cuaderno repaso 4ºeso

APELLIDOS Y NOMBRE:

CURSO:

Ricardo Palancar Hermosilla

4 ESO. MATEMTICAS. Cuaderno de refuerzo 2

ndice

1. LOS NMEROS REALES ...............................................................................................3

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS................................................................4

3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.........................................................8

4. RESOLUCIN DE ECUACIONES.............................................................................. 11

5. SISTEMAS DE ECUACIONES..................................................................................... 12

6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES................................................. 13

7. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRA ............................................................................ 13

8. FRMULAS Y ECUACIONES TRIGONOMTRICAS................................................ 14

9. GEOMETRA ANALTICA PLANA............................................................................. 15

10. FUNCIONES................................................................................................................ 16

11. TIPOS DE FUNCIONES............................................................................................... 16

12. OPERACIONES CON FUNCIONES.......................................................................... 17

13. LMITES Y DERIVADAS............................................................................................... 17


1. LOS NMEROS REALES

1. Cmo es un nmero irracional desde el punto de vista decimal?

2. En qu consiste la densidad de los nmeros racionales y pon un ejemplo.

3. Calcular un nmero racional que est entre 3/7 y 4/7.

4. Una aproximacin del nmero pi debida a Mecio (los griegos no conocan la

expresin decimal de los nmeros) fue: 13 1716

pi = ++

. Calcular su valor y una cota

de error cometido.

5. Una pizza tiene un dimetro de 30 cm y cuesta 1.095 Pts. Cunto debera costar

una de 40 cm de dimetro? Suponemos que el grueso es idntico.

6. Clculo de

n

m. Calcular:

7 5 10; ;

3 5 0

7. Hallar la fila 5 del tringulo de Tartaglia y decir a qu se corresponde cada

nmero.

8. Cules son las propiedades de los nmeros combinatorios?

9. Expresa en forma de intervalo E(1, 5)

10. Expresa en forma de desigualdad: (1, +inf); [2, 7)

11. Clculo de n

m

. Calcular:

7; ;

5 0 2m n

n

12. Tringulo de Tartaglia. Hallar todas las combinaciones posibles de 6 elementos

apoyndose en el tringulo de Tartaglia.

13. Clculo de n

m

. Calcular:

7 5 10; ;

3 5 0

14. a) Comprueba que 8 7 75 4 5

= +

hallando el valor de cada uno por su frmula.

b) Sabiendo que 212

=

n

n hallar el valor de n.

15. Tringulo de Tartaglia. Hallar la fila 5 del tringulo de Tartaglia y decir a qu se

corresponde cada nmero.


2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

16. Determina el valor de:

a) ( )23 b) 32 d) ( )32 e) 321

f)

1

51

g)

2

34

h) 499

i) 3 125 j) 3/23 k) 2/151

l) 2/19 m) 2/3

32

17. Expresa en notacin cientfica:

a) Distancia Tierra Sol = 150.000 millones de metros

b) Radio del protn = 0, 000 000 000 05 metros

c) Distancia Tierra Luna = 384 millones de metros

d) Tamao de unvirus = 0, 000 000 002 metros

e) Peso de una bacteria = 0, 000 000 008 4 gramos

18. Dados los nmeros:

A = 175.000.000.000.000 ; B = 3.500.000.000.000 y C = 0,000 000 000 000 125 ,

expresa los nmeros en notacin cientfica para calcular (utilizando calculadora):

=

+

CBA

19. Si 61024,3 =A , 5101,5 =B , 11108,3 =C y 6102,6 =D , calcula:

=

+ DC

BA

20. Simplifica en una nica potencia y, despus, determina su valor:

a) ( ) ( )

( ) =

25

53

333

b) =

214

281

21

c) = 26 273

21. Simplifica las expresiones siguientes al mximo:

a) =

32162 48

b) =

235

23

22 c) =

292

21

31

:31

31

22. Simplifica las siguientes fracciones utilizando las propiedades de las potencias:

( ) ( )( )

