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SOBRE EL BUEN PLANTEAMIENTO DE LAECUACIÓN DE
HASEGAWA-MIMA-CHARNEY-OBUKHOV
JOHN FERNANDO BOLAÑOS MÉNDEZCódigo:830324
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASBOGOTÁ, D.C., 2010
SOBRE EL BUEN PLANTEAMIENTO DE LAECUACIÓN DE
HASEGAWA-MIMA-CHARNEY-OBUKHOV
JOHN FERNANDO BOLAÑOS MÉNDEZ
Código:830324
TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR EL TITULO DE
MAGISTER EN CIENCIAS MATEMÁTICAS
DIRIGIDO POR:
GUILLERMO RODRÍGUEZ BLANCO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASBOGOTÁ, D.C., 2010
TITULO EN ESPAÑOL:SOBRE EL BUEN PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN DEHASEGAWA-MIMA-CHARNEY-OBUKHOV
TITULO EN INGLES:THE WELL-POSEDNESS OF THE HASEGAWA-MIMA-CHARNEY-OBUKHOV EQUATION
RESUMEN EN ESPAÑOL:En este trabajo tratamos el buen planteamiento en los espacios de SobolevHs(R2) del problema de valor inicial asociado a la ecuación de Hasegawa-Mima-Charney-Obukhov (HMCO), usando el método de regularizaciónparabólica.
RESUMEN EN INGLES:In this work we treat the well-posedness in the Sobolev spaces Hs(R2) of theinitial value problem associated with the Hasegawa-Mima-Charney-Obukhovequation (HMCO), using the method of parabolic regularization.
DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVES EN ESPAÑOL:Problema de valor inicial, buen planteamiento, espacios de Sobolev, regular-ización parabólica.
DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVES EN INGLES:Initial value problem, well-posedness, Sobolev spaces, parabolic regulariza-tion.
FIRMA DEL DIRECTOR:
Nombre completo del autor y año de nacimiento:JOHN FERNANDO BOLAÑOS MENDEZ (1982)
Dedicado a:
David Santiago
Agradecimientos:
A Dios por bendecirme continuamente en cada paso que doy, agradezco amis padres Alirio Bolaños e Isabel Méndez por el innito apoyo que me handado para el cumplimiento de mis sueños y metas. A mi director GuillermoRodríguez por las enseñanzas y asesorías que llevaron a la realización de estetrabajo. A mis hermanos y amigos por motivarme a seguir creciendo a cadamomento. Gracias a la Universidad Nacional que me dio la oportunidad dehacer la maestría brindándome su apoyo económico.
Índice general
Introducción I
Notaciones III
1. Preliminares 1
1.1. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Otros resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Problema Regularizado 9
2.1. Buen Planteamiento Local de la ecuación regularizada . . . . . 162.2. Buen Planteamiento Global de la ecuación regularizada . . . . 26
3. Ecuación HMCO 33
3.1. Unicidad de la ecuación HMCO . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Existencia de la ecuación HMCO . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Bibliografía 45
Introducción
El propósito de este trabajo es tratar el buen planteamiento de la ecuación
(∆u− Fu)t + J(u,∆u) + βu0x = 0, (1)
conocida como la ecuación de Hasegawa-Mima-Charney-Obukhov (HMCO).Mas precisamente se estudiará la ecuación (1) con F = 1 y β = 0 en losespacios de Sobolev Hs(R2) asociando la ecuación (1) a un problema devalor inicial:
ut = (I −∆)−1J(u,∆u) (HMCO)
u(x, y, 0) = ϕ(x, y),
donde ∆ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2, J es el Jacobiano J(u, v) = uxvy − uyvx y
ϕ(x, y) ∈ Hs(R2).
Esta ecuación es de gran interés en la teoría del plasma y geofísica dondedenen los siguientes parámetros: L es una caracterización de la longitudhorizontal esta depende de la velocidad horizontal y la profundidad (D),δ = D/L Radio espectral, R =
√gD/f radio de deformación de Rossby,
donde f es el parámetro de Coliolis y g denota la amplitud de la gravedad,F = (L/R)2 Numero de Froude, se obtiene la ecuación
(∆u0 − Fu0)t + J(u0,∆u0) + J(u0, uB + βy) = 0
donde u0 es la amplitud de la perturbación, uB es la ecuación de la parteinferior, en este contexto u0 es una función de onda del campo de velocidades.Por otra parte en aras de la simplicidad la teoría de plasma considera unfondo plano es decir uB = 0, luego la ecuación al modelo es la Ecuación DeHasegawa-Mima-Charney-Obukhov (1). En [1] se encuentran detalles sobre la
I
derivación formal, existen otros modelos de este tipo, por ejemplo la ecuaciónde Flierl - Petviashvili (véase [2]):
(∆u0 − u0)t + u0x + u0u0x + J(u0,∆u0) = 0 (2)
con una no linealidad del tipo KdV.
La ecuación HMCO fue derivada por Hasegawa y Mima (véase [3]) y paramas detalles sobre la derivación formal de estos modelos en la teoría deplasma ver [4]. Un hecho muy importante es la existencia de solucionesde ondas solitarias de HMCO pero la existencia y la clasicación de otrasondas solitarias y su estabilidad matemática son todavía problemas abiertos,aunque Flierl y Petviashvili han encontrado soluciones de (2) (ver [6]) conexperimentos numéricos. Desde un punto de vista matemático Piterbargdemostró en ([7]) la no integrabilidad de la ecuación (HMCO) utilizando laestructura de Hamiltoniano.
Lionel Paumond trabajo la ecuación HCMO obteniendo el buen planteamien-to en Hs(R2) para s ≥ 4 ver ([5]), este trabajo mejora el resultado obteniedoel buen planteamiento para s > 2.Como la ecuación HMCO esta perdiendo dos derivadas en la parte no linealse abordara el problema utilizando el método de regularización parabólicaagregando el termino µ∆u, µ ≥ 0, obtenemos el problema de valor inicialregularizado:
ut = µ∆u+ (I −∆)−1J(u,∆u) (HMCO-R)
u(x, y, 0) = ϕ(x, y).
Este trabajo esta organizado de la siguiente manera; el primer capítulo con-tiene la notación necesaria, deniciones y resultados básicos de espacios deSobolev Hs(Rn). En el segundo capítulo abordaremos el problema regulariza-do (HMCO-R) obteniendo el buen planteamiento global para µ > 0 usandoel teorema del punto jo de Banach y algunas estimativas a priori, nalmenteen el ultimo capítulo examinamos la ecuación HMCO haciendo µ→ 0+.
II
Notaciones
1. C∞(Rn) es el espacio de funciones denidas en Rn a valor real continuasque tienden a cero en innito.
2. C∞(Ω) es el espacio de funciones denidas en el conjunto abiertoΩ ⊆ Rn
a valor real innitamente diferenciables.
3. C∞0 (Ω) es el espacio de funciones f ∈ C∞(Ω) con soporte compacto en
Ω.
4. C(Ω;X) es el espacio de funciones continuas de Ω ⊆ Rn en el espaciode Banach X.
5. Lp(Rn), 1 ≤ p < ∞, es el espacio de funciones medibles f : Rn → Ctales que ∥f∥Lp(Rn) :=
(∫Rn |f(x)|p dx
) 1p <∞.
6. L∞(Rn) es el espacio de las funciones esencialmente acotadas de Rn enC.
7. S(Rn) es el espacio de Schwartz denido como el conjunto de todas lasfunciones f ∈ C∞(Rn) tales que
∥f∥αβ = supx∈Rn
|xα∂βf(x)| <∞ para todo α, β ∈ Nn.
8. X → Y , siginia que X está contenido densa y continuamente en Y .
9. ∆ = ∂2
∂x2 +∂2
∂y2es el Laplaciano .
10. J(u, v) = uxvy − uyvx es el Jacobiano .
III
Capítulo 1
Preliminares
Este capítulo esta dedicado a presentar conceptos, deniciones y algunos re-sultados básicos de la teoría necesarios para el propósito de este trabajo.Algunas demostraciones serán omitidas por tratarse en su mayoría de re-sultados ya conocidos, sin embargo daremos las referencias necesarias quecontienen su demostración.
1.1. Transformada de Fourier
Denición 1.1. La transformada de Fourier de una función f ∈ L1(Rn),
denotada por f , se dene por
f(ξ) =1
(2π)n2
∫Rn
f(x)e−i(x·ξ) dx,
donde (x · ξ) es el producto punto usual en Rn.
Proposición 1.2. Si φ ∈ S(Rn) (espacio de Schwartz) entonces
φ ∈ S(Rn),
(−i)|α|(∂αφ)(ξ) = ξαφ(ξ),
(−i)|α|(xαφ)(ξ) = (∂αφ)(ξ).
Proposición 1.3. La transformada de Fourier ∧ : S(Rn) → S(Rn) es unaaplicación inyectiva continua y con inversa continua.
1
Proposición 1.4 (Plancherel). Sea f ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn) entonces f ∈L2(Rn) y además
∥f∥L2(Rn) = ∥f∥L2(Rn).
Dado que S(Rn) es denso en L2(Rn) entonces la transformada de Fourier sepuede extender de manera única a L2(Rn).
Para terminar esta parte denamos la transformada de Fourier en el contextode las distribuciones.
Denición 1.5. Una distribución temperada es un funcional continuo sobreS(Rn). El conjunto de todas las distribuciones temperadas es denotado porS ′(Rn).
Denición 1.6. Si f ∈ S ′(Rn) entonces la transformada de Fourier de f
denotada por f es la distribución temperadada denida por
⟨f , φ⟩ = ⟨f, φ⟩ para todo φ ∈ S(Rn).
Proposición 1.7. La transformada de Fourier ∧ : S ′(Rn) → S ′(Rn) es unaaplicación inyectiva, continua, con inversa continua. Además
(f)∨
= f =(f ∨)∧,
ˆˆf = f, y
(−i)|α|(∂αf)(ξ) = ξαf(ξ),
(−i)|α|(xαf)(ξ) = ∂αf(ξ).
1.2. Espacios de Sobolev
En esta sección introducimos los espacios de Sobolev Hs(Rn).
Denición 1.8. Sea s ∈ R, el espacio de Sobolev de orden s denotado porHs(Rn), se dene por
Hs(Rn) =f ∈ S ′(Rn) :
(1 + |ξ|2
)s/2f(ξ) ∈ L2(Rn)
,
con norma ∥ · ∥s, denida como
∥f∥s =(∫
Rn
(1 + |ξ|2
)s |f(ξ)|2 dξ) 12
(1.1)
2
ademas
H∞(Rn) =∩s≥0
Hs(Rn).
Estos espacios de Sobolev tienen las siguientes propiedades.
Proposición 1.9. 1. Si r ≤ s entonces Hs(Rn) → Hr(Rn).
2. Hs(Rn) es un espacio de Hilbert con producto interno ⟨·, ·⟩s, denidocomo
⟨f, g⟩s =∫Rn
(1 + |ξ|2
)sf(ξ)g(ξ) dξ.
3. El espacio de Schwartz S(Rn) es denso en Hs(Rn) .
4. (Hs(Rn))′, el espacio dual de Hs(Rn) es isometricamente isomorfo aH−s(Rn) para todo s ∈ R.
