curso de conjuntos y números. apuntes

Curso de conjuntos y numeros.

Apuntes

Juan Jacobo Simon Pinero

Curso 2013/2014

Indice general

I Conjuntos 5

1. Conjuntos y elementos 71.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. . . . . . . . . . . . . . 71.2. Pertenencia, contenido e igualdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Operaciones con subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones . . . . . . . . . . . . 131.4. Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias . . . . 15

2. Aplicaciones 192.1. Relaciones y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Tipos de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Imagenes directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4. Composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1. Inversa de una aplicacion biyectiva . . . . . . . . . . . . . 25

3. Orden 293.1. Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos . . . . . . . . 293.2. Conjuntos bien ordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Relaciones de equivalencia 374.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3. El conjunto cociente y la proyeccion canonica . . . . . . . . . . . 394.4. Relaciones de equivalencia y particiones . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Conjuntos numericos 435.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1. Orden y operaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . 485.2. Numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3. Numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3.1. Escritura decimal de numeros racionales. . . . . . . . . . 525.4. Numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.5. Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5.1. Forma exponencial de un numero complejo. . . . . . . . . 60

3

4 INDICE GENERAL

5.6. Conjuntos numerables y no numerables . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Analisis combinatorio. 636.1. Variaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.1. Numero de variaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2. Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3. Combinaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

II Numeros y polinomios 67

7. El anillo de los numeros enteros. 697.1. Artimetica de los enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.1.1. Division entera y maximo comun divisor. . . . . . . . . . 697.1.2. Mınimo comun multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.3. La ecuacion diofantica lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 767.1.4. Numeros primos.Teorema Fundamental de la Aritmetica . 78

7.2. Congruencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.1. Propiedades aritmeticas de las congruencias . . . . . . . . 817.2.2. Estructuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.2.3. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . 877.4. Teorema chino de los restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8. Polinomios 958.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. . . . . . . . . . . . . . 958.2. Raıces de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.3. Irreducibilidad y teorema fundamental del algebra. . . . . . . . . 1038.4. Factores multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.5. Polinomios irreducibles en Q[X ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A. Apendice 111A.1. La funcion sucesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.2. Operaciones en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Parte I

Conjuntos

5

Capıtulo 1

Conjuntos y elementos

1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento.

Comenzamos con la definicion de conjunto de G. Cantor:

Un conjunto es una coleccion (dentro de un todo) de distintos objetosdefinidos por nuestra intuicion o pensamiento

Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepcion intuitiva de losconjuntos.

La nocion formal de conjunto corresponde con fundamentos de la ma-tematica que quedan fuera del alcance de nuestro curso.

Tambien queda fuera del alcance de este texto el concepto de pertenencia.

Vamos a asumir entonces que hay unos objetos que llamamos conjuntosque poseen unos objetos que llamamos elementos.

1.2. Pertenencia, contenido e igualdad.

Las colecciones a las que llamaremos conjuntos seran construidas de las si-guientes dos formas principales.

1. Por extension: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo

A = {X1, . . . , Xn, . . . } o A = {a, b, c, . . .}.

2. Por comprehension: a traves de una formula proposicional que siempretendra, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, si B es un con-junto,

A = {X ∈ B | p(X) (es verdadera) } .

Cuando el conjunto B sea obvio quien es por el contexto, podemos noescribirlo.

7

8 CAPITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anterioresdetermina un unico conjunto.

1.2.1. Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos.

1. A = {a, e, i, o, u} o A = {x | x es una vocal }.

2. A = {2, 4, . . .} o A = {x ∈ N | x es par }.

1.2.2. Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehension y extension,los siguientes conjuntos:

1. Los numeros naturales que son impares y menores que 20.

2. Las vocales de la palabra “murcielago”.

3. Los numeros impares positivos.

1.2.3. Observacion. La exigencia del conjunto de referencia en la escritura decomprehension es importante. El “todo” de donde tomamos los elementos debede ser, de antemano, un conjunto. De no ser ası, podemos tener problemas, comose muestra a continuacion.

Sea U la coleccion de todos los conjuntos y definimos

A = {x ∈ U | x 6∈ x} .

Si U fuese conjunto entonces A tambien lo serıa y entonces es inmediata lasiguiente proposicion: A ∈ A si y solo si A 6∈ A, conocida como la paradoja deRussell.

Lo que ocurre aquı es que U no es un conjunto y por tanto, no podemosformar el conjunto A por comprehension.

1.2.4. Notacion. Si a es un elemento del conjunto A, escribiremos a ∈ A. Encaso contrario escribimos a /∈ A.

1.2.5. Inclusion. Sean A y B conjuntos. Decimos que A esta contenido en B,o que A es subconjuntos de B si para todo elemento a ∈ A se tiene que a ∈ B.

Se denota A ⊂ B y se expresa a ∈ A ⇒ a ∈ BSi A no esta contenido en B entonces escribimos A 6⊂ B.

1.2.6. Observacion. Es claro que A 6⊂ B si y solo si existe a ∈ A tal quea 6∈ B.

1.2.7. Ejemplo. Sea I = {x ∈ N | x es impar } = {x ∈ N | x = 2n +1, con n ∈ N}, que a veces, para abreviar, escribimos {2n+1 | n ∈ N} (aunqueesta escritura no estaba contemplada, se usa mucho y se entiende perfectamente,ası que podemos introducirla). Entonces I ⊂ N.

1.2.8. Notacion. Sean A y B conjuntos, tales que A ⊂ B. Si queremos destacarla posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A ⊆ B. Cuandoqueremos poner enfasis en justo lo contrario, escribimos A ( B; lo expresamoscomo a ∈ A ⇒ a ∈ B pero ∃ b ∈ B tal que b 6∈ A.

1.2. PERTENENCIA, CONTENIDO E IGUALDAD. 9

1.2.9. Igualdad. Diremos que dos conjuntos A y B son iguales cuando tenganexactamente los mismos elementos. Lo expresamos a ∈ A ⇔ a ∈ B.

1.2.10. Proposicion. Sean A y B conjuntos. A = B si y solo si A ⊂ B yB ⊂ A

Demostracion. Inmediata.

Conjunto vacıo.

1.2.11. Definicion. Un conjunto vacıo es aquel que no tiene elementos.

1.2.12. Proposicion. Sean A y B conjuntos. Si A es vacıo entonces A ⊂ B.

Demostracion. Por reduccion al absurdo. Sea A un conjunto vacıo y supongamosque existe B, conjunto tal que A * B. Entonces existe a ∈ A tal que a 6∈ B.Luego A no es vacıo lo cual es imposible.

1.2.13. Corolario. Solo hay un conjunto vacıo.

Demostracion. Inmediata de la proposicion anterior.

Notacion. El conjunto vacıo se denota ∅1.2.14. Ejercicio. Decidir razonadamente si la siguiente afirmacion es verda-dera o falsa:

A = ∅ ⇐⇒ ∀x, x 6∈ A.

1.2.15. Partes de un conjunto. Sea A un conjunto. La coleccion

P(A) = {B | B ⊂ A}

se conoce como el conjunto de las partes de A o el conjunto potencia de A.

1.2.16. Ejercicios.

1. Determinar P(∅).2. Sea A = {x1, x2, x3}. Escribir P(A) y comprobar que tiene 23 elementos.

3. (Taller 2012-2013) Probar que A 6= P(A).

Solucion. Solo veremos el ejercicio del taller. Supongamos que A = P(A). Setendra entonces que X ⊂ A implica que X ∈ A. Vamos a formar el conjuntoB = {X ∈ A | X 6∈ X}. Como B ⊆ A entonces B ∈ A; ademas, ocurre una dedos:

1. B ∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B ∈ B y por tanto B 6∈ B, lo cual esabsurdo.

2. B 6∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B 6∈ B y por tanto B ∈ B, lo cual esabsurdo.

Ası que la suposicion de que A = P(A) reduce al absurdo y por tanto es falsa.Luego lo contrario es verdadero.


1.3. Operaciones con subconjuntos

1.3.1. Union. Sean A y B conjuntos. El conjunto

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

se conoce como la union de A y B.

Se escribe x ∈ A ∪ B si y solo si x ∈ A o x ∈ B.

Lo contrario es x /∈ A ∪ B si y solo si x /∈ A y x /∈ B.

1.3.2. Ejercicio. Sea A un conjunto arbitrario. Probar que para cualquier con-junto B, se tiene que A ⊂ A ∪ B.

1.3.3. Interseccion. Sean A y B conjuntos. El conjunto

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

se conoce como la interseccion de A y B.

Se escribe x ∈ A ∩ B si y solo si x ∈ A y x ∈ B.

Lo contrario es x /∈ A ∩ B si y solo si x /∈ A o x /∈ B.

1.3.4. Ejercicio. Para los conjuntos A, B y C, probar las siguientes propieda-des:

1. Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces (A ∪ B) ⊂ C.

2. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

3. A ⊂ B si y solo si A ∪ B = B si y solo si A ∩ B = A

4. Como consecuencia, A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅.

1.3.5. Ejemplos. 1) Vamos a comenzar abordando un caso muy concreto hastaotener la maxima generalidad, en el uso de la escritura comprehensiva.

Sea U = R2, el plano euclıdeo, A = {(x, y) ∈ U | x + y = 3}, B = {(x, y) ∈U | x + y = 7} y C = {(x, y) ∈ U | x − y = 0}. Probar que A ⊂ B y queA 6⊂ C.

Mas en general, si P (r) = {(x, y) ∈ U | x + y = r}, con r ∈ R, probar queP (r) ⊂ P (s) si y solo si r ≤ s.

Finalmente, probar que si U es un conjunto arbitrario, A = {x ∈ U | p(x) }y B = {x ∈ U | q(x) }, entonces A ⊆ B si y solo si [p(x) ⇒ q(x)].

2) Vamos a ver un caso donde podemos comparar el uso de escritura com-prehensiva y el de listas. Para cualquier a ∈ N, se define N · a = {a, 2a, . . .} ={x ∈ N | x = na, con n ∈ N}. En este caso, la escritura con lista parece maselegante que la comprehensiva. Tambien N · a ∩ N · b = N · mcm(a, b); pero launion N · a ∪ N · b se escribe mal como lista.

1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 11

Diagramas de Venn

En 1880 John Venn introdujo los diagramas para una mejor comprension delos conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas representan la unione interseccion de dos conjuntos A y B contenidos en otro conjunto, digamos U .

U

A B

&%'$

&%'$

Union

��

��

��

�

��

�

��

��

U

A B

&%'$

&%'$��

Interseccion

Leyes distributivas.

1.3.6. Proposicion. Sean A, B y C conjuntos. Entonces

1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Demostracion. Probaremos la primera, la otra se deja como ejercicio.

⊆] Sea x ∈ A ∩ (B ∪ C). Entonces x ∈ A y x ∈ B ∪ C; es decir, x ∈ A yademas x ∈ B o x ∈ C. Ahora separamos en dos casos. Primero, x ∈ A y x ∈ B,de donde x ∈ A ∩ B. El otro es x ∈ A y x ∈ C, de donde x ∈ A ∩ C. No haymas casos y por tanto x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

⊇] Si x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) entonces x ∈ A y x ∈ B o bien x ∈ A y x ∈ C.Luego x ∈ A en ambos casos y ası, x ∈ A y ademas x ∈ B o x ∈ C, de dondex ∈ A ∩ (B ∪ C).

Vamos ahora con la segunda.

⊆] Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C). Tenemos dos casos. Primero, si x ∈ A entoncesx ∈ A ∪ B y ademas x ∈ A ∪ C (Ejercicio 1.3.2) luego x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).Ahora, si x 6∈ A entonces x ∈ B ∩ C entonces x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C (otra vezEjercicio 1.3.2) y por tanto x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

⊇] Sea x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Consideramos dos casos. Primero, si x ∈ Aentonces x ∈ A∪ (B ∩C) (otra vez Ejercicio 1.3.2). Segundo, si x 6∈ A entoncesx ∈ B y ademas x ∈ C por lo que x ∈ B ∩ C, de donde x ∈ A ∪ (B ∩ C).

1.3.7. Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia deconjuntos es la coleccion

A \ B = {X | X ∈ A y X 6∈ B}.

Expresado como diagrama de Venn


U

A B

&%'$

&%'$

��

��

��Diferencia

1.3.8. Ejercicio. Considerense los conjuntos A = {X ∈ R | 0 ≤ x2 ≤ 6} y

B = {X ∈ R | X2

2 < 8}. Se pide:

1. Representar estos conjuntos en la recta real.

2. Determinar los conjuntos A∪B, A∩B, A \B y B \A, escribiendolos deforma comprehensiva y graficamente en la recta real.

1.3.9. Complemento. Sean A y U conjuntos, con A ⊂ U . Se conoce comocomplemento de A en U a la coleccion

A∁ = U \ A = {X ∈ U | X 6∈ A}.

Leyes de De Morgan.

Augustus De Morgan 1806 (Madras, India)-1871(Londres). Fue hijo de unmilitar britanico. Hizo contribuciones importantes en algebra, geometrıa y ademasfue cofundador de la London Mathematical Society, ası como su primer presi-dente.

1.3.10. Proposicion. Sean A y B conjuntos.

1. (A ∩ B)∁ = A∁ ∪ B∁.

2. (A ∪ B)∁ = A∁ ∩ B∁.

Demostracion.

1. x ∈ (A ∩ B)∁ ⇔ x 6∈ A ∩ B ⇔ x 6∈ A o x 6∈ B ⇔ x ∈ A∁ o x ∈ B∁

⇔ x ∈ A∁ ∪ B∁.

2. x ∈ (A ∪ B)∁ ⇔ x 6∈ A ∪ B ⇔ x 6∈ A y x 6∈ B ⇔ x ∈ A∁ y x ∈ B∁

⇔ x ∈ A∁ ∩ B∁.

Expresado como diagrama de Venn

1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 13

U

A B

&%'$

&%'$

��

��

��

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��

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��

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��

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��

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��

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��

(A ∩ B)∁ = A∁ ∪ B∁

U

A B

&%'$

&%'$

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��

��

��

��

��

��

��

(A ∪ B)∁ = A∁ ∩ B∁

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones

Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o nonos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par deejemplos.

Sean N el conjunto de los numeros naturales y P el conjunto de los nume-ros pares positivos. Definimos, para cada n ∈ N, An como el conjunto de losmultiplos pares de n; es decir An = {x ∈ P | x

n ∈ N}.Entonces, la coleccion C = {An}n∈N

no es conjunto porque, por ejemplo,Ap = A2p, para todo primo impar. En este caso, decimos que C es una familia(de conjuntos).

Aun ası, es claro que podemos considerar su union e interseccion y respe-tara las leyes habituales de conjuntos.

Otro ejemplo es el siguiente. Considerese p1(X) = X3 − X2 + X − 1 yp2 = X3 + X2 − 2. Sean R1 y R2 los conjuntos de raıces reales de p1(X) yp2(X) respectivamente, y R = {R1, R2}. En principio, no podemos asegurarque R sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia1 ∈ R1 ∪ R2.

1.3.11. Definicion. Una familia de conjuntos es una coleccion {Ai | i ∈ I},donde I es un conjunto y Ai son conjuntos.

Si todos los objetos son diferentes, tendremos un conjunto, si no, una familia.


Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias

Comenzamos con la union. Al ser una operacion binaria y asociativa, po-demos extenderla a una coleccion finita de uniendos. Ası, si A1, . . . , An sonconjuntos se tiene que

n⋃

i=1

Ai = {x | x ∈ Ai para alguna i ∈ {1, . . . , n}} .

Cuando la coleccion sea infinita, tambien habra union, pero ya no es unaconsecuencia de propiedades de operaciones binarias. Sera una nueva definicion.

Veamos la version mas general. Nos viene a decir que las uniones mas gene-rales seran conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a unconjunto.

1.3.12. Union arbitraria. Sea C un conjunto cuyos elementos son, a su vez,conjuntos. La union arbitraria es el conjunto

∪C = {x | x ∈ A, para algun A ∈ C} .

En el caso de las familias, si I es un conjunto de ındices y C = {Ai | i ∈ I} ={Ai}i∈I , entonces escribimos

∪C =⋃

i∈I

Ai = {x | x ∈ Ai para algun i ∈ I} .

Al igual que sucede con la union, podemos definir la interseccion finita enconjuntos y familias. Si A1, . . . , An son conjuntos entonces la interseccion es elconjunto

n⋂

i=1

Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ {1, . . . , n}} .

1.3.13. Interseccion arbitraria. Sea C un conjunto, cuyos elementos son, asu vez, conjuntos. La interseccion arbitraria es el conjunto

∩C = {x | x ∈ A, para todo A ∈ C} .

En el caso de las familias, si I es un conjunto de ındices y C = {Ai | i ∈ I} ={Ai}i∈I , entonces escribimos

∩C =⋂

i∈I

Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ I} .

1.3.14. Ejemplo. Sea A = {a, b, c} y consideramos el conjunto de las partesde A, que denotamos P(A). Sea C = {{a, b}, {b, c}}. Entonces

1.⋃

C = A.

2.⋂

C = {b}.

1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS15

1.3.15. Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los numeros primos positivos.Para cada primo, p ∈ P, definimos el conjunto N · p = {0, p, 2p, . . .}, o sea, losmultiplos naturales de p. Entonces:

1. La familia {N · p}p∈P es un conjunto.

2.⋃

p∈P N · p = N.

3. Si p1, . . . , pn son primos cualesquiera entonces se tiene que⋂n

i=1N · pi ={0, ·p1 · · · pn, 2(p1 · · · pn), . . . }

4.⋂

p∈P N · p = ∅.

1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y re-

laciones binarias

En ocasiones queremos hacer corresponder dos objetos, ya sea para compa-rarlos, sustituirlos o diversos objetivos mas. Una herramienta matematica porexcelencia para estudiar las correspondencias es la idea de pareja ordenada opar ordenado. En los estudios preuniversitarios invocamos las parejas ordenadasescribiendo (a, b). Vamos interpretar este concepto en terminos de conjuntos.

1.4.1. Definicion. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada pora ∈ A y b ∈ B es el conjunto

(a, b) = {{a}, {a, b}} .

1.4.2. Observacion. La escritura de la definicion anterior puede reducirse mu-cho segun el caso. Por ejemplo (a, a) = {{a}}.1.4.3. Proposicion. Sean A y B conjuntos. Para cualesquiera elementos a, c ∈A y b, d ∈ B se tiene que (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.

Demostracion. Se deduce de la igualdad {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.

Ahora vamos a considerar el conjunto de las parejas ordenadas. Notese queuna vez establecida la definicion conjuntista de pareja ordenada volvemos aexpresiones completamente familiares.

1.4.4. Producto cartesiano. Sean A y B conjuntos. El producto cartesianode A y B es el conjunto

A × B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B} .

1.4.5. Observacion. Es claro que siendo el producto cartesiano un operacionbinaria, podemos extender el concepto a un numero finito de factores. En estecaso, es inmediato comprobar que el producto cartesiano de tres conjuntos no esasociativo; sin embargo, la identificacion (a, (b, c)) con ((a, b), c) es demasiadoclara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos,


teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripcion enterminos de conjuntos para la expresion (a, b, c). Mas adelante le daremos sen-tido, con un concepto mas general, el de producto directo.

1.4.6. Proposicion. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces

A × ∅ = ∅ × A = ∅.

Demostracion. Supongamos que A × ∅ 6= ∅. Entonces existe una pareja (a, b) ∈A × ∅, con b ∈ ∅. Pero eso es imposible. El otro producto es completamenteanalogo.

1.4.7. Observacion. De la propia definicion de pareja ordenada se desprendeque si A y B son conjuntos puede ocurrir que A × B 6= B × A.

1.4.8. Ejercicios.

1. Sea A = 1, 2, 3 y B = a, b. Formar el producto cartesiano.

2. Probar que A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

3. Probar que A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

Ahora vamos expresar en terminos de conjuntos la nocion de relacion (ocorrespondencia) entre dos objetos.

1.4.9. Definicion. Sean A y B conjuntos. Una relacion binaria (o correspon-dencia) entre elementos de A y de B es un subconjunto R ⊆ A × B.

Cuando (a, b) ∈ R decimos que a esta relacionado con b (dicho en ese orden)y escribimos aRb.

Cuando ocurra A = B, diremos simplemente que R es una relacion en A.

1.4.10. Observacion. Algunos autores obligan a que las relaciones sean con-juntos no vacıos. Otros reservan el termino relacion para correspondencias enun solo conjunto.

Si no causa confusion, diremos relacion en vez de relacion binaria.

1.4.11. Observacion. Notese que puede ser que un elemento a este relacionadocon otro b, pero no recıprocamente.

1.4.12. Ejemplos. 1. Si A = ∅ y B es arbitrario, entonces A×B = ∅ y porlo tanto, la unica posible relacion entre A y B es la vacıa.

2. Sean A y B conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (quepueden coincidir), una es el vacıo y la otra es la total.

3. Sea R ⊂ R2 la relacion dada por

R ={(x, y) ∈ R2 | x ≤ y

};

es decir, xRy ⇔ x ≤ y.

1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS17

4. Sea R ⊆ Z2 × Z2 tal que

(a, b)R(a′, b′) ⇐⇒ ab′ = a′b.

5. Sea A un conjunto. La “diagonal” de A2; es decir, (a, b) ∈ R ⇔ a = b, esuna relacion (la igualdad).

6. Sea R ⊆ Z2 la relacion dada por aRb ⇔ a | b (a divide a b; o bien, b esmultiplo de a, vease 7.1.6).

7. Sea R ⊆ R2 la relacion dada por xRy ⇔ y = x2 + 1. En este caso R ={(x, y) ∈ R2 | y = x2 + 1} y podemos dibujarla en el plano.

1.4.13. Definicion. Sean A y B, conjuntos, y R una relacion entre A y B.

1. Al conjunto A se le llama conjunto inicial.

2. Al conjunto B se le llama conjunto final.

3. Se conoce como dominio de la relacion, al conjunto

DomR = {a ∈ A | ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R} .

4. Se conoce como imagen de la relacion, al conjunto

ImR = {b ∈ B | ∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R} .

1.4.14. Ejemplo. Sea R ⊂ R2 tal que

(x, y) ∈ R ⇐⇒ x =y2 − x

y.

Se puede comprobar que DomR = R y que ImR = R \ {0}.Podemos representar las relaciones en graficas planas, como se hace en el

calculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} yconsiderese la relacion R = {(a, b′), (a, c′), (b, c′)}. La grafica es

a′

b′

c′

d′

a b c

•

••

Un ejercicio interesante es estudiar la relacion entre la forma de las graficasy las propiedades de las relaciones.

Capıtulo 2

Aplicaciones

2.1. Relaciones y aplicaciones

En cursos anteriores hemos visto que una aplicacion es una correspondenciaentre los elementos de dos conjuntos. Mas actualmente, en capıtulos anerio-res hemos expresado el concepto de correspondencia en terminos de conjuntos.Vamos a trabajar ahora el concepto de aplicacion en terminos de conjuntos.

2.1.1. Definicion. Sean A y B conjuntos. Una aplicacion entre A y B es unarelacion f ⊂ A × B que cumple la siguiente propiedad:

Para todo a ∈ A, existe un unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f .

O bien, si (a, b) y (a, c) pertenecen a f , entonces c = d.

Notese que esta definicion en realidad no difiere de la que hemos visto enestudios previos. Estamos diciendo, en terminos de conjuntos, que una aplicaciones una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B,que satisfacen que para todo a ∈ A existe un unico elemento b ∈ B que lecorresponde.

2.1.2. Notacion. Sean A y B conjuntos y f una aplicacion de A a B. Escri-bimos entonces

f : A → B o Af−−→ B.

Ademas, si a ∈ A y (a, b) ∈ f , como b es unico podemos escribir

b = f(a).

En ocasiones expresamos la igualdad anterior b = f(a), que tambien lla-mamos regla de corespondencia, a traves de ecuaciones. Por ejemplo, podemosdefinir f : N→ N tal que f(n) = n2.

Cuando partimos de una ecuacion como por ejemplo y = x2 + 1 y queremosinterpretarla como la regla de una relacion, la llamamos funcion1 y tenemos que

1Algunos autores no distinguen estos conceptos y a todo le llaman funciones.

19

20 CAPITULO 2. APLICACIONES

determinar su “dominio de definicion” es decir, el mayor conjunto que puedeser el dominio con el que podemos interpretar y = x2 + 1 como la regla decorrespondencia de una aplicacion.

Existen diversas maneras de representar graficamente a las aplicaciones. Va-mos a ver dos de ellas. La primera muy tıpica:

Sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} conjuntos. Representamos la aplica-cion f : A → B tal que f = {(a, a′), (b, c′), (c, d′)} como

A Ba •

b •

c •

• a′

• b′

• c′

• d′

f

La siguiente es la grafica habitual de las coordenadas, que ya hemos vistopara relaciones.

a′

b′

c′

d′

a b c•

••

Otra grafica habitual es la de la funcion y = x2 + 1

2.1.3. Observacion. En ocasiones, sobre todo en el calculo y la topologıa,se suele identificar la aplicacion con la regla de correspondencia y a la propiaaplicacion con la grafica (o grafo).

2.1.4. Observacion. Como hemos dicho, una aplicacion es una relacion, queescribimos f : A → B. De este modo tenemos

1. El dominio de f , que es Domf = A. Es decir, el dominio coincide con elconjunto inicial, ası que este ultimo termino ya no se usa.

2. La imagen (o imagen directa) de f , que es Imf = f(A) ⊆ B.

Ademas, tenemos otras definiciones.

2.1.5. Definicion. Sean A y B conjuntos y f : A → B.

1. Al conjunto final B se le llama el codominio de f .

2.2. TIPOS DE APLICACIONES 21

2. A la igualdad b = f(a) se le llama la regla de correspondencia de f , ytiene especial sentido cuando se establece por formula.

