UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES PROGRAMA DE EDUCACIN A DISTANCIAUBA XXI Proyecto de Articulacin con Enseanza Media NOCIONES BSICAS DE MATEMTICA

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 1 MDULO II ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Sara Elizondo Isabel Giuggiolini Lectura Crtica : Gustavo Zorzoli SARA ELSA ELIZONDOISABEL GIUGGIOLINIGUSTAVO ZORZOLI2006

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 2 MODULO II. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES NDICE NDICE ACTIVIDADES NDICE RESPUESTAS NDICE ANEXO TERICO BIBLIOGRAFA Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 3 NDICE ACTIVIDADES Lenguaje simblico.Frmulas, expresiones algebraicas4 Actividad 1. 4 Ecuaciones4 Actividad 2. 4 Actividad 3. 4 Inecuaciones 4 Actividad 4. 4 Sistemas de ecuaciones 4 Actividad 5 4 Sistemas de inecuaciones 4 Actividad 6. 4 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 4 NDICE RESPUESTAS Contenido Lenguaje simblico.Frmulas, expresiones algebraicas Actividad 1. 1.a 1.b 1.c 1.d Para ingenirselas 1 1.e Para ingenirselas 2 1.f Para profundizar 1 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 5 Ecuaciones Actividad 2. 2.a 2.b 2.c 2.d Para ingenirselas 3 Actividad 3. 3.a 3.b 3.c Para profundizar 2 3.d Para profundizar 3 3.e Para ingenirselas 4 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 6 Inecuaciones Actividad 4. 4.a 4.b 4.c 4.d Para profundizar 4 4.e 4.f 4.g Para ingenirselas 5 Sistemas de ecuaciones Actividad 5. 5.a 5.b 5.c 5.d 5.e 5 f Para ingenirselas 6 Para profundizar 5 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 7 Sistemas de inecuaciones Actividad 6. 6.a 6.b 6.c 6.d Para profundizar 6 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 8 NDICE ANEXO TERICO Expresiones algebraicas, frmulas, ecuaciones. Traduccin e interpretacin de enunciado. Ecuaciones Ecuaciones lineales con una incgnita.Ecuaciones y resolucin de problemas. Otro tipo de ecuaciones Ecuacin lineal con dos incgnitas Ecuacionescuadrticas. Nmero de soluciones de una ecuacin de segundo gradoPropiedades de la suma y producto de las racesExpresin como producto de una ecuacin de segundo gradoOtros tipos de ecuaciones.Problemas Inecuaciones Inecuaciones de primer grado en una variable. Inecuaciones lineales con dos variables Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones lineales dos incgnitas.Resolucin de sistemas de ecuaciones linealesResolucin algebraica Mtodo de sustitucinMtodo de eliminacin Resolucin grficaSistemas de ecuaciones y resolucin de problema Sistemas de inecuaciones Sistemas de inecuaciones lineales dos incgnitasResolucin grfica. Interpretacin del conjunto solucin. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 9 BIBLIOGRAFA Agrasar y otros; Matemtica:Anexo Terico 8. Tercer ciclo EGB.Editorial Longseller,Buenos Aires, 2004. Agrasar y otros;Matemtica:Anexo Terico 9.Tercer ciclo EGB. Editorial Longseller,Buenos Aires, 2004. Guzmn, M.; Clera, J.;Matemticas I. COU. Editorial Anaya, Madrid, 1988. Guzmn, M.; Clera, J.;Matemticas II. COU. Editorial Anaya, Madrid, 1994. Guzmn, M.; Clera, J.; Salvador, A.; Matemticas Bachillerato 1. Editorial Anaya, Madrid, 1994. Guzmn, M.; Clera, J.; Salvador, A.; Matemticas Bachillerato 2. Editorial Anaya,Madrid, 1988. Guzmn, M.; Clera, J.; Salvador, A.; Matemticas Bachillerato 3. Editorial Anaya, Madrid, 1994. Zorzoli, Giuggiolini, Elizondo y otros. Aprendiendo lgebra y Geometra con Excel. Ed. Omicrom.Buenos Aires, 2004. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 10 Lenguaje simblico. Frmulas, expresiones algebraicas EstemdulotienecomofinqueUstedlogre familiarizarseconunlenguajesimblico, operarconlyutilizarloenlaresolucinde problemas. Leproponemosunasecuenciade actividades que contemplan estos aspectos. Sitienealgunadificultadpuedeconsultarel anexoterico,labibliografapropuestao comunicarse con su tutor. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 11 ACTIVIDAD 1 Lenguaje simblico. Frmulas, expresiones algebraicas. a.Exprese en smbolos los siguientesenunciados: b.Compare las expresiones que escribi. i.La diferencia entre el doble de un nmero y 3. ii.Mara tiene tres aos menos que el doble de la edad de su hermana. iii.Lamedida del largo de un saln de clases rectangular es 3 metros menos que el doble del ancho. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 12 c.En cada una de las siguientes situaciones decida y marque con unaX cul de las expresiones resuelve el problema. a a a bb i.Cunto mide el permetro de la zona rayada?

50 + 3b 3. (3a + 2b)

3 a + 2 b 6 a + 4 b (a +b ) . 6 ii.Un canasto trae 100 manzanas, de las cuales 20 estn en mal estado. Las manzanas que quedan se reparten en partes iguales entre 15 chicosypchicas. Qu cantidaddemanzanas se le da al grupo de las chicas?

p .15 p80+ 15 p80 + 15 pp . 15 . 80+

15 .8015 p +

pp15 . 80+ iii.A un empleado le pagan por las horas extra el 50% ms que las horas de trabajo normales. Despus de 15 horas de trabajo normal y 5 horas extras le pagan $1800. Cuntos pesos le pagan por cada hora n de trabajo normal?

( ) 1800 5 n 5. n 15 = + + 1800 n 521. n 15 = +

1800 n 0,5 . 5 n 15 = + 1800 n 1,5 . 5 n 15 = + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 13 d.Asocie cada uno de los enunciados con la expresin algebraica que la traduce. i. Un nmero entero, su mitad, su triple.A( ) ( ) 2 a 2 a 2 2 a 2 + + + ii. El producto de la suma de dos nmeros por la diferencia de los mismos, es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos nmeros. B tev = iii. La suma de tres nmeros pares consecutivos.C + = +=) 4 M .( 2 4 DM . 3 D iv. La velocidad que lleva un mvil en su recorrido es igual al cociente entre el espacio recorrido y el tiempo quetarda en recorrerlo. Da ; a21 ; 3a v.El rea de un crculo se obtiene multiplicando por el cuadrado de la medida del radio. E 4C3B2A= = vi. Los ngulos interiores de un tringulo ABC son directamente proporcionales a 2, 3 y 4. F ( )( )2b2a b a . b a = + vii. Daniel tiene el triple de la edad de Mara. Dentro de 4 aos Daniel tendr el doble de la edad que tendr Mara. G 2r . Para ingenirselas 1 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 14 e.Cules de las expresiones son equivalentes? Justifique su respuesta. i. ( ) ) b a .( b a - +A. 2b ab 22a + + ii. b a + B. 3b3a 3 iii. ( )2b a C.-2 iv. 0 a ;ac . a b . a+ D. ( )( ) 3 b . 2 b + v. 0 2b) (a ;b 2 a) b 2 a ( 3 b 2 a +++ + E. 2a2b vi. ( ) ( )216 6 3 3b . a a . b 2 ab . 4 |.|

\|+ F. b a + vii. 6 b2b G.c b + H. ( )( ) 3 b . 2 b + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 15 Para ingenirselas 2 Para profundizar 1 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 16 f.Exprese como producto. Justifique sus respuestas. i. = 4 2 2 3b a 8 b a 12 ii. = + x x2 iii. = 16 x2

iv. = + a ax 1 x2

v. = + + + b 2 bx 2 a 3 ax 3 vi. = + 9 x 6 x2 vii. = 3 x x 42 viii. = + 18 - 5xx 22 ix. = + + + 1 x 2 x 2 x2 3

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Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 17 Ecuaciones EstaactividadtienecomofinqueUd.logre familiarizarseconunlenguajesimblico, operarconlyutilizarloenlaresolucinde ecuaciones. Leproponemosunasecuenciade actividadesquecontemplanestosaspectosyqueadems,lepermitirreconocerlas ecuaciones de primer, segundo grado u otras eidentificarlasparautilizarlosmtodos sistemticos para su resolucin Sitienealgunadificultadpuedeconsultarel anexoterico,labibliografapropuestao comunicarse con su tutor. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 18 ACTIVIDAD 2. Ecuaciones a.Responda los siguientes tems y escriba las proposiciones como ecuaciones. i. Para qu valores de b se anula la expresin( ) ( ) 1 b 2 b .43b + |.|

\| ? ii. Cunto debe valer x para que la expresin 5 . 4 x43|.|

\|valga 40? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 19 b.Resuelva los siguientes problemas i. Llevo recorridos 157 de un camino y an me queda31 de kilmetro para llegar a la mitad. Qu longitud tiene el camino? ii. Estoy pensando un nmero cuyo doble aumentado en 1 es lo mismo que ese nmeroaumentado en 5. Cul es el nmero en el que estoy pensando? iii. Hallelospuntosdelarectarealcuyadistanciaal-3esigualquelamitaddela distancia entre-7y 5. iv. Una torre B tiene de altura los 34 de otra torre A ms 1 m. Una tercera torre C tiene 34de la torre B ms 2 m.Adems, la torre C es doble de alta que la A. Cul es laaltura de cada torre? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 20 v. El abuelo de Victoriase dedicaa la cra de canarios. La semana pasada, distribuy sus250pjarosentresjaulasgrandes:enlaprimera,hay30menosqueenla segunda,yensta,10menosqueenlatercera.Cuntoscanarioshayencada jaula? vi. Halle un nmero sabiendo que la raz cbica de la suma entre el doble de dicho nmero y 5 es igual a 3. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 21 c.Resuelva en IR las ecuaciones. D la condicin de posibilidad. i. ( ) ( ) ( ) 1 x . 4 2 x 10 x = + ii. 0 yx 10 1 3 . 1x8 = + |.|

\|+ iii. 94 x 1231 xx93 x 2 +=+ + iv. ( ) 3 x x 3 1 x2 2= + + v. ( )( )2x 5 x 2 x . 2 x + = + + vi. ( )( ) ( ) 5 x x 8 2 x . 2 x 4 + = + vii. ( ) ( ) x 2 1 x - x . x 22 + + = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 22 viii. 2 2 x 3 . 2 = ix. ( ) ( )581 4 x 22x . 1 x2 =+ x. ( ) ( ) x214 x 2321 x53 = xi. 1 2 2 . 2 . 22x 3 1 x x= |.|

