curso "fortalecimiento del pensamiento matemático en alumnos de 3°" secundaria
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Guía del participante. Curso "Fortalecimiento del pensamiento matemático en alumnos de 3°" SECUNDARIATRANSCRIPT
Curso:
Fortalecimiento del pensamiento matemático en los alumnos de tercer
grado de secundaria
GUÍA DEL PARTICIPANTE
El curso Fortalecimiento del pensamiento matemático en los alumnos de tercer grado de secundaria fue elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública
Mtro. José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Básica
Lic. Leticia Gutiérrez Corona Directora General de Formación Continua de Maestros en Servicio
Dra. Jessica Baños Poo Directora de Desarrollo Académico
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Dr. José Narro Robles Rector
Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario General
Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez Secretaria de Desarrollo Institucional
Dr. Ramón Peralta y Fabi Director de la Facultad de Ciencias
Coordinación General
Lic. Leticia Gutiérrez Corona Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez
Coordinación Académica
Dra. Jessica Baños Poo Dr. Jesús Polito Olvera
Ing. Alma Lucia Hernández Pérez
Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza
Autores
Dr. Fernando Brambila Paz
Lic. Gabriel Gutiérrez García Dr. Carlos Hernández Garciadiego
M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza Lic. Rosario Santillán Baltazar
Revisión
Lic. Víctor Núñez Pérez Dr. Fernando Brambila Paz
M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza
Diseño de Portada
LDG Ricardo Muciño Mendoza
Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente.
D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite
1
Unidad I. Sentido numérico y pensamiento
algebraico.
Problemas que se pueden resolver con ecuaciones o sistemas de
ecuaciones. Análisis y manipulación de expresiones algebraicas.
Modelación de situaciones. Problemas que se pueden resolver con
ecuaciones de segundo grado. Distintas formas de solucionar
ecuaciones de segundo grado.
2
Algunas observaciones importantes de la ecuación de segundo
grado
1) Un polinomio de 2° grado en una variable es llamado mónico
si el coeficiente del término de mayor grado es 1, es decir si 1.
Es claro que toda ecuación 2° grado en una variable 0,
cumple que 0, ya que si 0 no sería de 2° grado, luego si toda la
ecuación la multiplicamos por inverso multiplicativo de , tenemos:
1 1 0 ⇒ ∙ 1 0 ⇒ 0.
Por lo anterior, podemos decir que todo polinomio de 2° grado, lo podemos
escribir como un polinomio mónico.
2) Siempre podemos dar una ecuación de 2° grado, de tal manera que tenga
las dos soluciones que nosotros queramos.
Por ejemplo, si queremos una ecuación de 2° grado que tenga como
soluciones los números 3 y 5, simplemente multiplicamos:
3 5 3 5 2 15. ↑ ↑
Por lo que 2 15 0 es una ecuación de 2° grado en una variable,
cuyas soluciones son 3 y 5.
Nota: Si consideramos la misma solución dos veces, la ecuación que
obtenemos es un trinomio cuadrado perfecto.
3
3) Podemos ver la relación que hay entre los coeficientes de la ecuación de 2°
grado y sus soluciones, cuando está en el formato mónico:
Si 0 es la ecuación de 2° grado en una variable y , son
sus soluciones, tenemos que
y∙ . Para encontrar la ecuación que tenga dicha soluciones, basta multiplicar: ∙ , pero ésta tiene que ser la misma que , por lo que
y∙ ⇒ y∙
En nuestro ejemplo 2 15 0, donde las soluciones son 3 y 5
tenemos: 3 5 2y3 ∙ 5 15. Es decir, la suma de las soluciones tiene signo contrario al del coeficiente
de de la ecuación 2 15 0, siempre que sea mónico.
Y el producto de las soluciones es el término independiente de la ecuación 2 15 0, siempre que sea mónico.
4) La ecuación de 2° grado en una variable 0 y su mónico
correspondiente 0 son equivalentes, es decir ambas
ecuaciones tienen las mismas soluciones.
Si y son soluciones de la ecuación 0, tenemos que . Multiplicando por en ambos lados de la igualdad tenemos
4
Por lo que 0 ⇔ 0 ⇔ o .
Resolución de una ecuación de 2° grado usando de regla y compás
Resolver la ecuación 3 6 45 0 usando regla y compás.
a) Como el polinomio no es mónico, multiplicamos toda la ecuación por el
recíproco del coeficiente de ,
13 3 6 45 13 0 ⇒ 2 15 0.
Así la ecuación 2 15 0 es equivalente a 3 6 45 0, ya
que tienen las mismas soluciones.
Ahora nos dedicaremos a resolver la ecuación 2 15 0 usando
regla y compás
b) Construimos los segmentos dirigidos , y cuyas longitudes sean
de , (el coeficiente de de la ecuación ) y (el término independiente
de la ecuación) respectivamente.
c) Sobreponemos el extremo izquierdo del segmento con el extremo
derecho del segmento en el punto , de tal forma que los segmentos
queden perpendiculares entre sí, siendo el horizontal y el vertical.
Colocamos el segmento unitario sobre el segmento , de manera que
ambos segmentos coincidan en el punto , pero en sentido contrario ya
que ambos tienen dirección contraria (como segmentos dirigidos).
OBOUO C
5
d) Prolongamos el segmento en dirección contraria y con la misma
magnitud a partir de , llamando al otro extremo de este segmento
prolongado obteniendo el segmento .
Trazamos una recta paralela al segmento que pase por y otra recta
paralela al segmento que pase por , llamándole al punto de
intersección de estas rectas.
Unimos con y marcamos con el punto medio del segmento .
Trazamos la circunferencia con centro y diámetro el segmento , y
llamamos y a las intersecciones de la circunferencia con la línea que
contiene al segmento .
2
-15
1
C
B
U
O
6
Así, las medidas de los segmentos dirigidos , son las soluciones
de la ecuación 3 6 45 0.
Justificación: Como y son dos cuerdas de la circunferencia que
se cortan en , tenemos que ∙ ∙
de donde podemos concluir que ∙ ∙ ,
además al sumar estos segmentos tenemos
.
Podemos generalizar esta idea.
1
-15
2
3
-5
R2 R1
PM
P C
B1
B
U
O
7
Si tenemos la ecuación , con la condición de que 0.
Construimos los segmentos , y de longitudes , (el coeficiente de de
la ecuación) y (el término independiente de la ecuación) respectivamente.
• Sobreponemos los extremos izquierdos de los segmentos de longitudes y en el punto , de tal forma que el segmento de longitud quede
horizontal y el segmento de longitud quede vertical (quedan
perpendiculares entre sí).
• Colocamos el segmento de longitud sobre el segmento de longitud ,
coincidiendo el extremo inferior de ambos segmentos en .
• Prolongamos el segmento en dirección contraria y con la misma
magnitud a partir de .
• Llamamos al otro extremo de este segmento prolongado, obteniendo el
segmento .
• Trazamos una recta paralela al segmento que pase por y otra recta
paralela al segmento que pase por .
• Llamamos al punto de intersección de estas rectas.
• Unimos con y marcamos con el punto medio del segmento .
• Trazamos la circunferencia con centro y diámetro el segmento .
• Llamamos y a las intersecciones de la circunferencia con la línea
que contiene al segmento .
Entonces las medidas de los segmentos dirigidos , son las soluciones de
la ecuación .
BUO COO
8
Justificación: Como y son dos cuerdas de la circunferencia que se
cortan en , tenemos que ∙ ∙
de donde podemos concluir que el producto de estos segmentos dirigidos es ∙ ∙ , además al sumar estos segmentos dirigidos tenemos que
,
por lo que son soluciones de la ecuación.
Problema
Si los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos y
el área del triángulo es de 6 cm2 ¿Cuánto miden los dos catetos?
R2
1
c
b
R1
PM
U
P
B1
C
BO
9
En este caso consideremos que uno de los catetos es la base del triángulo, por lo
que el otro cateto es la altura del triángulo, ya que ambos catetos son
perpendiculares, si llamamos la medida del cateto menor, tenemos que
será la medida del otro cateto
Luego el área del triángulo será 12 6 ⇒ 1 12 ⇒ 12. De este modo tenemos que resolver 12 0.
Una manera es buscar dos números y tal que ∙ 12y 1 ,
así los números buscados son 4 y 3 ya que 4 ∙ 3 12y4 3 1 . Entonces 12 0 , se puede factorizar de la siguiente manera
ú ∙ ú
0.
Como un producto es cero si por lo menos uno de los factores es cero, es decir, 4 0o3 0 ⇒ 4o 3 .
n+1
n
10
Pero 4 no puede ser ya que las magnitudes de los segmentos son
positivas, por lo que las medidas de los catetos son: 3 cm y 1 4 cm.
Problema
Si en una sala de cine hay 768 asientos, distribuidos de manera que en cada fila
hay 8 asientos más que el total de filas. Hallar cuántos asientos hay en cada fila.
Si suponemos que hay un total filas, como cada fila tiene 8 asientos más que
el total de filas, tenemos que cada fila tiene 8 asientos, por lo que el número
de asientos que tiene la sala de cine es: 8 ∙ 768 ⇒ 8 768. La ecuación que tenemos que resolver es 8 768 0. Usando la solución de la fórmula general de 2° grado para una variable √ 42 . En este caso se tiene que 18768 .
Segunda fila
n- ésima fila
Tercera fila
Primera fila
11
Así
8 8 4 1 7682 1 8 64 4 7682 8 √64 30722 8 √31362 8 562 8 562o8 562
De manera que 482o642 ⇒ 24o32. Así, el número de filas es 24 y de aquí podemos decir que el número de asientos
de cada fila es 24 8 32.
Podemos verificar que el número de asientos de la sala del cine es el número
total de filas por el número de asientos de cada fila, esto es 24 32 768.
Distintas formas de solucionar ecuaciones de 2° grado.
1) Usando la técnica de completar cuadrados.
