Curso:

Fortalecimiento del pensamiento

matemático en los alumnos de

primer grado de secundaria

GUÍA DEL PARTICIPANTE

El curso Fortalecimiento del pensamiento matemático en los alumnos de primer grado de secundaria fue

elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación

Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública

Mtro. José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Básica

Lic. Leticia Gutiérrez Corona Directora General de Formación Continua de Maestros en Servicio

Dra. Jessica Baños Poo Directora de Desarrollo Académico

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Dr. José Narro Robles Rector

Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario General

Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez Secretaria de Desarrollo Institucional

Dr. Ramón Peralta y Fabi Director de la Facultad de Ciencias

Coordinación General

Lic. Leticia Gutiérrez Corona Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez

Coordinación Académica

Dra. Jessica Baños Poo Dr. Jesús Polito Olvera

Ing. Alma Lucia Hernández Pérez

Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza

Autores

Dr. Fernando Brambila Paz Lic. Gabriel Gutiérrez García

Dr. Carlos Hernández Garciadiego M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza

Lic. Rosario Santillán Baltazar

Revisión

Lic. Martha Leticia Hernández Arrieta Dr. Fernando Brambila Paz M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza

Diseño de Portada

LDG Ricardo Muciño Mendoza

Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente.

D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite

PREFACIO

Un indicador del desarrollo de un país es el nivel de conocimiento matemático que tiene. A mayor dominio de las matemáticas, mayor es su desarrollo. Por otro lado tenemos que la manera en la que se han enseñado las matemáticas en México hace que gran parte de la población deciden hacer en la vida, algo en lo que ellos piensan que no tiene que hacer matemáticas.

El enfoque a nivel secundaria durante los últimos 40 años, ha sido alrededor del concepto abstracto del álgebra, su mecanización, ecuaciones de primer grado, segundo grado y ecuaciones simultáneas. Por el lado de la geometría, localización de puntos, vectores, rectas y raíces de la ecuación de segundo grado.

Con esta manera de enseñar la matemática obtenemos estudiantes que desconocen cómo usar estas herramientas a problemas reales y cotidianos. Que no ven la conexión entre el álgebra y la geometría. Solo usan un concepto por problema y no saben combinar razonamiento y conceptos para resolverlo. Esto es; el aprendizaje matemático se queda inconcluso. Gran parte de la población decide hacer en la vida

En este libro pretendemos profundizar en el razonamiento matemático, ver con más claridad la analogía entre el álgebra y la geometría, hacer generalizaciones, aplicaciones a problemas de los conceptos que se van estudiando. Incluir el uso de la probabilidad, estadística, azar. Ver la belleza y la fuerza de las matemáticas.

Los resultados de los exámenes de ENLACE y de PISA muestran que por regiones del país se tiene mejor dominio del Álgebra o de la Geometría. Pero en general, los alumnos en México tienen deficiencias en resolver problemas reales, usar dos o más conceptos para resolverlo.

Un efecto esperado de este libro es el de quitar el miedo por las matemáticas, ver su belleza, ver su importancia para resolver problemas de la vida cotidiana y finalmente lograr un mayor desarrollo para México.

1

Unidad I. Razonamiento

Diversas estrategias para resolver problemas usando dibujos,

aritmética, álgebra, geometría o simplemente un razonamiento lógico.

Se incluyen sucesiones de números y de figuras y problemas

geométricos que involucren mediatrices y bisectrices.

2

Introducción

En esta unidad empezaremos a trabajar con problemas de sucesiones en los

cuales en el primero se plantea un problema de ahorro de dinero seguido de dos

problemas de sucesiones de figuras geométricas. Después planteamos problemas

que se relacionan con la vida cotidiana, donde se utiliza el concepto de

porcentajes relacionado con los descuentos en el precio de cierto artículo.

Veremos cómo construir geométricamente la raíz cuadrada de un número entero y

algunos otros problemas geométricos y sus aplicaciones.

Problemas de sucesiones

Pedro ha decidido juntar $1050.00 para comprar un juguete, su papá le da 50

pesos y su mamá tan sólo le da $25 de domingo. Si decide juntar sus domingos.

¿En cuántas semanas tendrá su juego?________________________________.

Solución:

es decir, tiene $75 pesos. 1ra. Semana

es decir, tiene $150 pesos. 2da. Semana

Observemos que nos queda la siguiente sucesión que representa el ahorro: $75 , $150 , $225 , ….

Lo que queda preguntarnos es ¿cuándo 75 1050? viendo a como semanas.

Es decir, qué número multiplicado por 75 nos da 1050, o bien el número

Sucesión de Ahorro

Semana

3

105075 14. Como Pedro es un poco desesperado, ha encontrado otra forma de obtener el

dinero para su juguete. Piensa que si va con sus tíos a pedirles $15 de domingo,

lo puede hacer de la siguiente manera: a su tío Javier le pide en 1ª, 2ª, 3ª, …

semanas, a su tío Jorge le pide en 2ª, 3ª,4ª, … semanas, a su tío Felipe le pide en

3ª, 4ª, 5ª,... semana, y así sucesivamente, pensemos que tiene suficientes tíos

para que cada semana pueda pedirle a un tío más hasta completar para el

juguete..

¿Cuántas semanas tendrán que transcurrir para que Pedro tenga su juego?_____

Solución:

1ª Semana: tiene $90.

á

2ª Semana: tiene $150 $45 $195.

á

4

3ª Semana: ¿tiene?

á Como cada semana, cuando le dan dinero sus tíos, siempre le dan una moneda

de $10 y una de $5, puede contar el dinero que le dan sus tíos de la siguiente

manera:

Supongamos que las monedas de $10 que le dan sus tío(s) cada semana, las

representamos con bolas negras.

1ª semana tendrá $10 $10.

2ª semana tendrá $10 $30.

3ª semana tendrá $10 $60.

Lo mismo sucede con las monedas de $5 que le dan sus tíos, si representamos

ahora las monedas de $5 con las bolas grises en la tercera semana tendrá 6

monedas de $5 que son $30.

5

Pero como el número de monedas de $10 y de $5 son las mismas se pueden

juntar las cuentas como sigue:

$10 $5 3 42 $15 3 42 $90. Lo que tiene Pedro para la tercera semana es:

3 $75á $15 í $225 $90 $315.

Ejercicios

1. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 5ª semana si decide pedir a sus

tíos domingo?________________________.

2. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 7ª semana si decide pedir a sus

tíos domingo?________________________.

3. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 8ª semana si decide pedir a sus

tíos domingo?________________________.

4. ¿Cuánto reducirá Pedro el tiempo de ahorro si decide pedir a sus tíos

Aprendizaje: Si se tiene una cantidad fija y se forma la sucesión p , 2p , 3p , . . ., es muy fácil dar

el -ésimo término, pues este es .

Representemos lo anterior con figuras:

Para 1: para 2:

6

Veamos otro ejemplo:

Si la cantidad aumentada ya no es fija, pero tiene un cierto comportamiento como

el siguiente:

El número de figuras que aparecen en la siguiente sucesión es: 1, 3, 6, 10,

Número de triángulos 1, 3, 6, 10

En el caso general si se tiene la sucesión 1, 3, 6, 10, …, cualquier término se puede

obtener con la fórmula: 12 , donde es el número del término. Por ejemplo si queremos saber cuántas figuras

aparecerán en el octavo término, basta con poner 8 y el número de triángulos

que tendremos es: 8 92 36. Pero no todo termina aquí, pues se pueden hacer más modificaciones a las dos

sucesiones anteriores.

Ejemplo:

Si se tiene la sucesión: 8, 1, 6, 13, …, observemos que:

Veamos que para obtener el 2º término que es 1, hacemos 8 7 1, para

obtener el 3º término a partir del primero 8 2 7 o bien a partir del 2º término

que es 1, calculamos 1 7 6.

, , ,Término 1 2 3 4

Sucesión de figuras

7

Si de ésta sucesión se quiere saber el término 30, hay que aumentar 29 sietes al

número 8 que es el primer término de la sucesión. Es decir, 8 29 7 195.

También es importante resaltar que en lugar de ir aumentando la cantidad fija se

puede ir disminuyendo.

Ejemplo:

Si Diego decide comprar una televisión de $5000 dando un enganche de $750 y $250 quincenalmente, ¿Cuánto habrá pagado Diego dentro de 6 meses?

Solución:

La sucesión que tenemos es:

Como 6 meses tienen 12 quincenas, entonces 4250 12 250 1250.

Ejercicio

1. ¿Cuándo terminará de pagar Diego la televisión?

2. Hacer 2 ejercicios que tenga que ver con una sucesión, donde en una vaya

aumentando y la otra disminuyendo.

Lo mismo puede suceder con sucesiones de figuras. Veamos algunos ejemplos.

Sucesión

Término

Podemos hacer muchas preguntas con respecto a ésta sucesión, por ejemplo:

• ¿Cuál es la siguiente figura? lo cual es muy fácil resolver, pues podemos

dividir los sectores sombreados de la primera figura como sigue:

8

El sector 1 se moverá a partir del 2º término cada 3 términos, por lo que la siguiente figura es:

• ¿En qué término, la figura regresa a la posición inicial?

Ésta se puede separar en tres sucesiones: la sucesión del sector 1, la del

sector 2 y la del sector 3, es decir:

Sucesión

Sector 1

Término 1º 2º 3º

Observemos que a partir del 2º término el sector 1 se mueve una posición

cada 3 términos y como hay que mover 7 posiciones a partir del 2º término

el sector 1, para que regrese a la posición original, entonces esto sucede en

el 2 7 3 23º término.

3 21

9

Sucesión

Sector 2

Término 1º 2º 3º

Observemos que a partir del 3º término el sector 2 se mueve dos posiciones

cada 3 términos y como hay que moverlo 3 posiciones a partir del 3º

término, para que vuelva a quedar en la posición original, entonces esto

sucede en el 3 3 3 12º término.

Sucesión

Sector 3

Término 1º 2º 3º

El tercer sector se mueve de tres en tres, en el tiempo 4, está en la posición

4, el tiempo 7 está en la posición 7, pero como el círculo está dividido en 8

sectores, si a partir de la posición 7 se mueve 3 posiciones, llega a la

posición 2.

La siguiente tabla muestra las posiciones que tiene el sector en cada

tiempo.

Así que en el término 25º regresa a la posición original.

Tiempo 4 7 10 13 16 19 22 25

Posición 4 7 2 5 8 3 6 1

4 7 10

,,3

3

3

10

Tenemos que encontrar ahora el mínimo común múltiplo de 23, 12 y 25

para ver en qué momento regresan todos los sectores a su posición

original. 23 23, 12 2 3 y 25 5 . Estos tres números no tienen factores primos comunes, así que su mínimo

común múltiplo es 23 12 25 6900.

Por lo tanto, en el término 6900º de la sucesión, la figura es igual a la

original.

En general si se tiene una sucesión donde los términos son:

, , 2 , … el -ésimo término es 1 é . Esta sucesión es llamada

sucesión aritmética donde la resta de dos términos consecutivos es

Por ejemplo: 2 2

, , 2 , … el -ésimo término es 1 .

Ejercicio: Se tiene la siguiente sucesión de figuras

a) ¿Cuál es el término que sigue de la sucesión? _______________________

b) ¿Cuál es el 35º término de la sucesión?____________________________

1 2 3 4

11

Problemas diversos

A continuación veremos distintos tipos de problemas. Algunos se resuelven utilizando aritmética, otros con geometría y los dos últimos con razonamiento lógico.

