control de inventarios con demanda aleatoria

Gerencia, Planeación y Control de Inventarios

.

2013

Autor: Diego Luis Saldarriaga Restrepo

[Modelos de Gestión de Inventarios para Demandas Aleatorias] Este capítulo hace parte del libro, actualmente en edición, Gerencia, Planeación y Control de Inventarios. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin autorización del autor.


7.1. Gestión de Stocks Bajo Incertidumbre

El análisis realizado antes de este capítulo estudió la forma de gestionar los stocks cuando la demanda es

determinística o conocida y en donde el esfuerzo en la gestión estaba concentrado en optimizar los costos de

posesión del inventario y de ordenar y el análisis era limitado, pues faltaba incluir los costos de tener ventas

pérdidas o tener roturas de stocks por falta de existencias para cubrir las órdenes de los clientes.

Para la gestión de stock que nos ocupa en este apartado es necesario resaltar la importancia que tiene el hecho

de que – ante el surgimiento de faltantes cuando la demanda es probabilística o no conocida con exactitud -

las empresas se protejan con una porción de existencias para combatir la aleatoriedad mencionada.

De otro lado, los tiempos de entrega también varían porque existe aleatoriedad en dichos tiempos; lo anterior

obedece a que los proveedores o las plantas de producción no entregan las unidades ordenadas en los tiempos

estipulados porque en esos entornos deben lidiar con factores internos y externos que hacen que los

programas de producción no se cumplan (tome el ejemplo de una rotura de una máquina o de una materia

prima defectuosa) retrasando consecuentemente los programas de entregas; estas vicisitudes nos llevan a ser

cautos. Una recomendación necesaria para estos casos es que también debería haber una protección contra

esas variaciones.

En esta sección se estudiará el caso de la demanda probabilística como es la mayoría de las situaciones

prácticas que se encuentran al gestionar el abastecimiento de productos. Los modelos que estudian cuándo

ordenar se relacionarán con los siguientes tres casos:

Sistemas de revisión continua. La revisión del modelo ocurre permanentemente.

Decisiones de una sola vez, como el caso de promociones o ventas para una actividad específica.

Sistemas de revisión periódica. El chequeo del modelo ocurre cada cierto periodo de tiempo, por

ejemplo una semana, quince días o cada mes.

Modelos de Inventarios

Existen tres tipos generales de sistemas de inventarios: los modelos de revisión continua o de cantidad fija del

pedido (también llamados cantidad económica del pedido - Economic Order Quantity, EOQ y modelo Q), los

pedidos de una sola vez y los modelos de periodo de tiempo fijo (también llamados sistema periódico, sistema

de revisión periódica, sistema de inventario fijo de pedido y modelo P o T).

En los sistemas de revisión continua debe analizarse el nivel de inventario en todo momento. En la práctica la

revisión ocurre cada que se genera una transacción, pero para altos niveles de transacciones el control

permanente es costoso y demanda grandes cantidades de tiempo de los responsables de gestionar los

inventarios; este sistema permite tener menores niveles de inventarios de seguridad que el sistema periódico,

debido a que deben buscarse protecciones únicamente durante el periodo de reabastecimiento o LT.

En los sistemas de revisión periódica el inventario se revisa cada T unidades de tiempo y cuando T 0 la

revisión se vuelve continua. En este caso el inventario de seguridad es mayor porque debe existir un

cubrimiento adicional para la porción de tiempo T, es decir la protección en este caso debe abarcar el periodo

de tiempo LT + T.

Para las condiciones de demanda aleatoria se pueden usar diversos modelos de control (al menos cuatro

esquemas son los más utilizados y se describirán en este capítulo).

Para el estudio de estos sistemas de control de inventarios se usarán las siguientes notaciones:

s = es el punto de re-orden (posición de inventarios desde la cual se debe lanzar un nuevo pedido al

proveedor).

Q = es la cantidad que se debe ordenar en cada periodo de reabastecimiento o de planeación.


T = es el periodo de revisión del sistema (tiempo en el que el inventario debe ser revisado. Muchos autores lo

denotan con la letra R).

LT = tiempo de entrega del proveedor.

M = inventario máximo disponible (límite superior hasta el cual debe ordenarse. Muchos autores lo denotan

con la letra S).

En la Tabla 7.1 se presentan algunas reglas para seleccionar las políticas de inventarios de acuerdo con la

estratificación de los productos. Una técnica de segmentación puede ser la clasificación ABC por volumen de

ventas estudiada en un capítulo anterior.

Revisión

contínua

Revisión

periódica

Artículos A (s,M) (T,s,M)

Artículos B (s,Q) (T,M)

Tabla 7.1 Reglas para Seleccionar Políticas de Inventarios

Revisión Continua Cantidad Fija - Sistema s, Q

Los modelos de cantidad fija tratan de determinar el punto específico s en el cual se colocará un pedido y el

tamaño Q del mismo. El punto de pedido s es siempre un número específico de unidades en inventario.

Cuando las existencias bajan de ese punto de pedido o punto s se hace un reaprovisionamiento por una

cantidad Q que siempre es fija, aunque el tiempo entre pedidos puede ser diferente; lo anterior quiere decir

que el tiempo en que la posición actual de stock llegue a s puede variar dependiendo de la velocidad con que

las ventas fluyan. La solución a este modelo es algo así: cuando el número de unidades en stock llegue a 458

genere un pedido de 1.940 unidades más.

Figura 7.1 Modelo s, Q

La Figura 7.1 representa el proceso del nivel del inventario con respecto al tiempo. Nótese cómo la cantidad

de pedido Q se considera fija y predeterminada con anterioridad pero Lt1 y Lt2 pueden ser diferentes.

Asimismo Q se calcula con base en algún método, incluyendo la cantidad económica de pedido estudiada

en el apartado anterior.


Este modelo requiere:

Revisión continua (diaria) de los niveles de inventario. Se trata de estar alerta para conocer el

momento en que la posición de inventario llegue al nivel de s.

El intervalo entre pedidos varía pero la cantidad a pedir es fija.

Las órdenes se hacen exactamente cuando los niveles de inventarios están en el punto s o punto de

reorden.

Los pedidos diferentes que estén en curso se reciben en la misma secuencia en que fueron ordenados.

Con un adecuado nivel de s se pueden obtener altos niveles de servicio, por lo que es recomendado

para artículos tipo “A”.

Este tipo de modelos puede garantizar un mejor nivel de servicio con menor inversión.

Como se puede deducir de la Figura 7.1, la cantidad de pedido Q es determinada y no tiene ninguna

relación con s (son independientes).

Los costos de producción se disminuyen si se estandariza una cantidad de lote fija (de preferencia la

económica).

Lo ideal en este modelo es realizar un pedido justo antes de que el nivel de existencias toque el punto

s; con esto se garantizará cero faltantes, siempre y cuando la demanda real durante el tiempo de

abastecimiento o LT sea menor o igual a la porción s.

Nótese como cualquier posición de inventarios q por debajo de s, es decir s-q ≠ 0 colocará el nivel de servicio

en alerta. Una buena gestión debe buscar siempre que s-q = 0.

Punto de Reorden (s)

En este modelo aún queda pendiente responder ¿Cuál es el valor de s o punto de re-orden? Este punto s está

representado por la siguiente ecuación:

Lx̂s (7.1)

Donde:

Lx̂ = estimación de la demanda esperada en el tiempo de reposición L, en unidades.

En los casos en que sea frecuente que la demanda durante L sobrepase el nivel de s es conveniente protegerse

con un stock de seguridad quedando la ecuación de la siguiente manera:

ISs Lx̂ (7.2)

Si dLLx̂ , entonces.

ISLds ISx̂L

Donde:

IS = stock de seguridad.

d = demanda diaria promedio en unidades.

L = Tiempo de entrega de los pedidos.


Más adelante se volverá sobre IS y se definirán varias alternativas para hacer los cálculos del inventario de

seguridad.

Sistema Q con Nivel Máximo s, M (Mín - Máx)

Figura 7.2 Modelo s, M

En este sistema - al igual que en el anterior - cada que el inventario actual cae a un nivel justo en el punto s se

ordena una cantidad tal que se incremente el inventario a un nivel máximo M, de esta manera la cantidad a

solicitar depende el nivel del inventario actual y del nivel máximo M y por lo tanto puede variar de un pedido

a otro. La cantidad a ordenar es:

Q = M-q (7.3)

Este modelo se denomina usualmente Mínimo y Máximo, ya que normalmente los niveles de inventarios

permanecen en el rango de (q,M) con un mínimo en q y un máximo en M.

La cantidad Q a ordenar es diferente porque justamente en cada momento del tiempo q puede ser diferente.

Cabe agregar que el nivel de q dependerá del comportamiento de la demanda durante el tiempo LT.

El punto de re-orden se calcula de la misma manera que se estudió en el anterior apartado: usando la ecuación

7.2. La cantidad q puede asimilarse a una cantidad de protección o cantidad de seguridad, de tal manera que si

la demanda supera ampliamente la posición de inventario s, esta cantidad q puede prestar la protección

adecuada.

En el caso en que se presente una posición de inventarios q´ < q el nivel de servicio está amenazado y quiere

decir que la cantidad q debe corregirse.

En este modelo LT1 = LT2 las cantidades a ordenar Q son variables, es decir Q1 ≠ Q2 ≠ Q3 cambian porque

cada vez debe tratar de ordenarse una cantidad tal que alcance el punto máximo M.

Una vez ordenada la cantidad M-q el inventario queda en su máximo y un nuevo ciclo debe empezar.


Revisión Periódica Cantidad Variable - Sistema T, M

Figura 7.3 Modelo T,M

En este modelo se trata de saber el tiempo T en que debe ser revisado el sistema y colocar un pedido de una

cantidad Q que es variable de periodo a periodo de revisión. En el modelo T los niveles de inventario se

revisan a intervalos fijos de tiempo, se lanzan pedidos de reaprovisionamiento por la diferencia entre un nivel

máximo M y la cantidad q al momento de la revisión (es decir M-q) y las cantidades Q a pedir son variables.

Este tipo de modelo beneficia los pedidos de reabastecimiento conjunto (a una sola fuente) porque se puede

presentar menos sensibilidad a los cambios repentinos de la demanda y es recomendado para artículos tipo

“B” y “C”.

Para la aplicación de este modelo se deben tener en cuenta los siguientes supuestos:

Siempre hay demandas entre revisiones, es decir que la probabilidad de no tener demandas entre dos

revisiones es cero porque cada que vez que sucede una revisión se lanza un pedido de reposición.

Los tiempos de reposición son constantes (se define que cada T días debe revisarse el modelo).

Con un adecuado valor de s se pueden obtener altos niveles de servicio, por lo que es recomendado

para artículos tipo “B”.

El valor de T es predeterminado, es decir que la dirección define cada cuanto tiempo debe revisarse

el modelo y lanzar las órdenes de pedido.

Como el periodo de revisión es independiente de la demanda es posible que se presenten situaciones en las

que la demanda sobrepasa el nivel q de inventarios poniendo en peligro las ventas o generando quiebres de

inventarios; en el caso contrario - cuando la demanda esté lenta - se generan excesos de inventarios. Para la

primera situación es necesario mantener una q mayor y para la segunda se debe manejar un q menor.


Ahora queda pendiente definir el valor de T. Es posible darle a T un tratamiento similar a un período

económico de pedido.

Sistema T,s,M

Este modelo combina los sistemas (s,M) y (T,M) y define que cada T unidades de tiempo se debe revisar el

nivel de inventarios. Si ese nivel es menor o igual a s, entonces se emitirá una orden por una cantidad Q para

que el nivel de stock actual se recupere hasta un nivel M. En cada momento M>s, si esta condición se cumple

no se ordena ninguna cantidad y se debe esperar a que se consuma la cantidad de tiempo T para hacer una

nueva revisión. Para emitirse una nueva orden debe esperarse T unidades de tiempo y cumplirse que M<s.

Cuando T=0 el modelo se transforma en el modelo s,M y cuando el punto de reorden s = T-1 el modelo es

igual al sistema T,M.

7.2. El Inventario de Seguridad IS para Ítems Individuales

Hasta ahora se han estudiado modelos de inventarios determinísticos donde el tiempo de entrega y la demanda

eran constantes. Un escenario más común y realista es donde la demanda y los tiempos de entrega de los

proveedores se consideran variables, como es en la realidad.

Estos modelos tratan de responder a la pregunta: ¿Qué cantidad fija de inventario debe tenerse para que la

empresa pueda cubrirse ante las variaciones que se esperan sobre el nivel medio de demanda y del Lead

Time? (ver Figuras 7.4 a y 7.4 b).

Figura 7.4a Desviaciones la Demanda


Figura 7.4b Desviaciones en el Lead Time

Las situaciones reales siempre establecen un reto interesante para los administradores de inventarios, pues

ante demandas y tiempos de entrega variables los niveles de servicio adecuados son difíciles de alcanzar. De

alguna manera se hace necesaria una protección contra esas desviaciones imprevistas de la demanda y el

tiempo de entrega. Es importante agregar que esas desviaciones aumentan el riesgo de quedarse sin stock.

Se decide entonces un nivel de servicio al cliente satisfactorio y a partir de él obtener el stock de seguridad

necesario para garantizar dicho nivel de servicio.

Los supuestos para la determinación de los inventarios de seguridad son: independencia entre la demanda y

los tiempos de entrega (variables aleatorias independientes). Adicionalmente se considera una situación en

donde se lanzan muchos pedidos y la demanda tiene muy baja correlación con el tiempo.


Figura 7.5 Definición de Stock de Seguridad y Variación de la Demanda

La Figura 7.5 representa el comportamiento de la demanda y los inventarios a través del tiempo. Se puede

observar cómo a medida que avanza el tiempo (eje de las x) el inventario empieza a consumirse de acuerdo

al ritmo proyectado de la demanda, esto sucede con una mayor o menor velocidad de acuerdo al ritmo de

consumo por medio de las ventas (hay que recordar que se está considerando que la demanda es variable). Al

encontrarse la posición de inventarios con el punto de reorden s se emite una orden de compra o una orden a

producción pero ésta no llega al instante, por lo que se tendrá que esperar una porción de tiempo LT o Lead

Time para que esté disponible; esta orden llega al sistema justamente cuando los niveles de inventarios se

encuentran en el punto S (justo el límite del stock de seguridad) y cuando este pedido llega, los niveles de

inventarios llegan a un nivel superior (punto M) y se empieza un ciclo de nuevo.

Noten cómo el inventario de seguridad no fue consumido - es decir no sufrió cambios -, esto nos lleva a

mencionar que los inventarios de seguridad no existen para ser vendidos sino que se justifican únicamente

para cubrir desviaciones bruscas en la demanda y demoras en las entregas de los proveedores. Sólo cuando

una de estas circunstancias sucede se puede usar esta porción de seguridad y en cualquier caso en la siguiente

reposición debe recuperarse su posición.

Ahora considere el caso en que el proveedor se ha demorado en la entrega. Observando la Figura 7.5 se

concluye claramente que se debía recibir el pedido en el punto E y realmente fue recibido en el punto D,

generándose por supuesto una demora porque durante esa demora el ritmo de ventas sigue. Se puede observar

además como este ritmo de ventas durante la demora es cubierto con el stock de seguridad.

Considere entonces el caso en que las ventas se planificaron para que ocurrieran como se demuestra en la

curva F de la Figura 7.6 y realmente se comportó como la curva G; en este caso se generó una sobreventa.

También podemos observar cómo esta sobreventa es cubierta con el stock de seguridad.


Figura 7.6 Definición de Stock de Seguridad y Variación del Tiempo de Entrega

En los dos casos anteriores si no se dispusiera de este tramo de stock de seguridad se hubiera incurrido en

stock out o venta perdidas.

El nivel de servicio lo define la probabilidad de tener suficiente stock para atender las órdenes en un periodo

de tiempo dado. Un nivel de servicio del 96% es la probabilidad de no tener faltantes en la atención del 96%

de las unidades demandadas o lo que es lo mismo, la probabilidad de surtir todas las cantidades solicitadas

durante el periodo de reaprovisionamiento; consecuentemente la probabilidad de agotar el stock y no poder

surtir un 4% de las cantidades pedidas.

Esa protección necesaria es una cantidad de inventario adicional llamado “Inventario de Seguridad” que

funciona como un “colchón” añadiendo un cierto número de unidades al punto de reorden, sirviendo así como

un amortiguador ante las imprecisiones mencionadas.

Inventario de Seguridad con Base en Algún Factor Constante

La experiencia del autor gestionando directamente portafolios de productos le muestra que esta es una

práctica bastante extendida en los sectores comerciales e industriales y consiste en definir un factor p para

protegerse ante imprevistos de cualquier clase y lo usan corrientemente para todos los ítems del portafolio.

Evidentemente los que implementan esta práctica no conocen bien los verdaderos efectos de las variaciones

de la misma demanda y de los tiempos de entrega que suceden a diferentes escalas de un producto a otro, por

lo tanto si cada producto tienen su historia y su propia arquitectura no es metódico que a todos se afecten por

igual con un factor constante. El factor representa un número de días o de unidades adicionales a los pedidos

corrientes. Lo anterior implica que si un producto tiene una demanda promedio de 10.000 unidades cada mes

y el factor p definido es de 15 días, las unidades de protección serán 5.000.

En la Figura 7.7 se observa cómo en la curva 1 el riesgo de agotados es extremadamente bajo y una

protección de 5.000 unidades es sobredimensionada y por lo tanto se incurre en un exceso de unidades en

inventario. En cambio en la curva 2 el área de riesgo de agotados es más grande y posiblemente las 5.000

unidades definidas de inventario de seguridad no alcancen a cubrir de las demandas de producto cuando éstas

sean mayores a 10.000 unidades.


Figura 7.7 Definición del IS con Base en un Factor Fijo

Inventario de Seguridad que Garantice un Nivel de Servicio al Cliente

Cuando se ordena un artículo a producción o a un proveedor, ambos tienen un tiempo de entrega establecido o

LT (no están al lado de nuestro negocio). Sin embargo dentro de este tiempo pueden ocurrir al menos las

siguientes actividades:

El artículo que se ha ordenado se sigue vendiendo a su ritmo de entregas normales y usando las

cantidades de inventario existentes en el sistema, en todo caso ya a un nivel de q<s.

El artículo se vende a un ritmo mayor al planificado, poniendo en peligro la disponibilidad de la

porción de inventarios actual Q-s=q.

La venta del artículo se estanca, generando una reducción de su ritmo normal de ventas.

Algo parecido sucede con el tiempo de entrega porque tanto los proveedores como los encargados de

la producción pueden tomarse más del tiempo acordado para completar el despacho del pedido.

Todas estas circunstancias hacen que se presenten presiones sobre los niveles de inventarios porque se

generan variaciones inesperadas y no conocidas en la demanda y en los tiempos y todo ello sucede estando

dentro del tiempo de reabastecimiento prometido por el proveedor.

Después de establecer un nivel de servicio a satisfacer es posible relacionar las variables adecuadas para

definir las cantidades de stock adicional que servirá de protección o de seguridad que garanticen esos niveles

de servicio planteados.

Existen muchas definiciones de lo que es nivel de servicio, las cuales relacionan lo que se pide con lo que se

despacha o las veces que se surten o no los productos que se ordenan.

Medidas de la Disponibilidad de un Producto

Los pedidos que se reciben de los clientes se surten con el inventario en existencia, de tal manera que el nivel

de stock mide - en cada momento - la capacidad de la empresa para surtir la demanda de los clientes; estos


pedidos no se podrán surtir si en el momento en que llegan las órdenes no existe suficiente inventario. Existen

maneras de medir la disponibilidad de producto, entre ellas las siguientes:

El Número de Abastecimientos que no Tienen Faltantes o Tasa de Surtido de los Pedidos

La empresa puede estar interesada en ofrecer que en un alto número de abastecimientos o pedidos no se

presenten faltantes, esto se logra si el inventario actual del ítem en estudio nunca llega a cero (de esta manera

el nivel de servicio es la probabilidad P de no tener un faltante por cada ciclo de reposición). Teniendo en

cuenta que el nivel de servicio será P y el nivel de ciclos con faltantes será 1-P, si los clientes hacen 2.800

pedidos en el periodo y en 336 ocasiones hubo faltantes, la fracción de ciclos en los cuales hubo faltantes es

336/2.800= 0,12 y el nivel de servicio alcanzado es 1-336/2.800 = 0,88. Lo anterior indica que en el 88% de

las veces que se atiende un pedido no hubo faltantes o lo que es lo mismo, que en el 12% de los pedidos hubo

faltantes. Note cómo acá no se conoce la magnitud del faltante y si ese fuera el interés es necesario conocer el

fill rate (fr).

Fill Rate (fr) o Tasa de Surtido del Producto

En muchas ocasiones de la vida real cuando ocurre un faltante no necesariamente se pierde la venta, si el

cliente recibe pedidos pendientes existirá un chance de entregar el faltante en un envío posterior. Lo

interesante es conocer la magnitud a la que los productos se entregan, es decir la tasa de llenado del pedido o

fill rate. Tenga en cuenta que el fr representa un indicador de servicio universal para conocer en qué

porcentaje se están entregando los productos y evidencia la fracción de las cantidades pedidas que se pueden

atender con el inventario actual.

Tiempo entre Faltantes (TEF)

Es una medida de servicio entregado a los clientes, el cual determina la frecuencia de faltantes en un periodo.

Las tasas a las que se atiende un pedido P tienden a ser más bajas que las tasas de atención de los productos

fr, esto debido a que en la práctica las órdenes no se hacen ítem por ítem sino que están compuestas por varios

artículos; entonces si se supone que un pedido consta de cuatro ítems y uno de ellos no está disponible, no se

puede hacer el despacho completo. La empresa puede tener a la vez una tasa de surtido de pedidos baja y un

alto nivel de surtido de productos o fill rate en el caso en que esta empresa acepte que se le puedan entregar

los tres productos que existen en inventario.

7.3. Políticas de Inventario en los Sistemas de Revisión

Continua

Sistemas de Revisión Continua (s,Q)

Las políticas se refieren a definir el punto de re-orden s, el inventario de seguridad IS y la cantidad Q a

ordenar.

Supuestos

La demanda es probabilística pero se asume que – con el tiempo – los ratios de cambio de los

pedidos promedio son pequeñas.

Cuando la posición de inventario q llegue a un punto s (o punto de re-orden) un pedido de cantidad Q

es colocado para ser reabastecida en LT unidades de tiempo después.


Si dos o más órdenes del mismo ítem fueron simultáneamente lanzadas y se encuentran pendientes

por recibir, deberían ser recibidas en el mismo orden en que fueron emitidas. No se permite cruce de

órdenes.

El nivel de servicio debe ser alto, pues los costos de faltantes se consideran también altos; esto

significa que el promedio de órdenes pendientes debe ser muy bajo comparado con el actual

inventario promedio.

Los errores del pronóstico siguen una distribución normal, sin sesgo y se conoce su desviación

estándar σL del pronóstico en el tiempo de abastecimiento L. Cuando se habla de pronósticos sólo se

proporcionan valores estimados, por lo tanto se utilizan cifras supuestas.

Se asume que el tamaño del pedido Q está dado, es independiente de s y ha sido calculado con

cualquier método como el EOQ.

Con el supuesto anterior sólo queda por determinar la cantidad del punto de re-orden s y el inventario

de seguridad IS.

Los costos de la política de control de inventarios no dependen de nivel de s calculado.

Sea:

D = demanda anual en unidades.

fz(k) = función de la distribución normal unitaria N(0,1).

dzkfz

z

2

2

1

2

1)( (7.3.1)

Gz(k) = función especial de la distribución normal unitaria N(0,1) para una variable z.

dzkzkGz

kz

2

2

1

2

1)()( (7.4)

k1 = factor de seguridad.

L = tiempo de entrega del proveedor o Lead Time.

Pz(k) = probabilidad de que la normal unitaria z (con media 0 y desviación estándar 1) sea mayor o igual a k.

dzkPz

kz

2

2

1

2

1)(

Q = cantidad predeterminada de pedido en unidades.

S = costo de pedir.

H = costo de mantener el inventario.

IS = inventario de seguridad.

Lx̂ = pronóstico de la demanda en el tiempo de reabastecimiento, en unidades.

L̂ = estimación de la desviación estándar de los errores del pronóstico en el tiempo de reposición, en

unidades.

d = demanda diaria.

1 Muchos autores la llaman z.


Cálculo del Punto de Re-Orden (s)

En los anteriores modelos el punto s estaba representado por la ecuación (7.2) y de la Figura 7.6 se nota que

Lx̂sIS entonces:

ISs Lx̂

El inventario de seguridad es igual a la estimación de las desviaciones estándar de los errores del pronóstico

en el tiempo de reposición multiplicado por un factor de seguridad k.

LkIS (7.5)

Lks Lx̂ (7.6)

Pero σL es:

LL 1 (7.7)

Lks 1Lx̂ (7.8)

LkLds 1. (7.9)

Donde

k= es el factor de seguridad.

1 = desviación estándar de la demanda.

Recuerde que se había dejado pendiente el estudio de la manera de calcular las posiciones de inventario de

seguridad. Se abordará esta temática contestando la pregunta: ¿Cuál será ese nivel de protección representado

en el IS?

Suponiendo que la demanda durante el tiempo de entrega de los pedidos se comporta como una distribución

normal con media y una desviación estándar conocidas, no importa cuáles sean los valores de y

para una distribución de probabilidad normal, el área bajo la curva representa casi un 100% de los datos,

de manera que si se observa la Figura 7.8 se puede demostrar matemáticamente que:

1. Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentran

dentro de 1 , una desviación estándar de la media.

2. Aproximadamente el 95,5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentran

dentro de 2 , dos desviaciones estándar de la media.

3. Aproximadamente el 99,7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentran

dentro de 3 , una desviaciones estándar de la media.


Figura 7.8 Distribución Normal

De esta manera si hipotéticamente se deseara que el 95,5% de las órdenes futuras esperadas se pudieran cubrir

con el inventario actual se debería tener una protección adicional aproximada de 2 y con esto

garantizaríamos que el 95,5% de las veces cualquier demanda se podría cubrir con el inventario existente.

Para definir una distribución normal de probabilidad es necesario definir únicamente dos parámetros: la media

y la desviación estándar . No importa cuáles sean los valores de estos dos parámetros de la distribución,

el área debajo de la curva siempre será igual a 1, de manera que el área bajo la curva se puede asemejar a

probabilidades. Por medio de la distribución normal estándar se pueden identificar áreas bajo cualquier curva

normal y con el uso de las tablas de la distribución normal estándar se determina el área o la probabilidad de

que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media, esas

distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.

Estandarización de la Distribución Normal

Una variable aleatoria normal x se estandariza restándole su media y dividiendo este resultado por la

desviación estándar, de esta manera una variable aleatoria normal con = 0 y 12 recibe el nombre de

variable aleatoria normal estándar y se denota como k.


