fija en el espacio, rota gradualmente a razón de 0.3O por siglo debido a las perturbaciones por otros planetas, sobre todo de Júpiter por ser el mas imasivo. Así, cada una de las órbitas de los planetas del sistema solar es deformada continuamente por la atracción gravitacional de los otros planetas y aun los planetas mas pequeños pueden afectar la trayectoria de los planetas vecinos.

Hay una multitud de fuerzas que operan sobre cada planeta. La órbita de cada planeta depende del movimientcl combinado de todos los planetas y de la acción de cada uno de estos en los otros, por lo que es imposible considerar simultáneamente todas estas causas de movimiento, y definir estos movimientos mediante leyes exactas.

El problema es sumamente complicado, en vez de tener un conjunto de nueve órbitas, en principio se deben de considerar simultáneamente el conjunto de todas las órbitas posibles. Algunas de éstas son estables, y giran alrededor del Sol, siguiendo el mismo trayecto en forms permanente, y otras son inestables y giran alrededor del Sol durante un periodo .finito hasta que sus órbitas comienzan a hacerse mas y mas elípticas, y eventualmente el planeta, al pasar muy cerca de uno vecino, puede llegar a ser lanzado fuera del sistema solar.

Con todas estas órbitas estables e inestables tan próximas unas de otras, surge la pregunta: no podría la patada del lanzamiento de una nave espacial poner a la Tierra en una órbita inestable? Para contestar esta pregunta se deben de considerar todas las fuerzas que actúan sobre cada planeta y rastrear el futuro del sistema solar.

Aunque la evolución futura del sistema solar nunca será resuelta directamente por el intelecto humano, se pueden hacer simulaciones en computadora, tomando las ecuaciones que gobiernan las órbitas planetarias y resolviéndolas paso por paso (millones de pasos por segundo).

Durante los últimos 3 años nuestra visión del Sistema Solar a cambiado mucho, y la idea de un Sistema Solar estable se desechó por completo.

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En 1980 Jack Wisdom y Gerald Sussman del instituto de tecnología en Massachusetts, en EU, construyeron una computadora de propósito especial. Esta consistía en un modelo mecánico del sistema solar sobre el cual se aplicaban las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo. Por primera vez, se rastreó el curso de los planetas a través de tiempos clon escalas astronómicas.

Años después, en 1988, Sussnnan y Wisdom realizaron una primera simulación. Esta se enfocó a un sistema solar reducido, que consistía únicamente de los cinco planetas exteriores.

Después de 875 millones de años de evolución, encontraron que el comportamiento del movimiento de Plutón es caótico, con un exponente de Lyapounov de 1/(20 millones de años), observaron que ligeras variaciones en su posición inicial lo llevaban a diferentes órbitas futuras, por ejemplo, una variación de una pulgada en su ahora, daría como resultado una variación de 1 80° después de 100 millones de años. Esto se debe en parte a su resonancia particular con Neptuno.

El fenómeno de resonancia entire planetas vecinos, consiste en la amplificación de la perturbación que cada uno de ellos ejerce sobre el otro, al haber una cierta sincronización entre sus reapectivos periodos orbitales (tiempo que tarda cada planeta en darle la vuelta al Sol). Cuando la distancia entre los dos es poca, la atracción gravitacional es grande.

La resonancia en el sistema solar ocurre cuando cualquiera dos periodos tienen una razón numérica simple. El periodo orbital de un planeta depende solo de su distancia de la masa central (el Sol).

Si la órbita de Plutón es caótica, entonces, técnicamente todo el sistema solar es caótico, puesto que cada planeta, aún el mas pequeño (Plutón) afecta a los otros en cierta medida a través de las, interacciones gravitacionales.

Aunque las órbitas planetarias sean caóticas, esto no significa que sean irregulares, puesto que el movimiento caótico esta acotado.

En 1987 el físico francés Jacques Laskar del Bureau des Longitudes en París, En lugar de estudiar cada órbita por separado, Laskar desarrollo un método para aproximar la evolución del sistema solar en periodos de millones de años. Estudió la estructura de las órbitas mismas. Vio a cada órbita como un anillo flexible que podía ser deformado por las fuerzas gravitacionales de cada planeta.

