curso propedeutico de matemáticas basicas

7/17/2019 Curso Propedeutico de Matemáticas Basicas

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INSTITUTO TECNOLOGICO

SUPERIOR DE ACAYUCAN

MANUAL DE CURSO

PROPEDÉUTICO DEMATEMÁTICAS BÁSICAS

Objetivo

El alumno reafirmará los conocimientos en el área de las matemáticas básicas como una

herramienta que le permita el análisis y desarrollo de los procesos a nivel de ingeniería.

Elaboro: MTI. Ulises Girón Jiménez

Profesor de la Academia de Ciencias Básicas

Agosto de 2014



INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ACAYUCANManual de Curso Propedéutico de Matemáticas Basicas

ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS Página | 2

Contenido

Introducción. ......................................................................................................................................................................................... 4

Capítulo 1. Introducción a la Aritmética. .................................................................................................................................. 6

Subtema 1.1: Clases de números .................................................................................................................................................. 6

Subtema 1.2: Valor absoluto. ......................................................................................................................................................... 8

Subtema 1.3: Números múltiplos, compuestos y primos. ................................................................................................. 9

Subtema 1.4: Calculo del mínimo común múltiplo de números enteros positivos. ........................................... 11

Subtema 1.5: Divisibilidad y cálculo del máximo común divisor. .............................................................................. 13

Subtema 1.6: Fracciones. .............................................................................................................................................................. 17

Subtema 1.7: Multiplicación y división de números enteros y fraccionarios. ...................................................... 19

Subtema 1.8: Calculo de potencias enteras de números racionales. ......................................................................... 21

Capítulo 2. Razones y proporciones ........................................................................................................................................ 24

Subtema 2.1: Razones y proporciones ................................................................................................................................... 24

Subtema 2.2: Regla de tres........................................................................................................................................................... 28

Subtema 2.3: Tanto por ciento ................................................................................................................................................... 32

Capítulo 3: Algebra ............................................................................................................................................... ........................... 35

Subtema 3.1. Introducción al álgebra ..................................................................................................................................... 35

Subtema 3.2. Notación algebraica ............................................................................................................................................ 35

Subtema 3.3. Operaciones fundamentales. ........................................................................................................................... 38

Subtema 3.4 Productos notables............................................................................................................................................... 43

Subtema 3.5 Factorización. .......................................................................................................................................................... 47

Subtema 3.6 Fracciones algebraicas. ....................................................................................................................................... 55

Subtema 3.7 Exponentes y radicales. ...................................................................................................................................... 59

Subtema 3.8 Ecuaciones ............................................................................................................................................................... 62





Subtema 3.9 Ecuaciones de segundo grado. ........................................................................................................................ 72

Subtema 3.10 Solución de ecuaciones con dos y tres incógnitas ............................................................................... 73

Subtema 3.11 Ecuaciones cuadráticas.................................................................................................................................... 79

Subtema 3.12 Propiedades de los logaritmos ..................................................................................................................... 82

Capítulo 4. Trigonometría ............................................................................................................................................................ 84

Subtema 4.1 Resolución de triángulos por el teorema de Pitágoras ........................................................................ 84

Subtema 4.2 Resolución de triángulos ley de senos ......................................................................................................... 87

Subtema 4.3 Resolución de triángulos ley de Cosenos ................................................................................................... 88

Subtema 4.4 Identidad Trigonométrica ................................................................................................................................. 89

Bibliografía ......................................................................................................................................................................................... 90





Introducción.

Los estudiantes que egresan de la educación media superior tienen

conocimientos mucho muy elementales sobre la Aritmética y el Algebra, por lo

que al iniciar sus estudios de nivel superior, requieren fortalecer su aprendizaje

en el manejo y aplicación de un lenguaje matemático, ejercitar la solución de

problemas, comprender la importancia del razonamiento matemático, modificar

su conducta en los hábitos de estudios, ya que la mayoría de los educandos tratan

los textos matemáticos como un “libro de problemas” sin leer las explicaciones

y por tanto despreciando los objetivos de su existencia.

Este curso de Aritmética y Algebra se ha escrito para dar un enfoque moderno a

los temas programáticos que sustancialmente cimentan las bases para cubrir losespacios vacíos existentes entre el Algebra Elemental y la Geometría Analítica y

el Cálculo diferencial e Integral, que son fundamentales desde el bachillerato y

suficientes para continuar una carrera profesional.

Los temas iniciales en la Aritmética contienen material de repaso lo

suficientemente claro y detallado con una gran variedad de ejemplos

demostrativos para que aquellos estudiantes que solo tienen mínimos

conocimientos lo comprenden y se motiven en las actividades de aprendizaje.

Todo el contenido programático se ilustra con ejemplos demostrativos,

cuidadosamente seleccionados, con el fin de presentar las aclaraciones de los

principios aplicados y poder obviar lo innecesario.

Un curso propedéutico es una preparación previa a un siguiente nivel

académico, es un preludio para que el estudiante conozca el sistema y la

metodología utilizada en el Instituto Tecnológico Superior de Acayucan. Por esta

razón se desarrolla un manual que tiene la finalidad de introducir al estudiante

al sistema de competencias y capacidades que exige este instituto.

Las técnicas empleadas en la solución de problemas tiene por objeto desarrollar

el razonamiento reflexivo y la destreza del educando, fortaleciendo su dominio

y provocando su interés para los cursos subsecuentes de Matemáticas, donde los

conocimientos de la Aritmética y el Algebra son imprescindibles.





Considero los contenidos de esta guía como el propósito más firme de mi

convencimiento para facilitar el estudio de las matemáticas en las nuevas

generaciones que me honran al confiarme su preparación y garantizar

modestamente el fijarles una enseñanza para toda la vida.

Por último, cabe señalar que además de ser un cuadernillo de información para

el estudiante, también es un instrumento de práctica ya que se encontrará con

una serie de ejercicios para su práctica futura.





Capítulo 1. Introducción a la Aritmética.

Subtema 1.1: Clases de números

Introducción Los conocimientos de las Matemáticas han tenido una influencia determinante enlas Ciencias Naturales, Exactas, Sociales, Económico Administrativas y en losavances científicos y Tecnológicos; cuando el ser humano se hizo sedentario,

surgió la necesidad de contar sus bienes; para esto pudo utilizar “Piedritas” o

“Rayitas”, para simbolizar alguna cosa u objeto de su propiedad.

En el desarrollo de las Culturas fue evolucionando esta forma primitiva derepresentar objetos o cosas reales a través de símbolos; naciendo así el primer

conjunto de números llamados “Números naturales”, estos números son

utilizados para contar, se representan mediante “N” y consta de los siguientes

elementos:

1,2,3,4,..., N

Númerosenteros

Si efectuamos la unión del conjunto que contiene cero { 0 } con el conjunto N de

los números naturales, obtenemos el conjunto de los “Números enterospositivos”

0,1,2,3,4,...,W

Al incluir un elemento aditivo inverso por cada número natural, obtenemos elconjunto de los “Números enteros negativos”,

..., 3, 2, 1 I

La unión del conjunto W con I, da como resultado el conjunto de los “Números

enteros”, denotados por:

..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... Z

NúmerosRacionales

El conjunto de los números racionales, denotados por Q, incluyen todos los

números que pueden expresarse en forma de cociente (fracción de quebrado),a/b en donde a y b son números enteros y en donde b deberá ser diferente de

cero ( 0)b . Cabe hacer notar que el conjunto de los números racionales

incluyen al conjunto de los números enteros; también pueden ser positivos ynegativos.

3 8 31 1 2..., , , , , , ,...4 5 10 20 30 50

Q

NúmerosIrracionales

Son los números que no se pueden expresar como cociente de los números

enteros; pueden ser positivos o negativos, se denotan por:

..., , 5, 2, 3, 7, 10,... F

Números Reales El conjunto de los números reales están constituido por la unión de los conjuntos

de números racionales con los números irracionales, es decir:

3 712 4 1 1..., , 6, , 3, , ,1, , , 2, ,...5 2 5 4 20 4

R





Es necesario aclarar que los números racionales pueden expresarse como

fracción decimal que se repite infinitamente (también se le denomina Decimalperiódico); o finita.

Un número irracional no es una fracción decimal que se repita infinitamente, esdecir que su representación decimal no es periódica.

71.75

4

Decimal finito Numero racional

20.181818

11

Decimal infinito operiódico

Numero racional

20.66666

3

Decimal infinito operiódico

Numero racional

2 1.414213562 Decimal infinito noperiódico

Numero irracional

3.141592654 Decimal infinito no

periódico

Numero irracional

Tabla comparativa de las diferentes clases de números.

EjerciciosPropuestos

Instrucción I: Relacione la columna de la izquierda con la de la derecha, colocandodentro del paréntesis la respuesta correcta. (Se repiten respuestas)

( ) Números utilizados para contar.

( ) -8, -7, -6, … ( ) Números que incluyen el cero en los naturales

( ) 1, 2, 3, 4, 5,… ( ) Numero que puede expresarse en forma decociente( ) Resultan de la unión de los números

racionales con los irracionales

t) Números reales

u) Números naturalesv) Números enteros

w) Números racionalesx) Númerosirracionalesy) Números enteros

negativosz) Números enteros

positivos





Subtema 1.2: Valor absoluto.

Simetría Dos puntos P y Q se dicen simétricos con respecto a un punto R; si R es el puntomedio del segmento PQ. Cada uno de los puntos se dice simétrico del otro conrespecto al punto R, que se llama “Centro o eje de simetría”.

Valor Absoluto El valor absoluto de x, denotado por |x|, indica la magnitud de x sin considerarsu signo; existe un valor absoluto dentro de los números el cual es independiente

de su posición en la recta.

Así el valor absoluto de un número cualquiera, es la distancia del “0” al número

en cuestión, sin tomar en cuenta el sentido (positivo o negativo) en que seubique.

Ejemplo:|3| = 3; |0| = 0; |-a| = a; |-7| = 7

Númerossimétricos

Dos números son simétricos u opuestos cuando tienen el mismo valor absolutoy de signo contrario.

Ejemplo:(+8) y (-8); (+1/3) y (-1/3);

Representación

gráfica

Representación gráfica del valor absoluto y de los números simétricos

Ejerciciospropuestos

Instrucción I: Conteste las siguientes preguntas:

1. Defina simetría2.

¿A qué se le llama valor absoluto?3.

Explique la diferencia de valor absoluto de un número y los números

simétricos.4.

Representar gráficamente los siguientes valores absolutos y números

simétricos.2 2

5 , , 75 5

y





Subtema 1.3: Números múltiplos, compuestos y primos.

Múltiplo de unnúmero

Un numero A es múltiplo de un numero B si al efectuar la división A/B esta esexacta, es decir, el residuo es cero.

Ejemplo:

55 20 8 70 65; 4; 2; 10; 2

11 5 4 7 3

Así 12 es múltiplo de: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Para buscar múltiplos de un número, solohay que multiplicar por: 1, 2, 3, 4, 5,… etc.

Ejemplos:a) 4 sus múltiplos son: 4, 8, 12, 16, 20, 24,… etc. b)

7 sus múltiplos son: 7, 14, 21, 28, 35, 42,… etc.

c)

15 sus múltiplos son: 15, 30, 45, 60, 75, 90,… etc.

d) 114 sus múltiplos son: 114, 228, 342, 456, 560,… etc.

¿De qué número es múltiplo el 48?48 es múltiplo de: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Númeroscompuestos

Es todo número natural distinto de la unidad y puede ser expresado como elproducto de dos o más enteros positivos diferentes de sí mismo, los cuales son

sus factores y en algunos casos pueden repetirse.

Ejemplos:

4 se puede factorizar en ( 2 ) ( 2 ) o (4 ) ( 1)

6 se puede factorizar en ( 3 ) ( 2 ) o ( 6 ) ( 1 )8 se puede factorizar en ( 4 ) ( 2 ) o ( 8 ) ( 1 ) o ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

26 se puede factorizar en ( 13 ) ( 2 ) o ( 26 ) ( 1 )

Todo entero par mayor que dos es compuesto

Los números compuestos son aquellos que se pueden factorizar de dos

o más modos.

Numero primo Es todo nuero natural que solo tiene como factores a la unidad y así mismo.

Ejemplos:“Son números primos”: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … etc.

Factores primos Descomposición de un número en sus factores primos.

Una propiedad interesante y útil de los factores de los números enteros, es quepueden expresarse como producto de números primos.

Para determinar los factores primos de un número natural, se va dividiendodicho número en forma progresiva, empleando únicamente números primos

hasta terminar en el elemento unitario.





Ejemplos:

a) Hallar la factorización prima para 72” 72 2

36 218 2

9 3

3 3

1

Por lo tanto 72 = ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) = 3 2(2 )(3 )

Factores primos

b) Hallar la factorización prima para 375” 375 3

125 5

25 5

5 5

1

Por lo tanto 72 = ( 3 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) =3(3)(5 )

Factores primos


Instrucción I: Hallar los múltiplos de los siguientes números.a)

3

b)

5c)

9

d)

13

e)

121

Instrucción II: Desarrolla la factorización para los siguientes númeroscompuestos.

a)

9b)

12

c) 25

d)

84e)

136

f) 245

Instrucción III: Hallar los factores primos para los siguientes números.a) 68

b) 108c) 256

d) 625

e) 1984f) 3069





Subtema 1.4: Calculo del mínimo común múltiplo de números enteros

positivos.

Mínimo comúnmúltiplo

Un entero es un múltiplo común de dos o más enteros dados si es múltiplo decada uno de ellos. Es frecuentemente tener que usar el menor entero positivoque sea común múltiplo de dos o más enteros, al cual se le llama mínimo común

múltiplo y se simboliza por m. c. m. o M. C. M.

Pasos para determinar el M. C. M.a)

Se halla la factorización prima de cada númerob)

El M. C. M. se forma con el producto de los factores primos comunes y

no comunes afectados con su mayor exponente.

Ejemplos:

1.

Hallar el M. C. M. de 18, 24 y 15.18 2 24 2 15 3

9 3 12 2 5 5

3 3 6 2 1

1 3 3

12(2)(3 ) 2(2 )(3) ( 3 ) ( 5 )

Por lo tanto el M. C. M. de 18, 24 y 15 es = 3 2(2 )(3 )(5)

2.

Hallar el M. C. M. de 200, 300, 225.“También se puede determinar la factorización prima de todos los

números a la vez”

200 300 225 232 100 150 225 2

50 75 225 2

25 75 225 3 23

25 25 75 3

25 25 25 5 25

5 5 5 5

1 1 1 1

Por lo tanto el M. C. M. de 200, 300, 225

es = ( 32 ) (2

3 ) (2

5 ) = ( 8 ) ( 9 ) (25) = 1800





3. Ernestina desea comprar un rollo de tela, para hacer cortinas de 126,

204 y 330 cm, según le convenga. ¿Cuál es la cantidad mínima de telaque debe comprar?

Conociendo la cantidad de tela que comprará:a) ¿Cuántas cortinas de 126 cm podrá hacer?

b) ¿Cuántas cortinas de 204 cm podrá hacer?c) ¿Cuántas cortinas de 330 cm podrá hacer?

Solución:126 204 330 2 22 63 102 165 2

63 51 165 3 23

21 17 55 3

7 17 55 5 5

7 17 11 7 7

1 17 11 11 11

1 17 1 17 17

1 1 1

Por lo tanto la cantidad mínima de tela que debe comprar es:2 2(2 )(3 )(5)(7)(11)(17) (4)(9)(5)(7)(11)(17) 235620cm

Si compro 235620 cm de tela, solo habrá que dividir entre 126, 204 y330 cm, para saber cantas cortinas de dichas medidas obtendrá.

a) 235620 cm 126 cm = 1870 cortinasb) 235620 cm 204 cm = 1155 cortinas

c) 235620 cm 330 cm = 714 cortinas

De acuerdo a la cantidad de cortinas, Ernestina solo puede escoger una

de cualquiera de esas tres opciones de medidas.


Instrucción I: Hallar el MCM de los siguientes grupos de números.

a) 20, 30, 24b) 5, 6, 10, 15c)

28, 49, 105, 240

d)

36, 50, 22, 64

Instrucción II: Hallar el MCM de los siguientes problemas de aplicación.

1) Linda desea renovar su ropa de invierno, con su dinero ahorrado puedecomprar abrigos de 84 dólares; suéteres de 32 dólares y pantalones de

18 dólares, ¿Cuánto dinero tiene como mínimo?2) Álvaro Samuel en su fiesta de cumpleaños, tiene que repartir tres

pasteles de diferente sabor, entre 30 niños, 20 niñas y 15 adultos, de





modo que cada uno reciba un número exacto de rebanadas de los tres

pasteles; ¿Cuántas rebanadas es necesario cortar en tres pasteles, comomínimo?

