CURSO DE MATEMATICAS FINANCIERAS DIRIGIDO A PERSONAL OPERATIVO DE LA BANCA COMERCIAL

I.- INTRODUCCIN

La matemtica financiera es la rama de las matemticas aplicadas, dirigida al estudio del VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO cuando este es colocado en operaciones financieras ciertas.

Son operaciones financieras ciertas, aquellas cuya realizacin depende solo del normal transcurrir del tiempo, no estando sujetas a eventualidades o factores ajenos a la operacin misma.

Del concepto anterior se desprende, que todas las operaciones financieras convencionales que realiza la Banca, son operaciones ciertas ya que su ocurrencia est determinada solamente por el o los documentos que regulan su funcionamiento y vigencia.

Las operaciones inciertas, llamadas tambin contingentes, son aquellas cuya ocurrencia depende de factores ajenos a la operacin misma. Estas operaciones son el motivo de estudio de la Matemtica Actuarial.

II.- CONCEPTOS Y ELEMENTOS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

1. Operaciones financieras: Concepto y Clasificacin

Una operacin financiera es un convenio que se realiza entre dos personas naturales o jurdicas, mediante el cual, una persona entrega recursos financieros a otra, para su libre uso y disposicin, a cambio de una ganancia, llamada INTERES.

El inters puede definirse como el arrendamiento que se causa por el uso del capital monetario prestado.

Ciertamente, todas las operaciones financieras no son iguales, stas se clasifican de acuerdo con el objetivo perseguido en el convenio entre aportante y receptor de capital. Por ejemplo, si el objetivo de una persona es ahorrar dinero, con el propsito de disponer de una suma a futuro que le permita realizar cualquier negociacin, convendr con un banco o cualquier otra entidad financiera , la apertura de una cuenta de ahorros, o un certificado a plazo, o cualquier instrumento de inversin que le permita obtener un inters por su capital depositado y acumular, al final del plazo previsto, un monto mayor al inicialmente invertido, como consecuencia de los intereses ganados.

Si por el contrario, la persona requiere de un capital en el momento actual, para realizar una operacin real, por ejemplo comprar un bien o servicio y no dispone de los recursos financieros necesarios, tiene la opcin de acudir al mercado y solicitar un crdito, el cual cancelar conjuntamente con sus intereses, en el tiempo previsto.

De lo explicado, pueden ya clasificarse las operaciones financieras en funcin del objetivo que se persigue con su realizacin, en dos grandes grupos a saber:

Operaciones de Inversin : Cuyo objetivo es acumular un monto al final del tiempo, mediante la realizacin de depsitos y la acumulacin de intereses.

Operaciones de financiamiento : Cuyo objetivo es disponer de un capital al momento inicial, que permita al solicitante, la realizacin de la o las operaciones reales que necesite, y el cual deber cancelar en el lapso acordado con el acreedor, conjuntamente con los intereses generados.

Puede observarse, que cualquiera que sea el tipo de operacin financiera, siempre existe un elemento en comn y es que en cualquier caso existe un oferente de recursos financieros, quien ganar un inters por su aporte, y un demandante de dichos recursos, quien pagar el referido inters.

Es importante destacar, que las diferentes operaciones financieras siempre estarn documentadas, existiendo multiplicidad de documentos financieros a travs de los cuales se materializa el compromiso. Cabe destacar por su importancia los siguientes: Cuentas de Ahorro y depsitos a plazo; Crditos amortizables mediante cuotas; Inversiones en ttulos (por ejemplo Bonos); Crditos de corto plazo (pagars); etc. Lo importante de todos ellos, es que cada uno tiene su manera particular de calcular los intereses.

2. Flujos de caja derivados de las Operaciones FinancierasToda operacin financiera genera un flujo de caja perfectamente definido, tanto para el oferente de recursos como para el demandante de los mismos; por supuesto, que de diferente signo entre ambos, ya que lo que para el primero es un egreso, para el segundo es un ingreso y viceversa.

El flujo de caja de una operacin financiera, es el conjunto de ingresos y egresos de efectivo que se generan de dicha operacin financiera.

Convencionalmente, se considerarn flujos positivos, aquellos que tiendan a incrementar los saldos (Depsitos; Contrataciones de deuda; Ingresos), y flujos negativos, los que ocasionan reduccin en los saldos (Retiros; Pagos; Gastos).

Con el propsito de tener una clara visualizacin de todos los flujos de caja de una operacin financiera, se elaboran los Diagramas de Flujos de Fondos los cuales son una herramienta de gran utilidad para el anlisis y buen planteamiento de los problemas financieros.

La elaboracin de un buen Diagrama de Flujo de Fondos, puede significar la conclusin exitosa del anlisis y resolucin de una operacin financiera.

El Diagrama de Flujo de Fondos, es una representacin grfica de las diferentes movilizaciones de efectivo que genera la operacin financiera, y muestra en una lnea que representa el transcurrir del tiempo, el momento especfico en que se produce cada transaccin de efectivo, as como las tasas de inters que estuvieron vigentes durante cada lapso de tiempo.

Generalmente, los flujos positivos se representan con una flecha hacia arriba y los negativos con una flecha hacia abajo. Debe destacarse, que cada movimiento de dinero, se realiza en un momento preciso, por lo tanto debe representarse grficamente en el momento especfico en que se produce, en cambio, las tasas de inters, no se representan en un momento puntual sino que deben cubrir todo el lapso de tiempo durante el cual se mantengan vigentes.

A continuacin se presenta un diagrama de flujo a ttulo de ejemplo, destacando los flujos positivos y los negativos. El eje horizontal representa el tiempo, observando que cada divisin representa iguales o proporcionales lapsos de tiempo. Normalmente, los diagramas de flujo comienzan en el momento cero 0, el cual representa al momento actual (Hoy), o fecha en la cual se inicia la operacin, sin embargo, pueden presentarse flujos de caja ubicados en momentos negativos, los cuales representan el pasado; esto podra ocurrir, por ejemplo, si se grafican deudas vencidas.

DIAGRAMA DE FLUJO DE UNA OPERACIN FINANCIERA

+30 Flujos Positivos +100

i1 i2

012 4 3 5 6 7 8 ...... n

Flujos Negativos

-20 -40

3. Definicin de los elementos financieros:En toda operacin financiera intervienen fundamentalmente tres elementos a saber:

CAPITAL: Es todo bien valorable en trminos monetarios, sujeto de ser invertido para generar intereses.

PLAZO : Tiempo durante el cual, un capital se mantiene invertido generando intereses. Tambin se define como plazo, la duracin total de las operaciones financieras, por ejemplo un depsito a tres meses, o por ao y medio, etc..

TASA DE INTERS : Es el canon de arrendamiento del capital prestado. Se define como el inters que produce la unidad monetaria durante la unidad de tiempo; est expresado en trminos porcentuales, pero se debe utilizar en tanto por uno para la realizacin de clculos financieros, ejemplo 12% anual la tasa es i=12/100=0,12.

La Tasa de Inters es prcticamente la Ley Financiera que rige las operaciones; al igual que cualquier canon de arrendamiento, debe estar referida a un perodo de tiempo en especfico, por ejemplo, un apartamento se alquila en Bs.300.000 mensuales, el capital se coloca al 5% mensual.

Mas adelante, ampliaremos algunas caractersticas importantes de la tasa de inters.

INTERES : Es la ganancia total obtenida por un capital durante toda la vigencia de su colocacin. Se mide en trminos monetarios (no porcentuales), y no tienen que estar referidos a un perodo de tiempo especfico.

La conjugacin de los cuatro elementos definidos, genera los resultados de las operaciones financieras, los cuales se definen como :

MONTO O VALOR FINAL: es la suma al final de la operacin financiera, del capital invertido ms los intereses generados por este. Se deduce que el monto o valor final, es el resultado obtenido al final de la operacin, por lo tanto su ubicacin siempre estar en el momento en que dicha operacin llega a su trmino.

