Conjuntos Numéricos

APRENDIZAJES ESPERADOS:

UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS

• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricosen sus diversas formas de expresión .

• Resolver ejercicios en los enteros y racionales,aplicando operatoria básica , en desarrollo deejercicios y problemas en el ámbito cotidiano.

Conjuntos Numéricos

Los conjuntos numéricos reciben un nombre de acuerdo a los números que contienen

1 .Números Naturales

SucesorTodo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número.

AntecesorTodo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor

ℕ = 1,2,3,4,5,6, … .

Si n pertenece a IN, su sucesor es n + 1

Si n pertenece a IN, su antecesor es n - 1

Números Pares

Son de la forma 2n, con n

en los naturales

Sucesor Par

Se obtiene sumando 2 al número.

Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2.

Antecesor par

Se obtiene restando 2 al número.

Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2.

{2, 4, 6, 8, 10……, 2n}

Números Impares

Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.

Sucesor impar

Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1.

Antecesor impar

Se obtiene restando 2 al

número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.

{1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}

Números PrimosSon aquellos números que son sólodivisibles por 1 y por sí mismos

Divisores de un número n

“divisor” de un número n , aquelvalor que lo divide exactamente.

(Está contenido en él, una cantidadexacta de veces)

Ejemplo

Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente:

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Múltiplos de un número n:

Ejemplo.

Algunos múltiplos de 3 son:

Mínimo Común Múltiplo

El mínimo común múltiplo(m.c.m.) de dos o másnúmeros, corresponde almenor de los múltiplos quetienen en común.

{1n, 2n, 3n, 4n, … }.

{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30, 33, 36,…, 60}

• El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30

Máximo Común Divisor

El máximo común divisor (M.C.D.)

de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6

Operaciones en IN

Adición, sustracción, multiplicación y división.

Propiedades de la Adición:

a) Clausura Sean a, b 𝜖 ℕ

a + b ∈ ℕ

b)Conmutativa Sean a, b 𝜖 ℕ

c) Asociativa Sean a, b, c 𝜖 ℕ

a + (b+c) = (a+b) + c

Nota: En los naturales no existe neutro aditivo

• La suma de dos números

naturales es siempre un natural.

• Ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12

• Ejemplo 13 + (5+9) = (13+5) + 9

13 + (14) =(18) + 9

27 = 27

a + b = b + a

Propiedades de la Multiplicación

a)Clausura Sean a, b 𝜖 ℕ

a ∙ b ∈ ℕ

b)Conmutativa Sean a, b 𝜖 ℕ

a ∙ b = b ∙ a

c) Asociativa Sean a, b, c 𝜖 ℕ

a ∙ ( b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

Nota: El elemento neutro de la

multiplicación es el 1

• El producto de dos números

naturales es siempre un natural

• 12 ∙ 10 = 10 ∙ 12 = 120

• Ejemplo: 4 ∙ (5 ∙ 3)= (4 ∙ 5) ∙ 3

4 ∙ (15) = (20) ∙ 3

60 = 60

2.Números Cardinales ( N0) Números Cardinales

Operaciones en IN0

• Conjunto de los Números Naturales, al que se le agrega el cero

IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

• Adición, sustracción, multiplicación y división

En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que se incluye el cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”.

Sea a 𝜖 ℕ0 , entonces a + 0 = 0 + a = a

3.Números Enteros (ℤ)

Números cardinales

El conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos. Este conjunto se denota por ℤ.

Recta numérica𝑍 = 𝑍− ⋃ IN0 = 𝑍−⋃ 𝟎 ⋃ 𝑍+

ℤ ={…,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto

El valor absoluto de un número 𝒏 , representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica).

Se denota : 𝒏

Se define: • Ejemplo

|5| = 5

|-5| = −(-5) = 5

Operaciones en Z

• Sean a y b números enteros , entonces se cumple que

a) a + -b = a – b

b) a – (-b) = a + b

• Ej. 5 + - 9 = 5 – 9 = -4

• Ej. 12 – (-8) = 12 + 8 = 20

Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos.

