curso sistemas de control

SISTEMAS DE CONTROL I

Grupo de Investigacion en Control Industrial

Area de Automatica

Profesores:

Jose Miguel Ramırez S.

Esteban Emilio Rosero Garcıa

UNIVERSIDAD DEL VALLE

Escuela de Ingenierıa Electrica y Electronica

Santiago de Cali

27 de septiembre de 2007

Contenido

1. Introduccion a los sistemas de control 121.1. Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Clasificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5. Bucla tıpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1. Bucla Tıpica Analoga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.2. Bucla Tıpica Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6. Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7. Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Modelado analogo 332.1. Sistemas analogos en representacion entrada-salida . . . . . . 34

2.1.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.2. Funcion de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.3. Trazado de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . 422.1.4. Algebra de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . 442.1.5. Simplificacion de un diagrama de bloques; entradas

multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.6. Modelado de sistemas fısicos . . . . . . . . . . . . . . . 512.1.7. Graficos de flujo de senal (GFS) . . . . . . . . . . . . 55

2.2. Sistemas analogos en representacion de estado . . . . . . . . . 622.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.3. Representacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.4. Representacion de sistemas en el espacio de estado . . 682.2.5. Diagrama de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2

2.2.6. Ecuacion caracterıstica, valores propios y vectores pro-pios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.2.7. Matrices de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3. Modelado digital 983.1. Modelado del procesador digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1.1. Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.1.2. Representacion matematica de secuencias . . . . . . . . 1013.1.3. Representacion matematica del proceso de muestreo . . 1013.1.4. Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.1.5. Funcion de transferencia discreta . . . . . . . . . . . . 1083.1.6. Reconstruccion de Senales . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.7. Modelado de sistemas de datos muestreados con la fun-

cion de transferencia de pulsos . . . . . . . . . . . . . . 1163.1.8. FdT de Pulsos de Elementos en Cascada . . . . . . . . 1183.1.9. FdT de Pulsos de sistemas Realimentados . . . . . . . 120

3.2. Sistemas discretos en representacion de estado . . . . . . . . . 123

4. Caracterısticas de los sistemas realimentados 1344.1. Sistemas en red abierta y en red cerrada . . . . . . . . . . . . 1354.2. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.3. Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.4. Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.4.1. Perturbacion en G(s) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4.2. Perturbacion en H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.5. Control de la Respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.5.1. Respuesta Transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.5.2. Respuesta Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.6. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5. Analisis de la respuesta en el tiempo 1535.1. Senales de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.2. Respuesta Transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.2.1. Sistemas de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2.2. Sistemas de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . 1575.2.3. Caracterısticas de Respuesta Transitoria . . . . . . . . 1595.2.4. Expresiones Analıticas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.2.5. Especificaciones de funcionamiento para la respuestatransitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.2.6. Sistemas con Ceros y de Orden Superior a 2. . . . . . . 1645.2.7. Polos Dominantes de Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . 1655.2.8. Sistemas de Tercer Orden con un polo real. . . . . . . . 1675.2.9. Sistemas de Segundo Orden Subamortiguados con un

cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.3. Respuesta Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.3.1. Error Permanente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3.2. Clasificacion del Tipo de Sistema . . . . . . . . . . . . 1705.3.3. Error permanente debido a una entrada escalon . . . . 1705.3.4. Error permanente debido a una entrada rampa . . . . . 1715.3.5. Error permanente debido a una entrada parabolica . . 171

5.4. Respuesta Temporal, Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . 1735.4.1. Representacion en el plano Z de las senales. . . . . . . 1735.4.2. Correlacion Plano S a Plano Z . . . . . . . . . . . . . . 1765.4.3. Respuesta al Escalon de Sistemas Discretos . . . . . . . 1835.4.4. Respuesta Permanente Discreta . . . . . . . . . . . . . 1875.4.5. Solucion de las ecuaciones dinamicas; la matriz de tran-

sicion de estado continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.4.6. Solucion de las Ecuaciones Dinamicas Discretas . . . . 1935.4.7. Discretizacion de Ecuaciones Dinamicas de Tiempo Con-

tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6. Acciones basicas de control 2046.1. Accion de Control - PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.1.1. Accion Proporcional P . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.1.2. Accion Integral I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.1.3. Accion Proporcional Integral PI . . . . . . . . . . . . 2106.1.4. Accion Proporcional Derivativa PD . . . . . . . . 2126.1.5. Accion Proporcional Integral Derivativa PID . . . . . 2156.1.6. Implementacion digital de la ley de control PID . . . . 219

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

J. Ramırez y E. Rosero 4 GICI

Curso: Sistemas de Control I

Introduccion

A continuacion una descripcion del curso:Codigo: 710014Creditos: 4Programa: MAESTRIA EN INGENIERIA ENFASIS EN AUTOMATICA(7710), ESPECIALIZACION EN AUTOMATIZACION INDUSTRIAL(5778)Intensidad Horaria: 3 Horas Semanales Teorıa, 1 Hora semanal PracticaPre-requisitos:Perıodo: Febrero-Junio de 2007Observaciones: No es habilitable, Si es validable

La Ingenierıa del Control Automatico juega un papel fundamental en lossistemas y procesos tecnologicos modernos, y los beneficios que se obtienencon un buen control incluyen productos de mejor calidad, menor consumo deenergıa, minimizacion de desechos, mayores niveles de seguridad y reduccionde la polucion.

La dificultad es que algunos de los aspectos mas avanzados de la teorıarequieren una base matematica. Sin embargo, su impacto practico solo sepuede medir por los beneficios que trae en sus aplicaciones. En este cursose presentan los fundamentos de control para sistemas lineales en tiempodiscreto y continuo, muy utiles para posteriormente realizar analisis y disenode estrategias de control aplicadas a un sistema real.

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Mapa conceptual

Figura 1: Mapa conceptual de Sistemas de control I

Objetivos

General: Capacitar al estudiante para el analisis de sistemas de controllineales analogos y discretos, con representacion de entrada salida o de estado.

Especıficos

Emplear la terminologıa utilizada en los sistemas de control analogosy digitales.

Identificar, diferenciar y analizar los elementos y senales de la buclatıpica de control analoga y digital.

Representar, simplificar, analizar y sintetizar un sistema de control pormedio de un diagrama de bloques, diagrama de flujo de senal y diagra-ma de estado.


Deducir el modelo matematico en funcion de transferencia y variablesde estado para sistemas de control analogos y digitales.

Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entrada-salida y de estado.

Analizar el efecto de la realimentacion en el funcionamiento de un sis-tema analogo y digital.

Calcular y analizar la respuesta en el tiempo de un sistema analogo ydigital.

Determinar el efecto de las diferentes acciones de control en el compor-tamiento de un sistema.

Metodologıa y orientaciones para el estudio

Los temas se desarrollaran mediante clases magistrales, trabajo de lec-tura de los estudiantes, ejercicios en clase, ejercicios a desarrollar por losestudiantes, trabajo en el computador y trabajo en un proyecto en el cual seaplicaran los conocimientos adquiridos.

La evaluacion sera:

Evaluaciones parciales: (4 evaluaciones) 80%

Proyectos: 20%

En cada capıtulo proponemos ejercicios y evaluaciones realizadas en anosanteriores, con el objeto que el estudiante los desarrolle como parte de supreparacion y no se debe entregar ningun informe al profesor. Las evalua-ciones se realizaran al finalizar las unidades como se planearon en la pre-sentacion de las unidades. Adicionalmente habra 4 proyectos a desarrollarpor el estudiante, que deben ser entregados oportunamente al profesor delcurso.


Presentacion de las unidades

A continuacion se describe el contenido de cada una de las unidades delcurso:

Unidad 1: Introduccion a los sistemas de control

Definicion, clasificacion, representacion basica, bucla tıpica analo-ga y digital, analisis y diseno de sistemas de control.

Unidad 2: Modelado: analogo

Sistemas analogos en representacion entrada-salida: ecuaciones di-ferenciales, Transformada de Laplace, funcion de transferencia,diagramas de bloques, algebra, modelado de sistemas analogosfısicos, graficos de flujo de senal.

Evaluacion: Parcial 1

Sistemas analogos en representacion de estado: introduccion, con-trol clasico vs. control moderno, definiciones, representacion ma-tricial, representacion en el espacio de estado a partir del sistemay de la ecuaciones diferenciales sistemas monovariables y multi-variables, diagramas de estado, ecuacion caracterıstica, valores yvectores propios, matrices de transferencia.

Unidad 3: Modelado: digital

Sistemas discretos en representacion entrada-salida: modelado delprocesador digital: secuencias, representacion del muestreo, ecua-ciones de diferencia, transformada Z, la funcion de transferenciadiscreta; modelado de los conversores: muestreo y retencion, re-construccion de senales, teorema del muestreo; modelado de sis-temas de datos muestreados: funcion de transferencia de pulsos,elementos en cascada y en realimentacion.

Sistemas discretos en representacion de estado.


Unidad 4: Caracterısticas de los sistemas realimentados


Efectos de la realimentacion en la ganancia, respuesta transitoriay permanente, sensibilidad a los cambios parametricos, perturba-ciones, estabilidad, comparacion.

Unidad 5: Analisis de la respuesta en el tiempo

Respuesta temporal de sistemas analogos: senales de prueba, res-puesta transitoria, respuesta permanente.

Respuesta temporal de los sistemas discretos: representacion en elplano Z de senales, correlacion plano S a plano Z, respuesta tran-sitoria, respuesta permanente.


Respuesta temporal de las ecuaciones dinamicas: la matriz de tran-sicion de estado continua, solucion homogenea y total, solucion delas ecuaciones dinamicas discretas, discretizacion de ecuacionesdinamicas.

Unidad 6: Acciones basicas de control

Control proporcional, integral, derivativo y sus combinaciones; im-plementaciones analoga y discreta.


Glosario

Sıntesis: es el uso de un procedimiento explıcito para encontrar un sistemaque funcione de manera especificada.

Parametros distribuidos: Muchos fenomenos se pueden describir matematica-mente por ecuaciones diferenciales parciales, y tienen como variable internalas variables de espacio.

Parametros concentrados: Estos se pueden modelar por ecuaciones dife-renciales ordinarias, y los eventos se pueden describir por numeros finitos de


cambio de variables.

Determinıstico: si el modelo trabaja con una relacion exacta entre lasvariables derivadas y medidas y no hay incertidumbres.

Estocastico: Un modelo es estocastico si emplea conceptos de probabili-dad y de incertidumbre.

Bibliografıa

1. TEXTO GUIA: KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Au-tomatico, P.H.H., 1997.

2. KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Digital, CECSA, P.H.H., 1997.

3. W. BOLTON, Ingenierıa de Control, Alfaomega, 2a. Edicion, 2001.

4. ERONINI-UMEZ-ERONINI,Dinamica de Sistemas y Control, Thomp-son Learning, 2001.

5. OGATA KATSUSHITO, Ingenierıa de Control Moderno, P.H.H., 3 edi-cion, 1998.

6. OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H,Mex. 1996.

7. PAUL H. LEWIS-CHANG YANG, Sistemas de Control en Ingenierıa,P.H.H., Madrid 1999

8. DORF RICHARD, Sistemas Modernos de Control, Addison-WesleyIberoamericana, 2da edicion en espanol, 1989.

9. GENE F. FRANKLIN, Control de Sistemas Dinamicos con retroali-mentacion, Addison-Wesley Iberoamericana, 1991.

10. KARL J. ASTROM-BJORN WITTENMARK, Computer-ControlledSystems, Pentice Hall Information and Systems Sciences Series. 3raEdicion.


11. SCHULTZ D. and MELSA J., State functions and linear control sys-tems, Mac Graw-Hill Book Company. 1967.

12. SIGURD SKOGESTAD and IAN POSTLETHWAITE, MultivariableFeedback Control, Jhon Wiley & Sons Ltd, 1996.


Capıtulo 1

Introduccion a los sistemas decontrol

Introduccion

El control automatico ha desempenado una funcion vital en el avance dela ingenierıa y la ciencia, es una parte importante e integral de los procesosmodernos industriales y de manufactura. Practicamente, cada aspecto de lasactividades de nuestra vida diaria esta afectado por algun tipo de sistema decontrol. Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos lossectores de la industria tales como control de calidad de los productos manu-facturados, lıneas de ensamble automatico, control de maquina-herramienta,sistemas de transporte, sistemas de potencia, robotica, etc., aun el control deinventarios y los sistemas economicos y sociales se pueden analizar a travesde la teorıa de control automatico.

Debido a que los avances de la teorıa y la practica del control automaticoaportan los medios para obtener un desempeno optimo de los sistemas dinami-cos, tales como mejorar la productividad y eliminar muchas de las opera-ciones repetitivas y rutinarias, los ingenieros y cientıficos deben tener unbuen conocimiento de este campo.

En esta unidad se presentaran las definiciones, las clasificaciones, las re-presentaciones, la bucla tıpica analoga y digital, y de forma general, los pro-cesos de analisis y diseno de los sistemas de control.

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1.1. IMPORTANCIA

Objetivos

1. Conocer la importancia de los sistemas de control en la sociedad.

2. Emplear la terminologıa utilizada en los sistemas de control analogosy digitales. (Conocimiento)

3. Identificar, diferenciar y analizar los elementos y senales de la buclatıpica de control analoga y digital. (Comprension)

Contenidos

1.1. Importancia

1. Los sistemas de control han sido de gran impacto para el desarrollo denuestra sociedad ya que han permitido:

Automatizar tareas humanas repetitivas, tediosas y/o peligrosas.

Trabajar con tolerancias mucho menores, mejorando la calidad delos productos.

Disminuir costos de produccion en mano de obra e insumos.

Mejorar la seguridad de operacion de las maquinas y procesos.

2. Los sistemas de control tienen vastas areas de aplicacion en:Industrias del transporte, incluyendo la aeroespacial; procesos quımicosy biologicos; sistemas mecanicos, electricos y electromecanicos; agroin-dustria, industrias de procesos y de manufactura; sistemas economicos,polıticos y sociales.

3. Los encontramos en nuestra cotidianidad :Desde la nevera hasta el sistema de control de combustion electronicade los automoviles y ası como en nuestro propio cuerpo: control de latemperatura corporal, presion arterial, equilibrio,...

El simple acto de senalar con el dedo es un sistema de control.


1.2. DEFINICIONES

Ahora bien, su aplicacion requiere de varias tecnologıas como la informatica,la electrica, la electronica y las comunicaciones; tambien exige buena funda-mentacion matematica y conocimientos del proceso a controlar.

De lo anterior se deriva que los sistemas de control sean un area multi-disciplinar y transversal a las ingenierıas y a otras ciencias.

1.2. Definiciones

SISTEMA DE CONTROL: Arreglo de componentes fısicos inter-conectados de forma que se puedan comandar dinamicamente.

ENTRADA: Estımulo aplicado al sistema de control para produciruna respuesta especificada.

SALIDA: Respuesta obtenida que puede ser diferente a la especificada.

PERTURBACION: Es una entrada que afecta adversamente a lasalida.

Ejemplos

Sistema de control de excitacion digital, ver figura 1.1.

Entrada ⇒ Voltaje de referencia (Nominal)Salida ⇒ Voltaje en terminalesPerturbacion ⇒ Carga (Corriente de armadura)

Sistema de control de la velocidad en una turbina, ver figura 1.2.Entrada ⇒ Velocidad de referencia (f = 60 Hz.)Salida ⇒ Velocidad en el ejePerturbacion ⇒ Carga (Torque electrico)


1.3. CLASIFICACIONES

Figura 1.1: Sistema de control de excitacion digital. Fuente: [R. C. Schaefer,2001]

1.3. Clasificaciones

Son muchas las clasificaciones posibles de realizar; aquı se presentan al-gunas de mayor interes.

DE ACUERDO A LA ACCION DE CONTROL: Variable queactiva el sistema a controlar.

DE LAZO ABIERTO: Accion de control independiente de la salida;para su buen desempeno se requiere de una buena calibracion; siel proceso a controlar es estable, no hay riesgo de inestabilidad.

DE LAZO CERRADO: Se compara la entrada y la salida y usa ladiferencia (error) como accion de control; se requiere por tanto deuna realimentacion, la cual genera posibilidad de inestabilidad.



Figura 1.2: Sistema de control de frecuencia

DE ACUERDO A LA FUENTE DE ENERGIA del elementoque genera la accion de control:

- Neumaticos (Aire a presion).

- Hidraulicos (Aceite o agua a presion).

- Electricos - Electronicos (Electricidad).

DE ACUERDO A COMO SE GENERA LA ACCION DECONTROL a partir del error:

- Todo - Nada (ON - OFF).

- Proporcional (P), Integral (I), Proporcional Integral (PI), Propor-cional Derivativo (PD), Proporcional Integral Derivativo (PID).

- Adelanto y/o Atraso de Fase.

- RST

DE ACUERDO A LA FUNCION:



SERVOMECANISMO: Busca seguir una entrada variante; la salidaes la posicion y/o sus derivadas; por ejemplo, el sistema de controlde posicion hidraulico, figura 1.3.

Figura 1.3: Servomecanismo de posicion.

REGULADOR: Busca mantener constante la salida, principalmenteante cambios debidos a disturbios; por ejemplo, los sistemas decontrol de tension y frecuencia de los sistemas de generacion; elsistema de control de temperatura, la figura 1.4 muestra un regu-lador de temperatura.

DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES del proceso controlado:

- Parametros Concentrados - Distribuıdos.

- Determinıstico - Estocastico.

- Continuo - Discreto (Flujo del producto).

- Estatico - Dinamico.

- Variante - Invariante.

- Lineal - No lineal.

DE ACUERDO A LA APLICACION INDUSTRIAL:

- De Procesos: temperatura, flujo, presion, PH, nivel, densidad,composicion, viscosidad, color, etc.



Figura 1.4: Regulador de temperatura.

- De Manufactura: Produccion de partes: autos, equipos domesti-cos, etc.

DE ACUERDO A LA ESTRATEGIA DE CONTROL:

- Directo (feedforward) - Realimentado (feedback).

- Serie - Paralelo.

- Centralizado - Distribuıdo

- Cascada, sobrerrango, selectivo, etc.

DE ACUERDO A LAS SENALES INVOLUCRADAS en elsistema de control.

- Monovariable, si el sistema controla una sola variable.

- Multivariable, si tiene multiples entradas y salidas.

- Sistema de control analogo, discreto, de datos muestreados o di-gital, dependiendo del tipo de senal presente en el sistema.

Para esta ultima clasificacion, definamos los tipos de senales:



Senal de tiempo continuo: Se define sobre un rango continuo deltiempo; su amplitud puede ser continua o cuantificada; por ejem-plo, la salida de un conversor D/A es una senal de tiempo continuocuantificada. Ver figura 1.5.

kt

e*(t)

Figura 1.5: Senal de tiempo continuo

Senal analoga: Senal de tiempo continuo con un rango continuo deamplitud; por ejemplo, la salida del sistema de control. Ver figura1.6.

t

e(t)

Figura 1.6: Senal analoga

Senal de tiempo discreto: Solo esta definida en instantes discretosdel tiempo; el tiempo esta cuantificado.

Senal de datos muestreados: Senal de tiempo discreto en un rangocontinuo de valores; por ejemplo, el muestreo de una senal analoga.Ver figura 1.7.

Senal digital: Senal de tiempo discreto con amplitud cuantificada;por ejemplo, la salida de un conversor A/D, la cual es una secuen-cia de numeros binarios. Ver figura 1.8.



kt

e*(t)

Figura 1.7: Senal de datos muestreados

kt

e*(t)

Figura 1.8: Senal digital

Ası, a partir del tipo de senal presente en el sistema, los sistemas seclasifican en:

• SISTEMAS ANALOGOS: Solo contienen senales analogas; sedescriben mediante ecuaciones diferenciales.

• SISTEMAS DISCRETOS: Solo contienen senales discretas; sedescriben mediante ecuaciones de diferencia.

• SISTEMAS DE DATOS MUESTREADOS: Tienen senalesdiscretas y senales de tiempo continuo.

• SISTEMAS DIGITALES: Se incluyen senales de tiempo con-tinuo y senales digitales en forma de codigo numerico.

En este curso se despreciaran los efectos de la cuantificacion de senales enlos conversores A/D y en el calculo de la ley de control en un procesador digi-tal; por ello, a un sistema de control gobernado por un procesador digital desenales (Computador, Microcontrolador, DSP, etc.) se le denominara SIS-TEMA DE CONTROL DIGITAL SCD.


1.4. REPRESENTACION

1.4. Representacion

La representacion mas usual es por DIAGRAMAS DE BLOQUES;estan compuestos por bloques, sumadores, puntos de reparto, flechas y lassenales o variables.

BLOQUES

Entrada→ BLOQUE → Salida

Dentro del bloque se tiene el nombre, la descripcion, el dibujo u operacionmatematica que realiza.

SUMADORES: Suman o restan senales.

+ r+br

b

+

+ r−br

b

−

+ r−b+cr

b

+

c

−

PUNTOS DE REPARTO: Permiten usar una senal varias veces.

C

C

C

C


1.5. BUCLA TIPICA

FLECHAS: Representan la direccion de las senales; esta direccion co-rresponde a la informacion de control, no de potencia.

VARIABLES o senales en el sistema; cuando haya lugar a confusion, seusara como notacion:

Minusculas: Dominio del tiempo.

Mayusculas: Dominio de la frecuencia compleja (S )

En proyectos de automatizacion, los sitemas de control se representan a partirde estandares como el Instrumentation Symbols and Identifications preparadopor la Instrument Society of America (ISA), el cual es un sistema dedesignacion por sımbolos y codigos de identificacion como se muestra en lafigura 1.9.

Identificacion de lazo

Identificacion funcional

101

TIC

Figura 1.9: Normas ISA

El cırculo es el sımbolo general del instrumento. Las letras y numeros en suinterior, el codigo de identificacion. En la identificacion funcional, la primeraletra corresponde a la variable medida del lazo; las restantes indican las fun-ciones del instrumento: Registrador, Indicador, Controlador, Transmisor, etc.El estandar tambien define los sımbolos para los actuadores, sensores prima-rios, procesos y lıneas de comunicacion de senales. La figura 1.10 muestra unejemplo de estos diagramas.

1.5. Bucla tıpica

Veremos las buclas tıpicas para los sistemas de control analogos y digi-tales; como su nombre lo indica, estas buclas se encuentran ampliamente enla industria.


1.5. BUCLA TIPICA

Figura 1.10: Diagrama ISA de un sistema de control

1.5.1. Bucla Tıpica Analoga

La bucla tıpica analoga se muestra en la figura 1.11.Los elementos y senales de la bucla tıpica analoga, se describen a continua-

cion.

CONTROLADOR: Comparador mas el compensador. El comparador ge-nera la senal de error y a partir de ella, el compensador define la senalde control apropiada para compensar las deficiencias de desempeno delsistema.

ACTUADOR: (Elemento final de control). Adecua los niveles de potenciaentre la senal de control y la variable manipulada.


1.5. BUCLA TIPICA

+

-

Elementos de realimentacionSenal derealimentacion

Compensador Actuador Planta

B

R E A M C

error

VariableManipulada

Senal deControl

Disturbio

SalidaControlada

ControladorEntrada deReferencia

Figura 1.11: Bucla tıpica analoga

PLANTA: Representa la maquina o proceso a controlar.

ELEMENTOS DE REALIMENTACION: Son dispositivos que permitenmedir la senal de salida y entregar un valor de magnitud apropiada parael comparador; pueden incluir sensores (captadores de la senal), trans-ductores (adecuadores de la senal) o transmisores de senal.

ENTRADA O REFERENCIA: Es un estımulo del sistema que corres-ponde al valor deseado de la salida.

ERROR: Es la diferencia entre la referencia y la salida.

SENAL DE CONTROL: Es la senal de salida del controlador.

VARIABLE MANIPULADA: Es la variable del proceso que permitevariar la salida controlada.

DISTURBIO O PERTURBACION: Es una senal de entrada al sistemade control que afecta adversamente la salida del sistema; cuando entraen la realimentacion se le denomina RUIDO.

SALIDA O VARIABLE CONTROLADA: Es la cantidad o condicionque se mide y trata de controlar del sistema; representa la respuestadel sistema y puede ser diferente de la entrada deseada.

SENAL DE REALIMENTACION: Es la senal medida de la planta.

Ejemplo:

1. Sistema de control de la Tension: Ver figura 1.12.


1.5. BUCLA TIPICA

Puentecontroladoexcitatriz

Generador

Voltaje enTerminales

Voltaje deCampo

Angulodisparo

Corriente deamadura

Transformador, rectificador, filtro

VoltajeNominal Regulador de tension

Tension DC

Figura 1.12: Bucla tıpica del controlador de tension

2. Sistema de control de velocidad: Ver figura 1.13.

VelocidadReferencia60 Hz

Valvulas yservomotores

Turbina

Velocidadeje

Posicionalabes

Senalposicionvalvula

Tension DCde realimentacion

Torqueelectrico

Sensor Velocidad

Gobernador velocidad

Figura 1.13: Bucla tıpica del controlador de velocidad

1.5.2. Bucla Tıpica Digital

La bucla tıpica digital se muestra en la figura 3.1.5

PROCESADOR DIGITAL: Realiza el algoritmo de control; recibe, proce-sa y entrega senales digitales.

S/H: (Sampler and Holder) Muestreo y Retencion: Convierte la senal analo-ga e(t) en una senal de datos muestreados e(kT ) y extrapola la senalmuestreada un cierto tiempo.

A/D: (Analog to Digital conversor) Conversor analogo a digital: Convierteuna senal analoga en una digital; reliza el proceso de codificacion. Nor-malmente el S/H es parte integral del A/D.


1.6. ANALISIS

S/H A/DProcesadorDigital

D/A

Reloj

Elementos de realimentacion

Actuador Plantar(t) e(t) e*(Kt) e(Kt) a(Kt) a(t) m(t)

d(t)

y(t)

b(t)

SalidaControlada

−

+

Figura 1.14: Bucla tıpica digital

D/A: (Digital to Analog conversor) Conversor digital a analogo: Convierteuna senal digital en una analoga; realiza el proceso de decodificacion.Lleva implıcito el mantenimiento de la senal analoga.

Reloj: Sincroniza los procesos de codificacion y decodificacion.

El A/D puede medir directamente b(t); en tal caso, la comparacion la haceel procesador digital.Si el sistema es multivariable, se tendran circuitos multiplexores y demulti-plexores.

1.6. Analisis

ANALIZAR un sistema es determinarle sus caracterısticas de funcionamien-to que cuantifiquen:

La velocidad de respuesta

Su exactitud permanente

El grado de estabilidad

Se consideraran tres pasos generales para el analisis de un sistema de control:

1. Obtener una idea cualitativa de su funcionamiento; basicamente se lo-gra obteniendo los elementos y senales de la bucla tıpica y observandola secuencia de eventos, luego de una variacion en la entrada deseadao del disturbio.


1.7. DISENO

2. Establecer un modelo matematico que represente al sistema:

- En una representacion entrada-salida, los diferentes componentesdel sistema se representan por funciones de transferencia y seinterconectan construyendose ası un diagrama de bloques o ungrafico de flujo de senal. (Control clasico)

- En una representacion del estado interno del sistema utilizandovariables de estado. (Control moderno)

3. Analizar el sistema mediante:

Enfoque Clasico :

∗ La respuesta en el tiempo.

∗ El lugar geometrico de las raices.∗ La respuesta en frecuencia.

Enfoque Moderno :

{∗ V alores y vectores propios.∗ Respuesta en el tiempo.

1.7. Diseno

DISENAR un sistema de control, es obtener uno que cumpla determi-nadas especificaciones de funcionamiento; las especificaciones de funcionamien-to son los lımites, rangos o cotas de las caracterısticas. Esto se logra ajustandoel controlador.

En el enfoque clasico, el diseno mas usual es por analisis; con cuatro pasosgenerales:

1. Conocer las especificaciones y expresarlas en terminos matematicos.

2. Analizar el sistema; mediante tanteos con la guıa de un metodo de com-pensacion, ajustar el controlador hasta cumplir con las especificaciones.

3. Verificar el funcionamiento mediante simulacion digital para incluirdinamicas no modeladas, no linealidades, perturbaciones, etc, realizarreajustes.

4. Ajuste en sitio, realizar reajustes.


1.7. DISENO

En el enfoque moderno, el diseno se realiza por un procedimiento analıtico,lo que se conoce como Sıntesis.

Resumen

En esta unidad expusimos los conceptos basicos de lo que es un sistemade control. Describimos sus componentes basicos, los clasificamos de acuerdoa las senales que manejan, objetivos de control, dimos varios ejemplos de lavida real, y de forma general describimos el proceso de analisis y diseno deun sistema de control que puede ser aplicado a diferentes ramas de la cienciay la ingenierıa.

Actividades de aprendizaje

1. Realice una lectura reflexiva y crıtica del material del curso.

2. Realice las lecturas complementarias.

3. Una consulta en internet sobre avances de la tecnologıa y los sistemasde control para discutir en clase.

4. La figura 1.15 muestra el diagrama de un sistema de control (Evaluacionano 2003). El desplazamiento de la polea movil es perpendicular al delindicador y el del objeto; x1, x2 y x3 son las posiciones del indicador,objeto y polea movil respectivamente; la tension V1 entre el punto movildel potenciometro y la conexion entre las resistencias R, es proporcionalal desplazamiento x3 en el factor k1; la tension de salida del amplificadores k2 veces su tension de entrada; la dinamica para la velocidad delmotor se rige por la segunda ley de Newton rotacional:

Jdω(t)

dt= k3V3(t)− tL(t) (1.1)

donde J es el momento de inercia equivalente del motor y la carga, k3

es una constante y tL(t) es un par arbitrario y desconocido de carga.El pinon tiene un radio r. Todos los parametros y variables estan enunidades del sistema internacional.


1.7. DISENO

Figura 1.15: Sistema de control

Identifique los elementos y senales de la bucla tıpica realimentada.

