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Curso de Ecuaciones DiferencialesOrdinariasMAT 1532

Rolando Rebolledo

Curso de Ecuaciones Diferenciales, MAT1532,2001-2do. semestre

Rolando Rebolledo Version del 27 de noviembre de 2001

Advertencia:

Este material corresponde a las transparencias uti-lizadas en el curso oral de ”Ecuaciones DiferencialesOrdinarias”, dictado por el Profesor Rolando Rebolledodurante el segundo semestre lectivo 2001 en la Ponti-ficia Universidad Catolica de Chile. Las transparenciasestan basadas en el libro Ecuaciones Diferenciales Or-dinarias de Claudio Fernandez y Rolando Rebolledo,2ed., Ediciones P.U.C.-Alfa Omega, (1999).

Siendo solo un auxiliar de la exposicion oral,estas paginas no cubren completamente las leccio-nes entregadas en el aula y no pueden ser usadascomo fuente unica de estudio.

Curso de Ecuaciones Diferenciales, MAT1532,2001-2do. semestre 1


Capıtulo I: Introduccion

1. La Mecanica segun Newton

2. Las ecuaciones diferenciales en otras ciencias.



La Mecanica segun Newton

Resumiendo la discusion de este tema ( † Si quieresaber mas venga a clases...), sea x(t) la posicion de unmovil de masa m y p(t) su momentum. Las ecuacionesdel movimiento se escriben en la forma

x′(t) =1mp(t)

p′(t) = F (t)

x(0) = x0

p(0) = p0,

donde F (t) es la fuerza en el instante t ≥ 0 queengendra el movimiento del cuerpo.



Ejemplo 1. Un ladrillo de masa m esta sujeto porun resorte que a su vez tiene la segunda extremidadempotrada en un muro vertical. El ladrillo reposa sobreuna superficie plana, que genera una fuerza de fric-cion lineal. El resorte ejerce una fuerza proporcionalal desplazamiento con respecto a la posicion de equi-librio. El origen del sistema de coordenadas se fija enla posicion de equilibrio del sistema. De modo que siel desplazamiento es x(t), entonces, la fuerza ejercidapor el resorte es F (t) = −kx(t), donde k es constante(constante de elasticidad). Plantear las ecuaciones delmovimiento.

Por la Segunda Ley de Newton:

mx′′(t) = −λx′(t)− kx(t) (1)

Y suponemos que las condiciones iniciales son:

x(0) = x0, v(0) = v0 (2)



Introduciendo las constantes

α =λ

mω =

√k

m,

la ecuacion se escribe

x′′ + αx′ + ω2x = 0 (3)



Las ecuaciones diferenciales en otrasciencias

Poblaciones en competencia.

La tasa de crecimiento promedio por individuo, deuna poblacion dada, es la diferencia de las tasas denacimiento y de muerte, que designamos por β y δrespectivamente. Supongamos que β es constante yque δ es proporcional a la cantidad de individuos de lapoblacion. Si x(t) denota el tamano de la poblacion enel instante de tiempo t, entonces δ(t) = −αx(t), conα constante. Este modelo se representa por la ecuacionlogıstica

1x(t)

x′(t) = β − αx(t), (4)

vale decir,

x′(t) = x(t)(β − αx(t)), (t ≥ 0). (5)



Consideremos ahora dos especies que compiten porlos recursos disponibles y sean x1(t), x2(t), los respec-tivos tamanos de sus poblaciones. Generalizando lasideas anteriores, obtenemos las llamadas Ecuacionesde Lotka–Volterra:

x′1(t) = x1(t)(β1 − α1,1x1(t)− α1,2x2(t))

x′2(t) = x2(t)(β2 − α2,1x1(t)− α2,2x2(t)).



Capıtulo II: Terminologıa basica

1. Terminologıa basica.

2. Reduccion de ecuaciones al primer orden.

3. Un algoritmo de resolucion de ecuaciones.



Definicion 1. A lo largo de todo este texto, consi-deraremos que la variable independiente es t ∈ R, amenos que lo contrario se explicite. En la mayorıa delos casos, esta variable representara el tiempo.

Una ecuacion diferencial ordinaria es una queinvolucra a t y una funcion desconocida x(t) ası comoa algunas de sus derivadas. Las derivadas se designanpor los sımbolos usuales x′, x(k). El supremo de los ktales que x(k) aparece en la ecuacion, se llama ordende la ecuacion. Ası la forma general de la ecuacionde orden k es

F (t, x(t), x′(t), . . . , x(k)(t)) = 0. (6)



Definicion 2. Diremos que la ecuacion diferencial deorden k se expresa en forma normal si podemosdespejar x(k) de la expresion (6), vale decir:

x(k)(t) = f(t, x(t), x′(t), . . . , x(k−1)(t)). (7)

Se puede observar que F en (6) es una funcionde k + 2 variables, en tanto que f depende de k + 1variables. Supondremos en general que x(t) es unafuncion con valores en Rd, de modo que sus derivadasen cada punto t son tambien vectores de Rd. Enconsecuencia, para que (6) tenga sentido, es necesarioque F este definida en un dominio D(F ) contenidoen Rd(k+1)+1 y con valores en R. Por su parte, fdebe estar definida en un dominio D(f) ⊂ Rdk+1 convalores en Rd.



Teorema 1. Sea F una funcion definida y de claseC1 sobre un abierto U ⊂ Rn, con valores reales. Seaa ∈ U , tal que F (a) = 0. Se supone ademas que

∂F

∂xn(a) 6= 0.

Entonces existe una vecindad V de (a1, . . . , an−1) ∈Rn−1 y una funcion ϕ : V → R tal que

(i) V × ϕ(V ) ⊂ U ,

(ii) F (x1, . . . , xn−1, xn) = 0 si y solo si

xn = ϕ(x1, . . . , xn−1)

.

Ademas ϕ es diferenciable y

∂ϕ

∂xi(a1, . . . , an−1) = −

∂F∂xi

(a1, . . . , an)∂F∂xn

(a1, . . . , an). (8)



Definicion 3. Dada una funcion f cuyo dominio dedefinicion D(f) sea una parte de Rnd+1 y con valoresen Rd, una solucion de la ecuacion diferencial deorden n, expresada en forma normal

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)), (9)

es una funcion x = ϕ(t), definida en un intervalo D(ϕ)de la recta real y con valores en Rd, tal que

ϕ(n)(t) = f(t, ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t)), (10)

para todo punto t ∈ D(ϕ).



Las ecuaciones diferenciales de cualquier orden sepueden reducir a un sistema de primer orden de laforma

x′ = f(t,x), (11)

donde,

x =

x1

. . .xn

, (12)

Ejemplo 2. Reducir a una ecuacion de primer ordenel sistema

x′′1 = x′1x2 (13)

x′′ = x21 + (x′2)

2 (14)



¿Como saber si una ecuacion diferencialtiene solucion antes de resolverla?

Consideremos el PVI{x′ = f(t, x)x(t0) = x0.

(15)

Observemos que este PVI es equivalente a la ecua-cion integral

x(t) = x0 +∫ t

0

f(s, x(s))ds. (16)

Estudiemos un algoritmo de resolucion de esta ultimaecuacion.

† Si quiere saber mas venga a clases...



Capıtulo III: Ecuaciones escalares deprimer orden

En este capıtulo nos concentraremos en el estudiode la ecuacion de primer orden

x′ = f(t, x), (17)

donde t varıa sobre R y la funcion desconocida x(t)toma tambien sus valores en dicho espacio en unprimer caso: ası entonces, D(f) ⊂ R2. Posteriormentepermitiremos a x(t) tomar sus valores sobre el espaciode los numeros complejos C. En ese caso D(f) es unsubconjunto de R×C.



Temario

1. Ecuaciones con variables separables.

2. Ecuaciones lineales.

3. Diferenciales exactos.

4. Reduccion de ecuaciones al caso lineal.

5. Introduccion a los sistemas dinamicos.



Problema 1. En una poblacion dada, sea x(t), (res-pectivamente 1 − x(t)), la proporcion de individuosenfermos, (resp. de individuos sanos), en el instantet. Ası, x′(t) mide la rapidez de propagacion de la en-fermedad. Suponga que la enfermedad se propaga porcontactos entre individuos sanos y enfermos, o sea,x′(t) es proporcional al producto x(t)(1 − x(t)) y setiene la ecuacion x′ = αx(1− x).

Demuestre que aun cuando inicialmente haya muypocos individuos enfermos, la epidemia terminara poralcanzar a toda la poblacion.

Extienda el estudio al caso en que la epidemiase propaga segun la ecuacion x′ = ax − bx2, dondea, b > 0 son constantes. Suponga que x(0) = x0 > 0.Pruebe que la proporcion de individuos enfermos tienelimite cuando t→∞. ¿Cual es el lımite?



Algunas indicaciones para resolver el problemaanterior.

Se puede responder a las preguntas sin resolver lasecuaciones diferenciales. Para ello,

Comience por encontrar los puntos de equilibrio delsistema fısico: son las soluciones constantes ϕ(t) = cde la ecuacion diferencial. Ellos son: c1 = 0, c2 = 1,que corresponden a las raıces de la ecuacion

αc(1− c) = 0.

Luego, basta observar que toda solucion ϕ(t, x0),que parte de x0 en t = 0, verifica:

ϕ(t, x0) = x0 +∫ t

0

αϕ(s, x0) (1− ϕ(s, x0)) ds.



Como la funcion x 7→ αx(1 − x) es positiva paratodo x ∈ [0, 1], resulta que la integral crece cuandox0 > 0, de modo que la funcion ϕ(t, x0) convergehacia el punto de equilibrio c2 = 1. En el caso quex0 = c1 = 0, la funcion ϕ(t, x0) = 0 obviamente.

Lo anterior se ve graficamente en un diagrama defase que muestra que 1 es un punto atractor, en tanto0 es repulsor.

. 0 - -1




Definicion 4. Diremos que la ecuacion (17) es devariables separables si la funcion f : D(f) → R seescribe en la forma

f(t, x) = g(t)h(x), (t, x) ∈ D(f). (18)

Teorema 2. Suponemos que la funcion f satisface ladescomposicion (18), donde g (respectivamente 1/h)esta definida y es integrable sobre un intervalo D(g)(respectivamente D(1/h)) de R. Entonces, una fun-cion ϕ tal que D(ϕ) ⊂ D(g) y ϕ(D(ϕ)) ⊂ D(1/h) essolucion de

x′ = g(t)h(x), (19)

si y solo si verifica la relacion

∫ ϕ(t)

ϕ(t0)

dy

h(y)=∫ t

t0

g(s)ds, (20)

para todos t, t0 ∈ D(ϕ).



La ecuacion lineal homogenea

Proposicion 1. Dada una funcion a : R → C conti-nua, la forma general ϕ de las soluciones de la ecuacionlineal homogenea de primer orden

z′ = a(t)z (21)

es

ϕ(t) = C exp(∫ t

t0

a(s)ds), (t ∈ R), (22)

donde C ∈ C es una constante arbitraria y t0 un puntoinicial arbitrario.



La ecuacion lineal no homogenea

Sea b : R → C otra funcion continua y busquemosuna solucion de la ecuacion no homogenea

x′ = a(t)x+ b(t). (23)

La solucion de la ecuacion homogenea se escribe

ϕh(t) = Ce∫ t0 a(s)ds.

Buscamos una solucion particular de (23) que seescriba en la forma

ϕp(t) = u(t)e∫ t0 a(s)ds,

y que verifique ϕp(0) = 0.



Teorema 3. La solucion general ϕ de la ecuacionlineal no homogenea

x′ = a(t)x+ b(t),

se escribe como una suma ϕ = ϕh+ϕp, donde ϕh es lasolucion general de la ecuacion homogenea x′ = a(t)xy ϕp es una solucion particular de la ecuacion nohomogenea.

ϕ(t) = Ce∫ tt0

a(s)ds +∫ t

t0

G(t, s)b(s)ds,

dondeG(t, s) = e

∫ ts a(r)dr.



Problema 2. Encontrar la solucion de la ecuaciondiferencial del oscilador armonico:

x′′ + ω2x = 0,

usando el Principio de Conservacion de la Energıa.




Las ecuaciones diferenciales exactas

Teorema 4. Sean M/N , ∂M/∂x, ∂N/∂t funcionescontınuas para α < t < β, a < x < b. Entonces unacondicion necesaria y suficiente para que

x′ = −M(t, x)N(t, x)

(24)

sea una ecuacion exacta, es que se cumpla la ecuacion

∂M

∂x(t, x) =

∂N

∂t(t, x), (25)

para todo punto (t, x) ∈]α, β[×]a, b[.



Problema 3. La fuerza de restauracion −f(x) de unresorte es aquella ejercida por el sobre un punto situadoen la abcisa x, colocando el origen en el punto deequilibrio. Una tal fuerza debe satisfacer la condicionxf(x) > 0 para todo x 6= 0 suficientemente pequeno.Esta desigualdad expresa el hecho de que la fuerza derestauracion se opone a la compresion (x < 0) y a laextension (x > 0) del resorte. La fuerza de restauraciondebe ademas satisfacer f(0) = 0 para que el resorte noejerza fuerza alguna si no se comprime ni se extiende.Si existe una constante k > 0 tal que f(x)/x < k paratodo valor suficientemente pequeno de x 6= 0, se diceque el resorte es blando, en caso contrario se dice duro.

1. Considere la fuerza:

−f(x) = −x+ x3,

y pruebe que si |x| < 1, f satisface la desigual-dad de las fuerzas restauradoras. Deduzca que ellacorresponde a un caso de resorte blando.



2. Establezca la ecuacion del movimiento debido a lafuerza restauradora anterior, en el caso de ausenciade roce.

3. Obtenga una curva integral para la ecuacion an-terior y resuelvala en forma implıcita. [Indicacion:multiplique su ecuacion por y = x′ e integre, paraobtener U(x, y); o bien, encuentre el potencial quecorresponde a la fuerza restauradora y recuerde quela energıa total se conserva].

4. Dibuje el diagrama de fase correspondiente.



Factores integrantes

El proposito es resolver una ecuacion diferencial dela forma

x′ = −P (t, x)Q(t, x)

, (26)

cuando∂P

∂x(t, x) 6= ∂Q

∂t(t, x), (27)

para algun punto (t, x) en el dominio de definicioncomun a P y Q.

El metodo consiste en multiplicar a la vez P yQ por un factor integrante µ(t, x), de modo queM(t, x) = µ(t, x)P (t, x) y N(t, x) = µ(t, x)Q(t, x)satisfagan (25). Esto establece una condicion sobre lasderivadas parciales de µ, pero no determina este tipode funciones de manera unica. En efecto, (25) implica

(∂P

∂x)µ+ P

∂µ

∂x= (

∂Q

∂t)µ+Q

∂µ

∂t. (28)



Obviamente (28) no permite determinar µ com-pletamente. En algunos casos es util agregar algunainformacion sobre la forma deseada de µ. Por ejemplo,supongamos que buscamos un factor integrante que seescriba en la forma de un producto de funciones:

µ(t, x) = a(x)b(t). (29)

Reemplazando en (28) y reagrupando terminos seguna y b, se obtiene:

Pa′(x)a(x)

+∂P

∂x= Q

b′(t)b(t)

+∂Q

∂t, (30)

y para resolver esta ultima ecuacion, podemos escogera′/a (o b′/b) igual a una funcion conocida de x (o det), resolviendo la ecuacion para el otro cuociente.



Reduccion de ecuaciones al caso linealde primer orden

La Ecuacion de Bernoulli

Consideremos la ecuacion

x′ + p(t)x = q(t)xn, (31)

donde p y q son funciones reales continuas definidassobre un intervalo I de la recta real Solucion trivial:x(t) = 0

Solucion no trivial: Si x(t) 6= 0 en el intervalo I,podemos dividir por xn ambos miembros de la ecuaciony sustituımos y = x−(n−1). Luego

y′ =d

dty =

dy

dx

dx

dt= −(n− 1)x−nx′,



y la ecuacion de Bernoulli se transforma en

y′ = (n− 1)p(t)y − (n− 1)q(t), (32)

que es una ecuacion lineal no homogenea que sabemosresolver: su solucion general esta dada por

y(t) = Ce(n−1)

∫ tt0

p(s)ds

−(n−1)(∫ t

t0q(τ)e(−(n−1)

∫ τt0

p(s)ds)dτ)e(n−1)

∫ tt0

p(s)ds.



Ecuaciones no lineales homogeneas de grado 0

Nos referimos a ecuaciones del tipo

x′ = f(x

t) (33)

cuando t 6= 0, t ∈ R, y f es una funcion contınua.

En este caso una sustitucion del tipo x = tv nos da

x′ = v + tv′,

que reemplazada en la ecuacion diferencial, la trans-forma en

v + tv′ = f(v), (34)

soluble por separacion de variables.



Problema 4. Un conejo parte del origen y corre porel eje y positivo con velocidad a. Al mismo tiempo, unperro que corre con velocidad b sale del punto (c, 0)y persigue al conejo. El proposito de este problema esdeterminar la trayectoria y(x) que sigue el perro.