1. Por fin de temporada una tienda decide ofrecer la mercancía existente con 20% descuentos. El precio original de una sudadera es $150 y tiene una etiqueta que dice descuento adicional del 10%. ¿La sudadera tiene un descuento del 30% del precio original? Solución: Calculamos primero el precio de la sudadera con un descuento del 20%. Una manera de hacer esto es calcular el 80% del precio original, es decir, 150 0.8 120. Ahora calculamos el descuento adicional del 10%, es decir, calculamos el 90% del precio de descuento 120 0.9 108. Para saber si la sudadera tiene el 30% de descuento del precio original, calculamos 150 0.70 105. Por lo tanto, la sudadera no tiene un descuento del 30% del precio original y sería más barata si lo tuviera.

Ejercicio: Resolver el siguiente problema.

2. Por fin de temporada una tienda decide ofrecer la mercancía existente con 10% descuentos. El precio original de un pantalón es $275 y tiene una etiqueta que dice descuento adicional del 10%. ¿Cuál es el ahorro en la compra del pantalón?

3. El patio de una escuela mide 50 m de largo por 35 m de ancho. ¿Cuánto costará ponerle mosaico al patio si cuesta $12 el metro cuadrado? Solución: Como el costo del mosaico está dado por metro cuadrado, tenemos que expresar las medidas del patio en metros cuadrado, para esto calculamos la superficie del patio: 50 35 1750.

12

Así el patio mide 1750 m2. Como el metro cuadrado de mosaico cuesta 12 pesos, y ya tenemos el número de metros cuadrados que tiene el patio, entonces 1750 12 21000. Por lo tanto, cuesta $21000 pesos tapizar el patio con mosaicos.

4. Construir geométricamente la raíz cuadrada de 8. Solución: En el plano cartesiano localizamos el 8 en el eje . Sumamos una unidad, es decir, llegamos al 9. Localizamos el punto medio entre el origen y el 9. Con centro en y radio, la distancia de al origen, trazamos un semicírculo como se muestra en la figura.

Levantamos una perpendicular al eje por el 8 y llamamos al punto donde se cortan el semicírculo y la perpendicular. La distancia del 8 a es √8.

Demostración: Llamamos al punto donde está el 8 y al punto donde está el 9. Unimos con un segmento y .

Y

X

2

4

2 4 6 8 9O

M

Y

X

2

4

2 4 6 8 9O

C

M

13

El triángulo ∆ es rectángulo ya que el ángulo subtiende un diámetro del círculo, entonces es recto. De donde ∡ ∡ 90 . Los triángulos ∆ y ∆ también son rectángulos ya que por construcción el segmento es perpendicular al eje . Por ser el triángulo ∆ rectángulo, tenemos que ∡ ∡ 90 . Así ∡ ∡ ∡ ∡ , de donde ∡ ∡ . Por lo tanto, como los triángulos ∆ y ∆ son semejantes ser rectángulos y tener un segundo ángulo igual. Entonces tenemos que

. Pero, 1 y 8, de donde 8 1 8 ⋅ √8 .

Y

X

2

4

2 4 6O

C

M A B

14

Sigamos los pasos utilizados en la construcción anterior para ver geométricamente que los números reales negativos no tienen raíz cuadrada.

Hagamos la construcción para el 5.

En el plano cartesiano localizamos el 5 en el eje . Sumamos una unidad, es decir, llegamos al 4. Localizamos el punto medio entre el origen y el 4. Con centro en y radio, la distancia de al origen, trazamos un semicírculo. Levantamos una perpendicular al eje por el 5.

Observamos en la figura que la recta perpendicular nunca corta al círculo.

Ejercicio:

5. Construir geométricamente √11.

6. Si se invierten $500 a un interés del 3% anual, ¿cuánto dinero se tendrá después de 7 años? Solución: El interés que producen los 500 pesos al 3% anual es 500 0.03 15. La cantidad de dinero que se tiene al final del primer año es: 500 500 0.03 500 1 0.03 515. Si se reinvierten el capital inicial más los intereses generados el primer año, por un año más, al final del segundo año se tiene 500 1 0.03 1 0.03 500 1 0.03 530.45. Si se reinvierte esta cantidad por un año, al final del tercer año se tiene

Y

X

M

-2-4-6

4

2

-5

15

500 1 0.03 1 0.03 500 1 0.03 546.36. Si se sigue reinvirtiendo de esta manera al final del -ésimo año, se tiene 500 1 0.03 . Entonces al final del séptimo año se tendrá 500 1 0.03 614.94. Por lo tanto, al invertir 500 pesos al 3% anual durante 7 años se tendrán 614.94 pesos.

7. En un multifamiliar hay 100 departamentos. 15 de ellos no tienen cuarto de

servicio ni lugar de estacionamiento. 60 tienen cuarto de servicio y 55 tienen lugar de estacionamiento. ¿Cuántos tienen cuarto de servicio y lugar de estacionamiento? Solución: Como 15 departamentos no tienen ni cuarto de servicio ni lugar de estacionamiento, entonces 100 15 85 tienen cuarto de servicio, lugar de estacionamiento o ambos. Puesto que 60 tienen cuarto de servicio y 55 tienen lugar de estacionamiento, y 60 55 115, entonces como 115 es mayor que 100, esto significa que hay un traslape, es decir, que hay departamentos que tienen cuarto de servicio y lugar de estacionamiento. Para saber cuántos departamentos cuentan con ambos, calculamos 115 85 30. Por lo tanto, hay 30 departamentos que tienen cuarto de servicio y lugar de estacionamiento. En el siguiente diagrama representa los que tienen lugar de estacionamiento y los que tienen cuarto de servicio.

16

8. Tengo tres hijos: Daniel, Luis y Pedro. Cada uno de ellos tiene un hijo, los nombres de ellos son José, Ricardo y Mario. Sigue las siguientes pistas y dime cuál el padre de cada uno de mis nietos.

(1) Si Luis no es papá de Ricardo, Daniel es papá de Mario. (2) Si Daniel es papá de José, Pedro es papá de Mario. (3) Si Pedro es papá de Ricardo, Luis es papá de Mario. (4) Si Pedro es papá de Mario, Luis es papá de José.

Solución:

Para solucionar este tipo de problemas, hay que plantear alguna hipótesis y seguirla de acuerdo a las reglas del problema, hasta que o bien se llegue a la solución correcta o se llegue a una contradicción. Por ejemplo:

• Si Daniel es papá de Ricardo, entonces Luis no es papá de Ricardo y por (1), Daniel es papá de Mario. Esto es una contradicción ya que estamos suponiendo que Daniel es papá de Ricardo.

• Si Daniel es papá de José, entonces por (2) Pedro es papá de Mario y por (4) Luis es papá de José. Esto es una contradicción porque estábamos suponiendo que Daniel es el papá de José.

E

C

15

D L P

J R M

D L P

J R M

17

• Si Daniel es papá de Mario, entonces: o Si Luis no es papá de Ricardo, solo le queda ser de José y por

(1) Daniel es papá de Mario, pero entonces Pedro tiene que ser el papá de Ricardo. Por (3) esto implicaría que Luis es papá de Mario lo cual es una contradicción.

o Si Luis es papá de Ricardo, entonces Pedro tiene que ser papá de José. Esta solución no lleva a ninguna contradicción con las hipótesis.

D L P

J R M

D L P

J R M

18

Problemas geométricos

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa

por su punto medio.

Veamos cómo se puede construir con regla y compás.

Dado el segmento

Trazamos dos circunferencias, una con centro en y radio la longitud del

segmento , y la otra con centro en y de radio la longitud del segmento .

La recta que une los puntos de intersección de dichas circunferencias es la

mediatriz del segmento.

Los dos problemas siguientes son fundamentales en el estudio de las mediatrices

Problema:(Usando congruencia de triángulos)

Si es un punto que está sobre la mediatriz del segmento , entonces .

BA

A B

19

Solución:

Unimos el punto con los puntos y formándose así los triángulos ∆ y ∆ .

Veamos que estos dos triángulos son congruentes.

Por un lado , ya que es el punto medio del segmento . Por otro lado es un lado común de ambos triángulos, y el ángulo entre

dichos lados es de 90°, así que por , ∢, son congruentes y por lo tanto los

lados homólogos y son iguales.

Problema: (Usando el teorema de Pitágoras)

Si tenemos un punto , que está a la misma distancia de otros dos puntos y ,

es decir, , entonces está en la mediatriz del segmento que une con .

PM BA

P

PM BA

P

20

Solución:

Nota: Este problema es el reciproco del problema anterior.

Unimos los puntos y con un segmento y trazamos la perpendicular a este

segmento que pase por , siendo el pie de esta perpendicular en el segmento

. De esta manera, obtenemos dos triángulos ∆ y ∆ .

Veamos que estos dos triángulos son congruentes

Sabemos por hipótesis que ya que está a la misma distancia de los

puntos y .

Además es un lado común de ambos triángulos y como los dos triángulos son

rectángulos, ya que el segmento es perpendicular a los segmentos y ,

podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, a los dos triángulos:

y . Así (puesto que , es decir, el otro cateto correspondiente a

cada triángulo también tiene que ser igual, por lo que los triángulos ∆ y ∆ resultan ser congruentes.

A B

P

M BA

P

21

Como consecuencia tenemos que los lados homólogos y

correspondientes a cada triángulo resultan ser iguales, es decir, . Por lo tanto, está en la mediatriz del segmento . Nota: Este problema justifica la construcción con regla y compás de la mediatriz.

Problema: (Usando los problemas fundamentales mediatrices)

Si , y son las tres mediatrices de un triángulo ∆ con respecto a

los lados , y respectivamente, entonces dichas mediatrices son

concurrentes

Solución:

Consideremos sólo dos de las mediatrices. Sin pérdida de generalidad

supongamos que son las mediatrices y . Llamamos al punto de

intersección de ambas (hay punto de intersección entre ambas mediatrices, ya que

en caso contrario las mediatrices y serían paralelas, pero esto solo

sucede si y también son paralelos), lo cual no es posible, pues no se

formaría el triángulo ∆ .

mAB

mCA

mBC

O

A B

C

22

son paralelas no son paralelas

Como, es el punto de intersección de las mediatrices y , por un lado

está en la mediatriz entonces tenemos que (usando el primer

problema fundamental de mediatrices). Análogamente como también está en la

mediatriz tenemos que .

Utilizando la transitividad de la igualdad tenemos que

y usando el hecho del segundo de los problemas fundamentales de mediatrices,

tenemos que , está en la mediatriz , lo que quiere decir que la intersección de

las tres mediatrices está en .

El punto es llamado el circuncentro del triángulo ∆ , y como la distancia de

a cada uno de los vértices del triángulo es la misma, podemos trazar una

circunferencia con centro en y radio la distancia que hay de a cualquiera de

los vértices del triángulo ∆ , está circunferencia es llamada el circuncírculo, la

cual contiene al triángulo.

mCA

mBC

mCA

mBC

O

A B

C

BA

C

C

23

Problema de aplicación.

En una granja hay tres construcciones: la casa, el establo y el corral.

Se quiere construir una cisterna que surta de agua a las tres construcciones. La cisterna debe estar a la misma distancia de cada una de ellas para que la distribución del agua sea equitativa. ¿Dónde debe colocarse la cisterna? Solución: Construimos un triángulo uniendo la casa, el establo y el corral.

mAB

mCA

mBC

OC

BA

casa

establo

corral

casa

establo

corral

24

Trazamos las mediatrices del triángulo, para esto localizamos los puntos medios de los lados y trazamos la perpendicular de cada lado por el punto medio del mismo

Las tres mediatrices se cortan en un punto. Colocamos la punta del compás en este punto y verificamos que hay la misma distancia a las tres construcciones. En el punto donde se cortan las mediatrices es donde hay que construir la cisterna.

.Ejercicio

1. Usando que las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes, justificar

que las tres alturas de un triángulo también son concurrentes.

