Carga transversal en barras de sección simétrica

Es frecuente encontrar elementos unidimensionales que tienen un plano de simetría y que están sometidos a cargas simétricamente aplicadas respecto a este plano. En cualquier sección de estos elementos se pueden presentar exclusivamente un momento flector y una fuerza cortante, acciones que en conjunto se denominan flexión simple.

Como recordaremos, la relación para estas fuerzas internas es: (V y M son positivos en la figura)

V=dMdx

En la sección transversal se presentan esfuerzos normales σ producidos por el momento flector M y esfuerzos cortantes τ causados por la fuerza cortante V.

Como veremos, en la sección transversal los esfuerzos cortantes varían en dirección e intensidad, dando lugar a distorsiones angulares que hacen que la sección transversal ya no esté contenida en un plano luego de la deformación.

Sin embargo para elementos de dimensiones convencionales, las distorsiones angulares producidas por los esfuerzos cortantes suelen ser pequeñas y la sección transversal prácticamente sigue siendo plana luego de la deformación. Por esta razón se acepta que la presencia de esfuerzos cortantes no modifica sustancialmente la distribución de esfuerzos normales producidos en flexión pura.

Estudiaremos la distribución de los esfuerzos cortantes producidos en la sección transversal por la acción de fuerzas cortantes. Descubriremos en primer lugar la presencia de esfuerzos de corte en el interior del elemento que siguen la dirección longitudinal de éste (eje x).

Flujo y esfuerzo cortante longitudinal

Para iniciar el estudio usaremos como ejemplo una viga de 6m de longitud con sección rectangular de base de 25 cm y altura de 60 cm. Sobre la viga actúa una carga P=18 ton a 4m del apoyo izquierdo.

Aislemos ahora una porción de viga de 50 cm de longitud entre dos secciones transversales distantes del apoyo izquierdo 2m y 2.5 m, respectivamente. Veamos a continuación el diagrama de cuerpo libre de esta porción.

Debido a los momentos flectores en los extremos de esta porción de viga, se producen esfuerzos normales cuya distribución aparece en la figura que sigue y cuyos valores máximos son para la sección izquierda:

σ=(12x 105 kgcm )∗(30cm )

450000cm4=80 kg

cm2

Y para la sección derecha:

σ=(15x 105 kgcm )∗(30cm )

450000cm4=100 kg

cm2

Separemos ahora la porción en estudio en dos partes mediante un plano horizontal a 15 cm por debajo de la cara superior de la viga. Encontremos que los esfuerzos normales en el extremo inferior de la parte aislada serán 40 kg/cm2 y 50 kg/cm2.

Ahora calculemos las fuerzas resultantes correspondientes a los esfuerzos en ambas caras de la parte superior aislada, consideremos como positivo el sentido positivo del eje x. En la cara izquierda:

F1=(80+40 )2

x25 x15=22500kg

Y en la cara derecha:

F2=(100+50 )

2x25 x 15=28125kg

Como la parte superior está en equilibrio, las fuerzas F1 y F2 deberán estar acompañadas de una tercera fuerza F, que se desarrolla en la superficie de contacto entre las partes horizontales aisladas. Planteando equilibrio de fuerzas en x:

F1+F2+F3=0, entonces F=28125−22500=5625kg

Esta fuerza F constituye la fuerza cortante longitudinal que actúa en la superficie de contacto sobre la parte superior. Por el principio de acción y reacción aparecerá una fuerza de la misma magnitud pero de sentido contrario actuando sobre la parte inferior.

El cociente entre esta fuerza F y la longitud en la dirección x en la que se desarrolla, se conoce como flujo de corte longitudinal y se representa por “q”.

Para el ejemplo:

q=5625kg50cm

=112.5 kgcm

El producto “q x 1” será la fuerza que se desarrolla en una unidad de longitud, por tanto podemos calcular el esfuerzo cortante promedio longitudinal dividiendo esta fuerza (q x 1) entre el área en la que se desarrolla (1 x 25):

τ=(q x 1 )

(1 x25 )=112.525

=4.5 kgcm2

Como se vio, la diferencia de fuerzas normales en los extremos de la porción en estudio origina esfuerzos cortantes longitudinales. Esta diferencia de fuerzas se debe exclusivamente a que los momentos flectores en los extremos no son iguales debido a la presencia de una fuerza cortante (V=dM /dx ). Por tanto, siempre que exista fuerza cortante, existirán esfuerzos cortantes longitudinales.

Ahora deseamos obtener expresiones para el flujo de corte y el esfuerzo cortante en una superficie longitudinal arbitraria. La figura muestra una porción de un elemento entre dos secciones transversales separadas una distancia dx. En estas secciones extremas, los momentos flectores son “M” y “M+dM” y por tanto sus volúmenes de esfuerzos son diferentes.

