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COLECCINDIDCTICA

PRIMARIA

www.pearsoneducacion.com

ISBN 978-84-205-3454-1

9 7 8 8 4 2 0 5 3 4 5 4 1

COLECCINDIDCTICAPRIMARIA

Coordinadora:Ma del Carmen Chamorro

Didctica de lasMatemticas

Didctica de las Matemticas pretende clarificaralgunos de los problemas de aprendizaje de lasmatemticas, analizndolos a la luz de las teoras queconfiguran la moderna Didctica de las Matemticascomo una ciencia moderna, avalada por numerosasinvestigaciones y que cuenta con un corpus deresultados que permiten dar respuesta a viejas ynuevas cuestiones sobre cmo aprender matemticas.El estudiante universitario y el docente preocupado pormejorar su prctica y dar soluciones a los problemas deaprendizaje de las matemticas de sus alumnos,encontrarn aqu la interpretacin de algunos fracasosclsicos, as como la presentacin de otros fenmenosdidcticos menos evidentes que han pasado hastaahora desapercibidos. Este manual pretende ayudar ala reflexin a la que todo docente se encuentraabocado, a la vez que proporciona pautas y solucionespara problemas viejos y desafos nuevos, que sontratados desde una ptica estrictamente profesional,usando conocimientos fundados en los resultados delas investigaciones actuales.

Otros libros de la coleccin:Didctica de la Lengua y la Literatura para PrimariaDidctica de la Educacin Fsica para PrimariaDidctica de la Msica para PrimariaDidctica de la Educacin Artstica para PrimariaDidctica del Ingls para PrimariaDidctica de las Ciencias Sociales para Primaria

Didctica General. 2 edicin

La coordinadora de la obra, Ma del CarmenChamorro es catedrtica de Escuela Universitaria deDidctica de las Matemticas en la UniversidadComplutense de Madrid.

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Didctica de lasMatemticaspara Primaria

Didctica de lasMatemticas para

PrimariaCoordinadora y autora:

Mara del Carmen ChamorroCatedrtica de E.U. de Didctica de las Matemticas,

Universidad Complutense de Madrid

Coautores (por orden alfabtico):Juan Miguel Belmonte Gmez

Profesor Titular de E.U., Universidad Complutense de MadridSalvador Llinares

Catedrtico de U., Universidad de AlicanteMara Luisa Ruiz Higueras

Catedrtica de E.U., Universidad de JanFrancisco Vecino Rubio

Profesor Titular de U., Universidad Complutense de Madrid

Director de la Coleccin DidcticaAntonio Medina Rivilla

Madrid Mxico Santaf de Bogot Buenos Aires Caracas Lima Montevideo San Juan San Jos Santiago So Paulo White Plains

M. del Carmen Chamorro (Coord.)Didctica de las Matemticas para PrimariaPEARSON EDUCACIN, Madrid, 2003

ISBN 10: 84-205-3454-4ISBN 13: 978-84-205-3454-1Materia: Didctica y metodologa 37.02

Formato: 170 x 240 Pginas: 368

Todos los derechos reservados.Queda prohibida, salvo excepcin prevista en la Ley, cualquier forma de reproduccin,distribucin, comunicacin pblica y transformacin de esta obra sin contar con autorizacin de los titulares de propiedad intelectural. La infraccin de los derechos mencionados puede serconstitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Cdigo Penal).

DERECHOS RESERVADOS M. Carmen Chamorro, Juan Miguel Belmonte, Salvador Llinares,

M. Luisa Ruiz Higueras, Francisco Vecino Rubio 2003 por PEARSON EDUCACIN, S.A.Ribera del Loira, 2828042 Madrid (Espaa)

PEARSON PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN

M. del Carmen Chamorro (Coord.)Didctica de las Matemticas para Primaria

ISBN 10: 84-205-3454-4ISBN 13: 978-84-205-3454-1Depsito Legal: M-13.988-2006

ltima reimpresin, 2006

Editor: Juan Luis PosadasTcnico editorial: Elena BazacoEquipo de produccin:

Director: Jos Antonio ClaresTcnico: Jos Antonio Hernn

Diseo de cubierta: Equipo de Diseo de PEARSON EDUCACIN, S. A.Composicin: DiScript Preimpresin, S. L.

IMPRESO EN MXICO - PRINTED IN MEXICO

Datos de catalogacin bibliogrfica

vndice general

SUMARIOPRLOGO VII

PARTE I. FUNDAMENTACIN 1

1. Matemticas escolares y competencia matemtica 32. Aprendizaje y matemticas 313. Herramientas de anlisis en didctica de las matemticas 694. La construccin del nmero natural y la numeracin 95

PARTE II. LOS CONTENIDOS Y SU ENSEANZA 131

5. El clculo en la Enseanza Primaria. La adicin y la sustraccin 133

6. Las relaciones multiplicativas: el clculo multiplicativo y de divisin. Clculo mental y con calculadora 159

7. Fracciones, decimales y razn. Desde la relacin parte-todo al razonamiento proporcional 187

8. El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 2219. Las magnitudes multilineales: la superficie y el volumen 245

10. El tratamiento y la resolucin de problemas 27311. Didctica de la Geometra en la Educacin Primaria 30112. El desarrollo del pensamiento aleatorio en Educacin Primaria 329

BIBLIOGRAFA 353

Prlogo Aunque la Didctica de las Matemticas es un rea de conocimiento bastan-

te moderna, cuenta ya en su haber con mltiples resultados de investigacin quenos ayudan a desentraar el complejo proceso por el cual se forman los concep-tos matemticos, y puede por tanto aportar anlisis y soluciones, al menos lo-calmente, al fenmeno del fracaso escolar y al secular temor, cuando no odio,que una gran mayora de nios y adultos experimentan cuando se enfrentan aactividades matemticas.

Los autores de este libro deseamos fomentar en el lector la reflexin sobre elhecho de ensear matemticas y la manera ms adecuada de hacerlo a la luz delas recientes investigaciones. Este manual pretende aportar una sntesis de los re-sultados ms importantes que el futuro profesor o el profesor veterano, no pue-den ignorar a la hora de ensear matemticas.

En los albores del siglo XXI no es sostenible que ensear sea slo un arte, yen cualquier caso, todo arte requiere de una tcnica-soporte, que se hace evi-dente en los casos de la pintura, la escultura, la msica, la poesa o la arquitec-tura, por poner algunos ejemplos. Ensear es una profesin bien definida,aunque no exenta de cambios en los cometidos a desarrollar, por lo que el maes-tro debe adquirir unos conocimientos, una cultura profesional especfica que vams all de los meros contenidos disciplinares.

La Educacin Primaria, a cuyo profesorado se dirige este libro, tiene fijados,desde hace mucho tiempo, los contenidos matemticos que deben ser aborda-dos en este nivel en los pases de nuestro entorno cultural, lo que hace que lacuestin clave que se plantean las diversas reformas curriculares tenga casi siem-pre que ver con cambios metodolgicos, y de hecho, las sucesivas reformas hanfracasado reiteradamente porque la metodologa ha seguido siendo la misma.Por eso, el lector no encontrar en este libro progresiones de enseanza deta-lladas para cada uno de los contenidos matemticos que se abordan en la Edu-cacin Primaria, pues para ello se proporciona una bibliografa ms detallada;por el contrario, los autores han preferido optar por transmitir una metodolo-ga, una manera de hacer en la clase acorde con los principios del aprendizajematemtico, que dinamice las clases y combata la aversin de los alumnos porlas matemticas, implicndolos en su propio aprendizaje.

El lector encontrar, sin embargo, una buena descripcin de los errores mshabituales de los alumnos de este nivel as como su origen y causas, junto conalguna proposicin didctica de tipo preventivo, que colabore a su no aparicin.Hay, tambin, un tratamiento ms detallado de los temas esenciales del currcu-lo de Educacin Primaria: la numeracin, el clculo, las magnitudes y su medi-da, la geometra o las fracciones, y cmo no, la resolucin de problemas.

En el texto se han intercalado actividades que consideramos que el lector de-be ir resolviendo necesariamente, lo que le ayudar a obtener una autoevalua-cin sobre la comprensin de lo que ha ido leyendo. Estas actividades son a la

VIIPrlogo

Didctica de las Matemticas lo que los problemas son a las Matemticas, ypuesto que no es posible aprender Matemticas sin resolver problemas

VIII Didctica de las Matemticas para Primaria

IP A R T E FUNDAMENTACIN

1. Matemticas escolares y competencia matemtica 3

2. Aprendizaje y matemticas 31

3. Herramientas de anlisis en didctica de las matemticas 69

4. La construccin del nmero natural y la numeracin 95

1C A P T U L OMatemticas escolares ycompetencia matemtica

1. Introduccin y objetivos Escena 1. D. Jos y los procesos de construccin

geomtricos en tercer ciclo de Primaria Escena 2. D Ins y la divisin de nmeros decimales

en 6 de Primaria2. Matemticas escolares y llegar a ser matemticamente

competente2.1. Comprensin conceptual2.2. Desarrollo de destrezas procedimentales2.3. Comunicar, explicar y argumentar

matemticamente2.4. Pensamiento estratgico: capacidad de formular,

representar y resolver problemas2.5. Desarrollo de actitudes positivas hacia la propia

capacidad matemtica. Confianza matemtica enuno mismo

2.6. Caracterstica del desarrollo de la competenciamatemtica

3. Las tareas matemticas3.1. El contenido matemtico en las tareas:

instrumento de aprendizaje4. El aula de matemticas

4.1. Normas socio matemticasActividades: el caso de MiguelBibliografa

Salvador Llinares

NDICE

4 Didctica de las Matemticas para Primaria

1. Introduccin y objetivosObjetivos

1. Caracterizar la nocin ser matemticamente competente en EducacinPrimaria.

2. Caracterizar la nocin de tarea matemtica como instrumento para de-sarrollar la competencia matemtica.

3. Describir caractersticas del aula de matemticas dirigidas a desarrollarla competencia matemtica.

En una clase de matemticas de Primaria, el maestro presenta una tarea ma-temtica a sus alumnos para conseguir un objetivo. En ese momento se defineun contexto en el que el maestro, el contenido matemtico y los alumnos inter-accionan con el fin de que los alumnos desarrollen la competencia matemticaque configura el objetivo de enseanza. Desde esta perspectiva sistmica, las si-tuaciones de enseanza estn determinadas por:

Las caractersticas de la tarea matemtica presentada (lo que puede de-mandar la tarea del resolutor).

Lo que el maestro hace y las caractersticas de las interacciones que se ge-neran.

Lo que los alumnos aportan a la situacin, hagan en ella y su actitud.

Al conjunto de actividades, ejercicios, problemas, etc. que el maestro puedeplantear a sus alumnos para desarrollar la capacidad matemtica, lo llamaremostarea matemtica por economa de lenguaje.