3) De un barrote se desean pedazos de 10 cm, 12 cm, 16 cm y 20 cm delongitud, sin que sobre ni falte madera. ¿Cuál será la menor longitud delbarrote? ¿Cuántos pedazos de cada longitud se obtendrá?

Subtema 1.5: Divisibilidad y cálculo del máximo común divisor.

Divisibilidad Un número es divisible entre otro cuando al dividir el primero entre el segundo,el cociente es exacto.

Ejemplos:

81 256 172821 16 723 16 28

La divisibilidad es la propiedad que tiene un numero para ser dividido entre otroexactamente.

Criterios dedivisibilidad

En ciertos casos no es necesario efectuar la división, hasta conseguir los criterios

de divisibilidad que a continuación se señalan.

Número par: Es todo número que es múltiplo de 2 Ejemplo: Son números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,…, etc.

Número impar: es todo número que no es múltiplo de 2

Ejemplo: son números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, etc.

Criterios de la divisibilidad

Un número esdivisible entre

Cuando:

2 Su última cifra de la derecha es cero o cifra par. Ejemplo:

45202260

2

3 La suma de los valores absolutos de sus cifras es tres o unmúltiplo de tres. Ejemplo:

3207 es divisible entre 3 porque: 3+2+0+7=12 ó 1+2=3

4 Las dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman unnúmero divisible entre cuatro. Ejemplo:

6120 4 pués 20 4

5 Su última cifra de la derecha termina en cero o en cinco.

Ejemplo:345 5 pués 45 5

6 Simultáneamente es divisible entre dos y tres. Ejemplo:5148 2 porque termina en cifra par (8)





5148 3 porque 5+1+4+8 = 18 y 1+8 = 9 y es divisibleentre tres. Por lo tanto 5148 6

7 Se duplica su última cifra de la derecha y se resta alnúmero formado por las cifras restantes, resultando ceroo un múltiplo de siete. Ejemplo:

1911 7, pues: Duplicando el 1; 1x2 = 2,restando 191-2= 189,duplicando el 9, tenemos: 9x2 = 18

restando 18 – 18 = 0por lo tanto 1911 si es divisible entre 7

8 Las tres últimas cifras de la derecha son ceros o forman un

número divisible entre ocho. Ejemplo:8104 8, pues sus tres últimas cifras forman un múltiplo

de ocho, 104 8

9 La suma de los valores absolutos de sus cifras es divisible

entre 9. Ejemplos:621 9 porque: 6+2+1 = 9 y es divisible entre 9

10 Su última cifra de la derecha es cero. Ejemplo.

120 10 ya que termina en cero

11 La suma de sus cifras de lugar impar tomadas de derechaa izquierda, menos la suma de las cifras del lugar par, tenga

como resultado un múltiplo de once. Ejemplo:74239 11, ya que 9+2+7 = 18 y 3+4=7

por lo que 18 -7 =11

Divisor de unnúmero

Se denomina divisor de un número, precisamente a aquel número que divide aotro, un número determinado de veces.

Ejemplos:a)

Son divisores del 42: el 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42b)

Son divisores del 54: el 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54

Divisorescomunes

Son divisores comunes de dos o más números, los números que dividen tanto a

uno como a otro número.

Ejemplos:

Los divisores comunes de 72 y 48 son:a) 72 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72b) 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Por lo tanto los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Máximo comúndivisor

El máximo común divisor de dos o más números, es el mayor de los divisorescomunes de dichos números; se simboliza por m.c.d ó M.C.D. , cuando los

números son pequeños el MCD puede calcularse fácilmente; por el contrario silos números son grandes seguimos algunas reglas adecuadas;

a) Se anotan los números en un mismo renglón.

b) Se dividen todos los números entre los factores primos comunes





c) El MCD es el producto de los factores primos comunes tomados con su

menor exponente.

Ejemplo:1. Hallar el MCD de 48 y 72

48 72 2

24 36 2

12 18 2

6 9 2

3 9 3

1 3 3

1 1

Por lo tanto el MCD es 3(2 )(3) (8)(3) 24

2. Hallar el MCD de 464, 812 y 870464 812 870 2

232 406 435 2

116 203 435 2

58 203 435 2

29 203 435 3

29 203 145 5

29 203 29 7

29 29 29 29

1 1 1

Por lo tanto el MCD es (2)(29) 58

3. Hallar el MCD de 60, 150, 40 y 850

60 150 40 850 2

30 75 20 425 2

15 75 10 425 2

5 75 5 425 3

5 25 5 425 5

1 5 1 85 5

1 17 17

1

Por lo tanto el MCD es (2)(5) 10





4. Benjamín desea repartir sus 252 canicas verdes, 408 azules y 660 rojas;

entre algunos amigo; Quiere que a cada uno le correspondan de los trescolores pero en forma exacta. ¿Entre cuantas personas deberá repartir

dichas canicas?252 408 660 2

126 204 330 2

63 102 165 2

63 51 165 3

21 17 55 3

7 17 55 5

7 17 11 7

1 17 11 11

17 1 17

1

Por lo tanto el máximo número de personas entre las que se puedanrepartir las canicas, es:

Por lo tanto el MCD es (2)(2)(3) 12

Problemaspropuestos

Instrucción I: Hallar el MCD de los siguientes grupos de números.

a)

150, 375, 450b)

60, 40, 20, 10c)

28, 36, 40, 48

d)

160, 132, 320e)

64, 192, 92

Instrucción II: Hallar MCD de los siguientes ejercicios:1)

Se tiene tres ranchos de 14700, 6300 y 9100 m de superficie

respectivamente se desea dividir en parcelas de igual superficie. ¿Cuáles el tamaño posible de la parcela para que el número en cada uno de

los ranchos sea el menor posible?2) Fidel desea repartir su fortuna de 110 millones en cuantas bancarias, 42

millones en acciones de Hoteles y 68 millones en propiedades; entre

algunos miembros de toda su familia, quiere que a cada uno le

corresponda de los tres bienes en forma exacta. ¿Entre cuantosmiembros de su familia deberá repartir su fortuna?

3) ¿cuál será la mayor longitud de un cable, con la que se puedan medirexactamente tres dimensiones de 70, 280 y 400 metros?

4) Se podrán dividir tres listones de 56, 84 y 140 centímetros, en pedazosde 4 centímetros de longitud son que sobre ni falte nada entre cada

listón





Subtema 1.6: Fracciones.

Fracción común Es una expresión que representa una o varias partes de la unidad, también se ledenomina “Quebrado”.

2 4 1 13 16, , , ,

3 12 2 5 9 A estos números reales se les llama números racionales.

(Fracción común o quebrado).

Una fracción está compuesta de dos números llamados términos de la fracción y

separados entre sí por medio de una línea horizontal o diagonal.

El número que va sobre la línea se llama numerador

El que va por debajo de la línea se llama denominador.

Operaciones confracciones

Suma de fracciones de igual denominador. Para sumar fracciones

comunes de igual denominador, el proceso establece la suma de losnumeradores, conservando el mismo denominador. Ejemplos:

1 3 4 1

8 8 8 2

2 4 6 12

5 5 5 5

Resta de fracciones de igual denominador. Para restar fracciones

comunes de igual denominador, el proceso establece la resta de losnumeradores, conservando el mismo denominador. Ejemplos:

2 5 3

7 7 7

8 2 1 51

5 5 5 5

Suma de fracciones de diferente denominador. Para sumar

fracciones comunes de diferente denominador, es necesario hacer las

fracciones de igual denominador, por lo que el proceso establece buscarel mínimo común múltiplo para los denominadores y realizar laoperación, tal como lo indica el siguiente ejemplo:

3 5 (3)(3) (2)(5) 9 10 19

4 6 12 12 12

8 4 1 (21)(8) (9)(4) (7)(1) 168 36 7 211

3 7 9 63 63 63

Resta de fracciones de diferente denominador. Para restar

fracciones comunes de diferente denominador, es necesario hacer lasfracciones de igual denominador, por lo que el proceso establece buscar

el mínimo común múltiplo para los denominadores y realizar laoperación, tal como lo indica el siguiente ejemplo:

11 4 (5)(11) (7)(4) 55 28 27

7 5 35 35 35

1 14 (11)(1) (10)(14) 11 140 129

10 11 110 110 110





Problemaspropuestos

Instrucción I: Sumar las siguientes fracciones de igual denominador.

1) 2 6

5 5

2) 3 7 611 11 11

3) 13 7 4

8 8 8

Instrucción II: Restar las siguientes fracciones de igual denominador

1)

22 12

7 7

2) 2 17 1

9 9 9

3)

13 11 12

3 3 3

Instrucción III: Sumar las siguientes fracciones de diferentes denominador

1) 5 13

12 9

2) 13 3 8

6 15 5

3) 1 4 13

3 9 18

Instrucción IV: Restar las siguientes fracciones de diferente denominador.

1) 14 3

5 4

2) 7 2 4

8 3 12

3) 10 17 1

27 9 3

Instrucción V: Resolver las siguientes sumas y restas de fracciones

1) 5 4 8

11 9 3

2) 31 13 5

8 4 2

3) 9 5 19

12 6 24





Subtema 1.7: Multiplicación y división de números enteros y

fraccionarios.

Multiplicación deenteros.

Como existen números enteros positivos y negativos, por lo que para efectuar lamultiplicación entre ellos, lo realizaremos de la siguiente manera:

a)

Multiplicar el valor absoluto de los factores.

b)

Respecto a los signos, aplicar las leyes correspondientes.

Leyes de los Signos Observaciones(+)(+) = +(+)(-) = -

(-)(-) = +(-)(+) = -

1. Si los factores tienen el mismo signo, el producto espositivo.

2. Si los factores tienen diferente signo, el producto esnegativo.

Ejemplos:a)

(8)(4) = 32b)

(-6)(3) = -18

c)

(7)(-3)(-5) = 105d)

(-8)(2)(1) = -16

División deenteros

Es la operación inversa de la multiplicación; la división exacta es aquella en lacual el residuo es cero; la división inexacta es aquella en la cual el residuo es

diferente de cero.

Las leyes de los signos se aplican de igual manera que en la multiplicación.

Leyes de los Signos Observaciones(+) (+) = +

(+) (-) = -(-) (-) = +(-) (+) = -

1. Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo,

el cociente es positivo.2. Si el dividendo y el divisor tiene diferente signo, elcociente es negativo.

Ejemplos:

a)

204

5

b)

213

7

c)

155

3

d)

155

3

Multiplicación defracciones

Para multiplicar dos o más fracciones comunes (Quebrados), se multiplicanumerador por numerador y denominador por denominador, obteniéndose

respectivamente el numerador y denominador del producto resultante.





Ejemplos:

a) 3 5 15

7 2 14

b)

4 1 4 2

3 6 18 9

c) 1 5 5

3 9 27

d)

2 3 8 48 16

5 7 3 105 35

División defracciones

Para dividir fracciones comunes (Quebrados), se procede de las siguientes

maneras:a)

Se multiplica la primera fracción (dividendo) por el reciproco de la

segunda fracción (divisor), es decir, se invierte el divisor y se realiza laoperación. Ejemplo:

3 2 3 7 21

4 7 4 2 8

b)

Aplicando el proceso de multiplicar en cruz, es decir, el numerador dela primera fracción por el denominador de la segunda fracción, su

producto es el numerador del resultado; también el denominador de laprimera fracción por el numerador de la segunda fracción es eldenominador del resultado. Ejemplo:

c) Aplicando el método de multiplicar extremo por extremo y medio por

medio, en donde los extremos van al numerador y los medios aldenominador del resultado. Ejemplo:

Problemaspropuestos

Instrucción I: Multiplicar las siguientes fracciones comunes.

a)

5 3

9 12

b) 7 2 8

3 5 7

c)

1 4 8

6 3 13

Instrucción II: Dividir las siguientes fracciones comunes.





a) 12 2

3 5

b)

4 6

7 9

c) 1 5

4 6

d)

21 6

3 18

Subtema 1.8: Calculo de potencias enteras de números racionales.

Propiedades o

leyes de los

exponentes

1. Cualquier número elevado a la cero potencias es igual a la unidad:

0 1a ó

0

1a

b

2. Cuando dos cantidades iguales se multiplican, sus exponentes se suman:

( )( )m n m na a a

3. Cuando dos cantidades iguales se dividen, sus exponentes se restan,

observándose:a) Si el numerador tiene mayor exponente, la resta se efectúa en el

numerador.m

m n

n

aa

a

Si m n

b)

Si el denominador tiene mayor exponente, la resta se efectúa en el

denominador.

1m

n n m

a

a a Si n m

4. Si un término cualquiera, formado por dos o más factores, se eleva a unexponente, este afecta por igual a cada factor:

( )m m mab a b ó

m m

m

a a

b b

5. Si una cantidad exponencial, se eleva a otro exponente, los exponentes

se multiplican:

( )m n mna a

6.

Si una cantidad esta elevada a un exponente negativo, si está en el

numerador, puede pasar al denominador, cambiando el signo delexponente.

Si se encuentra en el denominador, puede pasar al numerador,cambiando de signo el exponente.

1m

ma

a

ó

1 m

m a

a





Potencias

enteras

Se denomina potencia enésima de un número “x” siendo “n” un numero natural,

al producto de “n” factores iguales a x; es decir:

( )( )( )( )...( )

" "

x x x x x x

n veces

Ejemplos:

a)

2(5) (5)(5) 25

b)

4(3) (3)(3)(3)(3) 81

c)

2( 5) ( 5)( 5) 25

d)

5( 4) ( 4)( 4)( 4)( 4)( 4) 1024

Potencias de una

fracción

La operación es igual al producto obtenido de multiplicar la misma fraccióntantas veces como indique su exponente. Ejemplos:

a)

21 1 1 1

4 4 4 16

b)

31 1 1 1 1

2 2 2 2 8

c)

3(0.25) (0.25)(0.25)(0.25) 0.015625

d)

4( 0.5) ( 0.5)( 0.5)( 0.5)( 0.5) 0.0625

Multiplicación de

potencias

Para realizar el producto de dos o más expresiones en forma de potencia, solo es

necesario aplicar las leyes o propiedades de los exponentes. Ejemplos:

a) 2 3 2 3 5(6 )(6 ) 6 6

b)

3 5 1 3 5 9

( )( )( )a a a a a

c)

2 4 2 2 2 2 8(3 ) (3 )(3 )(3 )(3 ) 3

d)

2 4 2 4 6 6

6

3 3 3 3 3

5 5 5 5 5

e)

22 2 2 4

3 3 3 6

5 5 5 5

7 7 7 7

División de

potencias

Para realizar la división de dos expresiones en forma de potencia, solo es

necesario aplicar las leyes o propiedades de los exponentes. Ejemplos:

a)

7

7 4 34

33 33

b)

22 2 0

2

66 6 1

6

c)

3

5 5 3 2

9 1 1

9 9 9





d) 8

8 5 3

5

( 4)( 4) ( 4)

( 4)

e)

2

5 5 2 3

( 5) 1 1

( 5) ( 5) ( 5)

Ejercicios

propuestos

Instrucción I: Resuelva las siguientes operaciones de potenciación para númerosracionales.

a)

2(3)

b)

3(4)

c)

2(7)

d)

2( 2)

e)

2( 6)

f)

3( 5)

Instrucción II: Resuelve las siguientes operaciones de potenciación de fracciones

comunes y decimales.

a)

2(3/7)

b) 3(6/5)

c) 2(9/ 2)

d)

5(2.287)

e) 3( 2.5)

f) 3(1.68)

Instrucción III: Efectuar las siguientes multiplicaciones de potencias.

a)

2 3(5 )(5 )

b)

3 4( )( )( ) x x x

c) 3(1/ 2)(1/ 2)

d)

2(0.3)(0.3)

e)

4 3(1.4)(1.4) (1.4)

f) 2 5(4 )

Instrucción IV: Efectuar las siguientes divisiones de potencias

a)

2

544

b) 311

11

c)

3

2

8

8

d)

5

255

e) 3

7

12

12





Capítulo 2. Razones y proporciones

Subtema 2.1: Razones y proporciones

Razón Es la relación comparativa que existe entre dos cantidades de la misma especie.Cuando se comparan dos cantidades pueden hacerlo por diferencia y sedenomina “Razón Aritmética”; si se presenta por cociente, se denomina “Razón

Geométrica”.

Razón aritméticao por diferencia.

Relación que existe entre dos cantidades, en donde una de las cuales ha de serrestada de la otra.