VALOR ACTUAL : Es el valor de la operacin financiera al momento de inicio de sta. Pareciera ser equivalente al Capital, sin embargo mas adelante veremos que no son exactamente iguales. Este concepto cobra particular importancia en el estudio de las operaciones de Descuento de Documentos de Crdito.

Utilizaremos la siguiente notacin para identificar cada uno de los elementos conceptualizados:

C : CAPITAL

n : PLAZO (Tiempo)

i : TASA

I : INTERS

VF;(M);( S): MONTO

VA (A) : VALOR ACTUAL

Los smbolos en parntesis, son formas comnmente utilizadas tambin, para representar las variables indicadas

Una vez definidas las variables que componen una operacin financiera, as como la clasificacin de sta en funcin del objetivo perseguido, podemos estandarizar el planteamiento de los problemas financieros en ecuaciones tipo, aplicables a cualquier operacin financiera, y que permitan su resolucin sin mayores inconvenientes.

Es un hecho, que la persona que abre una cuenta de ahorros, est pensando a futuro, busca ganar intereses con su dinero y as acumular un monto mayor al disponible en la actualidad. De aqu, podramos concluir que un problema de clculo financiero, correspondiente a operaciones de Depsitos, debe plantearse con miras a obtener el valor final de la operacin y de esa manera calcular (por simple despeje aritmtico), cualquier incgnita que se presente.

De la misma manera, si una persona solicita un crdito, su mirada est puesta en una necesidad de recursos actual, para cuya cobertura acude al mercado financiero y se endeuda lo que le ocasionar el pago de intereses. Resulta evidente en este caso, que la mirada del interesado est puesta en el momento actual, cuando necesita los recursos financieros que le permitan satisfacer su necesidad, ya que al final de la operacin, cuando todo se haya cancelado, el saldo ser cero y no habr ms nada que calcular.

Se concluye, que cuando las operaciones financieras son de endeudamiento (deudas y pagos), el planteamiento de las ecuaciones debe realizarse mediante clculo de valor actual, despejando cualquier incgnita que se presente en la referida ecuacin.

ECUACIONES BSICAS PARA PLANTEAMIENTO DE OPERACIONES FINANCIERAS

1.- Problemas de Depsitos y Retiros:

Saldo = Monto Total de Depsitos - Monto Total de Retiros

S = MTD- MTR

1.- Problemas de Deudas y Pagos

Valor Actual de las Deudas = Valor Actual de los Pagos

VAD = VAP

III.- LA TEORIA DEL INTERS Y LOS REGMENES DE CAPITALIZACIN:

Se llama capitalizacin, al proceso mediante el cual los intereses generados por un determinado capital se agregan a ste para formar un nuevo capital y producir ms intereses dentro de la misma operacin.

La legislacin venezolana, presenta restricciones a la capitalizacin de intereses en el caso de financiamientos; esto significa, que la Banca no puede capitalizar los intereses que un deudor haya dejado de pagar, razn por la cual, debe aplicar tasas de mora, las cuales son siempre ms altas que las tasas regulares de las operaciones.

Al contrario de lo antes expresado, la generalidad de las cuentas de ahorros capitalizan los intereses ganados por los ahorristas.

Dependiendo de que las operaciones financieras se definan permitiendo la capitalizacin o no de intereses, se presentan los dos regmenes de capitalizacin que estudia la Matemtica Financiera, como son el Inters Simple y el Inters Compuesto.

A.1 .- INTERES SIMPLE

1. CONCEPTOS Y FORMULACIN

Es el rgimen mediante el cual, los intereses ganados no se agregan al capital para generar nuevos intereses.

En este rgimen, el Capital (C) invertido en la operacin financiera, se mantiene inalterable durante toda la duracin de esta, de manera que los intereses ganados en cada perodo sobre el capital inicial invertido sern constantes, a no ser que dicho capital sea aumentado o reducido mediante aportes o retiros.

Tan como se seal anteriormente, el Inters Simple es aplicado debido a restricciones legales, en la mayora de las operaciones de crdito de la banca, fundamentalmente, porque las operaciones de financiamiento son documentadas, anotndose en los respectivos papeles el capital prestado, en consecuencia no podra alterarse dicho capital mediante acumulacin de intereses.

El inters simple se calcula mediante reglas sencillas de proporcionalidad, de la siguiente manera:

I = C . i/100 . n

Partiendo de la frmula anterior, y considerando que el monto o valor final de una operacin financiera es la suma del capital invertido mas los intereses ganados, (M=C+I), puede deducirse una frmula que permita calcular el Monto de la operacin sin calcular primero los intereses y despus sumar. Al sustituir la frmula de clculo de Inters en la de clculo de Monto, tendremos: M=C+ (C. i/100. n), de lo cual, al sacar el capital como factor comn, se deduce que:

M = C. (1+ i/100 . n)

La aplicacin de estas frmulas exige la condicin fundamental de que debe existir homogeneidad entre la medicin del plazo y la tasa. En este sentido, si la tasa se expresa en trminos anuales, el plazo ( tiempo ) debe tambin estar medido en aos.

Como generalmente, las tasas de inters en el mercado, son citadas en trminos anuales (casi todas las tasas que se mencionan en la banca, se refieren a tanto por ciento anual), cuando se van a realizar los clculos correspondientes, se toman las previsiones de conversin que correspondan.

De la misma manera, es regla general, derivada de la claridad en la expresin, que las tasas de inters estn expresadas en tanto por ciento ( 10%; 48%; etc.), sin embargo, stas deben utilizarse en tanto por uno ( i/100) para su aplicacin en el clculo de intereses. 2. ANLISIS DEL TIEMPO Y TASAS EQUIVALENTES

Lo anteriormente expuesto, genera un aspecto importante en cuanto al estudio del inters simple. Efectivamente, el hecho de que el plazo y la tasa deban ser expresados en trminos homogneos, ocasiona dos posibilidades a saber: i) Adaptar el tiempo segn est expresada la tasa o ii) Adaptar la tasa, segn est expresado el tiempo.

Evidentemente que cualquiera de las vas arrojar el mismo resultado, sin embargo, se recomienda, en lo posible, que la tasa sea convertida de acuerdo con la medicin del tiempo. De manera que si la operacin va a realizarse en aos, la tasa debe ser anual; si por el contrario, el tiempo se va a expresar en meses, la tasa debe ser tambin mensual; y si el plazo es de algunos das, la tasa ser diaria.

La utilizacin del tiempo para efectos de convertir las tasas, est regulado por la Superintendencia de Bancos, obligndose el uso de ao comercial de 360 dias.3. USOS Y PLANTEAMIENTO DE OPERACIONES

El uso del inters simple, est restringido a operaciones de corto plazo, ya que sera absurdo que cualquier inversionista aceptara la no utilizacin del inters como nuevo capital para producir ms intereses.

Es normal observar el uso de este rgimen en las operaciones activas de la banca, de corto plazo y cuyos intereses se calculan o cancelan a vencimiento. Por ejemplo: Pagars (en condiciones especiales); Operaciones en mesa de dinero; etc. Y en operaciones pasivas tales como depsitos a plazo, colocaciones y otros instrumentos de captacin de ese estilo.

Tambin es de uso comn el inters simple, para el clculo de intereses de operaciones documentadas mediante bonos o letras de cambio, ya que al estar anotado el capital que representa el documento, este no podr ser variado y en consecuencia los intereses que genere no podrn ser capitalizados.

A.2. DESCUENTO SIMPLE

Ya se ha visto que el inters es la ganancia que se obtiene por la colocacin de un capital en una operacin financiera durante un tiempo determinado.