Algunas veces las caractersticas de las tareas que los maestros plantean a susalumnos y las interacciones que se producen en el aula entre el maestro, los alum-nos y el contenido matemtico definen un determinado nivel de exigencia cog-nitiva y social que puede potenciar un determinado aprendizaje. Por ejemplo, sila experiencia de un alumno en el aula de matemticas se reduce a escuchar lo

Maestro

Estudiantes Tarea matemtica(Contenido matemtico)

Contextos

que dice el maestro, leer lo que pone el libro de texto y repetir ejercicios de cl-culo en los que slo hay que procurar que el resultado sea correcto, lo que apren-de este alumno puede ser simplemente el memorizar algoritmos de clculo ygenerar una idea sobre las matemticas escolares reducida a una coleccin de pro-cedimientos de clculo.

El significado dado a la actividad matemtica por parte del alumno (lo quehace con la tarea para resolverla, sea individual o en grupo) ser diferente si lasactividades son del tipo de formulacin, representacin, resolucin y/o comu-nicacin de problemas matemticos a partir de una situacin. Esta actividad ma-temtica es la que permitir desarrollar en los alumnos una determinadacompetencia matemtica a lo largo del tiempo. En esta situacin existen treselementos que deben ser caracterizados para poder llegar a maximizar la prcti-ca de ensear matemticas:

El significado de matemticamente competente.

Las caractersticas de la tarea matemtica dirigidas a desarrollar la com-petencia matemtica.

Las caractersticas de la clase que apoyan la generacin de la competenciamatemtica.

Llegar a ser matemticamente competente est vinculado al desarrollo de lacomprensin del contenido matemtico. Cuando se comprenden las nociones yprocedimientos matemticos se pueden utilizar de manera flexible adaptndolosa situaciones nuevas y permitiendo establecer relaciones entre ellos y ser utiliza-dos para aprender nuevo contenido matemtico. As, comprender est vincula-do a saber cul es el significado y cmo funcionan los procedimientos, cmo serelacionan unos con otros y por qu funcionan de la manera en que lo hacen.Por tanto, debemos determinar caractersticas de las aulas de matemticas quepotencian el desarrollo de la competencia matemtica y cules pueden ser las ca-ractersticas de las tareas (actividades, problemas, ejercicios, etc.) que el maestropuede utilizar para conseguir este fin.

El estudio de estos temas lo haremos a travs del anlisis de dos situacioneshipotticas de enseanza-aprendizaje de las matemticas de Primaria. La escena 1recoge:

Las reflexiones de un profesor de 3er ciclo de Primaria cuando est pen-sando en la planificacin (organizacin del contenido matemtico para en-searlo) de los procesos de construccin geomtricos.

La descripcin de lo sucedido un da de clase (su gestin de la tarea y loproducido por los alumnos).

La escena 2 describe una situacin no prevista por una maestra cuando estenseando la divisin con nmeros decimales en 6 de Primaria. Las dos escenasentrelazan tres actividades profesionales del maestro: planificacin, gestin de laenseanza e interpretacin/anlisis de las producciones de sus alumnos. Todas

5Matemticas escolares y competencia matemtica

C A P T U L O

1

estas actividades se describen a travs del proceso de reflexin del maestro sobreaspectos de su trabajo. Usaremos las escenas para caracterizar diferentes aspectosde la expresin matemticamente competente y luego, comparando las dos es-cenas, analizaremos el papel que desempean las tareas matemticas y la forma enla que los profesores las usan para generar los contextos que ayudan a desarrollarla competencia matemtica.

ESCENA 1. D. Jos, un maestro de tercer ciclo de Primaria. Los procesos de construccin geomtricos en el tercer ciclo de Primaria

D. Jos es un maestro encargado del tercer ciclo de Primaria en un colegiocon slo una clase en cada curso y encargado de las matemticas. Este ao D.Jos cree que el ritmo del curso le permite ser optimista ya que sus clases de 5y 6 van cumpliendo lo previsto. D. Jos cree que unas posibles razones delbuen ritmo alcanzado es que ha tenido pocos problemas de disciplina y que susalumnos se han adaptado rpidamente a su manera de trabajar en clase median-te el trabajo en grupo y las discusiones e intercambio de informacin en el grangrupo. D. Jos cree que tambin ha influido la eleccin de las tareas que les pro-pone a sus alumnos.

En estos das de final del primer trimestre, en 5 curso, est trabajando consus alumnos las nociones de polgonos regulares e irregulares en el tema de lasfiguras planas. En este tema ha introducido la nocin de polgono, la clasifica-cin de tringulos segn los lados (equiltero, issceles y escaleno) y segn losngulos (rectngulo, acutngulo y obtusngulo) y la clasificacin de los cuadri-lteros segn el paralelismo de sus lados (trapezoide, trapecio y paralelogramo).Al final del tema tiene previsto introducir la nocin de simetra y la nocin deeje de simetra (situado dentro y fuera de la figura). Una aplicacin final de es-tas nociones es la de estudiar los ejes de simetra en los polgonos. Algunas delas tareas que tiene previstas en su planificacin, para que fueran discutidas porlos alumnos en pequeo grupo y luego en gran grupo, son plantear cuestionescomo las siguientes:

TAREA 1

Tiene el tringulo escaleno algn eje de simetra?, por qu?

Tiene el tringulo issceles algn eje de simetra?, por qu?

Cuntos ejes de simetra tiene un tringulo acutngulo?, por qu?

Sus alumnos ante este tipo de cuestiones saben que deben proporcionar ar-gumentos y justificaciones del porqu de sus respuestas. Ellos deben convencertanto a sus compaeros en el pequeo grupo como en el gran grupo.

En estos mismos das en 6 curso tiene planificado los temas relativos a laconstruccin de tringulos y rectngulos, y la introduccin de la nocin de


circunferencia y sus diferentes elementos (radio, cuerda, dimetro, arco y se-micircunferencia).

Para D. Jos las tareas que ha visto en algunos textos en las que se pide a losalumnos que construyan tringulos con regla y comps cuando se les propor-ciona las medidas de los lados son poco atractivas. Como por ejemplo en la ta-rea siguiente:

TAREA 2

* Sigue estos pasos y dibuja un tringulo cuyos lados midan 5 cm, 6 cm y 6 cm.

Dibuja con la regla un segmento AB de 5 cm.

Abre el comps 6 cm y traza un arco, primero desde el punto A y despus des-de el punto B.

Llama C al punto donde se cortan los dos arcos. Une el punto C con A y con B.

Cmo es el tringulo que has trazado segn sus lados?, y segn sus ngulos?

D. Jos piensa que es necesario que las tareas sean ms abiertas en el sentidode generar varios procedimientos de solucin y, en particular, en los procesos deconstruccin. Las tareas deben permitir identificar las propiedades o relacionesgeomtricas que permiten justificar el proceso de construccin. Una de las tare-as que tiene prevista es:

TAREA 3

Construir tringulos issceles utilizando diferentes procedimientos. Describeel procedimiento que utilizas.

Indica qu elementos geomtricos utilizas en cada procedimiento.

Busca otro procedimiento diferente.

Recuerda que debes justificar tus respuestas para convencer a tus compaeros.

Para D. Jos este tipo de tareas centradas en los procesos de construccin geomtricos permiten dar respuesta a uno de los objetivos de las matemticas enPrimaria:

Identificar y construir formas geomtricas utilizando el conocimiento de sus ele-mentos y propiedades para incrementar su comprensin y desarrollar nuevas posi-bilidades de accin.

D. Jos considera que las tareas de construccin responden a este tipo de ob-jetivo siempre y cuando el proceso de construccin realizado permita explicitara los estudiantes el conocimiento geomtrico que lo justifica. Desde ese pun-to de vista D. Jos piensa que el significado de la construccin geomtricaemerge desde:


C A P T U L O

1

La forma en que se realiza la actividad de construir.

La actividad de discusin matemtica relacionada.

Por ello, D. Jos espera que sus alumnos despus de trabajar las tareas engrupo sean capaces de explicar a sus compaeros y defender las estrategias utili-zadas.

El da en que D. Jos plante la tarea 3 a sus alumnos, stos empezaron atrabajar en grupo mientras l iba de grupo en grupo observando sus discusio-nes. Despus de realizar la tarea en grupos pequeos hubo una sesin de pre-sentacin y discusin en el gran grupo. D. Jos pidi voluntarios para presentaralguno de los procedimientos seguidos. Sus alumnos estn acostumbrados a es-ta forma de trabajar y se disponan a hacer las presentaciones y defensa de susrepuestas.

El portavoz del grupo 1 dice que en su grupo han encontrado un procedi-miento utilizando slo la regla. D. Jos pide que salgan a la pizarra y expliquencmo lo han hecho. Antonio, el portavoz del grupo, sale a la pizarra y dibujacon una regla tres segmentos dos de ellos de igual longitud. Despus dibuja untringulo, intentando trasladar sobre el segmento desigual AB, que dice que esla base del tringulo, los otros dos lados utilizando la regla. Antonio dice que loque han hecho es dibujar dos segmentos iguales desde los extremos del seg-mento AB, pero que han tenido que ir probando hasta encontrar la inclina-cin adecuada de los segmentos que estaban dibujados sobre la base ya que aveces no se poda cerrar el tringulo. Antonio dijo sonriendo: Esto lo hemos te-nido que hacer a ojo.

D. Jos no realiz ninguna valoracin del procedimiento descrito por Anto-nio y pregunta a otro grupo si han pensado en otro procedimiento diferente. Enel grupo 2 Ana, su portavoz, dice que ellos haban pensado inicialmente en unprocedimiento parecido (coger dos segmentos iguales y unirlos a un tercero,considerando la definicin de tringulo issceles), pero que luego haban en-contrado un procedimiento usando el comps.

D. Jos pide a Ana que salga a la pizarra y explique cmo lo han hecho. Anasale a la pizarra, y con la misma idea que usaron en el grupo de Antonio de quelos tringulos issceles tienen dos lados iguales, pero utilizando regla y compsdibuja un segmento AB, que se usa como base y a continuacin con el compspinchado en un extremo del segmento y con una determinada abertura (dadapor la longitud de los segmentos iguales) se dibuja un arco. Repitiendo el pro-cedimiento en el otro extremo del segmento manteniendo la abertura del com-ps se dibuja otro arco. Ana dijo: el punto de corte entre los arcos lo llamamos Cy es el otro vrtice del tringulo.

Ana explic que se puede hacer as ya que todos los radios de una circunfe-rencia tienen la misma longitud y por tanto al pinchar en A y marcar un arco,y al repetir el procedimiento pinchando en B, es decir marcando otro arco con


la misma abertura del comps, se conseguirn dos segmentos con la misma lon-gitud.