Recordamos que una altura de un triángulo es una recta perpendicular a la base

que va al vértice opuesto

Es claro que el triángulo tiene tres alturas, considerando cada uno de sus lados

como una base, y el pie de cada altura puede quedar dentro del segmento de la

base o bien puede estar en la prolongación del segmento base.

.

.. C

casa

establo

corral

hAB

altura respecto a la base AB

baseA B

C

25

Hay que justificar por qué las tres alturas , y concurren en el punto H.

Problema: (Usando congruencias de triángulos)

En un paralelogramo, dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes y dos

ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios.

Solución:

Trazamos la diagonal que une el vértice con .

Los triángulos Δ y ∆ son congruentes por , , , por lo que ∢ ∡ . Análogamente si trazamos la otra diagonal que une el vértice con el vértice

tendremos que ∢ ∡ . Y como

hAC

hAB

hBC

H

B

C

A

C

BA

D

C

BA

D

26

∢ ∡ ∡ ∡ 360° ⇒ 2∢ 2∡ 360°. Por lo tanto, ∢ ∡ 180° Análogamente tendríamos que ∢ ∡ 180°, ∢ ∡ 180°, ∢ ∡ 180°. Ejercicio:

1. Si tenemos un paralelogramo con un ángulo recto, entonces el

paralelogramo tiene que ser un rectángulo.

Dado un triángulo ∆ , tenemos que una bisectriz interna del triángulo con

respecto al ángulo ∢ es la recta que divide a este ángulo en dos ángulos

iguales:

Los dos problemas siguientes son fundamentales en el estudio de las bisectrices.

Problema 1: (Usando congruencias de triángulos)

Si es un punto de la bisectriz interna del triángulo ∆ con respecto al ángulo ∢ , entonces este punto está a la misma distancia de los lados del ángulo ∢ , que en este caso serían los lados del triángulo AC y AB.

αα

A B

C

27

Solución:

Llamamos al pie de la perpendicular al lado desde , y al pie de la

perpendicular al lado desde .

Los triángulos ∆ y ∆ son congruentes ya que los tres ángulos homólogos

correspondientes son iguales y además tienen un lado en común, así que

,

es decir, está a la misma distancia de los lados del triángulo AC y AB. Problema 2: (Usando el Teorema de Pitágoras)

Si es un punto en el interior del triángulo ∆ , de tal manera que está a la

misma distancia de los lados del ángulo ∢ , que en este caso son los lados

del triángulo y , entonces está en la bisectriz interna del triángulo ∆

con respecto al ángulo ∢ .

αα

C

BA

P

αα

D

E

A B

C

P

28

Solución:

Nota: Este problema es el reciproco del problema anterior.

Sean el pie de la perpendicular al lado desde el punto y el pie de la

perpendicular al lado desde el punto . Trazamos el segmento del vértice al

punto , obtenemos dos triángulos ∆ y ∆ que resultan ser congruentes:

puesto que está a la misma distancia de los lados y , además

es un lado común de ambos triángulos, y como ambos triángulos son

rectángulos, (los segmentos y son perpendiculares a lados y )

podemos aplicar el Teorema de Pitágoras a los dos triángulos

y . De donde , es decir el otro cateto correspondiente a cada triángulo

también tiene que ser igual, por lo que los triángulos ∆ y ∆ resultan ser

congruentes, es decir, ∆ ≅ ∆

E

D

C

BA

P

E

DA B

C

P

29

y por consiguiente los ángulos homólogos ∢ y ∢ cumplen ∢ ∢ . Por lo tanto, está en la bisectriz del ángulo ∢ .

Problema: (Usando los problemas fundamentales bisectrices)

Si , y son las tres bisectrices internas con respecto a los ángulos , y

respectivamente del triángulo ∆ , entonces dichas bisectrices son

concurrentes.

Solución:

Consideremos sólo dos de las bisectrices. Sin pérdida de generalidad

supongamos que sean las bisectrices y , siendo el punto de intersección

de ambas (hay punto de intersección entre ambas bisectrices, ya que en caso

contrario las bisectrices y serían paralelas, pero esto sólo sucede si los

ángulos en y suman de 180°), lo cual no es posible, pues no se formaría el

triángulo ∆ .

bA

bB

bC

C

BA

30

interiores son paralelas interiores no son paralelas

Desde el punto (la intersección de y ), trazamos las perpendiculares

hacia los lados , y del triángulo, llamando , y a los pies de estas

perpendiculares, respectivamente.

Como es una bisectriz del ángulo en y usando el hecho del Problema 1 de

bisectrices, tenemos que . Análogamente tenemos que , ya que

es bisectriz del ángulo en . Por la transitividad de la igualdad tenemos que y usando el hecho del

Problemas 2 de bisectrices, tenemos que , está en la bisectriz , lo que quiere

decir que la intersección de las tres bisectrices es en .

El punto es llamado el incentro del triángulo ∆ , y como la distancia de a

cada uno de los lados del triángulo es la misma, podemos trazar una

circunferencia con centro en y radio la distancia que hay de a cualquiera de los

lados, está circunferencia es llamada el incírculo, la cual queda dentro del

triángulo, siendo tangente a cada uno de los lados del triángulo.

bB

bC2α+β = 180°

β

α α

ααα

b C

b B

C

D

EF

I

A B

C

B

31

Ejercicio: (uso de ángulos suplementarios)

2. Dado un triángulo ∆ , tenemos que una bisectriz interna del triángulo con

respecto al ángulo ∢ es perpendicular, a la bisectriz externa respecto

al ángulo externo ∢ del triángulo.

Problema: (Uso de los dos problemas fundamentales de bisectrices)

Si en un triángulo ∆ , se considera la bisectriz interna del triángulo con respecto

al ángulo ∢ , junto con las dos bisectrices externas con respecto a los ángulos

externos ∢ y ∢ del triángulo, tenemos que estas tres bisectrices son

concurrentes.

bB

bC

bA

D

EF

I

C

BA

bA

bAexterior

interior

β

αα

β

C

BAB'

32

Solución:

Consideremos las dos bisectrices exteriores y , siendo el punto de

intersección de ambas (hay punto de intersección entre ambas bisectrices, pues si

las bisectrices exteriores y fueran paralelas, se tendría que los ángulos en y sumarían 180°, pero esto no es posible, pues no se formaría el triángulo ∆ .

exteriores paralelas exteriores no paralelas

Del punto (la intersección de y exteriores), trazamos las perpendiculares

hacia los lados , y del triángulo, llamando , y a los pies de estas

perpendiculares respectivamente.

bA

bC

bB

γ

γexterior

β βαα

interior

exterior

E1

A B

C

A'

A'

bC

bBinterior b B

b C

interior

δ δ

γ

γ

exterior

exterior

b B

b C

α

ββ

α

2α + 2δ = 180° exterior

interior

ββ

exterior γ

γ

E

F

D

C

E1

C

BA

B

A'

A'

33

Como es una bisectriz exterior del ángulo en y usando el resultado del

Problema 1 de bisectrices, tenemos que . Análogamente tenemos que

, ya que es bisectriz exterior del ángulo en . Por la transitividad de la igualdad tenemos que y usando el resultado

del Problema 2 de bisectrices tenemos que , está en la bisectriz interior de , lo que quiere decir que la intersección de las tres bisectrices es en .

El punto es llamado el excentro del triángulo ∆ , y como la distancia de

a cada uno de los lados del triángulo es la misma, podemos trazar una

circunferencia con centro en y radio la distancia que hay de a cualquiera de

los lados, está circunferencia es llamada el excírculo, la cual queda fuera del

triángulo, siendo tangente a cada uno de los lados del triángulo.

De hecho el triángulo ∆ tiene tres excentros y sus correspondientes

excírculos.

Problema de aplicación de bisectrices:

En los alrededores de una población, se encuentran tres carreteras no

concurrentes y se desea construir un módulo para la vigilancia de velocidad

bC

bB

bA

interiorγ

γexterior

β β

exterior

E

F

D

E1

A B

C

A'

A'

34

vehicular, pero se desea que dicho módulo, se encuentre a la misma distancia de

cada una de las carreteras.

¿Dónde debe de construirse el módulo?

Solución:

Los puntos que están a la misma distancia de dos rectas, son los puntos que

están en las bisectrices de los ángulos que forman dichas rectas.

Población

Carretera 3

Carretera 1Carretera 2

bisectriz

bisectriz

35

Si tenemos tres rectas, se tendría que los puntos que están a la misma distancia

de las tres rectas, es donde se cortan las tres bisectrices internas de un triángulo,

las cuales tienen un punto en común (el incentro), y por cada dos bisectrices

externas y una de las internas del triángulo tienen un punto en común llamado ex

centro, (hay tres).

Así que el problema tiene 4 posibles soluciones:

En , , y serían las cuatro puntos donde se pondrían los módulos de

vigilancia.

Ejercicio: (usando bisectrices)

3. Si en un triángulo isósceles trazamos la bisectriz del ángulo que forman

los lados iguales, entonces esta bisectriz es la mediatriz del lado opuesto a

este vértice.

Carretera 3

Carretera 2 Carretera 1

M1

M3

M2M4

36

Ejercicio: (Usando bisectrices)

4. Si en un triángulo ∆ Isósceles, el ángulo que forman los lados iguales

mide 36°, donde los lados iguales son y , entonces la bisectriz en el

ángulo que corta al lado en el punto mide igual a , es decir .

Ejercicio: Para resolverlo usamos

(Bisectrices y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°)

5. Las bisectrices interiores de un triángulo no pueden ser perpendiculares

αα

D

C

A B

36°α

α

D

C

A B

37

δ

γγ

ββ

αα

A

B

C

38

Unidad II. Áreas y perímetros

Trazos geométricos de polígonos regulares. Justificación de fórmulas

conocidas. Encontrar nuevas fórmulas y diseñar estrategias para

aproximar áreas y perímetros de figuras diversas.

39

Introducción

Esta unidad empieza con el desarrollo de una construcción con regla y compás de polígonos regulares, que si bien no es exacta nos permite de una manera simple construir los polígonos. A continuación se estudian áreas y perímetros de algunos polígonos. Se manipulan materiales sencillos y espejos para la creación de polígonos regulares. Finalmente se desarrollan paso a paso las fórmulas de los ángulos interiores de polígonos regulares y el número de diagonales que tienen.

Trazos geométricos de polígonos regulares

En esta sección veremos una familia de construcciones que nos permiten dibujar con regla y compás polígonos regulares inscritos en una circunferencia. Estas construcciones no son perfectas, sin embargo, si se hacen con cuidado, el error cometido, para los polígonos hasta de 12 lados es menor que el ancho de la punta del compás.

El primer polígono que trazaremos es el triángulo.

1. Dibujamos una circunferencia con cualquier radio. Trazamos el diámetro de la circunferencia y la secante que pase por uno de los extremos del diámetro, en este caso por el extremo .

2. Con centro en y radio el que sea (pero fijo), tracemos con el compás el

punto , con centro en y la misma apertura del compás, trazamos el punto ′ y con centro en este último punto y la misma apertura del compás trazamos ′′. Es decir, los puntos , y ′′ son los puntos de intersección de la secante y las circunferencias de radio fijo, y centros en , y ’. Veamos la siguiente figura.

secante

diámetro

A

B

C

40

3. Tracemos el segmento ′′ , y la recta paralela a este segmento que pase por ′. Llamemos al punto de intersección de esta paralela con el diámetro.

4. Tracemos las circunferencias de radio con centro en y en ,

llamemos a la intersección de estas circunferencias que está del lado de la secante.

D''D'A

B

CD

ED''D'

A

B

CD

41

5. Tracemos la recta que pasa por los puntos y , y llamemos al punto de

intersección de ésta recta con la circunferencia de diámetro .

ED''D'

F

A

B

CD

G

ED''D'

F

A

B

CD

42

6. El segmento es el lado del triángulo buscado.

7. Tracemos los otros dos lados del triángulo como sigue: con centro en y

radio marcamos sobre la circunferencia de diámetro . El segmento es el otro lado del triángulo y el segmento es el tercer lado del

triángulo.

