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CURSO de Adaptación e Introducción a la Vida Universitaria 2018

APUNTES MATEMATICAS

CONTENIDOS

¿Porque Matemáticas?

Ignacio Zalduendo. 17 de Mayo de 2011. Por qué aprender matemática

Uso de la Calculadora

La calculadora científica.

El punto o la coma en la unidad de mil.

Funciones de las teclas de la calculadora.

Ejercitación.

Algunas Unidades SI

Unidades Fundamentales

Unidades Derivadas: Volumen Superficie

Ecuaciones

Potenciación

Radicación

Notación Científica

Conceptos, ejercitación

Funciones

Variable y Constante

Concepto de Función

Tipo de funciones

Representación Grafica de Funciones. Ecuación de la Recta

Introducción

Ignacio Zalduendo. 17 de Mayo de 2011. Por qué aprender matemática

La Nación. Recuperado de http://www.lanacion.com.ar/1373956-por-que-aprender-matematica

“Mientras describo, por ejemplo, la función logaritmo, un alumno levanta la mano y dice: "Profe, ¿y

esto para qué me va a servir?"……………………..Sí, claro, la matemática es muy útil. Es fácil mostrar

ejemplos. Sin matemática no habría autos, remedios, teléfonos, encuestas, tomografías…... No habría

transporte, ni finanzas ni comunicación ni producción de casi nada. Pero la respuesta no es ésa, porque

el chico quiere saber para qué le va a servir la matemática a él, no para qué le va a servir al mundo

moderno.

Para algunos -los que en su vida profesional se ocuparán del diseño o la gestión de las actividades

mencionadas arriba-, la respuesta es que una parte de lo que están aprendiendo será una herramienta en

su quehacer cotidiano o será el sustento teórico necesario sobre el que construirán otras herramientas

más especializadas. De éstos, a los más creativos la matemática les resultará más útil por aquello de que

uno termina echando mano a lo que sabe, y cuanto más sepa, mejor.

Pero hay otra parte de la respuesta sobre la utilidad de aprender matemática que debería ser aplicable

absolutamente a todos, y reside en el poder formativo que tiene su estudio. …………….

Y la matemática, cuando se enseña bien, deja hábitos y habilidades intelectuales básicas, esenciales para

cualquier persona y de indudable valor social.

¿Por qué es formativa la matemática? En primer lugar, por su estructura lógica. Para hacer matemática

(demostrar algo, resolver un problema) se necesitan muy pocos conceptos, pero bien definidos y que se

han de manejar con un discurso razonado y despojado de prejuicios. Será importante distinguir lo

esencial de lo accesorio, buscar analogías, cambiar el punto de vista y captar relaciones escondidas.

Todo esto ha de producirse dentro de una frontera delimitada por reglas claras. Reglas que no admiten

doblez ni excepción.

En segundo lugar, por la creatividad que fomenta. Porque dentro de esas fronteras bien delimitadas que

acabo de mencionar reina la libertad más absoluta. Vale todo. Sobra lugar para la imaginación y la

creatividad (hay, por dar un ejemplo, más de 350 demostraciones del Teorema de Pitágoras). Nos

guiamos por nuestra intuición y sentido estético. Así, la matemática es personal. Tanto que no pocas

veces, cuando se lee un teorema se adivina la mano del autor tal como se adivina al pintor cuando se

mira su obra.

En tercer lugar, la matemática obliga a la honestidad. Es difícil engañar a otros sin engañarse antes uno

mismo, y en matemática esto simplemente no se puede: los desvíos, las falsedades, no encuentran lugar.

Existe la posibilidad de error, pero esos errores nos explotan en la cara. La cuenta da lo que da, y si no

nos gusta el resultado habrá que reconocer que tiene una existencia propia que escapa a nuestra

preferencia y a nuestra voluntad.

En cuarto lugar, la matemática enseña paciencia, tenacidad y la aceptación de los tiempos humanos. Las

máquinas son muy rápidas, pero ninguna piensa ni puede generar una idea. Para eso hace falta sopesar

alternativas, dejarlas decantar, encontrar un camino, seguirlo y, cuando falle, buscar otro. "Que venga la

inspiración no depende de mí. Lo único que puedo hacer es asegurarme de que me encuentre

trabajando", decía Pablo Picasso. Lo mismo enseña el hecho de enfrentarse con un buen problema

matemático.

