control de par y flujo -...

Capıtulo 4

Control de Par y Flujo

4.1. Control vectorial

El concepto de campo orientado fue propuesto a finales de los sesenta como uno de

los mayores paradigmas en la teorıa y control de las maquinas de induccion. En esencia,

el objetivo principal del campo orientado consiste controlar el motor de induccion en

forma similar a como se controla una maquina de corriente continua.

El control vectorial (FOC, por sus siglas en ingles) es una estrategia basada en las

propiedades del modelo de la maquina de induccion descritas en la seccion 3.3.1.3 de este

trabajo.

El principio del FOC, orientado al vector de flujo λf que pudiera ser cualquiera de

los flujos que aparecen en el sistema o el fijado en el rotor, puede ser resumido en los

siguientes pasos:

1. Dados el par de referencia T ∗e y el flujo de referencia λ∗

f , traducir estas referencias a

corrientes de referencia i∗sd y i∗sq en el marco de referencia adoptado.

2. Estimar la posicion del vector de flujo θf ; que es necesario para realizar la transfor-

macion del sistema de referencia en variables de fase a d–q y viceversa.

3. A partir de los valores de referencia y los valores medidos obtener los esfuerzos de

control requeridos para minimizar el error de la variable de control.

69

Capıtulo 4. Control de Par y Flujo

Figura 4.1: Generacion del par electromagnetico en el control FOC orientado en el flujo

de rotor.

4. Transformar los esfuerzos de control del marco de referencia d–q al de las variables

de fase u otro marco de referencia, como el α–β, para el control de la corriente

suministrada por el inversor a la maquina.

Para el caso que se adopte el sistema de referencia orientado al flujo de rotor λr

(RFOC), basandonos en las ecuaciones (3.99)–(3.100) del modelo en el subespacio d–q, la

generacion de par electromagnetico se muestra en el diagrama presentado en la Fig. 4.1. El

principio del control vectorial, para este caso, se puede desglosar de manera muy sencilla

a partir de este diagrama, y puede resumirse de la siguiente manera:

1. La componente de corriente de estator isd es utilizada para controlar el flujo de

rotor. El comportamiento dinamico depende de la constante de tiempo del rotor τr.

2. La componente de corriente de estator isq es utilizada para controlar la generacion

de par electromecanico, siendo independiente de cualquier constante de tiempo.

3. El RFOC requiere de lazos de control de corriente independientes para imponer las

componentes de corriente de generacion de flujo de rotor y de par electromagnetico.

Ademas, requerirıa de un lazo de control externo que genere el par de referencia.

En este trabajo se considera solo el control vectorial orientado en el rotor de la

maquina como estrategia de control de velocidad, por lo simplificado que resulta el

modelo y el control de la maquina.

70


4.1.1. Estrategias de control RFOC

En la obtencion del modelo de la maquina de induccion de cinco fases se pudo notar

la similitud con la de tres fases en el subespacio en el cual se realiza la conversion de

energıa electromecanica. Por tanto, las estrategias de control vectorial de las maquinas

de tres fases pueden ser aplicadas a las de cinco fases siempre y cuando se adicionen

acciones de control que minimizen las componentes en los subespacios que no contribuyen

a la generacion del par electromagnetico.

Las estrategias a estudiar son el control vectorial directo (DRFOC) y el control vec-

torial indirecto (IRFOC).

4.1.1.1. Control vectorial directo (DRFOC)

El esquema de control vectorial DRFOC se muestra en la Fig 4.2(a). Esta tecnica de

control requiere de lazos de medicion que determinen las coordenadas polares, posicion

y magnitud del vector de espacio de flujo del rotor λr. La Fig. 4.2(b) muestra un corte

esquematico transversal al eje de la maquina con la localizacion de los sensores de

efecto Hall, empotrados en el entrehierro de la maquina de manera ortogonal, con lo

que obtenemos las componentes en cuadratura del flujo en el entrehierro λm respecto al

marco de referencia fijo en el estator α–β.

A partir del vector de flujo en el entrehierro puede obtenerse el flujo de estator por

medio de la siguiente ecuacion:

�λmαβ = �λsαβ − Lls ·�isαβ (4.1)

y el flujo del rotor puede ser obtenido a partir de la siguiente expresion:

�λrαβ =1

kr· �λsαβ − σ · Ls

kr·�isαβ (4.2)

Finalmente, con las componentes en cuadratura del flujo del rotor pueden ser

obtenidas la magnitud y la posicion del flujo del rotor.

71


(a)

(b)

Figura 4.2: Control vectorial directo. (a) Esquema de control DRFOC para una maquina

de induccion de cinco fases. (b) Esquema de medicion del flujo en el entrehierro de la

maquina para el control DRFOC.

72


El controlador PI externo establece una corriente itsq de referencia basada en la

velocidad de consigna de la maquina. Esta es comparada con la corriente actual isq,

generando una senal de error que nuevamente pasa por un controlador PI que genera

la referencia i∗sq para el control de corriente, que se realiza mediante el Controlado de

Corriente PWM (CCPWM).

Para el control de flujo, se calcula el error entre el valor de referencia λ∗r y el valor

medido λr generandose la referencia i∗sd por medio de un controlador PI (este valor

sera necesario para gobernar el CCPWM). El proceso descrito se repite cada ciclo de

control.

La desventaja de esta estrategia de control consiste en el uso de sensores de efecto

Hall cuyo elevado coste disminuye la competitividad con respecto a otras estrategias que

veremos seguidamente.

4.1.1.2. Control vectorial indirecto (IRFOC)

En la Fig. 4.3 se muestra un esquema de la estrategia de control IRFOC.