\| |.|

\|+ xii. 3 3 3 . 33 x 1 x x= |.|

\|+ + xiii. 2 x 31 x 6x1 - x 2++= Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 23 xiv. 3 x2 - x1 x3 - x3 3+ += xv. 132x . 2 35 + = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 24 d.Para qu valores enteros de x y de y se cumplen las siguientes igualdades? Represente en un sistema cartesiano y obtenga una conclusin. i. x +y= 8 ii. y-x=5 iii. 2y 3x=12 iv. 2x + 3y =18 Para ingenirselas 3 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 25 ACTIVIDAD 3. Ecuaciones Cuadrticas a.Resuelva los problemas i. Encuentre un nmero sabiendo que la diferencia entre el cuadrado del nmero y 10 es igual al triple de 5. ii. Halle dos nmeros pares consecutivos cuyo producto valga 4224. Es nica la solucin? iii. Con 29 baldosas ms, el piso de mi habitacin, que es cuadrada, tendra exactamente una baldosa ms por lado.aCuntas baldosas tiene el piso de mi habitacin? bLalongituddelladodecadabaldosaes25cm,culeselreadelpisodemi habitacin? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 26 iv. Enunaempresa,lacantidadcdeconexionestelefnicasquesepuedenhacerconun conmutador,alcualestnconectadosnaparatos,estdadoporlaecuacin ( ) 1 n . n21c = .Eloperadorpuederealizarconelconmutador496conexiones,cuntos aparatos n estn conectados? v. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de . segm7 , 14 . -Cunto tarda la pelota en subir hasta 9,8 metros sobre el suelo? -Cunto tiempo tarda en llegar al suelo? Recuerde: La altura h, en metros, que alcanza un objeto en t segundos, cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial devmetros por segundo, responde a: 2t . 9 , 4 t . v h = vi. Despusderealizarelrecuentodesusventas,unempresarioobservquedeun determinadoartculovendeduranteelmes,200unidadesa$350cadauna.Yquepor cada $10 de aumento en el precio por unidadvende 2 unidades menos en ese perodo.Enestas condiciones, cul es el menor aumento en el precio por unidad que le producir $11.000 ms mensualmente? vii. Un comerciantecompraciertonmero deartculos poruntotalde$720.Halleelnmero de unidades que compr sabiendo que al venderlas a $40 cada una obtiene una ganancia igual a lo que le costaron 8 de ellas. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 27 viii. Dos personas en bicicleta parten del mismo punto y al mismo tiempo dirigindose por dos caminos perpendiculares. Sabiendo que la velocidad de una de ellas es 4km/h ms que la de la otra y que al cabo de 2 horas se encuentran a una distancia de 40 km, halle las velocidades con las que se desplazan los ciclistas. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 28 b.Resuelva en IR las ecuaciones. D la condicin de posibilidad. i. 1 - 2543x 25 .51= + ii. 3232x2=||.|

\|+ iii. 5 x 3 x2 = iv. 4x2 + 4x + 1 = 0 v. 5 x2 3x+1=0 vi. 6x2 +3x = 0 vii. x2 + x + 41 = 0 viii. 2 x2 + 5x 18 = 0 ix. 3x2- 12 = 0 x. 04121x2= |.|

\| Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 29 c.Resuelva los siguientes tems. i. Decida, sin desarrollar, cuntas soluciones reales tienen las siguientes ecuaciones: 1.x2 5x+ 6 = 0 2.x2 + 9 = 0 3.2x2 3x + 2 = 0 4.2(x - 2)2 = -4 5.0 8 x 4 x212= + + ii. Resuelva completando cuadrados. 1.x2 + 12 x = 45 2.0 x45x2= + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 30 iii. Halle las races de la ecuacin2px2 4px + 5p = 3x2 + x 8 de manera que se cumpla que el producto de sus races sea igual al doble de su suma. iv. De una expresin cuadrtica de la forma ax2+ bx 6 (a0),se sabe que: a.Es igual acero,para x = 2b.Es igual a 6, para x = 1 Es posible hallar una expresin que cumpla estas condiciones? Por qu? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 31 Para profundizar 2 d.Determine el valor de k para que cada ecuacin admita una, infinita o ninguna solucin. i.k . x = 1 - k ii.(k-3) .x = (k-3)2 iii.(k2 - k) . x = k. (k - 1) . (k +2) Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 32 Para profundizar 3 Para ingenirselas 4 e.Determine el valor de k para que cada ecuacin admita dos races reales distintas, una raz real dobleo ninguna raz real. i.2x2 - k x + 2 = 0 ii.x2 - k x + ( k-1) = 0 iii.3x2 + 6 k x + 9k = 0 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 33 Inecuaciones EstaactividadtienecomofinqueUd.logre familiarizarseconlarepresentacingrfica deconjuntosquesonsolucinde inecuacionesdeprimergradoconuna incgnitaydeinecuacionesdeprimergrado condosincgnitasysuutilizacinenla resolucin de problemas. Leproponemosunasecuenciade actividadesquecontemplanestosaspectosyqueadems,lepermitirreconocerlas inecuacionesdeprimer,segundogradou otras e identificarlas para utilizar los mtodos sistemticos para su resolucin Sitienealgunadificultadpuedeconsultarel anexoterico,labibliografapropuestao comunicarse con su tutor. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 34 ACTIVIDAD 4. Inecuaciones a.Traduzca al lenguaje simblico y encuentre valores que verifiquen cada uno de los siguientes tems.-Son nicos? Cmo los representa en el plano? i. La edad de Josefina es ms que el triple que la edad de su prima Victoria. ii. Qu condicin cumple un nmerobsi siempre es mayor que la mitad de otro nmeroamenos 2? iii. Qu condicin cumple un nmerob, si siempre es mayor que la mitad de otro nmero a, menos 2 ? iv. Cuntas facturas, como mnimo, hay que comprar para la merienda, para que cada persona pueda comer por lo menos 2 y se guarden 3 para una que llegar ms tarde? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 35 b.Analice cada uno de los siguientes tems, y complete con los smbolos > ; v. 0 1 x . 2 x2 |.|

\|+ vi. . 0 1 x . 2 x2> |.|

\|+ vii. 0 1 x . 2 x2< |.|

\|+ vii. 0x4 x2 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 36 d.Resuelva los siguientes problemas. i. El nmero de varones de una comisin especial debe ser, por lo menos, tres veces mayor que el nmero de mujeres. Los varones son 12. Cuntas pueden ser las mujeres? ii. Halle los puntos de la recta real cuya distancia al-5 es mayor que la mitad de la distancia entre 9 y 5. iii. Despus de entregar dos docenas de cajas de CD, Santiago tiene menos que 45 cajas de CD. Cuntas cajas de CD, como mximo tena Santiago al comenzar la entrega? iv. Elena pesa el doble que su hermana. La suma de sus pesos es menor o igual que 75kg. Cuntos kilogramos como mximo puede pesar Elena? v. DespusdeunfestivalLauradijo:Yovendtresentradasmsqueeldobledelosque vendiAna.Beatrizrebati:Yovend32entradasyesoesmsdeloquetuvendiste Cul es el mayor nmero de entradas que pudo haber vendido Ana? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 37 Para profundizar 4 e.Resuelva en IR; escriba el conjunto solucin como intervalo o como unin de intervalos de nmeros reales y represente en la recta numrica. i.( ) ( ) x214 x 2321 x53 ii. ( ) ( ) x x 2 . x 3 x252 |.|

\| iii. ( )( ) x 5 x 4 3 x 2 . 3 x 22 < + iv.( ) ( )2 2x311 x21x313 x 2 |.|

\| +

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Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 38 v. 525 - x 4 .52 32 vi. 475 x 2 vii 83 2 x524 + |.|

\| viii. 6531x < + ix. 81x323 |.|

\| x. ( ) 0 9 x . 1 x2 |.|

\| + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 39 xi.( ) 0 3 x . 12 x2< + |.|

\| xii.5252x- 5 < xiii.0x 35 x>+ xiv.03 x2 x 0 iv. y -2.(x-3) 4 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 41 g.Proponga un sistema de inecuaciones cuya representacin grfica sea la siguiente. i. iii. ii. iv. xy 5y x 4 -3 3x y - 4 5- 4yx5 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 42 Para ingenirselas 5 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 43 Sistemas de Ecuaciones Esta actividad tiene como fin que usted logre familiarizarseconelsignificadonumricoy geomtricodeunsistemadeecuacionesy desussoluciones;suresolucinpordistintosmtodosalgebraicos;consurepresentacingrficayelanlisisdelas solucionesparautilizarlosenlaresolucin de problemas. Leproponemosunasecuenciade actividadesquecontemplanestosaspectosyqueademslepermitirdistinguirlos sistemasdeecuacioneslinealesdeotrose identificarlosparautilizarlosmtodos algebraicos sistemticos para su resolucin Sitienealgunadificultadpuedeconsultarel anexoterico,labibliografapropuestao comunicarse con su tutor. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 44 ACTIVIDAD 5. Sistemas de ecuaciones aPara qu valores enteros dex ydeyse cumplen simultneamentelas siguientesigualdades? Represente en un sistema cartesiano y obtenga una conclusin. i. = = +4 y 5 x 318 y 6 x 4 ii. == ) 2 y .( 4 x 60 2 y x iii. = += +9 y 3 x 218 y 6 x 4 iv. = += +5 y 3 x 218 y 6 x 4 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 45 b.Resuelva los siguientes problemas. i.

Unjoyerohavendido18pulserasdeplatay13deoropor$3150.Unapulseradeoro cuesta cuatro veces lo que cuestauna de plata. Cul es el precio de una pulsera de cada clase? ii. Entredos estantes de una librera hay 90 libros. Si se pasan 10 libros del segundo al primer estante,ambostienenlamismacantidaddelibros.Cuntoslibroshabaalprincipioen cada estante? iii. Si se aumentan en 2 mtantoel largo comoel ancho de un rectngulo el permetro mide30 m. Si el largo se disminuye en 2 m resulta un cuadrado.Culesson las dimensiones delrectngulo? iv. Hace dos aos un padre era seis veces mayor que su hijo. Hallar sus edades actuales sabiendo que dentro de 18 aos la edad del padre ser el doble que la del hijo. v. Un comerciante compra dos objetos por $ 2100y los vende por $ 2202. Si en la venta de uno de estos objetos gana el 10% y en el otro pierde el 8%, qu cantidad pag por cada uno de dichos objetos? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 46 c.Resuelva los sistemas; interprete geomtricamente la solucin de cada uno. i. = = +7 y x13 y 5 x ii. = += 8 y 3 x 23 y x 5 iii.

