I. FUNCIONESI.1. INTRODUCCIÓN

Aunque no existe mayor claridad al respecto, es conocido que en cualquier rama de la ciencia y de la actividad humana en general ( ingeniería, economía, medicina, sociología, antropología, técnica, etc. ) se aplican las matemáticas. En el caso del curso que nos ocupa, la principal herramienta que se proporcionará es la que nos ayudará a resolver problemas que requieren de lograr un efecto máximo ( máxima producción, máxima resistencia, máxima ganancia, etc, ) o uno mínimo ( mínimas pérdidas, mínimos costos, mínimo peso, etc. ). Los problemas mencionados se conocen como problemas de optimización o problemas de máximos y mínimos o problemas sobre extremos.

Iniciaremos nuestro curso con el planteamiento y análisis ( usando los conocimientos que se tiene para su solución ) de dos problemas prácticos. De su análisis partiremos para obtener algunas definiciones y los elementos para resolver los problemas mencionados, matemáticamente.

Problema 1. El gallineroDoña Josefa, habitante de Ures, ha criado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas. Esto le ha

ocasionado una serie de problemas, por lo que decide construír un gallinero en la parte posterior de su casa. Sus ahorros sólo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de tela ciclónica para cercarlo. Si el terreno donde desea construirlo es de 20 por 40 metros, ¿qué dimensiones deberá tener un gallinero de forma rectangular (que utilice todo el material que compró) para que éste abarque la mayor área posible y así encerrar la mayor cantidad de gallinas?

Solución:Recomendaciones: Antes de iniciar el trabajo en equipo, asegúrate de comprender el problema y

cada una de las actividades que a continuación se plantean.a) Anota lo que se te pide encontrar en este problema.b) Traza un dibujo donde representes el gallinero y que además, contenga la información que se te

proporciona. Coloca la base del gallinero en posición paralela al lado en que el terreno mide 20 metros.

c) Dibuja dos terrenos distintos (que simulen el gallinero) en los que la longitud de la cerca sea de 50 metros.

d) De estas opciones, ¿cuál es la mejor? ¿Porqué?e) ¿Son las únicas opciones posibles? ¿Cuántas mas existen?

Para que tengas argumentos para responder estas pregunta, plantearemos lo siguiente:De acuerdo al inciso c), se pueden construír al menos dos gallineros; esto significa que

existen al menos dos medidas diferentes para la base, que llamaremos b. Consideremos que se le puede asignar a b el valor de un metro y después, que se le puede asignar como valor cada entero consecutivo hasta llegar a 20 metros. Esto quiere decir que se pueden hacer gallineros de 20 formas distintas.

Si a continuación consideramos que la base puede tomar valores numéricos que tengan décimos, del 1 al 20, tendremos que b puede tomar los siguientes valores: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, ... hasta llegar al 20. Esto quiere decir que se pueden hacer gallineros de 200 formas distintas.

Ahora, consideremos que la base puede tomar valores numéricos que tengan centésimos, del 1 al 20; es decir: b = 1.01, 1.02, 1.03, 1.04, ... hasta llegar al 20. Quiere decir que se pueden hacer gallineros de 2 000 formas distintas.

Consideramos que la base puede tomar valores numéricos que tengan milésimos, del 1 al 20, tenemos que: b = 1.001, 1.002, 1.003, 1.004, ... hasta llegar al 20. Esto quiere decir que se pueden hacer gallineros de 20 000 formas distintas.

Toma en cuenta lo anterior al momento de responder esta actividad.

1

f) Como ya te diste cuenta, existen muchas posibilidades de construír el gallinero. Anota y ordena la información de los rectángulos en una tabla como la que se muestra a continuación.

Nota: en las celdas de la última fila escribe la fórmula correspondiente en cada columna.

Base(m)

Altura(m)

Largo delcerco (m)

Area cercada(m2)

Base(m)

Altura(m)

Largo delcerco (m)

Area cercada(m2)

5 18 8 2010 2514 3015 b

g) De los valores que se listan en la tabla, ¿cuál gallinero representa la mejor opción?h) De todos los posibles gallineros que existen, ¿el que seleccionaste en la actividad anterior representa

el de mayor área posible?i) Si piensas que existe una mejor opción, ¿entre que valores de la base se encuentra?j) Utiliza la tabla siguiente para encontrar mejores aproximaciones, si es que las hay. Si lo consideras

necesario, aumenta el número de renglones.

Base(m)

Altura(m)

Largo delcerco (m)

Area cercada(m2)

k) De los valores listados en la segunda tabla, ¿cuál es la mejor opción? De todos los posibles gallineros que existen, ¿ésta es la mejor opción?

Problema 2. El rancheroUn ranchero necesita hacer un corral para encerrar su ganado. Para ello dispone de suficiente

material para construír 171 metros lineales de cerco. ¿Cuánto deberán medir los lados de un corral rectangular que contenga la mayor superficie posible (que utilice en su construcción los 171 metros lineales de cerco), con objeto de poder encerrar la mayor cantidad de ganado?

Solución:Recomendaciones: Considera para la resolución del ejercicio la recomendación dada en el problema

anterior. Además, debes tener presentes los conocimientos adquiridos en tu curso de geometría analítica para la localización de puntos en el plano cartesiano.

Para el llenado de la primera tabla utiliza los siguientes valores para la base: 0, 5, 12, 15, 20, 30, 35, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 150, b.

a) Realiza los mismos pasos desarrollados en el problema 1. b) Con los datos de la primera tabla, construye una gráfica en el plano cartesiano, representando la base

del rectángulo en el eje X, y su área en el eje Y. c) En la misma gráfica incluye los valores de la segunda tabla. d) ¿Son todos los puntos que se pueden graficar? ¿Porqué?e) Señala las columnas de la tabla que se utilizaron para hacer la gráfica.f) ¿Qué forma tiene la gráfica?g) ¿Qué representa cada punto de la gráfica en el problema del ranchero?

2

h) Señala con color rojo el punto de la gráfica que representa la mejor solución para el ranchero.i) Utilizando la gráfica, estima (valor aproximado) las coordenadas de ese punto y con ellas elabora

una propuesta de solución al problema. Redáctala de manera breve, clara y concisa.De los problemas anteriores, pasamos a las siguientes definiciones.

I.2. DEFINICIONES(1) Variable .- Es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado

( conjunto U ). Cada elemento del conjunto es un valor de la variable. Cantidad con un número ilimitado de valores. Señalaremos dos tipos:

Variable independiente o argumento.-A este tipo de variables se le asignan valores a voluntad dentro de los límites que establece el problema en particular.

Variable dependiente o función.-Su valor queda determinado al asignarse un valor a la variable independiente.

(2) Constante .- Símbolo para designar el elemento de un conjunto compuesto de sólo un elemento Constante numérica o absoluta.-Conservan todas los mismos valores absolutos siempre: 2,3,

π ,√3 ,etc Constante arbitraria o parámetro .-Se le pueden asignar valores numéricos que conservan en

el proceso de análisis de cada problema. Cambian de valor de un problema a otro. En el proceso de un problema no cambian de valor.

xa+ yb=1

x , y son variablesa , b son constantes arbitrarias1 es constante numérica

(3) Intervalos .- Son los valores que toma una variable y que están comprendidos entre dos de ellos que se llaman extremos del intervalo. A continuación se presenta una tabla que señala los varios tipos de intervalos

NOTACIÓN DEINTERVALOS

NOTACIÓN DEDESIGUALDAD

REPRESENTACION GRAFICA

[ a , b ] a x b

( a , b ) a x b

( a , b ] a x b

[ a , b ) a x b

( a , + ) a x

( -, b ) x b

[ a , +) a x

( - , b ] x b

(4) Conjunto solución .- Es el conjunto de todos los elementos del universo que satisfacen la condición que se preestablezca.