Resolver la siguiente ecuación de 2° grado 3 6 45 0.
12
a) Como el polinomio no es mónico, factorizamos los términos que tienen la
variable: 3 45 0.
b) Completamos cuadrados, en la parte que está dentro del corchete:
3 45 0.
c) Quitamos los corchetes:
3 1 3 1 45 0
d) Despejamos la : 3 1 3 1 45
2 = ( +1 ) - 12
2+2 = ( +2 )
1
1-1
1
1
1
11
2
13
3 1 48 1 483 1 16 1 4 | 1| |4| | 1| |4| | 1| |4|. De donde 1 4o1 4 ⇒ 3o 5.
2) Usando la fórmula general.
Resolver la siguiente ecuación de 2° grado, 3 6 45 0. a) La fórmula general es √ 42 .
para la ecuación 0, por lo que en nuestro ejemplo tenemos: 3 6 45.
b) Luego haciendo la sustitución en la fórmula tenemos:
6 6 4 3 452 3 6 √36 5402 3 6 √5766 6 246 . De donde
14
⇒ 6 246o6 246 ⇒ 186o 306 ⇒ 3o 5.
3) Usando la técnica de factorización
Resolver la siguiente ecuación de 2° grado, 3 6 45 0. a) Como el polinomio no es mónico, multiplicamos por el coeficiente de , a
toda la ecuación y a su vez la dividimos por el mismo número: 3 3 6 453 0. b) Quitamos los corchetes realizando la multiplicación del numerador: 3 3 6 3 453 0. c) Acomodamos el numerador de la siguiente forma 3 6 3 1353 0. d) Si hacemos 3 , tenemos que lo anterior lo podemos escribir: 6 1353 0. e) Como el numerador ya es mónico, buscamos dos números y tal que ∙ 1356
Así los números son 15 y 9 ya que 15 ∙ 9 13515 9 6 . Luego 6 135 se factorizado como 15 9 .
f) Una división es cero si el numerador es cero: 15 93 0 ⇒ 15 9 0.
15
g) Un producto es cero si por lo menos uno de los factores es cero:
⇒ 15 0o9 0 ⇒ 15o 9 ⇒ 3 15o3 9 ⇒ 5o 3 .
5) Una interpretación geométrica de la solución de la ecuación de 2° grado 3 6 45 0. a) En vez de igualar el miembro izquierdo de la ecuación a cero lo igualamos
a la variable , obteniendo la ecuación: 3 6 45
La cual es una ecuación de 2° grado en dos variables. Las soluciones de
dicha ecuación son parejas de números , que satisfacen la ecuación 3 6 45 , al sustituir por y por .
b) Para encontrar algunas soluciones, basta tabular algunos valores arbitrarios
de .
, 6 27 6, 27 5 0 5,0 3 36 3, 361 48 1, 481 36 1, 36 3 0 3,0 4 27 4,27
Donde cada renglón de la segunda columna se obtiene al sustituir el valor
de la del mismo renglón en la ecuación 3 6 45 para obtener el
valor de , es decir el valor está en función del valor de . Por ejemplo si
el valor de la es 1 tenemos que
16
. Así la pareja de números 1, 36 es una solución de la ecuación 3 6 45 , de la misma manera obtenemos las otras parejas de
números 6,27 , 5,0 , 3, 36 , 1, 48 , 3,0 y 4,27 .
Si localizamos estas parejas de puntos en el plano cartesiano, tendremos
que los puntos están sobre una parábola, de este modo tenemos que la
ecuación 3 6 45 representa esta parábola.
Así la interpretación geométrica de las soluciones de la ecuación: 3 6 45 0, son los puntos donde la parábola 3 6 45 corta al eje .
Si también lo hacemos con el mónico correspondiente 2 15 tenemos
C E
D
B F
A G.
.
.
.
..
.
-50
X
Y
20
10
10
-10
-10
-20
-30
-40
17
, 6 9 6, 9 5 0 5,0 3 12 3, 121 16 1, 161 36 1, 12 3 0 3,0 4 27 4,9
Podemos ver gráficamente que las dos parábolas 3 6 45 y 2 15 . Cortan al eje , en los mismos puntos, ya que las ecuaciones, que se obtienen
cuando son equivalentes: 3 6 45 0 y 2 15 0.
B F. .10-10
10
-10
-20
-30
-40
-50
X
Y
18
Hay seis posibilidades para la gráfica de
,
dependiendo de los valores de y de .
Corta al eje en dos puntos (Dos raíces reales)
0 y 0 0 y 0
Corta al eje en un punto (Una raíz real doble)
Eje Y Eje Y
Eje XEje Xr2r1r1 r2
19
0 y 0 y
No corta al eje (Ninguna raíz real)
0 y 0 0 y 0
Eje X
Eje Y Eje Y
Eje Xr r
Eje X
Eje YEje Y
Eje X
20
Modelación de situaciones
Problema de un manzanar (La calidad de la manzana bajo la mercadotecnia)
Se desea comprar un terreno de forma rectangular para un manzanar (terreno
dedicado a la plantación de manzanos), pero solo se puede cercar a lo más 160 m
del terreno (presupuesto destinado para la cerca).
a) ¿Qué dimensiones deberá tener el terreno, para que quede completamente
cercado y tengamos la mayor área posible? (pues a mayor área, mayor
cantidad de árboles o manzanos plantados)
Una vez que se compro el terreno, se recomienda que los árboles o manzanos
deben de plantarse cada 5m, para que cada árbol produzca mayor número de
manzanas, pues es necesario que todos los árboles tengan las mejores
condiciones para su crecimiento.
Si los árboles los plantamos, en un arreglo rectangular como el siguiente:
b) ¿Cuántos árboles deberán de plantarse, para que cumplan las condiciones
anteriores?
5m
5m
21
Al granjero, le estiman la producción media por cada árbol plantado con las
condiciones anteriores, de 550 manzanas anuales.
Con el fin de aumentar la producción, estima que por cada árbol adicional plantado
en el manzanar, la producción disminuirá en 5 manzanas anuales por cada uno
de los árboles plantados en el manzanar, pues cambian las condiciones óptimas
para los árboles.
c) ¿Cuántos árboles deberá plantar en el manzanar, para tener máxima
producción?
Solución:
Para contestar la primera pregunta, observemos que hay muchos terrenos
rectangulares con el mismo perímetro y diferente área.
Haciendo un modelo de los posibles rectángulos tenemos:
área = 700 m2perímetro = 160 m
10 m
70 m
perímetro = 160 m área = 1200 m260 m
20 m
22
La ecuación del perímetro del rectángulo está dada por 2 2 160. Simplificamos y obtenemos una ecuación equivalente 80, donde despejamos la variable 80 .
De este modo tenemos a la altura “ “ del rectángulo en función de la base “ “.
Observamos que esta relación es lineal, pues la ecuación obtenida es una
ecuación de primer grado en dos variables y gráficamente es una recta.
Por otro lado, observamos que la ecuación del área, depende de y , la base
y la altura, respectivamente área . Si sustituimos la variable (obtenida de la ecuación del perímetro) en la ecuación
del área área 80 80 , obtenemos una ecuación en la que el área del rectángulo sólo depende del valor
de (la base).
De este modo denotamos el área del rectángulo por , pues solo depende de
la base, y queda escrita como: A 80 .
y metros
x metros
área = x metros( ) y metros( ) = x y metros2
perímetro = 2x metros + 2y metros = 160 metros
23
La cual es una ecuación de 2° grado en dos variables, y esto gráficamente es una
parábola.
Hacemos una tabla para diferentes valores de (la base), para ambas ecuaciones
la lineal y la cuadrática, es decir veremos cómo cambia la altura del rectángulo
(para el caso lineal) conforme cambia la base .
También veremos cómo cambia el área del rectángulo (para el caso cuadrático)
conforme cambia la base :
10 70 700
20 60 1200
30 50 1500
40 40 1600
50 30 1500
60 20 1200
70 10 700
80 0 0
Hacemos una gráfica de ambas funciones:
24
La línea dice cómo cambia la altura conforme cambia la base y la parábola dice
cómo cambia el área conforme cambia la base.
Así que el terreno que más le conviene, es el que tiene como medidas 40 m por 40 m, es decir, el rectángulo de mayor área con perímetro 160 m es un cuadrado
que mide 40 m. de lado.
Para contestar la segunda pregunta:
¿Cuántos árboles deberán de plantarse, para que cumplan las condiciones
anteriores?,
Observemos que en el arreglo rectangular que nos presentan, en realidad es en
un cuadrado de 40 m. de lado.
Luego el terreno tendría un área de 1600 m .
Como cada árbol hay que plantarlo cada 5 m, tendríamos 8 filas de 8 árboles, ya
que, de éste modo tendríamos
la basex
y altura
A x( )
la basex
40
40
80
1600
400 080 80
25
8 á cada 5 metros 40 metros 8 cada 5 metros 40 metros Conservando la forma cuadrada del terreno, por lo que tendríamos 8 8 64 árboles plantados en el terreno.
Para contestar la tercera pregunta,
¿Cuántos árboles deberá plantar en el manzanar, para tener la máxima
producción?
Sabemos que cada árbol produce 550 manzanas anuales, en estas condiciones,
por lo que la producción total de manzanas al año del manzanero será: 550ú á
64úá35200 manzanas.
Pero, por cada árbol extra que plantemos en el terreno, todos los árboles en
promedio dejan de producir 5 manzanas anuales, esto lo podemos escribir en
forma algebraica de la siguiente manera: 64úá 550 5ú
á
donde es el número de árboles extras que se van a plantar.
Este producto lo denotamos por , ya que es la producción de manzanas, que
depende del número de árboles extras que plantemos.
Luego
26
64 550 5 35200 230 5 5 46 7040
Otra vez, esto es una ecuación de 2° grado con dos variables, por lo que su
representación gráfica es una parábola.