Por último, la matemática nos hace humildes. Porque en ella encontramos todos, tarde o temprano, los

límites claros de nuestra fuerza y habilidad. Límites que se podrán superar con tiempo, esfuerzo y

estudio ¡y esto también es formativo! Pero siempre para encontrar, más allá, nuestros nuevos límites.

Discursos razonados, reglas claras sin excepción, libertad dentro de la ley, creatividad, honestidad,

paciencia y humildad no son cosas que nos estén sobrando hoy a los argentinos. Así, llega la respuesta a

la primera pregunta: "Esto te va a servir para ser más humano, mejor ciudadano y mejor persona".

USO DE LA CACULADORA

Consideramos importante comprender la importancia de la calculadora científica como herramienta

básica para la resolución de ejercicios matemáticos, como también entender las funciones de la

calculadora para resolver problemas de manera correcta.

LA CALCULADORA CIENTIFICA

EL PUNTO O LA COMA EN LA UNIDAD DE MIL En las calculadoras cuando se escribe el número mil aparece una separación entre el uno y los tres ceros

restantes (“separador de millares”) que, dependiendo del sistema que posee esa calculadora, puede ser

un punto o una coma, esta última en la parte superior o inferior.

Los países que utilizan la coma decimal emplean un punto como separador de millares, mientras que los

países que utilizan el punto decimal emplean una coma como separador de millares.

Separador decimal Separador de millares

FUNCIONES DE LAS TECLAS DE LA CALCULADORA

Exponencial

Fraccionario

Negativo

Paréntesis

EJERCITACION 1) 5 x 108

2) 1/3 x 7 2,6 3) 2-3 - (-4) 5x2 Más ejercicios para resolver

a) 5 + 3 – 2 ⋅ 2 = b) 3 + 5 ⋅ (7 - 3) = c) 4 + 2 ⋅ [3 + 2 – (4 – 1)] =

d) 2 ⋅ (15 – 2) – [11 – (7 – 3)] = e) (8 – 4) : 2 – 1 = f) 2 – 3 ⋅ (7 – 4) 8 =

g) 4 ⋅ 14 – 120 : 12 = h)- [3 + 4 + (4 + 7) + 4 - 9] = i) 5 + 4 - [5 - (6 + 5 - 8) + (9 - 1 + 4)] =

Algunas unidades SI

¿QUE VES en las siguientes imágenes?

¿ES GRANDE ,

MEDIANO,PEQUEÑO,

MUY PEQUEÑO?

10-36

10-2

1022

10-14

10-2

1022

Para poder darle un valor a los objetos, organismos, partículas, etc.; de las imágenes anteriores debemos

conocer el término magnitud y unidad.

Magnitud: Es toda propiedad de los cuerpos que se puede medir. Por ejemplo: temperatura,

velocidad, masa, peso, longitud, etc.

Toda magnitud lleva asociada su UNIDAD, en la actualidad el sistema métrico que se emplea a nivel

internacional es el Sistema Internacional de Unidades (SI), creado en 1960, sus unidades fundamentales

están basadas en fenómenos físicos, a excepción de la masa, que se define en referencia a un patrón de

platino iridiado

Las UNIDADES FUNDAMENTALES del Sistema Internacional son siete:

Magnitud Física Unidad Símbolo

Longitud Metro m

Tiempo Segundo S

Masa Kilogramo Kg

Intensidad de corriente

eléctrica Amperio A

Temperatura Kelvin K

Cantidad de sustancia Mol mol

Intensidad luminosa Candela Cd

Las UNIDADES DERIVADAS, son aquellas que derivan de las unidades fundamentales.

Por ahora solo mencionaremos algunas unidades referidas a superficie y volumen.

Si hacemos referencia a la a superficie de una herida, de un lote sembrado, de muestreo de forraje; nos

estamos refiriendo a la magnitud que expresa la extensión de un cuerpo, en dos dimensiones: largo y

ancho.

Ejemplos:

Una herida puede ser de aproximadamente 2 cm2

Lote sembrado de 40000 m2. (Equivalente a 4 has) 1 ha equivale a 10000 m

2

Debo realizar muestreo forraje con un cuadro (de varilla/alambre/madera) 0,25 m2 corresponde a una

figura de 0,50 x 0,50 m.

Para cualquier pastura o forraje que tengamos en nuestros campos, siempre debemos saber su

producción para gestionarlos. En cada caso tenemos que tener claro el mejor manejo de este para el

mayor aprovechamiento en cantidad y calidad del mismo, Para determinar cuánto pasto tenemos

(cantidad) podemos realizarlo con algunos cálculos. Con un cuadro (de varilla/alambre/madera) de 50 x

50 cm cortar a tijera la pastura que vayamos a utilizar, como por ejemplo esta pastura que apreciamos en

la Figura.