2 23 4 3 25 3 8 6 5 2 2 4 7

32 3 3 3 5 2 3 2 2

2 6 ( 3) 3 2 5) ) ) )18 ( 12) 9 4 5

a b a ba b ca b c d

a b c a b

23. Pasa las siguientes expresiones de races a potencias y despus simplifica la

potencia resultante:

a) =5 4a b) =22

24. Pasa las siguientes potencias a su expresin radical y despus simplifica el radical al

mximo segn sus propiedades:


a) ( ) =3/22/5a b) =

32

23

25. Opera y simplifica:

3 3 31 324 192 52 125

+ =

26. Simplifica extrayendo factores de los siguientes radicales:

a) =xy

zyx3

12 432 b) =3 368 ba

27. a) Simplifica este radical al mximo: 4 23 32 x y

b) Introduce dentro del radical los factores: 2 42 3 2x y x y+

28. Opera en forma de potencias y expresa el resultado en forma de raz:

a) =

4 3

34

a

aa b) =

a

aaa 33/24/3

29. Opera y simplifica:

a) = 333 1654250 b) =+2252

258

92

c) = 243

d) =4

4

436

e) = 433 2 5353 f) =+3 25

50218283

30. Calcula:

a) ( ) = 255 b) ( ) ( ) =+ 3232 c) ( ) =+ 2326 d) ( ) ( ) =+ 223223

31. Utilizando la definicin y/o las propiedades de los logaritmos, calcula:

a) 2log 4/1 b) 525log5 c)

32 41log

d)

3

1001log

e)

e

1ln f) 5,0log2

32. Expresa con un nico logaritmo:

a) cba logloglog2 + b) ( )ba loglog21

c) 2log33log2

33. Utiliza el cambio de base y/o la calculadora para determinar con cuatro cifras

significativas:

a) 15log7 b) 11log2 c) 18log d) 5ln f)

38log g) 7log 3/1

34. Calcula x:


a) 4625log =x b) 201,0log =x c) 1005 =x d) 510 =x

35. Calcula:

42 2 3 2 3

16) log 32; ) log 8; ) log 81; ) log ; ) log 2732

a b c d e

36. Simplifica: ( )32 5

4 2

a a

a a

37. Expresa en forma de potencia simplificando si es posible: 1 22

23

1) ; )a b a ax

38. Expresa en forma de radical: 2 23 13 54 27 2 5 3. . . .a b c d

39. Extraer en cada caso todos los factores posibles:

4 325 3. 64 . 243 . . 4.a b c x d a

40. Simplifica: 3 3 33 50 5 32 3 98 3 8 4 72 2 32) )a b x x x + + 41. Introducir factores dentro de un radical. Introducir dentro del radical el factor:

3 2 3 43 3 5) 3 4 5; ) 2 ) 2 2+ a b a a c x y x y z 42. Simplifica las expresiones siempre que sea posible:

( )6 23 3 32 3 162 2 4 22) ) ) )a b x c d= 43. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:

7414 14 11 183 5) 75; ) 16 ; ) 81 ; ) 128ba b a c a d x y z

44. Racionaliza simplificando: 3 5

6 12 3 3 32 9 4 3 6 3

) ) ) )a b c d +

45. Hallar el valor de x en las siguientes expresiones:

2

1 1) log 1 ) log 3 ) log3 8

= = =x

a b x c x

46. Hallar el valor de x aplicando las propiedades de los logaritmos:

2 3 3

1) log 5 ) log 100 3 ) log 2 ) log 818

= = = =x

xa b c d x

x

47. Desarrolla al mximo utilizando las propiedades del logaritmo:

23

5

1) log ) log ( )

a aa b a a

a

48. Sabemos que logak=0'7, cunto vale? 3log loga ak k

49. Expresa como un solo logaritmo: 33 3643 6 15

2loglog log +

50. Reduce a un solo radical: 3

4

7) )7

a b x


51. Efecta con la calculadora y redondea a cuatro cifras significativas:

20 147 9 1 5. 1, 41 . 3021 . 1, 287.10 .

