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CURSO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO:
DE LAS FUNCIONES REALES DE
VARIABLE REAL
A LA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES
ISBN: 978-84-692-2791-6
Pedro J. López Cabello
2
Indice general Introducción
1. Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones reales en las que
aparecen. Composición de funciones .................................................................................... 5
2. Funciones dadas en forma de tablas. Interpolación polinómica. Interpolación y
extrapolación de datos. ........................................................................................................ 14
3. Limites de funciones. Continuidad y discontinuidades. Teorema de Bolzano. Ramas
infinitas................................................................................................................................ 19
4. Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas.
Aplicaciones. ....................................................................................................................... 27
5. Desarrollo de una función en serie de potencias. Teorema de Taylor. Aplicaciones al
estudio local de funciones ................................................................................................... 34
6. El problema del cálculo del área. Integral definida............................................................. 41
7. Primitiva de una función. Cálculo de algunas primitivas. Aplicaciones de la integral al
cálculo de magnitudes geométricas..................................................................................... 49
Bibliografía
3
4
In troducción Al escribir este libro se ha pretendido presentar los resultados más importantes del análisis
matemático real, concretamente abordamos las funciones reales de variable real, la continuidad de
dichas funciones, el cálculo diferencial e integral y la interpolación numérica. Cada uno de los
conceptos principales del análisis matemático aparece definido, justificando los resultados
principales mediante una demostración.
En todos los capítulos se utiliza una fundamentación clásica del cálculo infinitesimal de
manera que este libro pude ser utilizado por alumnos de primeros años de estudios superiores de
ingenierías y ciencias exactas. Está también recomendado para los opositores al profesorado en
Educación Secundaria.
Comentamos, para terminar, que al lector se le supone únicamente unos ciertos
conocimientos de álgebra y algunas nociones elementales de geometría.
5
Capítu lo 1
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
FUNCIONES ELEMENTALES: SITUACIONES
REALES EN LAS QUE APARECEN
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
� f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l
� O p e r a c i o n e s c o n f u n c i o n e s . E s t r u c t u r a d e l
c o n j u n t o d e f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l .
� F u n c i o n e s e l e m e n t a l e s
6
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
CONCEPTO DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Una función real de variable real es una correspondencia de un subconjunto no vacío D ⊂ IR
en IR, lo escribiremos f: D → IR, que a cada elemento x ∈ D le asocia uno y sólo un elemento y ∈
IR. El subconjunto D se llama dominio de definición o campo de existencia de f y se escribe
Dom(f) = {x ∈ IR / ∃ !f(x) ∈ IR}.
El recorrido o imagen de una función es el subconjunto de IR formado por las imágenes de los
elementos del dominio: Im (f) = Rec(f) = {f(x) / x ∈ D}.
El número x representa un elemento arbitrario del dominio de la función y se llama variable
independiente. Al número y asociado por la función al valor de x se le llama variable dependiente.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Un sistema de coordenadas cartesianas en el plano es un par ordenado de dos ejes
perpendiculares entre sí en un punto O. Al eje horizontal se le llama eje de abcisas y se designa con
OX, y al vertical se le llama eje de ordenadas y se designa con OY. Sobre OX se sitúa la variable
independiente y sobre OY la variable dependiente. Si tomamos el sistema de referencia
{ }jiO ,;=ℜ , un punto cualquiera del plano P vendrá representado por los coeficientes de la
combinación lineal que expresa el vector OP en función de la base{ }ji, . Así, un punto P se
expresaría como (xo, yo), siendo xo la abscisa de P e yo la ordenada de P. La gráfica de una función
es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas verifican la ecuación y = f(x).
La visualización de las gráficas de las funciones permiten ver más fácilmente sus propiedades.
Traslación en la gráfica de una función
1. Traslación horizontal
Dada la representación gráfica de una función f(x), si consideramos la función g(x) = f(x-k),
obtendremos una función cuya gráfica estará trasladada respecto a la original k unidades a la
derecha, para k > 0 ó a la izquierda para k < 0.
2. Traslación vertical
Dada f(x), si consideramos la función g(x) = f(x) + k, obtendremos una función cuya gráfica
estará trasladada respecto a la original k unidades hacia arriba, si k > 0 ó hacia abajo si k < 0.
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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
Paridad
Una función real de variable real y = f(x) es par si y sólo si se verifica que f(-x)=f(x). La
gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de ordenadas, y verifica que si contiene al
punto (x, y), contendrá al (-x, y). Las funciones y = cos x, y = x4+x2 son funciones pares.
Una función real de variable real y = f(x) es impar si y sólo si se verifica que f(-x) = -f(x).
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas, y verifica que si
contiene al punto (x, y), contendrá al (-x, -y). Ejemplos: y = sen x, y = x3 + x son funciones impares.
Una función se dice que no tiene paridad si no es par ni impar.
Función inyectiva
Una función real de variable real y = f(x) es inyectiva si y sólo si se verifica que ∀ x1, x2
∈IR, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Gráficamente lo veremos cuando las rectas paralelas al eje OY cortan a
la función en un sólo punto. Las funciones y = x + 2, y = x3 son inyectivas.
Función sobreyectiva
Una función real de variable real y = f(x) es sobreyectiva si y sólo si para cualquier y ∈ IR
∃x∈D, tal que f(x) = y. Gráficamente lo veremos cuando Im(f) = IR. Las funciones y = x + 2, y = x3
son funciones sobreyectivas.
Función biyectiva
Una función real de variable real y = f(x) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Función periódica
Una función real de variable real y = f(x) es periódica si ∃ t ∈ IR, no nulo / ∀ x ∈ D se
verifica f(x + t) = f(x). A dicho valor t se le denomina periodo y se verifica que todo múltiplo de t
también es un periodo para f. Son periódicas todas las funciones trigonométricas.
Monotonía
Una función real de variable real y = f(x) es creciente en D si se verifica: ∀ x1, x2 ∈ D / x1 <
x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) y es estrictamente creciente si ∀ x1, x2 ∈ D / x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Una función real de variable real y = f(x) es decreciente en D si ∀ x1, x2 ∈ D / x1 < x2 ⇒
f(x1) ≥ f(x2) y es estrictamente decreciente si ∀ x1, x2 ∈ D / x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
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Las funciones ( ) xf x a= y ( ) logaf x x= son estrictamente crecientes para a > 1 y
estrictamente decrecientes para 0 < a < 1.
Acotación
Una función real de variable real y = f(x) está acotada superiormente si ∃ K ∈ IR / f(x) ≤ K
∀ x ∈ D. A ese número K lo llamaremos cota superior y será un máximo si la función alcanza ese
valor. Se dice que está acotada inferiormente si ∃ K’ ∈ IR / f(x) ≥ K’ ∀ x ∈ D y a este número
K’ se le llamará cota inferior y será un mínimo si lo alcanza.
Se dice que una función y = f(x) está acotada si lo está superior e inferiormente. La función
2( )
1
kf x
x=
+ está acotada, verificándose 0 < f(x) ≤ k x IR∀ ∈
2. OPERACIONES CON FUNCIONES. ESTRUCTURA DEL CONJUNTO DE
LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
Sea IF(D,IR) = IF el conjunto de las funciones reales de variable real con dominio D: IF = {f : D
→ IR}, vamos a definir las operaciones que podemos realizar con dichas funciones.
SUMA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones f y g ∈ IF, la suma es otra función real h = f + g que verifica: h(x) = (f +
g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ D. Se verifica que Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = D.
Propiedades
1. Ley de composición interna: La suma verifica que si f y g ∈ IF, entonces f + g ∈ IF.
2. Asociativa: (f + g) + h = f + (g + h) ∀ f, g, h ∈ IF.
3. Conmutativa: f + g = g + f ∀ f, g ∈ IF
4. Elemento neutro: Llamaremos función nula a la función: 0: D → IR / 0(x) = 0 ∀x ∈ D.
Como se verifica que f + 0 = 0 + f = f ∀f ∈ IF , dicha función es el elemento neutro para la
suma de funciones.
5. Elemento simétrico. Llamaremos función opuesta de f ∈ IF a la función: -f : D → IR / (-
f)(x) = -f(x) ∀x ∈ D. Como se verifica que –f + f = f + (-f) = 0, dicha función es el elemento
simétrico para la suma de funciones.
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Con todas las propiedades anteriores respecto de la suma podemos afirmar que el (IF, +) tiene
estructura de grupo abeliano.
Como toda función tiene opuesta, podemos definir la diferencia de dos funciones f – g como la
suma de f con la opuesta de g: f – g = f + (-g), cuyo dominio es Dom(f – g) = Dom(f) ∩ Dom(g) =
D.
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA FUNCIÓN
El producto de un número real k por una función f ∈ IF es otra función k· f que verifica: (k· f)(x)
= k· f(x) ∀x ∈ D. Se verifica que Dom(k· f) = Dom(f) = D.
Propiedades
1. Distributividad respecto a la suma de funciones: k· (f + g) = k. f + k· g.
2. Distributividad respecto a la suma de escalares: (k + k')· f = k· f + k'· f.
3. Asociatividad mixta: (k· k')· f = k· (k'· f)
4. Elemento neutro: 1· f = f, siendo 1 el elemento neutro de IR.
Con dichas propiedades podemos afirmar que ( )IRIF ,·,+ es un espacio vectorial.
PRODUCTO DE FUNCIONES
Dadas dos funciones f y g ∈ IF, se define el producto h = f · g como la función real que verifica:
h(x) = (f· g)(x) = f(x)· g(x) ∀ x ∈ D. Se verifica que Dom(f· g) = Dom(f)· Dom(g).
Propiedades
1. Ley de composición interna: f· g ∈ IF ∀ f , g ∈ IF
2. Asociativa: (f· g)· h = f· (g· h). ∀ f , g, h ∈ IF
3. Conmutativa: f· g = g· f. ∀ f , g ∈ IF
4. Elemento neutro: Llamamos función unidad a la función definida como: 1: D → IR / 1(x) =
1 ∀ x ∈ D. Como se verifica que 1· f = f· 1 = f ∀ f ∈ IF, dicha función es el elemento
neutro para el producto de funciones.
5. Distributiva respecto a la suma: f· (g + h) = f· g + f· h ∀ f , g, h ∈ IF
Con estas propiedades el conjunto (IF,+,· ) tiene estructura de anillo conmutativo con elemento
unidad.
Definimos la función recíproca respecto al producto de funciones como la función:
IRDf
→:1
/ )(
1)(
1
xfx
f= . Se verifica que Dom(
f
1) = D – {x / f(x) = 0}. A partir de esta
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definición, podemos considerar la división de dos funciones f, g ∈ IF como el producto de f por la
función recíproca de g: g
fg
f 1·= , verificando que Dom(
g
f) = Dom(f) ∩ Dom(
1
g).
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones tales que Im(f) ⊆ Dom(g), se llama función compuesta de f y g a la
función go f : Dom(f) → Im(g) / go f (x) = g(f(x)) ∀ x ∈ Dom(f). Dicha función compuesta se lee
“f compuesta con g” y se verifica: Dom(go f) = Dom(f).
Propiedades
1. La composición de funciones no es conmutativa.
2. Es asociativa: ( ) ( )hgfhgf oooo = ∀ f , g, h ∈ IF
3. Llamamos función identidad a la función definida como: i: D → IR / i(x) = x ∀ x ∈ D.
Como se verifica que io f = f o i = f ∀ f ∈ IF, dicha función es el elemento neutro para
la composición de funciones.
FUNCIÓN INVERSA
Sea f una función inyectiva con f: Dom(f) → Im(f), llamamos función inversa de f, y lo
denotamos por f-1, a la función: f-1 :Im(f) → Dom(f) / f-1 (y) = x ↔ f(x) = y. Se verifica que
Dom(f-1) = Im(f)
Propiedades
1. Si f no es inyectiva, no existe su función inversa.
2. Si f posee función inversa, se verifica iffff == −− 11oo . Luego f-1 es el elemento
simétrico de f respecto de la composición de funciones.
3. Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del primer
cuadrante. Así si el par (x,y) pertenece a la gráfica de f entonces (y,x) pertenece a la gráfica
de f-1.
3. FUNCIONES ELEMENTALES. SITUACIONES REALES EN LA S QUE
APARECEN.
LA FUNCION AFÍN
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Se dice que una función es afín si es del tipo f(x) = a· x + b, con a, b ∈ IR, no nulos. Su
representación gráfica corresponde a una recta que corta al eje OX en el punto –b/a y al eje OY en
el punto b. Se verifica que si a > 0 la recta es creciente y si a < 0 es decreciente.
Existen numerosas situaciones del mundo real cuyo comportamiento corresponde al modelo
de la función afín como por ejemplo en algunas facturas como las de teléfono se cobra una cuota
inicial fija K y una cantidad constante A para cada periodo de tiempo por lo que la función
correspondiente sería f(x) = Ax + K.
LA FUNCIÓN LINEAL
Si b = 0 tenemos y = a· x, que corresponde a una recta que pasa por el origen y cuya pendiente
vale a. Al ser x
y constante, esta función nos describe situaciones de proporcionalidad directa. Se
verifica que f(k· x) = k· f(x) y f(x + y) = f(x) + f(y).
Este tipo de función aparece en numerosas situaciones, por ejemplo el coste de un producto
según las unidades adquiridas, la longitud de una circunferencia según el radio, el espacio recorrido
por un móvil con movimiento uniforme o la deformación de un muelle sometido a una fuerza.
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Se dice que una función es cuadrática si es del tipo f(x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ IR, a no
nulo. Su representación gráfica corresponde con una parábola. A partir de la derivada de la función
podemos deducir que dicha parábola tiene su vértice en el punto
+−−
ca
b
a
b
4,
2
2
. Corta al eje OY
en el punto (0,c) y para el corte con el eje OX estudiamos el signo del discriminante:
• si ∆ = b2 – 4ac > 0, la parábola cortará a dicho eje en los puntos:
a
acbbx
2
42
1
−+−= y a
acbbx
2
42
2
−−−=
• si ∆ = 0, la parábola cortará a dicho eje en el punto: a
bx
2
−=
• si ∆ < 0, la parábola no corta a dicho eje.
A partir de la derivada segunda podemos deducir que si a > 0, la parábola es convexa y si
a < 0 es cóncava. Además dicha función es simétrica respecto a la recta a
bx
2
−= .
Este tipo de funciones aparecen por ejemplo en el espacio recorrido por un móvil con
movimiento uniformemente acelerado o el área de un círculo en función del radio.
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LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Se dice que una función es de proporcionalidad inversa si se puede escribir como f(x) = x
k.
Su gráfica corresponde a una hipérbola equilátera, curva simétrica respecto a la bisectriz del primer
y tercer cuadrante si k es positivo o simétrica respecto a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante
si k es negativo.
Aparece en situaciones en las que dos magnitudes son inversamente proporcionales, por ejemplo
en el período y la frecuencia de un fenómeno periódico, el reparto de un capital fijo en función del
número de personas o la relación presión o volumen y temperatura en la ley de los gases perfectos.
FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a, a > 0.
La función exponencial de base a es ( )xf x a= x IR∀ ∈ y verifica que es continua y derivable
en todo IR, estrictamente creciente para a > 1 y estrictamente decreciente para 0 < a < 1. Su gráfica
para a > 1 es de la forma:
La función exponencial de mayor interés es aquella en la que la base es el número e, pues esta
función aparece en problemas relacionados con el crecimiento de una población.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA DE BASE a, a > 0
La función logarítmica de base a es ( ) logaf x x= x IR∀ ∈ y verifica que es continua,
derivable en todo IR, estrictamente creciente para a > 1 y estrictamente decreciente para 0 < a < 1.
Su gráfica para a > 1 es de la forma:
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La función logarítmica de mayor interés es aquella en la que la base es el número e. Se
denomina logaritmo neperiano y se denota por Lnx. Al ser la inversa de la exponencial aparece en
la resolución de las ecuaciones exponenciales. El pH de una solución se calcula en función del
logaritmo en base 10.
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CAPÍTULO 2
FUNCIONES DADAS EN FORMA DE TABLAS
INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN DE DATOS
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1.- INTRODUCCIÓN.
Un problema clásico en las Matemáticas, es el de calcular el valor que toma una función en
un punto cuya expresión desconocemos. Se trata de encontrar una función lo más simple posible, de
forma que coincida con la función objeto del problema en los datos conocidos. Los valores que
obtengamos a partir de esta función serán aproximaciones de los valores reales. Se utilizarán los
polinomios para realizar dicha construcción lo que da lugar a la interpolación polinómica.
2.- FUNCIONES EN FORMA DE TABLAS
Las funciones que más comúnmente vienen dadas en forma de tablas son las funciones
trigonométricas, exponenciales y logaritmos y las funciones de distribuciones de probabilidad:
Binomial, Poisson o Normal. En ellas se expresan mediante tablas los valores que dichas funciones
toman para unos determinados valores más comunes de la variable independiente. Estos suelen estar
ordenados de forma creciente y equidistantes.
3.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA INTERPOLACIÓN POLINÓMICA.
El problema de la interpolación plantea el siguiente problema:
Sea S = {n
x, ,1x,0x L }, i jx x≠ , un conjunto llamado soporte y :f D ⊂ →� � , con S
D⊂ , hallar p [ ]nP x∈ un polinomio de grado n tal que ( ) ( ) 0,...,j jp x f x j n= ∀ = . A p le
llamaremos polinomio de interpolación de f asociado a S.
Teorema
En las condiciones anteriores podemos asegurar que existe un único polinomio interpolador
de grado menor o igual que n, de forma que xip( )= if(x ) para i = 0, 1,…, n.
Demostración Sea un polinomio p(x) = n xna1n x1na ... x1a0a +−
−+++ ∈ Pn[x]. Al imponer que
xip( )= if(x ) para i = 0, 1,…, n resulta un sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas
na,1na, ... ,1a,0a − :
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=+−−+++
=+−−+++
=+−−+++
n
ynn
xna1nn
x1na ...n
x1a0a
.................................................
1
yn1
xn a1n1
x1na ...1
x1a0a
0
yn 0
xna1n0
x1na ...0
x1a0a
El determinante de la matriz del sistema resulta ser de Vandermonde, por tanto:
nn
xnx1
n1
x1x1
n0
x0x1
L
MOMM
L
L
= ∏>
−ik
)ixk(x ≠ 0 ya que ixkx ≠ si k ≠ i
Así pues el sistema es compatible determinado y por tanto existe una única solución según el
teorema de Rouché-Frobenius. De este resultado se deduce que existen infinitos polinomios de
interpolación de grado n + 1.
La demostración anterior nos da un método para calcular el polinomio interpolador pero
tiene el inconveniente de tener que calcular n + 2 determinantes por lo que este procedimiento no se
utiliza para n ≥ 4.
POLINOMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE.
El siguiente teorema da un método constructivo para hallar un polinomio de interpolación.
Teorema
Sea S = {n
x, ,1x,0x L }, i jx x≠ , :f D ⊂ →� � , con S D⊂ , entonces existe un único
polinomio de interpolación de f asociado a S y además p(x) = 0
( ) ( )n
k kk
f x L x=∑ donde
0
( )( )
( )j k
nj
kj k j
x xL x
x x≠=
−=
−∏ son los polinomios k-ésimos de Lagrange.
Demostración
( ) [ ]k nL x P x∈ y por tanto [ ]np P x∈ . Además ( ) 1k kL x = y ( ) 0,k jL x k j= ≠ , luego
0
( ) ( )· ( )n
j k j kk
p x L x f x=
=∑ 0,...,j n∀ =
Es único pues si existe q [ ]nP x∈ que interpola a f, considero el polinomio r(x) = p(x) – q(x).
r [ ]nP x∈ y r se anula en n + 1 puntos por tanto debe ser r = 0.
15
4.- MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN
MÉTODO DE AITKEN
Este método permite calcular el polinomio de interpolación por recurrencia y obtener el
valor de un punto sin calcular previamente su expresión analítica.
Teorema:
Dado un soporte S = {n
x, ,1x,0x L } y ,i jx x , i jx x≠ , ,i jx x S∉ , entonces
{ }i
i j
S x ,j i
S {x } S {x }j i(x x )P (x) (x x )P (x)
P (x)x -xjx∪
∪ ∪− − −=
Demostración.
{ } { },i iS x S xP P∪ ∪ son polinomios de grado n + 1 por poseer n + 2 puntos distintos. Al multiplicarlos
por un factor de x se obtiene un polinomio de grado n + 2.
Sea kx S∈ , k ≠ i, j, { }i
k i k k j kkS x ,
j i
(x x )f(x ) (x x )f(x )P (x ) ( )
x -xjkx
f x∪
− − −= =
Sea xi, { }i
i j iiS x ,
j i
(x x )f(x )P (x ) ( )
x -xjix
f x∪
− −= = y análogamente para xj.
Algoritmo
Etapa 0
Denotamos pj(x) el polinomio que pasa por xj, entonces pj(x) = f(xj), j = 0,...,n.
Etapa 1
Denotamos por p0j(x) el polinomio que tiene {x0, xj} como soporte, entonces p0j(x) =
0 j j 0
j 0
(x x )p (x) (x x )p (x)
x -x
− − −, j = 1,..., n i ≠ j.
Etapa k
Conocemos 0,..., 1,k jp − , j = k,...,n, entonces 0,..., , ( )k jp x = 0 0,...,k-1,j j 0,...,k
j k
(x x )p (x) (x x )p (x)
x -x
− − −, para j = k
+ 1, ..., n.
Etapa n
0,..., ( )np x = n-1 0,...,n-2,n n 0,...,n-1
n n-1
(x x )p (x) (x x )p (x)
x -x
− − −
16
METODO DE LAS DIFERENCIAS SUCESIVAS
Sea S = {n
x, ,1x,0x L }, i jx x≠ , un conjunto llamado soporte, denotamos por [ ]k np P x∈ el
polinomio que interpola a f en x0, ..., xk. Se pretende calcular de forma recursiva pn(x).
Se tiene que p0(x) = f(x0) y consideramos 1 0 0 1( ) ( ) [ ,..., ]·( )·...·( )k k k kp x p x f x x x x x x− −− = − − donde
0[ ,..., ]kf x x es el coeficiente de xk en pk.
Como 01
( ) ( )n
nk
p x p x=
− =∑ 1( ) ( )k kp x p x−− = 1
n
k=∑ 0 0 1[ ,..., ]·( )·...·( )k kf x x x x x x−− − , entonces
01
( ) ( )n
nk
p x p x=
= +∑ 0 0 1[ ,..., ]·( )·...·( )k kf x x x x x x−− − que se denomina polinomio de interpolación
de la forma de Newton.
A la expresión 0[ ,..., ]kf x x se le denomina diferencia sucesiva de orden k asociada a los puntos x0,
..., xk. Se tiene que [ ]if x = f(xi), i = 0, ..., n y que 0[ ,..., ]kf x x = 1 0 1
0
[ ,..., ] [ ,..., ]k k
k
f x x f x x
x x−−
−
Denotando por p1,...,k ∈ Pk-1[x] al polinomio de interpolación asociado a x1, ..., xk, el coeficiente que
acompaña a xk – 1 es 1[ ,..., ]kf x x .