Notar que la variable independiente que interesa te-ner en la ecuacion diferencial de la curva es x; el tiempot es aquı una variable que se utilizara en forma auxiliaren el planteamiento, pero que se buscara eliminar enla expresion final.

1. Dado un instante t cualquiera, el conejo se en-contrara en la posicion C = (0, at) del plano xyy llamamos P = (x, y) a las coordenadas de laposicion del perro. Observando que el trazo PCes tangente a la trayectoria buscada, obtenga laecuacion diferencial que satisface y(x).

2. Derivando la expresion anterior con respecto a x



pruebe que se tiene

xd2y

dx2= −a dt

dx. (35)

3. Para calcular dt/dx en la ecuacion anterior comiencepor obtener el valor de la derivada ds/dx de lalongitud s del arco de curva descrito por y(x). Paraeste efecto, recuerde que

ds2 = dx2 + dy2,

y que s crece si x decrece en nuestro caso.

4. Continuando con el calculo de dt/dx, observe queds/dt representa la velocidad del perro que es cons-tante y conocida segun los datos del problema.Usando este hecho y el valor de ds/dx, calculedt/dx.

5. Demuestre entonces que la ecuacion buscada de lacurva es

xd2y

dx2= k

√1 + (

dy

dx)2, (36)



donde k = a/b.

6. Mediante la sustitucion p = dydx, obtendra una ecua-

cion de primer orden en p. Resuelva dicha ecuacion.Concluya usando p para determinar y.



Introducion a los sistemas dinamicos

En la Mecanica de Newton un sistema fısico quedarepresentado por dos datos: su posicion q(t) y sumomento p(t) (que es igual a su masa por la velocidad,de modo que tambien se puede usar q′(t) en vez dep(t)). El par x(t) = (q(t), p(t)) recibe el nombre deestado del sistema en el tiempo t. Llamemos Σ elespacio de estados, tambien conocido como espaciode fase. En general, Σ es un subconjunto de Rd×Rd.

La Fısica Clasica asegura, entonces, que el sistemaqueda completamente determinado si conocemos

(i) Un estado inicial x(t0) = (q(t0), p(t0));

(ii) su evolucion en un intervalo de tiempo “infinitesi-mal” [t, t+ dt].

Para escribir rigurosamente la frase (ii) disponemosahora de los utiles matematicos apropiados: las ecua-ciones diferenciales. En particular, en el caso de laMecanica, las ecuaciones de Newton.



Vale decir, retomando nuestras notaciones, escriba-mos el tipo de ecuacion diferencial que satisfacen losestados:

x′ = f(t, x) (37)

y supondremos que dada una condicion inicial, el pro-blema asociado tiene una solucion unica (se vera enun capıtulo posterior la demostracion de ese teoremafundamental).

Definamos una transformacion sobre Σ de la ma-nera siguiente:

θ(t0,t) : Σ → Σ,

de modo que para cada x0 ∈ Σ, θ(t0,t)(x0) = ϕ(t) es lasolucion del problema con valores iniciales (t0, x0). Enotros terminos θ(t0,t) envıa el estado inicial al estadodel sistema en el instante t. Esta aplicacion recibeel nombre de flujo de las soluciones de la ecuaciondiferencial. En ella se resumen los postulados (i) y (ii)de la Fısica Clasica.

Proposicion 2. El flujo satisface las propiedades

θ(t,t) = identidad, (38)



θ(t1,t) ◦ θ(t0,t1) = θ(t0,t). (39)

Demostracion. La primera propiedad es evidente, yaque

θ(t0,t)(x0) = x0 +∫ t

t0

f(s, θ(t0,s)(x0))ds. (40)

La segunda propiedad es bastante intuitiva. Enefecto, si se observa el significado del miembro izquier-do, este nos dice que si se evoluciona primero de t0a t1, llegando a un estado θ(t0,t1)(x0), y se continualuego la evolucion hasta t, se llega finalmente al estadoθ(t1,t)◦θ(t0,t1)(x0). La igualdad nos dice que lo anteriorequivale a evolucionar de t0 a t sin interrupcion. Lademostracion se hace probando que θ(t1,t) ◦ θ(t0,t1)(x0)y θ(t0,t)(x0) son dos soluciones de la ecuacion dife-rencial con igual valor en el punto t1 y deben, por lotanto, coincidir porque hemos supuesto unicidad de lasolucion.

El flujo de una ecuacion autonoma



Supongamos ademas que f(t, x) = f(x) no depen-de de t. Se dice que la ecuacion es autonoma. Notemosque entonces tenemos

Proposicion 3. Para todos t0, t, h ∈ R:

θ(t0+h,t+h) = θ(t0,t) (41)

Demostracion. Sea x0 ∈ Σ y llamemos ϕ(t) =θ(t0+h,t+h)(x0). Esta funcion verifica:

ϕ′(t) = f(ϕ(t))

ϕ(t0) = x0.

No es difıcil obtener entonces la igualdad anunciadapues θ(t0,t)(x0) es tambien solucion de la misma ecua-cion y satisface la condicion θ(t0,t0)(x0) = x0.

Las propiedades del flujo nos muestran que po-demos escoger t0 = 0, por ejemplo y denotar θt eloperador θ(0,t). Entonces, se tendra que θt : Σ → Σ



satisface las propiedades siguientes

θ0 = identidad (42)

θt ◦ θs = θs+t, (s, t ∈ R). (43)

Se dice que la familia de transformaciones (θt)t∈R

es un Sistema Dinamico sobre el espacio de estadosΣ. Un tal sistema define un grupo de transformacionesdiferenciables de clase C1 sobre Σ.

Diagramas de fase

Un sistema dinamico como el anterior, puede serestudiado en forma cualitativa mediante graficos de lasfunciones t 7→ θt(x0) cuando x0 varıa sobre Σ. Son losllamados diagramas de fase. Para ilustrar este tipo deestudio, veamos el caso del oscilador armonico. En esecaso cada estado sera x(t) = (q(t), p(t)) donde q es laposicion, que verifica la ecuacion

q′′ + ω2q = 0, (ω2 =k

m). (44)

y tomamos m = 1.



Entonces, como hemos visto,

q(t) = c1 cosωt+ c2 senωt,

y p(t) = q′(t), que fueron obtenidos a partir de laintegral

U(q, p) =12p2 +

k2

2q2.

Para obtener los distintos graficos bastara expresarlas curvas de nivel de U en Σ, vale decir, aquellast 7→ (q(t), p(t)) para las cuales U(q(t), p(t)) = const.Dichas curvas son elipses en el plano. Quiere decirque para cada x0 = (q0, p0) ∈ Σ, el flujo t 7→ θt(x0)describe la elipse U(θt(x0)) = U(q0, p0).



Aproximacion de soluciones en tiempodiscreto: Metodo de Euler

Considerar el PVI:

x′ = f(t, x) (45)

x(t0) = x0. (46)

Tiempos de discretizacion:

t0 < t1 < . . . < tn < . . .

∆n = tn+1 − tn.

y1 ∼ θt0,t1(x0)

y2 ∼ θt0,t1(x0)

. . .

yn ∼ θt0,tn(x0)

. . .



yn+1 = yn + f(tn, yn)∆n. (47)

Error de discretizacon local:

`n+1 = θtn,tn+1(yn)− yn+1.

Error de discretizacion global:

εn+1 = θt0,tn+1(x0)− yn+1.

Usando el desarrollo de Taylor de una funcion x(t)hasta el segundo orden, se obtiene:

x(tn+1) = x(tn) + x′(tn)∆n +12x′′(ξn)∆2

n,

para un ξn tal que tn < ξn < tn+1. Si x(t) = θtn,t(yn)se tiene

x(tn+1) = x(tn) + f(tn, x(tn))∆n +12x′′(ξn)∆2

n.



Capıtulo IV: Sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales

Temario:

1. Ecuaciones diferenciales lineales homogeneas concoeficientes constantes.

2. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientesconstantes y no homogeneas.

3. Ecuaciones diferenciales lineales homogeneas concoeficientes variables.

4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogeneas concoeficientes variables.



Ecuaciones diferenciales linealeshomogeneas con coeficientes constantes

Para ilustrar los procedimientos que usaremos eneste capıtulo, comencemos por analizar una ecuacion desegundo orden bien conocida: la del oscilador armonico:

mx′′ + λx′ + kx = 0, (49)

que se puede escribir en forma normal:

x′′ + px′ + qx = 0, (50)

donde p = λ/m, q = k/m.

Ya hemos resuelto esta ecuacion cuando hay ausen-cia de roce (λ = 0), reduciendola a una de primer or-den, usando el principio de conservacion de la energıa.En ese caso toda solucion se escribe como una combi-nacion lineal de la forma

ϕ(t) = c1eiωt + c2e

−iωt = k1 sen(ωt) + k2 cos(ωt),



donde ω =√k/m.

Si suprimimos el resorte (k = 0), tambien podemoshallar facilmente una solucion por reduccion al primerorden. En ese caso la ecuacion se escribe primero en lavariable y = x′ en la forma

y′ + py = 0,

cuya solucion es de la forma ψ(t) = d1e−pt. Luego, la

solucion de (50) sera en este caso de la forma

ϕ(t) = d2 −d1

pe−pt.

Es de particular importancia la forma exponencialde las soluciones que se obtiene en los dos casosparticulares analizados.

Veamos de que manera podemos usar esta obser-vacion en el caso general, explorando dos interpreta-ciones:



1. Buscamos bajo que condiciones una funcion expo-nencial de la forma eλt puede ser solucion de (50).La ecuacion se escribe:(

λ2 + pλ+ q)eλt = 0. (51)

Como una exponencial nunca se anula, lo anteriores posible si y solo si

λ2 + pλ+ q = 0.

Es decir, para que exp(λt) sea solucion de la ecua-cion diferencial, λ tiene que ser escogido como unaraız del polinomio caracterıstico L(λ) = λ2+pλ+q.

2. Reduzcamos la ecuacion a un sistema de ecuacionesde primer orden:

X =(

xx′

)y

X ′ = AX, (52)



donde

A =(

0 1−q −p

).

Definamos la matriz exponencial

etA =∑n≥0

tnAn

n!, (53)

lo que, como se vera mas adelante, tiene sentido puesla serie de termino general tnAn/n! es normalmenteuniformemente convergente para t ∈ I, en todo inter-valo real acotado I. La convergencia uniforme senaladapermite derivar la serie termino a termino, de donde

d

dtetA =

d

dt

(I + tA+

12t2A2 + . . .+

1n!tnAn + . . .

)= A

(I + tA+

12t2A2 + . . .+

1n!tnAn + . . .

)= AetA.

Entonces, si v es un vector cualquiera y φ(t) =



etAv, esta funcion resuelve la ecuacion (52), ya que

φ(t)′ = etAv′= AetAv = Aφ(t).

Nuestro problema se ha reducido entonces a calcu-lar etAv.




La ecuacion lineal homogenea concoeficientes constantes

En general, un sistema de ecuaciones diferencialeslineales homogeneas, con coeficientes constantes, deprimer orden, se escribe en la forma

X ′ = AX, (54)

donde A es una matriz de d×d componentes complejas;la funcion incognita X esta definida en R con valoresen Cd.

Por otra parte, una ecuacion escalar de la forma

x(n) + a1x(n−1) + . . .+ an−1x

′ + anx = 0, (55)

se reduce a un sistema del tipo (54) mediante la



introduccion de los siguientes vectores y matrices:

X =

xx′...

x(n−1)

,

A =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1−an −an−1 −an−2 . . . −a1

.

Al reves, dado un sistema de la forma (54), nosiempre existe una ecuacion escalar del tipo (55) quele corresponda. Es decir, la categorıa mas general esla de los sistemas (54) y su teorıa incluye a la de lasecuaciones (55). Nos concentraremos entonces en laresolucion de (54).



Los resultados principales

Teorema 5. La solucion general del sistema ho-mogeneo (54) es de la forma

φ(t) = eAtC, (56)

donde C es un vector de constantes.

Corolario 1. El espacio vectorial de soluciones delsistema de ecuaciones (54) es de dimension d.

Los dos resultados anteriores nos permiten resolveren toda generalidad tanto sistemas de ecuaciones comoecuaciones lineales de orden n.

Corolario 2. Dada la ecuacion diferencial lineal ho-mogenea de orden n, con coeficientes constantes,

L(D)x = x(n) + a1x(n−1) + . . .+ an−1x

′ + anx = 0,(57)

el espacio vectorial de sus soluciones es de dimensionn.



Consecuencias

Para escribir la solucion general de un sistema ded ecuaciones, basta determinar una base de solucionesφ1, . . . , φd. Los elementos de la base son de la forma

φi = etAvi,

donde los vectores vi, (i = 1, . . . , d) constituyen unabase de Cd. Podemos entonces escoger los vi de lamanera mas conveniente para simplificar el calculo delas expresiones exp(tA)vi.

Idea general: Sea λ ∈ C, como λI y A−λI conmutan,resulta exp(tA) = exp(λt) exp(t(A− λI)) y

etAv = eλt

(v + t(A− λI)v +

12t2(A− λI)2v + . . .

).

Lo optimo es encontrar vectores v de modo que la serieanterior se transforme en una suma finita, para lo cuales necesario que a partir de algun rango k se tenga(A− λI)kv = 0.



Estudio de un ejemplo

Consideremos el caso de un sistema de 2 ecuacio-nes:

X ′ = AX,

A =(a bc d

).

Para estudiar si existen pares (λ, v) de modo que(A−λI)kv = 0, para algun k, comenzamos por estudiarel polinomio caracterıstico de A, L(λ) = det(A− λI).Las raıces de este polinomio son los valores propiosde A.

Notar que en nuestro caso el polinomio caracterısti-co de A puede ser escrito

L(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A).

El discriminante ∆ vale entonces:

∆ = (tr(A))2 − 4det(A)



Caso 1. Los valores propios de A son distintos.

[(tr(A))2 ≥ 4det(A), det(A) > 0]

En este caso, existen vectores propios linealmenteindependientes v1, v2 con Av1 = λv1, Av2 = λ2v2.Ademas, la solucion general tiene la forma,

φ(t) = c1eAtv1 + c2e

Atv2

= c1eλ1tv1 + c2e

λ2v2,

con c1 y c2 constantes arbitrarias.

Caso 2. tr(A)2 = 4det(A).

Los valores propios son iguales:

λ1 = λ2 = λ =12tr(A).

Entonces

(A− λI)(A− λI) =


Rolando Rebolledo Version del 27 de noviembre de 2001( (a−d

2

)2+ bc b

(a−d

2

)+ b

(d−a

2

)c(

a−d2

)+ c

(d−a

2

)bc+

(d−a

2

)2)

Es decir (A− λI)2 = 0.

De lo anterior resulta

exp(tA) = exp(λt)[I + t(A− λI)]

=(

1 + ta−d2 tb

tc 1 + td−a2

).

Luego, la solucion general de la ecuacion se escribeen la forma

φ(t) = eλtv1 + teλtv2,

donde v1, v2 son dos vectores linealmente independien-tes.

Ejercicio 1. Escriba todas las posibles soluciones quese obtienen en el caso de la ecuacion escalar

x′′ + px′ + qx = 0.



Resumen del calculo de exponenciales dematrices en el caso general d× d

Si la matriz A tiene la forma de un bloque deJordan, vale decir

A = Jλ,m = λI +N, (58)

donde λ ∈ C y N es nilpotente de orden m, i.e.Nm = 0. En tal caso,

exp(At) =

exp(λt)(I +Nt+ . . .+

1(m− 1)!

Nm−1tm−1

).

En caso contrario,

La matriz A no tiene la forma anterior que permitecalcular facilmente exp(At). Su polinomio carac-terıstico L(λ) se puede escribir en la forma

L(λ) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)m2 · · · (λ− λq)mq,



donde mi es la multiplicidad de la raız λi, (i =1, . . . , q, m1 + . . . + mq = d). Por el Teorema deJordan existe una matriz de cambio de base P talque

A = PJP−1, (59)

donde J , escrita en bloques, es de la forma

J =

Jλ1,m1 0 . . . 0

0 Jλ2,m2 . . . 0. . .

0 0 . . . Jλq,mq

, (60)

donde cada Jλi,mies un bloque de Jordan.

En tal caso,

exp(At) = P−1(exp(Jt)) P, (61)

y

exp(Jt) =

eJλ1,m1t . . . 0. . .

0 . . . eJλq,mqt

. (62)



En la expresion anterior, cada bloque exp(Jλi,mit) se

calcula como

exp(Jλi,mit) =

exp(λit)(I +Nit+ . . .+

1(mi − 1)!

Nmi−1tmi−1

).



