CUADRADOS MÁGICOS

Son distribuciones de números en celdas, que se disponen formando un cuadrado, de forma que la suma de cualquiera de las filas, de cualquiera de las columnas y de las dos diagonales principales da siempre el mismo resultado. Al número resultante se le denomina “constante mágica”.

Si el cuadrado mágico tiene tres filas y tres columnas, es decir, nueve casillas y por lo tanto nueve números, se denomina cuadrado mágico de orden 3. Si tiene cuatro filas e cuatro columnas, es decir, 16 casillas, se denomina cuadrado mágico de orden 4. Y así con cualquier cuadrado mágico, su denominación dependerá del número de casillas.

ORIGEN DE LOS CUADRADOS MÁGICOS

Cuenta una leyenda china que alrededor del año 2100 a. C. el emperador Yu vió emerger del río a una tortuga. En su caparazón tenía unas marcas, que se pueden ver simbolizadas en el siguiente dibujo.

Se le atribuyeron propiedades mágicas y religiosas. Posiblemente fueron los chinos los primeros en descubrir las peculiaridades matemáticas de estos cuadrados.

En Occidente los cuadrados mágicos surgen por primera vez en el año 130 d.C. Se han encontrado en documentos del astrónomo griego Teón de Esmirna.

Muchos matemáticos y astrónomos de la Edad Media creían en la importancia de estos arreglos numéricos. Atribuían a ciertos números propiedades misteriosas o cabalísticas. Los cuadrados mágicos se utilizaron para predecir el futuro y curar enfermedades. La superstición era muy común entonces y creían que los cuadrados mágicos eran amuletos y servían de protección. Un cuadrado mágico de plata, colgando del cuello, era un amuleto que evitaba el contagio de la peste negra.

En el Renacimiento, se estudiaron desde el punto de vista matemático y varios científicos y artistas los usaron como ilustraciones para sus obras, entre ellos Durero: En su grabado Melancolía, este gran matemático incluyó uno de los cuadrados mágicos más conocidos y fascinantes. Es de orden 4 y su constante mágica es 34.

Durante siglos se ha pensado que el cuadrado mágico de Durero es un “arquetipo lleno de significado y misticismo”.

En el grabado hay muchos elementos relacionados con la geometría, la aritmética y la medida del tiempo. Sobre el muro hay una esfera de madera torneada, un poliedro truncado de cristal de alunita formado por pentágonos irregulares y triángulos (en que se puede apreciar un rostro humano difuminado), una regla, un reloj de arena, una balanza y un cuadrado mágico de 4x4. También hay una campanilla y una escalera de siete peldaños, que asciende hasta una torre o edificio que no se vislumbra su final.

Este cuadrado mágico está considerado el primero de las artes europeas. Es un cuadrado de orden cuatro en el que siempre se obtiene la constante mágica (34) en las filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y

última, etc. Curiosamente las dos cifras centrales de la última fila 1514 son el año de ejecución de la obra.

El matemático Cornelio Agripa (1486 – 1535) construyó cuadrados mágicos con los módulos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que representaban simbólicamente los siete planetas: Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Venus, Mercurio y la Luna.

Para Cornelio el cuadrado con una casilla con el número 1, simbolizaba la unidad y la eternidad de Dios. El no poder construir un cuadrado con 4 casillas, lo atribuía a la imperfección de los cuatro elementos: aire, tierra, agua y fuego. Agripa, fue acusado de ejercer hechicería y le condenaron a un año de prisión.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Benjamín Franklin (1706-1790) dedicó mucho tiempo a estudiar y crear cuadrados mágicos.

Genios matemáticos como Fermat , Euler, Pascal y Leibnitz , hicieron admirables estudios sobre cuadrados mágicos.

En la fachada de la Pasión de la Sagrada Familia de Barcelona, se encuentra un bajorrelieve de un cuadrado mágico de orden 4, obra del escultor Josep María Subirachs, que repite algunos números para conseguir que la constante mágica sea 33, la edad con la que murió Cristo.

¿CÓMO SE PUEDEN CONSTRUIR CUADRADO MÁGICOS?

El ejemplo más sencillo es un cuadrado de orden 3, el más pequeño posible. Usaremos los números del 1 al 9. Empezamos dibujando el esqueleto del cuadrado. Después añadimos casillas en todos los laterales, hasta formar un rombo. De esta forma:

Empezamos en el extremo superior con el 1 y colocamos todas las cifras siguiendo las diagonales alternas formadas en el rombo. Quedan casillas en blanco.

Tenemos que “colocar” los números que están en las casillas exteriores del cuadrado, al lugar que les corresponde.

Para hacer un cuadrangular de orden 4, situamos el número 1 (o la primera cifra de una serie) en el extremo superior izquierda. Desplazándonos como si estuviésemos escribiendo, anotamos solamente las cifras correspondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales.

Por último, en la última celda en blanco (casilla 15) ponemos el número 2 (o la 2ª cifra de la serie). Ahora nos desplazamos de derecha a izquierda y hacia arriba para ir completando los números que faltan por orden.