3. Si (a, b) ∈ f , decimos que a es una preimagen de b y que b es la imagende a.

2.1.6. Ejemplos.

1. Sea A un conjunto. La relacion “diagonal” es una aplicacion que llamamosla identidad.

2. Sea f : Z→ N, tal que f(a) = a2. Entonces f es una aplicacion.

3. La relacion xRy ⇔ x2 + y2 = 1 no es una aplicacion. Sin embargo, y =√1 − x2 sı lo es.

2.1.7. Ejemplo. Operaciones binarias. Sean A y B conjuntos no vacıos. Unaley de composicion externa es una aplicacion

B × Aø−−→ A

cuya imagen habitualmente denotamos b ø a en vez de ø(b, a). Un ejemplo tıpicode esto es el producto por un escalar en espacios vectoriales.

Otra operacion binaria es la ley de composicion interna. Sea A un conjunto.Una operacion binaria en A es una aplicacion

B × Aø−−→ A

cuya imagen habitualmente denotamos a ø a′ en vez de ø(a, a′). Un ejemplotıpico de esto es la suma en los numeros naturales.

2.2. Tipos de aplicaciones

2.2.1. Definicion. Sea f : A → B una aplicacion.

1. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si para cada elemento de laimagen, la preimagen es unica. Escribimos

f(a) = f(b) ⇒ a = b o a 6= b ⇒ f(a) 6= f(b)

2. Decimos que f es suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva) si cubre todoel codominio. Escribimos

∀ b ∈ B, ∃ a ∈ A tal que f(a) = b.

3. Decimos que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

2.2.2. Ejemplos. Se pueden comprobar facilmente las siguientes afirmaciones:


1. La aplicacion f : N→ N tal que f(x) = 2x es biyectiva.

2. La aplicacion f : [1,∞) → (0, 1] tal que f(x) = 1x es biyectiva.

3. Sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′}. Entonces

a) La aplicacion f = {(a, b′), (b, b′), (c, b′)} no es inyectiva ni suprayec-tiva (es constante).

b) La aplicacion f = {(a, b′), (b, c′), (c, d′)} es inyectiva pero no supra-yectiva.

c) Ninguna aplicacion f : A → B puede ser suprayectiva.

2.3. Imagenes directas e inversas

2.3.1. Definicion. Sea f : A → B una aplicacion.

1. Para X ⊆ A, definimos la imagen (directa) de X como

f(X) = {f(x) | x ∈ X} = {b ∈ B | ∃x ∈ X, b = f(x)}.

2. Para Y ⊆ B, definimos la imagen inversa como

f(Y )−1 = {a ∈ A | f(a) ∈ Y }

que tambien podemos escribir f−1(Y ) teniendo cuidado de no confundirlacon la aplicacion inversa.

En el caso de las imagenes inversas, cuando el conjunto Y solo tiene unelemento, digamos Y = {y} se suele denotar f(y)−1.

2.3.2. Proposicion. Sea f : A → B una aplicacion. La imagen directa verificalas siguientes propiedades.

1. f(∅) = ∅.

2. Si X ⊂ Y entonces f(X) ⊂ f(Y ).

3. Si X, Y ⊂ A entonces f (X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).

4. Si X, Y ⊂ A entonces f (X ∩ Y ) ⊆ f(X) ∩ f(Y ).

Mas en general, si I es un conjunto y {Xα}α∈I una familia de subconjuntos deA entonces

f

(⋃

α∈I

Xα

)

=⋃

α∈I

f (Xα) y f

(⋂

α∈I

Xα

)

⊆⋂

α∈I

f (Xα)

2.3. IMAGENES DIRECTAS E INVERSAS 23

Demostracion. 1. Es inmediata de (1.4.6).2. Si X = ∅ el resultado se sigue de lo anterior, y del hecho de que el

vacıo esta contenido en todo conjunto (1.2.12). En otro caso, sea y ∈ f(X).Entonces existe x ∈ X tal que f(x) = y. Como X ⊆ Y entonces x ∈ Y , luegoy = f(x) ∈ f(Y ).

Finalmente haremos la primera de las generales y los apartados restantes losdejaremos como ejercicio.

⊆] Sea y ∈ f (∪α∈IXα). Entonces existe x ∈ ∪α∈IXα tal que f(x) = y.Como x ∈ ∪α∈IXα entonces x ∈ Xα para alguna α ∈ I. Luego y ∈ f (Xα) ⊂∪α∈If (Xα).

⊇] Considerese y ∈ ∪α∈If (Xα). Entonces y ∈ f (Xα) para alguna α ∈ I,ası que existe x ∈ Xα tal que f(x) = y. De hecho x ∈ ⋃

α∈I Xα, ası quey = f(x) ∈ f (∪α∈IXα).

2.3.3. Ejercicio. Dar ejemplos de funciones f : A → B y conjuntos X, Y ⊆ Atales que f (X ∩ Y ) ( f(X)∩f(Y ) y f ′ : A′ → B′ y conjuntos X ′, Y ′ ⊆ A′ talesque f (X ′ ∩ Y ′) = f(X ′) ∩ f(Y ′)

Respuesta. Sean A = {1, 2}, B = {b}, X = {1} e Y = {2}. Sea f : A → Btal que f es la constante b. Entonces X ∩ Y = ∅, luego f (X ∩ Y ) = ∅, perof(X) ∩ f(Y ) = B.

2.3.4. Proposicion. Sea f : A → B una aplicacion e Y ⊂ B. La imageninversa verifica las siguientes propiedades.

1.(f(Y )−1

)∁= f

(

Y ∁)−1

.

2. Si I es un conjunto e {Yα}α∈I una familia de subconjuntos de B entonces

f

(⋃

α∈I

Yα

)−1

=⋃

α∈I

f (Yα)−1

y f

(⋂

α∈I

Yα

)−1

=⋂

α∈I

f (Yα)−1

Demostracion. Probaremos la ultima afirmacion. El resto se deja como ejercicio.⊆] Sea x ∈ f (∩α∈IYα)−1. Entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα, entonces f(x) ∈ Yα para

todo α ∈ I luego x ∈ f (Yα)−1

para todo α ∈ I, ası que x ∈ ∩α∈If (Yα)−1

.

⊇] Sea x ∈ ∩α∈If (Yα)−1

. Entonces x ∈ f (Yα)−1

para todo α ∈ I, lue-go f(x) ∈ Yα para todo α ∈ I, entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα. Por lo tanto x ∈f(⋂

α∈I Yα

)−1.

2.3.5. Ejemplo. Sea f : R→ R dada por f(x) = x2. Sea X = [1,√

2] ⊂ R. Sepuede comprobar que:

1. f(X) = [1, 2].

2. f (f(X))−1 = [−√

2,−1] ∪ [1,√

2].


3. f(X)−1 =[− 4√

2,−1]∪[1, 4

√2]

4. f(f(X)−1

)= [1,

√2].

Como ejercicio se puede hacer lo mismo para la aplicacion dada por g(x) =sen x, e Y = [−2, 2].

2.4. Composicion

Permıtasenos comenzar este parrafo con el siguiente ejercicio.

2.4.1. Ejercicio. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Definimos larelacion g ◦ f ⊂ A × C tal que (a, c) ∈ (g ◦ f) si y solo si, existe b ∈ B tal que(a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g.

Probar que g ◦ f es una aplicacion.

Respuesta. Sea a ∈ A. Entonces existe un unico b ∈ B tal que (a, b ∈ F y ununico c ∈ C tal que (b, c) ∈ g, por tanto (a, c) ∈ g ◦ f . Vamos a ver que c esunico. Si (a, c′) ∈ g ◦ f entonces existe b′ ∈ B tal que (a, b′) ∈ f y (b′, c′) ∈ g,pero la definicion de aplicacion nos dice que b = b′ y por tanto c = c′.

Entonces podemos introducir el siguiente concepto.

2.4.2. Definicion. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Se conoce comola composicion de f seguida de g y la denotamos g ◦ f a la aplicacion siguiente:

1. g ◦ f : A → C. Tal que

2. (g ◦ f)(a) = g(f(a)).

Entonces, en la composicion ocurre que Dom(g ◦ f) = Domf y el codominiode la composicion es igual al codominio de g.

2.4.3. Ejemplos.

1. Sean f : N → N y g : N → Z, dadas por f(n) = 2n + 1 y g(n) = n2.Entonces la composicion de f seguida de g es

(g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(2n + 1) = (2n + 1)2.

Notese que la composicion de g seguida de f no puede definirse, porqueno coinciden la imagen de g y el dominio de f . Tambien notemos que aefectos practicos, eso podrıa corregirse. Una manera es la siguiente.

2. Al hilo del apartado anterior, sean f : N → N y g′ : N → N, dadas porf(n) = 2n + 1 y g′(n) = n2. Ahora podemos hacer ambas composicionesy queda

(g ◦ f)(n) = (2n + 1)2 y (f ◦ g)(n) = 2n2 + 1.

Notese que (g ◦ f) 6= (f ◦ g).

2.4. COMPOSICION 25

2.4.4. Teorema. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D aplicaciones.Entonces h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .

Demostracion. La coincidencia de los dominios y codominios es clara, luego lascomposiciones pueden considerarse. Sea a ∈ A. Calculamos

(h ◦ (g ◦ f))(a) = h ([g ◦ f ](a)) = h (g(f(a))) = (h ◦ g)(f(a)) = ((h ◦ g) ◦ f)(a)

2.4.5. Proposicion. La composicion de aplicaciones inyectivas es inyectiva.

Demostracion. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones inyectivas. Seana, a′ ∈ A tales que (g ◦ f)(a) = (g ◦ f)(a′). Entonces g(f(a)) = g(f(a′)) y comog es inyectiva f(a) = f(a′), y como f es inyectiva a = a′.

2.4.6. Proposicion. La composicion de aplicaciones suprayectivas es supra-yectiva.

Demostracion. Sea c ∈ C. Entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c y, a su vez,existe a ∈ A tal que f(a) = b. Luego (g ◦ f)(a) = c.

2.4.7. Corolario. La composicion de aplicaciones biyectivas es biyectiva.

Demostracion. Inmediata de las dos anteriores.

2.4.8. Proposicion. Sean f : A → B y g : B → C. Entonces

1. Si g ◦ f es inyectiva entonces f es inyectiva.

2. Si g ◦ f es suprayectiva entonces g es suprayectiva.

Demostracion. Ejercicio.

2.4.1. Inversa de una aplicacion biyectiva

2.4.9. Notacion. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicacionidentidad en A, como 1A : A → A; es decir, 1A(a) = a, para todo a ∈ A.

2.4.10. Definicion. Sea f : A → B una aplicacion. Decimos que f tieneinversa si existe g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B.

En este caso, decimos que f es una aplicacion invertible.

2.4.11. Proposicion. Sea f : A → B una aplicacion invertible. Entonces lainversa es unica.

Demostracion. Supongamos que g y h son inversas. Entonces

g = g ◦ 1B = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = 1A ◦ h = h.


2.4.12. Notacion. Para una aplicacion invertible f : A → B, denotamos lainversa como f−1.

2.4.13. Teorema. Sea f : A → B una aplicacion. Entonces f es invertible siy solo si es biyectiva.

Demostracion. Supongamos primero que f es invertible y veamos que es biyec-tiva. Sean a, a′ ∈ A. Si f(a) = f(a′) entonces f−1(f(a)) = f−1(f(a′)), luegoa = a′. Ahora, sean b, b′ ∈ B. Hacemos a = f−1(b) y a′ = f−1(b′) y se tiene quef(a) = b y f(a′) = b′. Por tanto es biyectiva.

Recıprocamente, supongamos que f es biyectiva y queremos definir la in-versa. Para cada b ∈ B consideremos la imagen inversa f({b})−1. Se afirmaque la imagen inversa tiene exactamente un elemento. Como f es sobre, en-tonces f({b})−1 6= ∅. Si a, a′ ∈ f({b})−1 entonces b = f(a) y b = f(a′), dedonde f(a) = f(a′) y como es inyectiva a = a′. Definimos g : B → A tal queg(b) ∈ f(b)−1, el unico elemento. Es inmediato comprobar que g es inversa def y por tanto g = f−1.

2.4.14. Proposicion. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones invertibles.Entonces

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Demostracion. Es un calculo directo.

2.4.15. Ejemplo. Las permutaciones. Sea 0 6= n ∈ N y A = {a1, . . . , an} unconjunto (con n elementos). Una permutacion es una biyeccion σ : A → A. Laspermutaciones se denotan

σ =

(a1 . . . an

σ(a1) . . . σ(an)

)

.

Como ejemplo mas concreto, si A = {1, 2, 3, 4, 5} entonces una permutacionpuede ser

σ =

(1 2 3 4 53 4 5 1 2

)

.

Dado un conjunto no vacıo A con n elementos, se denota S(A) el conjuntode las permutaciones de A. En caso de que A = {1, . . . , n} escribimos Sn.

Producto directo

Vamos a ver una extension de la idea del producto cartesiano (1.4.4) quellamaremos el producto directo. A diferencia del producto cartesiano, el pro-ducto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjunto deındices esta ordenado, los identificamos, con la idea de extension del productocartesiano a un numero finito de factores (vease 1.4.5).

2.4. COMPOSICION 27

2.4.16. Definicion. Sea I un conjunto y F = {Ai}i∈I una familia de conjun-tos. Se conoce como producto directo de la familia F al conjunto

∏

i∈I

Ai = {f : I → ∪i∈IAi | f(i) ∈ Ai} .

2.4.17. Notacion. Los elementos se denotan imitando la escritura de las pa-rejas ordenadas; es decir, si f ∈∏i∈I Ai, escribimos f = (xi)i∈I .

Cuando I es finito y se escribe como una lista, escribimos sus elementosrepitiendo la lista en los ındices. No tenemos que seguir el orden de la lista,pero es conveniente y se acostumbra.

Por ejemplo si I = {1, . . . , n}, escribimos

A1 × · · · × An = {(x1, . . . , xn) | xi ∈ Ai} .

En caso de que no se quiera escribir a una familia con ındices, simplementese presupone; es decir, a la familia {A, B, C} la vemos como {A1, A2, A3} ousando cualquier otro conjunto de ındices con tres elementos.

2.4.18. Ejemplos.

1. R2 = {f : {1, 2} → R | f(i) ∈ R, i = 1, 2} = {(x1, x2) | xi ∈ R}, elplano habitual.

2. Rn = {f : {1, . . . , n} → R | f(i) ∈ R, i = 1, . . . , n}.

3.∏

n∈NAn = {f : N→ ∪n∈NAn | f(n) ∈ An}, es un producto infinito. De-

notamos sus elementos tambien como f = (x1, x2, . . . ).

Ya hemos comentado que el producto cartesiano con mas de dos factores noes asociativo (vease 1.4.5). El producto directo tampoco lo es, pero todo puedeidentificarse. Por ejemplo existe una biyeccion entre A× (B×C) y (A×B)×Cque nos permite escribir A×B×C, e identificar (a, (b, c)) ↔ ((a, b), c) ↔ (a, b, c).

La comprobacion es demasiado laboriosa como para ocuparnos de ella, peroen general depende del siguiente resultado que es mucho mas simple. Esta partela dejamos para los lectores mas curiosos.

2.4.19. Proposicion. Sean I y J conjuntos y F = {Ai}i∈I y G = {Bj}j∈Jfamilias de conjuntos. Si existe una biyeccion σ : I → J , junto con un conjuntode biyecciones {fi : Ai → Bσ(i)}i∈I entonces existe una biyeccion f :

∏

i∈I Ai →∏

j∈J Bj, dada por f(x)(j) = fσ−1(j)

(x(σ−1(j))

).

Demostracion. Notese que para cada x ∈ ∏i∈I Ai y cada j ∈ J , se tiene un

unico elemento fσ−1(j)

(x(σ−1(j))

), ası que la relacion es aplicacion. Vamos a

ver que es biyectiva. Considerese g :∏

j∈J Bi → ∏

i∈I Ai, dada por g(y)(i) =

f−1i (y(σ(i))) (notese que f−1

i : Bσ(i) → Ai). Es claro que tambien es aplicacion.Se afirma que son inversas. Sea x ∈ ∏i∈I Ai. Entonces

g(f(x))(i) = f−1i (f(x)(σ(i))) = f−1

i

(fσ−1(σ(i))(x(σ−1(σ(i))))

)=

= f−1i (fi(x(i))) = x(i).


De forma completamente analoga se tiene que f(g(y)) = y. Como tiene inversa,(2.4.13) nos asegura que f es biyectiva.

Producto directo arbitrario y axioma de eleccion

Como acabamos de ver, el producto directo finito puede identificarse conel producto cartesiano de conjuntos. De aquı se desprende que si tengo unafamilia finita de conjuntos no vacıos, el producto de conjuntos es no vacıo.Sin embargo, no podemos establecer directamente del primer capıtulo que elproducto arbitrario de una familia de conjuntos no vacıos sea no vacıa.

Los enunciados que veremos a continuacion, son equivalentes. Es facil com-probarlo.

2.4.20. Axioma de eleccion.

1. Sea I un conjunto arbitrario y {Ai}i∈I una familia. Si cada Ai no vacıoentonces se puede elegir un elemento de cada conjunto.

O, equivalentemente

2. Sea I un conjunto no vacıo y {Ai}i∈I una familia de conjuntos no vacıos.Entonces el producto directo

∏

i∈I Ai es no vacıo.

Mas adelante veremos conexiones muy interesantes entre esta y otras pro-piedades.

Capıtulo 3

Orden

3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos dis-

tinguidos

Recordemos que una relacion binaria, correspondencia o simplemente rela-cion (1.4.9 y 1.4.10) es un subconjunto del producto cartesiano entre dos con-juntos. En este capıtulo nos vamos a referir a cierto tipo de relaciones donde elconjunto inicial y el final, coinciden.

Comenzamos con una lista de propiedades que utilizaremos durante todo eltexto.

3.1.1. Definicion. Sea A un conjunto y R una relacion en A.

1. Decimos que R es reflexiva si (a, a) ∈ R, para todo a ∈ A.

2. Decimos que R es simetrica si para a, b ∈ A, cada vez que (a, b) ∈ R setiene que (b, a) ∈ R.

3. Decimos que R es antisimetrica si dados a, b ∈ A tales que (a, b) ∈ R y(b, a) ∈ R, se tiene que a = b.

4. Decimos que R es transitiva si, dados a, b, c ∈ A, cada vez que (a, b) ∈ Ry (b, c) ∈ R se tiene que (a, c) ∈ R.

3.1.2. Ejemplo. Se pide que como ejemplo se clasifiquen las siguientes relacio-nes.

1. Se puede comprobar que si A = {a, b} y B = {1, 2} entonces existen 16relaciones entre A y B. Un ejercicio puede ser clasificarlas todas.

2. Sea A = N y aRb si y solo si a + b es par.

3. Sea A = Z y aRb si y solo si a y b tienen distinta paridad.

4. Sea A = R y aRb si y solo si

29

30 CAPITULO 3. ORDEN

a) a ≤ b.

b) a 6= b.

c) |a + b| ≤ 1.

5. Sea A = N y aRb si y solo si a divide a b (recordemos a | b, vease 7.1.6).

6. Sea C un conjunto arbitrario y A = P(C). Definimos

a) aRb si y solo si a \ b = b \ a.

b) aRb si y solo si a ⊆ b.

7. Sea A = R2 y (x1, x2)R(y1, y2) si y solo si x1 < x2 o bien, si x1 = x2 setiene que x2 ≤ y2.

3.1.3. Ejercicio. El orden que hemos visto en el Ejemplo 7 se conoce como“orden lexicografico”. Se pide extender la idea de orden lexicografico en dosdirecciones. La primera a cualquier numero de coordenadas. La segunda susti-tuyendo R por un conjunto ordenado arbitrario.

3.1.4. Definicion. Sea A un conjunto.

1. Una relacion “≤” en A se dice que es una relacion de orden (o un ordenparcial) si es reflexiva, antisimetrica y transitiva.

2. Un par (A,≤), donde A es un conjunto y “≤” es una relacion de ordenen A, se dice que es un conjunto ordenado (o parcialmente ordenado).

Si el contexto no deja dudas sobre la relacion de orden, solo escribiremosque A es un conjunto ordenado.

3.1.5. Notacion. Sea (A,≤) un orden parcial. Para a, b ∈ A, escribimos a < bsi a ≤ b y ademas a 6= b (tambien se escribe a � b).

3.1.6. Ejemplos.

1. Los ejemplos 4a, 5, 6a y 7, son todos ordenes. Los otros no lo son.

2. A = R con el orden a ≤ b ⇔ a ≤ b (el orden usual).

3. A = N \ {0} con el orden a ≤ b ⇔ a | b (la divisibilidad 7.1.6).

4. B = {1, 2, 3} y A = P(B) con el orden a ≤ b ⇔ a ⊆ b (la inclusion).

5. A = R2 con el orden (a1, a2) ≤ (b1, b2) ⇔{

a1 < b1; o bien

a1 = b1 y a2 ≤ b2

Una propiedad notable de la relacion “menor o igual de siempre” en todos losconjuntos de numeros es que dados dos numeros, siempre podemos distinguirentre tres posibilidades. Que sean iguales, que uno sea mayor que el otro oviceversa. Vamos a formalizar este concepto en la llamada ley de tricotomıa.

3.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y SUS ELEMENTOS DISTINGUIDOS 31

3.1.7. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado.Decimos que A satisface la ley de tricotomıa si, dados a, b ∈ A, ocurre una

y solo una de las tres condiciones siguientes:

1) a = b. 2) a < b. 3) b < a.

3.1.8. Definicion. Sea (≤, A) un conjunto ordenado.

1. Decimos que la relacion de orden ≤ es un orden total o lineal, si satisfacela ley de tricotomıa.

2. En el caso anterior, diremos ademas que A es un conjunto totalmente olinealmente ordenado.

3.1.9. Ejercicio. Considerense los conjuntos ordenados (A,≤) dados en losejemplos (3.1.6). Se pide decidir cuales de ellos son conjuntos totalmente orde-nados, razonando la respuesta.

Vamos a ver dos representaciones graficas para conjuntos ordenados. La pri-mera es conocida como los diagramas de Hasse o “upward drawing”, o simple-mente diagrama de grafo de un orden parcial.

Consideremos a, b ∈ (A,≤), tales que a ≤ b, pero a 6= b; es decir, a < b.Entonces dibujamos una lınea hacia arriba que conecte a con b. Lo hacemoscon todos los elementos de A (escritos en lista si es finito o en caso infinito,con formula cuando sea posible) con la condicion de no repetir ningun elementode A. Ademas, no escribimos bucles; es decir, no conectamos ningun elementoconsigo mismo.

3.1.10. Ejemplo. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relacion deinclusion que ya vimos. El diagrama de Hasse asociado es:

{1, 2, 3}

{1, 2} {1, 3} {2, 3}

{1} {2} {3}

∅

��

HHHHHH

HHHHHH ��

��

HHHHHH

HHHHHH

��

La otra representacion, tambien bastante conocida se llama las “ζ-matrices”.Si tenemos un conjunto (parcialmente) ordenado, se construye entonces la matrizζA con ındices en A, tal que

ζa,b =

{

1 si a < b

0 otro caso


3.1.11. Ejemplo. Sea, otra vez, C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relacionde inclusion que ya vimos. La representacion de ζ-matriz es

∅ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}

∅

{1}

{2}

{3}

{1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{1, 2, 3}

0 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

Vamos a ocuparnos de algunos elementos notables.

3.1.12. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado y a ∈ A.

1. Decimos que a es maximo de A, cuando b ≤ a para todo b ∈ A

2. Decimos que a es el primer elemento o mınimo de A, cuando a ≤ b, paratodo b ∈ A

En el Ejemplo 3.1.10 podemos ver que el maximo {1, 2, 3} es el que ocupael extremo superior, mientras que el primer elemento ocupa el extremo inferior.En cambio en el Ejemplo 3.1.11, el maximo tiene toda su columna 1 menos laentrada de el mismo, mientras que el primer elemento es el que tiene toda sufila 1 excepto la entrada de el mismo.

3.1.13. Proposicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado. Entonces

1. Si A tiene maximo entonces este es unico.

2. Si A tiene primer elemento o mınimo entonces este es unico.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

3.1.14. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado y a ∈ A.

1. Decimos que a es un elemento maximal de A cuando se verifica que sia ≤ b entonces b = a

2. Decimos que a es un elemento minimal de A cuando se verifica que sib ≤ a entonces b = a

3.1.15. Ejemplos. Sobre los siguientes conjuntos, vamos a establecer los ele-mentos notables, cuando los haya.

1. A ={

1n | n ∈ N

}, junto con el “≤” habitual. El maximo es 1 y no tiene

primer elemento.

2. A = {n ∈ N | n es par} junto con el “≤” habitual. No tiene maximo.Tiene primer elemento 0.

3.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y SUS ELEMENTOS DISTINGUIDOS 33

3. A = N×N junto con el orden lexicografico. No tiene maximales y el primerelemento es el (0, 0).

4. Un intervalo abierto en R. No tiene maximo, mınimo, maximales ni mini-males.

5. Un intervalo cerrado en R. El extremo de la izquierda es el minimo y elde la derecha es el maximo.

6. A = {a ·N | 1 6= a ∈ N}, junto con la inclusion. Si a es primo entoncesa · N es maximal. No hay minimales.

7. A = N\{0, 1}, junto con la divisibilidad. No tiene maximales ni minimales.Tiene minimales. Todos los primos.

8. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C)\C, junto con la inclusion. Entonces A tieneprimer elemento y tiene maximales, pero no tiene maximo.

3.1.16. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado, B ⊆ A un subconjuntoy c ∈ A.

1. Decimos que c es una cota superior de B en A si b ≤ c, para todo b ∈ B

2. Decimos que c es una cota inferior de B en A si c ≤ b, para todo b ∈ B

En los ejemplos de (3.1.15) se tiene: En (1), A puede verse contenido en Qy ası, 0 es cota inferior y todo racional q ≥ 1 es cota superior. En (2), A puedeverse contenido en N y ası, el 0 es cota inferior (y primer elemento). En (3) (0, 0)es cota inferior y primer elemento, tambien. En (4) y (5) A puede verse conteni-do en R y ası, todos los menores o iguales que el extremo izquierdo del intervaloson cotas inferiores, mientras que los mayores o iguales al extremo derecho delintervalo son cotas superiores. En (6) A puede verse contenido en A ∪ {N, ∅} yası, se tiene que N es cota superior y ∅ es cota inferior. En (7), A puede versecontenido en N \ {0} y ası, el 1 es cota inferior. En (8), A puede verse contenidoen P(C) y ası, el {1, 2, 3} es cota superior.

