cuadernillo de ejercicios y problemas de matemÁtica …
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COLEGIO SANTO DOMINGO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CUADERNILLO DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICA PARA
SEGUNDO MEDIO 2017
SEGUNDO SEMESTRE
NOMBRE:________________________________
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Introducción:
Una de las formas más fáciles para estudiar matemática es repasar y
aplicar los conceptos analizados en clases a través de ejercicios y problemas; este
cuadernillo pretende ser una ayuda que debes usar tanto en tu casa como en el
colegio con el fin de facilitar tu aprendizaje.
Algunos de los ejercicios y problemas de las guías que forman parte del
cuadernillo han sido cuidadosamente seleccionados de los texto de estudio
existentes en el mercado y otros son creaciones de tus profesores.
Esperamos que este conjunto de guías te sirva como un apoyo para tu
aprendizaje de la matemática en el presente año.
Muchos éxitos.
Departamento de Matemática
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UNIDAD PROBABILIDAD
Guía: Introducción a la probabilidad 1.- Considere el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado,cuyas caras están enumeradas del uno al seis y anotar el resultado de la cara superior. Se pide a) ¿Cual es el espacio Muestral? b) ¿Cuáles son los sucesos aparecer numero Par? c) ¿Cuáles son los sucesos aparecer numero primo? d) ¿Cuáles son los sucesos múltiplo de dos? e) ¿Cómo son los sucesos del ítem b y d? 2.- Se considera otro suceso aleatorio que consiste en lanzar dos monedas al aire y anotar el resultado de las caras superiores. a) ¿cuál es el espacio muestral? b) ¿Cuál es el suceso obtener “Al menos una cara”? 3.- Consideremos el experimento aleatorio en el lanzamiento de dos dados y calcular el resultado de las caras superiores. Formar los siguientes sucesos: a) El suceso cierto. b)El suceso “Obtener suma igual a 11”? c) El suceso “Obtener suma igual a 8”? d) El suceso “ Obtener suma menor o igual a 4?
4.- En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E= 1,2,3,4,5,6, se consideran los
siguientes sucesos. A= 2,5,6, B= 1, 3, 4,5, C=4, 5,6, y D= 3. Se pide formar los sucesos contrarios. 5.- Utilizando los ejercicios del ejemplo anterior .encontrar:
a) A B f) ( A B) c
b) A C g) AcB
c
c) B C h) A ( B CC )
d) A ( BC) i) A ( B C)
e) ( A B )c j) ( A B )
cC
6.- Se llama diferencia de dos sucesos A y B , a un suceso que se realiza A y no B. Comprobar mediante un ejemplo que :
A-B = A B c
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GUÍA: PROBABILIDAD I) Determinar en cuales de la siguientes situaciones se presenta un experimento aleatorio
1) Soltar un balón 2) Lanzar una moneda al aire 3) El resultado de un partido de fútbol 4) El desempeño de un alumno en una prueba de probabilidad 5) El resultado de un juego de azar 6) El color favorito de una persona 7) Saltar de un avión en paracaídas 8) Dar un golpe a un balón con el pie
II) Determinar el espacio muestral en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios
1) Lanzar un dado 2) Lanzar dos dados 3) Escoger una letra vocal 4) Escoger dos letras vocales distintas 5) El resultado de un partido de tenis 6) Escoger un color de entre los colores de la bandera chilena 7) Escoger el ramo favorito de un alumno de tercero medio de este colegio 8) Escoger al azar un número entero entre 5 y 11, incluidos ambos
III) Resolver los siguientes problemas
1) Una caja tiene 3 fichas rojas, 8 azules y 7 verdes. Calcular la probabilidad de que al sacar una ficha esta
a) Sea Verde b) Sea roja c) Sea Azul d) No sea verde
2) Se lanza un dado, calcular la probabilidad de: a) obtener 3 b) obtener un número par c) obtener un número primo d) obtener un número mayor que 4 e) obtener un 1 o un 6 f) no obtener ni 2 ni 5
3) La probabilidad que Alicia viva más de 80 años es de un 77% ¿Cuál es la probabilidad que
Alicia muera antes de cumplir 80 años?
4) La tabla que sigue muestra las últimas 200 ventas de un vendedor de automóviles
Marca Fiat Kia Hyundai Nissan Chevrolet Citroen Suzuki Toyota
Ventas 28 33 52 20 6 11 16 34
Si se escoge uno de estos doscientos vehículos al azar calcular la probabilidad de: a) Sea un Hyundai b) Sea coreano (Kia o Hyundai) c) Sea Europeo (Fiat o Citroën) d) Sea Japonés (Suzuki , Toyota o Nissan) e) No sea asiático (coreano o japones)
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5) Un tenista tiene un 72% de aciertos con su primer servicio ¿Cuál es la probabilidad que falle su primer servicio?
6) Se sabe que la probabilidad que Rodrigo entre a estudiar medicina es de un 3% y que
entre a estudiar Psicología es de un 8% ¿Cuál es la probabilidad de que Rodrigo estudie medicina o Psicología?
7) Catalina va a ir de viaje de estudios al extranjero, el viaje de su curso será a uno de los
siguientes países: Brasil, argentina, México, República Dominicana. Las probabilidades de los destinos están dadas por la tabla
País Brasil Argentina México República Dominicana
Probabilidad 37% 28% 17% 13%
Calcular la probabilidad de que a) El viaje se realice en Sudamérica b) El viaje se realice en un país con costas al Mar Caribe c) No se realice el viaje de estudios
8) La siguiente tabla muestra las probabilidades que tienen de ganar el campeonato mundial
de Hockey las 12 selecciones participantes
País Probabilidad
España 0,16
Italia 0,11
Australia 0,08
U.S.A 0,05
Angola 0,05
Argentina 0,20
Brasil 0,12
Alemania 0,06
Japón 0,04
México 0,09
Costa Rica 0,01
China 0,03
a) ¿Cuál es la selección favorita? b) ¿Cuál es la probabilidad que gane un país de Sudamérica? c) ¿Cuál es la probabilidad que gane un país europeo? d) ¿Cuál es la probabilidad que gane un país de Asia? e) ¿Cuál es la probabilidad que gane un país que tenga alguna costa hacia el océano
pacífico?