El caso particular de las ecuacionesescalares de orden n

Corolario 3. Dada la ecuacion diferencial lineal ho-mogenea de orden n, con coeficientes constantes,

L(D)x = x(n) + a1x(n−1) + . . .+ an−1x

′ + anx = 0,(63)

cuyo polinomio caracterıstico L(λ) se escribe en laforma

L(λ) = (λ− λ1)m1 · · · (λ− λq)mq, (64)

conm1+. . .+mq = n, entonces una base de soluciones(ϕi, i = 1, . . . , n) se obtiene en la forma

ϕi(t) = ti−1eλ1t, 1 ≤ i ≤ m1;

ϕm1+i(t) = ti−1eλ2t, 1 ≤ i ≤ m2;

. . .

ϕm1+m2+...+mq−1+i(t) = ti−1eλqt, 1 ≤ i ≤ mq.



En el caso particular en que todas las multiplicida-des son unitarias (mi = 1, i = 1, . . . , n), la base seescribe simplemente

ϕi(t) = eλit, i = 1, . . . , n.



Estabilidad de sistemas linealeshomogeneos en dimension 2

En la siguiente seccion presentaremos un estudiogeneral acerca de la estabilidad para sistemas linealescon coeficientes constantes. Aquı, comenzamos por elcaso mas simple, el de los sistemas de dos ecuacionesen dos incognitas. Consideremos entonces el sistema,

X ′ = AX,

donde,

A =(a bc d

)El polinomio caracterıstico de la matriz de coefi-

cientes A, puede ser escrito

L(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A).

El discriminante ∆ vale entonces:

∆ = (tr(A))2 − 4det(A)



Caso 1

Los valores propios de A son reales, distintos ytienen el mismo signo. Esto ocurre cuando (tr(A))2 ≥4det(A) y det(A) > 0

En este caso, existen vectores propios linealmenteindependientes v1, v2 con Av1 = λ1v1, Av2 = λ2v2.Ademas, la solucion general tiene la forma,

φ(t) = c1eAtv1 + c2e

Atv2

= c1eλ1tv1 + c2e

λ2v2,

con c1 y c2 constantes arbitrarias.

El comportamiento asintotico de la solucion gene-ral, para valores grandes de t, depende directamentedel signo de los valores propios.

El origen es nodo estable o atractor o foco:λ1, λ2 < 0. En este caso, φ(t) → 0, cuando t→∞y, por lo tanto, toda solucion es asintoticamenteestable, para t positivo.



El origen es nodo inestable o repulsor o fuen-te: λ1, λ2 > 0. Esta vez toda solucion converge ainfinito cuando t→∞.



Caso 2

Los valores propios son reales e iguales. Esto ocurresi tr(A)2 = 4dete(A).

En este caso, la solucion general tiene la formaφ(t) = eλt(v1 + tv2), con λ = λ1 = λ2.

De nuevo el origen es un nodo estable si λ < 0 einestable si λ > 0. Algunos autores llaman a este tipode nodos, nodos impropios.



Caso 3

Los valores propios satisfacen λ1 < 0 < λ2. Estecaso se da cuando tr(A)2 > 4det(A) y det(A) < 0.En este caso, hay soluciones de dos tipos: eλ1tv1, queconverge a cero cuando t→∞ y eλ2tv1, que convergea infinito.

Aquı decimos que el origen es un punto silla.



Caso 4

Los valores propios son numeros complejos conju-gados, lo que ocurre si tr(A)2 < 4det(A) . En estecaso, las soluciones son espirales o elipses.

Si tr(A) < 0, tenemos orbitas en espiral,el origen es asintoticamente estable. Se di-ce que es un pozo o atractor en espiral.

Si tr(A) > 0, el origen es un repulsor en espiral.



Si tr(A) = 0, las orbitas son periodicas. El origenes estable y se dice que es un centro.



Resumen

det (A)

tr (A)

∆>0, tr>0Nodos

Focos

Focos

∆=0

Sillas

EspiralesEspirales

Nodos

Cen

tros

∆<0,

tr=

0

∆>0, tr<0

Atractores Repulsores



Estabilidad para sistemas lineales engeneral

El caso general de sistemas lineales con coeficientesconstantes de cualquier dimension, puede ser analizadode manera similar al caso de dimension 2. Dicho casogeneral tiene una respuesta completa, puesto que almenos teoricamente, sabemos como encontrar todaslas soluciones de manera explıcita. Por cierto, resultamas interesante el estudio de los sistemas no lineales,pero, como veremos mas adelante, en algunos situa-ciones, este ultimo podra reducirse a un caso lineal.

Consideremos entonces el sistema lineal

x′ = Ax, (65)

donde A es una matriz constante n× n. Notemos quela solucion trivial φ(t) ≡ 0 es un punto estacionario ypor el resultado siguiente, basta estudiar su estabilidad.

Lema 1. Toda solucion del sistema x′ = Ax es esta-ble si y solo si la solucion trivial es estable.



Demostracion. Supongamos que la solucion nula esestable y sea φ(t) una solucion cualquiera. Demostrare-mos que esta ultima es estable y para eso consideremosotra solucion ψ(t) tal que φ(0) esta cerca de ψ(0). En-tonces, la diferencia φ(t) − ψ(t) es una solucion cuyovalor inicial esta cerca de 0 y como la solucion triviales estable, concluımos se mantiene cerca de 0, paratodo valor de t. O sea ,ψ(t) se mantiene cerca de φ(t),para todo t.

Teorema 6. Si todos los valores propios de la matrizA tienen su parte real negativa, entonces las solucionesde x′ = Ax son estables , para valores positivos de t.Mas aun, la solucion trivial es asintoticamente estable.

Demostracion. Recordemos que en un capıtulo ante-rior mostramos como calcular la solucion general de unsistema con coeficientes constantes. En general, estasolucion sera una combinacion lineal de vectores de laforma eλtv o, cuando la matriz A no es diagonaliza-ble, un polinomio en t por una combinacion lineal deese tipo. En cualquier caso, cuando los valores propiostienen su parte real negativa, la solucion convergera a



cero, cuando t tienda a imfinito. Dejamos como ejerci-cio verificar que , si la solucion parte inicialmente cercadel origen, entonces se mantiene cerca del origen paratodo t > 0. Esto demuestra que la solucion trivial esestable y, por el lema anterior, todas las soluciones sonestables.



Ecuaciones Diferenciales Lineales nohomogeneas

En esta seccion estudiaremos la resolucion del sis-tema de ecuaciones diferenciales lineales

X ′ = AX + b(t), (66)

donde A es una matriz de d×d componentes complejasy b(t) una funcion vectorial con valores en Cd.

Proposicion 4. Toda solucion φ de la ecuacion nohomogenea se escribe como una suma

φ = φg + φp, (67)

donde φg es solucion general de la ecuacion homogenea

X ′ = AX,

y φp es una solucion particular cualquiera de la ecuacionno homogenea.



Teorema 7. La solucion general φ de la ecuacion nohomogenea (66) se escribe en la forma

φ(t) = eAtC +∫ t

t0

eA(t−s)b(s)ds, , (68)

donde t0 es un punto arbitrario real y C es un vectorconstante cualquiera de Cd.

La funcion matricial

G(t, s) = eA(t−s),

se conoce con el nombre de Funcion de Green.

En lo que sigue veremos algunos metodos parti-culares para obtener la solucion φ(t), basados en elTeorema anterior (cuya prueba se hace por el metodode “variacion de parametros”)




Metodo de aniquilacion

Cuando la funcion b es solucion de una ecuaciondiferencial homogenea con coeficientes constantes, loscalculos anteriores, conducentes a una solucion particu-lar φp de (66), pueden ser simplificados, segun veremosa continuacion.

Sea B otra matriz de d× d, tal que

b′(t) = Bb(t). (69)

Consideremos (66) junto con (69): tenemos un nue-vo sistema de 2d ecuaciones diferenciales. Introducimosel vector de 2d componentes,

Y =(Xb

)y la matriz de 2d × 2d que consta de 4 bloques ded× d:

Q =(A I0 B

).



Con las notaciones anteriores, las dos ecuaciones(66) y (69) se sintetizan en:

Y ′ = QY. (70)

Hemos cambiado ası el problema de resolver unaecuacion no homogenea por el de una ecuacion ho-mogenea con mayor numero de incognitas. La ecua-cion (70) puede ser resuelta usando las tecnicas dela seccion precedente, pero hay que tener en cuentaque al encontrar su solucion general, hay d compo-nentes de ella, las que corresponden a b en el vectorY , que son en realidad conocidas y eso hace que lasd primeras componentes (las que contienen X) solodependeran de d constantes de integracion, como severa en el ejemplo mas abajo. Observese que si L(λ)es el polinomio caracterıstico de A y M(λ) es el de B,entonces

L(λ)M(λ)es el polinomio caracterıstico de Q.

Este truco de calculo se conoce como el metodode aniquilacion (se aniquila el termino no homogeneo).



Aplicado en el caso particular de ecuaciones linealesde orden n, se puede interpretar ası. El problemainicial consiste en resolver L(D)x = f(t). Se observaenseguida que f(t) resuelve una ecuacion homogeneade la forma M(D)f = 0. Entonces, se aplica M(D) ala ecuacion original aniquilando el segundo miembro:

M(D)L(D)x = M(D)f = 0.

El nuevo operador diferencial Q(D) = M(D)L(D)tiene polinomio caracterıstico

Q(λ) = M(λ)L(λ).

Se procede luego a resolver la ecuacion homogeneaasociada a Q(D).



Metodo de los coeficientesindeterminados

Veamos ahora algunos casos en que φp puede serobtenida reemplazando una funcion de una clase de-terminada en la ecuacion original. Es otra variante delmetodo de aniquilacion. Sabemos que una forma desolucion particular queda dada por

φp(t) = eAt

∫ t

t0

e−Asb(s)ds.

Supongamos que b(s) se escriba

b(s) = eBsv, (71)

donde B es una matriz de d×d y v un vector constante.Esto equivale a que b resuelva una ecuacion linealhomogenea asociada a la matrizB. Estudiemos algunosde los casos en que (71) se simplifica. Uno de los mas



simples es cuando v es un vector propio correspondientea un valor propio µ de B. Supongamos que µ no esvalor propio de A. Entonces, si escogemos t0 = 0,

φp(t) = eAt

∫ t

0

e−Aseµsvds v es vector propio de B,

= eAt

∫ t

0

e(µI−A)svds

= eAt(µI −A)−1[e(µI−A)t − I]v

= (µI −A)−1[eµt − eAt]v,

pues A y (µI −A) conmutan.

El calculo anterior nos muestra que φp tendra unaforma exponencial, determinada por las exponencia-les de matrices. En general, si b(t) es (exp(Bt))v, suscomponentes seran de la forma p(t) exp(µt) donde p(t)es un polinomio y µ es raız del polinomio caracterısti-co de B. Asimismo, φp(t) tendra una forma similaren dicho caso y en vez de perdernos en largos calcu-los, podemos ensayar una solucion φp de la ecuacionno homogenea reemplazando en ella una funcion con



componentes de la forma q(t) exp(µt), donde q(t) esun polinomio, cuyos coeficientes se determinaran porsimple identificacion.



Sistemas homogeneos con coeficientesvariables

En esta seccion estudiaremos la ecuacion ho-mogenea con coeficientes variables:

X ′ = A(t)X, (72)

donde X es el vector de incognitas

X(t) =

x1(t)x2(t)

...xn(t)

y A(t) es la matriz de coeficientes del sistema:

A(t) =

a11(t) a12(t) · · · a1n(t)... ... · · · ...

an1(t) an2(t) · · · ann(t)

.



Supondremos en todo lo que sigue que las funcionesaij(t) son continuas, de modo que dado cualquierx0 ∈ Cn, el problema con valores iniciales

{X ′ = A(t)XX(t0) = x0,

(73)

tiene una unica solucion.

Al igual que en el caso de coeficientes constantes,el conjunto de todas las soluciones de la ecuacion (72)es un espacio vectorial. Mas aun:

Teorema 8. El conjunto de todas las soluciones de laecuacion (72) es un espacio vectorial de dimension n.


Llamamos espacio solucion de la ecuacion (72)al conjunto de todas sus soluciones. Para caracterizardicho espacio, basta encontrar un conjunto linealmenteindependiente {φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t)} que consiste deexactamente n soluciones. La solucion general de (72)



se expresa entonces como:

φ(t) = c1φ1(t) + c2φ2(t) + · · ·+ cnφn(t),

donde c1, c2, . . . , cn son constantes arbitrarias.

Recordemos que en el caso de coeficientes constan-tes

X ′ = AX, (74)

la solucion general esta dada por φ(t) = eAtC, dondeC es un vector de constantes. Notemos que eAtC esuna combinacion lineal, con coeficientes arbitrarios, delas columnas de eAt. Esto expresa el hecho que lascolumnas de eAt generan al espacio solucion y por lotanto constituyen una base.

Asociado a la ecuacion (72), consideremos el sis-tema matricial

Φ′ = A(t)Φ, (75)

donde Φ(t) es una matriz n× n.



Es facil ver que Φ(t) es una solucion de esta ecua-cion si y solo si sus columnas son soluciones de laecuacion (72).

Definicion 5. Sea Φ(t) una matriz solucion del sis-tema (75). Decimos que Φ(t) es una matriz funda-mental para la ecuacion (72) si Φ(t) es invertible paratodo t.

En otras palabras, una matriz fundamental es unamatriz cuyas columnas forman una base para el espaciosolucion.

En el resultado que sigue, tr A denota la traza deuna matriz A, es decir, la suma de los elementos de sudiagonal principal.

Teorema 9. [Formula de Liouville] Sea Φ(t) unamatriz cuyas columnas son n soluciones de la ecuacion(72). Entonces,

det Φ(t) = det Φ(t0)e∫ tt0

tr A(s)ds. (76)




El factor que contiene la funcion exponencial en ellado derecho de la identidad (76) nunca se anula. Deaquı sigue de manera inmediata el resultado siguiente:

Corolario 4. Sea Φ(t) una matriz cuyas columnas sonn soluciones del sistema (72). Entonces, det Φ(t) esidenticamente cero si y solo si det Φ(t0) = 0, para algunt0. En otras palabras, n soluciones φ1(t), . . . , φn(t) sonlinealmente independientes si y solo si los vectores deCn, φ1(t0), . . . , φn(t0) lo son.

Corolario 5. Sea Φ(t) una matriz fundamental parael sistema (72). Entonces, la solucion general es Φ(t)C,donde C es un vector de constantes.

Definicion 6. El Wronskiano de n solucionesφ1(t), . . . , φn(t) de la ecuacion (72) es

W (t) = W (φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t)) = det Φ(t), (77)

donde Φ(t) es la matriz cuyas columnas son las solu-ciones dadas.



Ejemplo 3. Consideremos un sistema homogeneo concoeficientes constantes

X ′ = AX,

donde A = (aij) es una matriz (n× n) de constantes.Demostrar que det eAt = e(trA)t.

Es facil ver que la exponencial eAt es una matrizfundamental de la ecuacion. La formula de Liouville setraduce en este caso en

det eAt = e(trA)t.

Ejemplo 4. Considere el sistema X ′ = A(t)X y seaΦ(t) una matriz fundamental. Demuestre que los coe-ficientes del sistema satisfacen A(t) = Φ′(t)Φ−1(t).

En efecto, como Φ es una matriz de soluciones,tenemos que:

Φ′(t) = A(t)Φ(t),

a partir de lo cual, usando el hecho que Φ(t) esinvertible, resulta lo pedido.



Ejemplo 5. Verifique que φ1(t) =(tt2

)y φ2(t) =(

−t log t−t2 log t+ t2

)son dos soluciones linealmente in-

dependientes del sistemax′1 =

2tx1 −

1t2x2

x′2 = x1 +1tx2,

en el intervalo (0,∞).

Es facil comprobar que φ1(t) y φ2(t) son efectiva-mente soluciones. Ademas, su Wronskiano es

W (t) =∣∣∣∣ t −t log tt2 −t2 log t+ t

∣∣∣∣ = t3,

el cual no se anula en (0,∞). De aquı concluımos queestas soluciones son linealmente independientes.

Finalizamos esta seccion aplicando los resultadosanteriores a la ecuacion lineal homogenea de orden n,



ya que esta ultima siempre puede ser escrita como unsistema de n ecuaciones de primer orden. Considere-mos, entonces,la ecuacion,

x(n) + a1(t)x(n−1) + a2(t)x(n−2) + · · ·+ an(t)x = 0,(78)

donde los coeficientes ai(t) son funciones continuas.

Recordemos que el cambio de variables

X(t) =

x(t)x′(t)

...x(n−1)(t)

, (79)

transforma la ecuacion (78) en el sistema de primerorden

X ′ = A(t)X, (80)



donde la matriz de coeficientes es

A(t) =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...0 0 0 · · · 1−an −an−1 −an−2 · · · −a1

.

Sean ahora x1(t), x2(t), . . . , xn(t) n soluciones de laecuacion (78) y sean

φ1 =

x1

x11...

x(n−1)1

, φ2 =

x2

x12...

x(n−1)2

, . . . , φn =

xn

x1n...

x(n−1)n

.

Lema 2. El conjunto {x1(t), . . . , xn(t)} es linealmen-te independiente si y solo si {φ1(t), . . . , φn(t)} es li-nealmente independiente.


