control sistemas

8/16/2019 control sistemas

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Universidad De Antioquia

Facultad De Ingeniería

Ingeniería Eléctrica

TRABAJO #2RESPUESTA EN FRECUENCIA

Realizado por: Rozo Mora Tomás

1!"!#$$%#&

Arro'ave (alazar Este)an

1!*%$"+*##

,etancur -alacio .uis Miguel

1!*+#*+*$%

Profesor:

/elson .ondo0o s2ina

3ontrol I

Medellín4Antioquia5 Ma'o "!1$


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-ara el tra)a6o realizado de .7R1. Si el sistema tiene componentes subamortiguadas:

a. Elegir el valor de K que haga que el sistema tenga el mayor

sobrepico debido a el t!rmino de subamortiguado" no importaque el t#mino no sea dominante$" e%plique su elecci&n.

'on el valor de K elegido" grafique la respuesta en frecuencia

(iagrama de )ode$ de cada uno de sus factores b*sicos"

manualmete +sint,tico$ y mediate -atlab.

'ompare y analice los resultados. E%plique.

( )

( ) ( ).1/ ++

+

s s s

8 s

Para la funcion de transferencia de lazo abierto

tenemos la siguiente e%precion:

0s$2

El cual era un caso especial y mediante el *lgebra y 3ormalizando la

funci&n de trasferencia de lazo cerrado obtenemos la y siguiente e%presi&n:

(s+k )s3+¿ 19 s

2+71 s

1+k ( 1

s3+19s2+71 s)

G ( s)=¿

(onde la funci&n de transferencia de lazo abierto ser*:

0 H (s ) 2 k ( 1

s3+19s2+71s ) 1$


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0raficando el lugar geom#trico de ra4ces mediante matlab obtenemos la

siguiente gr*fica:

5 la funci&n de transferencia de lazo cerrado ser*:

6 G(s) 2s+k

s3+19 s2+71s+k 7$

8uego elegimos un valor de 921/; en donde el sistema tiene

ra4ces comple


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6 Se reemplaza el valor de K hallado previamente en la funci&n de

transferencia de lazo cerrado 7$ :

G(s) 2s+1348

s3+19 s2+71s+1348

-ediante matlab obtenemos las raices del denominador

Reorganizando la ecuacion :

G(s) 2s+1348

(s+18.9977)(s2+0.0024 s+70.9554)

Factores básicos del sistema:

>na ganancia constante de 1/;

>n factor de primer orden en el numerador: (s+1348) de donde se

obtiene un ? 21

1348=0.00074

>n factor de primer orden en el denominador:1

S+18.9977 de donde se

obtiene un ? 21

18.9977 2@.@7A

>n factor de segundo orden en el denominador:1

s2+0.0024 s+70.9554 de

donde se obtienen:W n=√70.9554 2 ;./7

@.@@7/2 7B;./7 B2@.@@1/7/


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8uego la funcion de tranferencia de los factores normalizados sera

FT =

1

18.9977∗1

S18.9977+1

∗1348∗( S1348 +1)∗1

70.9554 ∗70.9554

S2+0.0024 S+70.9554

Para efectuar un diagrama de bode es necesario trazar la curva de cada

factor" en la cual se representa el esquema de amplitud y de fase de estos

son presentados en la funci&n de transferencia" luego de tener la curvas de

los factores se suman las curvas gr*ficamente ya que la sumar logaritmosequivale a la multipicaci&n de los factores entre si.

+ continuaci&n" se muestra el procedimiento paso a paso para realiza el

diagrama de )ode de cada factor b*sico:

Para la a!a!cia co!sta!te:

Para ganacia constante el des9ase est* definido por:

tan−1 0 K ¿

0

Entonces el diagrama de fase en bode estar* en " constantes para cualquier

valor de la frecuencia.

-agnitud:

20log ( K )=20log

(

1348∗118.9977

∗1

70.9554

∗6

)=20 log (1) 2 @ db

Calor al interior del logaritmo es apro%imadamente 1 luego se obtiene una

magnitud de @ db


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(iagramasbode figure1$

Efectivamente" se corroboran los resultados en Figura :1;

$actor !%merador de &rimer orde!