2

+a b c d L

52. Efecta el siguiente producto utilizando la expresin de los radicales en forma de

potencia: 34 8 4

53. Extraer factores de un radical. Extraer todos los factores posibles de las races y

simplificar el resultado:

5 12 7 48 108 192 243+ + 54. Introducir factores dentro de un radical. Introducir dentro del radical el factor:

2 33) 3 ; ) 2 2 4a x x y b a+ 55. Calcula:

( ) = 23223 56. Calcula: ( ) ( ) =+ 7777 57. Utiliza las propiedades y/o la definicin de logaritmo para calcular:

=

93log3

58. Expresa en un nico logaritmo:

=+ cba loglog21log2

59. Saber aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar una expresin.

Hallar el valor de x aplicando las propiedades de los logaritmos:

2 31) log 2 10 ) log 5 ) log 100 3 ) log 2

8x xxa b c d

x= = = =

60. Extraer factores de un radical. Extraer en cada caso todos los factores posibles:

4 325 3. 64 . 243 . . 4.a b c x d a

61. Introducir factores dentro de un radical. Introducir dentro del radical el factor: 3 3) 3 4 5; ) 2a b a a+

62. Convertir una expresin logartmica en su exponencial equivalente y viceversa.

Hallar el valor de x en las siguientes expresiones:

21 1)log 1 )log 3 )log3 8x

a b x c x= = =

63. Saber aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar una expresin.

Hallar el valor de x aplicando las propiedades de los logaritmos:

2 3 31) log 5 ) log 100 3 ) log 2 )log 81

8nxa b c d x

x= = = =


64. Racionaliza: 6

7 3+

3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

65. Si x es la base de un rectngulo e y la altura escribe en lenguaje algebraico las

siguientes frases:

a) La base es igual al doble de la altura.

b) La base supera en 5 unidades a la altura.

c) La altura es 2/5 de la base.

d) El rea del rectngulo es 50 cm2

e) La base y la altura se diferencian en 10 unidades

66. Escribe en lenguaje simblico las siguientes ecuaciones:

a) La suma de 3 nmeros consecutivos es 18

b) Un padre (y) tiene el doble de edad que su hijo (x)

c) Entre Juan (x), Antonio (y) y Manolo (z) suman 15000 Pts.

67. Plantea la ecuacin:

a) Si resto 5 a un nmero me queda 13

b) Un compaero piensa un nmero, lo triplica, a lo que da le resta 7 y el

resultado es 5

68. Para x = 1 cul es el valor de la siguiente expresin algebraica? 4 22 6 3 2x x x +

69. Cul es el valor para a = 2 y b =0 de la siguiente expresin algebraica? 2

3 37 6

2a b

b ab a+

+

70. Sacar factor comn en las siguientes expresiones:

2 3 2 214 7 2 2 3 3/ / ( ) ( ) /a m m n b m x x c x y ax ay + + + 71. Despeja la incgnita indicada en las siguientes ecuaciones o frmulas:

2 69 160

352))) xCa b c yb Fa m

despeja b despeja xdespeja C

+ ++===

72. Desarrolla los siguientes polinomios:

a) (x3) (x+5)

b) 3 (x+1) x

c) (x+2) (2x4)

d) x (5x3)

73. Saca factor comn en los siguientes polinomios: 2 2 23 2 3 5) ) )a x x b x x c x x + + 74. Efecta en lnea: 3 2 26 5 4 2 3 7( ).( )x x x x+ + 75. Efecta: 4 3 2 22 3 2 3 5 1( ) ( )x x x x x x+ + + 76. Desarrollar la siguiente potencia: ( )42 3x +