Consideremos qk(x) = 0 1,...,k k 0,...,k-1
k 0
(x x )p (x) (x x )p (x)
x -x
− − − y tenemos que { },i jS x x
p∪
=
{ } { }iji j S xS x
j i
(x x )p (x) (x x )p (x)
x -x
∪∪− − −
, entonces S = {x1, ..., xk-1} y qk(x) = { }0, kS x xp ∪ = pk(x). El
coeficiente de xk en pk(x) es 0[ ,..., ]kf x x y en qk(x) es 1 0 1
0
[ ,..., ] [ ,..., ]k k
k
f x x f x x
x x−−
−.
METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS
Sea S = {xk = x0 + k· h, k = 0, ..., n} un soporte regular. Se define el operador diferencia
progresiva de la siguiente manera: 0 ( ) ( )i if x f x∆ = , i = 0, ..., n; 11( ) ( ) ( )i i if x f x f x+∆ = − , i = 0, ...,
n – 1; 2 1 11 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i if x f x f x f x f x+ +∆ = ∆ − ∆ = + , i = 0, ..., n – 2; y en general
1 11( ) ( ) ( )k k k
i i if x f x f x− −+∆ = ∆ − ∆ , i = 0, ..., n – k.
Se tiene que ( ) ! [ ,..., ]k ki i i kf x k h f x x+∆ = , k = 0, ..., n ya que:
0 ( ) ( )i if x f x∆ = = f[x i]
17
11( ) ( ) ( )i i if x f x f x+∆ = − = f[x i+1] – f[x i] = h· 1[ , ]i if x x+
Supongamos ( ) ! [ ,..., ]k ki i i kf x k h f x x+∆ = y 1
1( ) ( ) ( )k k ki i if x f x f x+
+∆ = ∆ − ∆ = 1 1! [ ,..., ]ki i kk h f x x+ + + -
! [ ,..., ]ki i kk h f x x+ = 1 1! ( [ ,..., ]k
i i kk h f x x+ + + [ ,..., ])i i kf x x+− = ( )1 1! [ ,..., ]ki k i i i kk h x x f x x+ + + +− =
1! ( 1)· · [ ,..., ]ki i kk h k h f x x+ ++ .
En concreto para i = 0, 0 0 0( ) ! [ ,..., ]kkf x k h f x x∆ = , a partir del método de las diferencias sucesivas
se llega a: 01
( ) ( )n
nk
p x p x=
= +∑ 00 1
( )·( )·...·( )
!·
k
kk
f xx x x x
k h −∆ − − .
5.- ERROR EN LA INTERPOLACIÓN.
Siempre que se sustituye cualquier función por un polinomio de interpolación se comete un
error. Dicho error es inevitable, pero se puede acotar.
Teorema:
Supongamos una función f∈ (a,b)1nC + y p su polinomio de interpolación de f en el conjunto de
puntos S = {n
x, ,1x,0x L } ⊂ (a, b) . Entonces ∀ x ∈ [ ]0, nx x ∃ δx ∈ )n
x,0(x tal que e (x) = f (x) −
p(x) = x
(x x ) (x x ) (x x )n n 1)0 1 f ( )(n 1)!
δ− ⋅ − ⋅ ⋅ − +⋅
+
L
Demostración.
Si x = i
x para algún i = 0, 1,…, n entonces e(x) = 0.
Fijo x ≠ i
x , para todo i, consideremos F(t) = ƒ(t) − p(t)−
A(x)· (t x ) (t x ) (t x )n0 1− ⋅ − ⋅ ⋅ −L , donde la función A(x) es tal que F(x) = 0 , es decir,
(x) P (x)nA(x) .(x x ) (x x ) (x x )n0 1
f −=− ⋅ − ⋅ ⋅ −L
La función F es, al menos, n + 1 veces derivable y se anula en n
x, ,1 x,0x L , x (n + 2 abscisas)
por construcción. Estamos en las condiciones del teorema de Rolle. Además este teorema se puede
aplicar hasta n + 1 veces. Al aplicarlo dichas n + 1 veces, se obtiene que
∃ δx ∈ )n
x,0(x de forma que F 1)n+ (δx) = 0.
Derivando la función F (n + 1 veces) obtenemos: F1)n+ (δx) = f 1)n+ (δx) − A(x) · (n + 1)!
18
Así pues, al unir ambos resultados podemos despejar: A(x) = n 1)( )
(n 1)!xf δ+
+
Por tanto tenemos que (x) P (x)nA(x)
(x x ) (x x ) (x x )n0 1
f −= =− ⋅ − ⋅ ⋅ −L
n 1)( )
(n 1)!xf δ+
+ ⇒
⇒ f (x) − (x)n
P = (x x ) (x x ) (x x )n n 1)0 1 ( )
(n 1)! xf δ− ⋅ − ⋅ ⋅ − +⋅
+
L
En principio δx es desconocido pero podemos obtener una cota del error:
{ }10( ) ( ) max ( )·...·( ) , ( , )
( 1)!n
n
Mf x p x x x x x x a b
n+− ≤ − − ∈
+ con { }1)
1 max ( ) , ( , )nnM f x x a b+
+ = ∈ de
manera que el lado derecho no depende de x.
6.- EXTRAPOLACIÓN DE DATOS .
En algunos problemas el objetivo es calcular el valor de una función en un punto no
perteneciente al soporte. Este proceso recibe el nombre de extrapolación. Tiene el inconveniente de
que cuanto más nos alejemos del conjunto S más crecerá el error que cometemos y por tanto es
menos preciso que la interpolación. Por tanto el valor utilizado debe estar tan cerca como sea
posible del soporte.
19
CAPÍTULO 3
Limites de funciones. Continuidad y discontinuidades.
Teorema de Bolzano. Ramas infinitas.
20
1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Límite finito en un punto
Sea I un intervalo de la recta real, a ∈ I y f una función real definida en I. Se dice l ∈ IR es
el límite de f cuando x tiende al punto a si se verifica:
0 0 / , 0 | | | ( ) |x I x a f x lε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ ∈ < − < → − < y lo escribiremos como lim ( )x a
f x l→
= .
Observaciones:
1. Como se considera x ≠ a, el valor f(a), si existe, no influye sobre el valor del límite.
2. Al tomar 0 | |x a δ< − < , estamos tomando valores mayores o menores que a. El hecho de
considerar a estos a un lado u otro del punto a da lugar al concepto de límites laterales.
Limites laterales finitos Se dice que l es el límite por la derecha de la función f en el punto a si se verifica:
0 0 / ( , ) | ( ) |x a a I f x lε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ ∈ + ∩ → − < y se denotará lim ( )x a
f x l+→
=
Análogamente, se dice que l es el límite por la derecha de la función f en el punto a si se
verifica: 0 0 / ( , ) | ( ) |x a a I f x lε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ ∈ − ∩ → − < y se denotará lim ( )x a
f x l−→
=
Propiedades 1. ∃ lim ( )
x af x l
→= ↔ ∃ lim ( )
x af x
−→= lim ( )
x af x l
+→=
2. Si el límite existe, este es único.
3. f está acotada en el conjunto (a - δ, a + δ) ∩ I.
Límite infinito en un punto
Sea I un intervalo de la recta real, a ∈ I y f una función real definida en I. Se dice que f
tiende a ∞ ( ó+∞ − ∞ ) cuando x tiende al punto a si se verifica:
0 0 / , 0 | | | ( ) |M x I x a f x Mδ δ∀ > ∃ > ∀ ∈ < − < → > y lo escribiremos como lim ( )x a
f x→
= ∞ .
Límites laterales infinitos Se dice que el límite por la derecha de la función f es ∞ ( ó+∞ − ∞ ) en el punto a si se
verifica: 0 0 / ( , ) | ( ) |M x a a I f x Mδ δ∀ > ∃ > ∀ ∈ + ∩ → > y se denotará lim ( )x a
f x+→
= ∞ .
Se dice que el límite por la izquierda de la función f es ∞ ( ó+∞ − ∞ ) en el punto a si se
verifica: 0 0 / ( , ) | ( ) |M x a a I f x Mδ δ∀ > ∃ > ∀ ∈ − ∩ → > y se denotará lim ( )x a
f x−→
= ∞ .
21
Límite finito al infinito Sea I un conjunto no acotado superiormente y f una función real definida en I. Se dice que f
tiende a l ∈ IR cuando x tiende a +∞ si se verifica:
0 0 / , | ( ) |H x I x H f x lε ε∀ > ∃ > ∀ ∈ > → − < y se escribe lim ( )x
f x l→+∞
= .
Análogamente, sea I un conjunto no acotado inferiormente y f una función real definida en I.
Se dice que f tiende a l ∈ IR cuando x tiende a -∞ si se verifica:
0 0 / , | ( ) |H x I x H f x lε ε∀ > ∃ > ∀ ∈ < − → − < y se escribe lim ( )x
f x l→−∞
= .
Límites infinitos al infinito.
Sea I un conjunto no acotado superiormente y f una función real definida en I. Se dice que f
tiene a ∞ ( ó+∞ − ∞ ) cuando x tiende a +∞ si se verifica:
0 0 / , | ( ) |M H x I x H f x M∀ > ∃ > ∀ ∈ > → < y se escribe lim ( )x
f x→+∞
= ∞ .
Sea I un conjunto no acotado inferiormente y f una función real definida en I. Se dice que f
tiende a ∞ ( ó+∞ − ∞ ) cuando x tiende a -∞ si se verifica:
0 0 / , | ( ) |M H x I x H f x M∀ > ∃ > ∀ ∈ < − → > y se escribe lim ( )x
f x→−∞
= ∞ .
Álgebra de límites Sean f y g funciones reales definidas en I y a ∈ I, se pueden realizar las siguientes operaciones
límites sobre dichas funciones: 1. Suma:
a. Si lim ( )x a
f x l→
= y lim ( ) 'x a
g x l→
= entonces lim ( ) ( ) 'x a
f x g x l l→
+ = +
b. Si lim ( )x a
f x→
= +∞ y lim ( )x a
g x→
= +∞ entonces lim ( ) ( )x a
f x g x→
+ = +∞
c. Si lim ( )x a
f x→
= −∞ y lim ( )x a
g x→
= −∞ entonces lim ( ) ( )x a
f x g x→
+ = −∞
d. Si |f(x)| ≤ M x I∀ ∈ y lim ( )x a
g x→
= ∞ entonces lim ( ) ( )x a
f x g x→
+ = ∞
e. Si lim ( )x a
f x→
= +∞ y lim ( )x a
g x→
= −∞ entonces lim ( ) ( )x a
f x g x→
+ da lugar a una
indeterminación.
2. Producto:
a. Si lim ( )x a
f x l→
= y lim ( ) 'x a
g x l→
= entonces lim ( )· ( ) · 'x a
f x g x l l→
=
b. Si |f(x)| > h > 0 y lim ( )x a
g x→
= ∞ entonces lim ( )· ( )x a
f x g x→
= ∞
c. Si |f(x)| ≤ M x I∀ ∈ y lim ( ) 0x a
g x→
= entonces lim ( )· ( ) 0x a
f x g x→
=
22
d. Si lim ( ) 0x a
f x→
= y lim ( )x a
g x→
= ∞ entonces lim ( )· ( )x a
f x g x→
da lugar a una
indeterminación
3. Cociente:
a. Si lim ( )x a
f x l→
= , lim ( ) 'x a
g x l→
= y g(x) ≠ 0 x I∀ ∈ entonces ( )
lim( ) 'x a
f x l
g x l→=
b. Si |f(x)| > h > 0 y lim ( ) 0x a
g x→
= entonces ( )
lim( )x a
f x
g x→= ∞
c. Si lim ( ) 0x a
f x→
= , |g(x)| > h > 0 entonces ( )
lim 0( )x a
f x
g x→=
d. Si |f(x)| ≤ M x I∀ ∈ y lim ( )x a
g x→
= ∞ entonces ( )
lim 0( )x a
f x
g x→=
e. Si lim ( )x a
f x→
= ∞ , |g(x)| ≤ M x I∀ ∈ entonces ( )
lim( )x a
f x
g x→= ∞
f. Si lim ( ) 0x a
f x→
= y lim ( ) 0x a
g x→
= entonces ( )
lim( )x a
f x
g x→ da lugar a una indeterminación.