Ganado Lechero en pastoreo/descanso en una pastura mezcla de gramíneas y leguminosas

Pesar este forraje en una balanza y el peso multiplicarlo por el factor que estimemos se ajuste mas a la

materia seca que puede tener nuestro forraje, esta cantidad en gramos (g: unidad de masa) está contenida

en 0,25 m2. Este contenido lo debo llevar a un calculo por ha (10000 m

2)

Si hacemos referencia a la cantidad de agua, leche, que ingiere un animal; o a la cantidad de

medicación inyectable que podemos administrarle a un animal enfermo; nos referimos al

volumen, es decir a la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Si hablamos de capacidad nos

referimos a lo que cabe dentro de un recipiente. Un litro (L) es la capacidad de una caja cúbica

de 1 dm de lado. En general se llama capacidad de un recipiente a su volumen.

RECORDEMOS:

1 L está contenido en 1 dm3, (caja cubica de 1 dm de lado)

Y en consecuencia 1 mL = 1 cm3

Algunas equivalencias con respecto a L:

1000 mL

100 cL

10 dL

A nivel Biológico debemos considerar la utilización de sub unidades como el el microlitro (µL)

1 mL = 1000 µL o 1mL = 103 µL

Si necesitamos saber si un animal es positivo a Brucelosis bovina, necesitaremos extraer sangre con una

jeringa de unos 5 mL aproximadamente, de la cual luego se obtiene por centrifugación suero de la

muestra extraída. De ese suero el laboratorista utiliza por cada muestra una pequeña cantidad realizando

la Prueba rápida aglutinación en placa BPA (Aglutinación en Placa Bufferada) colocando en una placa

de vidrio 80 µL de suero, al que se le agrega 1 gota de reactivo (30 µL - antígeno) con el que

reaccionará y se observara una aglutinación en caso de sea positivo.

Algunos Cálculos:

¿A cuántos mililitros equivalen los 80 µL y 30 µL, utilizados en la Prueba BPA?

¿Cuántos litros son los 5 mL extraídos de sangre?

¿Cuántos cm3 son los 5 mL extraídos?

ECUACIONES

Expresiones algebraicas: Se llama expresión algebraica a una combinación de letras y/o números,

vinculados entre sí por las operaciones de suma resta, producto, cociente, potencia e índice radical.

Ej.: 4 a2

. b – 2b + 8 c

Ecuación algebraica: Se llama así a la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que sólo se

verifica para determinados valores de algunas de sus letras, llamadas incógnitas. Los valores de las

incógnitas que satisfacen la ecuación se llaman raíces de la ecuación.

Ej: 3x - 2 = 4 ecuación con raíz x = 2

Las normas a seguir para resolver este tipo de ecuaciones son las siguientes:

a) Todo término que se encuentra en un miembro multiplicando pasará al otro miembro dividiendo

Ej: a = bx a/b = x

b) Todo término que se encuentra en un miembro dividiendo pasará al otro miembro multiplicando.

Ej: x / b = a x = a . b

c) Todo término que se encuentra en un miembro sumando pasará al otro miembro restando

Ej : x + a = b x = b - a

d) Todo término que se encuentra en un miembro restando pasará al otro miembro sumando.

Ej: x - a = b x = b + a

e) En primer lugar deben pasar los términos que estén multiplicando o dividiendo

f) En el caso de encontrarse una operación de suma o resta dentro de un paréntesis en uno de los

miembros, puede resolverse o bien, puede pasarse el total del paréntesis al otro miembro.

Ej: (a + b) x = c x = c .

( a + b )

ECUACIONES ALGEBRAICAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Toda ecuación de primer grado con una incógnita, si tiene solución, ésta es única.

