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CSE-MME
Revisão de Métodos Matemáticos
para Engenharia
Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE
Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais
Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE
Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais
10.02.2012 L.F.Perondi
10.02.2012
3.1 – Vetores
3.2 – Sistemas de coordenadas
3.3 – Campos escalares e vetoriais
3.4 – Gradiente, rotacional e divergente
3.5 – Teoremas de Stokes e Green
3 – Cálculo Vetorial
Sumário
10.02.2012
3.1 – Conceitos e definições
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.1.1 – Vetores
- Elementos que requerem para sua
especificação a definição de uma grandeza e de
uma direção.
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
θ
Representação
forma polar
módulo
direção
3.1 – Conceitos e definições
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.1.2 – Operações com vetores
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.1 – Conceitos e definições
produto escalar
O produto escalar
entre dois vetores é
igual ao produto dos
módulos dos vetores e
o cosseno do ângulo
ente os eles.
produto vetorial
adição
subtração
multiplicação por
escalar
3.1.2 – Operações com vetores
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.1 – Conceitos e definições
3.1.2 – Operações com vetores
Representação geométrica
O módulo do
produto vetorial
entre dois vetores
é igual à área do
paralelograma
definido pelos dois
vetores.
O produto escalar
entre dois vetores
relaciona-se com a
projeção de um
vetor na direção
do outro.
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.2 – Sistemas de coordenadas
3.2.1 – Curvas em 3D
- Uma curva no espaço 3D pode ser
representada por um vetor
,
onde t é um parâmetro (escalar).
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.2.1 – Curvas em 3D
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.2.1 – Curvas em 3D
Comprimento de uma curva
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.2.1 – Curvas em 3D
Comprimento de uma curva
Ex.:
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.2.1 – Curvas em 3D
Comprimento de uma curva
Ex.:
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.2.1 – Curvas em 3D
Vetor tangente
reta tangente
vetor tangente
velocidade
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.2.1 – Curvas em 3D
Vetor normal
reta tangente
vetor tangente
velocidade
Vetor unitário normal à curva no plano da
curva
Vetor unitário normal à curva e ao plano
da curva
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.3 – Campos escalares e vetoriais
3.3.1 – Definições
Campo escalar
- f(x,y,z) – função definida em um dado domínio,
representando uma dada quantidade física.
Ex.: distribuição de temperatura em um corpo
sólido, a densidade de um meio não-homogêneo,
a pressão em um fluído, o potencial eletrostático
em um dado meio, e outros.
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CSE-MME Cálculo Vetorial
3.3.1 – Definições
Campo vetorial
- – vetor definido em um dado domínio,
representando uma dada quantidade física.
Ex.: distribuição de velocidade em um fluído, os
campos elétrico e magnético em um dado meio,
entre outros.
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
3.4 – Gradiente, rotacional e divergente
Gradiente
Campo vetorial derivado de um campo escalar
f(x,y,z) , definido por:
O vetor é perpendicular às superfícies
:
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CSE-MME Cálculo Vetorial
Gradiente
-A integral de ao longo de um caminho
fechado é sempre zero:
- Se em um dado domínio, então
neste domínio.
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CSE-MME Cálculo Vetorial
Divergente
Sejam:
Jν fluxo de massa de um fluído na direção ν
(massa/área tempo);
ρ densidade do fluído (massa / volume;
Q fonte por unidade de volume e tempo para o fluído
(massa / volume tempo).
Equação da continuidade.
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Rotacional
Sejam:
campo vetorial;
vetor rotacional do campo ;
componente do rotacional perpendicular ao
plano da curva C.
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CSE-MME Cálculo Vetorial
Rotacional
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
Rotacional
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
Rotacional
10.02.2012
CSE-MME Cálculo Vetorial
Stokes
3.5 – Teoremas de Stokes e Gauss
Gauss
A integral de um campo sobre uma curva fechada
S é igual à integral do rotacional deste campo
sobre qualquer superfície A limitada por S. Na
expressão ao lado, representa um elemento de
área da superfície A.
A integral de um campo sobre uma superfície
fechada A é igual à integral do divergente deste
campo no volume V limitado por A.