Notemos que la matriz Φ(t) cuyas columnas sonφ1(t), φ2(t), . . . , φn(t) es una matriz de soluciones delsistema (80).



Definicion 7. El Wronskiano de n solucionesx1(t), x2(t), . . . , xn(t) de la ecuacion lineal homogenea(78) es:

W (t) = W (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

= det Φ(t)

= det

x1(t) x2(t) · · · xn(t)x′1(t) x′2(t) · · · x′n(t)

... ... ...

x(n−1)1 (t) x

(n−1)2 (t) · · · x

(n−1)n (t)

.

Gracias al lema anterior, los resultados de esta seccionpueden ser aplicados al caso que estudiamos, resul-tando el Teorema que sigue, cuya demostracion esinmediata.

Teorema 10. Sean x1(t), x2(t), . . . , xn(t) n solucionde la ecuacion lineal homogenea (78). Entonces, suWronskiano satisface

W (t) = W (t0)e−

∫ tt0

a1(s)ds.



Ademas, estas soluciones son linealmente independien-tes si y solo si W (t) 6= 0, para todo t y esto ultimoequivale a que W (t0) 6= 0, para algun t0.



Las ecuaciones no homogeneas concoeficientes variables

Consideremos la ecuacion lineal no homogenea:

X ′ = A(t)X + b(t), (81)

donde b(t) =

b1(t)b2(t)

...bn(t)

es un vector cuyas coorde-

nadas son funciones continuas de t.

Nuestro proposito es encontrar una solucion par-ticular del sistema (81) y para esto consideramos elsistema homogeneo asociado:

X ′ = A(t)X. (82)

Suponemos que φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t) son n solu-ciones linealmente independientes de (82). Los resulta-dos de la seccion anterior permiten decidir facilmente



cuando n soluciones dadas son linealmente indepen-dientes. Sin embargo, no existe un metodo generalpara encontrar soluciones de sistemas homogeneos concoeficientes variables. Solo es posible construir solu-ciones una vez que algunas de ellas son conocidas deantemano.

Teorema 11. El vector

φp(t) =∫ t

t0

Φ(t)Φ−1(s)b(s)ds (83)

es una solucion particular de la ecuacion no homogenea(81). La solucion general es φg(t)+φp(t), donde φh(t)es la solucion general de la ecuacion homogenea (82),es decir,

φg(t) = Φ(t)C,

donde C es un vector de constantes.



Demostracion. Notemos primero que la matriz Φ−1(t)es, en algun sentido, un factor integrante de la ecuacionno homogenea (81). En efecto:

d

dt(Φ−1X) = −ΦAX + Φ−1X ′

= Φ−1(X ′ −AX).

Ası, componiendo con Φ−1 por el lado izquierdo, laecuacion (81) equivale a

d

dt(Φ−1X) = Φ−1b.

Esta ultima ecuacion puede integrarse desde t0 a t,obteniendo,

Φ−1(t)X(t)− Φ−1(t0)X(t0) =∫ t

t0

Φ−1(s)b(s)ds,



de donde,

X(t) = Φ(t)Φ−1(t0)X(t0) +∫ t

t0

Φ(t)Φ−1(s)b(s)ds.

(84)Esto concluye la demostracion, pues C =Φ−1(t0)X(t0) es un vector de constantes.

Una vez mas hacemos notar que el calculo dela matriz Φ(t)Φ−1(s) permite encontrar facilmenteuna solucion particular φp(t) de la ecuacion no ho-mogenea. Esta solucion satisface ademas la condicioninicial φp(t0) = 0.

Definicion 8. La funcion de Green para el problemaX ′ = A(t)X es la matriz G(t, s) = Φ(t)Φ−1(s), dondeΦ(t) es una matriz fundamental.

Es posible demostrar que la funcion de Green nodepende de la eleccion particular de la matriz funda-



mental y satisface d

dtG(t, s) = A(t)G(t, s)

G(s, s) = I.(85)

Observemos tambien, que la solucion general de laecuacion no homogenea, dada por la identidad (84)es de hecho una version del metodo de variacion deparametros, puesto que dicha solucion puede ser escritacomo:

φ(t) = Φ(t)(Φ−1(t0)X(t0) +∫ t

t0

Φ(s)b(s)ds)

= Φ(t)C(t),

donde

C(t) = Φ−1(t0)X(t0) +∫ t

t0

Φ−1(s)b(s)ds

es un vector variable. Ciertamente, cuando C es unvector de constantes, φ(t) = Φ(t)C es la soluciongeneral de la ecuacion homogenea.



Para finalizar con este capıtulo estudiaremos laecuacion lineal no homogenea con coeficientes varia-bles,

L(D)x = x(n)+a1(t)x(n−1)+a2(t)x(n−2)+· · ·+an(t)x = f(t),(86)

donde L(D) = Dn + a1(t)Dn−1 + · · ·+ an−1D+ anI.

Consideremos la ecuacion homogenea asociada

L(D)x = 0. (87)

Sean x1(t), . . . , xn(t) n soluciones linealmente in-dependientes de (87) y consideremos la matriz funda-mental

Φ(t) =

x1 x2 · · · xn

x11 x2

2 · · · x1n

... ... ...

x(n−1)1 x

(n−1)2 · · · x

(n−1)n

.



Como ya hemos indicado, la ecuacion (86) puedeser escrita como un sistema de primer orden

X ′ = A(t)X + b(t), (88)

donde

b(t) =

0...0f(t)

.

Ademas, por el Teorema 11, una solucion particulardel sistema (88) esta dada por

φp(t) =∫ t

t0

G(t, s)b(s)ds, (89)

donde G es la funcion de Green G(t, s) = Φ(t)Φ−1(s).

Ası, para encontrar una solucion particular de laecuacion no homogenea (86), basta encontrar la pri-mera componente del vector φp(t).



Sea

V =

v1v2...vn

= Φ−1b. (90)

Entonces, la primera componente de G(t, s)b(s) es:

x1(t)v1(s) + x2(t)v2(s) + · · ·+ vn(t)vn(s). (91)

Ademas, v1(s), v2(s), . . . , vn(s) se calculan a partirdel sistema lineal siguiente, el cual equivale a (90),

x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn = 0,...

x(n−1)1 v1 + x

(n−1)2 v2 + · · ·+ x(n−1)

n vn = f(t).

Ejemplo 6. Encontrar una expresion explıcita de lafuncion de Green para la ecuacion de segundo orden

x′′ + p(t)x′(t) + q(t)x = f(t).



Sean x1(t), x2(t) dos soluciones linealmente inde-pendientes de la ecuacion homogenea asociada:

x′′ + p(t)x′ + q(t)x = 0.

Sean v1(s), v2(s) las soluciones del sistema

x1v1 + x2v2 = 0,

x′1v1 + x′2v2 = f.

Es decir,

v1(s) =

∣∣∣∣ 0 x2(s)f(s) x′2(s)

∣∣∣∣∣∣∣∣ x1(s) x2(s)x′1(s) x′2(s)

∣∣∣∣ , v2(s) =

∣∣∣∣ x1(s) 0x′1(s) f(s)

∣∣∣∣∣∣∣∣ x1(s) x2(s)x′1(s) x′2(x)

∣∣∣∣Entonces, la identidad (89) entrega una solucion par-



ticular de la ecuacion no homogenea de la forma

xp(t) =∫ t

t0

(x1(t)v1(s) + x2(t)v2(s))ds

=∫ y

t0

(x1(t)

(−x2(s)f(s))W (s)

+ x2(t)x1(s)f(s)W (s)

)ds

=∫ t

t0

x1(s)x2(t)− x1(t)x2(s)W (s)

f(s)ds.

Ası, la funcion de Green es

G(t, s) =x1(s)x2(t)− x1(t)x2(s)x1(s)x′2(s)− x′1(s)x2(s)

.



Capıtulo V: La Transformacion integralde Laplace

Temario

Definiciones y propiedades elementales.

Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.

Efectos especiales.



Definiciones y propiedades elementales

Definicion 9. Supongamos que la funcion f es local-mente integrable, vale decir, para todo T > 0, la inte-

gral∫ T

0f(t)dt existe. Dado un complejo λ = α + iβ,

diremos que la transformada de Laplace de f existeen el punto λ si la integral impropia∫ ∞

0

f(t)e−λtdt = lımT→∞

∫ T

0

f(t)e−λtdt, (92)

existe y en ese caso escribimos

Lf(λ) =∫ ∞

0

f(t)e−λtdt. (93)

El conjunto de valores λ ∈ C para el cual el lımiteen (92) existe es el dominio de la funcion Lf y sedesignara por D(Lf). Obviamente, interesa el caso enque D(L{) es no vacıo y en tal caso λ 7→ Lf(λ) defineuna aplicacion de D(Lf) en C.



Ejemplo 7. Transformada de una funcion expo-nencial.

Sea c ∈ C. Designamos por Ec la funcion Ec(t) =exp(ct). Un calculo simple muestra que

LEc(λ) =∫ ∞

0

e(c−λ)tdt =1

λ− c,

si λ satisface la condicion <λ > <c, pues de otramanera la integral diverge. Luego,

D(LEc) = {λ ∈ C : <λ > <c}.

Proposicion 5. Dadas dos funciones f , g de [0,∞[,con valores en Cd y localmente integrables, entoncespara todo par de escalares a, b y para todo λ ∈D(Lf) ∩D(Lg) se cumple

aLf(λ) + bLg(λ) = L(af + bg)(λ). (94)

Vale decir, la transformacion de Laplace es lineal.



Ejemplo 8. Calculo de la transformada de funcio-nes trigonometricas.

Sean Sω(t) = senωt, Cω(t) = cosωt. Como:

Sω =12i

(Eiω − E−iω),

Cω =12(Eiω + E−iω),

el calculo realizado en el ejemplo anterior nos da:

LSω(λ) =12i

[1

λ− iω− 1λ+ iω

]=

ω

λ2 + ω2. (95)

LCω(λ) =12

[1

λ− iω+

1λ+ iω

]=

λ

λ2 + ω2. (96)

Ejemplo 9. Consideremos ahora las funciones

f(t) = eαt senωt, g(t) = eαt cosωt, (t ≥ 0, α, ω ∈ R).



En otros terminos,

f =12iEα[Eiω − E−iω],

g =12Eα[Eiω + E−iω].

En consecuencia, por la linealidad de la transfor-macion de Laplace obtenemos:

Lf(λ) =12i

[1

λ− (α+ iω)− 1λ− iω

]=

ω

(λ− α)2 + ω2.

Lg(λ) =λ− α

(λ− α)2 + ω2.



Funciones de orden exponencial alinfinito

Definicion 10. Una funcion f : [0,∞[→ C es deorden exponencial al infinito si es seccionalmentecontinua1 y si existen dos constantes M,η > 0 y unvalor t0 > 0 de su dominio, tales que:

|f(t)| ≤M eηt, para todo t ≥ t0. (97)

Lo anterior se denota por comodidad en la forma

f(t) = O(eηt), si t→∞.

Proposicion 6. La transformacion de Laplace existepara toda funcion de orden exponencial al infinito.Mas aun, si f(t) = O(eηt), entonces el dominio de sutransformada de Laplace D(Lf) incluye al conjunto{λ ∈ C : <λ > η}.

1O sea, la funcion es continua salvo en un numero finito de puntos



Aplicacion a la resolucion de ecuacionesdiferenciales

Hemos visto en clases ( † Si quiere saber masvenga a clases...) que si f y f ′ admiten transformadade Laplace en un dominio D, entonces

Lf ′(λ) = λLf(λ)− f(0),

para todo λ ∈ D. Esta igualdad es la clave para laaplicacion de la transformada a las ecuaciones dife-renciales. De manera mas general se tiene el siguienteresultado:

Teorema 12. Sea φ una funcion vectorial con de-rivadas continuas hasta el orden n − 1, y de ordenexponencial al infinito. Supongamos que la n–esimaderivada φ(n) sea al menos seccionalmente continua.Entonces, para cada 1 ≤ r ≤ n, la transformada de La-place de la r–esima derivada, Lφ(∇), existe y esta dadapor:

Lφ(r)(λ) = λrLφ(λ)−λr−1c1−. . .−λcr−1−cr, (98)



donde c1 = φ(0), c2 = φ′(0), . . . , cr = φ(r−1)(0).

Veamos ahora como el calculo anterior puede ser apro-vechado en las ecuaciones diferenciales lineales concoeficientes constantes.

Teorema 13. Considerar la ecuacion diferencial lineal

X ′ = AX + b(t), (99)

donde A es una matriz constante de d × d y b(t) esuna funcion vectorial de d componentes.

Si b es de orden exponencial al infinito, entoncescada solucion de (99) es del mismo orden y tienetransformada de Laplace.

Los teoremas 12 y 13 son los esenciales para la apli-cacion de la transformacion de Laplace a las ecuacionesdiferenciales. Un corolario importante del teorema 13es el referido a ecuaciones escalares de orden n queenunciamos a continuacion.

Corolario 6. Sea f una funcion escalar de tipo ex-ponencial al infinito. Entonces, cada solucion de la



ecuacion

x(n) + a1x(n−1) + . . .+ an−1x

′ + anx = f(t), (100)

es de orden exponencial al infinito y tiene transformadade Laplace.



Efectos especiales

Antes de estudiar las aplicaciones de los ultimosresultados, estudiemos algunos procedimientos adicio-nales de calculo de transformadas de Laplace.

Proposicion 7. Sea k ≥ 1 un entero y f una funcionde orden exponencial al infinito. Entonces, la funciong(t) = tkf(t), (t ≥ 0) es, tambien, de orden exponen-cial al infinito y su transformada de Laplace esta dadapor la formula

Lg(λ) = (−1)k dk

dλkLf(λ), (λ ∈ D(Lf). (101)

Analicemos ahora la forma en que la integracion inde-finida modifica la transformada de Laplace.

Proposicion 8. Si f es de tipo exponencial al infinito,entonces su primitiva

g(t) =∫ t

0

f(u)du, (t ≥ 0),



tambien lo es y su transformada de Laplace es

Lg(λ) =1λLf(λ). (102)

Ejercicio 2. Sea f una funcion periodica, seccional-mente continua, de perıodo T , definida sobre R+.Probar que f posee transformada de Laplace dada enla forma:

Lf(λ) =

∫ T

0e−λtf(t)dt

1− e−λT, (<λ > 0). (103)



¿Existe la transformada inversa?

A menudo tendremos que identificar funciones apartir de su transformada de Laplace. No toda funcionqueda determinada en cada punto por su transformadade Laplace, sin embargo el siguiente teorema, debidoa Lerch, nos permite caracterizar funciones en suspuntos de continuidad, que es a menudo suficiente enlas aplicaciones practicas.

Teorema 14. [Lerch] Si dos funciones f y g poseentransformadas de Laplace con igual dominio, y en elcoinciden, entonces f(t) = g(t) en todo punto t enque ambas funciones son continuas.

El teorema anterior explica la dificultad que se tienepara definir la inversa de una transformada de Laplace:ella no es unica.

Definicion 11. Dada una funcion φ(λ) definida sobreel plano complejo, decimos que una funcion f(t), defi-nida sobre [0,∞[ y que posea transformada de Laplace,



es una transformada inversa de φ si satisface

Lf(λ) = φ(λ). (104)

A causa del Teorema de Lerch, una tal funcion festa unicamente determinada solo sobre sus puntos decontinuidad. Haciendo un abuso de lenguaje escribimospor comodidad

f = L−1φ,

teniendo el cuidado de recordar que L−1φ representaen realidad una clase de funciones que satisfacen larelacion (104).

Estudiemos ahora un ejemplo de aplicacion de la trans-formada de Laplace a la resolucion de una ecuaciondiferencial lineal.

Ejemplo 10. Resolver la ecuacion homogenea

x′′′ + 3x′′ + 3x′ + x = 0. (105)

Como el segundo miembro es nulo, f(t) = 0, lassoluciones tienen transformada de Laplace. En con-



secuencia, obtenemos la siguiente ecuacion para latransformada de Laplace Lx de x:

(λ3 + 3λ2 + 3λ+ 1)Lx(λ) = x(0)λ2 (106)

+ (x′(0) + 3x(0))λ

+ x′′(0) + 3x′(0) + 3x(0).

De esta ecuacion despejamos Lx(λ). El polinomio queacompana a Lx(λ) en el primer miembro de (106) es(λ+1)3, en consecuencia, al dividir por el, nos queda enel segundo miembro una fraccion donde el numeradores un polinomio de grado dos y el denominador es degrado tres. Reducimos tal cuociente a una suma defracciones parciales:

Lx(λ) =A

λ+ 1+

B

(λ+ 1)2+

C

(λ+ 1)3. (107)

Para calcular A, B, C, procedemos a hacer la sumaanterior e igualar el numerador que resulta, A(λ +1)2 +B(λ+ 1) + C, con aquel obtenido directamentede (106), a saber, x(0)λ2+(x′(0)+3x(0))λ+(x′′(0)+



3x′(0)+3x(0)). Con este procedimiento obtenemos lasecuaciones

A = x(0) (108)

2A+B = x′(0) + 3x(0) (109)

A+B + C = x′′(0) + 3x′(0) + 3x(0). (110)

De lo anterior resulta A = x(0), B = x′(0) + x(0),C = x′′(0) + 2x′(0) + x(0) y por ende,

Lx(λ) =x(0)λ+ 1

+x′(0) + x(0)

(λ+ 1)2+x′′(0) + 2x′(0) + x(0)

(λ+ 1)3.