Si A = { x / x 9, x es entero positivo }

3

El conjunto solución es A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 }(5) Relación .- Es el conjunto que tiene como elementos pares ordenados ( ordenados porque interesa

el orden ). En analítica se utilizan pares ordenados al graficar los puntos del plano cartesiano que interesan.

Ejemplo 1 de relaciones:Sea U = { 0, 1, 2, 3, ............, 9, 10,......, n, n + 1 }Si R1 = { (x, y) / x – y = 2 }

El conjunto solución será: R1 = { (2,0), (3,1), (4,2), (5,3),..........., (n, n-2) }Si R2 = { (x, y) / 2x + y = 7, x + y = 4 }

El conjunto solución será: R2 = { ( 3, 1 ) }Sea U = { 1, 2, 3 }Si R3 = { (x, y) / y = x }; entonces R3 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3) }Si R4 = { (x, y) / y x }; entonces R4 = { (1, 2), (1, 3), (2, 3) }

Dominio .- El dominio de una relación es el subconjunto de U cuyos elementos son la primera componente de los pares ordenados que pertenecen a R.

Contradominio ( Rango ).- Es el subconjunto de U formado por las segundas componentes de la relación R.

En los ejemplos vistos, llamando D al dominio y C al rango se tienen los siguientes conjuntos:D1 = { 2, 3, 4, 5, ........., n, n + 1 }D2 = { 3 }D3 = { 1, 2, 3 }D4 = { 1, 2 }C1 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ........., n, n + 1 }C2 = { 1 }C3 = { 1, 2, 3 }C4 = { 2, 3 }

EJERCICIOS I1.- Si U = { 0, 1, 2, 3, 4,5 }; escribir los elementos de cada relación:

R1 = { (x, y) / x + y = 4 }R2 = { (x, y) / x2 + y2 = 5 }R3 = { (x, y) / y = 2x }R4 = { (x, y) / y - x = 0 }R5 = { (x, y) / x - y 0 }

2.- Escribe con notación de intervalos y gráficamente las desigualdades que se proporcionan en cada inciso:a) - 4¢ x 8 b) - 6 [ x ¢ 7 c) - 3 x 3d) x - 3 e) - 9 ¢ x ¢ 6 f) x > 3

3.- Escribe como desigualdad y gráficamente los intervalos que se proporcionan en cada inciso:a) [ - 7 , 5 ] b) ( - 4 , 4 ] c) ( - 6 , 8 )d) [ - 4 , ) e) ( - 5, 5 ) f) ( -;, 3 )

4.- U = { x / x es un número real }; determinar cinco elementos de cada relación y trazar su gráfica correspondiente. R6 = { (x, y) / y = 4x + 3 }R7 = { (x, y) / y = x2 + 1 } R8 = { (x, y) / x2 + y2 = 25 }

R9 = { (x, y) / x2 + y2 1 }R10 = { (x, y) / x - y = 1; x 2 }

5.- Determinar el dominio “D” y el rango “C” da cada relación del ejercicio anterior.

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I.3. FUNCIONES

(1) Definición .- Es la relación en la que a cada elemento del dominio se le asocia sólo un único elemento del rango. Es el conjunto no vacío de pares ordenados en los que no hay dos pares ordenados con primeras componentes iguales. La gráfica de una función es intersectada una sola vez como máximo por cualquier perpendicular al eje donde se grafique su dominio. En las funciones, las variables del par ordenado están relacionadas de tal manera que el valor de una de ellas queda determinado si se asigna un valor a la otra.

(2) Notación de funciones.- Para designar una función de “x”, se emplea el símbolo “ f(x) ” ; para designar una función de z se usa el símbolo “ f(z) ”. Para distinguir diferentes funciones, se puede cambiar la letra inicial, por ejemplo: (x), (x), (z), (x), f (x), etc.

(3) Clasificación de funciones.- Las funciones se pueden clasificar en :A. Funciones algebraicas.- Es toda función que está formada por un número finito de operaciones algebraicas ( suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación ). Un ejemplo es:

f ( x ) =( x3 + 2 x − 5 )2

3√ 2 x B. Funciones trascendentes.- Estas no cumplen con las características de las algebraicas. En la tabla

siguiente se muestran:

FUNCION TRASCENDENTE NOMBRE

f ( x ) = sec x Función circular o trigonométricaf ( x ) = arc sen 2x Función circular inversa o trigonométrica inversaf ( x ) = 153x Función exponencialf ( x ) = ln ( 3x – 5 ) Función logarítmica

Algunas de las funciones algebraicas mas comunes son:a) Función lineal.- Es la función dada por la ecuación f (x) = ax + b; es la función general de

primer grado o función lineal donde “a” y “b” son constantes y “a” 0.b) Función cuadrática.- Una función dada por la ecuación f (x) = ax2 + bx + c = 0 ; para “a” ,

“b” y “c” constantes con “a” 0 se llama función cuadrática.c) Función escalón unidad.- Es aquella que se encuentra definida por:

F (x) = {0 si1 si

x ⟨ a ¿¿x ⟩ a¿¿para a 0

d) Función par.- Es aquella en la que su gráfica es simétrica respecto al eje “y” ; además, f(-x) = f(x)

e) Función impar.- Es aquella en la que se da la igualdad f(-x) = -f(x) f) Función implícita.- Es cuando se da una relación entre “x” y “y” por medio de una

ecuación no resuelta para f(x) = y.g) Función explícita.- Es cuando la ecuación esta resuelta para f(x) = y.h) Función algebraica simple.- Es aquella para la que se puede obtener una fórmula f(x)

expresada mediante un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación, división, extracción de raíces y constantes.

i) Función compuesta.- Si se tiene que y = u3, y además, u = 2x2 + 1; se puede escribir y = (2x2 + 1)3, o sea, y = U(u) y u = V(x), y = U V (x) . La función

F(x) = U V (x) Se le llama la compuesta de U con V.

j) Función polinomial.- Recuérdese que una expresión de la forma

5

a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + a3 xn-3 + ........... + an-1 x + an donde a0 , a1 , a2 , ..........., an-1 y an son constantes reales, “n” es un entero no negativo y a0

es diferente de cero es un polinomio en “x” de grado “n”. De lo anterior resulta queF(x) = a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + a3 xn-3 + ........... + an-1 x + an

Es una función polinomial de grado “n”.k) Función racional.- Si U y V son funciones polinomiales, la función F dada por

F(x) =

U ( x )V ( x ) ; V(x) ¿ 0

es una función racional; debe cuidarse que V(x) sea diferente de cero para que la función exista.