La notación de la razón aritmética, puede hacerse separando las dos cantidadespor el signo menos (-) o por dos puntos (:). Ejemplo:

“La razón aritmética 9 a 5, tiene por notación”: 9 – 5 ó 9:5 se lee: 9 es a 5

Razóngeométrica o porcociente.

Relación que existe entre dos cantidades, en donde una de las cuales ha de serdividida por la otra.

La notación de la razón geométrica, puede hacerse separando las dos cantidadespor el signo de división ( ), también en forma de “quebrado” o por dos puntos

(:). Ejemplo:

9

5 ó 9 5 y 9:5 se lee: 9 es a 5

Propiedades delas razones

Las propiedades para las razones aritmética y geométrica, son semejantes a lasaplicadas en la suma, resta, multiplicación y división de números reales, porejemplo:

a) El valor de la razón no se altera cuando se suman o restan, se multiplicano dividen respectivamente sus términos, por un mismo número.

b) En toda razón, si al antecedente se le suma o resta, se le multiplica odivide por una cantidad, la razón aumenta o disminuye, quedamultiplicada o dividida respectivamente por esa misma cantidad.

c)

En toda razón, si al consecuente se le suma o resta, se le multiplica odivide por una cantidad la razón queda disminuida o aumentada,dividida o multiplicada respectivamente por esa cantidad.

Ejemplos:9 – 5 = 4(9+1) – (5+1) = 410 – 6 = 4

Suma 9 -5 = 4(9-1) – (5-1) = 48 – 4 = 4

Resta

9 / 5 = 1.8(9/5)(2/2)=18/10 =1.8 Multiplicación 9/5=1.89/5 2/2=18/10 = 1.8 División

9 – 5 = 4(9+1) – 5 = 4+110-5=5

Suma 9 – 5 = 4(9-1)-5 = 4-18 – 5 = 3

Resta

9/5 = 1.8(9/5)(2)=1.8(2)18/5=3.6

Multiplicación 9/5=1.89/5 2=1.8 2(9/2)/5=9/10=0.9

División





9 -5 = 49 – (5+1) = 4 – 19 – 6 = 3

Suma 9 – 5 = 49 – (5 – 1)= 4 + 19 – 4 = 5

Resta

9/5 = 1.8(9/5)(1/2) = 1.8/29/10=0.9

Multiplicación 9/5=1.89/5 (1/2)=(1.8)(2)9/(5/2)=18/5=3.6

División

Ejemplos demostrativos sobre la aplicación de las razones aritmética ygeométrica.

1.

Cite dos números cuya razón aritmética sea 3.4 – 1 = 3

2.

Hallar la razón aritmética y geométrica de 75 y 1575 – 15 = 60 razón aritmética75/15 = 5 razón geométrica

3.

Hallar la relación entre edades de dos amigos de 12 y 16 años.12 – 16 = -4 Razón aritmética12/16 = ¾ Razón geométrica

4. Hallar la razón geométrica entre 60 y 1260/12 = 5 por lo tanto 60 es 5 veces el valor de 12

5.

Hallar la razón geométrica entre 12 y 6012/60 = 1/5 por lo tanto 12 es 1/5 parte de 12

6.

La razón geométrica de dos números es ¾, si el menor de los númeroses 24, ¿Cuál es el mayor?

Multiplicando el menor de los números de la razón por un número talque dé como resultado el número propuesto, y aplicando la primerapropiedad, tenemos:

(¾)(8/8) = 24/32 por lo tanto el mayor de los números es 32.

También se plantea por:¾ = 24/x3x = 96

x = 96/3por lo tanto x = 32

7.

El mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5, hallar el númeromenor.

7/5 = 63/x7x = 315

X = 315/7 = 45Por lo tanto x = 45. El número menor es 45

8.

Dos números son entre sí como 3 es 19. Si el menor es 12, ¿Cuál esmayor?3/9 = 12/x3x = 228





x = 228/3Por lo tanto x = 76. El número mayor es 76

9. Separar el número 54 en dos partes que estén en la razón 2 es a 7.

Representando la razón como 2x y 7x. tenemos:2x + 7x = 54

9x = 54x = 54/9 = 6

Por lo tanto 2(6)= 12 y 7(6)=42 son las partes buscadas.

10. En cierta elección los votos para “P” y “Q” fueron 800 y 1200

respectivamente, hallar la razón de sus votos como una fracción detérminos mínimos.

800 / 1200 = 2/3Por lo tanto la razón es 2 es a 3

Proporciones Se define como la igualdad entre dos razones. Ejemplos:

Proporciónaritmética oequidiferencia.

Se define como la igualdad entre dos razones aritméticas o diferencias.

Términos de una equidiferencia. En una proporción aritmética se llama“Extremos” al primero y cuarto término, y “Medios” al segundo y tercer

términos. También recibe el nombre de “antecedentes” al primero y tercer

términos, y “Consecuentes” al segundo y cuarto términos. Ejemplos:

Proporciónaritméticadiscreta o nocontinua.

Es aquella que tiene sus cuatros términos diferentes o sus medios no son iguales.Ejemplos:

a) 15 -3 = 17 – 5b)

3 – 4 = 5 – 6c) 6 – 2 = 12 – 8

Proporciónaritméticacontinúa.

Es aquella que tiene sus términos medios iguales. Ejemplos:

a) 5 – 4 = 4 – 3b)

4 – 6 = 6 – 8c)

9 – 15 = 15 – 21





Propiedadfundamental dela proporciónaritmética.

En toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de losmedios. Ejemplos:

a) 5 – 4 = 4 – 35 + 3 = 4 + 4

8 = 8b)

6 – 2 = 12 – 86 + 8 = 12 + 214 = 14

c) 9 – 15 = 15 – 219 + 21 = 15 + 15

30 = 30

Proporcióngeométrica oequicociente.

Se define como la igualdad entre dos razones geométricas o cocientes.

Términos de un equicociente. Es una proporción geométrica se llaman“Extremos” al primero y cuarto términos, “Medios” al segundo y tercer términos.

También reciben el nombre de “Antecedentes” al primer y tercer términos, y

“Consecuentes” al segundo y cuarto términos.

Ejemplos:

Proporcióngeométricadiscreta o nocontinua.

Es aquella que tiene sus cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.Ejemplos:

a)

11 : 6 : : 13 : 8b)

2 : 3 : : 4 : 5c) 12 : 10 : : 15 : 13

Proporcióngeométricacontinúa.

Es aquella que tiene sus términos medios iguales. Ejemplos:

a)

9 : 15 : : 15 : 25b)

3 : 9 : : 9 : 27c) 8 : 4 : : 4 : 2

Propiedad

fundamental dela proporcióngeométrica.

“En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto

de los medio”. Ejemplos:a)

4/2 = 10/5(4)(5) = (2)(10)20 = 20

b) 9/15 = 15/25(9)(25) = (15)(15)225 = 225

c)

3/3 = 4/6(2)(6) = (3)(4)12 = 12





Problemaspropuestos

Instrucción I: Hallar la razón aritmética y geométrica para:a)

90 y 12b) 0.60 y 0.15

c)

7/4 y 11/12d) 13/15 y 3/5

e)

84 y 14f) 25 y 225

Instrucción II:a)

69 y 39 años b)

55 y 33 años c)

28 y 7 años

Instrucción III: Encuentre la solución a los siguientes problemas.a)

La razón geométrica de dos números es 7/5 si el menor de los númeroses 28, ¿Cuál es el mayor?

b) El mayor de dos números es 55 y su razón es 5 a 3 hallar el númeromenor.

c)

Dos números son entre sí como 7 es 21, si el menor es 14, ¿Cuál es elmayor?

d) Separar el 88 en dos partes que estén en la razón 4 es a 7.e)

Dos números son entre sí como 16 es 5, si el mayor es 56, ¿Cuál es elmenor?

f)

Separar el número 117 en dos partes que estén en la razón 8 es a 5.g)

De un total de 30 preguntas de un examen un alumno contesto 26, ¿Cuáles la razón máxima entre preguntas y respuestas?

Subtema 2.2: Regla de tres.

Regla de tres Operación en la cual se conocen tres cantidades que están relacionadasproporcionalmente entre sí, y tenemos que calcular una cuarta cantidad que este

en proporción con las tres anteriores.

La regla de tres puede ser:

Regla de tres simple. La operación es simple cuando solamente

intervienen dos magnitudes las cuales pueden ser directamente einversamente proporcionales entre sí.

Regla de tres compuesta. La operación es compuesta cuandointervienen tres o más magnitudes las cuales pueden están combinadas

directa e inversamente proporcionales entre sí.

Método desolución

Consiste en una serie de pasos a seguir para facilitar el análisis, planteamiento ysolución de los problemas.

1. Identificar los datos dados en el problema, representado por una literalla incógnita correspondiente.

2. Se plantean los datos del problema, estableciendo si es una proporción

directa o inversa.3.

Se establece el orden de las unidades correspondiendo las unidades de

la misma especie.4. Se resuelve la proporción obtenida, y el valor encontrado para la

incógnita, representa la solución del problema.

Ejemplos demostrativos aplicando la regla de tres simple:





1. Una persona de 7.2 pies de altura proyecta una sombra de 5.4 pies, si en

el mismo instante un edificio tiene una sombra de 240 pies de longitud,¿cuál es la altura del edificio?

Datos:7.2 pies de altura (H)5.4 pies sombra (H)

240 pies sombra (E)E = altura del edificio

Planteamiento :(proporción directa)7.2 : 5.4 : : E : 240

(5.4)(E) = (240)(7.2)E = 1728/5.4E = 320 pies

La altura del edifico es de 320 pies.

2. Un tren recorre 624 km en 3 horas, ¿Qué distancia recorrerá en 5 horas,si conserva la misma velocidad?

Datos:

d1 = 624 kmt1 = 3 horasd2 = x?

t2 = 5 horas

Planteamiento

(Proporción directa)624 : 3 : : x : 53x = (624)(5)

x = 3120/3x = 1040 km

La distancia recorrida es de 1040 km

3. Si 8 obreros realizan un trabajo en 10 días. ¿Cuántos obreros serequieren para realizar el trabajo en 4 días?

Datos:

T1 = 8 obrerost1 = 10 díasT2 = x = ?

t2 = 4 días

Planteamiento:

(proporción inversa)8 : 4 : : x : 104x = (8)(10)

x = 80/4x = 20 obreros

Se requieren 20 obreros para realizar el trabajo en 4 días.

4.

Un submarino lleva provisiones para 64 días, con una tripulación de 36

hombres. ¿Cuánto durarán las provisiones si es necesario aumentar latripulación a 40 hombres?

Datos:

P1 = 64 díasM1 = 36 hombres

P2 = x =?M2 = 40 hombres

Planteamiento:

(proporción inversa)36 : 40 : : x : 64

40x = (64)(36)x = 2304 / 40x = 57.6 días

Las provisiones duraran 57.6 días.





5. Un obrero ha recibido 1200 dólares por 40 días de trabajo. ¿Cuánto

dinero hubiese recibido si trabajara 8 días menos?Datos:

O1 = 1200 dólaresT1 = 40 díasO2 = x = ?

T2 = (40 – 8 ) días = 32 días

Planteamiento:

(proporción directa)1200 : 4 : : x : 3240x = (1200)(32)

x = 38400/40x = 960 dólares

Hubiese recibido solamente 960 dólares.

Ejemplos demostrativos aplicando la regla de tres compuesta.

1. Tres albañiles trabajando 8 horas diarias han hecho 120 metros debarda en 8 días. ¿Cuántos días necesitaran 7 albañiles, trabajando 6horas diarias para hacer 80 metros de la misma barda?

Datos:O1 = 120 metrosd1 = 8 días

h1 = 8 horasA1 = 3 albañilesd2 = x

h1 = 6 horasA2 = 7 albañiles

O2 = 80 metros

Planteamiento:

El método consiste en descomponer la regla de tres compuesta en unaregla de tres simple:

Primera regla de tres simple:“3 albañiles hacen la barda en 8 días” “7 albañiles lo harán en x días”

“ A más hombres, menos días, son inversamente

proporcionales” 7/3=8x

Segunda regla de tres simple:

Se emplean 8 días trabajando 8 horas diariasSe emplearan x días trabajando 6 horas diarias

“A más días, menos horas de trabajo; son inversamenteproporcionales” 6/8 = 8/x

Tercera regla de tres simple:

Se emplean 8 días para hacer 120 metros de bardaSe emplearán x días para hacer 80 metros de barda“A más días, más metros de barda; son directamente

proporcionales”





120/80 = 8/x

Igualando término a término cada regla de tres simple, tenemos:

(7/3)(6/8)(120/80) = (8x)5040 / 1920 = 8xx = 15360/5040

x = 3.047 días aproximadamente

2. Una expedición en África consta de 1200 personas y tienen víveres para

30 días a razón de 3 raciones diarias cada persona, si la expedición serefuerza con 800 personas más, ¿Cuántos días duraran los víveres sicada persona toma dos raciones diarias?

Datos:P1 = 1200 personasd1 = 30 días

r1 = 3 racionesP2 = (1200 + 800 ) personasd2 = x

r2 = 2 raciones

Planteamiento:

1200 personas 3 raciones 30 días2000 personas 2 raciones x días

“El método consiste en asignar a las proporciones simples de la especiecorrespondiente, el signo positivo (+) a los términos de “Arriba” y el

signo negativo (-) “Abajo” siempre y cuando sean directamente

proporcionales; si son inversamente proporcionales los signos serán de(-) a (+), considerando las proporciones en relación a la razón quecontiene la incógnita”

Ejemplo:“A más personas menos días durarán los víveres”, es una proporción

inversa; “A más raciones diarias, meno días duraran los víveres”, es unaproporción inversa; a la razón que contiene la incógnita, también esinversa, por lo que resulta:

(+) 1200 personas(-) 2000 personas

(+) 3 raciones(-) 2 raciones

(+) 30 días(-) x días

La incógnita será el resultado del producto de todos los términos

positivos entre el producto de todos los términos negativos.

(1200)(3)(30)27

(2000)(2) x

Por lo tanto los víveres duraran 27 días.

Problemaspropuestos

Instrucción I: Encontrar la solución de los siguientes problemas:





a) Un empleado recibió $72.40 dólares por 11 ½ horas de trabajo, ¿Sí

hubiera trabajado 5 horas más, cuánto recibiría?b) Por transportar 250 costales de cebolla cuyo peso es de 60 kg por costal

se pagó $62.50 pesos por kg. ¿Cuánto se pagará por 395 costales delmismo peso?

c) Una cuadrilla de obreros emplean 17 días, trabajando 8 horas diarias,

en realizar cierto trabajo. Si hubiera trabajado una hora menos al día,¿En cuántos días habrán terminado el trabajo?

d) Un automóvil a la velocidad de 110 km/h, emplea 6 ¾ horas en ir de una

ciudad a otra, ¿Cuánto tiempo menos hubiera tardado si la velocidadfuera de 170 km/h?

Subtema 2.3: Tanto por ciento

Concepto detanto por ciento.

Se llama tanto por ciento de una especie unidad a una o varias de las cien partesiguales en que se puede dividir dicha especie o unidad; esta operación sesimboliza por %.

Ejemplo: “Hallar el 8% de 600” La operación nos indica que de cada 100 debe tomarse el 8% por lo que resulta:

Planteamiento:600 100%

x 8%

(600)(8%)(100%)

48

x

x

Ejemplos:1. ¿Cuál es el 15 por ciento de 70?

70 100%

x 15%

(70)(15%)

(100%)

10.5

x

x

2. Una calculadora cuesta $47,500.00 pesos y al venderla se obtiene unaganancia de $14,700.00 pesos, ¿Cuál es el tanto por ciento de ganancia

sobre el costo?$47,500.00 14,700.00100% x





(14700)(100)

(47500)

30.94%

x

x

3. En la venta de un producto se ganó $1350.00 de comisión, lo cualrepresenta el 8% sobre la venta. Calcular el precio de venta.

$1350.00 8%x 100%

(1350)(100)

(8)

$16875.00

x

x

Formulasfundamentales

a) La fórmula para calcular el tanto por ciento de un número dado es:

b)

La fórmula para determinar el tanto por ciento es:

c)

La fórmula para determinar la base es:

Problemas generales de tanto por ciento.1.

En una supertienda existe un descuento del 25% en la compra deblancos, si una señora compró $376,580.00 pesos en diferentes

artículos. ¿Cuánto pagó?Planteamiento:$376,580.00 100%

x 25%

(376580)(25)

(100

$94,145.00

x

x

$376580.00 - $94145.00 = $282,435.00 Pago final

2.