G

ED''D'

F

A

B

CD

G

ED''D'

F

A

BC

DH

43

El segundo polígono que trazaremos es el cuadrado.

1. Dibujamos una circunferencia con cualquier radio. Trazamos el diámetro de la circunferencia y la secante que pase por uno de los extremos del diámetro, en este caso que pase por el extremo .

2. Con centro en y radio el que sea (pero fijo), tracemos con el compás el

punto ; sin mover la apertura del compás con centro en trazamos el punto ′; con centro en ′ trazamos el punto ′′; y con centro en ′′ trazamos el punto ′′′. Los puntos , , ′′ y ′′′ que son los puntos de intersección de la secante y las circunferencias de radio fijo. Veamos la siguiente figura.

3. Tracemos el segmento ′′′ , además tracemos la recta paralela a este segmento que pase por ′. Llamemos al punto de intersección de esta paralela con el diámetro.

secante

diámetro

A

B

C

D'''D''D'A

B

CD

D'''D''D'A

E

B

CD

44

4. Tracemos las circunferencias de radio con centro en y , llamemos a la intersección de estas circunferencias que se encuentra del lado de la secante.

5. Tracemos la recta que pasa por los puntos y , y llamemos al punto de

intersección de ésta recta con la circunferencia de diámetro .

D'''D''D'

F

A

E

B

CD

G

D'''D''D'

F

A

E

B

CD

45

6. El segmento es el lado del cuadrado buscado.

7. Tracemos los otros dos lados del cuadrado como sigue: con centro en y

radio marcamos ′ sobre la circunferencia de diámetro . El segmento es el 2º lado del cuadrado, con centro en y radio marcamos sobre la circunferencia de diámetro el segmento es el 3º lado del cuadrado. Finalmente el segmento es el 4º lado del cuadrado.

G

D'''D''D'

F

A

E

B

CD

46

Ejercicio

1. Construir el hexágono de la misma forma como se construyeron el triángulo y el cuadrado.

G

ED'''D''D'

F

A

B

CD

H

47

Área

Comenzaremos primero con la noción intuitiva de área de figuras planas, donde se

encierra el siguiente principio, si una figura se corta en un número de piezas

cualquiera y se reacomodan es su totalidad como si se estuviera formando un

rompecabezas para formar una nueva figura, el área de esta última es la misma

que el área de la primera figura. Y se aceptará el hecho de que el área de un

rectángulo es el producto de sus lados.

Intuitivamente pensemos en lo siguiente:

Unidad de superficie: 1 1 1 .

El área de la superficie de la siguiente figura es: 12u , es decir 1u cabe 12 veces

en esta superficie o bien simplemente: 4u 3u 12u .

En general diremos que el área de un rectángulo es .

1u

1u+==

3

4

h=

b =

h

b

48

Mientras que su perímetro es: 2 2 .

La palabra perímetro viene de: peri- alrededor, metrón-medida.

Justificación:

Una manera de justificar que la fórmula del perímetro del rectángulo es perímetro 2 2 , es la siguiente. En una hoja de papel trazamos una recta y sobre esta recta, a la

izquierda de la hoja, trazamos un rectángulo. Nombramos a los vértices del

rectángulo con las letras , , , y en contra del movimiento de las manecillas

del reloj. Ver la siguiente figura.

Abrimos el compás una apertura y con centro en , trazamos un círculo y

llamamos ′ al punto donde este círculo corta a la recta a la derecha del

rectángulo.

Con centro en ′ y radio marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto ′, con

centro en ′ y radio marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto , con

centro en ′ y radio marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto .

h

b

h

b A

BC

D

49

Unimos el punto con el punto ′ con un color diferente al que se hizo la recta,

ver la siguiente figura. Esto simularía como si hubiéramos rotado el rectángulo

para ir marcando el perímetro.

El segmento de recta de a ′ mide: 2 2 . Aunque la fórmula ya es conocida por algunos de nuestros alumnos, no está de

más que reafirmen el concepto de perímetro, y que lo manipulen de diversas

formas.

Problema

Encontrar el perímetro de un rectángulo cuya base es y la altura es 2.

Solución:

Si ya se hicieron trazos con regla y compás o rotando rectángulos hacia una

misma dirección, marcando cada lado, después de 4 giros para justificar el

concepto de perímetro, posiblemente ya no sea necesario hacer la representación

del problema, y directamente se dé el resultado: 2 4.

b +

h

bh + h + b

A'D'C'B'A

BC

D

x +

2

x2 + 2 + x

A'D'C'B'A

BC

D

50

Problema:

Encontrar el perímetro de un rectángulo cuya base mide el doble de su altura.

Solución:

Entonces el perímetro es: 2 2 6 . Perímetro del cuadrado es: 4

Justificación:

Abrir el compás con una apertura y con centro en , marcar la distancia sobre la

recta hacia la derecha el punto ′ , con centro en ′ y radio marcar hacia la

derecha de la recta el punto ′, con centro en ′ y radio marcar hacia la derecha

de la recta el punto , con centro en ′ y radio marcar hacia la derecha de la

recta el punto , unir los punto con el punto ′ con un color diferente al que se

hizo la recta, ver la siguiente figura. Esto simularía como si hubiéramos rotado el

rectángulo para ir marcando el perímetro.

h

2hh + 2h h 2h

A'D'C'B'A

BC

D

l

l

51

Área del cuadrado

Notemos que como el cuadrado en particular es un rectángulo de base y

altura entonces el área del cuadrado es .

Área de un paralelogramo de base y altura es .

Justificación:

l +

l

l

l + ll +B'A'D'C'BA

D C

l

l

αα

b

h

αα

b

h h h

b

=+=+=

52

Tracemos la altura interior del paralelogramo, y cortemos el triángulo rectángulo

para tener en dos partes el paralelogramo, luego pegamos este triángulo

rectángulo en el lado no recto, lo que queda es un rectángulo con la misma área

pues tan sólo hemos partido la figura inicial y la hemos armado de diferente forma,

así llegamos a que el área del paralelogramo es: .

Área de un triángulo de base y altura es: ×2 .

Justificación

Si queremos determinar el área del triángulo gris T, lo podemos hacer

construyendo un paralelogramo que tenga dos veces el área del triangulo T y

utilizar lo que ya sabemos del área del paralelogramo. Esto se puede hacer

siguiendo los pasos en las figuras y que se describe a continuación.

Τ

T

αα

h

b

T

b

h

53

Calcamos el triángulo gris en un papel, y luego calquemos el mismo triángulo de

tal forma que nos quede un paralelogramo, es claro que este paralelogramo tiene

área , pues esto ya se justifico antes

2 .

Área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases y por su altura .

¿Qué es un trapecio?

Primero es necesario saber cuál es el origen de los trapecios:

La clasificación de los triángulos es:

Si a estos triángulos los partimos con una recta paralela a la base lo que

obtenemos son los cuatro trapecios siguientes:

Para el trapecio rectángulo tenemos que su área es:

54

2 .

Justificación:

Para encontrar el área de un trapecio calcamos en un papel el trapecio del cual

queremos encontrar el área, luego lo giramos 180º y lo transladamos de tal forma

que el lado no vertical enbone perfectamente con la calca de este trapecio y

volvemos a calcar.

lo que nos queda son dos trapecios equivalentes a un rectángulo cuya área es

pero como sólo se quiere la mitad de este rectángulo, entonces

tenemos que el área del trapecio es:

2 .

α

α

B

b

h

α

αB

b + B

b

h

55

Ejercicio

1. Justificar la fórmula para el trapecio escaleno :

2 .

El área de un pentágono de lado , apotema (distancia del centro del polígono a

cualquiera de sus lados) y perímetro es: 5 2 2 .

Justificación:

Cortemos el pentágono de la siguiente manera:

α

αB

b + B

b

h h

α b

B

h

l

a

56

Trazamos una recta sobre un papel y sobre la recta ponemos los bordes de los

lados del pentágono, calcamos el pentágono, como lo muestra la siguiente figura.

Giramos la figura sombreada 180º y la sobreponemos por las orillas de la parte

superior, como lo muestra la siguiente figura.

Lo que nos queda es un paralelogramo cuya área es: 5 . Sólo queremos la mitad del área del paralelogramo que es el área del pentágono,

es decir: 5 2 . Observemos que el perímetro del pentágono es la base del paralelogramo antes

formado, es decir 5 , donde es el perímetro del pentágono, por lo que

también el área del pentágono se puede ver como:

l

a

a

a

l + l + l + l + l

l + l + l + l + l

57

2

donde 5 . Por lo que el área del pentágono es: 5 2 2 . Ejercicio

2. Justificar el área de un hexágono utilizando la técnica anterior.

Cómo encontrar un valor aproximado a

Colocar un cordón alrededor de una tapa circular (Figura 1), medir con una regla la

longitud del condón que se utilizo (figura 2), anotar esta medida. Con el mismo

cordón ver también cuánto tiene de diámetro la tapa circular (Figura 3), medir con

la regla la longitud que nos dio y anotar también esta medida (figura 2), hacer la

siguiente proporción: medida del contornomedida del diametro ?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 60.4 cm19.2 cm 3.145833 cm .

58

Colocar un cordón alrededor de una tapa circular (Figura 1), medir con una regla la

longitud del condón que se utilizo (figura 2), anotar esta medida. Con el mismo

cordón ver también cuánto tiene de diámetro la tapa circular (Figura 3), medir con

la regla la longitud que nos dio y anotar también esta medida (figura 4), hacer la

misma proporción:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 35.5 cm11.3 cm 3.141592 cm. Podríamos medir cualquier otro artefacto circular y ver que la proporción no varía

mucho. Entonces mientras mejor se tome la medida, mejor aproximación

tendremos al valor de 3.141592654 ⋯ que es número de veces que cabe el

diámetro en el perímetro de la circunferencia. O visto de otra manera el perímetro

de la circunferencia es: perímetro diámetro

o bien perímetro 2 , donde es el radio.

Actividad:

Buscar dos pequeños espejos rectangulares, pegarlos por uno de los costados y

poner una hoja de tal manera que se haga la simulación de un polígonos de tres

(Figura 1), cuatro (Figura 2), cinco (Figura 3), seis (Figura 5), etc., lados

59

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura 4 Figura 5 Figura 6

Como ya habíamos visto, el área de cualquier polígono regular es:

2 . Pero entre más lados tengamos en un polígono regular como en la siguiente

figura.

60

El área del círculo, cuando el apotema se parece más al radio, será entonces:

2 2í2 .

Ejemplo:

Calcular el área y el perímetro de los pétalos azules de la siguiente figura, si

sabemos que el lado del cuadrado mide 20 cm:

Solución:

61

Para calcular el perímetro notemos que cada dos pétalos es el perímetro del

círculo inscrito en el cuadrado, por lo que el perímetro de los cuatro pétalos azules

es: 2 2í ó í2 2 10 cm

125.66 cm. Ahora calculemos el área. Primero dividamos el cuadrado en dos partes iguales y

tracemos el triángulo que tiene la misma base del cuadrado y altura la mitad de la

medida del lado, ver la figura siguiente.

El área del semicírculo es:

2 10 cm2 3.1416 50 cm 157.08 cm . El área del triángulo es:

2 20 cm 10 cm2 100 cm . El área del círculo menos el área del triángulo, nos da el área del uno de los

pétalos azules la cual es:

62

157.08 cm 100 cm 57.08 cm . Pero como son 4 pétalos azules el área es: 4 57.08 cm 228.32 cm . Ejercicio

Calcular el área verde y su perímetro de la siguiente figura, donde el lado del

cuadrado mide 4 m.