5. (Lema de Sobolev) Si s > n2entonces
Hs(Rn) → C∞(Rn).
Ver teorema 7.75 en [9].
Denición 1.10. Sea f ∈ S ′(Rn) se dene
Λsf = (1−∆)s/2f =[(1 + |ξ|2
)s/2f]∨
luego (1.1) se puede reescribir como
∥f∥s =∥∥(1−∆)s/2f
∥∥0= ∥Λsf∥0
Proposición 1.11. Sea s ≥ 1, f, g ∈ Hs(R2) se tiene que
∥[Λs; g] f∥0 ≤ c(∥∇g∥∞
∥∥Λs−1f∥∥0+ ∥f∥∞ ∥Λsg∥0
). (1.2)
∥Λs (fg)∥0 ≤ c (∥f∥∞ ∥Λsg∥0 + ∥g∥∞ ∥Λsf∥0) . (1.3)
3
ver ([12]).Por ultimo enunciamos un resultado importante de esta teoría para análisisno lineal.
Proposición 1.12. Sea s > n2. Entonces Hs(Rn) es un álgebra de Banach.
En particular existe una constante Cs tal que
∥fg∥s ≤ Cs∥f∥s∥g∥s, para todo f, g ∈ Hs(Rn)
Para su demostración ver [11] y las referencias dadas allí.
1.3. Otros resultados preliminares
Lema 1.13. Sean a, b, s ≥ 0. Entonces existen constantes positivas ms y Ms
que dependen solamente de s tales que
ms(as + bs) ≤ (a+ b)s ≤Ms(a
s + bs). (1.4)
Demostración. Si a = 0 no hay nada que probar, asumamos que a > 0.Entonces, (1.4) es equivalente a
ms
(1 +
(b
a
)s)≤(1 +
b
a
)s
≤Ms
(1 +
(b
a
)s)de esta manera es suciente probar que hay constantes ms, Ms tal que
ms (1 + rs) ≤ (1 + r)s ≤Ms (1 + rs)
para cualquier r ∈ [0,∞].
Esto se sigue gracias a que la función F (r) =(1 + r)s
1 + rstoma sus valores
máximo y mínimo absoluto en ms, Ms.
Denición 1.14. Sea (X, d) un espacio métrico. Una contracción en X esuna aplicación Ψ : X → X tal que: d(Ψ(x),Ψ(y)) ≤ κd(x, y) para todox, y ∈ X y algún κ ∈ [0, 1]. Si κ < 1 decimos que Ψ es una contracciónestricta.
4
Teorema 1.15. Teorema del punto jo de Banach
Sea X un espacio métrico completo y supongamos que Ψ : X → X es unacontracción estricta entonces existe un único punto jo x0 ∈ X, es decir esexiste un único x0 ∈ X tal que Ψ(x0) = x0.
Lema 1.16. Lema de Gronwall
Sean [a, b] un intervalo compacto y sean f, g, h ∈ C([a, b],R) con g(t) ≥ 0para todo t ∈ [a, b] tales que
h(t) ≤ f(t) +
∫ t
a
h(s)g(s)ds
para a ≤ t ≤ b. Entonces:
h(t) ≤ f(t) +
∫ t
a
f(s)g(s)e[∫ ts g(r)dr]ds
para a ≤ t ≤ b. Además si f es constante igual a cierto valor k entonces:
h(t) ≤ ke[∫ ta g(r)dr].
Ver su demostración en [13].
Proposición 1.17. Sea f(ξ1, ξ2) = |ξ|2λe−2µ|ξ|2t, donde ξ = (ξ1, ξ2), |ξ|2 =ξ21 + ξ22 , µ > 0, t > 0 y λ ≥ 0 entonces
supξ∈R2
[|ξ|2λe−2µ|ξ|2t
]≤ kλ
(1
2µt
)λ
. (1.5)
Demostración. Tomemos |ξ|2 = r de esta manera f(r) = rλe−2µrt es la fun-ción a analizar, luego
f ′(r) = λrλ−1e−2µrt − rλ2µte−2µrt
= rλ−1e−2µrt (λ− 2µtr)
es decir, r = 0 y r = λ2µt
son los puntos críticos de f(r), fácilmente se puedever que f ′′( λ
2µt) < 0 y que f(r) → 0 cuando r → ∞ luego r = λ
2µtes un
máximo absoluto, entonces
f(r) = rλe−2µrt ≤(λ
2µt
)λ
e−λ =
(1
2µt
)λ
λλe−λ = kλ
(1
2µt
)λ
.
5
Lema 1.18. Sea β > 0, γ > 0, β + γ > 1, a ≥ 0, b ≥ 0, f(t) ≥ 0, tγ−1f(t)es localmente integrable en 0 ≤ t ≤ T y además
f(t) ≤ a+ b
t∫o
(t− τ)β−1τ γ−1f(τ)dτ
entonces
f(t) ≤ aEβ,γ
[(bΓ(β))1/νt
]dondeν = β + γ − 1 > 0,
Eβ,γ(τ) =∞∑k=0
Ckτkν con C0 = 1,
Ck+1
Ck
=Γ(kν + γ)
Γ(kν + γ + β)para k > 0,
Γ(x) =∫∞0tx−1e−tdt.
para su demostración ver [8].
Proposición 1.19. Para todo número real x > 0 se tiene
Γ(x) =√2π xx−
12 e−xe
θ(x)12x
donde 0 < θ(x) < 1.
Ver [15].
Proposición 1.20. Sea f, g ∈ C2∞(R2) se tiene la siguiente identidad:∫
R2
f∆g dxdy = −∫R2
∇f · ∇g dxdy.
Denición 1.21. Sea X, Y espacios de Banach, T0 ∈ (0,∞) y sea F :[0, T0] × Y → X una función continua. Se dice que el problema de valorinicial:
∂tu(t) = F (t, u(t)) ∈ X, (1.6)
u(0) = ϕ ∈ Y
es Localmente bien planteado en Y si
6
(a) Existe T ∈ (0, T0] y una función u ∈ C([0, T ];Y ) tal que u(0) = ϕ ysatisface la ecuación diferencial en el siguiente sentido:
lımh→0
∥∥∥∥u(t+ h)− u(t)
h− F (t, u(t))
∥∥∥∥X
= 0,
donde las derivadas en t = 0 y t = T son computadas por derecha y porizquierda respectivamente,
(b) El problema de valor inicial tiene a lo mas una solución en C([0, T ];Y ),
(c) La función ϕ→ u es continua. Es decir, sea ϕn ∈ Y , n = 1, 2, ...,∞, talque ϕn → ϕ∞ en Y . Sea un ∈ C([0, Tn];Y ) la solución correspondiente.Sea T ∈ (0, T∞), entonces las soluciones un están denidas en [0, T ] paratodo n sucientemente grande y
lımn→∞
sup[0,T ]
∥un(t)− u∞(t)∥Y = 0.
es Globalmente bien planteado en Y si el intervalo de existencia de lasolución es (0,∞)
Proposición 1.22. Principio de Extensión
Sea ϕ ∈ Y y asuma que (1.6) es localmente bien planteado. Sea
T ∗(ϕ) = supT > 0 : ∃! solución de (1.6) en [0, T ]
entonces se obtiene una sola de las siguientes proposiciones
(a) T ∗(ϕ) = ∞
(b) T ∗(ϕ) <∞ y lımt↑T ∗
∥u(t)∥Y = ∞
Proposición 1.23. Sea V ≥ 0 una función no-decreciente continua y ρ(t)la solución maximal de:
∂tx(t) = V (x(t))
x(0) = β
denida en algún intervalo [0, T ). Suponga que h es una función continua talque
0 ≤ h(t) ≤ β +
∫ t
0
V (h(τ)) dτ para todo t ∈ [0, T )
entonces h(t) ≤ ρ(t) en [0, T ).
7
Por ultimo veamos dos propiedades del jacobiano.
Proposición 1.24. Sea ϕ ∈ Hs(R2), se tiene:
J(ϕ,∆ϕ) = Q((ϕx)
2 − (ϕy)2)− P (ϕxϕy) (1.7)
J(ϕ,∆ϕ) = P (ϕQϕ)−Q (P (ϕ)ϕ) (1.8)
donde J(u, v) = uxvy − uyvx, P = ∂2
∂x2 − ∂2
∂y2y Q = ∂2
∂x∂y.
Demostración. Veamos el lado derecho de las igualdades:
J(ϕ,∆ϕ) = ϕx∆ϕy − ϕy∆ϕx
= ϕx(ϕxxy + ϕyyy)− ϕy(ϕxxx + ϕyyx)
= ϕxϕxxy + ϕxϕyyy − ϕyϕxxx − ϕyϕyyx
Vemos la parte izquierda de (1.7)
Q((ϕx)2 − (ϕy)
2)− P (ϕxϕy) =∂2
∂x∂y((ϕx)
2 − (ϕy)2)−
(∂2
∂x2− ∂2
∂y2
)(ϕxϕy)
=∂
∂x(2ϕxϕxy − 2ϕyϕyy)−
∂
∂x(ϕxxϕy + ϕxϕxy) +
∂
∂y(ϕxyϕy + ϕxϕyy)
= 2ϕxxϕxy + 2ϕxϕxxy − 2ϕxyϕyy − 2ϕyϕxyy − ϕxxxϕy − ϕxxϕxy
− ϕxxϕxy − ϕxϕxxy + ϕxyyϕy + ϕxyϕyy + ϕxyϕyy + ϕxϕyyy
= ϕxϕxxy + ϕxϕyyy − ϕyϕxxx − ϕyϕyyx = J(ϕ,∆ϕ)
Ahora veamos la parte izquierda de (1.8)
P (ϕQϕ)−Q(P (ϕ)ϕ) =
(∂2
∂x2− ∂2
∂y2
)(ϕ
∂2
∂x∂yϕ
)− ∂2
∂x∂y
((∂2
∂x2− ∂2
∂y2
)(ϕ)ϕ
)=
(∂2
∂x2− ∂2
∂y2
)(ϕϕxy)−
∂2
∂x∂y(ϕxxϕ− ϕyyϕ)
=∂
∂x(ϕxϕxy + ϕϕxxy)−
∂
∂y(ϕyϕxy + ϕϕxyy)
− ∂
∂x(ϕxxyϕ+ ϕxxϕy − ϕyyyϕ− ϕyyϕy)
= ϕxxϕxy + ϕxϕxxy + ϕxϕxxy + ϕϕxxxy − ϕyyϕxy − ϕyϕxyy − ϕyϕxyy
− ϕϕxyyy − ϕxxxyϕ− ϕxxyϕx − ϕxxxϕy − ϕxxϕxy + ϕxyyyϕ
+ ϕyyyϕx + ϕxyyϕy + ϕyyϕxy
= ϕxϕxxy + ϕxϕyyy − ϕyϕxxx − ϕyϕyyx = J(ϕ,∆ϕ).