Este método le permitió seguir el comportamiento del sistema solar completo por cientos de millones de años. Sus resultados implicaban que había irregularidades caóticas en varios planetas, particularmente en Marte y Mercurio.

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Tom Quinn, de la universidad de Washington desarrolló un sistema para verificar las predicciones de Laskar. Este sistema funcionaba para periodos de solo 6 millones de años, pero a pesar de esto, los cálculos de Quinn, confirmaron que Laskar no estaba equivocado, el movimiento de los planetas internos, incluyendo la Tierra, es caótico.

En los últimos cinco años, Wisdom y Laskar, gracias a los avances computacionales, pudieron simular el sistema solar completo, dejando transcurrir escalas de miles de millones de años. Su modelo se basa en técnicas de perturbación .

Encontraron que el movimiento del sistema solar es caótico con un exponente de Lyapunov que alcanza 1/(5 millones de años). Este comportamiento caótico afecta principalmente a los planetas interiores y fue identificado como el resultado de dos resonancias seculares dentro de éstos planetas. Estas resonancias no habían sido identificadas en ninguna teoría anterior del movimiento de los planetas.

Los resultados de Wisdom y Laiskar demostraron que existía una irregularidad caótica en las c5rbitas de la Tierra y de los planetas interiores y que las órbitas de Mercurio y Marte son muy irregulares. Un error de 15 metros en la medición de la posición de la Tierra hoy, haría imposible predecir la ubicación de la Tierra dentro de 100 millones de años. En esta simulación se vio que existe una probabilidad de uno en mil, de que Mercurio salga del sistema solar en los próximos cinco mil millones de años.

Existe también la posibilidad de que las órbitas de Marte y la Tierra se crucen. Si esto ocurriera, saldría proyectado uno de los dos planetas, aunque por ser mas masiva la Tierra, lo mas factible sería perder a Marte.

Como las Órbitas de Venus y lai Tierra son casi circulares, aunque caóticas, son aparentemente estables, mientras que las órbitas de Mercurio y Marte por tener una excentricidad mayor, tienen una mayor interacción gravitacional con otros planetas, lo que las hace menos estables.

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V. Resolución de las ecuaciones de movimiento

El modelo para dos cuerpos tiene ecuaciones integrables y dan lugar a Órbitas planetarias periódicas.

Para un sistema formado por ulna masa muy grande, como el Sol, al escribir las ecuaciones para dos o mas planetas, el problema puede separarse en dos tipos de interacciones:

La interacción del Sol con cada planeta, como si cada planeta únicamente estuviera sujeto a su interacción con el Sol, dando como resultado una Cirbita estrictamente periódica para cada planeta al rededor del Sol. La interacción entre cada pareja de planetas. Esta, siendo mucho menor que la primera puede tratarse como una perturbación.

En el caso general, si las masas de los N cuerpos son comparables, no puede aplicarse este análisis perturbativo.

Consideramos a continuación e l establecimiento de las ecuaciones de movimiento para este caso general, y llevamos a cabo una integración numérica de las ecuaciones diferenciales de primer orden, tomando en cuenta que este método puede introducir errores de aproximación cuando las distancias entre las parejas de cuerpos son muy pequeños.

Entre cada pareja de partículas, el potencial varia como 1 /r, donde r es la distancia entre ambas. El problema no depende de la orientación, por lo que si tomamos un sistema de referencia fijo en una de las partículas, la otra va a describir un movimiento orbital dentro de un pozo de potencial en forma de embudo.

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La función Hamiltoniana del sistema es la suma de la energía cinética T y de la energía potencial V.

H = T + V

La funcihn de Lagrange es:

Las ecuaciones de Hamilton soin:

xj= H Pi

donde el momento pj se define como: Pi = L

xi

VI. Resolución del problema de tres cuerpos

La energía cinética, T es:

T = C (‘h) mj (Xi2 +y;’)

Donde j = I , ..., N (N=3), y el punto superior indica la derivada con respecto al tiemPo.