Otras fórmulas

Ángulos internos de un polígono

Para el triángulo equilátero, aunque hay maneras más sencillas de calcular sus

ángulos internos, vamos a desarrollar una fórmula que nos permita generalizar a

otros polígonos. Notemos que la circunferencia con centro en y radio , se

divide en tres arcos iguales , y , donde uno de ellos subtiende a

(3 2 1) un lado del triángulo, por lo que los ángulos centrales ∢ , ∢ y ∢ miden 3 2 3603 120

63

Pero además, como los ángulos interiores ∢ , ∢ y ∢ del triángulo son

ángulos inscritos de la circunferencia , entonces estos ángulos son la mitad de

los ángulos centrales. Esto es 1202 60

Para calcular el ángulo externo al triángulo, prolongamos el lado del triángulo,

y el ángulo ∢ es uno de los ángulos exteriores del triángulo equilátero, por lo

que los ángulos exteriores miden: 180° 60° 120°

60° 120°

C

B

OA

120°

60°

C

B

A

D

64

Para el cuadrado notemos que la circunferencia con centro en y radio , se

divide en cuatro arcos iguales , , , y , donde uno de ellos subtiende a

(4 2 2) dos lados consecutivos del cuadrado, por lo que los ángulos centrales ∢ , ∢ , ∢ , y ∢ miden 4 2 3604 180 . Pero además como los ángulos interiores ∢ , ∢ , ∢ y ∢ del

cuadrado son ángulos inscritos de la circunferencia , son la mitad de los

ángulos centrales, entonces miden: 180°2 90°.

Para calcular el ángulo exterior del cuadrado, prolonguemos el lado del

triángulo, el ángulo ∢ es uno de los ángulos exteriores del cuadrado, por lo

que los ángulos exteriores miden: 180° 90° 90°.

180°

90°O

CD

A B

65

Para el pentágono notemos que la circunferencia con centro en y radio , se

divide en cinco arcos iguales , , , y que subtienden a (5 2 3)

tres lados consecutivos del pentágono, por lo que los ángulos centrales ∢ , ∢ , ∢ , ∢ , y ∢ miden 5 2 3605 216 . Pero además como los ángulos interiores ∢ , ∢ , ∢ , ∢ y ∢ del

pentágono son ángulos inscritos de la circunferencia , son la mitad de los

ángulos centrales ∢ , ∢ , ∢ , ∢ , y ∢ respectivamente,

entonces miden: 2162 108 .

90°90°

O

CD

A B

E

108°

216°

C

B

AE

D

O

66

Para calcular el ángulo externo al pentágono, prolongamos el lado del

pentágono, el ángulo ∢ es uno de los ángulos exteriores del pentágono, por lo

que los ángulos exteriores miden: 180° 108° 72°.

Ejercicio

3. Completar la siguiente tabla

POLÍGONOS REGULARES

número de

lados

Ángulos centrales entre

dos lados consecutivos

Ángulos interno

Ángulos externo

3 3 2 3603 120

1202 60

180 60 120

4 4 2 3604 180

1802 90

180 90 90

5 5 2 3605 216

2162 108

180 108 72

6

72 108°

216°

C

B

AE

D

O

F

67

7

También se puede ver el número de diagonales que se pueden trazar dentro de un

polígono convexo.

Esta sucesión nos da el número de diagonales que se pueden trazar en un

polígono convexo.

Ejercicios

1. Decir cuál es el siguiente término de la sucesión, que es equivalente a decir

cuántas diagonales se pueden trazar en un hexágono.

2. La fórmula general que nos da el número de diagonales que se pueden

trazar en un polígono de lados.

Una vez que se dio un pequeño repaso a los significados de las fórmulas de

perímetro y área lo que haremos a continuación es encontrar áreas de figuras no

regulares.

68

Problema

Encontrar el área del polígono , sabiendo que se encuentra en la

cuadrícula.

1ª estrategia.

Encerremos el polígono dentro de una figura regular en este caso la encerramos

en un rectángulo cuya área es:

69

5 10 50

Restemos a esta área el área de los triángulos , , y cuyas áreas

son 3 , 9u , 2u y 6u respectivamente. El área de los

triángulos no sombreados es: 3u 9u 2u 6u 20u .

Por lo que el área sombreada es: 50 u 20 u 30 u . 2ª estrategia

Dividamos el polígono en figuras regulares, en este caso lo dividimos en los

trapecios y , y en los triángulos y . Como se muestra en la

siguiente figura.

70

El área que tiene el trapecio rectangular es:

2 6 3 42 18 u . El área que tiene el trapecio rectangular es:

2 4 1 22 5 u . El área que tiene el triángulo rectángulo es:

2 2 42 4 u . El área que tiene el triángulo rectángulo es:

2 6 12 3 u .

71

Po r lo que el área del polígono es la suma de las áreas de los polígonos

anteriores, es decir 18 u 5 u 4 u 3 u 30 u . Problema:

Se quiere poner azulejo tipo terracota de 20 cm 20 cm para recubrir un

rectángulo que se encuentra en la parte central de una superficie rectangular con 5 m de largo y 4 m de ancho, la cenefa debe estar a una distancia de 40 de la

pared, las orillas del rectángulo color terracota se cubrirán con cenefas que miden 7cm 20 cm, el marco entre la pared y la cenefa se cubrirá con azulejo de color

amarillo.

1. ¿Cuántos metros se deben comprar de cenefa?

2. ¿Cuántos metros cuadrados se deben de comprar de cada loseta?

Solución:

Azulejo terracota

Azulejo amarillo4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

1 2 3 4 5

cenefa

72

1. Como la cenefa es el marco blanco del rectángulo color terracota, entonces

lo que hay que obtener es el perímetro del marco blanco, es decir la base

mide 5 m 0.80 m y de altura tiene 4 m 0.80 m , pues hay que

quitar 40 cm en cada lado para hacer el marco amarillo. Así lo que se

necesita de cenefa es:

2 2 4.2 m 3.2 m 14.8 m. 2. Para el azulejo amarillo se necesitan encontrar el área de rectángulo mayor

menos el área del rectángulo que contiene la cenefa, es decir:

5 m 4 mÁ á 4.2 m 3.2 mÁ 6.56 m .

Para la parte del rectángulo rojo hay que quitar 0.47 m a cada lado del

rectángulo, por lo que la cantidad de azulejo terracota es:

5 m 2 . 47 m 4 m 2 . 47Á 12.42 m .

73

Unidad III. Aritmética e introducción al álgebra

Interpretación y localización en la recta numérica de fracciones y

números decimales; operaciones con fracciones y decimales;

equivalencia entre estas dos representaciones de un número racional.

Ecuaciones sencillas, los números con signo y sus operaciones.

74

Introducción

Esta unidad está dedicada al estudio de los números racionales. Inicia con la localización de ellos en la recta numérica haciendo uso del concepto de triángulos semejantes. A continuación se estudia cómo convertir una fracción a su expresión decimal periódica y viceversa. Se ve una interpretación geométrica de las leyes de los signos. Finalmente se resuelven diversos problemas de aplicaciones.

Interpretación y localización en la recta numérica de fracciones y números decimales

Nota: La palabra fracción viene de la palabra en Latín frangere que significa romper.

División de un segmento en partes iguales

Veamos cómo dividir un segmento en 5 partes iguales.

Trazamos un segmento cualquiera .

Levantamos una recta perpendicular al segmento que pase por .

Elegimos cualquier medida arbitraria y hacemos una marca sobre la recta perpendicular, llamamos al punto marcado. Después colocamos el compás en y los abrimos hasta llegar a . Con esta abertura marcamos los puntos , , y

.

A B.

.

A B.

.

75

Unimos con y trazamos rectas paralelas a la recta por los puntos , , y .

Marcamos los puntos de intersección de estas rectas con el segmento . Obteniendo los puntos , , y .

A B.

.C

D

E

F

G

A B.

.C

D

E

F

G

A B.

.C

D

E

F

G

HIJK

76

Analicemos los triángulos y . Ambos triángulos son rectángulos.

El lado es prolongación del lado y el lado es prolongación del lado . Además el lado es paralelo al lado . El ángulo es igual al ángulo De donde los triángulos son semejantes. Así

. Pero . Y por construcción:

.

De donde 2 ,

así

2 , de donde 2 . De manera que 2 .

Pero , entonces 2 . De donde

.

77

Que es lo que queríamos demostrar.

Análogamente por las propiedades de los triángulos semejantes tenemos que . Localizar el número en la recta numérica.

Dividimos la unidad en cinco partes iguales y después a partir del cero nos movemos hacia la derecha y tomamos dos de estas partes.

Si queremos localizar el punto que corresponde al número , una vez dividida la unidad en cinco partes iguales, colocamos el compás en el cero y lo abrimos hasta la primera marca que tenemos. Después giramos el compás y colocamos la primera marca a la izquierda del 0. Colocamos la punta del compás en la primera marca y hacemos la segunda, así hasta completar 6 marcas.

. 10 2 325

10 2 3. 65

−

78

Ejercicios

Localizar en la recta numérica los números , .

Un resultado interesante es el que una fracción se puede escribir como suma de un número entero y de fracciones que tengan un uno en el numerador. Este método lo utilizaban los egipcios.

Veamos las diferencias en los procedimientos si trabajamos con un número positivo o con uno negativo.

• Escribir como suma de un número entero y fracciones distintas que tengan un uno en el numerador.

Solución:

Como en el número el numerador es mayor que el denominador, escribimos el número como suma de un número entero y una fracción. 145 2 45. Los números fraccionarios que tienen un uno en el numerador son: 12 , 13 , 14 , 15 , ⋯

Comparamos con , para ello realizamos los productos cruzados 4 2 8 y 5 1 5. Como 8 5 entonces . Calculamos 45 12 4 2 1 510 310. De donde 145 2 12 310.

79

Ahora comparamos con , 3 3 9 y 10 1 10. Como 9 10, entonces . Como resultó ser menor, entonces

comparamos con la siguiente fracción, es decir, comparamos con 3 4 12 y 10 1 10. Como 12 10, entonces . Calculamos 310 14 3 2 1 520 120. De donde 145 2 12 14 120.

• Veamos ahora un ejemplo con un número negativo. Consideramos el número .

Como en el número el numerador es mayor que el denominador, escribimos el número como suma de un número entero y una fracción. 277 3 67. Comparamos con para ello realizamos los productos cruzados 6 2 12 y 7 1 7. Como 12 7 entonces . En el caso de los negativos necesitamos que sea menor, entonces calculamos 67 12 67 12 6 2 7 114 514. De donde 277 3 12 514.

80

Comparamos con para ello realizamos los productos cruzados 5 3 15 y 14 1 14. Como 15 14 entonces . Calculamos 514 13 514 13 5 3 14 114 3 142. Por tanto, 277 3 12 13 142.

Ejercicios

Escribir los siguientes números como sumas de números enteros y fracciones distintas con numerador igual a uno.

1. .

2. .

Equivalencia entre representación decimal y fraccionaria de un número racional

Los números racionales los podemos expresar de dos formas distintas, como fracciones o bien como decimales.

Por ejemplo, para expresar el número como decimal, realizamos la división.

0.75 4 3 30 20 0

Escribir como decimal.

81

5.142857 7 36 10 30 20 60 40 50 1

Observamos que el último residuo que calculamos es 1, que es igual al primer residuo que obtuvimos, entonces el siguiente cociente va a ser 1 y el residuo 3, y así sucesivamente se van a repetir los mismos números. 5.14285714 …. Esto lo escribimos como 367 5. 142857. Los números que tienen la barra arriba son los que se van a repetir, en ese orden, indefinidamente.

Podemos representar a los números racionales como fracciones o como expresiones decimales finitas o periódicas.

Las expresiones decimales que no son ni finitas ni periódicas, se llaman números irracionales.