8
Capítulo 2
Problema Regularizado
En este capítulo trataremos la ecuación (HMCO) perturbado por el términode regularización µ∆u, donde µ > 0, de este modo se estudiara el buenplanteamiento al problema de valor inicial regularizado:
ut = µ∆u+ (I −∆)−1J(u,∆u) (HMCO-R)
u(0) = ϕ,
en los espacios de Sobolev Hs(R2) para s > 2
Formalmente, vía la transformada de Fourier y el método de variación deparámetros, obtenemos que el problema (HMCO-R) es equivalente a laEcuación Integral:
u(t) = eµ∆tϕ+
∫ t
0
eµ∆(t−τ)(I −∆)−1J(u(τ),∆u(τ)
)dτ (2.1)
Esta equivalencia se precisa en el siguiente teorema:
Teorema 2.1. Si s > 2, el problema (HMCO-R) es equivalente a la ecuaciónintegral (2.1) en el siguiente sentido: Si u ∈ C ([0, T ], Hs(R2)) es solu-ción de (HMCO-R) entonces u es solución de (2.1) y recíprocamente, siu ∈ C ([0, T ], Hs(R2)) es solución de la ecuación integral (2.1) entoncesu ∈ C1 ([0, T ], Hs−2(R2)) y satisface (HMCO-R) tomando la derivada enel tiempo en el siguiente sentido:
lımh→0
∥∥∥∥u(t+ h)− u(t)
h− µ∆u(t)− (I −∆)−1J(u(t),∆u(t))
∥∥∥∥s−2
= 0 (2.2)
9
Demostración. Sea F (u(t)) = (I − ∆)−1J(u(t),∆u(t)) y supongamos queu(t) es solución de la ecuación integral (2.1) veamos que se cumple el limite(2.2).∥∥∥∥u(t+ h)− u(t)
h− µ∆u(t)− (I −∆)−1J(u(t),∆u(t))
∥∥∥∥2s−2
(2.3)
=
∥∥∥∥u(t+ h)− u(t)
h− µ∆u(t)− F (u(t)) + µ∆eµ∆tϕ− µ∆eµ∆tϕ
∥∥∥∥2s−2
como
u(t+ h)− u(t)
h=
1
h
(eµ∆(t+h)ϕ+
∫ t+h
0
eµ∆(t+h−τ)F (u(τ))dτ
)− 1
h
(eµ∆tϕ+
∫ t
0
eµ∆(t−τ)F (u(τ))dτ
)=eµ∆(t+h)ϕ− eµ∆tϕ
h+
1
h
∫ t
0
(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ)
)F (u(τ))dτ
+1
h
∫ t+h
t
eµ∆(t+h−τ)F (u(τ))dτ
reemplazando esta en (2.3) y aplicando la desigualdad triangular obtenemos:∥∥∥∥u(t+ h)− u(t)
h− µ∆u− (I −∆)−1J(u,∆u)
∥∥∥∥2s−2
≤∥∥∥∥eµ∆(t+h)ϕ− eµ∆tϕ
h− µ∆eµ∆tϕ
∥∥∥∥2s−2︸ ︷︷ ︸
A
+
∥∥∥∥1h∫ t
0
(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ)
)F (u(τ))dτ − µ∆u(t) + µ∆eµ∆tϕ
∥∥∥∥2s−2︸ ︷︷ ︸
B
+
∥∥∥∥1h∫ t+h
t
eµ∆(t+h−τ)F (u(τ))dτ − F (u(t))
∥∥∥∥2s−2︸ ︷︷ ︸
C
10
Analicemos la parte A:∥∥∥∥eµ∆(t+h)ϕ− eµ∆tϕ
h− µ∆eµ∆tϕ
∥∥∥∥2s−2
=
∫R2
(1 + |ξ|2
)s−2
∣∣∣∣∣e−µ|ξ|2(t+h)ϕ(ξ)− e−µ|ξ|2tϕ(ξ)
h+ µ|ξ|2e−µ|ξ|2tϕ(ξ)
∣∣∣∣∣2
dξ
=
∫R2
(1 + |ξ|2
)s−2∣∣∣e−µ|ξ|2t
∣∣∣2 ∣∣∣∣∣e−µ|ξ|2h − 1
h+ µ|ξ|2
∣∣∣∣∣2 ∣∣∣ϕ(ξ)∣∣∣2 dξ
≤∫R2
(1 + |ξ|2
)s−2
∣∣∣∣∣e−µ|ξ|2h − 1
h+ µ|ξ|2
∣∣∣∣∣2 ∣∣∣ϕ(ξ)∣∣∣2︸ ︷︷ ︸
Gh(ξ)
dξ
Por el teorema del valor medio tenemos∣∣∣∣∣e−µ|ξ|2h − 1
h
∣∣∣∣∣ ≤ µ|ξ|2
luego ∣∣∣∣∣e−µ|ξ|2h − 1
h+ µ|ξ|2
∣∣∣∣∣2
≤
∣∣∣∣∣e−µ|ξ|2h − 1
h
∣∣∣∣∣2
+∣∣µ|ξ|2∣∣2 ≤ 2µ2|ξ|4
Retomando nuestro objetivo podemos acotar la función Gh(ξ) de la siguientemanera
Gh(ξ) ≤(1 + |ξ|2
)s−22µ2|ξ|4
∣∣∣ϕ(ξ)∣∣∣2= 2µ2
(1 + |ξ|2
)s( |ξ|2
(1 + |ξ|2)
)2 ∣∣∣ϕ(ξ)∣∣∣2≤ 2µ2
(1 + |ξ|2
)s ∣∣∣ϕ(ξ)∣∣∣2como
lımh→0
∣∣∣∣∣e−µ|ξ|2h − 1
h+ µ|ξ|2
∣∣∣∣∣ = 0
11
y gracias al Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue concluimos∥∥∥∥eµ∆(t+h)ϕ− eµ∆tϕ
h− µ∆eµ∆tϕ
∥∥∥∥2s−2
−−→h→0
0
Ahora analicemos la parte B teniendo en cuenta que u(t) satisface la ecuaciónintegral (2.1)∥∥∥∥1h∫ t
0
(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ)
)F (u(τ))dτ − µ∆u(t) + µ∆eµ∆tϕ
∥∥∥∥2s−2
=
∥∥∥∥∫ t
0
eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ)
hF (u(τ))dτ − µ∆
(u(t)− eµ∆tϕ
)∥∥∥∥2s−2
=
∥∥∥∥∫ t
0
eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ)
hF (u(τ))dτ − µ∆
∫ t
0
eµ∆(t−τ)F (u(τ)) dτ
∥∥∥∥2s−2
=
∥∥∥∥∫ t
0
(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ)
h− µ∆eµ∆(t−τ)
)F (u(τ)) dτ
∥∥∥∥2s−2
≤∫ t
0
∥∥∥∥(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ)
h− µ∆eµ∆(t−τ)
)F (u(τ))
∥∥∥∥2s−2
dτ
tratando esta ultima desigualdad de manera similar como la parte A con-cluimos que tiende a cero cuando h → 0. Por último la parte C se obtienegracias al Teorema del valor medio para integrales:
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx = f(k) para algún k ∈ [a, b]
aplicado a la función de la parte C tenemos
lımh→0
1
h
∫ t+h
t
eµ∆(t+h−τ)F (u(τ))dτ = lımh→0
eµ∆(t+h−k)F (u(k))
para algún k ∈ [t, t+ h], si h→ 0 entonces k → t de esta manera concluimos
lımh→0
∥∥∥∥1h∫ t+h
t
eµ∆(t+h−τ)F (u(τ))dτ − F (u(t))
∥∥∥∥2s−2
= 0.
12
Lema 2.2. Desigualdad de Regularización
Sea ϕ ∈ Hs(R2), λ ≥ 0, µ > 0, t > 0, entonces existe una constante Cλ ≥ 0(depende solamente de λ) tal que:
∥∥eµ∆tϕ∥∥s+λ
≤ Cλ
[1 +
(1
2µt
)λ2
]∥ϕ∥s (2.4)
Demostración. Usando las desigualdades (1.4), (1.5) y la denición de lanorma en el espacio de Sobolev tenemos∥∥eµ∆tϕ
∥∥2s+λ
=
∫R2
(1 + |ξ|2)s+λ|e−µ|ξ|2t|2|ϕ(ξ)|2 dξ
=
∫R2
(1 + |ξ|2)s(1 + |ξ|2)λe−2µ|ξ|2t|ϕ(ξ)|2 dξ
≤ supξ∈R2
[(1 + |ξ|2)λe−2µ|ξ|2t
] ∫R2
(1 + |ξ|2)s|ϕ(ξ)|2 dξ
≤ Cλ
[1 + sup
ξ∈R2
|ξ|2λe−2µ|ξ|2t
]∥ϕ∥2s
≤ Cλ
(1 +
(1
2µt
)λ)∥ϕ∥2s
Tomando raíz cuadrada y por la desiguladad (1.4), se demuestra el lema.
Veamos dos propiedades de la parte no lineal de (HMCO-R) que nos servirápara ver el buen planteamiento del problema regularizado.
Proposición 2.3. Sea u ∈ Hs(R2), s > 2, entonces existe una constanteCs > 0 tal que: ∥∥(I −∆)−1J
(u,∆u
)∥∥s−1
≤ Cs ∥u∥2s (2.5)
es decir F (u) = (I −∆)−1J(u,∆u
)∈ Hs−1(R2).