(4) Operaciones con funciones.- La suma, resta, multiplicación y división son operaciones algebraicas que se pueden efectuar con funciones. Considérense las funciones U y V donde Du y Dv son el dominio de U y de V respectivamente. Las cuatro operaciones mencionadas quedan definidas de la siguiente manera:

U + V = { ( x, y ) / y = U(x) + V(x) ; x ∈ ( Du ¿ Dv ) }U - V = { ( x, y ) / y = U(x) - V(x) ; x ∈ ( Du ¿ Dv ) }U V = { ( x, y ) / y = U(x) V(x) ; x ∈ ( Du ¿ Dv ) }UV = { ( x, y ) / y =

U ( x )V ( x ) ; x ∈ ( Du ¿ Dv ) y V(x) ¿ 0 }

Ejemplo 2:

Si U = { (4,3), (5,6), (0,5), (3,2), (8,11) } y V = { (5,-4), (0,6), (3,3), (8,9), (7,10) }

Encontrar: U + V; U – V; U V y

UV

Du = { 4, 5, 0, 3, 8 }Dv = { 5, 0, 3, 8, 7 }Du ¿ Dv = { 5, 0, 3, 8 }

U + V = { (5,6-4), (0,5+6), (3,2+3), (8,11+9) } = { (5,2), (0,11), (3,5), (8,20) }

U - V = { (5,6+4), (0,5-6), (3,2-3), (8,11-9) }

= { (5,10), (0,-1), (3,-1), (8,2) }

U V = { [5,6(-4)], [0,5(6)], [3,2(3)], [8,11(9)] } = { (5,-24), (0,30), (3,6), (8,99) }

UV = { (5,6/-4), (0,5/6), (3,2/3), (8,11/9) }

= { (5,-

32 ), (0,

56 ), (3,

23 ), (8,

119 ) }

Ejemplo 3: Dadas las funciones U y V de manera que

U(x) = x2 y V(x) = 4x3; Encontrar:

6

U + V; U – V ; U V y

UV

Du = { x / x es número real }Dv = { x / x es número real }Du ¿ Dv = { x / x es número real }

Para U + V la correspondiente de x es

U + V = U(x) + V(x) = x2 + 4x3

U - V = U(x) - V(x) = x2 - 4x3

U V = U(x) V(x) = ( x2 ) (4x3 ) = 4x5

UV =

U ( x )V ( x ) =

x2

4 x3 =

14 x

para todas las operaciones, el dominio también son los números reales, excluyendo en la división x = 0 para V(x); pues, en este caso, resulta una división entre cero y esta no existe.

(5) Funciones compuestas.- Nótese que de las ecuaciones

y = u3; u = 2x2 + 1;

se puede escribir y = (2x2 + 1)3,

y generalizandoy = U(u) y u = V(x),

entoncesy = U V (x) .

las últimas tres ecuaciones indican las funciones

U = { (u, y) / y = U(u) }; V = { (x, u) / u = V(X) }

F = { (x, y) / y = U V (x) }

los símbolos U [ V(x) ] denotan la correspondiente de x ante la composición de U con V y se lee “ U de V de x “, el dominio de U[V] estará definido por

DU[V] = { x / x ∈ Dv y V(X) ∈ Du }

Ejemplo 4: Calcular U[V] para las funciones de cada inciso:

a) U = { (0,5), (8,1), (2,9) }; V = { (2,0), (3,8), (4,8), (6,2), (5,0) }

7

Se seleccionan pares ordenados de V cuyas segundas componentes sean primeras componentes de los pares ordenados de U; para el presente caso, todos los pares ordenados de V tienen dicha propiedad; por lo tanto, el dominio de U [ V(x) ] es:

DU[V] = { 2, 3, 4, 5, 6 }Entonces F = { (2, ), (3, ), (4, ), (5, ), (6, ) }

F (2) = U [ V(2) ] = U(0) = 5

F (3) = U [ V(3) ] = U(8) = 1

F (4) = U [ V(4) ] = U(8) = 1

F (5) = U [ V(5) ] = U(0) = 5

F (6) = U [ V(6) ] = U(2) = 9

De lo que resulta: F = { (2,5 ), (3,1 ), (4,1 ), (5,5 ), (6,9 ) }

b) U = { (1,7), (5,4), (3,5), (4,6) }; V = { (0,-3), (3,5), (4,1) }

las segundas componentes de V que son primeras componentes de U son 5, 1 ; por lo que

DU[V] = { 3, 4 }; y F = { (3,4), (4,7) }

EJERCICIOS II1.- Encuentra la suma, resta, multiplicación y división de las funcione U y V proporcionadas en cada

inciso. Determina el dominio de U, V y de la función resultante de cada operación.

a. ) U(x) = √ x−2 ; V(x) = √ x+3

b. ) U(x) = √9−x2; V(x) = √ x2−1

c. ) U(x) = 2x, 0 ¿ x ¿ 3; V(x) = x2, 1 ¿ x ¿ 3

d. ) U(x) = √9−x2; V(x) = x, x ¿ 0

e. ) U(x) = √ x2 − 16 ; V(x) = x3

f. ) U = { (2,4), (3,9), (4,6), (5,7) }; V = { (2,2), (3,3), (4,2), (5,0) }

g. ) U = { (-1,0), (3,9), (4,6), (7,10) }; V = { (0,3), (3,3), (1,2), (8,11) }

h. ) U = { (6,9), (9,12), (4,7) }; V = { (3,6), (5,9), (8,4), (7,6) }

i. ) U = { (6,9), (9,12), (4,7), (8,10) }; V = { (3,6), (5,9), (8,4,), (7,6), (10,5) }

j. ) U(x) = x2 - 2x, ; V(x) = x2 – 2 con x = { 1, 2, 3, -1, -2, -3 }

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2.- Para los incisos f), g), h), i), j) del ejercicio anterior, encontrar la compuesta de U con V. (6) Evaluación de funciones.- La evaluación de funciones consiste en determinar el valor de la

función para los valores que se asignen a la variable independiente.

Ejemplo 5:

Si f(x) = x3 – 4x + 2; determinar: f(1), f(-2), f(a) y f(0)

f(1) = (1)3 – 4(1) + 2 = 1 –4 + 2 = -1 f(-2) = (-2)3 – 4(-2) + 2 = -8 +8 + 2 = 2

f(a) = (a)3 – 4(a) + 2 = a3 –4a + 2 f(0) = (0)3 – 4(0) + 2 = 0 –0 + 2 = 2

EJERCICIOS III

1.- Si f(x) =

x−1x2+2 , determinar:

f(-1)=?, f(0) =?, f(2a) =?, f(1/x) =? y f(x + h) =?

2.- Si f(x) = 2x, demostrar que:

f(x + 3) – f(x – 1) =

152 f(x);

f ( x+3 )f ( x−1 ) = f(4); f(x + 1) = 2 f(x)

3.- Si f(x) = x2 – x, demostrar que:f(x + 1) = f (-x),

4.- Si f(x) =

x−1x+1 , encontrar:

f(0) =?, f(1) =?, f(-2) =?; además, demostrar que:

f(1/x) = -f(x), f(-

1x ) = -

1f ( x )

5.- Si f(x) = x2 – 4x + 6; encontrar:f(0) =?, f(-2) =?, f(h) =?; además, demostrar que:f(1/2) = f(7/2), f(2 - h) = f(2 + h)

6.- Si f(x) =

1x ; demostrar que:

f(a) – f(b) = f[a bb−a ] ; f(2) – f(b) = f[

2bb−2 ]

7.- Si f(x) =

1√ ax ; encontrar:

f (

9a )=?,

8.- Si f(x) = 3x ; demostrar que:f (0) = 1; f (x + 1) – f (x ) = 2 f (x ); f ( y ) f ( z ) = f (y + z)

9

9.- Si f() = sen + cos 2; encontrar:

f (

π4 ) = ?; f (

π3 ) = ?; f ( ) = ?; f ( 2) = ?