0 = 2y + 3x1 3y + 2x = iv. 4 y 3 x1 y 6 x 2= = v. =9 = 6y + 3x6 y 4 + 2x Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 47 d. Construya un sistema de ecuacionescuya representacin grfica sea la siguiente. i. ii. iii. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 48 e.Resuelva los siguientes problemas. i. La suma de dos nmeros es 56 y la diferencia de sus cuadrados es 448. Cules son los nmeros? ii. El producto de las edades de dos hermanos es 85. Uno de los hermanos es 12 aos menor que el otro. Cuntos aos tiene cada uno? iii. Un patio de forma rectangular tiene un rea de48 m y 10 m de diagonal. Cules son sus dimensiones? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 49 f.Resuelva los sistemas; interprete geomtricamente la solucin de cada uno. i. + =+ =3x y9 x y2 ii. = =2 -x y2 x x y2 iii. ==x y4 x . y iv. = =2y2 x y Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 50 Para ingenirselas 6 Para profundizar 5 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 51 Sistemas de Inecuaciones EstaactividadtienecomofinqueUd.logre familiarizarseconelsignificadonumricoy geomtrico de un sistema de inecuaciones y desuconjuntosolucin.Seplanteala resolucin pormtodos grficos y el anlisis de algunas soluciones particulares. Leproponemosunasecuenciade actividadesquecontemplanestosaspectosquelepermitirdistinguirlossistemasde inecuacioneslinealesdeotrosyutilizarlos mtodosalgebraicossistemticosparasu resolucin Sitienealgunadificultadpuede,consultarel anexoterico,labibliografapropuestao comunicarse con su tutor. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 52 ACTIVIDAD 6. Sistemas de inecuaciones a. Represente en el plano los conjuntos: i. A = { (x, y) IR2/ -3 < x 2} ii. B = { (x, y) IR2/x > 21 -2 2y 6} iii. C = { (x, y) IR2 /| x | = 4| y | > 2} iv. D = { (x, y) IR2/ | x | = 4| y - 1 | > 2} Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 53 b. Describa algebraicamente los siguientes conjuntos del plano. i. ii. iii. 1 3 -2 1-1 4 4-2 2 -2 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 54 c.Cul es el conjunto de puntos que verifica simultneamente las siguientescondiciones?Resuelva grficamente. i. Los nmerosbmayores o iguales que el doble de otro, a. Los nmeros bmenores o igualesque a ms 2. ii. + >x - 4 y2 x y iii. + 2x y3 x 2 y Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 55 d. Resuelvagrficamente. Susana llev a su sobrina al parque: una vuelta, de 6 minutosen calesita cuesta$2 y una vuelta de 3 minutosen los autitos cuesta $3. Susana dispone de 1 horay$30, La niaandarencalesitayenautitosCuntasvueltaspuededaracadaunodelos juegos? Para profundizar 6 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 56 Para ingenirselas 1 Cuantas diagonales tiene un polgono regular de n lados? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 57 Para ingenirselas 2 Juan tiene cinco cajas grandes. Dentro de cada una de ellas hay cuatro cajas medianas y dentro de cada caja mediana hay tres cajas pequeas. Cuntas cajas tiene Juan? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 58 Para ingenirselas 3 Para qu valores del nmero natural n la expresines un nmero entero? ( )n 2! n 2Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 59 Para ingenirselas 4 Un depsito de agua tiene 5 bombas de desagote que arrojan 3, 7 ,10 ,16 21 litros por minuto. a.Siseabrenindistintamentedosdeesasbombas,decuntasmaneras diferentes se pueden elegir esas dos bombas? Escribir todas las posibilidades.

b.Si se abren indistintamente tres de esas bombas, de cuntas maneras diferentes se pueden elegir esas tres bombas? Escribir todas las posibilidades. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 60 Para ingenirselas 5 Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas, sucesivamente.Si una moneda sale cara se anota 1 y si sale sello se anota 0. a)Forme el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados del experimento. b)Cuntos son? dem si se tiran 4 monedas. dem si se tiran 6 monedas.Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 61 Para ingenirselas 6 De las 15 preguntas de que consta un test, se deben contestar seis. a.De cuntas maneras se pueden elegir esas 6 preguntas?b.Si lastres primeras son obligatorias, de cuntas maneras se pueden elegir las otras 3? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 62 Para Profundizar 1 Muestre de dos maneras diferentes que( ) ( )2 21 x 3 x +es igual a( ) 1 x . 8 + . Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 63 Para Profundizar 2 a. 1 Sean dos nmeros reales positivos x e ytales que x = 3y. Entonces: y 3 x =( ) ( ) ( )2 2 2 2y 4 y 2 y 3 y x y = = = ( ) ( ) ( )2 2 2 2y 16 y 4 y 3 y x y = = + = +De las igualdades anteriores puede deducirse lo siguiente: ( ) ( )2 2x y 4 x y = +( ) x - y 2. x y = +x 2 y 2 x y = +y x 3 = . Como y 3 x = , reemplazando en la ltima igualdad se obtieney y 9 = ,Dado que 0 y se puede dividir por y ambos miembros de la igualdad de lo que resulta! 1 9 = ! Qu error hay en el razonamiento? 1 Agrasar y otros; Matemtica: Trabajos Prcticos .Tercer ciclo EGB. Ed. Longseller,Bs. As, 2004. Pg.14. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 64 Para Profundizar 3 a. En la ecuacin0 c bx ax2= + + , qu valor tiene que tomar la expresin ac 4 b2 para que las dos soluciones sean: i.iguales? ii. distintas? b. En la ecuacin 0 p sx x2= + , los coeficientes s y p son la suma y el producto de las soluciones. Justifique su respuesta. c. Resuelva la ecuacin0 10 x 11 x2 4= + . d. Si 3 es una solucin de 0 c x 2 x2= + + ,cul es el valor de c? e. Halle el valor de k en0 2 x 10 kx2= + i.si una de las races es81x =; ii. si no tiene races reales;iii. si tiene una raz doble. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 65 Para Profundizar 4 Responda los siguientes tems i. Cunto debe valer y para que la expresin sea negativa? Ii Para qu valores de x la expresin( )( ) 1 x . 1 x 3 . + esmayor o igual que cero? iii. Para qu valores de c la expresin ( )( ) 1 c . 2 c + es positiva? 3 . 4 y35|.|

\|Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 66 Para Profundizar 5 a. Discuta y resuelvalos siguientes sistemas; interprete geomtricamente la solucin. = + = 6 y 2 x 43 y x 2) i = = +5 y 3 x 44 y 3 x 2) ii = + = 0 y 2 x 40 y x 2) iii

b. Resuelva el sistema en funcin de a, b y c. D las condiciones de posibilidad = + = +c 4 ay 2 bx 3c ay bx 2 c. Resuelva grficamentelos siguientes sistemas. = = += +0 y x2310 y x14 y x 2) i= = += +0 y x10 y x6 y x) ii Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 67 Para Profundizar 6 a Resuelva el sistema: =+ + 244xx yx y b.Grafiqueel conjunto de soluciones de: < +< < + > +0 5 y x0 3 y0 1 y 2 x0 3 y x 2

Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 68 RESOLUCION ACTIVIDAD 1. Lenguaje simblico. Frmulas, expresiones algebraicas. a.Exprese en smbolos los siguientes enunciados b.Compare las expresiones que escribi. i. La diferencia entre el doble de un nmero y 3. 3 n . 2 ii. Mara tiene tres aos menos que el doble de la edad de su hermana. m : edad de Mara h: edad de su hermana 3 - h . 2 m = iii. La medida del largo de un saln de clases rectangular es 3 metros menos que el doble del ancho. 3 - 2.a l = b. Es la misma expresin algebraica para escribir en smbolos, distintas situaciones. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 69a a a bb c.1En cada una de las siguientes situaciones decida y marque con unaX cul de las expresiones resuelve el problema. i. Cunto mide el permetro de la zona rayada? 50 + 3b 3. (3a + 2b) 3 a + 4b 6 a +4 b (a +b ) . 6

ii. Un canasto trae 100 manzanas, de las cuales 20 estn en mal estado. Las manzanas que quedan se reparten en partes iguales entre 15 chicosypchicas. Qu cantidaddemanzanas se le da al grupo de las chicas? p .15 p80+ 15 p80 + 15 pp . 15 . 80+

15 .8015 p + pp15 . 80+ iii. A un empleado le pagan porlas horas extra el 50% ms que las horas de trabajo normales. Despus de 15 horas de trabajo normal y 5 horas extras le pagan $1800. Cuntos pesos le pagan por cada hora n de trabajo normal? ( ) 1800 5 n 5. n 15 = + + 1800 n 521. n 15 = + 1800 n 0,5 . 5 n 15 = + 1800 n 1,5 . 5 n 15 = + 1 MATEMTICA CIEEM. UBA Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 70 d.Asocie cada uno de los enunciados con la expresin algebraica que la traduce i. Un nmero entero, su mitad, su triple.D a ; a21 ; 3a ii.

Elproductodelasumadedosnmerosporla diferencia de los mismos, es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos nmeros. F( )( )2 2b a b a . b a = + ii.

La suma de tres nmeros pares consecutivos. A ( ) ( ) 2 a 2 a 2 2 a 2 + + + iv. La velocidad que lleva un mvil en su recorrido es igualalcocienteentreelespaciorecorridoyel tiempo quetarda en recorrerlo. B tev = v. El rea de un crculo se obtiene multiplicando: por el cuadrado de la medida delradio. G 2Cr . A = vi. LosngulosinterioresdeuntringuloABCson directamente proporcionales a 2, 3 y 4. E 4C3B2A= = vii. Daniel tiene el triple de la edad de Mara. Dentro de 4 aos Daniel tendr el doble de la edad que tendr Mara. C + = +=) 4 m .( 2 4 dm 3 d Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 71 e.Cules de las expresiones son equivalentes? Justifique su respuesta. i. ( ) ) b a .( b a - + E. 2 2a b ii. b a + iii. ( )2b a A. 2 2b ab 2 a + + iv. 0 a ;ac . a b . a+ G.c b + v. 0 2b) (a ;b 2 a) b 2 a ( 3 b 2 a +++ + C.-2 vi. ( )216 6 3 3b a ) ba ( 2 ) ab .( 4 + B. 3 3b a 3 vii. 6 b b2 D. ( )( ) 3 b . 2 b + H. ( )( ) 3 b . 2 b + F. b a + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 72 f.Exprese como producto. Justifique su respuesta. i. ( )2 2 2 4 2 2 3b 2 a 3 b a 4 b a 8 b a 12 = Propiedad distributiva. Factor comn. ii. x x2 + = ) 1 x .( x + Propiedad distributiva. Factor comn iii. ( )( ) 4 x . 4 x 16 x2+ = Diferencia de cuadrados; a2-b2=(a+b).(a-b) iv. ( )) a 1 x ).( 1 x () 1 x .( a ) 1 x .( 1 x a x . a 1 x2+ + == + + = + Dif. de cuadrados. Prop. Distrib. F. comn v. ( ) ( )( )( ) b 2 a 3 . 1 x1 x . b 2 1 x . a 3 b 2 bx 2 a 3 ax 3+ + == + + + = + + + Propiedad distributiva. Factor comn vi. = + 9 x 6 x2( )23 x Cuadrado de un binomio:( a2 2.a.b + b2) = (a b )2 vii. ( ) 1 x .43x 4 3 x x 42 |.|

\|+ = ax2 + bx+ c = a.(x -x1 ). ( x x 2 ) viii. ( )29x . 2 x 2 18 - 5xx 22|.|

\|+ = +ax2 + bx+ c = a.(x -x1 ). ( x x 2 ) ix. ) 1 x x ( ). 1 x () x 2 1 x x ( ). 1 x () 1 x ( . x 2 ) 1 x x ).( 1 x () 1 x ( x 2 ) 1 x ( 1 x 2 x 2 x2223 2 3+ + + =+ + + =+ + + + =+ + + = + + + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 73 ACTIVIDAD2.Ecuaciones a.Responda los siguientes tems y escriba las proposiciones como ecuaciones. i. Para qu valores de b se anula la expresin( ) ( ) 1 b 2 b .43b + |.|

\| ? ( )( ) ( ) ( )1 b-2 b 43b0 1 - b 0 2 b043b 0 1 b . 2 b .43b= = = = = + = |.|