9) Según las encuestas Pedro tiene un 28% de probabilidad de ser elegido alcalde, Juan un 18% y Sofía un 14%. Calcular la probabilidad de:
a) El elegido sea Pedro o Juan b) No salga Sofía
10) Un juego consiste en elegir 6 números de un total de 20; hay premios para los que
obtienen 5 o más puntos ¿Cuál es la probabilidad de salir premiado al hacer una elección?
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IV) Determinar si en los siguientes casos los sucesos son independientes 1) Lanzar un dado y tirar una moneda 2) Lanzar tres veces una moneda 3) Sacar una carta, quedarse con ella; sacar otra carta 4) En una caja hay 6 fichas azules y 4 rojas
a) Sacar una ficha, devolverla a la caja, sacar otra ficha b) Sacar una ficha, quedarse con ella y sacar otra ficha
V) Resolver los siguientes problemas 1) Se lanza un dado y una moneda ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello y un múltiplo
de 3? 2) En una caja hay 7 fichas rojas, 6 azules, 4 verdes y 3 amarillas. Un experimento consiste
en sacar una ficha, devolverla a la caja y sacar otras ficha . Calcular la probabilidad de : a) Sacar 2 fichas rojas b) Sacar dos fichas del mismo color c) La primera sea azul y la segunda verde d) Sacar una ficha verde y una amarilla e) No sacar fichas rojas f) La primera sea roja y la segunda no sea amarilla g) No obtener fichas verdes ni amarillas h) Obtener al menos una ficha amarilla
3) Un diario publica un anuncio de una pulsera mágica. Los dueños creen que el anuncio lo
leerá un 30% de los lectores y que el 8% de los que lo lean adquirirán la pulsera a) Calcular la probabilidad de que alguien que leyó el diario compré la pulsera? b) Si el diario vende un promedio de 10.000 ejemplares ¿Cuantas pulseras se deben vender
después de leer el anuncio? 4) Un basquetbolista encesta un 68% de los tiros libres que ejecuta. El sistema de
campeonato indica que toda falta es penalizada con tiro libre. Si el jugador acierta el primer tiro libre tiene derecho a ejecutar otro. Se ha cometido una falta y el basquetbolista debe ejecutar los tiros correspondientes. Calcular de probabilidad de:
a) Que no obtenga puntos b) Que obtenga un punto c) Que obtenga 2 puntos
5) En un naipe ingles se define el experimento sacar una carta quedarse con ella y sacar otra
carta. Calcular la probabilidad de a) Sacar dos ochos b) Sacar dos tréboles c) Sacar dos cartas con letras (A,K,Q,J) d) Sacar dos cartas con el mismo número e) Sacar dos cartas de la misma pinta f) Sacar un As y un “mono” (K, Q, J) g) Sacar una As y un “mono” de la misma pintas
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6) En un curso hay 19 varones de los cuales 4 son zurdos y 16 damas de las cuales 3 son zurdas: Si V es ser Varón, D es ser dama y Z es ser zurdo calcular:
a) P(V) b) P(D) c) P(Z) d) P(Z/D) e) P(Z/V) f) P(D/Z) g) P(V/Z)
h) P(DZ)
i) P(VZ)
7) Los 300 alumnos de bachillerato de una universidad se distribuyen de acuerdo a la siguiente tabla
Si H es ser humanista, C es ser científico V es ser alumno y D es ser alumna, Calcular a) P(C) b) P(H) c) P(V) d) P(D) e) P(H/V) f) P(H/D) g) P(C/V) h) P(C/D) i) P(V/H) j) P(D/H) k) P(V/C) l) P(D/C)
8) Rodrigo está jugando cartas, el debe escoger una de las 52 cartas del naipe inglés; el gana
en la próxima jugada si obtiene un trébol o un rey ¿Cuál es la probabilidad de que Rodrigo gane en la próxima jugada
9) Calcular la probabilidad de obtener dos caras al lanzar dos monedas
10) Un juego consiste en obtener de un naipe ingles dos cartas de la misma pinta ¿Cual es la
probabilidad de gana en este juego?
11) Una urna contiene 10 bolas negras, 7 rojas y 3 blancas. Un experimento consiste en sacar una bola devolverla y sacar otra. Calcular la probabilidad de:
a) Ambas sean negras b) Una sea roja y la otra blanca c) La primera sea negra y la segundo roja d) No se saquen bolas negras e) Ambas sean del mismo color f) Ambas sean de distinto color
13) Resolver el ejercicio anterior si en el experimento no se devuelve la primera bola antes de
sacar la segunda 14) Un juego consiste en acertar 7 números de un total de 15. Para obtener un premio hay que
tener 5 o más puntos 15) Si se lanzan dos monadas al aire ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un sello?.,
Modalidad Alumnos Alumnas Total
Ciencias 95 85 180
Humanidades 50 70 120
Total 145 155 300
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16) Se lanzan dos dados simultáneamente. Calcular la probabilidad de a) Obtener dos números iguales b) obtener 7 c) la suma de los números sea a lo menos 9 d) La suma de los números sea 1 17) En una caja cerrada hay 8 bolitas rojas , 3 blancas y 13 negras calcular la probabilidad de: a) Sacar una bolita blanca b) Sacar una bolita roja c) sacar una blanca y una negra d) Sacar una roja y una negra e) Calcular los dos casos anteriores si la primera bolita se devuelve a la caja antes de sacar la
segunda f) Sacar tres bolitas rojas g) Sacar dos rojas y una negra 18) Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados. 19) Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la “e” aparezca la
primera y la “o” la última? 20) ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas
y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída? 21) Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea
saber: a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra. 22) Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras.
si extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dos negras? 23) Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible
por tres? 24) Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir
cifras en cada número. si se señala un número al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 4? b) ¿Y de que sea múltiplo de 3? 25) Se lanza un dado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga algún 1 en los 6
lanzamientos? 26) Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3 blancas, 5 negras y 4
rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. ¿Qué probabilidad hay de que sean del mismo color?
27) ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar tres torpedos y la
probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %? 28) Se considera el experimento aleatorio “lanzar dos veces un dado”. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? ¿Son dependientes o independientes estos sucesos? ¿Por qué?