3.1.17. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado, B ⊆ A un subconjuntoy c ∈ A.

1. Decimos que c ∈ A es el supremo (o extremo superior) de B en A si es elmınimo del las cotas superiores de B en A.

2. Decimos que c ∈ A es ınfimo (o extremo inferior) de B en A si es elmaximo de las cotas inferiores de B en A.

3.1.18. Ejemplos. En los siguientes ejemplos vamos a establecer si existen elsupremo e ınfimo de cada uno.

1. A ={

1n | n ∈ N

}⊂ Q, junto con el “≤” habitual. El maximo y el supre-

mo es 1. El ınfimo es 0.


2. A = {n ∈ N | n es par} ⊂ N junto con el “≤” habitual. El ınfimo y primerelemento 0.

3. El intervalo (a, b) ⊂ R. Supremo b e ınfimo a.

4. El intervalo [a, b] ⊂ R. Supremo b e ınfimo a.

3.1.19. Proposicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A un subcon-junto, con el orden de A. Si B tiene supremo (o ınfimo) en A este es unico.


El siguiente resultado nos muestra por que podemos decir el supremo eınfimo, en vez de un supremo o ınfimo.

3.1.20. Proposicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A un subcon-junto, con el orden de A.

1. Si b ∈ B es un maximo (o mınimo) entonces b es tambien el supremo deB en A.

2. Si a ∈ A es supremo (ınfimo) de B en A y a ∈ B, entonces a es maximo(mınimo) de A.


3.2. Conjuntos bien ordenados.

Es inmediato comprobar que los numeros naturales, enteros, racionales yreales son conjuntos con orden total o lineal. Sin embargo, existe una grandiferencia entre el orden de los numeros naturales y los enteros y los otros dos.A saber, podemos establecer el antecesor y el sucesor de cualquier numero entero(excepto el 0 en los naturales). Vamos a describir este fenomeno en el lenguaje delos conjuntos ordenados, estableciendo el concepto de conjunto bien ordenado.

3.2.1. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto ordenado. Diremos que es bien or-denado si todo subconjunto no-vacıo de A tiene un mınimo

3.2.2. Proposicion. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. Elrecıproco no se verifica.

Demostracion. Supongamos que un conjunto A es bien ordenado y considerodos elementos a y b, de A. Consideramos el subconjunto B = {a, b} de A.Como B no es vacıo, tiene primer elemento. De ahı se desprende la tricotomıatrivialmente.

3.2.3. Ejemplo. Considerense N× N junto con el orden lexicografico.

(1, 1) < (1, 2) < . . . < (1, n) < . . .

< (2, 1) < (2, 2) < . . . < (2, n) < . . .

...

3.2. CONJUNTOS BIEN ORDENADOS. 35

Este conjunto esta bien ordenado.

Demostracion. Sea A ⊆ N×N no vacıo y A1 = {x ∈ N | (x, y) ∈ A p.a. y ∈ N}.Claramente A1 6= ∅ y A1 ⊆ N, por tanto, tiene primer elemento. Sea x0 ∈ A1,dicho primer elemento. Sea ahora A2 = {y ∈ N | (x0, y) ∈ A}. Como antes, A2

tambien tiene primer elemento, digamos y0 ∈ A2.Se afirma que (x0, y0) es el primer elemento de A. Sea (a, b) ∈ A, arbitrario.

Como a ∈ A1 entonces x0 ≤ a. Si x0 < a ya terminamos, si no, entonces x0 = a,ası que b ∈ A2 y ası y0 ≤ b.

Intuitivamente, es claro que si tenemos un conjunto con un numero deter-minado de elementos, entonces es posible hacer una lista estableciendo un buenorden entre ellos; de hecho, si existe una biyeccion entre dos conjuntos y unotiene un buen orden, el otro podra ser dotado de un buen orden (probarlo comoejercicio). En el caso de conjuntos arbitrarios, eso ha de ser un axioma. Se cono-ce como el principio de la buena ordenacion. Es interesante hacer notar que esteaxioma es equivalente al axioma de eleccion (2.4.20) aunque la demostracionexcede los alcances de estos apuntes. Terminamos entonces con el enunciado.

3.2.4. Principio de la buena ordenacion. Si A es un conjunto no-vacıo,entonces existe una relacion de orden ≤ en A tal que (A,≤) es un conjunto bienordenado.

Capıtulo 4

Relaciones de equivalencia

4.1. Conceptos basicos

Como hemos comentado, un metodo importante de las matematicas consis-te relacionar los elementos de un conjunto. Recordemos que en (3.1.1) vimosalgunas propiedades de las relaciones. Vamos a trabajar con ellas.

4.1.1. Definicion. Sea A un conjunto y R una relacion en A × A. Decimosque R es una relacion de equivalencia si es reflexiva, simetrica y transitiva.

4.1.2. Ejemplos.

1. La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto.

2. En Z, la relacion a ∼5 b si y solo si 5 | (a − b).

3. En R, la relacion a ∼ b si y solo si a − b ∈ Z.

4. En los triangulos, la semejanza; es decir, triangulos cuyos angulos coinci-den.

5. ¿Cuando una relacion de orden es relacion de equivalencia?

6. Sea A = {a, b, c} y R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a)}. De-terminar si es relacion de equivalencia.

Otro ejemplo que puede resultar muy interesante es el siguiente.

4.1.3. Ejemplo. Sea f : A → B una aplicacion. Definimos la relacion

a ∼ a′ ⇔ f(a) = f(a′).

Se puede comprobar que es relacion de equivalencia.

4.1.4. Notacion. Si R es una relacion de equivalencia en A y a, b ∈ A estanrelacionados, entonces podemos escribir cualquiera de las tres siguientes formas

1. La tradicional: aRb, que tambien usamos para relaciones en general.

37

38 CAPITULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

2. Tambien, a ∼R b

3. O la anterior, pero mas corta si no causa confusion, a ∼ b.

4.2. Clases de equivalencia

Sea A un conjunto no vacıo y R una relacion de equivalencia en A. Para cadaelemento a ∈ A, podemos considerar el conjunto de todos aquellos elementosde A que esten relacionados con a. Estas colecciones son una herramienta detrabajo importante en algebra.

4.2.1. Definicion. Sea A 6= ∅ un conjunto y R una relacion de equivalencia enA. Para cada a ∈ A, su clase de equivalencia es el conjunto

[a] = {b ∈ A | a ∼ b }.

Las siguientes propiedades son muy faciles de verificar:

4.2.2. Proposicion. Sea A 6= ∅ un conjunto R una relacion de equivalencia enA. Las siguientes condiciones son equivalentes, para a, b ∈ A:

1. [a] ∩ [b] 6= ∅.

2. a ∼R b.

3. [a] = [b].

Demostracion. (1 ⇒ 2) Si x ∈ [a] ∩ [b] entonces a ∼ x y x ∼ b, luego a ∼ b.(2 ⇒ 3) Por hipotesis, a ∼ b. Si x ∈ [a] entonces x ∼ a y como a ∼ b se tiene

que x ∼ b, luego x ∈ [b]. Analogamente se tiene que cualquier y ∈ [b] verificay ∈ [a].

(3 ⇒ 1) Inmediato del hecho de que (a, a) ∈ [a].

Si C es una clase de equivalencia cualquiera y a ∈ C entonces [a] = C,trivialmente. En este caso decimos que a es un representante de C.

Como se vera en los siguientes ejemplos, una correcta eleccion de los repre-sentantes puede simplificar mucho la descripcion de las clases de equivalencia.

4.2.3. Ejemplos.

1. De las siguientes relaciones se pide determinar si son relaciones de equiva-lencia (si lo son, hay que probarlo, si no, indicar cual de las tres condicionesfalla). En caso de que lo sean, determinar las clases de equivalencia.

a) En Z, la relacion a ∼ b si y solo si a + b es impar.

b) En N× N, la relacion (a, b) ∼ (c, d) si y solo si a + d = b + c.

c) En A = {1, 2, 3}, la relacion R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.d) En Z × (Z \ {0}), la relacion (a, b) ∼ (c, d) si y solo si ad = bc.

¿Que pasarıa si incluyesemos al (0, 0)?

4.3. EL CONJUNTO COCIENTE Y LA PROYECCION CANONICA 39

e) En Z, la relacion a ∼5 b si y solo si 5 | (a− b) (vease el Ejemplo 2 de4.1.2).

f ) En el conjunto de todas las rectas en el plano, L, la relacion L1 ∼ L2

si y solo si son paralelas.

2. Determinar las clases de equivalencia de (4.1.3).

4.3. El conjunto cociente y la proyeccion

canonica

4.3.1. Definicion. Sea A un conjunto y R una relacion de equivalencia en A.Se conoce como conjunto cociente de A, respecto de la relacion R, al conjuntode las clases de equivalencia de los elemetos de A respecto de R.

Se denota A/R, A/∼Ro simplemente A/∼.

Vamos a calcular los conjuntos cociente de las relaciones de equivalencia enlos ejemplos de (4.1.2). Calcular los conjuntos cociente consiste en dar un con-junto de representantes (tambien llamado un juego completo de representantes)En el Ejemplo 1 de (4.1.2), la diagonal, se tiene que A/∼ = {[a] | a ∈ A}.En el Ejemplo 2 no podemos escribir Z/∼ = {[a] | a ∈ Z} porque la coleccionanterior no es un conjunto. Notese que [0] = [5] = [10] = [15] = . . . y ası. Dehecho Z/∼ = {[0], [1], [2], [3], [4]}. Para el Ejemplo 3 tomando en cuenta quetodo numero real tiene una parte entera y una parte decimal que tiene valorabsoluto menor que 1, se tiene que R/∼ = {[r] | 0 ≤ r < 1}. Para el Ejemplo 4,asociamos a cada triangulo la terna sin orden de sus angulos internos, (α, β, γ),tal que α+β+γ = 180. Dos triangulos son semejantes si coinciden en sus ternassalvo el orden. Ası que A/∼ = {(α, β, γ) | α + β + γ = 180}.4.3.2. Proposicion. Sea A un conjunto, R una relacion de equivalencia en Ay consideremos el conjunto cociente A/R. La correspondencia dada por a 7→ [a]es una aplicacion que denotamos ηR : A → A/R


4.3.3. Definicion. Sea A un conjunto, R una relacion de equivalencia en A yconsideremos el conjunto cociente A/R. La aplicacion ηR : A → A/R se conocecomo proyeccion canonica.

4.3.4. Ejemplos.

1. Vamos a continuar analizando la situacion del ejemplo que aparece en(4.1.3). Recordemos que se tienen dos conjuntos A, B y una aplicacionf : A → B. Se define una relacion dada por a ∼ a′ si y solo si f(a) = f(b).

Consideremos la correspondencia entre el conjunto cociente g ⊂ A/∼ ×B, dada por g = {([a], f(a)) | a ∈ A}; o bien, g : A/∼ → B, tal queg([a]) = f(a). Queremos ver que es aplicacion y que, como tal, es inyectiva.La particularidad que tiene esta correspondencia es que esta definida en


terminos de representantes y no de clases generales. Esto nos obliga acomprobar que la correspondencia no depende del representante que seelija. Es decir que si [a] = [a′] entonces g ([a]) = g ([a′]). En este caso, comog = f ◦ η, sabemos de antemano que g es aplicacion, luego g([a]) = g([a′]).Decimos entonces que g esta bien definida.

Para abreviar, se suele abusar de la notacion y definir directamente la pre-tendida aplicacion g : A/∼ → B y luego afirmar y probar que la aplicacionesta bien definida. Probar que, de hecho, la aplicacion es inyectiva es facil.

2. El siguiente ejemplo puede resultar vistoso. Se considera la relacion deequivalencia en R, dada por

x ∼ y ⇐⇒ x − y

2π∈ Z;

es decir, los numeros reales que distan en un multiplo de 2π. Podemosentonces identificar a estas clases con los angulos, al elegir a los represen-tantes en el intervalo [0, 2π); es decir, R/∼ = {[r] | 0 ≤ r < 2π}. Ahora,considerese la circunferencia en el plano real de radio 1, con centro en (0, 0),que denotamos C(0, 1) o S1. Entonces la aplicacion f : R/ ∼ −→ S1 talque f [x] = (cosx, sen x) esta bien definida (en el sentido anterior) y esbiyectiva.

3. Continuamos con el ejemplo anterior y volvemos a considerar los angulos,R/∼ = {[x] | 0 ≤ x < 2π}. Queremos comprobar que la correspondenciasuma de angulos + : R/∼ × R/∼ → R/∼ tal que [x] + [x′] = [x + x′]esta bien definida. Supongamos que x ∼ y y que x′ ∼ y′. Entonces

x + x′ − (y + y′)

2π=

x − y

2π+

x′ − y′

2π∈ Z

y por tanto [x + x′] = [y + y′].

4. Ahora vamos a ver un caso en el que las cosas no funcionan. Vamos a verque pasa si queremos definir el producto de angulos. Queremos ver si lacorrespondencia · : R/∼ ×R/∼ → R/∼ tal que [x] · [x′] = [x · x′] esta biendefinida. Si uno intenta hacer un argumento como antes las cosas no salen.Despues se comprueba que [ 12 ] = [4π+1

2 ], pero sus cuadrados no coinciden.

4.4. Relaciones de equivalencia y particiones

En esta seccion probaremos que toda relacion de equivalencia induce unaparticion y viceversa.

Sea A un conjunto no vacıo y R una relacion de equivalencia. Consideremosel conjunto cociente A/ ∼ y cualquier elemento C ∈ A/ ∼. Sabemos que sia, b ∈ C entonces [a] = C = [b]. Ademas de esto se tiene el siguiente resultado.

4.4.1. Proposicion. Sea A un conjunto no vacıo y R una relacion de equiva-lencia. Las clases de equivalencia de R verifican las siguientes propiedades:

4.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y PARTICIONES 41

1. [a] ∩ [b] = ∅ si y solo si a 6∼ b.

2.⋃

[a]∈A/∼[a] = A.

Demostracion. 1. Inmediato de (4.2.2). 2. Sea b ∈ A. Como b ∼ b entoncesb ∈ [b] ⊂ ∪[a]∈A/∼[a].

Este es un resultado importante dentro del algebra. De hecho, las familiasde conjuntos que verifican estas propiedades tienen nombre propio.

4.4.2. Definicion. Sean A e I conjuntos y P = {Bi}i∈I una familia de sub-conjuntos. Decimos que la familia P forma una particion para A si se verificanlas siguientes propiedades.

1. Bi ∩ Bj = ∅ si y solo si i 6= j.

2. La union (disjunta)⋃

i∈I Bi = A.

4.4.3. Observacion. Podemos separar la propiedad (1) en dos, si escribimos

Para cada i ∈ I, el conjunto Bi 6= ∅.

Para i, j ∈ I, si i 6= j entonces Bi ∩ Bj = ∅.

Es decir, los elementos de una particion son conjuntos no vacıos y disjuntos.

Ası que toda relacion de equivalencia induce una particion. El recıproco severifica. Reuniendo todo se tiene el siguiente resultado.

4.4.4. Proposicion. Toda relacion de equivalencia induce una particion. Recıpro-camente, toda particion determina una relacion de equivalencia.

Demostracion. Ya hemos visto en (4.4.1) que toda equivalencia determina unaparticion (en clases de equivalencia). Vamos entonces a ver el recıproco.

Sea {Ci}i∈I una particion en A. Definimos la relacion

a ∼ b ⇐⇒ a, b ∈ Ci para alguna i ∈ I.

Se prueba entonces que es relacion de equivalencia y que las clases de equiva-lencia son justo las Ci.

Capıtulo 5

Conjuntos numericos

En este capıtulo vamos a definir y a establecer las propiedades basicas de losnumeros naturales, enteros, racionales, reales y complejos utilizando del lenguajede los conjuntos. La presentacion sera formal, aunque no totalmente, pues puedealargarse y complicarse mas de lo deseable para un primer curso.

5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos

5.1.1. Definicion. Decimos que dos conjuntos X e Y son equipotentes si existeuna aplicacion biyectiva entre ellos.

5.1.2. Observacion. Notese que el ser equipotentes es una relacion reflexiva,simetrica y transitiva, y aun cuando sabemos que la coleccion de todos losconjuntos no es, a su vez, un conjunto, podemos agrupar a los conjuntos en“clases de equipotencia”.

5.1.3. Definicion. El cardinal de un conjunto es su clase de equipotencia.

Intuitivamente, podemos comprobar que los cardinales son colecciones dis-juntas y que todo conjunto tiene cardinal.

5.1.4. Notacion. Para un conjunto A, denotamos su cardinal con |A|.Entonces un numero cardinal es una clase de equipotencia de conjuntos.

Conjuntos finitos e infinitos

5.1.5. Definicion. Decimos que un conjunto A es infinito si existe un sub-conjunto propio B A que es equipotente a A; es decir, existe una biyeccionf : B → A.

5.1.6. Definicion. Decimos que un conjunto A es finito si no es infinito.

Aunque no hemos definido formalmente el concepto de numero natural oentero (lo haremos en breve) intuitivamente sabemos trabajar con ellos. Lossiguientes ejemplos nos pueden servir para fijar ideas.

43

44 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

5.1.7. Ejemplos. Sea P el conjunto de los numeros enteros pares y P+ el delos pares positivos.

1. Probar que |N| = |P+| a traves de la biyeccion n 7→ 2n, con n ∈ N.

2. Probar que |Z| = |P | a traves de la biyeccion m 7→ 2m, con m ∈ Z.

3. Probar que |N| = |P | a traves de la biyeccion

n 7−→{

n si n es par.

−(n + 1) si n es impar.

4. Por tanto, |N| = |Z|.

5. Probar que si n ∈ N entonces Nn = {x ∈ N | x ≤ n} es finito.

5.1.8. Definicion. Un cardinal, decimos que es finito si tiene un representantefinito. En otro caso decimos que es infinito.

Por ejemplo,

0 = |∅|.

1 = |{∅}|.

2 = |{∅, {∅}}|.

y ası, sucesivamente, hasta el 9. El resto de los numerales de los cardinales losobtenemos con la escritura decimal.

Ahora consideramos la coleccion de los cardinales finitos.

5.1.9. Definicion. La coleccion de los cardinales finitos se conoce como losnumeros naturales y se denota N.

No se puede demostrar, con los conceptos sobre conjuntos que hemos visto,que la coleccion anterior sea conjunto. Lo asumimos como un axioma.

5.1.10. Axioma del infinito. La coleccion de los numeros naturales es unconjunto.

5.1.11. Definicion. Sea n un cardinal y considerese un representante A. Seconoce como el sucesor de n, al cardinal n∗ = |A ∪ {x}|, donde x es cualquierobjeto que no sea un elemento de A

5.1.12. Se puede probar (vease el Apendice) que si n ∈ N entonces n∗ ∈N. Denotamos n∗ = n + 1. Esta propiedad nos da lugar a la definicion dela aplicacion sucesor, σ : N → N tal que σ(n) = n∗. Tambien se prueba enel Apendice que la aplicacion σ es inyectiva. Como consecuencia se tiene elsiguiente resultado.

5.1.13. Proposicion. El conjunto de los numeros naturales es infinito.

5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 45

Demostracion. Sea M = {2, 3, . . .}. Modificamos el codominio de la aplicacionsucesor, definiendo σ′ : N→ M tal que σ′(n) = n∗ que claramente es inyectiva.De aquı se tiene de inmediato.

El siguiente postulado sera asumido sin demostracion. El proceso excede conmucho el objetivo principal de este capıtulo que es el conocimiento operativodel lenguaje de los conjuntos y sus propiedades. Para un estudio detallado veasepor ejemplo [6] o [9].

5.1.14. Principio de induccion en los numeros naturales. Si A ⊆ N estal que

a) 1 ∈ A.

b) n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A

entonces A = N \ {0}.Hay una tecnica de demostracion llamada induccion matematica, que se

deriva directamente del principio de induccion. Vamos a enunciarla.

5.1.15. Induccion matematica. Supongamos que se quiere demostrar unapropiedad P (n), para n ∈ N. Los dos pasos a continuacion son suficientes:

1. Se demuestra la validez de P (0) o P (1). Es decir, que la propiedad valepara n = 0 o n = 1, como se quiera.

2. Se supone que P (n) es valida y a partir de ahı, se prueba la validez paraP (n + 1). Es decir, se prueba que si es valida para n, lo es para n + 1.

Entonces, el principio de induccion nos asegura que el conjunto P = {x ∈ N |P (x) es verdadera} = N; es decir, que la propiedad vale para todos los numerosnaturales (tal vez, excepto el 0, si no se considero).

Mas adelante haremos varias demostraciones usando la tecnica de la induc-cion matematica, como ejemplo hagamos el siguiente ejercicio.

5.1.16. Ejercicio. Probar que n = |{1, . . . , n}|.Una variante muy util de la induccion matematica s la llamada induccion

fuerte. Vamos a eunciarla.

5.1.17. Induccion fuerte. Si queremos demostrar una propiedad P (n), paran ∈ N podemos proceder de la siguiente forma:

1. Se demuestra la validez de P (0) o P (1). Es decir, que la propiedad valepara n = 0 o n = 1, como se quiera.

2. Se supone que para cierto numero natural, k ∈ N, ocurre que P (n) esvalida para todo numero natural n < k y a partir de ahı, se prueba lavalidez para P (k).

Entonces, P (n) es valida para todo n ∈ N.


Aplicaciones del principio de induccion.

Vamos a ver algunas aplicaciones del principio de induccion. Aun cuando nohayamos formalizado los conceptos de suma, producto y orden en los naturales,no quiere decir que no los conozcamos y no podamos trabajar con ellos.

5.1.18. Ejercicio. Probar por induccion las siguientes afirmaciones:

1. 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)2 .

2. 2n < n!

3. n3 − n es multiplo de 6 para todo n ∈ N.

El conjunto de los numeros naturales que hemos construido satisface losaxiomas de Peano; a saber:

El conjunto N tiene un elemento 0 ∈ N (1 ∈ N).

Existe la funcion sucesor que es inyectiva.

El 0 no es sucesor de un numero natural.

Vale el principio de induccion.

Se puede probar que cualesquiera dos conjuntos que satisfagan estas condi-ciones son esencialmente el mismo (isomorfos). Eso se conoce como “la unicidaddel sistema de Peano”.

Orden en los numeros naturales

5.1.19. Definicion. Sean k y r cardinales. Decimos que k ≤ r si existen re-presentantes k = |A| y r = |B| con una aplicacion inyectiva f : A → B.

5.1.20. Ejercicio. Probar que 0 ≤ 1 ≤ n para todo n ∈ N \ {0}.Recordemos la definicion de buen orden en (3.2.1). Los numeros naturales

junto con el orden definido forman un conjunto bien ordenado.

5.1.21. Principio del buen orden en los numeros naturales. (N,≤) esun conjunto bien ordenado; es decir, todo subconjunto ∅ 6= A ⊂ N tiene primerelemento.

Vamos a comprobar que el principio del buen orden esta en armonıa con elconcepto de sucesor, como es de esperar.

5.1.22. Proposicion. Sea n ∈ N, arbitrario y considerese el conjunto de losnumeros naturales mayores que n; es decir, Mn = {x ∈ N | n < x}. Entoncesn∗ es el primer elemento de Mn.

En consecuencia, si a, n ∈ N son tales que n ≤ a ≤ n∗ entonces n = a oa = n∗.

5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 47

Demostracion. Sea a el primer elemento de Mn. Como n∗ ∈ Mn entoncesa ≤ n∗. Por hipotesis, sabemos que existen A y N representantes de a y n,respectivamente, tales que existe una aplicacion inyectiva f : N → A, pero nosobreyectiva. Ası, existe a ∈ A tal que a /∈ Imf . Definimos g : N ∪{N} → A talque g(n) = f(n) para todo n ∈ N y g(N) = a. Es inmediato comprobar que ges aplicacion inyectiva y por tanto n∗ ≤ a. Luego n∗ = a.

5.1.23. Observacion. El principio de induccion y el principio del buen ordenson equivalentes; es decir, si se asume uno de ellos el otro se puede demostrar.La demostracion puede hacerse como ejercicio; aunque es un poco larga, no esdifıcil. Pero hay mas, se puede probar que, a su vez, los postulados anterioresson equivalentes al axioma de eleccion (2.4.20)

Operaciones en N

Las definimos de forma inductiva o recursiva.

5.1.24. La suma en N. Para n ∈ N, definimos

1. n + 1 = n∗.

2. Si tenemos definida n + m entonces n + m∗ = (n + m)∗.

Lo anterior viene a decir que n+(m+1) = (n+m)+1. Las demostracionesde las propiedades de la suma se pueden encontrar en el Apendice.

5.1.25. Propiedades de la suma en N.

1. (n + 1) + m = n + (m + 1)

2. n + m = m + n (conmutatividad).

3. (n + m) + r = n + (m + r) (asociatividad).

4. Si a + c = b + c entonces a = b (cancelacion).

5.1.26. El producto en N. Para n, m ∈ N, definimos

1. n · 1 = n.

2. Si tenemos definido n · m entonces n · (m + 1) = n · m + n.

5.1.27. Notacion. Escribimos, como siempre, indistintamente, n · m = nm.

Al igual que con la suma, las demostraciones de las propiedades del productose pueden encontrar en el Apendice.

5.1.28. Propiedades del producto.

1. (n + 1)m = nm + m.

2. nm = mn (conmutatividad).

3. n(m + k) = nm + nk (distributividad).

4. n(mk) = (nm)k (asociatividad).


5.1.1. Orden y operaciones aritmeticas

Se puede comprobar que el orden en los numeros naturales verifica las si-guientes propiedades.