II. LIMITES Y CONTINUIDADII.1. LIMITE

(1) Noción intuitiva de límite.- Iniciemos analizando la función

F(x) = x2+x−2x−1

F es una función que no está definida para x = 1. Veamos a que valor se aproxima la función si la variable independiente se aproxima al punto x = 1. Para ello, calculemos los valores de la función para distintos puntos menores que uno; como x ¿ 1, entonces

x2+x−2x−1 =

( x+2 ) ( x−1 )x−1 = x + 2

y tabulando

x: 0 0.25 0.50 0.75 0.90 0.99 0.999 0.9999f(x): 2 2.25 2.50 2.75 2.90 2.99 2.999 2.9999

Para valores cercanos, pero mayores que uno, se tiene:

x: 2 1.25 1.10 1.01 1.001 1.0001 1.000001f(x): 4 3.25 3.10 3.01 3.001 3.0001 3.000001

La gráfica de la función f es la siguiente:

aunque la función no está definida para x = 1, nos podemos

aproximar a este punto tanto como queramos; hay que observar

que en la medida que x

se acerca al uno, f se acerca mas al tres. Se dice entonces

que el valor límite de f cuando x “tiende “

(o se acerca ) a uno, es el tres.

Definición.- Decimos que f alcanza un límite M cuando x se acerca a x0 si | f ( x )−M | puede hacerse tan

pequeño como se quiera, siempre que x este suficientemente cerca de x0. Simbólicamente se expresa:

Limx → x0 f(x) = M

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(2) Propiedades de los límites.- A continuación se mencionan algunas propiedades sobre los límites de funciones que se pueden emplear en el calculo de estos:

a.Limx → a x = a

b.Limx → a c = c si c es una constante

c. SiLimx → a f(x) = L y

Limx → a g(x) = M, se tiene:

1.Limx → a [ f(x) g(x) ] = L M

2.Limx → a [ f(x) g(x) ] = L M

3.Limx → a

[ f ( x )g( x ) ]=

LM ( si

Limx → a g(x) ¿ 0 )

4.Limx → a

n√ f (x ) = n√L

Se pueden identificar cuatro variantes en el cálculo de límites:

CASO I: Se aplican directamente las propiedades señaladas con anterioridad sustituyendo el valor a que tiende la variable.

Ejemplo 6: Calcular

Limx → 2 √ 5 x3+7 x+5

3 x2+1

Aplicando la propiedad c.3, investigar si el límite de 3x2 + 1 es diferente de cero.

Limx → 2 (3x2 + 1 ) = (

Limx → 2 3x2 ) + (

Limx → 2 1 ) propiedad c.1

Limx → 2 ( 3x2 ) = (

Limx → 2 3) (

Limx → 2 x ) (

Limx → 2 x ) propiedad c.2

Limx → 2 3 = 3;

Limx → 2 1 = 1 propiedad b

Limx→2 x = 2 propiedad aLimx → 2 (3x2 + 1 ) = ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) + 1 = 13; es diferente de cero. Es posible aplicar c.3Limx → 2 (5x3 + 7x + 5 ) = (

Limx → 2 5) (

Limx → 2 x) (

Limx → 2 x) (

Limx → 2 x) + (

Limx → 2 7) (

Limx → 2 x) + (

Limx → 2 5)

= ( 5 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) + ( 7 ) ( 2 ) + ( 5 ) = 59

Limx → 2 √ 5 x3+7 x+5

3 x2+1 = √5913

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CASO II: En ocasiones, es necesario simplificar la expresión algebraica antes de sustituír el valor

a que tiende la variable, pues de lo contrario, resulta la forma indeterminada ( 0

0 ) . Lo anterior se logra factorizando el numerador y/o el denominador.

Ejemplo 7: Calcular

Limx → 1

x2+x−2x−1

En este caso no se puede aplicar la propiedad c.3, puesto que al calcular el límite en el denominador

resulta Limx → 1 ( x – 1 ) = 0. Sin embargo, por el análisis inicial se sabe que en ese punto el límite de la

función es tres. En casos como el presente, se busca una función “ auxiliar “ ( mediante operaciones algebraicas ) que si este definida.

Limx → 1

x2+x−2x−1 =

Limx → 1 ( x + 2 ) = 3

CASO III: En otras ocasiones, es necesario simplificar mediante la racionalización del numerador o del denominador antes de sustituír el valor a que tiende la variable, pues de lo contrario,

resulta la forma indeterminada ( 0

0 ) . Ejemplo 8: Calcular

Limx → 4

2 − √x4 −x

Limx → 4

2 − √x4 −x =

Limx → 4

2 − √x4 −x

( 2 + √ x2 + √ x ) =

Limx → 4

4 − x (4 − x ) (2 + √x )

= Limx → 4

1 2 + √ x =

12 + √4 =

14

(3) Límites que involucran el infinito.- Consideremos la siguiente función:

f(x) =

x2

x2+2

tabulando valores de la función para valores asignados a la variable independiente x:

x: 0 1 2 3 10 100 1 000 1 000 000

f(x): 013

46

911

100102

1000010002

10000001000002

10000000000001000000000002

se observa que para valores grandes de x, f(x) se va acercando a uno, la gráfica de f es la siguiente:

12

Se observa que si x toma valores cada vez mas grandes, f se aproxima mas al uno, es decir, f “ tiende “ a

uno. De la misma manera podemos observar que si x decrece, f toma valores cada vez mas cercanos a uno,

es decir, si x “ tiende “ a menos infinito, f(x) “ tiende “ a uno.

Simbólicamente:Limx → ∝¿

¿ f(x) = L

A continuación se enumeran algunas propiedades sobre límites donde se involucra el infinito:ESCRITO EN FORMA DE LIMITE ESCRITO EN FORMA ABREVIADA

Limv → 0

cv = ¿

c0 = ¿

Limv → 0 c v = 0 c (0) = 0

Limv → 0

vc = 0

0c = 0

Limv → ∝¿

¿

cv = 0

c¿ = 0

Limc → ∝ ¿

¿cv = ¿ c ¿ = ¿

Limc → ∝ ¿

¿

vc = ¿

αc = ¿

CASO IV: Cuando es un cociente y la variable independiente tiende a ¿ , es necesario dividir el numerador y el denominador por la variable de mayor exponente que se encuentre en el cociente antes de sustituír el valor a que tiende la variable.