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29) A un congreso asisten 80 congresistas. De ellos 70 hablan inglés y 50 francés. Se eligen dos congresistas al azar y se desea saber:
a) ¿Cuál la probabilidad de que se entiendan sin intérprete? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en francés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma? d) Cuál es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas? 30) Se lanza un dado “n” veces ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6 en los “n”
lanzamientos? 31) Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire y se pide: a) La probabilidad de obtener a lo sumo tres sellos. b) La probabilidad de obtener dos caras. 32) La probabilidad de que un hombre viva más de 25 años es de 3/5, la de una mujer es de 2/3.
Se pide: a) La probabilidad de que ambos vivan más de 25 años. b) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años el hombre. c) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años la mujer. d) La probabilidad de que viva más de 25 años, al menos, uno de los dos. 33) Si de una baraja de 40 cartas se eligen 4 al azar, determinar: a) La probabilidad de elegir dos reyes. b) La probabilidad de que tres de las cartas sean del mismo palo (pinta). c) La probabilidad de que todos los números sean menores de siete. 34) De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11
francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno hable francés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hablen castellano? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en castellano? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hablen un idioma? e) ¿Cuál es la probabilidad de que hablen los tres idiomas? 35) Si de 800 piezas fabricadas por una máquina salieron 25 defectuosas y se eligen 5 de aquéllas
al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna defectuosa entre las cinco elegidas?
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GUÍA ALTERNATIVAS: PROBABILIDAD
1) Se sabe que la probabilidad de que Rodrigo acierte un lanzamiento penal es de un 85% ¿Cuál es la probabilidad de que lo falle?
a) 1% b) 5% c) 15% d) 25% e) 85%
2) La probabilidad de que un lanzador de jabalina obtenga más de 60 metros es de un 80%, el ha lanzado 20 veces, entonces se espera que las veces que lanzó más de 60 metros sea alrededor de:
a) 4 veces b) 16 veces c) 20 veces d) 80 veces e) 100 veces
3) Se lanza un dado ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 o un 6?
a) 1 b) 2 c) 2/3 d) 1/6 e) 1/3
4) Se ha lanzado una moneda tres veces y siempre ha salido sello ¿Cuál es la probabilidad que al volver a lanzarla vuelva a salir sello
a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16
5) En una bolsa hay fichas amarillas y rojas, las fichas amarillas son 16 y las rojas 9 ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una ficha de la bolsa, esta sea amarilla
a) 9 b) 16 c) 9/16 d) 16/25 e) 9/25
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Se tiene un dado cargado que ha sido lanzado 100 veces obteniéndose los resultados que aparecen en la siguiente tabla
Nº 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 35 6 8 6 5 40
Basándose en la información proporcionada contestar las preguntas 6 a 12 6) La probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un 2 es:
a) 6 b) 2 c) 6% d) 2% e) 1/6
7) La probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un número mayor que 4 es:
a) 6% b) 51% c) 5% d) 40% e) 45%
8) La probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un 1 o un 6 es:
a) 3/4 b) 35/100 c) 40/100 d) 30/45 e) 75
9) La probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un número par, expresada como decimal es:
a) 52 b) 62% c) 0,52 d) 0,12 e) 0,46
10) La probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un número primo, expresada como tanto por ciento es:
a) 19% b) 20% c) 0,2 d) 54% e) 0,54
11) La probabilidad de que al lanzar el dado no se obtenga 6 es:
a) 40% b) 35% c) 6% d) 60% e) 5/6
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12) Si se acaba de lanzar el dado y se sabe que el número obtenido fue impar ¿Cuál es la probabilidad de que se haya obtenido 3?
a) 8/100 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/2 e) 8/52
En una caja hay 4 fichas rojas, 7 azules, 6 verdes y 3 amarillas contestar, a partir de esta información, las preguntas 13 a 23 13) Calcular la probabilidad que al extraer una ficha de la caja, esta sea roja
a) 4 b) 4/16 c) 4/24 d) 20% e) 25%
14) Calcular la probabilidad que al extraer una ficha de la caja, esta sea azul
a) 7/20 b) 7% c) 7 d) 7/13 e) 7/27
15) Calcular la probabilidad que al extraer una ficha de la caja, esta sea verde
a) 6 b) 6% c) 60% d) 0,6 e) 0,3
16) Calcular la probabilidad que al extraer una ficha de la caja, esta sea amarilla
a) 3/20 b) 4/20 c) 6/20 d) 3/17 e) 3/23
17) Calcular la probabilidad que al extraer una ficha de la caja, esta sea azul o amarilla
a) 50% b) 35% c) 15% d) 75% e) 10
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18) Calcular la probabilidad que al extraer una ficha de la caja, esta no sea verde
a) 0,3 b) 30% c) 60% d) 70% e) 80%
19) Si se extrajo una ficha roja, que se mantiene fuera de la caja; entonces la probabilidad de que al sacar una ficha, esta sea roja es:
a) 4/20 b) 4/19 c) 3/20 d) 3/19 e) 5/21
20) Si se saca una ficha de cada color, entonces la probabilidad de que al sacar una ficha de la caja esta sea amarilla es:
a) 3/19 b) 2/19 c) 1/8 d) 3/16 e) 2/17
21) Se extraen sucesivamente dos fichas, entonces la probabilidad que la primera sea roja y la segunda azul es:
a) 6/95 b) 7% c) 7/95 d) 54/95 e) 11/20
22) Se extrae una ficha, se devuelve a la caja y se extrae otra; entonces la probabilidad de que la primera sea amarilla y la segunda verde es:
a) 27/400 b) 27/380 c) 9/20 d) 9/40 e) 45%
23) Se extraen sucesivamente dos fichas sin devolución, entonces la probabilidad de obtener una roja y una verde es
a) 3/50 b) 6/95 c) 3/25 d) 12/95 e) 1 / 2
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24) Se lanzan 2 monedas al aire, la probabilidad de que una de ellas sea cara y la otra sello es:
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/4
Los alumnos de tercero medio de un colegio se dividen en los electivos de acuerdo a la siguiente tabla Contestar a partir de la información de la tabla las preguntas 25 a 31 25) Se escoge un alumno al azar entre los terceros medios, la probabilidad que sea del tercero B es:
a) 24 b) 26 c) 48% d) 50% e) 52%
26) Se escoge un alumno del plan científico al azar; la probabilidad que sea del tercero A es:
a) 17/24 b) 17/30 c) 17/7 d) 17% e) 34%
27) Se escoge al azar un alumno del tercero B, entonces la probabilidad de que sea humanista es:
a) 7/50 b) 1/2 c) 13/20 d) 7/20 e) 13/50
28) Se escoge un alumno de los terceros medios al azar, entonces la probabilidad que sea humanista y del tercero A es:
a) 7/7 b) 7/20 c) 7/24 d) 7/26 e) 7/50
Curso Cientifico Humanista
3º A 17 7
3º B 13 13
Total 30 20
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29) ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un alumno al azar de los cursos sea humanista dado que es del tercero B?