En ese momento, Antonio, el portavoz del grupo que haba salido antes, le-vanta la mano para poder intervenir y dice que usando la idea del grupo de Analo que tambin se puede hacer es dibujar una circunferencia y dos radios cua-lesquiera. Uniendo los dos extremos de los radios se forma un tringulo issce-les. Antonio indica que eso es verdad porque en una circunferencia todos losradios son iguales y por tanto uniendo los extremos de los radios se obtiene untringulo issceles. D. Jos pregunta al resto de la clase si coinciden con la ob-servacin de Antonio. Sus alumnos asienten con la cabeza y D. Jos felicita algrupo de Antonio por haber sido capaz de utilizar el procedimiento descrito porAna para encontrar otro procedimiento de construccin. D. Jos sabe que el ar-gumento utilizado por Antonio, como el procedimiento anterior del grupo deAna, se apoya en el significado de circunferencia y radio y se siente satisfecho alpensar que sus alumnos estn relacionando el significado de la circunferencia yel radio con el significado del tringulo issceles para generar el procedimientode construccin de tringulos issceles.

D. Jos pregunta a la clase si algn grupo ha encontrado otro procedimiento.Pepa, la portavoz de otro grupo dice que ellos han usado el mismo procedi-miento que el grupo de Ana, pero que luego, cuando han hecho las construc-ciones, se han dado cuenta de que los tringulos issceles tienen un eje desimetra que coincide con la altura, y que han utilizado esta idea para encontrarotro procedimiento que les permite tener muchos tringulos issceles.


C A P T U L O

1

A

A B

C

B

D. Jos pide a Pepa que salga y explique lo que han hecho a la clase entera.Pepa sale a la pizarra y dice: Un tringulo issceles tiene un eje de simetra. Sidibujamos un segmento AB para que sea la base y buscamos el punto medio y tra-zamos la perpendicular a la base por el punto medio (la mediatriz de AB). Paraconstruir la mediatriz utilizamos el procedimiento que el grupo de Ana ha utili-zado para encontrar el punto C. Nosotros nos hemos dado cuenta que es el mismoque utilizamos el otro da para dibujar las mediatrices de los segmentos.

D. Jos recuerda que cuando estuvieron trabajando el procedimiento deconstruccin de las mediatrices de un segmento se haba insistido en la idea deque todos los puntos en esa perpendicular equidistan de A y de B. As, lo que elgrupo de Pepa haba visto es que con la idea de mediatriz, cualquier punto deesa perpendicular al unirlo con A y B forman un tringulo issceles. Adems loque se ha obtenido es toda una familia de tringulos issceles.

D. Jos resume y recopila las diferentes estrategias que han salido durantela discusin para poder sistematizar toda la informacin que se ha usado y ge-nerado en esta clase. Luego, pone una nueva tarea para el da siguiente pidien-do a sus alumnos que intenten usar las diferentes estrategias e ideas que hanaparecido en la clase de hoy y que piensen cul puede ser ms eficaz en cada tarea.

***

La escena 1 describe dos momentos de la vida profesional de un maestro. Enprimer lugar cuando tiene que pensar en:

Cmo organizar el contenido matemtico para ensearlo y cmo deben serlas tareas que presente a sus alumnos. Esta tarea de planificacin conllevapensar cul es la naturaleza de las matemticas escolares, de qu manerapuede responder a la necesidad de formar ciudadanos matemticamentecompetentes.

La forma en que organiza la enseanza e interacciona con sus alum-nos. Durante la interaccin con sus alumnos D. Jos debe interpretar ma-temticamente las producciones de sus alumnos, realizar inferencias sobrela eficacia de las tareas propuestas y proponer nuevas cuestiones que


AB

permitan a los alumnos progresar en su desarrollo de la competencia ma-temtica.

D. Jos ha preparado con cuidado las tareas que ha presentado a sus alum-nos y ha estado pendiente de las respuestas producidas durante la discusin in-tentando empujar hacia delante algunos de los procedimientos propuestos. Ladiscusin de diferentes estrategias en la pizarra ha proporcionado a D. Jos y aalguno de sus estudiantes la posibilidad de relacionar y mejorar algunas de lasestrategias inicialmente generadas.

ESCENA 2. El caso de D Ins. La divisin con nmeros decimales en 6 de Primaria

Me llamo Ins y soy profesora del tercer ciclo de Primaria desde hace algu-nos aos. Este ao estoy dando 6. Tengo 28 alumnos en clase. Algunos deellos son bastante nerviosos pero otros se aplican bien. Estamos juntos desde5, as que los conozco relativamente bien y s lo que se puede esperar de ca-da uno de ellos. Son la mitad nios y la otra mitad nias. Su inters por apren-der depende de los das, como el tiempo. Hay veces que estn muy motivadosy otras no tanto.

Durante el segundo trimestre hemos estado trabajando en clase las opera-ciones con decimales. El ao pasado vimos lo que eran los decimales e introdu-je la suma, la resta y la multiplicacin de un decimal por un nmero natural.Algunas veces he introducido la divisin entre dos nmeros decimales en 5, pero este ao decidimos trasladarlo a 6. As que este ao he introducido la mul-tiplicacin y la divisin entre dos nmeros decimales.

La divisin con decimales resulta a veces un poco ms difcil de aprender, pero yo pienso que si los nios se aprenden bien la regla de mover las comas nodeberan tener muchos problemas. El libro que estoy utilizando me parece quesecuencia bastante bien las tareas para introducir la divisin. Primero, cuando eldivisor es un nmero natural, luego cuando el dividendo y el divisor son decima-les pero el resto es cero. Para el caso de las divisiones exactas una de las tareas queestuvimos haciendo fue realizar aproximaciones de cocientes con nmeros deci-males. Los ejercicios que aparecen en el libro de texto y que hemos estado ha-ciendo estos das son del tipo siguiente:


C A P T U L O

1

Calcula los cocientes aproximados que se indican

Divisiones no exactas Aproximacin del cociente Aproximacin del cociente con una cifra decimal con dos cifras decimales

41 : 3 41,0 : 3 41,00 : 3

61 : 9

123 : 11

144 : 17

Calcula las siguientes divisiones:

22,5 : 0,15 1,296 : 1,2

22,5 : 1,5 12,96 : 0,12

2,25 : 1,5 1,296 : 0,12

Hoy les he puesto varias divisiones en la pizarra para que copiaran en su cua-derno y las hicieran. Les he recordado la regla para dividir nmeros decima-les: tachar la coma en el divisor y correr la coma del dividendo tantos lugarescomo decimales haba en el divisor. Luego realizar la divisin como con los n-meros naturales. Despus de un rato hemos corregido algunas en la pizarra yno haba muchas dificultades. Es casi como dividir con nmeros naturales peroteniendo cuidado en mover las comas. Para adelantar, les ped que en las divi-siones que quedaban comprobaran si estaban realizando bien la prueba de la di-visin. Al cabo de un rato, Pepa una de mis alumnas levant la mano para llamarmi atencin. Ella y su compaera Marta haban hecho la siguiente divisin:

7,304 23, 1

siguiendo la regla que les haba dado en clase: tachar la coma del divisor y co-rrer la coma del dividendo tantos lugares como decimales haba en el divisor.Despus de realizar los clculos obtuvieron como cociente 031 y resto 143.

7 * 3 , 0 4 23 * 1

0 3 7 4 0,31

1 4 3

Haban hecho la prueba pero no les sala. La haban repasado varias veces ydecan que no se haban equivocado en las cuentas, pero al realizar la prueba dela divisin segua sin salirles bien.

Cuando me llamaron me dijeron que haban movido la coma del dividendoun lugar y haban quitado la coma del divisor, como yo les haba enseando ycomo lo haban estado haciendo los ltimos das con las otras divisiones, peroahora no les sala la prueba de la divisin.

***

La leccin diseada por D Ins se centraba en el procedimiento de dividirnmeros decimales y las tareas previstas permitan a los estudiantes progresardesde ejemplos simples (recordar divisin entera) a ejercicios ms complicados(realizar diferentes divisiones con nmeros decimales que se diferenciaban sim-plemente en el lugar de la coma en el dividendo y en el divisor). La caractersti-ca de estos ejercicios es que eran divisiones exactas. El objetivo de estos ejercicios


era mostrar el efecto que tiene el cambio del lugar de la coma en el dividendoy en el divisor sobre el cociente. Al proporcionarles a los alumnos la regla, DIns intenta favorecer el aprendizaje del algoritmo y conseguir que los alumnossean eficaces en su aplicacin. Sin embargo, D Ins no vincul explcitamentela manipulacin de las comas en el dividendo y en el divisor al valor de las uni-dades en el sistema de numeracin decimal, ni a la propiedad fundamental de ladivisin entera con los nmeros naturales.

2. Matemticas escolares y llegar a ser matemticamente competente

Dotar de sentido a la expresin ser matemticamente competente est re-lacionado con los fines de la educacin matemtica de la etapa, y por tanto con-textualizado en un momento en el tiempo. El currculo de matemticas de laetapa de Primaria expresa en trminos de capacidades las finalidades de la for-macin. Muchas veces la nocin de competencia se vincula a una componenteprctica ser capaz de hacer y se vincula a saber cundo, cmo y por qu uti-lizar determinados instrumentos. Especificar diferentes dimensiones que puedanayudar a caracterizar el trmino ser matemticamente competente es relevan-te para que sea tenido en cuenta por el maestro. El maestro debe organizar elcontenido matemtico para ensearlo (planificar) con unos objetivos en mentey, tambin, debe interpretar las producciones de los alumnos desde las cualespueda realizar inferencias sobre el aprendizaje conseguido. As, tanto en la pla-nificacin de la enseanza, durante la gestin de las interacciones con sus alum-nos, como en la interpretacin y anlisis de sus producciones, el maestro debeser explcito en lo que va a considerar competencia matemtica de sus alumnos.

En relacin al objetivo de caracterizar lo que puede significar ser matem-ticamente competente en Primaria, vale la pena subrayar algunos aspectos re-levantes de la planificacin del maestro en la escena 1. D. Jos organiza eltiempo para el desarrollo de las tareas integrando el trabajo en gran grupo y engrupos pequeos. Las discusiones tanto en un contexto como en otro se cons-truyen sobre el pensamiento matemtico de los alumnos. D. Jos subraya la ne-cesidad de considerar:

Las relaciones entre los problemas y las soluciones.

La naturaleza de las justificaciones y argumentos matemticos usada porlos estudiantes.