Figura 7.9 Campana de Gauss

En la figura 7.9 se ve claramente que la porción x-µ representa el stock de seguridad.

Si se llama k el número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución, se puede

encontrar el valor de k con relación a la media y la desviación estándar como sigue:

(7.10)

En la ecuación (7.10) a k se le conoce como variable estandarizada. Nótese como al restar µ , la media cambia

de µ a cero, en esta relación:

x = valor de la variable aleatoria que nos ocupa.

= media de la distribución de la variable aleatoria.

= desviación estándar de la distribución.

k= número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución.

Según Ross (2008 pág.276) el valor de la variable estandarizada indica cuánto difiere la variable original de

su media en unidades de desviación estándar y plantea que si - por ejemplo - la variable estandarizada k toma

el valor de 2, esto significa que:

Despejando x se tiene que:

x es dos desviaciones estándar mayor que su media.

xk

)(xIS

2x

k

2x


Según Devore (2012, pág. 157), la idea clave es que estandarizando, cualquier probabilidad que implique x

puede ser expresada como una probabilidad que implica una variable aleatoria normal estándar k, de modo

que se puedan usar las tablas de la distribución normal estandarizada.

Es fácil demostrar que sin stock de seguridad la demanda de los clientes puede ser satisfecha hasta en un

50%. En la vida real la demanda es muy cambiante porque existen desviaciones imprevistas; este

comportamiento genera dudas sobre cómo serán los comportamientos de esta hacia el futuro.

La Figura 7.10 muestra que sin stock de seguridad la demanda del cliente se puede satisfacer un 50%.

También evidencia que es casi imposible satisfacer la demanda del cliente al 100%.

Figura 7.10

Para explicar lo anterior suponga que la demanda de un producto cualquiera se distribuye normalmente con

una media de 275 unidades por día y una desviación estándar de 75 unidades; si se comienza el día con una

demanda esperada de 275 unidades se tendría el 50% de probabilidad de que se produjera una ruptura de


inventarios porque el inventario medio es de 275 unidades diarias, por lo cual teniendo una demanda en ese

día de 275 unidades se está en riesgo de consumirlas todas y quedar sin existencia para el segundo día.

Calculando la probabilidad se tiene que x

k . 0

75

275275k

y de la tabla de la distribución

normal estandarizada se encuentra que para k = 0, Pz(k) = 0.5 = 50%.

¿Cuál es el inventario de seguridad IS? Como ya se dijo, sin stock de seguridad la demanda de los clientes

puede cubrirse en un 50%. Un cubrimiento superior requiere una protección igual a x- que se denomina

stock de seguridad.

Reemplazando x- en la ecuación (7.10), se tiene:

y despejando de la anterior ecuación IS se obtiene la ecuación (7.11) planteada a continuación:

(7.11)

Si la demanda x en el periodo de reabastecimiento LT es una función de densidad de probabilidad definida

como f(x), los cinco argumentos siguientes son válidos para cualquier distribución de probabilidad de la

demanda en el tiempo de reabastecimiento LT:

1. IS = E (inventario neto justo antes de que arribe el abastecimiento).

E es el valor esperado de la demanda durante el tiempo de reabastecimiento.

2. La probabilidad de que ocurra un faltante en el tiempo de reabastecimiento es:

Probabilidad {x≥s}

(7.12)

3. La expectativa de faltantes por ciclo de reabastecimiento – en unidades – sería:

(7.13)

4. El inventario disponible promedio es:

Inventario neto = inventario actual – pendientes por entregar

El inventario justo cuando arriba la cantidad Q ordenada es:

QxsI L

Y el inventario medio en el sistema es:

ISk

.kIS

0)()( dxxfxs

sdxxf )(

sdxxfsxEf )()(


(7.14)

5. El número de reabastecimientos por año sería:

(7.15)

Si la distribución de la demanda en el tiempo de reabastecimiento es normal, con media xL y desviación

estándar σL, las reglas de decisión para el sistema (s,Q) son:

Políticas de Inventario Cuando se Define un Nivel de Servicio P que Mide los Faltantes por Ciclo de

Reabastecimiento

P es la probabilidad de la no ocurrencia de un faltante en un ciclo de reabastecimiento o el nivel de servicio

de la orden, consecuentemente la probabilidad de un faltante será 1-P. Para esta situación las políticas de

gestión de inventario son:

Seleccione el factor k de tal manera que Pkpz 1

Donde:

Pz≥k = probabilidad de que la distribución normal unitaria N(0,1) sea mayor o igual a k.

Defina el IS con la ecuación (7.5).

Calcule s con la ecuación (7.9).

Cuando el Nivel de Servicio fr es Dado

En la práctica las compañías deciden qué nivel de servicio fill rate esperan ofrecer a sus clientes y

consecuentemente, planean sus niveles de inventario (es común escuchar en conversaciones coloquiales de

gerentes de logística que se habla de niveles de fill rate del 90%, 95%, 98%, etc.). De hecho junto con el

porcentaje de costos de logística sobre las ventas, estos son los indicadores por excelencia de la gestión

logística.

El número esperado de faltantes Ef en un momento dado se presenta con la ecuación (7.13) y si se asume -

como se dijo al principio de esta sección - que la distribución de la demanda es normal con media xL y

desviación estándar σL, entonces:

dxxf L

Lxx

L

2)(2

1

2

1)(

Como se sabe que:

Lks Lx

Reemplazando estas dos últimas ecuaciones en la ecuación (7.13) se tiene:

ISQ

I2

LkQ

I2

Q

DentosabastecimiRe


Como L

Lxxz , derivando z con respecto a x se tiene:

Ldx

dz 1 o lo que es lo mismo:

dzdx L

Reemplazando la integral se transforma en:

Como la función de la distribución unitaria N(0,1) es:

dzkzkGz

kz

2

2

1

2

1)()(

Entonces:

(7.16)

Cuando los Faltantes se Convierten Totalmente en Órdenes Pendientes

Si se presenta la situación descrita anteriormente - donde los clientes aceptan pedidos pendientes, es decir

ofrecen una oportunidad para que las órdenes se completen en diferentes entregas posteriores - la fracción de

las cantidades solicitadas que no se surten y se convierte en cantidades pendientes es la relación entre el

número esperado de unidades de faltante entre el valor esperado de la demanda en el ciclo, en este caso Q:

EscasezQ

Ef (7.17)

Consecuentemente con (7.17) la demanda que se satisface (la que no queda pendiente) es:

Q

Effr 1 (7.18)

Reemplazando (7.16) en (7.18) se tiene:

Q

kGfr

zL )(1 (7.19)

De esta ecuación puede despejarse el valor k como:

L

L

L

L

k

xx

L

dxkxEfL

2

L

x

)(2

1

2

1)x(

k

2

1 2

2

1)( dzkzEf

z

L

)(kGEf zL


)1()( frQ

kGL

z (7.20)

Para estos casos la regla de decisión es:

Si se especifica el valor de k utilice las ecuaciones (7.5) y (7.9) para calcular el stock de seguridad y el punto

de reorden s respectivamente.

Cuando los Faltantes se Convierten Totalmente en Ventas Perdidas

En este caso las cantidades ordenadas que no se logren entregar en el primer despacho se perderán, entonces

la demanda esperada por ciclo será:

Y fr será:

EfQ

Effr 1

Derivando se obtiene el factor de seguridad con la siguiente ecuación:

)1

()(fr

frQkG

L

z (7.21)

Para esta situación el factor k debe buscarse de la siguiente forma:

Si los faltantes se convierten en pendientes use la ecuación (7.20).

Si los faltantes se convierten en ventas perdidas use la ecuación (7.21).

Calcule el IS usando la ecuación (7.5).

Calcule s utilizando la ecuación (7.9).

Cálculos para Obtener el Costo Total de la Política de Inventarios

El costo de la política de inventarios viene dado por la siguiente ecuación:

escasezSQ

DHIS

QDcCT )

2(

El costo de los faltantes está dado de acuerdo a su definición, por ejemplo cuando se conoce el fill rate el

costo anual de la política está representada por la siguiente ecuación:

fz CkGQ

DS

Q

DHIS

QDcCT L )()

2( (7.22)

La primera expresión es el valor de la compra, la segunda expresión representa el costo de mantener los

inventarios, la tercera expresión la compone el número de pedidos D/Q por el costo de colocar cada pedido y

la última expresión es el costo de los faltantes; en esta expresión )(kGzL es el número de unidades

esperadas de faltantes en un ciclo de reposición y dado que D/Q es el número de veces que se pide en un año,

entonces )()/( kGQD zL es el valor esperado de unidades faltantes en un año y al multiplicar esta

EfQDe


expresión por Cf 2 (costo aplicado a cada unidad faltante) se obtiene valor esperado del costo de los faltantes

en un año.

Si se tiene la probabilidad P de que los faltantes ocurran en un número de ciclos de reposición se puede

calcular el costo anual con la siguiente ecuación:

fz CkPQ

DS

Q

DHIS

QDcCT )()

2( (7.23)

La primera expresión es el valor de la compra, la segunda expresión representa el costo de mantener los

inventarios, la tercera expresión la compone el número de pedidos D/Q por el costo de colocar cada pedido y

la última expresión es el costo de los faltantes; en esta expresión )(kPz es la probabilidad de que los

faltantes ocurran en cada ciclo de reposición y dado que D/Q es el número de veces que se pide en un año,

entonces )()/( kPQD z es el valor esperado de número de ciclos en un año en los cuales se presentarán

faltantes. Al multiplicar esta expresión por Cf (costo de faltante aplicado en cada ciclo de reposición) se

obtiene el valor esperado del costo de los faltantes en un año.

El costo Cf de cada pedido faltante está representado por la medición que tenga la compañía. En muchas

ocasiones no es fácil llegar a una medición de Cf pero una buena aproximación mínima de este costo es el

margen de contribución unitario. El costo puede ser mayor si se considera por ejemplo que a causa de los

frecuentes faltantes se pierden clientes, en este caso habría que cuantificar las compras futuras de este cliente

y afectarlas por el margen de contribución para así obtener un límite superior del costo de los faltantes.

Ejercicio 7.3.1

Suponga que usted es el responsable de planear la producción y los reabastecimientos a un conjunto de

tiendas de un gran retail y que el producto a reabastecer es el principal artículo de una categoría y el de más

ventas si se consideran todas las categorías de la empresa. Considere los siguientes datos de la operación

regular para este producto especial:

d = 370.000 unidades de la demanda mensual pronosticada.

σ1= 45.000 unidades - desviación estándar de las demandas pronosticadas.

c = $18 precio de venta del producto.

LT = 1 mes - tiempo de entrega de la planta de producción.

S = $7.200 costo de hacer una orden, incluye el septup.

H = 1,6% costo de mantenimiento del inventario mensual.

P = 88% nivel de servicio P deseado.

Cf = $2.4 costo del faltante.

Establezca la política adecuada de reabastecimiento para este ítem especial y el nivel de fill rate logrado al

aplicar la política, suponiendo que el cliente recibe órdenes pendientes.

Con la ecuación (7.9) del capítulo 5 calcule el EOQ de la siguiente manera:

2 El costo de faltantes Cf afecta las finanzas de la empresa pero no necesariamente las finanzas del cliente, este valor

oscila entre un mínimo representado por el margen de contribución que se deja de percibir cada que no se puede entregar

una unidad y un máximo que puede llegar a ser el valor de los márgenes futuros que dejan de percibirse cuando se pierde

un cliente o un consumidor, debido al mal servicio repetitivo. De cada ítem se sabe cuál es el margen de contribución, por

lo que este dato no es difícil de obtener. Cuando no se entrega una unidad de producto, la empresa deja de facturar esa

unidad pero eso no significa que el cliente deje de vender esa unidad porque éste tiene sus respectivas coberturas de

seguridad, por lo que no entregar una unidad de producto signifique necesariamente que el consumidor no puede comprar

el producto.


015.136%6,1*18

200.7000.37022 xx

H

DsEOQ

La desviación estándar de las ventas durante el LT será:

000.451000.451 mesLL unidades.

El siguiente paso es determinar el factor k:

12.088.011)( Pp kz

De la tabla para un Pz(k) = 0.12 el valor de k = 1.17

Ahora, la demanda xL durante el tiempo de abastecimiento LT es:

xL= d.LT

xL= 370.000x1 = 370.000

El inventario de seguridad es:

650.52000.4517.1 xIS

y el punto de re-orden será:

650.422650.52000.370s

Para calcular el nivel de servicio fr se procede a calcular Gz(k) para el valor de k = 1.17 dela tabla espacial de

la distribución normal se encuentra que Gz(k) = 0,0596 y aplicando la ecuación (7.19) se obtiene el siguiente

valor de fr.

9802,0015.136

)0596,0(000.451fr

El 98,02% de las unidades ordenadas se podrán surtir del inventario actual.

El costo asociado a esta política es:

4.2)0596,0(000.45015.136

000.370200.7

015.136

000.370)650.52%6.118

2

015.136(000.37018 xCT

$/mes.

Uso del Excel para el Cálculo del Nivel de Servicio P dada una Política de Resurtido

Dada una política de resurtido puede usarse Excel para calcular el nivel de servicio P con la función

DISTR.NORM(s,DL, L ,1) .

Para el ejercicio 7.3.1 el cálculo de P sería:

P = DISTR.NORM(422.650,370.000,45.000,1) = 0,8790 ≈ 0,88


Ejercicio 7.3.2

El siguiente ejercicio es tomado de un caso real. Considere la siguiente historia de ventas en kilos mensuales

de un producto que se manufactura para una empresa de alimentos (ver Tabla 7.2). La máquina donde se

elabora el producto entrega el pedido en 14 días pero debe fabricar otras 5 referencias más, por lo que cada

vez que se debe fabricar un producto se incurre en un costo de cambio de $2.800. Asimismo la empresa no

desea mantener altas existencias, en parte porque el producto es perecedero y existe un riesgo alto de

caducidad y también porque los cálculos de la compañía (incluyendo este concepto) muestran que mantener

un kilo de producto en inventario le representa 1.2% mensual. Tenga en cuenta que el precio de venta del

producto es de $10.5, el costo de producción asciende a $5.4 y la demanda que se espera es de 210.000 kilos

mensuales.

Periodo Ventas Periodo Ventas

1 168.974 11 174.511

2 166.486 12 168.029

3 166.111 13 161.737

4 157.570 14 180.500

5 167.628 15 162.415

6 176.212 16 188.690

7 152.217 17 190.329

8 176.469 18 197.721

9 149.460 19 180.715

10 165.012 20 193.132 Tabla 7.2

Los registros de niveles de servicio al pedido (órdenes que son entregadas completas desde la primera vez)

son del 85%, aunque un alto porcentaje de los clientes recibe pedidos pendientes. Se trata de establecer la

política de reabastecimiento más adecuada para este producto. ¿Qué pasaría si los clientes no aceptaran

órdenes pendientes y la penalización por ventas perdidas fuera el margen de contribución?, ¿Qué debe hacerse

para tener un fill rate del 98%? y ¿Cuántos días permanecerá un kilo de producto almacenado? Haga sus

comentarios acerca de esta política.

La cantidad Q a ordenar es:

106.96%2,1*5.10

800.2000.21022 xx

H

DsEOQ

Nótese cómo para el cálculo del EOQ anterior se utilizó el precio de venta de $10.5 y no el costo del producto

de $5.4, esto es plausible porque mantener el inventario guardado priva la empresa de obtener oportunamente

el precio de venta y a su vez el margen de contribución, por lo que es lógico aplicar una penalización al

margen de contribución de $5.1 (10.5-5.4 = 5.1).

Utilizando Excel y los datos de la Tabla 7.2 se calcula la desviación estándar de las ventas históricas

obteniendo el dato de 13.332 unidades. La desviación estándar de las ventas durante el LT de 14 días será:

107.930/14332.131 LL kilos.

El siguiente paso es determinar el factor k para un nivel de servicio al pedido del 85%.

15.085.011)( Pp kz


De la tabla para un Pz(k) = 0.15 el valor de k = 1.04.

Posteriormente proceda a calcular la demanda xL durante el tiempo de abastecimiento LT.

xL= d.LT.

xL= 210.000x(14/30) = 98.000 kilos.

y el stock de seguridad es:

471.9107.904.1 xIS kilos.

El punto de re-orden será:

471.107471.9000.98s kilos.

Seguidamente procédase a buscar el fill rate considerando un valor de )(kGz para k =1,04 que es de 0,07716.

Reemplazando este valor y el de Q en la ecuación (7.20) se tiene:

9927.0106.96

07716.0107.91

xfr

El 99,27% de las cantidades ordenadas se podrán entregar si cada que la posición de inventarios llega a

107.471 se ordenan 96.160 kilos de producto.

Consecuente con esta política el inventario de ciclo es:

775.57471.92

106.96

2IS

QI kilos.

y los días que en promedio un producto permanece en el inventario son:

díasIc 3.8)30(275,0000.210

775.57

Si se desea tener un fill rate más bajo - o del 98% como plantea el ejercicio - el valor de )(kGz se procede a

calcular aplicando la ecuación (7.21).

2121,0)98,01(107.9

106.96)(kGz

En la tabla este valor equivale a un nivel de servicio de k = 0,45 y el valor del stock de seguridad ahora es:

098.4107.945.0 xIS

El nivel de servicio al pedido P para un k = 0,45 es de 67,36%.

Con esta nueva información el punto de re-orden cambia a la posición de:

098.102107.945.0000.98 xs


Un menor fill rate hace que las cantidades de stock de seguridad y punto de re-orden bajen. En el caso

contrario se necesitaría un mayor nivel de protección para aumentos de tasas de llenado del pedido.

Herramientas Logísticas

En la sección de modelos determinísticos Inventarios de www.zonalogistica.com se encuentra el modelo en

Excel que le ayuda a calcular la política de inventarios y los costos de esa política para el sistema de revisión

continua (s,Q). Clave 6323.

Modelo para calcular los costos de una política de inventarios

Datos

Rata de Demanda, D 2.520.000

Costo de manejo anual (%) 15,54%

La demenda es? 1 = anual

Periodo 2 = mensual

3 = diaria

Costos de Setup, S 2.800

Costos de Manejo, H 1,211% (porcentaje)

Precio Unitario, c 10,5

Costo de Producción 5,4

Rata de Demanda por Perido 210.000

Rata de demanda diaria 7.000

Lead time en días 14

Nivel de servicio P 85,00%

Fill rate fr 99,27%

Desviación estándar σ 1 13.332

Resultados

Cantidad a Ordenar Optima, Q 96.161 Elija:1 para usar P

Inventario Máximo (Q+IS ) 105.600 ó 2 para usar fr

Inventario Promedio Q /2 57.520 ó 3 si hay ventas perdidas

Número de Cambios 27,0 27 σ L 9.107

IS 9.439 G z( k) 0,07707661

Costos de Manejo 7.315 Pz 0,15

Costos de Cambio 75.600 k 1,036

Costo de Escasez 93.820 Cf 5,10

Costo Unitario 26.460.000 Cfc 22.000

Costo Total, T c 26.636.735 Ef 707,60

Punto de Reorden s 107.439

Costo de la Política 176.735 0,67%

2

2

Escasez

Introduzca los datos únicamente

en el área sombreada

fzkCPQ

DfzkCG

Q

DL )

1()(

fr

frQkG

L

z

Cálculo de Nivel de Servicio Fill Rate dada una Política de Inventarios

Dada una política de resurtido puede usarse Excel para calcular el nivel de servicio fr con la función:

http://www.zonalogistica.com/


)0,1,0,/(.)1,1,0,/(.1 LLL ISNORMDISTRISNORMDISTRIISEf (7.24)

Chopra y Meindl (2008, p.344) presentan las funciones de Excel que se pueden utilizar para calcular las

diversas funciones de la distribución normal.

Dado Ef se puede usar la ecuación (7.18) para calcular la tasa de llenado fr.

Para el ejercicio 7.3.2 el cálculo de fr sería:

)0,1,0,107.9/471.9(.107.9)1,1,0,107.9/471.9(.1471.9 NORMDISTRNORMDISTRIEf

Ef = 708 unidades.

En cada ciclo de resurtido no se podrán suministrar 708 unidades demandadas por los clientes con el

inventario a mano. Si se usa la ecuación (7.18) se obtiene el siguiente fill rate o tasa de llenado fr:

9927,0106.96

7031fr

Por último la experiencia del autor le indica que muchos responsables de gestionar los inventarios son

escépticos a aplicar los modelos de reposición aduciendo que los niveles de inventarios que arrojan son

demasiado altos y no encuentran lógica a sus cálculos. El error común que se comete es que no aplican

adecuadamente los modelos y no consideran la demanda durante el Lead Time. Para ejemplificar lo anterior

considere que la solución a la que llegase un responsable de abastecimiento para el anterior ejercicio (7.32) es

la siguiente:

332.13 , k = 2,44 (para un fill rate del 99,27%) entonces:

530.32332.1344.2 xIS

530.242530.32000.210s

Los errores cometidos en este cálculo son los siguientes:

La demanda que se debe usar no es de 210.000 (esta es la demanda mensual pronosticada o

estimada) debe usarse la demanda durante el tiempo de reabastecimiento (recuerde que el proveedor

hace entregas cada 14 días), de esta manera la demanda a atender es la correspondiente a los 14 días

que durará el abastecimiento (98.000 kilos) y no la demanda del mes completo.

La desviación estándar de 13.332 está equivocada, lo que debe calcularse es la desviación estándar

de los datos en el periodo de abastecimiento de 14 días (9.107 kilos).

El factor k de 2.44 para un fill rate del 99.27% es equivocado; este valor se calculó con la función de

Excel INV.NORM.ESTAND. y corresponde al nivel de servicio fr, cuando debiera corresponder al

nivel de servicio al pedido P.

Consecuentemente el cálculo del stock de seguridad está equivocado.

Nótese las grandes diferencias entre el cálculo equivocado y el correcto. En el stock de seguridad existen

diferencias del 2438% (32.530/9.471-1)(100) y en el punto de re-orden las diferencias son 125,6%

(242.530/107.471-1)(100).


Ejercicios

7.3.1. Se ha realizado un pronóstico de ventas según una base mensual y se encontró que el tiempo de

aprovisionamiento es de 40 días. El pronóstico para el primer periodo posterior es 600 unidades, para

el segundo periodo posterior es de 0 unidades y para el tercer periodo posterior es de 1200 unidades.

¿Cuál es el punto de re-orden suponiendo que el nivel de servicio en cada ciclo es 95%? y ¿Cuál es

el punto de re-orden si la demanda del periodo 2 fuera de 950?

7.3.2. Una cadena de almacenes hace que sus clientes le entreguen los pedidos cada 16 días calendario, las

ventas siguen una distribución normal con media de 1.540 unidades, reportan una desviación

estándar de 394 unidades y el responsable de los inventarios emite una orden cada que el nivel de

inventarios llega a 2.800 y ordena 4.600 unidades. En este caso:

Defina la política de inventarios que está siguiendo el responsable del stock.

¿Cuáles son los niveles de servicio P y el fill rate de este producto?

7.3.3. Si el responsable de los abastecimientos del ejercicio anterior ha recolectado información sobre los

tiempos de entrega de su proveedor y ha encontrado que se distribuyen normalmente con una media

de 14 días y una desviación estándar de 10 días, calcule el stock de seguridad en unidades que se

deben mantener para lograr un nivel de servicio fr = 97% ¿Qué opinión le merece el proveedor?

7.3.4. Se tiene conocimiento de la política de resurtido de una ferretería para el cemento de 50 kilos. Si la

demanda está distribuida normalmente con media de 400 y una desviación estándar de 150 y el

tiempo de entrega de su proveedor es de 14 días, calcule el nivel de servicio si cada que el inventario

llegue a un nivel de 1.000 bultos se piden 1.400 bultos de cemento de 50 kilos cada uno.

7.3.5. Una cadena de supermercados tiene los registros de ventas de un producto como se refleja en la

Tabla. Las órdenes de la cadena a su proveedor se surten tres veces a la semana y las entregas son

centralizadas en una plataforma de cross docking desde la cual la cadena se encarga de surtir los 180

puntos de ventas que posee en un tiempo de 24 horas. Asimismo la cadena puede recibir órdenes

pendientes pero - en la práctica - con un Lead Time de 2 días todo producto atrasado es arropado por

la siguiente orden, con lo cual la entrega atrasada se pierde. Las revisiones permanentes que tiene la

cadena con su proveedor muestran una cobertura estadística del inventario de 27 días. El precio del

producto en el punto de venta es de 14,50 y el precio de compra a su proveedor es de 11,20; los

costos de colocar una orden son casi despreciables pero guardar el inventario le supone a la cadena

una erogación de 0,50 por unidad y cuando la cadena no tiene el producto para exhibirlo en las

góndolas pierde el margen de contribución. Defina una política óptima de gestión de inventarios para

la cadena y este producto ¿Por qué - si los reabastecimientos del proveedor son tan frecuentes - se

tienen 27 días de inventario?

Ahora considere que el único cliente de dicho producto para este proveedor es la cadena en cuestión.

Si la planta de producción puede entregar el producto cada 10 días, ¿Cuál es la política de

inventarios para el proveedor si los costos de ordenar y mantener son 4.200 y 1,8% mensual, el nivel

de servicio P es del 88% y cada venta perdida le representa 1,32 de pérdida?


Periodo Ventas PeriodoVentas

1 24.441 31 30.191

2 18.643 32 27.573

3 23.525 33 31.090

4 31.227 34 24.764

5 23.813 35 29.686

6 35.056 36 35.816

7 15.074 37 26.777

8 40.620 38 45.220

9 28.382 39 19.087

10 19.863 40 44.201

11 14.791 41 32.121

12 22.447 42 34.122

13 21.603 43 15.483

14 26.414 44 32.237

15 36.435 45 23.363

16 29.974 46 36.998

17 24.408 47 46.743

18 32.064 48 30.094

19 25.752 49 35.856

20 33.206 50 43.354

21 33.726 51 34.148

22 28.080 52 41.694

23 30.758 53 41.557

24 40.309 54 36.433

25 34.135 55 33.949

26 35.071 56 48.001

27 49.768 57 38.099

28 31.610 58 39.235

29 30.145 59 55.005

30 22.939 60 34.410

7.3.6. Se ha realizado un pronóstico de ventas según una base mensual y se estableció que el tiempo de

aprovisionamiento es de 40 días. Con estos datos se definió que el pronóstico para el primer periodo

posterior es 8.000 unidades, para el segundo periodo posterior es de 4.500 unidades y para el tercer

periodo posterior es de 9200 unidades ¿Cuál es el punto de re-orden suponiendo que el nivel de

servicio es 95%?

