cuarto medio científico: ensayo psu

Cuarto Medio Científico: Ensayo PSU

Estimados estudiantes del diferenciado 4to medio científico, este ensayo psu es un diagnóstico, por lo cual no será evaluado con nota, pero si me servirá para evaluar que contenidos debemos reforzar; así que necesito que me envíen sus respuestas ordenadas a mi correo ([email protected]), el asunto escribir "NOMBRE - CURSO - ENSAYO PSU", y las respuestas deben seguir el siguiente orden:1. 21. 41. 61.2. 22. 42. 62.3. 23. 43. 63.4. 24. 44. 64.5. 25. 45. 65.6. 26. 46. 66.7. 27. 47. 67.8. 28. 48. 68.9. 29. 49. 69.10. 30. 50. 70.11. 31. 51. 71.12. 32. 52. 72.13. 33. 53. 73.14. 34. 54. 74.15. 35. 55. 75.16. 36. 56. 76.17. 37. 57. 77.18. 38. 58. 78.19. 39. 59. 79.20. 40. 60. 80.

* El ensayo deberá ser desarrollado en el cuaderno de forma ordenada y con números claros.* Recuerde que los desarrollos de los ejercicios son fundamentales, y deben quedar expresadosen el cuaderno.* No utilice calculadora, recuerde que este es un ensayo de diagnóstico.

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Colegio Confederación SuizaLa ReinaDepartamento de MatemáticaProf.: Vallery Araya A.

INSTRUCCIONES1. Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán consideradas para el cálculo del puntaje y

5 serán usadas para experimentación y por lo tanto, no se considerarán en el puntaje final de la prue-ba. Cada pregunta tiene 5 opciones señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. DISPONE DE 2 HORAS Y 40 MINUTOS PARA RESPONDERLA.

3. Lea atentamente las instrucciones para responder las preguntas de Suficiencia de Datos que estándistribuidas en esta prueba, en donde se explica la forma de abordarlas.

4. Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas adjunta. Marque su respuesta en lafila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca com-pletamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz de grafito Nº 2o portaminas HB.

5. NO SE DESCUENTA PUNTAJE POR RESPUESTAS ERRADAS.

6. Puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a lahoja de respuestas . Se considerarán para la evaluación exclusivamente las respuestas marcadas endicha hoja.

7. Cuide la hoja de respuestas. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos ylas respuestas. Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

8. Las figuras que aparecen en la prueba son sólo indicativas.

9. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares.

10. Se entenderá por dado común a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiproba-bles de salir.

11. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indiquelo contrario.

12. (f o g)(x) = f(g(x)).

13. Los números complejos i y – i son las soluciones de la ecuación x 2 + 1 = 0.

14. En esta prueba, se considerará que v( a , b ) es un vector que tiene su punto de inicio en el origen delplano cartesiano y su extremo en el punto ( a , b ), a menos que se indique lo contrario.

15. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y |z| es su módulo.

16. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ~ N( 0 , 1 ) y donde la parte sombreada de la representaa P( Z ≤ z ), entonces se verifica que:

z 0,67 0,99 1,00 1,15 1,28 1,64 1,96 2,00 2,17 2,32 2,58

P( Z ≤ z ) 0,749 0,839 0,841 0,875 0,900 0,950 0,975 0,977 0,985 0,990 0,9950 Z

z∞ ∞

`

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

< es menor que

> es mayor que

≤ es menor o igual a

≥ es mayor o igual a

⦜ ángulo recto

∢ ángulo

log logaritmo en base 10

Ø conjunto vacío

ln logaritmo en base e

∪ unión de conjuntos

AC complemento del conjunto A

, es congruente con

~ es semejante con

⊥ es perpendicular a

≠ es distinto de

// es paralelo a

! pertenece a

AB trazo AB

| x | valor absoluto de x

x! factorial de x

∩ intersección de conjuntos

u vector u

ENSAYO PSU

Registro propiedad intelectual Nº 293.975 - 2018. Editorial Moraleja

© Derechos reservados - Ed. Moraleja. Se autoriza reproducir total o parcialmente este documento durante el año 2018.

Basado en publicación oficial DEMRE

“Proceso Admisión ”

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CONTENIDO CONTENIDONº Nº

ENSAYO PSUCUADRO RESUMEN

© Derechos reservados - Ed. Moraleja. Se autoriza a reproducir total o parcialmente este documento durante el año 2018.

Nº 16 . SEMEJANZA

Nº 16 . HOMOTECIA

Nº 17 . CUADRILÍTEROS

Nº 18 . CIRCUNFERENCIA. ÁNGULOS

Nº 18 . CIRCUNFERENCIA. ÁNGULOS

Nº 19 . PLANO CARTESIANO

Nº 19 . PLANO CARTESIANO

Nº 19 . ECUACIÓN DE LA RECTA

Nº 19 . ECUACIÓN DE LA RECTA

Nº 20 . VECTORES

Nº 20 . ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA 2D

Nº 20 . ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO

Nº 21 . TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS



Nº 21 . CUERPOS

Nº 21 . CUERPOS

Nº 21 . CUERPOS

Nº 22 . COMBINATORIA

Nº 22 . COMBINATORIA

Nº 22 . PROBABILIDAD CLÁSICA

Nº 2 3. PROBABILIDAD DE EVENTOS



Nº 2 3. F. PROBABILIDAD



Nº 2 3. PROB. BINOMIAL

Nº 24 . DATOS AGRUPADOS EN TABLA

Nº 24 . MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Nº 24 . MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Nº 24 . MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Nº 24 . MEDIDAS DE POSICIÓN