Por otra parte, D Ins organiza las tareas para que los alumnos lleguen a sereficaces en el uso de un algoritmo secuenciando para ello las tareas consideran-do diferentes variables en su estructura que pueden ayudar a sus alumnos a pro-gresar en el uso eficaz del procedimiento. En las escenas descritas es posibleidentificar diferentes aspectos que ayudan a definir lo que se pueden considerardimensiones de ser matemticamente competente:


C A P T U L O

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Comprensin conceptual de las nociones, propiedades y relaciones ma-temticas. En este caso con la nocin de tringulo issceles, el uso de lanocin de circunferencia y radio o el uso de la nocin de eje de simetra ymediatriz. La comprensin conceptual se vincula a la posibilidad de esta-blecer relaciones entre conceptos y procedimientos matemticos en situa-ciones de resolucin de problemas.

Desarrollo de destrezas procedimentales de carcter general y, en particu-lar, las que permiten realizar los procesos de construccin. En la escena 1 eluso de instrumentos de construccin como la regla, la escuadra, el cartabny el comps. En el caso particular de que D. Jos y sus alumnos pudieran te-ner acceso a una sala de ordenadores con un software dinmico (e.g. CabriGomtre), las destrezas procedimentales a desarrollar estaran vinculadas almanejo de las primitivas del software, como por ejemplo construccin desegmentos, uso de las primitivas circunferencias, mediatriz, etc.

Pensamiento estratgico: formular, representar y resolver problemas.La respuesta proporcionada por el grupo de Pepa en la clase de D. Josexige que los alumnos hayan construido una representacin mental de losprincipales elementos de la situacin y las relaciones entre s (definicin detringulo issceles, mediatriz de un segmento, eje de simetra, altura de untringulo). En este sentido, ser capaces de plantearse problemas nuevos,representarlos mentalmente y resolverlos implica superar los aspectos par-ticulares de la situacin.

Capacidades de comunicar y explicar matemticamente. En este caso, es-tableciendo un tiempo para la puesta en comn de los procedimientos utili-zados, y subrayando la necesidad de que los alumnos relacionen los procesosde construccin con los significados de las nociones matemticas que los jus-tifican. La capacidad de explicar y comunicar matemticamente lo realizadoimplica usar las nociones y procesos matemticos en la comunicacin y ex-plicacin permitiendo desarrollar su competencia comunicativa.

Actitudes positivas en el alumno en relacin con sus propias capaci-dades matemticas. La posibilidad de admitir diferentes niveles de sofis-ticacin en las respuestas permite que alumnos con diferentes capacidadesmatemticas puedan generar, en sus grupos, resoluciones de la tarea plan-teada. De esta manera, D. Jos, en el propio diseo de la tarea al pedirconstruir tringulos issceles utilizando diferentes procedimientos, pue-de permitir que los diferentes alumnos lleguen a tener confianza en s mis-mos y en su capacidad matemtica permitiendo la mejora de los propiosprocedimientos de construccin y valorando positivamente la incorpora-cin de informacin por parte de los alumnos.

Ser competente matemticamente debe relacionarse con ser capaz de realizardeterminadas tareas matemticas y comprender por qu pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolverlas, as como la posibilidad de argu-mentar la conveniencia de su uso. El significado que debemos darle a la expre-sin matemticamente competente est relacionado por tanto con los cinco


aspectos de la actividad matemtica identificados desde la escena anterior. Laidea de competencia matemtica en los alumnos de Primaria hay que entender-la con varias dimensiones que pongan de manifiesto:

La comprensin conceptual.

Llevar a cabo procedimientos y algoritmos de manera flexible, eficaz yapropiadamente.

Habilidades de comunicacin y argumentacin matemtica.

Pensamiento estratgico: formular, representar y resolver problemas.

Tener actitudes positivas hacia las situaciones matemticas.

Desde este punto de vista, el logro de competencia matemtica se vincula aldesarrollo de las diferentes dimensiones de manera integrada.

2.1. Comprensin conceptual

Una dimensin de la competencia matemtica del alumno es la comprensinconceptual que ste puede desarrollar y depende de cmo representa mental-mente y relaciona las diferentes partes del contenido matemtico y lo usa en laresolucin de problemas (se puede ver el desarrollo de esta idea en el dominiodel sentido numrico en Llinares, 2001). El procedimiento de resolucin pro-porcionado por el grupo de Pepa en la clase de D. Jos muestra, en cierta me-dida, esa capacidad de relacionar partes del conocimiento matemtico pararesolver el problema planteado. Es una exigencia para el profesor la posibilidadde que entre los diferentes procedimientos de resolucin de las tareas matem-ticas propuestas se puedan llegar a presentar y discutir aquellos procedimientosque pongan de manifiesto relaciones entre conceptos que son usados como he-rramientas para resolver la tarea.

Desde este punto de vista, la tarea 2 de la escena 1 solamente exige memorizarun procedimiento y ser capaz de repetirlo. Por otra parte, la tarea 3 modificadapor D. Jos, al permitir la generacin y discusin de diferentes procedimientos,proporciona un espacio para el aprendizaje mucho ms poderoso al poder mostrarla relacin entre diferentes nociones matemticas como instrumentos de resolu-cin del problema propuesto. En este sentido, el significado de frases como com-prender bien est vinculado a las relaciones entre las partes de conocimiento quese establezcan y usan.

Desde el punto de vista de las producciones de los alumnos, los estudiantesen la escena 1 muestran que ven las conexiones entre conceptos y procedimien-tos relativos a la nocin de tringulo issceles, simetra, circunferencia y radio,adems de proporcionar argumentos y justificaciones de por qu pueden usar di-chos conceptos para conseguir la construccin pedida. Una inferencia que pode-mos hacer es que los alumnos pueden estar construyendo nuevo conocimiento alestablecer relaciones entre diferentes conceptos y procesos matemticos y gene-rando una comprensin ms amplia de esta parte de las matemticas escolares.


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2.2. Desarrollo de destrezas procedimentales

El desarrollo de las destrezas procedimentales se refiere a conocer los proce-dimientos matemticos, conocer cmo y cundo usarlos apropiadamente, y serflexible ante la posibilidad de adaptarlos a las diferentes tareas propuestas. Es de-cir, la destreza en realizar los procedimientos de manera flexible, correcta y efi-caz. En cierta medida, el desarrollo de las destrezas procedimentales debe estarvinculado con la comprensin conceptual de los conceptos que fundamentan losprocedimientos. Lo descrito en la escena 1 relativo al procedimiento de cons-truccin de figuras geomtricas pone de manifiesto que el uso eficaz y flexible delos procedimientos de construccin de figuras geomtricas est vinculado a la ca-pacidad de relacionar diferentes conceptos matemticos. Esta caracterstica tam-bin debe manifestarse en el dominio de la aritmtica. Por ejemplo, el desarrollode los significados vinculados a los algoritmos de clculo debe permitir entenderlos efectos producidos por ciertas manipulaciones de los nmeros cuando reali-zamos los clculos. La escena 2 anterior describe una de estas situaciones.

En relacin con los procedimientos de resolucin presentados por los alum-nos, D. Jos cree que algunos de ellos pueden entenderse desde el punto de vis-ta de que las nociones matemticas y algunos contenidos procedimentalesproporcionan a quienes aprenden verdaderas herramientas de resolucin mate-mtica. Ver las nociones y procedimientos matemticos como herramientas queayudan a resolver problemas matemticos implica considerar que los diferentescontenidos de las matemticas escolares estn intrnsecamente relacionados y,por tanto, cuando se piensa en el diseo de las tareas a presentar a los alumnosse debera tener presente esta caracterstica de la naturaleza de las matemticas.

En el dominio de la aritmtica, una de las caractersticas del desarrollo delsentido numrico est vinculado a la capacidad de realizar juicios razonados so-bre la idoneidad de los resultados (Llinares, 2001). Desde este punto de vista,determinados algoritmos deben ser vistos como procedimientos generales quepermiten conectar diferentes dominios numricos. Un ejemplo puede ser el al-goritmo de Euclides para la divisin, y su adaptacin curricular en Primaria quees introducida en 4 curso y la propiedad fundamental de la divisin entera connmeros naturales, pero que luego debe ser retomada como un argumento jus-tificativo para determinar el tipo de unidades del sistema de numeracin decimalque son manejadas en la divisin con decimales.

a b a = b c + r

r c a k = (b c + r) k

a k = b k c + r k

(En la escena 2: 7,304 dividido por 23,1 ha sido transformado en 73,04 di-vidido por 23,1, al multiplicar dividendo y divisor por 10, por lo que el resto dela segunda divisin es 10r)


La necesidad de que los alumnos lleguen a manejar de manera eficiente losprocedimientos y las manipulaciones que se realizan en el desarrollo de los al-goritmos se pone de manifiesto en la escena 2 descrita con anterioridad. Juntocon el uso flexible y competente de los algoritmos otro aspecto que ayuda a ca-racterizar el desarrollo de las destrezas procedimentales es la posibilidad de quelos estudiantes puedan usar una variedad de estrategias mentales, con lpiz y pa-pel, o usando calculadoras.

El desarrollo de las destrezas procedimentales por consiguiente debe conse-guirse en relacin con la comprensin conceptual. La comprensin hace que laaplicacin de los procedimientos sea ms flexible e incluso ayuda a su uso id-neo como instrumentos de resolucin de las tareas matemticas. De maneraidntica, la destreza en el manejo de un determinado nivel de los algoritmos(por ejemplo, la propiedad de la divisin eucldea con los nmeros naturales)puede ayudar al desarrollo de la comprensin conceptual (por ejemplo, la rela-cin entre dividendo, divisor, cociente y resto en una divisin con decimales).En la escena 2 anterior es difcil que Pepa y Marta puedan desarrollar una plenacomprensin de la divisin con decimales si no desarrollan cierta destreza pro-cedimental cuando estn trabajando la divisin entera en el dominio de los na-turales. Una caracterstica de considerar la relacin entre el desarrollo de lacomprensin conceptual y el desarrollo de las destrezas procedimentales es quecuando los alumnos no tienen una comprensin conceptual de los algoritmosdeben memorizar los pasos y necesitan mucha prctica. Si los alumnos com-prenden es ms difcil que olviden algn paso o pueden ser ms flexibles a la ho-ra de aplicar los algoritmos en situaciones distintas. Pero no hay que olvidar quesi un alumno memoriza los pasos de un algoritmo sin comprenderlos pero llegaa manejarlo eficazmente (pensar, por ejemplo, en el algoritmo de la resta lle-vando), luego resulta muy difcil introducirle en la necesidad de comprender porqu funciona.

Cuando las destrezas procedimentales se aprenden de manera aislada, comopor ejemplo la tarea 2 en relacin al procedimiento de construccin de los trin-gulos issceles en el escena 1 o como la regla de mover las comas en la divisinde nmeros decimales en la escena 2, son ms fciles de olvidar o de confundiry por tanto el aprendizaje de nuevas ideas matemticas se convierte en una la-bor ms dura. Adems, con estos planteamientos se transmite una concepcinsobre las matemticas escolares como si fueran una coleccin de recetas y pro-cedimientos matemticos sin relacin y que la nica forma de aprenderlos es me-morizando.