\| = + |.|

\| Verifique los valores obtenidos. ii. Cunto debe valer x para quela expresin 5 . 4 x43|.|

\|valga 40? 16 x16312.4 x 4312 x43434 84 4 x4384 x4354055. 4 x4340 5 . 4 x43== = =+ = + = |.|

\|= |.|

\| = |.|

\| Verifique los valores obtenidos. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 74 b. Resuelva los siguientes problemas. i. Llevo recorridos 157 de un camino y an me queda31 de kilmetro para llegar a la mitad. Qu longitud tiene el camino? km 10c1033030131cc .30131 c .157- c .21.c 15731 c .157c2131c .157camino del longitud : c== = === += + ii. Estoy pensando un nmero cuyo doble aumentado en 1 es lo mismo que ese nmeroaumentado en 5. Cul es el nmero en el que estoy pensando? 4 n 1 - 5 n - 2.n5 n 1 2.nnmero : n==+ = + iii. Halle los puntos de la recta real cuya distancia al -3 es igual que la mitad de la distancia entre-7y 5. ( ) ( )( )9 - d 3 d 6 3 d -6 3 d 6 3 d ; 6 12 .213 d7 5 .213 dcia tan dis : d= = = + = + = + = = + = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 75 iv. Una torre B tiene de altura los 34 de otra torre A ms 1 m. Una tercera torre C tiene 34de la torre B ms 2 m.Adems,la torre C es doble de alta que la A. Cul eslaaltura de cada torre? metros 15 A92310A310A .92

310916A - 18A

310A - 2.A234A9162A ; resulta DeA . 2 C2 1 A3434C 2 B34C1 A34B916= ====+ + = = + |.|

\|+ = + = + = Las torres tienen una altura deA: 15 metros; B:21 metros y C:30 metros Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 76 v. El abuelo de Victoriase dedicaa la cra de canarios. La semana pasada, distribuy sus 250 pjaros en tres jaulas grandes: en la primera, hay 30 menos que en la segunda, y en sta, 10 menos que en la tercera. Cuntos canarios hay en cada jaula? Primera :p ; segunda : s ; tercera : t ( )60 30 90 p90 10 100 s100 t300 10 40 250 t . 3250 t 10 t 40 t250 t 10 t 30 10 t250 t s pt 10 t 30 s= == === + + == + + = + + = + + 4 4 3 4 4 2 1 En la primera jaula hay 60 canarios, en la segunda 90 canarios y en la tercera 100 canarios. vi. Halle un nmero sabiendo que la raz cbica de la suma entre el doble de dicho nmero y 5 es igual a 3. ( )11 n22 2n 22 5 - 27 5 - 5 n . 2 27 5 n . 23 5 n 23 5 n 2 3333=== = += += += + Verifique el valor obtenido. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 77 c. Resuelva en IR las ecuaciones. D la condicin de posibilidad. i. ( ) ( ) ( )( )4x ;x44 124 x . 4 2 x 10 x1 x . 4 2 x 10 x= = + = + + = + ii. 4 -x x 28-1 - 3 x83 1x89 3 . 1x80 yx 10 1 3 . 1x8=== = |.|

\|+ = |.|

\|+ = + |.|

\|+ iii. 5 x ; 10 x . 2910 x .92313194x343xx9x 294x34313xx319x 294 x 1231 xx93 x 2= ==+ + = + ++ = + + +=+ + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 78 iv. ( )52 x1 - 3x 53 x x 3 1 x 2 x3 x x 3 1 x2 22 2=== + + += + + v. ( )( ) 9 x ;4 5 xx 5 x 4 xx 5 x 2 x . 2 x2 22= + =+ = + + = + + vi x 5 0x 5 x 8 x 8x 5 x 8 4 x 4x 5 x 8 ) 4 x ( 4) 5 x ( x 8 ) 2 x )( 2 x ( 42 22 22 2 = = = + = + = + Luego, si a y b son nmeros reales; a.b = 0 a = 0 b = 0 resultax = 0 vii. ( ) ( ))` == =+ = + |.|

\|+ + = + + = 21S21-x 1 x 2x 2 1 x 2 -x x x 2x 2 1 x 2 x x x 2x 2 1 x - x . x 22 22 22 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 79 viii. ( ))`= = == == = = = 1 ;31S31 x1 x2 - 1 3x - 3 3x1 2 x 3 -1 2 x 3 1 2 x 32 2 x 3 . 2 ix ( ) ( )581 4 x 22x . 1 x2 =+ )` = === + + = + + = +45S45-x825- x25825- 2x2x5812 x 22x2x2x581816 x 16 x 42x2x2 22 2 x. ( ) ( ))` = = = = + = + = + = |.|

\| = 847S847x1543047x3047x154385321x x34x53x2138x3453x53x2138x3453x53x214 x 2321 x53 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 80 xi. ( ) ( ) == === + + ++Svaca Solucin Absurdo 0 42 22 21 2 2 . 2 . 20 40 x 2 3 1 x x2x 3 1 x x xii ( )( )3 x ;1 2 - x3 33 33 3 3 . 31 2 x1 3 x 1 x x3 x 1 x x= = === + + ++ + xiii ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )2221x22 182 1 416 2 . 42 4 2 . 2 x ;4 2 24 2 2.4 2 22 x; 4 2 22 x 2 4 2 2x 2 x 2 2 4x- x x 6 2 x 2 2 x 3 x 61 x 6 . x 2 x 3 1 x 22 x 31 x 6x1 - x 22 2 =+ =+=+=++=== = ++ = + + = + ++= Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 81 xiv. ( )( ) ( )( ){ }valores los Verifique7 S7x ; x -2 9 - 2 x x 2x9x2 - x . 1 x 3 x . 3 x3 x2 - x

1 x3 x333 32 23 x2 - x1 x3 x3 x 2 - x 1 x 3 - x= = = + + = + = + +=+==+ ++ + xv. { }. Verifique3 S32 -6 -x x 2 6 -2x - 3 - 3 -2x - 3 3 -

31x 2 3135132 x . 2 35 132x . 2 35= = = ===== + = + = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 82 d. Para qu valores enteros de x ydeyse cumplen las siguientes igualdades? Represente en un sistema cartesiano y obtenga una conclusin. i. x +y= 8 x 8 y = La igualdad es una ecuacin con dos incgnitas, por lo tanto se cumple para infinitos pares de valores.Para todo par de nmeros reales cuya suma sea 8. Estn representados sobre la recta cuya ecuacin es x 8 y = ii. y-x=5 x 5 y + = y x 88y = 8 - x y x -5 5y = 5 +xAnterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 83 iii. 2y 3x=12 x236 y + = iv. 2x + 3y =18 x239 y = y x 6 9y = 9 3/2 x y x -4 6y = 6+3/2 xAnterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 84 ACTIVIDAD 3.Ecuaciones Cuadrticas a. Resuelva los problemas i Encuentre un nmero sabiendo que la diferencia entre el cuadrado del nmero y 10 es igual al triple de 5. -5 n5 n 5 n 25n 25 n: querecordarConviene-5 n5 n 25n10 15n5 3 10 nbuscado nmero : n2 2222= = = = == = =+ = = ii. Halle dos nmeros pares consecutivos cuyo producto valga 4224. Es nica la solucin?El producto es par, por lo tanto los factores son nmeros son pares consecutivos. ( )( )64 2 n 66 n 6621322130 2n66 2 n 64 n 6421282130 2n2130 2216900 21 . 24224 . 1 . 4 2 2n0 4224 n 2 n4224 2 n . nutivo sec con par el 2 n y buscado nmero n2 2 21 1 122 , 12 = + = == == + = = =+ = = = == += ++ Los pares de nmeros que cumplen la condicin son dos : 66 ;64y sus opuestos -66; -64 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 85 iii. Con 29 baldosas ms, el piso demi habitacin, que es cuadrada, tendra exactamente una baldosa ms por lado.a.Cuntas baldosas tiene el piso de mi habitacin? ( )14b1 - 292.b29 b 1 b . 2 b29 b - 1 b2 22 2=== + += + La habitacin tiene 14 baldosas por lado. Como es cuadrada tiene 14 x 14 baldosas.Es decir 196 baldosas. b. La longitud del lado de cada baldosa es 25 cm, cul es el rea del piso de mi habitacin? Cada lado de la habitacin tiene 14 baldosas.Luego el lado de mi habitacin es14 x 0,25 m = 3,50m por lado.Para calcular el rea: 3,50 m x 3,50 m = 12,25 m2 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 86 iv. En una empresa, la cantidadc de conexiones telefnicas que se pueden hacer con un conmutador, al cual estn conectados naparatos, est dado por la ecuacin( ) 1 n . n21c = . El operador puede realizar con el conmutador496 conexiones.cuntos aparatos nestn conectados? ( ) 0 496 n21n21496 c0 c n21n21n21n21c 1 n . n21c222= = = = = Las races de la ecuacin cuadrtica son n1 = 32;n2 = -31. La cantidad n de aparatos conectados a ese conmutador es 32. Se descarta la otra solucin pues es un nmero negativo. v. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de . segm7 , 14 . -Cunto tarda la pelota en subir hasta 9,8 metros sobre el suelo? -Cunto tiempo tarda en llegar al suelo? -Dada2it . 9 , 4 t . v h =en la que