En un restaurante la cuenta a pagar es de $68,457.00 pesos si se cobra

un impuesto de lujo del 15%, ¿En cuánto se incrementó la cuenta?

Planteamiento:$68457.00 100%

x 15%





(68457)(15)

(100)

$10268.55

x

x

Por lo tanto la cuenta se incrementó en $10268.55 resultandofinalmente un total de $78,725.00

3. De los 273 feligreses de una parroquia, 119 son mujeres, ¿Cuál es el porciento de varones?

Planteamiento:273 154100 x

(154)(100)

(273)

56.41%

x

x

Problemaspropuestos

Instrucción I: Encontrar la solución a los siguientes problemas.

a) Un refrigerador costo $1693500.00 y fue vendido $2075800.00 calcularel tanto por ciento de ganancia sobre el precio de costo y sobre el preciode venta.

b) En un grupo de 58 alumnos, 44 resultaron aprobados, ¿Qué tanto porciento de aprobados hubo en el grupo?

c) Un televisor ha tenido un aumento de $486,300.00 pesos, querepresenta el 11% sobre su precio anterior, ¿Cuál era su precio?

d) Un ganadero tenía 235 cabezas de ganado, vendió 75, ¿Qué tanto por

ciento de su ganado vendió y que tanto porciento le queda?

e)

La edad de Melesio es un 33% menos que la de Juan, si Melesio tiene 39años, ¿Qué edad tiene Juan?





Capítulo 3: AlgebraSubtema 3.1. Introducción al álgebra Álgebra Es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos

para efectuar cálculos y resolver problemas.

Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismasque las de la aritmética, es decir: adición, sustracción, multiplicación, división,

potenciación y radicación.

Literales eincógnitas

Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos por el ser humano, estasfueron tomados para representar valor numéricos, siendo su empleoconvencional a determinadas condiciones o principios de los problemas, razón

que las divide en:a) Literales. Son letras del abecedario que se utilizan para representar

aquellos valores que son conocidos o que puedan obtenerse

directamente, es decir, los datos dados en un problema se representanpor medio de literales.

b)

Incógnitas. Son letra del abecedario que se utilizan para representar

aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para serconocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas.

Variables yconstantes

Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras delabecedario: a, b, c, d, e,…, etc. Se denominan también “Literales”.

Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras delabecedario: s, t, u, v, w, x, y, z,... se denominan “Incógnitas”.

De lo anterior hacemos la siguiente observación:

Variable. Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjuntode números, es decir, puede cambiar de valor.

Constante. Es cualquier letra o símbolo con un valor fijo, es decir, no puedecambiar de valor.

Subtema 3.2. Notación algebraica

Signos deoperación

En el álgebra, las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división,potenciación y radicación se efectúan en forma similar que en la aritmética;

dichas operaciones se indican con los siguientes signos:a)

El signo de la adición es: (+), ejemplo 2p + q

b) El signo de la sustracción: (-), ejemplo s – t





c) El signo de la multiplicación es: (x), ejemplo: a x b; También se usa “un

punto” entre los factores, ejemplo: u.v; normalmente se colocan losfactores entre paréntesis, ejemplo: (m)(n)

d) El signo de la división es: ( ), ejemplo: x y, también se representaseparando el dividendo y el divisor por un una línea horizontal, por

ejemplo: x

y

e)

El signo de potenciación es el “exponente”, que es un número que se

escribe en la parte superior derecha de una literal, numero o expresión,

indicando el número de veces que la literal, numero o expresión que sedenomina base, se toma como factor ejemplo:

4 ( )( )( )( )m m m m m

32 (2)(2)(2)

2

(3 ) (3 )(3 ) xy xy xy

f) El signo de radicación es: llamado radical, dentro de este signo se

coloca la expresión a la cual se le va extraer la raíz.

23

2

8

a

x y

Elementos deuna expresión

Algebraica. En la notación algebraica el medio que nos permite

conocer los elementos que conforman una representación

matemática.

Expresión Algebraica. Es una representación que se aplica aun conjunto de literales y números que conforman una o más

operaciones algebraicas. Ejemplos:2 2

2;7 ,2 5 ; 8 ; x a

x z a b x x a

Termino algebraico. Es cualesquiera de las partes de una

expresión que consta de uno o varios símbolos no separados

entre sí por el signo (+) ó (-). Ejemplos:

2 3 23 ;2 ; ; 5 ;43

u x mn y x y

Elementos de un término. Los elementos que constituyen un

término son: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.o

Términos por el signo. Los términos que vanprecedidos del signo (+), se de nominan “Positivos”;

los que van precedidos del signo (-), se denominan“Negativos”.

o Coeficiente. Es generalmente el primero de losfactores que conforman un término; el coeficientepuede ser de dos clases, por ejemplo:





a) Coeficiente numérico. Es el factor numérico de

un término. Ejemplo: “El coeficiente numérico del

termino 5ax es 5” b) Coeficiente literal. Es el factor literal de un

término. Ejemplo: “el coeficiente literal del

término mby es m”

Parte literal. Son los factores literales que contiene el término.

Ejemplo: “En el término 5ax, la parte literal es ax”

Grado de un término. El grado de un término puede ser de dos

formas, absoluto y relativo a una literal. o Grado absoluto. El grado absoluto de un término es el

número que se obtiene al sumar los exponentes de laparte literal. Ejemplos:

2 x Primer grado

5ab Segundo grado28a x tercer grado

3 x y Cuarto grado

2 23m n x Quinto grado3 2 x y z Sexto grado

o Grado relativo. El grado de un término relativo a una

literal es el mayor exponente que tenga la literalconsiderada. Ejemplos:

2 xy Primer grado con respecto a “x”; segundo grado

con respecto a “y”. 2 3m n x segundo grado con respecto a “m”; tercer

grado con respecto a “n”; primer grado con respecto a

“x”

Clases detérminos

Los términos se clasifican en enteros, fraccionarios, racionales, irracionales,homogéneos y heterogéneos, los cuales se define de la siguiente manera:

a) Término entero. Es aquel que no tiene denominador literal. Ejemplo:

2 23 ;2 ; ;

3

ma x y

b) Término fraccionario. Es aquel que contiene en el denominador una

literal.

2 2

33 6 3 5; ; ;

4a b m a b

b x c

c) Término racional. Es aquel que no está afectado por un radical y puedeser entero o fraccionario. Ejemplos:

2 26 3 52 ; ; ; ;

a b xy x

x m z





d) Termino irracional. Es aquel que si está afectado por un radical y

puede ser entero o fraccionario. Ejemplos:

323 6

2 ; ;5 ;m x y

xy ab x z ab

e) Términos homogéneos. Son aquellos que tienen el mismo grado

absoluto. Ejemplos:2 32 xy z y 2 37a b c son de sexto grado absoluto.

23ab y 22a b son de tercer grado absoluto.

f) Términos heterogéneos. Son aquellos que tienen distinto grado

absoluto. Ejemplo:

3 x y 27 y son de diferente grado absoluto.

28a b y 2 25 x y x son de diferente grado absoluto.

Subtema 3.3. Operaciones fundamentales.La adición, sustracción, multiplicación y división se llaman operacionesfundamentales del álgebra.

Suma y restadepolinomios

Suma o adición. Operación que consiste en reunir dos o más expresiones

algebraicas en una sola. Ejemplos:

Sumandos 2 2 2 23 5 7 15a a a a Suma

2 3 5mn mn mn 3 3 3 34 2 7 x x x x

2 2 2 2

2 3 6ax ax ax ax

En aritmética se suman los números positivos, en álgebra la suma puede sercon cantidades posit ivas y negativas, proceso que se denomina “Suma o

adición algebraica”

Al realizar sumas algebraicas de términos semejantes, se recomienda,

sumar los términos positivos y los negativos primeramente y finalmente secalcula su diferencia. Si existen términos no semejantes, la operación quedaindicada. Ejemplos:

6 7 3 4 8

6 3 8 7 4 10 3

x y x y y x

x x x y y y x y

5 2 6 3 2 4 5

5 4 3 2 5 6 2

9 3 3 5 7 2

6 2 5

a b c a b c a b c

a a a b b b c c c

a a b b c c

a b c





3 5

3 5

ax bx

ax bx

2 3

2 3

m

m

En la suma de polinomios, en forma práctica se colocan verticalmente los

términos semejantes, es decir, en forma de columna, al igual que en la

aritmética, para facilitar la operación. Ejemplos:

1.

Sumar las expresiones: 2 23 5 2 3 4 7a b a ab b ab b ,

acomodando los términos semejantes, tenemos:2

2

2

3 3 5

2 7 4

5 4 8

a ab b

a ab b

b

a ab b

2. Sumar las expresiones:3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 35 6 7 2 3 3 4 2 x y x y xy x y xy x y x y x y xy

acomodando los términos semejantes, tenemos:3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

5 6 7

2 3

3 4 2

6 2

x y x y xy

x y x y xy

x y x y xy

x y x y xy

Resta o sustracción. Restar una cantidad “m” de otra cantidad “l”, significa

determinar la cantidad a “m” dé como resultado “l”. Ejemplo:

l m r

Ya que:

r m l

La sustracción con polinomios, se realiza utilizando términos semejantes.

En aritmética la resta indica “disminución”, en algebra puede indicar

“aumento” o “disminución”. Para restar polinomios, es necesario restar del“minuendo” cada uno de los términos del “sustraendo”, cambiándole el

signo a todos sus términos. Ejemplos:

1. Restar 7 4 2 x y z de 11 9 5 x y z

11 9 5

7 4 2

4 13 7

x y z

x y z

x y z





2.

Restar 15 7 8 4a ac bc de 11 6 3 1a bc ac

11 3 6 1

15 7 8 4

4 4 2 5

a ac bc

a ac bc

a ac bc

Productos ycocientes depolinomios

Multiplicación o producto. Operación en la que dos expresiones

denominadas “multiplicando” y “multiplicador” dan como resultado un

producto. Al multiplicando y multiplicador se les denomina “factores”. o Multiplicación de monomios. Operación que se fundamenta en el

producto de los coeficientes, las leyes de los signos y la ley de los

exponentes, en los monomios que intervienen. Ejemplos:

1. Multiplicar33 x por 24 x

3 2 5(3 )(4 ) 12 x x x

2.

Multiplicar 25ax por 2 x 2 3(5 )( 2 ) 10ax x ax

o Multiplicación de monomios por polinomios. Operación que sefundamenta en las leyes de los signos, de los exponentes de loscoeficientes y además en la ley distribuida, que establece,

multiplicar el monomio por cada término del polinomio. Ejemplos:

1.

Multiplicar ax por 2 22 x xy y

2 2 3 2 2( )( 2 ) 2ax x xy y ax ax y axy

2.

Multiplicar ax por 2 22 x xy y

2 2

3 3 2 2 3 2

( 3 )(2 7 2 5)

6 21 6 15

xy x y x y

ax y x y xy xy

o Multiplicación de polinomios. La multiplicación de dospolinomios es igual a la suma de los resultados obtenidos de

multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otropolinomio.

1.

Multiplicar ( ) x y por ( )u v

( )( ) x y u v ux vx uy vy

2. Multiplicar 2 2( )m n por2(4 3 1) x x

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( )(4 3 1)

4 3 4 3

m n x x

m x m x m n x n x n

División o cociente. Operación en la que dos expresiones denominadas

“dividendo” y “divisor” dan como resultado un “cociente”. o División de monomios. Operación que se fundamenta en la

división de los coeficientes, las leyes de los signos y la ley de los

exponentes, en los monomios que intervienen. Ejemplos:

1.

Dividir 36 x entre 2x





326

32

x x

x

2. Dividir 45ax entre 23ax 4

2

2

5 5

3 3

ax x

ax

o División de polinomio entre monomio. Operación que sefundamenta en las leyes de los signos, de los exponentes, de los

coeficientes y además en la ley distributiva, que establece, dividir el

monomio entre cada término del polinomio. Ejemplos:

1.

Dividir 2 22 4a b ab a entre a 2 2 2 2

22 4 2 42 4

a b ab a a b ab aab b

a a a a

2.

Dividir3 2

4 12 8 2 x x x entre 2 x 3 2

3 2

2

4 12 8 2

2

4 12 8 2

2 2 2 2

12 6 4

x x x

x

x x x

x x x x

x x x

También se puede resolver de la siguiente manera

o División de polinomios. En base a los ejemplos anteriores,

observamos que esta operación tiene un proceso de solución

semejante al de la división aritmética. Es necesario ordenar eldividendo y el divisor en forma descendente (de mayor a menor)con respecto al exponente de una de las literales. Ejemplos.

1.

Dividir 3 25 6 8a a a entre 2 2a a





2. Dividir 3 25 9 2 x x x entre 2 2 1 x x

2

4 13

2 1

x x

x x

Comprobación:Dividendo = (cociente)(divisor) + Residuo

3 2 2

3 2 3 2 2

3 2 3 2

5 9 2 ( 3)( 2 1) 4 1

5 9 2 2 3 6 3 4 1

5 9 2 5 9 2

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

Problemaspropuestos

Instrucción I: Resolver las siguientes sumas indicadas:a)

12 8 3ac ac ac

b) 2 6 5mn mn mn

c) 3 7 2 xy xy xy xy

d) 11 7 4 3 6 5 4 8 2a b c b c a b c a c

Instrucción II: Resolver las siguientes sustracciones indicadas:

a)

3 2 16

5 9

x y

x y

b) 11 7 4

4 8 3

ax ay

ax ay

c)

2 8

5 3 2

x y z

x y z

d)

2

2

9 15 16

8 10 3

ax bx ab

ax bx ab

Instrucción III: Resolver las siguientes multiplicaciones indicadas:

a)

2( )( 2 ) x y xy

b)

2(5 )( )mn m n





c)

2 2 3( 3 )( )ab a b

d)

2 2( 2 )( ) y x x xy y

e)

2 2 2

(3 6 12 )( 6 3 1) x y xy x x x f)

(2 )(6 5 3 4) x y x y z

Instrucción IV: Resolver las siguientes divisiones.

a) 5 3

3 2

2

8

a x

a x

b) 2

4 3

32

8

x y

x y

c) 4 3 2

2

3 2

2

x x x

x

d) 34 10 20

2 3

x x

x

e) 5 4 32 5 1

1

y y y

y

f) 4 3 2

2

6 19 16 2

2 3 1

x x x x

x x

Subtema 3.4 Productos notables.Productosnotables

Son ciertos productos que se efectúan directamente, basándose en reglas

notables que al memorizarse su aplicación, nos permiten llegar al resultado sinnecesidad de realizar la multiplicación.

Los principales productos notables son:

El producto de la suma y la diferencia de dos números. Si tenemos lasuma de dos términos multiplicando por su diferencia, resulta.

2 2 2 2

( )( )m n m n m mn mn n m n “El producto de la suma y la d iferencia de dos términos es igual alcuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”.

Esta operación, también se denomina “Producto de binomios conjugado”,

porque dos términos de estos son iguales y los otros son simétricos.Ejemplo:

2(2 )(2 ) 4 x y x y x y

El cuadrado de un binomio. Elevar al cuadrado el binomio ( )m n ó

( )m n , equivale a multiplicarlo por sí mismo, resultando:

a) 2 2 2( ) ( )( ) 2m n m n m n m mn n

b)

2 2 2( ) ( )( ) 2m n m n m n m mn n De lo anterior, concluimos en las siguientes reglas:“Al desarrollar el cuadrado de un binomio, se obtiene como resultado un

“Trinomio cuadrado perfecto”, cuyo términos se determinan de acuerdo

a los siguientes pasos:1.

El cuadrado del primer término del binomio.2.

El doble producto del primer término por el segundo término 3. El cuadrado del segundo término del binomio.

Ejemplo:





a)

2 2 2 2( 2 ) 4 4 xy z x y xyz z

b) 2 2(4 3 ) 16 24 9 x x x

c) 2 2 2 2 2(5 ) 25 10ax by a x abxy b y

El cuadrado de un polinomio. Elevar al cuadrado un polinomio,equivale a multiplicarlo por sí mismo, resultando:

2

2 2 2

( ) ( )( )k l m k l m k l m

k kl km kl l lm km lm m

De lo anterior, concluimos en la siguiente regla:“Elevar al cuadrado un polinomio, tiene como resultado, la suma de los

cuadrados de cada término del polinomio, más el doble producto detodos los términos tomados de dos en dos”. Ejemplos:

a)

2 2 2 2( 2 3 ) 4 9 4 6 12a b c a b c ab ac bc

b) 2 2 2 2(2 3 5 ) 4 9 25 12 20 30 x y z x y z xy xy yz

c)

2

( 1)u v w 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2u v w uv uw u uw vw v w

El producto de dos binomios con términos semejantes. Dentro deeste tipo de productos de binomios, encontramos que: a) Producto de binomios con término común. Tiene la siguiente

forma ( )( )a x a y ó (2 )(5 )m m , cuyo producto es:

1. 2( )( )a x a y a ax ay xy

2 ( )a x y a xy

2.