7.3.7. Demetrio Lalinde - Gerente de Compras - sabe que la demanda de su principal producto es de

15.000 unidades por mes, el costo de cada unidad es $300, los costos totales de su departamento son

$385.000 y colocan en promedio 4.200 órdenes al año. Demetrio sabe también que cuando la

compañía necesita financiar algún proyecto utiliza una tasa de 16%, los costos de almacenar los

productos son un 9% y otros gastos de administración de los inventarios son 4% al año (esta

compañía trabaja 340 días por año); este Gerente puede comprar ese producto a varios proveedores

pero ha notado que todos tienen un tiempo de entrega de una semana. Él está interesado en establecer

la mejor política de inventarios para este producto y un proveedor le ha comunicado que le

incrementará el tiempo de entrega en una semana y teme que los otros abastecedores le digan lo

mismo, por lo que quiere saber qué efecto tendrá este incremento en el punto de re-orden.

7.3.8. Calcule el punto de re-orden para los siguientes artículos cuya demanda histórica mensual y

pronóstico mensual se muestra en la siguiente tabla:

Año Ref. 1 Ref. 2 Ref. 3 Ref. 4 Ref. 5 Ref. 6

-6 78 9 20 112 459 320


-5 76 2 0 102 456 333

-4 84 1 0 110 489 434

-3 85 5 0 98 435 345

-2 86 22 0 98 346 365

-1 79 24 0 96 456 356

0 75 26 0 123 444 324

1 72 4 12 121 398 323

2 76 5 15 111 421 234

3 77 33 17 98 502 389

4 79 35 43 115 467 345

5 82 10 53 117 488 398

Trabaje con un nivel de servicio del 95% en cada ciclo y con un tiempo de entrega por parte del

proveedor que ha tenido el siguiente comportamiento:

Entrega 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Días de

Entrega

1 2 2 1 3 2 2 1 1 4 3 3

El tiempo de aprovisionamiento del proveedor es de 50 días.

7.3.9. Con los datos del ejercicio anterior ¿Cuál es el tamaño del lote para cada artículo? Utilice los

siguientes datos adicionales:

o Costo de colocar una orden $ 3.800.

o El costo de almacenar un artículo durante un año es 34% del costo del artículo.

o Costo de los artículos:

Artículo Ref. 1 Ref. 2 ref 3 ref 4 ref 5 Ref. 6

Costo 1,230 1,189 980 1,230 1,456 1,340

7.3.10. Calcule el punto de re-orden para los siguientes artículos cuya demanda mensual en el almacén

principal en el último año fue la siguiente:

MD01 MD02 RELAX LKM DISCO MD20

Ene 85 459 356 12 10 94

Feb 78 485 320 0 0 120

Mar 79 412 389 0 0 86

Abr 84 389 410 0 0 126

May 80 375 365 25 0 124

Jun 82 400 386 26 0 175

Jul 83 489 371 21 0 96

Ago 86 471 326 0 0 87

Sep 79 410 342 0 0 112

Oct 71 390 316 31 15 115

Nov 76 423 375 35 26 114

Dic 70 412 394 0 81 119

Trabaje con un nivel de servicio del 95% y con un tiempo de entrega por parte del proveedor que ha

tendido el siguiente comportamiento:

Entrega 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Días para la Entrega 3 2 2 1 4 2 2 1 1 4


7.3.11. Confecciones Miramar hace pedidos cada mes y dispone de la historia de ventas de sus tres

principales productos de los dos últimos años de operación, la cual se anexa en el siguiente cuadro:

Producto Referencia TallajePrecio de

Venta ene-10 feb-10 mar-10 abr-10 may-10 jun-10 jul-10 ago-10

PANTALONES FEMENINOS 2050 DAMA 24348 241 160 127 253 499 183 741 169

PANTALONES MASCULINO 2031 HOMBRE 24500 186 259 261 213 203 514 1.137 239


Producto Referencia Tallaje ene-11 feb-11 mar-11 abr-11 may-11 jun-11 jul-11 ago-11

PANTALONES FEMENINOS 2050 DAMA 26782,8 482 170 164 162 240 217 599 190

PANTALONES MASCULINO 2031 HOMBRE 26460 33 105 92 82 91 246 834 418


Se requiere realizar los cálculos de crecimiento en ventas y los de tendencia del stock de seguridad y

del pedido a producción del mes de septiembre de 2011. Suponiendo que al final del mes de agosto

el saldo de inventario de la empresa es el siguiente:

Referencia Inventario

2050 282

2031 25

2056 89

Considere un nivel de servicio del 90% y un tiempo de entrega del proveedor de 60 días.

7.3.12. Un comprador de una cadena de supermercados tiene aprobados un cupo de $50.000 para mantener

como promedio invertidos en los inventarios de sus tres principales productos. El costo de hacer un

pedido es de $74 y el de mantener es de 2% mensual. Las demandas mensuales y los precios de

compra se presentan en el siguiente cuadro. ¿Qué cantidades debe ordenar para cumplir la restricción

de los $50.000? y ¿qué pasaría si le gerencia le incrementa el cupo de inversión a $100.000?

Productos DemandaCosto de

compra C i

1 36.800,00 18

2 12.500,00 15

3 4.850,00 14

7.4. Pedidos de Una Sola Vez

La gestión de inventarios requiere responder a las preguntas: ¿Qué cantidades tener? y ¿Cuándo tenerlas? La

primera pregunta se refiere a un problema de cantidades y la segunda a un tema de tiempos.

Los pedidos de una sola vez se relacionan con la segunda pregunta, en la que la cuestión es ordenar una

cantidad adecuada del artículo antes del periodo en el que se requiere (este periodo puede ser una temporada,

una promoción, un día, una semana, mes o año). Es una situación en la cual los productos se ordenen por una

sola vez para cubrir una temporada, es por esto que se le conoce como el problema del vendedor de periódicos

o del árbol de navidad. Como el pedido se hace una sola vez para cubrir una temporada o un evento

promocional, si este no es suficiente se presenta una escasez y en el caso contrario se presenta un exceso y

habrá un sobrante.


El caso de interés se presenta cuando la demanda es aleatoria o desconocida, pero que puede ser representada

a través de una variable aleatoria. Todas las empresa comerciales o de manufactura poseen esta clase de

productos, bien sea por que el comportamiento de su demanda es estacional o por que influencian la demanda

a través de un evento promocional que se producirá una sola vez; en este último caso la empresa puede estar

interesada en por ejemplo definir las cantidades que se demandarán en una campaña promocional en su

principal canal de distribución.

En el caso del distribuidor de periódicos debe ordenar una cantidad de diarios tal que pueda atender la

demanda diaria y que no le queden sobrantes. En este último escenario se tendrá una penalidad por cada

periódico que devuelva a la casa editorial y en el primer caso perderá la utilidad que le genera la venta de cada

diario.

Cada que un producto se ordene para una temporada específica y que la demanda sea continua se puede

aplicar un modelo de pedido de única vez como el que se estudiará a continuación.

La Construcción de un Modelo de Pedido Único

Esta sección ha sido construida tomando como referencia a Sipper y Bulfin (1998, p.p. 273-280) y a Silver et

al (1998, p.p.385-410).

Considere:

D = la demanda durante el periodo de tiempo. Está representada por una variable aleatoria con función de

densidad de probabilidad continua f(D).

F(D) = función de probabilidad acumulada de la variable D.

Ce = el costo en que se incurre cuando hay una escasez. Es la utilidad dejada de percibir.

A = el costo de los excesos, cuando estos se presentan se deben almacenar hasta que se vendan. En general se

obtiene algún costo de recuperación por el exceso.

Si se tiene establecido que la demanda de un producto para una temporada puede estar dentro de un rango de

ventas de {Q ,D} donde Q es la cantidad a ordenar y D es la demanda, la cantidad máxima a vender será:

Min{Q , D}.

Una escasez estará representada por:

D – Q si D>Q (7.25)

Pero por otro lado si no se vende lo necesario, el sobrante será:

Q – D si D<Q. (7.26)

Las cuatro situaciones posibles para el pedido único serán:

Para la escasez

DsiQQD

DsiQQDMax

,

,0)0,(

(7.27)

Para el sobrante

DsiQ

DsiQDQDQMax

,0

,)0,(

(7.28)


Si A es el costo de almacenamiento del exceso por unidad y Ce es el costo de faltante por unidad, para un

pedido único el costo total CT es:

(7.29)

Y el costo esperado E(CT) será:

Q

Qe dDDfQDCdDDfDQACTE

0)()()()()(

(7.30)

Derivando la ecuación (7.30) e igualando a cero se tiene:

Q

Qe dDDfCdDDfA

dQ

CTdE

00)()(

)(

0)(1)( QFCQAF e

ee CQFCQAF )()(

ee CCAQF ))((

e

e

CA

CQF )(

(7.31)

Una ecuación empírica puede derivarse del caso en el que el costo de escasez es igual al costo del sobrante,

esta es una situación lógica en donde el responsable de reabastecer calcula que la cantidad Q a ordenar le

garantiza que la demanda total tenga el 50% de posibilidades de ser menor a Q y el 50% de ser mayor a Q.

La variable que nos ocupa es la cantidad a ordenar Q que se convierte en variable de decisión.

Sea F(D) la probabilidad acumulada de que la demanda sea menor a D, entonces el costo del exceso es AF(Q)

y el costo de faltantes es [1-F(Q)]Ce . Sería deseable adquirir una cantidad Q tal que la expectativa de costos

de los excesos sea exactamente igual a la expectativa de los costos ahorrados por faltantes, para esta

condición Q debería satisfacer:

)(1()( QFCQAF e

(7.32)

)()( QFCCQAF ee

Despejando F(Q) se tiene

ee CQAFQFC )()(

ee CQFAC )()(

AC

CQF

e

e)(

(7.33)

Nótese como en la ecuación (7.33) cuando A = Ce, entonces F(Q)= 0,5.

La solución de la ecuación (7.33) está representada gráficamente en la Figura 7.11.

0,max0,max QDCDQACT e


Figura 7.11 Distribución Acumulada

Sipper y Bulfin (1998, pág. 276) han definido la razón de la ecuación (7.33) como razón de crítica y es un

número entre 0 y 1, esta razón crítica es la probabilidad de satisfacer la demanda durante el periodo después

de ordenar una cantidad Q para ese periodo.

Para calcular Q - que es la variable de decisión- se debe usar la distribución de probabilidad acumulada de la

distribución de probabilidades.

Caso en el que la Demanda se Distribuye Normalmente

La razón crítica puede ser aplicada a casi cualquier situación práctica, cuando la demanda está normalmente

distribuida con media y desviación estándar es posible obtener el valor de Q.

Como k es el número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución se puede

encontrar el valor de k con relación a la media y la desviación estándar como sigue:

(7.34)

y

(7.35)

Donde:

x= valor de la variable aleatoria que nos ocupa.

= media de la distribución de la variable aleatoria.

= desviación estándar de la distribución.

k= número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución.

xk

kx


Ejercicio 7.4.1

En la economía campesina las parcelas se dedican a algún cultivo de frutas y hortalizas. Considere el caso de

Álvaro, quien destinó una hectárea de su pequeña finca para el cultivo de plátano hartón. Él sabe que puede

cortar el producto desde las 11 semanas de cultivado y hasta las 15 semanas; su mercado natural es el

mercado municipal de su pueblo natal, a donde acuden los campesinos los fines de semana a hacer sus

aprovisionamientos de víveres y otras necesidades; él además sabe que puede vender en promedio 42 racimos

semanales con una desviación estándar de 10. La venta en todo caso dependerá del volumen de plátano que

los demás cultivadores cosechen esa semana y del número de campesinos que visitan el pueblo.

Álvaro puede vender cada racimo de plátano en $9.000 y su utilidad estimada es de $3.500 por racimo.

Cualquier racimo que no pueda vender lo debe entregar a los mayoristas que visitan el pueblo el domingo ya

de tarde a un precio de $3.500, estos los llevan al mercado de la ciudad más cercana. Casi nunca le sobran

racimos que el mayorista no le compre, de ser así debería donarlos al acilo del pueblo o a la iglesia para ser

repartido a los pobres.

Solución

Primero proceda a calcular la razón crítica.

6364,0)500.3500.5(500.3

500.3

Lo que cuesta el exceso es $2.000 (5.500-3.500). De la tabla de la distribución normal el Q óptimo se

encuentra en 63,64% del área de la curva, para ese valor k equivale a 0,35. Ahora, de la ecuación (7.35) se

puede calcular el número de racimos a cortar.

Cuando la Demanda Durante el Lead Time no Sigue una Distribución

Normal

Si bien muchos datos de demanda siguen una distribución normal, existen comportamientos de la demanda

que no se ajustan a este tipo de distribuciones. Algunos autores - entre ellos Silver, et. al (1998) - plantean que

cuando la relación 5,0/ LL x es recomendable usar otra distribución de probabilidad para la demanda

durante el tiempo de abastecimiento (como la Gamma); asimismo Silver et al (1998 p 273) sugieren que

cuando el ratio 5,0/ LL x se debe considerar una distribución diferente a la normal y si ese ratio es menor

a 0,5 la distribución normal es probablemente una buena aproximación.

Silver et al (1998 pág. 737) presentan también las reglas de decisión para el fill rate y el punto de re-orden s

cuando se utiliza la función Gamma -se recomienda ampliamente su consulta-. Para detallar el estudio de la

distribución continua Gamma consulte Ross (2003, pág.37) y Devore (2012, p.p.167-169).

El autor recomienda hacer las pruebas sesgo y curtosis y de bondad de ajuste (ver Capítulo 2) para determinar

si los datos siguen una distribución normal.

465,454210*35,0kQ


Si la distribución no es normal y se usan los estadísticos de la media, desviación estándar y factor k se puede

incurrir en un error.

Ejercicio 7.4.2

Don Abel es el dueño de una cacharrería a la cual le ha dedicado toda su vida. En la temporada decembrina él

mismo se ocupaba de los pedidos de juguetes y su estrategia ha sido tener un juguete destacado, innovador y

de mucho impacto que haga tener flujo de compradores a la tienda.

La tienda es de unas dimensiones de 18 metros de largo y 12 de ancho. Para esta temporada construye en la

mitad del almacén un corral donde exhibe los juguetes causando un gran impacto visual. Don Abel entiende

que no se puede equivocar en el pedido de este juguete estelar, por eso ha recogido pacientemente la

información del número de juguetes vendidos en las temporadas pasadas que se expresan a continuación.

Periodo Demanda

1 24

2 32

3 35

4 38

5 42

6 48

7 56

De la tabla se desprende que las ventas nunca han sido menores a 24 juguetes ni mayores a 56 juguetes; se

considera que cualquier demanda en este rango tiene igual probabilidad de ocurrir3, por lo que la demanda es

uniforme.

Si a don Abel le sobran juguetes después del 24 de diciembre debe rebajarlos un 60% de su valor para poder

deshacerse de ellos, esto no es conveniente por dos razones: la primera le supone una pérdida por el descuento

que debe dar y la segunda le genera una mala imagen porque la gente no entenderá que compraron un

producto a un precio elevado y 15 días más tarde lo encontrará con una rebaja significativa. Teme que su

clientela se entere que si se espera a fin de año puede conseguir el juguete a un precio extremadamente

menor.

El precio al que don Abel puede vender el juguete es $54 y la ganancia estimada por juguete es de $18.

Si a don Abel se le acaban los juguetes antes del 22 de diciembre incurre en una pérdida de venta que le

supone un costo igual a la utilidad que no percibe por los juguetes que hubiera podido vender si contara con

las existencias adecuadas.

Don Abel ya sabe cuál será el juguete estelar de esta temporada pero debe enviar hoy mismo el pedido con las

cantidades a su proveedor.

Solución

El precio de venta = $54

La ganancia por juguete es $ 18

El costo de compra es $36 (54-18)

El precio de venta con descuento para poder realizar el producto es $21.6 [54*(1-60%)]

El costo de realización es $14.4 (36-21.6), esto es lo que pierde por cada juguete que no venda en temporada

regular.

3 Para una situación en donde la distribución de probabilidad de la demanda es discreta, consulte Silver et al (1998,

p.p.391-392).


Como la demanda puede tomar cualquier valor entre 24 y 56, la distribución se considera uniforme con una

función de densidad f(D)=1/(b-a).

32

1

2456

1)(Df

El factor de criticidad es:

55,04.1418

18

El número de juguetes que deben ordenarse se puede obtener resolviendo la probabilidad acumulada de la

demanda. Resolver la ecuación es encontrar el valor Q para el cual F(Q)=0,55.

55,0)()(24

Q

dDDfQF

Como ya se conoce f(D) se puede despejar Q de la siguiente manera:

55,0)( 24

QDDf

55,0)24(32

1Q

Y despejando Q se tiene:

2432*55,0Q

42Q

Don Abel debe pedir 42 juguetes para esta temporada.

El número esperado de juguetes que faltarán es:

56

)()()(Q

dDDfQDQF

56

42)42(

32

1)( dDDQF

Resolviendo la integral:

56

42

56

42

2 4232

1

2

1

32

1DD

1432

4214

64

1 2

375,1806,3

0312,15

No habrá faltantes.

Por otro lado, el número esperado de juguetes que quedaran en existencias es:


Q

dDDdDDfDQQF42

56

42)42(

32

1)()()(

56

42

256

422

1

32

1

32

42DD

214

64

114

32

42

06,34,18

1534,15

El costo total esperado de esta política será:

27018*34.14*15)( 42CTE

Nótese que no está calculado el costo de compra de los juguetes de $1.512 (42*36).

Y la utilidad esperada será:

48627036*4242*54)( 42UE

Ejercicio 7.4.3

Tamaño del Pedido Cuando la Demanda es Uniforme4

La Molería es una tienda de artículos deportivos de invierno que está situada en el Principado de Andorra

(Europa) y que tiene una ubicación privilegiada (justo entre el parqueadero principal y la estación de cable vía

(teleférico) que sirve como medio de transporte a deportistas y turistas que desean usar las pistas para esquí).

Andorra tiene múltiples atracciones tanto para verano como para invierno, aunque su fuerte temporada es en

el invierno donde las montañas de los Alpes franceses se llenan de nieve y se forman unas excelentes pistas a

donde acuden personas de todas partes del mundo; es precisamente esta condición de la naturaleza la que le

dificulta al Gerente de la tienda predecir con mucha facilidad la demanda de su principal producto: un Anorak

(en febrero de 2011 hubo poca nieve y los turistas escasearon por Andorra, lo que le ocasionó tener sobre

4 Una variable aleatoria X se dice que es uniforme en el intervalo (a,b) si su función de densidad es constante dentro de él. La

distribución uniforme representa la distribución de datos con la incertidumbre más completa; la función de densidad de probabilidad de X

es ),(,1

)( baxab

xf o de lo contrario es cero (0),

a b x

ab

1ab

xf1

)(

y su media y varianza vienen representadas respectivamente por:

2

badx

ab

XXE

b

a y

12

)( 2abXV y la

función acumulativa es

)(

)()(

ab

axxF , para b ≥ x ≥ a, para más detalles sobre esta distribución de probabilidad continua ver

Montgomery (1996 p.p.170-172).


stocks de Anoraks. En cambio en otras ocasiones la nieve ha sido abundante y la demanda de dicho artículo se

le ha disparado). A pesar de todo esto el Gerente de la tienda se las ha arreglado para definir que la demanda

se comporta como una distribución uniforme en cada mes de cada temporada del año. Los datos que ha

recopilado con mucha paciencia son los siguientes:

Temporada Meses DemandaPrevisiones

de Mercadeo

Alta Septiembre a Diciembre 122 - 575 485

Media Enero a Abril 58 -85 78

Baja Mayo a Agosto 28 - 42 36

Significa todo esto que - por ejemplo - en la temporada alta la demanda de Anoraks puede tomar un valor

dentro del rango de 122 a 575 y cada valor con igual probabilidad de ocurrir. Si por ejemplo se quisiera

predecir el mes de enero la demanda podría tomar un valor entre 58 y 85, nunca por debajo de 58 ni por

encima de 85. Los expertos de mercadeo también han establecido lo que pudieran ser las demandas del

producto en cada temporada, éstas se encuentran en la última columna de la tabla.

Aunque existen muchas tiendas de este tipo en Andorra, la ubicación privilegiada de La Molería le permite

tener un flujo de clientes permanente porque casi todas las personas que quieran subir a la estación de esquí

deben pasar por la acera de la tienda. Por este hecho su Gerente siempre prefiere tener suficiente surtido de

Anoraks, dado que cada que no tenga el producto pierde la venta y el costo de esa pérdida lo calcula como el

60% del margen de contribución unitario (porque parte del margen lo recupera vendiendo el producto con una

súper oferta) y el good will que se ha ganado como tienda de excelente surtido. Debe tenerse en cuenta que el

precio de venta del producto es $86, el costo del producto $42, colocar cada pedido le cuesta $220 y después

de cada mes el inventario que queda es penalizado con un valor de $8 por unidad.

Si se considera que se quiere hacer los reabastecimientos para el mes de septiembre y que del mes de agosto

han quedado 45 Anoraks en inventario ¿Cómo se puede ayudar al Gerente de la tienda a hacer unos

reabastecimientos que le agreguen más valor al negocio? Repita el cálculo para cada uno de los meses del

año, para ello puede ayudarse del Excel para suponer que la demanda real es un número aleatorio en el rango

especificado.

Solución

El margen de contribución de este tipo de Anorak es de $44 (86-42) o un 51%, de este modo la pérdida

económica cuando no tienen un Anorak es de $26,4 (44*60%).

La probabilidad de que la demanda sea menor o igual a la cantidad Q a ordenar es:

764,084,26

4,26

y como se sabe que )(

)()(

ab

axxF , entonces Q debe satisfacer que 764,0

)122575(

)122(Q

con algebra sencilla se puede despejar el valor de Q.

Q = 468 Anoraks representa la cantidad a ordenar para el inicio de la temporada de invierno en el mes de

septiembre pero recuerde que existen 45 unidades que han quedado en inventario del mes de agosto, por lo

que le pedido debe ser 423 (468-45).


Se recomienda al lector completar el ejercicio con la siguiente dinámica:

1. Elabore los respectivos cálculos de la cantidad a ordenar.

2. Suponga la demanda real al final del periodo generando en Excel un número aleatorio entre los

rangos posibles de demanda en cada temporada.

3. Haga un archivo de Excel donde calcule los costos totales de la política de inventarios (venta -costo

de la compra- costo de guardar – costo de ventas perdidas = utilidad).

4. Con todos los datos actualizados vuelva a generar una cantidad de pedido Q.

5. Repita esto hasta que complete los 12 meses del año.

6. Sume las utilidades anuales.

Una buena solución a este ejercicio será la que arroje la mayor utilidad posible.

Ejercicios

7.4.1 El club local está organizando las clases extras de futbol para las vacaciones de verano y le interesa

saber cuántos profesores debe contratar, lo quiere hacer oportunamente pues si no lo hace otras

instituciones los contratarán. Cada docente puede manejar clases de 20 alumnos (en cursos pasados

se han matriculado mínimo 32 alumnos y nunca máximo de 54), además la matricula por alumno

vale $280 y se le pagan $2.500 al profesor. Si no contrata con tiempo y adecuadamente el número de

profesores no podrá recibir más niños, pues su restricción es la cantidad de profesores contratados.

Se debe tener en cuenta que por cada alumno que no se matricule el club deja de percibir $155.

7.4.2 La asociación que aglutina a los pequeños productores de café desea lanzar un programa de

renovación de máquinas despulpadoras de café-estos equipos le quitan la corteza roja al grano y lo

entrega listo para secar-. Las máquinas en mención se desgastan y afectan el proceso de beneficio del

café; se estima que cada despulpadora se puede vender a un precio de $750 y cada despulpadora y

deja una utilidad de $100. Si por alguna circunstancia la campaña no es efectiva deberá guardar todas

las máquinas que sobran y posteriormente exportarlas a otro país cafetero a un precio de $500.

La asociación está tomando como base de lo que puede ser la demanda futura la tabla de

demandas de una actividad similar realizada dos años antes. Las estimaciones de probabilidad

de ocurrencias de la demanda aparecen en la segunda columna dela tabla, la pregunta es ¿Debe

la asociación emprender esta campaña?

No. Máquinas Probabilidad

1.200 0,05

1.500 0,07

1.800 0,1

2.900 0,16

4.000 0,32

6.000 0,14

10.000 0,1

12.000 0,06

7.4.3 Doña Clemencia cada año instala una caseta en el bazar del barrio (es famosa por los pasteles

(tamales) que fabrica). La producción de los pasteles es demorada y no podría prepararlos dentro del

bazar, en parte porque los organizadores se lo prohíben y porque no alcanzaría a prepararlos (para

poder tener el surtido a tiempo deben fabricarlos al menos dos días antes del evento y como estos no

usan preservantes, la vida útil es de dos días… Justo lo que dura el bazar). Cualquier pastel que le

sobre debe regalarlo como comida para animales y pierde el costo de $1,8, el valor exacto que

invierte para fabricar el tamal, el cual es vendido por $4. En su cuaderno de apuntes ha encontrado

que la demanda de estos tamales es muy errática, puede estar entre 600 y 900 unidades.


7.4.4 Una ciudad desea realizar una media maratón (21 kilómetros) el próximo verano y se estima los

asistentes pueden estar en un rango que oscila entre 6.000 y 20.000 (cualquier dato en este rango con

la misma probabilidad de ocurrir). Los organizadores quieren saber cuántas camisetas del evento

requieren mandar a fabricar a su proveedor porque la orden sería por una sola vez pues la camiseta

estaría estampada con los logos de la maratón y del año, cualquier camiseta que sobre debe

destruirse, ya que después del evento a nadie le interesará y si llegasen a faltar, habrá descontento en

el participante que desea la camiseta como recuerdo. Además la organización del evento debe

ofrecerle al participante un bono de $30 para que obtenga una camiseta de similar calidad en una

tienda local. El proveedor le vende al evento cada camiseta a $10 pero el concursante cancela $20,

en esta tarifa está incluido el derecho a participar en la maratón y la camiseta.

7.4.5 Alimentos Azul quiere lanzar una promoción de su principal producto para niños - se trata de una

bebida láctea - y desea hacer una edición especial del artículo con un empaque específico para el día

del niño. La promoción consistirá en un pack de 10 unidades y por la compra de un pack se

otorgarán boletas para participar en la rifa de 100 mascotas. La demanda se comporta normalmente

con una media de 120.000 unidades (12.000 packs) y una desviación estándar de 40.000 unidades.

Cada que se vende un pack se obtiene una utilidad de 4.000, para un costo del producto de $16.000,

pero si sobran packs estos deberán venderse a un precio insignificante para fabricar comida para

animales. Se pide que le recomiende a Alimentos Azul cuántos packs debe mandar a fabricar para

atender el evento del día del niño.

7.4.6 Un comprador de verduras de una cadena de supermercados importante tiene bajo su

responsabilidad el reabastecimiento de los tomates; descartadas las condiciones de calidad (color,

tamaño, frescura y variedad) este comprador requiere saber cuántos kilos de tomate es necesario

ordenar para su evento de aniversario. Tenga en cuenta que la vida útil de los tomates es de 8 días y

el evento durará 15 días. Aunque él tiene la opción de realizar reabastecimientos más frecuentes

durante el evento, desea saber el volumen total para buscar mejoras en el precio. Las ventas

promedio en este tipo de temporadas es de 12.000 kilos de tomate con una desviación estándar de

3.000 kilos, la utilidad de cada kilo de tomate es de $0,35 y los tomates que lleguen al final de su

vida útil le generan una pérdida adicional a la utilidad dejada de percibir de $0,1.