Para localizar en la recta numérica un número racional que está representado como expresión decimal finita o periódica, lo escribimos como fracción.

Por ejemplo, para localizar el número 0.25 en la recta numérica, lo escribimos como fracción.

0.25 0.25 100100 0.25 100100 25100 14

82

Y localizamos como se explicó anteriormente.

Veamos otra forma de hacer esto. Llamamos el número 0.25. 0.25. Multiplicamos ambos lados de la igualdad por una potencia de 10, de manera que del lado derecho de la igualdad nos quede un número entero. 100 0.25 100 25, de donde 100 25. Despejamos y simplificamos: 25100 14. Veamos otros ejemplos con expresiones periódicas.

1. Escribir como fracción el número 3. 572. Solución: Llamamos al número 3. 572. Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar un periodo a la izquierda del punto decimal 1000 3572. 572. Restamos, simplificamos y despejamos 1000 3572. 572 3. 572 1000 1 3569 999 3569 3569999 .

2. Escribir como fracción el número 6.916. Solución: Llamamos al número

83

6.916. Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar la parte no periódica a la izquierda del punto decimal 100 691. 6. Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar un periodo a la izquierda del punto decimal 10 100 6916. 6 1000 6916. 6. Restamos, simplificamos y despejamos 1000 100 6916. 6 691. 6 1000 100 6225 900 6225 6225900 8312.

Ejercicios.

Escribir los siguientes números como fracción. 18. 06 , 1.73.

Nota: Leonardo de Pisa (1170 - 1250), mejor conocido como Fibonacci, introdujo a Europa el sistema decimal indoarábigo y los numerales arábigos.

84

Interpretación geométrica de las leyes de los signos

• Primer caso: Ambos números positivos. Veamos como representar geométricamente 4 2. Dibujamos un plano cartesiano y localizamos el 4 sobre el eje y el 2 sobre el eje .

Unimos con un segmento el 1 del eje con el 4 que marcamos sobre el eje . Ahora trazamos una recta paralela a este segmento que pase por el 2.

El punto 8 donde corta esta recta al eje es el resultado de la multiplicación. Procedimiento: Para representar geométricamente seguimos los siguientes pasos:

• Localizar en el eje . • Localizar en el eje . • Unir con un segmento el 1 del eje con el punto del eje . • Trazar una paralela al segmento por el punto del eje .

Ejercicio Representar geométricamente 3 4.

..

1234

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

Y

X

..

1234

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

Y

X

85

• Tercer caso: Ambos números negativos. Veamos como representar geométricamente 3 2 . Dibujamos un plano cartesiano y localizamos el 3 sobre el eje y el 2 sobre el eje . Unimos con una recta el 1 del eje con el 3 que marcamos sobre el eje . Trazamos una recta paralela a esta última recta que pase por el 2 que marcamos en el eje .

El punto 6 donde corta esta recta al eje es el resultado de la multiplicación.

Veamos ahora la justificación de estas construcciones.

Probaremos que .

Localizamos el punto sobre el eje de tal manera que y sobre el eje tal que . Localizamos en el eje de manera que 1. Unimos con un segmento con . Trazamos una recta paralela al segmento que pase por y llamamos al punto donde corta al eje .

Consideramos los triángulos y .

..

Y

X

12

2

3

3

4

4 5 6 7-5 -4 -3

-3

-2

-2

-1-1 1

.

.

Y

XA

B

CU

O.

86

Ambos triángulos son rectángulos. Por construcción, el lado es paralelo al lado , el lado es prolongación del lado y el lado es prolongación del lado .

Los ángulos marcados en la figura son iguales por ser ángulos alternos internos entre dos paralelas y una transversal.

Así los triángulos y son semejantes. Entonces

. Como 1, entonces ∙ . Por lo tanto, .

Otra aplicación de este método geométrico es la siguiente:

Localizar el inverso multiplicativo de 3.

En el plano cartesiano, localizamos el 3 sobre el eje y el 1 sobre el eje . Trazamos un segmento que una estos dos puntos y después trazamos una recta paralela a este segmento que pase por el 1 del eje . El punto donde esta recta corta al eje es .

.

..

Y

X

1

-3

-2

-2

-1-1

1

87

Ejercicio

1. Construir con regla y compás el inverso multiplicativo de 5.

De las construcciones anteriores podemos observar lo siguiente:

• Un número y su inverso multiplicativo tienen el mismo signo. • Si un número es mayor que uno, su inverso multiplicativo es menor que uno

y mayor que cero. • Si un número está entre cero y uno, su inverso multiplicativo es mayor que

uno. • Si un número es menor que 1, su inverso multiplicativo está entre 1 y

cero. • Si un número está entre cero y 1, su inverso multiplicativo es menor que 1.

Problemas

En esta sección resolveremos problemas con distintos grados de dificultad.

En todos los problemas que aparecen a continuación se plantea una ecuación de primer grado de la forma , donde , y son constantes y es la variable. Para encontrar la solución hay que despejar , es decir,

. Una vez que hemos obtenido el valor de , hay que volver a leer el problema para poder responder a la pregunta que se plantea e interpretar el valor obtenido de .

Observación: En la solución de los problemas se utilizó distintos nombres para las variables.

1. Un médico utiliza la siguiente fórmula para saber cuántos pacientes puede atender. 1.06 , donde es el número de pacientes, es el intervalo de tiempo entre cada cita y es el total del tiempo que dispone el médico para atender a los

88

pacientes. El Dr. López dispone de 4 horas para atender pacientes y quiere atender un paciente cada 25 minutos. ¿Cuántos pacientes puede atender el Dr. López? Solución: Para poder calcular el número de paciente que puede atender el doctor, tenemos que expresar las horas en minutos, es decir, 4 horas 4 60 240 minutos. Así 1.06

1.06 24025 1.06 485 50.885 10.176. Como la respuesta se refiere al número de pacientes que puede atender el médico, entonces la respuesta debe ser un número entero. El Dr. López puede atender 10 pacientes. Ejercicio

2. Resolver el mismo problema si el Dr. López dispone de 3 horas para atender pacientes y quiere atender un paciente cada 20 minutos.

3. Durante un año, una empresa contrató 115 empleados nuevos. En ese año se jubilaron 22 empleados y 35 se fueron por otros motivos. Si al final del año la empresa contaba con 328 empleados. ¿Cuántos empleados más tiene la empresa con respecto al inicio del año? Solución: Llamamos al número de empleados que tenía la empresa al iniciar el año. Los empleados que se jubilaron o se fueron son: 22 35 57. Empleados nuevos: 115. Primero tenemos que averiguar cuántos empleados tenía al iniciar el año. Como sabemos cuántos tiene al final del año, entonces planteamos la ecuación 57 115 328. Despejando tenemos

89

328 57 115 270. El número de empleados al iniciar el año era de 270. Para saber cuántos empleados más tiene que al iniciar el año, hacemos 328 270 58. Por lo tanto, la empresa tiene 58 empleados más que al iniciar el año. Ejercicio

4. Durante un año, una empresa contrató 253 empleados nuevos. En ese año se jubilaron 12 empleados y 6 se fueron por otros motivos. Si al final del año la empresa contaba con 232 empleados. ¿Cuántos empleados más tiene la empresa con respecto al inicio del año?

5. del periodo de gestación en semanas de un antílope es igual a 15. ¿Cuántas semanas dura la gestación del antílope? Solución: Llamamos a las semanas que dura la gestación del antílope y planteamos la ecuación: 59 15. Podemos escribir esta ecuación de la siguiente manera:

Las tarjetas “rojas” pasan con las “rojas” y las “verdes” con las “verdes”

Simplificamos la expresión de la derecha 3 9 27. Comprobación:

.

xx

.

90

Si 27, entonces 59 59 27 5 3 15. Por lo tanto, el periodo de gestación de un antílope es de 27 semanas.

6. La suma de dos números es 33 y el mayor es 60. Encontrar el cociente del

mayor entre el menor. Solución: Llamamos al número menor. Como la suma de los dos números es 33, entonces 60 33. Despejando , tenemos 33 60 27. El número mayor es 60 y el menor es 27. El cociente del mayor entre el menor es 6027 6027 . Por lo tanto, el número buscado es . Ejercicio

7. La suma de dos números es 39 y el mayor es 16. Encontrar el cociente del mayor entre el menor.

8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 30 cm y un ángulo mide 22°. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? Solución: Como el triángulo es rectángulo, entonces uno de sus ángulos mide 90°. Además sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 , entonces si llamamos al ángulo que no conocemos tenemos que 22° 90° 180°.

91

Despejando , tenemos 180° 22° 90° 180° 112° 68°. Por lo tanto, los otros dos ángulos miden 90° y 68°. Observación: En este problema el dato del perímetro del triángulo no se utiliza. Esto se hace con el fin de que los alumnos identifiquen qué datos necesitan para resolver el problema.

Ejercicio

9. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 107 m y el lado desigual mide 50 m. ¿Cuánto miden los otros dos lados?

10. El largo de un rectángulo es el triple de su ancho. El perímetro es 40 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo? Solución: Llamamos al largo del rectángulo y al ancho. Como el largo es el triple del ancho, entonces 3 . El perímetro de un rectángulo es: 2 2 Y sabemos que el perímetro es 40 y que 3 , entonces 40 2 3 2 6 2 8 . Despejamos : 40 8 408 5 . Para saber el largo del rectángulo, sustituimos el valor de 5 en

92

3 3 5 15. El rectángulo tiene 15 cm de largo y 5 cm de ancho.

El área del rectángulo es

5 15 75. Por lo tanto, el área del rectángulo es 75 cm2. Ejercicio

11. El largo de un rectángulo es el quíntuple de su ancho. El perímetro es 30 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?

12. La suma de dos número enteros pares consecutivos es 46. Encontrar el cociente del menor entre el mayor. Solución: Hay dos maneras de resolver este problema. Primera manera: Como los números en cuestión son pares, entonces el primer número es de la forma 2 . El número entero par consecutivo de 2 es 2 2. La suma de los números es 46, entonces planteamos la ecuación: 2 2 2 46. Ahora despejamos : 2 2 2 46 4 2 46 4 46 2 4 48 484 12. Para saber cuáles son los números debemos calcular 2 2 12 24

y

93

2 2 2 12 2 24 2 22. Ahora tenemos que calcular el cociente del menor entre el mayor. Como 24 es el menor y 22 es el mayor, entonces 2422 1211 . Por lo tanto, el resultado es . Segunda manera: Llamamos al primer número . El número entero par consecutivo de es 2. La suma de los números es 46, entonces planteamos la ecuación: 2 46. Ahora despejamos : 2 46 2 2 46 2 46 2 2 48 482 24. Para saber cuál es el otro número debemos calcular 2 24 2 22. Ahora tenemos que calcular el cociente del menor entre el mayor. Como 24 es el menor y 22 es el mayor, entonces 2422 1211. Ejercicio

13. La suma de dos número enteros impares consecutivos es 108. Encontrar la suma de los dígitos del número mayor.

94

14. Los símbolos químicos del oro Au y de la plata Ag vienen de sus nombres en latín. El del oro es aurum que significa “amanecer radiante” y el de la plata es argentum que significa “brillante”. El punto de ebullición del oro menos el de la plata es 758 C. El punto de fundición de la plata es 962 C. El punto de ebullición del oro es igual al triple del punto de fundición de la plata más 84 C. Determinar el punto de ebullición del oro y de la plata.

Solución: Llamamos al punto de ebullición del oro y al de la plata. El punto de fundición de la plata es 962 C. El punto de ebullición del oro es igual al triple del punto de fundición de la plata más 84 C, es decir, 3 962 84 2886 84 2970. Así, el punto de ebullición del oro es 2970 C.