Adición en Z

a) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene.

b) Al sumar enteros de distintosigno, se calcula la diferenciaentre sus valores absolutos ,conservando el signo del númeromayor.

• Ejemplos1) 25 + 8 = +33

2) -5 + - 9 = -14

1) -10 + 7 = -3

2) 75 + -9 = +66

Multiplicación y División en Z

Multiplicación en Z

Si a y b son dos númerosenteros de igual signo (positivoso negativos), el producto y elcociente entre ellos es positivo.

Ejemplos:

1) −𝟒𝟐 ∙ −𝟖 = + 𝟑𝟑𝟔

2) 𝟐𝟖 ∶ 𝟕 = + 𝟒

División en Z

• Si a y b son dos números enteros de distinto signo, el producto y el cociente entre ellos es negativo.

• Ejemplos

1)− 𝟒𝟐 ∙ 𝟖 = - 𝟑𝟑𝟔

2) 𝟐𝟖 ∶ −𝟕 = − 𝟒

Propiedades de la suma en Z

• Clausura o Cierre

Si 𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℤ, entonces 𝒂 + 𝒃 ∈ℤ

• Asociativa

Si 𝒂 , 𝒃 , 𝒄 ∈ ℤ, entonces𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄

• Conmutativa

Si 𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℤ, entonces 𝒂 + 𝒃 =𝒃 + 𝒂

• El resultado de sumar números enteros es otro número entero

• (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

• 2 + (− 5) = (− 5) + 2

• Elemento Neutro AditivoEs el cero, porque todo número sumado con él da el mismo número. Si 𝒂 ∈ ℤ entonces, 𝒂 + 𝟎 = 𝒂

• Elemento Inverso AditivoEs el opuesto del número, porque al sumar el número con su opuesto se obtiene como resultado cero.Si 𝒂 ,−𝒂 ∈ ℤ , entonces

𝒂 + (−𝒂) = 𝟎

• El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número

Ejemplos:

• (−5) + 0 = − 5

• 5 + (−5) = 0

• −(−5) = 5

Propiedades de la multiplicación en Z

• Clausura o Cierre

Si 𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℤ, entonces 𝒂 ∙ 𝒃 ∈ℤ

• Asociativa

Si 𝒂 , 𝒃 , 𝒄 ∈ ℤ, entonces𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄

• Conmutativa

Si 𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℤ, entonces 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙𝒂

• El producto de números enteros es otro número entero

• (2 ∙ 3) ∙ (− 5) = 2 ∙ [3 ∙ (− 5)]

• 2 ∙ (− 5) = (− 5) ∙ 2

• Elemento Neutro Multiplicativo

Es el 1, porque todo número multiplicado por 1 da el mismo número.

Si 𝒂 ∈ ℤ , entonces 𝒂 ∙ 𝟏 = 𝒂

• Distributiva

𝒂 · (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 · 𝒃 + 𝒂 · 𝒄

Ejemplos:

(−5) ∙ 1 = (−5)

(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · (5)

Prioridad en las operaciones

El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es:

1° Paréntesis

2° Potencias

3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)

4° Adiciones y sustracciones

Existe un orden para resolver ejercicios como:

-5 + 15 : 3 - 3 =

Hay operaciones que tienen prioridad sobre otras.

Ejemplo

• −5 + 15 ∶ 3 − 3=−5 + 5 – 3

0 – 3– 3

• Desarrolle las operaciones1) (− 7 −2) + (6 + 4) − (− 3) − 4

2) − 5 + {4 + [3 − (4 − 8) + (− 5 − 10)]}

3) − 4(2 − 3 − 1) + 2(8 − 5) + 3(4 − 5)

4) 6 − [4 − 3(4 − 2)] − {7 − 5 [4 − 2(7 − 1)]}

• Problema de Aplicación

1) Al comprar un televisor de $280.900 a crédito, hay que dar un anticipo de $74.800 y el resto se paga a 6 meses.