Una manera de dibujarla, es buscar dónde corta la parábola al eje , para esto
igualamos a cero y resolvemos la ecuación: 5 46 7040 0 ⇔ 46 7040 0 46 46 4 1 70402 1 46 √2116 281602 46 √302762 46 1742 23 ∓ 87 23 87o23 87 64o110. Así la parábola corta al eje en 64 y en 110.
Después tomamos el punto medio entre el 64 y el 110.
Esto lo calculamos como sigue: 64 1102 23. Nos fijamos en valores de , que se localicen de manera simétrica con respecto al 23, pues la parábola es simétrica a la línea vertical que pasa por el 23. Para hacer la tabulación tenemos:
27
Es el número de árboles
La producción
de manzanas
Algunas observaciones viendo la tabla:
• En el valor de 23 estará el vértice de la parábola, es decir, el punto 23 , 37845 . • Además la parábola abre hacia abajo, ya que el coeficiente de la variable
que está al cuadrado es negativo, lo cual nos indicará, que el mayor valor
que alcanza la parábola es en el vértice, es decir la máxima producción de
manzanas posible será de 37845.
• Como el número de árboles que evaluamos fueron simétricos al número 23,
(es donde evaluamos para el vértice), resulta que también los valores que
Hay 87unidades
Hay 87unidades
Hay 46unidades
Hay 46unidades
Hay 11unidades
Hay 11unidades
3412 230 46 110-64
28
tiene la parábola son simétricos, pues la parábola es simétrica a esta línea
vertical 23 .
Usando la tabla, hacemos un bosquejo de la gráfica de la parábola.
Por lo tanto, deberán plantarse 64 23 87
árboles que producirán 37845 manzanas al año.
Ejercicio: (Modelar la situación del siguiente problema)
Un transportista puede fletar en un barco, 100 toneladas de mercancía ganando $ 600 por cada tonelada, pero estima que si retrasa el embarque puede añadir 20
P(a ) es laproducción de manzanas
a es el númerode árboles
23 - 64 0
37845
35200
110
29
toneladas semanales al cargamento, aunque en este caso la ganancia disminuye $ 30 por tonelada que trasporte y por semana.
¿Cuánto tiempo le conviene retrasar el embarque?
G(s ) es laganancia portonelada
s es el número desemanas de espera
7.5-5 0
93750
60000
20
30
Problemas que se pueden resolver con ecuaciones o sistemas de ecuaciones
1. José hizo un recorrido de 320 kilómetros en 6 horas en su camión de redilas. Las primeras 4 horas viajó en una autopista a velocidad constante. Las siguientes 2 horas bajó la velocidad en 20 kilómetros por hora para transitar en un camino rural. ¿Qué velocidad llevaba en cada carretera? Solución: Llamamos la velocidad en kilómetros por hora en la autopista. Como bajó la velocidad en 20 kilómetros por hora en el camino rural, entonces la velocidad ahí fue 20. Analizamos los datos en una tabla:
Velocidad (kilómetros por hora)
Tiempo (horas)
Distancia (kilómetros)
Autopista 4 4 Camino rural 20 2 2 20 Distancia total 6 320
Planteamos la ecuación:
Distancia autopista Distancia camino rural Distancia total De donde, 4 2 20 320. Despejamos : 4 2 20 320 4 2 40 320 6 320 40 3606 60. La velocidad en la autopista: 60 kilómetros por hora. La velocidad en el camino rural: 20 60 20 40, Es decir, en el camino rural al velocidad fue de 40 kilómetros por hora. Comprobación: 4v 2 v 20 4 60 2 40 240 80 320.
31
Ejercicio
2. En una tienda de productos naturistas, quieren vender una mezcla de pasitas con nueces. Las pasitas cuestan $35 el kilogramo y las nueces $110 por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada ingrediente tienen que mezclar para obtener 15 kilogramos a un precio de $65 por kilogramo?
3. Juan tiene 47 años y Rosa tiene 12 años. ¿Al cabo de cuántos años será la edad de Juan 6 veces la de Rosa? Solución: Llamamos a los años que deben transcurrir. La edad de Juan después de años será 47. La edad de Rosa después de años será 12. Como queremos que la edad de Juan sea 6 veces la de Rosa, entonces 47 6 12 . Simplificando y despejando, tenemos 47 6 12 47 6 72 47 72 6 25 5 255 5 . Ahora debemos interpretar el resultado. Como el resultado es negativo, entonces significa que hace 5 años la edad de Juan era 6 veces la edad de Rosa. Es decir, esto sucedió cuando Juan tenía 42 años y Rosa 7.
4. Lupe tiene 25 años y su hijo Pedro tiene 3 años. ¿Al cabo de cuántos años será la edad de Lupe será el doble de la de Pedro?
5. Un avicultor recolectó en 2 jornadas de trabajo 113 litros de miel. Para
vender la miel tiene 332 envases, unos de litro y otros de de litro.
¿Cuántos envases de cada clase usará? Solución: Llamamos al número de envases de litro.
Llamamos al número de envases de litro.
Como tiene 332 envases, entonces 332.
32
Además sabemos que tiene que envasar 113 litros de miel, en envases
de litro y envases de litro, así 12 14 113. Como tenemos dos ecuaciones, entonces formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 332 12 14 113. Para resolver el sistema, despejamos de la primera ecuación 332
Y lo sustituimos en la segunda ecuación 12 14 332 113. Despejamos : 12 14 332 113 12 14 332 14 113 12 14 113 83 2 4 30
4 30 120. Ahora obtenemos el valor de 332 332 120 212. Comprobación:
Primera ecuación: 120 212 332.
33
Segunda ecuación: 12 14 12 120 14 212 60 53 113. El avicultor debe llenar 120 envases de litro y 212 de litro.
En este problema podemos plantearnos las siguientes preguntas:
¿Cuántos litros de miel utilizó para llenar los envases de litro?
¿Cuántos litros de miel utilizó para llenar los envases de litro?
6. En un corral hay gallinas y conejos. Hay 37 cabezas y 98 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral?
7. Leonor tiene $164.80 en 80 monedas. Unas de 20 centavos y otras de 5 pesos. ¿Cuánto dinero tiene en monedas de cinco pesos? Solución: Como hay monedas de 20 centavos y de 5 pesos, escribimos los 20 centavos como 0.20 pesos. Llamamos al número de monedas de 0.20 pesos. Llamamos al número de monedas de 5 pesos. Leonor tiene en total 80 monedas, entonces 80
y $164.80 en monedas de 20 centavos y de 5 pesos, es decir 0.20 5 164.80
Como tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas, establecemos el sistema 80 0.20 5 164.80 Despejamos de la primera ecuación: 80 Sustituimos este valor en la segunda ecuación y despejamos 0.20 5 80 164.80 0.20 400 5 164.80 4.80 164.80 400 4.80 235.20 235.204.80
34
49. Ahora encontramos el valor de : 80 49 31. Comprobación:
Primera ecuación: 49 31 80. Segunda ecuación: 0.20 5 0.20 49 5 31 9.80 155 164.80. Por tanto, Leonor tiene 49 monedas de 20 centavos y 31 monedas de 5 pesos.
Para responder a la pregunta planteada en el problema de ¿cuánto dinero tiene en monedas de cinco pesos?, utilizamos el dato obtenido: Leonor tiene 31 monedas de 5 pesos, entonces 5 31 155. Leonor tiene $155 en monedas de 5 pesos.
8. Eva invierte cierta cantidad de dinero al 3% anual y el resto al 5%. En total invierte 750 pesos. La ganancia total de su inversión fue de 28.50 pesos. ¿Cuánto dinero invirtió al 3% y cuánto al 5%? Solución: Llamamos a la cantidad que invirtió al 3% y a la cantidad al 5%. Como en total invirtió 750 pesos, entonces 750. La ganancia de la inversión fue de 28.50 pesos, entonces 0.03 0.05 28.50. Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, entonces establecemos el sistema 750 0.03 0.05 28.50. Para resolverlo, despejamos de la primera ecuación 750 , y lo sustituimos en la segunda y resolvemos la ecuación: 0.03 0.05 750 28.50
35
0.03 0.05 28.50 37.50 0.02 9 90.02 450. Sustituimos este valor de en 750 450 300. Por lo tanto, Eva invirtió 450 pesos al 3% y 300 pesos al 5%.
36
Unidad II. Forma, espacio y medida
Problemas que involucren el uso de los criterios de congruencia y
semejanza. Construcción y aplicación de los criterios de congruencia
de triángulos. Justificación y aplicaciones del teorema de Thales.
Demostración y aplicaciones del teorema de Pitágoras. Problemas que
involucren el uso del teorema de Pitágoras y de Thales. Problemas
que involucren las propiedades de las rectas y ángulos de la
circunferencia. Rectas secantes, tangentes, y exteriores a una
circunferencia. Ángulo central, inscrito, semi-inscrito y exterior a una
circunferencia. Problemas que involucren transformaciones en el
plano. Problemas que involucren el cálculo de volúmenes.
37
Ver video sobre el teorema de Thales
http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
Teorema de Thales:
Si en un triángulo ∆ , se eligen los puntos y en los lados y
respectivamente, de tal manera que el segmento resulte paralelo al segmento
.
Entonces
.
Justificación:
Si nos fijamos en los triángulos ∆ y ∆ tienen la misma altura con
respecto a las bases y respectivamente
Entonces la proporción entre sus bases es igual a la proporción entre sus áreas,
es decir,
E
B C
A
D
E
A
CB
D
38
área ∆área ∆ . De la misma manera, si nos fijamos en los triángulos ∆ y ∆ tienen la
misma altura con respecto a las bases y respectivamente.
Entonces la proporción entre sus bases es igual a la proporción entre sus áreas,
es decir, área ∆área ∆ . Así los triángulos ∆ y ∆ , tienen como base común a y, como y
son paralelas los triángulos ∆ y ∆ tienen la misma altura.