En el control vectorial indirecto, la posicion y magnitud del vector de espacio de

flujo de rotor son determinadas por medio de estimadores, a partir de la medicion de las

corrientes y de la velocidad de la maquina. Como se puede observar en la Fig. 4.1, que

muestra las relaciones deducidas de las ecuaciones presentadas en (3.100), la magnitud y

posicion del flujo estan dadas por:

τr · p · λr + λ rr = M · i e

sd

ωsl =M · i e

sq

τr · λr

=i esq

τr · i esq

=i ∗sq

τr · i ∗sq

θre =

∫ t

0

(ωsl + ωr) · dt

(4.3)

Con las coordenadas del flujo, magnitud y posicion se procede de manera analoga

al DRFOC, como puede verse en el esquema de control de la Fig. 4.3. Puede notarse

73


Figura 4.3: Esquema de control del IRFOC para una maquina de induccion de cinco fases.

que los estimadores son muy sensibles a las mediciones a y la constante de tiempo del rotor.

El estimador presentado en (4.3) genera su resultado a partir de la corriente y de la

velocidad de giro de la maquina. Otro estimador que puede considerarse es el basado en

la tension y la corriente en el marco de referencia α–β segun:

p · �λsαβ = �vsαβ −Rs · �isαβ

�λrαβ =1

kr· �λsαβ − σ · Ls

kr·�isαβ

(4.4)

con lo que combinando estas ecuaciones, se obtiene las componentes en cuadratura del

vector de espacio de flujo dadas por:

�λrαβ =1

kr·∫ (

�vsαβ −Rs · �isαβ

)· dt− σ · Ls

kr·�isαβ (4.5)

Con los estimadores se evita el uso de los sensores de efecto Hall, con lo que se consigue

una tecnica de control mas barata y competitiva.

74


4.1.2. Control de corriente en un inversor de cinco ramas

Un importante bloque para que sean posibles las tecnicas de control de un accio-

namiento electromecanico de cinco fases es el control de corriente del inversor de cinco

ramas, pues con los controles finalmente se obtienen corrientes de referencias que deben

ser impuestas en la maquina. La tecnica de control mas utilizada para los inversores de

potencia es la de modulacion PWM.

El control de corriente empleado por las tecnicas de control vectorial se basa en

convertir las corrientes de referencia en tension de referencia por medio de la adicion a

cada linea de control de la senal de desacoplo. Una vez obtenida la tension de referencia

cualquiera de las tecnicas de modulacion de actuadores multifasicos puede ser utilizada.

Para disminuir la generacion de armonicos y evitar sobrecorrientes, se adiciona

un control de corrientes en el plano x–y, con un valor de referencia nulo. Con la adi-

cion de estos controles se consigue minimizar las componentes de corriente en le plano x–y.

El esquema de control de corriente en el marco de referencia d–q se muestra en la

Fig. 4.4. En la Fig. 4.4(a) se puede observar como se genera la tension de referencia en

el marco sıncrono. La corriente de referencia de cada componente en el subespacio d–q se

corrige con el termino de desacoplo, el cual se obtiene a partir de las ecuaciones de tension

en regimen permanente (�λ esdq constante) segun:

ed = ωre · σ · Ls · i e

sq

eq = ωre · Ls · i e

sd

(4.6)

Una vez definida la tension de referencia en el marco sıncrono, se transforma esta

a coordenadas de fase, previo paso por coordenadas α–β, para obtener la tension de

referencia a ser modular en la salida del inversor. En la Fig. 4.4(b) se muestra un esquema

general para la modulacion de la tension de referencia.

75


(a)

(b)

Figura 4.4: Control de corriente en el marco de referencia sıncrono. (a) Esquema de genera-

cion de tension de referencia en variables de fase. (b) Esquema de modulacion multifasica.

Para la modulacion puede utilizarse tanto las tecnicas basadas en portadoras como las

de vectores de espacio (SVPWM). Los metodos basados en portadoras son muy simples

de implementar, inclusive con la inyeccion de armonicos; pero se posee poco control de

armonicos y de la conmutacion de las ramas del inversor.

Para este trabajo se selecciono una modulacion del tipo SVPWM, por su gran

facilidad en el control de armonicos, frecuencia de conmutacion y generacion de referencia

con respecto a la modulacion basada en portadora.

76


4.1.3. SVPWM para convertidores de cinco fases y dos niveles

Las tecnicas de modulacion PWM para convertidores multifasicos publicados en

la literatura actual estan basados en portadora y en el modelado de los convertidores

por medio de vectores de espacio SVPWM. Las tecnicas basadas en modulacion con

portadora son una extension de las empleadas en la modulacion de convertidores trifasicos

[25]–[27]. Las primeras tecnicas de modulacion basadas en SVPWM fueron desarrolladas

basadas en algoritmos que consideran los vectores de espacios en los subespacios α–β

[16], [28]–[30]. Actualmente tambien han sido estudiadas estrategias con vectores de

espacio generados en variables de fases [31]–[33].

El algoritmo de modulacion implementado en este trabajo esta basado en el metodo

Multidimensional SVPWM para convertidores de dos niveles [33], que consiste en un

caso particular de los metodos de modulacion de convertidores multifase y multinivel

[31]–[32]. Este algoritmo tiene como virtud el bajo coste computacional requerido para

su aplicacion en controladores digitales.

En [31] se presenta un algoritmo de modulacion para convertidores de N fases, que

requieren un espacio N–dimensional para representar cada vector de espacio que el VSI

puede imponer en su salida con el objetivo de reproducir la referencia dada. De esta

manera, cada vector de tension de referencia Vr, expresado en variables de fases esta dado

por:

Vr =[Vr1 Vr2 Vr3 · · · VrN

]T∈ R

N (4.7)

Suponiendo que la solucion del problema de modulacion sea obtenida por l vectores

N–dimensionales de espacio Vjs (j = 1, 2, 3, · · · , l), que se aplican durante un periodo de

tiempo Tj obtenido mediante el algoritmo de modulacion, tendremos que en cada periodo

77


de modulacion se cumple:

Vr · Ts =l∑

j=1

Vjs · Tj

Ts =l∑

j=1

Tj

(4.8)

Donde cada vector de espacio esta definido por sus componentes en variables de fase como

sigue:

Vjs =

[V js1 V j

s2 V js3 · · · V j

sN

]T∈ R

N (4.9)

Tomando como marco de referencia de medicion de potencial la lınea neutra del

DC–Link y considerando que cada vector de tension de estado es resultado de un es-

tado de conmutacion del inversor de N ramas, tal como se demostro en la seccion 3.2 de

este trabajo, se obtiene que cada componente sera obtenida por:

V jsk = Sj

k · Vdc ; Sjk ∈ S (4.10)

siendo k = 1, 2, 3, · · · , N y S = {0, 1}. Este ultimo conjunto definido denota el uso

de convertidores de dos niveles y puede ser ampliado en el caso de convertidores multinivel.