Si en lugar de esperar al momento futuro para obtener el monto que producira la operacin financiera, se desea disponer del dinero antes de su vencimiento, lgicamente no se producirn los intereses que originalmente se acordaron, de manera que disponer del capital antes del vencimiento, ocasionar el descuento de los intereses no ganados.

Lo anterior se deduce del concepto de VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO, segn el cual, el dinero tendr diferente valor en funcin del momento en que se hace disponible, por ejemplo, si se quiere disponer del dinero a futuro, se acumular un inters al capital original, generando un valor futuro mayor; pero si se quiere disponer de un capital antes de su vencimiento, se ocasionar un descuento de los intereses no generados.

La teora del Descuento se utiliza para operaciones de refinanciamiento o de compra-venta de documentos (Descuento de Giros; Endoso de Facturas; etc.), las cuales se caracterizan por cuanto el acreedor de los documentos no est dispuesto a esperar hasta el vencimiento de los mismos, y acude a las instituciones financieras, las cuales adquieren los documentos de crdito, hacindose acreedoras por tanto, de los intereses que dichos documentos generarn hasta su vencimiento.

Surgen dos conceptos financieros adicionales, como son los siguientes:

VALOR NOMINAL (VN): Es el valor de los documentos de crdito a su vencimiento. Es el valor inscrito en dichos documentos y se llama nominal por cuanto no ser efectivo sino hasta que se cumpla el plazo.

VALOR ACTUAL (VA) : Es el valor que recibir el beneficiario del documento de crdito cuando decide venderlo; incluye el Valor Nominal, menos el descuento realizado por la operacin

i

0 n

C (Intereses ganados) M=C+I d 0 n VA ( Descuento ) VN

VA = VN - D

Acadmicamente, se estudian dos formas de calcular el Descuento:

Descuento Racional : Calculado con base en el Valor Actual

Descuento Comercial : Calculado con base en el Valor Nominal

El descuento racional es exactamente igual al inters simple, ya que al estar calculado con base en el Valor Actual, el cual es equivalente al Capital, generar resultados exactamente iguales al inters, razn por la cual no dedicaremos tiempo a su estudio ya que, adicionalmente, no se utiliza en ninguna clase de operaciones bancarias o comerciales.

En cambio, el Descuento Comercial, llamado tambin descuento bancario o inters pagado por adelantado, es el Descuento calculado sobre el valor Nominal de los documentos, razn por la cual, si se aplica la misma tasa que se aplicara en Descuento Racional, se obtendra un descuento mayor, por ser calculado sobre la base de un valor mayor.

Dc = VN* d/100 * n

Obsrvese que en este tipo de descuento, la tasa de inters se denomina con la letra d, con el propsito de diferenciarlo del Descuento racional.

Usando los mismos procedimientos anteriores, se deduce lo siguiente:

Como

VA = VN Dc

Entonces:

VA = VN* ( 1 d * n )

Con estas sencillas frmulas, puede calcularse cualquier ejercicio de descuento de documentos de crdito, en funcin de lo cual, no debe olvidarse que cuando se trabaja con clculo financiero, la tasa y el tiempo deben medirse en trminos homogneos, siendo lo normal, que la tasa sea adaptada de acuerdo con la medicin del tiempo.

Inters Cobrado por Adelantado:

Una de las operaciones crediticias de corto plazo ms usadas por la banca comercial, es el Pagar, cuya caracterstica principal es que cobra intereses por adelantado.

Analizando el clculo del referido instrumento crediticio, observaremos que el cobro de intereses adelantados, no es otra cosa que la aplicacin del Descuento Comercial a la operacin de crdito, lo cual podr entenderse en el siguiente ejemplo grfico:

Supongamos que se solicita un pagar por Bs. P, con vencimiento a n das y que se aplica la tasa de inters d por adelantado.

Clculo de Intereses Adelantados: I = P * d * nMonto Abonado en cuenta : Dep.= P I = P (P * d * n) = P * (1- d * n )Monto a cancelar al vencimiento : P

Analicemos grficamente:

d

0 n

VA = VN* ( 1 d * n ) VN = P

I(Adelantados)= P * d * n y siento P = VN, entonces:

I(Adelantados)= Dc

B.- INTERS COMPUESTO

1. CONCEPTOS Y FORMULACIN

Tal como se defini anteriormente, el Inters Compuesto es el rgimen segn el cual, los intereses generados por la operacin financiera son agregados al capital para ganar nuevos intereses.

Se define como Capitalizacin, al proceso mediante el cual, peridicamente, los intereses se convierten en capital y forman una nueva base de clculo para los intereses del perodo siguiente, resultando por tanto, que los intereses de cada perodo son mayores que los del perodo anterior, circunstancia que constituye una de las principales diferencias con el rgimen de capitalizacin simple.

En el clculo de inters compuesto, las mediciones del tiempo debern realizarse en funcin de las frecuencias de capitalizacin definidas por las tasas, de manera que, no obstante que se midan operaciones en meses, aos, das, etc. Lo determinante ser el nmero de capitalizaciones.

El grfico a continuacin, ilustra la forma como se calculan los intereses en rgimen compuesto:

PerodoCapital al InicioIntereses del PeriodoSaldo al final

1CI1 =(C*i*1)S1=C+ I1=C+ (C*i*1) =

S1=C* (1+i)

2S1=C* (1+i)I2 =( S1*i*1)S2= S1+ I2= C* (1+i) *(1+i)

S2=C* (1+i)2

3S2=C* (1+i)2I3 =( S2*i*1)S3= S2+ I3= C* (1+i)2 *(1+i)

S3=C* (1+i)3

nSn=C* (1+i)n-1In =( S(n-1)*i*1)Sn= Sn-1+ In= C* (1+i)n-1 *(1+i)

Sn=C* (1+i)n

Se observan un conjunto de reglas bsicas a saber:

1.- En inters compuesto, los intereses de cada perodo son calculados con base en el saldo de la cuenta al inicio del referido perodo.

2.- El monto o valor final de un capital invertido a inters compuesto, a una cierta tasa i durante un tiempo n, se calcula mediante la frmula:

VF = C* (1+i) n

Donde: VF = Monto o valor final de la operacin

C = Capital invertido inicialmente

i = Tasa de Inters

n = Plazo (medido en nmero de capitalizaciones)

Es importante observar, que la tasa y el plazo deben medirse en unidades homogneas, siendo determinante para efectos de conversin, la frecuencia de capitalizacin. Es decir: Si la tasa capitaliza mensualmente, la duracin debe medirse en meses; si la tasa es con capitalizacin anual, la duracin deber ser en aos; si la tasa es con capitalizacin diaria, la duracin deber ser en das.

2. USO Y PLANTEAMIENTO DE OPERACIONES:

El inters compuesto es de amplia utilizacin en el mundo de las finanzas, particularmente para clculo de operaciones de largo plazo y de aquellas cuya duracin es indeterminada, por ejemplo: Cuentas de Ahorro; Financiamientos Hipotecarios; Ahorro Programado; etc.

Tambin es usado el clculo de Inters Compuesto para el anlisis de inversiones, no importando si el rgimen utilizado por la operacin en s es de inters simple, pues se trata de que para el inversionista, los intereses devengados tienen un costo de oportunidad que, de no invertirse en la misma operacin, se podran invertir en operaciones similares, ya que la motivacin es la obtencin del mayor beneficio del capital invertido.

Como ejemplo de lo anterior, podemos destacar el anlisis de rendimiento de las emisiones de ttulos de largo plazo, los cuales pagan intereses mediante cupn, no capitalizable, pero los anlisis financieros se realizan mediante el uso del Inters compuesto; igualmente, las operaciones activas de la banca de corto plazo, las cuales causan inters simple, son evaluadas usando rgimen compuesto debido a la continuidad de dichas operaciones, que las hacen reinvertir los resultados (intereses) continuamente.