4. Función potencia:
a. Si lim ( ) 0x a
f x l→
= ≠ , lim ( ) 'x a
g x l→
= entonces ( ) 'lim ( ) g x l
x af x l
→=
b. Si lim ( ) 0x a
f x→
= , lim ( ) ' 0x a
g x l→
= ≠ entonces ( )lim ( ) 0g x
x af x
→= si l’ > 0 y ( )lim ( ) g x
x af x
→= +∞
si l’ < 0
c. Si lim ( )x a
f x→
= +∞ , lim ( )x a
g x→
= +∞ entonces ( )lim ( ) g x
x af x
→= +∞
d. Si lim ( )x a
f x→
= +∞ , lim ( ) ' 0x a
g x l→
= ≠ entonces ( )lim ( ) g x
x af x
→= +∞ si l’ > 0 y
( )lim ( ) 0g x
x af x
→= si l’ < 0.
e. Si lim ( )x a
f x→
= +∞ , lim ( )x a
g x→
= −∞ entonces ( )lim ( ) 0g x
x af x
→=
f. Si [ )lim ( ) 0,1x a
f x l→
= ∈ , entonces ( )lim ( ) 0g x
x af x
→= si lim ( )
x ag x
→= +∞ y ( )lim ( ) g x
x af x
→= +∞ si
lim ( )x a
g x→
= −∞ .
g. Si lim ( ) 1x a
f x l→
= > , entonces ( )lim ( ) g x
x af x
→= +∞ si lim ( )
x ag x
→= +∞ y ( )lim ( ) 0g x
x af x
→= si
lim ( )x a
g x→
= −∞ .
h. Si lim ( ) 0x a
f x→
= y lim ( ) 0x a
g x→
= , lim ( )x a
f x→
= +∞ y lim ( ) 0x a
g x→
= o bien lim ( ) 1x a
f x→
= y
lim ( )x a
g x→
= +∞ entonces ( )lim ( ) g x
x af x
→ da lugar a una indeterminación.
23
Se obtendrán los mismos resultados para el caso en que I sea no acotado y x tienda a ∞. Las
indeterminaciones se resuelven realizando transformaciones en las funciones que permitan llegar al
valor de dicho límite, aplicando infinitésimos equivalentes o aplicando la regla de L’Hôpital.
2.- CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD
Sea I un intervalo de la recta real, a ∈ I y f una función real definida en I. Se dice f es
continua en a si se verifica:
0 0 / , | | | ( ) ( ) |x I x a f x f aε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ ∈ − < → − < y se escribe lim ( ) ( )x a
f x f a→
= .
Se dice que f es continua a la derecha de a si lim ( ) ( )x a
f x f a+→
= y se dice que es continua a la
izquierda de a si lim ( ) ( )x a
f x f a−→
= . Por tanto, una función es continua si se verifica que
lim ( )x a
f x+→
= lim ( ) ( )x a
f x f a−→
= .
Sea J ⊂ I, J ≠ ∅, se dice que f es continua en J si f es continua en a, ∀ a ∈ J.
Observación Las funciones xa , x > 0, a ∈ IR; ax, x ∈ IR; lgbx, b ∈ IR+, b ≠ 1, x > 0; Sen x y Cos x, x ∈
IR son continuas en los puntos donde estén definidas.
Propiedad Sean f, g : I ⊆ IR → IR, a ∈ I, f y g continuas en a, entonces se verifica:
1. f + g es continua en a
2. f· g es continua en a
3. si g(a) ≠ 0 entonces f/g está bien definida en ( ),a a Iδ δ− + ∩ y es continua en a
De aquí se deduce que las funciones enteras: 0 1( ) ... ppf x a a x a x= + + + p ∈ IN, x ∈ IR, son
funciones continuas en IR, y las funciones racionales: 0 1
0 1
...( )
...
pp
a a x a xQ x
b b x b x
+ + +=
+ + + y las funciones
trigonométricas tgx, Ctgx, Secx y Cosecx son continuas excepto donde se anula el denominador.
Composición de funciones continuas Sea f : I ⊆ IR → IR, g : J ⊆ IR → IR, f ( I ) ⊂ J. Si f es continua en a ∈ I y g es continua en
f(a) ∈ J, entonces go f es continua en a
Demostración Hay que probar que
24
0 0 / , | | | ( ( )) ( ( )) |x I x a g f x g f aε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ ∈ − < → − <
Al ser g continua en f(a), se verifica que
dado 1 10 0 / , | ( ) | | ( ) ( ( )) |y J y f a g y g f aε δ δ ε> ∃ > ∀ ∈ − < → − <
como f es continua en a,
dado 1 10 0 / , | | | ( ) ( ) |x I x a f x f aδ δ δ δ> ∃ > ∀ ∈ − < → − < y por tanto
| ( ( )) ( ( )) |g f x g f a ε− <
Discontinuidades Sea f : I ⊆ IR → IR, a ∈ I, si f no es continua en a, se dice que es discontinua. Se pueden
presentar los siguientes tipos de discontinuidades:
1. Discontinuidad evitable, si lim ( ) ( )x a
f x f a→
≠
2. Discontinuidad infinita, si lim ( )x a
f x→
= ∞
3. Discontinuidad de salto finito o de primera especie, si ∃ lim ( )x a
f x−→
≠ lim ( )x a
f x+→
4. Discontinuidad de salto infinito, si lim ( )x a
f x−→
o lim ( )x a
f x+→
= ∞
5. Discontinuidad esencial o de segunda especie, si no existe lim ( )x a
f x−→
o lim ( )x a
f x+→
.
Propiedades de las funciones continuas 1. Sea f : [a,b] → IR continua en [a,b], entonces f alcanza sus valores máximos y mínimos en
[a,b].
2. Sea f continua en a, con f(a) ≠ 0 entonces existe un entorno de a en el que la función no
cambia de signo: f(x)· f(y) > 0, ( ), ,x y a aδ δ∀ ∈ − + .
3. Sea f continua en a entonces existe un entorno de a en el que la función está acotada.
3.- TEOREMA DE BOLZANO
Sea f : [a,b] → IR continua en [a,b] y f(a)· f(b) < 0, entonces existe x0 ∈ (a,b) tal que f(x0) =
0.
Demostración
Por reducción al absurdo, supongamos que f(x) ≠ 0, ∀ x ∈ [a,b] y sea [ ],2
a ba b
+ ∈ ,
entonces ( ) 02
a bf
+ ≠ .
25
Denotamos por [ ]1 1,a b el subintervalo ,2
a ba
+
ó ,2
a bb
+
en el que se verifica que f(a1)· f(b1) <
0, [ ]1 1,a b ⊂ [a,b] y b1 – a1 = 2
b a−
Supuesto definido [an , bn] verificando [ ],n na b ⊂ [ ]1 1,n na b− − ⊂ ... ⊂ [a,b] con bn – an = 2n
b a− y f(an)·
f(bn) < 0, hemos definido un sistema de intervalos cerrado y encajado. Por el Teorema de Cantor
tenemos que [ ],n nn IN
a b∈I ≠ ∅. Sea x0 ∈ [ ],n n
n IN
a b∈I , f es continua en x0 y f(x0) ≠ 0, entonces
[ ]0 0 00 / ( , ) , ( )· ( ) 0x x x a b f x f xδ δ δ∃ > ∀ ∈ − + ∩ → >
Para ese valor δ, ∃ n ∈ IN / 2n
b a−< δ y [ ] ( )0 0, ,n na b x xδ δ⊂ − + ∩ [a,b], luego f(an) y f(bn) tienen
el mismo signo que f(x0), pero f(an)· f(bn) < 0. →←
El teorema de Bolzano se utiliza para la búsqueda de raíces de ecuaciones y el estudio del
signo de una función.
4.- RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS
Sea f(x) una función continua en un intervalo no acotado decimos que f(x) tiene una rama
infinita si existen puntos M = (x, f(x)) cuya distancia al origen sea mayor que cualquier número
prefijado.
Se dice que una función con rama infinita posee una asíntota si existe una recta cuya distancia
de la recta a un punto de la rama infinita se puede hacer tan pequeña como se quiera.
Se dice que una función con rama infinita posee una rama parabólica si no posee asíntotas.
Ramas infinitas en el infinito Al hacer lim ( )
xf x
→+∞, se nos puede presentar los siguientes casos:
1. Si lim ( )x
f x l→+∞
= , entonces la recta y = l es asíntota horizontal.
2. Si lim ( )x
f x→+∞
= ∞ , pasamos a hacer el ( )
limx
f x
x→+∞ y podemos obtener los siguientes casos:
26
a. ( )
limx
f x
x→+∞= 0, la función tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX.
b. ( )
limx
f x
x→+∞= ∞ , la función tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY.
c. ( )
limx
f xm
x→+∞= , lim ( )
xf x mx
→+∞− = ∞ , la función tiene una rama parabólica en la
dirección y = m· x.
d. ( )
limx
f xm
x→+∞= , lim ( )
xf x mx n
→+∞− = , la recta y = m· x + n es una asíntota oblicua para
f(x). Si ( )
( )( )
P xf x
Q x= y grado(P(x)) = grado (Q(x)) + 1 entonces la asíntota oblicua
coincide con el cociente de P(x) : Q(x).
Una función no puede tener a la vez asíntota oblicua y horizontal.
Ramas infinitas en un punto Si lim ( )
x af x
→= ∞ entonces la recta x = a es una asíntota vertical. Si ( )f x es una función
racional sin raíces comunes, las asíntotas verticales se encuentran en los valores de x que son raíces
del denominador.
De la misma manera se pueden obtener los resultados para x →- ∞.
27
CAPÍTULO 4
Derivada de una función en un punto
Función derivada
Derivadas sucesivas
Aplicaciones
28
1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Sea :f S ⊂ →� � , y 0 'x S S∈ ∩ , S’ conjunto de puntos de acumulación de S. Si existe el
límite 0
0
0
( ) ( )limx x
f x f x
x x→
−−
se dice que f es derivable o diferenciable en x0 y el valor del límite se
denota por f’(x0) que llamaremos derivada de f en x0.
Observaciones
1. Se puede utilizar la notación: f’(x0) = 0 0
0
( ) ( )limh
f x h f x
h→
+ −, donde h = x – x0.
2. Se dice que f es derivable en x0 por la derecha si 0
00
0
( ) ( )lim '( )x x
f x f xf x
x x+
+
→
−∃ =−
y f es
derivable en x0 por la izquierda si 0
00
0
( ) ( )lim '( )x x
f x f xf x
x x−
−
→
−∃ =−
. Si f es derivable por la
izquierda y derecha de x0 entonces f es derivable en x0 si 0'( )f x + = 0'( )f x − . Si 0'( )f x + ≠
0'( )f x − se dice que f tiene en x0 un punto anguloso.
Teorema Sea :f S ⊂ →� � , y 0 'x S S∈ ∩ . Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0.
El recíproco no es cierto, por ejemplo f(x) = |x| es continua y no derivable en 0.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Sea :f S ⊂ →� � , y 0 'x S S∈ ∩ y consideramos el haz de rectas 0 0( ) ( )mr y m x x f x≡ = − + .
Denominamos tangente a la curva y = f(x) en el punto (x0, f(x0)) a la recta del haz que verifique
0 0
( )lim 0x x
f x y
x x→
− =−
.
x0
La tangente es la recta del haz que mejor aproxima a la curva en un entorno de x0. Para que
exista la tangente se debe cumplir: 0
0 0
0
( ) ( ( ) ( ))lim 0x x
f x m x x f x
x x→
− − + =−
→ 0
0
0
( ) ( )limx x
f x f x
x x→
−−
= m. Por
29
tanto existe recta tangente a una función f(x) en un punto x0 si y sólo si f es derivable en x0 y f’(x 0)
= m. La ecuación de la recta tangente es: 0 0 0'( )·( ) ( )y f x x x f x= − + .
2. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS.
Sea :f S ⊂ →� � , si f es derivable en x, ∀ x ∈ S se dice que f es derivable en S y la
función que a cada punto le asocia su derivada se denomina función derivada primera de f y se
denota f’. Si la función f’ es derivable en 0 'x S S∈ ∩ , a la derivada de f’ en x0 se le denomina
derivada segunda de f en x0 y se denota f’’(x0). En general si f es n veces derivable en S, la función
que a cada punto le asocia el valor de la función derivada n veces se denomina función derivada n-
ésima y se denota fn(x).
ÁLGEBRA DE DERIVADAS
Sean , :f g S⊂ →� � , y 0 'x S S∈ ∩ . Si f y g son derivables en x0 entonces:
1. f ± g es derivable en x0 y (f ± g)’(x0) = f’(x0) ± g’(x0).
2. f· g es derivable en x0 y (f· g)’(x0) = f’(x0)· g(x0) + f(x0)· g’(x0).
3. Si g(x0) ≠ 0, f
g es derivable en x0 y
/
0 0 0 00 2
0
'( )· ( ) ( )· '( )( )
( )
f x g x f x g xfx
g g x
−=
Derivación de la función compuesta (Regla de la cadena)
Sea :f S ⊂ →� � , :g T ⊂ →� � , f(S) ⊂ T. Si f es derivable en x0 y g es derivable en f(x0)
entonces go f es derivable en x0 y ( ) 0 0 0'( ) '( ( ))· '( )g f x g f x f x=o .
Demostración
Sea :h T ⊂ →� � / 0
00
0 0
( ) ( ( )); ( )
( )( )
'( ( )) ; ( )
g y g f xy f x
y f xh y
g f x y f x
− ≠ −= =
h es continua en f(x0) pues 0 0( ) ( )
lim ( ) limy f x y f x
h y→ →
= 00
0
( ) ( ( ))'( ( ))
( )
g y g f xg f x
y f x
− =−
= h(f(x0)).
Sea 0
00
0 0
( ( )) ( ( )); ( ) ( )
( ) ( )( ( ))
'( ( )) ; ( ) ( )
g f x g f xf x f x
f x f xh f x
g f x f x f x
− ≠ −= =
30
f es continua en x0 por ser derivable, por tanto ho f es continua en x0 y
00 0lim ( ( )) ( ( )) '( ( ))
x xh f x h f x g f x
→= =
0x x∀ ≠ se tiene ( 0( ) ( )f x f x− )· h(f(x)) = g(f(x)) – g(f(x0)), por tanto ( 0
0
( ) ( )f x f x
x x
−−
)· h(f(x)) =
0
0
( ( )) ( ( ))g f x g f x
x x
−−
. Tomando límites para x → x0 queda: 0'( )f x · 0'( ( ))g f x = ( ) 0'( )g f xo .
Derivada de la función inversa
Sea ( )0 0: ,f x r x r− + ⊂ →� � , si f es continua y estrictamente monótona en ( )0 0,x r x r− + y
es derivable en x0, con f’(x0) ≠ 0 entonces f-1 es derivable en f(x0) y se verifica
10
0
1( ) '( ( ))
'( )f f x
f x− = .
Ejemplo
[ ]: , 1,12 2
Senπ π − → −
es continua y estrictamente creciente por lo que
1 :[ 1,1] ,2 2
fπ π− ∃ − → −
continua y derivable en todo punto de ,2 2
π π −
con
1( ) ( )f y arcsen y− = .
Por el teorema de la función inversa: 1 0 2 20 0 0
1 1 1( ) '( )
1 1f y
Cosx Sen x y
− = = =− −
Luego (arcsenx)’ = 2
1
1 x− ( )1,1x∀ ∈ −
DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
f (x) = k → f’ (x) = 0
f (x) = xn → f’ (x) = nxn – 1
f(x) = ex → f’(x) = ex
f(x) = ax → f’(x) = ax· lna
f(x) = lnx → f’(x) = 1
x
f(x) = logax → f’(x) = 1
·lnx a
f(x) = senx → f(x) = cosx
f(x) = cosx → f(x) = - senx
31
f(x) = tgx → f’(x) = sec2x
f(x) = cotgx → f’(x) = - cosec2x
f(x) = arcsenx → f’(x) = 2
1
1 x−
f(x) = arccosx → f’(x) = 2
1
1 x
−−
f(x) = arctgx → f’(x) = 2
1
1 x+
3. APLICACIONES
FUNCIONES CON DERIVADA NO NULA
Sea :f S ⊂ →� � , x ∈ S, se dice que f tiene en x0 un máximo relativo si ∃ δ tal que f(x) es un
máximo de f en ( )0 0, .x x Sδ δ− + ∩ Análogamente se dice que tiene un mínimo relativo si f(x) es
un mínimo de f en dicho intervalo.
Teorema
Sea :f S ⊂ →� � , x0 ∈ int(S), si f es derivable en x0 y f’(x 0) ≠ 0, entonces ∃ δ > 0 tal que:
1. Si f’(x0) > 0 entonces 0 0 0
0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
f x f x si x x x
f x f x si x x x
δδ
< < < + < − < <
2. Si f’(x0) < 0 entonces 0 0 0
0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
f x f x si x x x
f x f x si x x x
δδ
> < < + > − < <
Consecuencia
Sea :f S ⊂ →� � , x0 ∈ int(S), si f tiene en x0 un extremo relativo y f es derivable en x0
entonces f’(x0) = 0.
Este resultado da una condición necesaria para la existencia de extremos relativos. En la
práctica si f: [a,b] → IR es continua, f alcanza el máximo y mínimo absoluto en alguno de los
puntos:
1. a ó b
2. x0 ∈ (a,b) / no existe f’(x0)
3. x0 ∈ (a,b) / f’(x0) = 0
TEOREMA DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO
32
Teorema de Rolle Sea f: [a,b] → IR continua y derivable en (a,b), entonces:
1. si f(a) = f(b) 0 0( , ) / '( ) 0x a b f x→ ∃ ∈ =
2. si f’(x) ≠ 0 ∀ x ( , )a b∈ → f es estrictamente creciente si f(a) < f(b) y estrictamente
decreciente si f(a) > f(b).
Demostración 1.- Por reducción al absurdo.
Supongamos que ( , ) / '( ) 0x a b f x∀ ∈ ≠ , entonces el máximo y mínimo de f no se
alcanzan en (a,b). Al ser f continua en un compacto f debe alcanzar su máximo y mínimo absoluto
en [a,b], entonces maxf = minf = f(a) = f(b) → f es constante y f’ = 0 →←
2.- Supongamos que f(a) < f(b), por el mismo razonamiento anterior f(a) = [ ],
minx a b
f∈
y f(b) = [ ],
maxx a b
f∈
.
Además f(a) < f(x) < f(b) ( , )x a b∀ ∈ ya que si f(a) = f(x), por el apartado anterior existiría x0 ∈
(a,x) / f’(x0) = 0 y lo mismo si f(b) = f(x).
Sean x1, x2 ∈ [a,b], a ≤ x1 < x2 ≤ b. Si a = x1 → f(x1) < f(x2) y si a < x1 < x2 ≤ b aplicando
el mismo razonamiento en [a, x2] llegamos a que f(a) < f(x1) < f(x2). Por tanto f es estrictamente
creciente.
De forma análoga se puede probar para f(a) > f(b).
Teorema del valor medio Sean f, g: [a,b] → IR continuas y derivables en (a,b), entonces
0 0 0( , ) / ( ( ) ( ))· '( ) ( ( ) ( ))· '( )x a b f b f a g x g b g a f x∃ ∈ − = −
Teorema del valor medio de Lagrange Sea f: [a,b] → IR continua y derivable en (a,b), entonces 0 ( , )x a b∃ ∈ /
0( ) ( ) ( )· '( )f b f a b a f x− = −
Se obtiene a partir del teorema del valor medio tomando g(x) = x.
Consecuencia Sea f: [a,b] → IR continua y derivable en (a,b), se tiene:
a. f’(x) = 0 ∀ x ( , )a b∈ → f es constante en [a,b]
b. f’(x) > 0 ∀ x ( , )a b∈ → f es estrictamente creciente en [a,b]
c. f’(x) < 0 ∀ x ( , )a b∈ → f es estrictamente decreciente en [a,b]
33
REGLA DE L’HOPITAL
Sean f, g: (a,b) → IR derivables en (a,b), g’(x) ≠ 0 en (a,b) y lim ( ) lim ( ) 0x a x a
f x g x+ +→ →
= = o ∞.
Si'( )
lim'( )x a
f xl o
g x+→= ∈ ∞� entonces
( )lim
( )x a
f xl
g x+→= .
Se puede obtener de forma análoga el resultado cuando x→b-
Sean f, g: (M, +∞) → IR derivables en (M, +∞), g’(x) ≠ 0 en (M, +∞) y
lim ( ) lim ( ) 0x a x a
f x g x+ +→ →
= = o ∞. Si'( )
lim'( )x a
f xl o
g x+→= ∈ ∞� entonces
( )lim
( )x a
f xl
g x+→= .
Se puede obtener de forma análoga el resultado para el intervalo (- ∞, M).
34
CAPÍTULO 5
D E S A R R O L L O D E U N A F U N C I O N E N S E R I E D E
P O T E N C I A S
T E O R E M A D E T A Y L O R
A P L I C A C I O N E S A L E S T U D I O L O C A L D E F U N C I O N E S
1. DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS
35
Sean a, a0, an ∈ IR, n ∈ IN y sean fn: IR → IR / f0(x) = a0 y fn(x) = an(x – a)n. Se define la
serie de potencias en a como 0
( )nn
n
a x a≥
−∑
Resultados
1. Criterio de la raíz. Sea 0
nn
a≥∑ , an ≥ 0, sea lim | |n
na = L. Si L < 1, la serie converge y si L
< 1 la serie diverge.
2. Criterio de Weierstrass. Sea 0
( )nn
f x≥∑ serie de funciones con ( )n nf x a≤ x U∀ ∈ ,
0n
n
a≥∑ < ∞, entonces
0
( )nn
f x≥∑ es uniformemente convergente en U y absolutamente
convergente en todo punto de U.
Teorema
Sea 0
( )nn
n
a x a≥
−∑ y L = lim | |nna , se tiene:
1. si L = +∞ entonces la serie converge en x = a
2. si 0 < L < +∞ entonces converge absolutamente en 1 1
,a aL L
− +
, uniformemente en todo
compacto contenido en 1 1
,a aL L
− +
y diverge en 1 1
, ,a aL L
−∞ − ∪ + +∞
3. si L = 0 entonces la serie converge absolutamente en IR y uniformemente en todo compacto
contenido en IR.
Demostración
Fijo x ∈ IR, lim | |·| | | |·nnna x a x a L− = −
Si L = +∞, x a∀ ≠ , lim ( ) 0nn
na x a
→∞− ≠ →
0
( )nn
n
a x a≥
−∑ = +∞, y si x = a, 0
( )nn
n
a x a≥
−∑ = 0.
Si 0 < L < +∞, por el criterio de la raíz la serie converge absolutamente si y sólo si L· |x – a|
< 1 ↔ 1 1
,a aL L
− +
Si L = 0, L· |x – a| < 1 ∀ x ∈ IR y la serie es absolutamente convergente en IR.
36
Sea T ⊂ 1 1
,a aL L
− +
ó IR, la aplicación | |x T x a∈ → − es continua en T por lo que existe
x0 ∈ T máximo absoluto: 0| || | | || |n nn na x a a x a− ≤ − n x T∀ ∈ ∀ ∈� y 0
0
| || |nnn
a x a≥
− < +∞∑
pues x0 ∈ T. Por el Criterio de Weierstrass 0
( )nn
n
a x a≥
−∑ converge uniformemente.