Aprovechando esta definicion matematica, los vectores de tension pueden ser normali-

zados respecto a la tension del DC–Link Vdc y los periodos de conmutacion de cada vector

de espacio respecto al periodo de modulacion Ts, obteniendo:

vr =Vr

Vdc

;∈ RN

vjs =

Vjs

Vdc

;∈ SN

tj =Tj

Ts

(4.11)

Con lo que las ecuaciones tension–tiempo seran:

vr =l∑

j=1

vjs · tj

l∑j=1

tj =1

(4.12)

78


y las nuevas definiciones de los vectores de tension seran:

vr =[vr1 vr2 vr3 · · · vrN

]T∈ R

N

vjs =

[Sj1 Sj

2 Sj3 · · · Sj

N

]T∈ S

N

(4.13)

Acotando, ademas, que cada componente del vector de tension de referencia debe

verificar la desigualdad 0 ≤ vrj ≤ 1, pues la tension maxima respecto a la lınea neutra

del DC–Link en cualquier rama del VSI es igual a la tension del DC–Link Vdc.

Matricialmente, las ecuaciones tension–tiempo (4.12) puede expresarse como sigue:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

vr1

vr2

vr3...

vrN

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 1 · · · 1

S11 S2

1 S31 · · · Sl

1

S12 S2

2 S32 · · · Sl

2

S13 S2

3 S33 · · · Sl

3

......

.... . .

...

S1N S2

N S3N · · · Sl

N

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

︸︷︷︸[D]

·

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

t1

t2

t3...

tl

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.14)

Para darle solucion al sistema lineal de ecuaciones (4.14) se puede notar que la matriz

[D], que permite obtener los tiempos de aplicacion de cada vector, consiste en una matriz

que pertenece al espacio S(N+1)×l. Para obtener una solucion unica, la matriz [D] se define

como cuadrada haciendo l = N + 1, con lo que el sistema de ecuaciones final a analizar

serıa: ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

vr1

vr2

vr3...

vrN

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 1 · · · 1

S11 S2

1 S31 · · · SN+1

1

S12 S2

2 S32 · · · SN+1

2

S13 S2

3 S33 · · · SN+1

3

......

.... . .

...

S1N S2

N S3N · · · SN+1

N

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦·

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

t1

t2

t3...

tN+1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎣ 1

vr

⎤⎦ =

[D]·[t]

(4.15)

79


Bajo la restriccion de que los tiempos resultantes de la aplicacion del algoritmo de

modulacion deben ser positivos. Ademas, es logico pensar, que la rama del inversor que

posea el mayor valor de tension de referencia tendra que poseer mayor tiempo de disparo

y viceversa la rama que posea el menor valor de tension de referencia tendra que poseer

un tiempo de disparo menor a las demas. Por otro lado, la matriz [D] representa la tabla

de conmutacion en cada rama del inversor a la que podemos anadir la restriccion de que

entre columnas consecutivas solo pueda existir un cambio por rama, minimizando de esta

forma las perdidas por conmutacion y asegurando que la frecuencia de conmutacion por

rama sea igual a la frecuencia de modulacion.

De esta forma, los pasos para resolver el algoritmo son:

1. Seleccionar una matriz de conmutacion adecuada [D] no singular.

2. Resolver el sistema lineal de ecuaciones para obtener los tiempos de aplicacion de

cada vector de espacio.

3. Extraer los vectores de conmutacion a ser aplicados durante cada periodo.

Un posible metodo consiste en encontrar una matriz de permutacion [P ] que ordene

las componentes del vector vr de manera decreciente, con la mayor de sus componentes

ocupando el primer orden del vector. Obtendrıamos:

[P]·⎡⎣ 1

vr

⎤⎦ =

⎡⎣ 1

vr

⎤⎦ (4.16)

Con lo que se verifica:

1 > vr1 ≥ vr2 ≥ vr3 ≥ · · · ≥ vrN ≥ 0 (4.17)

Ademas, como la matriz [P ] es una matriz de permutacion, originada por operacio-

nes elementales de intercambio a partir de la matriz identidad, se verifica la siguiente

propiedad: [P]−1

=[P]T

(4.18)

80


Premultiplicando por [P ] la ley de modulacion (4.15) se obtiene:⎡⎣ 1

vr

⎤⎦ =

[D]·[t]

(4.19)

Siendo [D]=

[P]·[D]

(4.20)

Una matriz [D] con secuencias de un cambio en conmutaciones adyacentes y no singular

es la matriz unitaria triangular superior en el espacio S(N+1)×(N+1):

[D]=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 1 · · · 1

0 1 1 · · · 1

0 0 1 · · · 1...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.21)

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido por la transformacion se obtienen los

tiempos de aplicacion de cada vector de espacio iguales a:

tj =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1− vr1 si j = 1

vr j−1 − vrj si 2 ≤ j ≤ N

vrN si j = N + 1

(4.22)

Se puede verificar mediante (4.17) que todas las soluciones obtenidas son positivas.

Los vectores de conmutacion, para cada tiempo definido corresponde a los N ultimos

elementos de cada columna de la matriz [D], obtenida mediate la transformacion:

[D]=

[P]T

·[D]

(4.23)

81


Con lo que queda totalmente definido algoritmo de modulacion. Consideremos, en-

tonces, el algoritmo aplicado a la modulacion de un convertidor de cinco fases y dos niveles.

