NOTAS DECLASE

Cuadrados mágicos

Se presenta una situación matemática que surge de un análisis histórico epistemológico de la génesisde un objeto conceptual matemático, lo cual permite determinar un universo de referencia para lasignificación en aula del mismo.

,---- Resumen --------------------------,

••l. Introducción

. _!'"

El presente artículo está dirigido a los estudiantes de matemáticas, para que a travésde estas páginas vean como hombres de todos los tiempos y de todas las razascontribuyen al desarrollo de la cultura matemática de la humanidad.

También este documento está dedicado a los profesores de matemáticas, de lasenseñanzas elemental, media superior. Para los primeros, porque los cuadrados mágicosconstituyen una fuente de ejercicios interesantes de cálculo numérico para sus alumnos(5), y para los últimos, porque el conjunto de los cuadrados mágicos reales de ordenn, siendo n un número natural mayor que o igual a 3, con operaciones definidas enforma adecuada, es un modelo de espacio vectorial real.

Este trabajo presenta acerca de los cuadrados mágicos 10 siguiente: antecedenteshistóricos de ellos, una forma especial de obtener a los de orden tres y, finalmente, laconstrucción de los de orden n, para n mayor que o igual a 3.

Agradezco la lectura y las valiosas observaciones de mis colegas Ismenia GuzmánRetamal, doctora en didáctica de las matemáticas, y Renate Laudien Hardmeyer,magister en matemáticas, que ayudaron a darle forma a este artículo.

. ,

Berta Aycinena Fuentes.Universidad Católica de Valparaíso, Chile

• 126-----------------------------------------------------------

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11. Antecedentes históricos y defmición

Figura 2 Figura 1

Son cuadrados mágicos:

4 3 8

9 5 1

2 7 6

o 1 5

7 2 -3-1 3 4

El lector podrá descubrir propiedades de los números que aparecen en cadaconfiguración.

Al parecer los primeros en descubrir los cuadrados mágicos fueron los chinos y lesdieron el nombre de Lu Shu. Una curiosa leyenda cuenta que el cuadrado mágico de laFigura 1 fue revelado al hombre, por primera vez, por el caparazón de una extrañatortuga que emergió de las aguas del río Lo muchos siglos antes de Cristo. En el capa-razón de la tortuga estaba inscrita la configuración geométrica indicada en la Figura 3.

•• • •• • • • • • •• • ••••• ••• • • • ••• •••

•• • •• • • • • • • • •• •Figura 3

Desde el punto de vista histórico, parece fuera de toda duda que esta figurageométrica apareció no antes del siglo IV a.C.

Los chinos atribuyeron a sus propiedades matemáticas un significado místico, tantoque se convirtió en el símbolo que reunía los principios básicos que dieron forma a lascosas, a los humanos y al universo. Aun hoy estas ideas están presentes en ellos.

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Veamos,

Dados los números reales .ri, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8 y X9, un cuadrado má-gico de nueve casillas, o de orden tres, es un ente del tipo

Xl X2 X3

X4 X5 X6

X7 X8 X9

con la propiedad de queAl sumar los números de cada fila, de cada columna y de ca-da diagonal, resulta un mismo número real.

En forma análoga se definen los cuadrados mágicos de orden n, siendo n un númeronatural mayor que 3.

Desde China llegaron a la India noticias de cuadrados mágicos, de donde posterior-mente pasaron a Occidente, probablemente por conducto de los árabes.

Durante el Renacimiento, el matemático Cornelio Agrippa -que vivió de 1486 a1535, en medio del fervor investigador que caracterizó a ese periodo- se dedicó a laconstrucción de cuadrados mágicos de orden n, es decir, de n2 casillas en las cualesaparecen los naturales del 1 al n2, para n igual a 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, y les atribuyó unsignificado astronómico. Representan simbólicamente a Saturno, Júpiter, Marte, el Sol,Venus, Mercurio y la Luna.

También una relación estrecha entre matemáticas, geometría y arte se encuentra enla obra del pintor alemán Alberto Durero, contemporáneo de Leonardo da Vinci ynatural de Núremberg. En un célebre grabado suyo (Fig. 5) del año 1514, tituladoMelancolia, puede verse en la esquina superior derecha el cuadrado mágico de ordencuatro mostrado en la Figura 4.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Figura 4

Obsérvese que en las casillas centrales de la última línea, el cuadrado mágicoreproduce el año de creación del grabado (1514).

En el siglo XVI y en el siglo XVII se creía que un cuadrado mágico grabado o escritosobre una pequeña placa o chapa de plata, tenía poderes contra la peste. Copias de estasfiguras, talladas en madera u otros materiales, se empleaban como amuletos, y aun hoyen día se utilizan en algunas zonas del Oriente.

Queda para el lector el desarrollo del ejercicio siguiente:

iI

!