segm7 , 14 v m 8 , 9 hi = = , resulta-2 t y 1 t 0 8 , 9 t 7 , 14 t 4,9 - t 9 , 4 t . 14,7 9,82 12 2= = = + =Qu significan los dos valores obtenidos? Latrayectoriaquedescribelapelotaalserlanzadahaciaarriba,esunacurva (parbola) que responde a la ecuacin cuadrtica.La pelota alcanza en dos momentos la altura,uno cuandosube y el otro al bajar Nos preguntan cuanto tarda en subir hasta 9,8m .Entonces1 segundo. - En el suelo la altura es h = 0 , entonces( ) 3 t y 0 t 0 t - 3 t 4,9 - t 9 , 4 t . 14,7 02 12= = = =El tiempo es 0 en el instante inicial y vuelve al suelo ent = 3 seg. Para alcanzar los 9,8 , tarda 1 segundo y parallegar al suelo3 seg Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 87 vi. Despusderealizarelrecuentodesusventas,unempresarioobservquedeun determinado artculo vendedurante elmes,200 unidades a $ 350 cada una. Y que por cada $10 de aumento en el precio por unidadvende 2 unidades menos en ese perodo.Enestascondiciones,culeselmenoraumentoenelprecioporunidadquele producir $11.000ms mensualmente? Venta mensual $ 70000 (200 . 350 = 70000)Quiere un aumento en el precio por unidadque le produzca $11.000 ms en el mes, entonces su venta sera de 70000+11000= 81000 ; es decir $ 81000. Si aumenta$10 por unidad: 1.10; vende 2unidades menos:2 = 1.2 Siaumenta $20 por unidad:2. 10; vende 4unidades menos 4 = 2.2 Si aumenta$ n .10por unidadn.10,vende n.2 unidades menos. Entoncesla ecuacinque resuelve el problema es: (350 + 10.n) (200 - 2.n) = 81000 Luego:70000 700 n + 2000 n 20 n2 = 81000 -20 n2 + 1300 n 11000 = 0 Las races de esta ecuacin sonn1=10 y n2 = 55. El menor aumento en el precio por unidadque le producir$11000ms por mes es: 10 . 10 = 100.Entonces debe vender cada unidad $100ms cara. (a $450)En estas condiciones venderan.2 unidades menos; 10.2 = 20 unidades menos. Vendera 180 unidades. vii. Un comerciante compra cierto nmero de artculos por un total de $720. Halle el nmero deunidadesquecomprsabiendoquealvenderlasa$40cadaunaobtieneuna ganancia igual a lo que le costaron 8 de ellas. Sea n el nmero de artculos y x el costo de cada uno de ellos.n. x = 720 n720x =Al venderlas:n7208 720 n 40 + = 40 n2 = 720n + 8. 72040 n2 720 n 5760 = 0Las soluciones de la ecuacin son n1 = 24 n2= -6(Verifquelo)Como el nmero de artculos que compr es un nmero natural, n = 24 es la solucin del problema.Luego el nmero de artculos comprado es 24. Precio Cant.de unidadesAnterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 88 Dos personas en bicicleta parten del mismo punto y al mismo tiempo dirigindose por dos caminos perpendiculares. Sabiendo que la velocidad de una de ellas es 4km/h ms que la de la otra y que al cabo de 2 horas se encuentran a una distancia de 40 km, hallelasvelocidades con las que se desplazan los ciclistas. El grfico representa la situacin planteada. AOB es un tringulo rectngulo cuya hipotenusa es la distancia entre los mviles a las 2 horas de partida.a:distanciaquerecorreunodelosmvilescon velocidadtav1 = . Comot = 2 a v 21 = (1)b:distanciaquerecorreelotromvilcon velocidad tbv2 = .Suponiendov2=v1+4y como t = 2 v2= 2(v1 + 4) = b b = 2v1+ 8(2) viii. Por el teorema de Pitgoras es 402 = a2 + b2 . Reemplazando a y b por (1) y (2) 402 = (2 v1 )2 + (2v1 + 8)2 0 1536 v 32 v 864 v 32 v 4 v 4 160012112121= ++ + + = De donde v1 = 12 v1 = -16 (Verifquelo) Considerandola velocidad positiva entonces descartamos el valor negativo. Luego el primer mvil se mueve con velocidad de 12 km/h y el segundo a 16 km/h ABOba 40 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 89 b. Resuelva en IR las ecuaciones. D la condicin de posibilidad. i. 101-x 101 x 101x 1001x1001x 2541 x431 x 25 143x 25 143x 25IR x ; 043x 25 ;51:5143x 25543x 25512 2 22 22222 21 - 2= = == = = = = +=||.|

\|+ + = += + Los valores obtenidos pertenecen al dominio de definicin. Verifique si son solucin de la ecuacin dada. ii. 3232x2=||.|

\|+6 .32-322 - x 0 x 32 32 x 32

32 x 32

32 x3232x3232x22= = = = + = + = +=||.|

\|+=||.|

\|+ Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 90 iii. 5 x 3 x2 = ( | | )( )( | | ). 5 x 3 x cuadrado al elevar de resulta que extraa, raiz una es 2,8. 5 x 3 x de no pero 25 x 10x3 x ; ecuacin la de solucin es 2,82,2 - 2,2 5 8 , 2 3 8 , 2: n Verificaci. ; 3 3 ;- - apertenece 8 , 28 , 2514x ;28 10x 25 x 10x3 x 5 x 3 x; 3 3 ;- - x 3 x 3 x 0 3 x;5 x 3 x22 2 222 22222 2 2 = = + = + = = =+ = = |.|

\|+ = iv. 4x2 + 4x + 1 = 02180 44 . 21 . 4 . 4 4 4x22 , 1 = =El discriminante es igual a 0 , entoncesla raz es doble. S = {-1/2} v. 5 x2 - 3x+1=0No tiene races reales. El discriminante es menor que 0 : (-3)2-4.5.1= -11 vi. 6x2 +3x = 0 Aplicamos propiedades de los nmeros reales: propiedad distributiva3x .( x+1 ) = 0 3x=0 x+1 =0 x=0 x= -1S= {-1;0} Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 91 vii. x2 + x + 41 = 0Recuerde (ab)2= (a2 2.a.b+b2)x2 + x + 41 = ( x + 21 )2= 0x = 21Otra forma: 2180 41 . 241. 1 . 4 1 1x22 , 1 = ={ } 21S =Discriminante igual acero. La raz -1/2 es doble (o de multiplicidad 2) viii. 2 x2 + 5x - 18 = 0( )413 54169 54144 25 52 . 218 . 2 . 4 5 5x22 , 1 = =+ = = S = {29- ; 2 } ix. 3x2- 12 = 04 x4 x12 x 3222=== -2 x2 x 2 x = = = x. 04121x2= |.|

\|

{ } 1 ; 0 S 0 x 1 x2121x2121x2121x4121x4121x22= = = = = = = |.|

\|= |.|

\| Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 92 c. Resuelva los siguientes tems . Decida, sin desarrollar, cuntas soluciones reales tienen las siguientes ecuaciones: 1 x2 5x+ 6 = 0 En la ecuacin de la formax2 5x+ 6 = 0es suficienteanalizar el discriminante= b2 4ac; siendo a = 1; b = -5 y c = 6= (-5)2 4. 1. 6 = 25 24 = 1= 1 > 0 la ecuacin tiene dos races reales distintas. 2. x2 + 9 = 0 Para que sea cero la expresin debera poder encontrarse un nmero realxde modo que x2 = -9 ,pero esto no es posible ya que todo nmero real elevado al cuadrado es mayor o igual que cero. Luego la ecuacin no tiene solucin real. 3. 2x2 3x + 2 = 0 En 2x2 3x + 2 = 0 es suficienteanalizar el discriminante= b2 4ac; siendo a =2; b = -3 y c = 2. = b2 4ac = (-3)2 4.2.2 = 9 16 = -5 Como es = -5 2x2 3x + 2 = 0 no tiene ninguna solucin real. i. 4. 2(x - 2)2 = -4 Escribiendo la ecuacin2(x-2)2= -4 en forma equivalente como(x-2)2 = -2 se observa que no tiene ninguna solucin real por que el cuadrado de un nmero real es siempre mayor o igual que cero. 5. 0 8 x 4 x212= + +Analizamos el discriminante de0 8 x 4 x212= + + .Es8 x ; 4 b ;21 a = = = 0 16 - 16 8214 42= = = . Como = 0 la ecuacin tiene una solaraz real (raz doble o de multiplicidad 2) Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 93 Resuelva completando cuadrados.Recuerde que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1.x2 + 12 x = 45 Comox = a entonces2ab = 2x.b = 12 x 2b = 12 b = 6Luego x2 + 12 x = 45 se puede escribircomo: x2 + 12 x + 62 62 = 45 . (x2 + 12 x + 36) 36 = 45 (x + 6)2 = 45 + 36 = 81

{ } 15 - ; 3 S6 9 - x 6 9 x9 - 6 x 9 6 x81 6 x81 ) 6 x (2= = == + = += += + ii. 2. 0 x45x2= +)`== = = = + = + = + = |.|

\|+ = |.|

\|+ = |.|

\|+ + = |.|

\||.|

\|+ + = += = = =0 ;45S45810 - x 0 x 85-85 x85

85x 85 85x 6425

85x 6425

85x064256425x45x085-85x45x como escribir puedese 0 x45x Luego85b452b x452ab ; a x2 222 22 2 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 94 iii. Halle las races de la ecuacin 2px2 4px + 5p = 3x2 + x 8 de manera que se cumpla queel producto de sus races sea igual al doble de su suma. Por propiedad de las races de una ecuacin cuadrtica se sabe que six1; x2 lo son, entonces es0 aya-b x x yac x x2 1 2 1 = + = . Y porel enunciado debe cumplirse:ab2ac =(1)Entonces 2px24px + 5p = 3x2 + x 8 2px2 4px + 5p -3x2 - x + 8 = 0 (2p - 3) x2 + (4p -1) x + ( 5p +8) = 0Resulta 2p - 3= a . Como es una ecuacin cuadrtica,a0;2p - 30 ; p 3/2 -4p 1 = b y 5p + 8 = c Reemplazando en (1):3 p 2) 1 p 4 (23 p 28 p 5

=+ Como 2p 3 0 5p + 8 = -2 (-4p-1) 5p + 8 = 8p +2 -3p = - 6 p = 2 (que cumple con la condicin de ser distinto de 2/3)= += = + = = += =+= = . 9 x x18 x x : sistemael sulta Re. 9 x yx 18 x x mente, simultneacumplir deben races Lasproblema) del s condicione las segn producto del mitad (la 9 x x Y18 x x es 2 p reemplazar al3 - 2p8 5p acxx Como2 12 12 1 2 12 12 1 2 1 Al despejar x1 en la segunda ecuacin y reemplazar en la primera queda:(9 - x2) x2 = 18 ecuacin cuadrtica que tiene por solucin x2 = 6x2= 3 Luego en x1 + x2 = 9 buscamos el valor de x1 Si x2 = 6 x1 = 9 x2 = 9 6 = 3Si x2 = 3 x1 = 9 x2 = 9 3 = 6 Entonces las races de2px2 4px + 5p = 3x2 + x 8son x1 = 6 x2 = 3; y p = 2. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 95 iv. De una expresin cuadrtica de la forma ax2+ bx 6 (a0),se sabe que:a.Es igual a cero,para x = 2b.Es igual a6, para x = 1Es posible hallar una expresin que cumpla estas condiciones? Por qu? S es posible. Porque: Al reemplazar en ax2+ bx 6 (a0), x por 2resultaa.22 +b.2 6 = 04a + 2b 6 = 0 4 a + 2b = 6 x por 1 resulta a 12 + b. 1 6 = 6a+ b 6 = 0 a + b = 12 Se puede escribir el sistema:= += +12 b a6 b 2 a 4 Para resolver por sustitucin, despejemos a en la segunda ecuacin y lo reemplazamosen la primera: 4.(12 b) + 2b = 6 48 4b + 2b = 6 -2b = -42 b = 21 Entoncesa = 12 b a = 12 -21 a = -9 La expresin cuadrtica tiene la forma 9x2 + 21x 6.

Verificamos que cumple ambas condiciones Es igual a cero,para x = 2 -9.22 + 21.2 6 = -36 + 42 6 = 0Es igual a6, para x = 1 -9. 12 + 21. 1 6 = -9 + 21 6 = 6 Luego la solucin es 9x2 + 21x 6. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 96 d.Determine el valor de k para que cada ecuacin admita una, infinita o ninguna solucin. i. k.x = 1 k 0 k kk - 1 x = Si k pertenece a IR {0} entonces la ecuacin es compatible determinada. Tiene solucin nica. Si k = 0 entonces es: k.x = 1 - k 0 = 1 lo que resulta un absurdo. En este caso es sistema es incompatible. No tiene solucin. ii. ( k - 3 ) x = ( k-3)2 3 k3) - k (3) - k (x2 =Si k pertenece a IR {3} entonces la ecuacin es compatible determinada. Tiene solucin nica. Si k = 3 al reemplazar enla ecuacin( k - 3 ) x = ( k-3)2 resulta 0 = 0. Por lo que la ecuacin es compatible determinada. Tiene infinitas soluciones. iii. (k 2 -k ).x = k (k -1). (k+2) ( )1 k 0 k1 - k k.2) (k 1). - (k k). k - (k2) (k 1). - (k kx2 +=+=Si k pertenece a IR {0,1} , la ecuacin es compatible determinada. Tiene solucin nica.Si k = 0 k = 1 la ecuacin es compatible indeterminada. Tieneinfinitas soluciones. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 97 e.Determine el valor de k para que cada ecuacin admita dos races reales distintas, una raz real doble ninguna raz real. i.