(111)

Para terminar, usamos la proposicion 7 para re-conocer las transformadas de funciones del segundomiembro y aplicamos el Teorema de Lerch para obte-ner que las soluciones ϕ de la ecuacion inicial son dela forma:

ϕ(t) = ϕ(0)e−t + (ϕ(0) + ϕ′(0))te−t

+12(ϕ(0) + 2ϕ′(0) + ϕ′′(0))t2e−t.



El metodo usado en el ejemplo anterior permite reob-tener la forma general de las soluciones de cualquierecuacion diferencial lineal homogenea con coeficientesconstantes. En efecto, consideremos la ecuacion

L(D)x = 0, (112)

donde L(D) = Dn + a1D(n−1) + . . .+ anI. Aplicando

transformacion de Laplace obtenemos:

L(λ)Lx(λ) = c1λ(n−1) + (c2 + a1c1)λ(n−2) (113)

+ . . .+ (cn + a1cn−1 + . . .+ an−1c1),

donde c1 = x(0), c2 = x′(0), . . . , cn = x(n−1)(0).

Descomponemos el polinomio caracterıstico en laforma usual

L(λ) = (λ− λ1)m1 · · · (λ− λk)mk,

con∑k

i=1mi = n, y despejamos la transformada deLaplace de (113) expresandola como suma de fraccio-



nes parciales:

Lx(λ) =γ1,1

λ− λ1+ . . .+

γm1,1

(λ− λ1)m1

+γ1,k

λ− λk+ . . .+

γmk,k

(λ− λk)mk.

Al igual que en el ejemplo anterior, los coeficientesγi,j se determinan a partir de los valores c`. Finalmente,la transformada de Laplace anterior corresponde a unafuncion de la forma:

x(t) =k∑

r=1

(γ1,r + γ2,rt+ . . .+ γmr,rt

mr−1)eλrt, (t ≥ 0).

(114)

Ejercicio 3. Calcular L−1φ para las funciones:

a)1

λ2 + 2λ+ 2;



b)λ+ 1

λ2 + 2λ+ 2;

c)3λ+ 2

λ2 + 2λ+ 2;

d)∞∑

n=1

λn.

Ejercicio 4. Calcular Lf para las funciones f(t) da-das por

a) tn;

b) tnect;

c) tn senωt;

d) tn cosωt.



Truncando y desplazando funciones

Definicion 12. La funcion de Heaviside con saltoen 0 se define como

H(t) =

{1 si t ≥ 0,

0 si t < 0.(115)

La funcion de Heaviside con salto en c > 0 esHc(t) = H(t− c), (t ∈ R).

Calculo de transformadas de Laplace de H y Hc.

Un calculo directo nos da

LH(λ) =∫ ∞

0

e−λtdt

=1λ, (λ > 0). (116)



Y, para todo c > 0,

LHc(λ) =∫ ∞

c

e−λtdt

=e−λc

λ, (λ > 0). (117)

Consideremos ahora una funcion f definida sobreR y denotemos fc la funcion desplazada en c > 0, valedecir, fc(t) = f(t− c), (t ∈ R). Entonces, el productoHcfc es

Hcfc(t) =

{f(t− c) si t ≥ c,

0 si t < c.(118)

Tenemos ası el siguiente resultado.

Proposicion 9. Si la transformada de Laplace Lf(λ)de la funcion f existe, entonces, lo mismo ocurre conaquella de Hcfc y se tiene la igualdad

LHcfc(λ) = e−λcLf(λ). (119)



Ejemplo 11. Consideremos un sistema fısico consti-tuıdo por un bloque de masa 1 Kg. apoyado en unasuperficie sin roce y unido a una pared vertical por unresorte de coeficiente de elasticidad k = 1 Newton/m.En t = 0 el bloque esta en posicion de equilibrio yse pone en movimiento por una fuerza de 3 Newtonque actua sobre el, comprimiendo el resorte duranteun segundo. Determinar la ecuacion del movimiento ydeterminar la trayectoria descrita por el bloque.

Asimilamos el bloque a un punto de masa unitariay llamamos x(t) a su posicion en el tiempo t. Supone-mos, ademas, que la pared vertical esta ubicada a laizquierda del bloque, de modo que la fuerza F (t) actua,tambien, hacia la izquierda. De acuerdo al enunciado,dicha fuerza se expresa:

F (t) = 3(H(t− 1)−H(t)).

En consecuencia, el problema con valores iniciales



para el bloque es

x′′ + x = 3(H(t− 1)−H(t)) (120)

x(0) = x′(0) = 0. (121)

Como F (t) es, obviamente, de orden exponencial alinfinito, la solucion del problema con valores inicialesposee transformada de Laplace y podemos, en conse-cuencia, derivar la ecuacion que dicha transformadasatisface.

(λ2 + 1)Lx(λ) =3λ(e−λ − 1). (122)

Observar que

1(λ2 + 1)λ

= 3(

1λ− λ

λ2 + 1

). (123)

Por ende, despejando Lx(λ) de (122), obtenemos

Lx(λ) = 3e−λ

λ− 3

e−λλ

λ2 + 1− 3λ

+ 3λ

λ2 + 1,



de donde,

x(t) = 3(H(t−1)−H(t))+3 cos t−3H(t−1) cos(t−1),(124)

o equivalentemente,

x(t) =

{−3 + 3 cos t, si 0 < t < 1,3 cos t− 3 cos(t− 1), si t > 1.

(125)



Hemos visto que un desplazamiento en el argu-mento de una funcion modifica la transformada deLaplace con un factor exponencial. Estudiemos ahoraque ocurre si modificamos una funcion por un factorexponencial.

Teorema 15. Sea f una funcion qu posee transfor-mada de Laplace y sea g(t) = eatf(t), para todo t ≥ 0.Entonces, la transformada de Laplace de g existe y

Lg(λ) = Lf(λ− a), (126)

para todo λ ∈ D(Lf) + a.



Producto de convolucion

Definicion 13. Dadas dos funciones f y g integrablessobre [0,∞[, definimos su producto de convolucionf ∗ g por la expresion:

f ∗ g(t) =∫ t

0

f(s)g(t− s)ds, (t ≥ 0). (127)

El principal interes del producto de convolucionreside en el resultado siguiente que lo relaciona con elproducto de transformadas de Laplace.

Teorema 16. Sean f y g dos funciones de tipo expo-nencial al infinito, entonces su producto de convolucionposee transformada de Laplace y se tiene

Lf ∗ g(λ) = Lf(λ)Lg(λ), (128)

para todo λ ∈ D(Lf) ∩D(Lg).



El producto de convolucion no tieneunidad

Desde el descubrimiento de la transformada de La-place, se comenzo a buscar una unidad para el productode convolucion. Hagamos algunos experimentos paraver si es posible que una tal funcion exista.

Notese que una tal unidad f , satisfaciendo pordefinicion f ∗ g = g = g ∗ f , debiera cumplir queLf(λ) = 1 para todo λ ∈ D(Lf), a consecuenciadel Teorema precedente. Veamos si podemos fabricaralguna funcion con esa propiedad, ensayando primerouna del tipo

1[0,1/n] = H −H1/n.



Un calculo inmediato nos da

L1[0,1/n](λ) =1λ− 1λe−λ/n

=1λ− 1λ

+1λ

λ

n+ ε(n−2)

=1n

+ ε(n−2),

donde ε(n−2) es un termino de error que tiende a 0como n−2 cuando n→∞.

Este calculo nos muestra entonces queL1[0,1/n](λ) → 0 si n→∞, pero, si definimos

fn(t) = n1[0,1/n](t),

entonces su transformada es de la forma

Lfn(λ) = 1 + nε(n−2),

luegolım

n→∞Lfn(λ) = 1.



Este resultado parece alentador, pero, ¿existe algunafuncion f que sea lımite de las funciones fn? Es facildarse cuenta de que eso es imposible, pues una tal f(t)debiera ser 0 para todo t 6= 0 y tomar el valor ∞ parat = 0!

La solucion a este problema se encontro durante elpasado siglo XX cuando se desarrollaron la Teorıa dela Medida, la Teorıa de Distribuciones y sus correspon-dientes nociones de transformada de Laplace. Una me-dida positiva µ sobre la recta real generaliza la nocionde longitud de intervalos: por ejemplo, habitualmentemedimos un intervalo ]a, b] en la forma µ(]a, b] = b−a.Pero no estamos forzados a medir siempre un intervalode esta manera. Podemos cambiar µ, pero a condicionde respetar ciertos principios muy basicos: una medidaµ se define sobre una familia F de subconjuntos de Rque usted puede considerar constituıdos por reunioneso intersecciones a lo mas numerables de intervalos, ydebe satisfacer

µ(∅) = 0

µ(⋃

nAn) =∑

n µ(An), para toda sucesion (An)n



de elementos de F disjuntos dos a dos.

Dada una medida µ se puede dar sentido a laintegral de una funcion f con respecto a µ (si quieresaberlo asista a los cursos avanzados de Analisis) . Sedice que la medida es finita si µ(R) < ∞. Para unatal medida, la funcion t 7→ exp(−λt) se prueba quees integrable. Definimos entonces la transformada deLaplace de µ como

Lµ(λ) =∫ ∞

0

e−λtµ(dt).

Ahora bien, dado un punto x ∈ R, definamos

δx(A) =

{1, si x ∈ A0, si x 6∈ A,

para cada A ∈ F .

Esta medida se conoce como la Delta de Dirac consoporte en x. Es una medida finita (δx(R) = 1) las



integrales con respecto a ella son muy faciles:∫ ∞

−∞f(t)δx(dt) = f(x).

Luego, Lδx(λ) = e−λx, de donde

Lδ0(λ) = 1.

¡Uf! ¡al fin encontramos un objeto cuya transfor-mada de Laplace es 1!



Ejercicio 5. Dada la ecuacion

x(n) + an−1x(n−1) + · · ·+ a1x

′ + a0x

= bmu(m) + bm−1u

(m−1) + · · ·+ b1u′ + b0u

1. Demostrar que si u(t) = beat, una solucion particu-lar es de la forma xp(t) = Aeat. Determinar A y lacondicion para que esto se cumpla.

2. Demostrar que si u(t) = Csen(ωt), una solucionparticular es de la forma xp(t) = Rsen(ωt + θ).Determinar R, θ y la condicion para que esto secumpla.

3. Resolver:

i) x′′ + 3x′ + 2x = 3e5t + 4e4t

ii) 4x′′ + 8x′ + 5x = 4cos(12t)



Capıtulo VI: Series de Potencias yEcuaciones Diferenciales

Temario:

1. Funciones analıticas.

2. Puntos ordinarios.

3. Puntos singulares regulares.

4. La ecuacion de Bessel.



Funciones analıticas

Las series de potencias estan relacionadas con larepresentacion de una funcion mediante funciones mas“simples”, a saber, combinaciones de potencias de lavariable independiente t. Vale decir, funciones que seescriben en la forma

ϕ(t) =∞∑

n=0

antn.

Ilustremos con un ejemplo el tipo de metodo quequeremos introducir en este capıtulo, tomandonos al-gunas licencias con el rigor matematico.

Ejemplo 12. Resolver el problema con valores inicia-les

x′′ + 2tx′ + 2x = 0, (129)

x(0) = 1, (130)

x′(0) = 0. (131)



Supongamos que existe una solucion de la formaϕ(t) del problema anterior y que ademas su derivadase puede calcular derivando termino a termino la seriede termino general ant

n:

ϕ(t) =∞∑

n=0

antn,

ϕ′(t) =∞∑

n=0

(n+ 1)an+1tn,

ϕ′′(t) =∞∑

n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2tn.

Reemplazamos las series en la ecuacion, obteniendo

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2tn + 2

∞∑n=0

(n+ 1)an+1tn+1

+ 2∞∑

n=0

antn

= 0. (132)



El miembro izquierdo de la ecuacion (132) es una seriede potencias de t; el derecho, es tambien una seriede potencias de t, donde todos los coeficientes sonnulos. La unica posibilidad para que esto ocurra es quelos correspondientes coeficientes de tn en la serie delmiembro izquierdo y en aquella del lado derecho seaniguales. En consecuencia,

(n+2)(n+1)an+2+2nan+2an = 0, (n ≥ 0), (133)

de donde se obtiene la relacion de recurrencia:

an+2 = − 2an

n+ 2, (n ≥ 0). (134)

Para calcular todos los coeficientes bastara entoncesconocer dos de ellos: a0 y a1. Usemos las condicionesiniciales, observando que ϕ(0) = a0 = 1, ϕ′(0) = a1 =0. Aplicando (134) se obtiene que todos los coeficientescon sub–ındices impares son nulos y si n = 2m es uncoeficiente con sub–ındice par, entonces

a2(m+1) = − a2m

m+ 1,



a2(m+1) = (−1)m+1 1(m+ 1)!

, (m ≥ 0). (135)

Finalmente, la solucion buscada es

ϕ(t) =∞∑

m=0

(−1)mt2m

m!. (136)

Recordemos algunos hechos basicos sobre funcio-nes representables en serie de potencias o funcionesanalıticas.

Definicion 14. Una funcion f definida en un dominioD(f) de R y con valores en Cd, es analıtica en unpunto t0 ∈ D(f) si existe una sucesion de coeficientes(an)n en Cd y un intervalo abierto alrededor de t0,tal que para cada t en dicho intervalo se cumpla laigualdad

f(t) =∞∑

n=0

an(t− t0)n. (137)



Una funcion f es analıtica en un conjunto I ⊂ D(f)si es analıtica en cada punto de I.

Observacion 1. Recordemos que las series de poten-cia del tipo (137) tienen un radio de convergenciaR ≥ 0 que es el mayor numero positivo tal que laserie converge para cada t ∈]t0 − R, t0 + R[. Los ca-sos extremos son R = 0, que corresponde a una seriedivergente en todo punto; R = ∞, que determina unaserie convergente en toda la recta real. Tal radio deconvergencia queda determinado por la expresion

R = lım supn

(|an|)−1/n. (138)

En efecto, si |t− t0| < R, entonces la serie de terminogeneral |an||t− t0|n converge pues,

lım supn

(|an||t− t0|n)1/n < lım supn

|An|1/nR ≤ 1

y basta aplicar el criterio de convergencia ded’Alembert. Mas aun, si tomamos r < R, la con-



vergencia es uniforme sobre |t− t0| ≤ r. En efecto,

sup|t−t0|≤r

|N∑

n=0

an(t−t0)n−∞∑

n=0

an(t−t0)n| ≤ |∞∑

n=N+1

|an|rn,

que es el resto de una serie convergente.

La observacion anterior permite derivar las series depotencia termino a termino al interior de |t− t0| ≤ r,con r < R, en el caso que R > 0. En efecto, sea fdada por (137), entonces, para cada h 6= 0, tal que|h| ≤ r < R, se tiene

f(t0 + h)− f(t0)h

=∞∑

n=0

anhn

h

y como la convergencia es uniforme al interior de|t − t0| ≤ r, podemos pasar al lımite con h → 0,obteniendo que la derivada de f existe en t0 y vale

f ′(t0) = a0.



Asimismo, se puede repetir el procedimiento ante-rior para las derivadas de orden superior, obteniendose

f (n)(t0) = n!an, (n ≥ 1).

Esto determina de manera biunıvoca los coeficientesdel desarrollo en serie de potencias de una funcionanalıtica, como ya ha sido conocido al estudiar elTeorema de Taylor:

an =f (n)(t0)n!

, (n ≥ 0). (139)



Puntos ordinarios

En esta seccion comenzamos por estudiar las ecua-ciones de la forma:

X ′ = A(t)X, (t ∈]α, ω[), (140)

donde A(t) es una funcion analıtica sobre todo elintervalo ]α, ω[ con valores matrices de d×d. Decimosque en cada punto del intervalo de analiticidad es unpunto ordinario.

Teorema 17. Bajo las hipotesis anteriores, dado unpunto ordinario t0 ∈]α, ω[, toda solucion de la ecuacion(140) se puede expresar en la forma de una serie depotencias:

φ(t) =∞∑

k=0

ck(t− t0)k, (141)

donde cada coeficiente ci es un vector de Cd y elradio de convergencia de la serie es menor o igual ainf{(t0 − α), (ω − t0)}. Mas aun, φ(t0) = c0 y los



otros coeficientes ci se pueden obtener por sustitucione identificacion.

Demostracion. Dado que A(t) es analıtica en todopunto de ]α, ω[, se representa en la forma

A(t) =∑k≥0

Ak(t− t0)k, (142)

para |t− t0| < R = inf{(t0 − α), (ω − t0)}, donde loscoeficientes Ak son matrices complejas de d× d.