Notas
1. A [ ]10,
L∈ +∞ se le denomina radio de convergencia y al intervalo que define intervalo de
convergencia.
2. En los extremos del intervalo de convergencia la serie puede tener cualquier carácter.
3. Utilizando el Criterio de Stolz tenemos que si 1
| |lim
| |n
nn
a
a→∞−
∃ entonces ∃ lim | |nna
Sea 0
( )nn
n
a x a≥
−∑ , ρ ≠ 0 el radio de convergencia, I el intervalo de convergencia. La función f: I
→ IR / f(x) = 0
( )nn
n
a x a≥
−∑ se denomina función definida por la serie de potencias. Se verifica que
f es continua y derivable en I con / f’(x) = 1
1
( )nn
n
na x a −
≥−∑ . Además ( )kf x∃ k x I∀ ∈ ∀ ∈� y
( )
!
n
n
f aa
n=
FUNCIONES ELEMENTALES DEFINIDAS COMO SERIE DE POTENCIAS
1. 0 !
kx
k
xe
k
+∞
=
=∑
2. 1
1
log(1 ) ( 1)k
k
k
xx
k
+∞−
=
+ = −∑
3. 1
1
1k
k
xx
+∞
==
− ∑
4. 2 1
0
( 1)(2 1)!
kk
k
xSenx
k
++∞
=
= −+∑
5. 2
0
( 1)(2 )!
kk
k
xCosx
k
+∞
=
= −∑
37
2. FÓRMULA DE TAYLOR
Sea f: (b, c) → IR y f n veces derivable en a ∈ (b, c), n ∈ IN. El polinomio
'( )( ) ( ) ...
1!
f af a x a+ − + + ( )
( )!
nnf a
x an
− se denomina polinomio de Taylor de f en el punto a de
grado n.
Tn(x) = f(x) – { '( )( ) ( ) ...
1!
f af a x a+ − + + }( )
( )!
nnf a
x an
− se denomina término complementario o
resto de orden n de f en a. La fórmula: f(x) = '( )
( ) ( ) ...1!
f af a x a+ − + + ( )
( )!
nnf a
x an
− + Tn(x) se
denomina fórmula de Taylor de orden n de f en el punto a.
Teorema de Taylor
Sea f: (b, c) → IR, a ∈ (b, c), f es n – 1 veces derivable en (b, c) y n veces derivable en a, entonces
( )( )
lim 0nnx a
T x
x a→=
−
Al ser f continua en a tenemos que ( )
( ) 0lim
0n
nx a
T x
x a→=
−. Tn es n – 1 veces derivable en (b,c) por
serlo f así que podemos aplicar la regla de L’Hopital n – 1 veces, quedando el límite:
( )1( )
lim( 1)...2·
nn
x a
T x
n n x a
−
→=
− − ( )1 1( ) ( ) ( )·( )
lim!
n n n
x a
f x f a f a x a
n x a
− −
→
− − − =−
1 11 ( ) ( )lim ( ) 0
!
n nn
x a
f x f af a
n x a
− −
→
− − = − , existe pues f es n veces derivable en el punto a.
Se denota ( ) (( ) )nnT x x a≡ Θ − que se lee “infinitésimo de orden superior a (x – a)n cuando x
→ a”
Con el polinomio de Taylor se pretende aproximar localmente funciones mediante
polinomios con un grado dado. Cuando a = 0, la fórmula de Taylor recibe el nombre de Fórmula de
McLaurin: f(x) = '(0)
(0) ...1!
ff x+ + + (0)
!
nnf
xn
+ ( )nxΘ y 0
(( ) )lim 0
n
nx
x
x→
Θ =
FORMULA DE McLAURIN DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES
1. 1
1 x−= 21 ... nx x x+ + + + + ( )nxΘ
2. xe =2
1 ...2! !
nx xx
n+ + + + + ( )nxΘ
38
3. 2 3 1( 1)
log(1 ) ...2 3
n nx x xx x
n
−−+ = − + − + + ( )nxΘ
4. ( ) 21 ...0 1 2
nx x x xn
α α α α α + = + + + +
+ ( )nxΘ
5. Sen x = 3
6
xx− +
5 2 1( 1)...
120 (2 1)!
n nx x
n
+−− ++
+ 2 2( )nx +Θ
6. Cos x = 2
12
x− + 4 2( 1)
...24 (2 )!
n nx x
n
−− + + 2 1( )nx +Θ
EXPRESIONES DEL TÉRMINO COMPLEMENTARIO
Teorema
Sea f: (b, c) → IR, a, x ∈ (b, c), a ≠ x, f n + 1 veces derivable en (b, c), entonces
1 2, ( , )x x I a x∃ ∈ / Tn(x) = 1
11( )( )
( 1)!
nnf x
x an
++−
+, denominada Expresión de Lagrange y Tn(x) =
12
2
( )( ) ( )
!
nnf x
x x x an
+
− − , denominada Expresión de Cauchy.
Demostración
Sea F: [ , ]I x a → � derivable en I(x, a), F(t) = '( )
( ) ( ) ...1!
f tf t x t+ − + + ( )
( )!
nnf t
x tn
−
F’(t) = 1( )
( )!
nnf t
x tn
+
−
Sea G: [ , ]I x a → � derivable en I(x, a), G(t) = 1( )nx t +− . Aplicando el teorema del valor medio a F
y G, tenemos que ( , )xt I x a∃ ∈ / [ ]'( ) ( ) ( )xF t G x G a− = [ ]'( ) ( ) ( )xG t F x F a− . G(x) = 0, F(x) = f(x),
F(a) = Pn(x), luego queda: 1
1( )( ) ( )
!
nn nx
x
f tx t x a
n
++− − − = (n + 1)(x – tx)
n (-1)· Tn(x). Despejando se
obtiene la expresión de Lagrange.
Para obtener la expresión de Cauchy se aplica el mismo procedimiento tomando G(x) = x – t.
3. APLICACIÓN AL ESTUDIO DE EXTREMOS RELATIVOS
Sea f: (b, c) → IR, si f es derivable en a ∈ (b, c) y f’(a) = 0 se dice que a es un punto crítico de f.
Si a es un punto crítico y no es ni un máximo ni mínimo relativo se dice que a es un punto de
inflexión.
39
Sea f: (b, c) → IR y f n veces derivable en a ∈ (b, c), n > 1, y f’(a) = 0 = 1''( ) ... ( )nf a f a−= = y
( ) 0nf a ≠ entonces:
1. Si n es par y:
a. ( ) 0nf a > entonces f tiene en a un mínimo relativo
b. ( ) 0nf a < entonces f tiene en a un máximo relativo
2. Si n es impar, f tiene en a un punto de inflexión
Demostración
f(x) = ( )f a + ( )( )
!
nnf a
x an
− + Tn(x) → ( )( ) ( ) ( )
( ) ! ( )
nn
n n
T xf x f a f a
x a n x a
− = +− −
( )
( )n
n
T x
x a− no tiene signo cuando x → a porque tiene a 0, así que para ( ),x a aδ δ∈ − + , x ≠ a,
0δ∃ > / ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) !
n
n
f x f a f asg sg
x a n
− =−
Si n es par, fn(a) > 0 y entonces f(x) > f(a), ∀ ( ),x a aδ δ∈ − + , x ≠ a
Si n es par, fn(a) < 0 y entonces f(x) < f(a), ∀ ( ),x a aδ δ∈ − + , x ≠ a
Si n es impar, para x < a: (x – a)n < 0 y para x > a: (x – a)n > 0. Luego f(x) – f(a) debe cambiar de
signo en ( ) { },a a aδ δ− + − para que coincida con ( )
( )!
nf asg
n.
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Sea f: (b, c) → IR, f es derivable en a ∈ (b, c), la recta tangente a y = f(x) en a tiene por
ecuación: y = f’(a)· (x – a) + f(a). Si 0δ∃ > / ∀ ( ),x a aδ δ∈ − + f(x) ≥ f’(a)· (x – a) + f(a), se dice
que f es convexa en a. Si 0δ∃ > / ∀ ( ),x a aδ δ∈ − + f(x) ≤ f’(a)· (x – a) + f(a), se dice que f es
cóncava en a.
Convexa
Cóncava
Teorema
40
Sea f: (b, c) → IR y f n veces derivable en a ∈ (b, c), n > 1, y f’’(a) = 0 =
1'''( ) ... ( )nf a f a−= = y ( ) 0nf a ≠ entonces:
1. Si n es par y:
a. ( ) 0nf a > entonces f es convexa
b. ( ) 0nf a < entonces f es cóncava
2. Si n es impar, f no es ni cóncava ni convexa
Demostración
f(x) = ( )f a + f’(a)(x – a) + ( )
( )!
nnf a
x an
− + Tn(x) → ( ) ( ( ) '( )( ))
( )n
f x f a f a x a
x a
− − −−
( )( )
! ( )
nn
n
T xf a
n x a= +
−
Se sigue los mismos pasos que en la demostración anterior. Para el caso en que n sea impar se
obtiene que la recta tangente queda a ambos lados de la función en el intervalo
( ),a aδ δ− + .
41
C A P Í T U L O 6
EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA
I N T E G R A L D E F I N I D A
42
1. EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA1. EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA1. EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA1. EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA
Medir el área de una figura es dar un valor de su tamaño o extensión. Para hallar el área de
regiones poligonales descomponemos dicha región en triángulos disjuntos tomando como valor del
área la suma de las áreas de dichos triángulos. Para otro tipo de figuras utilizaremos una reunión de
rectángulos disjuntos de lados paralelos.
El concepto de área debe verificar los cuatro siguientes postulados:
1. El área de una figura es un número mayor o igual que cero.
2. Dos figuras congruentes tienen igual área.
3. El área de dos figuras disjuntas es la suma de las áreas de cada figura.
4. El área, tal como se defina, debe coincidir con las fórmulas del área de las figuras
elementales.
Para la primera definición de área consideraremos un número finito de rectángulos disjuntos de
lados paralelos cuya reunión contienen y están contenidos en una figura F. Si dado ε > 0, las áreas
de dichos conjuntos difieren menos de ε, entonces se dirá que F tiene área en el sentido de Riemann.
No todas las figuras planas cumplen esta definición.
Una segunda definición de área generaliza a ésta tomando una serie infinita de rectángulos
disjuntos para lo que se denomina área en el sentido de Lebesgue. En este caso se resuelven
problemas en los que aparecen operaciones con límites o espacios más abstractos.
Ambas definiciones verifican los cuatro postulados anteriores. Si una figura tiene área en el
sentido de Riemann, también la tiene en el sentido de Lebesgue. En la mayoría de los casos basta
con utilizar la primera para los conjuntos que trataremos.
2. INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DE RIEMANN2. INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DE RIEMANN2. INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DE RIEMANN2. INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DE RIEMANN
Sea [a,b] ⊂ IR, una partición de [a,b] es un conjunto P ={x0, x1, …, xn} tal que a = x0 <
x1 < …< xn = b. Sea f : [a,b] → IR acotada y sea P ={x0, x1, …, xn} una partición de [a,b].
Sea mi = inf{f(x) / x i-1 ≤ x ≤ xi } y M i = sup{f(x) / xi-1 ≤ x ≤ xi }. Se define la suma inferior
de f para P como S( f, P ) = ∑=
−−n
iiii xxm
11)( y la suma superior de f para P como S( f, P ) =
∑=
−−n
iiii xxM
11)( .
43
La condición de que f esté acotada en el intervalo [a , b] es fundamental para que los mi y Mi
queden definidos. Además consideramos los ínfimos y supremos ya que f puede no ser continua.