La dimension del espacio serıa N = 5 y el vector de Tension de referencia serıa Vr =

[ v∗as v∗bs v

∗cs v

∗ds v

∗es]

T para el control del corriente que circula por la maquina de cinco

fases. Supongamos, entonces, que estos valores de referencia normalizados con respecto a

la tension del DC–Link Vdc y referidas a la linea neutra del mismo son:

vr =[0,69 0,60 0,11 0,21 0,34

]T(4.24)

La matriz de permutacion para el vector de referencia sera:

[P]=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.25)

Luego de la transformacion con la construccion auxiliar de dimensiones 6× 6 se obtiene:

vr =[0,69 0,60 0,34 0,21 0,11

]T(4.26)

La matriz [D] es la unitaria triangular superior de orden 6× 6:

[D]=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.27)

82


y la matriz [D] de los vectores de conmutacion resultante es:

[D]=

[P]T

·[D]=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 1 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.28)

Los vectores de conmutacion v js = [S j

a S jb S j

c S jd S j

e ]T resultantes son:

v 1s =

[0 0 0 0 0

]Tv 2s =

[1 0 0 0 0

]Tv 3s =

[1 1 0 0 0

]Tv 4s =

[1 1 0 0 1

]Tv 5s =

[1 1 0 1 1

]Tv 6s =

[1 1 1 1 1

]T

(4.29)

Finalmente, los tiempos normalizados de aplicacion de cada vector de espacio se obtienen

mediante:

t1 =1− vr1 = 0,31

t2 =vr1 − vr2 = 0,09

t3 =vr2 − vr3 = 0,26

t4 =vr3 − vr4 = 0,13

t5 =vr4 − vr5 = 0,10

t6 =vr5 = 0,11

(4.30)

Luego el tiempo real puede obtenerse multiplicando el valor normalizado por el periodo

de modulacion Ts. En la Fig. 4.5 se muestra un esquema del patron de conmutacion por

ramas resultante al aplicar el algoritmo de modulacion y disparos simetricos en el periodo

de modulacion.

83


Figura 4.5: Esquema del patron de conmutacion obtenido para la implementacion con

tiempos simetricos en el periodo de modulacion.

4.2. Control directo de par

El Control Directo de Par (DTC) fue propuesto como tecnica de control de velocidad

a mediados de la decada de los ochenta [34],[35]. Este esquema de control de basa en

el acceso a una tabla de busqueda para seleccionar el estado del inversor con el que se

alimenta la maquina, en funcion de un conjunto de entradas basadas en comparadores de

par y flujo respecto a los valores de referencias. A esta estrategia se la denomina DTC

basada en tabla de conmutacion (ST–DTC). Las principales ventajas de esta estrategia

de control citadas en la literatura son: poca dependencia de los parametros de la maquina

y gran velocidad de respuesta. Esta tecnica tambien ha sido recientemente implementada

en maquinas multifasicas [36]–[37].

Sin embargo, su implementacion ha reportado la generacion de rizado en el par

electromagnetico y gran contenido de armonicos [38]–[39], por lo que para su aplicacion

en maquinas multifasicas no solo debe tenerse en cuenta el control del flujo y el par,

sino tambien una baja distorsion en la corriente que alimenta la maquina. En este

84


sentido se han desarrollado estrategias de control DTC que cumplen, ademas, con

este requisito adicional [40]–[41]. Otra desventaja a considerar es que no genera una

frecuencia de conmutacion constante, como en el caso del control vectorial, por lo que se

han presentado estrategias DTC basadas en la aplicacion de modulador (SVM–DTC).

El uso del modulador genera cierta controversia puesto que hace que el DTC pierda la

simplicidad por la que inicialmente se propone, forzando ademas, la comparacion con el

control vectorial y el cuestionamiento de sus ventajas.

4.2.1. Principios del DTC.

Para deducir los principios del DTC, utilizaremos el modelo de la maquina en el

marco de referencia estatico α–β–x–y, descrito en la seccion 3.3.1.2.

De la ecuacion (3.74), el flujo en el estator puede ser obtenido mediante:

�λsαβ =

∫ t

0

(�vsαβ −Rs ·�isαβ

)· dt (4.31)

Si por simplicidad, despreciamos la caıda de tension en la resistencia de estator (lo que

supone no alejarse de la realidad en especial a velocidades lejanas a cero) se obtiene:

d�λsαβ = �vsαβ · Ts (4.32)

Con lo que se demuestra la dependencia del modulo del flujo con relacion directa al

vector de tension aplicado durante cada periodo de muestreo.

Con el objeto de analizar el comportamiento del par electromagnetico, se combinan

las ecuaciones (3.74), (3.75), (3.86) y (3.87), obtenidas del modelo de la maquina y las

constantes definidas en funcion de los parametros en (3.110). Siendo γ en angulo de

carga, se puede llegar a las siguientes ecuaciones que expresan el par electromagnetico de

la maquina y su derivada respecto al tiempo:

Te =P · krσ · Ls

·(�λrαβ × �λsαβ

)=

P · krσ · Ls

· ‖�λrαβ‖ · ‖�λsαβ‖ · sin(γ) (4.33)

σ · Ls

P · kr p·Te =(�λrαβ × �vsαβ

)−(

Rs

P · kr +σ · Ls

P · kr · τr +M

P · τr

)·Te−ωr·

(�λsαβ · �λrαβ

)(4.34)

85


Ademas, se puede obtener la relacion entre los vectores de flujo segun:

1

kr�λsαβ = �λrαβ +

σ · Ls

kr�isαβ (4.35)

Lo que indica que si la corriente en el estator se encuentra bien controlada (acotada a un

valor definido), y como se encuentra multiplicada por una constante muy pequena y la

constante de tiempo del rotor es mayor que la del estator, se verificara que:

�λsαβ ≈ �λrαβ (4.36)

Aplicando la aproximacion (4.36) en (4.34), obtenemos:

σ · Ls

P · kr p ·Te ≈(�λsαβ × �vsαβ

)−(

Rs

P · kr +σ · Ls

P · kr · τr +M

P · τr

)·Te−ωr ·

(‖�λsαβ‖2

)(4.37)

Expresion de la cual se puede deducir que si el flujo de estator es controlado, la variacion

del par es funcion del vector del tension de estator aplicado en cada periodo de muestreo.