7.4.7 El consumo de pescado fresco se incrementa para la temporada de cuaresma. Suponiendo que usted

es el comprador de este producto para una tienda de la plaza de mercado, es su responsabilidad

balancear la capacidad de frio de su tienda con los kilos de pescado fresco comprado a sus

proveedores. Usted sabe - según los registros que tiene - que el consumo de este alimento en los

viernes de vigilia es de 800 kilos y con una desviación estándar de 100 kilos. Si cada que usted

vende un kilo la utilidad es de $3,4 ¿Cuántos kilos de pescado debería comprar para atender las

ventas de cada viernes?.

7.4.8 Carlitos era un vendedor de cremas congeladas en las corrralejas de un pueblo sabanero. Una caja de

Icopor grande le servía de dispensador y contenedor para las cremas, las cuales debía colocar junto a

hielo seco; si en la nevera colocaba mucha cantidad de hielo seco la capacidad de las cremas le

disminuía pero estas le duraban más tiempo, en cambio si la cargaba con muchas cremas la

capacidad para el hielo seco se reducía y las cremas le duraban menos y ponía en riesgo la venta.

Cada crema la vendía a $0.5 y el costo era de $0,2. Considere que la capacidad del contenedor era de

80 cremas, dejando ¼ del espacio del contendor para ser llenado con hielo y que si las cremas se le

derretían por falta de hielo las perdía por completo. La historia de ventas mostraban un mínimo de 20

cremas (un día en el que asistieron muchos vendedores de este mismo producto) y un máximo de 95

(un día que tomó el riesgo y cargó en su contendor muchas cremas) ¿Cuántas cremas le sugiere

cargar en esta ocasión a Carlitos?.

7.4.9 Sobreventa de boletos en las aerolíneas: seguramente a usted le habrá pasado o conoce de algún

caso en el cual el vuelo está sobrevendido, si se supone que un vuelo de Bogotá a New York tiene un

precio por boleto de $620 y tiene capacidad para 187 pasajeros, la sobreventa sucede cuando la

aerolínea vende 210 pasajes y se presentan a abordar el avión más de los 187 cupos de capacidad,

supongamos 205 pasajeros. También es frecuente que algunos de los pasajeros que han comprado el

boleto no se presentan a abordar el vuelo, por esta razón y como una manera de protección las

aerolíneas están autorizada por las leyes de aviación a vender más boletos de su capacidad, pero


deben pagarle, supongamos $250, a cada pasajero, que teniendo su boleto en regla, no puede abordar

el avión por que el vuelo se encuentra completamente lleno. Como este es un mecanismo esencial

para la optimización de la utilidad del vuelo, las aerolíneas llevan las estadísticas de cada ruta, si se

supone que en este vuelo en consideración, la cantidad de pasajeros que no aborda el avión sigue una

distribución normal con media 18 y desviación estándar de 6 y se supone que cualquiera que no use

el boleto recibe una devolución de $520, ¿cuántos boletos debe vender la aerolínea para este vuelo si

quiere maximizar los ingresos vs los costos de compensación?.

7.5. Políticas de Inventario para Sistemas de Revisión Periódica

(T, M)

Sistemas de Revisión Periódica (T, M)

Más atrás se dio la contextualización del funcionamiento de este modelo que permite determinar el tiempo T

en que debe ser revisado el sistema y colocar un pedido de una cantidad Q que es variable de periodo a

periodo de revisión. En el modelo T los niveles de inventario se revisan a intervalos fijos de tiempo y se

lanzan pedidos de reaprovisionamiento por la diferencia entre un nivel máximo M y la cantidad q al momento

de la revisión, es decir M-q.

Cuando se gestiona un mix de productos - como es en la realidad - los modelos (s,Q) pierden validez. No es

práctico para un planeador de inventarios revisar continuamente y lanzar órdenes de pedido para cada uno de

los productos del portafolio, lo común es que se destinen periodos de revisión (por ejemplo: semanales,

catorcenales o mensuales) en donde se hará un resurtido completo y conjunto de los ítems. En los modelos

(T,M) los niveles de inventario son mayores pues debe haber un cubrimiento ante imprevistos de la demanda

durante el tiempo de revisión T más el Lead Time LT.

Existe una estrecha relación entre los sistemas (T,M ) y el sistema (s,Q) por lo que las políticas de gestión son

muy similares. En las reglas anteriormente estudiadas, simplemente reemplace s por M, Q por DT y L por

T+L.

Supuestos

1. Los supuestos estudiados en el modelo (s,Q ) siguen siendo válidos, reemplace s por M, Q por DT y

L por T+L.

2. Como las revisiones se hacen cada periodo de tiempo T es poco probable que se presenten demandas

iguales a cero entre revisiones y si este fuera el caso, simplemente en esa revisión no se coloca un

pedido y debe esperar hasta la revisión siguiente.

3. El valor de T se asume predeterminado con anticipación (al igual que se consideraba Q

predeterminado en el modelo anterior).

Sea:

T = periodo de revisión preestablecido o calculado como el T en unidades de tiempo.

L = tiempo de entrega del proveedor o Lead Time.

M = nivel máximo de inventario.

TLx̂ = pronóstico de la demanda en el tiempo T + L en unidades.

σL+T = estimación de la desviación estándar de los errores del pronóstico en el tiempo T+L en unidades.

k = factor de seguridad.


c = precio unitario.

D = consumo anual.

H = tasa de los gastos de posesión.

S = costo fijo de ordenar en $/pedido.

Cálculo del Período Económico de Pedido, T

Ya se tiene conocimiento que el punto de re-orden s está representado por:

Lds

Siendo D el consumo anual promedio se puede definir que cada entrega del proveedor será igual a: n

D

Entonces el inventario cíclico esn

D

2 y su valor monetario es

n

Dc

2.

Donde:

c = precio unitario del producto.

n = número de pedidos al año.

Si llamamos H al porcentaje de gastos de posesión de ese ítem, sus gastos de posesión estarán representados

por:

n

HDc

2

%..

Si H=H%.c y – por otra parte - los costos de lanzamiento de los pedidos son iguales a S para n pedidos los

costos de lanzamiento de pedidos vienen representados por:

nS.

De esta forma los gastos totales de la política de pedidos son:

Snn

HDCT .

2

.

Derivando los costos totales CT con respecto a n se tiene:

SHD

n n

CT

22

.

e igualando a cero y despejando n:

S

DHn

2

Esta expresión también se puede reescribir de la siguiente manera:


2

.. SHDnH

El mínimo de la curva total corresponde a un mínimo de pedidos a realizar, ese es el número económico de

pedidos que está relacionado con el periodo económico de pedido T:

nT

12 entonces

Tn

12

Reemplazando n:

DH

S

S

DHnT

288

2

1212 (7.36)

Una buena aproximación para hallar el T óptimo es partiendo del Q óptimo:

D

EQQ

D

QT

anual

óptimo (7.37)

Ejercicio 7.5.1

Considere el ejercicio 7.3.2 en un sistema (T,M) y asuma que ahora el costo de ordenar S es de 1.500 y que

actualmente se tiene un inventario disponible de q = 50.000 unidades.

Como se ha dicho una manera de obtener T es a través de la fórmula (7.36):

04.4000.210%2.15.10

500.1288

xX

xT meses.

Lo que equivale a 4,04 meses o a 121,2 días (4,04x30). Se puede tomar entonces que T = 121,2 días.

Todos los demás cálculos deben hacerse sobre el Lead Time más el tiempo de revisión, es decir L+T =

14+121,2 = 135,2 días.

La desviación estándar de los errores del pronóstico sobre el tiempo L+T es:

TLTL 1 (7.38)

Pero la desviación estándar está expresada en meses, por lo que los tiempos L y T también deben estar en

estos periodos de tiempo:

302.2804,430/14332.1312114 unidades.

La demanda pronosticada sobre L + T será:

XL+T= d(L+T) (7.39)

X14+121= 210.000(14/30+4,04) = 946.400 unidades.


Como se conoce la función Gz(k) en esta ecuación debe usarse DT en vez de Q debido a que el tamaño del

pedido es variable:

)1()( frDT

kGTL

z (7.40)

2188,0)9927,01(302.28

)04,4(000.210)(kGz

De la tabla del apéndice A se obtiene el k ≈ 0,44 y el stock de seguridad y en consecuencia el valor máximo

de inventario M es:

TLkIS (7.41)

453.12)302.28(44,0IS

TLTL kxM (7.42)

TLkTLdxM 1)( (7.43)

853.95804,430/14)332.13(44,0)04,430/14(000.210M unidades.

La política de inventarios para esta compañía es: debe revisar el stock cada 121,2 días y la cantidad a ordenar

debe ser 908.853 (958.853 menos 50.000 unidades en inventario a mano al momento de la revisión) para

alcanzar un nivel de servicio P de 88% o un nivel de fill rate del 99,27%.

El Costo Total para el Sistema (T, M)

La ecuación para el cálculo del costo total es la siguiente:

fz CkGTT

SHIS

DTDcCT LT )(

1)

2(

fzTL CkGTT

SHk

DTDcCT LT )(

1)

2( (7.44)



Excel que le ayuda a calcular la política de inventarios y los costos de esa política para el sistema se revisión

periódica (T,M). Clave 6323.



Modelo para calcular los costos de una política de inventarios

Datos

Rata de Demanda, D 2.520.000

Costo de manejo anual (%) 15,54%

La demenda es? 1 = anual

Periodo 2 = mensual

3 = diaria

Costos de Setup, S 2.800

Costos de Manejo, H 1,211% (porcentaje)

Precio Unitario, c 10,5

Costo de Producción 5,4

Inventario actual q 45.000

Rata de Demanda por Perido 210.000

Rata de demanda diaria 7.000

Lead time en días 14

Nivel de servicio P 85,00%

Fill rate fr 99,27%

Desviación estándar σ 1 13.332

Resultados

Periodo de Revisión, T EOQ 0,46 Elija:1 para usar P

Inventario Máximo M 207.447 ó 2 para usar fr

Inventario Promedio Q /2 103.724 ó 3 si hay ventas perdidas

X L+T 194.161

Número de Cambios 2,2 σ L+T 12.819

IS 13.286 G z( k) 2,6076E-07

Costos de Manejo 7.804 Pz 0,15

Costos de Cambio 6.115 k 1,036

Costo de Escasez 93.820 Cf 5,10

Costo Unitario 2.205.000 Cfc 22.000

Costo Total, T c 2.312.739 Ef 995,98

Cantidad a Ordenar Q 162.447

Costo de la Política 107.739 4,89%

2

2

Escasez

Introduzca los datos únicamente

en el área sombreada

fzkCPQ

DfzkCG

Q

DL )

1()(

fr

frQkG

L

z

Ejercicios

7.5.1 Una Pyme que produce conservas y mermeladas tiene en su portafolio tres productos importantes de

los cuales se cuida mucho de siempre tener disponibilidad para atender su principal mercado, las

cadenas de supermercados, los precios de venta y los costos de producción por producto son:

P1 = $28.700 C1 = $16.700

P2 = $14.900 C2 = $6.300

P3 = $38.400 C3 = $25.200

La historia de ventas de cada producto se resume en la tabla que aparece a continuación:


Periodo Producto 1 Producto 2 Producto 3

1 1.320 185 520

2 1.120 213 349

3 1.450 280 479

4 2.100 278 325

5 902 300 589

6 1.234 250 654

7 995 288 720

8 1.055 303 810

9 1.459 295 558

10 3.200 330 745

11 1.420 200 550

12 1.535 240 620 Las conservas y las mermeladas usan vegetales y frutas frescas que se pueden conseguir en el mercado local.

Una vez los materiales están en la pequeña planta de producción, el Director de esta área puede entregar un

pedido en una semana, aunque pide dos días de gracia por alguna eventualidad y debido a esto la empresa ha

definido que sus planes de producción sean entregados cada dos semanas. Las cadenas de supermercados son

muy exigentes con el nivel de entregas, exigencia que una de ellas (el principal cliente) ha institucionalizado

por medio de una carta donde le exigen niveles de servicio para cada pedido del 98% para los productos A,

96% para los productos B y 93% para los productos C; las cadenas por supuesto no reciben órdenes

pendientes por lo que cada unidad que no se puede entregar se pierde, lo que realmente pierde la empresa es la

capacidad de absorber fijos de esa venta que no se logró y este valor ha sido calculado en un 80% del margen

de contribución.

Los tres productos se hacen en la misma máquina, misma que debe ser lavada y desinfectada después de

procesar un lote de producción; estos cambios de producto tienen un costo $1.500.000. De otro lado a la

empresa le cuesta mantener los inventarios un 38% del costo del producto, en parte porque si éste no le cabe

en su pequeña bodega debe llevarlo a un operador logístico y pagar costos de transporte extras.

Con base en la información suministrada y aclarando que si hiciera falta alguna otra información usted debe

aportarla, se pide:

a) Encuentre el lote óptimo de producción para cada producto.

b) ¿Qué pasará con el lote óptimo si los costos de cambios se reducen en un 30%?

c) Establezca una política de inventarios suponiendo un sistema (s,Q).

d) ¿Qué acciones puede tomar para optimizar el sistema de planeación de inventarios definido

por usted en el punto anterior?

7.5.2 Para los siguientes requerimientos tome en consideración los datos del ejercicio anterior:

a) Como la empresa es pequeña no es posible mantener una revisión continua de cada

producto, es por esto que se ha establecido un calendario de programación de producción de

dos semanas. Establezca una política de inventario para el sistema (T,M) considerando un

periodo de revisión de dos semanas.

b) Calcula el valor de T óptimo.

c) ¿Cuál será el efecto en esta política si el proveedor le solicita aumentar en dos puntos los

niveles de servicio?

7.5.3 Suponiendo que los datos que se presentan en la tabla siguiente corresponden a las ventas de helados

en unidades y considerando que las ventas estimadas para el mes 1 del año 3 es de 8.200 unidades,

que el periodo de revisión o de lanzamiento de órdenes es cada semana y que producción se demora

otra semana más para entregar el artículo, defina una política de inventarios suponiendo que el nivel

de servicio deseado es del 98,5% a nivel de unidades.


Periodo Ventas

1 6.432

2 4.906

3 6.191

4 8.218

5 6.267

6 9.225

7 3.967

8 10.689

9 7.469

10 5.227

11 3.892

12 5.907

1 5.685

2 6.951

3 9.588

4 7.888

5 6.423

6 8.438

7 6.777

8 8.738

9 8.875

10 7.389

11 8.094

12 10.608

7.5.4 ¿Cómo afecta una política de inventarios el hecho de que el tiempo de revisión T sea mayor o menor

al tiempo de reabastecimiento L?

7.5.5 ¿Cuál es la lógica de que los pedidos de los clientes se surten solamente el 50% si no se dispone de

una protección de seguridad?

7.5.6 ¿Cuál cree usted que es el mejor sistema de control de inventarios: el (s,Q) o el (T,M)?, ¿Cuál cree

que es un sistema más costoso desde el punto de vista administrativo? y ¿En cuál de estos dos

sistemas se requiere mayor nivel de inventarios?

7.5.7 Los requerimientos de los clientes son cada vez más exigentes y se observa que cada vez menos

clientes aceptan entregas pendientes. Si se exige la entrega de las unidades en un 100% y lo demás se

pierde, con estas circunstancias ¿Cuál es la relación y utilidad entre Pz(k) y Gz(k)?

7.5.8 Los siguientes datos representan las ventas de embragues para un tipo de auto, si el nivel de servicio

solicitado por el cliente es del 100% y hace pedidos cada tres días pero la producción tiene un lead

time de 7 días y suponiendo que las tres próximas órdenes son de 195.000, 212.000 y 145.000,

establezca una política de producción para este producto. Defina una política de inventarios para este

producto ¿Qué mejor sistema puede sugerir para la reposición de este producto? Si el costo de

cambio es de $12.000, el costo de cada unidas es de $52 y el costo de mantener los inventarios es del

1,5% mensual ¿Cuál es el T óptimo?


Periodo Ventas

1 150.955

2 137.865

3 183.400

4 123.820

5 148.430

6 179.080

7 133.885

8 196.000

9 95.435

10 221.003

11 160.605

12 170.610

13 77.415

14 161.185

15 116.815

16 184.990

17 287.000

18 198.000

19 179.280

20 216.770

21 170.740

22 208.470

23 197.004

24 245.034

7.6. Políticas de Inventarios Cuando se Presentan Demandas

Aleatorias y Tiempos de Entrega Aleatorios

Si se considera que el tiempo de entrega y la demanda son variables aleatorias independientes5 y se dispone

de una muestra de datos de las ventas y de los tiempos de entrega y a su vez de sus deviaciones respectivas, es

posible usar una relación que combine estas variables para obtener un cálculo de stock de seguridad más

confiable.

Por las propiedades de la varianza se tiene que:

22 )()( dEdEdVar (7.45)

Usando la proposición de la varianza condicional:

)/()/()( LdEVarLdVarEdVar (7.46)

5 Ross (2008 p.233) plantea que las variables X y Y son independientes si el conocimiento del valor de una de ellas no

cambia las probabilidades de la otra, esto es si X toma los valores de xi, i≥1 y Y toma los valores yj, j≥1. De igual forma se

dice que X y Y son independientes si los sucesos de que X sea igual a xi y de que Y sea igual a yj son independientes para

cualquier variable xi e yj.


Y como:

2)/( dLLLdVar (7.47)

Y de la misma manera:

LdLLdE / (7.48)

Reemplazando las ecuaciones 7.47 y 7.48 en 7.46 se tiene:

)()( 2 LdVarLEdVar d

Lo que significa que: 222)( LTd dLEdVar

Y de esta manera la desviación estándar combinada de d y L es:

222/ LTdLd dL (7.49)

Donde:

d = es el ratio de demanda en unidades por unidad de tiempo (es una variable aleatoria).

d = L = es una estimación de la desviación estándar de la demanda en unidades por unidad de tiempo

durante el tiempo de abastecimiento (en secciones pasadas se ha usado la notación L ).

L = tiempo de entrega en unidades de tiempo (es una variable aleatoria).

LT = desviación estándar del tiempo de entrega o LT.

Se sugiere consultar Ross (2003 pp.116-119) para mayores detalles relacionados con el cómputo de varianzas

condicionadas y la demostración de la desviación estándar combinada.

A esta expresión se le conoce comúnmente como la desviación estándar combinada: corresponde a la

desviación estándar de la demanda y de los tiempos de entrega durante el tiempo de aprovisionamiento y se

calcula con la ecuación (7.49)6.

La ecuación que debe usarse para el cálculo del stock de seguridad es la misma ecuación (7.6) pero

utilizando ahora la desviación estándar combinada:

LdkIS /. (7.50)

Donde ya se sabe que k (número de desviaciones estándar desde la media de la distribución) es un factor de

seguridad que depende del nivel de servicio prometido a los clientes o nivel de confianza deseado. Dado un

valor de P, k se calcula en Excel con la función DISTR.NORM.ESTAND.INV(P).

Para calcular el factor k se procede como se ha estudiado en las secciones anteriores.

6 Consultar también Fetter, Robert B. y Winston C. Dalleck. 1961. Decision Models for Inventory Management.

Homewood, Ill: R.D. Irwin. http://catalog.hathitrust.org/api/volumes/oclc/419422.html.


De la ecuación 7.49 se pueden obtener varias derivaciones, por ejemplo si se considera el caso en donde los

suministros son confiables - es decir cuando no existe desviación en los tiempos de entrega (en la realidad son

muy contadas las aplicaciones en donde este supuesto ocurra) -. La segunda parte de la ecuación 7.49 es cero

y la ecuación del stock de seguridad se convierte en:

IS = Lk d .. (7.51)

También es posible (aunque en muy contadas ocasiones) la ocurrencia de nulas variaciones en la demanda o

pedidos con muy bajo nivel de variabilidad, es decir 0d pero manteniendo la aleatoriedad del tiempo de

reposición, en este caso el stock de seguridad puede calcularse con la ecuación:

LTdkIS .. (7.52)

Para obtener cálculos más precisos es necesario hacerse de la información completa; como habrá notado al

estudiar la ecuación 7.49, combinar las cuatro variables que impactan los niveles de inventarios a saber: el

volumen de ventas, los Lead Times y las desviaciones del tiempo de entrega y de la demanda ofrece

resultados más valiosos, sin embargo puede usar la ecuación con los datos que disponga. Al aplicar la

Fórmula 7.49 es necesario que tenga en cuenta que las unidades de tiempo de la demanda deben coincidir con

las unidades de tiempo del abastecimiento, esto implica que si la demanda está en toneladas/día el tiempo

debe estar también en días.

Como se ha dicho, el stock de seguridad debe proteger sobre las vicisitudes de las ventas, el tiempo de entrega

y la variabilidad de estos dos factores. Asimismo el stock de seguridad se torna gestionable y puede reducirse

si se aumenta la frecuencia de entrega se controla la variabilidad de los tiempos de entrega y se precisa el

pronóstico de la demanda.

Es fácil concluir del anterior párrafo que un producto altamente variable y además con un tiempo de entrega

alto necesitará elevados niveles de stocks, esto deja sin piso las políticas generalizadas sobre abastecimiento

de ítems porque lo que importa realmente es la arquitectura de cada producto y cómo estos son abastecidos

por nuestros proveedores o fábricas.

Variantes Cuando la Desviación Estándar es Muy Alta

Como se planteó en el Capítulo 2, cuando la desviación estándar es tan alta que hace que el índice de

variabilidad sea elevado es posible sustituir la desviación estándar por el MAPE, esto porque:

Si V ≤ 25% puede afirmarse que los datos son homogéneos y se concentran bastante bien a través de una

media, es decir la media es un estadístico muy representativo de la muestra de datos.

Si V ≥ 25% es evidencia de que los datos no son homogéneos y la media no es un buen estadístico para

representar la muestra estudiada.

Si V es muy alto los valores del IS serán a su vez muy elevados. En ocasiones un buen pronóstico puede

diluir la necesidad de protecciones extras de inventarios; entonces en los casos en donde existan resultados

consistentes en el tiempo de un buen pronóstico representado en valores menores o iguales al 25% en el

MAPE, esta recomendación cobra mucha relevancia.

Ejercicio 7.6.1

El autor ha ejecutado los cálculos respectivos para una compañía productora de bienes de consumo masivo

que importa sus materias primas desde USA, tiene un consumo semanal de 252 toneladas de materia prima

esencial y trabaja seis días a la semana a tres turnos. De las mediciones realizadas en una muestra del último


año se desprende una desviación diaria de 5 toneladas en el consumo, un tiempo de entrega promedio del

proveedor de 91 días (desde que se coloca la orden de compra, hasta que el producto está en la fábrica) y una

desviación del tiempo de entrega de 21 días. La citada empresa tiene una expectativa de servicio P = 98% y

estableció en su sistema de información 500 toneladas de inventario de seguridad. Aplicando la Fórmula 7.49

para el cálculo de la desviación estándar combinada y la ecuación (7.39) para el cálculo del IS se obtiene el

siguiente resultado:

Los parámetros a usar son:

d = 252 toneladas por semana (es el ratio de demanda en unidades por unidad de tiempo. Es una variable

aleatoria).

d = 5 toneladas (desviación estándar de la demanda en unidades por unidad de tiempo).

L = 91 días (tiempo de entrega en unidades de tiempo, es una variable aleatoria).

LT = 21 días (desviación estándar del tiempo de entrega o LT).

Usando 7.49 y 7.50 se obtienen la desviación estándar y el stock de seguridad:

8832142591 222/ xxLd toneladas.

222 2142591%98... xxxINVESTANDNORMDISTRIS

Para un nivel de servicio P del 95% k = 2,05:

810.1)883(05.2IS toneladas.

Nótese como las 252 toneladas de consumo semanal se colocaron en 42 toneladas de consumo diario para que

las unidades sean consistentes en el cálculo.

Para completar la política de inventarios en el caso que nos ocupa faltaría calcular s, esto se logra con la

siguiente ecuación:

Ldks /xx̂ (7.53)

632.518109142xs toneladas.

Y el costo total puede calcularse con la ecuación 7,23 utilizando σd/L a cambio de σLT.

Con una necesidad técnica de inventario de seguridad de 1.810 toneladas y con una definición errónea de

existencias de 500 toneladas era evidente que allí se encontraba parte del problema de incumplimientos

reiterados a los programas de producción y consecuentemente, incumplimientos al comercio y los

consumidores.

Los resultados de los volúmenes de inventario de seguridad para diferentes niveles de P las desviaciones en

los tiempos de entrega se pueden ver en la siguiente Tabla 7.3


Desviación del

lead time (días)IS Toneladas IS (días) % Reducción

21 1.800 43,19

19 1.629 39,09 10%

17 1.458 34,99 19%

15 1.287 30,9 29%

13 1.117 26,8 38%

11 946 22,71 47%

9 776 18,63 57%

7 606 14,57 66%

0 98 2,35 95%

Tabla 7.3 Niveles de IS Dependiendo de las Desviaciones en el Lead Time

Si esta industria lograra que su proveedor redujera la variabilidad del tiempo de entrega de 21 días a 0 podría

tener una reducción de inventario del 95%. Efectivamente la acción emprendida por la empresa fue

concentrarse en buscar confiabilidad en el suministro y ha logrado - en seis meses - una reducción de su

inventario de seguridad cercana al 70%.

Ejercicio 7.6.2

Considere el reabastecimiento de las Baterías AAA para su principal cliente. Una cadena de almacenes de

productos para el hogar tiene ventas promedio diarias para este ítem cercanas a los 68 paquetes de 5 unidades

cada uno, con una desviación estándar de 14 paquetes y sus tiempos de entrega para este clientes es de 3 días,

pero a veces se desvían 1 día, el cliente le ha enviado una orden de compra por 350 paquetes. Si usted ha

definido que para este cliente especial se guardarán 60 paquetes como protección de seguridad, entonces:

a. ¿Cuál será el nivel de servicio fr que a empresa le ofrece al cliente?

b. Si la empresa decide bajar el nivel de servicio fr al 95% ¿Cuál será ahora la necesidad de stock de

seguridad?

Primero se procede a calcular la desviación estándar combinada aplicado la ecuación (7.49):

72)1()68()14(3 222/ Ld paquetes.

De la ecuación (7.50) se obtiene el valor de k, pues se son conocidos la desviación estándar y el stock de

seguridad.

8310,072

60

/ Ld

ISk

Para un k = 0,8310 el valor de Gz(k) = 0,1140

Y aplicándola ecuación (7.19), se obtiene el fr ofrecido.