5.1.29. Teorema. Sean a, b, c ∈ N. Entonces

1. a ≤ b si y solo si existe u ∈ N tal que a + u = b.

2. Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c para todo c ∈ N.

3. Si a ≤ b entonces ac ≤ bc.

Demostracion. 1. Sean A y B, representantes de a y b, respectivamente. Porhipotesis, existe una aplicacion inyectiva f : A → B. Hacemos B′ = B \ Imf .Se tiene entonces que u = |B′|. Los otros se pueden probar facilmente porinduccion.

5.1.30. Notacion. En la situacion del teorema anterior, cuando a ≤ b, llama-mos u = b − a.

5.2. Numeros enteros

Vamos a continuar la construccion de los conjuntos numericos bajo el len-guaje de los conjuntos.

5.2.1. Proposicion. Considese el conjunto Z = N× N. La relacion

(a, b) ∼ (n, m) ⇐⇒ a + m = b + n

es relacion de equivalencia.


5.2.2. Definicion. Llamamos numeros enteros al conjunto cociente

Z = Z/ ∼ .

5.2.3. Representantes notables. Sea (n, m) ∈ Z.

1. Si n = m entonces (n, m) ∈ [(0, 0)]. Luego

[(0, 0)] = {(n, m) ∈ Z | n = m} .

2. Si n 6= m se tienen dos casos.

a) Si n > m, haciendo a = n − m (5.1.30), se tiene (n, m) ∈ [(a, 0)].Luego

[(a, 0)] = {(n, m) ∈ Z | n > m, a = n − m} .

5.2. NUMEROS ENTEROS 49

b) Si n < m, haciendo a = m − n se tiene (n, m) ∈ [(0, b)]. Luego

[(0, b)] = {(n, m) ∈ Z | n < m, b = m − n} .

5.2.4. Orden en los numeros enteros. Definimos

1. [(a, 0)] ≥ [(0, b)] para todo a, b ∈ N.

2. [(a, 0)] ≥ [(b, 0)] si y solo si a ≥ b.

3. [(0, a)] ≥ [(0, b)] si y solo si a ≤ b.

5.2.5. Notacion. 1. Denotamos con 0 a la clase [(0, 0)], el cero.

2. Denotamos con n a la clase [(n, 0)] y los identificamos con los numerosnaturales. Denotamos Z+ = {n ∈ Z | n ∈ N}.

3. Denotamos con −n a la clase [(0, n)], que seran los numeros negativos.Z− = {−n ∈ Z | n ∈ N}.

5.2.6. Ejercicio. Probar directamente de la definicion anterior que para n, m ∈Z se tiene n ≤ m si y solo si −n ≥ −m.

5.2.7. Proposicion. (Z,≤) es un conjunto totalmente ordenado. Aun mas,todo entero tiene predecesor y sucesor.

Demostracion. Inmediata de (5.2.4).

Suma y producto en los enteros.

Seguimos con la lınea de presentar la construccion de los numeros enterossiguiendo el lenguaje de los conjuntos.

5.2.8. Suma. Definimos

+ : Z× Z −→ Z, tal que,

+ ([(a, b)] , [(m, n)]) = [(a + m, b + n)] ; es decir,

[(a, b)] + [(m, n)] = [(a + m, b + n)]

5.2.9. Propiedades de la suma.

1. Esta bien definida (vease 4.3.4).

2. Es conmutativa.

3. Es asociativa.

4. Existe el neutro 0 = [0, 0].

5. Para todo entero no cero, existe el opuesto o inverso bajo la suma.


Demostracion. Vamos a comprobar que esta bien definida. El resto lo dejamoscomo ejercicio. Supongamos que a, a′, b, b′, m, m′, n, n′ ∈ N son tales que [a, b] =[a′, b′] y [m, n] = [m′, n′]. Queremos ver que [a+m, b+n] = [a′+m′, b′+n′]. Porhipotesis, a+b′ = b+a′ y m+n′ = n+m′, de donde a+b′+m+n′ = b+a′+n+m′,luego (a+m)+(b′+n′) = (a′+m′)+(b+n), de donde se obtiene el resultado.

5.2.10. Producto. Definimos

• : Z× Z −→ Z, tal que,

• ([(a, b)] , [(m, n)]) = [(am + bn, an + bm)] ; es decir,

[(a, b)] [(m, n)] = [(am + bn, an + bm)]


1. Esta bien definido.

2. Es conmutativo.

3. Es asociativo.

4. Es distributivo.



5.3. Numeros racionales

Los numeros racionales seran ahora construidos a partir de los numerosenteros.

5.3.1. Notacion. Denotamos Z∗ = Z \ {0}.5.3.2. Proposicion. Sea Q = Z× Z∗. La relacion en Q dada por

[(a, b)] ∼ [(n, m)] ⇐⇒ am = bn

es una relacion de equivalencia.


5.3.3. Definicion. Llamamos numeros racionales al conjunto cociente

Q = Q/ ∼ .

5.3.4. Representantes notables. Considerese (n, m) ∈ Q.

1. Si d|mcd(n, m) entonces [(n, m)] = [(n/d, m/d)]. Luego podemos elegirrepresentantes cuyas coordenadas son numeros coprimos (y son unicos).

2. [(0, 1)] = {(0, n) ∈ Q | n ∈ Z}.

5.3. NUMEROS RACIONALES 51

3. [(1, 1)] = {(n, m) ∈ Q | n = m}.

4. Identificamos con los enteros a los [(n, 1)] = {(a, b) ∈ Q | n = a/b ∈ Z}.

5. [(1, m)] = {(a, b) ∈ Q | m = b/a ∈ Z}.

5.3.5. Orden en los numeros racionales. Sean [(n, m)] y [(a, b)] numerosracionales. Definimos

[(n, m)] ≤ [(a, b)] ⇐⇒ nb ≤ ma.

Ademas,

1. Decimos que un racional es positivo si es mayor que 0.

2. Decimos que es negativo si es menor que 0.

5.3.6. Proposicion. (Q,≤) es un conjunto totalmente ordenado.

Demostracion. Consideremos dos numeros racionales cuyos representantes tie-nen coordenadas coprimas, r = [n, m] y s = [a, b] y hagamos los productos nb yma. Como son enteros ha de ocurrir una de tres, nb = ma, nb > ma o nb < ma,lo que nos da la tricotomıa en Q.

5.3.7. Observacion. Ningun racional tiene sucesor (ni predecesor).

Suma y producto en los enteros.

5.3.8. Suma. Definimos

+ : Q×Q −→ Q, tal que,

+ ([(a, b)] , [(m, n)]) = [(an + bm, bn)] ; es decir,

[(a, b)] + [(m, n)] = [(an + bm, bn)]

5.3.9. Propiedades de la suma.

1. Esta bien definida (vease 4.3.4).

2. Es conmutativa.

3. Es asociativa.

4. Existe el neutro, 0 = [0, 1].

5. Para todo racional no cero, existe el opuesto o inverso bajo la suma.

Aun mas, si n, m ∈ Z, [(−n, m)] = [(n,−m)] = − [(n, m)].



5.3.10. Producto. Definimos

• : Q×Q −→ Q, tal que,

• ([(a, b)] , [(m, n)]) = [(am, bn)] ; es decir,

[(a, b)] [(m, n)] = [(an, bm)]


1. Esta bien definido.

2. Es conmutativo.

3. Es asociativo.

4. Es distributivo.


6. Todo racional no cero, [m, n] tiene inverso; [n, m].


5.3.12. Notacion. 1. Escribimos

m

n= [(m, n)] .

2. Denotamos con 0 a la clase 01 = [(0, 1)], el cero.

3. Denotamos con m a la clase m1 = [(m, 1)] y los identificamos con los

numeros enteros.

5.3.1. Escritura decimal de numeros racionales.

5.3.13. Definicion.

- Una sucesion de numeros (naturales, enteros, racionales, reales o comple-jos), (an)n∈N se dice eventualmente periodica si existe un m ∈ N y unentero positivo q > 0 tal que ai = ai+q, para todo i ≥ m.

- Si r es el menor de los m ∈ N que satisfacen dicha propiedad, entonces eltermino ar es llamado el termino inicial del periodo.

- Si p es el menor de los enteros positivos q anteriores, entonces p es llamadoel periodo de la sucesion.

5.3.14. Ejemplos. 1. Todas las sucesiones de numeros constantes o even-tualmente constantes. Una sucesion se dice eventualmente constante cuan-do existe un m ∈ N tal que ai = ai+1, para todo i ≥ m. En tal caso elperiodo de la sucesion es 1.

5.3. NUMEROS RACIONALES 53

2. La sucesion 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, . . . es eventualmenteperiodica, con periodo p = 3 y con a10 como termino inicial del periodo.

5.3.15. Definicion. Una sucesion de numeros naturales (an)n∈N se dice de-cimal cuando an ∈ {0, 1, ..., 9} para todo n > 0 (notese que no hay restriccionsobre el termino a0).

5.3.16. Teorema. Dado un numero racional α ∈ Q, α ≥ 0, existe una unicasucesion decimal eventualmente periodica de numeros naturales (an)n∈N satis-faciendo que

0 ≤ α − a0 −a1

10− a2

102− ... − an

10n<

1

10n, (5.1)

para todo n ∈ N. Ademas, la asignacion α (an)n∈N define una biyeccion entreel conjunto Q+ = {α ∈ Q : α ≥ 0} y el conjunto D de las sucesiones decima-les eventualmente periodicas de numeros naturales que no son eventualmenteconstantemente 9.

Demostracion. Solo vamos a hacer un esquema de demostracion sobre la exis-tencia de la aplicacion. El resto, se omite.

La expresion decimal de un racional se hace de la siguiente manera:Como 0 < α ∈ Q, expresamos

α =k

d, con 0 ≤ k, 0 < d y mcd(k, d) = 1.

Hacemosk = da0 + r0 con 0 ≤ r0 < d

10r0 = da1 + r1 con 0 ≤ r1 < d...

10rn−1 = dan + rn con 0 ≤ rn < d...

Tenemos que comprobar dos propiedades de la sucesion (an)n∈N: una, quees periodica y la otra, que es decimal.

Para ver que es periodica, observemos que todos los restos son 0 ≤ r < d,por lo tanto, a lo mas en d-pasos, se repetira el primer resto, digamos r0 = rm.Entonces 10r0 = da1 + r1 es lo mismo que 10rm = dam+1 + rm+1, de dondea1 = am y de ahı sale el perıodo.

Ahora vamos a ver que es decimal.

10rn−1 = dan + rn ⇒ 0 ≤ dan ≤ 10rn−1 < d10 ⇒⇒ 0 ≤ an ≤ 10

rn−1

an< 10 ⇒ 0 ≤ an < 10.

por tanto, (an)n∈N es decimal. Vamos a ver que satisface la condicion (5.1).Se tiene, senalando con “ ∗

︸︷︷︸” lo que vamos a sustituir

k

d= a0 +

r0

d︸︷︷︸

y 0 ≤ r0

d< 1 =⇒ 0 ≤ k

d− a0 < 1.


Como 10r0 = da1 + r1 entonces r0

d = a1

10 + r1

d · 110 , de donde

k

d= a0 +

a1

10+

r1

d· 1

10︸︷︷︸

y 0 ≤ r1

d

1

10<

1

10⇒

=⇒ 0 ≤ k

d− a0 −

a1

10<

1

10

Como 10r1 = da2 + r2 entonces 110

r1

d = a2

102 + r2

d · 1102 , de donde

k

d= a0 +

a1

10+

a2

102+

r2

d· 1

102︸︷︷︸

. y 0 ≤ r2

d· 1

102<

1

102

=⇒ 0 ≤ k

d− a0 −

a1

10− a2

102<

1

102.

ası, sucesivamente llegamos a la propiedad (5.1).

Para terminar de ver que α 7→ (an)n∈N, solo falta ver que la sucesion esunica.

Supongamos que existe (bn)n∈N tal que 0 ≤ α −∑ni=1

bi

10i < 110n . se afirma

que an = bn para todo n ∈ N.

Vamos a probar esto por induccion. Para n = 0, se tiene

0 ≤ α − b0 <1

100y 0 ≤ α − a0 <

1

100

de donde

b0 ≤ α < b0 + 1 y a0 ≤ α < a0 + 1

luego a0 = b0.

Supongamos valido para k ≤ n, entonces a0 = b0, . . . , an = bn.

Para n + 1, hacemos A =∑n

i=1ai

10i =∑n

i=1bi

10i = B. Entonces

0 ≤ α −n+1∑

i=1

ai

10i<

1

10n+1y 0 ≤ α −

n+1∑

i=1

bi

10i<

1

10n+1,

entonces

0 ≤ α − A − an+1

10n+1<

1

10n+1y 0 ≤ α − B − bn+1

10n+1<

1

10n+1.

En la desigualdad de la izquierda sumamos an+1

10n+1 y en la otra, bn+1

10n+1 , luegomultiplicamos en ambas por 10n+1 y queda

an+1 ≤ 10n+1(α − A) < an+1 + 1 y bn+1 ≤ 10n+1(α − B) < bn+1 + 1,

lo que implica an+1 = bn+1.

5.4. NUMEROS REALES 55

Se tiene,

kd = a0 +

r0

d︸︷︷︸

y 10r0 = da1 + r1

=⇒r0

d = a1 · 10 + r1

d · 110

sustituyendo

kd = a0 + a1 · 10 +

r1

d· 1

10︸︷︷︸

5.4. Numeros reales

A mediados del siglo XIX los analistas alemanes experimentaron la necesidadde fundamentar rigurosamente el analisis matematico y con ello llegaron a laconstruccion de los numeros reales partiendo de los racionales [5, p. 130]. Usaron3 caminos:

1. Identificar a los numeros reales con los desarrollos decimales infinitos;es decir, al hilo de los descrito en racionales, expresandolos como a0 +∑∞

n=1 an10−n, con a0 ∈ Z y ai ∈ {0, . . . , 9}. Esta idea fue desarrolladapor Weierstrass.

2. Definir las llamadas cortaduras de Dedekind en Q. Una cortadura es unsubconjunto β ⊂ Q tal que

a) ∅ 6= β ( Q.

b) β esta acotado superiormente y no tiene elemento maximo.

c) Si x ∈ β e y < x entonces y ∈ β.

Ası, si q ∈ Q, definimos q∗ = {x ∈ Q | x < q}, esto no es novedoso.Lo interesante es definir

√2 = {q | q2 < 2} y ası se van obteniendo los

irracionales.

Despues se elabora una aritmetica de cortaduras, de forma natural y seobtienen ası los numeros reales. Esta idea fue desarrollada por Dedekind.

3. Considerar el conjunto cociente de ciertas sucesiones, que actualmentellamamos sucesiones de Cauchy en Q y que se estudiaran en los cursos deanalisis matematico. Esta idea fue desarrollada por Cantor y Meray.

Nosotros no abordaremos su fundamento pues eso corresponde a otros cur-sos. Vamos a asumir que los numeros reales es un conjunto no vacıo (R, +, ·)que contiene a los racionales, Q y que satisfacen los axiomas que listamos acontinuacion.


5.4.1. Axiomas de cuerpo. El conjunto de los numeros reales junto con lasuma y el producto forman un cuerpo, que tiene como subcuerpo a los racionales.

5.4.2. Axiomas de orden.

1. El conjunto R esta totalmente ordenado. Escribimos x > y cuando x ≥ yy ademas, x 6= y.

2. Si x < y entonces para cada z ∈ R se tiene que x + z < y + z.

3. Si x > 0 e y > 0 entonces xy > 0.

5.4.3. Definicion. Un numero real x ∈ R, se llama positivo si x > 0 y negativosi x < 0.

5.4.4. Teorema. Sea p un numero primo (con el significado habitual en losreales). Entonces

√p es irracional.

5.4.5. Axioma de completitud. Todo conjunto no vacıo S ⊆ R, que este aco-tado superiormente admite un supremo.

5.5. Numeros complejos

5.5.1. Definicion. Llamamos numeros complejos al conjunto

C = {(a, b) | a, b ∈ R}

junto con las operaciones

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Los representamos en el plano cartesiano como

R

R 6

-p p p p p p p p

-

-

-

-

-

-

······ · · · · · ·

a

b (a, b)•

5.5.2. Teorema. El conjunto C, junto con las operaciones descritas, tiene es-tructura de cuerpo.

Demostracion. Es cuestion de hacer los calculos. Observese que (a, b)−1 =1

a2+b2 (a,−b) =(

aa2+b2 , −b

a2+b2

)

y (0, 1)2 = (−1, 0).

5.5. NUMEROS COMPLEJOS 57

5.5.3. Observacion. Identificamos R con {(a, 0) ∈ C | a ∈ R}.5.5.4. Notacion. Escribimos tambien a los numeros complejos como

C ={a + bı | a, b ∈ R e ı2 = −1

}

junto con el producto habitual de los numeros reales y rı = ır para todo r ∈ R,ademas de ser asociativo.

5.5.5. Conjugado. El conjugado de un numero complejo a+bı ∈ C es a + bı =a − bı y tiene, entre otras, las siguientes propiedades. Sean z, w ∈ C.

1. z = z.

2. z + w = z + w.

3. zw = z w.

4. Si z 6= 0 entonces z−1 = z−1.

5. z ∈ R si y solo si z = z.


5.5.6. Definicion. Sea z = a + bı ∈ C.

1. Al coeficiente “a” se le llama la parte real, Re(a + bı), y a “b” la parteimaginaria, Im(a + bı).

2. Su modulo es |z| = |a + bı| =√

a2 + b2.

3. Su argumento es el (unico, salvo multiplos de 2π) angulo θ que verifica

cos(θ) =a

|z| y sen(θ) =b

|z| ;

es decir, Arg(z) = θ = arctan(b/a) (estableciendo, como siempre, primeroel cuadrante).

5.5.7. Propiedades. Sean z, w ∈ C.

1. |z| =√

z · z (equivalentemente, |z|2 = zz).

2. |z| = |z|.3. |zw| = |z||w|.4.∣∣z−1

∣∣ = |z|−1.

5. |Re(z)| ≤ |z|.6. |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad triangular).

Demostracion. Notese primero que zw y zw son conjugados y por lo tantozw + zw = 2Re(zw). Usando lo anterior y el apartado anterior, tenemos |z +w|2 = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw) ≤|z|2 + |w|2 + 2|zw| = (|z| + |w|)2.


Formas polar y trigonometrica.

5.5.8. Notacion. Sea z = a + bı ∈ C, r =√

a2 + b2 y θ = arctan(b/a) (comosiempre, estableciendo previamente el cuadrante).

1. La representacion polar de z es

z 7−→ (r, θ).

R

R 6

-p p p p p p p p

-

-

-

-

-

-

r (r, θ)•

��

��

��3

.

.........

...........................

θ

2. La representacion triginometrica de z es

z 7−→ r(cos θ + ı sen θ).

R

R 6

-p p p p p p p p

-

-

-

-

-

-

r

r cos(θ)

r sen(θ) (r cos(θ), r sen(θ))•

��

��

��3

.

.........

...........................

θ ppppp

5.5.9. Producto. Sean z = (r, θ) y w = (s, σ). Entonces

zw = (rs, θ + σ) = rs(cos(θ + σ) + ı sen(θ + σ)).

La forma trigonometrica se obtiene sin mas, ejecutando el producto y utili-zando las identidades trigonometricas fundamentales. En particular, si z ∈ C esz = r(cos θ + ı sen θ)

z−1 =1

r(cos(−θ) + ı sen(−θ)) =

1

r(cos θ − ı sen θ)

5.5. NUMEROS COMPLEJOS 59

como corresponde con las formulas de la definicion del producto. Aun mas, sepuede probar por induccion el siguiente resultado clasico.

5.5.10. Teorema [Teorema de De Moivre]. Sea z = a + bı ∈ C, r =√a2 + b2 y θ = arctan(b/a). Para n ∈ N se tiene

zn = (rn, nθ) = rn(cos(nθ) + ı sen(nθ)).

Demostracion. Inmediata por induccion y las formulas anteriores.

Pasamos ahora a estudiar las raıces de un numero complejo. Es igual desencillo el calculo que con las potencias. Partimos de un numero complejo w =r(cos θ + ı sen θ). Entonces su n-esima potencia sera

wn = s(cos α + ı senα).

Trivialmente, se tiene que

r = n√

s y θ =α + 2kπ

n, k ∈ Z.

El problema consiste entonces solo en determinar cuantas raıces hay. Paraello, primero acotamos en funcion del divisor n. Supongase que k > n y seak = nq + k′, con 0 ≤ k′ < n. Entonces

α + 2kπ

n=

α + 2(nq + k′)π

n=

α + 2k′π

n+

2nπ

n=

α + 2k′π

n+ 2π.

Lo cual nos muestra que los argumentos seran iguales y por tanto basta consi-derar

θk =α + 2kπ

n, k = 0, . . . n − 1.

Es claro que cualesquiera dos argumentos anteriores dintintos dara lugar adistintos numeros complejos. Esto prueba el siguiente toerema.

5.5.11. Teorema. Sea z ∈ C, arbitrario. La ecuacion Xn = z tiene exactamen-te n raıces en C. En otras palabras, todo numero complejo tiene exactamente nraıces n-esimas complejas.

Aun mas, si w ∈ C se escribe w = r(cos θ + ı sen θ) entonces todas las raıcesn-esimas son

n√

r

(

cos

(θ + 2kπ

n

)

+ sen

(θ + 2kπ

n

))

, k = 0, . . . , n − 1.

Demostracion. Inmediata del parrafo anterior.

5.5.12. Ejemplo. Vamos a encontrar todas las soluciones de la ecuacion X5 =1; es decir, buscamos todos los w = r(cos θ + ı sen θ) tales que w5 = 1. Entoncesw5 = 1 = cos 0, luego α = 0, r = 1 y θk = 0+2πk

5 , con k = 0, . . . , 4.

5.5.13. Definicion. Sea n ≥ 2. decimos que ω ∈ C es una raız n-esima de launidad si ωn = 1 y diremos que es una raız nesima primitiva de la unidad deademas de ser raız, se tiene que ωm 6= 1 si 0 < m ≤ n.


5.5.14. Ejemplo. Vamos a estudiar las raıces cuartas de la unidad. En estecaso nos salen los siguientes angulos: θ0 = 0, θ1 = 2π

4 = π2 , θ2 = 4π

4 = π yθ3 = 6π

4 = 3π2 . Haciendo zi = cos θi + ı sen θi se tiene que z0 = 1, que no es

primitiva, z1 sı lo es, z22 = 1, luego no es primitiva y z3 sı lo es.

El ejemplo anterior nos dice que zi es primitiva para i coprimo con 4. Estoes verdadero en general y muy facil de demostrar.

5.5.15. Corolario. Sea z ∈ C, arbitrario. Entonces z tiene exactamente

|{m ∈ {1, . . . , n − 1} | mcd(m, n) = 1}|

raıces n-esimas primitvas.

5.5.1. Forma exponencial de un numero complejo.

Conocemos del calculo las formulas

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ . . .

cosx = 1 − x2

2!+

x4

4!+ . . .

senx = x − x3

3!+

x5

5!+ . . .

Estas identidades nos sirven de motivacion para escribir

eıρ = 1 + ıρ +(ıρ)2

2!+

(ıρ)3

3!+ . . .

= 1 + ıρ − ρ2

2!− (ıρ)3

3!+

ρ4

4!+

(ıρ)5

5!− . . .

= cos ρ + ı sen ρ

Desde luego, lo anterior no es una demostracion, pero justifica definir

eıρ = cos ρ + ı sen ρ, ρ ∈ R

de tal forma que escribimos el complejo z = r(cos θ + ı sen θ) como

z = reıθ .

En particular, obtenemos la famosa identidad de Euler.

eπı + 1 = 0.

5.6. CONJUNTOS NUMERABLES Y NO NUMERABLES 61

5.6. Conjuntos numerables y no numerables

Vamos a terminar esta parte abordando algunos aspectos mas de la cardi-nalidad. Hasta ahora tenemos la definicion de finito e infinito. Recordemos.

1. Un conjunto A, decimos que es infinito si existe B ( A, junto con unaaplicacion inyectiva f : A → B.

2. Un conjunto es finito si no es infinito.

3. Recordemos que la cardinalidad de un conjunto A se denota |A|.

5.6.1. Teorema [Bernstein]. Sean A y B conjuntos, tales que existen apli-caciones inyectivas f : A → B y g : B → A. Entonces, existe una biyeccionβ : A → B.

Demostracion. La demostracion se omite porque excede el interes de este curso.Puede consultarse [5, p. 51].

5.6.2. Corolario. Sean A y B conjuntos, tales que existen aplicaciones sobre-yectivas f : A → B y g : B → A. Entonces, existe una biyeccion β : A → B.


5.6.3. Lema. |N| = |N× N|.

Demostracion. Vamos a exhibir una aplicacion inyectiva ϕ : N×N→ N. Es unpoco laborioso, pero muy ilustrativo. La idea es ordenar las parejas en el ordenlexicografico y luego ir contando “en diagonal”. Podemos ilustrarlo ası:

(1, 1) - (1, 2)

��(2, 1) ��1

(2, 2)

��

(1, 3)

��

(3, 1) ��1 . . .

Notese que cada diagonal con pareja superior (1, n) tiene exactamente n-

parejas; a saber, de (1, n) al (n, 1) y antes de llegar a ella se han contado∑n−1

i=1 i,parejas, todas ellas sumando sus coordenadas n+1 y solo ellas tienen esa suma.Luego, al terminar la diagonal habremos contado

n−1∑

i=1

i + n =

n∑

i=1

i

parejas. Si llamamos S(n) a la suma de los primeros n numeros naturales pode-mos observar que se asignaran (1, n) 7→ S(n− 1) + 1, (2, n− 1) 7→ S(n− 1) + 2y ası (n, 1) 7→ S(n − 1) + n = S(n).


De este modo, la correspondencia queda como sigue. Se considera un elemen-to arbitrario (i, j). Entonces vive en la diagonal de (1, i + j − 1) 7→ S(i + j − 2).Luego (i, j) 7→ S([i+ j−2]+ i) = S(2i+ j−2), y aplicando la conocida formulade la suma

ϕ(i, j) =(2i + j − 1)(2i + j − 2)

2.