G ( s )= s1348

+1G ( jω )= jω τ +1

? 21

1348=0.00074

-agnitud:

¿ j ωτ +1∨¿¿¿

│G ( jω)│=20log ¿

Paraω≪ 1

τ │G ( jω )│≈20log (1 )=0db

Paraω≫ 1

τ │G ( jω )│≈20log (ω)

Para ω 21

τ │G ( jω)│≈20log (1.4142 )=3.0102 a D211


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ase:

ϕ=∠G ( jω)=∠ ( j ω τ +1)=tan−1(ω τ 1 )= tan−1(ω0.00074

1 )

Para graficar

Paraω≪ 1

τ ∠G ( jω) ≈ tan−1( 01 )ϕ=0 °

Para ω≫ 1

τ ∠G ( jω) ≈ tan−1(∞1 )ϕ=90 °

Para ω=1

τ ∠G ( jω) ≈ tan−1

(1

1 )ϕ=45 °

0raficamos

(iagramasbode figure7$

Fbservando la Figura: "; se confirman todos los resultados anteriormente

encontrados. Se ubican los puntos lo m*s cerca posible a el valor de1

❑ y

se corroboran tanto el valor de magnitud como el de fase. Gambi#n se


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verifica que para frecuencias mayores a1❑ la magnitud adquiere la

forma de una pendiente positiva y amplifica alrededor 7@ db por decada

mientra que que la seHal se desfaza =@ grados con respecto a la seHal de

entrada

$actor de &rimer orde! e! el de!omi!ador

0s$2

1

S18.9977

+1 G ( jω )= 1

jωτ +1 τ =¿

@.@7

-agnitud

¿ jω+1∨¿¿¿

│G ( jω)│=−20log¿

Para graficar

Si ω≪ 1

τ │G ( jω)│=−20log √ 12≈−20 log (1 )=0

Siω≫ 1

τ ω

│G ( jω) │=−20log √ ω2≈−20log ¿ $

Siω=1

τ 1.4142

│G ( jω) │=−20log√ 2≈−20log ¿ $2 6.@1 db

ase:ϕ=∠G ( jω)=∠ ( jωτ +1 )=−tan−1(ωτ 1 )=−tan−1(ω0.0521 )

Para graficar

Siω≪ 1

τ ∠G ( jω) ,ϕ=−tan−1(01 )ϕ=0°

Siω≫ 1

τ ∠G ( jω ) ,ϕ=−tan−1(∞1 )ϕ=−90 °


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Siω=1

τ ∠G ( jω) ,ϕ=−tan−1(11 )ϕ=−45

0raficamos diaramasbode $i%re '()

Fbservando la Figura: *; se confirman todos los resultados anteriormente

encontrados. Se ubican los puntos lo m*s cerca posible a el valor de

1

❑ y

se corroboran tanto el valor de magnitud como el de fase. Gambi#n se

verifica que para frecuencias mayores a1❑ la magnitud adquiere la

forma de una pendiente negativa y atenua la seHal apro%imadamente a 7@

db por decada es decir que se comporta como un pasaba


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¿( −ω2

70.9554+1)+0.8402ωj∨¿

¿¿

│G ( jω)│=−20log ¿

-agnitud

Paraw≪wn) w

wn ≈0)w ! w' "endena%er&

:

│G ( jω)│=−20log (√ 12 ) 2 @ db

Para w=wn )

w

wn ≈1en&n%esw

'

=1

│G ( jω)│=−20log(0.00284) 2 I@.=@ db

ase∅=−tan−1( 2ξ w

'

1−w' 2 )

Paraw≪wn) w

wn

≈0

∅=−tan−1

(

0

1

)2 @

Para w=wn ) wwn

≈1

∅=−tan−1( 0.002840 ) 2 ∞

0raficamos


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diagramasbode figure/$

Fbservando la Figura: "; se confirman todos los resultados anteriormente encontrados. Se

ubican los puntos lo m*s cerca posible a el valor de1❑ y se corroboran tanto el valor de

magnitud como el de fase. Gambi#n se verifica que para frecuencias mayores a1

❑ la

magnitud adquiere la forma de una pendiente negativa

)$*%eo a!alice el com&ortamie!to del sistema e!eral + com&are co! la

res&%esta ,%e se obtie!e media!te -atlab. -ediante matlad se grafico el bode del la

funcion de transferencia de lazo cerrado

G ( s )

2

s+k

s3

+19 s2

+71 s+k


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)ode del sistema general bodegeneral

Podemos observar cada factor haciendo un subplot : subplotbode

Gal como era esperado cada uno de los factores basicos del punto anterior" al observarse

el sistema total se nota el efecto de cada uno de los factores sobre la seHal


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desalida"debido a esto el diagrama de bode total es la superposicon de todos los

diagramas de bode de los factores basicos"

+nalizando el factor de segundo orden es muy parecido al sistemas gerenal es decir que

el factor de segundo orden es el factor dominante del sistema general

C)Eli/a0 del diarama de bode total del sistema0 ( $rec%e!cias

re&rese!tati1as 'ma+or a!a!cia0 a!a!cia media + ba/a a!a!cia0

e&lica!do &or,%e las elie) +0 %tili3a!do Sim%li40 5alle la res&%esta del

sistema a!te e!trada se!oidal a dic5as $rec%e!cia. A!alice los

res%ltados + com&arelos co! los es&erados de ac%erdo al diarama de

bode.