El aprendizaje de procedimientos matemticos (por ejemplo, procesos deconstruccin de figuras geomtricas o los algoritmos en el dominio de la arit-mtica), estableciendo una red de relaciones entre las diferentes nociones estu-diadas durante toda la etapa, puede ayudar a que los alumnos desarrollen unaverdadera capacitacin matemtica favoreciendo el uso de diferentes nocionesmatemticas como instrumentos en la resolucin de problemas.


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2.3. Comunicar, explicar y argumentarmatemticamente

La habilidad de explicar y justificar los procesos y resultados de las tareas seapoya en la capacidad de establecer relaciones entre las nociones y procesos ma-temticos. El desarrollo de esta capacidad se desarrolla a lo largo de toda la eta-pa y se apoya en la posibilidad de que el profesor proporcione regularmenteoportunidades para que los alumnos puedan hablar de los conceptos y procedi-mientos que han utilizado y proporcionar razones de por qu han hecho lo quehan hecho. En la escena 1, los alumnos en la clase de D. Jos saban que, pornorma, se esperaba de ellos que justificaran y aclararan a sus compaeros lo quehaban hecho. Para D. Jos que los alumnos lleguen a ser capaces de justificar yexplicar sus ideas tambin tena como objetivo permitir que clarificaran sus ra-zonamientos, lo que mejoraba la comprensin conceptual de los estudiantes.

La capacidad de comunicar, explicar y argumentar matemticamente signifi-ca que los estudiantes deben llegar a ser capaces de proporcionar suficientes ra-zones para que sus compaeros y el profesor puedan llegar a intuir por qu hanhecho lo que han hecho. Es en este sentido en el que el contenido de las inter-acciones establecidas en los debates de las escenas descritas antes deben permi-tir que los estudiantes usen conceptos y procedimientos para explicar y justificar,relacionndolos con lo que ya conocen. Por ejemplo, en la escena 1, el hechode conocer la definicin de tringulo issceles no est relacionada directamentecon la idea que se tiene de un eje de simetra. La nocin de mediatriz de un seg-mento es precisamente la que permite establecer la conexin entre la definicinde tringulo issceles y la nocin de simetra permitiendo generar un proceso deconstruccin de la figura. En la escena 2, la relacin entre la nocin de valor deposicin en nuestro sistema de numeracin decimal y la propiedad fundamentalde la divisin entera no es del todo explcita en el algoritmo de la divisin connmeros decimales. Es esta relacin la que se convierte en el contenido de lasinteracciones de los alumnos en los momentos de argumentar y justificar lo quehan hecho o no han podido hacer.

Entendido de esta manera, el desarrollo de las capacidades de comunicar yexplicar matemticamente es un aspecto clave de la capacitacin matemtica delos alumnos ya que:

Apoya y ayuda a desarrollar la comprensin conceptual al ser un contextoen el que se establecen relaciones entre conceptos y procesos.

Desarrolla las destrezas procedimentales por ser un contexto que favorecela clarificacin y justificacin de los procedimientos empleados.

En este sentido, los estudiantes que desarrollan sus propios procedimientosde resolucin de los problemas, ms que imitar el procedimiento dado en el li-bro de texto, deben reflexionar sobre los significados implicados (en el procesode construir en la escena 1 o en las operaciones con decimales en la escena 2) yaque compartir su trabajo implica ms que slo mostrar el procedimiento


seguido, implica explicar y justificar. En este sentido la comunicacin es necesa-ria para construir competencia matemtica.

2.4. Pensamiento estratgico: capacidad de formular, representar y resolver problemas

Todas las capacidades anteriores se manifiestan en la habilidad de los estu-diantes de plantearse, representarse y resolver problemas. Para formular un pro-blema los alumnos deben ser capaces de identificar aquello que puede serrelevante y de establecer relaciones, por consiguiente un aspecto de esta capaci-dad se manifiesta cuando los alumnos llegan a ser capaces de identificar estruc-turas generales en situaciones diferentes. Ejemplos de esto se muestran en lasescenas anteriores. Mientras en la escena 1 algunos alumnos podan identificarrelaciones generales que les permitan formular el proceso de construccin, re-lacionando diferentes nociones, en la escena 2 la imposibilidad de identificar unaestructura general en el dominio de la aritmtica en las dos situaciones de la di-visin entre los nmeros naturales y la divisin entre nmeros decimales generadificultades a la hora de interpretar el tipo de unidad que se est manejando encada paso del algoritmo de la divisin (significado del sistema de numeracindecimal). En este sentido es en el que hay que entender la capacidad de identi-ficar estructuras comunes en representaciones y contextos diferentes.

Otro aspecto importante del pensamiento estratgico est relacionado con lageneracin de flexibilidad en la resolucin de problemas no rutinarios. La tarea3 presentada por D. Jos a sus alumnos puede ser considerada una tarea no ru-tinaria frente al tratamiento dado a las tareas presentadas en la escena 2. La ca-racterizacin de problema no rutinario est vinculada a la necesidad delestudiante de inventarse una forma de enfrentarse al problema. Una manera enla que se manifiesta este aspecto de ser capaz matemticamente es cuando losalumnos la usan para elegir entre diferentes aproximaciones a la resolucin delproblema. Por ejemplo, los alumnos del primer ciclo de Primaria suelen utilizardiferentes procedimientos de contar para resolver problemas de estructura adi-tiva. As, ante un problema como:

Pedro tiene 8 canicas. Su mam le ha dado algunas y ahora tiene 12. Cun-tas canicas le ha dado su mam?

Un alumno puede, usando los dedos para llevar la pista de los nmeros con-tados, contar desde 9 hasta 12, levantando un dedo cada vez que se pronunciaun nmero: nueve, diez, once y doce. Luego mirar cuntos dedos tiene le-vantados y responder cuatro. Sin embargo este procedimiento de contar pue-de resultar infructuoso cuando la diferencia entre ocho y doce sea tanta que leimpida usar los dedos. Por ejemplo, ante el siguiente problema:

Pedro tiene 7 canicas y su mam le da algunas. Ahora tiene 16. Cuntas ca-nicas le ha dado su mam?


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Un alumno con flexibilidad en el uso de los procedimientos de contar, y re-presentndose el problema mentalmente de manera que pueda ver la relacinentre el 16 y el 7 de otra manera, puede llegar a utilizar el procedimiento queconsiste en ver que el doble de 7 es 14 y dos ms son 16. El uso flexible de losprocedimientos de contar (contar hacia delante, contar hacia atrs, el uso de do-bles, el uso de derivados de los dobles, etc.) en funcin del problema presenta-do es tambin una manifestacin del uso flexible de diferentes procesos deresolucin de problemas apoyado en la capacidad de representarse mentalmen-te los datos del problema de manera idnea.

2.5. Desarrollo de actitudes positivas hacia la propiacapacidad matemtica. Confianza matemticaen uno mismo

El desarrollo de actitudes positivas hacia las matemticas se relaciona con ver-se a uno mismo capaz de resolver las tareas matemticas y ser capaz de aprender matemticas considerando til y con sentido el contenido matemtico. De-sarrollar esta disposicin positiva hacia el aprendizaje de las matemticas y laspropias matemticas requiere que los alumnos puedan tener oportunidades dedotar de sentido al contenido matemtico y de tener la oportunidad de aportaral proceso de generar significado matemtico. La valoracin de las aportacionesde los alumnos debe hacerse desde lo que realmente puede estar aportando alproceso de establecer conexiones o de comunicar. Entendidas de esta forma, eldesarrollo de actitudes positivas est vinculado al tipo de oportunidades que elprofesor presenta en la clase y al tipo de tareas matemticas que se les demanda.Difcilmente un alumno podr desarrollar actitudes positivas hacia su propia ca-pacidad matemtica si el nico tipo de problemas y tareas que el profesor pre-senta son algortmicas. La posibilidad de resolver problemas con diferentesniveles de exigencia matemtica junto a la estructura de interaccin que un pro-fesor construya en su aula son por tanto elementos importantes en el desarrollode las actitudes. En estos momentos se est empezando a asumir que la disposi-cin de los estudiantes hacia las matemticas es un factor importante en la de-terminacin de su xito educativo.

2.6. Caractersticas del desarrollo de la competenciamatemtica

En la descripcin de las dimensiones de lo que significaba llegar a ser mate-mticamente competente se han ido desgranando algunas caractersticas esen-ciales. Algunas de estas caractersticas son:

Las diferentes dimensiones a travs de las que se define deben desarrollar-se al mismo tiempo ya que estn entrelazadas.


Llegar a ser competente matemticamente es un proceso largo que duratoda la vida escolar.

La competencia matemtica no es un asunto de todo o nada.

De ah que el maestro deba ser consciente de estas caractersticas a la hora deplanificar la enseanza e interpretar las producciones de los alumnos en cadamomento.

Desde esta perspectiva, el desarrollo de la competencia en matemticas estvinculado a la relacin entre las diferentes dimensiones que la constituyen y seapoya en el hecho de establecer relaciones entre diferentes nociones y procedi-mientos matemticos. Como se ha descrito en la escena 1, la posibilidad de re-lacionar y conectar cosas que ya se conocen, permitiendo ver las situacionesproblemticas de una manera diferente, constituye el motor del desarrollo de lasdiferentes dimensiones en las que hemos caracterizado la competencia matem-tica. En la escena 2, si Pepa y Marta hubieran tenido la posibilidad de estable-cer relaciones entre el significado del sistema de numeracin decimal y lamanipulacin de los smbolos en el algoritmo de la divisin con decimales ha-bran podido desarrollar nueva comprensin en este nuevo contexto y, por tan-to, saber por qu funciona el algoritmo y llegar a realizarlo ms eficazmente y,posiblemente, desarrollar una actitud ms positiva hacia lo que estaban apren-diendo. As, como sucede en la escena 1, la evidencia de la competencia, mani-festada a travs de la explicacin proporcionada dirigida a poner de manifiestoel porqu del proceso de construccin seguido por el grupo de Pepa, se derivade las conexiones realizadas entre nociones y procesos ya conocidos.

Una manera de ver cmo y qu conexiones realizan las personas es a travs dela comunicacin y explicacin de lo realizado. En la escena 1 la comunicacin yexplicacin del proceso de construccin utilizado por el grupo de Ana permitial grupo de Antonio relacionar la definicin del tringulo issceles con el signifi-cado de los radios en las circunferencias. Esta conexin les permiti mejorar suproceso de construccin permitindoles generar nueva comprensin. Por otraparte, la exigencia de la comunicacin hace que los alumnos tengan que pensarsobre lo hecho y puede que tengan que pensar sobre lo realizado desde puntos devista diferentes como consecuencia de la exigencia de tener que explicar y comu-nicar a sus compaeros desarrollando aspectos del pensamiento estratgico.