Nº 24 . MEDIDAS DE POSICIÓN

Nº 24 . COMBINACIÓN DE DATOS

Nº 24 . COMBINACIÓN DE DATOS

Nº 24 . GRÁFICOS

Nº 25 . DIST. NORMAL

Nº 25 . DIST. NORMAL

Nº 25 . INT. CONFIANZA

Nº 1 . ENTEROS

Nº 2 . RACIONALES

Nº 2 . RACIONALES

Nº 2 . RACIONALES

Nº 2 . RACIONALES

Nº 3 . REALES. POTENCIAS

Nº 3 . REALES. POTENCIAS

Nº 3 . REALES. RAÍCES

Nº 3 . REALES. RAÍCES

Nº 4 . OPERATORIA ALGEBRAICA

Nº 4 . OPERATORIA ALGEBRAICA

Nº 5 . ECUACIONES LINEALES

Nº 5 . ECUACIONES LINEALES

Nº 5 . SISTEMA DE ECUACIONES

Nº 5 . SISTEMA DE ECUACIONES

Nº 6 . POTENCIAS

Nº 6 . RAÍCES

Nº 7 . DESIGUALDADES

Nº 7 . INECUACIONES

Nº 8 . LOGARITMOS

Nº 9 . COMPLEJOS

Nº 9 . COMPLEJOS

Nº 9 . COMPLEJOS

Nº 10 . ECUACIONES DE 2º




Nº 11 . FUNCIONES. CONCEPTOS BÁSICOS

Nº 11 . FUNCIONES. CONCEPTOS BÁSICOS

Nº 11 . FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Nº 11 . FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Nº 12 . FUNCIÓN CUADRÁTICA



Nº 13 . FUNCIÓN POTENCIA

Nº 13 . FUNCIÓN EXPONENCIAL

Nº 14. SEGMENTOS

Nº 15 . TRIÁNGULOS II

Nº 16 . CONGRUENCIA

Nº 16 . SEMEJANZA

TEMARIO PRUEBA DE MATEMÁTICA - PROCESO DE ADMISIÓN 2019

(Fuente: www.demre.cl . Fecha publ icación, 12 de abr i l 2018)

1. EJE TEMÁTICO: NÚMEROS

» Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de estos últimos.

» Representación de números racionales en la recta numérica; verificación de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en los racionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionales siempre existe otro número racional”.

» Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción.

» Sistematización de procedimientos de cálculo escrito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales, y su aplicación en la resolución de problemas.

» Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales.

» Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.

» Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero, y aplicación de ellas en diferentes contextos.

» Resolución de problemas en contextos diversos que involucran potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

» Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números racionales a los números reales; reconocimiento de algunas de las propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.

» Aproximación del valor de un número irracional por defecto, por exceso y por redondeo.

» Ubicación de algunas raíces en la recta numérica; exploración de situaciones geométricas en que ellas están presentes; y, análisis de la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

» Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, su relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus propiedades.

» Interpretación de logaritmos, su relación con potencias y raíces, deducción de sus propiedades y aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento.

» Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números reales a los números complejos, caracterización de estos últimos y de los problemas que permiten resolver.

» Identificación de la unidad imaginaria como solución de la ecuación x2

+ 1 = 0 y su utilizaciónpara expresar raíces cuadradas de números reales negativos.

» Extensión de las nociones de adición, sustracción, multiplicación, división y potencia de los números reales a los números complejos y de procedimientos de cálculo de estas operaciones.

» Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos.

2. EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA

a. Álgebra

» Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones.

» Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado.

» Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria.

» Reconocimiento de sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o fenómenos.

» Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, en contextos variados; representación en el plano cartesiano y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones.

» Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por completación de cuadrados,

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por factorización o por inspección, con raíces reales o complejas. Interpretación de las soluciones y determinación de su pertenencia al conjunto de los números reales o complejos.

» Deducción de la fórmula de la ecuación general de segundo grado y discusión de sus raíces y su relación con la función cuadrática.

» Resolución de problemas asociados a ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones de acuerdo con el contexto en que se plantea el problema.

» Representación de intervalos mediante lenguaje conjuntista y uso de las operaciones con conjuntos para resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

» Resolución de problemas que implican el planteamiento de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita; representación de las soluciones usando intervalos en los reales; discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones de acuerdo con el contexto.

b. Funciones

» Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa.

» Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades.

» Interpretación de la función afín; análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

» Interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada; análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

» Representación y análisis gráfico de la función f(x) = ax2 + bx + c, para distintos valores de a, b

y c. Discusión de las condiciones que debe cumplir la función cuadrática para que su gráfica intersecte el eje x (ceros de la función). Análisis de las variaciones de la gráfica de la función cuadrática a partir de la modificación de los parámetros.

» Modelamiento de situaciones o fenómenos asociados a funciones cuadráticas.

» Análisis de la función potencia f(x) = axn con a y x en los reales y n entero, en situaciones que

representen comparación de tasas de crecimiento aritmético y geométrico y cálculo de interés compuesto.