II

I,I

II

IIi¡

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Figura 5 Melancolía, grabado del pintor Alberto Durero (1514).

a) Utilice la definición dada al comienzo y construya un cuadrado mágico de ordentres, y otros a partir de los que usted ya dispone.

b) El co$nto de los cuadrados mágicos de orden tres, con operaciones definidas enforma adecuada, está dotado de una estructura algebraica. ¿Cuál es ésta?

111.Construcción de cuadrados mágicos de orden tres¿Cómo construir cuadrados mágicos de orden tres? Considérese 10 siguiente

.. ,

I,!

4 3 8

9 5 1

2 7 6

se obtiene de

,--7

4 8

I 1 5 9 I2 6

~

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El cuadrado mágico

y el cuadrado mágico

o 1 5

7 2 -3-1 3 4

se obtiene de

~3

O 5

1-3 2 7 1-1 4

~

Si a, d, x son números reales, el esquema siguiente:

a-d +xa-d a +x

I a - d-x a a+d+xla -x a+d

a + d-x

permite encontrar el siguiente cuadrado mágico de orden tres:

a -d a + d-x a +x

a+d+x a a-d-x

a-x a-d +x a+d

IV. Construcción de cuadrados mágicos de ordensuperior a o igual a tres

El lector podrá demostrar que todo cuadrado mágico de orden tres es de la formaindicada anteriormente.

En forma similar pueden construirse cuadrados mágicos de órdenes imparesmayores que tres.

Cabe hacer notar, también, que un cuadrado mágico de orden tres --en cuyas casillasaparecen los naturales del 1 al 9, salvo rotaciones y reflexiones- es único.

El interés por los cuadrados mágicos, en el transcurso del tiempo no ha mermado nnnca.Es así, como en 1693, Bernard Frénide de Bessy demostró que hay 880 de estasconfiguraciones de orden cuatro, en cuyas casillas aparecen los naturales del 1 al 16,salvo rotaciones y reflexiones.

.,

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¿Cuántos serán los de orden cinco, en cuyas casillas aparecen los naturales dell al25? En 1973 Richard Schroeppel, con ayuda de un computador, calculó que hay 275305 224 cuadrados mágicos diferentes, sin tomar en cuenta rotaciones y reflexiones.

Por otra parte l. C. Herz (2) en 1973, e120 de agosto, construyó el cuadrado mágicode orden diez con los números naturales del Oal 99 dispuestos en sus casillas.

Una impresionante belleza arquitectónica y matemática tuve la oportunidad deapreciar en el Templo de la Sagrada Familia, obra del arquitecto Antoni Gaudí, enBarcelona. En uno de sus muros (Fig. 7) aparece el cuadrado mágico de la Figura 6:

Figura 6

1 14 14 4

11 7 6 98 10 10 5

13 2 3 15

Figura 7 Templo de la Sagrada Familia, de Antoni Gaudí, Barcelona.Foto de 1993 (se presenta por gentileza de la profesora Gladys González C.)

I

8:311a32

II1I1

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Sea M el cuadrado mágico real de orden n, siendo n mayor que o igual a 3 siguiente:

all a12 a13 ••• _ ••••••••• aln-l alnr - -- -- ----- - - -- ---- -

a21 I a22 a23 a2n-l a2n

I

I1

an-21 11

an-1.1 I an-l 2 • •••• •• •••• ••• •••• ••• • ••••••---------------- ----'an-l ••••••• '" •••• •• ••••• ••••••• ••• •••• ann

Se tiene que Li, con i E {1, 2, ... , n} denotará a la suma de los reales de la i-ésimafila. C, con j E {l, 2, ... ,n} a la suma de los reales de la j-ésima columna, D¡ a lasuma de los reales de la primera diagonal y D2 a la suma de los reales de la segundadiagonal.

Con estas notaciones se puede decir que M es un cuadrado mágico real, de ordenn, si existe un real S tal que:

Además, se considerarán las sumas de los reales de las filas, columnas y diagonalesanteriores sin los extremos, que se denotarán por li , ej' d, y d2, con i, j E {2, ... , n -1}, respectivamente. Estas sumas existen para n mayor o igual a 3.

Ahora, sea s = d, + d2 + 4 + ~ + ... + ln-¡' Es decir, s es la suma de todos losnúmeros reales de las filas y diagonales del ordenamiento de reales, que se obtiene apartir de M eliminando el borde.

Si M es .un cuadrado mágico real de orden n, entonces

s = (n -2) S

n -¡

I (ail + li + a¡J = nSi= 2

Luegon n -¡ n

nS =I ai¡ + (d¡ + d2 + I li) + I ~i=¡ i=2 i=¡

Por 10 tanto

PROBLEMA: Dada una ordenaci6nm de (n - 2) filas por (n - 2) columnas de númerosreales cualesquiera, ¿existe un cuadrado mágico M que se obtenga bordeando a m?