Para resolver una ecuación de este tipo, hay que reducirla (mediante pasaje de términos)

Para resolver ecuaciones de primer grado es conveniente seguir siempre una misma estrategia que facilite su resolución. Ejemplo: 7 · (x + 1) – 4 · (x + 3) = x – 9

1. Quitar paréntesis realizando las operaciones correspondientes:

7x + 7 – 4x – 12 = x – 9 2. Agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los términos sin la x en el otro (recuerda

que al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación cambia su signo):

7x – 4x – x = – 9 – 7 + 12

3. Operar:

2x = –4

4. Despejar la x:

22

4

x

5. Comprobar la solución: para lo que se sustituye el valor obtenido en la ecuación de partida:

7 · (–2 + 1) – 4 · (–2 + 3) = –2 – 9 7 · (–1) – 4 · (1) = –11 –11 = –11

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x + 16 = 41 b) 9x – 45 + 4x – 16 = 4 c) 2x – 3 + x – 35 = 2 – 9x – 4 d) 3 · (x – 2) + 9 = 0 e) 8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30) f) x + (x + 2) = 36 g) 2 · (3x – 2) – (x + 3) = 8 h) 2 · (13 + x) = 41 + x i) 2 · (x – 3) – 3 · (4x – 5) = 17 – 8x j) 4x – 3 · (1 – 3x) = –3

Para poder resolver las ecuaciones de 1er Grado es necesario, recordar algunos conceptos

a) POTENCIACIÓN:

La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

5.5.5.5 = 54

Llamamos Base de una potencia al número que multiplicamos por si mismo, en este caso el 5.

Llamamos Exponente de una potencial al número que indica cuantas veces multiplicamos la base, en

este caso 4.

Exponente

5 4 base

Debe multiplicarse la base tantas veces como lo indica el exponente:

54 = 5.5.5.5

5n = 5 . 5. 5......

n veces

Debemos conocer ciertas propiedades de potenciación

1) SUMA:

La potenciación no es distributiva con respecto a la suma

(A + B)n A

n + B

n

Lo correcto es: (5 + 3)2 = 8

2 = 64

2) RESTA:

La potenciación no es distributiva con respecto a la resta

(A – B)n A

n – B

n

3) PRODUCTO:

La potenciación es distributiva con respecto al producto

(A . B)n = A

n . B

n

Ej: (2 . 3)2 = 2

2 . 3

2 = 4 . 9 = 36 ó 6

2 = 36

4) COCIENTE:

La potenciación es distributiva con respecto al cociente.

A n = A

n

B B n

Ej: 7 2 = 7

2 = 49 = 3, 0625 ó 1,75

2 = 3,0625

4 42 16

5) PRODUCTOS DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:

es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma algebraica de los exponentes

dados:

A x . A

y. A

z = A

(x + y + z)

Ej: 2 2 . 2

–3 . 2

4 . 2

-1 = 2

2 + (-3) + 4 + (-1) = 2

2 = 4

6) COCIENTES DE POTENCIA DE IGUAL BASE:

es igual a otra potencia de igual base cuyo exponente es la diferencia algebraica entre el exponente del

dividendo y el exponente del divisor.

A x = A

x – y

A y

Ej : 8 4 = 8

4 – 6 = 8

–2 = 1

2 = 1 = 1 .

8 6 8 8

2 64

Recordemos que:

- La potencia con exponente negativo es igual a la inversa de la base elevada a dicha potencia como

exponente positivo (como en el ejemplo dado arriba).

- Todo número elevado a la 0 es igual a 1:

Ej: 5 0 = 1

7) POTENCIA CON EXPONENTE FRACCIONARIO POSITIVO:

Una potencia cuyo exponente es fraccionario positivo, es igual a una raíz cuyo índice es el denominador

de la fracción y cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical.

Ej: A 3/2

= 2 A

3

8) POTENCIA CON EXPONENTE FRACCIONARIO NEGATIVO:

1

Ej: A –3/4

= 4

A 3

9) POTENCIA DE OTRA POTENCIA:

Es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados.

Ej: (A2)3 = A

6

(A2)

–1 = A

-2 = (1/A)

2

10) EXPONENTE CERO

Todo número elevado a la cero es igual a 1

a 0 = 1

5 0 =1

11) EXPONENTE 1

Todo número elevado a n=1 , es igual a sí mismo

a 1 = a

5 1 =5

b) RADICACIÓN

El resultado de la raíz enésima de un número real, es un número cuya potencia enésima es igual

al número dado.

nA = B si B

n = A

Propiedades:

1) La radicación no es distributiva con respecto a la suma.