Ejemplo 9: Calcular

Limx → ∝¿

¿x2

x2+2

Limx → ∝¿

¿x2

x2+2 = Limx → ∝¿

¿

x2

x2

x2

x2+2x2

= Limx → ∝¿

¿

1

1+ 2¿ =

11+0 = 1;

Limx → ∝¿

¿x2

x2+2 = 1

Un límite muy importante en el cálculo diferencial es el siguiente: Limh → 0

f ( x + h ) − f ( x )h :

Ejemplo 10: Si f(x) = 3x2 – 5x, Calcular:

Limh → 0

f ( x + h ) − f ( x )h =

Limh → 0

3 ( x + h )2 − 5 ( x +h ) − 3 x2 +5 xh

= Limh → 0

3x2 + 6 xh + 3h2 − 5 x − 5h − 3 x2 + 5 xh =

Limh → 0

6 xh + 3h2 − 5hh

13

= Limh → 0 ( 6x + 3h – 5 ) = 6x - 5

EJERCICIOS IV1.- Calcula el límite de los problemas de cada inciso ( CASO I ):

a)Limx → 2 (x2 + 4x )

b)Limx → a 4x

c)Limx → 2 x2

d)Limx → 2 (3x2 + 5 )

e)Limx → 2

3x−52x+7

f)Limx → 3

2x+4x2+4

g)Limh → 0

( x+h )2−x2

h

h)

Limx → 1

2

x3 + 5 x4 x − 6

i)Limx → 2 ( x2 + 2x – 1 )

j)Limx → 0

x2 + 5 x4 x − 6 =

2.- Calcula el límite de los problemas de cada inciso( CASO II ):

a)Limx → 2

x2−3 x+2x−2

b)Limx → 1

x2−3x+2x2−4 x+3

c)Limx → 0

1x [ 1

2+x−1

2 ]d)

Limx →−2

x2−4x2+4

e)Limx → 0

x2−7 xx

f)Lims → a

s4−a4

s2−a2

g)Limx → 2

x2 + x − 6x2 − 4

h)Limx →−1

x3 + 1x + 1

i)Limx → 0

8 x2 − 2x2 x

j)Limx → 2

x2−8 x+12x−2

k)Limx → 2

x3 − 8x − 2

3.- Calcula el límite de los problemas de cada inciso ( CASO III ):

a)Limx → 2

x2− 4√ x2 − 3 − 1

b)Limx → 1

√ x+ 3 − 2x − 1

c)Limx → 0

2− √ 4−xx

d)Limx → 0

√ 3 + x − √3x

e)Limx → 0

x√2 + x − √ 2

f)Limx → 0

x√ x + 1 − 1

14

g)Limx → 2

4 − x2

3 − √ x2 − 5

h)Limx → 2

√x − √ 2x − 2

i)Limx → 1

1 − x2

2 + √ x2 + 3

j)Limx → 3

x2 − 9√ x2 + 7 − 4

k)Limx → 2

x2 − 4√ x2− 3 − 1

4.- Calcula el límite de los problemas de cada inciso ( CASO IV ):

a)Limx → ∝¿

¿6 x3 − 5 x2 + 32 x3 + 4 x − 7

b)Limx → ∝¿

¿4 x3 − 5 x2 + 6

7 x − 3 x2 + 9x3

c)Limx → ∝¿

¿ax4 + bx 2 + cdx5 + ex3 + f

d)Limh → ∝¿

¿3h2 + 2xh3 + 8 x2h4

4 − 3 xh2 − 2 x3h4

e)Limx → ∝¿

¿2x3−3 x2+45x− x2−7 x3

f)Limx → ∝¿

¿2− 5 x2

4 x + 8x2

g)Limx → ∝¿

¿7− 3 x2

5x + 9x2

h)Limx → ∝¿

¿2 x2 + 3

4 + x − 5 x2

i)Limt → ∝¿

¿3 t + 2xt2 + x2 t3

4 − 3 xt − 2x3 t3

j)Limx → ∝¿

¿4 x+52 x+3

5.- Calcula Limh → 0

f ( x + h ) − f ( x )h para la función proporcionada en cada inciso:

a) f ( x ) = ax3

b) f ( x ) = √3 x − 1c) f ( x ) = ax2 + bx + cd) f ( x ) = 5x3

e) f ( x ) =

1ax

f) f ( x ) =

x2 − 3x2 x −1

g) √ ax + b

h) f ( x ) =

12 √ x

i) f ( x ) = 3x2 - 5x j) f ( x ) = 2x2 + 7x - 1

k) f ( x ) =

1x2

II.2. CONTINUIDAD

(1) Definición .- La continuidad de una función esta casi siempre relacionada con la “contigidad “ de su gráfica, es decir, con el hecho de que la función sea una curva “continua “, sin rupturas. Mas precisamente, las siguientes funciones

15

f(x) = x sen x

k (x )= 2x2

x2 + 1 D: 0, R: -, + D: -, + R: 0, 2

s ( x )= ¿ {4 − x2 si x≤ 1 ¿ ¿¿

¿ m ( x ) = 1x − 2

D:[ -2, 2] R: [ 0, 6] D: ( 2, R: 0,

son todas continuas en su dominio de definición, ya que sus gráficas no se rompen, son trazos “continuos“. Matemáticamente, las condiciones para que una función sea continua en el punto x0 son las siguientes:

a) f(x0) este definida

b)Limx → x0 f(x) exista

c)Limx → x0 f(x) = f(x0)

Cuando no se cumple una o varias de las condiciones señaladas anteriormente, se dice que f(x) es discontinua en el punto x = x0.

16

Ejemplo 11: Investigar si f(x) =

1x−2 es continua

Para x = 2 la función no esta definida, ya que:

F(2) =

12−2 =

10 y no se cumple la condición a).

Ejemplo 12:

a) Comprobar la continuidad de f(x) = x2−4x−2

Para x = 2, f(2) no esta definida, por lo que

no se cumple a); sin embargo

Limx → 2 f(x) =

Limx → 2

x2−4x−2 =

Limx → 2 ( x + 2 ) = 4

Si se asigna f(2) = 4 para x = 2; la función ya es

continua. A la discontinuidad presentada se le llama

“evitable”, evitarla consiste simplemente en llenar

adecuadamente el “hueco” que se presenta en la

gráfica.

b) Comprobar la continuidad de f(x) =

x3 − 27x2 −9 :

tiene discontinuidades en x = 3 y x = - 3; pero como

f(x) =

x3 − 27x2 −9 =

( x − 3 ) ( x2 + 3 x + 9 )( x − 3 ) ( x + 3 ) =

x2 + 3 x + 9x + 3

la discontinuidad en x = 3 es evitable.

EJERCICIOS V

Investigar la continuidad o discontinuidad de las funciones que se proporcionan en cada número y en los intervalos indicados:

17

1.- f(x) =

2x+5 en los intervalos: a) ( 3, 7 ) b) [ -6, 4 ] c) ( -¿ , o )

d) ( -5, +¿ ) e) [ -5, +¿ ) f) [ -10, -5 )

2.- f(x) =

1√3+2x−x2

en los intervalos:a) ( -1, 3 ) b) [ -1, 3 ] c) [ -1, 3 )

3.- Investigar los puntos de discontinuidad ( si los hay ) en cada inciso:

a) f(x) = ( x2 – 4 ) b) (x) =

( 3 x − 1 )2

( x + 1 )3

c) f(x) =

x2 − 4x2 −5 x+6 d) f(x) =

x − 2x2 − 4

e) f(x) =

x̄ − 1x2 − 1 f) f(x) = ( x3 + 2x2 – 3x – 4 )

III. DERIVACIÓN DE FUNCIONES

III.1.INCREMENTOS

(1) Definición .- El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así pues, x = x1 - x0 .