Reemplazando una serie de la forma (141) en laecuacion original, se obtiene una relacion entre loscoeficientes ci y Ak. De modo que c0 = φ(t0), y

ck+1 =1

k + 1

k∑r=0

Arck−r, (0 ≤ k ≤ d). (143)

Demostremos que la serie de potencias de coefi-cientes ck converge.

Sea L < R. Ya que la serie∑

kAk(t−t0)k convergesi |t− t0| < R, entonces existe M > 0 tal que |Ak(t−



t0)k| ≤ M si |t − t0| ≤ L, para todo k ≥ 0. Enparticular, se tiene |Ak| ≤ ML−k, para cada k ≥ 0.Usando (143) sigue que

|ck+1| ≤1

k + 1M

k∑r=0

|ck−r|,

desigualdad que multiplicada por (k + 1)Lk+1 y ha-ciendo un cambio de ındices j = k − r en la suma,lleva a

(k + 1)Lk+1|ck+1 ≤MLk∑

j=0

Lj|cj|, (k ≥ 0). (144)

La desigualdad (144) implica la convergencia bus-cada. En efecto, observese que aplicandola recursiva-



mente hasta el orden k + 1 se tiene:

|c1| ≤ M |c0|

|c2| ≤ M

2L(1 +ML)|c0|

. . . . . .

|ck+1| ≤ ML(1 +ML) · (k +ML)(k + 1)!

|c0|Lk+1

.

Llamemos Mk+1 el termino que aparece en el segundomiembro de la ultima relacion. Probemos que si |t −t0| < L, entonces

∑∞k=0Mk(t− t0)k <∞. En efecto,

haciendo el cuociente entre dos terminos sucesivosMk+1(t− t0)k+1 y Mk(t− t0)k se obtiene

|Mk+1(t− t0)k+1

Mk(t− t0)k| = k +ML

k + 1|t− t0|L

,

luego, si |t− t0| < L, entonces

lımk→∞

|Mk+1(t− t0)k+1

Mk(t− t0)k| < 1, (145)



de modo que la serie de termino general Mk|t − t0|kconverge. Esto determina la convergencia de la seriede potencias que define φ(t), para |t− t0| < L.

Ejemplo 13. Resolver el problema con valores inicia-les (

xy

)=(t 11 t

)(xy

); (146)

(x(0)y(0)

)=(

10

). (147)

En este caso, A(t) = A0 +A1t, donde

A0 =(

0 11 0

),

A1 =(

1 00 1

).

Usando la ecuacion (143) que permite calcular los



coeficientes ck, tenemos:

c0 =(

10

),

c1 =11A0c0

=(

0 11 0

)(10

)=

(01

),

c2 =12(A0c1 +A1c0)

=(

10

),

. . . . . . .

Corolario 7. Si se tiene n coeficientes complejosa1(t), . . . , an(t) analıticos en el intervalo ]α, ω[ y unpunto t0 en dicho intervalo, entonces toda solucion dela ecuacion

x(n) + a1(t)x(n−1) + . . .+ an(t)x = 0, (148)



se escribe en la forma de una serie de potencias,

ϕ(t) =∞∑

k=0

ck(t− t0)k, (149)

cuyo radio de convergencia es mayor que el ınfimoentre (t0 − α) y (ω − t0). Para k = 0, . . . , n − 1,ck = ϕ(k)(t0)/k!, y los otros coeficientes pueden serencontrados por sustitucion en la ecuacion de la se-rie (149) e igualando coeficientes correspondientes aiguales potencias de (t− t0).

Ejemplo 14. Consideremos la ecuacion

x′′ +1tx = 0, 0 < t < 2, (150)

x(1) = 0, x′(1) = 0. (151)

Usando conocimientos elementales sobre la seriegeometrica, obtenemos el desarrollo

1t

=1

1 + (t− 1)=∑k≥0

(−1)k(t− 1)k, (152)



que es valido para |t− 1| < 1. Reemplazando la serie

ϕ(t) =∑k≥0

ck(t− 1)k,

en la ecuacion propuesta obtenemos

∑k≥0

(k+2)(k+1)ck+2(t−1)k+

∑k≥0

(−1)k(t− 1)k

×

×

∑k≥0

ck(t− 1)k

= 0.

Se llega entonces a la ecuacion de recurrencia

ck+2 = − 1(k + 2)(k + 1)

k∑r=0

(−1)k−rcr. (153)

Ası c0 = ϕ(1) = 0, c1 = ϕ′(1) = 1, c2 =−(1/12)C0 = 0, c3 = −(1/6)c1 = −1/6, c4 = 1/12,



c5 = −1/24, c6 = 1/40, . . .. De modo que el desarrollode la solucion ϕ hasta el orden 5 nos da:

ϕ(t) = t− 1− (t− 1)3

6+

(t− 1)4

12− (t− 1)5

24+ . . . .

(154)

Ejemplo 15. [Ecuacion de Hermite] Sea ν unaconstante real positiva. Resolver la ecuacion debidaa Hermite

x′′ − 2tx+ 2νx = 0, (t ∈ R). (155)

Los coeficientes son analıticos sobre toda la rectareal, escogemos el punto 0 como centro de desarrollopara las soluciones de la ecuacion:

ϕ(t) =∑k≥0

cktk. (156)

Reemplazando en la ecuacion se obtiene la relacionde recurrencia:

(k + 2)(k + 1)ck+2 − 2(k − ν)ck = 0,



de donde,

ck+2 =2(k − ν)

(k + 2)(k + 1)ck, (k ≥ 0). (157)

Conociendo los datos iniciales c0 = ϕ(0) y c1 = ϕ′(0),se pueden calcular todos los coeficientes restantes usan-do (157):

c2k = (−1)k2kν(ν − 2) · · · (ν + 2− 2k)(2k)!

c0, (158)

c2k+1 = (−1)k2k(ν − 1)(ν − 3) · · · (ν + 1− 2k)(2k + 1)!

c1, (k ≥ 1).

(159)



Puntos singulares regulares

Un pequeno ejercicio previo: la ecuacion de Euler

(t−α)2x′′+(t−α)b1x′+b2x = 0, (α < t < ω), (160)

donde b1 y b2 son constantes y α 6= −∞.

Es una ecuacion no normal. Para escribirla en formanormal, es necesario dividir por (t − α)2 y los nuevoscoeficientes quedan:

a1(t) =1

t− αb1, a2(t) =

1(t− α)2

b2.

Ahora a1(t) y a2(t) no son analıticos. Sin embargo,un cambio de variables permite transformar esta ecua-cion en una con coeficientes analıticos. En efecto, sidefinimos

s = s(t) = log(t− α),



que es posible si α < t < ω, entonces la funcion x(t)se cambia en una funcion y(s) (x(t) = y(s(t))) yaplicando la regla de la cadena para el calculo de lasderivadas obtenemos:

x′(t) =d

dtx(t)

=d

dty(s(t))

=d

dsy(s)

ds

dt

=1

t− α

d

dsy(s).

x′′(t) =d

dt

[d

dsy(s)

ds

dt

]=

d2

ds2y(s)

(ds

dt

)2

+d

dsy(s)

d2s

dt2

=1

(t− α)2

[d2

ds2y(s)− d

dsy(s)

].



Reemplazando en la ecuacion original llegamos a

d2

ds2y(s) + (b1 − 1)

d

dsy(s) + b2y(s) = 0, (161)

que es una ecuacion diferencial lineal con coeficientesconstantes. Para resolverla, estudiemos su ecuacioncaracterıstica:

λ2 + (b1 − 1)λ+ b2 = 0. (162)

Tenemos entonces dos casos:

Caso 1: La ecuacion caracterıstica tiene dos raıcessimples λ1, λ2. Entonces, la solucion y(s) se escribe

y(s) = c1eλ1s + c2e

λ2s, (163)

de donde la solucion a la ecuacion original es de laforma

x(t) = c1(t− α)λ1 + c2(t− α)λ2. (164)



Caso 2: Existe una sola raız de la ecuacion carac-terıstica y que tiene en consecuencia multiplicidad 2.Entonces la solucion y(s) es de la forma

y(s) = c1eλs + c2se

λs (165)

y luego,

x(t) = c1(t− α)λ + c2(t− α)λ log(t− α). (166)



Ahora sı: puntos singulares regulares

En lo que sigue consideraremos sistemas diferencia-les de dos ecuaciones.

Definicion 15. Dada una ecuacion de la forma

X ′ = A(t)X, (t ∈]α, ω[), (167)

donde A(t) es una funcion con valores en las matricescomplejas de 2×2, diremos que α es un punto singularregular si la funcion A(t) puede escribirse en la forma

A(t) =1

t− αB(t), (168)

donde B(t) es una funcion analıtica sobre todo elintervalo [α, ω[.

Si α es un punto de singularidad de la funcion A(t)que no satisface la propiedad anterior, se dira que esun punto singular irregular.



Ejemplo 16. Consideremos nuevamente la ecuacionde Euler del ejemplo 160. Para escribirla en forma desistema, introduzcamos variables auxiliares de maneraun poco distinta al procedimiento de reduccion usual:

x1 = x; x2 = (t− α)x′,

X =(x1

x2

),

de modo que

x′1 =x2

t− α

x′2 = (t− α)x′′1 + x′1

= (1− b1)x′ −b2

t− αx

= − b2t− α

x1 +1− b1t− α

x2,

obteniendose:

X ′ = AX, (t ∈]α, ω[). (169)



Donde

A(t) =1

t− αB(t) (170)

y

B(t) =(

0 1−b2 1− b1

). (171)

Se podra observar que la ecuacion caracterıstica(162) es exactamente

det(B − λI) = 0.

Ejemplo 17. La ecuacion general de Euler es de laforma

x′′ + a1(t)x′ + a2(t)x = 0, (t ∈]α, ω[), (172)

donde

a1(t) =1

t− αb1(t), a2(t) =

1(t− α)2

b2(t),

siendo los coeficientes b1(t) y b2(t) analıticos. Un cam-bio de variables como el anterior, la transforma en



X ′ = A(t)X, (t ∈]α, ω[), (173)

donde

A(t) =1

t− αB(t) (174)

y

B(t) =(

0 1−b2(t) 1− b1(t)

), (175)

es una funcion analıtica con valores matriciales, demodo que la ecuacion de Euler general es tambien uncaso particular de ecuaciones del tipo (167) y (168).

Uno de los resultados fundamentales de esta secciones el siguiente teorema debido a Frobenius y Fuchs.

Teorema 18. Supongamos que B(t) es analıtica paraα ≤ t < ω y que los valores propios λ1 y λ2 de B(α)no son iguales ni difieren por un entero. Entonces laecuacion

X ′ =1

t− αB(t)X, α ≤ t < ω (176)



tiene dos soluciones de la forma

φ1(t) = (t− α)λ1

∞∑k=0

ck(t− α)k, (177)

φ2(t) = (t− α)λ2

∞∑k=0

dk(t− α)k (178)

y son linealmente independientes sobre α ≤ t < ω.Los coeficientes ck y dk pueden ser evaluados porsustitucion.

Corolario 8. Supongamos que los coeficientes b1 y b2son analıticos para α ≤ t < ω y que las raıces λ1 y λ2

de la ecuacion indicial

λ(λ− 1) + λb1(α) + b2(α) = 0, (179)

no son iguales ni difieren por un entero. Entoncesla ecuacion

(t− α)2x′′ + (t− α)b1(t)x′ + b2(t)x = 0, (180)



tiene dos soluciones de la forma

ϕ1(t) = (t− α)λ1

∞∑k=0

ck(t− α)k (181)

ϕ2(t) = (t− α)λ2

∞∑k=0

dk(t− α)k (182)

y ellas son linealmente independientes sobre α ≤ t < ω.Los coeficientes ck y dk pueden ser determinados porsustitucion.

Observar que la independencia lineal entre las so-luciones φ1 y φ2 en el Teorema 18 se pierde siλ2 − λ1 = r ∈ N. En efecto, en tal caso al escri-bir

(t− α)λ2 = (t− α)λ1(t− α)r,

ambas soluciones quedan de la misma forma

(t− α)λ1 × una serie de potencias.

Por tal motivo es necesario modificar una de las so-luciones para obtener una base. Se tiene entonces elresultado siguiente:



Teorema 19. Supongamos que B es anlıtica paraα ≤ t < ω y que los valores propios λ1 y λ2 deB(α) son ya sea iguales o bien, difieren por un entero,digamos λ2 − λ1 = r ∈ N. Entonces,

X ′ =1

t− αB(t)X, α < t < ω, (183)

tiene una solucion de la forma

φ1(t) = (t− α)λ1

∞∑k=0

ck(t− α)k (184)

y una segunda solucion de la forma

φ2(t) = (t− α)λ2

∞∑k=0

dk(t− α)k + cφ1(t) log(t− α),

(185)donde c es una constante que puede ser evaluada porsustitucion al igual que los coeficientes ck y dk.

Corolario 9. Supongamos que los coeficientes b1 y b2son analıticos para α ≤ t < ω y que las raıces λ1 y λ2



de la ecuacion indicial

λ(λ− 1) + λb1(α) + b2(α) = 0, (186)

son iguales o difieren por un entero. Entonces la ecua-cion

(t− α)2x′′ + (t− α)b1(t)x′ + b2(t)x = 0, (187)

tiene una solucion de la forma

ϕ1(t) = (t− α)λ1

∞∑k=0

ck(t− α)k (188)

y una segunda solucion

ϕ2(t) = (t− α)λ2

∞∑k=0

dk(t− α)k + cϕ1(t) log(t− α),

(189)donde c es una constante que puede ser evaluada porsustitucion al igual que los coeficientes ck y dk.



La ecuacion de Bessel

La Trigonometrıa puede ser vista como el estudiode las soluciones de la ecuacion del oscilador armonico

x′′ + α2x = 0.

De manera similar, la teorıa de las Funciones deBessel se reduce al estudio de las soluciones de laecuacion

t2x′′ + tx′ + (t2 − ν2)x = 0, (190)

donde ν es una constante. Esta ecuacion se conoce co-mo la Ecuacion de Bessel de parametro ν. Tiene unpunto singular regular en t = 0 y la teorıa desarrolladahasta aquı se aplica en el intervalo ]0,∞[.

Supongamos por simplicidad que ν es real y ≥ 0.La ecuacion indicial es en este caso

λ2 − ν2 = 0, (191)



vale decir, sus raıces son λ1 = ν, λ2 = −ν. Luegoλ1 − λ2 = 2ν y tendremos dos casos notables: elprimero, si 2ν es un numero entero; el segundo, si loanterior no ocurre.

Caso 2ν 6∈ Z :

En este caso hay dos soluciones de la ecuacion deBessel, linealmente independientes, que denotamos

ϕν(t) =∞∑

k=0

cktk+ν, (192)

ϕ−ν(t) =∞∑

k=0

dktk−ν. (193)

Para calcular los coeficientes cn y dn, reemplazamosen la ecuacion de Bessel. Obtenemos ası, en el caso delos coeficientes cn,

∞∑k=0

(ν+k)(ν+k+1)cktν+k+∞∑

k=0

(ν+)cktν+k+2−∞∑

k=0

ν2cktν+k



= (2ν+1)c1 +∞∑

k=2

{[(ν+k)2−ν2]ck + ck−2}tν+k = 0.

Dado que ν 6= 1/2, se tiene c1 = 0. Los otroscoeficientes satisfacen la ecuacion recursiva

ck = − ck−2

(ν + k)2 − ν2, (k ≥ 2). (194)

Luego, ck = 0 si k es impar. Si k es par, de laforma k = 2m, la relacion anterior conduce a

c2m =(−1)mc0

22mm!(ν + 1) . . . (ν +m), (m ≥ 1).

Para simplificar la escritura de los coeficientes re-curramos a la funcion Gama, Γ(ν), definida para ν > 0como sigue:

Γ(ν) =∫ ∞

0

tν−1e−tdt. (195)



Es facil ver que Γ(1) = 1. Ademas, usando laformula de integracion por partes en la expresion inte-gral que corresponde a Γ(ν+1) se obtiene la importanterelacion:

Γ(ν + 1) = νΓ(ν), (196)

que extiende la propiedad de los factoriales. En efecto,de la propiedad precedente se tiene que Γ(n+ 1) = n!sobre los enteros. Asimismo, la ecuacion (196) haceposible tabular la funcion gama para ν > 1 sin tenerque evaluar la integral de (195). En el mismo espıritu,uno define la funcion gama como (1/ν)Γ(ν + 1) paraν negativo y diferente de todo entero. Se sabe, porejemplo, que Γ(1/2) =

√π. De esto se deduce que

Γ(3/2) =√π/2 y Γ(−1/2) = −2

√π.

Con la funcion gama podemos entones escribir losproductos de la forma:

ν(ν + 1) . . . (ν + k),



comoΓ(ν + k + 1)

Γ(ν).