_____ __ n

A + B n A +

n B ; lo correcto es: 2 +7 = 9 = 3

2) La radicación no es distributiva con respecto a la resta

n A - B

n A -

n B ; lo correcto es 120 - 20 = 100 = 10

3) La radicación es distributiva con respecto al producto

n

A . B . C = n A .

n B .

n C

4) La radicación es distributiva con respecto al cociente

n A =

n A :

n B

B

Recordar:

- Cuando el índice de la raíz es par, el resultado puede ser tanto negativo como positivo:

Ej: 2 4 = 2 pues (-2)

2 = 2

2 = 4

- Cuando el índice de la raíz es par y el radicando negativo no tiene solución real:

Ej: 2 - 5 = no tiene solución en los números reales

- Cuando el índice de la raíz es impar y el radicando negativo tiene solución negativa:

Ej: 3 -8 = - 2 pues (-2)

3 = -8

5) la potencia n de la raíz n de un número real es igual a dicho número

Ej: n A

n = A

6) Raíz de otra raíz: se multiplican los índices de las raíces

Ej: 2 3

A = 6 A

Ejercitación POTENCIACIÓN.

1) 10 –1/ 6

. 10 2/3

. 10 –1/2

=

2) 10 1/4

. 10 –1/4

=

3) X /3 = 2 . 10 –5

. 10 –6

4) 2 = 5 . 10 –2

. 10 3

X 10 9

5) 3/2 = X . 10 –3

.

2 102 . 10

–8 . 10

6

6) 2 . 10 –9

= 5 . 10-2

. 10 2 .10

3

3 X (-3)

7) 2 . 10 3/4

. 10 –3/4

= 5. 10 –8

X .(-1) 10-3

. 102

8) 3,9 . 10 –1

. 10 –6

= X

1,3 . 3 . 10 –5

. 10 -1

9) 4 . 10 –2

. 2 . 10 –1

. 10 –5

= 25 X . 10 –9

24

10) X = 3/4 . 2 . 10 –7

1/2 10-8

. 10

c) NOTACIÓN CIENTÍFICA:

En muchas ciencias se emplean números muy grandes o muy pequeños, que son muy difíciles de

escribir y, que además, es muy delicado trabajar con ellos.

Por ejemplo, el número de Avogadro, que es una constante que expresa el número de moléculas que hay

en un mol de cualquier sustancia, es enorme: 602.300.000.000.000.000.000.000, de modo que no resulta

práctico escribirlo de esa manera, con tantos ceros.

Para expresar números de muchas cifras y poder simplificar operaciones, se utiliza normalmente

la forma de producto de las cifras significativas por una potencia de 10, lo que se denomina Notación

científica.

Ej: 358000 = 3,58 x 105

0, 0000358 = 3,58 x 10 –5

El número de cifras significativas es el número de dígitos dignos de confianza en la medida.

Siempre se deja una cifra significativa (distinta de cero) antes de la coma, y se acompaña el

número resultante con un factor de 10 elevado a un exponente igual al número de lugares que se ha

corrido la coma. El exponente es positivo si se han corrido hacia la izquierda, y negativo si fue hacia la

derecha.

Algunos ejemplos

2,99 x 10 8 metros/segundo (velocidad de la luz en el vacío)

3 x 1012

número de bacterias que puede haber en un gramo de suelo

8 x 1013

número de bacterias que puede haber medio de cultivo.

5,0×10-8 à constante de Planck

8,41 × 10-16m radio del protón

1,5 x 10 -5 mm tamaño de un virus

1,0 x 10-8 cm tamaño de un átomo

1,3 x 1015

litros (volumen de agua en una pileta)

Ejercitación NOTACIÓN CIENTÍFICA

Expresar en Notación Científica con 1 sólo dígito y en forma exponencial

1) 0,03 =

2) 3,1 . 10 –2

. 10 –3

=

3) 10 –4

=

4) 5,8 . 10 –9

. 10 –2

=

5) 48,3 . 10 –9

=

6) 563.10 –2

=

7) 4839 . 10-4

=

8) una millonésima:

9) un millón:

10) diez mil :

11) una centésima:

12) 100 =

13) 0,002 . 10 –1

=

14) 57.10 –1

=

15) 6,3 . 10 –2

. 10 4 =

16) 49 . 10 5 =

17) una diez milésima:

18) 4.535.000 x 10 –6

=

19) 0,005 . 102 =

20) 0,08 . 10 –8

=

21) “el Coulomb (C) es la unidad (histórica) de carga eléctrica en el Sistema Internacional de Unidades,

y equivale aproximadamente a 6,27 x 1018

veces la carga del proton”. (…)

+ El número que compara al Coulomb con la carga del proton ¿lo considera muy grande?

+ ¿Cuántos lugares corre la coma hacia la derecha para expresar el numero real?

+ ¿En qué tipo de notación está expresado?

22) Leemos: “Hombre que Calculaba”. Malba Tahan .Capitulo XX, Pág. 149-157.