Por lo que área ∆ área ∆ ,
De esta manera tenemos: área ∆ área ∆ área ∆ área ∆ área ∆ área ∆ . Es decir, área ∆ área ∆ y como también teníamos las relaciones: área ∆área ∆ y área ∆área ∆ ,
E
B C
A
D
La misma altura
La misma base
E
A
CB
D
39
por lo tanto, .
Ejercicio
1. Justificar que el recíproco del teorema de Thales también es cierto, es
decir:
Si en un triángulo ∆ , se eligen los puntos y en los lados y
respectivamente, de tal manera que . Entonces resulta que los segmentos y son paralelos.
Una consecuencia importante del teorema de Thales:
Si tenemos dos rectas paralelas, la proporción que hay entre las rectas
transversales que las cortan se conserva, sin importar quienes son estas rectas
trasversales
Justificación:
Por el teorema de Thales tenemos que: ⟺ ∥
Como
y .
E
A
CB
D
40
Entonces ⟺ ⟺ 1 1 ⟺ . Se tiene ∥ ⟺ ⟺ . Es decir:
La proporción que hay entre las rectas transversales se conserva ⟺ ∥ .
Otra manera de enunciar el Teorema de Thales:
Consideremos tres rectas , y y dos rectas transversales y que
cortan a en y , a en y y a en y como lo muestra el
dibujo siguiente
Tenemos que , y son paralelas ⟺ . Justificación:
Tracemos la trasversal que pase por los puntos y como se muestra en el
dibujo siguiente:
L1
L2
L3
T1 T2
C1C
B1B
A1A
41
Siendo el punto de intersección de con la trasversal y aplicando el
teorema de Thales a los triángulos ∆ y ∆ tenemos que
∥ ⟺ aplicado el teorema de Thales al triángulo ∆ y∥ ⟺ aplicado el teorema de Thales al triángulo ∆ . Entonces las tres rectas son paralelas si y sólo si 1 1 ⟺ y como . Por lo tanto, .
Ejercicio
2. Consideremos tres rectas , y , y dos rectas transversales y
que cortan a en y , a en y y a en y como lo
muestra el dibujo siguiente
L1
L2
L3
T1 T2
D
C1C
B1B
A1A
42
Si y son paralelas y la recta cumple que . Entonces también es paralela a .
La principal aplicación del teorema de Thales, es que a partir de éste, se pueden
deducir los criterios de semejanza de triángulos:
Decimos que dos triángulos ∆ y ∆ son semejantes:
Si sus ángulos respectivos son iguales , y sus lados homólogos son proporcionales, es decir,
L1
L2
L3
T1 T2
C1C
B1B
A1A
γ1
γ
β1
β
α1
α
A1 B1
C1
A B
C
43
. De hecho si se cumple una condición se cumple la otra, esto nos lo dice el primer
criterios de semejanza, junto con el tercer criterio de semejanza.
Primer criterio de semejanza ∢, ∢, ∢
Si dos triángulos ∆ y ∆ , tienen ángulos respectivos iguales, entonces
los triángulos son semejantes:
Justificación:
Si elegimos sobre el segmento , de tal manera que y elegimos
sobre el segmento , de tal manera que .
Luego como , aplicamos el criterio de congruencia L, ∢, L , a los triángulos ∆ y ∆ resultan ser congruentes, de aquí podemos decir que el
ángulo ∢ , pero como (por hipótesis), luego por transitividad ∢ , así es paralelo a , de manera que podemos aplicar el
teorema de Thales a los triángulos ∆ y ∆ para tener . Pero como
α
α1
β
β1
γ
γ1
B2
C2
A1 B1
C1
C
BA
44
y . Por lo tanto, .
Si elegimos sobre el segmento , de tal manera que y elegimos
sobre el segmento , de tal manera que .
Como , aplicamos el criterio de congruencia L, ∢, L , a los triángulos ∆ y ∆ resultan ser congruentes, de aquí podemos decir que el
ángulo ∢ , pero como (por hipótesis), luego por transitividad ∢ , así es paralelo a , de manera que podemos aplicar el
teorema de Thales a los triángulos ∆ y ∆ para tener . Pero como
α
α1
β
β1
γ
γ1
A2
B2
A1 B1
C1
C
B
A
45
y . Por lo tanto . Luego . Nota: De hecho basta, que dos ángulos respectivos que sean iguales, pues
forzosamente el tercero tiene que ser igual, ya que los ángulos interiores de un
triángulo suman 180°.
Ejercicio
3. Segundo criterio de semejanza L, ∢, L
Si dos triángulos ∆ y ∆ , tienen dos lados correspondientes
proporcionales y el ángulo comprendido entre éstos es igual, entonces son
semejantes.
4. Ejercicio
Tercer criterio de semejanza L, L, L
Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces
los triángulos son semejantes.
46
Aplicaciones de los Teoremas de Pitágoras y de Thales.
En diversas culturas y épocas aparece el Teorema de Pitágoras con distintas
demostraciones Desde los Babilonios, la antigua China, Egipcios, Griegos,
etcétera. A continuación daremos una de las tantas demostraciones para luego
pasar a generalizaciones y aplicaciones.
Como todos sabemos, en un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto
se conoce como la hipotenusa y a los lados que forman el ángulo recto se les
llaman catetos.
El Teorema de Pitágoras nos dice que, si y son los catetos de un triángulo
rectángulo y la hipotenusa, entonces se cumple la relación . Geométricamente esta relación nos dice: Si en cada lado del triángulo rectángulo
trazamos un cuadrado con la misma medida del lado correspondiente, tenemos
que la suma de las áreas de los cuadrados que están sobre los catetos es
igual al área del cuadrado que esta sobre la hipotenusa.
hipotenusa
cateto
cateto
47
Como una aplicación del uso de los criterios de semejanza tenemos, una
demostración sencilla atribuida a Joseph Louis Lagrange el cual nació en Turín
1736, trabajo en Berlín y murió en Paris 1813:
Demostración del teorema de Pitágoras:
Si consideramos la altura sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo, tenemos
que se forman dos triángulos rectángulos, mutuamente semejantes al triángulo
rectángulo original
El triángulo rectángulo ⊿ es semejante al triángulo rectángulo ⊿ , ya que
el ángulo en es común y ambos son rectángulos, por lo que podemos
concluir que el ángulo ∢ .
c 2
b 2
a 2
γ
β
ββ
γγpie de la alturasobre la hipotenusa
D
A A
C
B
C
B
48
También el triángulo rectángulo ⊿ es semejante al triángulo ⊿ , ya que el
ángulo en es común y ambos son rectángulos, por lo que también podemos
concluir que el ángulo ∢ . Luego también por ∢, ∢, ∢ podemos concluir que los triángulos ⊿ ⊿ son semejantes
Luego de ⊿ ~⊿ ⇒ ⇒ ∙y⊿ ~⊿ ⇒ ⇒ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ .
Por lo tanto .
Una generalización clásica del teorema de Pitágoras
1.-Si en vez de trazar un cuadrado, en cada lado del triángulo rectángulo,
trazamos un triángulo equilátero en cada lado del triángulo rectángulo con la
misma medida del lado correspondiente, entonces la suma de las áreas de los
triángulos equiláteros que están sobre los catetos es igual al área del triángulo
equilátero que esta sobre la hipotenusa.
Justificación:
Encontramos el área de cada triángulo equilátero
C
T a
T b
T c
c
b
a
C1
B1
A1
A B
49
Encontramos el área del triángulo , para esto usamos el teorema de Pitágoras,
para encontrar la altura del triángulo
2
2 34 √32 . Por lo que el
área ∙ √322 √34 . Análogamente área √34 y área √34 . Luego área área √34 √34 √34 √34 área . Por lo tanto área área área .
2.-Si en vez de trazar un triángulo equilátero en cada lado del triángulo
rectángulo, trazamos una semicircunferencia en cada lado del triángulo rectángulo
con diámetro el lado del triángulo correspondiente, entonces la suma de las
2a
ha
a
T a
B1
A
C
50
áreas de los semicírculos que están sobre los catetos es igual al área del
semicírculo que esta sobre la hipotenusa.
Justificación:
Encontramos el área de cada uno de los semicírculos, lo haremos para el
semicírculo , como es el diámetro tenemos que el
área 22 8 . Análogamente tendríamos área 8 y área 8 . Luego área área 8 8 8 8 área . Por lo tanto área área área .
Este hecho se cumple aunque no sea un polígono regular, basta con que los
polígonos que se apoyan sobre los lados del triángulo rectángulo sean
semejantes y el apoyo sea en un lado homólogo de los polígonos semejantes.
3.- Lo hacemos para una terna de triángulos semejantes
Para facilitar las cosas nos fijamos en la siguiente terna pitagórica 3,4,5
C c
C b
C a
b
ca
A
C
B
51
Como el triángulo ∆ ~∆ y un par de lados homólogos son y
Así que la razón de semejanza de estos dos triángulos es
53. Por lo que la razón entre sus áreas es área ∆área ∆ 53 259 ⇒ área ∆ 925 área ∆ . Análogamente, el triángulo ∆ ~∆ y un par de lados homólogos son y , Así que la razón de semejanza de estos dos triángulos es
54. Por lo que la razón entre sus áreas es área ∆área ∆ 54 2516 ⇒ área ∆ 1625 área ∆ . Luego sumando las áreas de los triángulos que están sobre los catetos tenemos: área ∆ área ∆ 925 área ∆ 1625 área ∆ área ∆ . Por lo tanto área ∆ área ∆ área ∆ .
Lo único que hay que justificar, es que la razón entre las áreas de dos triángulos
semejantes es el cuadrado de la razón que hay entre sus lados homólogos, pero
para justificarlo necesitamos el siguiente ejercicio.
34
5
B1C1
C
BA
A1
52
Ejercicio
Si dos triángulos ∆ y ∆ tienen un ángulo en común, entonces la
razón entre las áreas de los triángulos, es igual al la razón entre los productos de
sus lados que forman el ángulo en común.