Para calcular los esfuerzos en la superficie genérica ABA’B’ consideremos el equilibrio del volumen sombreado asumiendo como positivo el sentido positivo del eje x. En las caras izquierda y derecha de esta porción aislada, actúan esfuerzos normales cuyas resultantes representaremos por F1 y F2 respectivamente. Como en general estas fuerzas tienen magnitud diferente, el volumen aislado estará en equilibrio debido a una tercera fuerza F:

F1 y F2 deben calcularse por integración de los volúmenes de esfuerzos en la cara respectiva. Al

calcular F1 debemos considerar que los esfuerzos de tracción en la cara izquierda producen fuerzas diferenciales en dirección negativa del eje x, y que los esfuerzos de compresión producen fuerzas positivas en x, por tanto:

d F1=−σ dA

Luego:

F1=−∫ σ dA=−∫−MyIdA=+M

I ∫ ydA

Para calcular la fuerza F2, debemos considerar que las fuerzas diferenciales son del mismo signo que los esfuerzos normales que los producen, es decir,

dF2=σ dA ,

Entonces:

Como F1+F2+F=0.

Tendremos que:

Recordando que dM /dx=V , obtenemos finalmente:

q=VQI

En esta expresión q es la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre la parte aislada y es positiva si sigue la dirección positiva del eje x.

Si representamos por “s” a la longitud de la línea de contacto entre la zona sombreada y el resto de la sección transversal, podemos calcular el esfuerzo cortante longitudinal dividiendo la fuerza “qx1” entre el área en que se distribuye (1xs).

Tanto el flujo de corte como el esfuerzo cortante longitudinales que se obtuvieron para la parte aislada se presentarán también como la misma magnitud pero con sentido contrario actuando sobre el resto de la viga en la superficie de contacto.

Para la figura, si hubiésemos aislado la porción de la derecha, habríamos obtenido un momento

estático (QD ) del mismo valor absoluto que el de la izquierda (Q I ) pero de signo contrario (ya que

QD+QI=0). Por tanto habríamos obtenido así un flujo sobre la derecha en sentido contrario.

Esfuerzos cortantes en la sección transversal

Como se vio anteriormente, si la fuerza cortante V produce esfuerzos de corte longitudinales. La figura muestra estos esfuerzos cortantes en una superficie longitudinal horizontal.

Observamos lo que ocurre en un elemento diferencial en la intersección de las superficies longitudinales con la sección transversal. Vemos que los esfuerzos cortantes longitudinales están acompañados de esfuerzos cortantes en la sección transversal, los mismos que por equilibrio, son de igual magnitud y con el sentido mostrado en la figura.

Por tanto, el esfuerzo cortante en la sección transversal en el segmento horizontal AB se calcula también como:

τ=V ∙QI ∙ s

De manera similar si analizamos los esfuerzos cortantes en una superficie longitudinal vertical de la viga mostrada en la figura que sigue, vemos que también se presentan esfuerzos cortantes en la sección transversal, los mismos que se calcularán con la expresión anterior.

El esfuerzo cortante en el segmento AB varía tanto en dirección como en magnitud. Sin embargo, en la mayoría de casos la variación no es significativa y por tanto el valor calculado con la expresión anterior es un valor promedio representativo del segmento.

Esfuerzos cortantes en la sección transversal de elementos sólidos

Analicemos primero el caso de una sección rectangular sometida a la acción de una fuerza cortante V como se muestra en la figura.

Para calcular el esfuerzo cortante promedio a una altura “y” (línea AB) determinamos el momento estático Q de la región sombreada.

Q=A sombreada y=12b ( h24 − y2)

Luego con I=bh3/12 y s=b tendremos:

τ=V QI s

=V12b( h24 − y2)

( 112 bh3)b=32 (VA )(1−4 ( yh )

2)Esta expresión muestra que el esfuerzo cortante promedio varía, en la sección transversal, en forma parabólica con la coordenada “y”.

τ tiene valor cero para y=±h /2 (extremos superior e inferior de la sección) y alcanza su valor máximo τ=1.5V /A para y=0 (a la mitad de la altura).

Para secciones aproximadamente cuadradas (b /h=1 ) o esbeltas (b /h<1 ) el esfuerzo cortante en el segmento AB no tiene una variación significativa y por tanto el esfuerzo cortante promedio τ resulta representativo del segmento.

Para el caso de una sección circular el esfuerzo cortante promedio varía también en forma parabólica con “y”, y alcanza su valor máximo de τ=4 /3V /A para y=0.

Como se observa, en las secciones rectangulares y circular, el esfuerzo cortante máximo se presenta sobre el eje z y tiene valores que son 50 y 33% mayores al que se obtiene del cociente V/A.