Sean polinomios de abajo. Efectuar las siguientes operaciones indicadas:

3 2 4 32 6 3 7 5 8 5( ) ( )P x x x x Q x x x x= + = +

y

x


a) P(x) Q(x); b) 3P(x)+2Q(x)

77. Calcula los polinomios siguientes:

a) (x1) (x+3) x 22 1) ( ) ( )b x x+ 78. Calcula el rea sombreada de las figuras siguientes:

7 x

c)

x

12

b)

3x + 1

4x 5a) 5 x

79. Calcula el rea sombreada de las figuras siguientes:

2x

6x 4

x

10

80. Efecta el cuadrado: 2 2 22 3 1) ( ) ) ( ) ) ( )a x b a c y + 81. Efecta: 2 2 3 3 1 1) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( )a x x b a a c y y + + 82. Sacar factor comn en:

a) 5a + 5b +25

b) 3 + 81x 27x2

c) abc 3ab + 3ac

83. Saca factor comn: 2 2 23 9 26 39 3) ; ) ; ) ; )a a a b x x c x d b b

84. Sacar factor comn y simplificar: 2

2. . .

. .

a b a b ca b c

+

85. Cunto vale el cociente C(x) y el resto R(x) de la siguiente divisin? Comprueba el

resultado.

4 3 2 25 13 6 3 2( ) : ( )x x x x x x+ + + + 86. Halla un polinomio que al ser dividido entre 3 4 2x x + se obtenga de cociente

2 2 3x x+ y de resto 5x + 4.

87. Hallar el cociente y el resto de la divisin. 5 45 2 1 2:x x x x + Comprueba el

resultado.

88. Calcula "a" para que el resto de la divisin sea 8. 5 4 33 4 2 2:x x x a x + + +

89. Efecta: 4 3 2 23 15 11 12 1 5 3:x x x x x x+ + + + + +

90. Hallar el cociente y el resto de la divisin comprobando que est bien: 5 3 22 3 8 2|x x x x+ + +

91. Escribe un polinomio que tenga de races: 1, 5 y 0. Primero puedes hallar la

expresin factorial y despus obtener la general.


92. Polinomio que tenga de races: 2 13

y

93. Factoriza y comprueba el resultado: 3 2 37 35x x x+ +

94. Factoriza el polinomio y comprueba el resultado: 3 23 3 6x x x

95. Simplifica: 3

3 23 9 3 9x x

x x x

+

96. Simplifica la fraccin: 3 2

3 25 3

2 3x x x

x x x

+ +

+

97. Simplifica: 3 2

3 25 2 245 4 20

x x x

x x x

+

+

98. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 2 2

4 2 33 10

4) )x x x xa bx x x x

+

99. Calcula y simplifica: 2

29

3x x

x x

+

100. Calcula y simplifica: 3 2

22 2:

x x

x x x

101. Calcula y simplifica: 22

1x x

x x x

+ +

102. Calcula y simplifica al mximo los resultados: 23 4

1 1x x+

103. Calcula y simplifica al mximo los resultados: 2

1 1x x

xx x

+ +

104. Hallar el inverso de: 2 3x x

105. Hallar el inverso de: 3 27

3x

x x

+

106. Binomio de Newton. Desarrollar el siguiente binomio: ( )52 3x 107. Desarrolla el siguiente binomio: ( )33 2x + 108. Desarrolla el siguiente binomio: ( )42 3x + 109. Descomponer un polinomio. Descomponer el polinomio siguiente en factores

irreducibles: 3 23 3 6x x x

110. Binomio de Newton. Desarrollar el siguiente binomio: ( )5a b 111. Descomponer un polinomio. Descomponer el polinomio siguiente en factores

irreducibles:

3 2( ) 2 3 8 3P x x x x= + +

112. Binomio de Newton. Desarrollar el siguiente binomio: ( )52 3x


113. Descomponer un polinomio. Descomponer el polinomio siguiente en factores

irreducibles: 3 23 3 6x x x

114. Efectuar la siguiente potencia del binomio: ( )522x x 115. Halla el valor de k para que el polinomio 4 22 3( )P x x x kx= + + + sea divisible por

x + 3.