5.6.4. Teorema. |N| = |Z| = |Q|

Demostracion. Inmediata de la construccion que hemos hecho.

5.6.5. Teorema. Considerese el intervalo (0, 1) ⊂ R. Existe una aplicacioninyectiva f : N→ [0, 1], pero no existe ninguna aplicacion inyectiva (0, 1) → N.

Es decir, el infinito de R es “mayor” que el de N.

Demostracion. Vamos a dar un argumento conocido como “metodo de la dia-gonal de Cantor”. Supongamos que sı se tiene una aplicacion inyectiva. Esofinalmente significa que hay una aplicacion biyectiva y que hemos numerado atodos los elementos del intervalo (0, 1). Entonces los escribimos x1, x2, . . . , ensu forma decimal

x1 = 0, x11x12x13 · · ·x2 = 0, x21x22x23 · · ·x3 = 0, x31x32x33 · · ·

Considerese el numerox = 0, x11x22x33 · · ·

o sea, que sus decimales son “la diagonal” de la lista anterior (no importa quetodos fuesen 9 o 0, porque lo vamos a cambiar).

Ahora vamos a construir otro numero, de la siguiente forma. A cada xnn

asignamos otro dıgito ynn ∈ {0, . . . , 9} \ {xnn}, procurando que no todas laselecciones sean 0 o 9, para que y = 0, y11y22 · · · ∈ (0, 1).

Es inmediato comprobar que y no puede estar en la lista anterior.

Capıtulo 6

Analisis combinatorio.

Recordemos que dado un numero natural p ∈ N se denota Np = {1, . . . , p}.A lo largo de este capıtulo denotaremos con A un conjunto finito que tienecardinalidad n; es decir, |A| = n y p sera tal que p ≤ n.

6.1. Variaciones.

6.1.1. Definicion. Se llama variacion de los n objetos de A tomados de p enp a la imagen de cualquier aplicacion inyectiva f : Np → A.

En la situacion de la definicion anterior, denotamos ai = f(i) y esribimos lavariacion como lista ordenada f(Np) = (a1, . . . , ap). Intuitivamente, una varia-cion es una eleccion ordenada de p elementos de A, sin repeticiones.

6.1.1. Numero de variaciones.

Vamos a calcular el numero de variaciones de los n objetos de A tomados dep en p. Denotamos dicho numero con V p

n .

6.1.2. Teorema. Sea A un conjunto con |A| = n y p ≤ n, un numero natural.El numero de variaciones de los n objetos de A tomados de p en p es

V pn =

n!

(n − p)!.

Demostracion. Primero notese que n!(n−p)! = n(n−1) · · · (n−p+1). Procederemos

por induccion sobre p. El caso p = 1 es trivial. Supongamos valido que para1 ≤ p ≤ n se tiene el resultado. Queremos probar la formula para p+1. Primero,notemos que (n − p)V p

n = V p+1n .

Sea A un conjunto finito con cardinalidad n ≥ p + 1 y f : Np → A unaaplicacion inyectiva. Queremos extender el dominio de la aplicacion f a Np+1.Para lograr esto, solo tenemos que hacer corresponder p+1 con un elemento delconjunto A \ Imf . Esto puede hacerse de n − p maneras diferentes y por tantohay (n − p)V p

n aplicaciones inyectivas.

63

64 CAPITULO 6. ANALISIS COMBINATORIO.

Como caso particular, notese que V nn = n!. Si sustituimos ahora Np por cual-

quier conjunto con p elementos, aparte de que no podemos utilizar la notacionai, no perdemos ninguna propiedad, como se dice en el siguiente resultado.

6.1.3. Corolario. Sean A y P conjuntos con cardinalidad n y p respectivamen-te, con p ≤ n. El numero de aplicaciones inyectivas de P en A es V p

n

6.2. Permutaciones.

Como vimos en (2.4.15), una permutacion de A es una biyeccion de A ensı mismo. Si numeramos los elementos de A = {a1, . . . , an} podemos escribiruna permutacion σ : A → A como

σ =

(a1 · · · an

σ(a1) . . . σ(an)

)

El siguiente ejercicio nos muestra que toda permutacion puede ser vista comouna variacion de n objetos tomados de n en n.

6.2.1. Ejercicio. Sean A y B conjuntos finitos, tales que |A| = |B|. Probar quesi f : A → B es inyectiva entonces ya es biyectiva.

Respuesta. De no ser ası, B serıa infinito.

Denotamos el conjunto de permutaciones de A como S(A). En caso de queA = Nn escribimos Sn en vez de S(Nn). Por el resultado de recuento que vimospara las variaciones tenemos lo siguiente.

6.2.2. Teorema. Sea A un conjunto finito con n elementos. Entonces el nume-ro de permutaciones |S(A)| = n!.

6.3. Combinaciones.

6.3.1. Definicion. Sea A un conjunto con n elementos y p ∈ N con p ≤ n.Una combinacion de los n elementos de A tomados de p en p, es cualquiersubconjunto de A que tenga p elementos.

En este punto es recomendable que nos detengamos a observar con cuidadola diferencia entre variacion y combinacion. Conviene ver algun ejemplo. Vamosa calcular el numero de combinaciones de A.

6.3.2. Teorema. Sea A un conjunto con n elementos. El numero de combina-ciones de los n elementos de A tomados de p en p es

Cpn =

n!

p!(n − p)!.

Demostracion. Notemos que todo subconjunto P ⊂ A con p elementos puedeconsiderarse como la imagen de (al menos) una aplicacion inyectiva f : Np → A.El caso aquı es determinar cuantas aplicaciones inyectivas de Np pueden tener

6.3. COMBINACIONES. 65

a P como imagen. Estas son las biyecciones de Np en P y por lo visto en la

seccion anterior son p!. Ese es el factor por el que tendremso que dividir V pn .

Ası que

Cpn =

V pn

p!=

n!

p!(n − p)!.

6.3.3. Notacion. El numero de combinaciones de los n elementos de Nn to-mados de p en p se escribe

Cpn =

(n

p

)

y se le conoce como coeficiente binomial.

Un problema interesante que involucra al coeficiente binomial es probar elteorema del binomio.

6.3.4. Lema [Teorema de Pascal]. Sean n, p ∈ N, con p ≤ n. Entonces(

n

p + 1

)

+

(n

p

)

=

(n + 1

p + 1

)

.


6.3.5. Teorema [Teorema del binomio]. Sean a, b numeros reales y n ∈ N.Entonces

(a + b)n =

n∑

i=0

(n

i

)

aibn−i.

Demostracion. Procederemos por induccion.Para n = 0, se tiene que (a + b)0 = 1 =

(00

)a0b0.

Supongamos valido para n. Procedemos a probar la afirmacion para n + 1.

(a + b)n+1 = (a + b)n∑

i=0

(n

i

)

aibn−i =

=

n∑

i=0

(n

i

)

ai+1bn−i +

n∑

i=0

(n

i

)

aibn−i+1 =

(n

0

)

abn + · · · +(

n

i

)

ai+1bn−i + . . . +

(n

n − 1

)

anb + an+1b0 +

a0bn+1+

(n

1

)

abn + · · · +(

n

i + 1

)

ai+1bn−i + · · · +(

n

n

)

anb =

=

n+1∑

i=0

(n + 1

i + 1

)

aibn−i.

por el teorema de Pascal.

66 CAPITULO 6. ANALISIS COMBINATORIO.

Parte II

Numeros y polinomios

67

Capıtulo 7

El anillo de los numeros

enteros.

En este capıtulo se estudiaran las propiedades aritmeticas de los numerosenteros, es decir, las relacionadas con las operaciones y la divisibilidad. Tam-bien veremos que existen otros conjuntos dotados de operaciones binarias quecomparten propiedades con los enteros. De ahı surjiran los conceptos de anilloy cuerpo.

7.1. Artimetica de los enteros.

En esta seccion vamos a repasar los conceptos y propiedades basicos de losnumeros enteros y su descomposicion. Todo desde un punto de vista mas formaly con el lenguaje de los conjuntos, que hemos desarrollado en la parte anterior.

7.1.1. Division entera y maximo comun divisor.

Vamos a demostrar algunas de las propiedades de la suma y el producto delos enteros.

7.1.1. Proposicion. En Z se verifican las siguientes propiedades:

1. (Unicidad de los neutros) Solo hay un entero 0 tal que 0+a = a para todoa ∈ Z. Y solo hay un entero 1 tal que 1a = a para todo a ∈ Z.

2. (Unicidad de los opuestos) Para cada a ∈ Z existe un unico a′ ∈ Z tal quea + a′ = 0. Este unico elemento se llama el opuesto de a y se denota por−a; la suma b + (−a) se denota por b − a.

3. (Cancelacion en sumas) Dados a, b, c ∈ Z, la igualdad a+b = a+c implicab = c.

4. (Multiplicacion por cero) Para cada a ∈ Z se verifica a0 = 0.

69

70 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

5. (Reglas de signos) Dados a, b ∈ Z se verifican -(-a) = a, a(-b) = (-a)b =-(ab) y (-a)(-b) = ab.

6. (Cancelacion en productos) Dados a, b, c ∈ Z con a 6= 0, la igualdad ab =ac implica b = c.

Una de las propiedades mas notables del conjunto de los numeros enteros esla la llamada division entera que enunciamos y demostramos a continuacion:

7.1.2. Teorema [de la division entera]. Dados a, b ∈ Z, con b 6= 0, existenq, r ∈ Z unicos tales que a = bq + r y 0 ≤ r < |b|.

Demostracion. En primer lugar demostraremos la existencia de q y r. Distin-guimos cuatro casos:

(1) Supongamos a, b > 0. Consideremos el conjunto de numeros enteros

R = {x ∈ Z | x ≥ 0, y x = a − bn para algun entero n}.

Entonces, R es, por definicion, un sunconjunto de N ∪ {0} que no es vacıo yaque, por ejemplo, a = a− b · 0 ∈ R. Por tanto, R tiene un primer elemento. Sear = mın R. Pongamos r = a − bq. Vamos a ver que r < b. Si r ≥ b, entoncesr − b ≥ 0 y r − b = a− bq − b = a− b(q + 1), y por tanto, r − b ∈ R y r − b < r,lo cual contradice que r sea el elemento mas pequeno de R. Por tanto, hemoshallado q, r que cumplen a = bq + r y 0 ≤ r < b.

(2) Supongamos a < 0 y b > 0. Entonces, −a > 0 y, por el caso anterior,−a = bq + r con 0 ≤ r < b. Si r = 0, a = b(−q) + 0 y se cumple r = 0 < b. Sir 6= 0, hacemos a = b(−q) − r = b(−q) + b − b − r = b(−q − 1) + (b − r). Dadoque 0 < r < b, se cumple 0 < b − r < b.

(3) Supongamos a 6= 0 y b < 0. Entonces, −b > 0 y, por los casos anteriores,a = (−b)q + r con 0 ≤ r < −b = |b|. Por tanto, a = b(−q) + r con 0 ≤ r < |b|.(4) Si a = 0, entonces 0 = b · 0 + 0 y 0 < |b|, ya que por hipotesis b 6= 0.

Finalmente, para demostrar la unicidad de q y r supongamos que a = bq+r =bq′ + r′ con 0 ≤ r, r′ < |b|. Entonces, b(q − q′) = r − r′. Igualando los valoresabsolutos |b||q − q′| = |r − r′|, lo cual, dado que 0 ≤ r, r′ < |b|, solo puedecumplirse si q − q′ = 0 y r − r′ = 0.

7.1.3. Definicion. En la situacion del teorema anterior, si a = bq + r, conb 6= 0 y 0 ≤ r < |b|, a q se le llama el cociente de la division y a r el resto.

7.1.4. Ejemplo. Si a = −7 y b = 3, siguiendo la demostracion del teorematenemos que 7 = 3 · 2 + 1, de donde

−7 = 3 · (−2) − 1 = 3 · (−2) − 3 + 3 − 1 = 3 · (−3) + 2.

Tenemos pues que el cociente es −3 y el resto 2.

7.1.5. Ejercicio. Calcular la division entera de a entre b cuando: a = 27 yb = 4, a = −13 y b = 5, a = 46 y b = −9, a = −51 y b = −7.

7.1. ARTIMETICA DE LOS ENTEROS. 71

7.1.6. Definicion. Sean a, b ∈ Z. Decimos que b divide al numero a, y lodenotamos por b | a, si existe un c ∈ Z tal que a = bc. En este caso, se dice quea es multiplo de b. Si a 6= 0, decimos tambien que b es un divisor de a.

Observemos que si b 6= 0, decir que b divide a a es lo mismo que decir quela division entera de a entre b da resto cero.

Veamos ahora algunas propiedades elementales que usaremos constantemen-te:

7.1.7. Proposicion. Sean a, b, c, d ∈ Z.

1. La divisibilidad es una relacion reflexiva y transitiva.

2. La divisibilidad no es antisimetrica, pero casi lo es. Si a | b y b | a entonces|a| = |b|.

3. a | b si y solo si a | −b. Entonces, si b 6= 0, b y −b tienen los mismosdivisores.

4. b | a si y solo si −b | a (luego, todo numero tiene al menos un divisorpositivo).

5. Si c | a y c | b, entonces c | ra + sb, para todo r, s ∈ Z.

6. Si a | b y c | d entonces ac | bd.

7. Si a | b entonces ra | rb para todo r ∈ Z.

8. Si a | b entonces |a| ≤ |b|.


El maximo comun divisor es uno de los conceptos mas clasicos de la aritmeti-ca. Desde primaria concemos la definicion, pero falta demostrar su existencia.Comenzamos repasando la definicion y algunas propiedades basicas.

7.1.8. Definicion. Dados dos numeros enteros a, b, con, al menos, uno de ellosdistinto de cero, el maximo comun divisor de a y b se define como el mayorentero d tal que d | a y d | b. Si a = b = 0, su maximo comun divisor es cero.El maximo comun divisor de a y b se denotara por mcd(a, b) o mcd(b, a).

El maximo comun divisor existe pues el conjunto de divisores de dos numeroses finito y por tanto tiene maximo (recordemos que todo conjunto finito lineal-mente ordenado tiene maximo); aun mas, el maximo comun divisor siempre espositivo.

7.1.9. Proposicion. Si a, b ∈ Z, entonces:

(1) mcd(a, b) = mcd(a, |b|) = mcd(|a|, |b|).

(2) mcd(a, 0) = |a|.

(3) mcd(a, b) = 0 si y solo si a = b = 0.



Vamos a estudiar el maximo comun divisor utilizando las herramientas delos conjuntos que hemos desarrollado en capıtulos anteriores.

7.1.10. Teorema. Sean a, b ∈ Z, no cero ambos. El maximo comun divisor dea y b es el mınimo del conjunto de combinaciones lineales positivas de a y b; esdecir,

mcd(a, b) = mın{c = ra + sb | c > 0 y r, s ∈ Z}.

Demostracion. Sea D = {ra + sb > 0 | r, s ∈ Z}. Notese primero que como ao b no son cero, D 6= ∅ y por tanto siempre existe δ = mın D. Se afirma que δes el maximo comun divisor de a y b. Como δ ∈ D existen α, β ∈ Z tales queδ = αa+βb. Primero vamos a ver que δ es divisor comun. Por el algoritmo de ladivision (7.1.2) a = δq + r, con 0 ≤ r < δ. Entonces r = (1−αq)a+(−qβ)b, conlo que r ∈ D o r = 0. Lo primero es imposible porque δ es mınimo. Luego r = 0y por tanto δ | a. Analogamente δ | b. Que es maximo se desprende directamentede (7.1.7); de hecho, todo divisor comun de a y b es divisor de δ.

7.1.11. Corolario. Sean a, b ∈ Z. Entonces existen r, s ∈ Z tales que mcd(a, b) =ra + sb.

Demostracion. Si a = b = 0 hacemos r = s = 0 y tenemos el resultado. Si no sonambos cero, el resultado se desprende directamente del teorema anterior.

7.1.12. Definicion. Sean a, b ∈ Z y d = mcd(a, b). A una expresion d = ra+sbse le conoce como identidad de Bezout.

En la demostracion del teorema anterior hemos visto que el maximo comundivisor es, de hecho, multiplo de cualquier divisor comun. Vamos a expresar esojunto con otras propiedades que caracterizan al maximo comun divisor.

7.1.13. Proposicion. Sean a, b, c, d ∈ Z. Entonces d = mcd(a, b) si y solo sise cumplen las condiciones

(1) d | a y d | b.

(2) Si c | a y c | b, entonces c | d.

(3) d ≥ 0.

Demostracion. Supongamos d = mcd(a, b). De la definicion de maximo comundivisor tenemos las propiedades (1) y (3). La segunda es inmediata de (7.1.11).

Recıprocamente, supongamos que a, b, d cumplen las tres condiciones delenunciado. Si a 6= 0 o b 6= 0, esta claro que d es el mayor de los enteros quedividen a a y b. Si a = b = 0, como 0 | a y 0 | b, la condicion (2) me dice que0 | d por lo que d = 0. Tambien en este caso se tiene d = mcd(a, b).

Este resultado puede generalizarse a un numero finito de enteros como vamosa ver a continuacion.


7.1.14. Definicion. Sean a1, . . . , an ∈ Z con algun ai 6= 0. El maximo comundivisor de a1, . . . , an, que denotaremos por mcd(a1, . . . , an), se define como elmayor entero d que los divide a todos. Definimos mcd(0, . . . , 0) = 0.

7.1.15. Proposicion. Sean a1, . . . , an ∈ Z. Entonces

mcd(a1, . . . , an) = mcd(mcd(a1, a2), a3, . . . , an).

Demostracion. Sea d = mcd(a1, . . . , an), e = mcd(mcd(a1, a2), a3, . . . , an) yf = mcd(a1, a2). Entonces, como d divide a a1, . . . , an, tenemos por la proposi-cion anterior que d divide a f, a3, . . . , an. Luego d ≤ e. Recıprocamente, e dividea f, a3, . . . , an y, por tanto, e divide a a1, a2, . . . , an. Luego e ≤ d. Como d, e ≥ 0debe ser d = e.

7.1.16. Teorema. El maximo comun divisor de a1, . . . , an ∈ Z es la mınimacombinacion lineal positiva de dichos numeros.

Ası que existen enteros α1, . . . , αn tales que

d = α1a1 + · · · + αnan.

Demostracion. Inmediato por induccion, usando (7.1.10).

7.1.17. Corolario. Sean a1, . . . , an ∈ Z. Entonces d = mcd(a1, . . . , an) si ysolo si se cumplen las condiciones

(1) d | ai para todo i = 1, . . . , n.

(2) Si c | ai para todo i = 1, . . . , n, entonces c | d.

(3) d ≥ 0.


7.1.18. Ejemplo. Para calcular el maximo comun divisor de los numeros 45, 81, 12y 51 podemos proceder de la siguiente manera:

mcd(45, 81, 12, 51) = mcd(mcd(45, 81), 12, 51) = mcd(9, 12, 52) =

mcd(mcd(9, 12), 51) = mcd(3, 51) = 3.

7.1.19. Definicion. Dos enteros a, b se llaman primos entre sı o coprimos simcd(a, b) = 1.

7.1.20. Proposicion. Sean a y b dos enteros no nulos. Entonces a y b soncoprimos si y solo si existen α, β ∈ Z tales que αa + βb = 1.

Demostracion. Inmediato de la definicion de coprimos y (7.1.11).

7.1.21. Proposicion. Sean a, b, c ∈ Z tales que a | bc. Si a y b son coprimos,entonces a | c.

Demostracion. Sea 1 = αa + βb una identidad de Bezout. Multiplicando por ctenemos c = αac + βbc. Como a | bc, tambien a | c.


7.1.22. Proposicion. Sean a, b, c ∈ Z. Si a y b son coprimos y a | c y b | centonces ab | c.

Demostracion. Considerese la identidad de Bezout ra + sb = 1. Por hipotesisca , c

b ∈ Z. Entonces cara + c

asb = ca , luego cr + c

asb = ca y ası c

b br + casb = c

a , dedonde b( c

br + cas) = c

a , pasamos a multiplicando y se tiene ab | c.

7.1.23. Corolario. Sean a y b dos enteros no nulos y d = mcd(a, b). Si a = da′

y b = db′, entonces mcd(a′, b′) = 1.


El algoritmo de Euclides

Una forma efectiva de calcular el maximo comun divisor es mediante elalgoritmo de Euclides, para el cual necesitamos el siguiente resultado:

7.1.24. Proposicion. Sean a, b ∈ Z. Entonces, para todo s ∈ Z se tiene

mcd(a, b) = mcd(a − sb, b) = mcd(a, b − sa).

En particular, si b 6= 0 y a = bq + r es la division entera de a entre b, tenemosque

mcd(a, b) = mcd(b, r).

Demostracion. Si c | a y c | b, entonces c | a − sb por (7.1.7). Recıprocamente,si c | b y c | a − sb, entonces c | a − sb + sb = a, tambien por (7.1.7).

7.1.25. Algoritmo de Euclides Vamos a calcular el maximo comun divisorde dos enteros mediante el algoritmo de Euclides que consiste en la aplicacionrepetida de la proposicion anterior. Podemos suponer que a y b son positivos ytenemos:

a = bq1 + r1 (a, b) = (b, r1) r1 < bb = r1q2 + r2 (b, r1) = (r1, r2) r2 < r1

r1 = r2q3 + r3 (r1, r2) = (r2, r3) r3 < r2

......

...

Dado que b > r1 > r2 > r3 > · · · ≥ 0 debe obtenerse resto cero en unnumero finito de pasos:

rn−2 = rn−1qn + rn (rn−2, rn−1) = (rn−1, rn)rn−1 = rnqn+1 (rn−1, rn) = rn.

Luego (a, b) = rn.Los valores x e y de la expresion rn = ax + by pueden obtenerse eliminando

los r1, . . . , rn−1 con una sustitucion regresiva, en las igualdades anteriores apartir de la penultima igualdad.


Por ejemplo, para los enteros a = 252 y b = 198 hacemos las divisiones y setiene

252 = 198 · 1 + 54

198 = 54 · 3 + 36

54 = 36 · 1 + 18

36 = 18 · 2.

y, a partir de la penultima igualdad vamos despejando y sustituyendo, ob-tenemos

18 = 54(1) + 36(−1) = 54 + (198 − 54 · 3)(−1)

= 198(−1) + 54(4) = 198(−1) + (252 − 198 · 1) · 4= 198(−5) + 252(4).

La igualdad 18 = 198(−5) + 252(4) es entonces una identidad de Bezout.

7.1.2. Mınimo comun multiplo

7.1.26. Definicion. Dados dos numeros enteros a, b distintos de cero, el mıni-mo comun multiplo de a y b se define como el menor entero positivo que esmultiplo de a y de b a la vez.

Si a o b son cero, entonces el mınimo comun multiplo de a y b es 0. Sedenotara por mcm(a, b).

La existencia del mınimo comun multiplo esta garantizada ya que el conjuntode todos los enteros positivos que son multiplos comunes a a y b es no vacıo y,por tanto, debe tener un primer elemento.

7.1.27. Proposicion. Si a, b ∈ Z, entonces:

(1) mcm(a, b) = mcm(a, |b|) = mcm(|a|, |b|).

(2) mcm(a, b) = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.

(3) mcm(a, ab) = |ab|.

Demostracion. Ejercicio. Se desprende de (7.1.7).

7.1.28. Teorema. Sean a, b ∈ Z. Entonces:

(1) mcm(a, b) mcd(a, b) = |ab|.

(2) Si c es multiplo de a y de b, entonces c es multiplo de mcm(a, b).


Demostracion. Si a = 0 o b = 0 el enunciado es evidente. Por tanto, por laproposicion anterior, podemos suponer que a, b > 0. Sea d = mcd(a, b) y su-pongamos que a = da′ y b = db′ para ciertos enteros a′, b′ ∈ Z. Sea m = a′b′d.Observemos que m es multiplo de a y de b. Supongamos que c > 0 es multiplode a y de b, es decir,

c = αa = βb (7.1)

para ciertos α, β ∈ Z. Entonces tenemos αda′ = βdb′ y, por tanto, αa′ = βb′.Como, por (7.1.23), a′ y b′ son coprimos, por (7.1.21), a′ | β y podemos escribir

β = γa′ para cierto γ ∈ Z

Sustituyendo β en (7.1) obtenemos

c = γa′b = γa′db′ = γm (7.2)

que es mayor o igual que m y, en consecuencia, m = mcm(a, b). Ademas

ab = a′db′d = md = mcd(a, b) mcm(a, b).

En la igualdad (7.2) se ha visto que que si c es multiplo de a y b, entoncestambien lo es de su mınimo comun multiplo.

El concepto de mınimo comun multiplo de un numero finito de enteros esanaloga al de dos y tambien tenemos, usando el teorema anterior, un resultadoparecido al (7.1.17) para el maximo comun divisor.

7.1.29. Definicion. Sean a1, . . . , an numeros enteros no nulos. El mınimocomun multiplo de a1, . . . , an, que denotaremos por mcm(a1, . . . , an), se defi-ne como el menor entero positivo que es multiplo de a1, . . . , an a la vez. Siai = 0 para algun i, definimos mcm(a1, . . . , an) = 0.

7.1.30. Corolario. Sean a1, . . . , an ∈ Z. Entonces m = mcm(a1, . . . , an) si ysolo si se cumplen las condiciones

(1) m es multiplo de a1, . . . , an.

(2) Si c es multiplo de a1, . . . , an, entonces c es multiplo de m.

(3) m ≥ 0.


7.1.3. La ecuacion diofantica lineal

El precio del cafe en la maquina de la planta baja es de 40 cts. Ana solotiene monedas de 50 cts y la maquina solo devuelve cambio en monedas de20 cts. Ana sabe por experiencia que si la maquina no tiene el cambio exacto,simplemente no lo devuelve. Si Ana no quiere perder dinero ¿podra tomarse uncafe? Si llamamos x al numero de monedas de 50 cts. que introduce Ana e y el


numero de monedas de 20 cts. que le devuelve la maquina, se tiene que cumplirla ecuacion

50x− 20y = 40

Una ecuacion de este tipo, en la que se buscan soluciones que sean numerosenteros, se llama una ecuacion diofantica lineal. Veamos su solucion.