» Identificación de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas y determinación de la función inversa cuando proceda.

3. EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA

a. Área Temática: Geometría Posicional y Métrica

» Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas manualmente.

» Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas.

» Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturas. Aplicación de la composición de funciones a las transformaciones isométricas.

» Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia; demostración del teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

» Deducción de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su aplicación al cálculo de magnitudes lineales en figuras planas.

» Determinación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

» Deducción e interpretación de la pendiente y del intercepto de una recta con el eje de las ordenadas y la relación de estos valores con las distintas formas de la ecuación de la recta.

» Análisis gráfico de las soluciones de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y su interpretación a partir de las posiciones relativas de rectas en el plano: condiciones analíticas del paralelismo, coincidencia y de la intersección entre rectas.

» Deducción de la distancia entre dos puntos ubicados en un sistema de coordenadas en tres dimensiones y su aplicación al cálculo del módulo de un vector.

» Identificación y descripción de puntos, rectas y planos en el espacio; deducción de la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana.

» Formulación y verificación, en casos particulares, de conjeturas respecto de los cuerpos geométricos generados a partir de traslaciones o rotaciones de figuras planas en el espacio.

» Resolución de problemas sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación

–– 2 ––

de figuras planas.

b. Área Temática: Geometría Proporcional

» Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas; formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos; y, utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos.

» Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno.

» Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

» Aplicación del teorema de Thales sobre trazos proporcionales. División interior de un trazo en una razón dada y verificar relaciones en casos particulares.

» Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo; demostración del teorema de Pitágoras y del teorema recíproco de Pitágoras.

» Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

» Descripción de la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar; visualizar las relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano.

4. EJE TEMÁTICO: DATOS Y AZAR

a. Área Temática: Datos

» Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.

» Organización y representación de datos, extraídos desde diversas fuentes, usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos manualmente.

» Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

» Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.

» Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin reemplazo.

» Determinación del rango, varianza y desviación estándar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual.

» Análisis de las características de dos o más muestras de datos, haciendo uso de indicadores de tendencia central, posición y dispersión.

» Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple, en diversos experimentos, para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas.

» Estudio y aplicación de elementos básicos de la distribución normal, a partir de diversas situaciones en contexto tales como: mediciones de peso y estatura en adolescentes; puntajes de pruebas nacionales e internacionales; datos meteorológicos de temperatura o precipitaciones. Relación entre la distribución normal y la distribución normal estándar.

» Realización de conjeturas sobre el tipo de distribución al que tienden las medias muestrales; verificación mediante experimentos donde se extraen muestras aleatorias de igual tamaño de una población.

» Estimación de intervalos de confianza, para la media de una población con distribución normal y varianza conocida, a partir de una muestra y un nivel de confianza dado.

» Análisis crítico de las inferencias realizadas a partir de encuestas, estudios estadísticos o experimentos, usando criterios de representatividad de la muestra.

b. Área Temática: Azar

» Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

» Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

–– 3 ––

» Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de esta como una función.

» Exploración de la Ley de los Grandes Números, a partir de la repetición de experimentos aleatorios y su aplicación a la asignación de probabilidades.

» Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operatoria básica con conjuntos, propiedades de la suma y producto de probabilidades.

» Utilización de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y establecimiento de la relación con la función de distribución.

» Aplicación e interpretación gráfica de los conceptos de valor esperado, varianza y desviación típica o estándar de una variable aleatoria discreta.

» Determinación de la distribución de una variable aleatoria discreta en contextos diversos y de la media, varianza y desviación típica a partir de esas distribuciones.

» Explorar la relación entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias, en experimentos aleatorios discretos.

» Uso del modelo binomial para analizar situaciones o experimentos, cuyos resultados son dicotómicos: cara o sello, éxito o fracaso o bien cero o uno.

» Resolución de problemas, en diversos contextos, que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.

» Interpretación del concepto de variable aleatoria continua y de la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal.

» Descripción de los resultados de repeticiones de un experimento aleatorio, aplicando las distribuciones de probabilidad normal y binomial.

» Aproximación de la probabilidad binomial por la probabilidad de la normal, aplicación al cálculo de experimentos binomiales.

Habilidades Cognitivas

Ejes Temáticos Comprender AplicarAnalizar, sintetizar

y evaluarTotal (%)

Números 21

Álgenbra 24

Geometría 27

Datos y Azar 28

Total (%) Entre un 20 y un 25 Entre un 40 y un 45 Entre 30 y un 40 100%

–– 4 ––

–– 2 ––

1. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) VERDADERA(S)?

I. |–3|·|–2|= |–6|

II. |–5|· |5|= |–5|2

III. |–4| – |–3|= –1

A ) Solo I

B ) Solo II

C ) Solo III

D ) Solo I y II

E ) Ninguna de ellas

2. Se repartirá un premio de $ 624.000 entre Ingrid, Gerardo y Jaime. Ingrid recibe 83 del total, Gerardo

recibe 32 de lo que quedará y Jaime el resto. ¿Cuánto reciben Gerardo y Jaime, respectivamente?