2x2 - k x + 2 = 0

( )( ) ( )( ) distintas. reales races tiene no ecuacin la;4 4 - intervalo el en est k i S4 k16 k 0 16 kdistintas. reales races dos tiene ecuacin la; 4 ;-4 -enest k Si4 k16 k 0 16 kdoble. raiz una tiene ecuacin la -4 k 4 k Para4 k16 k 0 16 kentonces , 16 k 2 . 2 . 4 k caso nuestro En. reales raicestiene no ecuacin la 0 Si. distintas reales raices dos tiene ecuacin la 0 Sidoble real raz una tiene ecuacin la 0 Sic . a . 4 b ;0 c bx ax En2 22 22 22 22 2< > < = + > > > = = == = = = = = < > = = = + + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 98 ii. x2 - k x + ( k-1) = 0 ( )( )( ){ }( )distintas. reales races tenga no ecuacin la que tal k de valor un existe No0 2 - k0 2 - k distintas. reales races dos tiene ecuacin la2 IRen est k Si0 2 - k0 2 - k doble.raiz una tiene ecuacin la 2 k Para0 2 - k 0 2 - k0 4 x 4 k : entonces , 4 x 4 k ) 1 k .( 1 . 4 k caso nuestro En222 22 2< < = > > = == = = + = + = = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 99 iii. 3x2 + 6 k x + 9k = 0 ( )( )( ){ }( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) . realesraces tiene no ecuacin la3 ; 0 estk i S k 3 k 0 k 0 3 - k0 k . 36 3 ; 0 k 3 k 0 k0 3 - k 0 k . 360 3 - k 36k distintas. reales races dos tiene ecuacin la; 3 0 ; - en est ki S0 ; - k 3 k 0 k0 3 - k0 k . 36 ; 3 k 3 k 0 k03 - k 0 k . 360 3 - k 36k doble. raiz una tiene ecuacin laentonces 3 ; 0 en est k i Sdoble.raizunatieneecuacin la0 3 - k 0 kPara 0 3 - k0 k . 36 0 3 - k 36k 0 108 k 36. : entonces , k 108 k 36. 9k . 3 . 4 k 6 casonuestroEn22 2 < > < > < > < > < = + < < < < + > > > > > = = == = = = = = = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 100 ACTIVIDAD4.Inecuaciones a.Traduzca al lenguaje simblico y encuentre valores que verifiquen cada uno de los siguientes tems.Son nicos? Cmo los representa en el plano? i. La edad de Josefinaes ms que el triple que la edad de su prima Victoria. v 3j> ii. Qu condicin cumple un nmero,b , si siempre es mayor que la mitad:de otro nmero amenos 2 ?( ) 2 a .21 b > iii. Qu condicin cumple un nmero,b , si siempre es mayor que la mitad de otro nmero a ,menos 2 ? 2 - a .21 b> iv. Cuntas facturas, como mnimo, hay que comprar para la merienda, para quecada persona puede comer por lo menos 2 y se guarden 3 para una que llegar ms tarde? f 2 p + 3 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 101 b.Analice cada uno de los siguientes tems, ycomplete con los smbolos > ; 9 n2 +9 n2 + ( )( ) 3 n 3 n + y n 18 n 92 + 9 n2 n 18 n 92 + 9 n 18 9 Si n = 1 las expresiones son iguales -9=-9( )( ) 3 n 3 n + = n 18 n 92 + Si n > 1 las expresiones no son iguales 9 n 18 9 -18>-18n ii. ( )( ) 3 n 3 n + > n 18 n 92 + iii. ( ) |.|

\| n 2 n n 2 . n2 n 2 n n n . 22 2+ = n 2 n n n 22 2 n 2 n n n 22 2 iv. ( ) |.|

\| + n 2 n n 2 . n2 n 2 n n n 22 2+ + = ( ) 2 n . n n 2 n2 +n 2 n n 2 n2 2+ + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 102 c.Resuelva mentalmente las inecuaciones. Escriba el conjunto solucin y represente en la recta real. i. 0 3 x 3 { } 1 S = ii. 0 4 x 5 + IR S = iii. 2 2 x 5 < = S iv. 0 4 x 5 > )`=54- IR S v. 0 1 x . 2 x2 |.|

\|+ { } 2 S = vi. . 0 1 x . 2 x2> |.|

\|+ { } 2 IR S = vii. 0 1 x . 2 x2< |.|

\|+ = S viii. 0x4 x2

{ } 0 IR S = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 103 d. Resuelva los siguientes problemas. i. El nmero de varones de una comisin especial debe ser, por lo menos, tres veces mayor que el nmero de mujeres. Los varones son 12. Cuntas pueden ser las mujeres? nmero de varones: vnmero de mujeres: m 4 mm 3 123.m 12 ; 12 v; m 3 v = Las mujeres pueden ser 1; 2; 3 4. ii. Halle los puntos de la recta real cuya distancia al-5 es mayor que la mitad de la distancia entre -9 y 5. Distancia de los puntos de la recta real a-5 es |x (-5)| = |x + 5| Distancia entre 9 y5es| -9 5| = |14 = 14( ) ( ) + =< >< + > + > +> + > + ; 2 12 -; - S 12 - x2x7 - 5x75x 7 5 x 7 5 x;14 .21 5 x Verifique la solucin grficamente en la recta numrica. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 104 iii. Despus de entregar dos docenas de cajas de CD, Santiago tiene menos que 45 cajas de CD. Cuntas cajas de CD, como mximo tena Santiago al comenzar la entrega? 69c 24 45c45 24 - c c: CD de Cajas+ >>=+ = La cantidad de entradas es un nmero natural . Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 106 e Resuelva en IR; escriba el conjunto solucin como intervalo o como unin de intervalos de nmeros reales y represente en la recta numrica. i. ( ) ( )IR. numrica recta la en verifique ypresente Re ;847- S.847 -x

1543047- x3047- x .154 53 3821 x x34x53x21

38x3453x53x214 x 2321 x53|.|

+ = + + + ii. ( ) ( )((

\| = + + |.|

\|+ + |.|

\|41- ; - S x 41-x -6-425 x - x x 5 6 x x 5425x - x x . 3 x . 2 6 x x 5425x x 2 . x 3 x252 22 22 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 107 iii. ( )( )

59 ;- S 59 x 5x - 9 - x 5 x 49 x . 4x 5 x 4 3 x 2 . 3 x 22 22|.|

\| = < + > > + < < + > < + |.|

\| Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 112 xii. |.|

\|=> >< < < > + < < +> > + >+ Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 113 xiv. ( )( ) ( ) 2 ; 32 ; 3 S S S2 ; 3 S 3 -x2x0 3x 02 - xS3 -x2 x 0 3x 02 - x0 3x 02 - x

0 3x 02 - x 03 x2 x2 121 = = = = > + < = < >< + > > + > > +> + < +> + + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 1152 6 f. Represente grficamente la regin del plano limitada por las siguientes inecuaciones: i. y + 3x < 6

y < 6 -3x ii. -2x + 5y 10x522 y + 2-25 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 116 iii.

3x + 4y - 12 > 0 x433 y > iv. ( )2 x . 2 y4 6 x . 2 y4 3 x . 2 y+ + 4 3 21Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 117 g. Proponga un sistema de inecuaciones cuya representacin grfica sea la siguiente. i. iii. 4 x34y + 5 y ii. iv. 720b ;75a5 b a . 30 b a 4b ax y = == += + + = y > 720x75+ y> x45 y x 4 -3 3x y - 4 5xy 5- 4 yx5 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 118 ACTIVIDAD 5.Sistemas de ecuaciones a.Para qu valores enteros dex ydeyse cumplen simultneamente las siguientesigualdades? Represente en un sistema cartesiano y obtenga una conclusin. i.

= = +4 y 5 x 318 y 6 x 4 =+ =4 x 3 y 518 x 4 y 654- x .53 y3 x .32- y=+ =

( )

} 1 ; 3 { S nica. solucin Tieneo. determinad compatible sistema un Es. plano del rectas las de on intersecci de punto el es solucin La1 y ; 3x519x .1519-354x .53- x .32- 54x .53- 3 x .32- 54- x .533 x .32- == = = = = += + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 119 ii. == ) 2 y .( 4 x 60 2 y x = =8 - 4yx 62 x y + = =8 x 6 y . 42 x y+ = =2 x23y2 x y )`|.|

\|= = = = = + =+ = 817- ;81- Snica. solucintiene , o determinadcompatiblesistemaunEs . planodelrectaslasden interseccidepunto el essolucin La 817281y 81- x4 x21-2 2 x23-x 2 x232 x

Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 120 iii. = += +9 y 3 x 218 y 6 x 4 = += +9 y 3 x 29 y 3 x 2

La solucin es la recta9 y 3 x 2 = + , las rectas son coincidentes, es decir el sistema tiene infinitas soluciones.Es un sistema compatible indeterminado. iv. = += +5 y 3 x 218 y 6 x 4= += +5 y 3 x 29 y 3 x 2 ==2x - 5 y 32x - 9 y 3==x32-35yx32- 3 y le. incompatib sistema un Esparalelas. son rectas Lassolucin. tiene no ecuaciones de sistema EloAbsurd353 x32-35x32- 3 == Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 121 b.Resuelva los problemas. i.

Un joyero ha vendido 18 pulseras de plata y 13 de oro por $3150. Una pulsera de oro cuesta cuatro veces que una de plata. Cul es el precio de una pulsera de cada clase? = = +p 4o3150 o 13 p 1845p 70 3150 p 3150 p 70 3150 p 4 13. p 18= = == + Cada pulsera de plata: $45Cada pulsera de oro;45.4= 180; $180.Verifique ii. Entredos estantes de una librera hay 90 libros. Si se pasan 10 libros del segundo al primer estante, ambos tienen la misma cantidad de libros. Cuntos libros haba al principio en cada estante? + = = +10 s 10 p90 s p De la primera ecuacin:p = 90 sReemplazamos en la segunda: 90 s 10 = s + 10 Entonces es90 20 = 2 s s = 35Yp =90 35 p = 55 Al principio haba 55 libros en el primer estante y 35 en el segundo. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 122 iii. Si se aumentan en 2 mtantoel largo como el ancho de un rectngulo el permetro mide 30 m. Si el largo se disminuye en 2 m resulta un cuadrado. Cules son las dimensiones delrectngulo?