Si se da un incremento x a la variable x ( es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + x ), la función y = f(x) se verá incrementada en y = f ( x0 + x ) – f(x0 ) a partir del valor y = f(x0 ).

Ejemplo 13: Si se tiene que y = f(x) = x2

Si x0 = 10, entonces fija a y = 100Suponiendo x1 = 12, entonces fija a y = 144

Resulta que x = 2, determina y = 44Suponiendo x1 = 9, entonces fija a y = 81

Resulta que x = -1, determina y = -19

El cociente

ΔyΔx =

incremento de yincremento de x recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la

función en el intervalo comprendido entre x = x0 hasta x = x0 + x

III.2.DERIVADAS

(1) Notación usual en las derivadas.- La derivada de una función de una variable es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este ( el incremento

18

x ) tiende a cero. Cuando el límite existe, se dice que la función es derivable o tiene derivada. Matemáticamente:

LimΔx → 0

ΔyΔx =

LimΔx → 0

f ( x0 + Δx )− f ( x0 )Δx

la derivada será el límite del segundo miembro cuando x 0 y se representa

dydx que se lee:

“ la derivada de y [ o de f(x) ] con respecto a x “

dydx =

LimΔx → 0

ΔyΔx

si “u” es una función de “t”

dudt =

LimΔt → 0

ΔuΔt

las expresiones

dydx y

dudt deben considerarse como un todo y no como una fracción. Si y = f(x), la

derivada se expresa de diferentes formas, algunas de ellas son:

dydx =

ddx f(x) =

ddx y = f (x) = y = Dx y = Dx f(x)

(2) Regla general de derivación.- Para encontrar la derivada de una función conforme a la definición anterior, se recomiendan los pasos siguientes:

I. Se sustituye en la función x por x + x y se calcula y + y.

II. Se resta el valor inicial de la función del valor obtenido y + y para encontrar el

incremento y.

III. Se divide el incremento de la función (y) sobre el incremento de la variable (x).

IV. Se calcula el límite de este cociente cuando el incremento de la variable (x) tiende a

cero. El límite encontrado es la derivada buscada.

Ejemplo 14:

Encontrar la derivada de y = 3x2 + 5I.- y + y = 3 ( x + x )2 + 5

y + y = 3x2 + 6xx + 3 (x)2 + 5II.- y + y = 3x2 + 6xx + 3 (x)2 + 5

y = 3x 2 + 5 . y = 6xx + 3 (x)2

III.-

ΔyΔx =

6 xΔx + 3 (Δx )2

Δx = 6x + 3x

19

IV.-

dydx =

LimΔx → 0

ΔyΔx =

LimΔx → 0 (6x + 3 x ) = 6x

EJERCICIOS VI

Encuentra la derivada de cada función que se proporciona.

a) y = 2 – 3xb) f(x) = mx + bc) y = x4

d) =

2θ + 1

e) s = at2 + bt +c

f) y =

xx2 + 1

g) f(x) = cx3

h) y = 3x – x3

i) y = x2 + 2xj) s = ( a + bt )2

k) y =

x2

2 + xl) y = x2 + 2

m)y = 4

x2

n)y = x + 2

x

o)y = 1

√ ax

III.3.INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Geométricamente, la derivada de una función f(x) es la

pendiente de la recta tangente a la gráfica de y =

f(x) en el punto [ x0, f(x0) ]. En la figura siguiente:

considerando que: y = f(x)

I.- y + y = f ( x + x )NQ

II.- y + y = f ( x + x ) NQ y = f(x) MP = NR .

y = f( x + x) - f(x) RQ

III.-

ΔyΔx =

f ( x + Δx ) − f ( x )Δx =

RQMN

= RQPR = tg RPQ = tg = pendiente de la

secante PQ.La razón del incremento y al incremento x es la pendiente de la secante determinada por P ( x, y ) y Q ( x + x, y + y ).

IV.- Si se considera x como fijo, entonces P es punto fijo en la gráfica. Si x varía tendiendo a cero, el punto Q se mueve en la curva y se acerca a P como límite. La recta PQ gira sobre P y se sobrepone a PT.

20

= inclinación de la secante PQ

t = inclinación de la tangente PTLimΔx → 0 = t

y = LimΔx → 0 tg = tg t = pendiente de la tangente en P.

El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto.

Ejemplo 15: Hallar la pendiente “m” , el ángulo de inclinación “” y la ecuación de la recta tangente

a la curva y = 3x2 + 5 en los puntos (0, 5) y (

13 , y ).

Por lo anterior:

dydx = m

dydx =

ddx ( 3x2 + 5 ) = 6x ; m = 6x; resultado del ejemplo 12

para x = 0, m = 6 ( 0 ) = 0 m = 0como m = tg , tg = 0

= arc tg (0) = 00 = 00 para (0, 5) y m= 0; la Ec. es y – 5 = 0 ( x – 0 ); y – 5 = 0

para x =

13 , m = 6 (

13 ) = 2 m = 2

= arc tg (2) = 63.430 = 63.430

para (

13 ,

163 ) y m= 2; la Ec. es y –

163 = 2 ( x –

13 ); 6x – 3y + 14 = 0

EJERCICIOS VII

Encuentra la pendiente “m” , el ángulo de inclinación “” y la ecuación de la recta tangente en cada caso:

a) y = x2 – 2 ( 1, -1 ) b) y = 2x -

12 x2 ( 3, y )

c) y =

4x − 1 x = 2 d) y = 3 + 3x – x3 x = -1

e) y = x3 – x2 ( -1, -2 )

III.4.DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Debido a que la aplicación de la regla general de derivación ( por incrementos ) sería muy laboriosa, en su lugar, existen fórmulas de derivación. Para derivar funciones algebraicas, las fórmulas correspondientes son las siguientes:

1).dcdx = 0 siendo c una constante

2).dxdx = 1

3).ddx

(u+v−w ) =

dudx +

dvdx -

dwdx

4).ddx

(c v ) = c

dvdx siendo c una

21

constante

5).ddx

(u v ) = u

dvdx + v

dudx

6).ddx

(u v w ) = u v

dwdx + uw

dvdx + vw

dudx

donde u, v, w son funciones derivables de x

7).ddx

(vn) = n v n – 1

dvdx

8).ddx

(xn) = n x n – 1

9).ddx ( uv ) =

v dudx

- u dvdx

v2

10).ddx ( uc ) =

dudx

c siendo c 0

Ejemplo 16: Derivar la función de cada inciso:

a) y = 3x2 + 5x3 + x4 dydx =

ddx (3x2 + 5x3 + x4 ) =

ddx (3x2 ) +

ddx ( 5x3 ) +

ddx (x4 ) aplicando 3)

u = 3

ddx (x2 ); v = 5

ddx (x3 ); w =

ddx (x4 ); aplicando 4)

u = 3 (2x2-1 ); v = 5 (3x3-1 ); w = 4x4-1); aplicando 8)

y = 6x + 15x2 + 4x3

b) s = ( t2 – 3 )4 dsdt =

ddt [( t2 – 3 )4 ] ; u = t2 – 3; n = 4

s = 4 ( t2 - 3 )4-1

ddt ( t2 – 3 ); aplicando 7)

s = 4 ( t2 - 3 )3 [ddt ( t2 ) –

ddt ( 3 ) ]; aplicando 3)

s = 4 ( t2 - 3 )3 [ 2t – 0 ]; aplicando 8) y 1)

s = 8t ( t2 - 3 )3

c) f(x) = √ x − 1x + 1 ; f (x) =

[ x − 1x + 1 ]