5. Identificar los diferentes elementos y senales de la bucla de realimentaciontıpica para:

a) Regulador de Velocidad de Watt. (figura 1.16)

Figura 1.16: Regulador de velocidad de Watt


1.7. DISENO

b) Diagrama esquematico de un sistema de seguimiento del Sol, sinconsiderar el tacometro, (figura 1.17).

Figura 1.17: Sistema de seguimiento del sol. Fuente: [Kuo, 1996]

6. Una Universidad desea establecer un modelo del sistema de control querepresente la poblacion estudiantil como salida, con la poblacion estudi-antil deseada como entrada. La administracion determina el porcentajede admisiones al comparar la poblacion estudiantil actual y la deseada.La oficina de admisiones utiliza entonces ese porcentaje para admitirestudiantes. Trace un diagrama de bloques funcional que muestre laadministracion y la oficina de admisiones como bloques del sistema.Tambien muestre las siguientes senales: la poblacion estudiantil desea-da, la poblacion estudiantil real, el porcentaje deseado de estudiantesdeterminando por la administracion, el porcentaje real de estudiantesgenerado por la oficina de admisiones, el porcentaje de deserciones y elporcentaje neto de influjo. [Nise, 2004]

7. Durante una operacion medica, un anestesista controla la profundidad


1.7. DISENO

de inconciencia al controlar la concentracion de isoflurano en una mez-cla vaporizada con oxıgeno y oxido nitroso, la profundidad de anestesiaes medida por la presion sanguınea del paciente. El anestesista tam-bien regula la ventilacion, el equilibrio de fluido y la administracion deotros medicamentos. Para liberar al anestesista de dedicar mas tiem-po a estas ultimas tareas, y en el interes de la seguridad del paciente,deseamos automatizar la profundidad de la anestesia al automatizar elcontrol de concentracion de isoflurano. Dibuje un diagrama de bloquesfuncional del sistema, mostrando las senales y subsistemas pertinentes(Meier,1992). [Nise, 2004]

8. Un sargento se detenıa en una joyerıa cada manana a las 9 en punto yajustaba su reloj comparandolo con el cronometro del escaparate. Undıa el sargento entro en el comercio y felicito al dueno por la exactituddel cronometro. Esta ajustado con la hora de Arlington? -pregunto elsargento-. No -contesto el dueno- lo ajusto segun el canonazo del fuertea las 5 p.m. Dıgame, sargento por que se detiene todos los dıas y com-prueba la hora de su reloj?. El sargento le contesto, yo soy el artillerodel fuerte. Es la retroalimentacion positiva o negativa?. El cronometrodel joyero se atrasa un minuto cada 24 horas y el reloj del sargento seatrasa un minuto cada 8 horas. Cual es el error total en la hora delcanon del fuerte despues de 15 dıas?. [Dorf, 1989]

9. Adam Smith(1723-1790) analizo el tema de la libre competencia entrelos participantes de una economıa en su libro ”La riqueza de las Na-ciones”. Puede decirse que Smith sugirio que:1) los trabajadores, como un todo, comparan los diferentes empleosposibles y toman aquellos que ofrecen mayor remuneracion, y2) en cualquier empleo el pago disminuye segun aumenta el numero detrabajadores solicitantes. Supongamos que r=total promedio de pagosen todas las actividades, c=total de pagos en una actividad particular;q=afluencia de trabajadores dentro de una actividad especıfica. Dibujeun ciclo de retroalimentacion que represente este sistema. [Dorf, 1989]

Lecturas complementarias


1.7. DISENO

A brief history of feedback control, Capıtulo 1: Introduction toModern Control Theory, en: F.L. Lewis, Applied Optimal Control andEstimation, Prentice-Hall, 1992.

Computer Technology, capıtulo 1, seccion 1.2: Computer ControlledSystems, Theory and Design, Karl Astrom and Bjornn Wittenmark,Prentice Hall,1997.

Referencias

KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Automatico, Prentice Hall1997.

DORF RICHARD, Sistemas Modernos de Control, Addison-WesleyIberoamericana, 2da edicion en espanol; 1989.

NISE, NORMAN, Sistemas de Control para Ingenierıa, Editorial CEC-SA, 3ra Edicion.


Capıtulo 2

Modelado analogo

Introduccion

Para analizar y disenar sistemas de control de altas prestaciones, se debeconocer lo mejor posible la dinamica del sitema obteniendo su modelo matematico.El comportamiento dinamico se describe generalmente por medio de ecua-ciones diferenciales. Ademas, si estas ecuaciones pueden linealizarse, entoncesse puede utilizar la Transformada de Laplace para obtener las relaciones deentrada-salida para los componentes del sistema y los subsistemas en la formade funciones de transferencia. Los bloques de las funciones de transferenciase pueden organizar en diagramas de bloques o en diagramas de flujo desenal para representar las interconexiones de una manera grafica. Los dia-gramas de bloques y de flujo de senal son herramientas muy convenientespara disenar y analizar sistemas de control de altas prestaciones. Notemosque es una representacion de Entrada-Salida. En el modelado de sistemasfısicos consideraremos en esta Unidad los sistemas mecanicos, hidraulicos,neumaticos, termicos y electricos.

La teorıa moderna de control esta basada en el conocimiento del com-portamiento interno de los sistemas, reflejado en las variables que influyenen su dinamica. El conocimiento de la evolucion de todas las variables queinfluyen en la dinamica del sistema, permite efectuar un mejor control delsistema y su utilizacion en el control de sistemas mas complejos. Esta repre-sentacion se aplica de forma directa a sistemas multivariables, no-lineales ocon parametros variantes.En esta unidad se presentara el modelado de los sistemas analogos tanto para

33

2.1. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION ENTRADA-SALIDA

la represetacion entrada-salida y de estado.

Objetivos

1. Representar, simplificar y analizar un sistema de control por mediode un diagrama de bloques, diagrama de flujo de senal y diagrama deestado. Aplicacion

2. Deducir el modelo matematico en funcion de transferencia y variablesde estado para sistemas de control analogos y digitales. Conocimiento

3. Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entrada-salida y de estado. Analisis

Contenido

2.1. Sistemas analogos en representacion entrada-

salida

2.1.1. Transformada de Laplace

Los sistemas fısicos con almacenamiento de energıa, son de naturalezadinamica. Los sistemas dinamicos se describen mediante Ecuaciones Dife-renciales obtenidas al aplicar las leyes fısicas que los rigen. Si son lineales einvariantes en el tiempo, podemos aplicarles a las ecuaciones diferenciales laTransformada de Laplace (T.L) para simplificar su solucion. Esta trans-formada se define por:

£±[f(t)] ≡∫ ∞

0±

e−s tf(t) dt ≡ F (S)

La Trasformada de Laplace existe si y solo si se cumplen las tres condiciones:

f(t) = 0 ∀ t < 0;

f(t) es continua a tramos;

f(t) es acotada exponencialmente : ∃ σ ε R | lımt→∞| e−σtf(t)| = 0



Caracterısticas de la Transformada de Laplace:

1. La Transformada de Laplace convierte las senales temporales en senalesfrecuenciales, funcion de la variable compleja s = σ + jω.

2. Es una transformacion lineal.

3. La operacion derivada temporal, se convierte en la multiplicacion por sen frecuencia. La integracion en la multiplicacion por 1/s en frecuencia;por ello al aplicarla a una ecuacion integrodiferencial, se obtiene unaecuacion algebraica en s.

4. Es invertible y se puede regresar al dominio temporal usando la Trans-formada Inversa de Laplace (TIL):

TL↗ ↘

f(t) F(S)↖ TIL ↙

Ver la tabla de transformadas de Laplace, tabla 2.1 y la de propiedades,tabla 2.2.



f(t) F (s)1 Impulso unitario δ(t) 12 Escalon unitario µ(t) 1

s

3 t 1s2

4 e−at 1s+a

5 te−at 1(s+a)2

6 sinωt ωs2+ω2

7 cos ωt ss2+ω2

8 tn (n = 1, 2, 3, . . .) n!sn+1

9 tne−at (n = 1, 2, 3, . . .) n!(s+a)n+1

10 1b−a

(e−at − e−bt

)1

(s+a)(s+b)

11 1b−a

(be−bt − ae−at

)s

(s+a)(s+b)

12 1ab

[1 + 1

a−b

(be−at − ae−bt

)]1

s(s+a)(s+b)

13 e−at sinωt ω(s+a)2+ω2

14 e−at cos ωt s+a(s+a)2+ω2

15 1a2

(at− 1 + e−at

)1

s2(s+a)

16 ωn√1−ζ2

e−ζωnt sin(ωn

√1− ζ2

)t ω2

n

s2+2ζωns+ω2

17 −1√1−ζ2

e−ζωnt sin(ωn(√

1 − ζ2)t− φ)

ss2+2ζωns+ω2

18 1 − 1√1−ζ2

e−ζωnt sin(ωn(√

1 − ζ2)t + φ)

ω2n

s(s2+2ζωns+ω2)

φ = arctan

√1−ζ2

ζ

Tabla 2.1: Pares de transformadas de Laplace



1 £[Af(t)] = AF (S)2 £[f1(t) ± f2(t)] = F1(S) ± F2(S)3 £[ d

dtf(t)] = sF (S)− f(0)

4 £[ d2

dt2f(t)] = s2F (S)− sf(0) − df

dt(0)

5 £[ dn

dtnf(t)] = snF (S)−

∑nk=1 sn−kfk−1(0)

donde fk−1(t) = dk−1

dtk−1 f(t)

6 £[∫

f(t) dt] = F (S)s

+[∫

f(t)dt]t=0

s

7 £

[∫∫

f(t) dtdt

]= F (S)

s2 +[∫

f(t)dt]t=0

s2 +[∫∫

f(t)dt]t=0

s

8 £

[∫

. . .∫

f(t) (dt)n

]= F (S)

sn +∑n

k=11

sn−k+1

[∫

. . .∫

f(t) (dt)n

]

t=0

9 £[e−atf(t)] = F (s + a)10 £[f [(t− a)]µ(t− a)] = e−asF (s)

11 £[tf(t)] = −dF (s)s

12 £[1tf(t)] =

∫∞s

F (s) ds

13 £[f(

1a

)] = aF (as)

14 Valor inicial: lımt→0 f(t) = lıms→∞ sF (s)15 Valor final: lımt→∞ f(t) = lıms→0 sF (s)

Tabla 2.2: Propiedades de la transformada de Laplace

Ejemplo:Sistema mecanico de rotacion:

J

f

TURBINA

ωtm

Figura 2.1: Sistema turbina - masa

J : Momento de Inercia [Kg-m2]f : Coeficiente de friccion viscosa [N-m-s/rad]f = dp

dω= 377 x 103



ω: Velocidad angular [rad/s]; ω(0) = 16.96 (162 rev/min)τm: Torque aplicado [N-m] = 7.1 x 106u(t)

Ley fısica (Segunda ley de Newton):

Jw =∑

τ

Jdw

dt= τm − fw

Se obtiene la ecuacion diferencial:

τm = Jdw

dt+ fw

Aplicando la transformada de Laplace:

Tm(s) = J [sW (s)− ω(0)] + fW (s)

y despejando W (s) se obtiene:

W (s) =Tm(s)

Js + f︸︷︷︸Respuesta forzada

+Jω(0)

Js + f︸︷︷︸Respuesta natural

Reemplazando:

W (s) =71 + 124,6s

(7,35s + 3,77)s=

16,95(s + 0,57)

s(s + 0,512)→ N(s)

D(s)

NOTACION:

D(s) = 0 Ecuacion caracterısticas = 0, s = −0,512 Polos del sistemas = −0,57 Ceros del sistema

Representacion de polos y ceros en el plano complejo:



σ

jω

Figura 2.2: Representacion de Polos y Ceros.

Para obtener la evolucion temporal:

Fracciones parciales :

W (s) = k1s

+ k2s+0,512

k1, k2 : Residuos.

k1 = 16,95(s+0,57)s+0,512

∣∣∣∣∣s = 0

= 18,8

k2 = 16,95(s+0,57)s

∣∣∣∣∣s = −0,512

= −1,92

ω(t) = £−1{18,8s− 1,92

s+0,512}

ω(t) =[

18,8︸︷︷︸Respuesta permanente

− 1,92e−0,512t

︸︷︷︸Respuesta transitoria

]u(t)

Los teoremas del valor inicial y valor final permiten obtener directamenteestos valores en frecuencia:

ω(t)∣∣∣t→∞

= lıms→0

sW (s) =71 + 124,6s

7,35s + 3,77

∣∣∣∣∣s=0

= 18,83 (180 rev/min.)



ω(t)∣∣∣t→0

= lıms→∞

sW (s) =124,6

7,35

∣∣∣∣∣ = 16,95 (162 rev/min.)

La figura 2.3 muestra la respuesta temporal.

w(t)[rpm]

t [s]2 4 6 8 10

162

180

Figura 2.3: Respuesta temporal del sistema turbina - masa

Notemos que hay una relacion directa entre la ubicacion de lospolos y ceros y la forma de la respuesta.

2.1.2. Funcion de Transferencia

Caracteriza la relacion entrada - salida de sistemas lineales e invariantes;se define la Funcion de Transferencia (FdT), como la relacion entre la Trans-formada de Laplace de la salida a la Transformada de Laplace de la entrada,con condiciones iniciales nulas.

FdT =£[Salida]

£[Entrada]

∣∣∣∣∣condiciones iniciales=0



Forma general:

G(s) =bmsm + bm−1s

m−1 + . . . + b1s + b0

ansn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0

Si: n = m Funcion de transferencia propian < m Funcion de transferencia impropian > m Funcion de transferencia estrictamente propia

Para el sistema mecanico de rotacion:

ω(0) = 0⇒W (s) =Tm(s)

Js + f⇒ FdT =

W (s)

Tm(s)=

1

Js + f

Caracterısticas:

Describe la dinamica del sistema: tener la funcion de tranferencia esequivalente a tener la ecuacion diferencial.

Solo se aplica a sistemas lineales e invariantes.

Es una propiedad del sistema, no depende de la entrada.

Varios sistemas pueden tener la misma FdT.

No da informacion de la estructura interna del sistema.

En un diagrama de bloques, permite representar la dinamica de cadacomponente.

Ejemplo: ver figura 2.4, el diagrama de bloques de la bucla de reali-mentacion tıpica en el dominio de la frecuencia:

Las distintas Gi y H son las funciones de transferencia de los elementos;R, E, A, M , D y B, son las T.L. de las senales.



EG1

H

CAR

−

+G2 G3

M+

+

D

G4

B

Figura 2.4: Bucla tıpica en frecuencia

2.1.3. Trazado de diagramas de bloques

Se realiza mediante tres pasos principales:

Aplicar la transformada de Laplace a cada componente o ecuacion, concondiciones iniciales nulas.

Reemplazar los elementos transformados por bloques simples.

Interconectar los bloques.

Ejemplo:

Excitatriz de corriente continua (Figura 2.5), considerando la velocidadω constante y excitacion en el rango lineal.

Rf

Lf

if

+

−

ef

Ra

et

ia

eg

ωJ

Figura 2.5: Excitatriz de Corriente Continua



Ecuaciones:

ef = Rfif + Lfdifdt

et = eg − Raia

eg = kgif

TRANSFORMANDO: BLOQUE:

1 Ef(s) = If(s)[Rf + Lfs

] 1Rf+sLf

Ef (s) If (s)

2 Et(s) = Eg(s)−RaIa(s)

Ra

Eg(s) Et(s)

Ia(s)

3 Eg(s) = KgIf(s)Kg

If (s) Eg(s)

INTERCONECTANDO:

KgEg(s) Et(s)

Ia(s)

Ra

1Rf+sLf

If (s)Et(s)−

+

Ejercicio:Obtenga el diagrama de bloques que representa al motor de corriente

continua, considerando como salidas la posicion θ, la velocidad angular ω yla corriente de armadura ia.



2.1.4. Algebra de diagramas de bloques

Simplifica un diagrama de bloques complejo. Las reglas parten de escribiruna misma ecuacion en forma diferente.

Diagramas de bloques originales Diagramas de bloques equivalentes

1

A−+ A-B

B

A-B+C

C

++ A++ A+C

B

A-B+C

C

−+

2

A

B

A-B+CC

++−A

−+ A-B

B

A-B+CC

++

3 G1

AG1G2

AG1G2AG2

AG2G1

AG1G2A

4 G1

AG1G2

AG1G2AG1G2

AG1G2A

5

G1

AG1A AG1+AG2++

G2 G1 + G2

AG1+AG2A

6G

A AG−B+−

B

AG GA−B

GA AG−B+−

1G

BBG

7G

A−BA AG−BG+−B

GA AG +−

B

AG−BG

G BG

8G

AGA

AG

GAGA

GAG

9G

AGA

A

GAGA

AG 1G

A

10

G1

AG1A AG1+AG2++

G2

++ AG1+AG2A G21

G2G1

11

−+A

G2

G1B

−+A G2G11

G2

B

12

−+A

G2

G1B

A G11+G1G2

B

Tabla 2.3: Propiedades del algebra de diagramas de bloques



Ejemplo:Obtengamos el bloque equivalente de bloques en cascada sin carga de la

figura 2.6:

G1(s)X1 X3X2 G2(s)

Figura 2.6: Diagrama de bloques

Solucion :G1(s) = X2

X1G2(s) = X3

X2Se requiere X3

X1

↓ ↓X2 = G1(s)X1 X3 = G2(s)X2 =⇒ X3 = G2(s)G1(s)X1

=⇒ X3

X1= G1(s)G2(s)

G1(s)X1 X3X2 G2(s) =⇒ G1G2

X1 X3

Ejemplo:

EG1

H

CAR

−

+G2 G3

M

Figura 2.7: Diagrama de bloques de una bucla tıpica

Hallar C/R para la bucla tıpica; D(s) = 0 ver la figura 2.7.Solucion:Llamando G = G1G2G3 tenemos la figura 2.8 que es la forma canonica deun sistema de control de lazo cerrado.



G(s)R +

−

E C

H(s)B

Figura 2.8: Forma Canonica de un Sistema de Control de lazo cerrado

DEFINICIONES:

G(s) =C(s)

E(s): Funcion de Transferencia Directa.

H(s) =B(s)

C(s): Funcion de Transferencia de Realimentacion.

G(s)H(s) = GH(s) =B(s)

E(s): Funcion de Transferencia de Lazo Abierto.

T (s) =C(s)

R(s): Funcion de Transferencia de Lazo Cerrado.

Operamos para calcular la FdT de Lazo Cerrado:

E(s) = R(s) −B(s) = R(s) −H(s)C(s)

C(s) = G(s)E(s) = G(s)[R(s)−H(s)C(s)

]

=⇒ C(s) + GH(s)C(s) = G(s)R(s)



FdT =C(s)

R(s)=

G(s)

1 + GH(s)︸︷︷︸FdT equivalente de un lazo de realimentacion

Simplificacion de un diagrama de bloques, una entrada

Para simplificar un diagrama de bloques se recomienda realizar los si-guientes pasos:

1. Combinar bloques en cascada y/o en paralelo.

2. Desplazar e intercambiar puntos de toma y suma.

3. Recombinar −→ pasos 1, 2, etc.

Ejemplo:Diagrama de bloques de un sistema de control de la excitacion con red

estabilizadora y autoexcitacion, figura 2.9

R(s)+

−

C(s)

H1

H2

G1 G2 G3

+

+

+

+


G1: Dinamica de la compensacion y del actuador.

G2: Dinamica de la excitatriz.

G3: Dinamica del generador.



H1: Dinamica de la red estabilizadora.

H2: Dinamica de la medida de tension.

R(s) +

−

C(s)

H1

H2

G1 G2 G3

+

+ 1G3

1G1+

R(s)

R(s)+

−

C(s)

H2

G1G2G3

+

+ H1G3

1G1

R(s)+

−

C(s)

H2 + H1G3

− 1G1

G1G2G3

G1G2G3

1+G1G2G3(H2+H1G3

− 1G1

)

R(s) C(s)



2.1.5. Simplificacion de un diagrama de bloques; en-

tradas multiples

Como el sistema es lineal, para simplificar un diagrama con multiplesentradas, se puede aplicar el principio de superposicion.

1. Llevar, si es posible, las entradas a un mismo punto de suma.

2. Reducir.

3. Calcular la respuesta debida a cada entrada.

4. Sumar las respuestas parciales para obtener la total.

Ejemplo:Bucla tıpica con perturbacion, ver figura 2.10.

G1

R(s)+− G2

H

C(s)D(s)

++

Figura 2.10: Bucla tıpica con realimentacion

1. Paso 1

G1

R(s)+− G2

H

+

1G1

D(s)

C(s)

Figura 2.11: Figura 1



2. Paso 2

G1G21+G1G2H

R(s)+−+ C(s)

1G1

D(s)


3. Paso 3

Con D(s) = 0

CR(s) = G1G2(s)1+G1G2H(s)

R(s)

Con R(s) = 0

CD(s) = G2(s)1+G1G2H(s)

D(s)

4. Paso 4

Se obtiene:

C(s) = CR(s) + CD(s) = G2(s)1+G1G2H(s)

[G1R(s) + D(s)]



Ejercicio:Resuelva el ejercicio 2 propuesto en las actividades de aprendizaje.

2.1.6. Modelado de sistemas fısicos

Muchos sistemas fısicos se pueden modelar usando las leyes fısicas que losrigen, utilizando como:VARIABLES:

El volumen o cantidad elemental del sistema.

La rata de variacion de esta cantidad (Flujo).

La energıa potencial o fuerza actuante en el sistema.

PARAMETROS:

La resistencia (R) al paso del flujo.

La capacitancia (C) o relacion volumenfuerza actuante

.

La inductancia (L) o relacion fuerza actuanteRata de flujo

.

La constante de tiempo (τ ); τ = RC; LR.

SISTEMA VARIABLES PARAMETROSCantidad Potencial Flujo Resist. Capacit. Induct.

GAS Volumen Presion F. gas Rg Cg

TERMICO Calor Temperatura F. calor Rt Ct

FLUIDO Volumen Nivel Caudal Rf Cf InertanciaTRASLACION Momentum Velocidad Fuerza f m 1

K

ROTACION Momentum Velocidad Torque f J 1K

ELECTRICO Carga Voltaje Corriente Re Ce Le

Tabla 2.4: Variables y Parametros empleados en sistemas fısicos comunes



Ejemplo 1:

qi

Ch

R

q0

Figura 2.13: Sistema hidraulico

Para el sistema hidraulico de la figura 2.13, hallar H(s)Qi(s)

. Asuma flujolaminar.

C :V olumen

nivel h= Area de la seccion recta.

R :nivel h

caudal de salida=

h

q0= Resistencia de salida.

Ley fısica empleada:Ley de conservacion de la masa: Lıquido que entra menos el que salees el lıquido acumulado.

qidt − qodt = Cdh

qi − hR

= C dhdt

Rqi − h = RC︸︷︷︸τl

dhdt

£ ⇒H(s)

Qi(s)=

R

τls + 1



Ejercicio:Suponga que este tanque descarga en otro con capacitancia C2 y resistenciade descarga R2; calcule la FdT entre el nivel del segundo tanque y el caudal qi.

Ejemplo 2:

Pi

C

Po

q

Figura 2.14: Sistema neumatico

Hallar Po(s)Pi(s)

para el sistema de gas de la figura 2.14. Asuma variacionesde pequena senal y temperatura constante.

C :Cantidad de gas

Presion=

Gas en el volumen

Po

R :∆Presion

Caudal=

(Pi − Po)

q

Ley fısica empleada:Ley de conservacion de la masa: Gas anadido menos el que sale (cero)igual al gas almacenado.

qdt = CdPo

(Pi−Po)R

= C dPo

dt

RC︸︷︷︸τg

dPo

dt= (Pi − Po)



£ ⇒Po(s)

Pi(s)=

1

τgs + 1

Ejercicio:Calcule P0(s)

Pi(s)si existe una resistencia de descarga R en el sistema neumatico.

Ejemplo 3:Intercambiador de calor en un recipiente termicamente bien aislado, donde:

M : Mezclador, H: calentador y el lıquido entra frıo con flujo ca a temperatu-ra θi y sale caliente a temperatura θ0.

ca

θ0q0

M

H

qi2

θi

qi1

Figura 2.15: Intercambiador de calor

Hallar Θo(s) para el sistema de la figura 2.15. Asuma que solo existetransferencia de calor por conduccion (flujo de calor proporcional a la dife-rencia de temperatura).

C :Calor acumulado

Temperatura= mcp

cp: calor especıfico del lıquido, m : masa del lıquido en el tanque.

R :∆Temperatura

F lujo neto de calor=

1

cacp

ca: Velocidad de flujo del lıquido en estado estable



Ley fısica empleada:Ley de conservacion de calor: Calor que entra menos el que sale es elque se acumula.

qi1dt + qi2dt− q0dt = Cdθ0 (2.1)

cacpθi + qi2 − cacpθ0 = Cdθ0

dt(2.2)

θi − θ0 + Rqi2 = RCdθ0

dt(2.3)

donde RC = τc

£ ⇒ θo(s) =θi(s)

τcs + 1+

R

τcs + 1Qi2(s)

Ejercicio:Obtener los diagramas de bloque y la FdT para el sistema de seguimiento

del sol descrito en el ejercicio 4-10 de la pagina 197 del libro de Kuo.([Kuo,1996]).

2.1.7. Graficos de flujo de senal (GFS)

Es un procedimiento alterno para hallar las relaciones entre variables deun sistema. Su ventaja frente al algebra de bloques estriba en que existe laFORMULA DE GANANCIA DE MASON con la cual se pueden encontrarestas relaciones sin necesidad de reducir el grafico; cuando se tengan sistemascomplejos, es recomendable usar esta tecnica para el calculo de las funcionesde transferencia.

Caracterısticas

Representan un conjunto de ecuaciones algebraicas simultaneas→Aplicarprimero la Transformada de Laplace.

Es una red en la cual los NODOS estan conectados por RAMAS condireccion y sentido.



Cada nodo representa una variable del sistema y cada rama actua comoun multiplicador de senal.

Un nodo suma todas las senales de entrada y transmite esta suma atodas las ramas de salida:

Grafico Y = a1X1 + a2X2 + a3X3 + a4Y

a1

X2

X1

b1Y

Y1

Y2

b2

a2

a3X3

a4

Y1 = b1Y Y2 = b2Y

Un NODO MIXTO: (Nodo con ramas de entrada y salida) se puedeconsiderar como un NODO DE SALIDA (Solo tiene ramas de entrada)anadiendo un rama con TRANSMITANCIA (Ganancia de la rama)unitaria; esto no es valido para un NODO DE ENTRADA (Nodo solocon ramas de salida).

Para un sistema el GFS no es unico.

Las reglas del algebra de los diagramas de bloques se cumplen tambienpara los GFS:



X3a bX2X1

=⇒ab X3X1

aX2X1

b =⇒a+b X2X1

a

X2

X1

b

c

X3

X4

=⇒

ac

X2

X1

bc

X4

Ejemplo:

G(s)R(s)

+−E(s) C(s)

H(s)


Hallar y reducir el GFS de la figura 2.16 para la forma canonica.



Solucion:

R(s) E(s)1 G(s) 1C(s)

−H(s)

C(s)

=⇒

R(s) G(s) 1C(s)

−GH(s)

C(s)

C(s) = G(s)R(s) + (−GH(s))C(s) =⇒ C

R=

G(s)

1 + GH(s)

Definiciones

Ruta: Cualquier conjunto de ramas en sucesion continua que se puede recorreren el mismo sentido.

Circuito: Ruta que parte y termina en un mismo nodo sin que ningun otronodo se encuentre mas de una vez.

Ruta directa: Es aquella que empieza en un nodo de entrada y termina enun nodo de salida sin pasar por ningun nodo mas de una vez.

Ejemplo:Forma canonica, figura 2.17:

FORMULA DE GANANCIA DE MASON:

M =Γsal

Γent=

N∑

k=1

MK∆K

∆

Donde:

M: Ganancia entre Γsal y Γent.



R(s) E(s)1 G(s)1

C(s)

−H(s)

C(s)

Circuito

Ruta

Ruta Directa

Figura 2.17: Forma canonica

Γsal,Γent: Variables de los nodos de salida y entrada.

N: Numero total de rutas directas.

MK: Ganancia de la k-esima ruta directa.

∆ ={

1 − P11 +∑

m Pm2 −∑

m Pm3 + . . .

Pmr : Ganancia del producto de la m-esima combinacion posible de circuitosque no se toquen. En otros terminos:

∆= 1 - (Suma de todas las ganancias de los circuitos individuales) + (Sumade la ganancia de productos de todas las combinaciones posibles depares de circuitos que no se toquen) - (Suma de la ganancia de pro-ductos de todas las combinaciones posibles de tres circuitos que no setoquen) + . . ..

∆K: La ∆ para la parte del GFS que no se toque con la ruta directa k-esima.

Ejemplo:Aplicar la formula de Mason a la forma canonica para hallar C

R. de la

figura 2.18

Solucion:

1. Una sola ruta directa→ N = 1, MK = M1 = G(s)

2. Un solo circuito→ Ganancia: P11 = - GH(s).



R E1 G 1C

-H

C

Figura 2.18: Forma canonica

3. No hay circuitos que no se toquen → Pmr = 0.

4. La ruta directa se toca con el unico circuito; ∆1 = 1.

=⇒ C

R=

M1∆1

∆=

G(s)

1− P11

=⇒ C

R=

G(s)

1 + GH(s)

Ejemplo:Aplicar la formula de Mason al GFS de la figura 2.19 para hallar Y3

Y1.

Y1 Y2 Y3

-d

a

-g

e 1

cb

Figura 2.19: Diagrama de flujo de senal

Solucion:



Dos trayectorias o rutas directas → N = 2, M1 = ae;M2 = abc

Tres circuitos con ganancias: C1 = - eg; C2 = - bcg; C3 = - d.