3. Las tareas matemticasLos estudiantes aprenden desde lo que hacen en clase. De ah la importancia

de la tarea que el profesor propone y cmo es implementada en el aula, ya quelas tareas que se les pide a los alumnos determinarn lo que harn. La impor-tancia de considerar conjuntamente la caracterstica de la tarea y cmo es usadaen el aula deriva del hecho de que a veces la naturaleza de las interacciones en-tre el profesor y los estudiantes hace que se reduzca la demanda de la tarea. Por


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tanto, la percepcin que los alumnos tengan de las matemticas escolares se ge-nera desde el tipo de trabajo que ellos hacen.

3.1. El contenido matemtico en las tareas: instrumentos de aprendizaje

Las tareas que aparecen en las escenas descritas al principio del captulo tie-nen cosas semejantes y cosas diferentes que hacen que se constituyan en opor-tunidades de aprendizaje distintas para los alumnos. Los dos profesores tenanclaramente definidos los objetivos de aprendizaje lo que no determina necesa-riamente lo que las tareas elegidas pueden llegar a demandar del alumno.

En la escena 1, D. Jos tena definido sus objetivos para esta leccin in-tentando que sus alumnos interpretaran los dibujos en trminos geom-tricos reconociendo visualmente propiedades geomtricas, todo esto en elcontexto de realizar construcciones geomtricas en el dominio de los po-lgonos (en este caso con la construccin de tringulos issceles).

En la escena 2, D Ins pretenda que sus alumnos manejaran eficazmen-te el algoritmo de la divisin con nmeros decimales como un instrumen-to necesario para el desarrollo posterior en el dominio de los tantos porcientos y la proporcionalidad.

Mientras que en las dos escenas las tareas planteadas por los profesores pue-den ser vistas intentando apoyarse sobre el conocimiento previo de los alumnos,lo que parece exigir a los alumnos es diferente. En los dos casos los profesoreshan intentado disear o elegir las tareas de manera que hubiera un conocimien-to previo de los estudiantes que les permitiera enfrentarse a la resolucin. En laescena 1 las tareas propuestas por D. Jos se apoyan en el conocimiento de losalumnos de la definicin de tringulo issceles, el significado de la mediatriz yde la circunferencia y sus elementos y en el manejo de la regla y el comps. Enla escena 2, las tareas propuestas se apoyan en el conocimiento por parte de losalumnos del algoritmo de la divisin con nmeros naturales.

Sin embargo, una diferencia entre las tareas propuestas en las dos escenas ra-dica en lo que se les pide a los alumnos. En la escena 2, las tareas propuestas con-llevan el que los alumnos realicen multitud de clculos y puedan llegar a sereficaces y rpidos en la resolucin de divisiones con decimales. Las tareas estn se-cuenciadas para conseguir este objetivo, y por tanto el alumno lo nico que tieneque hacer es memorizar unos pasos y aplicarlos cada vez en situaciones nuevas.Las tareas as planteadas tienen un objetivo claramente definido y los alumnos notienen la oportunidad de problematizar la situacin. Hay un procedimiento (re-presentado por la regla de dividir nmeros decimales) que hay que aplicar a dife-rentes cuentas. Las tareas proporcionan la posibilidad de practicar dichoprocedimiento. En la escena 1, la tarea est diseada de manera que permite a losalumnos problematizar la situacin. No hay predefinido un procedimiento que


hay que aplicar. La tarea permite que los alumnos busquen diferentes procedi-mientos y para ello est diseada para que piensen en un proceso de solucin msque en aplicar una receta ya dada. La posibilidad de resolucin de la tarea se apo-ya en que los alumnos establezcan relaciones de manera significativa entre nocio-nes que ya conocen para la resolucin de la situacin planteada.

Adems, la tarea planteada y su uso en el aula les exige reflexionar sobre la ma-nera en que han realizado la construccin, sobre cmo pueden relacionar proce-dimientos alternativos y cmo lo que ya conocen puede ser usado pararepresentar de una manera nueva el problema planteado. Un ejemplo de lo quepuede producir este uso de la tarea lo tenemos en la escena 1 con la modificacindel proceso de construccin generado por el grupo de Antonio una vez han es-cuchado cmo el grupo de Ana haba realizado la construccin. Y, cmo el gru-po de Pepa haba relacionado las ideas de simetra, mediatriz de un segmento yla definicin de tringulo issceles para realizar la construccin. En cierta medi-da, los estudiantes de la clase de D. Jos estn construyendo nuevo conocimien-to al establecer vnculos entre lo que ya conocan para resolver la tarea planteada.

Por otra parte, en la identificacin de las tareas de construccin que D. Josplantea en su planificacin considera clave que los estudiantes relacionen la fi-gura construida con el proceso de construccin, debiendo validarse el procedi-miento. En este proceso hay que diferenciar dos momentos en la evolucin delsignificado terico de una construccin:

Una construccin se concibe como un proceso concreto para realizar undibujo que se justifica por la aceptabilidad del producto final.

Una construccin se concibe como un procedimiento terico, justificadopor un teorema (relacin entre propiedades).

La relacin entre estos dos significados del proceso de construccin se ponede manifiesto con los procedimientos usados por el grupo de Antonio antes ydespus de intervenir Ana.

Uno de los objetivos de D. Jos en las tareas de construccin es que losalumnos vinculen los aspectos visuales y tericos de la geometra para:

Reconocer visualmente propiedades geomtricas.

Interpretar los dibujos en trminos geomtricos.

Realizar las construcciones.

Mientras esta idea influye a la hora de implementar la tarea en el aula ya queexige dedicar un tiempo para que los alumnos expliquen y desarrollen argu-mentacin matemtica, en la escena 2 establecer relaciones entre nociones yaconocidas no es un objetivo explcito. As, la no consideracin de la relacinexistente entre el procedimiento de dividir nmeros decimales, los significadosasociados al valor de posicin del sistema de numeracin decimal y su relacincon la propiedad fundamental de la divisin entera hacen que los alumnos notengan la oportunidad de relacionar estas diferentes nociones en el dominio de


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la aritmtica, convirtiendo su actividad matemtica derivada de la tarea en unade carcter memorstico.

Estas escenas determinan el significado que se puede asociar al contenidomatemtico cuando se le ve como instrumento en la resolucin de problemas dematemticas. El contenido matemtico visto como instrumento debe ayudar aresolver problemas de varias maneras. La manera en la que los alumnos hacenuso del contenido matemtico para resolver los problemas de matemticas de-termina la forma en la que estn pensando. De ah que llegar a ser matemtica-mente competente est influenciado por el uso del contenido matemtico comoinstrumento. Es decir, los instrumentos que los alumnos usan (por ejemplo, lasnociones matemticas usadas por el grupo de Pepa en la escena 1 para construirtringulos issceles) determinan la forma en que el problema es visto, de ah supotencialidad para el aprendizaje.

4. El aula de matemticasDado que estamos asumiendo que el aprendizaje de las matemticas se de-

sarrolla interactivamente a lo largo del tiempo, las caractersticas de las tareasmatemticas no aseguran por s mismas el desarrollo de la competencia mate-mtica. Como hemos visto, el hecho de que las tareas se construyan conside-rando el conocimiento previo de los alumnos no asegura que durante suimplementacin en el aula se mantenga el nivel de exigencia cognitiva. En estesentido es en el que decamos en la introduccin de este captulo que el aula dematemticas debe verse como un sistema en el que todos los elementos que in-tervienen (profesor, alumnos, tareas matemticas, interacciones entre ellos) ayu-dan a caracterizarlo como un sistema. La caracterizacin del aula de matemticascomo un sistema se apoya en el establecimiento de unas determinadas normassociomatemticas que caracterizan el tipo de interacciones que se dan en estesistema particular.

4.1. Normas sociomatemticas

La caracterizacin de las interacciones entre el maestro, los alumnos y el conte-nido matemtico para mantener el nivel de exigencia cognitiva de una tarea, cuan-do se implementa en el aula, ayuda a determinar una determinada cultura. Lacultura del aula puede ser entendida como el conjunto de significados compartidosy que determinan una manera de comportarse. Algunas caractersticas son:

Proporcionar un determinado tipo de soporte para el desarrollo de la tareacomo ofrecer ideas, plantear problemas similares o pedir ideas de otros. Por ejemplo en la escena 1 cuando D. Jos ayuda a sus estudiantes a que ra-zonen a travs del problema planteado permitindoles establecer relacionesentre las estrategias de construccin planteadas, sin indicar en ningn


momento un procedimiento estndar de resolucin. As, al proporcionar alos estudiantes tiempo para explicar y comparar diferentes procedimientosde construccin genera la oportunidad de desarrollar nuevas relaciones con-ceptuales y poder representarse el problema de manera diferente (pensa-miento estratgico). En la escena 2, D Ins no proporcion a sus alumnosla indicacin para explicitar la relacin que existe entre la manipulacin delas comas en la expresin de los nmeros decimales y el significado de lasunidades en el sistema de numeracin decimal. Explicitar la relacin entre lapropiedad fundamental de la divisin entera con los nmeros naturales y elalgoritmo de la divisin con decimales hubiera permitido a Pepa y Martapoder dotar de sentido a los resultados de la divisin (cociente y resto).

Proporcionar tiempo a sus alumnos para mejorar sus propios procedimientosal permitirles escuchar e interpretar las respuestas de sus compaeros. Laposibilidad de utilizar un tiempo para la discusin de mltiples estrategiasde resolucin proporciona la oportunidad de que los alumnos puedan me-jorar sus propuestas. Un ejemplo de ello es la mejora del procedimientode construccin puesto de manifiesto por el grupo de Antonio en la esce-na 1. Antonio us una idea expresada en la explicacin del proceso deconstruccin realizado por el grupo de Ana, lo que le permiti relacionarla idea de que los radios en una circunferencia miden todos lo mismo conla definicin de tringulo issceles.

Mantener la exigencia de que los alumnos proporcionen explicaciones, argu-menten, justifiquen y expliquen de manera adecuada los procedimientos se-guidos. Con esta exigencia en mente el maestro puede centrar el contenidode las interacciones entre los alumnos y l mismo en el contenido mate-mtico relevante y no simplemente en la descripcin superficial de pasosen un procedimiento. Es decir, las tareas y el contexto de aprendizaje quese genera con su implementacin en el aula deben crear la oportunidad pa-ra que los alumnos reflexionen sobre ideas matemticas importantes. Lasescenas del principio del captulo describen dos contextos en los que se ge-nera la posibilidad de reflexionar sobre ideas matemticas importantes. Enun caso con xito y en el otro de manera infructuosa.