2(2 )(5 ) 10 2 5m m m m m 2

10 7m m De lo anterior concluimos en la siguiente regla: “Al desarrollar el

producto de dos binomios con término común, es igual alcuadrado del termino común, más el producto de la sumaalgébrica de los términos no comunes por el termino común,más el producto de los términos no comunes”. Ejemplos:

2

2

2

2 2

2 2

2 2 2 4 2

( 6)( 3) 3 18

( 2)( 5) 7 10

(3 )(8 ) 24 11

( 7 )(3 ) 21 4

(3 1)(3 4) 9 15 4(4 )(6 ) 24 10

x x x x

a a a a

k k k k

yz yz yz y z

ax ax a x ax

x y x y x y x y

b) Producto de Binomios con términos semejantes. Tienen lasiguiente forma ( )( )ax by mx ny , cuyo producto es:

2 2

2 2

( )( )

( )

ax by mx ny amx anxy bmxy bny

amx an bm xy bny

De lo anterior concluimos en las siguientes reglas:





“Al desarrollar el producto de binomios con términos semejantes, se

obtiene como resultado un “Trinomio”, cuyos términos se

determinan de acuerdo a los siguientes pasos:1. Se multiplican los primeros términos de los binomios dados.

2.

Se multiplican los términos extremos y los términos interioresde los binomios dados: por reducción de términos semejantes,obtenemos el resultado.

3.

Se multiplican los segundos términos de los binomios dados.Ejemplos:

2 2

2 2

2 2

2 2

(3 4 )(2 ) 6 11 4

(2 5 )( 3 ) 2 15

(7 2 )(3 4 ) 21 22 8

(3 4 )(2 3 ) 6 17 12

x y x y x xy y

a b a b a ab b

m n m n m mn n

xy xy xy x y

El cubo de un binomio. Elevar al cubo el binomio ( )m n ó ( )m n ,

equivale a multiplicarlo por sí mismo tres veces, resultando:a) 3 2( ) ( ) ( )m n m n m n

2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( )( )( )

( 2 )( )

2 2

3 3

m n m n m n

m mn n m n

m m n m n mn mn n

m m n mn n

b)

3 2( ) ( ) ( )m n m n m n

2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( )( )( )

( 2 )( )

2 2

3 3

m n m n m n

m mn n m n

m m n m n mn mn n

m m n mn n

De lo anterior, concluimos en la siguientes reglas:Al desarrollar el cubo de un binomio, se obtiene como resultado un“polinomio de cuatro términos”, cuyos términos se determinan de

acuerdo a los siguientes pasos:1. El cubo del primer término del binomio2.

El triple producto del cuadrado del primer término por elsegundo término.

3. El triple producto del primer término por el cuadrado delsegundo término.

4.

El cubo del segundo término del binomio.

Ejemplos:3 3 2

2 3 6 4 2 2 3

3 3 2

2 2 3 6 4 2 2 4 6

( 1) 3 3 1

( 5 ) 15 75 125

(2 3) 8 36 54 27

( ) 3 3

a a a a

x y x x y x y y

a a a a

m n m m n m n n





Problemas Instrucción I: Resuelva los siguientes productos de la suma y la diferencia de dos

términos.

a) ( 5)( 5) x x

b)

(3 2 )(3 2 ) x y x y c)

2 2(7 )(7 ) xy z xy z

d) (4 3 )(4 3 ) pq r pq r

e)

2 2 2 2( )( )a x a x

f)

2 2 2 2(6 )(6 )m n m n

g)

2 2(5 2 )(5 2 )a b c a b c

Instrucción II: Desarrolle el cuadrado de los siguientes binomios.

a)

2(7 5 ) x yz

b)

2(2 3 )ab c

c)

2(4 8)mn

d)

2 2 2(5 3 )a x b y

e)

2 2( 3 ) x y z

f)

2(3 )ab cd

g)

2(6 1) xy

Instrucción III: Desarrollar el cuadrado de los siguientes polinomios.

a)

2 2 2 2 2( )a b mn x y

b)

2(3 2 )m q z

c) 2 2(4 3 1) x x

d) 2(5 7 3 )a b c

e)

2(9 3 6 ) xy z

f)

2(2 4 3 )a b c d

g) 2(3 1) x y z

Instrucción IV: Resuelva los siguientes productos de binomios con términocomún.

a) (2 3)(2 7) x x

b) (5 2)(5 4)ax ax

c) (3 6)(3 2)mn mn

d) 2 2(5 )(7 ) x y x y

e) (11 )(3 ) pq pq

f) (5 2)(5 3)mx mx

g) ( 8)( 4)ab ab

Instrucción V: Resuelva los siguientes productos de binomios con términos

semejantes.a) (3 4 )(2 2 ) x yz x yz

b) 2 2(5 3 )(7 4 )a bc a ac

c) 2 2( 6 )(2 7 ) x y x y

d) ( 4 )(3 ) x z x z

e) (2 )(6 3 )a b a b

f) (3 5 )( ) x y x y

g) ( 7)(2 5)mn mn





Instrucción VI: Desarrollar el cubo de los siguientes binomios.

a)

3(1 ) x

b)

3( 3) x

c)

3(3 2 ) x y

d)

3( )ab c

e)

3( 5) x

f)

3(4 6)a

g)

3 3 3( )m n

Subtema 3.5 Factorización.Definición La factorización es un proceso contrario a la multiplicación, es decir, el producto

se puede descomponer en factores.

Factor Es cada uno de los elementos que al multiplicarse entre sí dan lugar a unproducto.

Factores de unmonomio Se determinan al descomponer el monomio en factores más simple. Ejemplos:a) 12 (3)(4)( )( ) xy x y

b) 12 (2)(6)( )( ) xy x y

c) 26 (2)(3)( )( )a a a

d) 2 315 (3)(5)( )( )( )( )( )a b c a a b b b c

Factores de unpolinomio

Factorizar un polinomio, significa, transformar una suma algebraica en unproducto de factores. Ejemplos:

a) Factorizar ax ay

( )ax ay a x y

b)

Factorizar

3 2

4 2 6 x x x 3 2 24 2 6 2 (2 3) x x x x x x

Aunque no todo polinomio se descompone en dos o más factores diferentes dela unidad, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas

y por la unidad.

Factorescomunes

Si cada término de un polinomio tiene un factor común, su factorización será elproducto de dos factores, uno de los cuales es el factor común. Ejemplos:

a) 2bx x El factor común es “x”

2bx x

x x Se divide el polinomio entre el factor común y se obtiene

el otro factor, que es: “(b + 2)”. Por lo tanto: 2 ( 2)bx x x b

b)

2 2 212 2 8 x y z y w y El factor común es “2y”

2 2 212 2 8

2 2 2

x y z y w y

y y y se divide el polinomio entre el factor

común y se obtiene el otro factor, que es:2 2 2(6 4 ) x z w





Por lo tanto: 2 2 2 2 2 212 2 8 2 (6 4 ) x y z y w y y x z w

c) 2 3 3 2 33 9 6

2 4 8

x y x y x y El factor común es

23

2

x y

32 3 3 2

2 2 2

63 9

82 43 3 3

2 2 2

x y x y x y

x y x y x y

2 3 3 2 3 223 9 6 3 3

2 4 8 2 2 2

x y x y x y x y xy x y

d)

2 2 ( 1)a x ax ax ax a x

Cuando el Factor común es un binomio

a)

( ) ( )m x y n x y

( ) ( )

( ) ( )

m x y n x y

x y x y

( ) ( ) ( )( )m x y n x y x y m n

b)

2 22 (3 ) 5 (3 )a x b x

2 2

2 2

2 (3 ) 5 (3 )

(3 ) (3 )

a x b x

x x

2 2 22 (3 ) 5 (3 ) (3 )(2 5 )a x b x x a b

c)

5 ( )ax u v w u v w 5 ( ) ( )

5 ( ) ( )

( ) ( )

5 ( ) ( ) ( )(5 1)

ax u v w u v w

ax u v w u v w

u v w u v w

ax u v w u v w u v w ax

La suma ydiferencia de doscubos.

Si dividimos la suma de dos cubos 3 3m n entre m n , resulta:

Para comprobar el resultado de una división exacta, tenemos que:Dividendo = (Divisor) (Cociente)

3 3 2 2( )( )m n m n m mn n





De lo anterior concluimos en la siguiente regla:

“La suma de dos cubos se factoriza en dos factores; el primer factor es la suma

de la raíz cúbica de cada término de la suma de cubos; el otro factor es elcuadrado de la raíz cubica del primer término, “Menos” el producto de las dos

raíces de los términos, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término”.

Para comprobar el resultado de una división exacta, tenemos que:

Dividendo = (Divisor) (Cociente)3 3 2 2( )( )m n m n m mn n

De lo anterior concluimos en la siguiente regla:“la diferencia de dos cubos se factoriza en dos factores; el primer factor es la

diferencia de la raíz cubica de cada término de la diferencia de cubos; el otrofactor es el cuadrado de la raíz cubica de l primer término, “Más” el producto de

las dos raíces cubicas de los términos más el cuadrado de la raíz cúbica delsegundo término”

Ejemplos: “Factorizar las siguientes sumas o diferencias de cubos”

a)

3 3 3 x y z

3 33

3 3

x y xy

z z

3 3 3 2 2 2( )( ) x y z xy z x y xyz z

b)

3 327a b

3 3

3 327 3

a a

b b

3 3 2 227 ( 3 )( 3 9 )a b a b a ab b

c) 3 3125 ( )m x y

3 3

33

125 5

( ) ( )

m m

x y x y

2 2 2(5 )(25 5 5 2 )m x y m mx my x xy y





Trinomios Hemos aprendido a desarrollar el cuadrado de un binomio, el producto de dosbinomios con un término común y el producto de dos binomios con términossemejantes; en todos los casos el resultado es un trinomio, por lo que ahoraestudiaremos su factorización.

Factorizar trinomios de cuadrado perfecto. Al desarrollar el cuadradode un binomio, resulta un trinomio de cuadrado perfecto, el cual seidentifica porque su primero y tercero términos tienen raíz cuadradaexacta, el segundo término es el doble producto de dichas raíces cuadradas.Para factorizar trinomios de cuadrado perfecto, aplicamos la siguienteregla: “Se determina la raíz cuadrada del primero y tercer término del

trinomio, el signo del segundo término se emplea para separar dichasraíces; el binomio así formado se eleva al cuadrado o se multiplica por símismo. Ejemplos:

a) 216 16 4 x x

216 4

4 2

x x

2 216 16 4 (4 2)(4 2) (4 2) x x x x x

b) 2 225 30 9 x x y

2

2

25 5

9 3

x x

y y

2 2 225 30 9 (5 3 )(5 3 ) (5 3 ) x x y x y x y x y

c) 2 41 2a a

4 2

1 1

a a

2 4 2 2 2 21 2 (1 )(1 ) (1 )a a a a a

d) 2 93

4 x x

2

9 3

4 2

x x

2 29 3 3 33 ( )( ) ( )

4 2 2 2 x x x x x

Factorización de trinomios de la forma2

x bx c . Se aplica lasiguiente regla: “El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyo

primer término es la raíz cuadrada del primer término el trinomio dado,los segundos términos de los binomios son aquellos que sumadosalgebraicamente del el coeficiente “b” del término central del trinomio

y que resulte el tercer término “c” del trinomio” . Ejemplos:

a) 2 11 24 x x 2 11 24 ( 8)( 3) x x x x





b)

2 7 10m m 2 7 10 ( 5)( 2)m m m m

c)

2 3 28a a 2 3 28 ( 7)( 4)a a a a

d) 2 6 27r r 2 6 27 ( 3)( 9)r r r r

e) 4 2 12 x x 4 2 2 212 ( 4)( 3) x x x x

Factorización de trinomios de la forma2

ax bx c . Aplicamos lasiguiente regla: “El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos

primeros términos son aquellos que multiplicados den como productoel primer término del trinomio dado; los segundos términos de losbinomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer término del

trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores delos binomios factores, al sumarse algebraicamente den como resultadoel término central del trinomio”. Ejemplos:

a)

23 14 8 x x 23 14 8 (3 2)( 4) x x x x

b) 25 11 36 x x 25 11 36 (5 9)( 4) x x x x

c) 220 13 2 x x 220 13 2 (5 2)(4 1) x x x x

d)

2 215 17 4a ab b

2 215 17 4 (5 )(3 4 )a ab b a b a b Factor común por agrupamiento. Cuando un polinomio dado no tiene

aparentemente ningún factor común, se forman conjuntos de términosque si contengan un factor común, siendo este un factor del polinomiodado y el otro factor resulta del agrupamiento de términos. Al formar elconjunto de términos, no importa el orden en que se agrupen, ya que deacuerdo a la ley asociativa, siempre se llega al mismo resultado.Ejemplo: a) 5 5 x y mx my

5 5 (5 5 ) ( )

5( ) ( )

( )(5 )

x y mx my x y mx my

x y m x y

x y m

b)

26 12 8 16 x xy x y 2 26 12 8 16 (6 12 ) (8 16 )

3 (2 4 ) 4(2 4 )

(2 4 )(3 4)

x xy x y x xy x y

x x y x y

x y x

c)

2 2 5 5m n m n





2 2 2 25 5 ( ) ( 5 5 )

( )( ) 5( )

( )[( ) 5]

m n m n m n m n

m n m n m n

m n m n

d)

2 2 2 2 32 2 2m x m y mxy mx x y x 2 2 2 3 2

2 2

2 2

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

( 2 )( )

m x m y mx mxy x x y

m x y mx x y x x y

x y m mx x

Polinomios reducibles a diferencia de dos cuadrados: Al agruparadecuadamente los términos de un polinomio, se pueden reducir a unadiferencia de cuadrados, para ello tenemos las siguientes formas: 1. Método de completar el binomio al cuadrado. El polinomio al

factorizar debe ser un trinomio con las siguientes características,uno de sus términos debe ser un cuadrado perfecto y otro debe ser

el doble producto de la raíz cuadrada de dicho término de cuadradoperfecto, por la raíz cuadrada de un tercer término, al cual se lesuma y se le resta una misma cantidad, con el fin de hacerlocuadrado perfecto. Ejemplos.

a) 2 4 3 x x

El trinomio a factorizar cumple con la condición de tener un

término de cuadrado perfecto, es decir; 2 x cuya raíz cuadrada

es: 2 x x

El segundo término es 4x, por lo que el tercer término debe seruna cant idad tal que forme un “Trinomio de cuadrado

perfecto”, es decir necesitamos tener:

2

4 4 x x Tenemos:

2 4 3 x x , por lo que al tercer término lesumamos (+1) y le restamos (-1), para no alterar la expresión

original, resultando: 2 4 3 1 1 x x

Por lo tanto, tenemos:2 4 4 1 x x , en donde

2 4 4 x x es un trinomio de cuadrado perfecto, el cual se factoriza en:

2 24 4 ( 2)( 2) ( 2) x x x x x

Finalmente la factorización del trinomio dado es:2 2 2

2

4 3 4 3 1 1 4 4 1

( 2) 1

x x x x x x

x

b)

23 2 x x 2

2

2

2

( 3 2)

( 3 9 / 4)

( 3 2 1/ 4 1/ 4)

( 3 9 / 4 1/ 4)

x x

x x

x x

x x





2 2

2 2 2

3 9 / 4 ( 3 / 2)( 3 / 2) ( 3 / 2)

( 3 2) [( 3 / 2) 1/ 4] 1/ 4 ( 3 / 2)

x x x x x

x x x x

c) 2

4 4 2t t

Necesitamos tener: 24 4 1t t

Tenemos: 24 4 2t t , por lo que el tercer término lodescomponemos en (1 + 1), por lo que no hay necesidad desumar y restar una cantidad; por lo tanto resulta:

24 4 1 1t t ; en donde 24 4 1t t es un trinomio decuadrado perfecto, el cual se factoriza en:

2 24 4 1 (2 1)t t t 2 2 24 4 2 4 4 1 1 (2 1) 1t t t t t

2. Reordenación de términos por efecto de cambios de signo. Elpolinomio dado debe tener al ordenar sus términos un “Trinomio

de cuadrado perfecto”, apoyándose para ello en los cambios designos. Ejemplos:

a)

2 24 2m mn n Los tres últimos término, cambiando designos, forman un “Trinomio de cuadrado perfecto”, es decir:

2 2 2 24 2 4 ( 2 )m mn n m mn n

Factorizando el término, tenemos:24 [( )( )] 4 ( )m n m n m n

Polinomios que se factorizan como el cubo de un binomio. Unpolinomio ordenado en forma descendente con respecto a una literal, seconsidera como el cubo de un binomio, si cumple con los siguientesrequisitos:

a)

El polinomio debe ser de cuatro términosb) El primero y último término deben ser cubos perfectos, es decir,

deben tener raíz cúbica exacta.c)

El segundo término debe ser más (+) ó menos (-) el triple productode la raíz cúbica del primer término al cuadrado por la raíz cúbicadel último término.

d)

El tercer término debe ser más (+) el triple producto de la raízcubica del primer término por la raíz cubica del último término alcuadrado.