Ver. Anexo I

FUNCIONES

1- Variables y constantes En matemática se define una variable como un conjunto de números representados indistintamente

por un símbolo. Cada uno de estos números es un valor de la variable. Una constante, en cambio, es un

solo número.

Desde el punto de vista físico y mediante ejemplos es muy fácil comprender estos conceptos.

Supongamos que se estudia la variación de volumen de un gas cuando se lo calienta manteniendo

fija la presión. En este caso, la temperatura y el volumen son variables y la presión es una contante.

Desde el punto de vista físico, son variables las magnitudes cuyo valor cambia durante el proceso

que se estudia, mientras que se llaman constantes aquellos cuyo valor se mantiene fijo. Es necesario

tener en cuenta que la misma magnitud puede ser constante en un proceso y variable en otro.

2- Concepto de función Frecuentemente ocurre que dos magnitudes están relacionadas entre sí de modo tal que, dados los

valores de una de ellas quedan determinados los de la otra. En ese caso se dice que la segunda es una

función de la primera, y a ésta se la llama “variable independiente”.

Si representamos con “y” la función y con “x”, la variable independiente, esta relación se

expresa:

y = f (x)

En muchos casos, a cada valor de una de las variables, corresponde una de la otra y a cada valor

de la segunda corresponde uno de la primera. Se dice entonces que existe correspondencia biunívoca

entre los valores de ambas variables.

Pero esta condición no siempre se cumple. Por ejemplo, en el movimiento vibratorio armónico

cuya representación gráfica se muestra en la figura A1, a cada valor del tiempo t corresponde un solo

valor de la elongación y, de modo que podemos escribir:

y = f (t)

Pero a cada valor de y no corresponde un solo valor de t.

En la figura se muestra, por ejemplo, que al valor y 1 corresponde los tiempos t1; t2; t3; etc. En

este caso, no existe correspondencia biunívoca.

En general, cuando la correspondencia es biunívoca resulta posible durante la experimentación

modifica arbitrariamente cualquiera de las dos variables, de modo que una puede ser considerada

independiente y la otra constituye la función.

Por ejemplo: si al estudiar la relación entre la presión y el volumen de un gas a temperatura

constante se modifica a voluntad la presión y se observan los valores que toma el volumen, la primera es

la variable independiente, mientras que el segundo es la función. Se escribe entonces:

V = f (p)

Si en cambio se fijan arbitrariamente los valores del volumen, éste será la variable

independiente, mientras que los valores de la presión quedan determinados. Se escribe entonces:

p = f ( V)

En muchas oportunidades, el valor de una variable queda determinado por los valores de varias

otras. Esto ocurre, por ejemplo, con el caudal “C” de un líquido que circula a través de un tubo, el cual

depende de la diferencia de presión p, de la longitud del tubo l , de su radio r y de la viscosidad del

líquido . Se dice entonces que la variable es función de todas ellas y se escribe:

C = f ( p, l, r, )

3- Tipos de funciones Los tipos de relaciones matemáticas que pueden ligar a dos magnitudes son muy diversos.

Nosotros estudiaremos los casos más sencillos; que son los que emplearemos:

Función lineal

En el siguiente cuadro se representan los resultados obtenidos al estudiar la relación entre la

osmolaridad de la orina y su densidad.

Relación entre osmolaridad de la orina y su densidad

Osmolaridad Densidad

( mosm/L) (g/ cm3)

300 1,010

600 1,020

900 1,030

En este cuadro se observa que al aumentar la osmolaridad (o contenido de osmolitos) sube la

densidad, pero no existe proporcionalidad directa, pues los cocientes no son constantes, ya que el valor

de la función está dado por la variable independiente multiplicada por una constante más otra constante.

Cuando una variable se relaciona con otra de esta manera, se dice que es una función lineal de ésta.

“Una variable y es función lineal de otra x cuando ambas están ligadas por una relación de la forma:

y = m x + b (Ecuación general de la recta) donde, m y b son constantes”

Cuando x = 0 y = b que es la ordenada en el origen. Es decir el punto en el cual la recta corta al eje de

ordenadas y se lo llama término independiente.

“m” es la tangente del ángulo formado por la recta y el eje de abscisas y recibe el nombre de pendiente

de la recta .