Se busca conseguir que el vector de flujo de estator posea un lugar geometrico

en una circunferencia con una banda de histeresis, de manera que considerarse como

constante. Por otro lado, el par electromagnetico, de la ecuacion (4.37) tendra un cambio

que depende del producto vectorial entre el vector de flujo de estator y el vector de

espacio de tension, por lo tanto proporcional al seno del angulo de carga γ. En la

Fig. 4.6 se puede apreciar el impacto del vector de espacio de tension en la magnitud

del flujo de estator y en el angulo de carga γ. La Fig. 4.6(a) muestra el diagrama

fasorial basado en las ecuaciones del modelo de la maquina, incluyendo la caıda de

tension en la resistencia del estator, mientras que la Fig. 4.6(b) muestra la aproximacion

asumida para la estrategia de control. Se puede notar el impacto en el angulo de car-

ga γ, considerando que la reaccion del flujo del rotor es mucho mas lenta que la del estator.

Diferentes resultados se obtendran segun el vector espacial de tension que se aplique,

creandose el sentido de rotacion del flujo y del giro de la maquina. Para el VSI de cinco

fases y dos niveles, se disponen de 31 vectores distintos que pueden ser seleccionados

para cumplir con el criterio de control. En la Fig. 4.7 se muestran la disponibilidad de

vectores espaciales de tension y la trayectoria circular de referencia del vector de espacio

86


(a) (b)

Figura 4.6: Diagrama fasorial resultante debido a la aplicacion de un vector de tension.(a)

Diagrama fasorial del modelo de la maquina. (b) Diagrama fasorial estimado para el DTC.

de flujo de estator. Tambien se muestra al vector espacial de flujo del rotor con el angulo

de carga γ. Un caso especial es el representado por el vector nulo, con el que no se

produce ninguna variacion en el flujo de estator y un muy pequeno decremento en el par

electromagnetico.

En sıntesis, se puede dividir al vector espacial de tension en componentes tangencial

y radial al flujo. La componente tangencial es la que produce el cambio en el par de la

maquina, y la componente radial es la que modifica la magnitud del flujo. De esta forma,

el flujo y el par electromagnetico pueden ser controlados simultaneamente con el vector

de espacial de tension aplicado. En las maquinas multifasicas se deben tener en cuenta,

ademas, el control de las corrientes en los demas planos.

4.2.2. Minimizacion de la corriente en el plano x–y.

En la Fig. 4.8 se observan los vectores de tension descritos por un inversor de dos

niveles y cinco ramas, que definen diez sectores en cada plano. Cada vector se representa

por el equivalente decimal del estado de conmutacion del inversor [Sa Sb Sc Sd Se].

Existen 32 vectores con 4 distintas magnitudes: dos vectores nulos (0), diez vectores

cortos (0,3909 ·Vdc), diez vectores medios (0,6325 ·Vdc) y diez vectores largos(1,0233 ·Vdc).

87


Figura 4.7: Esquema de los vectores espaciales de flujo junto a los vectores espaciales de

tension disponibles para el control.

Se puede observar que los estados del inversor que se representan mediante vectores

largos en el plano α–β son representados por vectores cortos en el plano x–y; los estados

del inversor que son representados mediante vectores medios en el plano α–β son repre-

sentados tambien por vectores medios en el plano x–y; y los estados del inversor que son

representados por vectores cortos en el plano α–β son representados por vectores largos

en el plano x–y. Estas caracterısticas geometricas hacen posible que en algoritmos de

modulacion se pueda conseguir la generacion de la componente fundamental minimizando

las componentes armonicas de bajo orden.

En la Fig. 4.8 se puede notar, por ejemplo, una combinacion entre los vectores de

espacio 24 (Largo) y 29 (Medio) que en el plano α–β tienen el mismo sentido mientras

que en el plano x–y son de sentido opuesto. La aplicacion, por tanto, de uno u otro

puede minimizar el valor de tension media aplicada a la maquina en el plano x–y, lo que

provocara una reduccion en las corrientes en este plano y la correspondiente reduccion

del flujo de estator en el mismo plano. Lo mismo podemos decir de los vectores de

espaciales de tension 29 (Medio) y 26 (Corto). Todos estos vectores de espaciales de

tension se encuentran sobre la misma lınea, por lo que provocaran el similares efectos en

el control segun el analisis realizado en la seccion anterior, aunque a distintas tasas por

88


(a) (b)

Figura 4.8: Vectores espaciales de tension en un inversor de cinco ramas y dos niveles. (a)

Vectores en el subespacio α–β. (b) Vectores subespacio x–y.

las magnitudes que poseen.

Para describir el comportamiento que tendra la aplicacion de los vectores de tension

en el plano x–y, describamos el modelo en el espacio de estado de la maquina de cinco

fases en el plano x–y. Sea el vector de espacio [x] definido como:

[x] =[isx isy

]T(4.38)

De esta manera, el modelo en el espacio de estado de la maquina en el plano x–y, es-

tara definido por:d

dt[x] = [A] · [x] + [B] · [u] (4.39)

siendo:

[u] =[vsx vsy

]T(4.40)

[A] =

⎡⎢⎣−

1

τls

− 1

τls

⎤⎥⎦ (4.41)

89


[B] =

⎡⎢⎣

1

Lls1

Lls

⎤⎥⎦ (4.42)

Discretizando el modelo en el espacio de estado, se obtiene el comportamiento obser-

vable del vector de espacial de estado segun la siguiente ecuacion:

[x(k + 1)] = [Φxy] · [x(k)] + [Γxy] · [u(k)] (4.43)

Siendo:

[Φxy] = e[A]·Ts

[Γxy] =

∫ Ts

0

e[A]·τ · [B] · dτ = e[A]·Ts · [B] · Ts

(4.44)

Todas las matrices pueden ser obtenidas off–line de forma sencilla, por tratarse

de matrices diagonales. Su implementacion en un controlador digital determinara el

comportamiento de la corriente en el plano x–y del sistema.