Demostración. Usando la igualdad del paréntesis de poisson (1.7) y queHs(R2) es un algebra de Banach para s > 1 (proposición 1.12)tenemos:∥∥(I −∆)−1J
(u,∆u
)∥∥s−1
=∥∥(I −∆)−1Q
((ux)
2 − (uy)2)− (I −∆)−1P (uxuy)
∥∥s−1
13
≤∥∥(I −∆)−1Q
((ux)
2 − (uy)2)∥∥
s−1︸ ︷︷ ︸A
+∥∥(I −∆)−1P (uxuy)
∥∥s−1︸ ︷︷ ︸
B
Analicemos la parte A∥∥(I −∆)−1Q((ux)
2 − (uy)2)∥∥2
s−1
=
∥∥∥∥(I −∆)−1 ∂2
∂x∂y
((ux)
2 − (uy)2)∥∥∥∥2
s−1
=
∫R2
(1 + |ξ|2)s−1
∣∣∣∣ −ξ1ξ21 + ξ21 + ξ22
∣∣∣∣2 ∣∣((ux)2 − (uy)2) (ξ)
∣∣2 dξ
≤∫R2
(1 + |ξ|2)s−1∣∣((ux)2 − (uy)
2) (ξ)∣∣2
=∥∥(ux)2 − (uy)
2∥∥2s−1
(2.6)
≤∥∥(ux)2∥∥2s−1
+∥∥(uy)2∥∥2s−1
por hipótesis s > 2, de esta manera Hs−1(R2) es Algebra de Banach de la(Proposición 1.12) se sigue:∥∥(I −∆)−1Q
((ux)
2 − (uy)2)∥∥2
s−1
≤ Cs
(∥(ux)∥4s−1 + ∥(uy)∥4s−1
)≤ Cs
(∥u∥4s + ∥u∥4s
)≤ Cs ∥u∥4s
Analicemos la parte B∥∥(I −∆)−1P (uxuy)∥∥2s−1
=
∥∥∥∥(I −∆)−1
(∂2
∂x2− ∂2
∂y2
)(uxuy)
∥∥∥∥2s−1
=
∫R2
(1 + |ξ|2)s−1
∣∣∣∣ −ξ21 − ξ221 + ξ21 + ξ22
∣∣∣∣2 |(uxuy ) (ξ)|2≤∫R2
(1 + |ξ|2)s−1 |(uxuy ) (ξ)|2
= ∥uxuy∥2s−1 (2.7)
nuevamente por la hipótesis s > 2 tenemos∥∥(I −∆)−1P (uxuy)∥∥2s−1
≤ Cs ∥ux∥2s−1 ∥uy∥2s−1
14
≤ Cs ∥u∥2s ∥u∥2s
≤ Cs ∥u∥4s
Proposición 2.4. Sea s > 2, F (u) = (I −∆)−1J(u,∆u) satisface:
∥F (v)− F (w)∥s−1 ≤ Cs (∥v∥s + ∥w∥s) ∥v − w∥s (2.8)
para todo v, w ∈ Hs(R2)
Demostración. Usando una de las propiedades del jacobiano (1.7) obtenemos
∥F (v)− F (w)∥s−1 =∥∥(I −∆)−1J(v,∆v)− (I −∆)−1J(w,∆w)
∥∥s−1
=∥∥(I −∆)−1 (J(v,∆v)− J(w,∆w))
∥∥s−1
= ||(I −∆)−1(Q((vx)
2 − (vy)2)− P (vxvy)−Q
((wx)
2 − (wy)2)
+ P (wxwy))||s−1
= ||(I −∆)−1Q((vx)
2 − (vy)2 − (wx)
2 + (wy)2)
− (I −∆)−1P (vxvy − wxwy)||s−1
≤∥∥(I −∆)−1Q
((vx)
2 − (vy)2 − (wx)
2 + (wy)2)∥∥
s−1
+∥∥(I −∆)−1P (vxvy − wxwy)
∥∥s−1
Usando las desigualdades (2.6) y (2.7), luego sumando y restando lo mismoen el segundo término obtenemos
∥F (v)− F (w)∥s−1 ≤∥∥(vx)2 − (vy)
2 − (wx)2 + (wy)
2∥∥s−1
+ ∥(vxvy − wxwy)∥s−1
≤∥∥(vx)2 − (vy)
2 − (wx)2 + (wy)
2∥∥s−1
+ ∥(vxvy − wxwy + vxwy − vxwy)∥s−1
≤∥∥(vx)2 − (vy)
2 − (wx)2 + (wy)
2∥∥s−1
+ ∥(vx(vy − wy) + wy(vx − wx)∥s−1
aplicando la desigualdad triangular a ambos términos y como Hs−1(R2) esun álgebra de Banach se tiene
∥F (v)− F (w)∥s−1 ≤∥∥(vx)2 − (wx)
2∥∥s−1
+∥∥(wy)
2 − (vy)2∥∥s−1
+ ∥vx(vy − wy)∥s−1 + ∥wy(vx − wx)∥s−1
= ∥(vx + wx)(vx − wx)∥s−1 + ∥(vy + wy)(vy − wy)∥s−1
+ ∥vx(vy − wy)∥s−1 + ∥wy(vx − wx)∥s−1
15
≤ Cs(∥vx + wx∥s−1 ∥vx − wx∥s−1 + ∥vy + wy∥s−1 ∥vy − wy∥s−1
+ ∥vx∥s−1 ∥vy − wy∥s−1 + ∥wy∥s−1 ∥vx − wx∥s−1)
≤ Cs(∥v + w∥s ∥v − w∥s + ∥v + w∥s ∥v − w∥s+ ∥v∥s ∥v − w∥s + ∥w∥s ∥v − w∥s)
= Cs(2 ∥v + w∥s ∥v − w∥s + (∥v∥s + ∥w∥s) ∥v − w∥s)≤ Cs (∥v∥s + ∥w∥s) ∥v − w∥s .
2.1. Buen Planteamiento Local de la ecuación
regularizada
Ahora para ver que la Ecuación (HMCO-R) tiene un buen planteamientolocal necesitamos denir:
Xs(T,M, ϕ) =u ∈ C
([0, T ];Hs(R2)
); ∥u(t)− eµ∆tϕ∥s ≤M
, (2.9)
el cual es un subespacio métrico completo bajo la siguiente metrica:
d(v, w) = supt∈[0,T ]
∥v(t)− w(t)∥s = ∥v − w∥s,∞
y la aplicación
Ψ(v)(t) = eµ∆tϕ+
∫ t
0
eµ∆(t−τ)(I −∆)−1J(v(τ),∆v(τ)
)dτ (2.10)
= eµ∆tϕ+
∫ t
0
eµ∆(t−τ)F (v(τ))dτ
Proposición 2.5. Dadas la anteriores deniciones y para todo v ∈Xs(T,M, ϕ) entonces la aplicación Ψ cumple:
1. Ψ(v)(t) ∈ Hs(R2)
2. Ψ(v) ∈ C ([0, T ];Hs(R2))
16
3. Existe T1(µ, ∥ϕ∥s) ≥ 0 tal que Ψ(v)(t) ∈ Xs(T1,M, ϕ)
4. Existe T2(µ, ∥ϕ∥s) ≥ 0 tal que Ψ(v)(t) es una contracción.
Demostración. Veamos que Ψ(v)(t) ∈ Hs(R2), se usara la desigualdad deregularización (2.4) con λ = 1, y la desigualdad (2.5), ∥F (v)∥s−1 ≤ ∥v∥2s
∥Ψ(v)(t)∥s ≤∥∥eµ∆tϕ
∥∥s+
∫ t
0
∥∥eµ∆(t−τ)(I −∆)−1J(v(τ),∆v(τ)
)∥∥sdτ
≤ ∥ϕ∥s +∫ t
0
∥∥eµ∆(t−τ)F (v(τ))∥∥s−1+1
dτ
≤ ∥ϕ∥s + C1
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
)1/2]∥F (v(τ))∥s−1 dτ
≤ ∥ϕ∥s + Cs
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
)1/2]∥v(τ)∥2s dτ
≤ ∥ϕ∥s + Cs ∥v∥2s,∞∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
)1/2]dτ
= ∥ϕ∥s + Cs ∥v∥2s,∞(t+
√2t
µ
)<∞
Ahora veamos la segunda conclusión, debemos demostrar Ψ(v) ∈C ([0, T ];Hs(R2)) si v ∈ C ([0, T ];Hs(R2)) para ello mostremos que:
lımh→0
∥Ψ(v)(t+ h)−Ψ(v)(t)∥s = 0 (2.11)
∥Ψ(v)(t+ h)−Ψ(v)(t)∥2s ≤∥∥eµ∆(t+h)ϕ− eµ∆tϕ
∥∥2s︸ ︷︷ ︸
A
+
∥∥∥∥∫ t+h
0
eµ∆(t+h−τ)F (v(τ))dτ −∫ t
0
eµ∆(t−τ)F (v(τ))dτ
∥∥∥∥2s︸ ︷︷ ︸
B
Analicemos la parte A∥∥eµ∆(t+h)ϕ− eµ∆tϕ∥∥2s=
∫R2
(1 + |ξ|2)s∣∣∣e−µ|ξ|2(t+h)ϕ(ξ)− e−µ|ξ|2tϕ(ξ)
∣∣∣2 dξ17
=
∫R2
(1 + |ξ|2)s∣∣∣e−µ|ξ|2t
∣∣∣2 ∣∣∣e−µ|ξ|2h − 1∣∣∣2 ∣∣∣ϕ(ξ)∣∣∣2 dξ
= 2
∫R2
(1 + |ξ|2)s∣∣∣ϕ(ξ)∣∣∣2 dξ = 2 ∥ϕ∥2s
por el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue se tiene
lımh→0
∥∥eµ∆(t+h)ϕ− eµ∆tϕ∥∥2s= 0
Analicemos la parte B
B ≤∥∥∥∥∫ t
0
(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ)
)F (v(τ))dτ
∥∥∥∥2s
+
∥∥∥∥∫ t+h
t
eµ∆(t+h−τ)F (v(τ))
∥∥∥∥2s
dτ
≤∫ t
0
∥∥(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ))F (v(τ))
∥∥2sdτ︸ ︷︷ ︸
I1
+
∫ t+h
t
∥∥eµ∆(t+h−τ)F (v(τ))∥∥2sdτ︸ ︷︷ ︸
I2
Para la integral I1 usaremos la desigualdad de regularización con λ = 1 .∥∥(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ))F (v(τ))dτ
∥∥2s
≤∥∥eµ∆(t+h−τ)F (v(τ))
∥∥2(s−1)+1
+∥∥eµ∆(t−τ)F (v(τ))
∥∥2(s−1)+1
≤ C1
[1 +
(1
2µ(t+ h− τ)
) 12
]∥F (v(τ))∥s−1
+ C1
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]∥F (v(τ))∥s−1
Si suponemos que h > 0 luego t − τ ≤ t + h − τ , como µ > 0 se tiene√2µ(t− τ) ≤
√2µ(t+ h− τ) luego
1 +1√
2µ(t− τ)≤ 1 +
1√2µ(t+ h− τ)
retomando y usando nuevamente el hecho ∥F (v)∥s−1 ≤ ∥v∥2s llegamos a
∥∥(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ))F (v(τ))dτ
∥∥2s≤ 2C1
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]∥F (v(τ))∥s−1
18
≤ Cs
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]∥v(τ)∥2s
≤ Cs ∥v∥2s,∞
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]
como la función de la derecha es localmente integrable para t ∈ [0, T ] usandoel Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue concluimos
lımh→0+
∫ t
0
∥∥(eµ∆(t+h−τ) − eµ∆(t−τ))F (v(τ))
∥∥2sdτ = 0
Ahora consideremos la integral I2, de manera similar obtenemos
∥∥eµ∆(t+h−τ)F (v(τ))∥∥2s≤ Cs
[1 +
(1
2µ(t+ h− τ)
) 12
]∥v(τ)∥2s
integrando se tiene∫ t+h
t
∥∥eµ∆(t+h−τ)F (v(τ))∥∥2sdτ ≤ Cs
∫ t+h
t
[1 +
(1
2µ(t+ h− τ)
) 12
]∥v(τ)∥2s dτ
≤ Cs ∥v∥2s,∞∫ t+h
t
[1 +
(1
2µ(t+ h− τ)
) 12
]dτ
= Cs ∥v∥2s,∞
(h+
√2h
µ
)−−−→h→0+
0
El limite por izquierda es análogo.Veamos la parte 3, para ello nuevamente se usara la Desigualdad de Regu-larización (2.4) con (λ = 1)
∥∥Ψ(v)(t)− eµ∆tϕ∥∥s≤∫ t
0
∥∥eµ∆(t−τ)(I −∆)−1J(v(τ),∆v(τ)
)∥∥s−1+1
dτ
≤ Cs
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]∥F (v(τ))∥s−1 dτ
19
≤ Cs
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]∥v(τ)∥2s dτ
como v(t) ∈ Xs(T,M, ϕ) se tiene∥∥v(t)− eµ∆tϕ
∥∥s≤M entonces
∥v(t)∥s =∥∥v(t)− eµ∆tϕ+ eµ∆tϕ
∥∥s
≤∥∥v(t)− eµ∆tϕ
∥∥ s+ ∥∥eµ∆tϕ∥∥s
≤M + ∥ϕ∥s (2.12)
luego
∥∥Ψ(v)(t)− eµ∆tϕ∥∥s≤ Cs(M + ∥ϕ∥s)
2
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]dτ
≤ Cs(M + ∥ϕ∥s)2
(T +
√2
µ
√T
)se desea que Ψ(v) ∈ Xs(T1,M, ϕ) para algún T1, para ello se debe cumplir
∥∥Ψ(v)(t)− eµ∆tϕ∥∥s≤ Cs(M + ∥ϕ∥s)
2
(T +
√2
µ
√T
)≤M
luego asiendo T = T1 > 0 sucientemente pequeño de tal manera qua laultima desigualdad se cumpla y esto se tiene cuando(
T +
√2
µ
√T
)≤ M
Cs(M + ∥ϕ∥s)2
luego despejando T por la ecuación cuadrática se obtiene:
0 ≤ T1 ≤
(−√
2
µ+
√2
µ+
4M
Cs(M + ∥ϕ∥s)2
)2
(2.13)
Por último veamos la parte 4, para ello debemos encontrar un T2 tal que Ψsea una contracción es decir:
∥Ψ(v)−Ψ(w)∥s,∞ ≤ κ ∥v − w∥s,∞
20
para toda v, w ∈ Xs(T2,M, ϕ) y para algún 0 < κ < 1. Como
∥Ψ(v)(t)−Ψ(w)(t)∥s ≤∫ t
0
∥∥eµ∆(t−τ)(F (v(τ))− F (w(τ)))∥∥s−1+1
dτ
entonces por la Desigualdad de Regularización (2.4) con λ = 1, tenemos
∥Ψ(v)(t)−Ψ(w)(t)∥s ≤ Cs
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]∥F (v(τ))− F (w(τ))∥s−1 dτ
por la desigualdad (2.8) tenemos
≤ Cs
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
](∥v(τ)∥s + ∥w(τ)∥s) ∥(v(τ)− w(τ))∥s dτ
como v, w ∈ Xs(T,M, ϕ) y usando la desigualdad (2.12) se tiene
∥Ψ(v)(t)−Ψ(w)(t)∥s ≤ Cs(M + ∥ϕ∥s)∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]∥v(τ)− w(τ)∥s dτ
≤ Cs(M + ∥ϕ∥s) ∥v − w∥s,∞∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]dτ
≤ Cs(M + ∥ϕ∥s) ∥v − w∥s,∞(T +
√2
µ
√T
)como el lado izquierdo esta acotado entonces
∥Ψ(v)−Ψ(w)∥s,∞ ≤ Cs(M + ∥ϕ∥s)(T +
√2
µ
√T
)∥v − w∥s,∞
el objetivo es que la aplicación Ψ sea una contracción y para esto tomamosT = T2 > 0 tal que
Cs(M + ∥ϕ∥s)(T +
√2
µ
√T
)< 1
es decir
T +
√2
µ
√T ≤ 1
Cs(M + ∥ϕ∥s)
21
luego despejando T por la ecuación cuadrática se obtiene:
0 ≤ T2 ≤
(−√
2
µ+
√2
µ+
4
Cs(M + ∥ϕ∥s)
)2
(2.14)
Nota. Los tiempos encontrados en (2.13) y (2.14) dependen continuamentede ϕ, µ y la constante M .