C1 y C3 no se tocan.

∆ =

{1 − (−eg − bcg − d) + deg︸︷︷︸

1 solo par de circuitos

Como hay un solo par de circuitos → una sola combinacion posible. Si lostres circuitos no se tocaran, habrıa tres combinaciones de pares de circuitosque no se tocan: C1C2, C1C3 y C2C3 y una combinacion de tres circuitos queno se tocan: C1C2C3.

∆ = 1 + eg + bcg + d + deg

El circuito C3 no toca la ruta directa M1 → existe ∆1 para la parte que notoca la ruta directa 1:

-d

∆1 = 1 − (−d) =⇒ ∆1 = 1 + d

M2 toca todo el GFS → ∆2 = 1

=⇒ Y3

Y1=

M1∆1

∆+

M2∆2

∆=⇒ Y3

Y1=

ae(1 + d) + abc

1 + eg + bcg + d + deg



2.2. SISTEMAS ANALOGOS EN REPRESENTACION DE ESTADO

2.2. Sistemas analogos en representacion de

estado

2.2.1. Introduccion

Los metodos clasicos se basan en representaciones de Entrada - Salida,como la funcion de transferencia (FdT) y los graficos de flujo de senal (GFS).Una alternativa es la representacion mediante VARIABLES DE ESTADO.

El estado de un sistema se refiere a sus condiciones presente, pasado yfuturo. El estado se puede describir por cifras, curvas, tablas, ecuaciones, etc;para analizar sistemas es conveniente representarlos mediante un conjuntoadecuado de variables y ecuaciones de estado. Las variables de estado (V.E)deben cumplir las siguientes caracterısticas:

En t = t0, las las variables de estado definen los estados iniciales.

Dadas las entradas para t > t0 y los estados iniciales, las V.E definenpor completo el comportamiento futuro del sistema.

Las variables de estado no son las salidas del sistema; las salidas son lasvariables medibles y seran funcion de las variables de estado. No siempre lasvariables de estado se pueden medir; la libertad de eleccion de las variablesde estado es una ventaja para el analisis.

Ejemplo:Calcular la evolucion de la corriente por el circuito RL de la figura 2.20; sise aplica una tension escalon de magnitud Ei.

En esta red RL la historia esta especificada por la corriente inicial de labobina il(0

+).Si e(t) = Eiµ(t) entonces, aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

e(t) = Ri(t) + Ldi(t)

dt(2.4)

para t ≥ 0.Aplicando la transformada de Laplace:

E(s) = (R + Ls)I(s)− Li(0) (2.5)

I(s) =Ei

s(R + sL)+

Li(0)

R + sL(2.6)



R L

i(t)e(t)

+

−

Figura 2.20: Red RL

Aplicando la transformada inversa de Laplace:

i(t) =Ei

R(1 − e−

RtL ) + i(0)e−

RtL (2.7)

Esta ecuacion define el comportamiento de la red para t ≥ 0, luego sepuede usar como variable de estado i(t), esto es debido a que L almacenaenergıa y es la capacidad de almacenar energıa la que da la informacionsobre la historia del sistema, lo mismo sucede con el voltaje para el caso delcondensador.

El uso de las variables de estado para el analisis y diseno de sistemaslineales de control, en particular de sistemas multivariables permitio en ladecada de los 60’s, un mejor control, mediante el uso de poderosas herramien-tas de diseno por sıntesis, como el control optimo y adaptativo.

En la actualidad estas tecnicas se aplican a sistemas multivariables conrepresentacion entrada-salida (matrices de transferencia) y se puede afir-mar que ambas representaciones son complementarias. Para los sistemas no-lineales o cuando se requiera observar estados internos, la representacion deestado es la mas apropiada.

2.2.2. Definiciones

ESTADO: El estado de un sistema es un conjunto mınimo de numerostales que el conocimiento de estos numeros y de las funciones de entrada,junto con las ecuaciones que describen la dinamica, proporcionan la salida yel estado futuro del sistema.



VARIABLES DE ESTADO: Las variables de estado de un sistemadinamico son el conjunto mınimo de variables cuyo conocimiento en cualquierinstante t0 (usualmente t0 = 0), mas la informacion sobre la entrada apli-cada posteriormente, sea suficiente para determinar el estado del sistema encualquier instante t ≥ t0.

VECTOR DE ESTADO: Si se requieren n variables de estado para de-scribir el comportamiento de un sistema, se pueden considerar las n variablesde estado como n componentes de un vector X(t), llamado vector de estado.X(t)⇒ determina unıvocamente el estado del sistema, especificada la entra-da, para cualquier t ≥ t0.

ESPACIO DE ESTADO: Es el espacio n-dimensional cuyos ejes decoordenadas son x1, x2, x3, . . . , xn (Las variables de estado); el estado del sis-tema se representara como un punto en el espacio de estado.

ECUACIONES DE ESTADO: Para un sistema con p entradas y qsalidas (lineal o no lineal, variante o invariante), las ecuaciones de estado delsistema seran escritas de la forma:

dXi(t)

dt︸︷︷︸= fi[x1(t), x2(t), . . . , xn(t); r1(t), r2(t), . . . , rp(t)]

i = 1, 2, 3, . . . , nx1(t), x2(t), . . . , xn(t) : V ariables de estador1(t), r2(t), . . . , rp(t) : Entradas︸︷︷︸

Solo derivadas de las Solo variables de estado y entradas.variables de estado

ECUACION DE SALIDA: Relaciona las salidas del sistema con lasvariables de estado y las entradas:

Ck(t) = gk[x1(t), x2(t), . . . , xn(t); r1(t), r2(t), . . . , rp(t)]k = 1, 2, 3, . . . , nCk(t) : Elementos del vector de salidas = [c1(t), c2(t), . . . , cn(t)]

ECUACIONES DINAMICAS: Es el conjunto de ecuaciones de esta-do y de salida.



Ejemplo:Ecuaciones de estado para el circuito de la figura 2.21; Aplicando la ley devoltajes de Kirchoff:

R L

i(t) Ce(t)+

−

+

−

ec(t)

Figura 2.21: Circuito RLC

e(t) = Ri(t) + Ldi(t)

dt+

1

C

∫i(t)dt

Consideramos dos casos para la seleccion de las variables de estado.

1. A partir de esta ecuacion integro-diferencial, se pueden escribir lasecuaciones de estado, definiendo las variables de estado como:

x1(t) = i(t); x2(t) =

∫i(t)dt

e(t) = Rx1(t) + Ldx1(t)

dt+

1

Cx2(t)

dx2(t)

dt= i(t) = x1(t)

Reordenando obtenemos las ecuaciones de estado:

dx1

dt= −R

Lx1(t)− 1

LCx2(t) + 1

Le(t)

dx2

dt= x1(t)



Son ecuaciones diferenciales de primer orden.Cuando se parte de una ecuacion diferencial o integro-diferencial, elobjetivo con el cual se definen las variables de estado es el de obtenerecuaciones diferenciales de primer orden.

2. Definir las variables de estado de acuerdo con los elementos de la redque almacenan energıa:

V.E : { iL = x1, VC = x2

}

Para lograr primeras derivadas en el primer miembro:

Tension en L: Ldil(t)dt

= −Ri(t)− eC(t) + e(t)

Corriente en C: C deC(t)dt

= i(t)

Despejando y reemplazando las variables de estado se obtienen lasecuaciones de estado:

dx1

dt= −R

Lx1(t)− 1

Lx2(t) + 1

Le(t)

dx2

dt= 1

Cx1(t)

Ecuacion de estado de 1. y 2. distintas!.

Por el caracter no unico de las V.E se pueden tener distintas ecuacionesdinamicas para representar un sistema.Generalmente, para sistemas lineales e invariantes, las ecuaciones dinamicasse pueden escribir de la forma:

E .E dxi

dt= =

∑ni=1

[∑nj=1 aij · xj(t) +

∑pk=1 bik · rk(t)

]

E .S Ck(t) = =∑q

i=1

[∑nj=1 cij · xj(t) +

∑pk=1 dik · rk(t)

]

i, j, k = 1, 2, 3, . . . ,



Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, los coeficientes sonconstantes. Si el sistema es variante los coeficientes en las ecuacionesdinamicas seran funcion del tiempo.Si el sistema tiene no linealidades suaves los coeficientes seran funciones nolineales de los estados y las entradas.

2.2.3. Representacion matricial

Se definen las matrices columna o vectores:

X(t) =

x1(t)x2(t)

...xn(t)

︸︷︷︸V ector de estado

R(t) =

r1(t)r2(t)

...rp(t)

︸︷︷︸V ector de entrada

C(t) =

c1(t)c2(t)

...cq(t)

︸︷︷︸V ector de salida

Las ecuaciones dinamicas se expresan como:

dX(t)dt

= F

[X(t), R(t)

]

C(t) = G

[X(t), R(t)

]

Donde F , G son matrices columna de (nx1) y (qx1) respectivamente.Si el sistema es lineal e invariante, las ecuaciones dinamicas seran:

Ecuacion de estado :dX(t)

dt= A(nxn)X(t) + B(nxp)R(t)

Ecuacion de salida : C(t) = E(qxn)X(t) + D(qxp)R(t)

Donde:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

B =

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p...

.... . .

...bn1 bn2 . . . bnp

E =

c11 c12 . . . c1n

c21 c22 . . . c2n...

.... . .

...cq1 cq2 . . . cqn

D =

d11 d12 . . . d1p

d21 d22 . . . d2p...

.... . .

...dq1 dq2 . . . dqp



Ejemplo:Expresando las ecuaciones de estado obtenidas para el circuito RLC se tiene:

dx1(t)dt

dx2(t)dt

=

[−R

L− 1

L1C

0

]

︸︷︷︸A

[x1(t)x2(t)

]+

[1L

0

]

︸︷︷︸B

e(t)

2.2.4. Representacion de sistemas en el espacio de es-

tado

Las ecuaciones dinamicas se pueden obtener directamente desde el sistemadinamico, utilizando variables de estado fısicas; tambien se pueden obtenerdesde las ecuaciones diferenciales o las funciones de transferencia, usandotecnicas de descomposicion [Kuo, 1996]; la figura 2.22 ilustra las relacionesentre estas tres representaciones.

Sistema Dinamico (L, I)

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones dinamicasE.E, E.S

Funciones detransferencia

Representacion

Figura 2.22: Representacion de sistemas en espacio de estados

Ecuaciones dinamicas a partir del sistema

Las ecuaciones dinamicas se obtienen directamente del sistema, seleccio-nando como variables de estado aquellas variables de los elementos dinamicosdel sistema que permiten calcular la energıa almacenada en el elemento encualquier instante (asignacion unica). La tabla 2.5 muestra las energıas y lasvariables de estado para diversos elementos fısicos.

En general, no hay una unica vıa en la seleccion de las variables de estadofısicas para el metodo senalado arriba. Solo se deben escoger variables fısicas



ELEMENTO ENERGIA V.E FISICA

Condensador CCV 2

2

Tension V

Inductancia LLI2

2

Corriente I

Masa mmν2

2

Velocidad lineal ν

Momento de Inercia JJω2

2

Velocidad rotacional ω

Resorte KKx2

2

Desplazamiento x

Comprensibilidad del fluido

ν

2Ks

νP 2

Ks

Presion P

Capacitancia del fluido

ρA

2

ρAh2

2

Nivel h

Capacitancia termica CCθ2

2

Temperatura θ

Tabla 2.5: Variables de estado fısicas



independientes. Las variables de estado independientes son aquellas que nopueden ser expresadas en terminos de las restantes variables de estado sele-ccionadas.En algunos sistemas se podran requerir mas de las variables de estado aso-ciadas a los elementos almacenadores de energıa, dependiendo de las salidasrequeridas.

Ejemplo: Modelo en varaibles de estado del motor de corriente continua(CC), ver figura 2.23:

Ra

La

ia egea

+

−

if = cte

t

+

−

J

θm ωm

f

Figura 2.23: Modelo matematico del motor CC

Ecuacion 1:

ea = Raia + Ladiadt

+ eg (2.8)

Ecuacion 2:

eg = Kbdθm

dt= Kbωm (2.9)

Ecuacion 3:t = KT ia (2.10)

Ecuacion 3:

Jdωm

dt+ fωm = t (2.11)



V.E :

{En La : ia = x2

En J : ω = x1

{Entrada : ea

Salida : ω = x1

Reemplazando las variables de estado:

ea = Rax2 + Lax2 + Kbx1

Jx1 + fx1 = KT x2

Reordenando :

{x1 = − f

Jx1 + KT

Jx2

x2 = −Kb

Lax1 − Ra

Lax2 + ea

La

Ecuacion de estado

x1

x2

︸︷︷︸X

=

− f

JKT

J

−Kb

La−Ra

La

︸︷︷︸A

x1

x2

︸︷︷︸X

+

0

1La

︸︷︷︸B

ea︸︷︷︸R

Ecuacion de salida

ω︸︷︷︸Y

=[

1 0]

︸︷︷︸E

[x1

x2

]

︸︷︷︸X

Si θm tambien es una salida requerida, debe considerarse otra variable deestado x3 = θm; considerandose la ecuacion diferencial: ˙θm = ω; x3 = x1 yθm = x3.En tal caso, la descripcion del sistema por variables de estado sera:

x1

x2

x3

=

− fJ

KT

J0

−Kb

La−Ra

La0

1 0 0

x1

x2

x3

+

0

1La

0

ea

ω

θm

=

1 0 0

0 0 1

x1

x2

x3



Ecuaciones dinamicas a partir de las ecuaciones diferenciales

Un sistema fısico tambien puede ser representado por ecuaciones dife-renciales o funciones de transferencia; cuando se representa por ecuacionesdiferenciales es de interes obtener las ecuaciones dinamicas para una entradasin derivadas, con derivadas y para multiples entradas con o sin derivadas.Otros casos es mejor tratarlos pasando las ecuaciones diferenciales a funcionesde transferencia y de ahı a las ecuaciones dinamicas.

1. Entrada unica sin terminos derivativos

dnc(t)

dt+ a1

dn−1c(t)

dt+ a2

dn−2c(t)

dt+. . . + an−1

dc(t)

dt+ anc(t) = r(t)

Se desea pasar a n ecuaciones de estado y una ecuacion de salida,definiendo las n variables de estado en funcion de c(t) y sus derivadas;como las variables de estado no son unicas, es importante asignar lasvariables de estado de la manera mas conveniente, en este caso como:

x1(t) = c(t); x2(t) =dc(t)

dt; x3(t) =

d2c(t)

dt; . . . ; xn(t) =

dn−1c(t)

dtAsı, las ecuaciones de estado son:

V.E de Fase

dx1(t)dt

= x2 (t)

dx2(t)dt

= x3 (t)

dx3(t)dt

= x4 (t)...

...dxn−1(t)

dt= xn (t)

Despejando la derivada de orden superior de la ecuacion dinamica te-nemos:

dxn

dt= − anx1(t) − an−1x2(t) − . . . − a2xn−1(t) − a1xn(t) + r(t)

Si la Ecuacion de Salida es: c(t) = x1(t), podemos expresar las ecua-ciones diferenciales como:

dX

dt= AX(t) + BR(t)



C(t) = EX(t)

Donde:

A =

0 1 0 0 0 . . . 00 0 1 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 0 0 . . . 1−an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4 . . . a1

(nxn)

B =

00...1

(nx1)

E =[

1 0 . . . 0](1xn)

︸︷︷︸Forma Canonica Controlable

Esta forma tambien se conoce como forma canonica de variables de faseo forma canonica asociada.Esta representacion tiene ciertas caracterısticas que facilitan el analisisy diseno (por realimentacion de estado se pueden asignar arbitraria-mente los ”modos”del sistema) del sistema dinamico.

Ejemplo:Sea la ecuacion diferencial:

d3c(t)

dt3+ 5

d2c(t)

dt2+

dc(t)

dt+ 2c(t) = r(t)

Despejando el termino de la maxima derivada:

d3c(t)

dt3= − 5

d2c(t)

dt2− dc(t)

dt− 2c(t) + r(t)

Definiendo:

x1 = c(t); x2 =dc(t)

dt; x3 =

d2c(t)

dt

Ecuacion de estado

x1

x2

x3

=

0 1 0

0 0 1

−2 −1 −5

x1

x2

x3

+

0

0

1

r(t)



Ecuacion de salida

c(t) =[

1 0 0]

x1

x2

x3

2. Entrada unica con terminos derivativosSea la ecuacion diferencial:

cn + a1cn−1 + . . . + an−1c + anc = b0u

n + b1un−1 + . . . + bn−1u + bnu

Si se toman como variables de estado a c(t) y sus (n− 1) derivadas, seobtiene:

x1 = x2

x2 = x3

x3 = x4...

...xn = −anx1 − an−1x2 . . .− a1xn + b0u

n + b1un−1 + . . . + bn−1u + bnu

c(t) = x1

Debido a los terminos derivativos de la n-esima ecuacion de estado, nose llega a la forma normalizada.Tratando de mantener la matriz A de la forma canonica controlable, sedefine el siguiente conjunto de variables de estado:

x1 = x2 + β1ux2 = x3 + β2ux3 = x4 + β3u...

...xn = xn−1 + βn−1

c(t) = x1 + β0

Las constantes βi se obtienen reemplazando c(t) en la ecuacion diferen-cial; ası1(Ogata [1993]):

1Ver ejemplo A-3-3 del libro de Ogata



β0 = b0

β1 = b1 − a1β0

β2 = b2 − a1β1 − a2β0

β3 = b2 − a1β2 − a2β1 − a3β0...

...βn = bn − a1βn−1 − . . .− an−1β1 − anβ0

Con esta eleccion las ecuaciones dinamicas del sistema seran:

X = AX(t) + Bu

C(t) = EX(t) + Du

Donde:

X =

x1

x2

x3...

xn−1

xn

;A =

0 1 0 0 0 . . . 00 0 1 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 0 0 . . . 1−an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4 . . . a1

B =

β1

β2

β3...

βn−1

βn

;E =[

1 0 0 0 . . . 0];D = β0 = b0

Otra forma de asignar las variables de estado para obtener A en laforma canonica controlable es la siguiente:Utilizando el operador D = d

dt, c(t) a partir de la ecuacion diferencial,

sera:(D(p) = pn + a1p

n−1 + . . . + an−1p + an)

c(t) =b0p

n

D(p)u +

b1pn−1

D(p)u + . . . +

bn−1p

D(p)u +

bn

D(p)u



Seleccionando como variables de estado:

x1 =u

D(p); x2 =

pu

D(p); . . . xn−1 =

pn−2u

D(p); xn =

pn−1u

D(p)

se obtienen las relaciones:

x1 = x2 x2 = x3 x3 = x4 . . . xn−1 = xn

x1 = x3...x 1 = x4 . . . xn−1

1 = xn

dex1 =

u

D(p)

tenemos:

xn1 + a1x

n−11 + . . . + an−1x1 + anx1 = u

xn + a1xn + a2xn−1 + . . . + an−1x2 + anx1 = u

Ası las ecuaciones de estado seran:

x1 = x2

x2 = x3

x3 = x4...

...xn = −a1xn − a2xn−1 . . .− an−1x2 − anx1 + u

Tambien, a partir de las anteriores relaciones se obtiene la ecuacion desalida:c(t) = (bn − b0an)x1 + (bn−1 − b0an−1)x2 + · · · + (b1 − b0a1)xn + b0

A =

0 1 0 0 0 . . . 00 0 1 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 0 0 . . . 1−an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4 . . . a1

B =

000...01

D = b0

E =[

(bn − b0an) (bn−1 − b0an−1) (bn−2 − b0an−2) . . . (b1 − b0a1)]



3. Entradas y salidas multiples

Ecuacion de estado:

Xnx1 = AnxnXnx1 + BnxpRpx1

Ecuacion de salida:

Cqx1 = EqxnXnx1 + DqxpRpx1

A o Matriz del sistema: Determina la dinamica interna (movimientospropios) del sistema; esta relacionada con el denominador de la FdT;es de dimension nxn.n: numero de variables de estado = Numero de elementos almace-nadores de energıa = orden del sistema.

B o Matriz de entrada o de distibucion: Dimension nxp. Indi-ca como excitan al sistema las p entradas.

E o Matriz de salida o de observacion: Dimension qxn. Determinacomo se transmite el estado interno a las q salidas; permite observar atraves de ellas el estado interno del sistema.

D o Matriz de acoplamiento o de interconexion: Dimension qxp.Indica el acoplamiento directo entre la salida y la entrada, en la mayorıade los sistemas de control D es nula; sera distinta de cero en sistemascon igual numero de polos y ceros.

Las ecuaciones dinamicas se pueden representar graficamente usando flechasdobles para los vectores y los bloques para las matrices, como se muestra enla figura 2.24.

De forma similar a los sistemas monovariables, se pueden interconectardistintos sistemas, bien sea en cascada, paralelo o en realimentacion.

Ecuaciones dinamicas a partir de las funciones de transferencia

Sea:

G(s) =C(s)

R(s)=

b0sn + b1s

n−1 + ...bn−1s + bn

sn + a1sn−1 + ...an−1s + an

(2.12)



∫+

A

B

D

EX X CR

+

++

Figura 2.24: Modelo matricial de un sistema en Espacio de Estados

Aunque hay muchas formas de obtener la representacion por variables deestado a partir de la funcion de transferencia en este punto solo se tratara elmetodo directo.

Metodo directoCon este metodo no se requiere que la funcion de transferencia se encuen-

tre factorizada (es equivalente al presentado con el operador P ):

Se divide el numerador y el denominador por la maxima potencia en s:

C(s)

R(s)=

b0 + b1s−1 + ...bn−1s

−n+1 + bns−n

1 + a1s−1 + ...an−1s−n+1 + ans−n(2.13)

Despejando C(s):

C(s) = b0R +(b1 − b0a1)s

−1 + (b2 − b0a2)s−2 + ... + (bn − b0an)s

−n]R

1 + a1s−1 + ...an−1s−n+1 + ans−n

(2.14)

Definiendo la variable auxiliar

Y (s) =R

1 + a1s−1 + ...an−1s−n+1 + ans−n(2.15)

se obtiene:

C(s) = b0R + (b1− b0a1)s−1 +(b2− b0a2)s

−2 + ...+(bn− b0an)s−n]Y (s)

(2.16)



Y (s) = R − a1s−1Y (s)− a2s

−2Y (s)...− ans−nY (s) (2.17)

Escogiendo como variables de estado a:

x1 = s−nY (s) (2.18)

x2 = s−n+1Y (s) (2.19)

x3 = s−n+2Y (s) (2.20)

... (2.21)

xn = s−1Y (s) (2.22)

se obtienen las siguientes ecuaciones dinamicas:

Ecuaciones de estado:x1 = x2 (2.23)

x2 = x3 (2.24)

... (2.25)

xn = Y (s) = R − a1xn − a2xn−1...anx1 (2.26)

Ecuaciones de salida:

c(t) = b0R+(b1− b0a1)xn +(b2− b0a2)xn−1 + ...+(bn− b0an)x1 (2.27)

Esta representacion es la forma canonica controlable y utiliza variablesde estado de fase.

Ejemplo:Para el sistema de control de la figura 2.25, obtener la representacion por

variables de estado con la matriz A de la forma canonica controlable.La representacion puede obtenerse aplicando a la funcion de transferencia

del sistema, el metodo directo:

C(s)

R(s)=

160(s + 4)

s3 + 18s2 + 192s + 640(2.28)

entonces:C(s)

R(s)=

160s−2 + 640s−3

1 + 18s−1 + 192s−2 + 640s−3(2.29)



C(s)+−

4(s+4)s+16

R(s) 40s(s+2)

Figura 2.25: Ejemplo

entonces:C(s) = (160s−2 + 640s−3)Y (s) (2.30)

con:

Y (s) =R(s)

1 + 18s−1 + 192s−2 + 640s−3(2.31)

de esta ultima expresion:

Y (s) = R(s) − 18s−1Y (s)− 192s−2Y (s)− 640s−3Y (s) (2.32)

Definiendo las variables de estado:

x1 = s−3Y (s) (2.33)

x2 = s−2Y (s) (2.34)

x3 = s−1Y (s) (2.35)

se obtienen las ecuaciones de estado:

x1 = x2 (2.36)

x2 = x3 (2.37)

x3 = £−1{Y (s)} (2.38)

entonces:x3 = r(t)− 18x3 − 192x2 − 640x1 (2.39)

la ecuacion de salida se obtiene a partir de C(s):

c(t) = 160x2 + 640x1 (2.40)



Las ecuaciones dinamicas en representacion matricial son:

x1

x2

x3

=

0 1 00 0 1−640 −192 −18

x1(t)x2(t)x3(t)

+

001

r(t)

c(t) =[

640 160 0]

x1(t)x2(t)x3(t)

Otros metodos que llevan a formas canonicas son:

Anidado: lleva a la forma canonica observable

Expansion en fracciones parciales: lleva a la forma canonica de JordanKuo [1996].

2.2.5. Diagrama de estado

El diagrama de estado es la representacion grafica de un sistema descritomediante variables de estado; usualmente se utilizan para su representacion,los grafos de fluencia por lo cual se construye siguiendo las reglas de estos.La caracterıstica mas importante de estos diagramas es que establecen unaestrecha relacion entre:

Las ecuaciones de estado

Las ecuaciones deferenciales

La solucion de las ecuaciones de estado

La simulacion por computador

Las operaciones lineales basicas que aparecen en un diagrama de estadoson:

Multiplicacion por una costante

Suma algebraica de variables

Integracion



Estas operaciones tienen la siguiente representacion mediante grafos defluencia:

Multiplicacion

X2(s)X1(s)

x1(t) x2(t)a1

Figura 2.26: Multiplicacion

y se obtienen las ecuaciones algebraicas en tiempo y frecuencia:

x2(t) = a1x1(t) (2.41)

X2(t) = a1X1(t) (2.42)

Suma

a1

X2(s)

X1(s)

X3(s)

x1(t)

x2(t)

x3(t)

a2

a3

x4(t)

X4(s)

Figura 2.27: Suma

y se obtienen las ecuaciones algebraicas en tiempo y frecuencia:

x4(t) = a1x1(t) + a2x2(t) + a3x3(t) (2.43)

X4(s) = a1X1(s) + a2X2(s) + a3X3(s) (2.44)



Integracion

x1(t) =

∫ t

t0

ax2(τ )dτ + x(t0) (2.45)

x1(t0)

X2(s)

a

X1(s)

s−1

1

x1(t0)s

X2(s)

as−1

1

X1(s)

Figura 2.28: Integracion

Realizando la transformada de Laplace:

X1(s) = aX2(s)

s+

x1(t0)

s(2.46)

para τ ≥ t0. Esta expresion es una ecuacion algebraica en frecuencia.

Estas graficas de la multiplicacion, suma e integracion seran los elemen-tos basicos de los diagramas de estado; como se observa, se incluye en larepresentacion, las condiciones iniciales, caracterıstica importante de la des-cripcion de sistemas mediante variables de estado.

De la ecuacion diferencial al diagrama de estado

Aunque este enfoque directo no siempre es el mas conveniente, puedeconstruirse un diagrama de estado a partir de una ecuacion diferencial.

dn

dtnc(t) + a1

dn−1

dtn−1c(t) + a2

dn−2

dtn−2c(t) + ..+ an−1

d

dtc(t) + anc(t) = r(t) (2.47)

Despejando el termino enesimo:

dn

dtnc(t) = −a1

dn−1

dtn−1c(t)− a2

dn−2

dtn−2c(t)..− an−1

d

dtc(t)− anc(t) + r(t) (2.48)



considerando como nodos a las variables:

r, c,d

dtc(t),

d2

dt2c(t)...

dn

dtnc(t) (2.49)

Realizando la transformada de Laplace, se obtiene:

R(s), C(s), sC(s), s2C(s)...snC(s) (2.50)

Interconectandolos mediante los grafos de las operaciones basicas pararepresentar la ultima ecuacion, se obtiene el diagrama de estado de la ecuaciondiferencial:

cn−1(t0)s

cn−2(t0)s

c(t0)s

c(t0)s

s−1 s−1 s−1snC

sn−1C sn−2C sC C

−a1

−a2

−an−1

−an

xn xn−1 x2 x1

R 1 1 C

Figura 2.29: Diagrama de estado de la ecuacion diferencial

Se asigna como variables de estado cada uno de los nodos de salida delas integraciones; por tanto este diagrama de estado, representa la formacanonica controlable.

Solucion Analıtica

Con la ecuacion de estado:d

dtX(t) = AX(t) + BR(t) (2.51)



y la ecuacion de salida:

C(t) = EX(t) + DR(t) (2.52)

y aplicando la transformada de Laplace a la ecuacion de estado, obtenemos:

SX(s)−X(0) = AX(s) + BR(s) (2.53)

entoncesX(s) = (sI −A)−1X(0) + (sI −A)−1BR(s) (2.54)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacion de salida y reemplazandoobtenemos:

C(s) = E(sI −A)−1X(0) + E(sI −A)−1BR(s) + DR(s) (2.55)

Los vectores de estado y de salida seran: £−1{X(s)} y £−1{C(s)}. Lasolucion de la ecuaciones dinamicas se vera en detalle mas adelante.

Como se observa, se requiere para la solucion, el calculo de (sI − A)−1;con el diagrama de estado esta operacion se puede realizar usando la formulade Ganancia de Mason con Xi(s), i = 1, 2, .., n como nodos de salida y Xi(0),i = 1, 2, .., n y Rj(j), j = 1, 2, .., p como nodos de entrada.