( ) ( ) 30 2 l . 2 2 a . 2 = + + +2 l a = ( ) ( )== + + +2 - l a30 2 l . 2 2 a . 2 ( ) ( ) | |== + + +2 - l a30 2 l 2 a . 2

== + +2 - l a15 4 l a . n verificacila Realicemetros 4,5 a ymetros 6,5 l 4,5 2 - 6,5 2 - l a;5 , 6213l 2 - 15l . 215 4 l 2 l= == = = = === + + l + 2m a + 2m l - 2m a Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 123 iv. Hacedosaosunpadreeraseisvecesmayorquesuhijo.Hallarsusedades actuales sabiendo que dentro de 18 aos la edad del padre ser el doble que la delhijo. x = edad actual del padre; y = edad actual del hijoEcuacin para la condicin hace dos aos: x - 2 = 6(y - 2) Ecuacin para la condicin dentro de 18 aos: x + 18 = 2 (y + 18)El sistema que queda formado es:+ = + = ) 18 y ( 2 18 x) 2 y ( 6 2 x De la primera ecuacin: x = 6(y - 2) + 2Reemplazamos en la segunda: 6(y - 2) + 2 + 18 = 2(y + 18) Luego es: 6y 12 + 2 + 18 = 2y + 36 De donde: y = 7yx = 32 Actualmente, el padre tiene 32 aos y el hijo 7 aos. v. Un comerciante compra dos objetos por $2100y los vende por $2202. Si en la venta de uno de estos objetos gana el 10 % y en el otro pierde el 8 %, qu cantidad pag por cada uno de dichos objetos? Si gana el 10% , entonces es 1+ % 1 , 110010=Si pierde el 8% , entonces es1- % 92 , 01008=Por esto se plantea el siguiente sistema: = += +2202 b . 92 , 0 a . 10 , 12100 b a De la primera ecuacin:b = 2100 aReemplazamos en la segunda:1,10 a + 0,92.(2100 a) = 2202Entonces, es:1,10 a + 1932 0,92 a = 2202 0,18 a = 270a =270 : 0,18 a = 1500 Por lo tanto: b = 600 Los objetos costaron $1500y $600, cada uno. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 124 c.Resuelva los sistemas; interprete geomtricamente la solucin de cada uno. i. = = +7 y x13 y 5 x 1) 8; ( P SCD.o Determinad compatibleSistema8x1 y6 y . 67 13 ) y ( y 5 x x==== = + ii. = += 8 y 3 x 23 y x 5 ( ) 2 ; 1 P . SCD2 y1 x17 x 178 9 x 15 x 28 ) 3 x 5 .( 3 x 23 x 5 y=== == += + = iii. ( )incidentes ctas ReSCD 3 ; 4 P 4 x ; 3 y y6121y61y21y3221y32y2321y32xy2321xy 2 3x3y - 1 2x 0 = 2y + 3x1 3y + 2x= = = = |.|

\| = + = = = = == = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 125 iv. ( )( )

te. grficamenVerifiqueparalelas. son rectas Las solucin. tiene No le. incompatib es sistema ElAbsurdo 1 81 6y - 8 6y -1 6y - 4 3y - 2. 4 y 3 x1 y 6 x 2 4 y 3 x1 y 6 x 2= = += + + == = = v. x2123y por resadas expsoluciones initas inf Tiene . ado min er det in compatible es sistema Eles coincident son rectas Las3 = 2y + x3 y 2 + x 9 = 6y + 3x6 y 4 + 2x = = = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 126 d Construya un sistema de ecuaciones cuya representacin grfica sea la siguiente. i. + = =5 x y2 y

ii. =+ =2 x4 x32y iii. = =x 4 yx y Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 127 e.Resuelva los siguientes problemas. i. La suma de dos nmeros es 56 y la diferencia de sus cuadrados es 448. Cules son los nmeros? = = +448 b a56 b a2 2 ( )( )= += +448 b a . b a56 b a ( )= = +448 b a 6. 556 b a = = +56448b a56 b a 24b32 a64a 28 56 b b a 28 b a56 b a== =+ = += = + Los nmeros buscados son 32 y 24. . n verificaci la Realice Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 128 ii. El producto de las edades de dos hermanos es 85. Uno de los hermanos es 12 aos menor que el otro. Cuntos aos tiene cada uno? + = =12 y x85 y . x ( )+ == +12 y x85 y . 12 y

0 85 y 12 y2= + Aplicamos la frmula resolvente 1 . 2) 85 .( 1 . 4 12 12y22 , 1 = Las races de la ecuacin son y1 = 5; y2 = -17.Como las edades no son negativas, la solucin que usamos es y = 5. Luego las edades de los hermanos son 5 aos y 17 aos. Verifique. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 129 iii. Unpatio de forma rectangular tiene un rea de48 my 10 m de diagonal. Cules son sus dimensiones? = +== +2 2 22 2 210 h b48 h . b. Pitgoras de Teorema d h b: cumple se rectngulo el En = +=2 2 210 h b48 h . b= + |.|

\|=100 hh48h48b22 0 100 hh48222= +

medidas. ser por descarta se solucin esta , 6 h 6 h 36 h 36 hmedidas. ser por descarta se solucin esta , 8 h 8 h 64 h 64 h36 a ; 64 a : son soluciones Las . 0 2304 a 100 a0 h . 100 h 48Entonces. a h a hvariables. de cambio haciendo resuelve se que bicuadrada Ecuacin 0 h . 100 h 48: resulta h por igualdad la de miembros ambos ndo Multiplica2 222221 121212 122 4 22 4 22 4 22 = = = = = = = == = = + = += == +Las dimensiones del patio son 8 y 6 d =10h b Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 130 f.Resuelva los sistemas; interprete geomtricamente la solucin de cada uno. i. + =+ =3x y9 x y2 Es un sistemano lineal. Se busca la interseccin dey = - x 2 + 9(una curva, que se llama parbola) y una recta. Pueden tener en comn dos puntos si larectaes secante a laparbola, un punto,si la rectaestangente a lacurvao ningn punto, recta exterior a la parbola. Se resuelve por sustitucin de variables: 2 x 3 x 6 x x 0 3 x 9 x 9 x 3 x3x y9 x y2 12 2 22= = + = + + = + + =+ = Los puntos de interseccin de la recta y la parbola son: P1 = (-3 ; 0) y P2 = (2; 5 ) ii. ( )2 x 0 x0 2 x . x0 x 2 x2 x x 2 x2 -x y2 x x y2 1222= == = = = = Los puntos de interseccinde la recta y la parbola son:P1 = (0; -2)y P2 = (2; 0). Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 131 iii. Es un sistema de ecuacionesno lineal: y . x = 4(una curva, llamada hiprbola) y una recta.Se resuelve por sustitucin de variables. 2 x 2 x2 x4 x4 x . xx y4 x . y2 12 = = === == Los puntos de interseccinde la recta y la hiprbola son : P1 = (2; 2)y P2 = (-2; -2) iv. 0 x 4 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x2y2 x y2 1= = = = = = = Los puntos de interseccinde la recta y la grfica de y = |x-2|sonP1=(4; 2)y P2=(0; 2) Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 132 ACTIVIDAD6.Sistemas de inecuaciones a.Represente en el plano los conjuntos: i. A = { (x, y) IR2 / -3 < x 2 } ii. B = { (x, y) IR2 /x > 21 -2 2y 6 } >3 y 121x La zona grisada es el conjunto solucin. x y 2-3 1/2 -1 3 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 133 iii. C = { (x, y) IR2 /| x | = 4| y | > 2 } La interseccin son las semirrectas en rojo que no contienen sus orgenes. iv. D = { (x, y) IR2 /| x | = 4| y - 1 | > 2 } La interseccin son las semirrectas en rojo que no contienen sus orgenes. -4 4 2 - 2 3 -1 -44 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 134 b. Describa algebraicamente los siguientes conjuntos del plano. i. 3y 12 - x ii. x - 4 y2 x y El punto de interseccin de las rectasy = 4 xy y = x + 2esel puntocuyas coordenadasvienen dadas por el par ordenado(x; y) = (1; 3). b=2a b=a+2y=x+2 y=4-x Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 136 iii. + 2x y3 x 2 y Lainterseccin de la recta y = 2x + 3y la parbola y = x2 sonlos puntoscuyas coordenadasvienen dadas por los pares ordenados :(x; y) = (-1; 1)y(x; y) = (3; 9). Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 137 d. Resuelvagrficamente los problemas. Susana llev a su sobrina al parque: una vuelta de 6 minutosen calesita cuesta$2 y una vuelta de 3 minutosen los autitos cuesta $3. Susana dispone de 1 horay$30.La nia andar en calesita y en autitos cuntas vueltaspuede daracada uno de losjuegos? Recuerde 1 hora = 60 minutos.Escribimoslas condiciones en un sistema de inecuaciones. + +0 a0 c60 3a 6c30 3a 2c Observamos que puedeser c0. En este caso dara0 vuelta en calesita y 10 vueltas en autitos. En esta eleccin se verifica:2.c+ 3 a 30 2.0 + 10. 3 = 30(satisface la condicin del dinero)6c + 3 a 60 6.0 + 3.10 = 30(satisface la condicin del tiempo) No ocurre lo mismo si lo vemos al revs 0 vueltas en autito y 15 vueltas en calesita: Ya que satisface la condicin de dinero pero no deltiempo: 15c + 0 a 60 6.15 + 0.10 = 90(indica 90 minutos).

Elgrficoaladerechamuestralasuperficie limitadaporelpolgonoquesatisfaceel sistema de inecuaciones. Peroenrealidadnotodoslospuntosdela superficiesatisfacenelproblemayaqueel nmerodevueltasencalesitaoautitoesun nmero igual a cero o natural. Porejemploelpar(3;6)indica3vueltasen calesita y 6 en autito. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 138 En este caso es:2.3+ 3.6 30 6 + 18 = 24 (satisface la condicin del dinero)6.3 + 3 6 60 18 + 18 = 36 (satisface la condicin del tiempo) En el grfico se muestran todas las soluciones que verifican las condiciones del problema. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 139 Polgono regular LadosDiagonales Tringulo 30 Cuadrado42 Pentgono 55 Hexgono69 P.n ladosn( )23 n . n Para ingenirselas 1 Cuntas diagonales tiene un polgono regular de n lados? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 140 Encada caja grande:4cajas medianas4x3cajas pequeas En total, en cada caja grande 17 cajas. Como son 5 cajas grandes 5 x 17cajas= 85 cajas Para ingenirselas 2 Juantienecincocajasgrandes.Dentrodecadaunadeellashaycuatrocajas medianasydentrodecadacajamedianahaytrescajaspequeas.Cuntas cajas tiene Juan? Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 141 n! se define para nmeros naturales;3 ! =3.2.1 7 ! =7.6.5.4.3.2.1 n ! = n. (n-1) .(n-2). ... .( n-n+1) !