De este modo, si se escoge el coeficiente c0 de ϕν

segun

c0 =1

2νΓ(ν + 1),

la correspondiente solucion ϕν es denotada por elsımbolo Jν y es conocida con el nombre de Funcion deBessel de primera especie de ındice ν. Se tiene ası:

Jν(t) =(t

2

)ν ∞∑k=0

(−1)k

k!Γ(ν + k + 1)

(t

2

)2k

. (197)

Y si se considera la otra raız de la ecuacion indicial,−ν, se llega a la funcion de Bessel de ındice −ν:

J−ν(t) =(t

2

)−ν ∞∑k=0

(−1)k

k!Γ(−ν + k + 1)

(t

2

)2k

.

(198)



La solucion general ϕ de la ecuacion de Besselplanteada tiene entonces la forma

ϕ(t) = constante · Jν(t) + constante · J−ν(t).

Caso 2ν ∈ Z :

En este caso, se aplica el corolario 9 y se concluyeque Jν(t) es una solucion y existe otra, linealmenteindependiente de ella, que tiene la forma:

ϕ−ν(t) = t−ν∞∑

k=0

dktk + cJν(t) log t. (199)

Cuando ν es un multiplo entero impar de 1/2, seencuentra c = 0 y una apropiada eleccion de d0 per-mite reencontrar ϕ−ν(t) = J−ν(t). Luego, la soluciongeneral de la ecuacion de Bessel tiene la forma

ϕ(t) = constante · Jν(t) + constante · J−ν(t),



toda vez que ν > 0 no sea un entero. Si ν ≥ 0 es un en-tero, no es muy dıficil probar que J−ν(t) = (−1)νJν(t),lo que implica que Jν y J−ν son linealmente depen-dientes.

De la misma manera que las funciones trigonometri-cas satisfacen identidades, tambien lo hacen las fun-ciones de Bessel. Ası por ejemplo,

Jν+1(t) = 2ν(Jν(t)t

)− Jν−1(t),

para todo ν 6= 0, ν 6= 1. La existencia de identidadesentre las funciones de Bessel permite tabularlas a partirde los valores de Jν(t) y J−ν(t) para 0 ≤ ν ≤ 1.

Cuando 2ν no es entero ni un multiplo enteroimpar de 1/2, entonces ν mismo debe ser un entero.El corolario 9 se aplica entonces en toda generalidad yexiste una solucion ϕ−ν de la forma (199) con c 6= 0,linealmente independiente de Jν. Reemplazando dichaforma de solucion en la ecuacion de Bessel para calcular



los coeficientes, obtenemos:

2cJ ′ν(t)+[(ν−1)2−ν2]d1t1−ν+

∞∑k=2

{[(k−ν)2−ν2]dk+dk−2}tk−ν = 0.

Enseguida, se puede substituir el desarrollo en seriede J ′ν(t) y nos queda:

−2c∞∑

m=0

(−1)m (2m+ ν)m!(ν +m)!22m+ν

t2(m+ν)

= (1− 2ν)d1t+∞∑

k=2

{[(k − ν)2 − ν2]dk + dk−2}tk.

Observese que la primera serie, que corresponde almiembro izquierdo de la igualdad, no posee potenciasimpares de t. En consecuencia, tampoco puede habertal tipo de potencias en el miembro derecho, de dondese desprende que d1 = 0 y para todo m ≥ 1:

[(2m+ 1− ν)2 − ν2]d2m+1 + d2m−1 = 0.



Lo anterior implica que para todo m ≥ 1, se cumpled2m+1 = 0. Cambiamos en consecuencia los ındices desuma a la izquierda tomando j = m+ν y a la derecha,j = k/2. Entonces

−2c∞∑

j=ν

(−1)(j−ν) (2j − ν)(j − ν)!j!22j−ν

t2j =∞∑

j=1

{[(2j−ν)2−ν2]d2j+d2j−2}t2j.

(200)

Analicemos en primer lugar el caso ν = 0. Dandoa la constante c el valor 1 y escogiendo d0 = 0, lasolucion ϕ−ν que resulta es conocida con el nombrede Funcion de Neumann-Bessel de segunda especiede ındice cero y se denota usualmente por el sımboloY (0)(t). Esta funcion queda, entonces, expresada por

Y (0)(t) =∞∑

j=1

(−1)j+1

(j!)2

(1 +

12

+ . . .+1j

)(t

2

)2j

+J0(t) log t, (t > 0).

Para ν = 1, la ecuacion (200) nos lleva a lasrelaciones:

d0 = −c,



d2j =1

4j(j − 1)

[−dj−2 +

2d0(−1)j−1(2j − 1)(j − 1)!j!22j−1

], (j ≥ 2).

El coeficiente d2 queda indeterminado. Escogiendo c =1, d2 = 1/2, se obtiene la solucion llamada Funcion deNeumann-Bessel de segunda especie, de ındice 1:

Y (1)(t) = −1t− t

4−1

2

∞∑j=1

(−1)j

j!(j + 1)!

[1 +

j∑r=0

1r + 1

](t

2

)2j+1

+J1(t) log t, (t > 0).

De manera analoga se pueden obtener los desarro-llos en serie de las funciones de Bessel de segundaespecie de ındices ν ∈ N, (ν ≥ 2), denotadas Y (ν).



Capıtulo VII: Analisis del equilibrio ensistemas no lineales

Temario:

1. El metodo de Liapunov,

2. Linealizacion.



El metodo de Liapunov

Presentaremos en lo que sigue, el metodo de Lia-punov para analizar la estabilidad de un punto deequilibrio para sistemas de ecuaciones no lineales de2 ecuaciones. Este tiene como base la idea intuitivade que cuando la energıa de una partıcula tiene unvalor mınimo, entonces ella esta en un estado estable.Consideremos el sistema autonomo

{x′1 = f1(x1, x2)x′2 = f2(x1, x2)

, (201)

donde f = (f1, f2) es una funcion definida en unaregion D ⊂ R×R, con valores reales.

Suponemos que el origen (0, 0) es un punto crıticodel sistema, que esta en el interior de D.

Una funcion de Liapunov para este sistema , es unafuncion E(x1, x2), de clase C1, definida en D ⊂ R×Rque verifica,



(i) E(0, 0) = 0 y E(x1, x2) > 0 , para todo(x1, x2) ∈ D con (x1, x2) 6= (0, 0).

(ii) la funcion F (x1, x2) = ∂E∂x1

f1 + ∂E∂x2

f2 satisface

F (0, 0) = 0 y F (x1, x2) ≤ 0 , para todo (x1, x2) ∈D con (x1, x2) 6= (0, 0).

Una funcion E(x1, x2) que satisface la propiedad (i) sellama definida positiva o de tipo positivo, en cambiouna que verifica (ii) se llama negativa semipositiva ode tipo seminegativo. En forma similar, se definen lasfunciones negativa definida y positiva semidefinida.

Intuitivamente, si E(x1, x2) es positiva definida,entonces el grafico, en el espacio R3, de la superficiex3 = E(x1, x2) se parece a un paraboloide que se abrehacia arriba del plano (x1, x2), con vertice en el origen.

La importancia de una funcion de Liapunov para elsistema de ecuaciones, proviene del hecho que si φ(t) =(x1(t), x2(t)) es una solucion del mismo, entonces ,a lo largo de la trayectoria (x1(t), x2(t)), la funcion



e(t) = E(x1(t), x2(t)) tiene derivada,

d

dtE(x1(t), x2(t)) =

∂E

∂x1f1 +

∂E

∂x2f2,

que es siempre negativa semidefinida, por lo que e(t)es decreciente. Usando este hecho, se puede demostrarel siguiente resultado.

Teorema 20. Si existe una funcion de Liapunov parael sistema (201), entonces el origen (0, 0) es estable.

Si ademas la funcion F (x1, x2) = ∂E∂x1

f1 + ∂E∂x2

esnegativa definida, entonces el origen es asintoticamenteestable.

Demostracion. Supongamos que existe una funcionde Liapunov E(x1, x2) para el sistema propuesto. Seaγ la circunferencia de radio ε centrada en el origen ysupongamos que ε es pequeno de modo que la bola(cırculo) de este radio esta contenido en el interior dela region D. Como E(x1, x2) es una funcion continuaen γ, ella tiene un valor mınimo m en esta curva. Porotra parte, E(0, 0) = 0 y tambien por continuidad, se



tiene que existe δ > 0 tal que E(x1, x2) < m, paratodo x = (x1, x2) que este en la bola Bδ de radio δ.

Sea ahora φ(t) = (x1(t), x2(t)) una solucion condato inicial φ(0) en la bola Bδ. Por una observacionprevia, tenemos que e(t) = E(x1(t), x2(t)) es una fun-cion decreciente y, por lo tanto, e(x1(t), x2(t)) < m,para todo t positivo. Pero entonces la trayectoriaφ(t) = (x1(t), x2(t)) no puede cruzar la circunferenciaγ y debe quedar enteramente contenida en la bola deradio ε. Es decir, el origen es estable. La demostracionde la estabilidad asintotica, cuando e(t) es estricta-mente decrecienta, queda propuesta como ejercicio.

Ejemplo 18. Consideremos el movimiento de un blo-que de masa m sujeto a un resorte. Si tomamos encuenta el roce, entonces dicho movimiento se modelapor la ecuacion de Newton,

mx′′ = −kx− cx′.



Esta ecuacion equivale al sistema{x′1 = x2

x′2 = ax1 + bx2, (202)

donde a = − km y b = − c

m. El unico punto crıticode esta ecuacion es el origen. Ademas, la energıacorrespondiente es E(x1(t), x2(t)) = 1

2mx22 + 1

2kx21.

Es facil verificar que esta ultima es una funcion deLiapunov, por lo que podemos concluir que (0, 0) esestable. Notemos que la funcion F (x1, x2) en (ii) es, eneste caso, solamente positiva semidefinida, por lo queno podemos asegurar que el origen sea asintoticamenteestable.

Hacemos notar en este punto que en muchas situa-ciones pude resultar muy difıcil encontrar funciones deLiapunov. Conviene para ello, recordar los criterios paradecidir cuando una forma cuadratica ax2

1+bx1x2+cx22

es positiva o negativa definida.



Linealizacion

Consideremos nuevamente el sistema no lineal

{x′1 = f1(x1, x2)x′2 = f2(x1, x2),

(203)

donde F (x1, x2) = (f1(x1, x2), f2(x1, x2)) es una fun-cion diferenciable que satisface F (0, 0) = (0, 0)

Cuando la funcion F (x1, x2) ( o cada una de suscoordenadas) es analıtica, entonces el sistema pude serescrito en la forma,

{x′1 = ax1 + bx2 + a2x

21 + a3x

22 + a4x1x2 + · · ·

x′2 = cx1 + dx2 + b2x21 + b3x

22 + b4x1x2 + · · · ,

(204)donde las series de potencias en las variables (x1, x2)no tienen terminos constantes, puesto que F (0, 0) =(0, 0).



Consideramos ahora el sistema lineal asociado,

{x′1 = ax1 + bx2

x′2 = cx1 + dx2,(205)

para el cual, de acuerdo a un resultado anterior, tene-mos un respuesta completa al estudio de la estabilidadde la solucion trivial (0, 0), en terminos de los valorespropios de la matriz de coeficientes,

A =(a bc d

)Notemos que la diferencia entre ambos sistemas,

vale decir, los terminos no lineales, es grande, pero,para valores de (x1, x2) cercanos al origen (0, 0), ella esdespreciable. Por esta razon, resulta razonable pensarque la estabilidad de la solucion trivial para la ecuacionno lineal dada, este relacionada con su estabilidad parala ecuacion lineal asociada. Esta ultima depende solode los valores propios de la matriz A.

El teorema que sigue establece esencialmente este



hecho. En su enunciado usaremos la notacion

f1(x) = ax1+bx2+a2x21+a3x

22+a4x1x2+· · · = ax1+bx2+g1(x),

f2(x) = cx1+dx2+b2x21+b3x

22+b4x1x2+· · · = cx1+dx2+g2(x).

Es decir, la funcion G(x) = (g1(x), g2(x)), con x =(x1, x2), representa a los terminos no lineales.

Teorema 21. Supongamos que la funcion G(x)||x|| es

continua y se anula en el origen. Entonces, la soluciontrivial (0, 0) de la ecuacion no lineal es asintoticamenteestable (resp. inestable) si la solucion trivial de laecuacion lineal asociada tambien es asintoticamenteestable (resp. inestable).

Demostracion. Supongamos que los valores propiosde la matriz A tienen su parte real negativa. Estees el caso cuando el origen es asintoticamente estable.Ademas, se tiene que las soluciones de la ecuacion linealasociada decrecen exponencialmente cuando t → ∞,o sea,

||eAtv|| ≤ ce−at||v||,para todo v ∈ R2. Dejamos como ejercicio la de-mostracion de este hecho, asıcomo de la desigualdad



v · Av ≤ −a||v||2, donde u · v denota el productointerior de dos vectores u, v.

Sea φ(t) una solucion. Demostremos primero quesi el dato inicial φ(0) es suficientemente pequeno,entonces , a medida que transcurre el tiempo, estasolucion se acerca al origen. Para esto, basta demostrarque ||φ(t)||2 es una funcion decreciente de t. Ahorabien,

d

dt(12||φ(t)||2) =

12d

dt(φ(t) · φ(t))

= φ(t) · ddtφ(t)

= φ(t) · (Aφ(t) +G(φ(t)))

≤ −a||φ(t)||2 + φ(t) ·G(φ(t)).

Pero, por la hipotesis del teorema, tenemos que existeun radio r > 0 tal que si ||v|| < r, entonces ||G(v)|| ≤



a2||v||. Luego, por la desigualdad de Cauchy Schwarz,

d

dt(||φ(t)||2) ≤ −a||φ(t)||2 + ||φ(t)||||G(φ(t))||

≤ −a||φ(t)||2 +a

2||φ(t)||2

= −a2||φ(t)||2,

para cada instante t para el cual ||φ(t)|| < r. Ası, siel dato inicial es suficientemente pequeno , entoncesla norma de la solucion decrece en el tiempo. Por lotanto, la solucion trivial es estable. Por otra parte, delas desigualdades anteriores tambien se obtiene que,

||φ(t)||2 +a

2||φ(t)||2 ≤ 0,

de donde se concluye facilmente que la norma dela solucıon es exponencialmente decreciente y, por lotanto, la solucıon trivial es, de hecho, asintoticamenteestable.

Notemos finalmente que se demuestra en forma



similar que , si la matriz A tiene un valor propio conparte real positiva, entonces, la solucion trivial es ines-table.

Ejemplo 19. Consideremos el sistema{x′1 = 4x1 − x2 + x2

1 + x22

x′2 = 2x1 + x2 + 3x22

. (206)

La matriz de coeficientes del sistema linealizado es

A =(

4 −12 1

)Como sus valores propios son numeros positivos, elorigen es un punto de equilibrio inestable.

Notemos que el metodo de linearizacion se apli-ca en este caso, puesto que los terminos no linealessatisfacen,

x21 + x2

2√x2

1 + x22

≤√x2

1 + x22,



3x22√

x21 + x2

2

≤ 3√x2

1 + x22.

Estas ultimas son funciones continuas que se anulanen el origen

Ejemplo 20. El sistema{x′1 = x1 + 2x2 + x3

1

x′2 = 2x1 + 2x2 + 3x32. (207)

tambien puede ser estudiado usando linearizacion. Lamatriz de coeficientes del sistema linealizado es

A =(

1 22 2

)Como sus valores propios son numeros −1 y −2, elorigen es un punto de equilibrio asintoticamente ines-table.



Capıtulo VIII: Existencia y unicidad desoluciones de ecuaciones diferenciales

1. Existencia y unicidad de soluciones locales

2. Existencia y unicidad de soluciones globales



Existencia y unicidad de solucioneslocales

Consideremos la ecuacion

x′(t) = f(t, x) (208)

donde f : D → Rn es una funcion continua yD ⊂ Rn+1 un dominio (conjunto abierto y conexo).

Cuando decimos que una funcion ϕ(t) es una so-lucion de la ecuacion (208), implıcitamente asumimosque:

ϕ es una funcion diferenciable, con dominio en unintervalo I ⊂ R, y valores en Rn,

para todo t ∈ I, (t, ϕ(t)) ∈ D

ϕ′(t) = f(t, ϕ(t)), para todo t ∈ I.



El primer problema es, por cierto, el de dar condicio-nes sobre la funcion f que garanticen que la ecuacion(208) posee soluciones. Esto se consigue agregandouna condicion inicial que permita demostrar la exis-tencia de una unica solucion; dado que esta condicionpuede ser elegida en forma casi arbitraria, podremosconcluir la existencia de muchas soluciones de (208).

Escojamos pues un punto (t0, x0) ∈ D. El tiempot0 sera el instante inicial y x0, la condicion inicial.

Recordemos que una solucion del problema convalores iniciales

{x′(t) = f(t, x),x(t0) = x0,

(209)

es una funcion ϕ(t) que satisface la ecuacion 208 yque ademas verifica,

(i) t0 ∈ I = Dom(ϕ);

(ii) ϕ(t0) = x0.