El planteamiento de las operaciones de inters compuesto, siempre resulta mucho ms sencillo que las de inters simple, debido a que, como en este rgimen todo dinero es capital, siempre ser utilizado para el clculo de intereses.

A partir de esto, podemos ya establecer dos leyes principales para el planteamiento de operaciones de inters compuesto:

1.- Todo capital genera intereses desde el momento en que se coloca hasta el final de la operacin financiera.

2.- Cuando en una operacin financiera intervienen varios capitales, cada uno genera intereses independientemente, obtenindose el resultado final por suma algebraica de los resultados obtenidos a cada capital.

Este principio implica la observancia de que los flujos positivos (los que aumentas saldos) y los negativos (los que disminuyen saldos), deben ser trabajados por separado y obtener el resultado final por suma algebraica.

i

0 1 2 3 ....... n

C1 C2 M1= C1*(1+i)n M2= C2*(1+i)n-1 R3 R4 M3= R3*(1+i)n-2 M4= R4*(1+i)n-3 MT= M1+ M2- M3- M4

Cuando las tasas de inters varan, el trabajo en inters compuesto resulta igualmente sencillo por cuanto todo monto o saldo de un perodo es capital para el perodo siguiente, de manera que el clculo de monto total se realizar utilizando tantos factores de capitalizacin: (1+i)n , como tasas de inters afecten a cada capital, teniendo en cuenta que el exponente (n) ser el nmero de capitalizaciones que afecte cada tasa a cada capital.Grficamente, sera como sigue:

i1 i2 0 1 2 3 .................... n

C1 C2 M1= C1*(1+ i1)2*(1+ i2)n-2 M2= C2*(1+ i2)n-2 R3 R4 M3= R3*(1+ i1)1*(1+i)n-2 M4= R4*(1+i)n-3

MT= M1+ M2- M3- M4

Es importante recordar, que en todos los casos, la tasa y el plazo deben medirse en unidades homogneas de capitalizacin.

3. TASAS DE INTERS COMPUESTO

Por cuanto la determinacin del inters compuesto es realizada por las capitalizaciones, las Tasas de Inters Compuesto deben hacer referencia siempre a la frecuencia de capitalizacin.

En Rgimen de capitalizacin simple, citbamos que resultaba indiferente adaptar la medicin del plazo de acuerdo con la tasa, o la tasa de acuerdo con el tiempo; Esto cambia rotundamente en inters compuesto, ya que, como veremos de seguidas, no es lo mismo el 12% anual que el 1% mensual.Las tasas de inters compuesto se clasifican de acuerdo con los soguientes conceptos:

TASA NOMINAL ( jm) : Es aquella tasa que estando referida a una unidad de tiempo especfica, capitaliza con frecuencias diferentes. Por ejemplo: 12% anual con capitalizacin mensual ( j12 = 12%); 60% pagadero trimestralmente ( j4 = 12%) (Obsrvese en el segundo ejemplo, que se obvi la palabra anual, esto es debido a que cuando esto no se cita, se sobreentiende ).

TASA EFECTIVA ( i ): Es la tasa anual efectivamente devengada por la operacin financiera. Cuando se dice 50% anual, con capitalizacin mensual, por lo citado anteriormente, ese 50% es nominal, resultando que su valor anual efectivo es diferente (superior) al 50%, como veremos mas adelante.

TASA EQUIVALENTE( im ): Es la tasa de inters peridica que efectivamente devenga la operacin financiera. Se le llama equivalente con el propsito de diferenciarla de la anual, pero en realidad es tan efectiva como la anual, solo que referida a perodos diferentes de tiempo. Ejemplos: 12% trimestral con capitalizacin trimestral ( i4=0.12); 1% mensual con capitalizacin mensual ( i12=0.01); etc.

Nota: En el caso de las tasas equivalentes, se utiliz el valor real de las mismas, esto es: en tanto por uno y no en tanto por ciento. Para efectos del curso, cuando no se haga mencin de la frecuencia de capitalizacin, se entender que la tasa es efectiva o equivalente.

4. CONVERSIN DE TASAS

Para comenzar, debemos tener presente que la TASA NOMINAL, como su nombre lo indica, no es realmente una tasa de inters sino un indicador de dicha tasa. La tasa equivalente representada en una Nominal, es aquella que se refiere a las frecuencias de capitalizacin, por ejemplo, 18% anual con capitalizacin mensual, es una tasa equivalente mensual; 60% anual capitalizable trimestral, es una tasa equivalente trimestral; etc.. La tasa equivalente representada en la nominal, se obtendr dividiendola entre el nmero de capitalizaciones includas, por ejemplo:

18% anual con capitalizacin semestral : i2==0.09 semestral c/cap.semestral

60% anual con capitalizacin mensual : i12=0.60/12=0.05 mensual c/cap.mensual

45% anual renovable bimestralmente : i6=0.45/6=0.075 bimestral c/cap.bimestral.

No sera posible decir que una tasa equivalente mensual del 5% sera igual que una tasa efectiva anual del 60%; en efecto, si cada mes se agregan al capital los intereses acumulados al 5% mensual, este inters generar nuevos intereses en cada mes subsiguiente y as cada uno de los intereses ganados en cada mes, generando al final del ao mucho mas del 60%.

Si dos tasas de inters diferentes en cuanto a su capitalizacin, aplicadas al mismo capital durante la misma cantidad de tiempo, producen la misma cantidad de intereses, o sea el mismo monto o valor final, puede concluirse que dichas tasas son equivalentes.

Para deducir la frmula general que nos permita convertir cualquier tasa de inters compuesto en cualquier otra tasa con diferente capitalizacin, utilizaremos el siguiente grfico:

Sea:

C, un capital cualquiera

in, una tasa de inters que necesitemos para una operacin

id, La tasa de inters conocida o disponibleEntindase que tanto n como d son subndices de tasas equivalentes y representan partes de un ao; por ejemplo si se necesita una tasa trimestral, n ser igual a 4 ; si se dispone de una tasa mensual, d ser igual a 12, etc.

Supongamos que se coloca el capital C durante un ao (n= un ao), a las dos tasas de inters antes descritas (in y/o id ); el saldo o monto producido en ambas colocaciones ser:

in

0 1 ao = n partes

C M= C*(1+ in)n Id

0 1 ao = d partes

C M= C*(1+ id)dSabemos que : n y d son la misma cantidad de tiempo (un ao), pero medido en diferentes unidades, por ejemplo, n podra ser semestres y d podra ser trimestres. Si en monto de ambas operaciones es igual, se puede concluir que las tasas son equivalentes ya que se aplicaron al mismo capital.

Entonces si: C*(1+ in) n = C*(1+ id) d

Simplificando el capital, se tendr que: (1+ in)n =(1+ id)dEn donde podemos despejar el valor de in as:

in=(1+ id)d/n -1

Donde: n = nmero de partes en un ao del perodo en que se necesita trabajar

d = nmero de partes en el ao del perodo en que est expresada la tasa

IV.- TEORIA BASICA DE LAS RENTAS

1. CONCEPTOS Y OPERATIVIDAD

Una renta es un conjunto de capitales que se realizan peridicamente (a intervalos regulares de tiempo), en una operacin financiera, con un propsito especfico.

i 0 1 2 3 .................... n

R R R ........................... R

La renta est compuesta por tres (3) elementos a saber:

R - Cuotas (Capitales que se movilizan peridicamente)

n - Duracin de la Renta (Nmero de cuotas)

i - Tasa de la Renta (Tasa de inters que afecta a las cuotas)

Los tres elementos que componen la renta, tienen en s caractersticas particulares que deben ser bien conocidas a fin de poder identificar y operar la renta en las operaciones financieras.