As, desde estas caractersticas anteriores podemos identificar algunas normassociomatemticas que ayudan a que los alumnos puedan llegar a ser matemti-camente competentes:

El convencimiento de que las ideas expuestas y los mtodos usados debenser valorados por la clase entera.

Los alumnos eligen y comparten diferentes mtodos de resolucin.

Los errores son aspectos del proceso desde los que aprender.

La argumentacin y explicacin matemtica es la que fundamenta la co-rreccin del error.

Por una parte, si la comunicacin y la explicacin ayuda a que se fomentenlas conexiones y relaciones entre nociones y procedimientos matemticos, en-


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tonces las aulas de matemticas que potencien que los alumnos se comuniquenayudarn a generar competencia matemtica como la hemos descrito. Desde al-gunas perspectivas tericas, estas caractersticas de las aulas ayudan a constituiruna determinada cultura en el aula de matemticas en la que los alumnos traba-jan de manera interactiva los problemas y explican y reflexionan sobre las res-puestas producidas y los mtodos generados.


ACTIVIDADES: El caso de MiguelProcede del vdeo: Elementos del conocimiento base para la enseanza de lasmatemticas. Conocimiento sobre el aprendizaje y los aprendices. Vdeo 3: Lacomprensin del significado del nmero. Contexto cardinal; LLinares y Sn-chez. 1993. Servicio de medios audiovisuales. Universidad de Sevilla, Espaa.

Informe de una profesora de Educacin Primaria. Este ao tengo un curso de2 de Primaria. Al principio del mes de octubre, cuando los nios ya se habantranquilizado un poco del perodo de vacaciones de verano, retom en la clasede matemticas cosas relativas al sistema de numeracin decimal. Pero pens quesera bueno ver lo que mis alumnos podan recordar de la idea de decena y delos nmeros de dos cifras que estudiamos el ao pasado.

En 1 curso haba estado trabajando con ellos algunas nociones sobre los n-meros de dos cifras y haban conseguido, al final del curso, escribir sucesionesde nmeros de dos cifras, escribir este tipo de nmeros en notacin ampliada yhacan cuentas de sumar sin llevarse bastante bien. Para ello haba seguido lasecuencia propuesta en el libro de texto. Ahora, este ao, para obtener infor-macin sobre lo que recordaban, dise una serie de tareas que normalmente nosola hacer en clase. Las tareas consistan en presentar situaciones de suma y res-ta pero no a nivel simblico sino utilizando referentes distintos para los nme-ros. Las tareas las present utilizando un retroproyector. Los nios estabansentados en grupos de 3 con el material bloques multibase en base 10 delantepara poder manipular. Una de las primeras tareas que presente consista en pre-sentar sobre el retroproyector una cantidad con los bloques multibase y otra ta-pada con una cartulina. Yo les deca oralmente cul era la cantidad total quehaba sobre el retroproyector y les peda que me dijeran cunto estaba tapadopor la cartulina (Tipo de tarea: concreto = oral).

As, en una tarea (14 = 56) present la siguiente situacin:

y dije En total hay 5 decenas y 6 unidades. Cunto hay tapado con la cartulina?.

En la clase haba bloques multibase que los alumnos podan coger cuandoquisieran para responder a las tareas planteadas. Los nios empezaron a trabajary empec a caminar entre ellos para ver lo que hacan. Me acerqu a la mesa enla que estaba Miguel y me pareci que estaba un poco confuso. As que le pre-gunt:

Profesor: cuntas hay destapadas?

Miguel: Una decena y cuatro unidades (sealando las decenas y unidades des-tapadas)

Profesor: Cuntas hay tapadas, pues?

Miguel: ... (Pensando) 6 unidades...? (haciendo referencia al total)

Profesor: (Repitiendo) 5 decenas y 6 unidades...

Miguel: 4 decenas y 2 unidades!

Despus de hacer algunos ejercicios ms de este mismo tipo cambie el forma-to y pens que sera bueno que los alumnos tuvieran delante el total representa-do con los bloques multibase, en vez de drselo slo verbalmente. (Tipo detarea: concreto = concreto ). Entonces, en la siguiente tarea (72 = 34 + _ ;que tambin poda entenderse como 72 34 = _ ) se produjo la siguiente con-versacin con Miguel. Sobre la mesa Miguel tena 6 decenas y 12 unidades.

Miguel: Hay 72 (contando 6 decenas y 12 unidades y colocando 10 unida-des en forma de barrita).

Profesor: Bien, ah tienes 72. Ahora cierra los ojos. (En ese momento separ 3decenas y 4 unidades y tap el resto con una cartulina).

M: (Abriendo los ojos) Cinco barras... ...taquitos cuntos haba?

P: Tenas 72 en total. T dijiste que tenas 72 en total.

M: ...(Mirando las 3 decenas y 4 unidades que tiene encima de la mesa). Esque me has dado ms!!

P: Ah! Te he dado ms?

M: Es que aqu hay 4 y antes haba 2 (sealando las unidades).


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P: Quieres que las contemos otra vez?

M: (Asiente con la cabeza) Ah, ya s! Haba ms taquitos pero los puse todosjuntos y...

P: (Destapando todas las piezas) Cuntalo todo. ...Ah! Ya se lo que pas. Quehaba ms taquitos y los pusiste como una barra.

M: (Contando otra vez las decenas y las unidades)... 12 taquitos.

P: 12 taquitos y... cuntos barras?

M: (Contando de una en una). 6!

En este momento vuelvo a repetir el planteamiento del ejercicio. Le pido quecierre los ojos y tapo unas cuantas decenas y unidades, dejando destapadas 3 de-cenas y 4 unidades.

M: (Despus de abrir los ojos) haba 12 taquitos, no?

P: S, 12 taquitos.

M: (Contando desde 4 hacia adelante, levantando un dedo cada vez que di-ce un nmero. Cuando llega al 12 tiene 8 dedos levantados). 8 taquitos!!!

Miguel repite el mismo procedimiento para las decenas. Cuenta desde 3 ha-cia adelante, levantando un dedo cada vez, cuando llega al nmero 6, mira losdedos que tiene levantados y dice: ...y 3 barras.

Despus de estar con Miguel estuve caminando entre las mesas, mirando, pre-guntando cuestiones, escuchando y sugiriendo nuevas cuestiones. Despus deunos veinte minutos nos reunimos todos juntos. Yo ped a algunos de mis alum-nos que explicaran lo que haban hecho y por qu. Luego les ped que compa-rarn soluciones diferentes. Por ejemplo, cmo es la solucin de Miguel diferentede la de Ana? Despus de dos das de estar haciendo los problemas de restar cam-biando los modos de representacin utilizados he podido trabajar de manera in-dividual con toda la clase de la misma forma en que lo hice con Miguel.

Cuestiones

* En relacin al tipo de tareas usadas

Son tiles este tipo de tareas?

Qu tipo de informacin realmente he obtenido?

Debera haberlas utilizado normalmente en clase? Por qu? Cundo?

En qu medida ha podido influir el diferente formato de representacinde las tareas en la forma de resolverlo de Miguel?

Decir oralmente la cantidad total, como ocurre en la primera tarea, o re-presentar el total de forma concreta para iniciar la tarea, influye para algo?


Hubiera sido ms interesante presentar la segunda tarea como 7 decenas y 2unidades, en vez de 6 decenas y 12 unidades?

Y la relacin entre los nmeros utilizados, ha podido influir en las dudasde Miguel en la segunda tarea?

* En relacin a la forma en que he presentado la tarea (gestin del contenidomatemtico durante la interaccin)

Tendra que haber dicho 56 en vez de 5 decenas y 6 unidades en la pri-mera tarea?

En qu medida ha podido influir esta forma de decir a los nios el n-mero?

He dirigido demasiado la realizacin de la tarea?

Mi intervencin en la primera tarea ha podido influir en la respuesta da-da por Miguel?

Debera haberme callado y esperar?

En la segunda tarea, tendra que haberme esperado a ver lo que deca Mi-guel al darse cuenta de lo que le pasaba con las unidades, en vez de volvera insistir en la presentacin de la tarea desde el principio?

* En relacin al contenido

En qu medida ha sido importante para Miguel darse cuenta de que 6 de-cenas y 12 unidades es lo mismo que 72?

GMEZ-CHACN, I. (2002): Cuestiones afectivas en la enseanza de las Matemticas: Unaperspectiva para el profesor, (pp. 19-59). L.C. CONTRERAS & L. BLANCO (Eds.) Apor-taciones a la formacin inicial de maestros en el rea de Matemticas. Una mirada a laprctica docente. Servicio de Publicaciones: Universidad de Extremadura.

LLINARES, S. (2001): El sentido numrico y la representacin de los nmeros naturales,(pp. 151-176). En E. CASTRO (Ed.) Didctica de la Matemtica en la Educacin Prima-ria. Sntesis: Madrid.


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BIBLIOGRAFA

2C A P T U L OAprendizaje y matemticas

1. Introduccin2. La especificidad y significacin del saber matemtico en

el aprendizaje3. El aprendizaje de las matemticas. Modelos

3.1. Empirismo3.2. Aprendizaje constructivista

4. Un modelo de aprendizaje constructivista enmatemticas: el aprendizaje por adaptacin al medio4.1. Aprendizaje y gestin de variables didcticas

5. Errores y obstculos en el aprendizaje6. Concepciones de los alumnos

6.1. El saber matemtico: fundamento para lamodelizacin y anlisis de las concepciones de losalumnos

7. Aprendizaje y teora de los campos conceptuales7.1. Esquemas. Invariantes operatorios7.2. Campo conceptual de las estructuras aditivas

Bibliografa

Mara Luisa Ruiz Higueras

NDICE


1. IntroduccinCada vez que los profesores y profesoras nos planteamos ensear determina-

dos contenidos matemticos escolares a los alumnos y alumnas de nuestra clase,ponemos en funcionamiento, casi sin pretenderlo, es decir, de modo implcito,una serie compleja de ideas sobre qu significa aprender matemticas y cmo sepuede ayudar a los alumnos en este proceso. Dichas ideas, que hemos ido for-jando a lo largo de nuestra actividad educativa gracias a la experiencia y a la re-flexin, constituyen nuestra concepcin del aprendizaje y de la enseanza. sta,nuestra propia teora, acta, en la mayora de las ocasiones, como nico refe-rente clave para la toma de decisiones sobre qu, cundo y cmo ensear y eva-luar. Es decir, esperamos que nuestro proceso de enseanza genere unaprendizaje en el alumno y diseamos estrategias didcticas de acuerdo connuestra propia teora implcita de cmo se aprenden las matemticas.