Como se menciono que todos los vectores de tension que se encuentran sobre la

misma linea generan el mismo impacto con diferentes magnitudes, un criterio para la

seleccion puede ser el comportamiento en el plano x–y para a evitar sobrecorrientes. Las

magnitudes de los vectores de espaciales de tension se deben considerar como un criterio

para su aplicacion en distintos rangos de velocidades, combinando en un caso los vectores

cortos y los medios y en otro caso los vectores medios y largos con el fin de minimizar las

componentes en el plano x–y.

4.2.3. Seleccion de vectores de tension.

En el DTC clasico; se implementa un estimador de flujo y par cuyas salidas se

comparan con los valores de referencia. Con esas salidas se determinan los vectores

de tension seleccionados empleando comparadores de dos niveles. Para el caso de la

90


maquina de cinco fases, por la disponibilidad de vectores de espaciales de tension, se

puede aumentar el numero de niveles de comparacion del par y velocidad con el fin de

minimizar las corrientes en el plano x–y. El nivel de error de los comparadores sera el

indicador que determine la tasa de cambio necesaria para el control.

El flujo de estator se intenta mantener dentro de una banda de histeresis de magnitud

mınima. Para ello se propone un comparador de dos niveles que evalua cuando la

magnitud del flujo es mayor o menor a la magnitud de referencia .

El par electromagnetico tambien se mantiene dentro de una banda de histeresis ΔT .

En este caso, el control realiza una preseleccion de dos vectores espaciados en lınea de

tension que pueden ser uno corto y uno medio o uno medio y uno largo, en funcion a que

se requiera una tasa de cambio pequena o grande, respectivamente, en el flujo y el par

electromagnetico. El primer grupo de vectores de tension es de utilidad para disminuir el

rizado de par, por lo que sera de mucha utilidad en el control del par. Para considerar

todas las posibles acciones de control se utiliza un comparador de 5 niveles de manera

que considera una banda de error cero, una banda de error pequeno, y otra banda de

error elevado en los dos sentidos posibles de giro de la maquina.

A bajas velocidades, el efecto de despreciar la caıda de tension en la resistencia

de estator produce una caıda apreciable del vector de flujo de estator cuando este se

encuentra posicionado en el lımite de algun sector [41]. Adicionalmente, se propone un

comparador de 3 niveles de velocidad que define la banda de baja velocidad, debido a que

a baja velocidad no se puede despreciar el efecto de la caıda de tension en la resistencia

de estator. El umbral de baja velocidad se define como ωlow.

En la Fig. 4.9 se muestra el esquema de los comparadores propuestos para generar las

senales de error que serviran como criterio para la seleccion del vector de tension adecuado

para cumplir con los requisitos del control. Las expresiones matematicas que se verifican

91


(a) (b) (c)

Figura 4.9: Esquema de los comparadores propuestos para el control. (a) Comparador de 2

niveles propuesto para procesar la senal de error del flujo de estator. (b) Comparador de 5

niveles propuesto para procesar la senal de error del par electromagnetico. (c) Comparador

de 3 niveles para procesar la senal de error de la velocidad.

en los comparadores son las siguientes:

λ∗s > ‖�λs‖ dλ = 1

λ∗s ≤ ‖�λs‖ dλ = 0

T ∗e ≥ Te +

ΔT2

dT = 2

Te +ΔT2

> T ∗e > Te +

ΔT4

dT = 1

Te +ΔT4

≥ T ∗e ≥ Te − ΔT

4dT = 0

Te − ΔT2

< T ∗e < Te − ΔT

4dT = −1

T ∗e ≤ Te − ΔT

2dT = −2

ωm > ωlow dω = 1

ωlow ≥ ωm ≥ −ωlow dω = 0

ωm < −ωlow dω = −1

(4.45)

Siendo:

dλ: Salida del comparador de flujo.

dT : Salida del comparador de par.

dω: Salida del comparador de velocidad.

Para la seleccion del vector de tension se necesitan dos procesos de seleccion. En

el primero, que se denomina preseleccion, se busca un grupo de vectores que mini-

92


Tabla 4.1: Agrupamiento de los vectores de tension.

Grupo Vectores

VL1 2 20

VL2 4 24

VL3 3 8

VL4 7 16

VL5 5 15

VL6 13 31

VL7 9 29

VL8 25 30

VL9 17 26

VL10 18 28

Grupo Vectores

VS1 2 19

VS2 12 24

VS3 3 6

VS4 23 16

VS5 5 11

VS6 14 31

VS7 9 21

VS8 27 30

VS9 10 17

VS10 22 28

mizen los errores de flujo y par en la region de velocidad que se encuentre, basando

su busqueda en la posicion del vector espacial de flujo de estator. En el segundo, la

seleccion final, basa su criterio en minimizar las componentes de corriente en el plano x–y.

En la Tabla 4.1, se muestra el agrupamiento de los vectores de tension siguiendo las

caracterısticas descritas. Los vectores largos y medios alineados y con el mismo sentido

se designan como VLi, los medios y cortos VSi y el vector nulo V0.

Con la tabla de busqueda se consigue seleccionar el grupo de vectores que puede

generar la salida de control deseada. Este grupo es evaluado por el observador de

corriente en el plano x–y, donde finalmente se aplica el vector de tension que minimiza

la componente de corriente en dicho plano. En la Tabla 4.2 se resume la seleccion de

los grupos de vectores de tension en el intervalo de velocidad (ωlow ≥ ωm ≥ −ωlow), en

la Tabla 4.3 se muestra la seleccion para el intervalo de velocidad (ωm > ωlow), y en la

Tabla 4.4 se puede observar la regla de seleccion en el intervalo de velocidad (ωm < −ωlow).