9778,0350

)1140,0(721k

De la ecuación (7.20) se puede calcular Gz(k) obteniendo:

2430,0)95,01(72

350)(kGz

De la tabla del apéndice A se obtiene el valor de k = 0,36 para un Gz(k) = 0,2430.

De nuevo con la ecuación (7.50) calcule el valor de nuevo nivel de IS.

2692,25)72(36,0/ LdkIS paquetes de Baterías AAA.

Nótese como el inventario de seguridad baja 34 unidades (de 60 a 26) al bajar el nivel de servicio fr 2,78%.

Los responsables de gestionar los inventarios deben establecer qué es más económico para la empresa:

mantener el nivel de inventarios o disminuir un poco el nivel de servicio.

Otros Métodos Usados Frecuentemente para Calcular el Stock de

Seguridad

El stock de seguridad depende del nivel de servicio y de la precisión del pronóstico (mientras más preciso

sea el pronóstico menor podrá ser el stock de seguridad).

Existen maneras alternativas para el cálculo del stock de seguridad, depende más que nada de la

disponibilidad de los datos que se tengan a mano, de la capacidad computacional de los sistemas de

información y de la complejidad de las operaciones. A continuación se estudian dos fórmulas adicionales para

el cálculo de las coberturas de seguridad dependiendo de la relación de los tiempos de entrega y los tiempos

de reaprovisionamiento o de planeación.

Si el tiempo de reaprovisionamiento es mayor al tiempo del pronóstico puede usar la siguiente ecuación:

dWkIS (7.54)

Si el tiempo de reaprovisionamiento es menor o igual al tiempo de pronóstico puede usar la siguiente

ecuación:

dWkIS (7.55)

Donde:

PP

LW (7.56)

L = plazo de entrega en día.

PP = periodo de pronóstico en días.

Plazo de entrega (propio) = periodo inicial + tiempo de fabricación propia + tiempo para tratamiento de

entradas de mercancías (días laborables).

Plazo de entrega (comprado) = tiempo para tratamiento de entradas de mercancía + plazo de entrega previsto.


Periodo de pronóstico = (días laborables), hace referencia a los día que pasan entre cada pronóstico de

necesidades.

Ejercicio 7.6.3

Considere una empresa que comercializa un producto cuya demanda se distribuye normalmente con un

promedio de venta por día de 600 unidades y con una desviación estándar durante el LT de 33 unidades. Si se

quiere tener un inventario de seguridad que alcance a cubrir de agotamientos el 95% de las veces que se hace

un pedido ¿Cuál debe ser el inventario de seguridad y cuál el valor de s si el LT es de 4 días?

Al ir a la tabla normalizada y buscar a cuántas desviaciones estándar equivale cubrirse contra el 95% de las

veces (que es lo mismo que buscar: la probabilidad de que la demanda esté por encima el 5%) se encuentra

que:

El valor de k es de 1.65 veces.

El IS = 1.65 x 33 unidades = 54 unidades.

Aplicando 7.6 para calcular s se tiene:

s = (600 unidades/día x 4 días) + 54 unidades = 2.454 unidades.

Si la empresa del ejercicio 7.6.3 hace pronósticos cada 14 días ¿Cuál será el inventario de seguridad?

Cómo LT < PP se puede aplicar la ecuación (7.55) para el cálculo del stock de seguridad.

166,153314

465,1IS

Y el punto de reorden s será:

s = (600 unidades/día x 4 días) + 16 unidades = 2.416 unidades.

Ejercicio 7.6.4

Ferretería Superior comercializa despulpadoras manuales de café, su demanda promedio día es de 6

unidades en épocas de alta cosecha y con una desviación estándar diaria de 1 despulpadora. Ellos quieren

tener un inventario de seguridad que alcance a cubrir de agotamientos el 95% de las veces. El tiempo de

respuesta promedio de su proveedor ha sido de 7 días con una desviación estándar de 3 días ¿Cuál debe ser el

inventario de seguridad? y ¿Cuál debe ser el punto de re-orden?

Aplicando la Fórmula de la desviación estándar combinada (7.49) se tiene:

183617 222 despulpadoras.

Ahora:

301865,1IS despulpadoras.

723076s despulpadoras.

Una política de inventarios para este negocio de despulpadoras será: cuando el inventario llegue a 72

despulpadoras se debe hacer un pedido al proveedor. Note como el stock de seguridad es muy sensible al

tiempo de entrega y a su desviación; si el tiempo de entrega fuera los mismos 7 días pero el proveedor fuera

100% confiable, el inventario de seguridad seria 11 despulpadoras y el punto de re-orden bajaría a 53

despulpadoras, es decir descendería en un 35%.


Reaprovisionamientos a Fechas Fijas

Cuando don Felipe Arias - propietario de Cacharrería La Mejor - desea hacer los pedidos de las cobijas de

lana siempre tiene la costumbre de sentarse todos los viernes cada quince días a revisar sus niveles de

inventarios y decidir qué cantidad ordena.

Llámese Cacharrería La Mejor o Walmart Stores, los responsables del reabastecimiento de productos deben

sentarse con una frecuencia definida y lanzar los pedidos por una cantidad Q a sus proveedores. Es

importante tener en cuenta que la frecuencia depende de cada negocio: mensual, quincenal, semanal , tres

veces por semana, diario o inclusive varias veces al día son frecuencias de reposición que define cada negocio

dependiendo de algunos factores como:

Capacidad de respuesta de sus proveedores.

Tamaño del proveedor Vs. el tamaño del cliente.

Sistema de información que le permita procesar grandes cantidades de información.

Tiempo de entrega de sus proveedores.

Tipo de producto.

Características de la demanda del producto.

Tamaño de los lotes de producción o de compras.

Periodo de vida del producto.

Condiciones de almacenamiento, entre otras.

Hasta ahora se han estudiado los modelos de revisión continua y de revisión a fechas fijas. En el primer caso

se debe calcular un punto de re-orden s y pedir una cantidad Q, de esta manera la pregunta planteada en los

primeros capítulos (¿Cuándo pedir?) queda completamente ilustrada. Sobre la segunda pregunta (¿Cuánto

pedir? o sea qué cantidad Q ordenar cada vez) se ha ilustrado el modelo EOQ, aunque como se ha dicho los

supuestos para su aplicación dejan esta técnica muy limitada para las aplicaciones de la realidad. A

continuación se desarrollará un algoritmo sencillo para el cálculo de las cantidades a ordenar en ambientes de

múltiples ítems.

7.7. ¿Cuánto Pedir?

Corresponde ahora estudiar cuánto es la cantidad que se espera ordenar de un producto para garantizar la

demanda en un periodo determinado, es decir responder a la pregunta ¿Cuánto es preciso pedir?

A continuación se estudiarán las variables involucradas en una ecuación típica de la cantidad a ordenar:

Cantidad en Inventario M: en cada instante siempre hay una cantidad en inventario M que es conocida;

basta con consultar esa cantidad en los reportes de inventarios del sistema o contar físicamente las existencias.

Plazo de Entrega t o L: también se conocen los plazos de aprovisionamiento de los productos. En el caso

que estos sean manufacturados se conocen los tiempos de entrega del área de manufactura y en el caso de ser

comprados a proveedores externos, ellos se comprometen con un tiempo de abastecimiento L que es

conocido. El plazo de abastecimiento es igual a L meses y es el tiempo que transcurre entre la fecha en la cual

se efectúa el cálculo del reabastecimiento de la cantidad Q y la fecha en la que esa cantidad es entregada por

producción o por el proveedor y se encuentra en el almacén disponible para ser consumida.


Pedidos Pendientes por Recibir P: también casi siempre está pendiente por recibir una cantidad P que es

ordenada en tiempo pasado y que se estima ingresará a los inventarios en este periodo actual.

Tiempo entre Pedidos T: por otro lado T meses más tarde será necesario ordenar un nuevo pedido que se

entregará L meses después del cálculo de la nueva cantidad a pedir Q, es decir T es el tiempo que transcurre

entre dos pedidos.

Ahora bien, queda por resolver la pregunta ¿Cuál será la demanda prevista en los T + L meses venideros? El

pronosticador o planeador de demanda definirá esa necesidad de demanda futura D, aunque lo más usual es

que esa demanda sea incrementada en d unidades por el grupo de gestión de demanda7 (d obedece a aumentos

de la demanda ocasionados por rebajas de precios, promociones lanzadas al mercado o cualquier otra

actividad que el área de mercadeo haya diseñado para influenciarlo y obtener mayores volúmenes de ventas.

También es posible que d esté relacionada con problemas de capacidad de manufactura o problemas de

suministros que no alcancen a arribar al sistema de producción, en este caso d es negativa).

En este estado del análisis la demanda en los T+ L meses venideros será D+ d y la cantidad en inventario M

más la cantidad que se espera recibir P más la cantidad Q a ordenar en el pedido actual será igual a la

demanda que se espera satisfacer en el periodo T+L.

Se puede escribir entonces que:

dDQPM , despejando Q se tiene:

)( PMdDQ (7.57)

Donde:

M = cantidad de inventario actual.

P = pedidos pendientes por ingresar.

Q = cantidad a ordenar.

D = es la previsión de la demanda para consumos corrientes a lo largo de los T+ L periodos.

d = cantidades adicionales definidas en el proceso de gestión de demanda.

La cantidad d está dada por información suministrada de las áreas mencionadas arriba pero para encontrar la

cantidad D - que es la previsión de la demanda para consumos corrientes durante los T+ L meses siguientes -

es necesario considerar algún factor de protección denominado IS. La siguiente formula nos muestra que:

ISLTDD ).́( (7.58)

Donde:

D´= demanda media mensual prevista.

L= plazo de entrega.

T= periodo de pedido en meses o el tiempo entre pedidos.

IS = es el inventario de protección o stock de seguridad. Recuerde que IS se puede calcular con cualquiera de

las Fórmulas (7.5), (7.49), (7.50), (7.51), (7.52) según sea el caso.

En este punto la fórmula de la cantidad a pedir puede reescribirla de la siguiente manera:

Reemplazando (7.58) en (7.57) se tiene:

7 La gestión de demanda es un proceso en el cual intervienen las áreas de planificación de producción, mercadeo y ventas

partiendo de un presupuesto y un pronóstico se evalúan las premisas del mercado, precios, actividades de mercadeo,

estado de la planta, programas de mantenimiento y problemas de operación, etc. para definir una cantidad de demanda d

que se aumentará o restará a la demanda para consumos corrientes D.


ISdPMLTDQ )()(́ (7.59)

Con la ecuación (7.59) se puede calcular la cantidad a ordenar Q.

Esta fórmula a simple vista luce un poco compleja, pero en general todas las variables son conocidas y esto

desvirtúa cualquier complicación que pueda tener.

Los datos o variables T, L, M y P y d son conocidos y los proveen las áreas que se mencionaron al inicio.

Esta fórmula es simplemente una compensación de necesidades que balancea las existencias con las

necesidades del mercado y es auto reguladora, esto quiere decir que si la demanda media mensual previstas

D´ es elevada los inventarios representados en M serán bajos y la cantidad Q se incrementará en ese valor; por

el contrario si D´ es bajo, los inventarios en M serán altos y la cantidad Q ordenada será baja.

Ahora suponga que:

d = 0, es decir que no hay variaciones en la demanda en el proceso de gestión de demanda.

P = 0 no hay pedidos pendientes por entrar al sistema porque todos los pedidos del proveedor llegan

completos y a la vez.

La demanda se sabe con exactitud, es decir es determinística. Lo anterior significa que la posición M de

inventario actual alcanza para cubrir la demanda durante el tiempo de entrega, o sea que M = D´L+IS.

En este caso la ecuación (7.59) se transforma en:

ISMLTDQ 0)0()(́

ISISLDLDTDQ )´()´´(

TDQ ´ (7.60)

Como:

12´

DD

H

ST

288

Reemplazando estas dos últimas ecuaciones en 7.59 se obtiene la fórmula del lote económico:

H

DSQo

2

Donde:

D = demanda anual en unidades.

Qo = cantidad óptima de lote a pedir.

S = costo de preparación de un pedido.

H = costo de mantener una unidad al año.

Punto de Re-Orden


Es la posición de inventario M (en unidades) que alcance a cubrir las demandas corrientes durante el Lead

Time más las cantidades d que aún se deben entregar en los próximos L periodos de reaprovisionamiento más

el inventario de seguridad, cuando esto ocurra debe solicitar una cantidad Qo a los proveedores; la demanda

que se surtirá en el periodo de entrega es D´L. Algebraicamente se establece que se debe ordenar siempre y

cuando:

ISLDdPM ´

M+P-d es el inventario disponible para atender las necesidades corrientes.

De esta manera el punto de re-orden s es:

ISLDs ´ (7.61)

Y la cantidad a ordenar es:

sdPMQQ o )( (7.62)

Nótese como en (7.62) - si durante el tiempo de aprovisionamiento no se presentan entradas de productos de

parte de los proveedores ni necesidades adicionales o picos de demanda d - entonces la cantidad Q a ordenar

es:

sMQQ o (7.63)

Reaprovisionamiento a Concesionarios

Zermati (2004 p.p.135-136) plantea un algoritmo interesante para reabastecer los concesionarios; la

particularidad de estos es que los productos que gestionan son de un alto valor unitario. Productos como

repuestos, autos o vehículos industriales (como camiones, tractores volquetas, los montacargas, equipos para

la construcción o cualquier otro bien de capital8) no entran en este análisis porque pueden fabricarse bajo

pedido, ya que el comprador está dispuesto a esperar un tiempo largo a que su equipo le sea entregado.

Generalmente el concesionario tiene una sola marca, de la cual es representante y sus clientes son

particulares, profesionales o empresas y es muy importante que los productos que están exhibidos se

encuentren en existencia para que la decisión de compra sea tomada lo más rápido posible porque el cliente

no está dispuesto a esperar demasiado tiempo para que el producto le sea entregado para su disfrute (el

comprador esperará únicamente lo necesario para la particularización y alistamiento final del artículo

adquirido). El reaprovisionamiento a los concesionarios puede ser complejo si le exigen montar órdenes de

compra con mucha anticipación o si el suministro no se hace de manera local sino desde un país lejano; tal es

el caso de Toyota9 con su sistema STP (Sistema de Producción de Toyota) el cual busca reducir costos

eliminando el desperdicio que en los entornos de producción tienden a aumentarse imperceptiblemente. Para

esta empresa el desperdicio es todo lo que no agregará valor, inventario o cualquier desviación por fuera de

las necesidades de producción (el exceso de fabricación, la espera causada por una secuencia de trabajo

innecesaria, un manejo que no es esencial para el flujo continuo de trabajo, el procesamiento que no agrega

valor, el inventario que excede las necesidades inmediatas, el movimiento que no contribuye al trabajo o los

defectos que requieren corrección). Por todo esto para Toyota es muy importante tener un sistema de

pronóstico confiable y estable, de esta manera si un concesionario debe montar en enero las órdenes de

compra que se le entregarán en abril, en el primer mes del año genera una OPP que puede ser ajustada en el

mes de febrero y que se puede ajustar por última vez en marzo en donde se convierte en OVT que será

entregada en abril.

Pronóstico:

Enero febrero marzo abril mayo

8 Son productos que se usan para fabricar otros productos. En esta categoría se encuentra la maquinaria industrial.

9 Para más detalles del sistema de fabricación de Toyota se sugiere el estudio completo del caso Toyota Motor

Manufacturing, USA, Inc, # 9-693-019. Harvard (1992).


OPP10

OPP OVT11

/ / / / / / / /

100 90 80

Como se deduce, en un tiempo prudencial el concesionario no puede cambiar su orden y esto le facilita a

Toyota balancear sus líneas de producción y reducir sus niveles de inventario.

El fabricante hace entregas periódicas dependiendo de aspectos como cercanía y volúmenes de los embarques.

La demanda máxima a atender entre dos entregas del proveedor por cada pedido es D y la cantidad M es el

inventario a mano justo antes de hacer el pedido al concesionario, de tal forma que el concesionario debe

ordenar la cantidad D-M.

Si d es la demanda media del producto en el concesionario entre dos entregas sucesivas de su proveedor y si

se quiere evitar el reaprovisionamiento de casi todos los artículos en cada entrega del fabricante, el

concesionario deberá ordenar de cada artículo la cantidad de:

MndDQ (7.64)

Siendo n un número que debe ser muy grande cuando el costo del artículo es muy bajo (caso de repuestos

comunes) y n = 0 cuando los artículos tienen un precio elevado (como el caso de un auto).

Ejercicio 7.7.1

El controlador de inventarios de DistricemeX está preparando en estos momentos la cantidad a ordenar de

bultos de cemento de 50 kilos a su proveedor (un fabricante multinacional de cemento y agregados).

DistricemeX hace pedidos quincenales y su proveedor le hace entregas cada semana, es decir parte el pedido

en dos entregas y puede entregar cualquier proporción de la orden en la primera entrega y el resto en la

segunda. Con el sistema de pronóstico han estimado que las necesidades mensuales serán de 2.800 bultos de

cemento de 50 kilos o 140 toneladas y las existencias actuales después del conteo de la mañana arrojan 800

bultos; además el departamento de ventas ha enviado un correo electrónico donde enfatiza sobre una

necesidad adicional de 280 bultos y actualmente no hay recepciones pendientes de producto del proveedor.

Districemex tiene como política protegerse con quince de existencias. Con toda esta información sobre su

escritorio, el controlador de inventarios debe preparar la nueva orden de compra para ser enviada a su

proveedor.

Suponiendo que las entregas son la mitad del pedido y aplicando la ecuación (7.59), el cálculo será:

T = 0,5 meses.

L = 0,25 meses.

M = 800 bultos.

IS = 0,5 meses.

Q = 2.800(0.5+0.25)-(800+0)+280+2.800(0,5).

Q = 2.980 bultos de cemento de 50 kilos.

¿Qué sucederá si el tiempo de entrega del proveedor no es una semana, sino dos semanas?

Q = 2.800(0.5+0.50)-(800+0)+280+2.800(0,5)

Q = 3.680 bultos de cemento de 50 kilos.

El efecto del aumento en el tiempo de entrega del pedido (aumento del Lead Time) aumenta en un 23.5% el

pedido original.

10

Orden de Planeamiento de Producción. 11 Orden de Vehículo Total.


A continuación se detalla un poco cada uno de los requerimientos de la Fórmula 7.59:

Previsión de la Necesidad Media Mensual D´. la planificación y el control de los inventarios requiere de

estimativos precisos de los volúmenes de productos y servicios que deben ordenarse para atender los

consumos futuros. Típicamente estos estimativos están en forma de pronósticos y predicciones. Las personas

que producen estas estimaciones en la compañía pueden ser de las áreas de mercadeo, logística, planeación o

por un grupo especialmente designado.

Los esfuerzos en este sentido pueden verse recompensados en mejores niveles de inventario, en el servicio al

cliente, en los tiempos de respuesta y los costos operacionales.

El nivel de exactitud del pronóstico de la demanda es vital para toda la compañía, éste provee los inputs

básicos para la planeación y control de todas las áreas funcionales, incluidas logística, mercadeo, producción

y finanzas. El nivel y la oportunidad de la demanda afectan notablemente los niveles de capacidad, las

necesidades financieras y la estructura general del negocio. Cada área funcional tiene sus problemas

específicos de pronósticos; en lo que concierne a logística estos tienen que ver con la naturaleza tanto

espacial como temporal de la demanda, la amplitud de la variabilidad y su grado de aleatoriedad.

Conocimiento del Plazo de Aprovisionamiento L: este dato no es de difícil consecución, de hecho se sabe

en todo momento porque aparece de la negociación que hayamos hecho con nuestro proveedor o con las áreas

de manufactura.

El plazo de abastecimiento incluye el tiempo de preparación del pedido (trabajo administrativo y los cálculos

necesarios para establecer la cantidad Q), los tiempos de comunicación de la orden, los tiempos de

confirmación de la orden (no basta con enviar el pedido, se debe establecer la llagada a su destino), el tiempo

de fabricación y los tiempos de transporte entre el almacén del proveedor y la tienda del cliente, los tiempos

necesarios para recepcionar el pedido (tiempos de control de calidad, pruebas o test a productos, tiempos de

cuarentena) y los tiempos necesarios para ingresar el producto al sistema.

El periodo de entrega puede ser corto o demasiado largo. Si tomamos un ejemplo de un proveedor o cliente

que está en la misma ciudad, los suministros pueden ser constantes y rápidos pero si por el contrario los

clientes o proveedores están ubicados en un país lejano, los tiempos serán altos, impredecibles y

ocasionalmente con demoras. De otra manera a veces las decisiones de compra no son del resorte de una sola

persona sino de un comité que pueden tardar mucho más en encontrar la mejor alternativa.

Es importante gestionar el tiempo de abastecimiento, dado que no es un simple tiempo que el proveedor

coloca tal vez a su antojo… Tiempos de abastecimiento largos y proveedores incumplidos harán que las

cantidades de los pedidos y los niveles de los inventarios aumenten considerablemente (como en el ejemplo

anterior de Districemex que pasó de entregas semanales a entregas cada dos semanas, llegando a niveles de

2.980 a 3.680 bultos de cemento). Desde el punto de vista de la gestión de inventarios, muchas veces es mejor

tener proveedores de precios altos pero confiables (que cumplen con lo que prometen) a tener proveedores de

precios bajos y proveedores incumplidos (que no cumplen lo que prometen).

En el caso de retrasos en las entregas - cuando una entrega prevista toma más tiempo del esperado - el riesgo

de agotamiento de las existencias se produce si el inventario en el almacén o el que está a la mano no alcanza

a cubrir la demanda durante el tiempo de agotamiento, por tanto este riesgo no se materializa sino hasta que

el inventario de seguridad se agote. Un aumento fuerte en la demanda puede precipitar más este riesgo.

Conocimiento del Periodo entre Pedidos T: estos tiempos son conocidos. Es usual que las empresas tengan

un calendario de operaciones en el cual se definen las frecuencias de pedido y las corridas de planeación de

operaciones (las frecuencias más comunes son semanales, catorcenales, quincenales, décadas o mensual.

Otras pocas empresas - como por ejemplo pastelerías - tienen una frecuencia diaria de pedidos).

La Cantidad M: toda compañía dispone de un registro de existencias en el sistema, de tal manera que al ser

consultado se puede saber qué cantidad de inventarios hay en cada momento. Lo único por lo que se debe

estar pendiente es que esa cifra sea exacta, es decir que al contar físicamente la mercancía coincida con la


registrada en el ordenador; en el caso de no tener un sistema de información que suministre esta cifra

simplemente proceda a hacer los respectivos conteos físicos en el almacén.

Conocimiento de las Necesidades Pendientes por Llegar P: es posible que mientras se produce un

reabastecimiento, llegue uno que está en tránsito. Esta cifra es de conocimiento del planeador de inventarios

y debe involucrarse en la ecuación sumando a la cantidad disponible M.

Caso de Aplicación J&M compra carne en canal, le hace un pequeño proceso en un despostadero local en Ciudad del Este y la

vende a cadenas de carnicerías o carnicerías independientes de los barrios.

Esta empresa posee información de inventarios y ventas de sus dos principales productos: carne de res y

carne de cerdo; estas dos referencias son un tipo de carne blanda y especial que le representan el mayor

volumen de ventas.

Los datos de los inventarios están representados en kilos de carne de cada tipo. J&M compra la carne a un

mayorista, éste a su vez tiene proveedores que le suministran los animales. Cabe resaltar que el proceso de

compra de un animal no es fácil y más bien es demorado, desde que se hacen los contactos se visitan las

granjas, se negocian los animales y estos llegan al matadero municipal transcurren alrededor de 25 días.

Cuando la carne llega a los frigoríficos de J&M es sometida a un proceso de inspección y luego se almacena

en las cavas de refrigeración para su curado.

En diciembre de 2001 esta organización despidió a su jefe de inventarios, en parte por el deterioro de los

niveles de servicio. Este funcionario era la persona responsable de hacer los pedidos, hacer su recepción, estar

al tanto de los suministros de carne de su proveedor y efectuar la reposición a los otros dos centros de

distribución localizados en otras dos ciudades importantes del país.

El proveedor de J&M está en Brasil, por lo que se debe importar la carne desde este país y esto toma

alrededor de 22 días. La empresa debe montar pedidos a su proveedor cada mes; algunos registros de tiempos

de entrega por pedido de su proveedor se ven en la Tabla 7.4.

Pedido

Pedido 025-07-01 035-08-01 045-09-01 046-10-01 051-11-01 057-12-01 061-01-02 062-02-02 063-03-02

Carne de Res 18 19 16 19 24 26 35 36 42

Carne de Cerdo 14 21 32 25 26 35 16 25 20

Jeje 2Jefe 1

Tabla 7.4 Mediciones del Nivel de Servicio

Las importaciones se hacen en contenedores refrigerados de 20 pies (cada uno de estos puede transportar 12

toneladas de producto). El costo al que J&M compra un contenedor de carne de res era de $48.000 y los

costos de la carne de cerdo son un 23% más económica. Los precios de importación - incluyendo el transporte

y todos los trámites de nacionalización aranceles e IVA - elevaba esa cifra en un 34%.

Una de las principales dificultades de J&M era que los servicios de frío en Ciudad del Este - igual que en

otras ciudades del país - eran muy precarios y no había suficiente capacidad, por lo que los precios de

almacenamiento eran supremamente altos (J&M pagaba $0.052 por cada kilo de carne guardado por día). Por

el contrario los costos de preparación de pedido se reducían al precio del pequeño departamento de planeación

y control de inventarios que era casi nulo.

J&M hacia una medición del nivel de servicio que le prestaba a sus clientes, en la Tabla 7.5 se ven las

mediciones de los últimos seis meses de operación.


Producto Octubre 01 Noviembre 01 Diciembre 01 Enero 02 Febrero 02 Marzo 02

Carne de Res 92% 90% 86% 87% 82% 79%

Carne de

Cerdo

95% 96% 89% 87% 54% 78%

Tabla 7.5

Ese nivel de servicio no era satisfactorio para J&M, que observaba como en vez de mejorar estaba sufriendo

un deterioro. Esta empresa quisiera mejorar ese nivel de servicio en al menos 14% con relación al mes de

marzo.

En la Figura 7.12 se nota el deterioro de los niveles de servicio de Carnes J&M, más acentuados después del

ingreso del jefe 2.

Figura 7.12 Niveles de Servicio de Carnes J&M

En la Tabla 7.6 se presenta parte del informe de ventas e inventarios histórico.