7.1.31. Proposicion. Sean a, b, c ∈ Z y d = mcd(a, b). La ecuacion diofanticaax + by = c tiene solucion si y solo si d divide a c. En este caso, la soluciongeneral son todos los numeros enteros de la forma

{x = x0 + x′

y = y0 + y′

donde x0, y0 es una solucion particular de la ecuacion e x′, y′ es una solucionde la ecuacion ax + by = 0, llamada ecuacion homogenea asociada.

Demostracion. Si existen x, y ∈ Z tales que ax+by = c, entonces d | ax+by = c.Recıprocamente, supongamos que d | c y pongamos a = a′d, b = b′d y c =c′d. Si αa + βb = d es una identidad de Bezout, multiplicando por c′ tenemos(c′α)a + (c′β)b = c′d = c y la ecuacion tiene solucion. Veamos ahora como sonlas soluciones. Supongamos que x0, y0 es una solucion particular. Si x, y es unasolucion, entonces

ax + by = ax0 + by0 = c,

es decir, a(x − x0) + b(y − y0) = 0, luego poniendo x′ = x − x0 e y′ = y − y0

vemos que la solucion x, y tiene la forma deseada. Recıprocamente, si x, y soncomo se indica en el enunciado, esta claro que son solucion de la ecuacion.

7.1.32. Proposicion. Sean a, b, c ∈ Z, d = mcd(a, b) y pongamos a = a′d,b = b′d. Las soluciones de la ecuacion homogenea ax + by = 0 son

{x = −b′ty = a′t

donde donde t es un entero cualquiera.

Demostracion. Si existen x, y ∈ Z tales que ax + by = 0, entonces ax = −by ydividiendo por d tenemos

a′x = −b′y. (7.3)

Dado que a′ y b′ son coprimos y a′ divide a −b′y, a′ debe dividir a y, luegoexiste t ∈ Z tal que y = a′t. Sustituyendo en (3) se tiene a′x = −b′a′t y, portanto, x = −b′t. Por otra parte, se comprueba facilmente que todos los enterosde esa forma son solucion de la ecuacion.

Volviendo al ejemplo del inicio, tenemos que resolver la ecuacion 50x−20y =40. Dado que mcd(50,−20) = 10 vemos que la ecuacion tiene solucion. Si calcula-mos una identidad de Bezout obtenemos, por ejemplo, como solucion particularx0 = 4 e y0 = 8. Por otra parte, las soluciones de la ecuacion homogenea son

{x = 2ty = 5t.


Por tanto, la solucion general de la ecuacion es

{x = 4 + 2ty = 8 + 5t

Tenemos que ver ahora si hay soluciones positivas y cual es la mas pequena. Siexigimos que x, y ≥ 0 deber ser t ≥ −1. Tomando t = −1 vemos que Ana puedeintroducir 2 monedas de 50 cts y la maquina le devolvera 3 monedas de 20 ctsy un cafe.

7.1.4. Numeros primos.

Teorema Fundamental de la Aritmetica

En esta seccion vamos a probar el Teorema Fundamental de la Aritmetica queafirma que todo numero entero se puede escribir de forma escencialmente unicacomo producto de numeros primos. Comenzamos precisamente con el conceptode numero primo.

7.1.33. Definicion. Un entero p 6= 1,−1 se dice que es primo si sus unicosdivisores son 1, −1, p y −p.

7.1.34. Ejemplo. El primo positivo mas pequeno es el 2 y es tambien el unicoprimo par junto con el −2. Los primos siguientes son 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, . . . , 997, . . . , 252097800623, . . . , 243112609 − 1, . . . 1

7.1.35. Lema. Si p es un numero primo y p | a1a2 · · ·an con a1, . . . , an enteros,entonces p divide a ai para algun i.

Demostracion. Supongamos que p | a1a2. Si p | a1, ya. Si no, mcd(p, a1) = 1 ypor (7.1.21) se tiene que p | a2. Este es el primer paso de la induccion. Se dejacomo ejercicio terminarlo.

7.1.36. Teorema [Teorema Fundamental de la Aritmetica]. Sea a ∈ Z,a 6= 0, 1,−1. Entonces

a = p1p2 · · · pt

para algun t ≥ 1 y p1, · · · , pt primos no necesariamente dististos. Ademas, estosprimos son unicos salvo quizas el signo y el orden en el que estan escritos.

Demostracion. Veamos primero que existe una tal descomposicion. Supongamosa > 0 y procedamos por reduccion al absurdo. Entonces, el conjunto de losenteros mayores que 1 para los cuales no existe una tal descomposicion tiene unminimo a0 que no puede ser primo y, por tanto, se escribe como a0 = bc con by c distintos de 1 y −1. Como a > 0 podemos suponer que b, c > 0. Entonces

a0 = bc con 1 < b < a0 y 1 < c < a0.

1El primo 243112609−1 es el mayor conocido a fecha de junio de 2009. Fue descubierto por

el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) de informatica distribuida el 23de agosto de 2008 y tiene 12978189 cifras.


Ahora bien, como 1 < b, c < a0, los enteros b y c sı se escriben como productode primos:

b = q1 · · · qr y c = q′1 · · · q′spero entonces a tambien lo que contradice su eleccion.

Si a < −1, entonces −a = |a| = p1 · · · pt para cierto t ≥ 1 y p1, . . . , pt primosy, por tanto,

a = −|a| = (−p1)p2 · · · pt

con −p1, p2, . . . , pt primos.Probemos ahora la unicidad de la descomposicion. Supongamos

a = p1 · · · pt = q1 · · · qr (7.4)

con p1, . . . , pt, q1 . . . , qr primos y procedamos por induccion sobre t. Si t = 1,entonces a = p1 = q1 · · · qr. Dado que p1 es primo no tiene mas divisores primosque −p1 y p1. Por tanto, debe ser r = 1 y q1 = p1. Supongamos ahora el resultadocierto para t = k y demostremoslo para t = k + 1. Si a = p1 · · · pk+1 = q1 · · · qr

tenemos que pk+1 divide a q1 · · · qr. Por el lema anterior, pk+1 divide a qs paraalgun s. Reordenando los q′s podemos suponer que s = r, es decir, pk+1 | qr.Como los unicos divisores primos de qr son −qr y qr tenemos que qr = ±pk+1.Sustituyendo en (7.4) obtenemos

p1 · · · pkpk+1 = q1 · · · qr−1(±pk)

y cancelando pk+1,p1 · · · pk = ±q1 · · · qr−1.

Por hipotesis de induccion k = r−1. Por tanto, k+1 = r y, despues de reordenarsi hace falta, q1 = ±p1, q2 = ±p2, . . . , qk = ±pk como querıamos demostrar

7.1.37. Corolario. Sea a ∈ Z, a 6= 0, 1,−1. Entonces,

a = ±pn1

1 · · · pns

s

para ciertos primos positivos diferentes p1, . . . , ps y naturales n1, . . . , ns. Ademas,estos primos y sus respectivos n′

is son unicos (salvo el orden).


7.1.38. Corolario. Sean a, b ∈ Z con descomposiciones en primos

a = pn1

1 · · · pns

s b = qm1

1 · · · qmr

r .

Entonces, el mcd(a, b) puede calcularse haciendo el producto de los primos co-munes de a y b elevados a la mınima potencia, y el mcm(a, b) puede calcularsehaciendo el producto de los primos comunes y no comunes de a y b elevados ala maxima potencia.



Finalmente, vamos a demostrar que existen infinitos numeros primos.

7.1.39. Teorema. Existen infinitos numeros primos.

Demostracion. Procedemos por reduccion al absurdo. Supongamos que p1, . . . , pn

son todos los numeros primos y consideremos el numero

N = p1 · · · pn + 1.

Dado que N es mayor que pi para todo i, no puede ser primo y, por tanto,debe ser divisible por alguno de los primos anteriores. Pero si pi | N , entoncespi | N − p1 · · · pn = 1 lo cual es contradictorio.

7.2. Congruencias.

A lo largo de esta seccion, m denotara siempre un entero mayor que 1. Acontinuacion vamos a definir la relacion de congruencia modulo m que ya hemosvisto como ejemplo al estudiar las relaciones de equivalencia.

7.2.1. Definicion. Dados un entero positivo m y dos numeros x, y ∈ Z, de-cimos que x e y son congruentes modulo m, y escribimos x ≡ y mod m, ox ≡ y (m), si x − y es multiplo de m.

7.2.2. Proposicion. La relacion de congruencia modulo m es una relacion deequivalencia.


7.2.3. Proposicion. Sean a, b ∈ Z y m un entero mayor que 1.

(1) Si r es el resto de la division de a entre m, entonces a ≡ r mod m.

(2) Si a ≡ b mod m y 0 ≤ a, b < m, entonces a = b.

(3) a ≡ b mod m si y solo si a y b dan el mismo resto al dividirlos por m


Vemos que cada clase modulo m tiene un unico representante r entre 0 ym−1. Se le llama representante canonico y se obtiene como el resto de la divisionentera de cualquier elemento de la clase entre m. Por este motivo, a las clasesde congruencia modulo m tambien se las llama clases de restos modulo m.

Dado un entero x, denotemos por x la clase de equivalencia de representantex. Entonces, por las propiedades de las clases en una relacion de equivalencia,sabemos que

a = b o a ∩ b = ∅.

a = b si y solo si a ≡ b mod m.

a ∩ b = ∅ si y solo si a 6≡ b mod m.

7.2. CONGRUENCIAS. 81

Denotamos por Z/(m) o Zm el conjunto cociente de Z por la relacion decongruiencia modulo m, es decir,

Zm = {a | a ∈ Z}.

Por lo que hemos dicho, Zm tiene exactamente m elementos:

Zm = { 0, 1, . . . m − 1 }.

Los enteros 0, 1, . . . , m − 1 son los representantes canonicos de las clases y secorresponden con los posibles restos que se obtienen al dividir un entero entrem.

7.2.1. Propiedades aritmeticas de las congruencias

Veamos como se comportan las congruencias con la suma y el producto denumeros enteros.

7.2.4. Proposicion. Sea m un entero mayor que 1 y sean a, b, a′, b′ y c numerosenteros arbitrarios. Entonces:

1. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m, entonces a + b ≡ a′ + b′ mod m.

2. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m, entonces ab ≡ a′b′ mod m.

3. Si a ≡ b mod m, entonces ac ≡ bc mod m. El recıproco es cierto si c ym son coprimos.

4. Si c 6= 0, entonces a ≡ b mod m si y solo si ac ≡ bc mod mc.

Demostracion. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m tenemos que a − a′ = λm yb − b′ = µm para ciertos λ, µ ∈ Z. Entonces,

(a + b) − (a′ + b′) = (a − a′) + (b − b′) = (λ + µ)m,

y, por tanto, a+b ≡ a′+b′ mod m. Por otra parte, sustituyendo a por a′+λm,

ab − a′b′ = (a′ + λm)(b′ + µm) − a′b′

= a′b′ + (a′µ + b′λ + λµm)m − a′b′

= (a′µ + b′λ + λµm)m,

y, por tanto, ab ≡ a′b′ mod m. Con esto hemos probado (1 ) y (2 ).La primera parte del apartado (3 ) sigue del (2 ). Recıprocamente, si c y m

son coprimos y ac ≡ bc mod m, tenemos (a− b)c = λm para cierto λ ∈ Z. Estosignifica que c | λm y, como c y m son coprimos, tenemos que c divide a λ, esdecir, λ = cλ′. Por tanto, (a − b)c = cλ′m y, entonces a ≡ b mod m.

Finalmente, para demostrar (4 ), observemos que para un c 6= 0 se tiene quea − b = λm si y solo si ac − bc = λmc.


7.2.2. Estructuras algebraicas.

Antes de introducir la idea de estructura algebraica, permıtasenos presentarintroducir las siguientes operaciones en Zm.

7.2.5. Definicion. Sean m un entero positivo. La suma y el producto de doselementos a, b ∈ Zm estan dados por

a + b = a + b.

a · b = a · b.

La definicion anterior esta escrita en terminos de representantes de clases deequivalencia, ası que lo primero es probar que estan bien definidas (vease 4.3.4).

7.2.6. Proposicion. La suma y el producto en Zm estan bien definidas.

Demostracion. Sean a = a′ y b = b′. Tenemos que ver que a + b = a′ + b′. Peroesto es inmediato de (7.2.4).

7.2.7. Ejemplo. En el caso n = 6 las tablas de las operaciones en Z6 son:

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

· 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

Observamos en la tabla del producto que hay elementos no nulos a, b talesque ab = 0, por ejemplo, 2 · 3 = 0. De hecho, si m = rs con r y s mayores que 1,entonces r · s = m = 0 en Zm. Tambien vemos que los unicos elementos a paralos que existe un b tal que ab = 1 son 5 y 1 (5 · 5 = 1 y 1 · 1 = 1).

Las clases de restos modulo m, junto con las operaciones definidas son unejemplo mas en la lista de conjuntos dotas de suma y producto, que no sonnumeros. Este es un buen momento para considerar el concepto abstracto deoperacion binaria y las propiedades basicas. Llamamos estructuras algebraicasa los conjuntos que podemos dotar de operaciones binarias que poseen las pro-piedades basicas de la suma y el producto.

Recordemos de (2.1.7) que una operacion binaria, en un conjunto no vacıoA, digamos ◦, es una aplicacion ◦ : A×A → A, y que para a, a′ ∈ A, denotamos◦(a, a′) = a ◦ a′


7.2.8. Definicion. Sea A un conjunto no vacıo con dos operaciones binarias

+ : A × A −→ A (suma)

· : A × A −→ A (producto)

Decimos que A es un anillo si se verifica que:

1. La suma es conmutativa.

2. La suma es asociativa.

3. Existe un neutro para la suma, que denotamos 0 ∈ A.

4. Todo elemento de A tiene opuesto.

5. El producto es asociativo.

6. Existe un neutro para el producto, que denotamos 1 ∈ A.

7. El producto distribuye a la suma.

Decimos que A es anillo conmutativo si ademas de los anterior, verifica

8. El producto es conmutativo

Decimos que A es un cuerpo si ademas de los anterior, verifica

9. Cada elemento a ∈ A no nulo tiene inverso, es decir, si existe un b ∈ Atal que ab = 1.

Hasta ahora conocemos como ejemplos

1. Anillo (no conmutativo): las matrices cuadradas junto con la suma y elproducto habituales.

2. Anillo conmutativo: los enteros, los polinomios.

3. Cuerpos: hasta ahora solo los numericos.

Vamos a agregar ejemplos.

7.2.9. Proposicion. Sea m un entero positivo. El conjunto Zm junto con lasuma y producto definidos anteriormente es un anillo conmutativo.


7.2.10. Ejercicio. Probar que en cualquier anillo A:

1. El neutro bajo la suma y el neutro bajo producto son unicos.

2. El opuesto de un elemento a ∈ A es unico. Se denota −a.

3. El inverso de un elemento a ∈ A es unico. Se denota por a−1.


7.2.11. Proposicion. Sea m un entero positivo. En Zm, un elemento a tieneinverso si y solo si mcd(a, m) = 1. Tambien decimos que a tiene inverso modulom.

Demostracion. a tiene inverso si y solo si existe x tal que a · x = 1 para ciertox ∈ Z. Esto pasa si y solo si ax ≡ 1 mod m, si y solo si ax−1 = my para ciertoy ∈ Z; pero esta ecuacion diofantica tiene solucion si y solo si mcd(a, m) = 1.

7.2.12. Corolario. Zm es un cuerpo si y solo si m es primo.

Demostracion. Zm es un cuerpo si y solo si todo elemento a 6= 0 tiene inverso.Por la proposicion anterior, vemos que Zm es un cuerpo si y solo si mcd(a, m) = 1para todo a = 1, . . . , m − 1. Eso solo es posible si m es primo.

7.2.13. Ejemplo. Para calcular el inverso de 7 en Z100, buscamos un x tal que7 · x = 1, es decir, debemos resolver la ecuacion diofantica 7x − 100y = 1 en laque solo nos interesa una solucion particular (y no nos interesa la y). Usando elalgoritmo de Euclides, como vimos en el tema anterior, tenemos

7 · 43 − 100 · 3 = 1

Luego (7)−1 = 43 en Z100.

7.2.3. Algunas aplicaciones

La aritmetica modular nos proporciona el marco adecuado para tratar cues-tiones de divisibilidad con numeros enteros.

7.2.14. Proposicion. Un numero entero es divisible por 3 si y solo si la sumade sus cifras es divisible por 3.

Demostracion. Sea m ∈ Z, m > 0 y supongamos que sus cifras se escriben comoanan−1 · · · a0 con los ai entre 0 y 9. Entonces

m = an10n + · · · + a110 + a0.

m es divisible por 3 si y solo si m ≡ 0 mod 3. Pero, como 10s ≡ 1 mod 3 paratodo s, tenemos

m = an10n + · · · + a110 + a0 ≡ an + · · · + a1 + a0 mod 3

7.2.15. Ejercicio. Enunciar y demostrar un criterio de divisibilidad por 9.

A continuacion estudiamos las ecuaciones del tipo ax = b en Zm. Estasecuaciones tienen una solucion facil si a tiene inverso en Zm. Por ejemplo, con-sideremos la ecuacion 3 x = 5 en Z20. Como mcd(3, 20) = 1, vemos, por laproposicion 8, que 3 tiene inverso y es 7. Luego,

x = 7 · 3x = 7 · 5 = 35 = 15


en Z20. Lo que hemos hecho se puede expresar tambien en lenguaje de con-gruencias: la solucion de la ecuacion 3x ≡ 5 mod 20) esta formada por todoslos multiplos de 20 mas 15.

7.2.16. Proposicion. Dados los enteros a, b, t ∈ Z, los enunciados siguientesson equivalentes

(1) t es solucion de la ecuacion ax = b en Zm.

(2) t es solucion de la congruencia ax ≡ b mod m.

(3) (t, s) es solucion de la ecuacion diofantica ax−my = b para algun s ∈ Z.

Demostracion. Solo es un cambio de lenguaje entre aritmetica modular, con-gruencias y ecuaciones diofanticas.

7.2.17. Proposicion. Sean a, b, m ∈ Z con m > 1 y d = mcd(a, m). Entoncesla ecuacion ax ≡ b mod m tiene solucion si y solo si d divide a b. En este caso,la ecuacion tiene d soluciones modulo m que vienen dadas por los enteros

x0, x0 +m

d, x0 + 2

m

d, . . . , x0 + (d − 1)

m

d

donde x0 es una solucion particular. Equivalentemente, las soluciones son todoslos enteros x de la forma

x = x0 + λm

d

para λ un entero arbitrario.

Demostracion. La congruencia ax ≡ b mod m es equivalente a la ecuacionax−my = b y esta tiene solucion si y solo si d divide a b. En este caso, pongamosb = db′, a = da′ y m = dm′. Entonces, la ecuacion diofantica ax − my = b esequivalente a a′x − m′y = b′ y su solucion es (vease 7.1.31)

{x = x0 + m′ty = y0 + a′t

donde (x0, y0) es una solucion particular y t es un entero arbitrario, lo queprueba la segunda parte de la proposicion.

Si x0 + λm′ y x0 + µm′ son dos soluciones, tenemos x0 + λm′ ≡ x0 + µm′

mod m si y solo si λm′ ≡ µm′ mod dm′ si y solo si λ ≡ µ mod d y por elapartado 4 de (7.2.4) se tiene la primera parte.

7.2.18. Ejemplos. Vamos a resolver algunas congruencias.

1. 4x ≡ 3 mod 7.

Solucion. Como 4 y 7 son primos entre sı, buscamos el inverso de 4 en Z7.Rapidamente vemos que 4 · 2 = 1, luego multiplicamos ambos miembrosde la congruencia por 2 y obtenemos

x ≡ 2 · 3 = 6 mod 7.


Por tanto, la solucion unica modulo 7 es x = 6. En otras palabras, losnumeros enteros que satisfacen la congruencia son los de la forma 7λ + 6,es decir, los multiplos de 7 mas 6.

2. 77x ≡ 30 mod 180.

Solucion. En este caso tenemos 77 = 7 · 11 y 180 = 22 · 32 · 5, luegotambien son primos entre sı y la congruencia tiene solucion unica modulo180. Para calcular el inverso de 77 en Z180 recurrimos a la identidad deBezout. Despues de realizar los calculos tenemos

180 · 3 + 77 · (−7) = 1,

de donde 77(−7) ≡ 1 mod 180. Multiplicamos, pues, la congruencia por−7 y obtenemos

x ≡ −7 · 30 = −210 ≡ −30 mod 180.

Por tanto, la solucion unica modulo 180 es x = −30, es decir, los multiplosde 180 menos 30.

3. 572x ≡ 20 mod 700.

Solucion. Calculamos el maximo comun divisor de 572 y 700 mediante elalgoritmo de Euclides y obtenemos mcd(572, 700) = 4. Como 4 divide a20 la congruencia tiene 4 soluciones distintas modulo 700. Aprovechamoslos calculos hechos para expresar 4 como combinacion lineal entera de 572y 700. Obtenemos

572 · 82 + 700 · (−67) = 4.

Como 20/4 = 5, multiplicamos la congruencia por 5 y nos queda

572(410) + 700(−335) = 20

de donde una solucion paticular es x = 410. Finalmente, como 700/4 =175, la solucion general es x = 410 + 175t, con t = 0, . . . , 3. Esto dax = 410, x = 410 + 175 = 585, x = 410 + 350 = 760 ≡ 60 mod 700,x = 410 + 525 = 935 ≡ 253 mod 700.

4. 35x + 8y = 5.

Solucion. Veamos que podemos usar las congruencias para resolver estaecuacion diofantica. Si hacemos modulo 8 obtenemos

3x ≡ 5 mod 8.

El inverso de 3 modulo 8 es 3, luego x = 8λ − 1. Sustituyendo x en laecuacion tenemos 35(8λ − 1) + 8y = 5, es decir, 35λ + y = 5. Por tanto,(x, y) es solucion de la ecuacion inicial si y solo si x = 8λ − 1 y (λ, y) essolucion de 35λ + y = 5. Concluimos, pues, que la solucion general de laecuacion es {

x = −1 + 8λy = 5 − 35λ

7.3. TEOREMAS DE EULER, FERMAT Y WILSON 87

7.3. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson

A lo largo de esta seccion, seguiremos suponiendo que m es un entero posi-tivo.

7.3.1. Definicion. Definimos la funcion Φ de Euler como la aplicacion deΦ : N→ N que asigna a cada numero natural m el numero

Φ(m) = |{x ∈ N | 1 ≤ x ≤ m, mcd(x, m) = 1}|.

Por tanto, Φ(m) es la cantidad de elementos que tienen inverso en Zm. Porejemplo, Φ(1) = 1, Φ(2) = 1, Φ(3) = 2, Φ(4) = 2, Φ(12) = 4. Esta funcionpuede calcularse con el metodo que se desprende de la proposicion siguiente:

7.3.2. Proposicion. Si Φ es la funcion de Euler, se tiene

1. Φ(p) = p − 1 si p es primo.

2. Φ(pn) = pn−1(p − 1) si p es primo.

3. Si mcd(n, m) = 1, entonces Φ(nm) = Φ(n)Φ(m).

4. Si m = pn1

1 · · · pnss es la descomposicion de m en factores primos con

p1, . . . , ps primos distintos, entonces Φ(m) =∏s

i=1 pni−1i (pi − 1).

5. Si m = pn1

1 · · · pnss es la descomposicion de m en factores primos con

p1, . . . , ps primos distintos, entonces

Φ(m) = m(1 − 1

p1) · · · (1 − 1

ps)

Demostracion. 1. Es obvio.

2. Considerese, para cada a = 1, . . . , pn−1, el conjunto,

ρa = {x ∈ N | (a − 1)p < x < ap y (x, p) = 1} .

Es facil comprobar que

1. ρa ∩ ρa′ = ∅ si y solo si a 6= a′.

2. Para todo 0 ≤ x < pn, con (x, p) = 1 se tiene que x ∈ ρa, para algunaa = 1, . . . , pn−1.

3. El cardinal |ρa| = p − 1, para todo a = 1, . . . , pn−1.

De aquı se obtiene que hay exactamente pn−1(p − 1) elementos.

3. Definimos la aplicacion f : Z∗nm → Z∗

n × Z∗m tal que f(x) = (xn, xm),

donde x ≡ xn mod n y x ≡ xm mod m.Se afirma que f es biyectiva. Si f(x) = (xn, xm) = (yn, ym) = f(y) entonces

x ≡ y mod n y x ≡ y mod m, luego n | (x− y) y m | (x− y) de donde (7.1.22)


nm | (x− y). Para ver que es sobre, considerese (a, b) ∈ Z∗n ×Z∗

m. Por hipotesisexiste una identidad de Bezout 1 = rn+sm. Hacemos x = brn+asm. Entoncesx ≡ a mod n y x ≡ b mod m; es decir a = xn y b = xm.

4. Por el apartado anterior Φ(m) =∏s

i=1 Φ(pni) y por el apartado (2) setiene el resultado.

5. Inmediato de multiplicar la igualdad anterior por∏s

i=1 pi/∏s

i=1 pi

7.3.3. Ejemplo. Para calcular Φ(1000) descomponemos en factores primos

1000 = 23 · 53

y, entonces

Φ(1000) = Φ(23 · 53) = Φ(23)Φ(53) = 22 · 1 · 52 · 4 = 400

7.3.4. Teorema [Euler]. Sea m > 1 un entero. Si a es coprimo con m, en-tonces

aΦ(m) ≡ 1 mod m.

Demostracion. Sabemos que aΦ(m) ≡ 1 mod m es equivalente a aΦ(m) = 1 enZm. Consideremos el conjunto de los elementos invertibles en Zm. Sea Um ={x1, . . . , xΦ(m)

}⊂ Zm. Multiplicamos, a · Um = {a · x | x ∈ Um}.