Puede notarse por cálculo elemental que cuando µ→ 0+ entonces los tiemposencontrados tienden a cero.
Teorema 2.6. Sea ϕ ∈ Hs(R2), s > 2 y µ > 0 entonces existe un T =Tµ(µ, ∥ϕ∥s ,M) > 0 y una función uµ ∈ C([0, Tµ];H
s(R2)) que satisface laecuación integral (2.1).
Demostración. Sea Tµ(µ, ∥ϕ∥s ,M) = min T1, T2 encontrados en (2.13)y (2.14), por la proposición anterior este Tµ es tal que la aplicación Ψ :Xs(Tµ,M, ϕ) → Xs(Tµ,M, ϕ) y es contracción, luego por el Teorema delpunto jo de Banach (1.15) existe un único punto jo, es decir; existe uµ ∈Xs(Tµ,M, ϕ) tal que:
uµ(t) = eµ∆tϕ+
∫ t
0
eµ∆(t−τ)(I −∆)−1J(uµ(τ),∆uµ(τ)
)dτ.
El siguiente objetivo es ver que (HMCO-R) es localmente bien planteado,para ello nos falta ver la unicidad de la solución encontrada en el teorema(2.6) y además esta uµ depende continuamente del dato inicial.
Teorema 2.7. Sea φ, ψ ∈ Hs(R2), s > 2 y u, v ∈ C([0, T ];Hs(R2)) sondos soluciones del problema regularizado (HMCO-R) que satisfacen u(0) = φy v(0) = ψ y T es el menor tiempo donde u, v existen, entonces
∥u(t)− v(t)∥s ≤ K ∥φ− ψ∥sDemostración.
∥u(t)− v(t)∥s ≤ ∥eµ∆t(φ− ψ)∥s +∫ t
0
∥∥eµ∆(t−τ) (F (u(τ))− F (v(τ)))∥∥sdτ
22
nuevamente usando la Desiguadad de Regularización (2.4) con λ = 1 tenemos
≤ ∥φ− ψ∥s + C
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
]∥F (u(τ))− F (v(τ))∥s−1 dτ
por (2.8) tenemos
≤ ∥φ− ψ∥s+Cs
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
) 12
](∥u(τ)∥s + ∥v(τ)∥s) ∥u(τ)− v(τ)∥s dτ
si tomamos t de tal manera que 2µ(t − τ) < 1 entonces 1 <(
1
2µ(t− τ)
) 12
luego
≤ ∥φ− ψ∥s + Cs
∫ t
0
1
(2µ(t− τ))12
(∥u(τ)∥s + ∥v(τ)∥s) ∥u(τ)− v(τ)∥s dτ
≤ ∥φ− ψ∥s +Cs√2µ
(∥u∥s,∞ + ∥v∥s,∞
)∫ t
0
1
(t− τ)12
∥u(τ)− v(τ)∥s dτ
usando el lema (1.18) donde f(t) = ∥u(t)− v(t)∥s , a = ∥φ− ψ∥s , b =Cs√2µ
(∥u∥s,∞ + ∥v∥s,∞
), β = 1
2, γ = 1, ν = 1
2, tenemos
∥u(t)− v(t)∥s ≤ ∥φ− ψ∥sE 12,1((bΓ(
1
2))2t) = ∥φ− ψ∥sE 1
2,1(b
2πT )
Debemos ver que E 12,1(b
2πT ) =∞∑k=0
Ck(b2πT )k/2 es nito.
Sea ak = Ck(b2πT )k/2 y mostremos que
∞∑k=0
ak converge, lo cual se hará por
el criterio de la razón
ak+1
ak=Ck+1(b
2πT )k+12
Ck(b2πT )k2
= b√πT
Ck+1
Ck
como
Ck+1
Ck
=Γ(kν + γ)
Γ(kν + γ + β)=
Γ(k2+ 1)
Γ(k2+ 1 + 1
2)=
k2Γ(k
2)
k+12Γ(k+1
2)=
k
k + 1
Γ(k2)
Γ(k+12)
23
usando la proposición (1.19) tenemos
Ck+1
Ck
=
A︷ ︸︸ ︷k
k + 1
(k2
) k−12(
k+12
) k+1−12︸ ︷︷ ︸
B
C︷ ︸︸ ︷e−
k2
e−k+12
eθ(k/2)12k/2
eθ((k+1)/2)12(k+1)/2︸ ︷︷ ︸
D
analicemos la convergencia de cada producto cuando k → ∞
A =k
k + 1−−−→k→∞
1
Para la parte B
B =
(k2
)−12(k2
) k2(
k+12
) k2
=
√2
k
(k
k + 1
) k2
=
√2
k
((1 +
1
k
)k)−2
−−−→k→∞
0 · e−2 = 0
En C tenemos
C =e−
k2
e−k+12
=√e
En D se usara el hecho 0 < θ(x) < 1 si x > 0 luego 1 < eθ(x) < e1 de estopodemos deducir que la parte D está acotada para todo k.por tanto
lımk→∞
∣∣∣∣ak+1
ak
∣∣∣∣ = 0
por tanto la serie∞∑k=0
ak es convergente, y de esta manera
∥u(t)− v(t)∥s ≤ K ∥φ− ψ∥s .
Nota. Si φ = ψ se concluye que u = v es decir que (HMCO-R) tiene a lomás una solución, además se obtuvo una dependencia continua débil en elsentido: si los datos iníciales están próximos entonces las soluciones tambiénestán próximas.
24
Teorema 2.8. Sea ϕn ∈ Hs(R2), n = 1, 2, ...,∞, tal que ϕn → ϕ∞ en
Hs(R2). Sea un ∈ C([0, Tn];Hs(R2)) donde Tn = T (µ, ∥ϕn∥s ,M) es la solu-
ción construida en el teorema (2.6). Sea T ∈ (0, T∞), entonces la soluciónun esta denida en [0, T ] para todo n sucientemente grande y
lımn→∞
sup[0,T ]
∥un(t)− u∞(t)∥s = 0
Demostración. Como T (µ, ∥ϕ∥s ,M) es una función continua de ϕ, se tieneque Tn → T∞ entonces existe un N ∈ N tal que∣∣∣T (∥ϕn∥s)− T (∥ϕ∞∥s)
∣∣∣ < ϵ para n > N
En particular si tomamos ϵ = T (∥ϕ∞∥s)2
existe N ∈ N tal que∣∣∣T (∥ϕn∥s)− T (∥ϕ∞∥s)∣∣∣ < T (∥ϕ∞∥s)
2para n > N
Es decir1
2T (∥ϕ∞∥s) < T (∥ϕn∥s) <
3
2T (∥ϕ∞∥s) para n > N
Luego si escogemos T ∗ =T (∥ϕ∞∥s)
2< T (∥ϕn∥s) para todo n > N y como el
resto son un número nito, tomamos
T = mınT ∗, T (∥ϕ1∥s), ..., T (∥ϕN−1∥s)
Asi que un y u∞ esta denidas en [0, T ] para todo n, luego cada un ∈Xs(T,M, ϕn) para todo n y por (2.12) satisfacen
∥un(t)∥s ≤ ∥ϕn∥s +M ≤ K +M
Donde K = supn ∥ϕn∥s luego
∥un∥s,∞ ≤ K +M y análogamente ∥u∞∥s,∞ ≤ K +M
siguiendo el mismo procedimiento en la demostración de la proposición (2.7),para este caso b = b1 =
C√2µ(K +M) se obtiene
∥un(t)− u∞(t)∥s ≤ ∥ϕn − ϕ∞∥sE 12,1(b
21πT )
luego∥un − u∞∥s,∞ ≤ C ∥ϕn − ϕ∞∥s
25
Nota. Se a concluido la dependencia continua fuerte y además que elproblema de valor inicial (HMCO-R) es localmente bien planteado paras > 2.
2.2. Buen Planteamiento Global de la ecuación
regularizada
Para mirar el buen planteamiento global de (HMCO-R) necesitaremos tra-bajar con estimativa a priori para las normas ∥u∥1 , ∥u∥2, y además de-mostraremos que la solución del teorema (2.6), uµ ∈ C ((0, Tµ];H
∞(R2)).Para obtener las estimativas nos apoyaremos de las siguientes cantidades queserán importantes para el objetivo, concluyendo ademas que son cantidadesconservadas.