El concepto de solucion incluye implıcitamente laexistencia de un intervalo en el cual esta verifica laecuacion. En la introduccion del curso hemos definidolos conceptos de extension de soluciones y de solucionmaximal. Cuando el intervalo de definicion de una solu-cion es toda la recta real, ella es obviamente maximal.En ese caso decimos que la solucion es global.

Aquı, demostraremos solo criterios de existencialocal de soluciones, cuyo dominio I es posiblementepequeno.

Ejemplo 21. La funcion ϕ(t) = −1t , (t ∈ D(ϕ) =

]0,∞[) es una solucion (de hecho es la unica solucionglobal) del problema con valores iniciales

{x′(t) = x2(t),x(1) = −1.

(210)

En este caso, f(t, x) = x2 es una funcion infinita-mente diferenciable en todo R2, pero la solucion solotiene sentido para t ∈]0,∞[.

El siguiente es un resultado sobre existencia de



soluciones locales. Se conoce como el Teorema deCauchy-Peano. En este teorema, D ⊂ Rn+1 es unaregion dada por :

D = I ×R

= {(t, x) : t ∈ I, x = (x1, .., xn), ai ≤ xi ≤ bi}

donde I = (a, b) es un intervalo en R.

Teorema 22. Sea (t0, x0) ∈ D y sea f : D → Rn

una funcion continua. Entonces, existe δ > 0 tal queel problema con valor inicial:

{x′(t) = f(t, x),x(t0) = x0,

(211)

tiene una solucion ϕ(t) con dominio en el intervalo]x0 − δ, x0 + δ[.

Hacemos notar que la solucion ϕ(t) es local yde hecho el intervalo ]x0 − δ, x0 + δ[ podrıa ser muypequeno. Por otra parte, el teorema solo garantiza



la existencia de una solucion. El ejemplo que siguemuestra que esta, en general, no es unica, aun cuandosatisface una condicion inicial dada.

Ejemplo 22. Verifique que la funcion :

ϕα(t) =

{0, si 0 ≤ t ≤ α

(23(x− α))3/2, si α ≤ t ≤ 1,

(212)

es una solucion del problema:

{x′(t) = x1/3

x(0) = 0,(213)

definida en el intervalo ]0, 1[.

En este ejemplo la funcion f(t, x) = x1/3 es conti-nua, por lo que el Teorema de Cauchy-Peano asegurala existencia de una solucion. De hecho, en este ca-so existen infinitas soluciones ϕα(t), pues α es unaconstante arbitraria en ]0, 1[.



Retorno al metodo de Picard

Cuando discutimos al principio del curso sobre laexistencia de soluciones para una ecuacion cualquiera,introdujimos un algoritmo de construccion de solucio-nes conocido como metodo de Picard. Este metodoes de gran utilidad computacional y esta basado enuna expresion equivalente al problema con valor inicial(209). Esta expresion consiste de una ecuacion integralque se obtiene integrando el problema (209).

x(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, x(s))ds. (214)

Notemos que si x(t) es una solucion de la ecuacion(208), entonces integrando desde t0 a t y usando lacondicion inicial, se obtiene la ecuacion integral (214).

Recıprocamente, si x(t) es una solucion de la ecua-cion integral, entonces evaluando en t = t0 y derivan-do se obtiene de inmediato que esta resuelve tambien(209).



La ecuacion (214) es aparentemente menos restric-tiva que el problema con valor inicial, pues podemosbuscar sus soluciones en un conjunto (el de las funcio-nes continuas) mas amplio que el que usarıamos parauna ecuacion diferencial (el de las funciones deriva-bles).

Por simplicidad, tomamos el tiempo inicial t0 =0 y busquemos soluciones definidas en un intervalosimetrico [−δ, δ] en torno al origen. Ası, es naturalconsiderar el conjunto:

Mδ = {v : [−δ, δ] → Rn : v es continua}. (215)

Dado que una funcion continua definida en un inter-valo cerrado y acotado es automaticamente acotada,podemos usar la expresion:

d(u, v) = sup−δ≤t≤δ|u(t)− v(t)|, (216)



para medir la distancia entre dos elementos u, v ∈Mδ.

Es facil verificar que esta funcion es efectivamenteuna distancia (o metrica), es decir, que posee laspropiedades:

d(u, v) ≥ 0, para todo u, v ∈Mδ,

d(u, v) = 0 si y solo si u = v,

d(u, v) = d(v, u)

d(u, v) ≤ d(v, w)+d(w, v), para todo u, v, w ∈Mδ.

La propiedad siguiente es mucho mas profunda.Sera esencial en la demostracion del Teorema de Exis-tencia y Unicidad (24) y se deja al lector verificar sudemostracion.



Teorema 23. La distancia d(u, v) hace de Mδ unespacio metrico completo, es decir, toda sucesion(vn) ⊂Mδ que es de Cauchy, es convergente.

Hacemos notar que (vn) ⊂ Mδ es una sucesion deCauchy si d(vn, vm) tiende a cero cuando n,m tiendena infinito. Esto equivale a d(vn+k, vn) tiende a cerocuando n tiende a infinito, para cualquier k.

Ası, (vn) ⊂Mδ es una sucesion de Cauchy si y solosi

sup−δ≤t≤δ

|vn+k(t)− vn(t)|

converge a 0, cuando n tiende a ∞.

Observemos que el lado derecho de la ecuacionintegral (214) define una funcion T : Mδ →Mδ, dadapor:

(Tv) = x0 +∫ t

0

f(s, v(s))ds. (217)



Es claro que ϕ(t) es una solucion de la ecuacion in-tegral si y solo si Tϕ = ϕ. En otras palabras, podemosformular el problema de existencia de soluciones enterminos de buscar puntos fijos de T en el espacio Mδ.Esto se formula precisamente en el siguiente resultado,conocido como Teorema de Picard:

Teorema 24. Supongamos que f : D → Rn es con-tinua y que satisface la llamada condicion de Lipschitz:

|f(t, u)− f(t, v)| ≤ c|u− v|, (218)

para todo (t, u), (t, v) ∈ D.

Entonces, si δ es suficientemente pequeno, T tieneun unico punto fijo en Mδ

Demostracion. Sean u, v ∈ Mδ. La hipotesis (218)implica inmediatamente que:



|Tu(t)− Tv(t)| = |∫ t

0

(f(s, u(s))− f(s, v(s))ds|

≤∫ t

0

|f(s, u(s))− f(s, v(s))|ds

≤∫ t

0

c|u(s)− v(s)|ds

≤ cd(u, v)∫ t

0

ds

≤ cδd(u, v),

para t ≥ 0. Para t ≤ 0, esta desigualdad se demuestrade manera analoga, de modo que obtenemos:

d(Tu, Tv) ≤ cδd(u, v)

Ahora, escogemos δ suficientemente pequeno demodo que: ρ = cδ < 1. Entonces,

d(Tu, Tv) ≤ ρd(u, v). (219)



Construyamos a continuacion las aproximacionessucesivas. Estas constituyen una sucesion (ϕn(t)) ⊂Mδ que definimos de manera recursiva como sigue:

1) ϕ0(t) = x0

2) ϕn+1(t) = x0 +∫ t

0f(s, ϕn(s))ds,

para todo t ∈ [−δ, δ].

En otras palabras, tomamos ϕ0 la funcion con valorconstante x0, ϕ1 = Tϕ0, ϕ2 = Tϕ1 y, en general,ϕn+1 = Tϕn.

La desigualdad (219) da de inmediato que:

d(ϕn+1, ϕn) ≤ ρd(ϕn, ϕn−1)

Ademas, usando recursivamente esta relacion, ob-tenemos:

d(ϕn+1, ϕn) ≤ ρnd(ϕ1, ϕ0).



Por otra parte,

|ϕ1(t)− ϕ0(t)| = |∫ t

0

f(s, x0)ds|

≤∫ t

0

|f(s, x0)|ds

≤ Lδ,

donde L es el supremo de la funcion f(t, x0) para−δ ≤ t ≤ δ, el cual es un numero finito pues f es unafuncion continua. Ası,

d(ϕn+1, ϕn) ≤ ρnLδ (220)

Por lo tanto,

d(ϕn+2, ϕn) ≤ d(ϕn+2, ϕn+1) + d(ϕn+1, ϕn)

≤ ρn+1Lδ + ρnLδ

= (1 + ρ)ρnL.



Analogamente,

d(ϕn+3, ϕn) ≤ d(ϕn+3, ϕn+2) + d(ϕn+2, ϕn)

≤ ρn+2Lδ + ρn+2Lρ+ ρnLδ

= (1 + ρ+ ρ2)ρnLδ.

En general, tenemos que:

d(ϕn+k, ϕn) ≤ (1 + ρ+ ρ2 + · · · ρk−1)Lδ.

Pero,

1 + ρ+ ρ2 + · · · ρk−1 ≤ 1 + ρ+ ρ2 + · · ·

=∞∑

k=0

ρk

=1

1− ρ,



donde hemos usado que la serie geometrica conver-ge puesto que ρ < 1.

Por lo tanto, para todo n, k numeros naturaleshemos demostrado que la sucesion ϕn(t) verifica,

d(ϕn+k, ϕn) ≤ ρn−1 δL

1− ρ. (221)

Esto demuestra que (ϕn(t)) es una sucesion deCauchy y por lo tanto converge a una funcion ϕ(t) ∈Mδ.

Solo resta verificar que la funcion lımite ϕ(t) es elunico punto fijo de T .

Tomando lımite cuando k tiende a infinito en (221),obtenemos primero,

d(ϕ,ϕn) ≤ ρn−1 δL

1− ρ. (222)

Usando esta relacion y la estimacion (219) sigueque,



d(ϕ, Tϕ) ≤ d(ϕ,ϕn+1) + d(ϕn+1, Tϕ)

= d(ϕ,ϕn+1) + d(Tϕn, Tϕ)

≤ ρn δL

1− ρ+ ρd(ϕn, ϕ)

≤ ρn δL

1− ρ+ ρρn−1 δL

1− ρ

= 2ρn δL

1− ρ.

Tomando lımite cuando n tiende a infinito, con-cluımos que d(ϕ, Tϕ) = 0, o sea ϕ = Tϕ. En otraspalabras, ϕ(t) es un punto fijo de T .

Supongamos por ultimo que ψ(t) es, tambien, unpunto fijo de T . Entonces,

d(ϕ,ψ) = d(Tϕ, Tψ)

≤ ρd(ϕ,ψ),



de donde

0 ≤ (1− ρ)d(ϕ,ψ) ≤ 0

y como ρ < 1 obtenemos que d(ϕ,ψ) = 0, o seaϕ = ψ.

La condicion (218) es, entonces, la unica hipote-sis que debe verificar la funcion f(t, x) para que elproblema:

{x′(t) = f(t, x),x(f0) = x0,

(223)

tenga una unica solucion, definida en algun inter-valo (posiblemente pequeno) en torno a t0.

Notemos que si f(t, ·) esta definida sobre un con-junto cerrado y acotado y es diferenciable (con respec-to a la segunda variable) entonces, por el Teorema delValor Medio, tendremos que:



f(t, u1)− f(t, u2) =∂f

∂x(t, ξ)(u1 − u2)

donde ξ es un punto entre u1 y u2.

Pero como ∂f∂x(t, ·) es continua, y su dominio es

un conjunto cerrado y acotado, esta resulta ser unafuncion acotada. Por lo tanto, existe C > 0 tal que,

|f(t, u1)− f(t, u2)| ≤ C|u1 − u2|

En otras palabras, f es de Lipschitz.

Corolario 10. Supongamos que f : D → Rn satisfa-ce,

i) f(t, x) es continua

ii) f(t, x) es diferenciable con respecto a su segundavariable.



Entonces, para δ suficientemente pequeno, el problema:{x′(t) = f(t, x),x(t0) = x0,

(224)

tiene una unica solucion definida en el intervalo [t0 −δ, t0 + δ].

Observacion 2. Tanto o mas importante que la for-mulacion del Teorema de Picard es su demostracion.En efecto, en ella esta contenido el metodo de lasaproximaciones sucesivas.

Sea c una constante de Lipchitz para f(t, x), conrespecto a su segunda variable. Por ejemplo, si ∂f

∂x existey es continua, podemos tomar c como el supremo de∂f∂x . Sea δ suficientemente pequeno, de modo que0 < δ < 1/c.

Definimos entonces las iteraciones ϕn : [t0− δ, t0 +δ] → Rn por:

i) ϕ0(t) = x0,

ii) ϕn+1(t) = x0 +∫ t

t0f(s, ϕn(s))ds



El teorema de Picard (mas bien su demostracion)asegura que esta sucesion converge a la unica solucionde (209).

Pero, ademas, conocemos el orden de esta conver-gencia. En efecto, si ϕ(t) es la solucion, entonces, por(222), tenemos que:

|ϕn(t)− ϕ(t)| ≤ (cδ)nδL

1− cδ, (225)

donde L es el supremo de f(t, x).

Esta es una expresion explıcita del error cometido alaproximar la solucion ϕ(t) por la n-esima aproximacionϕn(t). Para estimarla, basta conocer la constante deLipschitz c y el supremo L de la funcion f(t, x). Elradio δ del intervalo de existencia queda determinadopor la relacion cδ < 1.



Existencia de soluciones maximales

El teorema 24, debido a Picard, asegura que si f esuna funcion que satisface una condicion de Lipschitzen un cierto dominio D y que (t0, x0) ∈ D, entoncesexiste δ > 0 de modo que hay una unica solucion ϕdel PVI asociado a (t0, x0), sobre el intervalo D(ϕ) =]t0−δ, t0+δ[. Pero, en muchos casos una solucion puedeexistir sobre un intervalo mas grande que ]t0−δ, t0+δ[.Considerese, por ejemplo, el PVI{

x′ = 1 + x2,

x(0) = 0.(226)

del cual una solucion es ϕ(t) = tan t sobre D(ϕ) =] − π/2, π/2[. En este caso, f(t, x) = 1 + x2 no varıacon t y ambas, f y ∂f/∂x son continuas sobre el planocompleto R×R. Para determinar el maximo valor deδ segun el procedimiento visto en la seccion anterior,tomemos un rectangulo en torno al punto (0, 0):

D = {(t, x) : |t| ≤ a, |x| ≤ b}.



SobreD, se tiene que |f(t, x)| = |1+x2| ≤ 1+b2 = M .Asimismo, |f(t, x) − f(t, y)| = |x2 − y2| ≤ 2b|x − y|sobre D, vale decir c = 2b es la menor constantede Lipschitz que podemos tomar en tal dominio. Laobservacion hecha al final de la seccion precedenteestablece que δ se escoja, entonces, en el intervalo]0, 1/2b[, de modo que disponemos de soluciones unicasϕb(t) definidas sobre intervalos D(ϕb) =]−1/2b, 1/2b[.Debido a la unicidad probada, se tiene ϕb(t) = tan t,sobre ]− 1/2b, 1/2b[ si b > 1/π.

Lo anterior puede parecer un problema artificialbastante molesto. Sin embargo, tal tipo de dificultadespuede ser evitado gracias a la nocion de solucionmaximal.

Acordemos de designar por PV I(t0, x0) el conjuntode todas las soluciones (D(ϕ), ϕ) del problema convalores iniciales {

x′ = f(t, x),x(t0) = x0.

.

La funcion vectorial f satisface las hipotesis de la



seccion precedente en lo que respecta a su dominio dedefinicion y su rango. El conjunto PV I(t0, x0) podrıaobviamente ser vacıo: es el caso en que el PVI no tienesolucion alguna.

Si PV I(t0, x0) 6= ∅, una solucion maximal(D(ϕ), ϕ) ∈ PV I(t0, x0) cumple que si otra so-lucion (D(ψ), ψ) verifica D(ϕ) ⊂ D(ψ), entoncesD(ϕ) = D(ψ) y ambas soluciones coinciden.

En lo que sigue diremos que una funcion es local-mente Lipschitz en un dominio D si dado cualquierrectangulo R ⊂ D, existe una constante cR > 0 (queen general depende de R) tal que |f(t, x)− f(t, y)| ≤cR|x− y| para todo (t, x), (t, y) ∈ R.

Teorema 25. Sea f una funcion continua y localmen-te Lipschitz en un dominio D de Rn+1. Si (t0, x0) ∈ D,entonces el problema con valor inicial{

x′ = f(t, x),x(t0) = x0.

,

tiene una unica solucion maximal φ. El dominio de



definicion de φ es un intervalo abierto de la formaD(φ) =]τ−(t0, x0), τ+(t0, x0)[.

Ejemplo 23. Considerar el problema con valores ini-ciales {

x′ = 2tx2,

x(t0) = x0.(227)

Si x0 = 0, la unica solucion maximal es φ(t) =0, (t > 0). Si x0 6= 0, entonces la unica solucionmaximal φ satisface

φ′(t)φ2(t)

= 2t,

para |t− t0| suficientemente pequeno. Luego,

φ(t) =1

1x0

+ t20 − t2,

para τ−(t0, x0) = −√

1x0

+ t20 − t2 < t < τ+(t0, x0) =√1x0

+ t20 − t2.


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