Las sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades:
1. S ( f, P ) ≤ S( f, P )
2. Si consideramos una partición P’ tal que P ⊂ P’, obtenemos unas sumas que
verifican: S ( f, P ) ≤ S ( f, P’ ) y S( f, P’ ) ≤ S( f, P ).
3. Las sumas inferiores están acotadas superiormente por cualquier suma superior, y
por tanto existe SupS ( f, P ). Análogamente también existe Inf S( f, P ).
Se define la Integral Superior de Darboux como ∫b
adxxf )( = inf{ S (f ,P) / P∈ P [a,b] }
Se define la Integral Inferior de Darboux como ∫b
adxxf )( = sup{ S(f ,P) / P∈ P [a,b] }
Se verifica por la propiedades del ínfimo y supremo que ∫b
adxxf )( ≤ ∫
b
adxxf )( .
Una función f: [ ] ℜ→ba, acotada, se dice que f es integrable de Riemann en [a,b]
si ∫b
adxxf )( = ∫
b
adxxf )( . A este número se le llama integral de Riemann de f sobre [a, b] y
se denota por dxxfb
a)(∫ .
Además, si f(x) ≥ 0 en [a,b] para A = {(x,y); a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} se define el área
de A como dxxfb
a)(∫ . Si f(x) ≤ 0 en [a,b] para B = {(x,y); a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ 0} se define
el área de B como - dxxfb
a)(∫ .
Teorema
Sea f: [ ] ℜ→ba, función acotada, con a, b ∈ ℜ . Entonces f es integrable Riemann
⇔ [ ]0, , /P P a bε∀ > ∃ ∈ ε<− ),(),( PfSPfS .
44
Demostración:
⇒
Sea f integrable Riemann y ε >0.
dxxfb
a)(∫ =inf{ S (f,P)/P∈P[a,b]}
dxxfb
a)(∫ es la mayor de las cotas inferiores de { S (f ,P) / P∈ P [a,b] }⇒
⇒ dxxfb
a)(∫ ++++ε /2 no es cota inferior del conjunto⇒
⇒ ∃ P1∈ P [a,b] / dxxfb
a)(∫ ≤≤≤≤ S (f ,P1) < < < < dxxf
b
a)(∫ ++++ε /2
De la misma forma, dxxfb
a)(∫ ====sup{ S (f ,P) / P∈ P [a,b] }
dxxfb
a)(∫ es la menor de las cotas superiores del conjunto{ S (f ,P) / P∈ P [a,b] }⇒
⇒ dxxfb
a)(∫ ----ε /2 no es cota superior ⇒
⇒ ∃ P2∈ P [a,b] / dxxfb
a)(∫ ----ε /2 < S (f ,P2) ≤≤≤≤ dxxf
b
a)(∫ ....
Entonces dxxfb
a)(∫ ----ε /2 < S (f ,P2) y S (f ,P1) < < < < dxxf
b
a)(∫ ++++ε /2.
Restando, S (f ,P1) - S (f ,P2) ≤≤≤≤ dxxfb
a)(∫ ++++ε /2- ( dxxf
b
a)(∫ ----ε /2 ) = ε
45
Sea P = P1 ∪ P2. Como P1 ⊂ P ⇒ S (f ,P) ≤≤≤≤ S (f ,P1) < < < < dxxfb
a)(∫ ++++ε /2
Como P2 ⊂ P ⇒ dxxfb
a)(∫ ----ε /2 < S (f ,P2) ≤≤≤≤ S (f ,P)
Entonces ε<− ),(),( PfSPfS .
⇐
Sea ε >0 cualquiera, ∃ P∈ P [a,b] / ε<− ),(),( PfSPfS
S (f ,P) ≤≤≤≤ ∫b
adxxf )( ≤ ∫
b
adxxf )( ≤≤≤≤ S (f ,P) ⇒
⇒0 ≤ S (f ,P) ---- S (f ,P) ≤≤≤≤ ∫b
adxxf )( - ∫
b
adxxf )( ≤ ε , 0>∀ε ⇒ ∫
b
adxxf )( =
∫b
adxxf )(
Luego f integrable Riemann.
Teoremas
1. Si f : [a,b] → IR es continua en [a,b] entonces f es integrable Riemann en [a,b].
2. Si f : [a,b] → IR es acotada y continua en [a,b] excepto en un conjunto finito de
puntos entonces f es integrable Riemann en [a,b].
3. Si f : [a,b] → IR es monótona en [a,b] entonces f es integrable Riemann en [a,b].
Propiedades
46
1. f, g integrables Riemann en [a, b]⇒ f + g es integrable Riemann en [a,b] y )( gfb
a+∫ = = = =
fb
a∫ ++++ gb
a∫
2. f integrable Riemann en [a, b]⇒ λf es integrable Riemann en [a,b] y λ∫b
a f = = = = λ f
b
a∫
3. f, g integrables Riemann en [a, b]⇒ f.g integrable Riemann en [a ,b ]
4. f integrable Riemann en [a, b] y c ∈ (a,b) ⇒ f integrable Riemann en [a, c] y [c,b] y
b
af∫ = = = =
c
a
f∫ ++++b
cf∫
5. f integrable Riemann en [a, b] y en [b, c] ⇒ f integrable Riemann en [a, c] y ∫c
af = = = =
fb
a∫ ++++ ∫c
bf
6. f, g integrables Riemann en [a, b] / f≤g ⇒ fb
a∫ ≤ gb
a∫
7. f integrable Riemann en [a, b] entonces |f| integrable Riemann en [a, b] y
fb
a∫ |≤ || fb
a∫
8. dxxfb
a)(∫ = = = = ---- dxxf
a
b)(∫
Teorema Fundamental del Cálculo Integral.
Sea f : [ ] ℜ→ba, integrable Riemann y F : [a,b] → IR definida como F(x) = x
a
f∫ .
Entonces F es continua en [ ]ba, . Además si f es continua en x0 ∈ [a,b] entonces F es
derivable en x0 y F’(x0) = f(x0).
Demostración:
47
F está bien definida en [a.b] pues [ ],x a b∀ ∈ f es integrable Riemann en [a,x] por
serlo en [a,b]. Sea [ )0 ,x a b∈ , veamos que F es continua a la derecha de x0.
[ ]0,x x b∀ ∈ , 0 ≤ 0
0( ) ( )xx
a a
F x F x f f− = −∫ ∫ = 0 0
0
x xx
a x a
f f f+ −∫ ∫ ∫ = 0
x
x
f∫ ≤ 0
0( )x
x
f M x x≤ −∫ siendo
M = sup{|f(x)|, x ∈ [a,b]}
Luego para x 0x+→ se obtiene 0
0lim ( ) ( )x x
F x F x+→
− = 0.
Análogamente, si x0 ∈ (a,b], [ ]0,x a x∀ ∈ se tiene 0 ≤ 0
0( ) ( )xx
a a
F x F x f f− = −∫ ∫ =
0
( )xx x
a a x
f f f− +∫ ∫ ∫ = 0x
x
f−∫ ≤ 0
0( )x
x
f M x x≤ −∫ siendo M = sup{|f(x)|, x ∈ [a,b]}
Luego para x 0x−→ se obtiene 0
0lim ( ) ( )x x
F x F x−→
− = 0.
Sea f continua en [a,b] y [ )0 ,x a b∈ , veamos que 0
0
0
( ) ( )limx x
F x F x
x x+→
−−
= f(x0)
Dado ε > 0, por ser f continua en x0 0δ∃ > 0 0x x x bδ≤ < + ≤ tal que 0( ) ( )f x f x ε− <
0
00 0
0 0
( ) ( ) 1( ) ( )
x
x
F x F xf x f f x
x x x x
− − = −− − ∫ =
0
1
x x−0
0 0( )( )x
x
f f x x x− −∫ = 0
1
x x−0 0
0( )xx
x x
f f x−∫ ∫ ≤
0
1
x x−0
0( )x
x
f f x− <∫ 0
1
x x−ε (x-x0) = ε
Sea x0 ∈ (a,b], veamos que 0
0
0
( ) ( )limx x
F x F x
x x−→
−−
= f(x0)
Dado ε > 0, por ser f continua en x0 0δ∃ > 0 0a x x xδ≤ − < ≤ tal que 0( ) ( )f x f x ε− <
48
0
0( ) ( )xx
a a
F x F x f f− = −∫ ∫ = 0
( )xxx
a a x
f f f− +∫ ∫ ∫ = 0x
x
f−∫ = 0
x
x
f∫
0
00 0
0 0
( ) ( ) 1( ) ( )
x
x
F x F xf x f f x
x x x x
− − = −− − ∫ =
0
1
| |x x−0
0 0( )( )x
x
f f x x x− −∫ =
0
1
| |x x−0 0
0( )xx
x x
f f x−∫ ∫ ≤ 0
1
| |x x−0
0( )x
x
f f x− <∫ 0
1
x x−ε (x-x0) = ε
Consecuencias
1. Si f es continua en [a,b], entonces existe una primitiva de f en [a,b]: ∃ F
: [a,b] → IR, F(x) = x
a
f∫ con F derivable en [a,b] y F’ = f
2. Regla de Barrow. Sea f continua en [a,b] y G una primitiva de f en [a,b], entonces
( ) ( )b
a
f G b G a= −∫
3. Sea f : [ ] ℜ→ba, integrable Riemann y G una primitiva de f en [a,b], entonces
( ) ( )b
a
f G b G a= −∫ .
49
CAPÍTULO 7
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
CÁLCULO DE ALGUNAS PRIMITIVAS
APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CÁLCULO DE MAGNITUDES GEOMÉTRICAS
o Primitiva de una función
o Integrales inmediatas
o Método de sustitución
o Integración por partes
o Fórmulas recurrentes
o Integración de funciones racionales
o Método de Hermite
o Integración de funciones irracionales
o Integrales binomias
o Integración de funciones trigonométricas
o Aplicaciones
50
1.- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Dada una función f(x), si existe una función F(x) tal que F’(x) = f(x) se dice que F(x) es una
primitiva de f(x) y se escribe F(x) = ( )f x dx∫ . Si la función f(x) admite una primitiva entonces toda
función de la forma F(x) + C, con C constante es también una primitiva de f.
Propiedades
1. ( )( ) ' ( )f x dx f x=∫
2. · ( ) ( )a f x dx a f x dx=∫ ∫ a constante
3. 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x dx f x dx f x dx± = ±∫ ∫ ∫
Integrales inmediatas
1. 1
1
nn x
x dx Cn
+
= ++∫ n ≠ -1
2. x xe dx e C= +∫
3. ln
xx a
a dx Ca
= +∫
4. 1
ln | |dx x Cx
= +∫
5. ( )Sen x dx Cosx C= − +∫
6. ( )Cos x dx Senx C= +∫
7. 2
1dx tgx C
Cos x= +∫
8. 2secCo xdx Cotgx C= − +∫
9. ( ) ln | |tg x dx Cosx C= − +∫
10. ( ) ln | |Cotg x dx Senx C= +∫
11. 2
1
1dx arcSenx C
x= +
−∫
12. 2
1
1dx arcCosx C
x
− = +−∫
13. 2
1
1dx arctgx C
x= +
+∫
51
14. ( )Sh x dx Chx C= +∫
15. ( )Ch x dx Shx C= +∫
En general, si ( )f x dx∫ es una integral inmediata, entonces ( )f ax b dx+∫ también lo es y
( )f ax b dx+∫ = 1
( )F ax b Ca
+ + , donde F es una primitiva de f.
2.- METODO DE SUSTITUCIÓN
Este método consiste en encontrar una función g(t) que al sustituirla bajo el signo integral,
convierte la integral en otra más sencilla con la nueva variable t. Dicha función debe cumplir que
sea derivable y con derivada no nula y que admita función inversa.
Sea x = g(t), entonces ( ) ( ( )) '( )f x dx f g t g t dt=∫ ∫ .