( ) ( )( )=+ =n 21 n 2 n 2 ....( . 2 n 2 . 1 n 2 . n 2n 2! n 2(2n-1)! que es un nmero natural Para todo n natural Para ingenirselas 3 Para qu valores del nmero natural n la expresines un nmero entero?( )n 2! n 2Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 142 Un depsito de agua tiene 5 bombas de desagote que arrojan 3, 7 ,10 ,16 21 litros por minuto. a.Si se abren indistintamente dos de esas bombas, de cuntas maneras diferentes se pueden elegir esas dos bombas? Escribir todas las posibilidades. 21 321 7 16 331 10 16 7 10 321 16 16 10 10 7 7 3 Las bombas se pueden elegir de 10 maneras diferentes. Otra forma de elegir indistintamente2 de 5 bombas es mediante:102201 24 5= = b.Siseabrenindistintamentetresdeesasbombas,decuntasmanerasdiferentes se pueden elegir esas tres bombas? Escribir todas las posibilidades. 21 16 321 16 10 21 10 316 10 321 16 7 21 7 321 10 7 16 7 316 10 7 10 7 3 Las bombas se pueden elegir de 10 maneras diferentes. Otra forma de elegir indistintamente 3 de 5 bombas es mediante: 102201 2 33 4 5= = Para ingenirselas 4 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 143 Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas, sucesivamente.Si una moneda sale cara se anota 1 y si sale sello se anota 0. a)Forme el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados del experimento. 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 10 1 0 0 1 11 1 0 1 1 1 b) Cuntos son? dem si se tiran 4 monedas. dem si se tiran 6 monedas.Son 8 ,dos posibilidades (0-1) por cada una de las tres monedas: 8 2 2 2 23 = = Si son cuatro las monedas : dos posibilidades (0-1) por cada una de las cuatro monedas: 16 2 2 2 2 24 = = Si son seis las monedas :64 2 2 2 2 2 2 26 = = Si son nlas monedas :n2 Para ingenirselas 5 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 144 De las 15 preguntas de que consta un test, se deben elegir 6 para contestar. a.De cuntas maneras se pueden elegir esas 6 preguntas? Laprimeraeleccines15alternativas,lasegunda14,latercera13,lacuarta12,la quinta11,lasexta10.Elproductode15.14.13.12.11.10(queda3.603.600)nosdicede cuntas formas podemos elegir en orden 6 elementos de entre 15. Pero en este caso dicho orden no es relevante con lo cual elegir las preguntas 1-2-4-6-8-9 es lo mismo que elegir las preguntas 1-2-8-6-4-9 9-8-6-1-2-4. De cuntas formas se puede elegir le resultado 1-2-4-6-8-9?Tantascomofactorialde6,esdecir6!(720).Porlotantodebemoscontarunaporcada 720 formas de elegir un coleccin de seis cualesquiera preguntas. Entonces la solucin es: ( ) ! 9 ! 6! 15! 6 15 !. 6! 15C; 6 de tomados elementos 15 de nes Combinacio SonPV1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 610 . 11 . 12 . 13 . 14 . 156 , 1566 , 15=== b.Si las tresprimeras son obligatorias, de cuntas maneras se pueden elegir las otras 3? De las 15 preguntas originales las 3 primeras ya son obligatorias. Slo se pueden elegir 3 entre las 12 restantes.Por lo tanto la respuesta es: 33 , 12PV1 . 2 . 310 . 11 . 12=Son combinaciones de 12 tomadas de 3: ( ) ! 9 !. 3! 12! 3 12 !. 3! 12C3 , 12== Para ingenirselas 6 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 145 Paraprof undi zar1 Muestre de dos maneras diferentes que( ) ( )2 21 x 3 x +es igual a( ) 1 x . 8 + . -En general:( )( ) b a . b a b a2 2 + = |.|

\| , luego considerando ( ) ( )2 21 x 3 x +como una diferencia de cuadrados, resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) 1 x . 8 1 x . 4 . 2 4 . 1 x . 21 3 . 2 2x1 x 3 x . 1 - x 3 x1 x 3 x . 1 x 3 x 1 x 3 x2 2+ = + = + =+ + =+ + + + = + + + = + -Al desarrollarlos cuadrados: ( ) ( )( ) 1 x . 8 8 x 81 x 2 9 x 61 x 2 x 9 x 6 x1 x 2 x 9 x 6 x 1 x 3 x2 22 2 2 2+ = + = + + = + + + =|.|

\|+ + + = + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 146 Paraprof undi zar2 a. Sean dos nmeros reales positivos x e ytales que x = 3y. Entonces: y 3 x =( ) ( ) ( )2 2 2 2y 4 y 2 y 3 y x y = = = ( ) ( ) ( )2 2 2 2y 16 y 4 y 3 y x y = = + = +De las igualdades anteriores puede deducirse lo siguiente: ( ) ( )2 2x y 4 x y = + (*) ( ) x - y 2. x y = +x 2 y 2 x y = +y x 3 = . Como y 3 x = , reemplazando en la ltima igualdad se obtieney y 9 = ,Dado que 0 y se puede dividir por y ambos miembros de la igualdad de lo que resulta! 1 9 = ! Qu error hay en el razonamiento? A partir de (*)el razonamiento correcto es el siguiente: ( ) ( )( ) ( ) x y 4 x yx y 4 x y22 = + = + y 4 y 4y . 2 . 2 y . 4y . 2 . 2 y . 4y 2 . 2 y 4y 3 y 2 y 3 yx y 2 x y== = = = + = + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 147 Paraprof undi zar3 a. En la expresin0 c bx ax2= + + , qu valor tiene que tomar la expresin ac 4 b2 para que las dossoluciones sean: ii.iguales?iii.distintas? . reales raicestiene noecuacinla 0 Si. distintas reales raices dos tiene ecuacin la0 Siiguales. races doble, real raz una tiene ecuacin la 0 Sic . a . 4 b ;0 c bx ax En2 2= = = + +

b.En la ecuacin 0 p sx x2= + , los coeficientes s y p son la suma y el producto de las soluciones.Justifique su respuesta. Consideramos a1y a2las soluciones de la ecuacin 0 p sx x2= + , entonces : ( )( )( )( )2 12 12 12 1 2 122 1 2 12 22 12a . a py a a sa a sa . a x a a xa . a x a x a x p sx xa x a x . 1 p sx x=+ =+ = + + =+ = + = + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 148 c.Resuelva la ecuacin 0 10 x 11 x2 4= + . { } 10 ; 10 -; 1; 1 S 10yx 10x ;1 x ;1 x resulta ,b x;bx luego, 10 b y1 b : soluciones como tiene que cuadrtica ecuacin, 0 10 b 11 b: resultato tan lo Por, byx b x: variables de cambio un realizando resuelve se ; bicuadrada ecuacin una Es4 3 2 122 122 4 2 == = = == == == + = =

d.Si 3 es una solucin de 0 c x 2 x2= + + ,cul es el valor de c? Como 3 es raz de la ecuacin la satisface, luego reemplazamos x por 3. 32 + 2.3 + c = 0, de donde 9 + 6 +c = 0 y por lo tanto c = -15. Otra forma,teniendo en cuenta quela suma y el producto de las races son respectivamente: s = a1+ a2yp = a1+ a2 resultaen0 c x 2 x2= + +-2 = 3 + a2 ; a2 = 5c = 3 a2 ;c = 3.(-5) = -15 c = -15 Verifique) 5 x ).( 3 x ( 15 x 2 x2+ = + . Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 149 e. Halle el valor de k en0 2 x 10 kx2= +. i.

Si una de las races es81x =; 48 k; 64 .43k ;43k .6410 245641. k0 281. 1081. k2= = == + |.|

\|= + |.|

\| Es decirk = 48 Verifiquequelassolucionesde0 2 x 10 x . 482= + son :

31x81x2 1 = = ii. Si no tiene races reales; |.|

\| < > + > > + Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 154 Paraprof undi zar5 a. Discuta y resuelvalos siguientes sistemas; interprete geomtricamente la solucin. = + = 6 y 2 x 43 y x 2) i = = +5 y 3 x 44 y 3 x 2 ) ii = + = 4 y 2 x 40 y x 2 ) iiii)Los coeficientes de las dos ecuacionesy los trminos independientessonproporcionales: 21632142 === Es un sistema compatible indeterminado. Son rectas coincidentes. ii)Es un sistema compatible determinado Tiene solucin nica. Son rectas secantes.El punto de interseccin es P = (3, 31). iii)Es un sistema incompatible. No tiene solucin. son rectas paralelas. Los coeficientes de las dos ecuacionessonproporcionales y los trminos independientes no lo son: 40 212142 == b. Resuelva el sistema en funcin de a, b y c. D las condiciones de posibilidad = + = +c 4 ay 2 bx 3c ay bx 2 0 ay7a11cy ; 0 b y b 7c 2x = = Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 155 c. Resuelva grficamentelos siguientes sistemas. = = += +0 y x2310 y x14 y x 2) i= = += +0 y x10 y x6 y x) ii i)El punto de interseccin de las tres rectas esP = (4; 6) ii) L as rectas= = +0 y x6 y xse cortanen P1 = (3; 3). L as rectas= = +0 y x10 y xse cortanen P2 = (5; 5) El sistema es incompatible. x+y= 10 3/2x-y=02x+y= 14 x+y=10 x- y = 0 5 3 3 5 x+y=6 Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 156 Paraprof undi zar6 a. Resuelva el sistema: =+ + 244xx yx y Este sistemaest formado por dos inecuaciones y una igualdad.Representamos los semiplanos limitadospor las rectas borde: y= x + 4; y = -x + 4 Observe que la interseccin de la rectax = -2 con lossemiplanos determinados,es el segmento de rectacon extremos en(-2; 2) y (-2; 6) El conjunto solucin se puedeexpresar por: ( ) { } 6 y 2 ; -2 x : R I y; x 2 = b.Grafiqueel conjunto de soluciones de: < +< < + > +0 5 y x0 3 y0 1 y 2 x0 3 y x 2

Escribimos el sistema en forma equivalente x yyxyx y53212 3 Dibujandolossemiplanoscuyasrectasbordesrespectivas son las rectas y = 3-2x; y =21 xy+=;y = 3 ey = 5 x;el conjunto solucin est formado portodoslospuntosinterioresalpolgonosombreadocon vrtices en : (1; 1), (3; 2), (2; 3) y (0; 3). (1;1(3;2(2;3(0;3Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 157 MODULO II. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES ANEXO TEORICO EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FRMULAS, ECUACIONES Enmatemticaeshabitualtrabajarconrelacionesnumricasenlasqueunaomscantidadesson desconocidas. Estas cantidades se denominan incgnitas o variables y se representan por letras. Ejemplos La suma entre un nmero natural y su consecutivo n + (n +1)El precio de un artculo aumentado en un 15% x10015x +El cuadrado de la diferencia entre a y b es 16(a b)2 = 16 El rea A de un rectngulo cuya base es el doblede la altura. A = h. 2h Aquellasexpresionesenlasqueintervienen nmeros y letras,vinculadas mediante ope-racionesaritmticassedenominanexpre-siones algebraicas. Son expresiones algebraicas: 2x 3 m2 2m x + y2 = 5 Al traducir un cierto enunciado al lenguaje simblico se obtienen expresiones algebraicas. Anterior Indice SiguienteAnterior Indice Siguiente

Nociones Bsicas de Matemtica - Mdulo 2: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones 158 Conlasexpresionesalgebraicassepuedenrealizarlasmismasoperacionesqueconlosnmeros reales, lo que hace posible reducirlas a expresiones ms sencillas. Las expresiones algebraicas aparecen en las frmulas que se usan, por ejemplo, en