En efecto, la cuota ( R ) es el capital o flujo monetario que se moviliza peridicamente, es efectivamente una variable monetaria y su propsito es la ejecucin del fin de la operacin financiera.La Duracin de la renta ( n ), se mide en trminos de tiempo y se identifica como duracin, pero realmente la duracin de la renta no es tiempo sino nmero de veces que se repite la cuota.

En cuanto a la tasa ( i ), su concepto no cambia en el caso de las rentas, pero se respetar la condicin de homogeneidad que debe existir en las operaciones financieras en cuanto a la medicin del tiempo, la tasa y ahora tambin, la periodicidad de pago de las cuotas.

Para cumplir con la condicioon de homogeneidad, se tomar como base la frecuencia de pago de las rentas.La frecuencia de pago de las cuotas, determinar la forma de medir la duracin y la tasa

Esto significa, que si la cuota es mensual, la duracin y la tasa se medirn en trminos mensuales; si la cuota es semestral, plazo y tasa en semestres; etc.

2.- CLASIFICACIN DE LAS RENTAS

De acuerdo con diferentes factores, las rentas pueden clasificarse de la siguiente manera:

INMEDIATAS: Las que comienzan a ejecutarse al iniciarse la operacin.

DIFERIDAS: Cuando comienzan varios perodos despus de iniciada la operacin

ADELANTADAS: Cuya cuota se paga al inicio de cada perodo.

VENCIDAS: Las que esperan al final del perodo de paga para ejecutar la cuota.

CONSTANTES: si todas las cuotas son iguales

VARIABLES: En caso de que las cuotas no sean todas iguales

DE AMORTIZACIN: Destinadas a cancelar deudas previamente contradas

DE CAPITALIZACIN: Destinadas a acumular un monto al final de la operacin

TEMPORALES: Cuando tienen una duracin determinada finita

PERPETUAS: aquellas cuya duracin no se puede determinar estimndose eternas.

Obsrvese que la clasificacin depende de una determinada caracterstica, de manera que todas las rentas debern ser incluidas en todas las clasificaciones, siendo imposible que puedan ser simultneamente de dos tipos contrapuestos, es decir, no podr la renta ser INMEDIATA Y DIFERIDA o DE AMORTIZACIN y DE CAPITALIZACIN, etc.

Por razones de simplificacin en este curso se estudiarn los casos bsicos de rentas CONSTANTES Y TEMPORALES.

3.- CALCULO DE MONTO DE LA RENTA

El monto de la Renta (S) es la suma de todas las cuotas mas los intereses producidos por cada una de ellas hasta el final del plazo de la Renta. Se aplica generalmente en operaciones de capitalizacin, caracterizadas por la intencionalidad de acumular un saldo o valor final mediante el ahorro de cuotas que generarn intereses.

i 0 1 2 3 ............. n-1 n

R R R .................. R R R

R*(1+i)n-1

R*(1+i)n-2

R*(1+i)n-3

: :

R*(1+i)1 S=SUMA

S = R+ R*(1+i)1 + .... + R*(1+i)n-3+ R*(1+i)n-2 + R*(1+i)n-1

S = R * (1+1+i)1+(1+i)n-3+(1+i)n-2+(1+i)n-1 )

S = R *S n i

El Smbolo S n i se denomina Monto de la Renta Unitaria, y es el monto que producira una renta de Bs. 1, durante el tiempo n (nmero de cuotas), a la tasa de Inters i, el cual como podr observarse en el grfico anterior, es la suma de los n trminos de la progresin geomtrica de razn (1+i ); por lo tanto, aplicando la frmula de suma de los trminos de la progresin geomtrica, obtendremos la frmula de monto de la renta, as:

Debe recordarse que la aplicacin de esta frmula y todas las dems relativas a rentas, est sujeta a la condicin de homogeneidad entre Frecuencia de Pago, Duracin, y Tasa.

4.- CALCULO DEL VALOR ACTUAL DE LA RENTA

Valor Actual de la renta, es la suma de todas las cuotas, actualizadas o valoradas en el momento de inicio de la renta; es decir, todas las cuotas menos los intereses que cada una de ellas podra haber incluido desde el inicio.

i 0 1 2 3 ............. n-1 n

R R R ............................. R

R*(1+i)-1 R*(1+i)-2 R*(1+i)-3 : :

R*(1+i)-n

A=R+ R*(1+i)-1 + R*(1+i)-2 + R*(1+i)-3 + R*(1+i)n-1+...+ R*(1+i)-n

A = R * ((1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + (1+i)n-1+...+ (1+i)-n )

A = R *A n i

El Smbolo An i es denominado Valor Actual de la Renta Unitaria, y es el valor que tendra en el inicio, una renta de Bs. 1, durante el tiempo n (nmero de cuotas), a la tasa de Inters i, el cual como podr observarse en el grfico anterior, es la suma de los n trminos de la progresin geomtrica de razn (1+i )-1 ; por lo tanto, aplicando nuevamente la frmula de suma de los trminos de la progresin geomtrica, obtendremos la frmula de Valor Actual de la renta, as:

5. OPERATIVIDAD DE LAS RENTAS:

Puede observarse, que las frmulas de las rentas deducidas anteriormente, han sido obtenidas a partir de la renta Vencida o de Trmino Vencido, la cual se caracteriza, como se recordar, porque la cuota se paga al final de cada perodo.

Si la renta fuese de trmino adelantado, es decir, si se pagara al inicio de cada perodo, lgicamente, cada cuota generara intereses por un perodo ms, de donde se deduce que la frmula deber ser adicionalmente multiplicada por el factor (1+i) .

Por otro lado, tal como se ha demostrado, el valor final de la renta ( S ), est calculado al momento de finalizacin de la renta, es decir incluye nica y exclusivamente, los intereses ocasionados por las cuotas durante el tiempo de su vigencia. En caso de que la renta no termine junto con la operacin, el monto de la renta seguir ocasionando intereses hasta que la operacin sea concluida.

De la misma manera, el Valor Actual de la Renta, descuenta intereses dejados de generar hasta el momento de inicio de los pagos, de manera que si la renta se inicia posteriormente a la fecha de comenzar la operacin financiera, debern descontarse adicionalmente, los intereses generados desde el inicio de la operacin, hasta el inicio de la renta; este es el caso de las rentas DIFERIDAS.

i

0 t k n

R=xxx

n=(k-t) i= i

A=R *A n i S = R *S n i VA VF

El grfico anterior representa una renta que se causa entre t y k, teniendo por tanto, su monto en k y su Valor Actual en t; sin embargo, para obtener el valor actual de la operacin financiera habr que descontar A hasta 0 y para obtener el monto de dicha operacin, habr que seguir acumulando intereses hasta n.

Por ltimo, si durante el tiempo de vigencia de la renta llegare a cambiar la tasa, tendr que dividirse la renta en tantos tramos o rentas, como tasas la afecten, realizando los clculos a cada renta por separado y obteniendo el Monto o Valor Actual, por suma algebraica de los montos o valores actuales calculados a cada renta por separado.

Supongamos una Renta de Bs. R que se ejecutar durante el tiempo n, pero la tasa de inters i cambie en t:

i1 i2

0 t n

VA1=A1 R = R R=R

n = t n = (n-t) S2=VF2 i = i1 S1 i = i2 VF1=S1*(1+i) n-t

VA2=A2*(1+i)-t A2 VA=VA1+VA2 VF=VF1+VF2

V.- AMORTIZACIN DE CREDITOS

En este tema trataremos una aplicacin especfica de la teora de rentas, como es el caso de la cancelacin de crditos mediante cuotas, cada una de las cuales incluye intereses del perodo y amortizacin de capital.

Estudiaremos solamente dos de los principales sistemas de amortizacin, el primero basado en cuotas de capital constante, llamado Sistema Alemn, cuya caracterstica principal se deriva de que la renta o pago total ser decreciente, motivado a que la amortizacin constante de capital, genera disminucin constante de los intereses. Y el segundo, basado en pagos de rentas constantes, llamado Sistema Francs, cuya caracterstica fundamental es que la amortizacin de capital de cada cuota es creciente en forma de progresin geomtrica, decreciendo por tanto los intereses en cada pago, debido lgicamente a la reduccin del capital adeudado.