Ref 201278 Ref 301278

Día Inventario Ventas DiariasVentas

AcumuladasInventario

Ventas

Diarias

Ventas

Acumuladas

20-ago -01 57968 4246,25 4246,25 2109 160 160

21-ago -01 56808 18365 22611,25 2078 8 168

22-ago -01 55136 12290 34901,25 2020 84 252

23-ago -01 53316 20806,25 55707,5 1967 5 257

24-ago -01 40212 21436,25 77143,75 1867 63 320

25-ago -01 39160 19118,75 96262,5 1822 58 378

26-ago -01 39160 4797,5 101060 1822 109 487

27-ago -01 39036 2422,5 103482,5 1790 147 634

28-ago -01 60848 -166,25 103316,25 1787 70 704

29-ago -01 74344 9635 112951,25 1736 150 854

30-ago -01 71388 9240 122191,25 1558 136 990

31-ago -01 79090 18893,75 141085 1444 6 996

01-s ep-01 79090 14337,5 14337,5 1444 40 40

02-s ep-01 79090 6721,25 21058,75 1444 117 157

03-s ep-01 79090 19501,25 40560 1444 150 307

04-s ep-01 70128 8453,75 49013,75 1395 63 370

05-s ep-01 69204 6485 55498,75 1298 2 372

06-s ep-01 66676 21852,5 77351,25 1219 93 465

07-s ep-01 65116 10433,75 87785 1148 108 573

08-s ep-01 65116 6001,25 93786,25 1148 63 636

09-s ep-01 65116 4066,25 97852,5 1148 46 682

10-s ep-01 62592 12008,75 109861,25 1046 14 696

11-s ep-01 60756 -1820 108041,25 997 133 829

12-s ep-01 60376 -1291,25 106750 2022 42 871

13-s ep-01 50592 22437,5 129187,5 1699 153 1024

14-s ep-01 38708 13268,75 142456,25 1624 157 1181

15-s ep-01 38708 20052,5 162508,75 1624 132 1313

16-s ep-01 38708 12773,75 175282,5 1624 155 1468

17-s ep-01 38708 16823,75 192106,25 1624 101 1569

18-s ep-01 38708 10343,75 202450 1624 48 1617

19-s ep-01 38708 -1865 200585 1624 52 1669

20-s ep-01 34260 9938,75 210523,75 1529 47 1716

21-s ep-01 51148 10951,25 221475 1423 17 1733

22-s ep-01 51148 16,25 221491,25 1423 55 1788

23-s ep-01 51148 8735 230226,25 1423 21 1809

24-s ep-01 47832 1771,25 231997,5 1301 65 1874

25-s ep-01 47712 3751,25 235748,75 1278 47 1921

26-s ep-01 58312 781,25 236530 1217 5 1926

27-s ep-01 57492 17228,75 253758,75 1207 152 2078

28-s ep-01 55448 995 254753,75 1092 71 2149

29-s ep-01 55448 4246,25 259000 1092 10 2159

30-s ep-01 55448 14046,25 273046,25 1092 157 2 3 16

01-o c t-01 55476 -8,75 -8,75 1098 54 54

02-o c t-01 53744 6485 6476,25 1128 34 88

03-o c t-01 52804 148,75 6625 1114 147 235

04-o c t-01 52804 2941,25 9566,25 1114 105 340

05-o c t-01 48788 23236,25 32802,5 1044 8 348

06-o c t-01 43376 2885 35687,5 999 74 422

07-o c t-01 43376 6676,25 42363,75 999 152 574

Carne de Res Carne de Cerdo


Tabla 7.6 Informe de Ventas e Inventario por Día

Califique la gestión del anterior Jefe de Inventarios ¿Qué prácticas estaba usando?

Califique la gestión del nuevo Jefe de Inventarios.

¿Cómo puede J&M reducir sus niveles de inventarios? y ¿Qué le sugiere usted?

El primer paso para el análisis de este caso es elaborar una serie de tiempo de los históricos de las ventas.

Como se observa en la Figura 7.13, esta serie de tiempo presenta la demanda por día desde el 20 de agosto

de 2001 hasta el 15 de abril de 2002.

Hay que recordar que el Jefe 2 entra a laborar el día 1 de diciembre de 2001.

Reconstruyendo gráficamente la gestión del Jefe 1 se observa cómo el stock de seguridad inicial llegaba a de

10.000 unidades (nótese que el reabastecimiento llega justo cuando la posición de inventario está en 10.000

unidades de inventario). Un corto tiempo después el nivel de 10.000 unidades se baja un poco más hasta el

punto de que el 20 de noviembre de 2001 los niveles calculados de inventarios de seguridad eran de alrededor

de 5.000 cajas (es elocuente el hecho de como paulatinamente se han venido reduciendo los stocks de

coberturas, manteniéndose las ventas sin ningún problema). También puede observarse como el paso seguido

de la gestión fue hacer varios pedidos y varias recepciones en un mismo periodo.

El Jefe 1 tenía claro que trabajar sobre cálculos exactos de los niveles de inventario de seguridad y reducir los

términos de abastecimiento de los proveedores eran las bases de su gestión; asimismo mantenía unos niveles

de servicio mejores que el desempeño del segundo funcionario.

De la gráfica referida se puede analizar que el nivel de inventario es mucho mayor que el nivel de ventas por

día, si esto ocurre ¿Cuál es la explicación de que el nivel de servicio sea inadecuado?

El segundo Jefe cree que la solución a los problemas de servicio que aquejan a Carnes J&M es aumentar los

niveles de inventarios, lo que se ve claramente en la gráfica cuando la curva de inventarios empieza a subir

hasta niveles nunca antes alcanzados de 26.000 unidades para ventas diarias máximas de alrededor de 4.500

unidades.

Figura 7.13 Serie de Tiempo de Ventas de Carne de Res

En las Figuras 7.14 y 7.15 se puede apreciar claramente la gestión por cada tipo de producto carne de cerdo y

carne de res y para el periodo de cada Jefe.


Si de calificar se trata - al menos desde el punto de vista gráfico - es mucho mejor la gestión del Jefe 1 que la

del Jefe 2 pero debe corroborarse esta apreciación desde el punto de vista cualitativo, para ello estudie la

Tabla 7.7. Los cálculos están hechos separadamente para cada tipo de jefe. Primero observe cómo el

promedio de ventas diarias de carne de res para el Jefe 1 era de 1.163 kilos y de 605 para el Jefe 2, se

evidencia una reducción importante de los niveles de ventas por día (probablemente como consecuencia de la

reducción de los niveles de servicio). Además el índice de variabilidad ha pasado del 60,58% a 126.15%,

igual sucede con la carne de cerdo.

Debido a que los niveles promedio de ventas han bajado, las siguientes comparaciones - por ejemplo del

inventario de seguridad - no son procedentes.

Con relación a los niveles de inventarios el promedio de stock por día para el Jefe 1 era de 12.165 kilos para

la carne de res y de 1.501 kilos para la carne de cerdo; comparativamente el Jefe 2 presenta 14.999 kilos de

carne de res y 1.463 kilos de carne de cerdo, esto significa que el Jefe 2 mantenía un 23,3% más inventario

que el Jefe 1. Pero si se compara el último mes de gestión el promedio de inventarios por día para el Jefe 1 era

de 9.461.7 kilos para la carne de res y de 1.389.83 kilos para la carne de cerdo, mientras que el jefe 2 presenta

15.047 kilos de carne de res y 1.775 kilos de carne de cerdo, lo que quiere decir que durante el último mes de

gestión el Jefe 2 mantenía un 59,0% más inventario de carne de res que el Jefe 1.

El último concepto de comparación es el índice de relación de inventario por kilo vendido (para el producto

carne de res es de 8.14 para el Jefe 1 Vs. 24.83 para el Jefe 2).

Según los indicadores estudiados la mejor gestión es la del Jefe 1, entonces resulta la pregunta ¿Por qué fue

despedido el Jefe 1?

Los problemas del deterioro del nivel de servicio no pueden ser explicados desde el punto de vista de la

gestión del aprovisionamiento del inventario, para encontrar las razones es necesario revisar los procesos de

DRP12

. Como se dijo previamente esta empresa tenía dos centros de consumo que cubrir y las deficiencias en

este proceso eran la única causa de los problemas de servicio, evidentemente estas fallas eran responsabilidad

del Jefe de Inventarios. Las decisiones tomadas por directivas para esta problemática fueron erradas por falta

de conocimiento técnico, lo que generó que no diagnosticaran adecuadamente el problema.

Figura 7.14 Serie de Tiempo Carne de Res

12

DRP - Distribution Resourse Planning (Planeación de los Recursos de Distribución).


Figura 7.15 Serie de Tiempo para la Carne de Cerdo


Carne de Res Carne de Cerdo Carne de Res Carne de Cerdo

Fórmula

Promedio demanda/dia 1 1.163,05 74,59 605,90 58,93

Desviación estándar 2 704,55 49,43 764,34 57,74

Variabilidad 3 ´2/1 60,58% 66,27% 126,15% 97,98%

Nivel de servicio 4 94% 94% 94% 94%

k 51,555 1,555 1,55 1,55

Tiempo de abastecimiento6

47 47 47 47

Tiempo de pronóstico 7 30 30 30 30

W 8 ´Si 6>7; Raiz(6/7);(6/7)1,25 1,25 1,25 1,25

IS 9 ´2x5x8 1.371 96 1.487 112

Punto de reorden s 10 ´1x6+9 56.034 3.602 29.965 2.882

Promedio dias de entrega 11 19,20 23,60 34,75 26,80

Desviación estándar del

tiempo de entrega en días 122,95 6,60 6,66 8,21

Variabilidad del tiempo de

entrega 13 ´12/1115,362% 27,974% 19,153% 30,618%

Desviación combinada 14 ´Raiz(11x2^2+1^2*12^2) 4.615,10 547,85 6.046,89 568,51

IS 15 ´5*14 7.175 852 9.402 884

Punto de reorden s 16 ´11x1+15 29.506 2.612 30.457 2.463

Inventario Promedio 17 12.165,30 1.501,37 14.999,26 1.463,22

Inventario Promedio en el

último mes de gestión 189.461,70 1.389,83 15.047,45 1.775,42

Relación de Inventario

por kilo vendido 19 ´18/18,14 18,63 24,83 30,13

Jefe 1- desde agosto hasta

noviembre Jefe 2- desde noviembre

Tabla 7.7 Cálculo de los Puntos de Re-Orden y Niveles de Stock de Seguridad

7.8. Gestión de Inventarios para Ítems A y C

Gestión de ítems A

Se ha hablado lo suficiente sobre la clasificación de los ítems de un portafolio de productos; para hacer una

introducción a este apartado sólo se dirá que los productos A se refieren a aquellos ítems cuyo costo anual Dc


sea lo suficientemente importante, bien sea porque D es alto y c bajo o porque c es alto y D es bajo. Es obvio

que existe otra circunstancia para categorizar como A un ítem, es cuando c y D son simultáneamente altos.

Si se considera que la demanda de estos ítems sigue una distribución normal se pueden usar algoritmos que

ayudan a optimizar la cantidad Q a ordenar y la cantidad s o punto de re-orden.

Las demandas siguen siendo aleatorias pero a diferencia de lo que se ha estudiado para un ítem cualquiera,

acá la cantidad Q no es determinada con anticipación y no es necesariamente igual al EOQ debe establecerse

también el valor de Q, es decir también es una variable de decisión y debe ser optimizada.

En la vida real, el autor ha encontrado según su experiencia que las empresas gestionan un portafolio de

productos ítem por ítem y conocen con exactitud el costo de la pérdida cuando una unidad de producto no es

surtida a los clientes. En la práctica la penalización por no surtir una unidad de producto está representada por

el margen de contribución que se deja de percibir, por esta razón acá sólo se estudiará la situación en donde se

debe calcular los valores de s y de Q con un costo de faltante por unidad conocido.

Otras situaciones se presentan pero con menor frecuencia, por ejemplo cuando se tiene un costo de

penalización por ocasión de faltante (no por unidades faltantes sino por cada vez que en un abastecimiento

ocurra un faltante independientemente de las unidades que falten). En Silver et al (1998, p.p. 325-328) puede

estudiar este caso (la diferencia con el escenario que se tratará acá radica en que el valor de k puede ser

calculado con una ecuación específica).

Cálculo de s y Q en el Sistema (s,Q) con un Costo de Faltante Cf por Unidad de

Faltante Conocido

De la ecuación (7.22) se tiene el costo total:

fz CkGQ

DHIS

QS

Q

DCT L )()

2(2 (7.65)

La ecuación (7.65) se puede reescribir como:

))(()2

(2 cCkGQ

Dcik

QS

Q

DCT fzLL (7.66)

Donde:

c= el costo unitario del ítem.

i= costo de mantener el inventario en un año.

Cf= % de pérdida cuando no se entrega una unidad de producto.

Nótese como H=ci.

En este caso k y Q son variables de decisión y deben calcularse simultáneamente, de esta manera el costo total

de la política de inventarios ahora es una función no lineal de dos variables que al resolverse se tendrá la

solución óptima.

Derivando la ecuación (7.66) con respecto a k y luego con respecto a Q se obtienen las condiciones para el

cálculo de Q y Pz(k) que minimizan la ecuación (7.66).

0))((2

cCkPQ

Dci

k

CTfzLL (7.67)


0))((2 22

2cCkG

Q

DciS

Q

D

Q

CTfzL (7.68)

Despejando Pz(k) y Q de cada ecuación se tiene:

DCf

QikPz )(

y

DCf

QikPP z 1)(1 (7.68)

ci

cCkGSDQ

fzL ))((2 (7.69)

De Vidal (2010, p.p. 312-313) se ha complementado la siguiente regla de decisión:

Paso 1: Calcule el valor inicial de Q mediante la ecuación de EOQ.

Paso 2: Utilizando la ecuación (7.68) calcule el valor de Pz(k) y la probabilidad P de no ocurrencia de

faltantes en cada ciclo de abastecimiento.

Paso 3: Determine el valor de Gz(k) y k con el valor Pz(k) encontrados en el paso anterior.

Paso 4: Vuelva a calcular un nuevo Q utilizando la ecuación (7.69).

Paso 5: Repita los pasos 2,3 y 4 hasta que los cambios en P o en k y en Q sean despreciables.

Paso 6: Cuando los cambios en los valores de Q sean despreciables, ese serán los valores óptimos. Ahora

calcule el punto de re-orden s con las ecuaciones ya estudiadas, el nivel de servicio y los costos totales de la

política de gestión de stock aplicada. (Utilice los supuestos de faltantes convertidos en órdenes pendientes o

ventas perdidas).

Aplicando ahora este procedimiento a los datos del ejercicio 7.3.2, primero se procede a calcular el valor de

Q:

715.134%)2,1)(4,5(

)800.2)(000.210(2Q

El valor que ya se tiene calculado de Q = 134.715 kilos, utilizando este valor para calcular con la ecuación

(7.68) el valor de P se tiene:

9984,0001509,01)4.55,10)(000.210(

%)2,1)(715.134(1P

El valor de k y de Gz(k) para Pz(k) = 0,9984 son los siguientes:

k= 2,96 7 Gz(k) = 0,0004396

Con estos valores se procede a calcular Q utilizando la ecuación (7.69):

967.134%)2,1(4.5

)4.5(4857,0)(0004396,0(107.9800.2)000.210(2Q

Ahora tomando como base el valor de Q = 134.967 se vuelven a calcular los valores de k, Gz(k) y Q.


k= 2,96 7 Gz(k) = 0,0004396 y Q = 134.967 como el valor de Q presenta muy poca diferencia se concluye que

ya se está en el punto óptimo.

Ahora para el cálculo de s, la demanda xL durante el tiempo de abastecimiento LT es:

xL= d.LT.

xL= 210.000x(14/30) = 98.000 unidades.

Y el nuevo stock de seguridad para un k=2,96 es:

957.26107.996,2 xIS

El punto de re-orden será:

957.124957.26000.98s

Seguidamente procédase a buscar el fill rate considerando un valor de )(kGz = 0,0004396. Reemplazando

este valor y el de Q en la ecuación (7.19) se tiene:

9999.0967.134

0004396.0107.91

xfr

Si cada que la posición actual de inventarios llega a 124.957 kilos de producto se ordenan 134.967 kilos

(mismos que deben entregarse cada 14 días) y si además se mantiene un inventario de seguridad 26.957 kilos,

entonces los pedidos se llenarán en un 99,99%, es decir casi 100%.

En Vidal (2010, p.p. 313-314) se puede encontrar otro ejercicio del cual se sugiere su estudio.

Calculo de s y Q en el Sistema (T,s,M) con un Costo de Faltante Cf por Unidad de

Faltante al Final de Cada Periodo

En Silver et al (1998, p.p. 336-339) se trata el método de aproximación exponencial revisada, desarrollado

inicialmente por Ehrhardt (1979). El sistema (T,s,M) abordado por algunos autores como sistema (R,s,S) es

aquel en el cual cada T o R periodos de tiempo se revisa el nivel de stocks y si ese nivel está por debajo de una

posición s se ordena una cantidad Q tal que el nivel de inventarios se eleve a una posición máxima M.

En este caso Cf se refiere al costo de faltantes por unidad por periodo.

La regla de decisión es la siguiente:

Paso 1: calcule Qp y sp con las siguientes ecuaciones:

116.0

2

2506,0494,0 )

ˆ1()(ˆ30.1

T

LTTp

xci

SxQ (7.70)

y

)192.2063.1)183.0

(ˆ973.0 )()( zz

xs LTLTp (7.71)

Dónde:


Cf

iQz

LT

p

)(

(7.72)

DTxTˆ (7.73)

)(ˆ LTDx LT (7.74)

Donde Cf viene expresada en $/($ faltantes al final del periodo de revisión), i está expresado en $/($ por

intervalo de revisión), D son las unidades por año y T y L expresados en años.

Paso 2: compare si 5.1ˆ/ Tp xQ , entonces calcule:

pss (7.75)

pp QsM (7.76)

De lo contrario complete el paso 3.

Paso 3: calcule:

)(ˆ LTLTo kxM (7.77)

Donde k satisface:

iCf

ikPz )( (7.78)

y finalmente haga la siguiente elección:

op Msmínimos , (7.79)

opp MQsmínimoM , (7.80)

Ejercicio 7.8.1

Se tienen a mano los siguientes datos de una compañía hipotética:

D 6.360,00 unidades

T 0,50 meses

L 1,00 mes

282,00 inidades

S 102,50 $

c 8,60 $/unidad

i 1,10 $/$/año

Cf 0,90 $/$año

)( LT

Las unidades de i y Cf deben estar en las mismas unidades de tiempo del intervalo de revisión T, de esta

manera:

Paso 1:


265)360.6(12

5,0ˆTx unidades.

795)360.6)(12

1

12

5,0(ˆ LTx unidades.

046,0)10,1()2(12

1(i

Utilizando las ecuaciones (7.70), (7.71) y (7.72) se tiene:

372)265

2821()

)046,0(6,8

5,102()795(30.1 116.0

2

2506,0494,0

pQ unidades.

Ahora se debe calcular z:

260,0)90,0(282

)046,0(372z

112.1)260,0(192.2063.1260,0

183.0282)795(973.0ps

Paso 2:

5.14,1265/372

Como no se cumple que 5.1ˆ/ Tp xQ se debe calcular el paso 3.

049,0046,090,0

046,0)(kPz

Para Pz(k) 0,049 el valor de k de la tabla es 1,65 con este valor se procede a calcular Mo con la ecuación

(7.77).

262.1)282(65,1795oM

Por último aplicando las ecuaciones (7.79) y (7.80) se tiene:

112.1262.1,112.1mínimos

262.1262.1,372112.1mínimoM

Esta compañía debe establecer la siguiente política de inventarios: se deben revisar las existencias cada 15

días (T=0,5 meses) y si la posición de inventarios actual Io es menor o igual a 1.112 unidades debe ordenar

M-Io, es decir 1.262 unidades menos el inventario a mano.



Excel que le ayuda a calcular la política de inventarios (T,s,M) para ítems A. Clave 6323.



Modelo política de inventarios (T,s,M ) para ítems A

Demanda Anual D 6.360 unidades

Tiempo de Revisión T 0,50 meses

Lead Time L 1 mes

Desviación estándar 282 inidades

Costo de ordenar S 102,50 $

Precio de compra c 8,60 $/unidad

Costo de mantener i 1,10 $/$/año

Costo de faltante Cf 0,90 $/$año

Paso 1

X T 265,00

X T+L 795,00

i 0,046

Q p 372,55

z 0,259

s p 1.111,92

Q p /X T 1,41

Q p /X T>1.5 No

Paso 2

S Ir a Paso 3

M Ir a Paso 3

Paso 3

P z (k) 0,048

k 1,6599908

Mo 1.263,12

s 1.111,92

M 1.263,12

Datos

)( LT

Gestión de Ítems C

Ya en el capítulo 4 se ha hecho alusión a los productos C, acá sólo debemos recordar lo siguiente para este

tipo de ítems:

Representan el mayor número de ítems del portafolio de productos (80% de los productos son C y

representan sólo el 5% de las ventas, según la regla de Pareto).


La frecuencia con que se lanzan las órdenes de pedidos es baja. Generalmente transcurren varios

periodos de planificación hasta que una orden sea lanzada, esto debido a que los lotes de producción

o de compra mínimos son muy altos con relación a la venta del ítem por periodo.

En sus inicios son productos de nicho que complementan el portafolio.

Los márgenes de contribución son muy atractivos.

Si se presentan faltantes frecuentes se forma una insatisfacción con el cliente.

Son ítems que complementan el portafolio, como el caso de un conector de energía que integra la

venta de un teléfono móvil.

Los ítems nuevos se matriculan como C y pueden convertirse rápidamente en B o inclusive en C si se

les garantiza un suministro libre de faltantes.

Para los ítems C los reabastecimientos son poco frecuentes, a menudo se agregan pedidos y sólo

periódicamente se emiten órdenes a producción a los proveedores. Si el periodo de reabastecimiento es mayor

- se presenta más oportunidad de que la demanda varíe tomando más relevancia el hecho de tener adecuados

niveles de stocks de seguridad- ya se han estudiado varios métodos para el cálculo de los inventarios de

seguridad, pero Silver et al (1998, p.p. 361-362) sugieren la utilización del método Tiempo Especificado

entre Ocurrencias de Faltantes - TEEF.

El responsable de gestionar los inventarios puede estar interesado en que la ocurrencia de faltantes se elimine,

para ello puede definir un factor TEEF que sea muy elevado (mayor a cinco años, por ejemplo); esto es lógico

si se tiene en cuenta que no importa tener altos niveles de inventarios de los productos C pues estos

contribuyen con muy poco valor por su bajo aporte Dc en el nivel total de existencias, esto explica el deseo de

tener un alto nivel de servicio para los ítems clase C.

De esta manera para un sistema de inventarios (s,Q) la regla de decisión para el criterio TEFF es seleccionar

un factor de seguridad k que satisfaga:

)()(

TEEFD

QkPz (7.81)

Donde:

)(kPz = probabilidad de que la variable normal unitaria tome el valor igual o mayor a k.

Después de obtener el valor de k, ahora puede determinar:

DLxLˆ y LL 1ˆ

Donde D es la demanda pronosticada y 1 es la estimación de la desviación estándar de los errores del

pronóstico en el periodo de reabastecimiento L.

Ahora es posible calcular s con la ecuación LL kxs ya estudiada.

Es común que para los ítems C los planeadores de inventarios no se desgasten haciendo pronósticos y que los

promedios sean usados ampliamente para hacer pronósticos de esta clase de ítems. Si este fuera el caso

existirían limitaciones para el cálculo de L . Es posible entonces utilizar una distribución de Poisson13

para

13

Para estudiar esta distribución de probabilidad consultar Silver et al (1998, pág. 345).

En Ross (2005, p.p. 248-251) se dice que una variable aleatoria X es una distribución de Poisson con un parámetro

0 si:

iiXP

i para i = 0,1,…

)(XVar


desarrollar una estimación de L según la ecuación (7.82) que típicamente aplica para ítems de lento

movimiento o tipo C.

DLxLL ˆ (7.82)

Ejercicio 7.8.2

Si los consumos pasados de un ítem considerado como C son: 1.200, 1.450, 2.100, 4.500, 2.200 y 1.800

unidades mensuales y los pronósticos se elaboran como un promedio de los últimos 6 consumos, los

consumos del año son de 28.000 y el pronóstico para el siguiente periodo mensual es de 2,208 unidades. Si

los pedidos se entregan mensualmente y se requiere un TEEF de 5 años ¿En qué punto le sugiere ordenar a su

proveedor?

0158,0)5(000.28

208.2)(kPz

Para un valor de 0,0158 se busca de la tabla del apéndice A el valor correspondiente a k = 2.15.

30,48)12/1(000.28L

437.2)30,48)(15.2()12/1(000.28s

Nótese como es necesario trabajar en las mismas unidades, por esto en la ecuación se utiliza un mes que

corresponde a 1/12 años.

Gestión de Ítems de Lento Movimiento y Obsoletos

Los productos de lento movimiento pueden considerarse una clase de productos C y si no se les proporciona

una gestión adecuada pasan a convertirse en productos obsoletos. Los artículos se convierten en lentos y

posteriormente en obsoletos por una o varias de las siguientes causas:

Se lanzan productos nuevos a los cuales se les ha hecho cambios de empaque o un upgrade.

El producto es obsoleto en su tecnología y prestaciones.

Productos que se han devuelto por parte del cliente y ya están descontinuados.

Artículos que en su momento tuvieron una falla de calidad y nunca se atendieron para colocarlos de

nuevo a disposición de la fuerza de ventas.

Productos que presentan muy baja aceptación por parte de los consumidores y se consideran

lanzamientos fallidos.

Repuestos de máquinas que se han reconvertido en tecnología.

Sobrantes de lotes de producción o producción más allá de las necesidades que el mercado no puede

absorber.

En los cambios o upgrade de productos no se tiene en cuenta las cantidades restantes de material de

empaque y materia prima.

Por el vencimiento de las fechas de vigencia del producto.

¿Cómo gestionar esta clase de ítems?


Este tipo de productos no deberían llegar más allá del 2,5% del valor total del inventario activo y su gestión es

responsabilidad del planeador de inventarios y sus niveles deben ser revisados, evaluados y las acciones

tomadas en el escenario de la reunión S&OP.

Debe llevarse un estadístico del comportamiento de los niveles de este tipo de inventarios a través del tiempo.

En la Figura 7.16 se puede observar un comportamiento de este tipo de ítems.

Las reuniones S&OP deben dar un espacio de tiempo suficiente para que estos ítems sean evaluados y las

acciones para su eliminación se definan.

Algunas acciones que ayudan a la eliminación de estos niveles de inventarios de lentos y obsoletos son:

Se deben mantener a la vista en los centros de distribución, la idea es que estorben lo suficiente para

que se les preste la debida atención. No es recomendable que se coloquen en los últimos pisos de las

estanterías ni en los lugares más escondidos de los centros de distribución.

Elaborar una estadística del nivel de lentos y obsoletos a través del tiempo.

Esta estadística debe ser conocida por el Gerente General de la compañía y por las áreas de auditoria.

Hacer donaciones a entidades sin ánimo de lucro. Tenga en cuenta que muchas veces es más costoso

guardar esas existencias que tirarlas a la basura.

Conceder descuentos especiales.

Colocar esas existencias en mercados menos exigentes y con descuentos llamativos.