La energía potencial V es:

V = - G ( mi mz + mz m3 + m3 mi 1 [IXl-X2 i2+1y1.y2 I*]* [IXZ-X3 ,Z+1yz-y3 121” [lX>Xl l’+Iy3-y1 121”

Tenemos que: H = T + V y L = T - V

Los momentos conjugados a cada coordenada son:

pw= L 3 PVI = mi yi para j = 1, 2 , ..., N Yi

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. . ,,,,". , , , , I , . . , , , , , /. , , , , , ,

El Hamiltoniano es:

H = Z'( Pxj Xj - L)

Por lo tanto:

H = T + V

En este caso tenemos que:

+ 11121113 + m m i ) 2mj

As¡, obtenemos que las ecuaciones de Hamilton son:

xj = - H = > Xj = pxi yj =A = > yj = pyi P X j mi Pyi mi

Prj = = > Pxj = 3 Pyj = - H = > Pyj =A P X i XI Pvi Yj

Donde el punto superior indica derivada con respecto al tiempo.

Como podemos ver hay cuatro ecuaciones por cada cuerpo que consideremos, así, si queremos modelar el Sistema Solar completo, necesitaríamos 40 ecuaciones.

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VI. Simulación

Se realizó un programa en C quie simula el comportamiento del sistema de 3 cuerpos. A continuación se puede ver el código principal del programa.

/ * parámetros * /

G = 300 m l = 250 m2 = 10 m3 = . I N = 8000000 ti = .o1

/ * Constantle de gravitación */ / * Valores de las tres masas */

/ * Número de iteraciones * / / * Delta t */

/ * valores iniciales */

x l i = 2000 x2i = 5841 x3i = 6800 y l i = o y2i = o y3i = o

PIX¡ = -8 p2xi = o p3xi = o ply¡ = 265 p2yi = 56 p3yi = .6

/ * dibuja los ejes * /

sx = .o2 cy = .O05 XO = 300 y0 = 180

/ * Posición ¡inicial en x del cuerpo 1 */ / * Posición ¡inicial en x del cuerpo 2*/ / * Posición ¡inicial en x del cuerpo 3*/ / * Posición ¡inicial en y del cuerpo 1 */ / * Posición ¡inicial en y del cuerpo 2'1 / * Posición ¡inicial en y del cuerpo 3*/

/ * Momento' inicial en x del cuerpo 1 */ / * Momento' inicial en x del cuerpo 2*/ / * Momento' inicial en x del cuerpo 3*/ /* Momento inicial en y del cuerpo 1 */ /* Momento' inicial en y del cuerpo 2*/ / * Momento inicial en y del cuerpo 3*/

line ( IO , ~0,600, yo) line íx0, IO , x0, 360)

X I = x l i x2 = x2i x3 = x3i

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y1 = y l i y2 = y2i y3 = y3i

p l x = P'lXi p2x = p2xi p3x = p3xi

p l y = p ly i p2y = p2yi p3y = p3yi

/ * ciclo principal * I

for (k=O; k<N; k + +)

r12 = SQR((x1 - x2) - 2 + (y1 - y2) - 2) r23 = SQR((x2 - x3) ~ 2 + (y2 - y3) - 2) r31 = SQR((x3 - x l ) ~ 2 + (y3 - y l ) - 2)

VI = g * ( (ml * m2 / (r'l2 - 3)) * (XI - x2) + (ml m3 i (r31 - 3))

v2 = g * ((m2 m3 / ir23 " 3)) * (x2 - x3) + (m2 * m l i (r12 - 3))

v3 = g * ((m3 * m l / (r31 " 3)) * (x3 - XI) + (m3 * m2 / (r23 " 3))

w l = g * ( (ml * m2 i ir12 - 3)) * (y1 - y2) + (ml * m3 i (r31 ~ 3))

w2 = g * ((m2 * m3 / (r23 - 3)) * (y2 - y3) + (m2 * m l i (r12 - 3))

w3 = g ((m3 * m l / ir31 " 3)) (y3 - y l ) + (m3 * m2 / (r23 - 3))

1:

* ( X I - x3))

* (x2 - X I ) )

* (x3 - x2))

(y1 - y3))

* (Y2 - y l ) )

* (Y3 - Y2))

XI = XI + ti * p l x / m l x2 = x2 + ti * p2x i mi! x3 = x3 + ti * p3x i mfl

y1 = y1 + ti p l y i m l y2 = y2 + ti * p2y i mi! y3 = y3 + ti * p3y / mfl

P I X = P I X - ti * V I

p2x = p2x - ti * v2 p3x = p3x - ti * v3

15

p l y = p l y - ti * w l p2y = p2y - ti * w 2 p3y = p3y - ti * w3

/*graficamos * I

putpixel (x0 + sx * XI, y0 - sy * y l , O) putpixel (x0 + sx * x2, y0 - sy * y2, O) putpixel (x0 + sx * x3, y0 - sy * y3, O)

En las figuras anexas vemos ejemplos de la solución numérica de estas ecuaciones, en donde se exhiben las 1:rayectoria.s de tres cuerpos.