A ) $ 234.000 y $ 260.000

B ) $ 156.000 y $ 134.000

C ) $ 260.000 y $ 364.000

D ) $ 260.000 y $ 130.000

E ) $ 416.000 y $ 208.000

3. Una cuerda de 243 cm se corta sucesivamente, de manera que después de cada corte se escoge lamayor cuerda resultante, cuya longitud es

32 de la longitud de la cuerda anterior. ¿Cuál es la longitud

de la mayor cuerda resultante luego de cinco cortes?

A ) 32,4 cm

B ) 72,9 cm

C ) 32 cm

D ) 40,5 cm

E ) 122 cm

4. Matilde, Natalia y Paulina están preparando el cumpleaños sorpresa de Laura. Se ponen de acuerdo

para preparar una torta, para la cual cada una aportará harina de sus casas. Matilde llevó 260 gr,

Natalia llevó 41 Kg y Paulina llevó 8

3 Kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERA(S)?

I. Matilde llevó menos harina que Natalia

II. Paulina llevó más harina que Natalia

III. Matilde llevó más harina que Paulina

A ) Solo I

B ) Solo II

C ) Solo III

D ) Solo I y II

E ) Ninguna de las anteriores

–– 3 ––

5. Un adolescente, gusta mucho de beber leche. Al desayuno toma la mitad de un litro de leche y a lahora del té, un tercio de lo que quedaba. ¿Cuánta leche bebió a la hora del té?

A ) 61 L

B ) 31 L

C ) 32 L

D ) 54 L

E ) 65 L

6. 33· 3 =

A ) 33

B ) 92

C ) 93

D ) 94

E ) 27 2

7. m4

= (3m) 0

si:

( 1 ) m = 1

( 2 ) m = –1

A ) ( 1 ) por sí sola

B ) ( 2 ) por sí sola

C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )

D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) ó ( 2 )

E ) Se requiere información adicional

8. 5 10– =

A ) –5

B ) 15

C ) 10

D ) 5 2 1–^ h E ) 10 2

2 1–c m

–– 4 ––

9. Sea q una aproximación por exceso a la centésima de 2 y p una aproximación por defecto a lacentésima de 2 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es ( son ) VERDADERA(S)?

I. q = p

II. p q

2 2+

=

III. q = 2 – k , con k un número real positivo

A ) Solo I

B ) Solo II

C ) Solo III

D ) Solo II y III


10. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ( m + n )2 – 4mn?

A ) ( m – n )2

B ) m2 – 2 + n

2

C ) m2 – 4mn + n

2

D ) 2m – 4mn + 2n

E ) 2m – 2mn + 2n

11. En la figura adjunta, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región achurada se expresa como

A ) x( z – y )

B ) x( y – z )

C ) xz

D ) xy2

E ) x z y

3+^ h

12. El valor de m en la proporción m43

21

31| |= 2 3 es

A ) 9100

B ) 425

C ) 43

D ) 169

E ) 1

D

A B

z

C

y

x

–– 5 ––

13. Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8 años, entonces la mitad de su edad, más un año es

A ) 2 años

B ) 5 años

C ) 16 años

D ) 17 años

E ) 33 años

14. Si 2x – y = 5 y x + 2y = 25, entonces 2y =

A ) – 18

B ) – 9

C ) 9

D ) 18


15. Las edades de Manuela y su hermana menor Natalia son x e y respectivamente. Hace 5 años lasedades estaban en la razón 2 : 3 y en 5 años más estarán en la razón 4 : 5. ¿Qué sistema de ecuacionesrepresenta la situación descrita?

A ) x y

x y

2 3 0

5 4 5–

+ =

=

B ) x y

x y

5 4 5

3 2 5

–

– =

=

C ) x y

x y

2 3

5

5

4 5–

– –

–

=

=

D ) x y

x y

2 3

5

5

4 5–

– –=

=

E ) x y

x y

3 2 5

5 4 5

–

– –

=

=

16. La expresiónaa

b

b

8

5

+

+ toma siempre un valor positivo si:

( 1 ) a es un número positivo

( 2 ) a es un número par




D ) Cada una por sí sola ( 1 ) ó ( 2 )


–– 6 ––

17. ¿Cuál de las siguientes igualdades es VERDADERA?

A ) 4 23 3=

B ) 3 13 =

C ) 10 6 2– =

D ) 26

33 =

E ) 1 1– –2

=_ i

18. Si a ≥ b + c , ¿cuál de las siguientes desigualdades es VERDADERA?

A ) a – c ≥ b

B ) a – b ≤ c

C ) a + c ≤ b

D ) b – a ≥ – c

E ) a + b < c

19. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación 12 ≥ 2x – 18?

A ) {x ! R / x ≤ 12 }

B ) {x ! R / x ≤ 15 }

C ) {x ! R / x ≥ 15 }

D ) {x ! R / x ≤ 3 }

E ) {x ! R / x ≥ 3 }

20. Si log a3 = m y log b3 = n , ¿cual es el valor de log

ba ?

A ) m3

B ) m n3

9–

C ) m n3

9+

D ) n m39–

E ) n m39+

21. El valor de , 3 i 9 + i

5 – ( i

6 + i

11 ), es:

A ) 1 – 3i

B ) 3 + i

C ) 5 + 3i

D ) 1 + 5i

E ) 5 + i

–– 7 ––

22. ¿Cuántas unidades imaginarias tiene el desarrollo de la expresión i3[( – 3i )

3 : i

8 ] – 1?