Ejemplo:Hallar la solucion analıtica para el siguiente sistema, con condiciones ini-

ciales iguales a cero:

R(s) = 1s

1s

1s

−2

−4

x2 x1C(s)1 1


Aplicando la formula de ganancia con R(s) como nodo de entrada y X1,X2 como nodos de salida:



X1(s) =s−2R(s)

1 + 2s−1 + 4s−2=

R(s)

s2 + 2s + 4(2.56)

X2(s) =s−1R(s)

1 + 2s−1 + 4s−2=

sR(s)

s2 + 2s + 4(2.57)

entonces:

[X1(s)X2(s)

]=

1

s2 + 2s1 + 4

[1s

]R(s)

con R(s) = 1s, y aplicando la Transformada inversa de Laplace:

[x1(t)x2(t)

] [14(1 + 1,15e−tsen(1,73t + 4π

3))

12(1,15e−tsen(1,73t))

]

para t ≥ 0, y la salida se obtiene como:

c(t) =[

1 0] [ x1

x2

]

reemplazando:

c(t) =1

4(1 + 1,15e−tsen(1,73t +

4π

3)) t ≥ 0 (2.58)

Del diagrama de Estado a la Funcion de Transferencia

La funcion de transferencia entre una entrada y una salida se obtiene apartir del diagrama de estado considerando a todas las demas entradas y losestados iniciales nulos.

EjemploPara el sistema del ejemplo anterior, X1(0)=X2(0)=0 y solo hay una

entrada, por tanto:C(s)

R(s)=

1

s2 + 2s + 4(2.59)



Del diagrama de estado a las ecuaciones dinamicas

Las ecuaciones dinamicas pueden obtenerse a partir del diagrama de es-tado, aplicando la formula de ganancia; como en las ecuaciones diferencialesno aparecen condiciones iniciales ni el operador s de Laplace, no se debenconsiderar las entradas de condiciones iniciales ni las ramas de integracionS−1; para escribir las ecuaciones de estado se deben considerar las primerasderivadas de las variables de estado como nodos de salida y las variables deestado y entradas como nodos de entrada; para la ecuacion de salida los no-dos de salida son las salidas C y los nodos de entrada, las variables de estadoy las entradas del sistema r.

EjemploObtener las ecuaciones de estado directamente del diagrama de estado

para el sistema de los ejemplos anteriores.Eliminando las ramas de ganancia S−1 el diagrama queda:

r(t)

−2

−4

x2 x1

1 1c(t)x2

x1


x1 = x2 (2.60)

x2 = −4x1 − 2x2 + r(t) (2.61)

c(t) = x1 (2.62)

Por supuesto, la formula de ganancia y el procedimiento anterior serande mayor utilidad para sistemas de mayor orden y con multiples entradas ysalidas (MIMO).



2.2.6. Ecuacion caracterıstica, valores propios y vec-

tores propios

Como se sabe, la ecuacion caracterıstica juega un papel importante enel estudio de los sistemas lineales; de una funcion de transferencia se obtieneigualando a cero el denominador; de los sistemas descritos por variables deestado tambien puede obtenerse. De la ecuacion 2.55 se define la funcionde transferencia (si R y C son escalares) como C(s)/R(s) con condicionesiniciales iguales a cero.

Luego

G(s) =C(s)

R(s)= E(sI −A)−1B + D (2.63)

(sI −A): No singular

G(s) = Eadj(sI −A)

|sI −A| B + D

G(s) =E[adj(sI −A)]B + |sI −A|D

|sI −A|

Luego, la ecuacion caracterıstica sera:

|sI −A| = 0

EjemploHallar la ecuacion caracterıstica para el sistema:

x1 = x2

x2 = −2x1 − 3x2 + r

c(t) = x2

Del sistema:

A =

[0 1-2 -3

]

sI −A = s

[1 00 1

]−[

0 1-2 -3

]=

[s 00 s

]−[

0 1-2 -3

]



sI −A =

[s -12 s + 3

]

E.C = |sI −A| = s(s + 3) + 2 = s2 + 3s + 2

Las raıces de la ecuacion caracterıstica se denominan valores propios de lamatriz A; observese que si el sistema se da en la forma canonica controlable,los coeficientes de la ecuacion caracteristica: sn + a1s

n−1 + ... + an vienendados en la ultima fila de la matriz A

EjemploLa matriz A del ejemplo anterior esta en la forma canonica controlable; luegola ultima fila sera −a2, −a1

EC: s2 + 3s + 2 = 0(s + 1)(s + 2) = 0Valores propios de A: λ1 = −1; λ2 = −2

Se define como vector propio de A al vector Pi que satisface la ecuacionmatricial:

(λiI −A)Pi = 0

λi: i-esimo valor propio de APi: Vector propio de A asociado con el valor propio λi

EjemploLos vectores propios para el sistema del ejemplo anterior, P1 asociado λ1 =−1: ⇒ (−I −A)P1 = 0

[(-1 00 -1

)−(

0 1-2 -3

)] [p11

p12

]= 0

[-1 -12 2

] [p11

p12

]= 0

}−p11 − p12 = 02p11 + 2p12 = 0

}p11 = −p12



Una sola ecuacion para dos incognitas → infinitas soluciones → asumiendop11 = 1 → p12 = −1

P1 =

[1−1

]

p2 asociado a λ2 = −2:

(−2I −A)P2 = 0→[−2 −12 1

] [p21

p22

]= 0

−2p21 − p22 = 02p21 + p22 = 0

}p22 = −2p21; sip22 = 2→ p21 = −1

P2 =

[−12

]

2.2.7. Matrices de Transferencia

Si en la ecuacion 2.55 C(s) es un vector de q salidas y R(s) un vector dep entradas:

⇒ G(s) =C(s)

R(s)= E(sI −A)−1B + D

G(s) es una matriz de transferencias de dimensiones (qxp)

C1

C2...

Cq

=

G11 G12 . . . G1p

G21 G22 . . . G2p...

......

Gq1 Gq2 . . . Gqp

R1

R2...

Rp

El elemento Gij relacionara la entrada j-esima con la salida i-esima.



EjemploObtener G(s) para el sistema descrito por:

d2c1dt2

+ 4dc1dt− 3c2 = r1

dc2dt

+ dc1dt

+ c1 + 2c2 = r2con

x1 = c1

x2 = c1

x3 = c2

La representacion vectorial-matricial del sistema, sera:

dx1

dtdx2

dtdx3dt

=

0 1 00 −4 3−1 −1 −2

x1

x2

x3

+

0 01 00 1

[

r1

r2

]

[C1

C2

]=

[1 0 00 0 1

]

x1

x2

x3

Calculando primero (sI −A)

(sI −A) =

s −1 00 s + 4 −31 1 s + 2

|sI −A| = s3 + 6s2 + 11s + 3

(sI −A)−1 =1

|sI −A|

s2 + 6s + 11 s + 2 3−3 s(s + 2) 3s

−(s + 4) −(s + 1) s(s + 4)

G(s) = E(sI −A)−1B

G(s) =

[1 0 00 0 1

]1

|sI −A|

s2 + 6s + 11 s + 2 3−3 s(s + 2) 3s

−(s + 4) −(s + 1) s(s + 4)

0 01 00 1



⇒ G(s) =1

s3 + 6s2 + 11s + 3

[s + 2 3−(s + 1) s(s + 2)

]


Resumen

En este capıtulo se ha presentado el modelado matematico de sistemaslineales utilizando funciones de transferencia, diagramas de bloques y graficasde flujo de senal. La funcion de transferencia de un sistema lineal se definio apartir de aplicar la Transformada de Laplace a la ecuacion diferencial, sinconsiderar las condiciones iniciales. Un metodo poderoso para representar lainterrelacion entre senales de un sistema lineal es la grafica de flujo de senal,permite obtener las funciones de transferencia entre variables de entrada yde salida de un sistema lineal utilizando la formula ganancia.

Este capıtulo tambien estuvo dedicado al modelado matematico de sis-temas fısicos, se describieron las relaciones matematicas basicas de sistemaselectricos, hidraulicos, termicos y mecanicos. Para sistemas lineales, las ecua-ciones diferenciales, las ecuaciones de estado y las funciones de transferenciason las herramientas fundamentales para el modelado. Se realizo tambien unaintroduccion al modelado por espacio de estado.



2. Para las figuras 2.32 y 2.33.

a) Hallar la salida para el siguiente diagrama de bloques:

b) Reducir el siguiente diagrama a la forma canonica:



R2

H3

C

H1

G2 G3

H1

+−−

+−

+− G1

++

R1


H1

C

H3

G2 G3

H2

+−−

+−

+− G1

R1


3. Para las figuras 2.34 y 2.35 de los ejercicios propuestos de diagramasde bloques:

a) Obtenga el GFS y calcule C(s) utilizando la formula de gananciade Mason.

b) Calcule Y6/Y1 para los siguientes GFS.

4. El siguiente juego de ecuaciones diferenciales, representa la dinamicade un sistema multivarible:

c1 − 2c2 + c1 = 0 (2.64)

c2 + 3c2 + 8c2 + 3c1 = u1 + 3u1 + 3u2 (2.65)

Con c1(0) = 1, u1(0) = u2(0) = 0, c2(0) = 1, c2(0) = 0



Y1 Y2 Y3 Y4

Y5

Y61 1G1 Y4 G3

G4

-H4

−H1−H3

−H2

Figura 2.34: Grafico de flujo de senal 1

Y1 Y2 Y3 Y4

Y5

Y61 1G1 G2 G3

−H1−H3

−H2

−H4

G4 G5

Figura 2.35: Grafico de flujo de senal 2

a) Defina un conjunto adecuado de variables de estado y construyael diagrama de estado.

b) Calcule la evolucion temporal de c1(t) y c2(t) debido a las condi-ciones iniciales, u1 = u2 = 0.

c) Calcule la ecuacion caracterıstica, los valores propios y vectorespropios asociados al sistema.

d) Obtenga la matriz de transferencia del sistema.



5. Para la figura 1.15 del capitulo 1 (examen 2003):

a) Construya un diagrama de bloques del sistema, usando funcionesde transferencia para representar los diferentes componentes yecuaciones.

b) Aplicar la formula de Mason al diagrama de bloques anterior parahallar C

Rde la figura 1.15.

6. (Evaluacion febrero de 2004) La figura 2.36 muestra el diagrama deinstrumentacion de un sistema de calentamiento.

CajaElectrica

+−

Productofrıo

i: Corriente en la bobina

Productocaliente

Tanque 1

Tanque 2

Chaqueta

Bomba

Agitador 1

TT2

C2 R2

V2

R3

a3b3TT3 C3

C1

LT

V1

R1

qa: caudal agua

Agua

V3


a) (30%) Identifique y relaciones los diferentes elementos y senalesde la bucla de realimentacion tıpica para el control de temperaturadel producto.



b) (70%) En el tanque 2, TT3 genera una senal electrica b3 propor-cional a la temperatura del agua en el tanque θ con factor k1; elcontrolador c3 implementa la ley de control:

a3(t) = kp(R3(t)− b3(t)) +kp

Ti

∫ t

0

(R3 − b3)dτ (2.66)

La caja electrica genera una tension V3 que obedece a la relacion:k2v3 = a3. La bobina se modela con inductancia L y resistenciainterna R. La transferencia de calor en el tanque 2 obedece a laecuacion diferencial:

Tdθ

dt= k3i(t)− kaqa − θ (2.67)

Obtenga un grafico de flujo de senal que represente el sistema de controlde temperatura en el tanque 2.

7. El siguiente juego de ecuaciones diferenciales representa a un sistemadinamico:

c1 + c1 + c2 = u1 (2.68)

c1(0) = 0c2 + c2 − c1 = u2 (2.69)

c2(0) = 1

a) (20%) Defina un conjunto adecuado de variables de estado yobtenga las matrices A, B, C y D de las ecuaciones dinamicas.

b) (15%) Construya el diagrama de estado.

c) (15%) Calcule c1(s) debida a las condiciones iniciales; u1=u2 = 0.

d) (10%) Calcule la ecuacion caracterıstica del sistema.

e) (10%) Calcule los valores propios del sistema.

f ) (10%) Calcule los vectores propios asociados al sistema.

g) (20%) Obtenga la matriz de transferencia del sistema




Dominguez S., Campoy P., Sebastian J., Jımenez. Control en el es-pacio de estado. Prentice Hall, 2002.

Referencias


OGATA KATSUSHITO, Ingenierıa de Control Moderno, P.H.H. 3 edi-cion, 1998.

OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H,Mex. 1996.


Capıtulo 3

Modelado digital

Introduccion

La aplicacion de control por computadora ha hecho posible el movimientointeligente de robots industriales, la optimizacion de economıa de combustibleen los automoviles, etc.. La capacidad en la toma de decisiones y la flexibi-lidad en los programas de control son las mayores ventajas de los sistemasde control digital. Los controladores digitales se utilizan para alcanzar el de-sempeno optimo (productividad maxima, beneficio maximo, costo mınimo ola utilizacion de mınima de energıa). Como vimos en la primera unidad, unsistema de control digital, aparte de la planta analoga, incluye los conversoresanalogico a digital, digital a analogico y el procesador en sı mismo. Paracada uno de estos elementos requeriremos una representacion matematica.La planta analoga la representaremos por su funcion de transferencia o surepresentacion de estado. El conversor A/D mediante una representacionmatematica del muestreo; el conversor D/A mediante su funcion de transfe-rencia. Para el modelado del procesador digital, utilizaremos la herramientamatematica transformada Z, con la cual, las soluciones a las ecuaciones endiferencias se convierten en un problema de naturaleza algebraica similar ala transformada de Laplace.

En esta unidad se presentara el modelado de los sistemas digitales tantopara la represetacion entrada-salida como de estado.

98

3.1. MODELADO DEL PROCESADOR DIGITAL

Objetivos

1. Representar, simplificar, analizar y sintetizar un sistema de control pormedio de un diagrama de bloques, diagrama de flujo de senal y diagra-ma de estado. Aplicacion

2. Deducir el modelo matematico en funcion de transferencia y variablesde estado para sistemas de control analogos y digitales. Conocimiento

3. Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entrada-salida y de estado. Analisis

Contenido

3.1. Modelado del procesador digital

Como se dijo en el estudio de la bucla tıpica de control digital, el proce-sador digital es un sistema discreto que recibe, procesa y entrega senalesdigitales.

3.1.1. Secuencias

De la senal digital, interesa conocer su valor en instantes infinitesimales,separados por el perıodo de muestreo T . Este conjunto de valores sedenomina secuencia; por ejemplo:

{xk

}, x(k) , x

(kT)

= {1, 0, 0.51, -0.26, . . . }

x(kT)

= e−kT3 cos(kT

4) k = 0, 1, 2, . . . , n

T = 1s.

Las secuencias las podemos representar por la serie de datos o en formacerrada si ello es posible. Algunas secuencias importantes son:



NOMBRE MODELO GRAFICO

Pulso unitario: δ(k) =

{0 k 6= 01 k = 0

1

k

δ(k)

Escalon unitario: µ(k) =

{0 k < 01 k ≥ 0

1

k

µ(k)

Rampa unitaria: r(k) =

{0 k < 0kT k ≥ 0

k

r(k)

Polinomial: x(k) =

{0 k < 0akT k ≥ 0

k

r(k)a > 0

0 < a < 1

Exponencial: x(k) =

{0 k < 0e−bkT k ≥ 0

b < 0

b > 0

Senoidal: x(k) =

{0 k < 0sin ωkT k ≥ 0

k

x(k)



3.1.2. Representacion matematica de secuencias

Un pulso de amplitud A en el instante m:

m

A

se describe mendiante Aδ(k −m).Una secuencia arbitraria es una suma ponderada de pulsos unitarios

desplazados:

x(k) =∞∑

m=−∞

x(m)δ(k −m)

Si la secuencia es nula para k < 0, se obtiene:

x(k) =∞∑

m=0

x(m)δ(k −m)

x(k) = x(0)δ(k) + x(1)δ(k − 1) + x(2)δ(k − 2) + . . .

3.1.3. Representacion matematica del proceso de muestreo

El muestreo de una senal se puede representar matematicamente multi-plicando la senal por un tren de impulsos unitarios, δT (t).



x*(t)x(t)

T x∗(t) = δT (t)x(t)

3T−3T 2T−2T −T T

δT (t)

t

δT (t) =∑∞

k=−∞ δ(t− kT )

Ası, la senal muestreada sera:

x∗(t) =∞∑

m=−∞

x(t)δ(t− kT ) =∞∑

m=−∞

x(kT)δ(t− kT )

Si x = 0 para t < 0, la sumatoria comienza a partir de k = 0.

Ecuaciones de Diferencias

El procesador digital calcula la secuencia de control a(kT ) a partir de lasecuencia del error e(kT ):

e(kT )→ Procesadordigital

→ a(kT )

e(0), e(1),. . ., e(k) a(0), a(1),. . ., a(k − 1).

Estando almacenados e(i) [i = 0,. . . , k] y a(j) [j = 0, . . .,k - 1], el proce-sador calculara:

a(k) = f(e(i), a(j))

Si la funcion de calculo es lineal, tenemos:

a(k) = a1a(k − 1) + a2a(k − 2) + . . . + ana(k − n) + b0e(k) + b1e(k − 1) + . . . + bme(k −m)︸︷︷︸Ecuacion de Diferencias Lineal de Parametros Constantes



Conocidas las n condiciones iniciales de a(k) y la entrada e(k) ∀ k ≥ 0, laecuacion de diferencias permite calcular la evolucion futura de a(k).

Ejemplo:Solucion iterativa de a(k) = a(k − 1) + a(k − 2) para k ≥ 2, con a(0) =

a(1) = 1.

k a(k − 2) a(k − 1) a(k)0 - - 1 C.I.1 - - 1 C.I.2 1 1 23 1 2 34 2 3 55 3 5 8...

......

...

C.I.= Condiciones inicialesEn este caso, no hay expresion analıtica de la solucion.

Como se vio, la transformada de Laplace simplifica la solucion de lasecuaciones diferenciales; su aplicacion a secuencias permite definir una nuevatransformada, (Z ) que simplifica la solucion de las ecuaciones de diferencia.

Ejercicio:Resuleva el ejercicio 2 propuesto en las actividades de apredizaje.

3.1.4. Transformada Z

£{x∗(t)} = £{∞∑

k=0

x(kT)δ(t− kT )} =∞∑

k=0

x(kT)e−kTs

Sea:z , eTs

︸︷︷︸Relacion entre las Transformadas Z y £



X∗(S) , X(Z ) =∑∞

k=0 x(kT)z−k

X(Z ): Transformada Z de x∗(t) unilateral para t > 0 o bilateral cuandox(t) 6= 0 para t < 0 → x(k) 6= 0 para k < 0.

La transformada Z solo considera valores de la senal en los instantes demuestreo −→ Z{x(t)} = Z{x∗(t)}, ası, la transformada inversa Z (TIZ), nopermite obtener a x(t), solo x∗(t).

TZ↗ ↘

x(t) F(Z)↙

x∗(t)← TIZ

Expandiendo la sumatoria anterior, tenemos:

x(z) = x(0)z0 + x(T )z−1 + x(2T )z−2 + ... . . . + x(nT )z−n + ...

donde el coeficiente de z−n es el valor de la secuencia x(kT) en k = n; esdecir, la transformada Z y la transformada Z inversa (Z−1) se pueden obtenerpor inspeccion.



Ejemplo: Calcular la transformada Z del pulso unitario y de los pulsosde las figuras 3.1 y 3.2.

Z{δ(k)} = δ(0)z0 + δ(1)z−1 + δ(2)z−2 + . . . + δ(n)z−n = 1

m

1 δ(k − m)

Figura 3.1: Pulso desplazado m perıodos

Z{δ(k−m)} = δ(0−m)z0+δ(1−m)z−1+δ(2−m)z−2+ . . .+δ(0)z−m = z−m

3

−1

2

Figura 3.2: Funcion compuesta por pulsos desplazados

x(k) = 3δ(0)− 1δ(k − 1) + 2δ(k − 2)

X(z) = 3− z−1 + 2z−2

De lo anterior se deduce que z−1 es un retardo de un perıodo;

x(kT )→ z−1 → x(kT − T )

x(k) x(k − 1).z−i sera un retardo de i perıodos de muestreo.



Para obtener X(z) tambien se pueden usar las tablas de transformadasZ de funciones elementales (ver la tabla 3.1) junto con el uso apropiado delas propiedades de la transformada Z (ver tabla 3.2 ).

X(s) x(t) o x(k) X(z)1 1 δ(t) 12 e−kTs δ(t− kT ) z−k

3 1s

1(t) zz−1

4 1s2 t Tz

(z−1)2

5 1s+a

e−at zz−e−aT

6 as(s+a)

1 − e−at (1−e−aT )z(z−1)(z−e−aT )

7 ws2+w2 sinwt z sin wT

z2−2z coswT+1

8 ss2+w2 coswt z(z−cos wT )

z2−2z coswT+1

9 1(s+a)2

te−at Tze−aT

(z−e−aT )2

10 w(s+a)2+w2 e−at sinwt ze−aT sinwT

z2−2ze−aT coswT+e−2aT

11 s+a(s+a)2+w2 e−at coswt z2−ze−aT cos wT

z2−2ze−aT coswT+e−2aT

12 2s3 t2 T 2z(z+1)

(z−1)3

13 ak zz−a

14 ak cos kπ zz+a

Tabla 3.1: Tabla de transformada z

Ejemplo:Resuelva:

x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = δ(k) con x(k) = 0 para k ≤ 0.

Aplicando la transformada Z :

Z{x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k)

}= Z

{δ(k)

}= 1

=⇒ z2X(z)− z2x(0)− zx(1) + 3zX(z) − 3zx(0) + 2X(z) = 1

x(0) = 0; x(1) se obtiene al evaluar la ecuacion de diferencias en k = −1:

x(1) + 3x(0) + 2x(−1) = δ(−1)→ x(1) = 0



x(t) o x(k) Z(x(t)) o Z(x(k))1 ax(t) aX(z)2 x1(t) + x2(t) X1(z) + X2(z)3 x(t) + T ) o x(k + 1) zX(z)− zx(0)4 x(t + 2T ) z2X(z)− z2x(0)− zx(T )5 x(k + 2) z2X(z)− z2x(0)− zx(1)6 x(t + kT ) zkX(z)− zkx(0)− zk−1x(T )− ...− zx(kT − T )7 x(k + m) zmX(z) − zmx(0)− zm−1x(1)− ...− zx(m− 1)

8 tx(t) −Tz ddz

[x(z)]9 kx(k) −z d

dz[x(z)]

10 e−atx(t) X(zeaT )11 e−akx(k) X(zea)12 akx(k) x( z

a)

13 kakx(k) −z ddz

[X( z

a)]

14 x(0) lımz→∞ X(z) si ese lımite existe15 x(∞) lımz→1 [(z − 1)X(z)] si z−1

zX(z) es analıtica

16∑

x(k) X(1)17

∑x(kT )y(nT − kT ) X(z)Y (z)

18 x(k −m) z−mX(z) TZ unilateral

Tabla 3.2: Propiedades de la transformada z

=⇒ z2X(z) + 3zX(z) + 2X(z) = 1

X(z) = 1z2+3z+2

=⇒︸︷︷︸Frac.parciales

= 1z+1− 1

z+2

zX(z) = zz+1

− zz+2

; como Z{ak}

= zz−a

Z{

(−a)k}

= zz+a

Z{x(k + 1)

}= zX(z) − zx(0) = zX(z)

=⇒ x(k + 1) = (−1)k −(−2)k ; k ≥ 0

k + 1→ n x(n) = (−1)n−1 −(−2)n−1 = −(−1)n − (−2)n

−2

x(n) = 0,5(−2)n −(−1)n ;n ≥ 1

NOTA: En muchos casos conviene expandir en fracciones parciales el terminoX(z)

z, pues varias transformadas Z de funciones elementales tienen a Z en su



numerador.

Ejemplo:Obtener x(kT ) si X(z) = 10z

z2−1,2z+0,2

Solucion:X(z)

z= 10

z2−1,2z+0,2= 12,5

z−1− 12,5

z−0,2

X(z) = 12,5[

zz−1− z

z−0,2

]

X(z) = 12,5[µ(k)− (0,2)k

]; k = 0, 1, 2, . . .

Ejercicio:Resuelva los ejercicios 3, 4 y 5 propuestos propuestos en las actividades deaprendizaje.

3.1.5. Funcion de transferencia discreta

Muchas veces el controlador digital resuelve las ecuaciones de diferencias:

a(k)+a1a(k−1)+a2a(k−2)+. . .+ana(k−n) = b0e(k)+b1e(k−1)+. . .+bme(k−m)

aplicando la transformada Z con condiciones iniciales nulas:

A(z)+a1z−1A(z)+a2z

−2A(z)+. . .+anz−nA(z) = b0E(z)+b1z

−1E(z)+. . .+bmz−1E(z)

Despejando, obtenemos:

A(z)

E(z)= G(z) =

b0 + b1z−1 + . . . + bmz−m

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n

︸︷︷︸Funcion de Transferencia Discreta.

Si n ≥ m tenemos:

G(z) =A(z)

E(z)=

b0zn + b1z

n−1 + . . . + bmzn−m

zn + a1zn−1 + a2z−2 + . . . + an=

N(z)

D(z)

Donde:G(z) : Funcion racional de una variable compleja.

N(z) = 0 : Ceros de G(z).D(z) = 0 : Polos de G(z); ecuacion caracterıstica

De manera similar al caso continuo, se puede usar el algebra de los diagra-mas de bloques o la formula de ganancia de Mason, para calcular funcionesde transferencia discretas equivalentes.



Ejemplo:Funcion de transferencia discreta (FdTD) para un controlador digital

actuando como un integrador por la regla trapezoidal:

A

e(k − 1)

e(t)

T

t

tk − 1 tk

e(k)

A =

∫ tk

tk−1

e(t)dt

donde A es el area bajo la curva e(t). Tambien se puede calcular como:A ≈ area del trapezoide formado por la recta entre e(k − 1) y e(k)

A ≈ Te(k) +

(e(k − 1) − e(k)

)1

2T

A ≈ T

2

[e(k) + e(k − 1)

]

Si a(k − 1) es el area calculada bajo la curva hasta el instante tk−1:

a(k) = a(k − 1) +T

2

[e(k) + e(k − 1)

]

aplicando la transformada Z:

A(z) = z−1A(z) +T

2E(z) +

T

2z−1E(z)

se obtiene:

G(z) =A(z)

E(z)=

T

2

[z + 1

z − 1

]



Modelado de los conversores; Muestreo y Retencion

Muestreo y retencion en frecuencia:Para el muestreador: La salida muestreada es: e∗(t) =

∑∞k=−∞ e(t)δ(t− kT );

e(t) e∗(t)T

y aplicando la transformada de Laplace:

E∗(s) =

∞∑

k=−∞

e(kT )e−skT

.

Para el retenedor:Aplicando un impulso unitario en el instante kT :

δ(kT )

kTt

kTt

kT + TT

Proceso de retencionde orden cero H0(s)

1

Como £

{δ(t)

}= 1, la funcion de transferencia se puede calcular como

£

{Respuesta al impulso

}.

H0(s) = £

{µ(t)− µ(t− T )

}=

1

s− 1

s

[e−sT

]

H0(s) =1 − e−sT

s



Su respuesta en frecuencia es:

H0(jω) = 1−e−jωT

jω=

2e−jωT

2

[e

jωT2 −e−

jωT2

]

2jω

H0(jω) = Tsin ωT

2ωT2

e−jωT

2 ; |H0(jω)| = T | sinωT2

ωT2

|

|Ho(jw)|

0.64T

0.21T

0.13T

ws

2ws 2ws 3ws

w

Figura 3.3: Respuesta de frecuencia del ROC.

La figura 3.3 muestra la respuesta frecuencial del retenedor de orden cero.

Note que:

ωs = 2πT

: frecuencia de muestreo [rad/s].

Es un filtro pasa bajos no ideal.

A bajas frecuencias, la curva no es plana → Distorsion.

Deja pasar senales indeseadas con frecuencias mayores a ωs

2.

Los retenedores de mas alto orden mejoran |H0(jω)| pero aumentan el retardode fase y pueden adicionar ruido al sistema. El Retenedor de Orden Cero(ROC) es el retenedor mas ampliamente usado.



3.1.6. Reconstruccion de Senales

En este punto nos preguntamos: si pasamos una senal muestreada por unROC, sera posible reconstruir la senal original?

t

e(t)

→ kt

e*(t)

→ t

e*(t)

e*(t)e(t)

T → ROC → e(t)

Claramente, la frecuencia de muesteo ωs debe ser lo suficientemente altapara poder ver las componentes de alta frecuencia de la senal e(t). Sea eltren de impulsos unitarios:

δT (t) =∞∑

k=−∞

δ(t− kT )

Como es una senal periodica, entonces en series de Fourier sera expresadacomo:

δT (t) =∞∑

n=−∞

Cnejnωst

donde: Cn = 1T

∫ T2

−T2

∑∞k=−∞ δ(t− kT )e−jnωstdt.

Como∫∞−∞ f(t)δ(t− a)dt = f(a) y en

[− T

2; T

2

]solo hay un impulso en

t = 0, entonces Cn = 1Te0 = 1

T.



e∗(t) = e(t)δT(t) = e(t)∞∑

n=−∞

1

Tejnωst

E∗(s) =

∫ ∞

−∞e∗(t)e−stdt =

1

T

∫ ∞

−∞e(t)

∞∑

n=−∞

ejnωste−stdt

E∗(s)=

1

T

∞∑

n=−∞

∫ ∞

−∞e(t)e−(s−jnωs)tdt

E∗(s) =1

T

∞∑

n=−∞

E(s−jnωs)

La respuesta de frecuencia de una senalmuestreada e ∗ (t) es un tren infinito de labanda de frecuencia E(jω).

E(jω)

ω

E(jω)

ω1 2 2πT

−2 2πT

2πT = ωs− 2π

T

ω0

−ω1

T |E(jω − jnωs)|

Figura 3.4: Espectros de frecuencia de la senal E(jω)

Si en ω1 hay componentes de E(jω1) y de E(-jω0), esto se conoce comosobrelapamiento; la frecuencia ω0, es el Alias de ω1 .Para evitar el sobrelapamiento de espectros (Aliasing) debe incluirse un pre-filtro pasobajo continuo que limite el ancho de banda de E(jω) y mantenerωs suficientemente elevada.