área ∆área ∆ ∙∙ . Solución:
Trazamos el segmento
Tenemos que los triángulos ∆ y ∆ tienen la misma altura, luego por un
ejercicio anterior tenemos que la razón entre sus áreas es igual a la razón entre
sus bases área ∆área ∆ . Análogamente tenemos
A1
αAB
C
C1
B1
αA1
C
BA
C1
B1
53
Los triángulos ∆ y ∆ tienen la misma altura, luego por un ejercicio
anterior tenemos que la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases área ∆área ∆ . Luego multiplicando ambas igualdades se tiene área ∆área ∆ área ∆área ∆ . Por lo tanto área ∆área ∆ ∙∙ . Ya que . Ejemplo.
Si dos triángulos ∆ y ∆ son semejantes entonces la razón entre las
áreas de los triángulos, es igual al cuadrado de la razón de sus lados
proporcionales.
Solución:
Por un lado como los triángulos son semejantes, tienen sus ángulos respectivos
iguales, si usamos el ángulo ∡ ∡ , y usando el ejercicio anterior
tenemos área ∆área ∆ ∙∙ . Pero como son semejantes se tiene que .
αA1
C
BA
C1
B1
54
Haciendo la sustitución tenemos que
área ∆área ∆ .
Esto se cumple también para polígonos semejantes en general, pues si
recordamos que el área de un polígono, se puede calcular si lo triangulamos.
Otro hecho curioso con el teorema de Pitágoras.
3.-Dada la siguiente figura (caracol pitagórico)
Podemos dar la sucesión de hipotenusas obtenidas en cada triángulo rectángulo
trazado √2, √3, √4 , ⋯ , √16. Así que la última hipotenusa de este caracol es 4.
Ejercicios.
1.- Si en vez de trazar un cuadrado, en cada lado del triángulo rectángulo,
trazamos un hexágono regular en cada lado del triángulo rectángulo con la
misma medida del lado correspondiente, entonces la suma de las áreas de
11
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
11
2
14
13
15
12
11
10
9
8
7
65
4
3
1
55
los hexágonos que están sobre los catetos es igual al área del hexágono
que esta sobre la hipotenusa.
2.- Si nos fijamos en la siguiente terna pitagórica 5,12,13
Justificar área ∆ área ∆ área ∆ .
a
b
cE c
Eb
E α
C
BA
512
13
B1
C1
C
BA
A1
56
Rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia.
Consideremos una circunferencia con centro en y radio , donde 0. Puntos del plano con respecto a una circunferencia.
• Un punto está en la circunferencia si el segmento , y al
segmento , es llamado un radio de la circunferencia.
• Si es un punto dentro de la circunferencia, tenemos que el segmento
, en este caso el punto se llama punto interior.
• Si es un punto fuera de la circunferencia, tenemos que el segmento
, en este caso el punto se llama punto exterior.
• El conjunto de todos los puntos de la circunferencia, junto con todos los
puntos interiores se llama círculo.
Posiciones de una recta con respecto a una circunferencia.
círculo
Circunferencia
Punto exterior de la circunferencia
Punto interior de la circunferencia
Punto sobre la circunferencia
radio
OI
EO
O
A
57
• Si es cualquier punto de la circunferencia y si es la recta perpendicular
al segmento , a la recta se le llama la recta tangente a la
circunferencia que pasa por . (esta recta corta, en un punto a la
circunferencia)
• Cualquier segmento que una dos puntos de la circunferencia se le llama se
le llama cuerda.
• Si la cuerda pasa por el centro se le llama diámetro.(y un diámetro mide
dos veces el radio).
• Una recta que corta a la circunferencia en dos puntos es llamada secante.
• Una recta que no corta a la circunferencia se llama recta exterior.
• Se le llama segmento de un círculo la parte del círculo comprendida entre
un arco y su cuerda, si la cuerda es un diámetro se le llama semicírculo.
• Se le llama sector de un círculo la parte comprendida entre un arco y los
radios que van a los extremos del arco.
Punto detangencia
recta exterior
sectorcircular
segmentocircular
diámetro
cuerda
recta tangente
recta secante
radio
B
58
Ejercicio: (Usando el teorema de Pitágoras)
Sea una circunferencia con centro en , si desde un punto exterior a la
circunferencia , se trazan dos rectas tangentes a la circunferencia, siendo y
los puntos de tangencia respectivamente de las dos rectas tangentes, entonces y está en la bisectriz del ∡ .
Solución:
Trazamos los radios y , como estos radios son perpendiculares a las
tangentes, se forman dos triángulos rectángulos ⊿ y ⊿
Si aplicamos Pitágoras al triángulo ⊿ , tenemos que ,
análogamente se lo aplicamos al triángulo ⊿ , obteniendo .
Como (ya que son radios), entonces
P O
A
B
P O
A
B
59
⇒ . Como los triángulos ⊿ ≅ ⊿ resultan ser congruentes, tenemos ∡ ∡ ,
es decir, es la bisectriz del ángulo ∡ .
Ángulo central, inscrito, semi-inscrito y exterior a una circunferencia.
Observación:
a) Un ángulo es la apertura entre dos semi-rectas o rayos que concurren, a los
rayos se les llama lados del ángulo y el punto de intersección de los rayos se le
llama vértice del ángulo.
b) Dos puntos sobre una circunferencia determinan dos arcos en la
circunferencia:
Lado delángulo
Lado delángulo
Vértice del ángulo
V
60
Los arcos y el arco se recorren en contra de las manecillas del reloj.
Ángulos respecto a una circunferencia
• Un ángulo inscrito en una circunferencia es el ángulo formado por dos
cuerdas que tienen un extremo común sobre la circunferencia, y los dos
extremos no comunes de las cuerdas definen un arco, al que se le llama
arco que subtiende el ángulo inscrito.
• Un ángulo central en una circunferencia es el ángulo formado por dos
radios, y los extremos que no son el centro de los radios definen un arco,
al que se llama el arco que subtiende el ángulo central.
AB
BAA
B
A
B
arco AB que subtiende el ángulo inscrito
Extremos no comunes de las cuerdas
Extremo común de las cuerdas
OV
B
A
61
• Un ángulo semi-inscrito en una circunferencia es el ángulo que su vértice
está en la circunferencia y uno de los lados del ángulo es tangente a la
circunferencia en el vértice, mientras que el otro lado del ángulo es una
cuerda de la circunferencia, los extremos de esta cuerda, siendo uno de
ellos el vértice, nos indican el arco que abarca el ángulo semi-inscrito.
arco AB que subtiende el ángulo central
Extremos no comunes de los radios
O
B
A
Vértice del ángulo
La cuerdacomo lado
La tangentecomo lado
O
V
A
62
• Un ángulo ex –incrito en una circunferencia es el ángulo adyacente a un
ángulo inscrito.
• Un ángulo interior en una circunferencia es el ángulo cuyo vértice es un
punto interior de la circunferencia, es claro que si el punto interior es el
centro el ángulo es central.
• Un ángulo exterior en una circunferencia es el ángulo cuyo vértice es un
punto exterior de la circunferencia.
ángulo ex-inscrito
ángulo inscrito
OV
B
A
A1
A
C
B
D
V
63
La siguiente tablita nos índica la forma de medir un ángulo respecto a una
círcunferencia
Ángulos respecto a una circunferencia Medida del ángulo
Ángulo
inscrito
∢
Ángulo
central
∢
BA
DC
V
OV
BA
O
BA
64
Ángulo
semi-inscrito
∢ ∢
Ángulo
ex-inscrito
∢
Ángulo
interior
∢
Ángulo
exterior
∢
V
O
A A1
OV
BA
A1
A
C
B
D
VO
BA
DC
OV
65
Problema que involucra propiedades de las rectas y ángulos de la
circunferencia.
Consideremos una circunferencia y un punto en el plano donde está la
circunferencia. Puede suceder que el punto esté dentro, sobre o fuera de la
circunferencia como se representa en el dibujo siguiente:
Problema: Si tenemos dos cuerdas y de la circunferencia que pasan
por se tiene que ∙ ∙ (considerando los segmentos dirigidos), y
además es independientemente como se encuentre con respecto a la
circunferencia.
Si consideramos que el punto se encuentra fuera de la circunferencia
C
CC
El punto P esta fuera de la circunferencia
El punto P esta sobre la circunferencia
El punto P esta dentrode la circunferencia
P
P
P
66
Uniendo el punto con el punto y el punto con el punto , tenemos que los
triángulos ∆ y ∆ son semejantes, ya que los ángulos inscritos ∢ y ∢ cumplen ∢ ∢ 180°. por estar en arcos diferentes y ambos arcos forman la circunferencia.
La suma de los ángulos ∢ y ∢ es ∢ ∢ 180° por ser suplementarios. De donde ∢ ∢ ∢ ∢ , por lo tanto ∢ ∢ .
Análogamente los ángulos inscritos ∢ y ∢ cumplen
C
El punto P esta fuera de la circunferencia
P
C C
F
E
B
A
F
E
B
A
PP
67
∢ ∢ 180° y también ∢ ∢ 180°, por lo que ∢ ∢ .
Los ángulos ∢ ∢
por ser comunes a ambos triángulos y ser opuestos por el vértice, luego por el
criterio de ∢, ∢, ∢ tenemos ∆ ~∆ .
Por lo tanto,
⇒ ∙ ∙ . Ejercicios
a) Sean dos puntos fijos y sobre una circunferencia, tenemos que para
cualesquiera dos puntos y también sobre la circunferencia se tiene que ∢ ∢ o ∢ ∢ 180°.
Q1
Q2
A B
Q1
Q2
A
B
68
b) Si tenemos dos cuerdas y de la circunferencia que pasan por
se tiene que ∙ ∙ (considerando los segmentos dirigidos),
justificarlo cuando , se encuentre dentro y sobre la circunferencia.