Colocarse una meta de corto plazo (hasta 4 meses) para que se disminuya el nivel de lentos y

obsoletos.

Hacer una adecuada planeación de cambios de imagen donde se involucren todos los interesados. Un

imput primordial es el inventario actual de materiales más las órdenes colocadas a los proveedores y

pendientes por recibir.

Disminuir los lotes mínimos de venta por parte del proveedor.

Para las promociones, imputar a la orden de producción todo el material comprado. Si se presenta el

caso en el que sobra material, éste debe quedar en el sistema con costo $1 para ayudar a que más

adelante se pueda dar de baja con más facilidad si no se ha presentado consumo.

Defina unas políticas para catalogar un producto como lento u obsoleto, las cuales dependen de los

materiales (perecederos o no), su costo y el sector industrial.

Figura 7.16, Tendencia de Lentos y Obsoletos

7.9. Administración de los Inventarios en la Práctica


La experiencia del autor gestionando inventarios, conociendo variadas problemáticas e impartiendo

académicamente conocimiento relacionados con la gestión de inventarios le ha llevado a escribir este apartado

especial. A menudo los responsables de gestionar los inventarios en las organizaciones quedan abrumados,

inquietos y frustrados cuando tratan de aplicar los modelos acá estudiados a la realidad. La experiencia

muestra que los modelos teóricos estudiados se pueden transferir y aplicar bastante bien a la realidad, aunque

pueden existir decepciones si no se aplican correctamente.

Diseñe un Modelo de Control Sea un Experto en el Pentágono de Control

En la práctica, ser un experto en la gestión de inventarios es saber gestionar el pentágono de control de

inventarios (ver Figura 7.16). Los cinco lados del pentágono están compuestos por:

Punto de re-orden.

Inventario de seguridad.

Inventario máximo.

Nivel de servicio.

Costos.

Un producto está bien gestionado cuando está por dentro del pentágono de control, más específicamente

cuando el nivel de inventarios actual está por encima del punto de re-orden y del stock de seguridad, abajo del

inventario máximo M definido, cumpliendo el nivel de servicio y con unos excesos dentro de los esperado.

Además si el ítem está dentro del pentágono, está controlado y las acciones deben encaminarse a bajar los

lead times y las variabilidades, de no ser así algo está fallando y deberá ponerse atención al ítem.

Recuerde que el objetivo de la gestión de stocks es equilibrar el costo de servicio y el mismo servicio en sí; si

un elemento del pentágono está por fuera, una alerta debe ser lanzada por el sistema de información.

Figura 7.16, Pentágono de la Gestión de Inventarios

El ciclo del control y la gestión de inventarios se cimenta mejor cuando está soportado adecuadamente por

una estructura compuesta por la gente, la tecnología y los indicadores de gestión.


En la práctica gestionar miles de ítems no es posible sin contar con sistemas de información y computadoras

que ayuden a esa labor, es por eso que el soporte de la tecnología es imprescindible para obtener buenos

resultados de costos y servicio.

Con relación a la gente los modelos por sí solos no gestionan los inventarios, las personas con su

conocimiento y aptitudes son las que producen los verdaderos resultados.

Conozca su Portafolio y la Manera de Gestionarlo

El sistema de control debe establecer qué productos son verdaderamente importantes y como es su gestión y

control. En la Figura 7.17 se pueden estudiar dos maneras distintas de gestionar los productos del portafolio;

los artículos A - aunque son los más importantes por definición de aporte al margen, rentabilidad y volumen

de ventas - no quiere decir que sean los que mayor participación en el valor del inventarios deban tener.

Figura 7.17, Políticas de Gestión de Portafolios

Para los productos C una política acertada será tener mayor número de días de inventario y relajar el control,

esta política es justificada por el hecho de que mayores días de inventarios no afectarán al valor total del

inventario (los productos C contribuyen con muy poco valor al inventario) y de esta manera se garantiza el

nivel de servicio.

Saber gestionar los ítems es conocer qué tratamiento se le da dentro del sistema de gestión. Una promoción,

un producto de línea tipo C, un producto de línea tipo A, un artículo en introducción, un producto de

temporada y muchos otras situaciones que se presentan en la vida diaria habría que aplicarles técnicas

diferentes para su gestión. En la Figura 7.18 se presenta un esquema del orden que debe seguir un ítem dentro

de las múltiples opciones para gestionarlo.

La Figura 7.18 se complementa con la Tabla 7.8 adaptada de Sipper y Bulfin (1998, pág. 325).


Grupo A Grupo B Grupo C

Principio de control Control de artículos individuales Control masivo Control masivo

Política de inventario Revisión periódica Revisión contínua Revisión continua

Período de revisión 1 o 2 semanas Continuo Continuo

Punto de reorden Ninguno dL + is dL + is

Cantidad de reorden MPS , Gestión de Demanda EOQ , Cantidad Periódica de Orden (T EO Q ) Optimización

Inventario de seguridad Menos de 0,5 meses 0,5 a 1,5 meses

Inventario máximo Bajo Más que para el grupo A Más que para el grupo B

Método de control Ecuación de balance de materiales Triángulo de control Triángulo de control

Herramienta de control Balanceo de Inventarios Informe de excepciones Informe de excepciones

Fuente: adaptado de Sipper y Bulfin (pág 325, 1998)

≤ s) ≤ s)

3 meses

≥ ≥

Tabla 7.8 Decisiones de Control

De la Tabla 7.8 se concluye que los productos A deben ser gestionados de la siguiente manera: el control debe

ser ítem por ítem, la política de revisión debe ser periódica, la revisión debe ser frecuente, la cantidad a

ordenar se calcula por medio de un balanceo de necesidades, el inventario de seguridad es sumamente

importante para garantizar el nivel de servicio y los inventarios deben permanecer lo más bajo que se pueda

(es posible por la alta frecuencia de reabastecimiento).

Figura 7.18, Gestión de Ítems

Por último, muchos errores pueden cometerse al aplicar los modelos teóricos a las situaciones prácticas del

día a día. A continuación se tratarán de presentar algunos de los errores más comunes que hacen que se

privilegie la lógica por encima de la técnica para gestionar los inventarios:

No combinar adecuadamente las unidades. Por ejemplo usar demandas mensuales y tiempos de

entrega en días. Es necesario que las unidades sean consecuentes cuando se esté aplicando

cualquier modelo, no hacerlo le causará resultados imprecisos.


El uso de números entre cero y uno. Por ejemplo el componente cuadrático en la desviación estándar

combinada de 0,5 meses hace que este dato sea cada vez menor; es preferible llevar todos los datos

a la misma unidad (normalmente a días).

No considerar adecuadamente las variaciones de la demanda dentro del Lead Time. No es

recomendable usar una desviación estándar de las ventas mensuales con un Lead Time de 15 días,

lo correcto sería calcular la desviación de las ventas por día durante los 15 días del Lead Time. Por

ejemplo si se tiene una demanda mensual de 120.000 unidades y el Lead Time es de 10 días, la

demanda pronosticada dentro de dicho tiempo será 120.000/30x10 = 40.000 unidades y no las

120.000 mencionada. Usar 12.000 como demanda afectará los cálculos generando necesidades

irracionales.

Partir del supuesto de que los datos de la demanda o de los tiempos de entrega siguen siempre una

distribución normal. En la realidad no siempre los datos se distribuyen normalmente, es posible que

sigan otras distribuciones de probabilidad (como la Gamma). Si este fuera el caso deberían usarse

las estadísticas de tendencia y dispersión de esta distribución y no los de la normal. Se recomienda

ver Jay Devore (2001, p.p. 168-171) para estudios profundos de las demás distribuciones de

probabilidad; adicionalmente en Silver et al (1998, pág. 737) se pueden estudiar las ecuaciones para

la distribución Gamma de la probabilidad de faltantes y punto de re-orden y sus aplicaciones en

Excel.

La calidad y cantidad de los datos (recuerde el teorema del límite central estudiado en el Capítulo 2).

La cantidad de información condiciona la distribución de probabilidad que siguen los mismos; las

unidades de los datos deben ser consecuentes con la estructura de los cálculos, por esta razón se

recomienda ampliamente siempre trabajar con datos diarios tanto en demanda como en tiempos.

Las empresas tienen la facilidad de obtener datos en días, esto es un hecho esencial si se considera

que en la realidad las órdenes se reciben todos los días y además consecuentemente con esto, todos

los días hay entregas a los clientes.

Saber qué modelo utilizar. En la revisión continua o periódica o la aplicación de cualquier algoritmo

de compensación de necesidades, los datos difieren de acuerdo al modelo elegido.

La adecuada interpretación de los resultados. Por ejemplo si el cálculo del stock de seguridad es

100 unidades (modelados con datos diarios) y si el tiempo de entrega de los proveedores es de 14

días, el inventario de seguridad (las 100 unidades) se deben mantener día a día. No es correcto

pensar que cada día debe mantenerse en inventario 100 (14) = 1.400.

La revisión periódica de los datos. Se sugieren revisiones después de terminado cada periodo de

operaciones (mes, catorcenas, semanas o días). Además tras finalizar un periodo todos los cálculos

deben ser actualizados. El exceso de trabajo o la simple negligencia hacen que se trabaje con datos

desactualizados poniendo en peligro la integridad de los resultados de los modelos aplicados.

No construir y estudiar la serie de tiempo de los datos después de cada periodo de operaciones. Esta

herramienta debe ser utilizada para conocer el comportamiento de las ventas de cada producto a

través del tiempo. Este ejercicio le dará al planificador una completa visión y conocimiento de la

arquitectura del producto, lo cual es indispensable para hacer una buena gestión.

La falta de conocimiento y educación del planificador de inventarios. Este recurso debe tener un

perfil adecuado y con suficiente facilidad para interpretar resultados matemáticos (ver más adelante

perfil del Planeador de Manufactura).

No gestionar adecuadamente el Síndrome de Fin de Mes ocasiona desconfianza en la capacidad del

modelo para absorber las variaciones y en el proceso de reabastecimiento mismo.

La falta de escenarios de sincronización adecuados - como los procesos S&OP - donde las partes se

nivelen en conocimientos matemáticos de los modelos utilizados y pensar que el problema es de los

modelos es miope.

Tratar de obtener óptimos locales en vez de óptimos globales. Se presenta esta disyuntiva - por

ejemplo - cuando se debe decidir agrandar los lotes de producción más allá de las recomendaciones

técnicas de los modelos para premiar un mejor costo de producción unitario, a sabiendas de los

riesgos en el aumento de los costos aguas abajo de la cadena y de posibles pérdidas y obsolescencia

del producto.

La adecuada interpretación del stock de seguridad. Debe recordarse que es una porción del

inventario que se usa para protecciones ante las desviaciones en las ventas y en los tiempos de


entrega. No olvide que ni el stock cíclico o medio ni el inventario a mano se catalogan como stock

de seguridad.

Creer que es indispensable un software sofisticado para gestionar los inventarios. La herramienta de

Excel es suficiente porque es un programa flexible, amigable y fácil de usar, donde se pueden armar

modelos más idóneos que muchas veces los programas sofisticados no contienen. Sin embargo se

deber reconocer que dichos programas avanzados - como los ERP - proveen ventajas

fundamentales como la utilización de un solo juego de cifras y la integración con los demás

procesos de la compañía. Se recomienda el uso de software avanzados siempre y cuando a estos se

les puedan incorporar los modelos que se adapten a nuestras circunstancias.

Se debe estar siempre conectado a las actividades del mercado. Un responsable de inventario

sumergido en los números puede ir en contravía de lo que la compañía quiere y de lo que el

mercado le permite hacer.

Sugerencias

A continuación se plantea una serie de sugerencias para la adecuada gestión de inventarios en la

práctica; éstas no pretenden ser todas las posibles ni reglas de oro, más bien son aspectos que sería

importante incorporar al sistema de control y gestión de stock para avanzar en busca de la mejor

relación costo y servicio a los clientes. Al final se deja al usuario la potestad de incorporar las que

crea convenientes:

Use el modelo adecuado para cada artículo. Los portafolios de productos son variados, dinámicos y

flexibles. Un producto A puede tener un alto valor unitario pero un movimiento lento (caso de los

motores en los almacenes de repuestos). Asimismo un producto C puede ser de ventas muy bajas

pero de un alto movimiento. No se puede aplicar un modelo de gestión a todos los productos por

igual.

Haga simulaciones y verifique en laboratorio los resultados antes de lanzarse a hacer ensayos

masivos. Es posible que adapte en laboratorio un modelo específico para un grupo de productos,

por lo cual es conveniente correrlo en paralelo para verificar sus beneficios antes de ser lanzado a la

práctica.

Siempre comience por un piloto y haga que la organización lo entienda, inclusive desde el

fundamento matemático.

Esté atento a los niveles de servicio y a los de inventario. La atención es cuestión de todos los días,

no sólo cuando existe un problema. Recuerde que si todo va muy bien puede ser posible que no se

esté moviendo con las herramientas y a la velocidad adecuadas.

No crea que la lógica se aplica a todas situaciones comunes de gestión de inventarios. La lógica crea

caos y es necesario conocer cómo se crea este tipo de situaciones, debido a que el hecho que los

responsables de los procesos piensen que la gestión de los inventarios es mera lógica es el inicio

de todos los problemas. Los comportamientos mentales de operación llevados o gobernados por la

lógica - aquella percepción de que las cosas son simples y deben hacerse de la manera que a alguien

se le ocurre o que esa lógica muestra… Esa concepción desprovista de análisis, método y medición

- ocasiona una gestión distorsionada. Definir una política de inventarios no es tan sencillo como

decir que se compren dos veces lo que se consume.

Pague por productividad al equipo de planeación de inventarios y al equipo de cadena de suministro.

Diseñe un sistema de remuneración basado en el desempeño y gobernado por el indicador de

balanceo de inventarios (ver Capítulo de Indicadores de Gestión).

Capacite constantemente hasta que convierta a los responsables de gestionar los inventarios en

verdaderos técnicos en la materia, capaces de interpretar y aplicar a la práctica todos los modelos

posibles.

Establezca la disciplina del proceso S&OP, este concepto será tratado en otro capítulo más adelante

con mayor detenimiento.

Siempre respáldese en decisiones gerenciales, por esto es bueno que la organización comprenda que:


Hay que defender el suministro pero controlando los costos, esto lleva a tomar decisiones de

parar líneas de producción si las ventas no fluyen como se planearon.

Los problemas de gestión de inventarios – como los de muchos otros procesos - son asunto

de todos, no de unos pocos y se mejoran con el concurso de la organización entera.

El capital de trabajo debe gestionarse y debe tener metas concretas.

Mida económicamente todos los avances en servicio y costos de la política de inventarios.

Tenga una infraestructura adecuada para la gestión de los inventarios; esta infraestructura la

componen: el software, el hardware, los procesos y las personas.

Una vez gane confianza con la aplicación del nuevo modelo, enfóquese en:

Reducir las variabilidades de las ventas. Esta debe ser una tarea conjunta con el personal de

ventas porque cuando se les incorpora a ellos en dicha labor siempre se logran avances

satisfactorios en esta materia. Saldarriaga (2012, p.p. 175-181) diagnóstica el impacto del

ciclo de ventas en las operaciones y ofrece una gama de alternativas que muchas

organizaciones ya han aplicado con contundentes resultados sobre el aplanamiento del

ciclo de ventas y la reducción de la variabilidad.

Disminuir las variaciones de los Lead Times conjuntamente con los dueños de los procesos

de producción y suministros.

Baje el stock de seguridad, esta será una consecuencia de las dos acciones anteriores. Hágalo

paso a paso, de manera que no ponga en peligro los niveles de servicio. Los avances le

irán indicando hasta qué punto debe moverse.

7.10. Ejercicios Complementarios

7.10.1 Arquimuebles y su Cadena de Abastecimiento

Durante el transcurso de su especialización en logística, Carol Ross apuntaba en la última hoja de su

block de notas aspectos, temas y tareas que creía que podía implementar en su trabajo; ella era Jefe

de Abastecimiento de Arquimuebles. Seis meses después de graduarse estaba preparando en su

oficina una serie de ideas para implementar proyectos que le permitieran tener un manejo adecuado

de las existencias para el próximo semestre. Ese lunes en la mañana – mientras tomaba una tasa de

café -encontró su viejo block de notas y empezó a pasar hoja por hoja y después de repasarlo todo

llegó a la última hoja y en la penúltima fila decía: “Revisar los cálculos de inventarios de seguridad,

posible mejora en inventarios”.

Siguió todo el tiempo pensando en esa nota, buscó en los apuntes de la clase de inventarios y decidió

trabajar sobre este tema sin falta. En los últimos días las bodegas estaban atestadas de productos de

materias primas y recibía presiones de sus superiores para mantener bajos los niveles de

inventarios; entonces recordó de inmediato la última discusión con el controler, éste se quejaba de

los altos niveles de capital de trabajo representados en inventario. Recordó también que en esa

ocasión el controler terminó de facto la discusión diciendo: “Quisiera que ya fuera el mes de

diciembre para ver cómo mucho de ese inventario actual se ha vuelto obsoleto, eso mismo ocurrió el

año pasado y no veo por qué no va a ocurrir igual este año”.

Arquimuebles produce mobiliario para hoteles, centros comerciales y zonas públicas, siendo las

sillas de referencias DS-2, DS-3 Y DSW las de mayor participación en las ventas y cuya materia

prima es constituida por tubería de aluminio que provee Aluminios Industriales S.A. (ALUINSA).

Arquimuebles ha manejado los pedidos con ALUINSA basándose en proyecciones de venta de seis

meses, solicitándole al proveedor una cantidad que se ajuste a éstas pero con despachos mensuales.

Además se ha pactado que el pago se efectúe 60 días después de la recepción del pedido.

Necesidad de la Empresa


Carol - decidida a arreglar este problema de raíz - ha pensado que su necesidad consiste en

determinar un stock de seguridad que garantice un buen nivel de inventarios evitando manejos

innecesarios y agotamientos y manteniendo un nivel de servicio del 95%. Para determinar dicho

nivel es necesario tener en cuenta que el proveedor tarda un mes en entregar el pedido y la cantidad

mínima que este despacha es de 100 unidades.

Dado que las dimensiones de la unidad de empaque son de 6x0.2 2x0.2 metros y su contenido es de

24 unidades se debe disponer de una buena parte de la bodega de materia prima para el

almacenamiento; adicionalmente hay que protegerlo de rayones y deformaciones. El costo de cada

tubo es de $16.12, lo que representa altos costos para la empresa.

Análisis

La empresa cuenta con registros históricos de la demanda de estos productos- para las referencias

más representativas - desde enero del 2005 y hasta 19 los meses siguientes, como se puede observar

en la Tabla 7.10.1.

Tabla 7.10.1 Demanda Requerida de Tubería de Aluminio

Unidades Requeridas Cantidad Metros Requerida Demanda de

Materia Prima

DS2 DS3 DSW DS2 DS3 DSW

Ene-05 34,00 168,00 20,00 139,4 806,4 65,6 1011,40

Feb-05 134,00 156,00 75,00 549,4 748,8 246 1544,20

Mar-05 84,00 319,00 167,00 344,4 1531,2 547,76 2423,36

Abr-05 24,00 152,00 381,00 98,4 729,6 1249,68 2077,68

May-05 110,00 37,00 43,00 451 177,6 141,04 769,64

Jun-05 6,00 12,00 214,00 24,6 57,6 701,92 784,12

Jul-05 100,00 158,00 20,00 410 758,4 65,6 1234,00

Ago-05 11,00 76,00 103,00 45,1 364,8 337,84 747,74

Sep-05 3,00 112,00 51,00 12,3 537,6 167,28 717,18

Oct-05 5,00 231,00 51,00 20,5 1108,8 167,28 1296,58

Nov-05 43,00 221,00 28,00 176,3 1060,8 91,84 1328,94

Dic-05 0,00 96,00 18,00 0 460,8 59,04 519,84

Ene-06 39,00 392,00 56,00 159,9 1881,6 183,68 2225,18

Feb-06 76,00 4,00 158,00 311,6 19,2 518,24 849,04

Mar-06 175,00 131,00 78,00 717,5 628,8 255,84 1602,14

Abr-06 75,00 76,00 86,00 307,5 364,8 282,08 954,38

May-06 137,00 261,00 328,00 561,7 1252,8 1075,84 2890,34

Jun-06 282,00 127,00 69,00 1156,2 609,6 226,32 1992,12

Jul-06 164,00 81,00 17,00 672,4 388,8 55,76 1116,96

Proyecciones de Ventas

Teniendo en cuenta que la proyección de ventas de este grupo de productos para los próximos seis

meses es de 2.235 unidades, si se continúa con la política de basarse en este pronóstico para realizar

los pedidos cada seis meses y con entregas mensuales de la misma cantidad del producto se puede

incurrir en costos de mantenimiento, tal como se muestra en el siguiente análisis.

Para esta evaluación se hizo una proyección para los próximos cinco meses con base en la demanda

de los últimos meses. El método utilizado para la proyección fue el de Promedio de Movimiento

Simple.


Tabla 7.10.2 Pronóstico de las Unidades Requeridas de Tubería por Producto

Cantidad en Metros por Producto Suma de la

Cantidad

Requerida

en Metros

Cantidad

Requerida

en Unidades Meses

Pronóstico

en Metros DS-2 DS-3 DSW

Agosto 1568 325 722 811 1858 310

Septiembre 1688 350 777 873 2000 333

Octubre 1702 352 783 881 2017 336

Noviembre 1826 378 841 945 2163 361

Diciembre 1649 341 759 853 1954 326

Carol no sabía si pedir ayuda a un experto o emprender ella sola esa aventura, en todo caso lo que se

esperaba era implantar un sistema de gestión de stocks con una base científica y que fuera sensible a

los errores de las proyecciones de demanda y a los plazos de entrega. Además tenía que recomendar

un método para calcular unos niveles adecuados de inventarios de seguridad para los diversos

modelos de productos terminados. Ella le contó a su superior - el señor Brand - y éste tenía la

confianza de que esta nueva metodología resolvería el lío de los inventarios y del servicio, por lo

cual estaría muy bien decirle a la compañía que todo se debía a la falta de una buena metodología

para gestionar los inventarios de seguridad. En este caso el curso de inventarios que Carol tomó

durante su especialización sería la salvación.

Después de dos semanas de intenso trabajo Carol tenía una solución que debía mostrarle a Brand,

quien estaba un tanto preocupado por los resultados del trabajo… Después de todo si las cifras

arrojadas eran menores se podría pensar que el modelo no era útil. Es cuestión de lógica para muchos

comerciales tener más existencias para soportar más las ventas y al final el costo del stock no entra

en los estados de resultados pero al contrario, las ventas perdidas por falta de producto impactan los

ingresos; de otro lado si los resultados eran altos, tal vez Brand se preguntaría ¿Para qué un sistema

que nos aumenta aún más nuestros inventarios?

Después de almorzar en el restaurante de la empresa estaría libre a eso de la 13:45 y Carol se

reuniría con Brand y un invitado más: el controler… Los tres se encargarían de revisar el modelo.

7.10.2 Con los datos de la Tabla 7.10.1 del Ejercicio Número 1 responda: ¿Cuál es el tamaño del

lote para cada artículo? Utilice los siguientes datos:

• Costo de colocar una orden $ 3.800.

• El costo de almacenar un artículo durante un año es 34% del costo del artículo.

• Costo de los artículos:

Artículo Ref. 1 Ref. 2 Ref. 3

Costo 1,230 1,189 980

7.10.3 Un comprador de una gran cadena de tiendas de productos electrónicos tiene presupuestos

mensuales para compras y días de inventario al cierre de mes correspondientes a un equipo

electrónico de su principal proveedor, quien le ha estado insistiendo en la codificación de otro

producto complementario cuyas expectativas de ventas son prominentes. El comprador hace un

único pedido mensual y si adquiere 80 unidades de este dispositivo le faltarán 18.000 dólares y

se pasará del presupuesto, pero si compra 50 le sobrarán 10.000 que es justo lo que piensa

comprar del equipo nuevo, aunque teme perder sus márgenes del 28% por las ventas perdidas

que se ocasionarían por no adquirir el volumen adecuado ¿Cuál es el precio del producto y

cuánto es el presupuesto del comprador?, ¿Cuál es el margen que se pierde si las ventas

históricas han sido de 72 unidades en promedio? y ¿Qué nueva política sugiere usted?


7.10.4 En el ejercicio anterior ¿Qué sentido tiene que el vendedor tenga un presupuesto de compras

del producto si este viene creciendo a ratas del 4% mensual?

7.10.5 La Tabla de ventas muestra las últimas 87 demandas mensuales en cajas de 12 unidades de

leche para niño. La planta de producción hace entregas semanales de este producto y el

responsable de planear los inventarios hace corridas de programación de producción cada 14

días. Se debe tener en cuenta que el precio de venta del producto es de $16.400 con un margen

bruto del 48%. El precio WACC con el que la compañía evalúa sus proyectos es del 18% y

cualquier costo en que se incurra en mantener inventarios privaría a la empresa de obtener esta

rentabilidad. Ocasionalmente se pierden ventas pero lo normal es que los clientes acepten

pedidos pendientes; los últimos registros de este producto muestran un fill rate del 95,5%,

mismo que tienen como meta aumentar en un 1%. El planeador de producción ha consultado a

los responsables de manufactura sobre el costo del cambio en la máquina que fabrica este ítem,

para lo cual obtuvo un valor de 6.500.000 por cada cambio.

Este producto es llevado a los dos centros de distribución de la empresa, desde donde se entrega a

los clientes finales - entre ellos cadenas de supermercados, distribuidores y mayoristas -. El tiempo

que transcurre entre la producción y la entrega a los centros de distribución es de 5 días y el

inventario actual en el sistema en todos los centros de distribución es de 14.800 cajas.

Establezca una política de reabastecimiento para este producto y defina el costo de esa política. En

promedio ¿Cuántas unidades se perderían en cada ciclo y cuál sería el costo de la política si los

clientes no aceptaran ventas pendientes?


Periodo Ventas Periodo Ventas

1 2.800 45 15.262

2 1.880 46 6.612

3 4.300 47 10.717

4 2.374 48 12.016

5 2.190 49 17.150

6 2.547 50 14.260

7 3.294 51 14.040

8 1.396 52 13.461

9 3.805 53 15.246

10 2.776 54 15.315

11 1.017 55 11.630

12 5.830 56 14.700

13 2.200 57 6.778

14 1.665 58 13.519

15 3.823 59 13.046

16 4.577 60 10.554

17 3.477 61 29.783

18 3.450 62 14.211

19 4.529 63 12.238

20 4.442 64 20.526

21 3.723 65 16.935

22 3.057 66 13.264

23 904 67 5.492

24 816 68 9.459

25 749 69 12.121

26 2.000 70 11.817

27 1.117 71 17.729

28 7.754 72 12.242

29 27.903 73 10.492

30 9.911 74 24.813

31 9.864 75 18.130

32 18.336 76 16.281

33 14.388 77 19.540

34 9.970 78 10.062

35 4.096 79 15.246

36 5.654 80 16.458

37 7.549 81 20.873

38 10.800 82 17.187

39 11.899 83 17.097

40 10.042 84 14.365

41 8.827 85 16.062

42 20.990 86 16.064

43 13.553 87 13.630

44 12.804 Tabla de Ventas

7.10.6 Suponiendo que en el ejercicio anterior los tiempos de entrega (incluido el tiempo de

entrega de la planta más el tiempo de transporte a los centros de distribución) tuvieran una

desviación estándar de 3 días ¿Cuál sería la nueva política de reabastecimiento y sus costos?