Si b = 0 y = m x (proporcionalidad directa) que es un caso particular de función lineal.

y3 y3

y2

y2 y1

y1

x1 x2 x3 x1 x2 x3

Ejemplo Proporcionalidad Directa - Relación entre tiempo y consumo de oxígeno

Tiempo (min) Volumen de oxígeno (L)

5 0,690

10 1,380

15 2,070

20 2,760

30 4,140

Observando este cuadro se comprueba que al duplicar el primer valor del tiempo

( 5 x 2 = 10) también se duplica el del volumen (0,690 x 2 = 1,380), relación que se cumple si se

multiplica por cualquier otro número,

En general se observa que si se divide el valor del volumen por el del tiempo que le corresponde,

el cociente es siempre el mismo (verifícalo).

Sobre esta base, establecemos la siguiente afirmación:

“ Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre los valores

correspondientes es constante”.

En nuestro ejemplo, representando con V 1, V 2, V3, etc. , los valores del volumen y con t 1, t 2, t 3,

etc. los del tiempo, se cumple:

V 1 = V 2 = V 3

= k

t 1 t 2 t 3

Donde k es el valor constante de todos los cocientes. En forma más general para cualquier valor

del V y del t, escribimos:

V = k

t

Y pasando t al segundo miembro:

V = k . t

Donde k es la constante de proporcionalidad y ésta es la ecuación que representa la

proporcionalidad directa, la cual puede ser representada gráficamente (corresponde a una recta que pasa

por el origen)

b

4,14

2,76

2,07

1,38

0,69

5 10 15 20 30

Fig. – Representación gráfica de la relación de proporcionalidad directa

Proporcionalidad inversa

En el cuadro se muestran los resultados obtenidos en un experimento al estudiar, en el perro, la

relación entre la frecuencia cardíaca y el volumen sistólico Vsist. En la primera columna se han

representado los expresados en ciclos por segundo (c/seg.). En la segunda columna figuran los Vsist

medidos en cm3.

Relación entre frecuencia cardíaca y volumen sistólico

Frecuencia cardíaca Volumen sistólico

(c/seg.) (cm3)

1,2 9,08

1,5 7,27

1,9 5,73

2,1 5,19

2,4 4,54

2,6 4,19

En forma general pone los dos valores de cualquier par, se puede escribir:

. Vsist = k .

donde k es una constante. Esta es la definición de proporcionalidad inversa:

“Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto entre los valores

correspondientes es constante”.

La representación gráfica de este tipo de función es una hipérbola que tiene los ejes de

coordenadas por asíntotas.

Función exponencial

Al hacer el estudio de crecimiento de una cepa de bacilos tíficos en caldo, se encontraron los

datos que se muestran en el cuadro. En la primera columna figura el tiempo medido en minutos, contado

a partir del momento en que las bacterias comienzan a reproducirse con regularidad. En la otra columna

figura el número de bacterias por mm 3

de caldo.

Relación entre el número de bacterias y el tiempo en un medio de cultivo

Tiempo Número de bacterias

( min.) (Bact /mm 3)

0 1,539 x 106

40 4,131 x 106

80 11,09 x 106

120 29,76 x 106

160 79,88 x 106

Se puede comprobar en este cuadro que el n º de bact / mm 3

N0 y el tiempo t están ligados por la

relación:

N0 = (1,539 x 10 6) x 1,025

t

En efecto, reemplazando t por sus valores de la primera columna, se obtienen los n º de bacterias

correspondientes, que figuran en la segunda columna.

En este tipo de relación la variable independiente figura como exponente.

En forma general, una función exponencial se puede representar mediante y = a . bc x

, donde a, b y c

son constantes.

El gráfico que representa esta relación es una curva llamada exponencial que en este caso va subiendo

hacia la derecha cada vez con mayor pendiente.

Gráfico de la proporcionalidad inversa

A veces se representa una relación parecida en la cual el exponente tiene signo negativo. En este

caso, la curva va descendiendo hacia la derecha.

Funciones como las vistas son muy frecuentes en biología y ellas se presentan en el proceso de

crecimiento celular, en la acción de los fermentos, en la difusión de sustancias a través de membranas y

en infinidad de otros procesos.

Las funciones exponenciales también pueden ser representadas en forma logarítmica, ya que,

utilizando el mismo ejemplo, el logaritmo del n º de bacterias es una función lineal del tiempo. Por lo

tanto, si esta variable se representa en abscisas y en ordenadas, el logaritmo del n º de bacterias, se

obtiene una recta. Para ello utilizamos papel semilogarítmico.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES: ECUACIÓN DE LA RECTA

La representación gráfica permite una idea clara de cómo es una función con un solo golpe de vista.

y = mx + b

y = f(x)

y = ax + b

Donde:

x = variable independiente

y = variable dependiente

m= es la pendiente de inclinación de la recta, ésta es una constante, de lo contrario no sería una

recta. Es el coeficiente del término independiente.

b = ordenada al origen. Punto donde la recta intercepta el eje de las “y”

Por ejemplo:

y = 3x + 2

La ordenada al origen es 2 y la pendiente es 3.