69
Problemas que involucren transformaciones en el plano
La geometría no es sólo el estudio de las figuras y de sus propiedades, sino
también los movimientos de estas figuras. A estas herramientas de matemáticas
que nos permiten, cambiar de posición o bien modificar el tamaño de una figura en
el plano, son lo que le llamamos transformaciones en el plano, tales como la:
traslación, rotación, reflexión, homotecias e inversión.
En esta parte, trataremos solo las que son de movimiento rígido, es decir las que
en geometría les llaman isométricas, ya que estas trasformaciones no cambian
la forma ni el tamaño de la figura, en otras palabras estas trasforman figuras a
figuras congruentes, en nuestro caso son: La traslación, rotación y reflexión.
Una traslación de una figura , es una trasformación que mueve a todos los
puntos de , la misma distancia y en la misma dirección, la figura trasladada
es llamada la imagen de bajo la traslación y la denotaremos como este
caso la figura original y la trasladada resultan ser congruentes.
Este movimiento, se puede interpretar físicamente, cuando uno usa una escalera
eléctrica.
F'
F
A'
C'
B'
A
C
B
70
Observación: Si a todos los puntos del plano le aplicamos la traslación (no trivial),
ningún punto del plano, quedaría fijo, así que una de las características que tienen
las traslaciones es que no tienen ningún punto fijo.
Una rotación de una figura , es una trasformación que gira en un ángulo a
todos los puntos de , alrededor de un punto fijo. El ángulo en que gira la
figura , es llamado ángulo de rotación, y el punto fijo es llamado centro de
rotación.
La figura rotada es llamada la imagen de bajo la rotación y la denotaremos
como , en este caso también la figura original y la rotada resultan ser
congruentes.
71
Una rotación es positiva, si el giro es en contra del movimiento de las de las
manecillas del reloj. También se le dice a este movimiento levógiro (Del latín
laevus, izquierdo, y gyrare, giro), como esta en la figura 1.
Por otro lado, se dice rotación negativa si el giro es a favor del movimiento de las
manecillas del reloj. En este caso es dextrógiro (Del latín dexter, que está a la
derecha y de girar), como está en la figura 2.
Nota: Las palabras levógiro y dextrógiro también son utilizadas en navegación
marítima. En química se le dice al cuerpo o sustancia que desvía hacia la
izquierda o derecha la luz polarizada.
Este movimiento, se puede interpretar físicamente, cuando uno se sube a un juego
mecánico llamado, rueda de la fortuna, que se encuentran en algunos parques
recreativos.
Observación: Si a todos los puntos del plano le aplicamos la rotación (no trivial),
nada más un punto del plano, quedaría fijo, así que una de las características que
tienen las rotaciones es que tienen un punto fijo.
F'
Figura 2Figura 1
F
centro de rotaciónángulo de rotación
ángulo de rotación
centro de rotación
F
B'
A' C'
B'
A'C' A
C
BB
C
A
72
Una reflexión de una figura , es una trasformación que refleja a todos los
puntos de , con respecto a una recta, la recta es llamada la recta de reflexión
y la figura reflejada es llamada la imagen de bajo la reflexión y la denotaremos
como . en este caso la figura original y la reflejada resultan ser también
congruentes.
Observamos que el eje de reflexión es la mediatriz del segmento ′, donde ′ es el correspondiente reflejado de , con respecto al eje de reflexión, (ver la figura anterior), y esto sucede con todos los puntos reflejados.
Si se doblara la figura sobre el eje de reflexión trazado, se podría observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes.
Este movimiento, se puede interpretar físicamente, cuando vemos nuestro reflejo por medio de un espejo plano.
F'
Eje de reflexión
F
C'
A'
B'
A
C
B
73
Observación: Si a todos los puntos del plano le aplicamos una reflexión, con
respecto a una recta del plano, los únicos puntos del plano que quedan fijos, son
los del eje de reflexión, que es una de las características que tienen las
reflexiones.
Con las trasformaciones de reflexión y de rotación se pueden definir la simetría
axial y rotacional, que puede presentar una figura.
Simetrías-
a) Se dice que una figura presenta una simetría axial, si podemos proponer una línea, con la cual, podemos partir en dos secciones a la figura, que resulten ser simétricas respecto a la línea propuesta, y en este caso dicha línea se llama eje de simetría.
Eje de reflexión
Eje de simetríaA
B
B'
A'
74
En este caso del dibujo anterior, la simetría axial se puede dar también con respecto a más ejes de simetría.
b) Se dice que una figura presenta una simetría rotacional, si podemos proponer una rotación con su respectivo ángulo y centro de rotación, de tal manera que al aplicarla a la figura, ésta no se altera, es decir queda la misma figura.
Si hacemos una rotación de 90° alrededor del punto , obtenemos que la figura queda como si estuviera en la posición original, por lo que la figura tiene una simetría rotacional.
En el caso del dibujo anterior, la simetría rotacional se puede dar también con respecto a más ángulos de rotación, por ejemplo con los ángulos de 180° y 270°, claro considerando el mismo centro de rotación.
Si las simetrías se utilizan, repetidamente de una misma figura o varias
figuras, se obtienen diseños geométricos, los cuales se pueden usar, como
motivos de una decoración llamada mosaico o teselación, que se usan
mucho en el arte.
Desde la época clásica de los griegos ya le daban una interpretación de
translaciones rígidas a sus observaciones.
1. Ejercicio:
O
75
Si vemos la posición de la constelación de la Lira en una posición respecto al
polo norte, a las 8:00 pm, ¿Cuál será el ángulo de rotación de la posición de la
constelación de la Lira a las 4:00 am de la mañana?
2. Ejercicio: Dada la siguiente estrella, determine todas las simetrías axiales y
todas las simetrías rotacionales
Polo norte
76
Problemas que involucran el cálculo de volúmenes
Un resultado importante en el cálculo de volúmenes, es la relación que hay entre
los volúmenes de figuras tridimensionales que son semejantes. Este
comportamiento es análogo al que hay entre el área de figuras bidimensionales
semejantes. Recordemos que dicha relación nos decía, que si una figura se
dilata un factor , entones el área de la figura dilatada ′ cumple: área ′ área , es decir, área ′área ,
donde , es la razón de semejanza entre las figuras bidimensionales y ′.
′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ área ′área . Así, el resultado para figuras tridimensionales es:
F'
F
B'
C'
A'
B
C
A
O
77
Si una figura tridimensional se dilata un factor , entonces el volumen de la
figura dilatada ′ cumple: volumen ′ volumen , es decir, volumen ′volumen
donde , es la razón de semejanza entre las figuras tridimensionales y ′.
Con la información anterior resolvamos los siguientes ejemplos.
1. Consideremos dos latas cilíndricas rectas. La primera lata con 5 cm de
altura y 5 cm de diámetro y la segunda lata de 12 cm de altura y 12 de
diámetro. ¿Cuántas latas de la primera se necesitan para llenar la segunda?
Solución:
Como la proporción entre el primer cilindro y el segundo es de podemos
decir que el primer cilindro se dilata un factor de y entonces la relación
entre los dos volúmenes cumple:
78
volumen 125 volumen , es decir,
volumen volumen 125
de donde la razón entre sus volúmenes es 125 1728125 13.8, por lo que se necesitan casi 14 latas pequeñas, para llenar la lata grande.
En el siguiente ejemplo vemos cómo se puede demostrar que dos cilindros son
semejantes.
2. Si tenemos un primer cilindro recto de radio 3 cm y altura de 7 cm, y otro de 7 cm de altura, con perímetro de su base de 18 cm, entonces los cilindros
son semejantes.
Solución:
Como el perímetro de un cilindro es 2 y el segundo cilindro tiene como
base un círculo cuyo perímetro es de 18 cm, obtenemos que 2 18 182 9. Así, que el segundo cilindro recto tiene radio 9 cm y sabíamos que tenía
altura 7 cm.
Así, la razón entre sus radios es
79
39 13, y la razón entre las alturas es 721 13. Por lo tanto, los radios y las alturas son proporcionales, de manera que los
cilindros son semejantes.
3. Tenemos dos prismas triangulares semejantes, cuya factor (o razón) de
semejanza es . Si el volumen del prisma pequeño es de 48 cm . ¿Cuál es
el volumen del prisma grande?
Solución:
Como la proporción entre los volúmenes es cubo de la proporción de
semejanza tenemos 611 116 1331216 48 295.8 cm .
Se proponen los siguientes ejercicios.
4. Ejercicio:
a) Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular, cuyo lado de la base
hexagonal mide 5 cm, su apotema mide 4.3 cm, y la altura del prisma es 8 cm. b) Hallar directamente el volumen del prisma semejante de lado 15 cm.
5. Ejercicio:
80
Si una bola de boliche tiene radio de 8 cm y la de billar de 5 cm de diámetro,
hallar el volumen de ambas. Y determinar la razón de semejanza.
81
Unidad III. Manejo de la información
Problemas que involucren modelar la razón de cambio de un proceso
o fenómeno. Gráficas (construcción, interpretación y uso). Problemas
que impliquen la determinación de términos de sucesiones numéricas.
Medidas de tendencia central. Medidas de dispersión. Probabilidad.
82
Introducción
Esta unidad empieza con el estudio de sucesiones en las cuales es necesario
encontrar algebraicamente el término generador de ellas, lo cual requiere un grado
de madurez matemática mayor que la de encontrar el siguiente término.
En los años anteriores se ha estudiado el concepto de medida de tendencia
central, ahora se retoma el tema y se ve también una medida de dispersión: la
varianza, que nos permite ver qué tan dispersos o no están una serie de datos.
Para este tema, se sugiere utilizar una computadora y una hoja de cálculo para
hacer los cálculos más fácilmente, con lo cual, podemos ver ejemplos interesantes
que sería muy tedioso hacer a mano. Finalmente, se utiliza la hoja de cálculo para
hacer simulaciones del tipo Montecarlo de un problema de probabilidad sencillo y
se ve el potencial de este método para atacar problemas en diversas áreas de las
ciencias sociales, económicas, médicas, etc.
