Curso de: Curso de: Matemáticas de ApoyoMatemáticas de Apoyo

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Instructor:Instructor:

Dra. María Esther Treviño Dra. María Esther Treviño MartínezMartínez

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Expresión algebraica: Combinación de números, letras y signos de operación:

3x2 − 5xy + 2y4 2a3b2

Monomio: expresión algebraica de un solo término en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. 4x3y2z

23 c2a3z5xy

Binomio: expresión algebraica de dos términos 2x + 4y

Trinomio: a2 + 2ab + b2 ; 3x2 + 2x − 5

Polinomio: 7x3y2 – 4xz5 + 2x3y

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Expresiones algebraicas comunesExpresiones algebraicas comunes

El doble de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

 

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Expresiones algebraicas comunesExpresiones algebraicas comunes Dos números consecutivos: x ; x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x ; 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 ; 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x ; 24 − x.

La suma de dos números es 24: x ; 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x ; 24 + x.

El producto de dos números es 24: x ; 24/x.

El cociente de dos números es 24; x ; 24x.

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2x2x22 y y3 3 zz

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z

Operaciones fundamentales con Operaciones fundamentales con expresiones algebraicasexpresiones algebraicas

Grado de un monomio: Suma de los exponentes de la parte literal del término

4x3y2z es de grado 6 (3 + 2 + 1)

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Operaciones fundamentales con Operaciones fundamentales con expresiones algebraicasexpresiones algebraicas

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Polinomio nulo: tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo: todos sus términos o monomios son del mismo grado.P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo: sus términos no son del mismo grado.P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio completo: contiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Polinomio ordenado: cuando los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.P(x) = 2x3 + 5x - 3

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Operaciones fundamentales con Operaciones fundamentales con expresiones algebraicasexpresiones algebraicas

Polinomios iguales: si el grado y los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantes: si tienen la misma parte literal.P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomioEs el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4 Grado de un polinomio: Corresponde al grado mayor de los términos

7x3y2 − 4xz5 + 2x3y es de grado 6 (5 + 6 + 4)

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Orden de las operacionesOrden de las operaciones

1. Primero las que están dentro de paréntesis (o barras de valor absoluto o de fracciones).

2. Luego, potencias y raíces de izquierda a derecha.3. Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.4. Sumas y restas de izquierda a derecha.

Símbolos de agrupamiento: ( ), [ ] , { } Preferentemente jerarquizar { [ ( ) ] }

Suma y resta de expresiones Suma y resta de expresiones algebraicasalgebraicas

Se efectúa agrupando términos semejantes:

Sumar: 7x + 2y2 +3z y 9x + 6y + 9z

Restar: 2x2 – 3xy + 5y de 10x2 + 4xy − 2y2

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Potencia de un monomioPotencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento deéste, al exponente de la potencia.

(axn)m = am · xn · m

(2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9

(−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6

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Multiplicación de expresiones Multiplicación de expresiones algebraicasalgebraicas

1) Multiplicación de monomios: Se aplican las reglas de la potenciación

multiplicar –3x2y3z, 2x4y y –4xy4z2 R= 24x7y8z3

2) Multiplicación de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Multiplicar: 3xy – 4x3 +2xy2 por 5x2y4 R= 15x3y5 – 20x5y4 + 10x3y6

3) Multiplicación de dos polinomios: Se multiplican todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro.

Multiplicar: –3x + 9 + x2 por 3 – x R= – x3 + 6x2 – 18x + 27

Multiplicar (–2x3 + 8x + 3x2 – 6)(2x + 6x2 – 8)

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División de expresiones algebraicasDivisión de expresiones algebraicas

1)División de monomios: Se aplican las reglas de la potenciación.

dividir 24x4y2z3 por –3x3y4z

2) División de dos polinomios:

Se ordenan ambos polinomios según las potencias decrecientes de una de las letras comunes a ambos polinomios.

Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente.

Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.