a) 7/13 b) 1 / 2 c) 13/ 20 d) 2/3 e) 1/3
30) ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un alumno al azar de los cursos sea del tercero A dado que es del científico?
a) 17/30 b) 50% c) 13/30 d) 7/30 e) 34%
31) Si B es el suceso ser tercero B y C es el suceso ser científico calcular la probabilidad P(B/C)
a) 13/50 b) 13/20 c) 13/30 d) 13/26 e) 30/13
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GUÍA: TRAZOS PROPORCIONALES
En las siguientes figuras las rectas l, m, n yp son paralelas se pide encontrar el valor del trazo o incógnitas pedidos a) l y 3 cm y = m 12 cm 15 cm n b) l
6cm
x x= 8cm m n 15cm c) u 15cm u= 12cm 20cm l m n d) u v
u
v
2
3
x x= 12cm
e) l 15cm 12cm v = 8cm v m f) x = x 12cm 10cm n 12cm p g) 21cm u u = m 6cm 7cm n
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i) m 6cm 8cm n w 3cm p j) 12cm m u 6cm 9cm n l) m n p l r q 4cm 6 cm 12cm 9cm r= q= ñ) m 8cm n 8cm u p v Sabiendo que 12/u = 20/5 u= v=
o) m 6cm 7cm n x = x x+2 p p) x-2 x+1 m x+1 n x = x+5 s) u + 1 u + 7 u + 4 u - 1
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GUÍA TALLER PSU IIº MEDIO:TRAZOS PROPORCIONALES
1) El la figura m II n, entonces el valor del trazo a es:
a) 6,666 cm b) 10cm c) 12 cm d) 15 cm e) 21,6 cm
2) Las rectas m, n y p de la figura son paralelas; el valor de x es:
a) 4 cm b) 34 cm c) 42 cm d) 45 cm e) 49 cm
3) En la figuras las rectas AB, CD y EF son verticales; se sabe además que AC = BD y que CE mide 7 cm, entonces podemos calcular la medida de:
a) AB b) CD c) EF d) AC e) DF
4) En la figura EF//CD//AB ; además OA = 8 cm, OB = 9 cm; y CE = 24 cm; entonces se puede
afirmar que
a) AC = 8 cm b) BD = 27 cm c) AB = 9 cm d) DF = 27 cm e) BD = 3 cm
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5) En la figura m // n ; entonces el valor del trazo a es:
a) 6 cm b) 8 cm c) 12 cm d) 15 cm e) 18 cm
6) En la figura se ven tres líneas verticales; se sabe que a = 24 cm; b = 20 cm c = 8cm y d = 30 cm; entonces el valor de f es:
a) 5,333 cm b) 6,66 cm c) 8 cm d) 9,6 cm e) 10 cm
7) En la figura BD//AC ; además AB = 56 cm, EB = 24 cm y CE = 28 cm; entonces ED =?
a) 18 cm b) 21 cm c) 37,333 cm d) 49 cm e) 74,666 cm
8) En la figura GH//EF//CD//AB ; Se sabe que BD = 4 cm; DF = 12cm, FH = 6 cm y CE = 9
cm, entonces se afirma que :
I) AC = 3 cm II) CG = 12 cm III) EG = 4,5 cm
De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) II y III
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9) En la figura EF//CD//AB ; EO = 24 cm; AC = 8 cm y BD = 10 cm; entonces es falso que:
a) Si OA = 10 cm entonces OB = 12,5 cm b) Si CE = 6 cm entonces DF = 7,5 cm c) OF = 30 cm d) Si CE = 3 cm entonces DF = 4 cm e) Si AE = 16 cm entonces BF = 20 cm
10) En la figura las rectas m // n // p, además AB = 15 cm, AO = 21 cm AC = 25 cm y EO = 4 cm; a partir del enunciado se afirma que :
I) DE = 10 cm II) OF = 6 cm III) DF = 19 cm
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II yIII e) I. II y III
11) En la figura si AD = 20 cm, AC = 6 cm. y ED = 18 cm., entonces DB =?