Las diferencias entre los tres ejlemplos, son las masas, y distintas condiciones iniciales en posición y velocidad.

Se observó que aun para pequeñas variaciones en condiciones iniciales, la evolución de las tres trayectorias puede cambiar en forma radical.

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Gráfica I

En la primera simulación, podernos ver como, las dos masas menores orbitan solamente alrededor de la masa mayor (ninguna de ellas efectúa un doble movimiento orbital). En este caso, es muy notorio el desplazamiento oscilatorio de la masa mayor.

Los valores iniciales y los parámetros fueron los siguientes:

G = 300 At = 0.01

m l = 250 x i = 2000 y i = O m2 = 10 x2 = 5841 y2 = O m3 = 0.1 x3 = 6800 y3 = O

P X i = -8 px2 = o px3 = o

pyi = 265 py2 = 56 py3 = 0.6

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Gráfica II

En la segunda gráfica, la masa más pequeña órbita alrededor de la masa intermedia, y ambas orbitan alrededor de la masa mayor. Algo semejante cualitativamente, al sistema Sol, Tierra, Luna. Sin embargo, en este caso, la masa mayor lleva a cabo un movimiento peculiar de tipo oscilatorio en dirección del eje y positivo. Para un sistema de referencia fijo en la masa mayor (Sol), los otros dos cuerpos efectúan movimientos de traslación, el de masa intermedia (Tierra) con respecto a la masa mayor, y el de menor masa con respecto al de masa intermedia. El movimiento resultante es en este caso periódico.

Los valores iniciales y los parámetros son los siguientes:

G = 300 At = 0.01

mi = 420 x i = 0.001 y1 = 0.001 pxi = o mz = 10 x2 = 5841 y2 = O px2 = o m3 = 0.1 x3 = 6200 y3 = O px3 = o

pyi = 0.001 py2 = 56 pya = 0.8

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Gráfica 111

En la última simulación hacemos un solo cambio en los parámetros (con respecto al caso anterior): aumentamos la tercera masa (la menor) diez veces. Podemos ver como la evolución del sistema es totalmente diferente. AI inicio hay un aparente movimiento periódico de las dos masas menores, que se pierde notoriamente cuando estos dos cuerpos pasan cerca uno del otro, de ahí en adelante la evolución del sistema pierde toda regularidad.

Los valores iniciales y los parámetros son los siguientes:

G = 300 At = 0.01

mi = 420 XI = 0.001 y1 = 0.001 pxi = o m2 = 10 x2 = 5841 y2 = o px2 = o m3 = 1 x3 = 6200 y3 = o px3 = o

pyi = 0.001 py2 = 56 py3 = 0.8

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VII. Conclusiones

El movimiento del sistema solar es caótico con un exponente de Lyapounov de 1 (/5 millones de años), lo cual significa que cualquier solución que se calcule, no representará al sistema después de alrededor de 100 millones de años. Para obtener una solución para un periodo tan grande, se requiere que las condiciones iniciales y los parámetros tengan una precisión mejor que 10”y se deben de tomar en cuenta todas las perturbaciones de este tamaño en el modelo. Esto implica que hay que considerar la perturbación de alrededor de tres docenas de asteroides. Extendiendo el tiempo transcurrido a ‘1 20 millones de años requeriría una precisión de 1O”y rastrear cientos de asteroides.

Todavía no se puede predecir el destino del sistema solar, este tipo de estudios llevan poco tiempo, y mucho del trabajo depende de mejorar las computadoras.

está por demostrarse. El sistema solar es caótico pero parece estar “encerrado”, aunque todavía

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Bibliografía

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