H(u) =1
2
∫R2
(u2 + |∇u|2
)dxdy. (2.15)
S(u) =1
2
∫R2
(|∇u|2 + (∆u)2
)dxdy. (2.16)
Lema 2.9. Sean uµ como en el teorema (2.11) y µ > 0, entonces existe unaconstante C1 independiente de µ tal que:
sup[0,Tµ]
∥uµ∥1 ≤ C1.
Demostración. Derivando respecto al tiempo la estimativa H(u) (2.15)obtenemos.
d
dtH(uµ) =
1
2
∫R2
(2uµ uµt + 2∇uµt · ∇uµ) dxdy
=
∫R2
(uµuµt +∇uµt · ∇uµ)
usando la proposición (1.20) y factorizando obtenemos
d
dtH(uµ) =
∫R2
(uµuµt −∆uµtuµ) dxdy
=
∫R2
(I −∆)uµtuµ dxdy
26
como uµ es solución de la ecuación regularizada (HMCO-R) reemplazandouµt tenemos
d
dtH(uµ) =
∫R2
(I −∆)(µ∆uµ + (I −∆)−1J(uµ,∆uµ)
)uµ dxdy
= µ
∫R2
(I −∆)∆uµuµ dxdy︸ ︷︷ ︸A
+
∫R2
J(uµ,∆uµ)uµ dxdy︸ ︷︷ ︸B
Analicemos la parte A:
µ
∫R2
(I −∆)∆uµuµ dxdy = µ
∫R2
∆(I −∆)uµuµ dxdy
= µ
∫R2
∆(I −∆)1/2uµ(I −∆)1/2uµ dxdy
Usando nuevamente la proposición (1.20) tenemos:
µ
∫R2
(I −∆)∆uµuµ dxdy = −µ∫R2
∇(I −∆)1/2uµ · ∇(I −∆)1/2uµ dxdy
= −µ∫R2
∣∣∇(I −∆)1/2uµ∣∣2 dxdy
= −µ∥∥∇(I −∆)1/2uµ
∥∥20
Para la parte B usaremos una de las propiedades del jacobiano (1.8) y porúltimo integración por partes
∫R2
J(uµ,∆uµ)uµ dxdy =
∫R2
[P (uµQuµ)−Q(P (uµ)uµ)]uµ dxdy
=
∫R2
P (uµQuµ)uµ dxdy −∫R2
Q(P (uµ)uµ)uµ dxdy
=
∫R2
(uµQuµ)Puµ dxdy −∫R2
(P (uµ)uµ)Quµ dxdy
= 0
Luegod
dtH(uµ) = −µ
∥∥∇(I −∆)1/2uµ∥∥20
(2.17)
27
integrando respecto a t entre [0, t] tenemos
H(uµ(t))−H(uµ(0)) = −µ∫ t
0
∥∥∇(I −∆)1/2uµ(τ)∥∥20dτ
es decir
H(uµ(t)) + µ
∫ t
0
∥∥∇(I −∆)1/2uµ(τ)∥∥20dτ = H(uµ(0))
como µ > 0 se tieneH(uµ(t)) ≤ H(uµ(0)) (2.18)
por otro lado se tiene que
∥uµ∥21 =∫R2
(1 + |ξ|2)|uµ(ξ)|2dξ
=
∫R2
|uµ(ξ)|2dξ +∫R2
|ξ|2|uµ(ξ)|2dξ
=
∫R2
|uµ(ξ)|2dξ +∫R2
|∇uµ(ξ)|2dξ
Usando la igualdad de Plancherel (1.4) tenemos
∥uµ∥21 =∫R2
|uµ|2dxdy +∫R2
|∇uµ|2dxdy
=
∫R2
|uµ|2 + |∇uµ|2dxdy = H(uµ)
Reemplazando esta ultima igualdad en (2.18) obtenemos
sup[0,Tµ]
∥uµ∥21 ≤ H(uµ(0)) = H(ϕ) = ∥ϕ∥21 .
Nota. Como ∥uµ∥21 = H(uµ) reemplazando en la igualdad (2.17) se tiene
d
dt∥uµ∥21 = −µ
∥∥∇(I −∆)1/2uµ∥∥20
28
y como µ > 0 lo que se desea precisar es
d
dt∥uµ∥21 ≤ 0 (2.19)
Esta desigualdad será útil en el capítulo 3 para desarrollar la parte local dela ecuación HMCO.
Lema 2.10. Sean uµ como en el teorema (2.11) y µ > 0, entonces existeuna constante C2 independiente de µ tal que:
sup[0,Tµ]
∥uµ∥2 ≤ C2
Demostración. Derivando respecto al tiempo la estimativa S(u) (2.16) obten-emos.
d
dtS(uµ) =
1
2
∫R2
(2∇uµ · ∇uµt + 2∆uµ∆uµt) dxdy
=
∫R2
(∇uµ · ∇uµt +∆uµ∆uµt) dxdy
usando la proposición (1.20) y factorizando obtenemos
d
dtS(uµ) =
∫R2
(−uµ∆uµt +∆uµ∆uµt) dxdy
= −∫R2
∆uµ(I −∆)uµt dxdy
como uµ es solución de la ecuación regularizada (HMCO-R) reemplazandouµt tenemos
d
dtS(uµ) = −
∫R2
∆uµ(I −∆)(µ∆uµ + (I −∆)−1J(uµ,∆uµ)
)dxdy
= −∫R2
∆uµ(I −∆)µ∆uµ dxdy︸ ︷︷ ︸A
+
∫R2
∆uµJ(uµ,∆uµ) dxdy︸ ︷︷ ︸B
Analicemos la parte A:
−∫R2
∆uµ(I −∆)µ∆uµ dxdy = −µ∫R2
(I −∆)1/2∆uµ(I −∆)1/2∆uµ dxdy
29
= −µ∫R2
[(I −∆)1/2∆uµ
]2dxdy
= −µ∥∥(I −∆)1/2∆uµ
∥∥20
Para la parte B supongamos que uµ = u para facilitar los cálculos, y nal-mente realizando integración obtenemos∫R2
∆uJ(u,∆u) dxdy =
∫R2
∆u (ux∆uy − uy∆ux) dxdy
=
∫R2
∆uux∆uy dxdy −∫R2
∆uuy∆ux dxdy
=
∫R2
∆u∆uyux dxdy −∫R2
∆u∆uxuy dxdy
= −∫R2
(∆ux∆uy +∆u∆uxy)u dxdy
+
∫R2
(∆uy∆ux +∆u∆uxy)u dxdy
=
∫R2
−∆ux∆uyu−∆u∆uxyu+∆uy∆uxu+∆u∆uxyu dxdy
= 0
Luegod
dtS(uµ) = −2µ
∥∥(I −∆)1/2∆uµ∥∥20
integrando respecto a t entre [0, t] tenemos
S(uµ(t))− S(uµ(0)) = −2µ
∫ t
0
∥∥(I −∆)1/2∆uµ(τ)∥∥20dτ
es decir
S(uµ(t)) + 2µ
∫ t
0
∥∥(I −∆)1/2∆uµ(τ)∥∥20dτ = S(uµ(0))
como µ > 0 se tieneS(uµ) ≤ S(uµ(0)) = S(ϕ) (2.20)
30
por otro lado se tiene que
∥uµ∥2 =∫R2
(1 + |ξ|2)2|uµ(ξ)|2dξ
=
∫R2
(1 + 2|ξ|2 + |ξ|4)|uµ(ξ)|2dξ
=
∫R2
|uµ(ξ)|2 + 2|ξ|2|uµ(ξ)|2 + |ξ|4|uµ(ξ)|2dξ
=
∫R2
|uµ(ξ)|2 + 2|∇uµ(ξ)|2 + |∆uµ(ξ)|2dξ
Usando la igualdad de Plancherel (1.4) tenemos
∥uµ∥2 =∫R2
|uµ|2 + 2|∇uµ|2 + |∆uµ|2 dxdy
≤ ∥uµ∥1 + 2
∫R2
|∇uµ|2 + |∆uµ|2dxdy
≤ ∥uµ∥1 + 4S(uµ)
≤ H(uµ) + 4S(uµ)
Por (2.18) y (2.20) obtenemos el resultado luego
sup[0,Tµ]
∥uµ∥2 ≤ C2
Teorema 2.11. Sea uµ ∈ C ([0, Tµ];Hs(R2)) , s > 2 solución de (HMCO-R)
que satisface la ecuación Integral (2.1) cuya existencia y unicidad estagarantizada por los teoremas (2.6),(2.7), entonces uµ ∈ C ((0, Tµ];H
∞(R2))
Demostración. Sea 0 < α < 1, para mayor comodidad tomemos uµ = u yusando el la desigualdad de regularización (2.4) con λ = α y (2.5) obtenemos
∥u(t)∥s+α ≤∥∥eµ∆tϕ
∥∥s+α
+
∫ t
0
∥∥eµ∆(t−τ)F (u(τ))∥∥(s−1)+α+1
dτ
≤ Cα ∥ϕ∥s + Cα
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
)α+12
]∥F (u(τ))∥s−1 dτ
31
≤ Cα ∥ϕ∥s + Cα
∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
)α+12
]∥u(τ)∥2s dτ
≤ Cα ∥ϕ∥s + Cα ∥u∥2s,∞∫ t
0
[1 +
(1
2µ(t− τ)
)α+12
]dτ ≤ ∞
luego u ∈ C ((0, Tµ];Hs+α(R2)) repitiendo el mismo proceso obtenemos u ∈
C((0, Tµ];H
(s+α)+α(R2))es decir u ∈ C ((0, Tµ];H
s+2α(R2)), si repetimoseste proceso n−veces se obtiene: u ∈ C ((0, Tµ];H
s+nα(R2)) para todo n ∈ Nluego por inducción se tiene el teorema.
Teorema 2.12. El problema de valor inicial (HMCO-R) es globlamente bienplanteado en Hs(R2) si s > 2
Demostración. Se sigue del teorema (2.11), el lema (2.10) y el Principio deExtensión (1.22).
32
Capítulo 3
Ecuación HMCO
Lo primero que se realizara es la unicidad de la solución y luego se encontraraun tiempo que no depende de µ, posteriormente mostraremos que el limiteuµ → u0 cuando µ→ 0 es solución de HMCO.
3.1. Unicidad de la ecuación HMCO
El siguiente teorema es el resultado principal de esta capítulo.