Se afirma que Um = a · Um.⊆] Sea x ∈ Um. Entonces x = axi, luego xa−1x−1

i = 1, por tanto, x ∈ Um.⊇] Sea xi ∈ Um. Entonces xi = a(a−1xi) y es claro que a−1xi ∈ Um. Por

tanto xi ∈ a · Um.Finalmente,

Φ(m)∏

i=1

xi =

Φ(m)∏

i=1

axi = aΦ(m)

Φ(m)∏

i=1

xi.

Cancelando∏Φ(m)

i=1 xi porque es invertible, tenemos el resultado.

7.3.5. Corolario [Pequeno teorema de Fermat(primera version)]. Seap > 1 un numero primo. Entonces se cumple

ap−1 ≡ 1 mod p

para todo entero a no divisible por p.

Demostracion. Sigue del resultado anterior dado que Φ(p) = p − 1.

7.3.6. Corolario [Pequeno teorema de Fermat(seguna version)]. Seap > 1 un numero primo. Entonces se cumple

ap ≡ a mod p

para todo entero a.

7.3. TEOREMAS DE EULER, FERMAT Y WILSON 89

Demostracion. Si a es multiplo de p, entonces los dos miembros son congruentescon 0. En caso contrario se tiene ap−1 ≡ 1 mod p por el resultado anterior y,multiplicando por a, ap ≡ a mod p.

7.3.7. Ejemplo. ¿Cuales son las dos ultimas cifras del numero 1031243? Esteproblema es equivalente a saber cual es el representante canonico de 1031243

modulo 100. Para empezar

1031243 ≡ 31243 mod 100.

Ahora, dado que mcd(3, 100) = 1 podemos usar la congruencia de Euler, quedice, en este caso,

3Φ(100) ≡ 1 mod 100 =⇒ 340 ≡ 1 mod 100

dado que Φ(100) = Φ(22 · 52) = Φ(22)Φ(52) = 40. Si dividimos 1243 entre 40tenemos 1243 = 31 · 40 + 3 y, por tanto,

31243 = 331·40+3 = (340)31 · 33 ≡ 33 = 27 mod 100.

Luego las dos ultima cifras de 1031243 son 2 y 7.

Vamos a terminar con otro resultado clasico de la teorıa de los numeros.

7.3.8. Teorema [Teorema de Wilson]. Sea p un numero primo positivo.Entonces (p − 1)! ≡ −1 mod p.

Demostracion. Si p = 2 o p = 3 el resultado se puede comprobar directamente.Supongamos que p ≥ 5. Hagamos la lista de elementos invertibles de Zp es{1, 2, . . . , p − 1}. En este conjunto tenemos un numero par de elementos. Vamosa probar que, excepto 1 y p − 1 = −1, el resto de elementos tiene un inversodistinto a el. Supongamos que existiese a = k ∈ Zp tal que a2 = 1. Entoncesa2 − 1 = 0 y de aquı, (a + 1)(a − 1) = 0. Pero Zp es un cuerpo. Luego a = 1 obien a = −1.

Lo anterior significa que en la lista {1, 2, . . . , p − 1} aparecen los elementosjunto con sus inversos, excepto p − 1 = −1, ası que el producto de los elementosde la lista ha de ser −1. En terminos de congruencias (p−1)! ≡ −1 mod p.

El teorema de Wilson nos descubre propiedades muy interesantes de losnumeros, como el siguiente ejemplo.

7.3.9. Ejemplo. Sea p un primo positivo. Entonces p | (p − 1)! + 1, ya que(p − 1)! + 1 ≡ −1 + 1 ≡ 0 mod m.

Otro ejemplo.

7.3.10. Ejemplo. Recordemos que U8 = {1, 3, 5, 7}. En este caso, 32 = 1 y52 = 1. En cambio, U7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este caso, 2 · 4 ≡ 1 mod 7 y3 · 5 ≡ 1 mod 7, ası que 1 · · · 6 ≡ −1 mod 7.

Como observacion al margen del teorema de Wilson, para cualquier numeroprimo, p las raıces cuadradas de la unidad en Zp son unicamente ±1. Supongaseque a2 ≡ 1 mod p, entonces p | (a − 1)(a + 1). Como p es primo, p mod a + 1o bien p | a − 1, de donde a ≡ ±1 mod p.


7.4. Teorema chino de los restos

Este teorema es un resultado que se refiere a la resolucion de sistemas decongruencias, con ciertas restricciones. En vista de que hay congruencias que nose pueden resolver, es claro que habra sistemas de congruencas que no puedanresolverse. Vamos a comenzar por establecer el sentido de las restricciones enlos sistemas de congruencias lineales.

a1x ≡ b1 mod c1

...akx ≡ bk mod ck

En primer lugar observemos que para que el sistema tenga solucion, cadacongruencia por separado debe tenerla. Por tanto, para cada i = 1, . . . k, di-vidimos la ecuacion i-esima por mcd(ai, ci), resultando una ecuacion del tipoa′

ix ≡ b′i mod mi donde ahora mcd(a′i, mi) = 1. Si ahora multiplicamos por el

inverso de a′i modulo mi tenemos una ecuacion del tipo x ≡ ri mod mi. En

consecuencia, el problema se reduce a estudiar sistemas de congruencias del tipo

x ≡ r1 mod m1

...x ≡ rk mod mk.

El Teorema chino de los restos toma su nombre de ser artribuido al ma-tematico chino Sun Tsu o Sun Zi. De este personaje, no se sabe nada, exceptoque escribio el libro Sunzi suanjing (Manual de matematicas de Sun Zi) y quemuy probablemente vivio entre el siglo I y el siglo III dC. El manual tiene trescapıtulos. El primero sobre medida, aritmatica y algebra. Los otros dos capıtu-los son problemas (28 y 36, respectivamente) sobre aritmetica y geometrıa. ElProblema 26 del Capıtulo 3 dice:

Problema: Encontrar un numero que deje restos 2, 3 y 2, al divi-dirlo por 3, 5 y 7.

Solucion original: Tomo un numero que deje resto 1 al dividirmodulo 3, que siempre existe. Tomo ahora uno de 3 y 7 que dejeresto 1 al dividir modulo 5, que tambien existe siempre. Hago lomismo con 3 y 5, modulo 7. Por ejemplo, 70, 21 y 15 nos valen.

Ahora, cada uno se multiplica por los restos que queremos.

70 · 2 + 21 · 3 + 15 · 2 = 233.

Ese numero es solucion.

Vamos entonces a ver el resultado general.

7.4. TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS 91

7.4.1. Teorema [Teorema chino de los restos].Sean b1, . . . , bk enteros arbitrarios y m1, . . . , mk enteros positivos tales que

mcd(mi, mj) = 1 para todo i 6= j. Entonces, el sistema de congruencias

x ≡ b1 mod m1

...x ≡ bk mod mk

tiene solucion unica modulo M = m1 · · ·mk.

Demostracion. Consideremos los enteros M = m1 · · ·mk y Mi = Mmi

. Veamosque Mi y mi son primos entre sı: si p es un numero primo que divide a Mi ymi, entonces p divide a algun mj con j 6= i y llegamos a contradiccion puesmcd(mi, mj) = 1. Por tanto, Mi tiene un inverso modulo mi. Sea Ni tal queMiNi ≡ 1 mod mi y observese que MiNi ≡ 0 mod mj si j 6= i. Ahora no esdifıcil ver que el numero entero

x0 = b1M1N1 + · · · + bkMkNk

es una solucion del sistema de congruencias que es unica modulo M por laproposicion anterior.

Ahora nos ocuparemos de la unicidad. Probaremos que de haber solucion,esta es unica modulo el mınimo comun multiplo de m1, . . . , mk.

7.4.2. Proposicion. La solucion, si existe, de un sistema de ecuaciones deltipo

x ≡ r1 mod m1

...x ≡ rk mod mk.

es unica modulo mcm(m1, . . . , mk).

Demostracion. Sea M = mcm(m1, . . . , mk). Si x, y son soluciones, entoncesx, y ≡ bi mod mi, luego x ≡ y mod mi. Por tanto, x− y es multiplo de todoslos mi y, en consecuencia x ≡ y mod M .

Ahora podemos ver como hallar una solucion en el caso en que los mi seanprimos entre sı.

7.4.3. Ejemplos. Vamos a resolver los siguientes sistemas de congruencias.

1.

x ≡ r1 mod 3x ≡ r2 mod 4x ≡ r3 mod 5

Solucion. Tenemos M = 3 · 4 · 5 = 60, M1 = 20, M2 = 15 y M3 = 12, ydebemos calcular N1, N2 y N3 tales que

20N1 ≡ 1 mod 3; 15N2 ≡ 1 mod 4; 12N3 ≡ 1 mod 5.


Directamente se ve que podemos tomar N1 = 2, N2 = 3 y N3 = 3, dedonde la solucion unica modulo 60 del sistema es

x = 40r1 + 45r2 + 36r3.

2.

8x ≡ 2 mod 1015x ≡ 6 mod 219x ≡ 15 mod 24

Solucion. Vemos que cada congruencia por separado tiene solucion y di-vidiendo cada una por el maximo comun divisor apropiado el sistema esequivalente a este otro:

4x ≡ 1 mod 55x ≡ 2 mod 73x ≡ 5 mod 8.

Ahora buscamos los inversos de 4, 5 y 6 modulo 5, 7 y 8 respectivamente.A simple vista vemos que

4 · (−1) ≡ 1 mod 5; 5 · 3 ≡ 1 mod 7; 3 · 3 ≡ 1 mod 8.

Multiplicando cada ecuacion por el numero correspondiente tenemos

x ≡ −1 mod 5x ≡ 6 ≡ −1 mod 7x ≡ 15 ≡ −1 mod 8.

Sin hacer mas calculos vemos que x = −1 es solucion. En conclusion, lasolucion del sistema inicial es x = −1 modulo mcm(5, 7, 8) = 280.

3.

x ≡ 1 mod 6x ≡ 5 mod 10x ≡ 11 mod 14

Solucion. En este caso, los modulos no son primos entre sı. Notese quemcm(6, 10, 14) = 210 y no podemos aplicar el Teorema chino de los restos.Aun ası podemos proceder de la siguiente manera: las soluciones de laprimera ecuacion son los enteros de la forma

x = 6t + 1.

Sustituyendo en la segunda, tenemos

6t + 1 ≡ 5 mod 10.

Como mcd(6, 10) = 2, obtenemos 3t ≡ 2 mod 5 y podemos despejar laincognita, t ≡ 4 mod 5.

7.4. TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS 93

Ası que x = 6t + 1 = 6(5u + 4) + 1 = 30u + 25. Ahora sustituimos en laultima,

30u + 25 ≡ 11 mod 14

nos da 30u ≡ 0 mod 14 de donde 15u ≡ 0 mod 7, por lo que u = 7v.Finalmente, sustituimos x = 30 · 7v + 25 = 210 + 25. Ası que x ≡ 25mod 210.

Capıtulo 8

Polinomios

En este tema vamos a estudiar los anillos de polinomios en una variable concoeficientes en un cuerpo, haciendo especial enfasis en los cuerpos numericos.

8.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo.

8.1.1. Definicion. Sea K un cuerpo.

1. Un polinomio con coeficientes en K es una expresion de la forma

a0 + a1X + a2X2 + · · · + anXn

para un entero n ≥ 0 y elementos a0, . . . , an ∈ K.

2. Al sımbolo X se llama indeterminada y los elementos a0, . . . , an se llamanlos coeficientes del polinomio.

3. Los polinomios de la forma a0 se llaman constantes y se identifican conlos elementos del cuerpo K.

8.1.2. Notacion. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K sedenota por K[X ].

8.1.3. Definicion. Diremos que dos polionomios a0 + · · ·+ anXn y b0 + · · ·+bmXm con m ≥ n son iguales en K[X ] si ai = bi para todo i = 1, . . . , n y bj = 0para j = n + 1, . . . , m.

8.1.4. Ejemplos. Hemos visto que Q, R, C y Zp con p primo son cuerpos.Podemos considerar polinomios con coeficientes en cualquiera de estos cuerpos.

(1) 5 + 2X2 es un polinomio de Z7[X ].

(2) 1 + 2X −√

5X2 − πX3 es un polinomio de R[X ].

(3) 1 + 178 X15 es un polinomio de Q[X ].

95

96 CAPITULO 8. POLINOMIOS

(4) X − (1 + i)X3 − X7 es un polinomio de C[X ].

(5) Q[X ] ⊆ R[X ] ⊆ C[X ].

Veamos ahora como se definen la suma y producto de polinomios.

8.1.5. Definicion. Dados dos polimomios de K[X ]

A = a0 + a1X + a2X2 + · · · + anXn

B = b0 + b1X + b2X2 + · · · + bmXm

se define su suma como

A + B = (a0 + b0) + (a1 + b1)X + · · · + (an + bn)Xn

si n ≥ m (se sobreentiende que bk = 0 si k ≥ m).El producto AB se define como el polinomio C = c0+c1X+ · · ·+cn+mXn+m

cuyos coeficientes son

ck =∑

i+j=k

aibj = a0bk + a1bk−1 + · · · + akb0.

8.1.6. Ejemplos. (1) En Q[X ], R[X ] o C[X ] se tiene

(3 + X)(X2 + 2X3) = 3X2 + 7X3 + 2X4

(2) En Z3[X ],

(3 + X)(X2 + 2X3) = 3X2 + 7X3 + 2X4 = X3 + 2X4.

8.1.7. Proposicion. K[X ] es un anillo conmutativo con las operaciones desuma y producto de polinomios.


8.1.8. Definicion. Decimos que un polinomio no nulo A tiene grado n si A =a0 +a1X +a2X

2 + · · ·+anXn con an 6= 0. El grado de A se denotara por gr(A).El grado del polinomio 0 de denotara por −∞.

Sea A = a0 +a1X +a2X2 + · · ·+anXn. Llamamos coeficiente de grado i del

polimonio A al coeficiente ai. El coeficiente de grado n de un polinomio no nulode grado n se llama coeficiente lıder, coeficiente de grado maximo o coeficienteprincipal. El coeficiente de grado cero se llama termino independiente. Si unpolinomio tiene coeficiente lıder igual a 1, se llama polinomio monico

La siguiente proposicion describe las propiedades del grado, utilizando si hacefalta el convenio siguiente: −∞ + n = −∞, (−∞) + (−∞) = −∞ y −∞ < npara todo n.

8.1.9. Proposicion. Sean A, B ∈ K[X ]. Entonces

(1) gr (AB) = gr (A) + gr (B).

8.1. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO. 97

(2) gr (A + B) ≤ max {gr (A), gr (B)}.

(3) Si AB = 0, entonces A = 0 o B = 0 (entonces, K[X ] es un dominioentero. Buscar esa definicion).

(4) A tiene inverso si y solo si A es de grado 0.

Demostracion. Ejercicio. Se deduce facilmente de la definicion de grado.

Conocemos desde la educacion secundaria un algoritmo para dividir polino-mios, por ejemplo:

X3+ X − 1 2X2 − 3

12X−X3 + 3

2X

52X − 1

de donde X3 + X − 1 = (2X2 − 3)(12X) + (5

2X − 1).

Vamos a utilizar este algoritmo para demostrar que, al igual que en Z, enK[X ] tambien tenemos division entera.

8.1.10. Teorema [de la division entera]. Sea K un cuerpo conmutativo yA, B ∈ K[X ] dos polinomios con B 6= 0. Entonces, existen dos unicos polinomiosQ, llamado cociente, y R, llamado resto, en K[X ] tales que A = BQ + R ygr (R) < gr (B).

Demostracion. Empecemos por ver la existencia del cociente y el resto. Sigr (A) < gr (B), podemos tomar Q = 0 y R = A. Supongamos, por tanto,gr (A) ≥ gr (B) y procedamos por induccion sobre el grado de A. Si gr (A) = 0,entonces A = λ ∈ K con λ 6= 0. Como el grado de B es menor o igual que elgrado de A, tambien es B = µ ∈ K \ {0}. Entonces, podemos tomar Q = µ−1λy R = 0.

Por hipotesis de induccion, supongamos que el resultado a demostrar escierto para todos los polinomios A y B con gr (A) ≥ gr (B) y gr (A) ≤ k − 1y demostremoslo para un polinomio de grado k. Sean A = a0 + · · · + akXk yB = b0 + · · ·+ bmXm con ak, bm 6= 0 y k ≥ m ≥ 0. Recordando el algoritmo dela division, consideremos el polinomio

C = A − (akb−1m Xk−m)B. (8.1)

Es claro que gr (C) < gr (A) = k, ya que el termino de grado maximo de(akb−1

m Xk−m)B se cancela con el de grado maximo de A. Luego, por hipotesisde induccion, existen polinomios E y R tales que


C = BE + R y gr (R) < gr (B) (8.2)

Combinando (1) y (2) se obtiene

A − (akb−1m Xk−m)B = BE + R

y

A = (akb−1m Xk−m + E)B + R

con gr (R) < gr (B).La unicidad la dejamos como ejercicio.

8.1.11. Corolario [Teorema del resto]. Sea K un cuerpo conmutativo, a ∈ Ay A ∈ K[X ] un polinomio tal que A 6= 0. El resto de la division de A entre X−aes A(a).

Demostracion. Inmediata.

8.1.12. Ejercicio. Efectuar las siguientes divisiones enteras:

1. X5 − X4 + X3 + 4X2 − 6X + 2 entre X3 − 2X + 1 en Q[X ].

2. X5 − X4 + 2X3 + 4X2 − X + 1 entre 2X2 − 3X + 2 en Z7[X ].

8.1.13. Definicion. Dados dos polinomios A, B ∈ K[X ], decimos que A dividea B o que B es multiplo de A si existe un polinomio C tal que B = AC, esdecir, la division entera de B entre A da resto 0.

Si A divide a B y B 6= 0, decimos que A es un divisor de B.

8.1.14. Ejemplos.

1. El polinomio X + 1 divide a X2 − 1 en R[X ].

2. El polinomio X + 1 divide a X2 + 1 en Z2[X ].

3. Todo polinomio divide al polinomio 0.

4. Un polinomio de grado cero (por tanto de la forma A = λ ∈ K con λ 6= 0)divide a todos los polinomios.

8.1.15. Proposicion. Sean A, B, C ∈ K[X ].

(1) A | B y A | C ⇒ A | B + C

(2) A | B ⇒ A | B · C

(3) A | B y B | C ⇒ A | C

Demostracion. Igual que (7.1.7).

8.1. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO. 99

8.1.16. Proposicion. Sean A, B ∈ K[X ]. Entonces

A | B y B | A ⇒ A = µB para algun µ ∈ K, µ 6= 0

Demostracion. Tenemos A = BC y B = AD para ciertos polinomios C y D.Entonces A = ADC, es decir, A(1 − DC) = 0, y, por tanto, A = 0 o DC = 1.En el primer caso, B tambien es cero y se cumple que A = µB. En el segundocaso, C y D son de grado cero y tambien se cumple la condicion deseada.

8.1.17. Definicion. Dado un polinomio A ∈ K[X ], a los polinomios de laforma λA para λ ∈ K, λ 6= 0 los llamaremos polinomios asociados de A. Ob-servemos que cada polinomio tiene un unico polinomio asociado monico.

8.1.18. Definicion. Dados dos polinomios A, B ∈ K[X ], decimos que un poli-nomio D es el maximo comun divisor de A y B si cumple

1. D | A y D | B.

2. Dado S ∈ K[X ], si S | A y S | B, entonces S | D.

3. D es monico

En algunos textos, se llama maximo comun divisor a cualquier polinomioasociado al polinomio D de la definicion anterior, pues, como se vera en lasiguiente proposicion, verifican las condiciones 8.1.18(1 ) y 8.1.18(2 ).

Denotamos el maximo comun divisor de los polinomios A y B, al igual queen los enteros D = mcd(A, B).

8.1.19. Proposicion. Sean A, B ∈ K[X ]. Si D′ verifica las condiciones 8.1.18(1)y 8.1.18(2) entonces mcd(A, B) y D′ son asociados.

Demostracion. Sea D = mcd(A, B). De las condiciones deducimos que D | D′

y D′ | D.

El maximo comun divisor puede calcularse tambien mediante el algoritmode Euclides, pues este se basa unicamente en la division entera. Por tanto, norepetiremos los argumentos teoricos que usamos con Z. Veamos un ejemplo.

8.1.20. Ejemplo. Para calcular el maximo comun divisor de los polinomiosA = X5 −X4 + X3 −X2 y B = X3 − 2X2 + X − 2 procedemos de la siguienteforma:

X5 − X4 + X3 − X2 = (X2 + X + 2)(X3 − 2X2 + X − 2) + 4x2 + 4

X3 − 2X2 + X − 2 = (1

4X − 1

2)(4X2 + 4) + 0.

Ası que 4X2 + 4 o cualquier otro de la forma µ(4X2 + 4) con µ 6= 0 esasociado del maximo comun divisor que es, en este caso, X2 + 1.


Tambien podemos calcular polinomios R y S tales que X2 +1 = A ·R+B ·S(identidad de Bezout). Solo tenemos que despejar en la primera ecuacion delejemplo anterior

4X2 + 4 = A + B(−X2 − X − 2),

dividimos por 4 y obtenemos la expresion del maximo comun divisor,

X2 + 1 = A(1

4) + B(−1

4X2 − 1

4X − 1

2).

8.1.21. Definicion. Dos polinomios A, B ∈ K[X ] se llaman coprimos o primosentre sı en caso de que mcd(A, B) = 1.

Al igual que en Z tenemos los siguientes resultados:

8.1.22. Proposicion. Sean A, B, C ∈ K[X ]. Entonces A y B son coprimos siy solo si existen S, T ∈ K[X ] tales que SA + TB = 1.

Demostracion. Igual que (7.1.20)

8.1.23. Proposicion. Sean A, B ∈ K[X ] tales que A | BC. Si A y B soncoprimos, entonces A | C.

Demostracion. Igual que (7.1.21).

8.1.24. Proposicion. Sean A, B ∈ K[X ] con alguno de los dos no nulo. SiD = mcd(A, B) entonces A/D y B/D son coprimos.

Demostracion. Igual que (7.1.23)

Vamos ahora a definir el mınimo comun multiplo

8.1.25. Definicion. Dados dos polinomios A, B ∈ K[X ], decimos que un poli-nomio M es el mınimo comun multiplo de A y B si cumple

1. A | M y B | M .

2. Dado N ∈ K[X ], si A | N y B | N , entonces M | N .

3. M es monico.

Al igual que con el maximo comun divisor, cualquier polinomio que cumplalas condiciones 8.1.25(1 ) y 8.1.25(2 ) sera asociado al mınimo comun multiplo,como se mostrara mas adelante. Como en el caso de los numeros enteros, deno-tamos el mınimo comun multiplo de A y B con mcm(A, B).

8.1.26. Proposicion. Sean A, B ∈ K[X ]. Si M ′ cumple las condiciones 8.1.25(1)y 8.1.25(2) entonces mcm(A, B) y M ′ son asociados.

Demostracion. Sea M = mcm(A, B). De las condiciones 8.1.25(1 ) y 8.1.25(2 )deducimos que M | M ′ y M ′ | M .

El mınimo comun multiplo puede calcularse a partir del maximo comundivisor al igual que sucedıa con los numeros enteros:

8.2. RAICES DE POLINOMIOS. 101

8.1.27. Proposicion. Sean A, B ∈ K[X ] dos polinomios no nulos. Entonces

mcm(A, B) = µ · AB

mcd(A, B)

donde µ ∈ K es un escalar adecuado para obtener un polinomio monico.

Demostracion. Analoga a la de (7.1.28)

8.1.28. Ejemplo. Segun el ejemplo de (8.1.20) tenemos que

(X5 − X4 + X3 − X2)(X3 − 2X2 + X − 2)

X2 + 1

es un polinomio monico, de donde,

mcm(A, B) = X6 − 3X5 + 3X4 − 3X3 + 2X2.

El Teorema Fundamental de la Aritmetica nos dice que todo numero enterodescompone como producto de primos. ¿Tenemos el resultado analogo para po-linomios? El equivalente a los numeros primos parece facil: son los polinomiosirreducibles. Un polinomio P no nulo es irreducible si, siempre que A divida aP , el polinomio A debe ser de grado cero o de la forma µP con 0 6= µ ∈ K. Peroantes estudiemos las raıces de polinomios.

8.2. Raıces de polinomios.

Como consecuencia del Teorema del resto (8.1.11), todo polinomio A =a0 + a1X + · · · + anXn ∈ K[X ] define una aplicacion que llamaremos funcionpolinomial, A : K → K dada por A(r) = a0 + a1r + · · · + anrn.

8.2.1. Definicion. Dado un polinomio A ∈ K[X ] y un elemento r ∈ K, deci-mos que r es una raız de A en K si A(r) = 0.

8.2.2. Ejemplos.

1. Segun la definicion anterior, todo elemento de K es raız del polinomiocero.

2. r = 1/2 es raız del polinomio 3X3 − 2910X2 − 1

10X + 25 ∈ Q[X ].

3. r = 3 es raız del polinomio X2 + X + 1 ∈ Z13[X ].

4. El polinomio X2 + X + 1 no tiene raıces en R.

5. r = −12 +

√3

2 i es raız del polinomio X2 + X + 1 ∈ C[X ].

6. Un polinomio de grado 1 es de la forma aX + b con a 6= 0 y, por tanto,tiene tiene la raız − b

a .


7. Escribimos el cuerpo Z2 = {0, 1}. En Z2[X ] tenemos tres polinomios (di-ferentes, claro) A = X + 1, B = X2 + 1 y C = X3 + X2 + X + 1. Todosdeterminan la misma funcion polinomial pues A(0) = B(0) = C(0) = 1 yA(1) = B(1) = C(1) = 0.