A ) –27

B ) –26

C ) 0

D ) 26

E ) 27

23. De las siguientes potencias de i, es (son) solución(es) de 1 + x10

= 0

I. – i

II. i 23

III. – i – 30

A ) Solo I

B ) Solo II

C ) Solo I y II

D ) Solo I y III

E ) I, II y III

24. La ecuaciónx

x x22

3 131– – – = , tiene por resultado al conjunto:

A ) {7 , 3}

B ) {7}

C ) {–7 , 3}

D ) ,i i7 38318 18

7 383–+' 1E ) ,i i3 27 3 27– +" ,

25. ¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación 3x2 + 6x + 31 = 0 ?

A ) –2

B ) 51–

C ) 51

D ) 21

E ) 2

26. Un terreno rectangular tiene área igual a 75 metros cuadrados. Su ancho mide 10 metros menos que sulargo, ¿cuánto mide el ancho?

A ) 5 metros

B ) 7,5 metros

C ) 15 metros

D ) 25 metros

E ) Ninguna de las medidas anteriores

–– 8 ––

27. En la ecuación de segundo grado mx2 + nx + a = 0, es posible determinar el valor numérico de a si :

( 1 ) Las raíces de la ecuación son 3 y –4

( 2 ) El producto de las raíces es –12 y la suma de las raíces es –1






28. Si f(x) = x x52 2

+ + , entonces f( –2 ) es igual a

A ) 5

B ) 1

C ) –1

D ) 3

E ) Ninguno de los valores anteriores

29. Sea la función f(x) = xm

, definida de R → R. ¿Cuál debe ser el valor de m en f, para que la función seainyectiva?

A ) 0

B ) 1

C ) 2

D ) 4

E ) 6

30. La tabla muestra una función lineal entre x y f(x) que está representada por

A ) f(x) = 3x

B ) f(x) = x + 3

C ) f(x) = 2x + 1

D ) f(x) = 3x – 3

E ) f(x) = 3x – 1

x 2 3 5 8 ...

f(x) 5 8 14 23 ...

–– 9 ––

31. En relación con el gráfico de la función afín f(x) = – x + 3, ¿cuál(es) de las siguiente(s) afirmacioneses(son) VERDADERA(S)?

I. Pasa por el punto ( 0 , 0 )

II. La pendiente de la gráfica es positiva

III. Intersecta al eje X en el punto ( 0 , 3 )

A ) Solo II

B ) Solo III

C ) Solo II y III

D ) I, II y III


32. El eje de simetría de la parábola f(x) = 4x2 – 3x – 8, es la recta:

A ) y = 38

B ) x = 38

C ) x = 38

D ) y = 38

E ) x = – 38

33. La coordenada del vértice de función cuadrática f(x) = 9x2 + 6x – 8 es:

A ) ,31 9b l

B ) ,31 9–b l

C ) ,31 9–b l

D ) ,31 9– –b l

E ) ,3 9– –^ h

34. La función f( x ) = ax2 + bx + c , cuya forma se muestra en la figura adjunta, debe cumplir las siguientes

condiciones:

A ) D > 0 y a > 0

B ) D = 0 y a < 0

C ) D > 0 y a < 0

D ) D < 0 y a < 0

E ) D = 0 y a > 0

y

x

–– 10 ––

35. Respecto de la función f(x) = 4(x + 2)3 – 5, ¿cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es (son) VERDADERA(S)?

I. La función es estrictamente creciente

II. La función tiene un vértice en el punto ( –2 , –5 )

III. La gráfica de la función se encuentra en el primer y segundo cuadrante

A ) Solo I

B ) Solo II

C ) Solo III

D ) Solo I y III

E ) Solo II y III

36. Si f es una función exponencial, ¿cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es (son) VERDADERA(S)?

I. Dom f = R

II. f es siempre creciente

III. Rec f = R+

A ) Solo I

B ) Solo II

C ) Solo I y II

D ) Solo I y III

E ) I, II y III

37. En la figura adjunta, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC duplica al segmento AB. Elsegmento AB es al segmento BD como

A ) 1 : 2

B ) 1 : 3

C ) 1 : 4

D ) 1 : 5

E ) 1 : 6

38. En el triángulo ACD de la figura adjunta, se puede determinar la medida del segmento BC, si:

( 1 ) AB = 3 cm

( 2 ) Se conoce la medida del segmento DC






A B C D

A B C

D

–– 11 ––

39. En la figura adjunta, D PRQ ≅ D TSU , donde los vértices correspondientes son P y T ; R y S ; Q y U. Si el ánguloQPR mide 40º y el ángulo TSU mide 80º, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERA(S)?

I. El ángulo TUS mide 60º

II. El ∆ STU es escaleno

III. PQ < TU

A ) Solo I

B ) Solo I y II

C ) Solo I y III

D ) Solo II y III

E ) I, II y III

40. Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m. Si el primer piso tiene una altura de 15 m y elsegundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso?

A ) 8 m

B ) 10 m

C ) 15 m

D ) 340 m

E ) No se puede determinar

41. Sean ABC y A’B’C’ dos triángulos semejantes, con AC y A C` lados homólogos, AC = 20 cm y A’C’ = 8cm. Si el triángulo ABC tiene un área de M cm

2, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el área

del triángulo A’B’C’, en cm2?