93


Tabla 4.2: Tabla de busqueda (dω = 0).

dλ dTSector

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

+2 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9 VL10 VL1

+1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9 VS10 VS1

0 V0

−1 VS10 VS1 VS2 VS3 VS4 VS5 VS6 VS7 VS8 VS9

−2 VL10 VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 VL6 VL7 VL8 VL9

0



0 V0



Tabla 4.3: Tabla de busqueda (dω = 1).

dλ dTSector

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1



0 V0



0



0 V0



94


Tabla 4.4: Tabla de busqueda (dω = −1).

dλ dTSector

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1



0 V0



0



0 V0



Figura 4.10: Esquema de control DTC propuesto para una maquina de induccion de cinco

fases.

95


El esquema de control DTC para una maquina de induccion de cinco fases se detalla

en la Fig. 4.10. La seleccion del estado de conmutacion del inversor se realiza en las dos

etapas desarrolladas con el fin de minimizar las componentes de corriente en el plano

x–y, condicion adicional para implementar el DTC en las maquinas multifasicas. En la

primera etapa se selecciona el grupo de vectores, dos por grupo para esta aplicacion.

Para ello se utiliza la tabla de busqueda a partir de las salidas de los comparadores

alimentados con las senales de error de flujo y par, ademas de seleccionar un intervalo de

baja velocidad que permite minimizar la influencia de la caıda de tension en la resistencia

de estator.

4.3. Control predictivo de par

El control predictivo es una estrategia que se ha aplicado recientemente a una

amplia variedad de convertidores de potencia [42], al presentar varias ventajas que lo

hacen competitivo para esta aplicacion. Entre estas ventajas podemos citar que los

conceptos son intuitivos y faciles de interpretar, por lo que puede aplicarse facilmente

toda restriccion y no linealidad, permitiendo la implementacion simple del control.

Por contra, para conseguir la implementacion del control predictivo se requiere

una gran potencia de calculo dado que necesita de una elevada carga computacional

comparado con los esquemas de control tradicional. Esta desventaja puede soslayarse

hoy en dıa con el desarrollo de los DSP y las FPGA, que permiten disponer de medios

de implementacion del control con elevada velocidad de procesamiento.

La estrategia de control predictivo se basa principalmente en el uso de un modelo del

sistema, modelo de prediccion, que permite estimar el comportamiento de las variables

a controlar. La calidad del control estara dada por la precision del modelo puesto que

las estimaciones son utilizadas por el controlador con el fin de obtener una operacion

deseada, a partir de unos criterios de optimizacion prestablecidos.

96


Las tecnicas de optimizacion se clasifican segun el criterio utilizado para la determi-

nacion de la salida optima. Entre las tecnicas de control predictivo se pueden citar las

basada en histeresis, trayectoria y deadbeat. Una de las tecnicas mas flexibles consiste

en el modelo predictivo de control (MPC), que se basa en minimizar una funcion de

coste.El control predictivo se ha aplicando recientemente en convertidores multifasicos, y

en la regulacion de la corriente, aunque solo en maquinas asimetricas de doble devanado

trifasico [43]–[46] y cargas estaticas de cinco fases [47]. En este trabajo se extendera el

control predictivo a la regulacion de par, definiendo una estrategia de control de velocidad

de maquinas multifasicas de cinco fases que denominaremos control predictivo de par

(PTC por sus siglas en ingles).

4.3.1. Principios Generales del PTC

Los sistemas controlados por un modulador de energıa con un numero finito de estados

son aquellos en los que la salida de un controlador continuo es traducida en una secuencia

finita de estados generados por un convertidor y utilizando un algoritmo que controla

los estados de conmutacion del convertidor. Este es el caso de las maquinas de AC,

alimentadas por un VSI, que puede modelarse como una ganancia que consiste en una

transformacion lineal del estado de conmutacion. En aplicaciones en las que se requiere

una respuesta rapida de par, esto implica un control de corriente de elevado desem-

peno. Entre las principales ventajas que la estrategia de control PTC ofrece, destacan

la flexibilidad con la que las restricciones y no linealidades pueden ser implementa-

das, y la facilidad la facilidad de cambiar el numero y las variables de interes en el control.

El PTC utiliza un modelo que combina el VSI y la maquina para definir las acciones

de control que deben ser aplicadas. Este modelo se utiliza cada periodo de muestreo con

el fin de evaluar el el vector de estado al que llegarıa el sistema para cada estado del VSI.

Las acciones de control son definidas resolviendo un problema de optimizacion orientada

a minimizar una funcion de coste J , que define el criterio de control. Por lo tanto,

diferentes funciones de coste pueden ser utilizadas para implementar distintos criterios

97


de control, lo cual justifica la flexibilidad en el criterio de control de este esquema. Por

ejemplo, consideremos la distancia euclidiana entre el flujo de referencia λ∗s y el flujo de

estator estimado por medio del modelo predictivo λpreds , ası como la distancia entre el par

de referencia T ∗e y el par estimado T pred

e para la propulsion de la maquina como variables

de control de la velocidad. La funcion de coste que se asocia a este criterio de control se

muestra en la ecuacion (4.46).

J =(T ∗

e − T prede [k + 1])2

T 2n

+(|λ∗

s| − |λpreds [k + 1]|)2λ2sn

(4.46)

donde Tn y λsn son los pesos asignados a cada una de las distancias del par y flujo,

respectivamente, consideradas en la funcion de coste en el intervalo de control de

velocidad. El superındice pred hace referencia a los valores estimados a partir del modelo

predictivo. Si los pesos son iguales a los valores nominales de cada variable de la maquina,

el error de flujo y par tendran el mismo peso ponderado en el criterio de control. En

la funcion de coste pueden ser incluidos otros terminos, que adicionan nuevos criterios

de control, como pueden ser la perdidas por conmutacion, el balanceo de las tensio-

nes del DC–Link, el control de la corriente o la minimizacion de los armonicos de corriente.