a) 5,4 cm b) 9 cm c) 11 cm d) 12 cm e) 12,6 cm
58°
C D A
B
E
58°
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En la figura las rectas L1 y L2 son paralelas , determinando los segmentos a, b, c, d, e, f, y g sobre
las rectas L3, L4 y OP ; a partir de la información dada y de la figura contestar las preguntas de la
20 a la 25 12) Si se sabe que c : d : e = 10 : 5 : 6 y además b = 15 cm; entonces el valor de a es:
a) 7,5 cm b) 9 cm c) 15 cm d) 18 cm e) 30 cm
13) Si c : d : e = 7 : 4 : 6 entonces es falso que:
a) a : b = 7 : 4 b) f : g = 3 : 2 c) b : a = 7 : 4 d) c : e = 7 : 6 e) e : d = 6 : 4
14) La única de las siguientes afirmaciones que es falsa es:
a) a : b = c : d b) d :e = f : g c) a : c = b : d d) e : f = d : g e) d : b = c : a
15) Se sabe que a = 15 cm, b = 12 cm y d = 10 cm; entonces es posible calcular el valor de:
a) c b) e c) f d) g e) OP
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16) Si se sabe que b = d = g = 18 cm y que a = 24 cm, con respecto a la situación se afirma que:
I) c = 24 cm II) f = 18 cm III) c : d = 4 : 3
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I b) Sólo II c) I y III d) II y III e) I, II y III
17) Si a : b = 4 : 3; d : e = 3 : 4, c = 8 cm entonces el valor de OP es:
a) No se puede calcular b) 22 cm c) 20 cm d) 8 cm e) 6 cm
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GUÍA: APLICACIÓN DE LA SEMEJANZA
En las siguientes figuras las rectas m, n y p son paralelas, se pide encontrar el valor del trazo o incógnitas pedidos
1) En la figura ABC DEF; si AB =12cm, BC = 16cm, EF =6cm y FD =9cm. Se pide encontrar la medida de AC y DE
C F A B D E 2) En la figura AC =36cm y RQ =5 cm; además PQ:BC = 1:3 se pide encontrar AB, BC, PR y PQ C P R
Q
A B
3) En la figura AB║CD OC = 4m, AC= 10m,
CD = 6m ¿Cuánto mide AB? O C D A B
4) m 15m n x x = 12m 45m 5) 4,2m 3,8m u 3,5m 4,9m m n u = 6) Los triángulos de la figura son semejantes;
y m║n encontrar x
6cm m 8cm 9cm n x 7) 12cm x 20cm 8cm 3cm 9cm m n p x =
24
8) 5m x = 24m 4m x m n ___ ___
9) En la figura AB ║DE ; AB = 3x – 7,
CE=6cm, EB=15cm y DE=x; se pide encontrar x
C E B D A 10) En la figura el segmento que mide 2cm
es paralelo al que mide 8cm, entonces ¿Cuánto vale u?
u 8cm 3cm 2cm 11) En la figura los segmentos que miden 20 y 24 cm son paralelos ¿Cuánto mide y? y 20cm 3cm 24cm
___ ___
12) En la figura DF ║BC ; AF = 15m, AD
= 18m, BD = 6m, DF = x -3, BC = x +3; encontrar la medida de DF, BC y AC.
A F C D B 13) En la figura los segmentos que miden 18
y 24 metros son paralelos ¿Cuánto mide u?
u 18m 5m 24m
14) En la figura AB ║CD ║ EF; además
DC=12m, OD=20m, OA=12m, OB=15m y CF=4m. Se pide calcular la medida de EF, OC y DE
A B O D C E F
25
GUÍA EJERCICIOS: SEMEJANZA 1) Dos rectángulos son semejantes de modo que el perímetro del rectángulo mayor es 36 cm y el perímetro del rectángulo menor es 12cm; si se sabe que el ancho del rectángulo menor es 2 cm; entonces el largo del rectángulo mayor es:
a) 4 cm b) 6cm c) 8cm d) 10 cm e) 12 cm
2) El mayor de dos triángulos semejantes tiene un perímetro de 20 metros y el menor de ellos tiene un perímetro de 40 centímetros; entonces la razón entre los lados homólogos del triángulo mayor y el triángulo menor es:
a) 50:1 b) 1:50 c) 2:1 d) 1:2 e) 500:1
3) Los triángulos de la figura son semejantes, con respecto a ella se afirma que:
I) DE
AB
DF
AC
II) DE
AB
CB
FE
III) CB
CA
FE
DF
De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I b) I y II c) II y III d) I y III e) I, II y III
4) En la figura AB//DE , si se sabe que AC = 28 cm. AD = 12 cm y AB = 35 cm, entonces DE=?
a) 15 cm b) 16 cm c) 18 cm d) 20 cm e) No se puede calcular
26
5) La razón entre los radios de dos círculos es 5:2: entonces la razón entre sus perímetros es:
a) 5:2 b) 10:2 c) 25:4 d) 100:4 e) 2:5
6) De las siguientes afirmaciones: I) Todos los cuadrados son semejantes entre sí II) Todos los círculos son semejantes entre sí III) Todos lor rectángulos son semejantes entre sí Son verdaderas
a) Sólo I b) Sólo III c) I y II d) II y III e) Todas
7) Dos triángulos son semejantes de modo que la razón entre sus lados correspondientes es 3:2; entonces si el lado mayor del triángulo mayor mide 18 cm, el lado menor del triángulo menor
a) Mide 6 cm b) Mide 12 cm c) Mide 18 cm d) Mide 27 cm e) No se puede calcular
8) Los lados de dos cuadrados están en la razón 7:3; entonces sus áreas están en la razón
a) 7: 3 b) 14: 6 c) 14:3 d) 49 : 3 e) 49: 9
9) En el triángulo ABC de la figura AB//PM . Si PM = 10, AB = 15 y CT = 12, entonces ¿En cuál de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de x?
a) 12
x12
15
10
b) x
x12
15
10
c) 12
12x
15
10
d) x12
12
15
10
e) x
12
15
10
27
10) En la figura DE//AB , además se sabe que AB = 12 cm, AC : CE = 4:3, entonces la medida de DE es:
a) 9 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 20 cm e) No se puede calcular
11) Con respecto a la figura se realizan las siguientes afirmaciones
I) ABE AFD
II) FEC BDC
III) CFE ABE De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III
12) En la figura CD//AB , si CD mide el doble que AB, entonces se afirma que:
I) Los triángulos OAB y OCD son rectángulos II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes
III) AC = 2 OA De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III
13) Considera los siguientes trazos y sus medidas De ellos, Estan divididos interiormente en la razón 2: 3
a) Sólo III b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III
28
14). ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?
a) Que tienen igual área. b) Que tienen igual perímetro. c) Que sus lados son proporcionales. d) Que sus tres lados respectivos coinciden e) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno.
15). Una niña que mide 1 m proyecta una sombra de 2 m de largo. Si a esa misma hora y en ese mismo lugar, un árbol proyecta una sombra de 8 m de largo, ¿cuál es la altura del árbol?
a) 2 m b) 3 m c) 4 m d) 8 m e) 16 m
16). De acuerdo con la figura 6 Pedro realiza las siguientes afirmaciones
I) ∆ ACD ∆ CBE
II) ∆ BEC ∆ AEB
III) ∆ ACD ∆ CAB De las afirmaciones de Pedro, son falsas
a) Ninguna b) Sólo I c) Sólo II d) Sólo III e) II y III
17) Con respecto a la figura se realizan las siguientes afirmaciones C : I) DE ║ AB
II) ABC ~DEC 12m 15m III) DE:AB = 12:4 De las afirmaciones son verdaderas: D E a) Sólo I 4m 5m b) Sólo II c) I y II A B d) II y III e) I, II y III
29
18) Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son)
semejante(s)?