3.- INTEGRACIÓN POR PARTES
Sean u y v dos funciones de x. Aplicando el diferencial a u· v, tenemos: d(u· v) = u· dv + v·
du. Despejando u· dv e integrando llegamos a:
( )udv d uv vdu= −∫ ∫ ∫ = u· v - vdu∫ que es la llamada fórmula de integración por partes.
Sea la integral ( ) ( )f x g x dx∫ y tomamos u = f(x) con du = f’(x)dx y dv = g(x)dx, donde G es
una primitiva de g, aplicando al integración por parte obtenemos:
( )· ( ) ( ) '( )udv f x G x G x f x dx= −∫ ∫ .
Hemos descompuesto la integral como producto de dos funciones, escogiendo estas de
manera que la nueva integral debe ser más sencilla. Este método se utiliza generalmente cuando en
la integral aparecen funciones trigonométricas, exponenciales, logaritmos de integración inmediata
y polinomios.
Fórmulas recurrentes
Se utilizan fórmulas de recurrencia en integrales que se resuelven por el método de
integración por partes y que contiene una función con exponente natural. Por ejemplo la integral:
nI =( )2 2
1n
dxx a+
∫
52
( )2 2 2
2 2 2
1n n
a x xI dx
a x a
+ −=+
∫ = ( ) 12 2 2
1 1n
dxa x a
−+
∫ ( )2 2 2
1n
xx dx
a x a−
+∫ = 12
1nI
a − ( )2 2 2
1n
xx dx
a x a−
+∫
Hacemos u = x, du = dx y dv = ( )2 2 n
xdx
x a+, v =
( ) 12 2
1
2( 1)n
n x a−−
− +
nI = 12
1nI
a − + ( ) ( )1 12 2 2 2 2
1 1 1
2( 1)2( 1)n n
xdx
a nn x a x a− −
− −− + +
∫ = 12
1nI
a − +
( ) 12 2 22 ( 1)n
x
a n x a−
− +12
1
2 ( 1) nIa n −−
−
Luego nI =( ) 12 2 22 ( 1)
n
x
a n x a−
− ++ 12
1 2 3
2 2 n
nI
a n −−−
4.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Es la integración de la forma ( )
( )
P xdx
Q x∫ donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se debe
comprobar que la fracción no se reduce a una integral de las ya estudiadas:
1. A
x a− da lugar a un logaritmo.
2. ( )m
A
x a− m ≠ -1 , da lugar a una función potencial
3. 2
Ax B
x px q
++ +
, donde 2 4 0p q− < , da lugar a un logaritmo y una arcotangente.
4. 2( )n
Ax B
x px q
++ +
, donde n ∈Z+ y 2 4 0p q− < , se descompone en dos integrales, la primera se
pasa a una función potencial mediante el cambio t = 2x px q+ + y la segunda se aplica la
fórmula de recurrencia vista en el ejemplo anterior.
53
Integración de funciones racionales
Para integrar una función racional ( )
( )
P x
Q x, conviene hacer las transformaciones algebraicas
siguientes:
1. Si el gr(P(x)) ≥ gr(Q(x)), se debe hacer la división de los polinomios, transformando la
fracción de la forma ( ) ( )
( )( ) ( )
P x R xM x
Q x Q x= + , de manera que gr(R(x)) < gr(Q(x))
2. Descomponer el denominador en factores lineales y cuadráticos:
Q(x) = ( )mx a− ... ( )2 n
x px q+ + ..., donde 2 4 0p q− < .
3. Descomponer una fracción racional en elementos simples:
( )
( )
R x
Q x= 1
( )m
A
x a−+ 2
1( )m
A
x a −−+...+ mA
x a−+...+ 1 1
2( )n
B x C
x px q
++ +
+ 2 22 1( )n
B x C
x px q −
++ +
+ ... +
2n nB x C
x px q
++ +
4. Se calculan los coeficientes indeterminados A1, A2, ..., Am, ..., B1, C1, ..., Bn, Cn, ...,
reduciendo a común denominador la última igualdad, igualando entre sí los coeficientes de
potencias iguales de x en ambos miembros y resolviendo el sistema de ecuaciones lineales.
Los coeficientes también se pueden obtener dando a la variable valores numéricos
arbitrarios en la identidad. La integración se reduce a integrar un polinomio y fracciones
elementales racionales.
En la descomposición de Q(x) se pueden dar los siguientes casos:
a. Raíces reales simples. La integral va a dar logaritmos.
b. Raíces reales múltiples. La integral va a dar logaritmos y funciones potenciales.
c. Raíces complejas simples. Va a dar logaritmos y arcotangentes.
d. Raíces reales múltiples. Va a dar funciones potenciales, arcotangentes y logaritmos. En este
caso se suele resolver la integral por el Método de Hermite.
Método de Hermite
Partimos del cociente de polinomios ( )
( )
P x
Q x, donde Q(x) se puede descomponer en cualquiera
de los 4 casos vistos anteriormente. Entonces escribimos la igualdad: ( )
( )
P x
Q x=
( )( )
( )
d S xD x
dx T x
+
donde T(x) es un polinomio con las mismas raíces que Q(x) pero con una unidad menos en el orden
de multiplicidad, S(x) es un polinomio con gr(S(x)) < gr(T(x)) y D(x) es la descomposición de la
54
fracción ( )
( )
P x
Q x considerando las raíces de Q(x) como simples. Se deriva la fracción
( )
( )
S x
T x, se
expresan el lado derecho con denominador Q(x), se igualan los numeradores y se calculan los
coeficientes indeterminados. La integral queda como: I = ( )
( )
S x
T x+ ( )D x dx∫ , donde ésta última
corresponde a uno de los tres primeros casos anteriores.
5.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES
1. Integrales del tipo ( )2
12
1, , ( ) ,...mmnnR x ax b ax b dx
+ +
∫ , donde R es una función racional y m1,
n1, m2, n2, ... son números enteros. La sustitución a· x + b = ts, donde s = m.c.m. ( n1, n2,...)
transforma la función dada en una función racional.
2. Integrales abelianas. Se denomina integral abeliana a una del tipo 2,R x ax bx c dx + + ∫ .
Se resuelven mediante sustitución, atendiendo a los tres siguientes casos:
a. Si a > 0, entonces tomamos 2ax bx c+ + = ax t+
b. Si c > 0, entonces tomamos 2ax bx c+ + = c xt+
c. Si a < 0, entonces tomamos 2ax bx c+ + = ( )x tα− , donde α es una solución de la
ecuación 2ax bx c+ + .
Si b = 0, utilizaremos la sustitución usando funciones trigonométricas.
3. Integrales del tipo 2( ) p
dx
x ax bx cα− + +∫ . El cambio 1
( ) pt
x α=
− transforma la integral en
una del tipo anterior.
4. Integrales del tipo 2
( )nP xdx
ax bx c+ +∫ , donde Pn(x) es un polinomio de grado n. Estas
integrales se calculan teniendo en cuenta la identidad:
2
( )nP xdx
ax bx c+ +∫ = Qn-1(x)· 2ax bx c+ + + λ2
dx
ax bx c+ +∫ donde Qn-1(x) es un polinomio
de grado n-1 de coeficientes indeterminados y λ un número real. Derivando dicha identidad y
reduciendo a común denominador el resultado, se tiene la igualdad de dos polinomios de la que
se determinará los coeficientes y λ.
55
Integrales binomias
Las integrales binomias son de la forma ( )m n px a bx dx+∫ , donde m, n y p son números
racionales. Este tipo de integrales se pueden expresar por medio de funciones elementales en los
tres siguientes casos:
1. p ∈ Ζ. Se hace el cambio x = ts, donde s es el mínimo común múltiplo de los
denominadores de m y n.
2. 1m
n
+ ∈ Ζ. Se hace el cambio a + bxn = ts, donde s es el denominador de la fracción p.
3. 1m
pn
+ + ∈ Ζ. Se hace el cambio ax-n + b = ts donde s es el denominador de la fracción
p.
Integración de funciones trigonométricas
1. Integrales del tipo ( ),R Senx Cosx dx∫ , donde R es una función racional.
Las integrales de este tipo se resuelven realizando la sustitución tg2
x= t. Como consecuencia de
este cambio se tiene:
2
2 2
2
122 1
2
xSen
x Cosxt tg
x CosxCos
− = = = +
, por lo que Cos x = 2
2
1
1
t
t
−+
, Sen x =
2
2
1
t
t+, x = 2arctg(t), dx =
2
2
1dt
t+.
Esta sustitución lleva a cálculos muy complicados. En ciertos casos particulares, este tipo de
integrales se resuelve mediante otras funciones que la simplifican:
a. Si la función R(-Senx, Cosx) = - R(Senx, Cosx) entonces es impar en Senx, hacemos el cambio
t = Cosx.
b. Si la función R(Senx, - Cosx) = - R(Senx, Cosx) entonces es impar en Cosx, hacemos el cambio
t = Senx.
c. Si la función R(-Senx, -Cosx) = - R(Senx, Cosx) entonces es impar en Senx y Cosx, hacemos el
cambio t = tgx.
2. Integrales del tipo m nSen xCos xdx∫ . Consideramos los dos siguientes casos de especial
importancia.
a. m o n es impar positivo. Si lo es n, se toma t = Senx, si lo es m; t = Cosx.
56
b. m y n son pares positivos. Utilizamos las fórmulas de trigonometría: Senx· Cosx =
1
2Sen(2x), 2 1 2
2
Cos xSen x
−= , 2 1 2
2
Cos xCos x
+=
3. Sustituciones trigonométricas.
Las integrales de la forma 2 2,R x a x dx − ∫ , 2 2,R x a x dx +
∫ y 2 2,R x x a dx − ∫ se
reducen a integrales de una función racional en Sen(t) y Cos(t) utilizando las sustituciones:
x = aSen(t), x = atg(t) y x = aSec(t) respectivamente.
6.- APLICACIONES
1. Longitud de una curva y = f(x) entre dos puntos x = a y x = b.
L = ( )21 '( )
b
a
f x dx+∫
2. Área de la figura limitada por la curva y = f(x) entre dos puntos x = a, x = b y el eje OX.
A = ( ) ( )c b
a c
f x dx f x dx−∫ ∫
3. Área de la figura limitada por dos curvas y = f(x) e y = g(x).
A = ( ) ( )b
a
f x g x dx−∫
4. Volumen del cuerpo engendrado por la revolución de la curva y = f(x) entre dos puntos x =
a y x = b al girar el eje OX.
V = 2( )b
a
f x dxπ ∫
5. Volumen del cuerpo engendrado por la revolución de la curva y = f(x) entre dos puntos x =
a y x = b al girar el eje OY.
57
V = 2 ( )b
a
xf x dxπ ∫
6. Área del cuerpo generado por el giro alrededor del eje OX de la curva y = f(x) entre x = a y
x = b.
A = ( )22 ( ) 1 '( )
b
a
f x f x dxπ +∫
58
Bibliografía
1. R. AGUADO MUÑOZ , S. F. CUTILLAS: Matemáticas COU. Ed. CEIPSA, Madrid 1981
2. J. VIZMANOS, M. ANZOLA Y A. PRIMO. Funciones-1,2 y 3.Ediciones S. M. 1981
3. J. W KITCHEN: Cálculo. MCgRAW-Hill, 1986.
4. BURGOS, J.:Cálculo Infinitesimal en una variable. Ed. Mc-Graw-Hill
5. LINÉS, E .: Principios de Análisis Matemático. Ed. Reverté.
6. J. M. ORTEGA: Introducción al Análisis Matemático, Ed. Labor.
7. M. de GUZMÁN, B. RUBIO: Análisis Matemático, Ed, Pirámide
8. W. RUDIN: Principios de Análisis Matemático. Ed. McGraw-Hill
9. M. SPIVAK: Calculus, Ed. Reverté, Barcelona, 1977
10. E. L. LUNA: Curso de Análisis Matemático I, Ed. Edunsa, 1991