números reales y conjuntos
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NÚMEROS REALESIng. Ana María Arellano
Abril, 2017
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Contenidos a Desarrollar
• Conjuntos
• Números enteros
• Números reales
• Propiedades de los números reales
• Operaciones con números reales
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Conjuntos
• Es una colección de objetos.
• Un Objeto de un conjunto se denomina Elemento o
Miembro
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Números Enteros
Enteros positivos o Naturales
ℕ = 1, 2, 3, 4,…
Enteros
– En el sistema de los números naturales ecuaciones del tipo X + 1 = 0, NO
TIENEN SOLUCIÓN, al igual que los valores de deudas, depresiones del
terreno, nivel bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, que no es
posible representarlas con tales números.
– Se extiende el sistema de los números naturales a un nuevo sistema en el
que tales ecuaciones y situaciones sean posibles. Como la unión de los
números enteros positivos y los números enteros negativos:
ℤ = … ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, …
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Operaciones con Números Enteros OPERACION DEFINCION EJEMPLOS
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Ejercicios de Aplicación Números Enteros
1. Se realiza un conteo de los alumnos que se inscribieron a la
carrera de Ingeniería de Sistemas de la Universidad Ecotec en
los últimos 3 años
2014 = 52
2015 = 60
2016 = 82
¿Cuántos alumnos se tienen en total en el año 2015? ¿Cuántos
alumnos se tienen en total en el año 2016? ¿Cual es el promedio
de alumnos que se inscribieron?
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Ejercicios de Aplicación Números Enteros
2. Pedro Jesús es un estudiante desea reconocer los posibles
gastos que va a realizar el siguiente mes de Mayo, tomando en
cuenta lo siguiente: $2500 inscripción, $2000 mensualidad, pero
el gana al mes $1700 y lleva solamente trabajado un mes,
cuánto dinero tiene que conseguir para poder seguir estudiando.
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Números Reales
• Comprenden todos los números que ocupan la recta numérica punto a
punto.
• Comprenden las mismas operaciones de los números racionales (suma,
resta, multiplicación y división, salvo por cero)
R QZ
N
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Números Reales
• Comprenden todos los números que ocupan la recta numérica punto a punto.
• Números racionales
– Son aquellos que puede escribirse como Τ𝑝 𝑞, donde p y q son enteros y q
≠ 0
ℚ 𝑥 =𝑝
𝑞⋮ 𝑝 𝑦 𝑞 𝜖 ℤ, 𝑞 ≠ 0
– Todo entero es un número racional
• Números irracionales
– Números que se representan por decimales no repetidos que no terminan
– “Todo número de la forma 𝑛 𝑎 donde a es un número natural que no es la
potencia enésima de otro número natural”
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TALLER 1
En los problemas del 1 al 12, clasifique los enunciados como verdaderos o
falsos. Si es falso, dé una razón.
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Propiedades de Números Reales
• Propiedad transitiva de la igualdad
Si a = b y b = c, entonces a = c
Ejemplo
Sea a = 3/8, b = 6/16 y c= 0,375 demuestre la propiedad transitiva.
• Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación
Suma a + b = b + a y Multiplicación ab = ba
Ejemplo
2/3 + 5/4 = 5/4 + 2/3
7(-4) = (-4)7
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Propiedades de Números Reales
• Propiedad asociativa de la suma y de la multiplicación
Sea para la suma: a + ( b + c) = (a + b) + c, y para la
multiplicación: a(bc) = (ab)c
• Propiedades del inverso
Para cada número real a, existe un único número real denotado por
–a tal que:
Para la suma a + (-a) = 0
Para la multiplicación a*a-1 = 1
El cero No tiene Inverso multiplicativo o Recíproco. No esta definido.
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Propiedades de Números Reales
• Propiedades distributivas
Sea a(b +c) = ab + ac y (b +c)a = ba +ca
La resta se define en términos de la suma
a – b significa a + (-b), donde –b es el inverso aditivo de b
La división en términos de la multiplicación es
Si b≠ 0 entonces a ÷ b , oa
besta definida por
a
b= a(b-1)
Como b-1 = 1
b, entonces
𝐚
𝐛= a
𝟏
𝐛
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PROPIEDADE
S
DE LOS
NUMEROS
REALES
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TALLER 2En los problemas del 1 al 10, clasifique los enunciados como verdaderos o
falsos
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TALLER 3
En los problemas del 11 al 20, establezca cuál propiedad de los números
reales se usa.
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TALLER 4
En los problemas del 21 al 26, demuestre que los enunciados son verdaderos,
para ello utilice las propiedades de los números reales.
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Aplicación de Propiedades
• Demostrar indicando que propiedad de los números reales se usa:
a) 2 − 2 = − 2 + 2
b) x(y – 3z + 2w) = (y – 3z + 2w)
c)ab
c= a
b
cpara c ≠ 0
d)a+b
c=
a
c+
b
cpara c ≠ 0
e) 8 – y = 8 + (-y)
f) (x + 5) + y = y + (x + 5)
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Operaciones con Números Reales
Simplifique si es posible cada una de las siguientes expresiones:
a) -2 +(-4)
b) 7 (-9)
c) -(-6 + x)
d) 3(x – 4)
e) (-2)(9)
f) (2x)3
2x