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Con las notaciones anteriores, para que un cuadrado mágico real M exista esnecesario que

sS=~ n -~

Solución:

De los (4n - 4) números reales buscados, se eligen (2n - 4) de ellos, arbitrariamenteubicados en:

Los (4n - 4) reales buscados son

• los de la primera fila : aljconj {1, 2, ... , n}• los de la enésima fila : anj conj {1, 2, ... , n}• los de la primera columna : ail con i {2, ... , n - 1}• los de la enésima columna : ain con i {2, ... , n - 1}

y deben satisfacer (2n + 2) ecuaciones: L, = 8, con i {1, 2, ... , n}; ~ = 8, con} E

{1, 2, ... , n}, DI = 8 YD2 = 8.

alj para} E {1, 2, ... , n -1}ail para i E {2, ... , n - 2}

Falta por conocer a los 2n números reales siguientes: anl, an2, ••• , G.nn, aln, am, ... ,.an_I, n Y a; -1,1' Estos son únicos y están determinados por la condición de magicidad deM:

1. Para los de la última col~: ,-- ~'!'-.~-

Lt = ai1 + li + üin =:=8; luego üin = 8 -ail =l; para i E {1, 2, .. .n - 2}ya1n=-8-(al1 + a12 + ..; + a1,n-¡).

2. Para los de la última fila:

Cj = alj + ej + anj = 8, luego anj = 8 -a1j -Cjpara} E {2, ... , n -1}.

3. DI = all + d: + ünn = S; luego añil = S -all =d;Además, en = a1n + + an - 2, n + an -1, n + ünn = 8. Por 10 tanto,an -1, n = S - (a1n + + ün - 2, n + ann).

4. D2 = a1n + da + an1 = S; luego an1 = S -a1n <d:Además, el = al + + ün - 2, 1 + an - 1, 1 + an1 = S, con 10 cualan-1,1 =S-(al1 + +an-2,1 +an¡).

Es suficiente verificar que las condiciones L, -1 = S Y L, = S se cumplen:

DI + D2 + ~ + ... + Ln-2 + Ln_1 = CI + Cn + S = 8 + S + (n - 2) S.

De aquí que

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(n - l)S + L; -1 = nS; en consecuencia, L; -1 = S. Además L1 + L2 + ... + L, -1 +

+ L, = C1 + Cz + ... + C,-1 + C, = nS, de donde (n - 1) S + L, = nS.

Por lo tanto,

Por lo tanto:

M es un cuadrado mágico.

La cantidad de números reales arbitrarios a partir de los cuales se determinaron las(2n - 4) incógnitas son (n - 2)2 + (n - 1) + (n - 3), lo que es igual a n2 - 2n.

En consecuencia,

El espacio vectorial de los cuadrados mágicos de orden n, siendo n un númeronatural mayor que o igual a tres, es isomorfo a un subespacio del espacio de lasmatrices reales de orden n, y la dimensión de este subespacio es n2 - 2n.

T.J. Fletcher (1) expresó en 1972, que no conocía el teorema general concernientea la dimensión del espacio vectorial real de los cuadrados mágicos de orden n, siendon un número natural mayor que o igual a tres. Sin embargo, Chambadal y Ovaertobtienen e~ dimensión.

f1>inaud, R. Domain y P. Monsellier (3), en 1977, realizaron otra demostracióndel teorema. Tal es la que se mostró anteriormente, y ella permite determinar fácilmenteuna base del espacio vectorial, aportando un procedimiento para construir cuadradosmágicos.

Para construir un cuadrado mágico de orden n se-necesitan n2 - 2n números realescualesquiera, a los cuales habrá que ubicar en la región sombreada:

I

'jII~---i I

an-l.l I IL- J

an-l

En seguida se calcula s, se remplaza en la fórmula anterior para determinar S, yfinalmente se calculan los números que faltan en la configuración, obteniendo así uncuadrado mágico.

IiIIII

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V. Conclusión

Las actividades contenidas en este trabajo la he experimentado con estudiantes de Pe-dagogía en Matemáticas, con excelentes resultados, y también han sido motivo denumerosas charlas expuestas a jóvenes estudiantes.

Bib liografía

1 FLETCHER T.J. L 'algébre linéaire par ses applications. París: Editorial Cedic, 1972.2 BELoUZE, B., GLAYMANNM., HAUG, P.J. y HERZJ.C. Los cuadrados mágicos. Bibliotheque de Travail

du Professeur de Mathématique. Document de l' APMEP. Lyon: Imprimerie Vaudrey 1975.3 Bulletin de l' Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public. No. 308, abril de

1977.4 AGOSTINI, FRANCO. Juegos de lógica y matemáticas'. Madrid: Editorial Pirámide, 1982.5 GLAESER, G. La didactique experimentale des mathématiques. Université Louis Pasteur, IREM. Stras-

bourg, année 1984-1985.

Nota:

El lector interesado en comentar este artículo puede dirigirse a Berta Aycinena Fuentes,magister en matemáticas. Profesora adjunta del Instituto de Matemáticas de la Univer-sidad Católica de Valparaíso. Dirección: Blanco Viel 596, Cerro Barón, Valparaíso,Chile, o a la casilla de correos 4059, Valparaíso, Chile. Fax (56)(32)25 88 47.

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