Si todos los términos del polinomio son positivos, su factorización es elcubo de la suma de las raíces cúbica del primer y último término.

Si los términos el polinomio son alternamente positivos y negativos, sufactorización es el cubo de la diferencia de las raíces cúbicas del primeroy ultimo términos.

Ejemplos:

a) Factorizar 3 227 54 36 8 x x x





3 3

3

3 2 3

27 3

8 2

7 54 36 8 (3 2)

x x

x x x x

b)

Factorizar: 3 264 48 12 1 x x x 3 3

3

3 2 3

64 4

1 1

64 48 12 1 (4 2)

x x

x x x x

Problemaspropuestos

Instrucción I: Factorizar las siguientes expresiones en dos factores, en donde uno

de ellos es un factor común monomio.

a) 2 xy x

b) 2m mn

c) 2 22 6 x y xy

d) 2 212 48 y z xy

e) 224 72 144a a

f) 2 3 2 22 4 16a bc ab c abc

Instrucción II: Factorizar las siguientes expresiones en dos factores, en donde

uno de ellos es un factor común polinomio.

a) 7( 2) ( 2)a x a

b) 2 ( 3) 3 ( 3) x ab y ab

c) 5 ( 3) ( 3)m a n a

d) 6( ) 8 ( )b c a b c

e) ( 1)( 2) 7 ( 2)a x a x

Instrucción III: Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados.

a) 2 29m n

b)

2 216 36 x y

c)

2 25 45m n

d) 2 2( ) x y z

e)

2 24 ( 1) y a

f)

2 29 ( )a m n

Instrucción IV: Factorizar las siguientes sumas o diferencias de cubos.

a) 3 64 x

b) 38 a

c)

3 3 125a x

d) 364 ( )a b

e) 3125 ( 2) x

f) 31 ( )m n

Instrucción V: Factorizar los siguientes trinomios de cuadrado perfecto.a)

2 4 4 x x

b)

2 6 9 x x

c)

2 12 36 x x

d)

2 22m mn n

e)

29 30 25 x x

f)

249 54 25a a

Instrucción VI: Factorizar los siguientes trinomios de la forma 2 x bx c

a)

2 7 6m m d)

2 24 21a ab b





b)

2 9 18 x x

c)

2 2 35 x x

e)

2 11 18 x x

f)

2 19 88a a

Instrucción VII: Factorizar los siguientes trinomios de la forma 2ax bx c

a) 2 26 15 x ax x

b) 24 5 6 x x

c) 212 11 2 x x

d) 24 25 21a a

e) 22 1a a

f) 23 10 8a a

Instrucción VIII: Factorizar las siguientes expresiones, sacando un factor comúnpor agrupación.

a) 5 5 2 2m n x y

b) 3 23 6ax x ax

c)

2 2 2

m m mn n

d) 2 23 2 2 3 x y xa ya

e) 2 22 5 30 6a x a y by bx

Instrucción IX: Factorizar los siguientes polinomios quedan como lugar a unadiferencia de cuadrados.

a)

2 22 9 x xy y

b) 2 2 26 9 36 x ax a z

c) 2 24 25 20 16a a x

d)

2 2 2 24 4a ab b x y

e) 2 8 2 x x

Instrucción X: Factorizar los siguientes polinomios que dan como resultado lasuma o diferencia de dos términos al cubo.

a)

3 23 3 1 x x x b)

3 28 36 54 27m m m

c)

3 26 12 8a a a

d)

2 327 27 9m m m e)

38 12 6 1a a x

Subtema 3.6 Fracciones algebraicas.Fracciónalgebraica

Una fracción con literales, por ejemplo: a/b es una fracción algebraica, es decir,es el cociente de dos expresiones algebraicas.

Los términos de una fracción algebraica, se denomina “numerador” al que ocupa

la parte superior y “denominador” al que ocupa la parte inferior. Simplificación defraccionesalgebraicas

Reducir una fracción a sus términos mínimos es alterar su forma sin alterar suvalor.

Simplificar una fracción algebraica es transformarla en una fracción equivalente

donde el numerador y el denominador ya no tienen ningún factor común,excepto la unidad. Ejemplo:





1. Simplificar a sus términos mínimos, las siguientes fracciones cuyos

términos son monomios.

a) 2 3

3 4

1m n

m n mn

b)

3 2 2

3

9 3

3

x y x

xy y

c) 2r r

rq q

2.

Simplificar a sus términos mínimos, las siguientes fracciones cuyos

términos son polinomios.

a)

2

2

6

4

x x

x

( 3)( 2) ( 3)( 2)( 2) ( 2) x x x x x x

b)

2

2

2 8

4 32

x x

x x

( 2)( 4) ( 2)

( 8)( 4) ( 8)

x x x

x x x

c) 3

2

27

9

x

x

2 2( 3)( 3 9) ( 3 9)

( 3)( 3) ( 3)

x x x x x

x x x

Operaciones confracciones

El procedimiento para sumar y restar fracciones algebraicas es igual al que se

emplea en la aritmética. Ejemplos:

a)

Sumar2

4 y

xy x

Se determina el MCD el cual es 2 x y

2

2 2 2

( )(4) ( )( ) 4 4 x y y x y x y

x y x y x y

b)

Sumar 2

a b c

x b x a x c

Se determina el MCD el cual es ( )( 2 )( ) x b x a x c

( 2 )( ) ( )( ) ( )( 2 )

( )( 2 )( )

a x a x c b x b x c c x b x a

x b x a x c

2

2 2 2

( 2 )( ) ( 2 2 )

2 2

a x a x c a x cx ax ac

ax acx a x a c





2

2 2 2

2

2

2 2 2 2 2 2 2

( )( ) ( )

( )( 2 ) ( 2 2 )

2 2

3 2 2 2

( )( 2 )( )

b x b x c b x cx bx bc

bx bcx b x b c

c x b x a c x ax bx ab

cx acx bcx abc

ax acx a x a c bx b x b c cx abc

x b x a x c

c)

2 2 2

2 1 2 7

2 3 14 3 2 2 5 7

x x x

x x x x x x

Se factorizan los denominadores2 1 2 7

(2 7)( 2) ( 2)( 1) (2 7)( 1)

x x x

x x x x x x

Eliminando términos comunes, resulta:

1 1 1

(2 7) ( 2) ( 1) x x x

Se determina el MCD el cual es (2 7)( 2)( 1) x x x

( 2)( 1) (2 7)( 1) (2 7)( 2)

(2 7)( 2)( 1)

x x x x x x

x x x

2 2 2

2

3 2 2 5 7 2 3 14

(2 7)( 2)( 1)

9

(2 7)( 2)( 1)

x x x x x x

x x x

x x

x x x

Multiplicación defraccionesalgebraicas

Para multiplicar dos o más fracciones es necesario factorizar primeramente lostérminos de las fracciones dadas; después se simplifican las fracciones poreliminación de términos comunes del numerador con los del denominador, por

último, al igual que en la aritmética, se multiplica los numeradores y se dividen

por el producto de los denominadores, para dar lugar a la fracción resultante.Ejemplo:

a)

Multiplicar:2

3

2 4.

2 8

a a

a a

Se factorizan lo términos de las fracciones dadas

2

(2 )(2 )(2 )

(2 )(2 )(4 2 )

a a a

a a a a





2

2

4 2

a

a a

b)

Multiplicar :

2 2

2 2

8 7 6

.6 9 2

m m m m

m m m m

( 7)( 1)( 3)( 2)

( 3)( 3)( 2)( 1)

m m m m

m m m m

( 7)( 2)

( 3)( 2)

m m

m m

2

2

9 14

5 6

m m

m m

División defracciones

algebraicas.

Para dividir dos fracciones, es necesario factorizar primeramente los términosde las fracciones dadas; sin olvidar que al igual que en la aritmética se invierte

el divisor y luego se eliminan los términos comunes del numerador con los deldenominador, la fracción resultante se obtiene al multiplicar los numeradores ydividirlo por el producto de los denominadores. Ejemplos:

a) Resolver:2

3 2

1 1

1 1

m m

n n

Se factorizan los términos de las fracciones dadas.

2

(1 ) ( 1)( 1)

(1 )(1 ) (1 )(1 )

m m m

n n n n n

Invirtiendo el divisor y eliminando términos comunes, resulta:

2

(1 )(1 )(1 )

(1 )(1 )( 1)( 1)

m n n

n n n m m

2 2

( 1)(1 ) (1 )

(1 )( 1)( 1) (1 )( 1)

m n n

n n m m n n m

b)

Resolver:2 2

2 2

5 19 4 8 16

6 7 3 3 11 4

a a a a

a a a a

Se factorizan los términos de las fracciones dadas.

(5 1)( 4) ( 4)( 4)

(3 1)(2 3) (3 1)( 4)

a a a a

a a a a

Invirtiendo el divisor y eliminando términos comunes, resulta:

(5 1)( 4)(3 1)( 4) 5 1(3 1)(2 3)( 4)( 4) 2 3

a a a a aa a a a a

Problemaspropuestos:

Instrucción I: Reducir a sus términos mínimos las siguientes expresiones.

a)

2

2

2

m

m m

c)

2 2

3 2

9 4

x a

x a





b) 2

2

( 2)

4

a

a

d)

2

2

3 11 6

3 2

x x

x x

Instrucción II: Resolver las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas.

a) 4 5

4 5

m m

m m

b)

2 2

2 2

3

3 9

x a a x

x a x a

c) 2

1 8 3 2

25 9 5 3

x

x x x

d)

3 3 2

2 1 1

x x x

x x x

Instrucción III: Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones defracciones algebraicas.

a)

2 3

2 3

10 9. .

8 5

a x m a

m a

b) 22 4

.12 4 2

a a

a

c)

2

3

9 3.

27 3

x x

x x

d)

2 2

2 2

x y x y

xy y y

e) 25 15 9 18

5 25 5

a a a

a a

Subtema 3.7 Exponentes y radicales.Exponente Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de sí

mismo; por ejemplo:5

( )( )( )( )( )a a a a a a Leyes de losexponentes

Se establece cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos,

dichas leyes son:

a) ( )( )m n m na a a

b) m

m n

n

aa

a

si m > n1m

n n m

a

a a

si n > m

0 1m

n n

n

aa a

a

si m = n

c) ( )m n mna a

d)

( )m m mab a b

e)

m m

m

a a

b b

Ejemplos:

a)

Resolver:2 3 2 3 5( )( )u u u u





b) Resolver:4

4 2 2

2

mm m

m

c)

Resolver:

3

5 5 3 2

1 1 x

x x x

d) Resolver:2

2 2 0

2 1

aa a

a

e) Resolver: 2 3 (2)(3) 6( )c c c

f) Resolver: 2 2 2 2(2 ) 2 4a a a

g) Resolver: 2 3 2(3) 3 6 3( )a x a x a x

h)

Resolver:

4 4

4

x x

y y

i) Resolver:

3 3

2 6

2 8a a

b b

Exponentesfraccionarios

Provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del términoradicando se divide por el “índice” de la raíz; si el cociente no es una cantidad

entera, la división queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario es

decir:

1/

/n

n m m m na a a

1/ /( )m

m n m nn a a a 1m

1/ /(a )n n n na a

Ejemplos:

a)

Simplificar: 33 5/3 3 5 5 5(8 ) ( 8 ) (2 ) 32a a a a

b) Multiplicar:7/4 2/3 3/4 5/3(3 )(4 )a b a b

7/4 ( 3/4) 2 /3 5/312a b 4/4 3/312 12a b ab

c)

Desarrollar: 2/3 2/3 2( 2 ) x y

2/3 2 2/3 2/3 2/3 2

4/3 2/3 2/3 4/3

( ) 2( )(2 ) (2 )

4 4

x x y y

x x y y

Formas radicalesequivalentes

A partir de las leyes de los exponentes se derivan las siguientes leyes de los

radicales:

Formas radicales

1.

( )n n nna a a

2.

n n na b ab

Formas exponenciales

1. 1/ 1/ /( ) ( )n n n n n na a a a

2.

1/ 1/ 1/( )( ) ( )n n na b ab





3. n m nma a

4.

n

nn

a a

bb

3. 1/ 1/ 1/( )m n mna a

4.

1/1/

1/

nn

n

a a

b b

a)

Factorizando el radicando.

1.

Simplificar: 318a y

2(9 )(2 ) 3 2a ay a ay

2. Simplificar: 3 23 40 x y

3 2 23 3(8 )(5 ) 2 5 x y x y

b) Racionalización de denominadores

1. Racionalizar:3

8

y z

x

23 3

2

( )(2 ) (2 )2 2

8 2 16 4 4

y xyz y xyz y z x xy z

x x x x x

2.

Racionalizar:2

( 5)

x

x

2

2

2 ( 5) 2 ( 5) 2 10

( 5) ( 5) ( 5) 5

x x x x x x

x x x x

c) Reducción de radicales con otro de índice menor

1.

Simplificar 6 84 4 x y

2 6 8 2/4 6/4 8/4 1/2 3/2 4/24

3 4 2 2 2 2

2 2 2

2 ( ) (2 ) 2

x y x y x y

x y x y x xy x

2. Simplificar 3 96 27 x y

3 9 3/6 3/6 9/6 1/2 1/2 3/26

3 2

27 3 3

3 ( )(3 ) 3

x y x y x y

xy y xy y xy

d) Introducción de un factor exterior al radical

1. 2 7a x

2 2 2(2 ) (7 ) (4 )(7 ) 28a x a x a x

2. 2 2

11ax

a x





2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 1( ) 1 1

1

ax a xa x a x

a xa x a xa x

Problemaspropuestos

Instrucción I: Realizar las operaciones indicadas, aplicando las leyes de losexponentes.

a) 3 2(3 )(2 ) x x

b)

2 2 3(5 )( )(6 )ax a x ax

c)

2 3(4 )a bc

d)

25

2

2

4

x

x

Instrucción II: simplificar las siguientes expresiones que contienen exponentesfraccionarios.

a) 2/5 7/5( )( ) x x

b) 1/3 5/3( )( )m m

c) 0 3/4 1/4(3 ) x y

Instrucción III: Escribir las siguientes expresiones en forma exponencial.

a) 5 x

b)

3 23 x

c)

5abc

d) 5 312a b

e)

33( )a b

Subtema 3.8 EcuacionesDefinición deecuación

La ecuación es una igualdad en la que intervienen letras cuyos valores sondesconocidos y se denominan “incógnitas”, las cuales se indican generalmente

por las últimas letras del alfabeto. Cuando alguno o algunos valores de las

incógnitas hacen verdadera la igualdad de la ecuación se establece que dichosvalores “satisfacen” la ecuación; por lo que una ecuación es una igualdadcondicionada.

La notación para una ecuación consiste en escribir el símbolo “=” entre

igualdades, por lo que una ecuación consta de dos partes llamadas “miembros”,

uno a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha, nombrándose primero ysegundo miembro de la ecuación, respectivamente. Ejemplo:





Definición deidentidad

La identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor que adquieran

las incógnitas contenidas en dicha identidad, por lo que no es una igualdadcondicionada.

La identidad emplea el mismo símbolo de la ecuación para separar susmiembros, que también se nombran por igual. Ejemplo:

Grado de unaecuación

El grado de una ecuación queda determinado por el mayor exponente al que estaelevada la incógnita en la ecuación considerada. Ejemplos:

4 5 = 16 3 } Es una ecuación de primer grado, ya que su incógnita “x”tiene como exponente a la unidad.

Las ecuaciones de primer grado, también se les llama, ecuaciones lineales osimples.

7 4 3 = 0 } Es una ecuación se segundo grado, ya que su incógnita “x”

tiene como mayor exponente al dos.

3 22 18 15 0 x x x } Es una ecuación de tercer grado, ya que su incógnita

“x” tiene como mayor exponente al tres.