Sucesión
La familia Ortiz de 5 integrantes quiere ahorrar para la fiesta de fin de año del 2010, donde cada integrante se comprometió a aportar $50 pesos semanales. Si
en la primera semana de enero comienzan el ahorro, cuánto tendrán para la última
semana de diciembre.
Solución:
Sucesión 250 , 500 , 750 , … ,
Término 1 2 3 48
Fórmula 1 250 , 2 250 , 3 250 , 48 250
Fórmula general: 250 , donde es la semana de ahorro.
83
Sucesión
Con figuras
Para el fin de año se tendrá un ahorro de 48 250 = $12,000.
Ejemplo:
La familia Ortiz como cada año decide ahorra para la fiesta de fin de año, pero
como cuidan mucho su dinero, han decido tener un colchoncito para el ahorro del
próximo año, es decir en diciembre del 2010 no se van a gastar todo, por lo que al
inicio del 2011 tienen $2000 y además como todo ha subido de precio han
decidido que para el 2011 el ahorro semanal será de $60 por cada integrante.
¿Cuánto tendrán para el fin del año 2011?
Solución:
La sucesión que representa el ahorro del 2011 es: 2000 , 2300 , 2600 , … , 2000 48 300
Así la fórmula que representa el ahorro familiar de cada semana es 2000 160 , donde representa el número de semana de ahorro.
Así para el final del 2011 tendrán de ahorro $16,400.00.
Sucesiones de figuras
Si se tiene la siguiente sucesión de figuras
, ,
84
Encontrar la fórmula que determine el número de cuadros en cada uno de los
términos de la sucesión.
Sucesión
Términos 1 , 2 , 3
Número de figuras 4 , 4 , 4
4 , 4 , 4
Fórmula general: 4 , donde es el número de término en la sucesión.
Ejemplo 1:
¿Cuántas figuras tiene el 7º término de la sucesión?
Solución:
Basta con sustituir el valor de 7 en la variable , como sigue 4 4 4096.
En el 7º término de la sucesión, hay 4096 figuras.
Ejemplo 2:
Si se tiene una bacteria inicialmente y la población de bacterias se duplica cada
hora. ¿Cuántas bacterias se tendrán en 24 horas?
85
Bacterias por periodo 1 2 4 8
Términos 1°, 2°, 3°, 4°
Horas transcurridas 0, 1, 2, 3
Fórmula de núm. de bacterias 2 , 2 , 2 , 2
Fórmula: 2 , donde es el número de horas.
Ejemplo con figuras:
Si se tiene la siguiente sucesión de figuras, encontrar la fórmula para obtener el
número de cuadros en cada término.
Modelo
86
Solución:
Sucesión
Número de cuadrados 1 4 9 16
Término 1 2 3 4
Número de cuadrados 1 2 3 4
Formula general es , donde es el número de término de la sucesión.
Problema:
Se quiere saber cuántos cuadros tiene el 9º término de la sucesión.
Solución:
Basta con dar el valor de 9 elevado al cuadrado. Por lo que el 9º término es: 9 81 cuadrados.
Ejemplo:
Si se tiene la sucesión 2 , 4 , 6 , … , 2 , dar una representación geométrica de
esta sucesión y encontrar el 7º termino.
87
Solución:
Número de figuras 2 4 , 4 16 , 6 36 Sustitución de fórmula 2 1 , 2 2 , 2 3 Término
Sucesión
Para encontrar el 7º término, basta hacer la variable 7, por lo que el número
de bolas que tendrá el 7º término es: 2 7 14 196 bolas.
Una sucesión ° é , ° é , ° é , ° é , ⋯ es una lista de números u
objetos, donde a cada elemento de la lista se le llama término. Diremos que una
sucesión es aritmética cuando la diferencia entre dos términos consecutivos es
constante.
Ejemplos:
1. En el ahorro de dinero semanal de $250 pesos, la sucesión que nos da es
aritmética pues si observamos la sucesión $250 , $500 , $750 , … al
restar
88
$500 $250 $250 $750 $500 $250. Por lo que esta sucesión es aritmética.
2. De números 25° , 19° , 13° , 7°, …, también observemos que si 7° 13° 6 13° 19° 6 19° 25° 6
Por lo que esta sucesión es aritmética.
Diremos que una sucesión es geométrica cuando el cociente entre dos
términos consecutivos es constante.
1. Roberto mete al banco $2500 a un interés mensual del 5% en un plan en el
que cada mes puede reinvertir los intereses.
Al final del primer mes tendrá 2500 2500 0.05 2625.
Al reinvertir esta cantidad el siguiente mes, al final del segundo mes, tendrá 2625 2625 0.05 2756. 25
y en un mes más tendrá 2756. 25 2756. 25 0.05 2894. 06. Analizamos los cocientes de dos términos consecutivos de la sucesión $2500 , $2625 , $2756.25 , : 2756.252625 1.05 26252500 1.05
Entonces la sucesión es geométrica.
89
**¿Cuánto se tendrá al final del 12° mes?: 2500 1.05 4489. 64
Por lo tanto, al final del 12° mes tendrá $4489. 64. 2. De los números 10° , 50° , 250° , 1250° , …, también observemos que si 1250250 5 25050 5 5010 5.
Por lo que esta sucesión es geométrica.
Además, esta sucesión se puede ver como: 2 5° , 2 25° , 2 125° , 2 625° , …
Es decir, 2 5° , 2 5° , 2 5° , 2 5° , De esta sucesión el 10° término es: 2 5 19 531 250.
Veamos la siguiente tabla donde se muestran las energías relativas de los
diferentes subniveles electrónicos, para la configuración electrónica de elementos
químicos. Los subniveles son: " ", " ", " " y " ". Por ejemplo para obtener
: 1 , 2 , 2 , 3 , 3
90
NIVELES DE ENERGÍA
SUBNIVELES " "
ORVITALES " "
ELECTRONES MÁXIMO EN EL NIVEL
1 0 1 0 2
2 0 1
1 0
3 1, 0, 1
26
3 0 1 2
1 0
3 1, 0, 1
5 2, 1, 0, 1, 2
26 10 18
Actividad:
En las siguientes tablas se muestran hidrocarburos:
1. Llenar la siguiente tabla
Alcanos: saturados que se forman de enlaces simples de cadena abierta.
91
ALCANOS ENLACES SIMPLES
Metano
C
Etano
C C
Propano
C C C
Butano
______ ______
Pentano
______ ______
Fórmula general para cuando hay carbonos en los alcanos es:
______ ______
92
2. Llenar la siguiente tabla
Alquenos: insaturados que se forman de uno o más dobles enlaces entre
carbonos.
ALQUENOS ENLACES INSATURADOS
Eteno
∖ C C ∖
Propeno
∖ C C C
Buteno
______ ______ ∖ C C C C
Penteno
______ ______
Fórmula general para cuando hay carbonos en los alquenos es:
______ ______
93
3. Llenar la siguiente tabla
Alquinos: insaturados que se forman uno o más triples enlaces entre carbonos.
ALQUINOS ENLACES INSATURADOS
Etino
C C
Propino
C C C
Butino
______ ______ C C C C
Pentino
______ ______
Fórmula general para cuando hay carbonos en los alquinos es:
______ ______
94
Medidas de tendencia central.
Seguramente la medida de tendencia central más conocida es el promedio o media, que se obtiene al sumar todos los valores de una variable aleatoria y dividir el resultado entre el número de valores.
Los alumnos entienden bien este concepto cuando hablan del promedio de calificaciones. Veamos unos ejemplos:
La siguiente tabla muestra las calificaciones que obtuvieron cinco alumnos en cuatro exámenes.
ex 1 ex 2 ex 3 ex 4
Roberto 9 8 6 7
Cristina 6 7 8 9
Felipe 5 10 9 9
Ana 8 8 9 8
Raúl 10 10 7 6
Para cada uno de los alumnos, podemos calcular su calificación promedio, por ejemplo, para Roberto: 9 8 6 74 304 7.5. Podemos completar la tabla añadiendo una columna que contenga los promedios de calificaciones de los alumnos.
ex 1 ex 2 ex 3 ex 4 Prom
Roberto 9 8 6 7 7.5
Cristina 6 7 8 9 7.5
Felipe 5 10 9 9 8.25
Ana 8 8 9 8 8.25
Raúl 10 10 7 6 8.25
Observamos que dos de ellos tienen 7.5 y los otros tres tienen 8.25.
Para seguir analizando la información de las calificaciones, podemos hacer gráficas lineales de las calificaciones.
95
Aquí es conveniente usar gráficas lineales, pues, una sola gráfica nos permite ver el comportamiento de los 5 alumnos, y además podemos ver la evolución de sus calificaciones en el tiempo.
Por ejemplo, aunque Roberto y Cristina tienen la misma calificación promedio, 7.5, Roberto empezó bien el año, pero ha ido bajando sus calificaciones, en cambio Cristina, que empezó mal, ha hecho un esfuerzo mes a mes para mejorar.
¿Qué se puede decir de Felipe, Ana y Raúl en este sentido?
Medidas de dispersión.
Otro análisis estadístico que se puede hacer es ver qué tan dispersos están los datos.
Veamos el caso de Felipe, Ana y Raúl. Los tres tienen 8.25 de promedio.
La siguiente tabla muestra las gráficas de las calificaciones de los tres, y hay una línea punteada a la altura del promedio.
Comparando las tres gráficas de las calificaciones vemos que las calificaciones de Ana se mantienen más cerca de la línea del promedio que las otras dos.
Decimos entonces que las calificaciones de Felipe y Raúl están más dispersas que las de Ana.