De lo anterior, se tiene que dos sinusoides de diferente frecuencia puedentener la misma senal muestreada; sean:

e1(t) = sin (ω1t)

e2(t) = sin ([ω1 + nωs

]t)

con n: entero.Si se muestrean con T = 2π

ωsentonces:

e1(kT ) = sin (ω1kT )

e2(kT ) = sin ([ω1 + nωs

]kT ) = sin (ω1kT + 2nkπ)

e2(kT ) = sin (ω1kT ) = e1(kT )

Ejemplo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo

Sen(2πt/8)Sen(7πt/4)

Figura 3.5: Componentes de frecuencia



e1(t) = sin (2π8

t), ω1 = π4; ωs = 2πfs = 2π

Alias: ω0 = ω1 − ωs = π4− 2π = −7π

4

Senales con componentes de frecuencia mayores a ωs

2, tendran compo-

nentes adicionales entre 0 y ωs

2.

Teorema del Muestreo: Indica cual debe ser la mayor frecuencia deE(jω) para evitar sobrelapamiento de su espectro. Para recuperar una senala partir de sus muestras, se debe muestrear por lo menos al doble de la mayorfrecuencia de la senal: ωs > 2ω1, donde ω1: componente de mas alta frecuen-cia presente en la senal en tiempo continuo.Una senal continua muestreada inapropiadamente, puede presentar oscila-ciones ocultas si tiene componentes de frecuencia que sean multiplos enterosde ωs.

Ejemplo:

0 pi 2pi 3pi 4pi

−1

0

1

t

x(t)

=x1

(t)+

x2(t

) x(t)=sen(t)+sen(3t)x(kT)=sen(2π/3 k)

0 pi 2pi 3pi 4pi

−1

−0.5

0

0.5

1

t

x1(t

)

x1(t)=sen(t)

0 pi 2pi 3pi 4pi

−1

−0.5

0

0.5

1

t

x2(t

)

x2(t)=sen(3t)

0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.5

0

0.5

1

k

x(k)

Ws=3rad/seg

Figura 3.6: Componentes de frecuencia con oscilaciones ocultas.



La figura 3.6 muestra graficos de x(t) = sin t+sin 3t, x1(t) = sin t y x2(t) =sin 3t. En la senal muestreada x(k), donde la frecuencia de muestreo ωs = 3rad/s no se aprecia la oscilacion con frecuencia ω = 3 rad/s.

3.1.7. Modelado de sistemas de datos muestreados con

la funcion de transferencia de pulsos

Sea un sistema continuo G(s) sujeto a una entrada muestreada e∗(t).

e(t) e∗(t)TG(s)

E(s) E∗(s)s1

s2

c(t)

c∗(t)

C(s)

T

Figura 3.7: Sistema continuo G(s) sujeto a una entrada muestreada e∗(t).

C(s) = G(s)E∗(s); C(t) podrıa calcularse a partir de £−1[C(s)] pero elcalculo es complejo porque G(s) y E∗(s) son transformadas de Laplace dediferentes tipos de senal; el calculo se simplifica si solo nos interesamos porC(t) en los instantes de muestreo, lo que se representa con el muestreadorficticio S2.

£{C∗(t)

}= C∗(s) = [G(s)E∗(s)]∗ =

1

T

∞∑

n=−∞

C(s− jnωs)

C∗(s) =1

T

∞∑

n=−∞

G(s − jnωs)E∗(s− jnωs)

E∗(s) = 1T

∑∞n=−∞ E(s− jnωs) : Senal periodica con periodicidad ωs

E∗(s− jnωs) E∗(s) desplazada un numero entero nde perıodos.

E∗(s− jnωs) =E∗(s)



Ası, tenemos:

C∗(s) = E∗(s)1

T

∞∑

n=−∞

G(s− jnωs) = E∗(s)G∗(s)

C∗(s) = E∗(s)G∗(s)

Usando la notacion mas compacta z, tenemos:

C(z) = C∗(s)∣∣∣esT =z

C(z) = E(z)G(z)

Donde G(z) es la Funcion de transferencia de pulsos; es la funcion de trans-ferencia entre la entrada muestreada e∗(t) y la salida c(t) en los instantes demuestreo, c∗(t).

El siguiente diagrama de bloques de la figura 3.8, representa la buclatıpica de control digital de forma conveniente para aplicar las tecnicas detransformadas.

D(z)E(s)

G(s)

H(s)

A∗(s) C(s)T

R(s)

A/D

Programa deComputador Planta + Actuador

D/A

1−e−sT

s

E∗(s)

−

+ A(s)


La funcion de transferencia de pulsos entre A∗(s) y C∗(s) sera:

C(s) =[1− e−sT

s

]G(s)A∗(s) =

G(s)

s︸︷︷︸Funcion de s

(1− e−sT

)A∗(s)︸︷︷︸

Funcion de esT



C∗(s) ={

G(s)s

}∗{(1 − e−sT

)A∗(s)

}∗

C(z) = Z{

G(s)s

}{(1− e−sT

)A∗(s)

}∣∣∣esT =z

C(z) = Z{

G(s)s

}(1 − z−1

)A(z)

G(z) = Z{

G(s)s

}(1 − z−1

)= C(z)

A(z)

Ejemplo:Con G(s) = 1

s+1, calcular la salida en los instantes de muestreo si el com-

putador genera un escalon unitario discreto en lazo abierto.Solucion:

C(z) = Z{

1s(s+1)

}(1− z−1

)A(z)

C(z) = Z{

1s− 1

s+1

}(z−1z

)(z

z−1

)

C(z) = zz−1− z

z−e−T

C(kT ) = 1 − e−kT

Respuesta exponencial que tiende a 1; el ROC recibe un escalon discreto yentrega un escalon continuo reconstruyendo perfectamente la senal.

3.1.8. FdT de Pulsos de Elementos en Cascada

1.

E(s)G(s) H(s)

C(s)

T

E∗(s) A(s)

TT

A∗(s) C∗(s)

Figura 3.9: Cascada totalmente muestreada



C(s) = H(s)A∗(s) →︸︷︷︸Z

C(z) = H(z)A(z)

A(s) = G(s)E∗(s) →︸︷︷︸Z

A(z) = G(z)E(z)

=⇒ C(z) = G(z)E(z)H(z)C(z)E(z)

= G(z)H(z)

La FdTP total es el producto de las FdTP parciales.

2.

E(s)G(s) H(s)

C(s)

T

E∗(s) A(s)

T

C∗(s)

Figura 3.10: Cascada sin muestreo intermedio

C(s) = G(s)H(s)E∗(s) →︸︷︷︸Z

C(z) = GH(z)E(z)

Donde : GH(z) = Z{G(s)H(s)

}

C(z)E(z)

= GH(z) 6= G(z)H(z)

3.

E(s)G(s) H(s)

C(s)A(s)TT

A∗(s) C∗(s)

Figura 3.11: Cascada sin muestreo de entrada

C(s) = H(s)A∗(s) = H(s)EG∗(s)→︸︷︷︸Z

C(z) = H(z)EG(z)

No hay FdT de Pulsos!!!.La senal a muestrear a(t) depende de todos los valores de e(t) y no solode e(kT ).



3.1.9. FdT de Pulsos de sistemas Realimentados

Consideremos el sistema realimentado de la figura 3.12.

E(s)G(s)

H(s)

C(s)T

R(s) E∗(s)

−

+

T

C∗(s)

Figura 3.12: Sistema realimentado

C(s) = G(s)E∗(s) →︸︷︷︸Z

C(z) = G(z)E(z)

E(s) = R(s) −H(s)C(s) = R(s)−G(s)H(s)E∗(s)

E∗(s) ={R(s) −G(s)H(s)E∗(s)

}∗= R∗(s)−GH∗(s)E∗(s)

→︸︷︷︸Z

E(z) = R(z) −GH(z)E(z) → E(z) = R(z)1+GH(z)

→ C(z)R(z)

= G(z)1+GH(z)

Si se discretiza la ecuacion: E(s) = R(s) − H(s)C(s) → E∗(s) = R∗(s) −HC∗(s), no se podra despejar C∗(s); por lo tanto, se debe evitar discretizaruna ecuacion si la variable de interes se pierde como factor.

Para sistemas mas complejos, la solucion del sistema de ecuaciones puedeser muy elaborada. El siguiente ejemplo muestra un procedimiento sistematicocon el grafico de flujo de senal.

Ejemplo:Calcular la FdTP para la bucla tıpica de control digital de la figura 3.13

1. Se construye el GFS sin muestreadores, pues no tienen funcion detransferencia; se asignan nodos de salida a las entradas de los muestreadoresy nodos de entradas a sus salidas, ver figura 3.14.

2. Expresar las entradas a los muestreadores y la salida del sistema en



D(z)E(s)

Gp(s)

H(s)

A∗(s) C(s)T

R(s) 1−e−sT

s

E∗(s)

−

+ A(s)

G(s)


R E1

−H

E∗D∗ A∗ CG

Figura 3.14: Grafico de flujo de senal

funcion de las salidas de los muestreadores y/o la entrada del sistema:

E = R −GHD∗E∗

C = GD∗E∗

3. Discretizar y resolver:

E∗ = R∗ −GH∗D∗E∗ →︸︷︷︸Z

E(z) = R(z)1+GH(z)D(z)

C∗ = G∗D∗E∗ →︸︷︷︸Z

C(z) = G(z)D(z)E(z)

C(z)R(z)

= G(z)D(z)1+GH(z)D(z)

Para la solucion de las ecuaciones se puede usar un nuevo GFS y aplicar laformula de ganancia de Mason.



Ejemplo:Calcular C(s) y C(z) para el sistema de la figura:

E1G1

H

CT

R−+

E2 G1T−+


Solucion:

1. Paso 1

R E11

−H

E1* E2G1 E2* CG2

-1

2. Paso 2

E1 = R−G2E∗2

E2 = G1E∗1 −G2HE∗

2

C = G2E∗2

3. Paso 3: discretizar:

E∗1 = R∗ −G∗

2E∗2

E∗2 = G∗

1E∗1 −G2H

∗E∗2

C∗ = G∗2E

∗2


3.2. SISTEMAS DISCRETOS EN REPRESENTACION DE ESTADO

G2H*

R* 1 E∗1

−G2*

G2*

G2

E2*G1* C*

C

Figura 3.16: GFS para la solucion de las ecuaciones.

Para resolver, podemos usar el GFS de la figura 3.16:

C(z) = G1(z)G2(z)R(z)1+G1(z)G2(z)+G2H(z)

; C(s) =G∗

1(s)G2(s)R∗(s)

1+G∗1(s)G∗

2(s)+G2H∗(s)

c(t) = £−1{C(s)

}da la respuesta entre instantes de muestreo; normalmente

se resuelve por computador.


3.2. Sistemas discretos en representacion de

estado

Las ecuaciones dinamicas para un sistema discreto, lineal e invariante,son:

X(k + 1) = AX(k) + BR(k)

C(k) = EX(k) + DR(k)

Donde:

X(k): Vector de estado de orden n.

C(k): Vector de salida de orden q.

R(k): Vector de entradas de orden p.



Anxn, Bnxp, Eqxn y Dqxp.

Z−1I+

A

B

D

E

X(k + 1) X(k)

C(k)

R(k)+

++

Figura 3.17: Sistema en Espacio de estados

La configuracion basica es la misma que la de los sistemas continuos porlo que tambien aplican las tecnicas de representacion vistas.

Ejemplo:Obtener la representacion de estado del sistema descrito por:

c(k + 2) + 5c(k + 1) + 3c(k) = r(k + 1) + 2r(k)

Solucion:Considerando:

x1(k) = c(k)x2(k) = x1(k + 1) + nr(k) ;

n a calcular.

x1(k + 1) = x2(k)− nr(k).c(k + 2) = x1(k + 2)⇓x2(k + 1) = x1(k + 2) + nr(k + 1)

= −5x1(k + 1) − 3x1(k) + r(k + 1) + 2r(k) + nr(k + 1).= −5x2(k) + 5nr(k) − 3x1(k) + (n + 1)r(k + 1) + 2r(k).



Con n = −1, se elimina el termino r(k + 1):

x2(k + 1) = −3x1(k)− 5x2(k)− 3r(k)x1(k + 1) = x2(k) + r(k).

[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[0 1−3 −5

] [x1(k)x2(k)

]+

[1−3

]r(k)

C(k) =[

1 0] [ x1(k)

x2(k)

]

Con x1(0) = 0; x2(0) = x1(1)− r(0) = c(1) − r(0).

Para obtener el diagrama de estado, consideramos un retardo: xj(k+1) =xi(k) =⇒︸︷︷︸

Z

zXj(z) − zxj(0) = Xi(z), luego Xj(z) = z−1Xi(z) + xj(0), ver la

figura.

1

z−1Xi(z)Xj(z)

xj(0)

︸︷︷︸Permite representar el retardo unitario en el diagrama de estado.

Ejemplo:Para el sistema discreto del ejemplo anterior, el diagrama de estado es:

Las variables de estado son ahora, las salidas de los retardos unitarios z−1.

Igualmente, a partir del diagrama de estado para el sistema discreto, sepueden obtener la Funcion o Matriz de transferencia discreta y las ecuacionesde transicion de estado.



R(z)

x2(k + 1) x2(k)

X1(k + 1)

x1(k) C(z)1z−1 1 z−1

−5

−3

−3

X2(z) X1(z)

x2(0)

1

x1(0)

1

1

Figura 3.18: Grafico en flujo de senal

Ejercicio:Resuelva los ejercicios 7, 8 y 9 propuestos en las actividades de aprendizaje.

Resumen

En este capıtulo se ha presentado el modelado matematico de sistemaslineales discretos utilizando funciones de transferencia, diagramas de bloquesy graficas de flujo de senal. Se presenta un metodo para modelar la operacionde muestreo mediante la modulacion por impulsos; se incluye el calculo de lasfunciones de transferencia del retenedor de orden cero. Tambien se presento lareconstruccion de la senal original en tiempo continuo a partir de la senalmuestreada. Se definieron las funciones de transferencia de sistemas en tiem-po discreto y se describieron las reglas que gobiernan las manipulaciones defunciones de transferencia entre sistemas en tiempo discreto que estan inter-conectados. Finalmente se presento el modelado de los sistemas de tiempodiscreto, mediante el espacio de estados.





2. Se desea determinar una expresion recursiva (Ecuacion de diferencias)para encontrar la n-esima raız de un numero N. Comenzamos por ex-pandir la Serie de Taylor de una funcion f(x) alrededor de un puntoxn:

f(x) = f(xn) + (x− xn)f′(xn) +

(x− xn)2

2!f ′′(xn) + . . .

Si truncamos la serie luego de dos terminos, tenemos:

f(x) = f(xn) + (x− xn)f′(xn)

Representamos con x la proxima iteracion xn+1 y ademas que sea unade las soluciones de la ecuacion, f(x) = 0. Ası, tenemos:

0 = f(xn) + (xn+1 − xn)f′(xn)

o

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

Esta ecuacion es util para solucionar f(x) = 0.Escoja apropiadamente f(x) y determine la correspondiente ecuacionde diferencias para hallar la n-esima raız de un numero N. Realice5 iteraciones para calcular la raız cubica de 5 usando x0 = 1 comosupuesto inicial.

3. Use la transformada Z para resolver la ecuacion de diferencias:

y(k)− 3y(k − 1) + 2y(k − 2) = 2u(k − 1) − 2u(k − 2)

Con:

u(k) = k k ≥ 0u(k) = 0 k < 0y(k) = 0 k < 0

4. Calcule la transformada inversa x(k) para cada una de las siguientestransformadas:



a) X(z) = 11+z−2

b) X(z) = 1+z−1−z−2

1−z−1

c) X(z) = zz2−2z+1

d) X(z) = z(z−1)2(z−2)

5. Resuelva (k + 2)x(k + 2)− 2(k + 1)x(k + 1) + kx(k) = 1 con x(k) = 0para k ≤ 0.

6. Calcule Y (z)R(z)

para los sistemas de las figuras 3.19 a 3.24 del libro de

Kuo.(Kuo [1996]); con T = 0,5 s.

ROCy(t)

T−

+G(s)

r(t) e(t) e*(t)

Figura 3.19: Sistema 1

1s+1T

r(t) y(t)

(b)

r*(t) 10s+2


1s+1T

r(t) y(t)

(c)

r*(t) 10s+2T




ZOHTr(t) y(t)

(d)

r*(t) 5s(s+2)

h(t)


ZOHTe(t) y(t)

(e)

e*(t) 5s(s+2)

h(t)r(t) +

−


ZOHTe(t) y(t)

(f)

e*(t) 5s(s+1)(s+2)

h(t)r(t) +

−


7. Dibuje un diagrama de estado ([Kuo, 1996]) para el sistema de controldigital representado por las siguientes ecuaciones dinamicas:

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = x1(x)

A =

0 1 −10 1 25 3 −1



B =

001

8. En la figura 3.25 ([Kuo, 1996]) se muestra el diagrama de estado de unsistema de control digital. Escriba las ecuaciones dinamicas. Encuentrela funcion de transferencia Y (z)/R(z)

1

R(z) Y (z)z−1 1z−1 z−12

1

−0.2

−0.1

−0.1

Figura 3.25: Sistema de control digital

9. En la figura 3.26 ([Kuo, 1996]) se muestra el diagrama de bloques de unsistema de datos muestreados. Escriba las ecuaciones de estado discre-tas del sistema. Dibuje un diagrama de estado para el sistema.

ROCy(t)

T−

+

G(s) = 1s+1 T = 1s

G(s)r(t) e(t) e*(t)

Figura 3.26: diagrama de bloques

10. (Examen octubre de 2004) La figura 3.27 muestra el diagrama de blo-ques de un sistema de control en cascada, con los dos muestreadoresperfectamente sincronizados.



Gc2(z) Gc1(z) ROC G1(s) G2(s)

T = 1seg

T = 1seg

R(z) E2(z) A2(z) E1(z) B(s) C(s)

Figura 3.27: diagrama de bloques

a) (40%) Con Gc1 = z+1z−1

y G1(s) = 12s+1

calcule la dinamica del lazo

de control interno, B(z)A2(z)

.

b) (40%) Se desea simular en un computador el lazo de control in-terno, de forma que se pueda observar la senal de salida del lazob(k) y la senal de control a1(k). Para facilitar la elaboracion delprograma de computador, obtenga una representacion del lazo in-terno en el espacio de estado discreto, considerando a b(k) y aa1(k) como salidas.

c) (20%) Calcule (si existe) la dinamica del sistema: C(z)R(z)

en funcionde Gc1, Gc2, G1, G2, G3=ROC.

11. (Examen abril de 2003)

a) Para el sistema dinamico de la figura 3.28:

s+1s2+1

R(s) C(s)


1) (40%) Obtenga una representacion de espacio de estados.

2) (10%) Calcule unos vectores propios.

3) (10%) Dibuje un diagrama de estado.

b) (40%) Para el sistema de control digital de la figura 3.29:

Calcule la respuesta del sistema en los instantes de muestreo, sise aplica un escalon unitario en la entrada.



1s+1

r(t) c(t)ROC

T = 1

e(t)


12. (Examen octubre de 2004) Para el sistema de la figura 3.30:

1−2ss+1

r(kT ) c(kT )ROC

T

c(t)


se tiene: T = 1 seg. y c(t = 0) = 1.

a) (20%) Obtenga la funcion de transferencia discreta.

b) (40%) Obtenga una representacion del sistema en el espacio deestado discreto.

c) (10%) Calcule la ecuacion caracterıstica, el(los) valor(res) pro-pio(s) y un(os) vector(es) propio(s).

d) (10%) Dibuje un diagrama de estado.

e) (10%) Calcule c(kT ) si r(kT ) = 0.

13. (Examen noviembre de 2005) Para el sistema de la figura 3.31:

El controlador ejecuta la ley de control:

a(kT ) = Kpe(kT ) + Kia1(kT )−Kd (c(kT )− c(kT − T ))

donde:e(kT ) = r(kT )− c(kT )

a1(kT ) = a1(kT − T ) +T

2(e(kT ) + e(kT − T ))



2s+2

r(kT ) c(kT )ROC

T = 1

a(kT )Controlador


a) (50%) Calcule la funcion de transferencia C(z)R(z)

.

b) (50%) Con Kd = 0, obtenga una representacion del sistema en elespacio de estado discreto, considerando a c(kT ), a(kT ) y e(kT )como salidas.


OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Pren-tice Hall, Mex. 1996. Capitulos 2 y 3.

Referencias



Capıtulo 4

Caracterısticas de los sistemasrealimentados

Introduccion

A menudo se necesita introducir la retroalimentacion con el objeto demejorar el desempeno de un sistema dinamico; en general estos sistemaspueden estar sujetos a variaciones parametricas indeseadas como el cambiode una resistencia por calentamiento en un circuito electrico o en un motor,perturbaciones que desvıan la salida del valor deseado, como la carga en elsistema o el ruido en la medicion; tambien es deseable ajustar a los valoresdeseados el comportamiento en lazo cerrado tanto transitorio como perma-nente. Se anade a lo anterior, la necesidad que el sistema realimentado seaestable para que pueda ser util.

En este capıtulo analizaremos los principales efectos de la realimentacionen ciertas caracterısticas de desempeno de los sistemas, tales como: ganancia,respuestas transitoria y permanente, sensibilidad a los cambios de paramet-ros, perturbaciones y la estabilidad del sistema; se realizara una comparacionde estas caracterısticas para sistemas compuestos por un actuador y el pro-ceso a controlar, operando en lazo abierto (control manual) y con respectoal mismo proceso realimentado con una bucla tıpica (control automatico).

Con las funciones de sensibilidad cuantificaremos los efectos en el sis-tema debidos a cambios en los parametros; despues describiremos el fun-cionamiento transitorio de un sistema realimentado y mostraremos como estefuncionamiento puede mejorarse facilmente. Mediante la relacion senal rui-do, cuantificaremos el efecto sobre la salida de las senales de perturbacion

134

4.1. SISTEMAS EN RED ABIERTA Y EN RED CERRADA

y mostraremos como podemos disenar un sistema de control para reducir elimpacto de las perturbaciones. Tambien consideraremos brevemente el pro-blema de la estabilidad de los sistemas realimentados, tema que sera tratadoen detalle mas adelante. Por supuesto, las ventajas de un sistema de controlrealimentado vienen acompanadas de un costo adicional para el controladory el sensor, al cual se le exige, en particular, alta insensibilidad parametri-ca e inmunidad al ruido; mostraremos como se logran grandes mejoras conla realimentacion, disenando adecuadamente el controlador y selecccionandoapropiadamente el sensor.

Objetivos

1. Analizar el efecto de la realimentacion en el funcionamiento de un sis-tema dinamico. Analisis

Contenidos

4.1. Sistemas en red abierta y en red cerrada

Para el objetivo planteado, analizaremos los efectos de la realimentacion[Dorf, 1989] considerando los sistemas en red abierta y en red cerradade la siguiente figura.


4.2. GANANCIA

Red abierta (RA) Red cerrada (RC)

G(s) C(s)R(s)G(s)

H(s)

C(s)R(s)

−

+

La dinamica G(s) considera la planta a controlar, el actuador y el contro-lador; H(s), la dinamica de la medida. En los ejemplos consideraremos unadinamica de primer orden para la planta: G(s) = 1

1+τgscorrespondiente a un

generador sincronico y un actuador+controlador de ganancia ajustable kA.

4.2. Ganancia

Las funciones de transferencia son:

Red abierta (RA) Red cerrada (RC)

C(s)

R(s)= G(s) C(s)

R(s)=

G(s)

1 + GH(s)

Podemos afirmar que La ganancia total del sistema se reduce en elfactor (1 + GH(s)) .

Ejemplo:Ajustar kA de forma que ante un escalon en la entrada VR, la salida (ten-

sion en terminales) en estado estable VT sea 1PU con tolerancia del 1%:Vt(t→∞) = 1± 0,01.

Solucion

VR(s) = 1s


4.3. SENSIBILIDAD

RA RC

kA

VT (s)VR(s) 11+τgs

kA

VT (s)VR(s)−+

11+τgs

KM = 1

VT (s)

VR(s)=

kA

1 + τgs

VT (s)

VR(s)=

kA

1 + τgs + kA

VT (s)

VR(s)

∣∣∣s→0

=VTss

VRss= kA

VT (s)

VR(s)

∣∣∣s→0

=kA

1 + kA

VTss = kAVRss VTss =kA

1 + kAVRss

1 = kA 0,99 =kA

1 + kA

kA = 1 kA = 99Para mantener los mismos niveles de senal a la entrada y salida del lazo, se

debe incremetar la ganancia de amplificacion kA para contrarestar la perdidade ganancia al realimentar.

4.3. Sensibilidad

Los parametros de los sistemas cambian con la edad, el punto de o-peracion, los cambios de carga, cambios ambientales, etc.. La FUNCIONDE SENSIBILIDAD nos permite cuantificar los cambios en el sistemadebidos a cambios en los parametros; es decir, es una medida de que tantoefecto tiene en el sistema la variacion de parametros.

STk =

Cambio porcentual en la FdT del sistema T (s)

Cambio porcentual en el parametro k


4.3. SENSIBILIDAD

STk =

∆T/T

∆k/k=

∆T

∆k

[k

T

]

lım∆→0

=⇒ STk =

dT

dk

[k

T

]

Con STk → 0 El sistema es Robusto.

Con STk → 1 El sistema es muy Sensible.

Si G(s) y H(s) son de la forma kN(s)D(s)

, tenemos:

En Red Abierta:

STG =

G

T

∂T

∂G=

G

G︸︷︷︸

STk = SG

k = 1

Cambia el comportamiento del sistema por cualquier variacion enel parametro k.

En Red Cerrada:

Cambio en la trayectoria directa (G):

STG =

G

T

∂T

∂G=

G(1 + GH)

G

[1 + GH −GH

(1 + GH)2

]

︸︷︷︸

STG =

1

1 + GH(s)

Se reduce al aumentar GH(s) en el rango de frecuencias deinteres.Si G crece⇒ ST

G → 0.


4.3. SENSIBILIDAD

Cambio en la trayectoria de realimentacion (H):

STH =

H

T

∂T

∂G=

H(1 + GH)

G

[−G2

(1 + GH)2

]

︸︷︷︸

STG =

−GH(s)

1 + GH(s)

Se requiere de una medida insensible y precisa.

En general, si T = A1+A2kA3+A4k

, donde Ai: polinomios en s, tenemos:

STk =

k(A2A3 −A1A4)

(A3 + kA4)(A1 + kA2)

Ejemplo:Analizar los efectos en estado estable sobre la tension en terminales de-

bido a una atenuacion del 10% en la ganancia del amplificador debido aun desajuste o saturacion y una variacion igual en la ganancia de medicion(kM ). Calculamos el cambio porcentual aproximado de la salida, a partir dela sensibilidad.

C(s) = T (s)R(s)

Entonces, si R(s) es constante → ∆%C(s) = ∆%T (s)

∆%C(s) = STk ∆%k

Red Abierta:

STkA = 1⇒ ∆%VT = ∆%kA

⇒ VT se atenua en un 10%; pasa de 1 a 0.9 PU.

Red Cerrada:

STkA =

1

1 + GH(s)=

1 + τgs

1 + τgs + 99


4.4. PERTURBACIONES

En estado estable: STkA = 0,01

⇒ ∆%VT = 0,01∆%k = 0.1%VT solo se atenua en un 0.1%; pasa de 0.99 a 0.989 PU.

STkM

=−GH(s)

1 + GH(s)=

−kAkM

1 + τgs + kAkM

En estado estable: STkM

= −0,99⇒ ∆%VT = −0,99∆%k = - 9.9%VT se incrementa en un 9.9%; pasa de 0.99 a 1.088 PU.

4.4. Perturbaciones

Las perturbaciones en un sistema dinamico pueden ser de diversa natu-raleza; sin embargo las mas importantes son las debidas a variaciones de lacarga, ruido de amplificacion y medicion y la distorsion por las alinealidades.Analizaremos los efectos de las perturbaciones cuando estas entran en el pro-ceso G(s) (carga) y en la medicion H(s) (ruido).

4.4.1. Perturbacion en G(s) :

RA RC

G1(s)C(s)R(s)

G2(s)

D(s)+

+

G1(s)

H(s)

C(s)R(s)

−

+G2(s)

D(s)+

+

D(s) = 0 → CR(s) = R(s)G1G2 D(s) = 0→ CR(s) = R(s)G1G2

1+G1G2H

R(s) = 0 → CD(s) = D(s)G2 R(s) = 0→ CD(s) = D(s)G2

1+G1G2H

C(s) = CR(s) + CD(s) C(s) = CR(s) + CD(s)

C(s) = R(s)G1G2 + D(s)G2 C(s) = R(s)G1G2

1+G1G2H+ D(s)G2

1+G1G2H

En red cerrada, tanto CR como CD se reducen en el factor 1 + G1G2H,no podemos por lo pronto concluir; para hacerlo, conviene definir la funcion


4.4. PERTURBACIONES

de Relacion Senal a Ruido RSR:

RSR =Salida debida a la senal

Salida debida al ruido

Notese que se desea una RSR lo mas grande posible.

RSRRA =CR

CD=

R(s)G1G2

D(s)G2= G1(s)

R(s)

D(s)

RSRRC =CR

CD=

R(s)G1G2

1+G1G2H

D(s)G2

1+G1G2H

= G1(s)R(s)

D(s)

RSRRA = RSRRC = G1(s)R(s)

D(s)

La RSR se mejora aumentando G1(s).