Teorema 3.1. Sea ϕ ∈ Hs(R2) para s > 3 entonces existe T ∗ = T ∗(∥ϕ∥s) yuna única u = u(t, x, y) tal que:
u ∈ C([0, T ∗], Hs(R2)
)∩ C1
([0, T ∗], Hs−2(R2)
)y satisface la ecuación HMCO
ut = (I −∆)−1J(u,∆u) (3.1)
u(x, y, 0) = ϕ(x, y)
Primero se demostrara la unicidad ya que algunas estimativas serán nece-sarias para demostrar la existencia, para ello consideremos la siguienteproposición:
Proposición 3.2. Sea u, v como el teorema (3.1) y w = u− v, entonces secumplen las siguientes igualdades:∫
R2
J(w,∆u)w dxdy = 0 (3.2)
J(u,∆u)− J(v,∆v) = J(w,∆u) + J(v,∆w) (3.3)
33
Demostración. Usando la denición del jacobiano∫R2
J(w,∆u)w dxdy =
∫R2
(wx∆uy − wy∆ux)w dxdy
=
∫R2
wwx∆uy − wwy∆ux dxdy
=1
2
∫R2
(w2)x∆uy − (w2)y∆ux dxdy
e integrando por partes se obtiene la primera igualdad∫R2
J(w,∆u)w dxdy =1
2
∫R2
−(w2)xy∆u+ (w2)yx∆u dxdy
= 0
Para la segunda igualdad (3.3), nuevamente usamos la denición del jaco-biano y sabiendo que w = u− v
J(w,∆u) + J(v,∆w) = (u− v)x∆uy − (u− v)y∆ux + vx∆(u− v)y − vy∆(u− v)x
= ux∆uy − vx∆uy − uy∆ux + vy∆ux + vx∆uy − vx∆vy − vy∆ux + vy∆vx
= ux∆uy − uy∆ux − vx∆vy + vy∆vx
= J(u,∆u)− J(v,∆v)
Para ver la unicidad consideremos dos soluciones u, v ∈ C ([0, T ∗];Hs(R2)) ,con s > 3 que satisfacen el teorema (3.1) con el mismo dato inicial, seaw = u− v luego se tiene
wt = (I −∆)−1 (J(u,∆u)− J(v,∆v))
w(x, y, 0) = 0
Si derivamos la norma de w en H1 se tiene:
1
2
d
dt∥w∥21 =
1
2
d
dt⟨w,w⟩1
= ⟨wt, w⟩1= ⟨(I −∆)−1 (J(u,∆u)− J(v,∆v)) , w⟩1
=
∫R2
(1 + |ξ|2)[I −∆)−1 (J(u,∆u)− J(v,∆v))
](ξ)w(ξ) dξ
34
=
∫R2
[(J(u,∆u)− J(v,∆v))] (ξ)w(ξ) dξ
Usando la identidad de Plancherel (1.4) y las igualdades (3.2), (3.3) tenemos:
1
2
d
dt∥w∥21 =
∫R2
[J(u,∆u)− J(v,∆v)]w dxdy
=
∫R2
[J(w,∆u) + J(v,∆w)]w dxdy
=
∫R2
J(v,∆w)w dxdy
=
∫R2
(vx∆wy − vy∆wx)w dxdy
integrando por partes y factorizando
1
2
d
dt∥w∥21 =
∫R2
(vxwy − vywx)∆w dxdy
=
∫R2
vxwywxx − vywxwxx + vxwywyy − vywxwyy dxdy
=
∫R2
vxwywxx + vxwywyy − (vywxwxx + vywxwyy) dxdy
=
∫R2
vx(wywxx + wywyy) − vy(wxwxx + wxwyy) dxdy
sumando y restando lo mismo y factorizando adecuadamente se obtiene
1
2
d
dt∥w∥21 =
∫R2
vx(wywxx + wxwxy − wxwxy + wywyy)
− vy(wxwxx − wywyx + wywyx + wxwyy) dxdy
=
∫R2
vx
[(wxwy)x +
((wy)2 − (wx)
2)y2
]
− vy
[((wx)
2x − (wy)
2)x2
+ (wywx)y
]dxdy
35
integrando por partes y sumando términos semejantes se obtiene
1
2
d
dt∥w∥21 =
∫R2
−vxy(wy)
2
2+ vxy
(wx)2
2− vxx(wxwy) + vyx
(wx)2
2
− vyx(wy)
2
2+ vyy(wywx) dxdy
=
∫R2
−vxy(wy)2 + vxy(wx)
2 − vxx(wxwy) + vyy(wywx) dxdy
=
∫R2
vxy((wx)
2 − (wy)2)+ (vyy − vxx) (wxwy) dxdy
≤ |vxy|∞∫R2
((wx)
2 − (wy)2)dxdy + |vxx − vyy|∞
∫R2
|wxwy| dxdy
≤ |vxy|∞∫R2
((wx)
2 + (wy)2)dxdy
+(|vxx|∞ + |vyy|∞
) ∫R2
((wy)
2 + (wx)2)dxdy
≤ C
∫R2
((wy)
2 + (wx)2)dxdy
= C(∥wy∥20 + ∥wx∥20
)= C ∥w∥21
Sea ha concluido que
1
2
d
dt∥w∥21 =
∫R2
[J(u,∆u)− J(v,∆v)]w dxdy ≤ C ∥w∥21 (3.4)
Si integramos respecto al tiempo entre [0, t] obtenemos:
∥w(t)∥21 − ∥w(0)∥21 ≤∫ t
o
∥w(τ)∥21 dτ,
como w(0) = 0 y usando el Lema de Gronwall (1.16) se obtiene:
∥w(t)∥21 ≤ 0
luego w(t) = 0 entonces u(t) = v(t)
36
3.2. Existencia de la ecuación HMCO
Ahora probaremos la existencia de la solución del teorema (3.1), el primerpaso es probar que uµ es uniformemente acotada en µ y localmente en eltiempo en Hs(R2). Para ello denamos: v = ux, w = uy por lo tanto vy =wx = uxy, por la proposicion (1.7) y sabiendo que Λs = (I −∆)s/2 se tiene:
ut = µ∆u+ (I −∆)−1 (Q (u2x − u2y)− P (uxuy)
)ut = µ∆u+ Λ−2Q
(u2x − u2y
)− Λ−2P (uxuy)
derivando respecto a la variable x a ambos lados tenemos
(ux)t = µ∆ux + Λ−2Q (2uxuxx − 2uyuxy)− Λ−2P (uxxuy + uxuxy)
usando las deniciones anteriores se obtiene:
vt = µ∆v + Λ−2Q (2vvx − 2wwx)− Λ−2P (vxw + vwx)
multiplicando por el operador Λs−1 y realizando el producto interno en L2(R2)con Λs−1v se obtiene
d
dt∥v∥2s−1 =− µ ∥∇v∥2s−1 +
⟨2Λ−2QΛs−1(vvx),Λ
s−1v⟩︸ ︷︷ ︸
I
−⟨2Λ−2QΛs−1(wwx),Λ
s−1v⟩︸ ︷︷ ︸
II
−⟨Λ−2PΛs−1(vxw),Λ
s−1v⟩︸ ︷︷ ︸
III
−⟨Λ−2PΛs−1(vwx),Λ
s−1v⟩︸ ︷︷ ︸
IV
Sabiendo Λs−1(vvx) = [Λs−1, v] vx + vΛs−1vx y que Λ−2Q es un operadoracotado, comencemos analizando la parte I
⟨2Λ−2QΛs−1(vvx),Λ
s−1v⟩=⟨2Λ−2Q
[Λs−1, v
]vx,Λ
s−1v⟩
+⟨2Λ−2Q(vΛs−1vx),Λ
s−1v⟩
≤∥∥[Λs−1, v
]vx∥∥0︸ ︷︷ ︸
A
∥∥Λs−1v∥∥0+ ∥vx∥L∞
∥∥Λs−1v∥∥20
37
Se acotara la parte A usando la proposición (1.3) y suponiendo que s > 3 setiene⟨2Λ−2QΛs−1(vvx),Λ
s−1v⟩≤ C
(∥∇v∥∞
∥∥Λs−2vx∥∥0+ ∥vx∥∞
∥∥Λs−1v∥∥0
)∥v∥s−1
+ ∥vx∥s−2 ∥v∥2s−1
≤ C(∥∇v∥s−2 ∥vx∥s−2 + ∥vx∥s−2 ∥v∥s−1
)∥v∥s−1
+ ∥v∥s−1 ∥v∥2s−1
≤ C(∥v∥2s−1 ∥v∥s−1 + ∥v∥s−1 ∥v∥
2s−1
)≤ C ∥v∥3s−1
de manera análoga se analizan la parte II, III y IV llegando a los siguientesresultadosParte II⟨
2Λ−2QΛs−1(wwx),Λs−1v
⟩≤ C
(∥w∥2s−1 ∥v∥s−1 + ∥v∥s−1 ∥w∥
2s−1
)C ∥w∥2s−1 ∥v∥s−1 .
Parte III ⟨Λ−2PΛs−1(vxw),Λ
s−1v⟩≤ C ∥w∥s−1 ∥v∥
2s−1 .