Para graficar esta función se debe diseñar una tabla de valores. Se asignan valores a la variable

independiente “x” y se calcula “y”:

x y = 3x + 2

2 3.2 +2 = 8

1 3.1 +2 = 5

0 3.0 +2 = 2

-1 3(-1) +2 = -1

-2 3(-2) +2 = -4

y

8

7 -

6 -

5 -

4 -

3 -

2 -

1 - -2 -1 1 2 x

-1 -

-2 -

-3 -

-4 -

Deducción de la pendiente de una recta:

Supongamos una recta que pasa por los puntos (x1; y1) y (x2; y2)

y2

y1 α

x1 x2

Si la ecuación de la recta en cualquier punto es: y = mx +b

En los puntos dados debe ser y1 = mx1 + b

y2 = mx2 + b

Si restamos estas dos ecuaciones resulta:

y2 – y1 = m (x2 – x1)

De donde y2 – y1

x2 – x1

Si recordamos la definición de tangente de un ángulo como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto

adyacente a dicho ángulo en un triángulo rectángulo, resulta que la pendiente a es a = tg α

donde α es el ángulo que forma la recta con el eje positivo de las x.

En resumen:

Pendiente ∆ y

∆ x

Para el caso que estamos resolviendo:

8 – 5 3

2 – 1 1

Ordenada al origen: es el valor de y cuando x vale 0, en este caso b = 2

Observación:

Dependiendo de los datos que tengamos, podemos encontrar la ecuación de la recta como en los

siguientes ejemplos:

1) m = 1/2

b = 5

Entonces la ecuación de la recta es directamente: y = 1/2x + 5

2) m = -1

P: (1; 2)

Buscamos la ordenada al origen reemplazando los valores del punto en la ecuación:

2 = -1(1) + b

2 + 1 = b b = 3

La ecuación de la recta es: y = - x + 3

m =

m =

m = =

3) P1: (1; 2)

P2 : (2; 4)

Se puede utilizar la siguiente formula:

x0 – x1 y0 – y1

x2 – x1 y2 – y1

reemplazando:

x – 1 y – 2

2 – 1 4 – 2

2 (x – 1) = y – 2

y = 2x es la ecuación de la recta, y b = 0

Ejercitación ECUACIÓN DE LA RECTA

1) Representar gráficamente (en papel cuadriculado o milimetrado) las siguientes ecuaciones.

Calcular la pendiente y ordenada al origen ( m y b).

a) y = 5 x –3

b) y = -3 x + 2

c) x -5 = - y

2) Con las siguientes tablas de valores que representan una recta, calcular la pendiente, la

ordenada al origen, plantear la ecuación y graficarlas.

a) x y b) x y c) x y

0 -1 -1 -2 -1 -1/3

1 -2 0 0 0 2

3) Hallar las ecuaciones de las rectas y graficarlas.

a) P1 : (2 ; 4) , P2 : (5 ;0)

b) P1 : (3 ; 4) , P2 : (6 ; 8)

c) m = 1/3 ; b = -1

d) m = -2 ; P : (3 ; 6)

4) Dadas las siguientes rectas, hallar la ecuación de las mismas y demostrar si el punto P : (1 ; 0)

pertenece o no a alguna de ellas.

a) b) c)

4 3

-2

4 -5

- 6

=

=

BIBLIOGRAFIA

Biofísica – A.S. Frumento – 3era Ed. 1995- Mosby/Doyma Libros

Cálculo Práctico de Forraje Disponible, Sitio Argentino de Producción Animal, Tec. Agr. Eduardo

Calistro. 2012. La Estanzuela, Colonia, Uruguay.www.produccion-animal.com.ar

Física Biológica Veterinaria – Humberto Cisale – 1era Ed. 2011 – Eudeba

Hombre que Calculaba. Malba Tahan .Capitulo XX, Pág. 149-157.

Introducción a la Matemática – Andrada et al. UNLPam - 1997

Material de Cátedra Física Biológica 2015. Curso Nivelación 2015.

Por qué aprender matemática Ignacio Zalduendo. 17 de Mayo de 2011.

ANEXO 1

curso de adaptación e introducción a la vida universitaria ... · página 2 contenidos ¿porque...

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