Por otro lado, tenemos que el punto de ebullición del oro menos el de la plata es 758 C. 758. Sustituimos el valor de en la ecuación anterior: 2970 758 2970 758 2212 . Por lo tanto, el punto de ebullición de la plata es 2212 C.

95

Unidad IV. Proporcionalidad

Identificar situaciones en que se presenta proporcionalidad directa.

Encontrar cantidades proporcionales con factor unitario entero,

decimal y fraccionario. Regla de tres y aplicación sucesiva de

proporcionalidad. Comparación con la proporcionalidad inversa.

Conexión con funciones lineales.

96

Introducción

Primero abordamos el tema de proporcionalidad resolviendo un problema

geométrico. A continuación se resuelven diversos problemas de regla de tres y

tanto por ciento. En algunos casos se da más de una solución con el objeto de

mostrar que se pueden utilizar distintos caminos para resolver un problema.

Proporcionalidad directa

Problema: Si los triángulos ∆ y ∆ tienen la misma altura de 5 cm y con

bases 4 cm y 6 cm respectivamente, ¿cómo es la proporción entre sus áreas

comparada con la proporción entre las bases, donde se levanta la altura común?

Solución:

área ∆ 4 52 10 y área ∆ 6 52 15 . Entonces área ∆área ∆ 1510 32. Mientras que base del ∆base del ∆ 64 32.

64

55

D1DA B

C

A1 B1

C1

97

Lo que quiere decir que la proporción es la misma.

Generalizamos esta idea, para cualesquiera dos triángulos con la misma altura.

Ejercicio

Si los triángulos ∆ y ∆ tienen la misma altura, entonces la proporción

entre sus áreas es igual a la proporción entre sus bases, donde se levanta la

altura común.

Solución:

área ∆ base ∆ 2 y área ∆ ∆ 2 . Entonces

área ∆área ∆ base ∆A B C2base ∆ 2 base ∆base ∆ . Ejercicios

1.- Si los triángulos ∆ y ∆ tienen la misma base de 5 cm y con alturas

4 cm y 6 cm respectivamente ¿Cómo es la proporción entre sus áreas comparada

con la proporción entre sus alturas, que se levantan sobre la base común?

basebase

hh

D1DA B

C

A1 B1

C1

98

2.- Si los triángulos ∆ y ∆ tienen la misma base, entonces la

proporción entre sus áreas es igual a la proporción entre sus alturas, que se

levantan sobre la base común.

99

Regla de tres directa

Veamos ahora algunos problemas que presentan distintos grados de dificultad, así como distintas estrategias para resolverlos.

1. A cierta hora de la mañana, un árbol proyecta una sombra de 3.24 m y un bastón de un metro de altura proyecta una sombra de 40 cm. ¿Qué altura tiene el árbol? Solución: Primero expresamos la sombra del batón en metros, es decir, la sombra mide 0.40 metros. Llamamos a la altura del árbol. Planteamos la siguiente regla de tres: 3.24 →0.40 → 1. De donde 3.24 10.40 32.44 8.1. El árbol mide 8.1 metros. Nota: Este procedimiento fue el que utilizó Thales de Mileto (639 – 547 a.C.) para determinar la altura de las pirámides de Egipto. Ejercicio

2. Una docena de naranjas cuestan 15 pesos y se necesitan 3 naranjas para hacer un vaso de jugo. Si cinco amigos compraron un vaso de jugo cada uno, ¿cuánto pagaron por los jugos?

3. ¿Qué porcentaje de 52 es 39? Solución: Primer método: Escribimos una proporción 100 3952

100

y despejamos : 3952 100 3913 25 3 25 75. Así 39 es el 75% de 52. Segundo método: Escribimos el diagrama 39 → 52→ 100. De donde 39 10052 75. Así 39 es el 75% de 52. Ejercicio

4. ¿Qué porcentaje de 213 es 68.16? Nota: Una leyenda dice que el símbolo de pesos $ proviene del escudo de armas español grabado en la moneda española de plata de la colonia, donde aparecen las Columnas de Hércules atravesadas por una banda con el lema Non Plus Ultra en forma de una "S".

5. El gerente de una tienda de aparatos eléctricos rebajó el precio de una licuadora de $600 a $528. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento? Solución: Llamamos al porcentaje del descuento. Calculamos la diferencia entre los precios: 600 528 72. Planteamos el problema 72 → 600→ 100. Así 72 100600 12.

101

El descuento fue del 12%. Ejercicio

6. El gerente de una tienda de aparatos eléctricos rebajó el precio de una licuadora de $720 a $619.20. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento? Nota: La primera olimpiada de la era moderna, la organizó el barón Pierre de Coubertin y se celebró en Atenas, Grecia del 6 al 15 de abril de 1896.

7. El record olímpico de la carrera de 100 metros planos para hombres lo tiene el jamaiquino Usain Bolt y lo obtuvo el 16 de agosto de 2008 en las olimpiadas celebradas en Beijing. Usain hizo un tiempo de 9.69 segundos. ¿A qué velocidad media corrió los 100 metros? Expresar la velocidad en kilómetros por hora. Solución: La velocidad es la distancia entre el tiempo: . Entonces 1009.69. Haciendo la división, el resultado es 10.32. Como la distancia está medida en metros y el tiempo en segundos, entonces la velocidad es 10.32 metros por segundo. Para entender mejor este resultado, lo interpretamos en kilómetros por hora. Una hora tiene 3600 segundos. Planteamos la siguiente regla de tres. En un segundo avanza 10.32, entonces en 3600 ¿cuánto avanzará? 1 → 10.323600 → .

De donde 10.32 3600 37152. Este resultado son metros por hora. Para pasarlo a kilómetros por hora, solo hay que dividir entre mil.

102

371521000 37.152. Por tanto, la velocidad es 37.152 kilómetros por hora

8. Una persona que pesa 40 kilos en la Tierra, pesa de kilo en la Luna. El peso en la Luna es directamente proporcional al peso en la Tierra. ¿Cuánto pesa en la Luna una persona que pesa 65 kilos en la Tierra? Solución: Llamamos al peso de una persona en la Luna y al peso en la Tierra. El peso en la Luna es directamente proporcional al peso en la Tierra, entonces . Como sabemos que una persona que pesa 40 kilos en la Tierra, pesa de kilo en la Luna, entonces tenemos que 203 40

De donde

40 16. Una vez encontrado el valor de , entonces podemos expresar el peso en la Luna de la siguiente manera: 16

Si una persona pesa en la Tierra 65 kilos entonces en la Luna pesa: 16 65 10.83 kilos. Podemos representar gráficamente la relación .

Hacemos la tabla:

103

0 0 6 1

y localizamos los puntos 0,0 y 6,1 en el plano cartesiano.

Esta figura representa una función lineal.

9. En una fonda la comida corrida cuesta 5% más que el año pasado. El

precio actual es $42. ¿Cuánto costaba el año pasado? Solución: Llamamos al precio del año pasado. El cambio del precio es: 42 . Planteamos 42 →5 → 100. De donde 42 1005 42 20 840 20 21 840 84021 40. El año pasado la comida costaba $40. Ejercicio

10. En el mercado el kilo de cebolla cuesta 20% menos que el mes pasado, debido a que terminó la época de lluvias y ya no se echan a perder. El

..

0

1

2

2 4 6 8

Y

X

104

precio actual es $12 el kilo, ¿cuánto costaba el kilo de cebolla el mes pasado?

11. Para hacer 7 vestidos se necesitan 5 metros de tela y 3 metros de tela cuestan $252. Ana necesita tela para dos vestidos, ¿cuánto tiene que pagar? Solución: Llamamos al precio de 5 metros de tela. Planteamos la siguiente regla de tres: 3 → 2525 → .

de donde 5 2523 5 84 420. Así la tela de 7 vestidos cuesta 420 pesos. Ahora llamamos al precio de dos vestidos, de manera que 7 → 4202 → .

de donde 2 4207 2 60 120. Por lo tanto, Ana tiene que pagar 120 pesos.

12. Siete señoras bordan 28 manteles en 12 horas. ¿Cuántos manteles pueden bordar 9 señoras en 15 horas? Solución: En este problema tenemos que hacer una aplicación sucesiva de proporcionalidad. Planteamos en un diagrama la situación del problema:

Señoras Manteles Manteles Horas 7 → 28 → 12 9 → → 15 Primero vemos cuántos manteles pueden bordar 9 señoras en 12 horas. 7 → 289 → .

105

De donde 9 287 9 4 36. Ahora nos planteamos la pregunta: ¿Cuántos manteles pueden bordar esas 9 señoras en 15 horas?

Manteles Horas 36 → 12 → 15

Planteamos la regla de tres: 36 → 12→ 15. De donde 36 1512 3 15 45. Por lo tanto, 9 señoras pueden bordar 45 manteles en 15 horas.

Ejercicio

13. Una fábrica con 4 máquinas puede empacar 100 juguetes en 3 horas. ¿Cuántos juguetes pueden empacar 6 máquinas en 5 horas? Regla de tres inversa

1. Cuatro bombas tardan 6 horas en llenar un tinaco de agua. Si se descompone una bomba, ¿cuánto tiempo tardarán las otras 3 bombas en llenarlo? Solución: Planteamos la situación en un diagrama 4 → 63 → . En este caso observamos que si aumentamos el número de bombas, el tiempo disminuye y si disminuimos el número de bombas el tiempo aumenta. Entonces en el diagrama anterior, intercambiamos los valores en una de las columnas:

106

4 →3 → 6. Y ahora hacemos los cálculos 4 63 8. Por lo tanto, tres bombas tardan 8 horas en llenar el tinaco.

2. Un engrane de 20 cm de diámetro gira a 350 revoluciones por minuto. Si el número de revoluciones por minuto es inversamente proporcional al diámetro del engrane, ¿cuántas revoluciones por minuto da un engrane que mide 5 cm de diámetro? Solución: Escribimos los datos en el siguiente diagrama 20 → 3505 → .

Como el número de revoluciones por minuto es inversamente proporcional al diámetro del engrane, entonces el diagrama anterior lo escribimos como: 20 →5 → 350. Así 20 3505 20 70 1400. Por lo tanto, el engrane que tiene 5 cm de diámetro da 1400 revoluciones por minuto.

Ejercicio

3. Uno de los engranes de un reloj tiene un diámetro de 4 mm y gira 10 revoluciones por segundo. Si este engrane mueve otro que mide 4 cm, ¿cuántas revoluciones por segundo da el engrane grande?

4. Un automóvil tarda 3 horas en recorrer cierta distancia a una velocidad promedio de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer esa misma distancia si su velocidad promedio es de 120 km/h? ¿Qué distancia recorrió?

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Solución: Como la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo: . Entonces tenemos que , En este caso la distancia es constante, entonces el tiempo es inversamente proporcional a la velocidad. Calculamos 3h 90km/h 270km. Así el automóvil recorrió 270 km. Ahora para saber, cuánto tiempo hizo en recorrer esta distancia, si su velocidad promedio fue de 120 km/h, calculamos 270km120km/h 94 h 2 h. Por lo tanto, el automóvil tarda 2 horas y 15 minutos en recorrer los 270 km.

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Unidad V. Conteo y probabilidad

Diversas formas de contar y la regla del producto. Introducción del

azar. Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos. Distintas

formas de determinar la probabilidad de un evento y la relación entre

ellas, comparación de eventos. Estadística descriptiva.

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Conteo y Probabilidad

Introducción

En esta unidad se abordan algunos temas introductorios de la probabilidad y la estadística. Se inicia con problemas de conteo, que pueden ser resueltos utilizando árboles y tablas. A continuación se introducen los conceptos de espacio muestral y probabilidad de un evento. Finalmente, dentro del tema de estadística se introducen algunas medidas de tendencia central, como son la media, la mediana y la moda, y se ve, mediante ejemplos cuándo es conveniente usar cada una de ellas.