CAByACD)III
AEByBEC)II
BCEyACD)I
A) Sólo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
19) En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes
I) ABE AFD
II) FEC BDC
III) CFE ABE
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
20) ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos son semejantes entre si
21) En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una altura de 1
metro, y las sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros,
respectivamente, ¿cuál es la altura del poste?
A) 3,5 metros
B) 7,1 metros
C) 14 metros
D) 35 metros
E) No se puede determinar
30
22)
31
GUÍA: CONSTRUCCIONES
I) Dividir los siguientes segmentos en la cantidad de partes iguales que se indican utilizando el teorema de Thales En 4 partes En 5 partes En 3 partes En 6 partes
32
II) Dividir los siguientes segmentos en las razones indicadas Interiormente en la razón 2:3 Interiormente en la razón 4:1 Exteriormente en la razón 2:5 Exteriormente en la razón 5:3
33
HOMOTECIA
I) A partir del centro de homotecia O y de la razón dada construir figuras nomotéticas a la dadas
1) O Razón 5:2
2) O Razón 1: 3
3) O Razón 1:1
4) O Razón 2:3
34
II) Determinar los centros de homotecia que existen entre las siguientes parejas de figuras nomotéticas 1) 2) 3) 4) III) Resolver los siguientes problemas 1) Trazar una recta por un punto que sea convergente con otras dos que se cortan fuera de los límites del dibujo 2) Inscribir un cuadrado en un triángulo de modo que uno de los lados del cuadrado coincida con un lado del triángulo y los dos restantes vértices del cuadrado queden sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo
35
ALTERNATIVAS
01)
02) En la figura adjunta, al triángulo ABC se le ha aplicado una homotecia obteniéndose el triángulo PQR. Determine la razón de homotecia considerando que OC mide 6 y OQ mide 2.
a) 1/3 b)-2/1 c)-1/3 d)2/1 c)3/1
36
03)
En la figura se presentan dos homotecias de centro
O con respecto al cuadrilatero ABCD, la razón
OP:OA = 3:2 y la razón OE:OA es 1:2, entonces si
AB = 10 cm ¿cuánto es EF+PQ?
a) 15 cm
b) 5 cm
c) 20 cm
d) 25 cm
e) Ninguna de las anteriores
04)
37
05)
38
GUÍA DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
I) Calcular la medida en cm. de los siguientes arcos (considerar = 3,14)
1) El arco mide 30º y el radio 8 cm. 2) El arco mide 135º y el radio 5 cm. 3) El arco mide 45º y el radio 6 cm. 4) El arco mide 240º y el radio 10 cm. 5) El arco mide 63º y el radio 2 cm. II) Calcular la medida de los ángulos pedidos en cada una de las siguientes figuras, en cada una de ellas O es el centro de la circunferencia. 1) 2) 3) 4) 5) 6)
39
7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)
40
15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22)
41
23) 24) 25) 26) 27) 28)
42
29) 30) 40).- Encuentra el valor de x e y en las siguientes figuras:
43
h) Según lo que observamos en la figura, si PB es tangente, ¿cuánto mide el ángulo ?
i) j) k)
44
AP BP
III) Realiza las siguientes demostraciones
1).- En la figura DCAD .¿Cómo puedes probar que BD es bisectriz?
2) .- En la figura ABCD es un cuadrado y son tangentes. Comprueba que el triángulo APB es un triángulo rectángulo.
3) En la figura PDPB . Verifica desarrollando la demostración que CDAB
45
GUÍA ALTERNATIVAS: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1) En la figura, la recta BD es tangente a la circunferencia de centro O en el punto B. De las siguientes afirmaciones
I) AO OC
II) DBO = 90º
III) AOC = 90º Son verdaderas
A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) II y III
2) TC tangente; BOA = 30º; el TCB
mide:
A) 60º B) 30º C) 90º D) 75º E) 15º
3) Si y = 114º, entonces el ángulo x mide:
A) 114º B) 57º C) 228º D) 66º E) 24º
yx
A
BC
D
O
A
B
C
T
O
46
4) En la figura, C + D + E = 57º;
AOB= A) 19º B) 57º C) 38º D) 90º E) 180º
5) En la figura, la recta PB es tangente a la
circunferencia en el punto B, y el ABP = 84º¿Cuánto mide el arco ACB?
A) 96º B) 84º C) 192º D) 276º E) 180º
6) Si ABC mide 32º, ¿cuánto mide el
CAB?
A) 58º B) 32º C) 64º D) 90º E) No se puede calcular
C
A
B
D
E
O
A
B
C
P
84º
A B
C
O
47
7) Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en la circunferencia ¿Cuánto mide el ángulo δ si el ángulo γ mide 36º?
A) 18º B) 36º C) 54º D) 72º E) 144º
8) ABCD es un cuadrilátero inscrito en la
circunferencia, ABC = 85º, FAD=100º.
Entonces la medida del ADE es:
A) 25º B) 42,5º C) 95º D) 85º E) 77,5º
9) La figura muestra un trapecio de bases
AB yCD inscrito en una circunferencia.
Entonces z + y - x =
A) 80º B) 100º C) 180º D) 200º E) 260º
10) Si la medida del arco AB es 80º y la medida del arco CD es 120º, ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 20º B) 100º C) 40º D) 160º E) 200º
A B
C
DE
F
O
A B
CD
100º
x y
z
A
B
C
D
x
48
11) En la figura, α = 26º, entonces el arco
EA mide:
A) 16º B) 31º C) 52º D) 62º E) 88º
12) En la figura, calcular la medida del arco BD, si la medida del arco DA es 240º y la medida del ángulo β es 35º
A) 155º B) 170º C) 102,5º D) 137,5º E) 120º
13) En la figura, AB y BC tangentes a la
circunferencia, entonces “y” mide:
A) 110º B) 100º C) 70º D) 50º E) 140º
AB
C
D
O
E
36º
AB
CO
D
A
B
C
xy 70º
49
14) Si TA es tangente a la circunferencia
de centro O y la longitud de la cuerda AB es igual al radio, entonces el ángulo x mide:
A) 20º B) 30º C) 45º D) 60º E) 90º
15) El arco AB es una semicircunferencia
de radio OB , en que ABCD // .