116. Descomponer el siguiente polinomio en factores irreducibles: 3 22 5 6x x x +

117. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 2 2

4 2 33 10

4) )x x x xa bx x x x

+

118. Efecta la siguiente operacin: 22 3 124

2 24:

x xx

+ + +

119. Efecta la operacin siguiente y simplifica el resultado: 21 1

3 9 1x x

x x x

+

120. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios siguientes: 3 3 24 2( ) ; ( )P x x x Q x x x= = +

4. RESOLUCIN DE ECUACIONES

121. Resolver: 5 4 3 216 20 0x x x x =

122. Resolver: 3 1 2

3 2x x x =

+

123. Resolver la siguiente ecuacin: 1 1 3

3 10x x =

+

124. Resolver:

( ) ( ) = + =2 1) 3'5 15'2 ) log 1 log 3 2 1xa b x x 125. Resolver: 3 22 5 6 0x x x + =


2 5x x

xx x

+ + =

+

127. Resolver:

( ) ( ) + = + =22 1 log) 5 1,3 4,7 ) 2 log 1 12

xx x

a b x

128. Resolver: 5 4 3 216 20 0x x x x =


3 2x x x =

+

130. Resolver:

( ) ( ) = + =2 1) 3'5 15'2 ) log 1 log 3 2 1xa b x x


131. Una moto se devala un 15% anual. Si nos ha costado 5000 , qu valor tendr

al cabo de 10 aos?

132. La poblacin mundial es de unos 5 mil millones de habitantes y crece a un ritmo

anual del 1%. Cunto tiempo tardar en duplicarse?

133. Una colonia de 1 milln de bacterias es combatida con un tratamiento que las

reduce al 20% diariamente. Cunto tiempo tiene que pasar para que tengamos

menos de 100 mil?

134. Resuelve la siguiente ecuacin + =4 3 24 4 0x x x x

135. Resolver la ecuacin: x4

2x 2 15 = 0

136. Resuelve la siguiente ecuacin: + =3 3 7x x

137. Resuelve la ecuacin: 2 6 2x x+ + =

138. Resolver la ecuacin: 2 ln(x 3) = lnx ln4

139. Resolver la ecuacin: ( ) ( )2ln 1 ln 2 ln 2x x+ = 140. Resolver la ecuacin: 12 2 12x x++ =

141. Resuelve la siguiente ecuacin: 9 6 3 27 0x x =

142. Se tiene un cuadrado cuyo lado es 3 cm mayor que el lado de otro cuadrado.

Si entre los dos cuadrados tienen 149 cm2 de rea, cul es el rea de cada uno

de ellos?

143. En un tringulo rectngulo un cateto mide 3 unidades ms que el otro. La

hipotenusa mide a su vez 3 unidades ms que el cateto mayor. Cunto mide

cada lado?

5. SISTEMAS DE ECUACIONES

144. Resuelve el sistema:

21 0

x yx

x y

+ =

=

145. Obtn las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: 2 2 3

2y x

xy =

=

146. Halla las soluciones del sistema: =

=

9

log log 1

x y

x y

147. La suma de dos nmeros es 3 y la suma de sus inversos es 34

. De qu

nmeros se trata?

148. El permetro de un rectngulo es de 26 cm y su diagonal mide 10 cm. Calcula la

longitud de sus lados.


6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

149. Resolver:

+ +

+

23 2 1) 2 5 6 0; ) 0

( 2)

xa x x x b

x x

150. Resolver: 3x + 4 > 2x 6


4( ) ( )x x

x

+

cuaderno repaso 4ºeso

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