Parte IV ⟨Λ−2PΛs−1(vwx),Λ
s−1v⟩≤ C ∥w∥s−1 ∥v∥
2s−1
Es decir
d
dt∥v∥2s−1 ≤ C1 ∥v∥3s−1 + C2 ∥v∥2s−1 ∥w∥s−1 + C3 ∥v∥s−1 ∥w∥
2s−1
De manera similar se obtiene una desigualdad para ddt∥w∥2s−1
d
dt∥w∥2s−1 ≤ C1 ∥w∥3s−1 + C2 ∥v∥2s−1 ∥w∥s−1 + C3 ∥v∥s−1 ∥w∥
2s−1
con las dos desigualdades anteriores se concluye que
d
dt∥∇u∥2s−1 =
d
dt
(∥v∥2s−1 + ∥w∥2s−1
)≤ C0 ∥v∥3s−1 + C1 ∥w∥3s−1 + C2 ∥v∥2s−1 ∥w∥s−1 + C3 ∥v∥s−1 ∥w∥
2s−1
≤ C ∥∇u∥3s−1
38
Lema 3.3. Sea ϕ ∈ Hs(R2), s > 3, existe Ts = T (∥ϕ∥s), que no dependede µ y una función ρ ∈ C ([0, Ts]; [0,∞)) tal que Ts(ϕ) ≤ Ts(µ, ϕ) para todoµ > 0 y
∥u(t)µ∥2s ≤ ∥ϕ∥21 + ρ(t) para todo t ∈ [0, Ts]
Demostración. Sea h(uµ(t)) = ∥∇uµ(t)∥2s−1 por la anterior desigualdad setiene
d
dth(uµ(t)) ≤ Cs [h(uµ(t))]
3/2
integrando respecto al tiempo tenemos
h(uµ(t)) ≤ h(ϕ) +
∫ t
0
Csh(uµ(τ))3/2dτ
Sea ρ ∈ C([0, Ts); [0,∞)) la solución máximal de :
∂tρ(t) = Csρ(t)3/2
ρ(0) = ∥∇ϕ∥2s−1 ,
Donde la solución de la ecuación diferencial anterior es :
ρ(t) =
11
∥∇ϕ∥2s−1
− Cst
2
por el teorema (1.23) haciendo V (·) = (·)3/2 y la función h denida anterior-mente tenemos
∥∇uµ(t)∥2s−1 ≤ ρ(t)
Para todo t ∈ [0, 1Cs∥∇ϕ∥2s−1
)
en particular tomemos Ts = 12Cs∥ϕ∥2s
y sea M1 = sup[0,Ts]
√ρ(t)
observe que:
∥uµ∥s = ∥uµ∥21 + ∥∇uµ∥2s−1 ≤ ∥ϕ∥21 + ρ(t) para todo t ∈ [0, Ts]
Luego existe una subsucesión denotada uµ tal que
uµ ∗ u debil estrella en C([0, Ts], Hs(R2))
pero necesitamos la convergencia fuerte, esto se obtiene al probar el siguientelema:
39
Lema 3.4. Sea η y ϵ números positivos uη y uϵ dos soluciones de (HMCO-R)y ϕη, ϕϵ los datos iníciales respectivamente, entonces se tiene:
sup[0,T ∗]
∥uϵ − uη∥21 ≤ C1(T∗)[∥ϕϵ − ϕη∥21 + C2(ϵ+ η)]
donde las constantes solo dependen de T ∗
Demostración. Sea w = uϵ − uη como satisfacen (HMCO-R) tenemos
uϵt = ϵ∆uϵ + (I −∆)−1J(uϵ,∆uϵ)
yuηt = η∆uη + (I −∆)−1J(uη,∆uη)
restando estas dos igualdades tenemos
wt = (I −∆)−1 [J(uϵ,∆uϵ)− J(uη,∆uη)] + ϵ∆uϵ − η∆uη
sumando y restando ϵ∆uη y factorizando se obtiene
wt = (I −∆)−1 [J(uϵ,∆uϵ)− J(uη,∆uη)] + ϵ∆w + (ϵ− η)∆uη
multiplicando a ambos lados de la igualdad por (I−∆)w e integrando en R2
se tiene∫R2
wt(I−∆)w dxdy =
∫R2
(I−∆)−1 [J(uϵ,∆uϵ)− J(uη,∆uη)] (I−∆)w dxdy
+
∫R2
ϵ∆w(I −∆)w dxdy +
∫R2
(ϵ− η)∆uη(I −∆)w dxdy
es decir∫R2
wt(I −∆)w dxdy =
∫R2
[J(uϵ,∆uϵ)− J(uη,∆uη)]w dxdy︸ ︷︷ ︸A
+
∫R2
ϵ∆w(I −∆)w dxdy︸ ︷︷ ︸B
+
∫R2
(ϵ− η)∆uη(I −∆)w dxdy︸ ︷︷ ︸C
(3.5)
Estimemos el lado izquierdo de la igualdad, usando la igualdad de Plancherel(1.4) ∫
R2
wt(I −∆)w dxdy =
∫R2
wtw dxdy −∫R2
wt∆w dxdy
40
=
∫R2
wt(ξ)w(ξ) d+
∫R2
wt(ξ)|ξ|2w(ξ) dξ
=
∫R2
(1 + |ξ|2)wt(ξ)w(ξ) dξ
= ⟨wt, w⟩H1
=1
2
d
dt∥w∥21
Por la desigualdad (3.4) tenemos que la parte A esta acotada por:∫R2
[J(uϵ,∆uϵ)− J(uη,∆uη)]w dxdy ≤ C ∥w∥21
Para la parte B se usara la proposición (1.20)∫R2
ϵ∆w(I −∆)w dxdy = ϵ ⟨∆w, (I −∆)w⟩
= −ϵ ⟨∇w,∇(I −∆)w⟩= −ϵ
⟨∇(I −∆)1/2w,∇(I −∆)1/2w
⟩= −ϵ
∥∥∇(I −∆)1/2w∥∥2L2
Analizando la parte C se usara nuevamente la proposición (1.20) y la de-sigualdad de Cauchy-Schwarz∫
R2
(ϵ− η)∆uη(I −∆)w dxdy ≤∣∣∣∣∫
R2
(ϵ− η)∆uη(I −∆)w dxdy
∣∣∣∣≤ |ϵ− η|
∣∣∣∣∫R2
∆uη(I −∆)w dxdy
∣∣∣∣= |ϵ− η|
∣∣∣∣∫R2
∇uη∇(I −∆)w dxdy
∣∣∣∣= |ϵ− η|
∣∣⟨∇uη,∇w⟩H1
∣∣= |ϵ− η| ∥∇uη∥1 ∥∇w∥1
como ∥∇u∥s−1 ≤ ∥u∥s y además uϵ, uη ∈ H2(R2) luego se tiene∫R2
(ϵ− η)∆uη(I −∆)w dxdy ≤ |ϵ− η| ∥uη∥2 ∥w∥2
≤ C2|ϵ− η|
41
Ahora reemplazando las estimativas A, B, C en la ecuación (3.5) tenemos
d
dt∥w∥21 ≤ C1 ∥w∥21 − ϵ
∥∥∇(I −∆)1/2w∥∥2L2 + C2|ϵ− η|
≤ C2|ϵ− η|+ C1 ∥w∥21
integrando respecto al tiempo tenemos
∥w∥21 ≤ +C2|ϵ− η|T ∗ + ∥w(0)∥21 + C1
∫ t
0
∥w(τ)∥21 dτ
≤[C2|ϵ− η|T ∗ + ∥w(0)∥21
]+ C1
∫ t
0
∥w(τ)∥21 dτ
Como ∥w(0)∥ = ∥ϕϵ − ϕη∥1 y sando el lema de Gronwall (1.16) se obtiene
∥w∥21 ≤ C(T ∗)(C2|ϵ− η|+ ∥ϕϵ − ϕη∥21
)
Nota. Si ϕϵ − ϕη = 0 se obtiene:
sup[0,T ∗]
∥uϵ(t)− uη(t)∥1 ≤ C|ϵ− η|
es decir la sucesión (uµ)µ>0 es una sucesión de Cauchy en C ([0, Ts];H1(R2)),
como este espacio es completo entonces existe u0 ∈ C ([0, T ];H1(R2)) tal que
lımµ→0+
sup[0,Ts]
∥uµ(t)− u0(t)∥1 = 0
luego uµ converge a u0 en H1(R2) y uniformemente en [0, Ts]
Teorema 3.5. Sea s > 2 jo, entonces para cada ϕ ∈ Hs(R2) existe unTs = Ts(ϕ) y una función u0 ∈ Cw ([0, T ];Hs(R2))∩C1
w ([0, T ];Hs−3(R2)) talque u0(0) = ϕ y u0 satisface la ecuación HMCO en el sentido débil esto es:
⟨u0(t), ψ⟩s−2 = ⟨ϕ, ψ⟩s−2 +
∫ t
0
⟨(I −∆)−1J(u0(τ),∆u0(τ)), ψ
⟩s−2
dτ (3.6)
para todo ψ ∈ Hs−2(R2) y t ∈ [0, Ts] además se tiene
∥u0(t)∥2s ≤ ρ(t)
donde ρ(t) esta dado como el lema (3.3).
42
Demostración. Primero veamos que (uµ)µ>0 es una sucesión de Cauchydébil en H1(R2) y uniformemente respecto al tiempo. Como S(R2) es densoHs(R2), dado φ ∈ Hs(R2) y ϵ > 0 tomamos φϵ ∈ S(R2) tal que ∥φ− φϵ∥s ≤ ϵ
usando la desigualdad de Cuachy Schwarz tenemos∣∣⟨uµ(t)− uη(t), φ⟩s∣∣ ≤ ∣∣⟨uµ(t)− uη(t), φ− φϵ⟩s
∣∣+ ∣∣⟨uµ(t)− uη(t), φϵ⟩s∣∣
≤ ∥uµ(t)− uη(t)∥s ∥φ− φϵ∥s +∣∣⟨uµ(t)− uη(t), (1− ∂2)sφϵ
⟩0
∣∣≤(∥uµ(t)∥s + ∥uη(t)∥s
)∥φ− φϵ∥s + ∥uµ(t)− uη(t)∥0
∥∥(1− ∂2)sφϵ
∥∥0
En el lema (3.3) se obtuvo ∥u(t)µ∥s ≤M , donde M = sup[0,Ts]
√ρ(t) retomando
tenemos∣∣⟨uµ(t)− uη(t), φ⟩s∣∣ ≤ 2M ∥φ− φϵ∥s + ∥uµ(t)− uη(t)∥0
∥∥(1− ∂2)sφϵ
∥∥0
≤ 2M ∥φ− φϵ∥s + ∥uµ(t)− uη(t)∥1 ∥φϵ∥1
por la nota anterior ∥uµ(t)− uη(t)∥1 < ϵ, por hipótesis tenemos que∥φ− φϵ∥s < ϵ y ∥φϵ∥1 <∞ entonces se deduce∣∣⟨uµ(t)− uη(t), φ⟩s
∣∣ ≤ ϵ para todo t ∈ [0, Ts]
Luego (uµ)µ>0 es una sucesión de Cauchy débil en (Hs) y uniformemente en[0, Ts] es decir:
lımµ, η→0+
sup[0,Ts]
⟨uµ(t)− uη(t), φ⟩s = 0 para todo φ ∈ Hs
como Hses reexivo, existe v ∈ Cw ([0, T ];Hs(R2)) tal que
lımµ→0+
⟨uµ(t), φ⟩s = ⟨v(t), φ⟩s para todo φ ∈ Hs
observemos que v = u0, como Hs ⊂ H1 para s > 2 tenemos
⟨u0(t), φ⟩1 = lımµ→0+
⟨uµ(t), φ⟩1
= ⟨v(t), φ⟩1 para todo φ ∈ Hs
luego ⟨u0(t)− v(t), φ⟩1 para todo φ ∈ Hs, como Hs es denso en H1 paras > 2 tenemos
u0(t) = v(t) para todo t ∈ [0, Ts]
43
Ahora veamos que ∥u0(t)∥2s ≤ ρ(t) para todo t ∈ [0, Ts]
∥u0(t)∥s = sup∥φ∥s=1
| ⟨u0(t), φ⟩s |
= sup∥φ∥s=1
lımµ→0
| ⟨uµ(t), φ⟩s |
≤ sup∥φ∥s=1
lımµ→0
∥uµ(t)∥s ∥φ∥s
= lımµ→0
∥uµ(t)∥s
≤ (ρ(t))1/2 para todo t ∈ [0, Ts]
Finalmente veamos que u0 ∈ C1w ([0, T ];Hs−2(R2)) y satisface la ecuación
(3.6) para toda ψ ∈ Hs−2. En efecto
⟨uµ(t), ψ⟩s−2 = ⟨ϕ, ψ⟩s−2 +
∫ t
0
⟨(I −∆)−1J(uµ(τ),∆uµ(τ)), ψ
⟩s−2
dτ (3.7)
Para todo ψ ∈ Hs−2 y para todo t ∈ [0, Ts]. Como uµ → u0 en H1(R2),uµ u0 en Hs(R2) y J(u,∆u) = ux∆uy − uy∆ux obtenemos las siguientesconvergencias:
∂xuµ ∂xu0 en Hs−1(R2)
∂yuµ ∂yu0 en Hs−1(R2)
∆uµ ∆u0 en Hs−2(R2)
∆(uµ)x ∆(u0)x en Hs−3(R2)
∆(uµ)y ∆(u0)y en Hs−3(R2)
J(uµ,∆uµ) J(u0,∆u0) en Hs−3(R2)
(I −∆)−1J(uµ,∆uµ) (I −∆)−1J(u0,∆u0) en Hs−1(R2)
uniformemente en [0, Ts] cuando µ→ 0+. Luego si hacemos µ→ 0+ en (3.7)obtenemos (3.6).
44
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