Diversas formas de contar y la regla del producto

Vamos a resolver diversos problemas de conteo de forma gráfica e intentar llegar a una fórmula general para este tipo de problemas.

Problema 1

Una fábrica de automóviles ofrece un modelo con las siguientes variantes:

Caja de velocidades: Automática o Estándar.

Tipo de techo: Techo normal, quemacocos, convertible.

¿Cuántas variantes de este modelo se pueden ofrecer considerando estas opciones?

Solución:

Una manera de resolver este problema es mediante un diagrama de árbol

Techo duro Quemacocos Automático Convertible Modelo base Estándar Techo duro Quemacocos Convertible

Una vez hecho el árbol vemos que hay 6 datos en la última columna, que corresponden a las 6 variantes que puede haber:

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1. Automático Techo duro 2. Automático Quemacocos 3. Automático Convertible 4. Estándar Techo duro 5. Estándar Quemacocos 6. Estándar Convertible

Antes de pasar a otra manera de contar, es conveniente hacer más ejercicios de este tipo

Problema 2

Un restaurante tiene el siguiente menú:

Primer plato

Sopa de verduras

Arroz con chicharos

Segundo plato

Pollo Adobado

Puntas de Filete

Pescado a la Plancha

Postre

Flan

Gelatina

¿Cuántas comidas diferentes puede haber sirviendo un plato de cada grupo?

Hacemos nuevamente un árbol, solo que ahora tiene más ramas

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Flan Pollo Gelatina Flan Sopa Filete Gelatina Flan Menú Pescado Gelatina Flan Pollo Gelatina Flan Arroz Filete Gelatina Flan Pescado Gelatina

Podemos enlistar todas las comidas diferentes siguiendo todos los caminos indicados por las flechas.

1. Sopa, Pollo, Flan 2. Sopa, Pollo, Gelatina 3. Sopa, Filete, Flan

… 12. Arroz, Pescado, Gelatina

Ejercicios

Diseñar otros ejercicios similares con temas que pudieran ser de interés para los alumnos de secundaria y que los resuelvan.

Otra manera de contar, para el caso de dos juegos de elecciones, como el ejemplo del coche, es hacer una tabla.

Como encabezado de las columnas ponemos las opciones de un tipo, en este caso, tipo de transmisión, y como encabezado de los renglones ponemos los tipos de transmisión.

Automático Estándar Techo duro Techo duro, Automático Techo duro, Estándar Quemacocos Quemacocos, Automático Quemacocos, Estándar Convertible Convertible, Automático Convertible, Estándar

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En la parte interior de la tabla, en cada celda ponemos el encabezado del renglón y de la columna a la que pertenece dicha celda.

Para contar el número de opciones distintas observamos que la parte interior de la tabla (sin contar los encabezados) tiene 2 columnas y 3 renglones, por lo que tiene 2 3 celdas.

En general, cuando tenemos un problema de conteo en el que tenemos dos o más grupos de opciones y debemos elegir paquetes formados por una opción de cada grupo, el número de paquetes posibles es igual al producto de los números de elementos de cada grupo de opciones.

Así, en el problema del menú del restaurante, tenemos:

2 primeros platos, 3 segundos platos, 2 postres.

Entonces hay 2 3 2 12 comidas distintas, como pudimos ver construyendo el árbol de opciones.

Este problema es más difícil de visualizar mediante una tabla, ya que ésta tendría que ser de tres dimensiones:

Cada bloque representa una comida diferente, y podemos ver que hay 12 bloques en total, que corresponde al producto de los elementos de cada grupo de opciones. 2 3 2 12 comidas

Sopa Arroz

Pollo Filete Pescado

Flan

Gelatina

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Introducción al azar.

El estudio de la probabilidad tiene su origen en los juegos de azar, sin embargo actualmente tiene muchísimas aplicaciones sobre todo en las disciplinas sociales y económicas.

Para este tema, nosotros también empezaremos analizando algunos juegos de azar sencillos para introducir todos los elementos necesarios para estudiar situaciones más complicadas.

Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos

Ejemplo 1

Consideremos el juego que consiste en lanzar un dado marcado con los números del 1 al 6 en las caras.

El resultado de un lanzamiento es, entonces, un número del 1 al 6. Así, decimos que el espacio muestral del juego es el conjunto formado por los números del 1 al 6.

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

A cada uno de los elementos de este espacio muestral le llamamos suceso.

Si el dado está bien construido, todos los números tienen la misma probabilidad de salir. Como son 6 números, la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es 16

Ejemplo 2

En un salón de clase hay 6 niños y 9 niñas. Se va a rifar un juguete entre ellos y para ello se introducen en una urna papelitos con los nombres de cada uno de ellos.

El espacio muestral es el conjunto de nombres de los 15 alumnos de la clase, por ejemplo

{Juan, Pedro,…, Cristina, Ana}

Los sucesos son cada uno de los nombres de los alumnos.

La probabilidad que tiene cada alumno de salir premiado es

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115. Ejemplo 3

Consideremos el mismo grupo de alumnos del ejemplo anterior, solo que ahora se va a extraer un nombre de la urna. Si el nombre elegido es de un niño, la escolta para los honores a la bandera estará formada por únicamente niños, en cambio, si sale el nombre de una niña, la escolta será de niñas.

El espacio muestral sigue siendo el conjunto de 15 nombres.

Intuitivamente es claro que como hay más niñas que niños, es más fácil que salga el nombre de una niña de el de un niño.

Podemos representar en una cuadricula de 15 casillas al grupo y pintamos de azul a 6 de ellas para indicar a los niños y de rosa a las 9 restantes para indicar a las niñas.

Tenemos que, como 6 de los 15 papelitos corresponden a niños, la probabilidad de elegir un niño es

niño 615 25. Y como 9 de los 15 papelitos corresponden a niñas, la probabilidad de elegir una niña es

niña 915 35. Un evento es una colección de sucesos de un espacio aleatorio.

En este problema distinguimos dos eventos: El evento de elegir niño y el evento de elegir niña.

La probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades de los sucesos que lo conforman, así, la probabilidad de que salga niño es:

115

niño 115 115 115 115 115 115 615 25. Que es el resultado que habíamos obtenido previamente, similarmente,

niña 115 115 115 115 115 115 115 115 115 915 35. En general tenemos que:

Si en un espacio muestral todos los sucesos tienen la misma probabilidad de salir, la probabilidad de un evento es número de sucesos del eventonúmero total de sucesos . En un lenguaje más coloquial se suele decir número de casos favorablesnúmero total de casos . Observaciones importantes:

• El denominador: “número total de casos” siempre es positivo. Si fuera cero no habría ningún suceso y no se le puede calcular la probabilidad a nadie.

• El numerador: “número de casos favorables” es mayor o igual que cero. Aquí sí tiene sentido que el evento no tenga casos favorables, en cuyo caso su probabilidad es 0.

• Por los dos comentarios anteriores, el cociente siempre es mayor o igual a cero. Es decir, la probabilidad es un número mayor o igual a cero.

• Como los casos favorables son algunos de los casos totales, el numerador siempre es menor o igual al denominador, por lo que el cociente siempre es menor o igual a uno. Es decir, la probabilidad es un número menor o igual a uno.

En resumen: Siempre se tiene que 0 1. Distintas formas de determinar la probabilidad de un evento y la relación entre ellas, comparación de eventos

Veamos ahora el juego de azar que consiste en lanzar dos dados con las caras numeradas del 1 al 6 y sumar el resultado de ambos dados.

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Los resultados posibles son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Éste es nuestro espacio muestral.

A diferencia del juego con un sólo dado en el que todos los sucesos tienen la misma probabilidad, 1 6⁄ , ahora los sucesos tienen diferentes probabilidades.

Para que sea más fácil explicar, vamos a suponer que un dado es azul y el otro rojo.

Por ejemplo, la única manera de sacar 2 es

Azul Rojo1 1

En cambio, el 5 se puede obtener de 4 maneras:

Azul Rojo1 4 2 3 3 2 4 1

Para calcular la probabilidad de estos sucesos necesitamos saber el número total de posibles tiradas.

Por cada posición en la que caiga el dado azul, el dado rojo puede caer de 6 maneras distintas, por ejemplo

Azul Rojo 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

y así con los otros resultados del dado azul.

Así que hay 6 6 36 tiradas posibles.

Entonces, de acuerdo a las dos tablas anteriores,

117

2 136

y

5 436. Ejercicio

Completar la siguiente tabla con las 36 posibles tiradas y en la tercera columna cuenta cuántas veces salió cada resultado.

Azul Rojo Suma1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 2 1 3 2 2 4 …

Ahora, completar esta tabla que mostrar la probabilidad de cada uno de los resultados posibles

Resultado Cuenta Probabilidad2 1 136 3 4 5 4 436 6 7 8 9 10 11 12

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Estadística descriptiva

Medidas de tendencia central

La medida de tendencia central más común es el promedio, pero no es la única y no siempre es la más útil. Otras medidas de tendencia central son la mediana y la moda.

Ejemplo

En un salón de clase los alumnos miden:

1.35, 1.40, 1.33, 1.50, 1.51, 1.45, 1.47, 1.49, 1.38 metros

El promedio de las alturas es: 1.35 1.40 1.33 1.50 1.51 1.45 1.47 1.49 1.389 12.889 1.43 m. Si formamos en el patio a todos los alumnos, en orden de estatura, quedarían formados así: 1.33, 1.35, 1.38, 1.40, 1.45, 1.47, 1.49, 1.50, 1.51. El alumno que está a la mitad de la fila mide 1.45 m. Decimos entonces que la mediana de las alturas de los alumnos es 1.45 m.

La mediana de un conjunto de valores es el número que está a la mitad de ellos, una vez que están ordenados.

La mediana y la media suelen tener valores parecidos. Sobre todo cuando la característica de la población que estamos estudiando es más o menos homogénea. Además, la mediana suele ser bastante fácil de obtener, pues sólo es necesario ordenar los valores de chico a grande.

Observa en el ejemplo, que para encontrar la mediana de las alturas de los alumnos ni siquiera haría falta medirlos a todos, sino simplemente ordenarlos por estaturas y medir al de en medio.

Otro dato interesante es que el promedio puede verse afectado por valores extremos de la población, por ejemplo, si el alumno más alto midiera 1.80 m en

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lugar de 1.51, el promedio de las alturas sería 1.46 m. sin embargo, la mediana seguiría siendo la misma, así que es posible que la mediana sea un valor más representativo que el promedio.

Observación: En el caso en que el número de datos a los cuales se les quiere sacar la mediana es impar, hay un número que queda exactamente a la mitad, y esa es la mediana. En cambio, cuando el número de datos es par, no hay ningún dato a la mitad, entonces tomamos como mediana el promedio de los dos datos centrales.

Ejemplos:

1. Encontrar la mediana de 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 12.

Solución:

No hay ningún número a la mitad, porque hay 8 datos. Así que tomamos el promedio de los dos datos centrales. 5 62 5.5.

2. Encontrar la media de 4, 7, 7, 8, 9, 11,14

Solución:

El número que está en el centro de la lista es el 8, así que la mediana es 8.

Hay veces en que el valor que estamos analizando no es numérico, así que no podemos sacar ni el promedio ni la mediana. En este caso nos será útil la moda.

En un estacionamiento hay 5 coches blancos, 3 negros, 7 rojos, 4 azules y 10 grises.

No podemos sacar el promedio o la mediana de los colores, pero sí podemos indicar cuál color es el más frecuente: el gris. La moda de esta población es “gris”.

La moda de un conjunto de valores, numéricos o no, es el valor que más se repite.

Por supuesto, la moda también se puede encontrar para datos numéricos, en el ejemplo 1 que está un poco más arriba, la moda es 5, y en el ejemplo 2, la moda es 7.