As, por ejemplo, un profesor puede creer que si lleva a cabo explicaciones demodo detallado y exhaustivo en la pizarra, sus alumnos, al escucharlo atenta-mente, interiorizarn su explicacin y asimilarn los contenidos matemticos desu discurso: existe un saber objetivo que posee el maestro y aprender es apro-piarse de l para poder reproducirlo con fidelidad. sta es la forma tradicionalde ensear, basada en la transmisin de saberes ya establecidos como forma deperpetuar la cultura matemtica. Otro profesor propondr problemas directa-mente a los alumnos, esperar sus reacciones y observar sus estrategias de re-solucin, interviniendo muy pocas veces, de modo puntual y espordico, nodando las soluciones a los problemas propuestos, sino indicando solamente su-gerencias, y haciendo trabajar por cuenta propia a los alumnos. Estos modelosno son mutuamente excluyentes, aunque poseen caractersticas diferenciadas, dehecho coexisten y se complementan en la mayora de los contextos escolares.

No obstante, como afirma Margolinas1 (1994, p. 100), para una amplia ma-yora de personas, existe frecuentemente una confusin entre aprendizaje y en-seanza, el paso entre lo que el profesor dice y lo que comprende el alumno estconsiderado como despreciable.

Antes de seguir adelante conviene que estudiemos detenidamente el ejemplo 1,donde se presentan dos secuencias de enseanza diferentes para un mismo co-nocimiento matemtico. Su anlisis persigue un objetivo inmediato: observardos concepciones muy distintas de lo que significa, para una profesora, que losalumnos aprendan matemticas en la escuela. Podremos observar cmo, en laprimera situacin, la profesora interviene como poseedora del saber matemti-co, los alumnos aplican las consignas que ella les da. Por el contrario, en la se-gunda, la maestra deja bajo la responsabilidad de los alumnos la bsqueda delconocimiento matemtico puesto en juego: descomponer una coleccin en

1 MARGOLINAS, C. (1993): De limportance du vrai et de faux dans la classe de mathmatiques.Grenoble: La Pense Sauvage.

varias subcolecciones (cuya unin sea equipotente a la coleccin inicial). Estesaber no es mencionado en ningn momento por la profesora. El alumno tie-ne bajo su propia responsabilidad los conocimientos que moviliza.

Objetivos

Estudiar y analizar el proceso de aprendizaje matemtico de los alumnosen situacin escolar.

Analizar la especificidad y significacin del saber matemtico en el pro-ceso de aprendizaje.

Estudiar modelos tericos de aprendizaje con objeto de utilizarlos comoun conjunto de principios que explican el fenmeno del aprendizaje ma-temtico.

Determinar y gestionar las variables didcticas en una situacin de ense-anzaaprendizaje, con objeto de provocar desequilibrios y nuevos apren-dizajes en los alumnos.

Analizar los errores de los alumnos, investigar las causas, determinar losposibles obstculos y reconocer su origen: epistemolgico, didctico, on-togentico.

Estudiar el modelo de concepcin del alumno con objeto de explicar loscomportamientos de los alumnos ante las tareas matemticas que han derealizar.

Estudiar los elementos ms significativos de la teora de los campos concep-tuales con objeto de analizar las complejas competencias que los alumnosdeben desarrollar en el aprendizaje matemtico y la estructura de los pro-blemas escolares.

Llevar a cabo anlisis didcticos a partir de ejemplos y actividades escola-res para comprender y apreciar la pertinencia de los contenidos tericos deeste captulo.

El objetivo que nos proponemos en este tema es estudiar el aprendizaje ma-temtico de los alumnos en situacin escolar, para ello nos aproximaremos amodelos tericos que nos facilitarn su comprensin, a la vez que nos suminis-trarn herramientas de anlisis didctico esenciales para identificar y explicar fe-nmenos relativos a la enseanza y al aprendizaje. Nos ayudaremos conejemplos y actividades para comprender con sentido la modelizacin terica in-troducida.

33Aprendizaje y matemticas

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1 Secuencia de enseanza: Descomposicin de los pri-meros nmeros.

1 fase: La maestra facilita a los nios unas fichas im-presas sobre las que van a llevar a cabo su tarea:

3 + _ = 5 4 + _ = 6

5 + _ = 8 _ + 5 = 7

Indica a los nios que cuenten los objetos que aparecen di-bujados en la primera ficha y les ayuda precisando: Tene-mos tres lpices ms dos lpices, que es igual a cinco lpiceslo veis? Contad: uno, dos y tres; cuatro y cinco. Uno, dos ytres; uno y dos. Ahora esto que hemos hecho lo vamos a es-cribir as: 3 + 2 = 5. Rellenad los huecos que quedan, as ...

2 fase:Se trata de poner en prctica lo que se ha introducidoanteriormente, para ello, los nios han de completar loshuecos que quedan en las igualdades propuestas en di-ferentes fichas anlogas a la anterior.

3 2 5

5 8

2 Secuencia de enseanza: Descomposicin de losprimeros nmeros.

1 fase: Tantos comoLa maestra pone a disposicin de los nios un dado y unacoleccin de numerosas piezas anlogas a las que siguen:

Pide a los nios que, por turnos, tiren el dado y tomenuna pieza de la coleccin que tenga tantos cuadraditoscomo puntos indica el dado.

2 fase: Construccin de la gran ciudadCon todas las piezas que tenemos vamos a construirlos edificios de una gran ciudad. En primer lugar, lamaestra invita a los nios a colocar diferentes piezas so-bre el panel para que comprueben cmo se van cons-truyendo los edificios.

Conocimientos y estrategias que ponenen funcionamiento los nios:

Coordinacin de dos colecciones.

Conservacin de la cantidad de elemen-tos de una coleccin, independiente-mente de su disposicin espacial.

Conteo de elementos de una coleccin.

Cardinacin de colecciones.

Cuando llevan varias jugadas, los nioscomienzan a tener dificultades para en-cajar las piezas de mayor tamao (4 o 5cuadraditos). En este momento se pro-duce un desequilibrio en el procedi-miento de base empleado y surgenpreguntas entre ellos: Podemos cam-biarlas por otras piezas?. La maestra lesindica que pueden cambiar una piezapor varias, siempre que las que tomentengan tantos cuadraditos como la ini-cial, o bien tantos cuadraditos comopuntos obtenidos en el dado.

Conocimientos y estrategias que ponenen funcionamiento los nios:

Conteo de las colecciones de objetosdibujados en la ficha.

Cardinacin de colecciones.

Escritura de los numerales en los hue-cos que aparecen en la ficha.

5 + 4 = 9 3 + 5 = 8

_ + 4 = 9 3 + _ = 8

Copiado caligrfico de las igualdadesexpresadas en la ficha.

2. La especificidad y la significacin del saber matemtico en el aprendizaje

En este captulo nos interesaremos de modo especial por el alumno2 comosujeto cognitivo que ha de aprender significativamente el saber matemtico enuna institucin determinada de enseanza: la escuela.

Esto nos conducir a tratar de dar respuesta a cuestiones tales como:

Bajo qu modelos de aprendizaje se sustenta la enseanza de la matem-tica escolar?

35Aprendizaje y matemticas

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Divide la clase en grupos de 4 alumnos, anota sus nom-bres en una tabla:

Mara Pedro Marta AnaAhora vamos a llevar a cabo un juego: Vais a tirar el dado y, segn los puntos que indique, to-maris una pieza que tenga tantos cuadraditos como eldado y la colocaris sobre un edificio de la ciudad. Ca-da vez que consigis colocar correctamente una pieza,obtendris un punto, que anotaremos en la tabla. Quienobtenga ms puntos, cuando la ciudad est totalmenteconstruida, habr ganado.

3 fase: Elaboracin de mensajes escritosLa profesora har de vendedora de las piezas y, una veztirado el dado, segn los puntos obtenidos, para podercomprar la pieza correspondiente, los nios debennecesariamente escribir un mensaje en el que indiquensu cardinal.

Los nios proceden generalmente del si-guiente modo: si obtienen 5 puntos enel dado, eligen una pieza de 5 cuadradi-tos, si no la pueden encajar en un edifi-cio de la ciudad, sobre ella vancolocando otras piezas de dimensin 2,2 y 1; o bien, 2 y 3, etc. Si al encajarlas,vuelven a tener dificultades las van cam-biando hasta llegar a descomposicionesdel tipo: 1, 1, 1, 1, y 1.

Los mensajes escritos por los nios son deltipo:

Los nios construyen mensajes perfecta-mente adaptados a la situacin, aunque sinreferencia a la escritura convencional, ymensajes prximos a la escritura conven-cional (con ausencia de los signos + e =,que debern ser, posteriormente, institu-cionalizados por la profesora).

2 A lo largo del tema, emplearemos tambin la reduccin del trmino alumno al trmino suje-to como proyeccin de la persona en su dimensin cognitiva.

Ejemplo 1. Anlisis de dos secuencias de enseanza.

Cules son las caractersticas de estos modelos?

Qu modelo de aprendizaje permite a los alumnos construir con sentidolos conocimientos matemticos?

Dado que nos ubicamos explcitamente en la institucin escolar, debemos se-alar dos importantes restricciones que la distinguen de entrada de otros contex-tos designados como de aprendizaje natural (tales como la familia o la sociedad):

Una restriccin temporal: el aprendizaje debe llevarse a cabo en un tiem-po determinado fijado por la institucin.

Una restriccin epistemolgica: el conocimiento adquirido por medio delaprendizaje escolar debe ajustarse a un saber de referencia: el saber mate-mtico (Balacheff, 1996, p. 215)3.

Teniendo en cuenta la restriccin epistemolgica, en didctica de las mate-mticas se plantea la imposibilidad de estudiar los procesos de enseanza yaprendizaje de los saberes matemticos sin disponer de un modelo que d cuen-ta de cmo funcionan stos, de las relaciones entre ellos, y sobre todo de las re-laciones entre el contenido que se va a ensear y la actividad del alumno.

No podemos considerar que el proceso de aprendizaje en matemticas sea su-puesto anlogo al que se podra llevar a cabo en otras disciplinas (lengua, cienciasnaturales, ciencias sociales, etc.), sino que depende del propio saber puesto en jue-go: la matemtica. La matemtica es la esencia de todos los fenmenos didcticos.

Por todo ello y, antes de tratar de dar respuesta a las preguntas anteriores,existen cuestiones fundamentales que debemos abordar previamente, ya que sonbsicas para la concepcin de la enseanza de la matemtica y, en consecuencia,para aprendizaje matemtico de los alumnos:

En qu consiste el conocimiento matemtico?

Qu es saber matemticas?

Para darles contestacin elegimos el modelo general del conocimiento mate-mtico propuesto por Brousseau (1998)4. Segn este investigador: Saber ma-temticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer laocasin de utilizarlos y aplicarlos, es ocuparse de problemas que, en un senti-do a

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