5a que primordialmente el sistema asumir* un comportamiento similar al

factor b*sico de segundo orden en el denominador" se escoger*n

frecuencias inferiores" iguales y mayores a la frecuencia de resonancia del

sistema para observar comportamientos esperados de amplificaci&n"

atenuaci&n

8as frecuencias observadas en la son las que se escoger*n para hacer el

an*lisis acontinuaci&n.

Paraω


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-ediante simulin9 de matlad analizamos la entrada y salida del sistema

ante una entrada senusoidal y tenemos la siguiente

Entrada salida

supersim1 sim1.mdl

+l Superponer las graficas graficas de entra y salida del sistema vemos que

lo que entra en igual a lo que sale y conside con lo esperado con los analisis

Es decir el sistema para ω=¿ @.1 radJsed tiene una ganacia de 1 al

analizar la ganacia llegamos la conclucion de que el sistema se comporta

deacuerdo al analisis de respuesta en frecuencia es decir @ db

En conclucion (e acuerdo a la se observa que efectivamente" la ganancia es

pr*cticamente nula"


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supersim1 sim1.mdl

(e acuerdo a la Figura se observa que son congruentes los resultados. 8a

amplitud se amplifica apro%imadamente al 77@@ lo que en bode seria

7@log77@@$2A;./; db valor cercano a I@./ db

Paraω>ωn 'a!a!cia ba/a):

ω=100 radJseg


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supersim1 sim1.mdl

(eacuerdo con lo esperado el sistema esta atenuando la seHal"

+dicionalmente se puede observar que la magnitud de salida es

e%tremadamente ba


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6)-edia!te el *%ar 7eom8trico de Raices0 seleccio!e a!a!cias ,%e

corres&o!de! al sistema s%bamorti%ado0 sobreamorti%ado0

oscilatorio e i!estable +0 &ara cada caso0 5alle el mare! de a!a!cia +

de $ase del sistema + e1al9e la estabilidad. Coi!cide co! lo es&erado;

(eacuerdo con el lugar geometrico del sistema

921/= el sistema es oscilatorio

921;@ sistema inestable

92/1. sistema sobreamortiguado

K27@7 sistema subamortiguado

Para el margen de ganancia y margen de fase se utiliza la funci&n de

transferencia de lazo abierto donde aparece el termino K:

GH ( s )=G H (s )=k ( 1s3+19 s2+71 s

)


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Com&ortamie!to sobreamorti%ado '?.():

Para 92/1. analaisamos el sistema con la herramienta sisotool de matlab hallamos los

margenes de ganancia y fase

Se observa que ambos son positivos lo cual nos indica que es sistema es

estable para un valor de 92/1.

-are! a!a!cia (".( db

-are! de $ase @?.2 de


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Com&ortamie!to sistema es oscilatorio '4=?(>)

>sando la herramienta de sisotool de matlab podemos hallar los margenes

de ganancia y de fase del sistema para 921/= en donde es sistema es

oscilatorio

Para 921/= es sistema es oscilatorio se puede observar en la figura que

se obtiene :

margen de ganacia 2 @.@/= db margen de fase 2 @.17= deg

evaluando la estabilidad del sistema observamos ambos valores son

positivos y basandonos en el criterio de estabilidad concluimos que el

sistema es estable.


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Com&ortamie!to i!estable 4=1;@

Gotalmente deacuerdo con lo esperado para valores de 921;@ el margende ganacia como el margen de fase ambos son negativas y basandonos en el

criterio concluimos que el sistema es inestable para este valor

-argen de ganacia 2 677.I db

-argen de fase2 6/=.I


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Com&ortamie!to s%bamorti%ado


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E)7ra$i,%e el diarama de N+,%ist + com&are los res%ltados co! el de

Bode. Coi!cide! los res%ltados co! lo es&erado;0 &or ,%8;

-ediante matlab ontenemos el diaframa de nyquist y mostramos en

diagrama de bode para comparar

(e acuerdo con lo esperado en el diagrama de 3yquist


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3yquist

(e acuerdo a la todos los resultados obtenidos son completamente

congruentes. Se seleccionan frecuencias clave" como la frecuencia de

resonancia" la cual es muy cercana a la frecuencia natural de oscilaci&n del

sistema" para hacer el an*lisis un tanto m*s f*cil" comparando lo que se

tiene en ambos diagramas. Se ve claramente que cuando ω=8.42 rad /se$

frecuencia de resonancia$" el sistema tanto en )ode como en 3yquist"

alcanza su m*%ima magnitud"

-agnitud 2608

2+31802=¿

√ ¿ 7I

8o que en bode es 7@[email protected]@ db en cual concide con el diagramade bode


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