12

f (x) =

ddx

[ x − 1x + 1 ]

12

f (x) =

12

[ x − 1x + 1 ]

12−

22 ddx

[ x − 1x + 1 ] aplicando 7)

22

f (x) =

12

[ x − 1x + 1 ]−

12

[ ( x + 1) d

dx( x − 1)− ( x − 1 ) d

dx( x + 1)

( x + 1 )2 ]aplicando 9)

f (x) =

12

[ x + 1x − 1 ]

12

[ ( x + 1) ( 1) − ( x − 1) ( 1)

(x + 1)2 ]aplicando 1) y 2)

f (x) =

12

[ x + 1x − 1 ]

12

[ x + 1 − x + 1

( x + 1)2 ]=[ 1 ( x + 1)

12 (2)

(2) ( x − 1)12 ( x + 1)

12( x + 1)

12 ( x + 1) ]

f (x) = [ 1√ x − 1√ x + 1 ( x + 1) ]; f (x) =

1( x + 1)√ x2− 1

EJERCICIOS VIII

Encontrar la derivada de la función en cada inciso:

a) y = x5 + 5x4 - 10x2 + 6

b) f(x) = 3x1/2 - x3/2 + 2x-1/2

c) y =

12x2

+

4√x

d) y = √2x + 2√ x

e) f(t) =

2√t +

63√t

f) y = ( 1 – 5x )6 g) f(x) = ( 3x – x3 + 1 )4

h) f(z) = √3 + 4 z − z2

i) y = 2x2 √2 − x

j) =

3 r + 22r + 3

k) y = [ x1 + x ]

5

l) y = √1 + √ x

m) z =

ω√1 − 4ω2

n) s =

t 2 + 23 − t2

o) s = t √a2 + t2

p) f(t) = ( 2 – 3t2 )3

q) y = x ( a + bx )1/2

r) y = √2 ρx

s) s =

a + bt + ct2

√ tt) r = √1 − 2θ

u) y = a + bx + cx2

x

v) f(x) =

2x− 3

x2

w) f(t) = at5 – 5bt2

x) s = 2t4/3-3t2/3

III.5.DERIVADAS SUCESIVAS

La derivada de una función también es una función, ello nos permite intentar derivarla repetidas veces. Así, f (x), f(x), f(x), f4(x), ..................., fn (x) denotarán la primera, segunda, tercer, cuarta, ........, n-ésima derivada de la función f.

Ejemplo 17:Si f(x) = x5 – 2x3 ; tendremos:

23

f (x) = 5x4 – 6x2; f (x) = 20x3 – 12x; f (x) = 60x2 - 12,f 4(x) = 120x; f 5(x) = 120

y de ahí en adelante todas las derivadas serán igual a cero. Algunas otras formas de expresar derivadas

sucesivas son: f (x) = f 2(x) =

d2 ydx2 = y ; f = f 3(x) =

d3 ydx3 = y y así

sucesivamente.

EJERCICIOS IX

Calcular las derivadas indicadas en cada problema:

a) y = 3x4 – 2x2 + x – 5 y = ?

b) y =

1√x y(IV) = ?

c) f(x) = √2 − 3x2f (x) = ?

d) y =

x√x − 1 y = ?

e) y =

1x2

y(V) = ?

f) y =

13x + 2 y = ?

g) y = x2 – 4x + 8 y = ?

III.6.DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLICITAS

Cuando se da una relación entre “x” y “y” por medio de una ecuación no resuelta para y [ f(x, y) =0], entonces “y” se llama función implícita de “x” ( o también “x” función implícita de “y” ). Por ejemplo:

x2 – 4y = 0A veces, es posible resolver la ecuación que define una función implícita con respecto a una de las

variables, obteniendo así una función explícita. Así, puede definirse “y” como función explícita de “x”: y = 14 x2. Sin embargo, puede ocurrir que la resolución indicada sea imposible o complicada; cuando sucede tal caso, para calcular la derivada de esta clase de funciones se aplican los siguientes pasos:

1). Derivar término a término con respecto a “x” y donde aparece “y” derivarla como función de “x”.

2). Agrupar términos con

dydx en el primer miembro.

24

3). Despejar

dydx

Ejemplo 18: Calcular la derivada de:

15x = 15y + 5y3 + 3y5

ddx (15x) =

ddx (15y) +

ddx ( 5y3 ) +

ddx (3y5 )

15 = 15

dydx + 15y2

dydx + 15y4

dydx

dydx [ 1 + y2 + y4 ] = 1

dydx =

11 + y2 + y4

Ejemplo 19 Derivar:

x3 – 3axy + y3 = 0

ddx (x3) -

ddx (3axy) +

ddx ( y3 ) =

ddx (0)

3x2 – 3ay – 3axy + 3y2y = 0

y (3y2 – 3ax ) = 3ay – 3x2

y =

ay − x2

y2 − ax EJERCICIOS X

1) Encuentra la derivada de cada función implícita que se proporciona:

a) x2 + y2 = 4

b) y3 + xy – 10 = 0

c) x2 + 3y2 – 4 = 0

d) x2 - 2xy + y2 = 6

e) y3 + 3x2y + x2 – 2xy = 3

f) x2 + y2 – 4x + 6y – 24 = 0

g) x = √ y + 3√ yh) x2 + xy + 2y2 = 28

i) x2/3 + y2/3 = a2/3

j) x + xy + y = 2

k) x2 – xy + y2 = 3

l) x2 – xy2 + x2 + y2 = 0

2) Hallar la pendiente de las curvas indicadas en los puntos señalados:

a) x3 – 2xy + y3 = 5; P( 1, 1 )b) y3 + (y – x )2 = 7 + x y P( 1, 2 )

c) x2 + y2 = 4P( 2, 0 )

25

d) x2 y + xy2 = 12 P( 3, 1 )e) x2 - y2 = 3 P( 2, 1 )f) 2y3 + 4xy + x2 = 7; P( 1, 1 )

g) x3 - y3 = 5xy - 3 P( 2, 1 )h) 2y3 + 4xy + x2 = 7 P( 1, 1 )

IV.2. MÁXIMOS Y MINIMOS.

(1) Definición .- El valor de una función es un máximo si es mayor que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Un valor de una función es un mínimo si es menor que cualquiera de los valores inmediatamente anteriores y posteriores al considerado.

En la gráfica siguiente y = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 la función tiene un valor máximo MA ( y = 2 ) en x = 1 y un valor mínimo NB ( y = 1 ) en x = 2.

A los anteriores conceptos se les llama mínimos y máximos locales, ya que en la gráfica se observa que a la derecha de B hay valores de “y” mayores que MA y a la izquierda de A también la función tiene valores menores que el mínimo NB.

En el punto A de la gráfica, y = 0 ( m = 0, tangente del ángulo de cero grados es cero ); en el punto C a la izquierda de A, el ángulo de la tangente es agudo ( pendiente positiva ) y en el punto D a la derecha de A el ángulo de la tangente es obtuso ( pendiente negativa ). En el punto A ( máximo ), la función cambia de creciente a decreciente; la derivada de la función cambia de positiva ( + ) a negativa ( -).