En red abierta no podemos aumentar G1(s) pues generarıamos error en lasalida. En red cerrada, si G1(s) se aumenta a G′

1(s) de forma que compense laperdida de ganancia al realimentar y se obtenga la misma CR en red abiertay en red cerrada, tenemos:

C(s) = G1G2R︸︷︷︸CRRA

+G2D

1 + G′1G2H︸︷︷︸

CDRC

=⇒ RSRRC = G1

(1 + G′

1G2H)R

D

Se incremento en el factor (1 + G′1G2H).

Ejemplo:Analizar el efecto en estado estable de la conexion subita de un motor de

induccion del 20% de la potencia nominal del generador.La figura 4.1 muestra el transitorio obtenido sin regulacion.([Westinghouse,

1950])


4.4. PERTURBACIONES

t[s]

w(t)[rpm]

1

0.9

0.85

1

Figura 4.1: Respuesta transitoria obtenida sin regulacion.

Para representar la caıda transitoria inicial de 0.1 PU y la permanentede 0.15 PU, para una entrada VR = 1

s, el generador se puede representar en

Red Abierta de la forma:

kAVTVR

−

+1

1+τgs

0.15(1+2/3τcs)1+τcs

D(s) = 1s


RSRRA = G1R

D=

1

1 + τgs

[ 1 + τCs

0,15(1 + 23τCs)

]ka = 1

En estado estable: RSRRAss = 6,66

RSRRC =99(1 + τCs)

(1 + τgs)0,15(1 + 23τCs)

ka = 99

En estado estable: RSRRCss = 660


4.4. PERTURBACIONES

Como C = CR − CD = CR − CR

RSR=⇒ C = CR

[1 − 1

RSR

]

En Red Abierta: VTss =1(1 − 0,15) = 0,85 PU.

En Red Cerrada: VTss= 0.99(1 - 1.5*10−3) = 0.9885 PU.

El efecto de la perturbacion se atenua en un factor de 100.

4.4.2. Perturbacion en H(s)

Consideramos un ruido N(s) en la realimentacion:

G(s)

H2B(s)

R(s)

−+

N(s)+

+H1

C(s)

C(s) = R(s)[

G1+GH1H2

]−N(s)

[GH2

1+GH1H2

]

RSR = − R

H2N

RSR se mejora disminuyendo H2 lo cual exige un aumento en H1 paramantener la ganancia de la medida, H1H2 constante.

Esto equivale a tener un medidor con alta RSR =⇒ Alta exigencia defuncionamiento con respecto al ruido en los elementos de realimentacion.

Ejemplo:

En algunos sistemas de control de la tension en terminales de un gene-rador sincronico, la senal de medida del voltaje en terminales se obtiene encorriente continua al rectificar las tensiones trifasicas; la tension rectificadatiene los picos de las ondas senoidales a una frecuencia de 360 Hz, por lo quese requiere rectificarla. El actuador en este sistema es tıpicamente un puente


4.5. CONTROL DE LA RESPUESTA

trifasico rectificador controlado, el cual tiene componentes armonicas a 360Hz. Analizar en estado estable el efecto de un ruido en la medicion de latension en terminales, originado por la desconexion del filtro del rectificador;compararlo con un ruido similar a la salida del amplificador. Asumir τg = 1 s.

Solucion:Asumiendo una variacion pico - pico del 15% en la senal de realimentacionb(t) y aproximando la onda del ruido a una sinusoide:

b(t) = vT + n(t)B(s) = VT (s) + TL[0,15 sin ωt] ;ω = 2π(360) = 2262rad/s

VT (s) =[

99s+100

]VR(s)−

[99

s+100

]N(s)

VT (s) =[

99s+100

](VR(s)−N(s)

)− > RSR = −VR

N

Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene:

VT (t→∞) = 0,99 − 6,5 ∗ 10−3 sin (ωt− 87) (4.1)

Para el ruido en el amplificador:

VT (s) =[

99s+100

]VR(s)−

[1

s+100

]N(s)

VT (s) =[

99s+100

](VR(s)− N(s)

99

)− > RSR = −99VR

N

Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene:

VT (t→∞) = 0,99 − 6,6 ∗ 10−5 sin (ωt− 87) (4.2)

El efecto del ruido en la medida es 100 veces mayor que en elamplificador.

4.5. Control de la Respuesta

La respuesta en el tiempo de un sistema tiene dos componentes basicas:la transitoria y la permanente (asociada a la precision); para ambas com-ponentes se exige cumplir determinadas especificaciones de desempeno, estose dara en detalle en el capıtulo siguiente.


4.5. CONTROL DE LA RESPUESTA

4.5.1. Respuesta Transitoria

En red abierta, depende de la planta la cual asumimos ya inalterable ypor tanto, puede haber respuesta inadecuada.

En red cerrada, se puede ajustar a una respuesta adecuada ajustandoel compensador y/o la realimentacion.

Ejemplo:

Red Abierta:VT

VR=

kA

1 + τgs

La velocidad solo depende de la constante de tiempo del generador.

Red Cerrada:VT

VR

=kA

1 + τgs + kA

=

kA

1+kA

1 +τg

1+kAs

La constante de tiempo equivalente τg

1+kAse puede ajustar con kA a τeq = τg

100;

100 veces mas rapido; sin embargo, el sistema esta sujeto a saturacion y lavelocidad real no es tan alta.

4.5.2. Respuesta Permanente

Define el error permanente del sistema.Error del sistema: E(s) = R(s) − C(s) → E(s) = R(s)−R(s)G(s)

Red Abierta: E(s) = R(s)−R(s)G(s) → R(s)[1 −G(s)]

Red Cerrada: E(s) = R(s)[ 11+G(s)

]; H(s) = 1

En estado estable, para R(s) = 1s

Red Abierta: ess = 1 −G(0) { Nulo si G(0) = 1}


4.6. ESTABILIDAD

Red Cerrada: ess = 11+G(0)

{ Nulo si G(0) →∞}

Aunque en red abierta es posible anular el error permanente, los cambiosparametricos y las perturbaciones no se compensan, reapareciendo el error.

Ejemplo:

ess[PU ]RA ess[PU ]RCAjuste en kA 0 0.01

Cambio de 10% en kA 0.1 0.001Perturbacion D(s) 0.15 0.0015

4.6. Estabilidad

Una nocion de estabilidad (mas detalle en el proximo curso) es que unsistema sera estable si se obtiene una respuesta acotada ante una entradaacotada; esto exige que los polos del sistema se encuentren en el semiplanoizquierdo del plano complejo S.Para red abierta, G(s) = N(s)

D(s)sera estable, si las raıces de D(s) = 0 estan en

el semiplano izquierdo del plano S.Si se tiene una planta G(s) estable, en red cerrada:

T (s) =G

1 + GH=

N

D + NH

Las raıces de D(s)+N(s)H(s) = 0 no necesariamente seran estables. La posi-bilidad de inestabilizar un sistema estable, obliga a usar tecnicas analıticaspara evaluar el grado de estabilidad. Ahora bien, si la planta G(s) es in-estable, es forzoso utilizar la realimentacion para estabilizar el sistema. Lafigura ilustra las relaciones de estabilidad de red abierta a red cerrada.


4.6. ESTABILIDAD

Estable

RED CERRADARED ABIERTA

Estable

Inestable Inestable

Figura 4.3: Relaciones de estabilidad en red abierta y red cerrada

Ejemplo:Analizar la estabilidad en red abierta y red cerrada para un sistema de

control de la excitacion autoexcitado.

Solucion

En un modelo lineal, la autoexcitacion se refleja como un realimentacionpositiva.([Ramırez, 1989]).

Red Abierta:kA = 1

VT (s)VR(s) ++

1τgs+1

VT (s)

VR(s)=

1

τgs

Si vR(t) = µ(t) entonces vT (t) = tτg

µ(t)

lımt→∞

vT (t)→∞

Salida no acotada; esto implica Sistema Inestable.

Red Cerrada:

99VT (s)VR(s)

−+1

τgs

VT

VR=

99

99 + τgs=

1

1 +τg

99s

Polo en s = −99τg

=⇒ Estable


4.6. ESTABILIDAD

Resumen

La tabla resume el analisis realizado en esta Unidad y plantea las ventajasy desventajas de la realimentacion.

VENTAJAS DESVENTAJAS

Reduce STk Mayor costo

Aumenta RSR Mayor complejidadPermite controlar la respuesta transitoria Reduce la gananciaReduce ess Posible inestabilidadPuede estabilizar plantas inestables

Se observa como las ventajas son mucho mayores y es por ello que la reali-mentacion se utiliza en el control de muchas clases de sistemas (ver Unidad1); se debe, sin embargo, en el diseno de la solucion, considerar la estabilidadde un sistema mas complejo; es por ello que el analisis de estabilidad de lossistemas dinamicos realimentados sera tratado mas adelante en detalle.


1. Considere los dos sistemas siguientes, figuras 4.4 y 4.5 ([R. Dorf, 2005]):

Estos sistemas tienen la misma funcion de transferencia cuando k1 =k2 = 100. Que sistema es mas sensible a variaciones en el parametrok1?. Calcule la sensibilidad usando valores nominales k1 = k2 = 100.

2. Considere el diagrama de bloques del sistema de control maquina-herramienta, figura 4.6 ([R. Dorf, 2005]):


4.6. ESTABILIDAD

k1

Y (s)R(s)−+ k2

0.0099


k1Y (s)R(s)

−+ k2

0.09

−+

0.09


kY (s)R(s)

−+b

s+1++

D(s)


a) Cual es la sensibilidad al parametro b?.

b) Calcule el valor nominal de K tal que el error de estado establedebido a un escalon en la perturbacion sea menor que el 10%.

Resuelva los siguientes tres ejercicios, una vez haya estudiado la res-puesta temporal de sistemas de tiempo continuo, seccion 5.3.

3. Considere el sistema de control de la figura 4.7:

Los parametros de la planta son k = τ = 1. En red abierta se utilizaun controlador proporcional Gc(s) = Kp = 1. En red cerrada se usa uncontrolador integral Gc(s) = 1/s. Analice y compare el funcionamientodel sistema en red abierta y en red cerrada, usando los respectivoscontroladores, con respecto a:


4.6. ESTABILIDAD

Gc(s)C(s)R(s)

−+k

τs+1++

D(s)

RA

RC


a) (40%) Velocidad de respuesta, grado de amortiguamiento y so-brenivel porcentual.

b) (20%) Sensibilidad a una disminucion del 10% en el valor de k enregimen estacionario.

c) (20%) Capacidad de reducir los errores permanentes generadospor una perturbacion D(s) = 0,1/s

d) (20%) Capacidad de seguir en regimen permanente, entradas detipo escalon y rampa; D(s) = 0

4. La figura 4.8 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control:

10.1s+1

C(s)R(s)−+

1s+1

+−

D(s)

k


a) (10%) Con D(s) = 0 y R(s) = 1s, calcule los valores de KRA en

red abierta y KRC en red cerrada, de forma que la salida c(t) enestado estable sea de 0.9.

Analice y compare el funcionamiento del sistema en red abierta yen red cerrada, usando los repectivos controladores KRA y KRC ,con respecto a:


4.6. ESTABILIDAD

b) (20%) Velocidad de respuesta, grado de amortiguamiento y so-brenivel porcentual.

c) (10%) Sensibilidad a una disminucion del 10% en el valor de k enregimen estacionario.

d) (10%) Capacidad de disminuir los errores de estado estable, ge-nerados por una perturbacion D(s) = 0,1/s

5. La figura 4.9 muestra el diagrama de bloques de un sistema de controlde posicionamiento mecanico, en red abierta y en red cerrada.

Gc(s)C(s)R(s)

−+k

s2+0.2s+1+−

D(s)

RA

RC

Posicion deseada Posicion de salida

Figura 4.9: Sistema de control de posicionamiento mecanico

El parametro de la planta es k = 1. En red abierta se utiliza un con-trolador proporcional Gc(s) = 1; en red cerrada se usa un controladorproporcional derivativo: Gc(s) = Kp(Tds + 1) = 4(0,5s + 1).

Analice y compare el funcionamiento del sistema en red abierta y enred cerrada, usando los respectivos controladores, con respecto a:

a) (40%) Velocidad de respuesta, grado de amortiguamiento y so-brepaso.

b) (20%) Sensibilidad en regimen estacionario a una disminucion del10% en el valor de k.

c) (20%) Capacidad de reducir los errores permanentes generadospor una perturbacion D(s) = 0,5/s.

d) (20%) Capacidad de seguir en regimen permanente, posicionesdeseadas de tipo escalon y rampa (D(s) = 0).


4.6. ESTABILIDAD


Dorf Richard. Sistemas modernos de control: Teorıa y practica.Addison-Wesley Iberoamericana, 1989. Capıtulo 3: carasterısticas delos sistemas de control con realimentacion.

Referencias

DORF RICHARD, Sistemas Modernos de Control, Addison-WesleyIberoamericana, 2da edicion en espanol; 1989.


Capıtulo 5

Analisis de la respuesta en eltiempo

Introduccion

El modelo matematico obtenido en los capıtulos 2 y 3, lo podemos utilizarpara analizar el desempeno del sistema. Los principales metodos de analisisson en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia. En este capıtulo nosdedicaremos al analisis de la respuesta temporal de los sistemas dinamicos;la respuesta frecuencial sera desarrollada mas adelante.

En el analisis y diseno de sistemas de control, debemos tener una basede comparacion del desempeno de diversos sistemas. Esta base se configuraespecificando senales de entrada de prueba particulares y comparando lasrespuestas obtenidas de varios sistemas a estas senales de entrada.

En este capıtulo relacionamos las respuestas de los sistemas a las senalesaperiodicas (funciones escalon, rampa, parabola e impulso). El capıtulo in-cluye las respuestas de los sistemas de primero y segundo orden, el efecto depolos o ceros adicionales, tanto para sistemas analogos como discretos. Paraello utilizaremos la representacion entrada-salida de los sistemas; al final delcapıtulo, veremos como calcular la respuesta temporal de los sistemas repre-sentados en variables de estado, tanto continuos como discretos.

153

5.1. SENALES DE PRUEBA

Objetivo

1. Calcular y analizar la respuesta en el tiempo de un sistema analogo ydigital. Aplicacion

Contenido

5.1. Senales de Prueba

Como se vio en el capıtulo anteror, para nosotros es de interes conocer lavelocidad de respuesta, la precision y el grado de estabilidad en la respuestade los sistemas dinamicos.

SistemaEntrada Salida

Velocidad

Precision

Grado de estabilidad

Sinembargo, las entradas a los sistemas son muchas veces de naturalezaaleatoria; no sabemos con exactitud en que forma un operador va a variar unareferencia del sistema y en muchos casos, tampoco podemos saber cuando ycomo variara la carga en el mismo; como predecir el uso de agua en unaciudad para prever el flujo de descarga de un tanque de almacenamiento?

Para el diseno del sistema realimentado, es importante poder compararlas respuestas con distintos parametros y/o esquemas; de aquı se deriva lanecesidad de usar entradas tıpicas de prueba.Para estas senales nos interesa que:

Sean faciles de generar

Exijan dinamica y/o estaticamente al sistema


5.1. SENALES DE PRUEBA

Permitan correlacionar las respuestas a estas entradas estandares conla respuesta del sistema a la entrada normal

Para la respuesta en el tiempo se usan:

Impulso

1

δ(t)

t

δ(t) = ddt

.µ(t)

Escalon

1

µ(t)

t

µ(t) = ddt

.r(t)

Rampa

r(t)

t

r(t) = 12

ddt

.a(t)

Parabola

a(t)

t

a(t)

Como los sistemas lineales tienen la propiedad de poder calcular la deriva-da o integral de una entrada, derivando o integrando la salida:

Sistema Lineal

x(t)

x′(t)∫x(t)dt

y(t)

y′(t)∫y(t)dt

Entonces, basta obtener la respuesta a una sola entrada tıpica; las otrasse obtienen derivando e integrando esta respuesta.La mas usada es la escalon por exigir dinamicamente al sistema debido a suamplia banda de frecuencias en su espectro.Para la respuesta de frecuencia se usan senales de prueba sinusoidales.


5.2. RESPUESTA TRANSITORIA

5.2. Respuesta Transitoria

La respuesta transitoria es la parte de la respuesta que tiende a cerocuando el tiempo tiende a infinito; va desde el estado inicial hasta el estadofinal.

5.2.1. Sistemas de Primer Orden

Representacion en realimentacion, funcion de transferencia y plano S.

1τs

R(s)

−

+ C(s)

−1τ

σ

J

Plano S

11+τs

R(s) C(s)

C(s)

R(s)=

1

1 + τs

polo en S = −1

τ

En general, la ganancia estatica es diferente de 1:C(s)

R(s)=

k

1 + τs

Respuesta al escalon:R(s) =1

s

C(t) = (1 − e−tτ )k t ≥ 0



t

1

τ 2τ 3τ 4τ

0.95

0.865

0.632

0.982

C(t)

τ : Tiempo que tarda la respuesta enllegar al 63.2% del valor final; tiempoque tardarıa la respuesta en llegaral valor final si continuara conla velocidad inicial: C

R= 1

τs

Duracion del transitorio:

3τ Banda de tolerancia ±5%4τ Banda de tolerancia ±2%

Ejercicio:Resuelva el ejercicio 3 propuesto en las actividades de aprendizaje [Ogata,1998].

5.2.2. Sistemas de Segundo Orden

ω2N

s(s+2ρωN )

R(s)

−

+ C(s)E(s)C(s)

R(s)=

ω2N

s2 + 2ρωNs + ω2N

ρ : Coeficiente de amortiguamientoωN : Frecuencia Natural del Sistema

Ecuacion Caracterıstica: s2 + 2ρωN s + ω2N = 0

Raıces: s1−2 = −ρωN ± ωN

√ρ2 − 1

Si:0 < ρ < 1: Sistema subamortiguado (Raıces complejas conjugadas)ρ = 1 : Amortiguamiento crıtico (2 Raıces reales iguales)ρ > 1 : Sistema sobreamortiguado (Raıces reales distintas)



Plano S jω

ωD

ρωN

σ

ωN

θ

ωN

√1 − ρ2 = ωD :

Frecuencia Natural Amortiguadacos θ = ρωN

ωN= ρ ρ = cos θ

ωN : distancia de la raız al origen del plano complejo.

Respuesta al escalon:

C(s) =ω2

N

s2 + 2ρωN s + ω2N

.1

s

EFP, TIL:

C(t) = 1 − e−ρωN t

√1 − ρ2

sen(ωDt + θ)

para t > 0 y 0 < ρ < 1, donde:

θ = tan−1

√1−ρ2

ρ= cos−1 ρ

La frecuencia de la oscilacion depende del amortiguamiento ρ.

Error: e(t) = r(t)− c(t) =e−ρωN t

√1− ρ2

sen(ωDt + θ)

Oscilacion sinusoidal amortiguada; ess = 0

haciendo ρ→0: C(t) = 1− sen(ωN t + 90) = 1 − cos ωN tωN : frecuencia a la cual oscilarıa el sistema si no hubiera amortiguamiento.

Las respuestas al escalon para varios ρ se grafican como una familia decurvas con parametro ρ y abscisa adimensional ωN t:



2 sistemas con ωN distintas e igual ρtienen respuesta de la misma forma.

A mayor ωN , respuesta mas rapida.

La curva con ρ = 0,7 se aproxima masrapidamente al valor final.

Para los sistemas sobreamortiguados elmas rapido es para ρ = 1

Ejercicio:Resuelva el ejercicio 4 propuesto en las actividades de aprendizaje [Ogata,1998].

5.2.3. Caracterısticas de Respuesta Transitoria

Muchas veces el funcionamiento deseado de un sistema de control se es-pecifica sobre las caracterısticas de la respuesta de tiempo. Las mas usadasson las de la respuesta de escalon unitario:

1. Indican velocidad de respuesta:

Tiempo de retardo tD

Tiempo de subida tR

Tiempo de establecimiento ts

Tiempo de pico tp

2. Indica grado de estabilidad

Rebase maximo o sobrepaso

Estas caracterısticas se muestran en la siguiente respuesta tıpica:



5.2.4. Expresiones Analıticas:

Tiempo de retardo td: tiempo que tarda la respuesta en alcanzar porprimera vez la mitad del valor final:

e−ρωN td

√1 − ρ2

sen(ωDtd + θ) = 0,5

Aproximacion lineal: tD ' 1+0,7ρωN

Tiempo de subida tR: tiempo que tarda la respuesta en pasar de:

• 10 → 90% del valor final



de los sistemas con respuesta oscilatoria.

tR =π − θ

ωD

0− 100%



Tiempo de pico: Tiempo requerido para alcanzar el primer pico desobrepaso.

tp =π

ωD

Es medio perıodo de laoscilacion amortiguada

Tiempo de establecimiento ts : Tiempo requerido para que la respuestaalcance y permanezca dentro de determinado rango del valor final:±5%o ±2%

Para un sistema subamortiguado de 2o orden, la constante de tiempode las envolventes de la respuesta es 1

ρωNası:

ts∼=

4

ρωN

ts∼=

3

ρωN

Criterio del 2%

Criterio del 5%

Rebase Maximo: C(t) en t = tp

R.M. = 1 + e− ρωN π

ωD Sobrepaso: MP = e− ρπ√

1−ρ2

Si c(t) →∞ 6= 1:SobrenivelPorcentual

[S.P.]=R.M.− V alorfinal

V alorfinal× 100%

∗ Como ρ se define principalmente por el rebase maximo permitido,entonces el tiempo de estabilizacion ts lo determina principalmente lafrecuencia natural ωN . Conocidas las caracterısticas de la respuesta, lacurva se puede construir completamente.

5.2.5. Especificaciones de funcionamiento para la res-

puesta transitoria

La respuesta debe ser rapida y bien amortiguada; si la aplicacion puedetolerar oscilaciones, el amortiguamiento adecuado para un sistema de 2o.orden sera:

0,4 < ρ < 0,8 =⇒ 2,5% < S.P. < 25%



La especificacion de velocidad de respuesta la determina el sistema enparticular. Una guıa es asociarla a la del lazo cerrado; queremos que en redcerrada el sistema sea mas rapido que en red abierta; esto no se puede exa-gerar, pues aparecera saturacion en el actuador y problemas de robustez alexcitar dinamicas no modeladas.(mas detalles en los capıtulos de diseno).Las especificaciones de desempeno en el tiempo se pueden establecer en termi-nos de una ubicacion de los polos en el plano S:

ts ≈3 − 4

ρωN→ define ρωN : Parte real de las raices en red cerrada.

El sobrepaso → ρ.

tr = Π−Θ

ωn

√1−ρ2

. Con ρ=0.5: tr ≈ 2,5ωn

, tr ≤ trmax ⇒ ωnmin ≥ 2,5trmax

Jω

σ

ρ = 0.4

ρ = 0.8

−ρωn

Area deseadaPara los polos

Cırculo de radio ωn min

Ejemplo:Analizar la respuesta temporal, para un sistema de control de la excitacion,autoexcitado con excitatriz C.C., para kA = 5 y kA = 100. AsumamosτE = 1seg; τG = 5seg.

Sistema normalizado y linealizado:



kAVR(s)

−

+1

1+τEs1

1+τGs

VT (s)+

+

G(s) =kAkEQ

s(1 + τEQs) kEQ =1

τE + τG; τEQ =

τEτG

τE + τG

VT (s)

VR(s)=

kA

τEτG

s2 + 1τEQ

s + kA

τEτG

kA = 5

VT (s)

VR(s)=

1

s2 + 1,2s + 1

kA = 100

VT (s)

VR(s)=

20

s2 + 1,2s + 20

kA ρ ωN ωD MP td tr tp ts(5%)5 0.6 1 0.8 0.095 1.42 2.77 3.93 5

100 0.134 4.47 4.43 0.653 0.24 0.38 0.7 5

Con kA alto el sistema es muy oscilatorio, con una respuesta inicial muyrapida pero con la misma duracion total de la respuesta con kA baja.

Ejercicio:

Resuelva los ejercicios 5, 6 y 7 propuestos en las actividades de apren-dizaje [Ogata, 1998].



5.2.6. Sistemas con Ceros y de Orden Superior a 2.

Para la forma canonica:

G(s)R(s)

−

+ C(s)

H(s)

Si R(s) = 1/s, en general:

C(s) =N(s)

D(s).1

s↓T(s)

D(s) =

q∏

J=1

(s + pJ ) .r∏

J=1

(s2 + 2ρJωKJs + ω2nJ )

EFP−→

C(s) =a

s+

q∑

j=1

aJ

s + pJ+

r∑

k=1

a1k + a2ks

s2 + 2ρkωks + ω2k

↓

Sumatoria de terminos simples de primer y segundo orden.

Si todos los polos son distintos:

TIL−→

C(t) = a +

q∑

j=1

aje−ρjt +

r∑

k=1

bke−ρkωkt cosωk

√1− ρ2

kt

+∑r

k=1 Cke−ρkωktsenωk

√1 − ρ2

kt t ≥ 0

↓Sumatoria de exponenciales y sinusoides amortiguadas.

Si todos los polos son reales, la respuesta es lenta sobreamortiguada ysin oscilacion.

Puede ser con oscilaciones menores superpuestas a mayores o a curvasexponenciales

Si el sistema es estable, lımt→∞ C(t) = a

Si G(s) = NG

DG; H(s) = NH

DH

=⇒ T (s) =G

1 + GH=

NGDH

DGDH + NGNH



Los polos de T (s) los definen los polos y ceros de G y H; a su vez definen eltipo de respuesta pues afectan los exponentes de los terminos exponenciales.

Los ceros de T (s) son los ceros de G(s) y los polos de H(s), influyen enla forma de la respuesta pues afectan las magnitudes y signos de los residuos.

5.2.7. Polos Dominantes de Lazo Cerrado

Sistemas de orden superior se pueden tratar como sistemas de 2o. ordeno de orden menor.

Criterios:

Cancelar polos y ceros cercanos de red cerrada, pues el residuo deltermino es pequeno.

Despreciar terminos exponenciales debidos a polos lejanos del origendel plano complejo, pues el transitorio es corto y el residuo es pequeno.

Si las relaciones de las partes reales de polos o ceros reales o complejos yla parte real de un par de polos complejos, sin ceros cercanos, excedende cinco, entonces los polos complejos de lazo cerrado mas cercanosal eje jω dominan la respuesta y se denominan polos dominantes delsistema.

Ejemplo:

Analizar el funcionamiento del sistema de control de la excitacion conexcitatriz C.C. y red estabilizadora.



++

+−kA

VR(s) VT (s)1τEs+1

1τGs+1

kF sτF s+1

kA = 100, kF = 0,01, τE = 1, τG = 5, τF = 1

+−

VR(s) VT (s)kA(τF s+1)(τF s+1)(τEs+1)+kAkF s

1τGs+1

G(s) =100(s + 1)

(s2 + 3s + 1)(5s + 1)

VT (s)

VR(s)=

20(s + 1)

(s + 1,044)(s2 + 2,156s + 19,35)

Cancelando el polo con el cero y ajustando la ganancia para obtener la mismaganancia C.C.:

VT (s)

VR(s)≈ 19,16

s2 + 2,156s + 19,35

ρ = 0, 245 ωN = 4, 4 ts = 3ρωN

= 2, 8seg

La expansion en fracciones parciales de la funcion sin simplificar conVR(s) = 1/s es:

VT (s) =0, 99

s− 1,036s + 2,186

s2 + 2,156s + 19,35+

4,63 × 10−2

s + 1,043



Efectivamente el termino simple es despreciable por tener un residuopequeno. Con kF = 0

VT (s)

VR(s)=

20

s2 + 1,2s + 20,2

ρ = 0,133 ωN = 4,49 ts =3

ρωN= 1,6seg.

La red estabilizadora baja un poco la velocidad pero adiciona amortiguamien-to.

5.2.8. Sistemas de Tercer Orden con un polo real.

C(s)

R(s)=

ω2Np

(s2 + 2ρωNs + ω2N )(s + p)

Plano S

jω

−ρωN−p σ

ρ = 0,5

Se reduce el sobrepaso maximo, aumenta el tiempo de respuesta: el desubida tr si β > 1; el de estabilizacion ts, si 0 < β < 1.



5.2.9. Sistemas de Segundo Orden Subamortiguados

con un cero.

C(s)

R(s)=

ω2N

z.

s + z

s2 + 2ρωNs + ω2N

Plano S

jω

−ρωN−z σ

ρ = 0,5

Se incrementa el sobrepaso maximo, aumenta la velocidad inicial del tran-sitorio, por este efecto, el rebase maximo no es un indicativo de grado deestabilidad, solo lo sera si el sistema es de segundo orden sin ceros.

Ejemplo:

Sistema de control de la excitacion con controlador PD.


5.3. RESPUESTA PERMANENTE

+−

VR(s) VT (s)1τgs+1

1τes+1

kA(1 + τds)

KA = 100 τd = 0,5

VT (s)

VR(s)=

20(τds + 1)

s2 + (1,2 + 20τd)s + 20,2

Aumenta el coeficiente de s =⇒ aumenta ρ

VT (s)

VR(s)=

10(s + 2)

(s + 2,26)(s + 8,94); VR(s) =

1

s

EFP,TIL: → VT (s) = 0,99 −1,162e−8,94T+0,17e−2,26T

Respuesta Residuorapida pequeno

Esta expresiom no tiene ninguna simplificacion.

V

0.99

1.032

S

T

t = 0.96

0.488

A pesar de ser sobreamortiguado,hay sobrepaso.

Ejercicio: Resuelva los ejercicios 8, 9 y 10 propuestos en las actividadesde aprendizaje [Ogata, 1998].