A ) M425 $

B ) M52 $

C ) M25 $

D ) M254 $


42. ¿Cuál de las siguientes pares de figuras representan una homotecia?

A )

D )

B )

E )

C )

P

Q

R

U

T S

–– 12 ––

43. En la figura adjunta, MNPQ es un trapecio isósceles, S pertenece a QN y R pertenece a MP. Si O es laintersección de las diagonales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es ( son ) siempre VERDADERA(S)?

I. ∆ MRQ ≅ ∆ NSP

II. ∆ OSP ≅ ∆ NSP

III. ∆ MOQ ≅ ∆ NOP

A ) Solo II

B ) Solo I y II

C ) Solo I y III

D ) Solo II y III

E ) I, II y III

44. En la figura adjunta, los puntos A, B y C están sobre la circunferencia de radio r y ∢ACB = 30º. La longituddel arco AB es

A ) 31 p r

B ) 61 p r

C ) 32 p r

D ) 121 p r


45. En la figura adjunta, el ∆ ABC está inscrito en una semicircunferencia de centro O y CD ⊥ AB . ¿Cuál(es)de las siguientes semejanzas es (son) VERDADERA(S)?

I. D ADC ~ D ACB

II. D ABC ~ D CBD

III. D ADC ~ D CDB

A ) Solo I

B ) Solo III

C ) Solo I y II

D ) I, II y III


46. ¿Cuál de los siguientes puntos está a 10 unidades de distancia respecto del origen del plano cartesiano?

A ) M ( 3 , 7 )

B ) N ( 1 , 9 )

C ) P ( 2 , –3 )

D ) Q ( –6 , 8 )

E ) R ( 10 , 10 )

M N

PQ

O

SR

C

B

A

C

A D O B

–– 13 ––

47. La ecuación de la recta que pasa por el punto ( 8 , 0 ) y de pendiente 31– es

A ) x + 3y – 16 = 0

B ) x + 3y – 8 = 0

C ) x + 3y + 2 = 0

D ) x – 3y + 8 = 0

E ) x + 3y – 2 = 0

48. Sea la recta L de ecuación y = mx + n . Si m ≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)VERDADERA(S)?

I. La recta de ecuación y = mx + p , con p ≠ n, se puede obtener mediante una traslación de la recta L

II. La recta de ecuación y = tx + n , con m ≠ t, se puede obtener mediante una rotacióncentrada en ( 0 , n ) de la recta L

III. La recta de ecuación y = 2mx + 2n se puede obtener mediante una traslación de la recta L

A ) Solo I

B ) Solo II

C ) Solo I y II

D ) Solo I y III

E ) I, II y III

49. Se quiere determinar la ecuación de un plano.

( 1 ) Se conocen las coordenadas de tres puntos que pertenecen a él

( 2 ) Se conocen la ecuaciones de dos rectas paralelas contenidas en él






50. Dados los vectores a = ( 7 , 6 ) , b = ( – 4 , 9 ) y c = ( – 10 , 0 ), ¿cuáles son las componentes del vectorresultante de a b c2 $ + +_ i ?

A ) (–7 , 15)

B ) (–1 , 15)

C ) (11 , 17)

D ) (–2 , 30)

E ) (–14 , 30)

–– 14 ––

51. ¿Cuál es la ecuación cartesiana asociada a ( x , y ) = ( –1 , 11 ) + l( 1 , 7 )?

A ) x + 7y = 0

B ) –2x + 4y + 17 = 0

C ) –7x + y – 18 = 0

D ) 7x – 2y + 18 = 0

E ) –2x + 4y = 0

52. Si A es un punto de la recta CD y B es un punto que no pertenece a ella, ¿cuál de las siguientesafirmaciones es VERDADERA?

A ) B, C y D son colineales

B ) Existe un solo plano que pasa por A, B y C

C ) A, C y D son coplanares, pero no colineales

D ) Existe un solo plano que pasa por A y CD

E ) Existe una única recta que pasa por B

53. Se dibuja en el plano cartesiano un segmento MN y se le aplica una traslación, obteniéndose elsegmento M’N’. Se pueden determinar las componentes del vector traslación si:

A ) Se conocen las coordenadas de M y M`

B ) Se conocen las coordenadas de M y N`

C ) Se conocen las coordenadas de M` y N

D ) Se conocen las coordenadas de M` y N`

E ) No es posible determinar las coordenadas del vector traslación

54. Si a un trapecio isósceles se le aplica una rotación, luego una traslación y finalmente una simetríacentral, ¿qué sucede con su área?

A ) Se triplica

B ) Se reduce a su tercio

C ) Se reduce en un tercio

D ) Se mantiene constante

E ) Falta información para poder determinar

55. Si el punto A (–3 , 5) es reflejado con respecto al eje X se obtiene el punto A’. ¿Cuál es el vector v quepermite trasladar el punto A’ al origen?

A ) v = ( 3 , 5 )

B ) v = ( – 3 , – 5 )

C ) v = ( 3 , – 5 )

D ) v = ( 5 , – 3 )

E ) v = ( – 5 , – 3 )

–– 15 ––

56. El número total de aristas de una pirámide de base pentagonal es:

A ) 5

B ) 6

C ) 10

D ) 12

E ) 25

57. Se da el sector circular de la figura adjunta, con las dimensiones indicadas en él. Se desea construir uncono circular recto, a modo de cucurucho de papas fritas, uniendo los lados rectos del sector. ¿Cuálde los dibujos siguientes representa mejor el cono en cuestión?