En Venezuela, suele utilizarse el Sistema Francs para las operaciones de crdito de largo plazo, tales como crditos Hipotecarios, mientras que el sistema Alemn es de menor uso, aplicndose principalmente en operaciones de financiamientos corporativos de mediano plazo.

1. SISTEMA ALEMN

Segn lo conceptualizado, si se contrata un prstamo de P Bolvares, para ser cancelado en n cuotas de capital constante, a la tasa de inters i, tendremos lo siguiente :

Cuota de Amortizacin: t = P/n Intereses del primer perodo: I1 = P* i

Renta del Primer Perodo : R1 = t + I1

Saldo de la deuda despus del primer pago: D1 = P t

Como el saldo de la deuda va decreciendo de manera constante en t bolvares cada

perodo, puede esperarse que los intereses se reduzcan de manera proporcional ya que no se pagarn intereses sobre el capital cancelado; por otro lado, como la cuota se compone de amortizacin (constante) mas intereses (decrecientes), se concluye que dicha cuota tambin ser decreciente.

Se desprenden las siguientes frmulas adicionales:

Saldo de la deuda en cualquier momento kde tiempo: Dk = P k * t

Cuota total a pagar en cualquier perodo k : Rk = t + Ik

Intereses de cualquier perodo k: Ik = D(k-1)* ik

Recurdese que la tasa puede variar en cualquier momento

Para calcular el total de intereses causados por la operacin, ser preciso sumar todas y cada una de las cuotas de inters pagadas. Este clculo, en caso de que la tasa se mantenga constante, resulta sencillo ya que tanto la cuota total como los intereses peridicos forman una progresin Aritmtica decreciente de razn (t* i), de manera que la suma de los intereses o intereses totales se podran calcular con la frmula siguiente:

En caso de que se estimen variaciones en la tasa, se tendr que calcular la cuota de intereses de cada perodo y sumarlas una por una.

2. SISTEMA FRANCS

Es el sistema de amortizacin comnmente utilizado para proyectar las amortizaciones de crditos hipotecarios y otros de largo plazo. Parte del supuesto de que la tasa de inters se va a mantener constante durante toda la vida del crdito y en consecuencia se podr calcular una renta constante que permita cubrir los intereses de cada perodo ms una cuota de capital (amortizacin).

Este sistema es llamado tambin de amortizacin progresiva por cuanto la amortizacin de capital aumenta en progresin geomtrica debido a que en la medida que se amortiza, decrecen los intereses y dado que la cuota (renta) es constante, el diferencial de intereses no pagado, se agregar a la cuota de capital la cual crece en cada perodo.

Es utilizado en sus variantes de financiamiento con perodo de gracia y financiamiento con Cuota Baloon. El primero de los casos, consiste en acordar con el cliente, un perodo inicial (perodo de gracia) durante el cual slo pagar los intereses causados, iniciando la amortizacin de capital a partir de ese tiempo; En cambio el segundo, consiste en calcular una cuota que permita amortizar una parte de la deuda durante un tiempo especfico, y la parte no cancelada se pagar mediante una cuota especial nica al final del perodo acordado, cuota sta que es llamada Cuota Baloon y usualmente genera su refinanciamiento.

En cualquiera de los dos casos, deben tenerse en cuenta dos principios fundamentales:

1.- Los intereses no pueden capitalizarse por disposiciones legales.

2.- El clculo de la renta ser para el saldo de la deuda a cancelar y para el perodo durante el cual se estar amortizando.

Las operaciones financieras de amortizacin, son financiamientos otorgados para ser cancelados mediante rentas, y para efectos de nuestro estudio, trabajaremos el caso en que dichas rentas sean constantes.

Es evidente, que para que una deuda pueda cancelarse mediante renta constante cuya cuota incluya capital e intereses, debe cumplirse la condicin de que la tasa permanezca constante durante toda la vida til de la operacin, en caso contrario, los intereses variarn y en consecuencia, la cuota tambin.

La amortizacin mediante sistema francs, se plantea bajo el criterio de que la deuda contratada inicialmente, va a ser cancelada durante un tiempo determinado (nmero de cuotas), mediante cuotas constantes, a una tasa que, para efectos de la proyeccin, se considerar constante, de tal manera que se usar grficamente el siguiente planteamiento:

i 0 n

R = xxx

D n = n

i = i

D = R *A n i

Esto significa que el primer clculo a realizar es la cuota que redimir la deuda en el tiempo y a la tasa prevista, clculo que se realizar mediante un simple despeje de la frmula de clculo de Valor Actual de la Renta.

Nota: Se recomienda calcular primero el factor de actualizacin de la renta y despus calcular la incgnita por despeje aritmtico simple.

En este sistema de amortizacin, los intereses se calcularn, al igual que en cualquier procedimiento de crdito, sobre el saldo no cancelado de la deuda y de acuerdo con la tasa vigente para el correspondiente perodo; se deduce por lo tanto, que la amortizacin contenida en cada cuota ser la diferencia entre el total pagado y el inters calculado.

De esta manera se tendr:

Ik = D(k-1)* ik

Siendo D(k-1), el saldo de la deuda al principio del perodo de clculo.

tk = R - Ik

Por cuanto la cuota es constante y los intereses van decreciendo como consecuencia de la disminucin en el saldo de la deuda, se desprende que la amortizacin crecer.

3. TABLAS DE AMORTIZACIN :

La tabla de amortizacin es un cuadro que recoge los movimientos de una deuda, desde el momento en que se contrae hasta su total cancelacin.

Se compone de tantas filas como cuotas deban satisfacerse para cancelar totalmente la deuda y aproximadamente 6 columnas (algunas tablas se hacen con 8 columnas en los casos en que interese conocer valores acumulados), cada una de las cuales se refiere a una variable o un valor especfico en cada momento de tiempo.

PERIODODEUDA AL INICIOCUOTAINTERES DEL PERODOAMORTIZACIN DEL PERIODOSALDO AL FINAL

0----D

1D0R1I1= D0*it1= R1 - I1D1= D- t1

2D1R2I2= D1*it2= R2 I2D2= D1- t2

3D2R3I3= D2*it3= R3 I3D3= D2- t3

...............

(n-1)Dn-2Rn-1In-1= Dn-2*itn-1= R-n-1 -In-1Dn-1= Dn-2- tn-1

nDn-1RnIn= Dn-1*itn= Rn - I1Dn= 0

La tabla de amortizacin es exactamente igual en cuanto a su formacin , usando el sistema Alemn que usando el sistema Francs; nicamente se diferenciarn en el orden de construccin ya que en el Sistema Francs, la renta es siempre igual, calculndose la amortizacin de cada perodo por diferencia con la cuota, mientras que en Sistema Alemn, la Amortizacin de cada perodo es constante, debindose calcular la cuota (renta) por suma de la amortizacin constante, mas los intereses de cada perodo.

APNDICE MATEMTICO

La intencin de este curso es lograr el conocimiento de las operaciones financieras, con un uso muy reducido de clculos matemticos que podran resultar complejos; sin embargo resulta imprescindible conocer algunas reglas matemticas que permitan en un momento determinado, despejar cualquier incgnita de las ecuaciones.

Conviene por tanto, conocer las siguientes reglas de despeje algebraico:

1.- toda variable ubicada en un lado de la igualdad (ecuacin), puede ser trasladada al otro lado, con signo contrario; es decir, toda variable que est sumando en un lado de la igualdad puede pasar restando al otro lado; la que est dividiendo puede pasar multiplicando; etc .