Si ACD = 20º, entonces ABC mide:
A) 20º B) 50º C) 60º D) 70º E) 90º
16) En la circunferencia de centro O,
COB = 80º y DAF = 30º, entonces el x mide:
A) 10º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º
17) De acuerdo con los datos de la figura,
α es:
A) 85º B) 42,5º C) 170º D) 95º E) Falta información
40º
45º
A
B
CO
xA B
T
O
O
A
B
C
D
E
F
x
A B
C
O
D
50
18) Encontrar α si O es centro de la
circunferencia yCAB = β
A) β
B) 2 β
C) β - 90º
D) 2
E) 90º - β
19) AC y BE son diámetros de la
circunferencia de centro O.
Si AOB = 2 BOC, entonces el BDC mide:
A) 30º B) 45º C) 60º D) 120º E) 130º
OA B
C
AB
C
D
E
O
51
GUÍA DE ¨PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Determina el valor de x en cada uno de los casos:
a) b) c) d) e) f) g) h)
10
52
i) j)
k) l)
m) n) PA = PC =
2x
6
4x + 2
P
O
A
B
C
D
53
o) p) q) r).- En la figura, PA es tangente al círculo y AB es diámetro. Si PC = 7,2 cm. y BC = 13,8 cm. ¿cuánto mide el radio del círculo?
54
GUÍA ALTERNATIVAS: PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
1) En la circunferencia de la figura el valor del trazo a es:
a) 11 cm b) 10 cm c) 9 cm d) 8 cm e) Otro valor
2) En la figura el valor de x es:
a) 3 cm b) 20/3 cm c) 9,6 cm d) 15 cm e) Otro valor
3) El valor del trazo y en la figura es:
a) 1,5 cm b) 5 cm c) 20/3 cm d) 15 cm e) Otro valor
4) El valor de u en la figura es:
a) 100 cm b) 50 cm c) 10 cm d) Otro valor e) No se puede determinar
5) En la figura AP= 16 cm AB = 22 cm, PD =8cm, entonces CD =?
a) 88/3 cm b) 64/3 cm c) 12 cm d) 16,5 cm e) 20 cm
12 cm
a
6 cm
5 cm
12 cm x
8 cm 10 cm
15 cm
y 10 cm
5 cm
u 20 cm
C
D
B
A
P
55
6) Calcular el valor de x a partir de la información obtenida de la figura
a) 3 b) 6 c) 9 d) 15 e) Otro valor
7) En la figura PA = 8 cm., PB = 21 cm., PC = 6 cm., entonces el valor de CD es:
a) 16/7 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 22 cm. e) 28 cm
8) En la circunferencia de la figura calcular al valor de x es:
a) -2,1 b) 2,1 c) 6 d) 12 e) 15
9) En la circunferencia de la figura, de diámetro 15 cm. el punto O es el centro de la circunferencia y PC =3 cm. , entonces el valor del trazo a es:
a) 3 cm b) 9 cm c) 18 cm d) 40,5 cm e) No se puede determinar
10) El valor de x en la circunferencia de la figura es:
a) 125 cm.
b) 12,5 cm. c) 10 cm. d) 100 cm. e) No se puede determinar
x + 1
x + 3 3x
3x – 3
P
A
B
D C
2x+3 2x – 7
2x+1 2x
P
C
O
a
5 cm.
20 cm.
x
x
56
11) En la circunferencia de centro O de la figura, PA = 36 cm. y la tangente mide 24 cm. Entonces el radio de la circunferencia mide:
a) 8 cm. b) 10 cm. c) 16 cm. d) 20 cm e) Otro valor
12) En una circunferencia la potencia de un punto P ubicado en su interior es 60. Una cuerda de extremos A y B contiene al punto P entonces se afirma que:
I) Si P es el punto medio de la cuerda entonces PA = 30 cm. II) Si PA = 6 cm y la cuerda contiene al centro de la circunferencia, entonces el radio de
ésta es 8 cm. III) Si PA = 12 cm. entonces PB = 5 cm
De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) I, II y III
13) En una circunferencia la potencia de un punto P exterior a ella es 144. PT es una tangente a ella y A y B son los puntos donde una secante que parte del punto P corta a la circunferencia, con respecto a la situación se afirma que:
I) La medida de la tangente PT es 72 cm. II) Si PA = 8 cm entonces AB = 10 cm III) Si PB = 24 cm. Entonces PA = 6 cm
De las afirmaciones son verdaderas:
a) sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III
14) En una circunferencia se tiene una cuerda AB que contiene en su interior a un punto P de modo que PA = 12 cm. y PB = 3 cm. con respecto a otra cuerda CD que también contiene al punto P se afirma
I) Si P es el punto medio de dicha cuerda entonces CD = 12 cm. II) Si CP = 4 cm. entonces CD = 9 cm. III) Si DP = 8 cm entonces PC = 12,5 cm
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) I, II y III
O
A
P
57
GUÍA: ESTADÍSTICA I) Calcular manualmente rango, varianza y desviación típica en cada una de las siguientes situaciones 1) Las notas de Mauricio en estadística son: 7 5 4 7 7 2) Las edades de los jóvenes de un patrulla scout son: 12 13 15 14 15 15 3) Las calificaciones de Horacio en historia son 7 7 7 7 4) La cantida de hermanos de los jugadores de un equipo de basquetbol son: 2 2 1
0 1 II) Calcular, usando calculadora rango, varianza y desviación típica en cada una de las siguientes situaciones 1) El profesor jefe de un curso obtuvo en un test de razonamiento abstracto para 20 alumnos los siguientes puntajes: 16;22;21;20;23; 22; 17; 15; 13; 22; 17; 18; 20; 17; 22; 16; 23;21; 22; 18 .