8. Muy pronto veremos que lo anterior no es posible en K[X ], si K es uncuerpo infinito.

8.2.3. Proposicion. Sea A = a0 + a1X + · · ·+ anXn un polinomio de grado ncon coeficientes enteros. Si un numero racional p

q con p y q primos entre sı esraız de A, entonces p divide a a0 y q divide a an.

Demostracion. Si pq es raız de A, entonces

a0 + a1p

q+ · · · + an(

pn

qn) = 0,

es decir,

a0qn + a1pqn−1 + · · · + an−1p

n−1q + anpn = 0.

Luego vemos que p divide a0qn y q divide a anpn. Como p y q son primos entre

sı, obtenemos la conclusion deseada.

8.2.4. Ejemplos. 1. Un polinomio monico con coeficientes enteros solo pue-de tener raıces racionales enteras (ademas de raıces reales y complejas,claro).

2. Las posibles raıces racionales del polinomio 18X3 + 15X2 − 4X − 4 son

±1, ±2, ±4, ±1

2, ±1

3, ±1

6, ±1

9, ± 1

18, ±2

3, ±2

9, ±4

3, ±4

9.

Entre estas posibilidades comprobamos que 12 y − 2

3 son efectivamenteraıces.

8.2.5. Proposicion [Ruffini]. Sea K un cuerpo y A un polinomio de K[X ].Un elemento a ∈ K es raız de A si y solo si X − a divide a A.

Demostracion. Inmediato del Teorema del resto (8.1.11)

8.2.6. Definicion. Un elemento a ∈ K es una raız de multiplicidad s ≥ 1 deun polinomio A ∈ K[X ] si (X − a)s divide a A pero (X − a)s+1 no divide a A.Decimos que a es una raiz multiple de A si tiene multiplicidad mayor que 1. Sitiene multiplicidad 1 decimos que a es una raız simple.

8.2.7. Corolario. Sea K un cuerpo y A un polinomio de K[X ] de grado a lomas n ≥ 1. Entonces, A tiene a lo sumo n raıces, contando cada raız tantasveces como indica su multiplicidad.

8.3. IRREDUCIBILIDAD Y TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA.103

Demostracion. Procedemos por induccion sobre n. Para n = 1, el polinomioA es de la forma A = aX + b y tiene solo una raız. Supongamos cierto elenunciado para polinomios de grado n y sea A de grado n + 1. Si A no tieneraıces, el enunciado es trivialmente cierto. Si, por el contrario, a es una raız deA, entonces A = (X − a)B con B un polinomio de grado n. Por la hipotesisde induccion, B tiene a lo sumo n raıces y, por tanto, A tiene a lo sumo n + 1raıces.

8.2.8. Corolario. Sea K un cuerpo.

1. Si A es un polinomio de grado n ≥ 0 y existen m elementos distintosa1, . . . , am de K tales que A(ai) = 0 con m > n, entonces A es el polinomiocero.

2. Si A y B son polinomios de grado a lo sumo n ≥ 0 y existen m elementosdistintos a1, . . . , am de K tales que A(ai) = B(ai) con m > n, entoncesA = B.

Demostracion. (1) Segun el corolario anterior, el polinomio A debe tener gradomenor que uno. Si A tiene grado 0 entonces A = r 6= 0, luego no tiene raıces.Solo queda que A = 0.

(2) En este caso A − B es un polinomio de grado a lo sumo n y con m > nraıces. Luego A − B = 0.

8.2.9. Corolario. Sea A = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ K[X ] un polinomio degrado n que tiene n raıces r1, . . . , rn (no necesariamente distintas). Entonces

A = an(X − r1) · · · (X − rn).

Demostracion. Sea B = an(X − r1) · · · (X − rn). Entonces B = anXn + · · · y,por tanto, el polinomio A − B tiene grado menor o igual que n − 1 y tiene nraıces. Por tanto, A = B

8.3. Polinomios irreducibles en R[X] y C[X].Teorema fundamental del algebra.

8.3.1. Definicion. Un polinomio P ∈ K[X ] de grado mayor o igual que uno sedice irreducible si para toda descomposicion P = QR con Q, R ∈ K[X ], se tieneque, o bien el grado de Q es cero, o bien el grado de R es cero. Un polinomioque no sea irreducible se llama reducible.

8.3.2. Ejemplos.

1. Un polinomio de grado 1 es de la forma aX + b con a 6= 0 y es irreducible.En efecto, si aX + b = PQ entonces 1 = gr(P ) + gr(Q) y necesariamenteP o Q es de grado cero.


2. Si un polinomio de grado 2 no es irreducible, entonces tiene dos raıces enK que pueden ser dos raıces de multiplicidad 1 o una raız de multiplicidad2. Dejamos como ejercicio la demostracion.

3. Un polinomio P de grado 3 es irreducible si y solo si no tiene ningunaraız en K. En efecto: si P descompone debe hacerlo como producto de unpolinomio de grado 1 por un polinomio de grado 2. El polinomio de grado1 tiene una raız en K.

4. Si el grado de un polinomio es 5, puede que el fenomeno anterior ya noocurra. Considerese A ∈ Z2[X ], tal que A = (X3 + X + 1)(X2 + X + 1) =X5 + X4 + 1. En este caso, A no tiene raıces en Z2.

5. El polinomio X2−2 no tiene raıces en Q, luego es irreducible en Q[X ]. Sinembargo, como polinomio de R[X ] o C[X ] es reducible pues se descomponecomo (X +

√2)(X −

√2)

6. El polinomio P = X4+2X3+3X2+2X+1 no tiene raıces enQ (ejercicicio)pero no es irreducible en Q[X ] pues P = (X2 + X + 1)2.

8.3.3. Teorema. Sea K un cuerpo. Todo polinomio de K[X ] de grado mayoro igual que 1 factoriza como producto de polinomios irreducibles. Esta factori-zacion es unica salvo asociados y el orden de los factores.

Demostracion. Ejercicio. Basta reproducir la demostracion del Teorema Funda-mental de la Aritmetica.

Despues de este resultado nos gustarıa saber como son los polinomios irre-ducibles. La respuesta es facil en el caso complejo y viene dada por el llamadoTeorema Fundamental del Algebra, cuya demostracion se atribuye a C. F. Gaussaunque no por consenso.

8.3.4. Teorema [Teorema Fundamental del Algebra]. Todo polinomio deC[X ] de grado mayor que cero tiene al menos una raız en C.

Demostracion. La demostracion esta fuera del alcance de nuestro curso.

8.3.5. Corolario.

1. Un polinomio de C[X ] es irreducible si y solo si es de grado 1.

2. Todo polinomio A de grado n ≥ 1 de C[X ] factoriza como

A = α(X − α1) · · · (X − αn)

para ciertos numeros complejos α, α1, . . . , αn.

Demostracion. Consecuencia inmediata del teorema anterior.

8.3. IRREDUCIBILIDAD Y TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA.105

8.3.6. Ejemplo. Consideremos el polinomio X8 − 1 ∈ C[X ]. Sus raıces son lasraıces octavas de la unidad. A simple vista vemos que 1, −1, i y −i son raıces,por lo que el polinomio es divisible por (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i):

X8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)(X4 + 1).

Las raıces de (X4 + 1) corresponderan con las raıces octavas primitivas de launidad, que son:

z1 = cos π4 + i sin π

4 =√

22 +

√2

2 i

z3 = cos(π4 + π

2 ) + i sin(π4 + π

2 ) = −√

22 +

√2

2 i

z5 = cos(π4 + π) + i sin(π

4 + π) = −√

22 −

√2

2 i = z3

z7 = cos(π4 + 3π

2 ) + i sin(π4 + 3π

2 ) =√

22 −

√2

2 i = z1.

Por tanto, la factorizacion de X8 − 1 en producto de polinomios irreducibles enC[X ] es

X8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)(X − z1)(X − z1)(X − z3)(X − z3).

¿Como serıa la factorizacion en producto de irreducibles en R[X ]? Si efec-tuamos el producto de las tres ultimas parejas de factores en la descomposicionanterior tenemos

X8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X2 + 1)(X2 +√

2X + 1)(X2 −√

2X + 1).

Finalmente, la factorizacion en Q[X ] es

(X − 1)(X − 1)(X2 + 1)(X4 + 1).

8.3.7. Proposicion. Si α = a + bi es una raız compleja de un polinomio A ∈R[X ], entonces su conjugado α = a − bi tambien es raız de A.

Demostracion. Sea A = a0 + a1X + a2X2 + · · · + anXn. Por hipotesis, a0 +

a1α + a2α2 + · · · + anαn = 0 y como 0 = 0 entonces

a0 + a1α + · · · + anαn = a0 + a1α + · · · + anαn = a0 + a1α + · · · + anα n.

8.3.8. Corolario. Sea P ∈ R[X ] un polinomio irreducible. Entonces, o bien Ptiene grado 1, o bien P es un polinomio de grado 2 sin raıces reales.

Demostracion. Es claro que los polinomios de grado 1 o de grado 2 sin raıcesreales son irreducibles. Supongamos que P tiene grado mayor que 2. Queremosver que no es irreducible. Por el Teorema Fundamental del Algebra, P tienealguna raız α ∈ C. Si α ∈ R entonces P es divisible por X−α y no es irreducible.Si α 6∈ R entonces α tambien es raız y P es divisible por (X − α)(X − α). Seaα = a + bi. Entonces (X − α)(X − α) = X2 − 2aX + (a2 + b2) ∈ R[X ] y P noes irreducible.


8.4. Factores multiples.

Vamos a ver un criterio que nos permite saber cuando un polinomio tienefactores irreducibles de multiplicidad mayor que 1.

8.4.1. Definicion. Sea K un cuerpo y A un polinomio de K[X ]. Dado P , unpolinomio irreducible de K[X ], decimos que P es un factor de A de multiplicidads ≥ 1 si P s divide a A pero P s+1 no divide a A. Decimos que P es un factormultiple de A si s > 1. Si s = 1 decimos que P es un factor simple.

8.4.2. Definicion. Dado un cuerpo K, se define la derivada formal de un po-linomio A = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ K[X ] como el polinomio

A′ = a1 + 2a2X + 3a3X2 + · · · + nanXn.

8.4.3. Observacion. Es facil ver, y se deja como ejercicio, que la derivadaformal cumple las propiedades que cumple la derivada de funciones reales devariable real respecto de la suma y producto de funciones.

8.4.4. Proposicion. Sea K = Q, R o C y sea P un polinomio de K[X ] degrado mayor o igual que 1. El polinomio P tiene factores irreducibles multiplesen K[X ] si y solo si mcd(P, P ′) 6= 1.

Demostracion. Sea Q un factor irreducible de P de multiplicidad s ≥ 1. Enton-ces, P = QsR para cierto polinomio R no divisible por Q. Vamos a probar queQ es un factor irreducible de P ′ de multiplicidad s − 1. En efecto, derivando

P ′ = s Qs−1Q′R + QsR′ = Qs−1(s Q′R + QR′).

Luego Qs−1 divide a P ′. Supongamos que Qs | P ′. Cancelamos Qs−1 yobtenemos que Q divide a s Q′R+QR′, luego Q | s Q′R. Como Q es irreducibley no puede dividir a Q′ pues el grado de Q′ es menor que el de Q 1, tenemosque Q divide a R, lo cual es contradictorio.

Procedamos ahora a la demostracion del resultado.

(⇒) Sea Q un factor irreducible de P de multiplicidad s > 1. Entonces, comohemos visto, Q es un factor irreducible de P ′ de multiplicidad s − 1 ≥ 1 y, portanto, mcd(P, P ′) 6= 1.

(⇐) Supongamos D = mcd(P, P ′) con gr (D) ≥ 1. Sea Q un factor irreduci-ble de D y supongamos que la multiplicidad de Q en P es s. Vamos a demostrarque s > 1. Hemos visto al principio que Q es un factor irreducible de P ′ conmultiplicidad s − 1. Como, por hipotesis, Q divide a P ′, vemos que s − 1 nopuede ser cero, es decir, s > 1.

1Es en este punto en el que utilizamos que K es un cuerpo numerico. Si K fuese, porejemplo, Zp, se podrıa dar el caso de que Q′ fuese nulo. A pesar de ello, el resultado tambienes cierto en Zp.

8.5. POLINOMIOS IRREDUCIBLES EN Q[X ]. 107

8.5. Polinomios irreducibles en Q[X].

En Q[X ] no tenemos una descripcion de los polinomios irreducibles parecidaal caso real pero vamos a dar algunos criterios utiles y, para ello, necesitamosdemostrar algunos resultados previos.

8.5.1. Definicion. Dado un polinomio P con coeficientes enteros, se llama con-tenido de P al maximo comun divisor de los coeficientes de P y se denotara porc(P ).

Un polinomio P se llama primitivo si c(P ) = 1, es decir, si el maximo comundivisor de sus coeficientes es 1.

8.5.2. Lema. Dado un polinomio A ∈ Q[X ] existe un numero p/q ∈ Q tal queA = p

q A′ con A′ primitivo.

Es decir, todo polinomio de Q[X ] es asociado de un polinomio primitivo.


8.5.3. Ejemplo.

6

5X2 +

10

3X +

2

5=

2

15

15

2

(6

5X2 +

10

3X +

2

5

)

=2

15(9X2 + 25X + 5)

8.5.4. Notacion. Dado un polinomio A = a0 + a1X + · · · + anXn con ai ∈ Zy un numero primo p, denotaremos por A, al polinomio

A = a0 + a1 X + · · · + an Xn ∈ Zp[X ].

En ocasiones, con el fin de simplificar la notacion, se omitira la raya queindica la clase modulo p.

8.5.5. Lema. Sea p un numero primo y sean P, Q dos polinomios con coefi-cientes enteros.

(a) Si R = P + Q, entonces R = P + Q en Zp[X ].

(b) Si R = PQ, entonces R = P Q en Zp[X ].


8.5.6. Proposicion [Lema de Gauss]. Sean A y B dos polinomios con coe-ficientes enteros. Entonces c(AB) = c(A)c(B).

Demostracion. Veamos primero que el producto de polinomios primitivos esprimitivo. Procederemos por reduccion al absurdo. Supongamos pues que c(A) =c(B) = 1, pero que c(AB) 6= 0. Sea C = AB. Entonces existe un numero primop tal que p | c(C) y por tanto, en Zp[X ] se tiene que 0 = C = AB. Luego A = 0

o bien B = 0, ası que p | c(A) o bien p | c(B), lo cual es absurdo.En general, hacemos A = c(A)A′ y B = c(B)B′ con A′ y B′ primiti-

vos. Entonces AB = c(A)c(B)A′B′. Dado que A′B′ es primitivo, es claro quec(AB) = c(A)c(B).


8.5.7. Proposicion. Sea A un polinomio con coeficientes enteros. Si A factori-za como producto de dos polinomios de grado mayor que cero en Q[X ], entoncesA factoriza como producto de dos polinomios de grado mayor que cero con coe-ficientes enteros.

Demostracion. Supongamos que A = PQ con P, Q ∈ Q[X ] de grado mayor quecero. Por (8.5.2), A = rA′, P = (a/b)P ′ y Q = (c/d)Q′ con a, b, c, d, r ∈ Z yP ′, Q′, A′ primitivos (con coeficientes enteros). Entonces

rbdA′ = ac P ′Q′

y por el lema de Gauss rbd = ac, es decir, (a/b)(c/d) = r. En consecuenciaA = (rP ′)Q′ y A es producto de dos polinomios de grado mayor que cero concoeficientes enteros.

8.5.8. Proposicion [Criterio de reduccion]. Sea P un polinomio con coe-ficientes enteros y sea p un numero primo que no divide al coeficiente lıder deP . Entonces, si P es irreducible en Zp[X ], P es irreducible en Q[X ].

Demostracion. Primero notese que, como p no divide al coeficiente lıder de Pse tiene que grP = grP . Supongamos que P se factoriza, digamos P = BC.Por el resultado anterior, podemos suponer que B y C son polinomios concoeficientes enteros, y por otra parte grP = grB +grC. Como P = BC entoncesgrB +grC = grP = grP , luego grB = grB y grC = grC. Como P es irreducible,uno de los sumandos debe de ser 0.

8.5.9. Ejemplo. Consideremos el polinomio

P =2

3X3 + 2X2 +

8

3X +

2

3.

P irreducible en Q[X ] si y solo si lo es el polinomio

3

2P = X3 + 3X2 + 4X + 1.

Este ultimo modulo 2 es (no ponemos rayitas) X3 + X2 + 1 que es irreducibleen Z2[X ] pues es de grado 3 y no tiene raıces. Luego el criterio anterior nosasegura que P es irreducible en Q[X ].

8.5.10. Proposicion [Criterio de irreducibilidad de Eisenstein]. Sea P =a0 + a1X + · · · + anXn un polinomio con coeficientes enteros de grado n ≥ 1.Supongamos que existe un numero primo p tal que p | aj con j = 0, . . . , n − 1,pero p ∤ an y p2 ∤ a0. Entonces, P es irreducible en Q[X ].

Demostracion. Usando (8.5.7), supongamos que P = BC con B, C dos polino-mios de grado mayor que cero y coeficientes enteros. En concreto, pongamosB = b0 + b1X + · · · + buXu y C = c0 + c1X + · · · + cvX

v. En Zp[X ] tenemos

que P = anXn, un monomio y por (8.3.3) tendra que ocurrir que B = bsXs y

8.5. POLINOMIOS IRREDUCIBLES EN Q[X ]. 109

C = ctXt con s, t ≥ 1; es decir, que tambien se obtengan monomios. En parti-

cular, p divide a b0 y c0 y, por tanto, p2 divide a a0 = b0c0, lo cual contradicelas hipotesis.

8.5.11. Ejemplos. 1. El polinomio 2X4 +6X3−15X2 +6 es irreducible enQ[X ] por el criterio anterior con el primo p = 3.

2. Sea p un numero primo. El polinomio Xn + p es irreducible en Q[X ] porel criterio de Eisenstein. Por tanto, en Q[X ] hay polinomios irreduciblesde cualquier grado.

8.5.12. Proposicion [Criterio de sustitucion]. Sea K un cuerpo conmuta-tivo y P un polinomio de K[X ]. El polinomio P (X) es irreducible si y solo siP (X − a) con a ∈ K es irreducible, con a ∈ X.


8.5.13. Ejemplos. 1. Si en el polinomio X4−6X3 +12X2−10X +5 susti-tuimos X por X+1 se obtiene el polinomio X4−2X3+2 que es irreduciblepor el criterio de Eisenstein.

2. Sea p un numero primo y consideremos el polinomio Xp−1. Factorizamospor X − 1 y obtenemos

Xp − 1 = (X − 1)(Xp−1 + Xp−2 + · · · + X + 1).

Φp = Xp−1 + Xp−2 + · · · + X + 1 se denomina el p-esimo polinomio ci-clotomico y vamos a ver que es irreducible enQ[X ]. Para ello, sustituyamosX por X + 1 y desarrollemos por el binomio de Newton

(X + 1)p − 1 = Xp +

(p1

)

Xp−1 + · · · +(

pp − 1

)

X.

Por tanto,

Φp(X + 1) =(X + 1)p − 1

(X + 1) − 1= Xp−1 +

(p1

)

Xp−2 + · · · +(

pp − 1

)

.

Dado que los numeros combinatorios

(pk

)

con 1 ≤ k ≤ p − 1 son

divisibles por p (¿por que?) podemos aplicar el criterio de Eisenstein paraobtener la conclusion deseada.

Apendice A

A.1. La funcion sucesor

El siguiente ejercicio nos muestra que la definicion de sucesor es consistente.

A.1.1. Ejercicio. Sea n un cardinal. Probar que si |A| = |B| entonces |A ∪ {x}| =|B ∪ {y}|, con x 6∈ A e y 6∈ B.

Vamos a justificar las afirmaciones hechas en (5.1.12).

A.1.2. Proposicion. Si A es un conjunto finito y x 6∈ A entonces A ∪ {x}tambien es finito.

Demostracion. Sea B = A ∪ {x} y supongamos que B es infinito. Entoncesexiste B′ ( B, junto con una biyeccion f : B → B′.

Si B′ ⊂ A entonces componemos Ai→ B

f−−→ B′, donde i : A → B es lainclusion natural. Se tiene que |A| = |Im(f ◦ i)| y por tanto A es infinito, lo cuales imposible. Si ocurre que B′ * A entonces ha de ocurrir que x ∈ B′ y existea ∈ A \ B′. Hacemos C = (B′ \ {x}) ∪ {a}. Claramente |C| = |B′| y aplicamosa C el caso anterior.

Ahora, podemos definir una aplicacion σ : N→ N tal que σ(n) = n∗. Vamosa ver que es inyectiva.

Supongamos que n y m son cardinales tales que n∗ = m∗. Queremos probarque n = m. Sean A y B representantes de n y m, respectivamente. Por hipotesis,existen x 6∈ A e y 6∈ B, junto con una aplicacion f : A∪{x} → B∪{y}, biyectiva.Queremos construir una biyeccion g : A → B. Para ello, vamos a considerar doscasos. Primero, si f(x) = y, definimos g(a) = f(a), para todo a ∈ A. Es obvioque g es biyectiva. Segundo caso: f(x) 6= y. Sean ay ∈ A tal que f(ay) = y ybx ∈ B tal que f(x) = bx. Es claro que x 6= ay e y 6= bx. Entonces definimos

g(a) =

{

f(a) si a 6= ax

bx si a = ay

que tambien claramente es una biyeccion.

111

112 APENDICE A. APENDICE

A.2. Operaciones en N

Vamos a ver algunas demostraciones de las propiedades de las operacionesdefinidas en (5.1.24 y 5.1.26).

Recordemos la defincion de suma. Para n ∈ N, definimos

1. n + 1 = n∗.

2. Si tenemos definida n + m entonces n + m∗ = (n + m)∗.

Lo anterior viene a decir que n+(m+1) = (n+m)+1. Probaremos algunasde las siguientes propiedades, donde ya escribiremos n + 1 en vez de n∗.

Propiedades de la suma en N.

1. (n + 1) + m = n + (m + 1)

2. n + m = m + n (conmutatividad).

3. (n + m) + r = n + (m + r) (asociatividad).

4. Si a + c = b + c entonces a = b (cancelacion).

Demostracion. 1. Fijado n ∈ N, procederemos por induccion sobre m. Param = 1 se tiene, por definicion, (n+1)+1 = n+(1+1). Supongamos valido que(n + 1) + m = n + (m + 1). Para m + 1, usando la definicion y la hipotesis deinduccion hacemos (n + 1)+ (m + 1) = ((n + 1) + m) + 1 = (n + (m + 1)) + 1 =n + ((m + 1) + 1).

2. Fijado n, procederemos por induccion sobre m. Primero tenemos queprobar que n + 1 = 1+ n. Para este primer paso de induccion, ya procederemospor induccion. Para n = 1, es claro que 1 + 1 = 1 + 1. Supongamos valido quen + 1 = 1 + n. Ahora, por hipotesis de induccion y por definicion, (n + 1) + 1 =(1 + n) + 1 = 1 + (n + 1). Esto prueba el primer paso de la induccion.

Supongamos que n + m = m + n. Ahora, por la definicion y la Propiedad 1,n + (m + 1) = (n + m) + 1 = (m + n) + 1 = m + (n + 1) = (m + 1) + n.

3. Procederemos por induccion sobre r. Para r = 1, (n+m)+1 = n+(m+1),por la definicion. Supongamos valido que (n+m)+r = n+(m+r). Ahora, por ladefinicion y por la hipotesis de induccion, (n+m)+(r+1) = ((n+m)+r)+1 =(n + (m + r)) + 1 = n + ((m + r) + 1) = n + (m + (r + 1)).

4. Procedemos por induccion sobre c. Para cualesquiera a, b ∈ N y c = 1,notese que a + 1 = b + 1 implica a∗ = b∗ y esto a su vez implica que a = bporque la funcion sucesor es inyectiva. Supongamos valido que a + c = b + cimplica a = b, para todo a, b ∈ N. Ahora a + (c + 1) = b + (c + 1) implica(a + c) + 1 = (b + c) + 1 y por el caso c = 1, se tiene a + c = b + c. Finalmentepor hipotesis de induccion se tiene que a = b.

Tambien se pueden consultar en [10, pp. 56-59], por ejemplo.

Recordemos la definicion de producto en N. Para n, m ∈ N, definimos

1. n · 1 = n.

A.2. OPERACIONES EN N 113

2. Si tenemos definido n · m entonces n · (m + 1) = n · m + n.

Propiedades del producto.

1. (n + 1)m = nm + m.

2. nm = mn (conmutatividad).

3. n(m + k) = nm + nk (distributividad).

4. n(mk) = (nm)k (asociatividad).

Demostracion. 1. Procederemos por induccion sobre m. Para m = 1, (n+1)·1 =n+1 = n·1+1. Supongamos valido (n+1)m = nm+m. Ahora, por la definicion,por hipotesis de induccion y por las propiedades de la suma, (n + 1)(m + 1) =(n+1)m+(n+1) = (nm+m)+(n+1) = nm+n+(m+1) = n(m+1)+(m+1).

2. Primero probaremos que 1 · m = m, por induccion. Para m = 1 es obvio.Supongamso valido que 1 · m = m. Ahora 1 · (m + 1) = 1 · m + 1 = m + 1.Ahora, fijado m, procedemos por induccion sobre n. Para n = 1 ya tenemos que1 · m = m. Supongamos valido que nm = mn. Ahora (n + 1)m = nm + m =mn + m = m(n + 1).

3. Fijamos m, k ∈ N. Para n = 1 viene de la definicion y la conmutatividad.Supongamos valido n(m + k) = nm + nk. Ahora (n + 1)(m + k) = n(m + k) +m + k = nm + nk + m + k = nm + m + nk + k = (n + 1)m + (n + 1)k.

4. Fijamos m, k. Para n = 1 es obvio. Supongamos valido n(mk) = (nm)k.Ahora, por definicion, conmutatividad y distributividad, (n+1)(mk) = n(mk)+mk = (nm)k + mk = (nm + m)k = ((n + 1)m)k.

Puede verse en [10, pp. 59-61]

114 APENDICE A. APENDICE

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curso de conjuntos y números. apuntes

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