En el punto B, y = 0; en punto D la función es decreciente y en E es creciente. En B ( mínimo ), la derivada de la función cambia de negativa ( - ) a positiva ( + ). Lo anterior se puede resumir de la siguiente forma:

f(x) es un máximo si f (x) = 0 y f (x) cambia de + a –f(x) es un mínimo si f (x) = 0 y f (x) cambia de – a +

Los valores que satisfacen la ecuación f(x) = 0 se llaman valores críticos y determinan puntos de cambio donde la tangente es paralela al eje “x”. En la función del caso, los valores críticos son x = 1 y x = 2. Para determinar el cambio de signo en la derivada, se evalúa la función para valores un poco menores y un poco mayores.

Si y = 6x2 – 18x + 12:

Para x = 1; valor poco menor = 0.5 valor poco mayor = 1.5

y = 6 ( 0.5 )2 – 18 ( 0.5 ) + 12 = 1.5 - 9 + 12 +y = 6 ( 1.5 )2 – 18 ( 1.5 ) + 12 = 37.5 - 27 + 12 –

El cambio es de + a –

26

Para x = 2; valor poco menor = 1.5 valor poco mayor = 2.5

y = 6 ( 1.5 )2 – 18 ( 1.5 ) + 12 = 37.5 - 27 + 12 –y = 6 ( 2.5 )2 – 18 ( 2.5 ) + 12 = 37.5 - 45 + 12 +

El cambio es de – a + Para x = 1; Máx. = y = 2Para x = 2; Mín. = y = 1

(2) Primer método para calcular máximos y mínimos.- En la aplicación de este método, se recomiendan los pasos siguientes:

I. Se encuentra la primera derivada.

II. Se iguala la primera derivada a cero y se calculan las raíces reales de la ecuación

resultante. Estas raíces serán los valores críticos de la variable.

III. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera

derivada, en primer lugar para un valor un poco menor ( mayor que cualquier valor

crítico menor al que se analiza ) que el valor crítico y después para un valor un poco

mayor. Si el signo de la derivada es primeramente + y después – , la función tiene un

máximo para este valor crítico de la variable; en caso contrario, tiene un mínimo. Si no

hay cambio de signo, no hay máximo ni mínimo para ese valor crítico.

Ejemplo 24: Calcular máximos y mínimos de

f (x) = x3 – 6x2 + 9x

I) f (x) = 3x² - 12x + 9II) 3x² - 12x + 9 = 0

x² - 4x + 3 = 0(x-3) (x-1)= 0

Las raíces son: x = 1; x = 3.(se pueden calcular con la fórmula general)

III) Para el valor crítico x = 1:Valor poco menor = 0; Valor poco mayor = 2.

f (0) = 3(0)² - 12(0) + 9 = 9 +f (2) = 3(2)² - 12(2) + 9 =-3 –

el cambio de signo de la derivada es de + a –; por lo que se concluye que hay un máximo.

Máx. = f (1) = (1)³ - 6 (1)² + 9(1) = 1-6+9 = 4

27

Para el valor crítico x = 3Valor poco menor = 2; Valor poco mayor = 4

f (2) = –f (4) = 3(4)²-12(4)+9=9 +

el cambio de signo de la derivada es de – a + ; por lo que se concluye que hay un mínimo.

Mín. = f (3) =(3)³-6(3)²+9(3) = 54 - 54=0

Resumiendo:

Para x = 1; Máx. = 4

Para x = 3; Mín. = 0

La gráfica correspondiente es:

Máximos o mínimos para f (x) continua y f ’(x) se vuelve infinita.- En la gráfica siguiente:

En los puntos B y G (máximos) y en E (mínimo), f(x) es continua pero f ’(x) se vuelve infinita, ya que la tangente en dichos puntos es paralela al eje y. Por lo anterior se deben de incluir como valores críticos los valores de x para los que f ’(x) se vuelve infinita; matemáticamente, los valores de x que satisfacen la ecuación

1f ' ( x )

=0

Obsérvese en la figura que también en el punto A, f(x) se vuelve infinita, pero en la función no hay máximo ni mínimo.

EJERCICIOS XI

Calcula los máximos y mínimos en la función que se proporciona en cada inciso:

28

a) f(x) = 10 + 12x – 3x2 - 2x3

b) y = 2x3- 9x2 + 12x – 3c) f (x) = x3 + 2x2 - 15x –20d) y = 2x3 + 3x2 + 12x – 4

e) f (x) =

13x3 + 1

2x2 − 6 x+8

f) y = x4+ 2x3 - 3x2 - 4x + 4g) f(x) = (x-1)2 (x+1)3

h) y = x2 + 2x – 3

i) f ( x ) = 2x3 + 3x2 - 12x

j) f ( x ) = 3x4 - 4x3 - 12x2

k) y = ( 2 + x )2 ( 1 – x )2

l) f (x) = x3 +

48x

(3) Segundo método para determinar máximos y mínimos.- Las condiciones para máximos y mínimos de f(x) correspondientes a valores críticos de la variable son:

f(x) es un máx. si f (x) = 0 y f (x) es negativa.f(x) es un mín. si f (x) = 0 y f (x) es positiva.

Y se recomiendan los pasos siguientes en el cálculo de máximos y mínimos con este método:

I. Calcular la primera derivada de la función.

II. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los valores

críticos de la variable.

III. Determinar la segunda derivada.

IV. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores críticos

obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para ese valor crítico

considerado; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo.

Si f (x) = 0; se aplica el primer método, puesto que puede existir un máximo o mínimo para el valor crítico respectivo.

Ejemplo 25: Con el segundo método, determinar máximos y mínimos dey = x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4

I) f (x) = 4x3 + 6x2 - 6x –4II) 4x3 + 6x2 -6x –4=0

2 (x+2) (2x+1) (x-1) = 0; valores críticos: x = -2; x = -

12 ; x = 1.

III) f (x) = 12x2+12x-6IV) para x = -2:

f (x) = 12 (-2)2 + 12(-2) – 6 =48 – 24 – 6 +Por ser f (-2) positiva, hay un mínimo

29

Mín. = f (-2) = (-2)4 + 2(-2)3 - 3(-2)2 -4 (-2) +4 =0

Para x = -1/2: f (x) = 12(-1/2)2)+12(-1/2)-6 = 3 –6 –6 –Por ser f (-1/2) negativa, hay un máximo

Máx. = f(-1/2) = (-1/2)4+2(-1/2)³-3(-1/2)²-4(-1/2) + 4 =

8116

Para x = 1: f (x) = 12(1)2 + 12(1) –6 = 12 +12-6 +por ser f (x) positiva, hay un mínimo

Mín. = f(1) = (1)4+2(1)3 - 3(1)2 - 4(1) +4 =1+2-3-4+4 = 0

Resumiendo:

Para x = -2; Mín. = 0

Para x = - 1/2; Máx. = 81/16

Para x = 1; Mín. = 0

La gráfica correspondiente es:

EJERCICIOS XII

Calcula los máximos y mínimos de las funciones de cada inciso:

a) y = 3 + 2x - x2

b) f (x) = x3 - 6x2 + 9x –8

c) f(x) = (x2 - 4)2

d) y = x4 - 4x2 + 4

e) y = 3x5 - 20x3

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