Si: (A + B) = C X D ;

1.- para despejar una variable, esta debe aislarse en un lado de la ecuacin, movilizando primero los sumandos y despus las multiplicaciones y divisiones.

2.- Si la variable a despejar est dentro de un parntesis o en un numerador o denominador, debe inicialmente aislarse el parntesis, numerador o denominador donde se encuentre la variable y despus despejarla.

Si:

3.- Para despejar incgnitas en ecuaciones exponenciales, se utilizarn radicales si la incgnita es la base de la potencia o logaritmos si la incgnita es el exponente de la potencia.

Debe recordarse que en caso de que la base sea una suma u otra expresin algebraica, debe eliminarse primero la expresin exponencial y despus se despeja la incgnita.

Si:

EJERCICIOS

I. INTERS Y DESCUENTO SIMPLE

1.- Elabore los flujos de efectivo que generan las operaciones siguientes:

Un padre desea enviar su hijo a estudiar al exterior dentro de 5 aos, para lo cual abre una cuenta de ahorros donde deposita cada semestre Bs. 5.000.000. Se estima que la cuenta pague intereses a razn del 36% anual los primeros dos aos y 24% anual el resto del tiempo.

Se solicita un crdito para adquirir un vehculo, comprometindose a cancelar cuotas mensuales por un ao mas cuotas especiales cada tres meses. Se otorga un beneficio de tasa fija por un ao.

Se envan a descuento al Banco, cinco letras de cambio por valores L1; L2; L3; L4 ; L5; cuyos vencimientos son n1; n2; n3; n4 ; n5 meses. Se aplica una tasa de descuento del d% anual. El resultado se deposita inmediatamente en cuenta corriente del cliente.

2.- Se abre un plazo fijo por Bs. 10 millones, con vencimiento a tres (3) meses al 22% anual. A los 60 das, el cliente requiere el dinero y llega a un acuerdo pagando una penalidad del 25% de los intereses correspondientes al plazo que falta por vencerse. Calcular los intereses que se habra ganado el cliente si espera hasta el final del plazo; y la tasa de inters que realmente se gan por su inversin en los 60 das. 550.0003.- Se compran unos bonos de la Deuda Pblica cuyo valor nominal es de Bs.500.000, tienen vencimiento a 5 aos, pagan intereses mediante cupn semestral al 30% anual, y son negociables. Al ao se venden con una prima (precio por encima del Valor Nominal) del 10%. Calcular la tasa de inters que realmente obtuvo el inversionista (suponga que no reinvirti los cupones). 40%4.- En cuanto tiempo puede esperarse que un capital colocado al 20% anual, se duplique. 5 aos5.- Qu capital debe colocarse al 18% anual, para que en 7 meses permita dar el 30% de cuota inicial para la compra de un vehculo cuyo precio se estima en Bs.18.000.000 para esa fecha.4.886.877,836.- Un plazo fijo se abri con Bs.150.000, al 25% anual, vencimiento a 60 das, renovable automticamente de acuerdo con las tasas de mercado del momento de la renovacin. Los intereses son depositados mensualmente en cuenta de ahorros que paga el 12% anual, sobre saldos mensuales. El plazo fijo se renov una vez, y al final del plazo, el cliente tuvo un monto total (entre plazo fijo y cuenta de ahorros) de Bs.163.065. Calcular la tasa que pag el plazo fijo para la renovacin; y la tasa promedio obtenida por el cliente en toda la operacin. 27% anual; 26,13% anual7.- Calcular el descuento que se le aplic a una letra de cambio de Bs. 100.000, con vencimiento a 3 meses, siendo la tasa de descuento del 60% anual. Qu tasa de ganancia obtuvo el descontante? 70,59%8.- Un cliente manda al banco para descontar 3 letras de cambio por Bs. 200.000; Bs.250.000; y Bs. 300.000, cuyos vencimientos son a 60, 90, y 120 das, El banco aplica una tasa de descuento comercial de 50% anual. Calcular el monto abonado en cuenta. 652.083,339.- Si el deudor de las letras del problema anterior, ofrece al banco cancelar las tres deudas mediante un solo pago a los 90 das, calcule en valor de dicho pago sabiendo que el banco le aplicar para el refinanciamiento, una tasa del 45% anual. 745.774,6510.- Se otorga un pagar de Bs. 15.000.000, al 60% anual adelantado y vencimiento a 90 das. Calcular el monto neto abonado en cuenta al cliente y la tasa que efectivamente pag ste. 70,588 % anual11.- Una empresa requiere cubrir su nmina que monta Bs.12.000.000, para lo cual acude a financiamiento mediante pagar al 45% de inters anual adelantado y vencimiento a 3 meses. Calcular el monto que debe solicitar la empresa para que le abonen exactamente su requerimiento de efectivo. 13.521.126,7612.- El pagar solicitado en el ejercicio anterior fue renovado al vencimiento, mediante abono de Bs. 6.000.000 para cancelar los intereses de la renovacin mas abono a cuenta de capital. Calcular los intereses pagados por la renovacin y el monto del nuevo pagar. 5.046.617,7413.- Se ofrece un plan de financiamiento a corto plazo de tal manera que el cliente decidir si prefiere los intereses adelantados o a vencimiento. Si la tasa preferencial es del 45% adelantado, calcular la tasa que debe cobrarse a vencimiento, de manera que resulte exactamente igual. Estmese pagar convencional con vencimiento a tres meses. 50,704% anual14.- Un cliente tiene inversiones a plazo que devengan 45% anual. Si requiere financiamiento para cubrir dficit transitorio de caja, se le puede otorgar crdito al 43% adelantado y vencimiento a 3 meses o utilizar recursos de sus inversiones de plazo, sin penalidad. Qu le conviene mas al cliente?. (Desde el punto de vista estrictamente de costo financiero). i= 40,45% , mejor usa sus recursos15.- En que momento debera hacerse un pago nico por Bs.200.000, para cancelar tres giros de Bs. 50.000,Vto. 30 das; Bs.75.000 Vto. 60 das; y Bs.75.000, Vto. a 90 das, siendo la tasa de descuento comercial del 50% anual. Cul sera la respuesta con cualquier otra tasa?. Dia 64 : mismo dia.II. INTERES COMPUESTO

16.- Convierta las siguientes tasas de inters:

14% semestral con capitalizacin trimestral en efectiva anual

8% mensual con capitalizacin bimensual en anual efectivo

12% cuatrimestral con capitalizacin bimestral a trianual.

27% semestral con capitalizacin bimensual a mensual

15% cuatrimestral con capitalizacin mensual a semestral

20% semestral capitalizacin bimensual a quincenal.

42% efectivo anual a cuatrimestral

25% semestral capitalizacin trimestral a bimestral

12% anual con capitalizacin anual a efectiva.