2) .Los datos corresponden al total de días que estuvieron fuera de la cuidad los alumnos de los terceros medios de un colegio durante el verano 7 20 15 12 8 10 7 14 13 9 12 19 20 13 8 7 10 12 15 18 18 16 7 8 9 12 14 15 9 12 13 10 10 7 9 13 14 16 17 19 20 18 12 14 16 16 7 10 10 15
3)- Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes datos:
175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180 169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173
4) Las masas (gramos)de los peces extraídos por los pescadores de un bota son: 804 937 734 847 901 882 756 1.045 882 756 905 811 887 935 872 791 705 993 760 965 976 884 743 883 900 821 776 926 III) Explicar el significado que tiene el valor obtenido para la desviación típica en cada uno de los casos calculados en los ejercicios I y II
58
IV) Compara las características de los siguientes conjuntos de datos a partir de las medidas de tendencia central y los indicadores de dispersión 1) En un diagnóstico de educación física se pidió a los alumnos de los cuartos medios que hicieran abdominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados: 4º A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54 33 45 44 41 34 36 34 54 4º B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42 49 40 37 34 44 41 43
2) El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la próxima competencia de estilo libre. Según los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las cinco últimas carreras de 100 m de estilo libre, ¿qué nadador le conviene elegir?
Diego 61,7 61,7 62,3 62,9 63,1
Tomás 61,5 62,9 62,9 63,7 63,7
Sergio 60,7 62,4 62,7 62,7 63,2
3) La tabla que se presenta a continuación corresponden a los resultados de la PSU y las notas del colegio de un grupo de alumnos de un cuarto medio
Alumno Notas Lenguaje Notas
Matemática PSU Lenguaje PSU Matemática
Pedro 67 62 710 665
Luis 44 45 550 588
Catalina 41 45 540 504
Andrea 48 61 488 603
Ignacia 55 54 596 596
Juan 47 56 588 600
Diego 68 61 688 688
Alberto 66 66 696 725
José 54 68 710 785
Natalia 58 42 608 504
Jorge 61 55 685 558
Alejandra 47 57 603 712
Carlos 55 59 632 644
Felipe 56 63 688 684
Fernando 68 68 725 744
Loreto 64 49 712 592
Magdalena 67 64 805 720
Danilo 59 68 670 785
Elisa 64 68 780 785
Simón 63 69 705 785
Sandra 68 56 720 596
Humberto 49 67 488 770
Milton 53 68 550 770
Rogelio 40 44 455 500
Romina 44 41 501 504
59
V) Calcular las medias y desviaciones típicas de las muestras y poblaciones de acuerdo a las indicaciones dadas. 1) Las estaturas de los 5 jugadores titulares del equipo de básquetbol de un colegio son 168, 191,184, 179 y 188
f) Calcular la media y la desviación típica de los 5 jugadores g) Calcular la media de todas las muestras de dos jugadores distintos y luego calcular la
media de esas medias y la desviación típica correspondiente h) Calcular la media y la desviación típica de todas las muestras de 3 jugadores distintos
2) Las calificaciones de Daniel en los controles de estadística fueron: 4,7,5,6,7,7.
a) Calcular la media y la varianza poblacional b) Considerar todas las muestras tamaño 2 y calcular sus medias y luego la media de
esas medias c) Considerar todas las muestras de tamaño 3 de esa población y calcular sus medias y
sus varianzas, luego calcular la media de las medias y la media de las varianzas 3) Los números que aparecen a continuación corresponden a la cantidad de días que salieron los alumnos de los terceros medios, fuera de la ciudad durante las vacaciones de verano. 12 15 6 36 52 30 12 14 5 24 30 42 7 10 12 18 4 0 16 21 28 30 1 10 12 2 17 3 8 6 48 0 12 22 15 1 10 15 3 18 16 44 3 12 10 12 0 12 10 12 30 15 5
a) Calcular la media y la desviación típica de la población b) Considerar 10 muestras tamaño 3 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de las
medias y las medias de las desviaciones c) Considerar 10 muestras tamaño 5 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de las
medias y las medias de las desviaciones d) Considerar 10 muestras tamaño 10 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de
las medias y las medias de las desviaciones 4) Los números que aparecen a continuación son los puntajes de los alumnos de un segundo medio en la prueba PCA: 315 208 203 198 300 250 254 344 225 256 304 301 288 267 213 276 267 291 234 324 275 288 283 299 303 222 249 253 261 285 331 337 196 294 286 312 350 244 235 274 287 279 304 204 312 309 237 283 202 317 338 344 302 307 256 225 301 288 302 296 205 345 288 296 248 335 296 265 285 305 226 305
a) Calcular la media y la desviación típica de la población b) Considerar 10 muestras tamaño 5 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de las
medias y las medias de las desviaciones c) Considerar 10 muestras tamaño 10 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de
las medias y las medias de las desviaciones d) Considerar 10 muestras tamaño 15 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de
las medias y las medias de las desviaciones e) Considerar 10 muestras tamaño 20 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de
las medias y las medias de las desviaciones
60
ALTERNATIVAS
01
Si las edades de ocho personas se suman y se dividen por ocho, ¿qué indicador
estadístico se obtiene?
A) La moda
B) La media aritmética (o promedio)
C) La mediana
D) El rango
E) La desviación estándar 02
El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302?
A) 78
B) 68 C) 62
D) 58 E) 72 03
Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control se
pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso del niño
al que le perdieron la ficha?
A) 39 kg
B) 29 kg
C) 21 kg
D) 20 kg
E) 19 kg
04
Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados que se indican en
la tabla adjunta. ¿Cuál es el promedio total de la prueba?
A) 4,25
B) 5,00
C) 5,16
D) 5,25
E) 5,50
61
05
Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos, con 20
estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota promedio
fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de ambos
cursos es:
A) 5,7
B) 5,6
C) 5,5
D) 5,4
E) 5,3
06
Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5.
II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia.
III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
08
En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades:
Edad Frecuencia
1E 1N
2E 2N
3E 3N
4E 4N
¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de
esta muestra?
4
NNNN)E
4
ENENENEN)D
NNNN
ENENENEN)C
NNNN
EEEE)B
4
EEEE)A
4321
44332211
4321
44332211
4321
4321
4321
62
08
09
Los datos p, q y r tienen una desviación estándar σ. Si cada uno de los datos se
multiplica por la media aritmética, entonces la nueva desviación estándar será
10
¿En qué empresa los sueldos de los empleados son más homogéneos?