4
5
6
7
8
9
10
ex 1 ex 2 ex 3 ex 4
Roberto
Cristina
Felipe
Ana
Raúl
96
Para poder decir qué tan dispersa es una serie de datos, se utilizan la varianza y la desviación estándar.
Veamos como calcular cada una.
Para calcular la varianza:
1. Se calcula la diferencia entre cada uno de los valores de la serie y el promedio de ella.
2. Se elevan al cuadrado cada uno de estos números. De esta manera, todos estos resultados serán positivos.
3. Se calcula el promedio de estos últimos.
Veamos con calma el caso de Felipe.
Sus calificaciones son 5, 10, 9 y 9 y su promedio es 8.25.
Calif Diferencia 5 5 8.25 3.2510 10 8.25 1.759 9 8.25 0.759 9 8.25 0.75
En la tabla se muestran las diferencias de cada una de las calificaciones y el promedio.
Elevamos al cuadrado cada uno de estos resultados.
4
5
6
7
8
9
10
ex 1 ex 2 ex 3 ex 4
Felipe
Ana
Raúl
Promedio
97
Calif Diferencia Cuadrado5 3.25 10.562510 1.75 3.06259 0.75 0.56259 0.75 0.5625
Y finalmente, calculamos el promedio de estos cuadrados, para ello, los sumamos y el resultado lo dividimos entre 4. 10.5625 3.0625 0.5625 0.5625 14.75 14.754 3.6875
Este número no nos dice mucho, pero si calculamos la varianza de las calificaciones de Ana y Raúl.
Ejercicio
Completar las siguientes tablas para encontrar la varianza de las calificaciones de Ana y Raúl.
Ana Promedio 8.25
Calif Diferencia Cuadrado8 8 9 8
Suma
Varianza
Raúl Promedio 8.25
Calif Diferencia Cuadrado 10 10 7 6
Suma
Varianza
La varianza de cada serie de calificaciones es:
Nombre Varianza
Felipe 3.6875
Ana 0.1875
Raúl 3.1875
98
Esta tabla indica claramente que la varianza de las calificaciones de Ana es mucho menor que las de Felipe y Raúl, y estas dos últimas son bastante parecidas, siendo ligeramente mayor la de Felipe.
Vea nuevamente la gráfica donde aparecen estas tres series de calificaciones para tratar de interpretar los tamaños de estos números con el concepto de estar disperso o no.
Control de calidad
Una aplicación de la Varianza
Una empresa de pastelitos guarda un pastelito de cada lote que produce para ver cuántos días permanece fresco.
Como obtiene la siguiente tabla:
Esto es, sus pastelitos duran en promedio, poco más de 5 días, pero su varianza es bastante grande. Observamos que hay pastelitos que duran únicamente 3 días, mientras que otros duran hasta 9 días.
La empresa de la competencia hace el mismo estudio de control de calidad y obtiene los siguientes resultados
Observamos que aunque el promedio de duración es ligeramente menor, ya que es de poco menos de 5 días, la varianza es bastante menor. Es decir, su producto es más homogéneo.
Lote Duración
1 5 0.04 2 6 0.64 3 4 1.44 4 7 3.24 5 6 0.64 6 3 4.84 7 9 14.44 8 4 1.44 9 5 0.04
10 3 4.84
Promedio ̅ 5.2 Varianza 3.16
Lote Duración
1 5 0.04 2 4 1.44 3 6 0.64 4 7 3.24 5 6 0.64 6 4 1.44 7 4 1.44 8 4 1.44 9 5 0.04
10 4 1.44
Promedio ̅ 4.9 Varianza 1.18
99
Lo más importante para el control de calidad de un producto es su homogeneidad, y ésta se mide usando la varianza.
Podemos observar en la siguiente gráfica, cómo la curva roja, que corresponde a la segunda empresa, es mucho más suave que la azul de la primera empresa.
En el caso de los pastelitos, buscamos que todos sepan igual, que tengan la misma proporción de crema que de chocolate, que sean del mismo tamaño y el decorado sea igual, etc.
En el caso de la ropa, buscamos, por ejemplo, que las tallas sean correctas, así si nos medimos una camisa de cuello 14 y nos queda bien, esperamos que todas las camisas de esa marca, aunque sean de diferente modelo, nos queden igual de bien.
Un fabricante de teléfonos celulares le pide al fabricante de pilas que éstas duren dos años, con una varianza muy pequeña, ya que no quiere soportar reclamos de los clientes porque sus pilas únicamente duraron un año.
Probabilidad
Simulación.
Ya hemos visto en cursos anteriores que la probabilidad de sacar águila en un volado es
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Empresa 1
Empresa 2Dura
ción
Lote
100
á 12
y aunque suene un poco extraño, si han salido varias águilas seguidas, por ejemplo, 3 águilas, la probabilidad de que la siguiente tirada sea águila sigue siendo 1 2⁄ .
Sin embargo, el hecho de que la probabilidad de sacar águila es 1 2⁄ , significa que a la larga, si lanzamos muchos volados, más o menos la mitad van a ser águilas y el resto van a ser soles.
Podemos hacer una simulación en clase.
Todos los alumnos lanzan 10 volados y registran cuántas águilas y soles obtuvieron, y luego, en el pizarrón se anotan los resultados de cada uno de ellos y se suman todas las águilas y soles que se obtuvieron
Por ejemplo
Se lanzaron en total 60 volados, de los cuales 28 fueron águilas. El cociente á 2860 0.466
es bastante cercano a
á 12 0.5
Claramente, cada vez que hagamos el experimento, saldrán valores distintos, pero si se hace un número grande de veces, el resultado será cercano a 0.5.
Hagamos ahora estas simulaciones en una computadora. Para ello, utilizaremos una hoja electrónica, por ejemplo, Excel u OpenOffice.
Alumno Águilas Soles Pepe 4 6 Lucía 3 7
Andrés 5 5 Adriana 6 4 Carlos 4 6 Cecilia 6 4 Suma
101
Daré las explicaciones usando Excel, pero en OpenOffice los pasos son muy similares.
1. Escribir 1 en la celda A1, y 2 en la celda A2. 2. Marcar las celdas A1 y A2, y poner el cursor en la esquina inferior derecha
de A2, hasta que tome la forma de una cruz +. Arrastrar el cursor hacia abajo, hasta el renglón 10, manteniendo oprimido el botón izquierdo del ratón. El resultado de esta operación es que en las celdas A3 hasta A10 deben aparecer los números 3 al 10.
3. Las hojas electrónicas tienen un generador de números al azar o aleatorios. En la celda B1 escribimos =ALEATORIO.ENTRE(0,1) para indicar que queremos generar un número aleatorio entre 0 y 1. No olvide empezar con el signo =.
4. Copiamos la celda B1 a las celdas B2 a B10. Con esto aparecerán en estas celdas ceros y unos. Observe que cada vez que escribe algo en cualquier otra celda, u oprime la tecla F9, estos números cambian, ya que la computadora vuelve a generar los números aleatorios.
5. La computadora está echando volados, pero en lugar de que el resultado sea águila o sol, el resultado es 0 o 1. Podemos identificar los unos con águila y los soles con 0.
102
6. En la celda A1 escribe la palabra “Aguilas” y en la celda B1 la fórmula =SUMA(B1:B10) para indicar que queremos que ahí ponga la suma de estas celdas. Note que como hay unos y ceros, en realidad estamos contando los unos.
Cada vez que oprimimos F9, cambian los unos y ceros, y cambia el valor de esta suma.
El procedimiento que acabamos de hacer se llama “Simulación de Montecarlo” en referencia al casino más famoso del mundo, que se encuentra en el principado de Mónaco, en su capital Montecarlo.
Las simulaciones de Montecarlo se utilizan en muchas ramas del quehacer humano, como las Finanzas, Medicina, Ingeniería, Demografía, etc. Ya que nos permiten simular procesos una infinidad de veces y predecir cómo va a ser el comportamiento de una variable, por ejemplo, precio de una acción, respuesta de los enfermos a un medicamento, resistencia de un puente, crecimiento de la población de una ciudad como resultado de un beneficio social, etc. En la práctica, las simulaciones de Montecarlo se hacen decenas de miles de veces. Si la hoja de cálculo no es suficientemente poderosa para realizarlas, hay que hacer un programa en algún lenguaje de programación adecuado.
Hagamos ahora nuestra simulación más interesante.
7. Marcamos las celdas B1 a B11 y oprimimos el ícono de “Copiar” (Ctrl-C) 8. Marcamos las celdas C1 hasta K11 y oprimimos el ícono “Pegar” (Ctrl-V).
De esta manera se copiaron las celdas de la columna B a las columnas C a
103
K. En todas ellas deben aparecer unos y ceros en los dos primeros renglones y la suma en el renglón 11.
9. Observa nuevamente que al oprimir F9 cambian todos los resultados. Podemos pensar en que cada columna representa a un alumno de la clase y su renglón 11 el número de águilas que obtuvo al lanzar 10 volados.
10. Recuerde que en el pizarrón los alumnos escribieron el total de águilas que obtuvo cada uno y encontraron el cociente del número de águilas entre el número de volados. Nosotros podemos hacer esto en la computadora.
11. En la celda A12 escribimos la palabra “Promedio” y en la celda B12 la fórmula =PROMEDIO(B10:K10)
12. El resultado será el promedio del número de águilas que hay en cada columna.
Que debe ser un número cercano a 5.
13. Finalmente, vamos a hacer ahora una gráfica de barras con el renglón de las sumas (renglón 11). Marcamos el renglón 11, desde la celda A1 hasta la celda K11 y seleccionamos “Insertar” “Gráficos”. Elegimos el estilo “Columna” más sencillo y oprimimos la tecla INTRO. Como resultado debe aparecer una gráfica similar a la siguiente, en la cual, cada barra representa a un alumno y la altura de cada barra es el número de águilas que obtuvo en la simulación. Observe que al oprimir F9 cambian todos los datos y la gráfica.
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Águilas
Águilas