5.3. Respuesta Permanente

5.3.1. Error Permanente:

Es una medida de la exactitud del sistema con una entrada particular.Si la entrada r(t) y la salida c(t) son homogeneas dimensionalmente y

estan al mismo nivel u orden de magnitud, la senal de error es:



e(t) = r(t)− c(t)

Si no es ası, existe una realimentacion no-unitaria:

G(s)R(s)

−

+ C(s)

H(s)

E(s)

B(s)

e(t) = r(t)− b(t)E(s) = R(s)−B(s)E(s) = R(s)−H(s)C(s)E(s): Error actuante

E(s) =R(s)

1 + GH(s); eSS = lım

t→∞e(t) = lım

s→0sE(s)

=⇒ eSS = lıms→0

sR(s)

1 + GH(s)

Notemos que el error permanente depende de la entrada y de GH(s).Esta expresion solo es valida si sE(s) no tiene polos en el eje imaginario oen el semiplano derecho.

5.3.2. Clasificacion del Tipo de Sistema

Define la capacidad de un sistema para seguir una entrada escalon, orampa, o parabolica, etc.

Si

GH(s) =k(τAs + 1)(τBs + 1)...(τHs + 1)

sN (τ1s + 1)(τ2s + 1)

Se dice que es de tipo N-esimo.

sN : Polo en el origen de multiplicidad N . A mayor tipo, mas exactitud ymenor estabilidad.

5.3.3. Error permanente debido a una entrada escalon

R(s) =R

s⇒ eSS = lım

s→0

sR(s)

1 + GH(s)=

R

1 + lıms→0 GH(s)

Se define: KP : lıms→0 GH(s): constante de error de posicion.



eSSP =R

1 + KP{Error de Posicion.

Si GH(s) tiene al menos una integracion: KP →∞, eSSP → 0

=⇒ Sistema Tipo 0 : eSSP = R1+KP

= R1+K

: constanteSistema Tipo 1 o mas : eSSP = 0

5.3.4. Error permanente debido a una entrada rampa

R(s) = R/s2 ⇒ eSS = lıms→0

R/s

1 + GH(s)= lım

s→0

R

s + sGH(s)=

1

lıms→0 sGH(s)

KV : lıms→0 sGH(s): constante de error de velocidad.

eSSV =R

KV{Error de Velocidad.

GH(s)= debe tener al menos dos integraciones para que eSSV → 0.

=⇒Sistema Tipo 0 : eSSV =∞Sistema Tipo 1 : eSSV = R/KV = R/K:constanteSistema Tipo 2 o mas : eSSV = 0

5.3.5. Error permanente debido a una entrada paraboli-

ca

R(s) =R

s3⇒ eSS = lım

s→0

R

s2 + s2GH(s)=

R

lıms→0 s2GH(s)

KA : lıms→0 s2GH(s): constante de error de aceleracion.

eSSP =R

KA{Error de Aceleracion.

=⇒Sistema Tipo 0,1 : eSSA =∞Sistema Tipo 2 : eSSA = R/KA = R/K:constanteSistema Tipo 3 o mas : eSSA = 0

En el diseno de un sistema de control se especifican las constantes de errorde acuerdo al funcionamiento deseado en regimen permanente, cumpliendo



el compromiso de funcionamiento adecuado en regimen transitorio; se buscala mayor constante con el mınimo ρ permisible.

Ejemplo:

Error permanente para el sistema de control de la excitacion con contro-lador PI.

+−

VR(s) VT (s)1τGs+1

1τEs+1

kA(s+1/tI)s

KA = 100 , tI = τG = 5

GH(s) =KA(s + 1/tI )

s(τEs + 1)(τGs + 1)=

kA

τGs(τEs + 1)TIPO 1

Constantes de Error:

KP = lıms→0

GH(s) =∞ =⇒ eSSP =1

1 + KP= 0

KV = lıms→0

sGH(s) =KA

tI=⇒ eSSV =

1

KV=

tI

KA= 0,05

KA = lıms→0

s2GH(s) = 0 =⇒ eSSA =1

KA=∞

El eSSP baja del 1% a cero al adicionar la integracion.

El eSSV se puede mermar con una KA mayor.

Ejercicio:Resuelva los ejercicios 11, 12 y 13 propuestos en las actividades de aprendizaje[Ogata, 1998].


5.4. RESPUESTA TEMPORAL, SISTEMAS DISCRETOS

5.4. Respuesta Temporal, Sistemas Discretos

Para un sistema de tiempo ciscreto como el controlador digital:

Gc(z)E(z)

e(k) a(k)

A(z)

la senal de control se puede calcular como la trasformada inversa Z−1 dela salida. Las senales discretas de entrada provienen de muestrear senales detiempo continuo; por ello, es importante conocer la relacion entre los dominiosdel tiempo discreto S y Z.

5.4.1. Representacion en el plano Z de las senales.

Pulso unitario: e(k) = d(k)T.Z−→ E(z) = 1⇒ A(z) = G(z)

e(t) = δ(t)T.L−→ E(s) = 1⇒ A(s) = G(s)

Relacionan directamente senales y sistemas.

Escalon unitario: e(k) = µ(k)T.Z−→ E(z) =

z

z − 1

e(t) = µ(t)T.L−→ E(s) = 1/s

Plano Sjω

σ

Plano Z

e(k)

kT

1

Polos en el origen de s = 0, tienen correspondencia con polos en z = 1.Senal constante en el tiempo corresponde con polos en z = 1.



Exponencial: e(k) = rkµ(k)e(t) = e−t/τµ(t)

T.Z−→ E(z) = z

z−r

T.L−→ E(s) = 1

s+1/τ

Plano S jω

σ

Plano Z

−1τ

e(k)

kT

0 < r < 1

r > 1

1

Notemos que se tiene un cero en z = 0 y un polo en z = r. Si | r |> 1, laevolucion de e(k) no es acotada.

Veamos a que constante de tiempo τ corresponde un polo en el plano Z,en z = r: z = esT ⇒ z = r = e−T/τ → τ = T/Ln(1/r). Si r→ 1, τ →∞y la respuesta es lenta; si r→ 0, τ → 0 y la respuesta es rapida.

Como heurısticamente se considera apropiado muestrear entre 8 a 10 ve-ces el tiempo de subida de una senal analoga, veamos a que polo correspondeen el plano Z muestrear de esta forma a un sistema de primer orden; en talcaso: ts ≈ 4τ → T ≈ 4τ

8→10

r = e−T/τ = e0,5→0,4 = 0,6 → 0,7; el polo real en Z estara en este rango devalores.

Senoidal acotada exponencialmente: e(k) = rk cos(kθ)µ(k)

T.Z.−→ E(z) =

z(z − r cos θ)

z2 − 2r cos θz + r2;

r: radioθ: frecuencia digital

Hay ceros en z = 0 y z = r cos θ y polos en z1−2 = r cos θ ± jrsenθ.

e(t) = rt cos(θt)µ(t)T.L.−→ E(s) = s+α

(s+α)2+ω2 ; e−α = r



Plano S jω

σ− 1

T lnr

θT

Plano Z

rθ

r = 0.6θ = 45◦

e(k)

kT

1 N = 8

Notemos que esta funcion incluye a las anteriores, pues si θ = 0, e(k) =rkµ(k) y si r=1, e(k) = µ(k).

Veamos algunas conclusiones para correlacionar el comportamiento deuna senal en tiempo discreto (k), con la ubicacion de sus polos en el planocomplejo (Z):

La duracion del transitorio depende principalmente del radio r:

• r > 1: Senal inestable, de amplitud infinita cuando k tiende ainfinito.

• r = 1: Marginalmente estable, amplitud finita cuando k tiende ainfinito.

• r < 1: Senal estable, a menor r mas corto el transitorio.

• r = 0: Transitorio de duracion finita (terminos z−1).

El numero de muestreos por ciclo de una senal senoidal lo determina θ.

Una senal discreta es periodica si x(k) = x(k + N) para todo k, dondeN es un numero entero que corresponde al perıodo de la senal; si x(k) =cos(kθ) = cos(k + Njθ) =⇒ un perıodo de la senal (2π rad), contiene Nmuestreos, asi: Nθ = 2π → N = 2π

θ[rad]muestreos/ciclo; por ejemplo, con

θ = 45◦, N = 360/45 = 8 muestreos por perıodo, lo que corresponde a lae(k) de la pagina anterior.

Observemos que para que exista periodicidad, 2πθ

debe ser un numeroentero mayor de uno, luego θ debe estar en el intervalo: 0 < θ < π; θ esestrictamente menor que π por el teorema de muestreo; por tanto, una senalanaloga periodica, al muestrearse puede no ser una secuencia periodica!



Ejemplo:

x(t) = cos wot = cos 2πTo

;To: perıodo senal analoga.

Si se muestrea cada T segundos: x(kT ) = cos 2πTo

kT −→ θ = 2π TTo

Como N = 2πθ

= To

T= ωs

ωo, entonces la frecuencia de muestreo debe ser un

multiplo entero mayor a uno de la frecuencia de la senal analoga, para queambas senales tengan la misma periodicidad. Si ωs/ωo es un numero irra-cional, la senal discreta es aperiodica.

Ejemplo:

Una senal analoga a 60 Hz muestreada con T = 1 ms, da una senal dis-creta con N ′ = 1/60

10−3 = 503

muestreos por ciclo de la oscilacion analoga; lasenal discreta x(k) = cos 2π

50/3k se repite al cabo de N = 50 muestreos, luego

de los tres perıodos de la senal analoga.

Una senal analoga x(t) = cos 100t, muestreada con T = 1 ms, da N ′ =2π/10010−3 = 20π, lo que corresponde a un numero irracional de muestreos por

ciclo, es decir, es aperiodica.

5.4.2. Correlacion Plano S a Plano Z

Los planos S y Z se relacionan mediante la transformacion:

Z = esT

Las especificaciones de respuesta en tiempo continuo establecidas me-diante la ubicacion de polos en el plano S, se pueden llevar mediante estatransformacion al plano Z, de forma que la respuesta discreta cumpla lasespecificaciones de funcionamiento de la respuesta en tiempo continuo.



PLANO S

jω

−jπ/T

jπ/T

σ

jωEje Real positivo σ > 0

σnegativo S = σ < 0

S = σ + jω, σ : cte.

jω

σ

Lugar de atenuacionconstante

σ2σ1

Semiplano IzquierdoSistemas Estables −→

PLANO Z

j

−j

1σ

e±jπ

−1

CırculoUnitario

j

z = r

Eje Real

z = eσ

r > 1

1

0 < r < 1

z = ejθ

r = eσT

r1 = eσ1T

r2 = eσsT

Cırculos deradio r

Interior delCirculo unitario

PLANO Sjω

s = σ + jω

σ

jπ/T

jω1

jω2

Lugar defrecuencia cte.

ω =cte

PLANO Zj

1

jω2

jω1

jπ/T



NOTA: la relacion plano S a plano Z no es uno-a-uno; para muchosvalores de S hay un solo valor de Z:

s2 = s1 + J2π

Tm −→ z = es2T = es1T .eJ2πm = es1T (m=#Entero)

⇒ Polos o ceros en el plano S con frecuencias que difieren en un multiploentero de la frecuencia de muestreo 2π/T , se trasladan a la misma posicion enel plano Z; esto genera una banda primaria y unas bandas complementariascon imagenes iguales.

Banda primaria en el plano S:

PLANO S

3 2

1

4 5

Jω

Jπ/T

−Jπ/T

σ

PLANO Z

32 1

45

J

Bandas complementarias:

1

J

Jω

J5π/T

J3π/T

Jπ/T

−J5π/T

−J3π/T

−Jπ/T

B.C

B.C

B.C

B.C

B.C

BandaPrimaria σ

BandaComplementaria



PLANO S

Jω

ρ: cte,ωn: varianteσ

Lugar de amortiguamientoconstante

s = −ρωn + Jωn

√1 − ρ2

PLANO Z

JEspiralLogaritmica

1

θ = ωnT√

1 − ρ2

Si ωn ↓r ↑ exponencialmente

θ ↓ linealmente

r = e−ρωnTz = reJθ

ωd = ωn

√1− ρ2: frecuencia de la oscilacion amortiguada.

ωs = 2πT

: frecuencia de muestreo.

θ = ωdT = ωd

ωs. 2π: para una relacion ωd

ωsdada, el radio r solo depende de ρ.

Una senal oscilatoria amortiguada analoga, muestreada a diferentes fre-cuencias, tendra los polos en el plano Z sobre la espiral.

Ejemplo:

Senal analoga con ρ = 0,3, muestreada con ωs1 = ωd, ωs2 = 2ωd y ωs3 =4ωd, tendra polos en el plano Z en:

z = rejθ con: r1 = 0,27, θ1 = 2π = 0◦ ; r2 = 0,37, θ2 = π ; r3 =0,6, θ3 = π

2.

Igualmente dados θ y T , se puede calcular ωd.

Ejemplo:

θ = 30◦, T = 200ms: ωs = 2πT

= 10π ; ωd = ωsθ2π

ωd =10π × π/6

2π=

5π

6rad/seg.

Las curvas de amortiguamiento constante y de frecuencia natural cons-tante en el plano S son ortogonales; en el plano Z se mantiene tambien estapropiedad.



JωLugar de ωn cteρ =variable

σ

Curvas de ρ constante son ortogonalesa las de ωn constante.

ωn = 0.4ωs

2

ωn = 0.2ωs

2ωn = 0.1ωs

2

ωn = 0.4ωs

2

ωn = ωs

2

Las curvas de ωn constante sonperpendiculares a las de ρ constante.

El grafico obtenido para las curvas de ρ constante y ωn constante en elplano Z se dispone como un abaco (ver figura 5.1) para simplificar los calculosy facilitar el analisis.


5.4

.R

ESP

UE

STA

TE

MP

OR

AL,SIS

TE

MA

SD

ISC

RE

TO

S

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

π/T

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

π/T

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

ρ ωn

Figu

ra5.1:

Abaco

J.R

am

ırez

yE.R

ose

ro181

GIC

I


RESUMEN

πT

− πT

Jω

(a)

e−σT

Tω

(b)

Fig. 2.17 Lıneas correspondientes en el plano S y el plano Z, de acuerdoa la transformacion: z = esT .

Tabla 2.2Plano − s Simbolo P lano − z

Eje de frecuencia: s=jω ×× × Cırculo unitario: |z| = 1Semiplano izquierdo Interior circulo unitario

s = σ ≥ 0 �� z = r ≥ 1s = σ ≤ 0 ©©© z = r, 0 ≤ r ≤ 1

s = −ρωn + jωn

√1 − ρ2 444 z = rejθ , r = exp{−θρ/

√1 − ρ2} = e−aT ,

=-a+jb θ = ωnT√

1 − ρ2 = bT

si ρ es fijo y ωn varıa espiral logarıtmicasi ωn es fija y ρ varıa recta a angulo θ contante

s = ±j(π/T ) ∼∼∼∼∼ z = −1



5.4.3. Respuesta al Escalon de Sistemas Discretos

Primer Orden

G(z) = 1−rz−r

; E(z) = zz−1−→ A(z) = G(z)E(z) = (1−r)z

(z−r)(z−1)

A(z) = zz−1− z

z−rTIZ−→ a(k) = [1− rk]µ(k)

Caracterısticas similares a la de un sistema continuo de primer orden con:τ = T/Ln(1/r)

Segundo orden

G(z) =k

z2 − 2r cos θz + r2, r = e−Tρωn, θ = ωnT

√1− ρ2; k tal que G(1) = 1

Sea θ = 18◦, r = 0,834

de: r = 0,834 = e− ρθ√

1−ρ2 −→ ρ = 0,5

De: θ.π/180√1−ρ2

= 18.π/180√1−0,52

= ωnT −→ ωn = 0,362T

ωd =θ

T= θ.

ωs

2π=

18.π

180.ωs

2π=

ωs

20

Hay 20 muestreos por ciclo de laoscilacion amortiguada

La respuesta es como la de un sistema analogo de 2◦ orden con ωn =0,362/T y ρ = 0,5, con 20 muestreos por ciclo de la oscilacion amortiguada,como lo muentra la figura 5.2.



1

a(k)

kT

Figura 5.2: Respuesta al escalon, sistema de segundo orden discreto.

Segundo orden con cero

Al discretizar un sistema continuo es normal tener ceros en el sistemadiscreto.Sea: r = 0,834, θ = 18◦; G(z) = k(z−a)

z2−1,58z+0,7, k tal que G(1)=1

En la pagina siguiente se muestran las diferentes respuestas para variaslocalizaciones del cero; notemos que de nuevo se observa un aumento delsobrepaso; las figuras siguientes muestran el sobrenivel porcentual versus laposicion del cero a, para distintos valores de los polos (θ = 18, 45, 72◦, talque ρ = 0,5 o 0,707). Se observa poco efecto del cero cuando esta en el ejereal negativo y un fuerte efecto cuando se acerca a z = 1.

Segundo orden con polo

Consideremos el sistema de tiempo discreto:

G(z) =k

(z − p)(z2 − 1,58z + 0,7), tal que G(1) = 1

El efecto basico es el de aumentar el tiempo de subida como lo ilustra laultima figura de la pagina siguiente, para p entre -1 y 1, θ = 18, 45, 72◦ y rtal que ρ = 0,5.

Cuando el polo adicional se acerca a z = 1, aumenta bastante el tiempode subida, llegando a dominar la respuesta.



1

a(k)

kT

a=0.9a=0.8a=0.7a=0.6

Respuesta al escalon, 2 orden con cero

100050040020010050402010532

45o18o

72o

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 a

S.P % (Log) ρ = 0.5

S.P. vs. a; ρ = 0,5

100050040020010050402010532

45o18o

72o

−1 0 1 a

S.P % (Log) ρ = 0.707

S.P. vs. a; ρ = 0,7

100050040020010050402010532

45o18o

72o

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 p

ρ = 0.5

tr# de muetreosa 0.95 (Log)

tr vs. p; respuesta al escalon, 2 orden con polo



Especificaciones de funcionamiento en el plano Z

Al igual como se hizo en tiempo continuo, podemos definir areas deseadasen el plano Z, de ubicacion de polos complejos dominantes del sistema, co-rrespondientes a una especificacion temporal de desempeno.

Grado de amortiguamiento ρ ≥ 0,4 area limitada por la espiral loga-rıtmica de ρ = 0,4

Plano Z

Tiempo de estabilizacion: ts ≈ 4ρωn≤ tsmax area limitada por el interior

del cırculo de radio r = e−ρωnT ; r ≤ e−4T/tsmax

Tiempo de subida: area dentro del cırculo de radio unidad y curva deωn constante, ωnmin ≥ 2,5

trmax



5.4.4. Respuesta Permanente Discreta

Consideremos el modelo de la bucla de realimentacion tıpica digital.

D(z)E(s)

Gp(s)

H(s)B(s)

C(s)T

R(s) 1−e−sT

s

E∗(s)

−

+

El error actuante es: e(t) = r(t)−b(t); definimos el error de estado estableen los instantes de muestreo e∗ss, ası:

e∗ss = lımt→∞

e∗(t) = lımk→∞

e(kT )

= lımz→1

[(1− z−1)E(z)](si el sistema es estable)

Para este sistema obtuvimos la funcion de transferencia de pulsos:

C(z)

R(z)=

G(z)

1 + GH(z)

donde: G(z) = (1−z−1)Z

{Gp(s)

s

}D(z) y GH(z) = (1−z−1)Z

{Gp(s)H(s)

s

}D(z);

luego:

−→ E(z) =R(z)

1 + GH(z)

Por lo tanto: e∗ss = lımz→1

[(1− z−1)

R(z)

1 + GH(z)

]

Para una entrada escalon: R(z) = 11−z−1

e∗ssp = lımz→1

[1

1 + GH(z)

]=

1

1 + Kep

: Error de estado estable de posi-

cion, donde Kep = lımz→1 GH(z) es la constante de error de posicion.



Para una entrada rampa: R(z) =Tz−1

(1− z−1)2

e∗ssv = lımz→1

(Tz−1

(1 + GH(z))(1 − z−1)

)= lım

z→1

(T

GH(z)(1 − z−1)

)

e∗ssv = 1Kev

: Error de estado estable de velocidad, donde Kev = lımz→1GH(z)(1−z−1)

T

es la constante de error de velocidad.

Similarmente para una entrada aceleracion: R(z) =T 2(1 + z−1)z−1

2(1 − z−1)3

e∗ssa = 1Kea

: Error de estado estable de aceleracion, donde Kea = (1−z−1)2GH(z)T 2

es la contante de error de aceleracion.

Notemos que las expresiones del error permanente ess y de las constantesde error Ke tienen la misma forma del caso continuo; sinembargo, para en-tradas variantes, las constantes de error Kev y Kea dependen del perıodo demuestreo.

Si la configuracion del muestreo cambia en el lazo y si existe la funcionde transferencia de pulso, se deben obtener las constantes de error con unanalisis similar; esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:Para el sistema:

G1(z) G2(z)

H(s)B(s)

C(s)T

R(s)

−

+

T

Las constantes de error son:

Kep = lımz→1

G1(z)G2H(z)



Kev = lımz→1

(1− z−1)G1(z)G2H(z)

T

Kea = lımz→1

(1 − z−1)2G1(z)G2H(z)

T 2

Tambien podemos clasificar a los sistemas de control digitales de acuerdoal TIPO, donde el tipo sera igual al numero de polos en z = 1 de la funcionde transferencia de pulsos de lazo abierto.

Ejercicio:Resuelva los ejercicios 14 y 15 propuestos propuestos en las actividades deaprendizaje [Kuo, 1996].

5.4.5. Solucion de las ecuaciones dinamicas; la matrizde transicion de estado continua

Para un sistema representado en el espacio de estados:

X(t) = AX(t) + BR(t) Ecuacion de estado

C(t) = EX(t) + DR(t) Ecuacion de salida

Es importante poder calcular la respuesta C(t) para una entrada R(t) y unestado inicial X(0) dados; C(t) se puede calcular de la ecuacion de salida sise conoce la evolucion de X(t); esta ultima se calcula resolviendo laecuacion de estado. La ecuacion de estado se puede resolver como la sumade la solucion de la ecuacion homogenea y la forzada.

Solucion Homogenea

De manera analoga al caso escalar: x = ax donde la solucion es de la formax(t) = f(t)x(0) = eatx(0), la solucion de la ecuacion de estado linealhomogenea

X = AX Ecuacion de Estado Homogenea

es de la forma : X(t) = φ(t)X(0), donde φ(t) es una matriz n × n, conocidacomo la matriz de transicion de estado, reemplazando la solucion en la



ecuacion diferencial, se obtiene que la matriz de transicion de estado debesatisfacer la ecuacion diferencial matricial:

Φ(t) = AΦ(t)

Aplicando la Trasformada de Laplace a la Ecuacion de Estado Homogenea:sX(s) −X(0) = AX(s)

X(s) = (s I − A)−1 X(0)TIL−→X(t) = L−1

{(s I −A)−1

}X(0), t ≥ 0

por tanto;Φ(t) = L−1

{(s I −A)−1

}

De forma alterna, suponiendo una solucion clasica de ecuacionesdiferenciales en la forma de un vector en series de potencia del tiempo:

X(t) = K0 + K1 t + K2t2 + · · · Kjt

j + · · · ;Ki(n×r)

al reemplazar en la Ecuacion de Estado Homogenea, se obtiene:

X(t) =

(I + At +

1

2!A2t2 + · · · +

1

j!Ajtj + · · ·

)X(0)

de donde por analogıa con la serie infinita de potencias de la funcionexponencial escalar, se denomina :

Φ(t) = eAt =∞∑

j=1

(Ajtj

j!) : Matriz exponencial de A

La matriz de transicion de estado es una transformacion de la condicioninicial que define la evolucion libre (no forzada) del sistema(x(t) = Φ(t)x(0)); ella gobierna la respuesta debida a las condicionesiniciales del sistema, definiendo por completo la transicion del estado desdeel instante inicial t = 0, a cualquier tiempo t, cuando las entradas son nulas.Notemos que Φ(t) solo depende de la matriz A; si A es diagonal con valorespropios λ1, λ2, · · · λn distintos :

Φ(t) = eAt =

eλ1t 0 · · · 00 eλ2t · · · 0...

.... . .

0 0 · · · eλnt

Si hay valores propios repetidos, Φ(t) contendra; ademas de eλ1t, eλ2t · · · eλnt

terminos tales como : teλit, t2eλit.



Propiedades de la Matriz de Transicion de Estado

1. Φ(0) = eA0 = I

2. Φ(t) = eAt = (e−At)−1 −→ Φ−1(t) = Φ(−t)

De esta propiedad : x(t) = eAtx(0) −→ x(0) = Φ(−t)x(t)lo que indica que la transicion en el tiempo se puede dar en cualquierdireccion.

3.

[Φ(t)

]k

= eAt eAt · · · eAt = ekAt = Φ(kt)

4. Φ(t2 − t1) Φ(t1 − t0) = eA(t2−t1) eA(t1−t0) = eA(t2−t0) = Φ(t2 − t0)

Esta propiedad muestra que el proceso de transicion del estado sepuede dividir en varias transiciones secuenciales.

Solucion total de la Ecuacion de Estado

Al aplicar la Transformada de Laplace a la ecuacion de estadono-homogenea :

X(t) = A X(t) + B R(t)

Se obtuvo en el capıtulo 2 :

X(s) = (sI −A)−1 X(0) + (sI −A)−1 B R(s)

TIL−→ X(t) = eAtX(0) +

∫ t

0

(eA(t−τ) B R(τ ))dτ, t ≥ 0

Si el tiempo inicial es t0, la solucion se modifica a :

X(t) = eA(t−t0)X(t0)︸︷︷︸Sol. Homogenea

+

∫ t

t0

(eA(t−τ) B R(τ ))dτ

︸︷︷︸Sol. Forzada

, t ≥ t0

Una vez calculado X(t), el vector de salida sera :

C(t) = E eA(t−t0)X(t0) +

∫ t

t0

(E eA(t−τ) B R(τ ))dτ + D R(t), t ≥ t0



Ejemplo

Calcular la salida del sistema dinamico:

x1 = x2(t)x2 = −2x1(t)− 3x2(t) + r(t)c(t) = x1(t) + x2(t)

Con x1(0) = 1, x2(0) = 0 y r(t) = µ(t).

La representacion vectorial - matricial es :[

x1

x2

]=

[0 1−2 −3

]

︸︷︷︸A

[x1

x2

]+

[01

]

︸︷︷︸B

r(t); c(t) =[

1 1]

︸︷︷︸C

[x1

x2

]

Calculemos la matriz de transicion de estado:

sI −A

[s −12 s + 3

]; (sI −A)−1 =

1

s2 + 3s + 2

[s + 3 1−2 s

]

eAt = L−1{

(s I −A)−1}

=

[2e−t − e−2t e−t − e−2t

−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t

]

La solucion de la ecuacion de estado es :

x(t) =

[2e−t − e−2t e−t − e−2t

−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t

] [10

]+

∫ t

0

eA(t−τ)

[01

]dτ

x(t) =

[2e−t − e−2t

−2e−t + 2e−2t

]+

∫ t

0

[e−(t−τ) − e−2(t−τ)

−e−(t−τ) + e−2(t−τ)

]dτ

x(t) =

[2e−t − e−2t

−2e−t + 2e−2t

]+

e−t

[et − 1

]− e−2t

[12e2t − 1

2

]

−e−t

[et − 1

]+ 2e−2t

[12e2t − 1

2

]



x(t) =

[0,5 + e−t − 0,5e−2t

−e−t + e−2t

]

c(t) =[

1 1] [ x1

x2

]= 0,5 + 0,5e−2t

Este ejemplo para un sistema monovariable ilustra que se requieren mascalculos que utilizar directamente la solucion vıa la transformada de Laplace.La utilidad en mas evidente para el caso multivariable.

5.4.6. Solucion de las Ecuaciones Dinamicas Discretas

X(k + 1) = G X(k) + H U(k)

Y (k) = E X(k) + D U(k)

Por recurrencia :

k = 0 X(1) = GX(0) + HU(0)

k = 1 X(2) = GX(1) + HU(1) = G2X(0) + GHU(0) + HU(1)

k = 2 X(3) = GX(2)+HU(2) = G3X(0)+G2HU(0)+GHU(1)+HU(2)...

X(k) = GkX(0)︸︷︷︸Sol. Homogenea

+k−1∑

j=0

Gk−j−1 H U(j)

︸︷︷︸Sol. Particular︸︷︷︸

Ecuacion Discreta de Transicion de Estado

; k = 1, 2, 3 · · ·

Φ(k) = Gk : Matriz de Transicion de Estadosatisface : Φ(k + 1) = GΦ(k) , Φ(0) = Φ0

Con X(k) resuelto se puede calcular Y (k)

Si se aplica la transformada Z :

X(k + 1) = GX(k) + HU(k)TZ−→ zX(z)− zX(0) = GX(z) + HU(z)



(zI −G) X(z) = zX(0) + HU(z)

X(z) = (zI −G)−1

zX(0) + (zI −G)−1

HU(z)

−→ Gk = Z−1{

(zI −G)−1z}

k−1∑

j=0

Gk−j−1 H U(j) = Z−1{

(zI −G)−1HU(z)}

Si X(0) = 0 −→ Y (z) = EX(z) + DU(z) = E(zI −G)−1

HU(z) + DU(z)

Y (z)U(z)

= G(z) = E(zI −G)−1H + D : Matriz de funciones de transferencia discretas

Ejemplo

Para X(k + 1) = GX(k) + HU(k) ; G =

[0 1−0,6 −1

], H =

[11

]

obtener X(k) con U(k) = µ(k) , X(0) =[

1 −1]T

Solucion

(zI −G)−1 =

[z −1

0,16 z + 1

]−1

= 1(z+0,2)(z+0,8)

[z + 1 1−0,16 z

]

Φ(k) =

43(−0,2)

k − 13(−0,8)

k 53(−0,2)

k − 53(−0,8)

k

− 415

(−0,2)k + 415

(−0,8)k −13(−0,2)k + 4

3(−0,8)k

X(z) = (zI −G)−1 [

zX(0) + HU(z)]

; U(z) = zz−1

zX(0) + HU(z) =

z2

z−1

−z2+2zz−1

X(z) = z(z+0,2)(z+0,8)(z−1)

[z2 + 2

−z2 + 1,84z

]



X(k) = Z−1{

X(z)}−17

6(−0,2)k + 22

9(−0,8)k + 25

18

1730

(−0,2)k + 3845

(−0,8)k + 718

5.4.7. Discretizacion de Ecuaciones Dinamicas de Tiem-

po Continuo

En esta seccion consideramos que tenemos un sistema de tiempo conti-nuo descrito en variables de estado, el cual se controla digitalmente; deseamospor tanto obtener a partir de su representacion de estado continuo, la repre-sentacion de estado discreta; la figura ilustra el caso.