Resolver una ecuación es hallar el valor o valores que adquieren la o lasincógnitas para satisfacer una ecuación, a este valor o valores se le llama

“Solución o raíz de la ecuación”.

El número de soluciones de una ecuación, está en función de su grado, es decir:

Las ecuaciones de primer grado tienen una sola raíz; las ecuaciones de segundogrado tienen dos raíces, las ecuaciones de tercer grado tienen tres raíces; etc.

Ecuacionesequivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes, si tienen exactamente las mismas soluciones.Al resolver una ecuación, se transforma la ecuación dada en otra que es

equivalente a la primera y que se resuelve más fácilmente.

En el proceso de resolver una ecuación, es necesario realizar operaciones que

den lugar a otras ecuaciones y saber si la ecuación derivada es “equivalente” a la

ecuación original; para ello se deben tener presentes las siguientes propiedades.a) “Si sumamos o restamos una misma cantidad a ambos miembros de una

ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la original”. Ejemplo: “Dada la ecuación 7 = 12, si sumamos 5 a ambos miembros, resulta: 7 5 = 12 5





12 = 17 } Ecuación equivalente.

En la ecuación original y la equivalente, x = 5, satisface a ambasecuaciones. El proceso es igual para la resta.

b) “Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de una ecuación por

una misma cantidad diferente de cero, se obtiene una ecuación

equivalente a la original”. Ejemplo:

“Dada la ecuación = 7 , si multiplicamos por 2 a ambos miembros,

resulta:

()(2) = 7(2)

X = 14} Ecuación equivalente

“Dada la ecuación 2x = 7, si dividimos por 2 a ambos miembros, resulta”:

22 = 72

= } Ecuación equivalente

De las anteriores propiedades, se originan los siguientes principios:1. Si en un miembro de la ecuación, un término esta sumando o restando,

pasara al otro miembro de la ecuación, realizando la operación

contraria, es decir, restando y sumando respectivamente.

Este principio general se le llama “Transposición de términos”, el cual

se define como el hecho de cambiar los términos de una ecuación de unmiembro a otro, cambiándole de signo. Ejemplo:

2. Cualquier cantidad que este dividiendo en un miembro de la ecuación,

pasará al otro miembro de la ecuación, multiplicando a los términos queestén contenidas en dicho miembro.





3.

Cualquier cantidad que este multiplicando en un miembro de laecuación, pasará al otro miembro de la ecuación, dividiendo a los

términos que estén contenidos en dicho miembro. Ejemplo:

Solución deecuaciones

Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.Resolver una ecuación lineal con una incógnita, significa determinar la raíz o

valor para la incógnita que satisfaga la ecuación dada.

Una ecuación de este tipo tiene la forma simple de ax + b = 0, donde “b” es un

numero cualquiera y “a” debe ser cualquier número diferente de cero.

El método de solución para las ecuaciones de primer grado consta de los

siguientes pasos:1. Se agrupan en un miembro de la ecuación (generalmente en el primer

miembro) los términos que contienen la incógnita y en el otro miembro

a los términos constantes.2. Se reducen términos semejantes apoyándose con las propiedades y

principios que anteriormente se explicaron para llegar a la conclusión

Ejemplos demostrativos:Resolver las siguientes ecuaciones lineales con una incógnita.

1.

8 = 1 2

Agrupándose en el primer término de la ecuación los términos que

contienen la incógnita y en el otro miembro a los términos constantes. 2 = 1 8

Reduciendo términos semejantes en ambos miembros.3 = 9

Despejando para la incógnita, tenemos = 93 ∴ = 3





La comprobación se realiza al sustituir el valor de “x” (Incógnita) en la ecuación

dada; por ejemplo:Si x = 3, tenemos: 3 – 8 = 1 – 2(3)

-5 = -5

2.

− = +

Suprimimos los denominadores, multiplicando cada uno de los términos deambos miembros de la ecuación por el “mínimo común múltiplo” de los

denominadores; para este ejemplo el M. C. M es 12, resultado:

12(12)3 = 12(5)12 12(5 4)4 4(1 2 ) = 5 3(5 4) 4 8 = 5 15 12 } Agrupando términos en ambos miembros

8 15 = 17 4 } Reducción de términos

23 = 13 } Despejando la incógnita = 1323

3. 2 3 = 5 4 } Por transposición de términos

2 = 5 4 3 Reducción de términos = 5

Ecuaciones de primer grado con la incógnita en el denominador.Para resolver ecuaciones fraccionarias con la incógnita en el denominador, es

necesario aplicar los siguientes pasos:1. Se suprimen los denominadores, multiplicando cada uno de los

términos de ambos miembros de la ecuación por el “mínimo común

múltiplo” (MCM) de los denominadores; con el fin de transformar la

ecuación fraccionaria en lineal.

2. La ecuación así obtenida se le aplica el método de solución paraecuaciones lineales ya descritos anteriormente.

Ejemplos demostrativos:

1. =

Suprimimos los denominadores, multiplicando cada uno de los

términos de ambos miembros de la ecuación por el MCM de losdenominadores, el cual es “6x”.6(2)3 6(1)2 = 6(3)2 6(13)6

4 3 = 9 13 } Por transposición de términos3 13 = 9 4 } Reducción de términos





10 = 5 } Despejando la incógnita = 5

10 = 1

2

2. −−− = −+ 1

Factorizando el denominador 3 2 1, resulta (3 1)( 1) el

cual es el MCM de los denominadores; suprimiendo los denominadores,tenemos:

(3 1)( 1)(1 5)(3 1)( 1)= (3 1)( 1)(1 2)

(3 1) (3 1)( 1)

1

1 5 = ( 1)(1 2 ) (3 1)( 1) } Agrupando los

términos

1 5 = 2 1 2 3 2 1 } Agrupando los

términos

5 2 3 2 = 1 1 1 } Reducción

5 = 1 } Despejando

= 15

3.

+−+ −+− −− = 0Factorizando los denominadores, tenemos:

3( 4)( 1) 4( 3)( 1) 2( 4)( 3) = 0El MCM de los denominadores es (x – 4) (x – 1) (x + 3), el cual se empleapara suprimir los denominadores.

( 4)( 1)( 3)( 3)( 4)( 1) ( 4)( 1)( 3)( 4)( 3)( 1) ( 4)( 1)( 3)(2)( 4)( 3) = 0( 3)( 3) ( 4)( 4) 2( 1) = 0





6 9 8 16 2 2 = 0 } Por transposición de

términos

6 8 2 = 2 16 9 } Reducción de términos

semejantes

16 = 9 } Despejando la incógnita

= 916

Problemas basados en palabras cuyo planteamiento genere una ecuaciónde primer grado con una incógnita.La aplicación del algebra en la solución de problemas prácticos, consiste en

transformar del lenguaje común al lenguaje algebraico el enunciado de los

problemas dados.

Los problemas dados en palabras, contiene cantidades conocidas (DATOS) ycantidades desconocidas (INCÓGNITAS) que se relacionan entre si para darlugar a una ecuación lineal.

Existe una gran variedad de problemas en lenguaje común para los que existe unprocedimiento establecido de solución, es decir, cada problema tiene diferente

planteamiento; al educando se le sugiere las recomendaciones siguientes:1. Leer detenidamente el enunciado del problema hasta entenderlo

claramente, sin olvidar las cantidades conocidas o datos y las

desconocidas o incógnitas.2. Expresar las incógnitas en términos de una sola variable.3. Resuelva la ecuación y compruebe el resultado obtenido.

Ejemplo demostrativo.

1.

Encontrar dos números y uno doble del otro, que sume 159Datos:x = un numero buscado

2x = el doble del número buscado159 = la suma de los dos números buscados.

Planteamiento:

2 = 159

Operación: 3 = 159 = 1593 = 53





Los dos números buscados son 53 y 106

2. La suma de tres números es 171, el segundo número es la mitad del

primero y el tercer número es ¾ del primero. Encontrar dichosnúmeros.Datos:

x = es el primer númerox/2 = Es el segundo numero3x/4 = es el tercer numero

171 = es la suma de los tres números

Planteamiento: 2 34 = 171

Operación: 4 2 3 = 684 9 = 684 = 76

Los tres números buscados son 76, 38 y 57

3. Un ángulo de un triángulo es doble del menor y 2/3 del ángulo mayordel triángulo. Encontrar los tres ángulos.

Datos:x = unos de los ángulosx/2 = es el ángulo menor

x/2/3 = 3x/2 = es el ángulo mayor180° = la suma de los ángulos interiores del triángulo.

Planteamiento: 2 32 = 180°

Operaciones: 2 3 = 360°

6x = 360

X = 60°

4.

Una bolsa contiene $11.65 pesos en moneda de 25 y 10 centavos; si el

número total de monedas es 70, encontrar cuantas monedas hay decada clase.

Datos.x = el número de monedas de 25 centavos(70 – x)= el número de monedas de centavos

70 = Total de monedas





$11.65 pesos = suma del número de moneda de 25 y 10 centavos

Planteamiento:

0.25 0.1(7 0 ) = 11.65

Operaciones.

0.25x+7-0.1x = 11.650.15x = 11.65 = 4.650.15

x=31

5.

La edad de un padre es triple de la de su hijo, si entre los dos suman 72años, ¿qué edad tiene cada uno?Datos:

Edad del hijo: x añosEdad del padre: 3x años

Planteamiento:Entre los dos 72 años → 3x + x = 72

Operación:Ecuación: 3x + x = 72Se resuelve: 4 x = 72

x=72/4 = 18El hijo tiene 18 y el padre 54 años

6.

La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman56 años ¿Cuál es la edad de cada uno?

Datos:

Edad del hijo: x

Edad del padre:3x

Planteamiento:

x + 3x = 56

Operación:

4x = 56x = 56/4 = 14

La edad del hijo es 14 años y la del padre es 42 años





Problemaspropuestos:

Instrucción I: Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado, para la

incógnita “x” a)

15 24 = 3

b)

4 5 = 2 9

c) 11 = 23 5 d) 3( 5) 4( 6) = 9

e) 3 5 = 19 ( 2)

f)

10 −

= 2( 3)

g) + − =

h) 10 4 = 3

Instrucción II: Resolver las siguientes ecuaciones simples

a) 2x + 5 =7b) 8 – 3t = 2c) 2x – 1 = 5x + 11

d) 7 – 4p = 2p – 5e) 2.6x – 1.3 = 0.9x + 0.4

f) 2 a + 6 – 5 a =0g) 3x – 2 – 5x = 2x – 4h) 20d – 3 + 3d = 11d + 5 – 8

i) 2(x – 1) = 4j) 16 = 4(t + 2)

Instrucción III: Resolver para “x”, las siguientes ecuaciones con la incógnita en el

denominador.

a) =

b) =

c) 5 =

d)

+(+) = − +

e) + = −

f) +− = +−

Instrucción III: Resolver los siguientes problemas expresados en palabras cuyoplanteamiento da lugar a una ecuación de primer grado con una incógnita.

a) Encontrar dos números, uno doble del otro, que sumen 117

b) Encontrar dos números, uno el triple del otro, que sumen 76.

c)

La suma de tres números consecutivos es 234; encontrar dichosenteros.

d) La suma de dos números es 225 y uno de los números excede al otroen 45, encontrar los números.

e) Cada uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es 12°mayor que el tercer ángulo; encontrar los ángulos, recordandoque la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

f) ¿Cuántos litros de jugo de piña, que valen 7 centavos por litros,deben mezclarse con 100 litros de jugo de coco, que valen 42centavos por litro, para formar una mezcla que valga 55 centavos

por litro?

g)

Joel tiene la mitad de lo que tiene Víctor, pero si Víctor le da a Joel24 dólares, ambos tendrán la misma cantidad.

h) En un estacionamiento hay coches y motos; en total hay 36vehículos y 100 ruedas. ¿Cuantos coches y motos hay?





Subtema 3.9 Ecuaciones de segundo grado.Definición. Tipos Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica

que se puede expresar en la forma:

= 0, siendo a, b y c números

reales y a≠0. Los coeficientes de la ecuación son a y b. El término independiente es c.

Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa.

Si b=0 ó c=0 la ecuación es incompleta.

Resolución de =

La ecuación de segundo grado incompleta del tipo = 0 tiene dos

soluciones: x1=0 y x2 =-b/a . Se resuelve sacando factor común a la x e igualandolos dos factores a cero.Ejemplo: 3 9 = 0 (3 9) = 0 → = 0

3 9 = 0 → = 3

Resolución de

= La ecuación de segundo grado completa es una igualdad algebraica que sepuede expresar de la forma = 0, siendo a, b y c números reales y a≠ 0. Para obtener las soluciones utilizamos la fórmula:

= ± √ 42

Ejemplo: 5 6 = 0

= (5) ± (5) 4(1)(6)2

= 5 ± √ 2 5 2 42 = 5 ± 12 = ⟨62 = 342 = 2

Grado = , a la expresión

4 > 0 Hay dos raíces reales distintas

4 = 0 Hay dos raíces reales iguales

4 < 0 no hay raíces reales

Ejemplos demostrativos:Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado

a)

6 = 0 Sol. ( 6) = 0 → = 0 6 = 0 → = 6

b)

27 = 0 Sol.

( 27) = 0 → = 0

27 = 0 → = 27

c) 3 5 = 0 Sol. (3 5) = 0 → = 03 5 = 0 → =

d) 36 = 0 : = 36 → = ±√ 36 → = 6 = 6

e) 4 9 = 0 : = → = ± → = =





f) 9 = 0 : = 9 → ℎ ó g)

7 10 = 0 : = ± √ − = ±√ = ± → 5

2

h) 3 17 20 = 0 : = −±√ − = −±√ = −± → 4

i)

3 5 4 = 0 : = − ±√ − = − ±√ − = ℎ ó

Problemaspropuestos

Instrucción I: Resolver los siguiente ejercicios.1. Calcula el valor de m sabiendo que x = 3 es solución de la

ecuación de segundo grado 27 = 0 2.

La suma de un número natural y su cuadrado es 42. ¿De quénúmero se trata?

3.

La diagonal de un rectángulo mide 10cm. Halla susdimensiones si un lado mide 2 cm menos que el otro.

4. Encuentra dos números positivos que se diferencien en 7unidades sabiendo que su producto es 44.

5. Encuentra dos números cuya suma sea 10 y su producto 246.

Un campo de fútbol mide 30 m más de largo que de ancho ysu área es de 7000 , halla sus dimensiones.

7. Tenemos un alambre de 17 cm. ¿Cómo hemos de doblarlopara que forme un ángulo recto de modo que sus extremos

queden a 13 cm?.

Subtema 3.10 Solución de ecuaciones con dos y tres incógnitasSolución deecuaciones condos incógnitas.

La solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es el conjunto

de pares ordenados (a, b) de números reales que verifican simultáneamente lasdos ecuaciones (“a” representa el valor de la primera incógnita y “b” el valor de

la segunda incógnita).

Los sistemas, según sus soluciones, se clasifican en tres grupos:

Incompatibles: los que no tienen solución

Ejemplo: { = 22 2 = 6

Compatibles determinados: los que admiten una única solución

Ejemplo: { = 2 = 6





Compatibles indeterminados: los que admiten infinidad de

soluciones

Ejemplo:

{ = 22 2 = 4

Tipos de sistemas lineales

En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios

casos:

Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatibledeterminado.

Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatibleindeterminado.

Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.

Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas solucionesson equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicasalgebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros

cuya resolución sea más sencilla.

Métodos de solución:

Método de igualación. Una primera técnica algebraica común para resolver

sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método deigualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambasecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de

primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las

ecuaciones iniciales. Ejemplos:Sea el sistema: 3 2 = 84 3 = 5

Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:





= 8 23

= 5 34 → 8 2

3 = 5 3

4 → 4(8 2 ) = 3(5 3)

32 8 = 15 9 → 17 = 17 → = 1

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene

que x = 2.

1. Sea el sistema: 6 2 = 109 4 = 24

Despejando y en ambas ecuaciones, se tiene: = 10 62 = 24 94 → 10 62 = 24 94

4(106) = 2(24 9) 18 24 = 48 40 → 6 = 8 → = 86 → = 4/3

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de y, se tiene que y =-9

Método de sustitución. La técnica algebraica denominada método desustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dosincógnitas, consiste en despejar una incógnita en una de las ecuacionesy sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una

incógnita. Ejemplos:1. Sea el sistema: 3 2 = 84 3 = 5

Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en

cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valorde la otra incógnita. Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si sedespeja = 8 23

y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:

4(8 2 )3 3 = 5





4(8 2 ) 9 = 15 → 32 8 9 = 15

17 = 17 → = 1

Como y =1 , sustituir en

= 8 23

Por lo que resulta que x = 2

1.