Con el dividendo de c), se repiten las operaciones b) y c) hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo.

dividir x2 +2x4 –3x3 + x –2 por x2 –3x +2

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División de expresiones algebraicasDivisión de expresiones algebraicas

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Binomio al cuadradoBinomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9

(2x − 3)2 = 4x2 − 12 x + 9

Binomios conjugadosBinomios conjugados

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = 4x2 − 25

Productos de interés prácticoProductos de interés práctico

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Binomio al cuboBinomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 a2 b + 3 a b2 ± b3

(x + 3)3 = x 3 + 9x2 + 27x + 27

(2x − 3)3 = 8x 3 − 36x2 + 54x − 27

Trinomio al cuadradoTrinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(x2 − x + 1)2 = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x

(x2 − x + 1)2 = x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Productos de interés prácticoProductos de interés práctico

El Binomio de Newton da el desarrollo de (a + b)n según las potencias crecientes de a (y decrecientes de b).

En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios akbn − k.

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Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n son dados por la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

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Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6

Productos de interés prácticoProductos de interés práctico

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

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Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6

Productos de interés prácticoProductos de interés práctico

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

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Descomposición en factoresDescomposición en factores

Los factores de una expresión algebraica Los factores de una expresión algebraica son dos o más expresiones que son dos o más expresiones que multiplicadas entre sí originan la primera:multiplicadas entre sí originan la primera:

xx22 – 7x + 6 – 7x + 6 (x – 1) (x – 6) = x(x – 1) (x – 6) = x22 -6x -x + 6 -6x -x + 6

xx22 + 2xy – 8y + 2xy – 8y22 (x + 4y)(x – 2y) = x(x + 4y)(x – 2y) = x22 -2xy +4xy – 8y -2xy +4xy – 8y22

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Factor comúnFactor común  Consiste en aplicar la propiedad distributiva: ac + ad = a(c+d)ac + ad = a(c+d)  x3 + x2 = x2 (x + 1)

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Factorización de polinomiosFactorización de polinomios

6x6x22y – 2xy – 2x33 = 2x = 2x22(3y – x)(3y – x)  2x2x33y – xyy – xy22 + 3x + 3x22y = xy(2xy = xy(2x2 2 – y + 3x)– y + 3x)

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Diferencia de cuadradosDiferencia de cuadrados

xx2 2 – 25 = (x + 5)(x – 5)– 25 = (x + 5)(x – 5)

  Trinomio cuadrado perfectoTrinomio cuadrado perfecto  xx22 + 6x + 9 = (x + 3) + 6x + 9 = (x + 3)22

  9x9x2 2 – 12xy + 4y– 12xy + 4y22 = (3x – 2y) = (3x – 2y)22

Otros trinomiosOtros trinomios

xx2 2 – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)– 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)

xx22 + xy – 12y + xy – 12y22 = (x – 3y)(x + 4y) = (x – 3y)(x + 4y)

3x3x22 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2) – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2)

6x6x22 + 5x – 4 = (3x + 4)(2x - 1) + 5x – 4 = (3x + 4)(2x - 1)

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Factorización por agrupamientoFactorización por agrupamiento

xx3 3 - 5x- 5x2 2 + x - 5 + x - 5 (x(x3 3 - 5x- 5x2 2 ) + (x - 5)) + (x - 5)

xx22 (x(x - 5- 5 )) + 1 + 1(x - 5)(x - 5)

(x(x22+ 1) + 1) (x - 5)(x - 5)

  Suma y diferencia de cubosSuma y diferencia de cubos

  xx3 3 + 8 = (x + 2) (x+ 8 = (x + 2) (x2 2 - 2x + 4)- 2x + 4)

  xx3 3 - 8 = (x - 2) (x- 8 = (x - 2) (x2 2 + 2x + 4)+ 2x + 4)

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Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Simplificación de fracciones algebraicasSimplificación de fracciones algebraicas

Amplificación de fracciones algebraicasAmplificación de fracciones algebraicasPara amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio.

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Suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador

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Suma de fracciones algebraicas con el distinto denominador

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Multiplicación de fracciones algebraicas El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

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División de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

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Fracciones compuestas