17.- Calcular el monto que se obtendr en una cuenta de ahorros dentro de 4 aos, si se abri con Bs. 100.000 al 6% anual con capitalizacin anual, retirndose Bs. 50.000 a los 2 aos. La tasa aument en un 3% cada ao. 84.415,5218.- Se coloc un capital al 40% de inters anual capitalizable trimestralmente. Al cabo de 5 aos se retir el total de capital mas intereses y se coloc en otro banco al 60% anual capitalizable mensualmente por otros tres (3) aos, plazo al final del cual el saldo fue de Bs. 15.000.000. Calcular el capital inicialmente colocado. 384.966,3719.- En cuanto tiempo se duplicar un capital colocado al 18% anual con capitalizacin mensual. 47 meses20.- Que capital produce un monto de Bs. 100.000 en 2 aos, sabiendo que el 75% se coloc al 9% anual con capitalizacin trimestral y el 25% restante se coloc al 10% anual con capitalizacin mensual. 88.895,9821.- Se coloc un capital a plazo fijo por un ao al 60% anual, intereses trimestrales abonados en cuenta de ahorros que paga el 36% anual con capitalizacin diaria. Calcular la tasa efectiva obtenida por el cliente en toda la operacin. 69,02%22. - Qu cantidad debemos depositar en un banco de tal manera que podamos retirar Bs.10.000 el primer ao; 20.000 al segundo ao y 30.000 a los 30 meses y quedar un saldo de Bs. 150.000 al final del cuarto ao. La tasa de inters se estima en 13% anual capitalizable mensual durante los primeros 10 meses; 11% anual capitalizable semestralmente los siguientes 18 meses; y 18% anual efectivo el resto del tiempo. 159.180,1823.- Un ahorrista deposit Bs. 5.000.000 en una cuenta de ahorros al 24% anual capitalizable diariamente. Al final de 2 aos, el cliente estimaba tener un saldo de Bs.8.547.768,92, ya que el banco le aument la tasa al final del primer ao, cambindole adicionalmente la capitalizacin a mensual, sin embargo, al actualizar la cuenta, encontr un saldo de Bs.8.300.919,24.Calcular, qu tasa estim el cliente que le haba aplicado el banco y qu tasa efectivamente le aplic durante el segundo ao (recuerde que la capitalizacin fue mensual. 30% anual ; 27% anual.24.- Un padre abri una cuenta de ahorros con un depsito de Bs. 100.000 a favor del hijo que acababa de nacer y cada quinquenio le aport un monto equivalente al saldo de la cuenta para el momento del depsito. Con el dinero reunido, la hija pag su fiesta de quince aos, calcular cuanto cost la fiesta, sabiendo que el Banco pag tasas de 18% efectivo anual durante los primeros 3 aos; 24% anual capitalizable mensualmente los siguientes 8 aos; y 60% anual con capitalizacin diaria el resto del perodo. 48.390.693,05

III. RENTAS

25.- Se ofrece un plan de ahorro para estudiantes, segn el cual, depositando una renta de Bs. 25.000 mensuales durante 5 aos, permitir costear los estudios universitarios a partir del 8vo. Ao contado desde la contratacin del plan. Se estima que los estudios universitarios se realizarn durante 5 aos y la tasa de inters estimada por la entidad financiera es del 24% efectivo anual. Calcular qu renta bimestral podr disponer el estudiante durante sus cinco aos de estudios. 282.01026.- Calcular El precio de contado de un apartamento que se ofrece en venta en las siguientes condiciones:

a) Cuota inicial:

Bs. 10.000.000

b)Cuotas anuales

Bs. 5.000.000

c) 3 cuotas quinquenales de Bs. 15.000.000

d) Cuotas mensuales de Bs. 800.000

e) Plazo

20 aos

f) Tasa de inters

18% anual capitalizacin mensual 96.360.071,2727.- Calcular el valor final de una renta de Bs. 100.000 trimestrales durante 15 aos al 40% anual, si los primeros 5 aos, la tasa de inters capitaliza mensualmente; los siguientes 5 aos trimestralmente; y los siguientes 5 aos, anualmente. 251.124.680,2028.- Un estudiante desea hacer un curso en el exterior cuyo costo se estima en USA $ 10.000 e inicia dentro de 2 aos.Qu cantidad deber depositar mensualmente al 3% anual en una cuenta del extranjero para lograr el monto necesario? 404,9729.- Se depositaron Bs. 1.000.000 al 16% anual capitalizacin diaria. Cada final de ao durante 10 aos, se retir una cantidad igual, para cubrir compromisos navideos. Al finalizar el ao 10, la cuenta tiene un saldo de Bs.1.534.575. Calcular el valor del retiro anual realizado. 150.00030.-Para cubrir un compromiso de Bs.8.000.000 dentro de 10 aos, una empresa estableci un fondo de amortizacin, depositando anualmente Bs. 500.000 al 12% anual efectivo. Transcurridos cinco aos, se observa un error en el clculo ya que el monto depositado anualmente, no cubrir el valor a cancelar, en consecuencia se desea saber: a) Qu cantidad debe depositarse anualmente durante los 5 aos restantes para cubrir el compromiso adquirido?, y b) Qu cantidad debi haberse depositado anualmente desde el principio?. 455.873,3131.- Un plan de jubilacin otorga una pensin de Bs. 100.000 mensuales durante 10 aos, a partir del ao 12 de adquirida la pliza. El costo del plan se depositar durante 6 aos a razn de Bs. 50.000 trimestrales mas una cuota anual durante los 10 aos iniciales. Si se estima que la tasa de inters ser del 6% anual capitalizacin mensual, calcular la cuota anual a cancelar. 464.475,6032.- Se licit la venta de un inmueble, recibiendo tres ofertas:

Bs. 100.000 de contado

Bs. 200.000 dentro de 8 aos

Bs. 10.000 mensuales por dos aos.

Si la tasa de inters se fija en 9% efectivo anual, qu oferta le resulta mejor al vendedor. A3=219.665,4733.- Una empresa hace aportes de Bs. 1.000.000 anuales a un fondo para la redencin de unas obligaciones de Bs. 20.000.000 dentro de 10 aos. Que cantidad deber cancelar adicionalmente al final del ao 10 para saldar su deuda si la tasa es de 1% mensual. 1.861.730,6434.- Se depositan Bs. 1.000 mensuales durante 5 aos al 1% mensual, y Bs. 2.000 mensuales durante los siguientes 2 aos a la misma tasa. El monto resultante queda en la cuenta por 3 aos mas al 1,5% mensual. Calcular el saldo de la cuenta al final del plazo. 269.438,5735.- Un seguro ofrece una pensin de $ 2.000 trimestrales durante 10 aos a partir del ao 12 contado desde la apertura de la pliza . El contratante deber cancelar cuotas mensuales por 6 aos de $ 200 mas cuotas extras al final de cada ao por los cuatro aos siguientes. Calcular la prima anual de la pliza siendo la tasa del 6% efectivo anual. 16.966,68III. AMORTIZACIN

36.- Un crdito de Bs. 12.000.000 va a ser cancelado en 10 aos mediante cuotas mensuales de capital constante al 10% anual efectivo. Calcular : Cuota constante de amortizacin; Intereses del primer y del ltimo pago; Saldo de la deuda a la mitad del plazo; Intereses totales a pagar por el crdito. t=100.000; I1=95.688; I120=797,40; IT= 5.789.12437.- Un empleado puede dedicar hasta el 30% de su sueldo para cancelar crdito hipotecario. Actualmente gana Bs.500.000 mensuales mas 3 meses de utilidades, y est tramitando la compra de un inmueble, ofreciendo pagar adems de las cuotas mensuales, cuotas extras al final de cada ao , equivalentes al 75% de sus utilidades. Calcular la capacidad mxima de crdito del empleado, si la tasa de inters aplicada es del 36% anual pagadero mensualmente y el plazo es de 20 aos. 7.635.984,5538.- Una empresa solicita un crdito para capital de trabajo, comprometindose a amortizar trimestralmente un 20% del capital prestado, y los intereses sobre saldos a la tasa vigente para el momento del pago. Elaborar el flujo de caja requerido por la empresa para amortizar un prstamo de Bs.25.000.000, si la tasa inicial es del 30% anual efectivo y se estima que se incrementar semestralmente en 3 puntos porcentuales. 6.694.750;6.355.800;6.108.470;5.738.980;5.399.65039.- Se otorga un financiamiento para inversin en activos fijos, al 48% anual pagadero trimestral, en las siguientes condiciones: Plazo: 5 aos; Cancelacin mediante cuotas semestrales; perodo de gracia: un ao; monto a financiar equivalente al 60% del valor del equipo cuyo precio es de Bs.150.000.000. Elaborar la tabla de amortizacin Rs= 112.413.71140.- Elaborar la tabla de amortizacin correspondiente a los dos primeros aos del ejercicio N 38PAGE 1

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