U(k) u(t)ROC X = AX + BU

x(t)E

D

+

+

TY (k)

y(t)

Consideramos la ecuacion para la solucion del estado:

X(t) = eA(t−t0)X(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)B U(τ )dτ

Como interesa solo la solucion en los instantes de muestreo, se considera:t = kT + T ; t0 = kT

X(kT + T ) = eATX(kT ) +

∫ kT+T

kT

eA(kT+T−τ)B U(τ )dτ

como U(t) es constante entre muestreos : U(t) = U(kT )

X(kT + T ) = eATX(kT ) +

∫ kT+T

kT

eA(kT+T−τ)dτ

︸︷︷︸η=kT+T−τ

B U(kT )

Si realizamos el cambio de variable: η = kT + T − τ en la integral de laanterior ecuacion, se obtiene:

∫ kT+T

kT

eA(kT+T−τ)dτ =

∫ 0

T

eAη(−dη) =

∫ T

0

eAηdη



Por tanto:X(kT + T ) = G(T )X(kT ) + H(T )U(kT )

Donde:

G(T ) = eAT H(T ) =

[ ∫ T

0

eAηdη

].B

Notemos que G y H dependen del perıodo de muestreo.La ecuacion de salida es:

Y (kT ) = E X(kT ) + D U(kT )

Ejemplo

Discretizar : X = AX + BU ; Y = EX ; A =

[0 10 −2

], B =

[01

]

E =[

0 1], T = 1 seg

A G(T ) lo podemos calcular a partir de la Transformada Inversa de Laplacede (s I −A)−1, evaluando t en T .

G(T ) = eAT = L−1{

(s I −A)−1}

t−→T=

[0 1

2(1− e−2T )

0 e−2T

]

H(T ) =

{ ∫ t

0

[1 1

2(1 − e−2t)

0 e−2t

]d(τ )

} [01

]=

12(T + e−2T−1

2)

12(1 − e−2T )

con T = 1; G(T ) =

[1 0,430 0,13

]; H =

[0,280,43

]



[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[1 0,430 0,13

] [x1(k)x2(k)

]+

[0,280,43

]u(k)

y(k) =[

1 0] [ x1(k)

x2(k)

]

Ejercicio:Resuelva los ejercicios 16, 17, 18 y 19 propuestos en las actividades de apren-dizaje.

Resumen

Este capıtulo se dedico al analisis en el dominio del tiempo de sistemasde control lineales en tiempo continuo y en tiempo discreto. La respuestatemporal de los sistemas de control se divide en respuesta transitoria y deestado estable. El error de estado estable es una medida de la exactitud delsistema cuando el tiempo se aproxima al infinito. La respuesta transitoriase caracteriza por las caracterısticas como el sobrepaso maximo, tiempo delevantamiento, tiempo de retardo y tiempo de asentamiento, y parametrostales como factor de amortiguamiento relativo, frecuencia natural no amor-tiguada y constante de tiempo. Se analizaron los efectos de adicionar polosy ceros a las funciones de transferencia de la trayectoria directa y en lazocerrado. Tambien se discutieron los polos dominantes de las funciones detransferencia.

Tambien se realizo en analisis en el dominio del tiempo de sistemas decontrol en tiempo discreto, y se demuestra que todo el analisis en estadoestable y transitorio de sistemas en tiempo continuo puede extenderse a lossistemas en tiempo discreto. La interpretacion de la configuracion de polos yceros se debe realizar en el plano z respecto al cırculo unitario | z |= 1.





2. En el ejercicio 1 del siguiente capıtulo debera usar las herramientas deanalisis de la respuesta temporal vistas en este capıtulo.

3. Ejercicio Ogata B.4.1.

4. Obtenga la respuesta escalon unitario de un sistema realimentado uni-tariamente, cuya funcion de transferencia en lazo abierto es:

G(s) =4

s(s + 5)(5.1)

5. Considere la respuesta escalon unitario de un sistema de control real-imentado unitariamente cuya funcion de transferencia en lazo cerradoes:

G(s) =1

s(s + 1)(5.2)

Obtenga el tiempo de levantamiento, tiempo pico, el sobrepaso maximoy el tiempo de asentamiento.

6. Considere el sistema en lazo cerrado obtenido mediante:

C(s)

R(s)=

ωn

s2 + 2ρωns + ω2n

(5.3)

Determine los valores de ρ y ωn para que el sistema responda a unaentrada escalon con un sobrepaso de aproximadamente 5% y con untiempo de asentamiento de 2 seg. (Use el criterio del 2%)

7. Considere el sistema de la siguiente figura.

+

−

R(s) C(s)16s+0.8

1s

k

+

−



Determine el valor de k de modo que el factor de amortiguamientorelativo ρ sea 0.5. Despues obtenga el tiempo de levantamiento tr, eltiempo pico tp, el sobrepaso maximo Mt y el tiempo de asentamientots, en la respuesta escalon unitario.

8. Obtenga la respuesta al escalon unitario de un sistema realimentadounitariamente cuya funcion de transferencia en lazo abierto sea:

G(s) =2s + 1

s2(5.4)

9. Analice y compare las respuestas al escalon, impulso y rampa unitarias,a los sistemas de control de posicion:

+

−

R(s) C(s)1s(5s+1)

5Control P

+−

R(s) C2(s)1s(5s+1)5(1 + 0.8s)

Control PD

+

−

R(s) C3(s)15s+15

1s

0.8

+

−Control P +realimentaciontacometrica.

Evalue cual es el mas rapido y cual tiene menor sobrepaso en la res-puesta al escalon.

10. Para el sistema de control de posicion:

+

−

R(s) 20.1s+15

1s

+

−4

1s

X1X2X3



ROC5

s(s+2)

C(s)T

R(s)

−

+ U(s)E(s) E∗(s)

Utilice un programa de simulacion para obtener las respuestas al es-calon, impulso y a la rampa unitarios; trace las curvas de x1, x2, x3 ye vs. t.

11. Considere el sistema de control con realimentacion unitaria y FdT delazo abierto:

G(s) =K

s(Js + B)

Analice los efectos de variar los valores de K y B sobre el eSSV ; me-diante un programa de simulacion, trace curvas de respuesta a unarampa unitaria, para valores de K pequeno, mediano y grande; asumaJ = B = 1.

12. SeaC(s)

R(s)=

ks + b

s2 + as + b, H(s) = 1

Calcule G(s) y el eSSV

13. Ejercicio Ogata B.5.21.Demuestre que el eSSV = 0 si la funcion de transferencia en lazo cerradode un sistema realimentado unitario es:

C(s)

R(s)=

an−1s + an

sn + a1sn−1 + ... + an−1s + an

14. En la figura se muestra el diagrama de bloques de un sistema de controlde datos muestreados:



ROC1s

Kt

Y (s)T

U(s)

−

+1s

R(s)

−

+ E(s) U∗(s)

a) Derive las funciones de transferencia de la trayectoria directa yen lazo cerrado del sistema en la transformada z. El perıodo demuestreo es de 0.1 s.

b) Calcule la respuesta al escalon unitario de c(kT ) para k = 0 a 100.

c) Repita las partes 14a y 14b para T = 0,05 s.

15. El diagrama de bloques de un sistema de control de datos muestreadosse muestra en la figura:

a) Encuentre las constantes de error K∗ep, K∗

ev , K∗ea.

b) Derive las funciones de transferencia Y (z)E(z)

y Y (z)R(z)

.

c) Calcule la respuesta al escalon unitario y(kT ) para k = 0 a 50para T = 0,1 s y Kt = 5.

d) Repita el punto anterior para T = 0,1 s y Kt = 1.

16. Para el sistema dinamico:

x(t) = Ax(t) +

[0 11 0

]R(t) (5.5)

C(t) =

[0 11 0

]x(t) (5.6)

Obtenga la matriz de transicion de estados y las salidas con:

x(0) =

[10

], R(t) =

[µ(t)µ(t)

]para:

a) A =

[0 1−2 −1

]



b) A =

[0 1−1 0

]

c) A =

[0 11 0

]

17. Para el sistema de la figura, escriba las ecuaciones dinamicas y re-suelvalas para obtener C(t) con x(0) = [1 0 0]T y R(s) = 1/s.

+

−

E(s) C(s)10s(s+4)(s+5)

R(s)

18. Para el sistema:

r(t) C(t)x = Ax + Br

U∗(t)ROC

T

U(t)

C∗(t)

T

las ecuaciones de estado son: x1 = x2; x2 = −2x1+3x2 +r. Obtenga lasecuaciones de estado discretas con T = 0,2seg y resuelvalas para cal-cular C(kT ), si la entrada U(t) es un escalon unitario y las condicionesiniciales son nulas.

19. Para el el sistema:

+

−

r(t) = µ(t) C(t)1s+1ROC

T = 1

e(t)C(kT )

T = 1

Escriba las ecuaciones dinamicas discretas y resuelvalas para obtenerc(kT ), con c(0) = 1, c(0) = 0.




KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Automatico, Prentice Hall1997. Capıtulo 7.

OGATA KATSUSHITO, Ingenierıa de Control Moderno, Prentice Hall,3 edicion, 1998. Capıtulos 4 y 5.

OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Pren-tice Hall Mex. 1996. Capıtulo 4.

Referencias


OGATA KATSUSHITO, Ingenierıa de Control Moderno, Prentice Hall,3 edicion, 1998.

OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Pren-tice Hall Mex. 1996.


Capıtulo 6

Acciones basicas de control

Introduccion

Un control automatico compara el valor medido de la salida de una plantacon el valor deseado, determina la desviacion y produce una senal de controlque busca reducir la desviacion a cero o a un valor pequeno. La forma en queel control automatico produce la senal de control recibe el nombre de accionde control.

En este capıtulo presentaremos las acciones de control basicas utilizadascomunmente en los controles automaticos industriales, tales como las accionesde control Proporcional (P), Proporcional-Integral (PI), Proporcional-Derivativo(PD) y Proporcional-Integral-Derivativo (PID). Analizaremos tambien losefectos de los diferentes modos de control en el funcionamiento del sistema;finalmente presentaremos la manera como se implementan estas acciones decontrol, la implementacion analoga mediante amplificadores operacionales ylas ecuaciones de recurrencia para la implementacion discreta.

Objetivos

1. Determinar el efecto de las diferentes acciones de control en el compor-tamiento de un sistema. Evaluacion

204

6.1. ACCION DE CONTROL - PID

Contenido

6.1. Accion de Control - PID

6.1.1. Accion Proporcional P

Definicion:

kpe(t)

b(t)

r(t)

−

+ a(t)

La accion proporcional genera la senal de control de la forma:

a(t) = kpe(t)

kp : Ganancia proporcional

En control de procesos se usa la Banda Proporcional B:P para definir laganancia; es la relacion entre la desviacion porcentual de la salida a lavariacion en el pleno rango de la senal de control.

kp =100

B.P [%]

Funcionamiento:

Para analizar los efectos de la accion proporcional, consideremos el sis-tema de control de la excitacion sujeto a una accion P:

VT (s)

VR(s)=

kp/(1 + kp)τG

1+kps + 1



VR(s)

−

+ VT (s)kp1

τGs+1

La constante de tiempo equivalente del sistema en red cerrada es:

τEQ =τG

1 + kp, luego a mayor accion proporcional, mayor es la velocidad

de respuesta.

Para el regimen estacionario, el error de posicion es: essp = 11+kp

; a este

error se le denomina corrimiento y disminuye, aumentando kp.El corrimiento es caraterıstico de una planta tipo cero sujeta a una accionP. Plantas tipo 1 o mayor, no tienen corrimiento respecto a la referencia,pero si debido a senales perturbadoras; analicemos una planta tipo 1, conperturbacion de carga:

R(s)

−

+ C(s)1s(τs+1)

D(s)

+

+kpE(s)

CD(s) =1

s(τs + 1) + kpD(s); si D(s) = 1

s

essd = − Cssd = − lıms→0

sCD(s) = − 1

kp

essd = − 1

kp

Existe por tanto un error permanente debido al disturbio, el cual se puededisminuir usando alta ganancia proporcional en el controlador, respetandopor supuesto el grado de estabilidad requerido.



En resumen tenemos que la accion Proporcional tiene alta velocidad derespuesta en el transitorio y corrimiento en el regimen estacionario.

6.1.2. Accion Integral I

Definicion

kI

sE(s)

B(s)

R(s)

−

+ A(s)

La accion integral genera la senal de control de la forma:

a(t) = kI

∫ t

0

e(t)d(t)

A(s) =kI

sE(s)

Donde kI , se denomina constante integral.

Funcionamiento

Para analizar los efectos de la accion integral, consideremos al sistema decontrol de la excitacion sujeto a una accion Integral.

1TIs

E(s)VR(s)

−

+ A(s) 1τGs+1

VT (s)

En este caso, se utiliza como parametro de la accion a TI : Tiempo de accionintegral. Este tiempo corresponde al tiempo que tarda la senal de controlen alcanzar la senal de error, cuando se aplica un escalon de error en lazoabierto, como se ilustra en la figura.



a(t)

e(t)

tTI

Notemos que a menor tiempo integral TI, mayor es la pendiente en la senalde control a(t) y por tanto mayor es la accion integral.

Analicemos el regimen transitorio, la funcion de transferencia del sistemaes:

VT (s)

VR(s)=

1

TIs(τGs + 1) + 1=

1/TIτG

s2 + 1τG

s + 1/TIτG

;

−→ ωN =√

1/TIτG ρ =1

2

√TI

τG

El sistema ahora puede ser subamortiguado oscilatorio a diferencia del la-zo abierto que es de primer orden; como se ha aumentado en uno el grado dela ecuacion caracterıstica, tenemos que el sistema es menos estable.

Comparemos la velocidad de respuesta de la accion I con la P; con laaccion P la velocidad de respuesta es : ts = 3τEQ

ts = 3τG/(1 + kp)

Con la accion I asumiendo que el sistema es subamortiguado:

ts = 3/ρωN ρωN =1

2τGts = 6τG

El sistema con accion P es mucho mas rapido que el lazo abierto, mientrasque con la accion I, se hace dos veces mas lento.



Para el analisis del regimen estacionario, la constante de error de posiciones infinita kEP =∝, pues la accion integral sube el tipo del sistema a uno;

ası, el error permanente de posicion es essp =1

1 + kEP= 0.

Para una perturbacion entre controlador y planta:

essD = −CssD = − lıms→0

s1

τGs+1

1 + 1TIs(τGs+1)

1

s

essD = − lıms→0

TIs

TIs(τGs + 1) + 1= 0 essD = 0

Luego, la accion integral elimina el corrimiento tanto de la entrada de re-ferencia como el debido a senales perturbadoras en el lazo.

Observese que la senal de control en un instante dado, es el area bajo lacurva del error hasta ese momento; por ello, si el error es nulo, la senal decontrol no necesariamente debe ser nula; el valor que permanece se llama:Remanencia Estacionaria, RE.

a(t)

e(t)

t

t

RE



En resumen, las prncipales caracterısticas de funcionamiento de la accionintegral son:

Elimina el corrimiento

Merma la estabilidad

Merma la velocidad de respuesta

Genera remanencia estacionaria en la senal de control

6.1.3. Accion Proporcional Integral PI

Definicion:

kp(1+TIs)TIs

E(s)

B(s)

R(s)

−

+ A(s)

La senal de control es una combinacion de las acciones P e I:

a(t) = kpe(t) +kp

TI

∫ t

0

e(t)dt

A(s)

E(s)=

kp (1 + TIs)

TIs

La respuesta al escalon en el error e(t), en lazo abierto es:



a(t)

tTI

accion P

accion PI2kp

kp

A 1/TI se le denomina Frecuencia de Reposicion [RPM]; corresponde alnumero de veces por minuto que la accion I duplica la componente de accionP. Una frecuencia de reposicion de 2 RPM implica que en un minuto a(t) haduplicado el salto inicial dos veces para un escalon en e(t).

Funcionamiento

Para el analisis, consideremos de nuevo al sistema de control de la ex-citacion, con accion PI.

kp(1+TIs)TIs

VR(s)

−

+ 1τGs+1

VT (s)

La funcion de transferencia es:

VT (s)

VR(s)=

kp(TIs + 1)/TI τG

s2 + 1+kp

τGs + kp

TI τG

ρ =1 + kp√

kp

1

2

√TI

τG



Se incrementa en el factor1 + kp√

kp

con respecto al amortiguamiento calcula-

do para la accion I, por tanto, la adicion del cero, mejora el amortiguamiento.

En cuanto a la velocidad de respuesta, ts =3τG

1 + kp, es mas rapido que

con accion I; sinembargo, para un amortiguamiento ρ apropiado, la ganaciakp con la accion PI es menor que la obtenida para la accion P y por ello, elPI es mas lento que el P.

Para el comportamiento en regimen estacionario, de nuevo el sistema esTipo 1 y el essp = 0, eliminando el corrimiento.

Tambien se puede mostrar que el PI elimina los errores permanentes de-bidos a perturbaciones entre el controlador y la salida.

En resumen, podemos concluir que la accion de control PI aprovecha lasventajas de las acciones P e I y por ello es la accion de control de mayor usoen sistemas de control.

6.1.4. Accion Proporcional Derivativa PD

Definicion

kp(1 + Tds)R(s)

−

+ A(s)

B(s)

E(s)

a(t) = kpe(t) + kpTdd

dte(t)

A(s)

E(s)= kp(1 + Tds)

Td: tiempo derivativo, es el tiempo que tarda en alcanzar la accion P a laaccion D cuando el error es una rampa en lazo abierto.



a(t)

PD

tTd

P

D

Td tambien corresponde al tiempo que adelanta la accion derivativa a laaccion proporcional, esto es un efecto anticipativo, por ello se la llama tam-bien, tiempo de preaccion; ver la respuesta a una rampa de error enla figurasiguiente.

Un PD practico tiene un retardo dinamico para limitar la ganacia a altasfrecuencias y evitar amplificar el ruido.

Funcionamiento

Para el analisis, consideremos un sistema de control de la excitacion conexcitatriz DC y accion PD (en la practica se usa la red estabilizadora).

VR(s)

−

+ VT (s)kp(1 + Tds)

1τGs+1

IL(s)

+

+1

τEs+1

La funcion de transferencia del sistema es:

VT (s)

VR(s)=

kp

τE τG(1 + Tds)

s2 + τE+τG+kp+Td

τE τGs + 1+kp

τE τG



Notemos que Td aumenta el coeficiente del termino en S y por tanto mejorael amortiguamiento.

Los errores permanentes de posicion y debidos al disturbio IL son:

essp =1

1 + kp; ess|IL

= − 1

kp

Ambos errores se mejoran aumentando kp; ası, aunque la accion D noafecta directamente el error permanente, al anadir amortiguamiento se puedeusar una alta ganancia proporcional y se puede disminuir los essp y ess|IL

.

En resumen, las caracterısticas de funcionamiento de la accion PD son:

Estabiliza

Efecto anticipativo

Permite disminuir el ess

Si hay ruido, lo amplifica y puede saturar el actuador.



6.1.5. Accion Proporcional Integral Derivativa PID

Definicion:

PID paralelo:

kT1s

R

−

+ A

B

kT2s

k

+

++

k(1+T1s+T1T2s2)T1s

R(s)

−

+ A(s)

B(s)

E(s)

La senal de control se obtiene de la ecuacion:

a(t) = ke(t) +k

T1

∫ t

0

e(t)dt + kT2d

dte(t)

Las figuras muestran las respuestas al escalon y la rampa en el error:



a(t)

t

impulso

Figura 6.1: Respuesta al escalon del PID

a(t)PD

t

P

PID

Figura 6.2: Respuesta a la rampa del PID

Los ceros del controlador son: Z1−2 = − 1

2T2

+−√

T12 − 4T1T2 son

reales si T1 > 4T2; en tal caso, la funcion de transferencia del controladores:

A(s)

E(s)=

kp(1 + TIs)(1 + Tds)

TIs︸︷︷︸CASCADA de PI y PD

kp = k/T1Z1

T1 = − 1/Z1

TD = − 1/Z2

Con ceros reales, se tiene una cascada de un PI y un PD; en tal caso sedenomina PID interactivo o serie.

Funcionamiento

Consideramos el sistema de control de la excitacion con excitatriz, actua-dor de dinamica apreciable y accion de control PID.

Con TI = τG, Td = τE, τA = 0,5, se obtiene:



VR(s)

−

+ kp(TIs+1)(Tds+1)TIs

VT (s)1τAs+1

1τEs+1

1τGs+1

IL(s)

+

+

VR(s)

−

+ VT (s)kp

TIs1

τAs+1

IL(s)

+

+

VT (s)

VR(s)=

kp/TI τA

s2 + 1τA

s + kp

TI τA

ts ' 3τA = 1,5 seg. Alta velocidad de respuesta

ρ =1

2√

kp

√TI

τA

Ajustable con kp ; kp = 10 → ρ = 0,5

Tipo 1 −→ essp = 0 , ess|IL= 0

En resumen, sus caracterısticas de funcionamiento son la suma de los efectosde las acciones P, I y D.

Implementacion analoga con amplificadores operacionales

Configuracion general de un amplificador operacional para regulacion:



R0

−

+

ZR(s)IR

ZF (s)IF

IB

UA

UR

UB ZR(s)I = 0

ZF , ZR: Transimpedancias de los cuadripolos: V oltaje de entradaCorriente de salida

.

UR = ZR IR − UB = ZR IB ; UA = ZF IF

LIK : IR + ID + IF = 0

−→ UR

ZR− UB

ZR= − UA

ZF

UA(s) = − ZF (s)

ZR(s)[UR(s) − UB(s)]

Para el PID:

ZR(s) = RR ; ZF (s) =(RICIs + 1)[1 + (RA + RD) CDs]

∝ CIs(1 + RA CD︸︷︷︸T ′d: Constante parasita

s)

UA(s)

UR(s)− UB(s)= − RI

αRR︸︷︷︸kp

(RICIs + 1)

RICIs︸︷︷︸TI=RICI

(RDCDs + 1)

RA CDs + 1︸︷︷︸TD=RD CD



−

+

U*Rd

IF

UR

UB

RR

RRRO

−

+

Seguidor deTension

CD

RA

RP UA

Ra << Rd

CIRI

U’

posicionrelativadel cursor

α

El PID interactivo tiene en general mayores sobrepasos y tiempos de es-tabilizacion y menores tiempos de subida que el paralelo.

6.1.6. Implementacion digital de la ley de control PID

PID analogo:

a(t) = k

[e(t) +

1

Ti

∫ t

0

e(t)dt + Tdd

dte(t)

](6.1)

Discretizando la integral con la regla trapezoidal y la derivada con la dife-rencia de dos puntos, se obtiene:

a(kT ) = k

[e(kT ) +

1

Ti

(a(kT − T ) +

T

2e(kT ) +

T

2e(kT − T )

)+ Td

(e(kT )− e(kT − T )

T

)]

(6.2)Realizando la transformada Z:

A(z) = k

[1 +

T

2Ti

(1 + z−1

1− z−1

)+

Td

T(1 − z−1)

]E(z) (6.3)

se obtiene:

A(z) = k

[1 − T

2Ti+

T

Ti

1

1 − z−1+

Td

T(1 − z−1)

]E(z) (6.4)



Ası obtenemos la forma posicional del controlador PID:

A(z)

Ez= Kp +

KI

1 − z−1+ KD(1 − z−1) (6.5)

donde: Kp = k(1− T

2Ti

)= k − ki

2: ganancia proporcional menor que la

ganancia analoga.KI = kT

Ti: ganancia integral.

KD = k Td

T: ganancia derivativa.

Para evitar cambios muy fuertes a la salida del controlador ante cambiossubitos de la referencia, es posible tomar las acciones P y D solo de la salida:

A(z) = −KpC(z) + KIR(z) −C(z)

1− z−1−KD(1 − z−1) (6.6)

que es la forma de velocidad del controlador PID.Esto simplifica los cambios manual-automatico y disminuye la posibilidad desaturar el actuador; no permite sin embargo, el ajuste de ceros complejos,como si lo hace el posicional.

Resumen

En este capıtulo se presentaron las acciones basicas de control que suelenusar los controladores automaticos industriales. Se presentan los efectos de lasacciones de control proporcional, integral, derivativa, proporcional-integral,proporcional-derivativa y proporcional-integral-derivativa, ası como su im-plementacion continua mediante amplificadores operacionales y en tiempodiscreto.


1. Para el sistema de control digital de la figura 6.3:

a) Escriba las ecuaciones deinamicas discretas con Gc = 1.



+

−

R(s) C(s)12s+1

T = 1s

E(s)C(kT )

T = 1s

E∗(s)

Gc(z) ROC

Figura 6.3: Sistema de control digital

b) Resuelva estas ecuaciones dinamicas para obtener c(kT ) con R(s) =1s

y c(0) = 1.

c) Si se desea: lımk→∞ e∗(kT )→ 0 para R(s) = 1/s y una dinamicadominada por un par de polos complejos conjugados con ρ = 0,5y tiempo de estabilizacion igual a 6 segundos (criterio del 5%),seleccione y ajuste la accion de control Gc(z) de tipo PID massimple posible que cumpla con estas especificaciones.

2. Para el sistema de control digital:

+

−

R(s) C(s)1s+1ROC

T = 0.5

E(s)Gc(z)

E∗(s) +

D(s) = 1s

+

Se desea:

a) Error de estado estable e∗ssD = 0

b) Respuesta transitoria sobreamortiguada o dominada por un parde polos conjugados complejos con ρ ≥ 0,5

c) Tiempo de estabilizacion ts ≤ 2 seg, criterio del 2%.

Seleccione y ajuste la accion de control PID mas simple posible quecumpla con las especificaciones dadas.

3. Para el sistema de la figura 6.4:



+

−

r(t) c(t)ROC

T

u(kT ) x1 = −x1 + ux2 = −x1

c = −x2


(50%) Obtenga las ecuaciones de estado y de salidas discretas delsitema en red cerrada.

(50%) Para el sistema de la figura 6.5

+

−

R(z) C(z)Kp + Kd(1 − z−1)

12(z−1)


Se desea una ecuacion caracterıstica en red cerrada de segundoorden con ρ =

√2

2y ωn =

√2. Ajuste el controlador proporcional

derivativo, para cumplir la especificacion deseada.

4. Para el sistema de control digital de la figura 6.6:

+

−

R(s) C(s)12s+1

ROCT = 1 s

E(s)Gc(z)

E∗(s)

T = 1

C(kT )

Figura 6.6: Sistema

a) (10%) Escriba las ecuaciones dinamicas discretas con Gc = 1.

b) (30%) Resuelva estas ecuaciones dinamicas para obtener c(kT )con R(s) = 1

sy C(0) = 1.

c) (60%) Si se desea lımk→∞ e∗(kT ) → 0 para R(s) = 1s

y unadinamica dominada por un par de polos complejos conjugados con



ρ = 0,5 y tiempo de estabilizacion igual a seis segundos (criteriodel 5%), seleccione u ajuste la accion de control Gc(z) de tipoPID, mas simple posible, que cumpla con estas especificaciones.

5. Para el sistema de la figura 6.7:

+

−

R(s) C(s)1s2+1Gc(s)

Figura 6.7: Sistema

Se desea que la ecuacion caracterıstica en red cerrada, este dominadapor una dinamica de segundo orden con tiempo de pico de π√

3segundos

y sobrenivel porcentual del 16%.

a) (10%) Obtenga la ecuacion caracterısitca deseada, si el sistema esen lazo cerrado de segundo orden.

b) (10%) Obtenga una ecuacion caracterısitca deseada, si el sistemaes en lazo cerrado de tercer orden.

c) (10%) Analice si es posible cumplir las especificaciones dadas,para cada una de las siguientes acciones de control:

1) Gc(s) = kp

2) Gc(s) = ki

s

3) Gc(s) = kp(Tis+1)

Tis

4) kp(Tds + 1)

En caso de poder cumplir las especificaciones, ajuste apropiadamenteel controlador.

6. Cuarta evaluacion, diciembre de 2006

a) (30%). Luego del modelado matematico de un sistema, se obtienesu representacion de estado:

x1 = x2



x2 = −x1 − 2x2 + u

c = x1

Si el sistema se muestrea con un perıodo de T = 0,5 seg. y tieneun retenedor de orden cero, obtenga la matriz del sistema para surepresentacion de estado en tiempo discreto.

b) (30%). Calcule la respuesta del sistema a controlar del punto an-terior, en el dominio de Z, C(z) para las condiciones iniciales:x1 = 1, x2 = 0

c) (40%). Se desea que el sistema descrito por la funcion de trans-ferencia discreta: G(z) = 0,1z+0,06

(z−0,6)2responda con una dinamica en

red cerrada dominada por un par de polos complejos conjugadoscon coeficiente de amortiguamiento de 0.5 y tiempo de estabi-lizacion menor de 4 seg, evaluado con el criterio del 5%. Para ellose dispone de un controlador PID digital, el retenedor de ordencero y perıodo de muestreo de T = 0,5 seg. Seleccione la accionde control PID digital mas simple posible que cumpla con las es-pecificaciones deseadas.


OGATA KATSUSHITO, Ingenierıa de Control Moderno, Prentice Hall3ra. edicion, 1998. Capıtulo 5

Referencias


OGATA KATSUSHITO, Ingenierıa de Control Moderno, P.H.H. 3 edi-cion, 1998.



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