¿Cuánto resta para terminar de pagar el televisor?

¿Cuál es el valor de cada cuota a pagar ?

4.Números Racionales (Q)

Es el conjunto de todos aquellos números que sepueden escribir como fracción .

Pertenecen al conjunto de los números Racionales:

•Los números enteros positivos y negativos•Las fracciones•Los números decimales finitos•Los números decimales infinitos periódicos•Los números decimales infinitos semiperiódicos•El cero

a: numerador b: denominador

Ejemplo 2; 17; 0; -6; -45; -2;

70,489; 2,18; -0,647-1;

8

14;3

IN IN0 Z Q

15,0

NO es racional

Clasificación de fracciones

• Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.

• Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixtoformado por un número natural más una fracción propia.

• Número Mixto o fracción mixta :

7

6= 1

1

6

• Igualdad de Números Racionales

• Relación de orden en Q

Operatoria en los racionales• Suma y resta

4

15+

7

15=

11

15

4

15-

7

15

= -3

15

5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

23

36

1

6-

- 1∙6 - 6

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN Q

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=

• Multiplicación: -4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

• División:-4

5 :

7

8=

32

35-

Transformación de números racionales

• Ejemplo

• Ejemplo

• De fracción común a decimal

Se divide numerador por denominador.

• De decimal finito a fracción común:

El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

7

4= 1,75

100175 = 7

4

25∙7

25∙4

=1,75 =

De número decimal a fracción

• Ejemplos:

1)

2)

• Decimal periódico a fracción

• El numerador de la fracciónes la diferencia entre elnúmero decimal completo,sin la coma, y la parteentera.

• El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

2,35 = 235 – 2 = 23399 99

0,376 = 376 – 0 = 376

999 999

Ejemplo

•Decimal semi periódico a fracción.

•El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

•El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Nota: Se llama “ante período” a los números que

hay entre la coma, y el período.

3,21 = 321-32 = 2899090

Propiedades del conjunto Q

Amplificar y simplificar fracciones

• Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número.

Ejemplo:

2∙

3∙

6

6=

12

18

• Simplificar una fracción, significadividir, tanto el numerador comodenominador por un mismonúmero.

• Ejemplo.

3

3=

9

15

27 :

45 :

• REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un número se e puede dividir por :

• 2 : si termina en cifras par o cero .• 3 : la suma de de sus cifras da un múltiplo de 3.• 5 : si termina en 5 ó 0.• 6 : es divisible por 2 y por 3 a la vez.• 9 : si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.• 10 : si termina en cero.• 25 : si termina en 00, 25 , 50 ó

75

.

Propiedades en los Racionales

Respecto a la suma

• Clausura

• Asociativa

• Conmutativa

• Elemento neutro aditivo

• Elemento inverso aditivo

• Distributiva

Respecto a la multiplicación

• Clausura

• Asociativa

• Conmutativa

• Elemento neutro multiplicativo

• Elemento inverso multiplicativo

Inverso multiplicativo

El inverso multiplicativo de un número𝑎

𝑏∈ ℚ

Es aquel número𝑏

𝑎∈ ℚ , tal que al

multiplicarlos, se obtenga el neutro

multiplicativo que es 1

NÚMERO INVERSO

MULTIPL.

2

9

9

2

−4

3

−3

4

1

5

5

1

−7−1

7

5. Números Irracionales (Q*)

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción(decimales infinitos NO periódicos).

,....,,2,3.....Q* =

Q

U

Q*=

6. Números Reales (IR)

• Es el conjunto formado por launión entre los númerosracionales y los númerosirracionales.

• Ejemplo

IR = Q U Q*3, -89, -2;

7

2,18; ;2

23,491002

Conjuntos Numéricos

Datos Unidad