240º

6 cm

A )

D)

B )

E )

C )

6 cm

3 cm

4 cm

2 cm

4 cm

4 cm

6 cm

6 cm

6 cm

3 cm

58. Se puede determinar el volumen de un cilindro, si:

( 1 ) Su área es igual a 32p cm2

( 2 ) Su altura mide el triple de lo que mide el radio de su base






–– 16 ––

59. Carolina, Daniela, Antonia y Victoria pertenecen a un grupo. Un profesor debe elegir a dos de ellaspara realizar un trabajo de matemática. ¿Cuál es el máximo número de combinaciones de parejasque se pueden formar con estas cuatro niñas?

A ) 8

B ) 2

C ) 6

D ) 12

E ) 16

60. De un curso de 35 alumnos se quiere elegir la directiva. Los cargo son presidente, tesorero y secretario.¿De cuántas maneras se pueden escoger estos cargos?

A ) !!

332

B ) !!

335

C ) !!

3235

D ) ! !!

32 335$

E ) !! !

3235 3$

61. Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) VERDADERA(S)?

I. Que salga un 2 es más probable que salga un 6

II. La probabilidad de obtener un número impar es 21

III. La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es 61

A ) Solo I

B ) Solo II

C ) Solo I y II

D ) Solo II y III

E ) I, II y III

62. Si lanzamos simultáneamente 5 monedas normales al aire, la probabilidad de obtener 5 sellos en ellanzamiento es:

A ) 21

B ) 41

C ) 18

D ) 132

E ) 164

–– 17 ––

63. En un colegio de la región del Maule se ha observado que el 54 % de los alumnos son hombres. El27% de las mujeres prefiere la asignatura de Historia y el resto prefiere otras asignaturas. ¿Cuál es laprobabilidad aproximada de que al elegir un estudiante al azar, este no prefiera historia dado que esmujer?

A ) 9 %

B ) 19 %

C ) 41 %

D ) 46 %

E ) 65%

64. En una competencia de atletismo, el 40 % pasa el corte de selección de los 100 m y el 50% pasa el cortede los 400 m. Además los atletas que pasan el corte de los 400 m, habiendo pasado el corte de los 100m es del 70 %. Si un atleta supera el corte de los 100 m, ¿cuál es la probabilidad de pasar el corte de los400 m?

A ) 87

B ) 6545

C ) 1715

D ) 3812

E ) 1912

65. El gráfico adjunto representa una función de distribución. La función de probabilidad que correspondea la variable aleatoria X es:

A ) X 0 2 4 6

P(X) 0,125 0,5 0,875 1

B ) X 0 2 4 6

P(X) 0,125 0,25 0,375 0,5

C ) X 0 2 4 6

P(X) 0,125 0,25 0,375 0,375

D ) X 0 2 4 6

P(X) 0 0,125 0,25 0,375

E ) X 0 2 4 6

P(X) 0,125 0,375 0,375 0,125

x

0,5

0,125

0,8751

P(x)

20 4 6

–– 18 ––

66. Se lanzan simultáneamente dos dados normales. Se define la variable aleatoria x como la suma de laspuntuaciones aparecidas en cada una de las caras. ¿Cuál es la esperanza de la variable aleatoria?

A ) 361

B ) 7

C ) 10

D ) 12

E ) 36

67. La variable aleatoria x tiene como recorrido el conjunto { 1 , 2 }. Se puede determinar que P es unafunción de probabilidad para x si:

( 1 ) P( X = 1) = 0,3 y P( X = 2) = 0,7

( 2 ) P( X = 1) + P( X = 2) = 1






68. Un juego de azar consiste en lanzar un dado icosaedro regular (20 caras), numerado del 1 al 20, dondeel jugador que lanza pierde si obtiene un número primo y gana en cualquier otro caso. Si Camila lanzaeste dado 10 veces consecutivas, ¿cuál es la probabilidad de que ella gane en cuatro oportunidades?

A ) 10

21

21

4

4 10$ $d b bn l l

B ) 10

53

52

4

4 6$ $d b bn l l

C ) 10

52

53

4

4 6$ $d b bn l l

D ) 10

205

2015

4

4 6$ $d b bn l l

E ) 10

2015

205

4

4 6$ $d b bn l l

69. Un banco realiza un cuestionario a un grupo de clientes con el objetivo de medir el nivel de satisfacciónpor el servicio brindado. El cuestionario consiste en una lista de 17 preguntas, en las cuales el encuestadodebe contestar sobre si esta satisfecho, insatisfecho o indiferente, representándose los resultados en latabla adjunta. Con respecto a las personas consultadas, es correcto afirmar que

Nivel de satisfacción

Mujeres Hombres

Insatisfecho 7 3

Indiferente 5 8

–– 19 ––

Satisfecho 8 9

A ) Hay más mujeres satisfechas que hombres indiferentes

B ) El 20% de las mujeres tiene un nivel de satisfacción indiferente

C ) Más del 30% del total de clientes tiene nivel de satisfacción “insatisfecho”