Sea el sistema: 7 4 = 59 8 = 13

Despejando = 5 74

y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:

9 8(5 7)4 = 13 9 10 14 = 13 → 23 = 23 → = 1

Como x =1 , sustituir en = 5 74

Por lo que resulta que y =1/2

Método de reducción. La tercera técnica algebraica de resolución de

sistemas de ecuaciones lineales, el método de reducción, consta delos siguientes pasos:

a) Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por losnúmeros que convengan para que una de las incógnitas tenga elmismo coeficiente en ambas.

b) Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina unaincógnita.

c) Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye suvalor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular lasegunda. Ejemplos:

1. En el sistema de ecuaciones:3 2 = 84 3 = 5

Conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, yrestar ambas ecuaciones:4(3 2 = 8)3(4 3 = 5) → 12 8 = 3212 9 = 150 17 = 17 → = 1

Sustituir y= 1 en cualquiera de las ecuaciones3 2(1) = 8 → 3 = 8 2 → 3 = 6 → = 63 → 2





Solución deecuaciones contres incógnitas.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, se

emplean los diferentes métodos algebraicos descritos para un sistema deecuaciones con dos incógnitas (adición, sustracción, igualación y sustitución).

El método de reducción (adición o sustracción) es el que más se emplea, ya quepermite una mayor rapidez de solución.

El objetivo de resolver un sistema de este tipo es llegar a reducirlo a un sistemade dos ecuaciones con dos incógnitas, para ello, se toman las ecuaciones de dos

en dos para eliminar la misma incógnita en cada caso.

Pasos a seguir para su solución:

a) De las tres ecuaciones dadas, se combinan dos de ellas y se elimina unade las incógnitas, dando lugar a una ecuación con dos incógnitas.

b) Del par anterior de ecuaciones, se escoje una de ellas y se combina con

la ecuación que no se ha empleado, eliminando de ellas la mismaincógnitas, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.

c) Se resuelve el sistema de ecuaciones resultante de los pasos anteriores

por cualquiera de los métodos algebraicos, determinando los valorespara dos de las incógnitas.

d)

Se sustituye los valores determinados en cualquiera de las tres

ecuaciones originales dadas, para encontrar el valor de la tercerincógnita

e) Comprobar los resultados obtenidos.

1. Resolver el sistema

2 3 = 9 … … … … … … … 13 2 = 11 … … … … … … . . 2 = 2 … … … … … … … … . . 3

Combinando las ecuaciones 1 y 2 , se elimina “y”

2 3 = 9 … … … … … … … 13 2 = 11 … … … … … … . . 25 5 = 20 … … … . … … … 4

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones 4 y 5; eliminando a “z” 3(5 5 = 20)5(4 3 = 13)15 15 = 6020 15 = 655 = 5 = 1

Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones 5 ó 4,resultando:

5(1) + 5(z) = 205Z = 20 – 5Z = 15/5 = 3





Sustituyendo los valores determinados en cualquiera de las tres ecuaciones

originales dadas tenemos:

2(1) 3(3) = 92 9 = 9 = 9 11 = 2 = 2

Comprobación:2(1) – 2 + 3(3)=9 3(1) + 2 + 2(3) = 11 1-2+3 = 2

2 – 2 + 9 = 9 3 +2 +6 = 11 2 = 29 = 9 11 = 11

Por lo tanto los valores que satisface al sistema son:

= 1; y = 2 ; z = 3

Problemaspropuestos.

Instrucción I: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas por cualquiera de los métodos algebraicos (reducción,

igualación y sustitución).

a)

12

4

x y

x y

b) 6 8

3 12 5

x y

x y

c)

4 2 9

3 7

x y

x y

d)

7 3 12

14 6 8

x y

x y

e) 5 4 3

6 3 2

x y

x y

f)

9 4 15

6 2 10

x y

x y

Instrucción II: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de primer gradocon tres incógnitas por cualquiera de los métodos algebraicos

a)

2 8

3 3 2

2 9 16

x y z

x y z

y z

b)

4 2 10

3 2 5

2 3 2 10

x y z

x y z

x y z

c)

2 3 4 6

3 2 3 9

2 4 3

x y z

x y z

x y z

d)

4 5 4

3 6

2 3 2 6

x y z

x y z

x y z





Subtema 3.11 Ecuaciones cuadráticasEcuacióncuadrática con

una incógnita

Es una ecuación en la cual el mayor exponente de la incógnita es dos;

representada por 2 0ax bx c y se denomina “Forma general” en donde a,

b y c son constantes y “a” debe ser diferente de cero, llamándose “Ecuación

cuadrática o de segundo grado”.

Ecuacióncuadráticacompleta

Es aquella que tiene la forma 2 0ax bx c , en donde a, b y c son constantes

diferentes de cero. Ejemplo:

a) 23 5 12 0 x x

b) 24 7 20 0 x x

Ecuacionescuadráticasincompletas

De la forma general 2 0ax bx c , puede ser que b = 0, entonces resulta que2 0ax c , pero también puede ser que c = 0, resultando 2 0ax bx ; en

ambos casos se obtiene una ecuación de segundo grado incompleta; Ejemplo:

a)

2

4 16 0 x b) 29 25 0 x

c) 27 0 x x

d)

210 5 0 x x

Raíces de unaecuacióncuadrática

Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación; las ecuaciones desegundo grado tienen dos raíces, en donde ambos valores verifican la ecuación.

Ejemplos:

a) 24 16 0 x 2

2

4 16

164

4

2 2; 2

x

x

x x x

b) 29 25 0 x 2

2

9 25

25

9

25( 1) 5= i

9 3

x

x

x

Solución porfactorización

Si el primer miembro de la ecuación cuadrática en forma general puededescomponerse en dos factores lineales, las raíces se determinan directamente

a partir de dichos factores.

Completa forma General2 0ax bx c

a) 28 6 1 0 x x





(4 1)(2 1) 0

4 1 0 2 1 0

1 1

4 2

x x

x x

x x

b) 22 10 0 x x

(2 5)( 2) 0

2 5 0 2 0

5 2

2

x x

x x

x x

Incompleta forma 2 0ax bx

a) 23 5 0 x x

(3 5) 0

0 3 5 0

5

3

x x

x x

x

b)

25 15 0 x

(5 15) 0

0 5 15 0

15 3

5

x x

x x

x

Solución porformula general

Se identifican de la ecuación cuadrática dada, los coeficientes para las literales a,

b y c; dichos valores se sustituyen en la formula general, determinándose lasraíces de la ecuación.

2 4

2

b b ac x

a

Ejemplos:

1.

Resolver 2 9 20 0 x x

2

1

2

1; 9; 20;

9 (9) 4(1)(20)

2(1)

9 1 105

2 2

9 1 84

2 2

a b c

x

x

x

2. Resolver2 3 0 x x

1; 1; 3;a b c





2

1

2

1 ( 1) 4(1)( 3)

2(1)

1 132

1 13

2

x

x

x

3. Mateo es dos años mayor que Mercedes y la suma de los cuadrados deambas edades es 514 años. Hallar ambas edades.

Datos:x = Edad de Mateo

(x – 2) = Edad de Mercedes2 2

2 2

2

( 2) 514

4 4 514

2 4 510 0

x x

x x x

x x

2

2; 4; 510;

( 4) ( 4) 4(2)( 510)

2(2)

a b c

x

1

2

4 6417

4

4 6415

4

x

x

Edad de Mateo = x = 17 añosEdad de Mercedes = (x – 2) = (17 – 2) = 15 años.

Problemaspropuestos

Instrucción I: Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas

a) 2 16 0 x

b) 28 32 0 x

c) 29 64 0 x

d) 24 1 0 x

Instrucción II: Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización.

a) 2 6 0 x x

b) 26 11 3 0 x x

c) 27 9 2 0 x x

d) 26 5 6 0 x x

Instrucción III: Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método decompletar el cuadrado.

a)

2 20 0 x x

b)

22 3 0 x x

c)

26 5 6 x x

d)

24 11 4 x x





Instrucción IV: Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por la formula

general.

a)

2 6 0 x x

b)

26 11 3 0 x x

c)

27 9 2 0 x x

d)

26 5 6 0 x x

Subtema 3.12 Propiedades de los logaritmosDefinición delogaritmo

El logaritmo de un número es el “exponente” a que se eleva otro número llamado

“base” para dar lugar al número propuesto, la palabra logaritmo se simboliza por

“Log”.

Leyes de loslogaritmos

A partir de las leyes de los exponentes se deducen las leyes de los logaritmos,que establecen:

a)

Logaritmo de un producto

LogAB LogA LogB LogABC LogA LogB LogC

b)

Logaritmo de un cociente

A Log LogA LogB

B

c) Logaritmo de una potencian LogA nLogA

d) Logaritmo de una raíz

1n LogA Log A LogA

n n

Aplicación de lasleyes de loslogaritmos.

Aplicar las leyes de los logaritmos en la simplificación de las siguientes

expresiones.

1. (15)(82) Log

(15)(82) (15) (82) Log Log Log

2. (28)(36)

16 Log

(28)(36)(28)(36) (16)

16

(28) (36) (16)

Log Log Log

Log Log Log

3.

2 5(8) (4) Log

2 5(8) (4) 2 (8) 5 (4) Log Log Log

4. 3 421 Log

3 1 (421)421 (421)

3 3

Log Log Log





Problemaspropuestos

Instrucción I: Aplicar las leyes de los logaritmos en la simplificación de las

siguientes expresiones.

a) (52)(37) Log

b)

2 4(4) (3) Log

c)

(23)(11)

(6)(12) Log

d) 313 19 Log

e) 15

7 Log

f)

3

3

15 36

4 56 Log





Capítulo 4. TrigonometríaIntroducción La trigonometría fue inventada hace más de 2,000 años por los griegos, quienes

necesitaban métodos precisos para medir ángulos y lados de triángulos. De

hecho, la palabra trigonometría se deriva de las palabras griegas trigonon(triángulo) y metría (medición).

Las funciones trigonométricas se originaron históricamente como razones deloslados de un triángulo rectángulo. Un triángulo es rectángulo si uno de sus lados

es recto. Las f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s o n : s e n o , c o s e n o ,

t a n g e n t e , c o t a n g e n t e , s e c a n t e y cosecante, lo cual se abrevia comosen, cos, tan, cot, sec y csc respectivamente.

De acuerdo a la figura se puede definir las funciones trigonométricas de unAngulo agudo de un triángulo rectángulo.

.

..

.

. .

. .

C Opuesto HipotenusaSen CSC

Hipotenusa C OpuestoC Adyacente Hipotenusa

Cos Sec Hipotenusa C Adyacente

C Opuesto C AdyacenteTan Cot

C Adyacente C Opuesto

Subtema 4.1 Resolución de triángulos por el teorema de PitágorasEl teorema de Pitágoras establece que el cuadrado del cateto adyacente

más el cuadrado del cateto opuesto es igual al cuadrado de la hipotenusa.2 2 2h a b

h = Hipotenusa; a = Cateto Adyacente; b = Cateto opuesto ;

Ejemplos: 1. Calcule la longitud que falta en el siguiente triángulo rectángulo.





Solución: en éste caso se nos pide encontrar la hipotenusa del triángulo,

que es el lado desconocido, por lo que sustituyendo los datos en lafórmula del Teorema de Pitágoras, podemos encontrar su valor de la

siguiente forma:

2 2(6) (8) 10h

2.

Calcule la longitud que falta en el siguiente triángulo rectángulo.

Solución:

2 2(13) (5) 12cateto

3. Encuentre el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyas

longitudes de los catetos son 64 y 48.

Solución:

2 2(64) (48) 80h

4.

En la figura se ilustra la ubicación de tres poblados, el pueblo B está a40 km al Norte del pueblo A y el pueblo C está a 30 km al Este de B.¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C?.

Solución:

2 2(40) (30) 50h





Problemaspropuestos

Instrucción I: determine lo que pide cada problema.

a) Calcule la altura del siguiente triángulo y posteriormente su área

b) Calcula las longitudes que faltan en los siguientes triángulos rectángulos.

c)

Un futbolista entrena corriendo la diagonal del terreno de juego de un

campo de futbol. ¿Qué distancia total recorre? El terreno de juego tiene

unas medidas de 105 x 67 m.

Instrucción II: Encuentra el valor de la hipotenusa de los siguientes triángulos

rectángulos cuyas longitudes de los catetos son las que se dan.a) 40 y 80

b)

1.2 y 3.5c) 7.5 y 4d) 24 y 10





Subtema 4.2 Resolución de triángulos ley de senosDefinición Si ABC es un triángulo oblicuo con los ángulos y lados marcados en forma

acostumbrada, entonces:

sen sen sena b c

Observe que la ley de los senos consta de las siguientes tres formas:

sen sen sen sen sen sen

a b a c b c

Ejemplo:

1.

Resuelve el ABC dados 48 ; 57 ; 47;b

Solución:

180 57 48 75

sen sen

a b

ley de los senos

47 (48 )36

(75 )

bsen sena

sen sen

Para hallar c, basta sustituira

sen con

c

sen de la solución precedente de a,

con lo que resulta:

47 (57 )41

(75 )

bsen senc

sen sen

2. Resuelve el ABC dados 67 ; 100; 125;a c

Solución:





125 (67 )1.1506

100

sen sen

c a

csen

sen a

sen sen

Subtema 4.3 Resolución de triángulos ley de CosenosLa ley de los cosenos se expresa en las tres formas generales:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 ( )

2 ( )

2 ( )

a b c bcCos

b a c acCos

c a b abCos

Ejemplos:a)

Un lecho triangular de ores tiene dos lados con longitudes a = 4.5 m y b =3.5 m, con el ángulo = 110º. ¿Cuál es el valor del otro lado?

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

(4.5 ) (3.5 ) 2(4.5 )(3.5 ) (110 )

20.25 12.25 (31.5 )( 0.34)

43.21

43.21 6.57

c m m m m Cos

c m m m

c m

c m m

Problemaspropuestos

Instrucción I: En cada caso calcule las otras partes del triángulo oblicuo.

a)

41 ; 77 ; 10.5a

b) 30 ; 17.9; 35.8b a

c)

81 ; 11; 12c b

Instrucción II: Calcule los valores faltantes:

a) Un triángulo oblicuo tiene un lado 10 ; 40 ; 60b m ¿Cuáles

son las longitudes de los otros lados del triángulo?

b) Un triángulo tiene lados 6 ; 21 ; 50b cm c cm ¿Cuáles son los

valores del otro lado y de los otros ángulos?





Subtema 4.4 Identidad TrigonométricaSi se dibuja un círculo de radio=1 (circulo unitario), como se muestra en lasiguiente figura, con el centro en el origen del plano cartesiano XY , entonces las

coordenadas de un punto sobre la circunferencia son P = p(x; y) = (cos;sen),donde es al ángulo cuyos lados son la parte positiva del eje X y el radio delcírculo que pasa por el punto P, antes mencionado.

Si utilizamos el Teorema de Pitágoras, para calcular la distancia a la que seencuentra este punto, desde el origen del plano XY , entonces se cumple la

condición:2 2 2h a b

Las siguiente tabla muestra a modo resumido las diferentes identidadestrigonométricas fundamentales:

Ejemplo:

1.

Verificar que se cumpa la igualdad

sec( ) cos( ) [ ( )][tan( )] sen

Solución:

Empezamos por transformar el lado izquierdo aplicando la identidadtrigonométrica.

1sec( ) cos( ) cos( )

cos( )

En seguida sumamos como si fuera fracciones




2

1 cos( )sec( ) cos( )

cos( )

Cambiando

2

( ( )) sen a ( ( ))( ( )) sen sen se tiene( )

sec( ) cos( ) ( )cos( )

sen sen

Como ( ) / cos( ) tan( ) sen , al sustituir comprobamos que se

cumple la igualdad

sec( ) cos( ) ( ( ))(tan( )) sen

Problemaspropuestos

Instrucción I: Compruebe las siguientes igualdades

a) sec( ) ( ) tan( ) cot( ) sen

b) csc( ) ( ) cot( ) cos( ) sen

c)

( ) cos( ) ot( ) csc( ) sen c

Bibliografía

Baldor, D. A. (1993). Algebra. México: Publicaciones Cultural.

Baldor, D. A. (1995). Aritmetica. Teorico practica (Décima reimpresión ed.). México: Publicaciones

Cultural.

Olvera, B. G. (1999). Aritmética y álgebra. México: Colección DGETI.

Swokowski, E. W. (s.f.). Álgebra y trigonometría con Geometría analitica (Decima ed.). Thomson

Learning.

curso propedeutico de matemáticas basicas

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