El par de referencia T ∗e es actualizado en cada periodo de muestro por un controlador

PI. El modulo del flujo de estator de referencia es mantenido constante si el rango de

operacion es inferior a la velocidad nominal de la maquina, unico caso considerado en

este trabajo.

Un esquema basico del control predictivo aplicado a las maquinas de cinco fases se

mouestra en la Fig. 4.11. En la misma, ω∗m es la velocidad mecanica de referencia, ωm

es la velocidad mecanica medida, is es la corriente de estator medida, Te[k + 1] es el par

electromagnetico estimado por medio del modelo predictivo, λs[k+1] es el flujo de estator

estimado y Si[k + 1] representa en el estado de conmutacion del VSI que sera aplicado

durante el proximo periodo de muestreo. El algoritmo de control puede ser resumido

segun:

98


Figura 4.11: Esquema de control PTC propuesto para una maquina de induccion de cinco

fases.

Repetir para cada periodo de muestreo

• Lectura de is y ωm

Repetir para cada estado del VSI

• Estimar Te y λs → Evaluar J

• Seleccionar el estado con el mınimo valor de J (smin)

fin Repetir

• Aplicar el estado smin seleccionado (siguiente periodo de muestreo)

fin Repetir

4.3.2. Modelo Predictivo de Control

El modelo predictivo de la maquina esta basado en el modelo en el espacio de estados

obtenido en la seccion 3.3.1.4, representado por la ecuaciones (3.111)–(4.51) y referido a

un marco de referencia estatico α–β–x–y. Si el modelo en el espacio de estado esta definido

99


por:d

dt[x] = [A] · [x] + [B] · [u]

[y] = [C] · [x](4.47)

siendo

[x] =[isα isβ isx isy λrα λrβ

]T[u] =

[vsα vsβ vsx vsy

]T[y] =

[isα isβ λsα λsβ

]T (4.48)

y las matrices [A], [B] y [C] estan dadas por:

[A] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

A11 0 0 0(1− σ)

σ ·M · τr(1− σ)

σ ·M · ωr

0 A22 0 0 −(1− σ)

σ ·M · ωr(1− σ)

σ ·M · τr0 0 − 1

τls0 0 0

0 0 0 − 1

τls0 0

M

τr0 0 0 − 1

τr−ωr

0M

τr0 0 ωr − 1

τr

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.49)

donde A11 = A22 = −(

1

σ · τs −(1− σ)

σ · τr

).

[B] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

σ · Ls

0 0 0

01

σ · Ls

0 0

0 01

Lls

0

0 0 01

Lls

0 0 0 0

0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.50)

[C] =

⎡⎣σ · Ls 0 0 0 kr 0

0 σ · Ls 0 0 0 kr

⎤⎦ (4.51)

Para implementar en un controlador digital y obtener el modelo predictivo, se discre-

tiza el modelo en el espacio de estado con un periodo de muestreo Ts y un mantenerdor

100


de orden cero, asumiendo las matrices constantes durante todo el periodo de muestreo

[48]. El modelo discreto en el espacio de estado viene definido por:

x[k + 1] = [Φ] · x[k] + [Γ] · u[k] (4.52)

y[k + 1] = [C] · x[k + 1] (4.53)

donde [Φ] = e[A]·Ts y [Γ] =

∫ Ts

0

e[A]·τ · [B] · dτ .

La matriz [A] depende del valor instantaneo de ωm, por lo que el modelo discreto es un

variante en el tiempo. Sin embargo, la dinamica de la velocidad mecanica es mucho mas

lenta que la de las variables electricas, por lo que podemos considerarla como constante a

lo largo del periodo de muestreo y actualizarla al inicio de cada periodo para obtener las

matrices [Φ] y [Γ] a ser empleadas en ese periodo de muestreo. Con el fin de simplificar

la implementacion del modelo en el controlador digital, varios calculos pueden realizarse

off–line. Una simplificacion puede obtenerse dividiendo la matriz [A] en una componente

constante y otra que debe ser actualizada con la velocidad en cada periodo de muestreo.

La matriz [A] se expresarıa como sigue:

[A] = [Ac] + [Aω] (4.54)

siendo [Ac] la matriz con todos sus terminos constantes y la matriz [Aω] la matriz con

terminos dependientes de la velocidad ωr. De forma que la matriz [Φ] estara dada por el

producto:

[Φ] = e([Ac]+[Aω ])·Ts = e[Ac]·Ts · e[Aω ]·Ts (4.55)

Ası pues, la matriz e[Ac]·Ts puede obtenerse off–line, mientras que la matriz e[Aω ]·Ts debe

ser actualizada cada periodo de muestreo. Aplicando el teorema de Cayley–Hamilton, esta

101


ultima matriz queda definida como sigue [48]:

eAω ·Ts=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0M(1− cos(ωr · Ts))

σ · Ls · Lr

M sin(ωr · Ts)

σ · Ls · Lr

0 1 0 0 −M sin(ωr · Ts)

σ · Ls · Lr

M(1− cos(ωr · Ts))

σ · Ls · Lr

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 cos(ωr · Ts) − sin(ωr · Ts)

0 0 0 0 sin(ωr · Ts) cos(ωr · Ts)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.56)

La matriz [Γ] puede evaluarse off–line segun:

[Γ] = e[Ac]·Ts · [B] · Ts (4.57)

Finalmente, el comportamiento del flujo y corrientes de estator pueden obtenerse

mediante el modelo predictivo de control definido por las ecuaciones (4.52)–(4.57), para

aplicarse en la estrategia de control PTC. Esta estrategia de control podrıa extenderse

a maquinas con un mayor numero de fases [49], lo que conlleva con un mayor coste

computacional debido al incremento en el numero de vectores de espacio de tension

disponibles.

102

control de par y flujo -...

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