D ) La muestra es representativa de los clientes del banco

E ) 32 de los clientes respondió indiferente o satisfecho

70. La tabla adjunta muestra el puntaje obtenido en una prueba de historia que se tomo a los alumnos decuarto medio en dos colegios distintos de la “Región de Los Lagos”. De acuerdo a lo anterior, es correctoafirmar que

I. Las medianas de los colegios se encuentran en distintos intervalos

II. Si se calcula el promedio, obtenido a partir de la marca de clase, en ambas secciones seobtiene el mismo resultado

III. Ambas secciones tienen el mismo intervalo modal

Es (son) VERDADERA(S)

A ) Solo III

B ) Solo I y II

C ) Solo I y III

D ) Solo II y III

E ) I, II y III

71. El gráfico adjunto muestra las edades de un grupo de participantes de un evento deportivo universitario,agrupadas en intervalos de la forma [ a , b [ y el último de la forma [ c , d ]. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) VERDADERA(S)?

I. El rango de la variable edad es 2 años

II. La mediana se encuentra en el intervalo[ 18 , 20 [

III. El intervalo modal es [ 18 , 20 [

A ) Solo I

B ) Solo III

C ) Solo I y III

D ) Solo II y III

E ) I, II y III

Puntos Colegio A Colegio B

[ 20 , 22 [ 1 8

[ 22 , 24 [ 5 9

[ 24 , 26 [ 10 11

[ 26 , 28 [ 25 12

[ 28 , 30 ] 9 10

Nº participantes

1217

2732

42

16 18 20 22 24 26 Edad(años)

–– 20 ––

72. Sea el conjunto { m , n , p , q }, formado por números enteros positivos distintos entre sí, cuya desviaciónestándar es d. ¿Cuál es la desviación estándar del conjunto {(4m + 2) , (4n + 2) , (4p + 2) , (4q + 2)}?

A ) d

B ) 2d

C ) 3d

D ) 4d

E ) 4d + 2

73. En la tabla adjunta se muestra el resultado del inventario realizado en una bodega de artículoselectrónicos, donde se contabilizo la cantidad de unidades que presentan algun tipo de daño, las quedeberán ser calificadas como perdidas. De acuerdo a lo anterior, es correcto afirmar que

I. El percentil 80 se encuentra en el intervalo [ 30 , 40 [

II. La mediana se encuentra en el intervalo [ 20 , 30 [

III. El segundo quintil encuentra en el intervalo [ 20 , 30 [


A ) Solo II

B ) Solo I y II

C ) Solo I y III

D ) Solo II y III

E ) I, II y III

74. En la figura adjunta se muestra un diagrama de caja que representa las notas de un curso en laspruebas de física y química.

I. En la prueba de química hubo más alumnos sobre 4,0 que en la prueba de física

II. Menos de un 25% de los alumnos tuvo nota bajo 4,0 en la prueba de química

III. La nota más alta se obtuvo en la prueba de física


A ) Solo III

B ) Solo I y II

C ) Solo I y III

D ) Solo II y III

E ) I, II y III

75. Una población de elementos distintos se divide en dos muestras: una de tamaño cinco, cuyo promedioes 15 y otra de tamaño siete, cuyo promedio es 21. Entonces, el promedio de la población es

A ) 15

B ) 16

C ) 21

D ) 45

E ) 147

CantidadFrecuencia acumulada

[ 10 , 20 [ 12

[ 20 , 30 [ 27

[ 30 , 40 [ 36

[ 40 , 50 ] 40

4,3

4,8

6,1

6,1

3,0

3,5

5,4

5,7

6,7

7,0

Física

Química

–– 21 ––

76. Desde una población S = { 3 , 4 , 5 , 8 , 10 , 12 } se extraen todas las muestras posibles de tamaño 3, sinorden y sin reposición. Si se calcula el promedio de cada una de las muestras, entonces ¿cuál es lamayor diferencia positiva entre las medias muestrales y la media poblacional?

A ) 3

B ) 4

C ) 5

D ) 6

E ) 7

77. El gráfico adjunto muestra los resultados de un examen rendido por un grupo de alumnos en unauniversidad, divididos en cinco intervalos de igual amplitud. Si el intervalo B contiene 50 alumnos,entonces es falso afirmar que el intervalo

A ) A contiene la veinteava parte de los alumnos

B ) B contiene la octava parte de los alumnos

C ) C está compuesto por 100 personas

D ) D contiene menos alumnos que cualquier otro intervalo

E ) E tiene un ángulo de centro de 135º

78. Sea X una variable estadística continua de una determinada población, tal que X ~ N( m , s ). SiP(μ – 3s ≤ X ≤ μ + 3s ) = 6a y P(μ – 2s ≤ X ≤ μ + 2s ) = 4b, ¿cuál es el valor de P(μ – 2s ≤ X ≤ μ + 3s )?

A ) 2a + 3b

B ) 3a + 2b

C ) 6a + 4b

D ) 4a + 6b

E ) 1 – 6a + 4b

79. Se puede determinar el porcentaje de estudiantes que obtuvo más de 70 preguntas buenas en unaprueba, si:

( 1 ) Los puntajes se reparten siguiendo una distribución normal

( 2 ) La media y la desviación estándar de los puntajes son 50 y 10 puntos, respectivamente






5 %

A

B

CD

E

25 %

12,5%

20 %

cuarto medio científico: ensayo psu

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