7.10.7 Calcule la rotación de inventario y los días de cobertura para los siguientes datos de

inventario (trabaje con 24 días de venta a mes).


Suponiendo que la información corresponde a proyecciones de ventas e inventarios ¿Qué se debería

hacer para subir – a dos (2) veces al año - la rotación sin desmejorar el servicio? y ¿Se podría

garantizar - con mayor rotación - el mismo servicio? (ver Tabla 7.10.7)

Inventario Producto Terminado Objetivo

Mes Fecha Real Objetivo Ventas mes

Enero año 1 01.31 6,868,465 6,800,000 7,040,582

Febrero 02.28 6,430,499 6,800,000 6,510,053

Marzo 03.28 5,900,302 6,800,000 6,321,710

Abril 05.02 5,614,534 6,800,000 7,496,730

Mayo 05.30 5,197,154 6,800,000 6,511,207

Junio 06.27 4,593,799 6,800,000 6,694,292

Julio 08.01 5,432,621 6,800,000 8,728,065

Agosto 08.29 5,652,604 6,800,000 7,779,053

Septiembre 09.26 5,603,781 6,800,000 7,738,762

Octubre 10.31 5,847,739 6,800,000 9,770,593

Noviembre 11.28 5,488,080 6,800,000 8,429,838

Diciembre 12.31 4,669,563 6,800,000 10,487,291

Enero año 2 01.31 5,868,984 6,800,000 8,075,783

Febrero 02.28 7,313,453 6,800,000 8,308,003

Marzo 03.30 7,435,443 6,800,000 9,663,301

Abril 04.30 7,227,783 6,800,000 10,559,620

Tabla 7.10.7

7.10.8 Tomando los datos de ventas de la tabla anterior ¿Cuál sería el inventario de seguridad para

niveles de servicio del 85%, 90%, 95%, 98%, 99% y 99.5% suponiendo que el tiempo de

pronóstico es de un mes y el Lead Time es de 45 días? y ¿Qué pasaría si el Lead Time es de 15

días?.

7.10.9 La estructura del departamento de compras de Distribuidora Colibrí consta de un Gerente de

Compras con un salario de $140.000 anuales, cuatro compradores con un salario conjunto de

$75.000 y una Secretaria con salario de $12.000. Los costos del periodo anterior por concepto de

teléfono fueron $2.300 y por comunicaciones y alquiler de equipos de computo por $6.500; el

sistema de calidad exige que los productos comprados se inspeccionen muy bien, para lo cual se

cuenta con un empleado con salario de $9.200 al año. Otros rubros que Distribuidora Colibrí ha

identificado son un 7% de costos de oportunidad, los seguros de la mercancía en existencia 5%,

el costo de deterioro 2% y el costo de obsolescencia 7%. En un mes típico Colibrí - como

comúnmente se le llama, - coloca 930 órdenes a sus proveedores ¿Cuáles son los costos que

asume la compañía para colocar una orden y mantener los inventarios?.

7.10.10 Distribuciones Colibrí ahora tiene proyectados consumos para los siguientes cuatro meses

de 870, 920, 670 y 590 unidades a un precio de $42, los pedidos se generan cada 30 días, las

entregas son cada 100 días y el nivel de servicio exigido es del 95% ¿Cuál será el punto de re-

orden?.

7.10.11 A usted lo han designado para establecer si se debe o no guardar el inventario actual o

venderlo a un precio inferior al de su costo (esta línea de productos fue lanzada dos años atrás y

su comportamiento no ha sido el esperado pero el Gerente de Mercadeo espera y está seguro que

con un esfuerzo adicional esta línea se podrá recuperar). Los siguientes son los datos de esta

línea:


• Número de cajas en exceso 162.465.

• Costo de oportunidad 2.3% mensual.

• Costo de almacenamiento 1.54%.

• Precio de venta $ 32.560.

• Costo de producción $ 18.600.

• El costo de transporte a un tercero es de $1240 por unidad.

• El costo de administración del inventario para esa compañía es de 0.8% de las ventas.

• El costo de pérdida, deterioro y reproceso es del 0.6%.

Existe una oferta de compra de este saldo por $14.200 la unidad ¿Cuál es el costo de guardar como

porcentaje de las ventas? y ¿Es conveniente vender el producto de acuerdo a la oferta recibida?

7.10.12 Con los datos del ejercicio número 10 y suponiendo que el inventario es de 675 unidades

¿Cuál es la cobertura real en días? y ¿Cuál es la cobertura estadística en días? Asuma un mes de

ventas de 24 días.

7.10.13 Considere el reabastecimiento de un producto A para su principal cliente que es una cadena

de almacenes. Las ventas promedio diarias para este ítem ascienden a 1.270 unidades, con una

desviación estándar de 320 unidades, sus tiempos de entrega para este cliente es de 4 días (pero

a veces se desvían 2 días) y éste le ha enviado una orden de compra por 4.800 unidades. Si usted

ha definido que para este cliente especial guarda 500 paquetes como protección de seguridad,

entonces:

¿Cuál será el nivel de servicio fr que a empresa le ofrece al cliente?

Si la empresa decide bajar el nivel de servicio fr al 96% ¿Cuál será ahora la necesidad de stock de

seguridad?

¿Cuál es el punto en donde es indiferente disminuir el nivel de servicio Vs. la disminución del nivel

de inventarios?

7.10.14 Manufacturas Aldea produce bienes de consumo masivo. Los datos de su principal producto

son los siguientes:

Ítem Ventas mensuales Precio de venta Costo Real

001 5,217 20,7 13,35

Aldea produce 342 días al año, los costos de set up en la máquina donde produce esta referencia es

de USD263.2 y la capacidad diaria de la máquina son 271 unidades ¿Cuál es el tamaño óptimo de la

orden? Suponiendo que la máquina sufra un desperfecto y tenga que pararse por 4 meses ¿Cuál es el

costo de este paro?

7.10.15 Para el ejercicio 7.5.2 de la sección 7.5, debata y defina una ecuación como la ecuación

(7.49).

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0,00 0,3989 0,5000 0,5000 0,3989 0,00

0,01 0,3989 0,4960 0,5040 0,3940 0,01

0,02 0,3989 0,4920 0,5080 0,3890 0,02

0,03 0,3988 0,4880 0,5120 0,3841 0,03

0,04 0,3986 0,4840 0,5160 0,3793 0,04

0,05 0,3984 0,4801 0,5199 0,3744 0,05

0,06 0,3982 0,4761 0,5239 0,3697 0,06

0,07 0,3980 0,4721 0,5279 0,3649 0,07

0,08 0,3977 0,4681 0,5319 0,3602 0,08

0,09 0,3973 0,4641 0,5359 0,3556 0,09

0,10 0,3970 0,4602 0,5398 0,3509 0,10

0,11 0,3965 0,4562 0,5438 0,3464 0,11

0,12 0,3961 0,4522 0,5478 0,3418 0,12

0,13 0,3956 0,4483 0,5517 0,3373 0,13

0,14 0,3951 0,4443 0,5557 0,3328 0,14

0,15 0,3945 0,4404 0,5596 0,3284 0,15

0,16 0,3939 0,4364 0,5636 0,3240 0,16

0,17 0,3932 0,4325 0,5675 0,3197 0,17

0,18 0,3925 0,4286 0,5714 0,3154 0,18

0,19 0,3918 0,0425 0,9575 0,3111 0,19

0,20 0,3910 0,4207 0,5793 0,3069 0,20

0,21 0,3962 0,4168 0,5832 0,3027 0,21

0,22 0,3894 0,4129 0,5871 0,2986 0,22

0,23 0,3885 0,4090 0,5910 0,2944 0,23

0,24 0,3876 0,4052 0,5948 0,2904 0,24

0,25 0,3867 0,4013 0,5987 0,2813 0,25

0,26 0,3857 0,3974 0,6026 0,2824 0,26

0,27 0,3847 0,3936 0,6064 0,2784 0,27

0,28 0,3836 0,3897 0,6103 0,2745 0,28

0,29 0,3825 0,3859 0,6141 0,2706 0,29

0,30 0,3814 0,3821 0,6179 0,2668 0,30

0,31 0,3802 0,3783 0,6217 0,2630 0,31

0,32 0,3790 0,3745 0,6255 0,2592 0,32

0,33 0,3778 0,3707 0,6293 0,0256 0,33

0,34 0,3765 0,3669 0,6331 0,2518 0,34

0,35 0,3752 0,3632 0,6368 0,2481 0,35

0,36 0,3739 0,3594 0,6406 0,2445 0,36

0,37 0,3725 0,3557 0,6443 0,2409 0,37

0,38 0,3712 0,3520 0,6480 0,2374 0,38

0,39 0,3697 0,3483 0,6517 0,2339 0,39

0,40 0,3683 0,3446 0,6554 0,2304 0,40

0,41 0,3668 0,3409 0,6591 0,2270 0,41

0,42 0,3653 0,3372 0,6628 0,2236 0,42

0,43 0,3637 0,3336 0,6664 0,2203 0,43

0,44 0,3621 0,3300 0,6700 0,2169 0,44

0,45 0,3605 0,3264 0,6736 0,2137 0,45

0,46 0,3589 0,3228 0,6772 0,2104 0,46

0,47 0,3572 0,3192 0,6808 0,2072 0,47

0,48 0,3555 0,3156 0,6844 0,2040 0,48

0,49 0,3538 0,3121 0,6879 0,2009 0,49

0,50 0,3521 0,3085 0,6915 0,1978 0,50

Algunas Funciones de la Distribución Normal Estándar

( ) ( ) )(kPz)(kPz


0,51 0,3503 0,3050 0,6950 0,1947 0,51

0,52 0,3485 0,3015 0,6985 0,1917 0,52

0,53 0,3467 0,2981 0,7019 0,1887 0,53

0,54 0,3448 0,2946 0,7054 0,1857 0,54

0,55 0,3429 0,2912 0,7088 0,1828 0,55

0,56 0,3410 0,2877 0,7123 0,1799 0,56

0,57 0,3391 0,2843 0,7157 0,1771 0,57

0,58 0,3372 0,2810 0,7190 0,1742 0,58

0,59 0,3352 0,2776 0,7224 0,1714 0,59

0,60 0,3332 0,2743 0,7257 0,1687 0,60

0,61 0,3312 0,2709 0,7291 0,1659 0,61

0,62 0,3292 0,2676 0,7324 0,1633 0,62

0,63 0,3271 0,2643 0,7357 0,1606 0,63

0,64 0,3251 0,2611 0,7389 0,1580 0,64

0,65 0,3230 0,2578 0,7422 0,1554 0,65

0,66 0,3209 0,2546 0,7454 0,1528 0,66

0,67 0,3187 0,2514 0,7486 0,1503 0,67

0,68 0,3166 0,2483 0,7517 0,1478 0,68

0,69 0,3144 0,2451 0,7549 0,1453 0,69

0,70 0,3123 0,2420 0,7580 0,1429 0,70

0,71 0,3101 0,2389 0,7611 0,1405 0,71

0,72 0,3079 0,2358 0,7642 0,1381 0,72

0,73 0,3056 0,2327 0,7673 0,1358 0,73

0,74 0,3034 0,2297 0,7703 0,1334 0,74

0,75 0,3011 0,2266 0,7734 0,1312 0,75

0,76 0,2989 0,2236 0,7764 0,1289 0,76

0,77 0,2966 0,2206 0,7794 0,1267 0,77

0,78 0,2943 0,2177 0,7823 0,1245 0,78

0,78 0,2943 0,1223 0,8777 0,1181 0,79

0,80 0,2897 0,2119 0,7881 0,1202 0,80

0,81 0,2874 0,2090 0,7910 0,1181 0,81

0,82 0,2850 0,2061 0,7939 0,1160 0,82

0,83 0,2827 0,2033 0,7967 0,1140 0,83

0,84 0,2803 0,2005 0,7995 0,1120 0,84

0,85 0,2780 0,1977 0,8023 0,1100 0,85

0,86 0,2756 0,1949 0,8051 0,1080 0,86

0,87 0,2732 0,1922 0,8078 0,0610 0,87

0,88 0,2709 0,1894 0,8106 0,1042 0,88

0,89 0,2685 0,1867 0,8133 0,1023 0,89

0,90 0,2661 0,1841 0,8159 0,1004 0,90

0,91 0,2637 0,1814 0,8186 0,09860 0,91

0,92 0,2613 0,1788 0,8212 0,09680 0,92

0,93 0,2589 0,1762 0,8238 0,09503 0,93

0,94 0,2565 0,1736 0,8264 0,09328 0,94

0,95 0,2541 0,1711 0,8289 0,09156 0,95

0,96 0,2516 0,1685 0,8315 0,08986 0,96

0,97 0,2492 0,1660 0,8340 0,08819 0,97

0,98 0,2468 0,1635 0,8365 0,08654 0,98

0,99 0,2444 0,1611 0,8389 0,08491 0,99

1,00 0,2420 0,1587 0,8413 0,08332 1,00


( ) ( ) )(kPz )(kPz


1,01 0,2396 0,1562 0,8438 0,08174 1,01

1,02 0,2371 0,1539 0,8461 0,08019 1,02

1,03 0,2347 0,1515 0,8485 0,07866 1,03

1,04 0,2323 0,1492 0,8508 0,07716 1,04

1,05 0,2299 0,1469 0,8531 0,07568 1,05

1,06 0,2275 0,1446 0,8554 0,07422 1,06

1,07 0,2251 0,1423 0,8577 0,07279 1,07

1,08 0,2227 0,1401 0,8599 0,07138 1,08

1,09 0,2203 0,1379 0,8621 0,06999 1,09

1,10 0,2179 0,1357 0,8643 0,06862 1,10

1,11 0,2155 0,1335 0,8665 0,06727 1,11

1,12 0,1314 0,0660 0,9341 0,05749 1,12

1,13 0,1292 0,0647 0,9354 0,05619 1,13

1,14 0,1271 0,0634 0,9366 0,05491 1,14

1,15 0,1251 0,0210 0,9790 0,05365 1,15

1,16 0,1230 0,06086 0,93914 0,05242 1,16

1,17 0,2012 0,1210 0,8790 0,05964 1,17

1,18 0,1989 0,1190 0,8810 0,05844 1,18

1,19 0,1965 0,0573 0,9427 0,04888 1,19

1,20 0,1942 0,1151 0,8849 0,05610 1,20

1,21 0,1919 0,1131 0,8869 0,05496 1,21

1,22 0,1895 0,1112 0,8888 0,05384 1,22

1,23 0,1872 0,1093 0,8907 0,05274 1,23

1,24 0,1849 0,1075 0,8925 0,05165 1,24

1,25 0,1826 0,1056 0,8944 0,05059 1,25

1,26 0,1804 0,1038 0,8962 0,04954 1,26

1,27 0,1781 0,1020 0,8980 0,04851 1,27

1,28 0,1758 0,1003 0,8997 0,04750 1,28

1,29 0,1736 0,09853 0,90147 0,04650 1,29

1,30 0,1714 0,09680 0,90320 0,04553 1,30

1,31 0,1691 0,09510 0,90490 0,04457 1,31

1,32 0,1669 0,09342 0,90658 0,04363 1,32

1,33 0,1647 0,09176 0,90824 0,04270 1,33

1,34 0,1626 0,09012 0,90988 0,04179 1,34

1,35 0,1604 0,08851 0,91149 0,04090 1,35

1,36 0,1582 0,08692 0,91308 0,04002 1,36

1,37 0,1561 0,08534 0,91466 0,03916 1,37

1,38 0,1539 0,08379 0,91621 0,03831 1,38

1,39 0,1518 0,08226 0,91774 0,03748 1,39

1,40 0,1497 0,08076 0,91924 0,03667 1,40

1,41 0,1476 0,07927 0,92073 0,03587 1,41

1,42 0,1456 0,07780 0,92220 0,03508 1,42

1,43 0,1435 0,07636 0,92364 0,03431 1,43

1,44 0,1415 0,07493 0,92507 0,03356 1,44

1,45 0,1394 0,07353 0,92647 0,03281 1,45

1,46 0,1374 0,07215 0,92785 0,03208 1,46

1,47 0,1354 0,07078 0,92922 0,03137 1,47

1,48 0,1334 0,06944 0,93056 0,03067 1,48

1,49 0,1315 0,06811 0,93189 0,02998 1,49

1,50 0,1295 0,06681 0,93319 0,02931 1,50


( ) ( ) )(kPz )(kPz


1,51 0,1276 0,06552 0,93448 0,02865 1,51

1,52 0,1257 0,06426 0,93574 0,02800 1,52

1,53 0,1238 0,06301 0,93699 0,02736 1,53

1,54 0,1219 0,06178 0,93822 0,02674 1,54

1,55 0,1200 0,06057 0,93943 0,02612 1,55

1,56 0,1182 0,05938 0,94062 0,02552 1,56

1,57 0,1163 0,05821 0,94179 0,02494 1,57

1,58 0,1145 0,05705 0,94295 0,02436 1,58

1,59 0,1127 0,05592 0,94408 0,02380 1,59

1,60 0,1109 0,05480 0,94520 0,02324 1,60

1,61 0,1092 0,05370 0,94630 0,02270 1,61

1,62 0,1074 0,05262 0,94738 0,02217 1,62

1,63 0,1057 0,05155 0,94845 0,02165 1,63

1,64 0,1040 0,05050 0,94950 0,02114 1,64

1,65 0,1023 0,04947 0,95053 0,02064 1,65

1,66 0,1006 0,04846 0,95154 0,02015 1,66

1,67 0,0989 0,04746 0,95254 0,01967 1,67

1,68 0,0973 0,04648 0,95352 0,01920 1,68

1,69 0,0957 0,04551 0,95449 0,01874 1,69

1,70 0,0940 0,04457 0,95543 0,01829 1,70

1,71 0,0925 0,04363 0,95637 0,01785 1,71

1,72 0,0909 0,04272 0,95728 0,01742 1,72

1,73 0,0893 0,04182 0,95818 0,01699 1,73

1,74 0,0878 0,04093 0,95907 0,01658 1,74

1,75 0,0863 0,04006 0,95994 0,01617 1,75

1,76 0,0848 0,03920 0,96080 0,01578 1,76

1,77 0,0833 0,03836 0,96164 0,01539 1,77

1,78 0,0818 0,03754 0,96246 0,01501 1,78

1,79 0,0804 0,36730 0,63270 0,01464 1,79

1,80 0,0790 0,03593 0,96407 0,01428 1,80

1,81 0,0775 0,03515 0,96485 0,01392 1,81

1,82 0,0761 0,03438 0,96562 0,01357 1,82

1,83 0,0748 0,03362 0,96638 0,01323 1,83

1,84 0,0734 0,03288 0,96712 0,01290 1,84

1,85 0,0721 0,03216 0,96784 0,01257 1,85

1,86 0,0707 0,03144 0,96856 0,01226 1,86

1,87 0,0694 0,03074 0,96926 0,01195 1,87

1,88 0,0681 0,30050 0,69950 0,01164 1,88

1,89 0,0669 0,02938 0,97062 0,01134 1,89

1,90 0,0656 0,02872 0,97128 0,01105 1,90

1,91 0,0644 0,02807 0,97193 0,01077 1,91

1,92 0,0632 0,02743 0,97257 0,01049 1,92

1,93 0,0620 0,02680 0,97320 0,01022 1,93

1,94 0,0608 0,02619 0,97381 0,009957 1,94

1,95 0,0596 0,02559 0,97441 0,009698 1,95

1,96 0,0584 0,02500 0,97500 0,00945 1,96

1,97 0,0573 0,02442 0,97558 0,009198 1,97

1,98 0,0562 0,02385 0,97615 0,008957 1,98

1,99 0,0551 0,02330 0,97670 0,008721 1,99

2,00 0,0540 0,02275 0,97725 0,008491 2,00


( ) ( ) )(kPz )(kPz


2,01 0,0529 0,02222 0,97778 0,008266 2,01

2,02 0,0519 0,02169 0,97831 0,008046 2,02

2,03 0,0508 0,0212 0,9788 0,007832 2,03

2,04 0,0498 0,0207 0,9793 0,007623 2,04

2,05 0,0488 0,0202 0,9798 0,007418 2,05

2,06 0,0478 0,0197 0,9803 0,007219 2,06

2,07 0,0468 0,0192 0,9808 0,007024 2,07

2,08 0,0459 0,0188 0,9812 0,006835 2,08

2,09 0,0449 0,0183 0,9817 0,006649 2,09

2,10 0,0440 0,0179 0,9821 0,006468 2,10

2,11 0,0431 0,0174 0,9826 0,006292 2,11

2,12 0,0422 0,0170 0,9830 0,006120 2,12

2,13 0,0413 0,01659 0,98341 0,005952 2,13

2,14 0,0404 0,01618 0,98382 0,005788 2,14

2,15 0,0396 0,01578 0,98422 0,005628 2,15

2,16 0,0387 0,01539 0,98461 0,005472 2,16

2,17 0,0379 0,01500 0,98500 0,005320 2,17

2,18 0,0371 0,01463 0,98537 0,005172 2,18

2,19 0,0363 0,01426 0,98574 0,005028 2,19

2,20 0,0355 0,01390 0,98610 0,004887 2,20

2,21 0,0347 0,01355 0,98645 0,004750 2,21

2,22 0,0339 0,01321 0,98679 0,004616 2,22

2,23 0,0332 0,01287 0,98713 0,004486 2,23

2,24 0,0325 0,01255 0,98745 0,004358 2,24

2,25 0,0317 0,01222 0,98778 0,004235 2,25

2,26 0,0310 0,01191 0,98809 0,004114 2,26

2,27 0,0303 0,01160 0,98840 0,003996 2,27

2,28 0,0297 0,01130 0,98870 0,003882 2,28

2,29 0,0290 0,01101 0,98899 0,003770 2,29

2,30 0,0283 0,01072 0,98928 0,003662 2,30

2,31 0,0277 0,01044 0,98956 0,003556 2,31

2,32 0,0270 0,01017 0,98983 0,003453 2,32

2,33 0,0264 0,009903 0,990097 0,003352 2,33

2,34 0,0258 0,009642 0,990358 0,003255 2,34

2,35 0,0252 0,009387 0,990613 0,003159 2,35

2,36 0,0246 0,009137 0,990863 0,003067 2,36

2,37 0,0241 0,008894 0,991106 0,002977 2,37

2,38 0,0235 0,008656 0,991344 0,002889 2,38

2,39 0,0229 0,008424 0,991576 0,002804 2,39

2,40 0,0224 0,008198 0,991802 0,002720 2,40

2,41 0,0219 0,007976 0,992024 0,002640 2,41

2,42 0,0213 0,007760 0,992240 0,002561 2,42

2,43 0,0208 0,007549 0,992451 0,002484 2,43

2,44 0,0203 0,007344 0,992656 0,002410 2,44

2,45 0,0198 0,007143 0,992857 0,002337 2,45

2,46 0,0194 0,006947 0,993053 0,002267 2,46

2,47 0,0189 0,006756 0,993244 0,002199 2,47

2,48 0,0184 0,006569 0,993431 0,002132 2,48

2,49 0,0180 0,006387 0,993613 0,002067 2,49

2,50 0,0175 0,006210 0,993790 0,002004 2,50


( ) ( ) )(kPz )(kPz


2,51 0,0171 0,006037 0,993963 0,001943 2,51

2,52 0,0167 0,005868 0,994132 0,001883 2,52

2,53 0,0163 0,005703 0,994297 0,001826 2,53

2,54 0,0158 0,005543 0,994457 0,001769 2,54

2,55 0,0154 0,005386 0,994614 0,001715 2,55

2,56 0,0151 0,005234 0,994766 0,001662 2,56

2,57 0,0147 0,005085 0,994915 0,001610 2,57

2,58 0,0143 0,004940 0,995060 0,001560 2,58

2,59 0,0139 0,004799 0,995201 0,001511 2,59

2,60 0,0136 0,004661 0,995339 0,001464 2,60

2,61 0,0132 0,004527 0,995473 0,001418 2,61

2,62 0,0129 0,004397 0,995603 0,001373 2,62

2,63 0,0126 0,004269 0,995731 0,001330 2,63

2,64 0,0122 0,004145 0,995855 0,001288 2,64

2,65 0,0119 0,004025 0,995975 0,001247 2,65

2,66 0,0116 0,003907 0,996093 0,001207 2,66

2,67 0,0113 0,003793 0,996207 0,001169 2,67

2,68 0,0110 0,003681 0,996319 0,001132 2,68

2,69 0,0107 0,003573 0,996427 0,001095 2,69

2,70 0,0104 0,003467 0,996533 0,001060 2,70

2,71 0,0101 0,003364 0,996636 0,001026 2,71

2,72 0,0099 0,003264 0,996736 0,0009928 2,72

2,73 0,0096 0,003167 0,996833 0,0009607 2,73

2,74 0,0093 0,003072 0,996928 0,0009295 2,74

2,75 0,0091 0,002980 0,997020 0,0008992 2,75

2,76 0,0088 0,002890 0,997110 0,0008699 2,76

2,77 0,0086 0,002803 0,997197 0,0008414 2,77

2,78 0,0084 0,002718 0,997282 0,0008138 2,78

2,79 0,0081 0,002635 0,997365 0,0007870 2,79

2,80 0,0079 0,002555 0,997445 0,0007611 2,80

2,81 0,0077 0,002477 0,997523 0,0007359 2,81

2,82 0,0075 0,002401 0,997599 0,0007115 2,82

2,83 0,0073 0,002327 0,997673 0,0006879 2,83

2,84 0,0071 0,002256 0,997744 0,0006650 2,84

2,85 0,0069 0,002186 0,997814 0,0006428 2,85

2,86 0,0067 0,002118 0,997882 0,0006213 2,86

2,87 0,0065 0,002052 0,997948 0,0006004 2,87

2,88 0,0063 0,001988 0,998012 0,0005802 2,88

2,89 0,0061 0,001926 0,998074 0,0005606 2,89

2,90 0,0060 0,001866 0,998134 0,0005417 2,90

2,91 0,0058 0,001807 0,998193 0,0005233 2,91

2,92 0,0056 0,001750 0,998250 0,0005055 2,92

2,93 0,0055 0,001695 0,998305 0,0004883 2,93

2,94 0,0053 0,001641 0,998359 0,0004716 2,94

2,95 0,0051 0,001589 0,998411 0,0004555 2,95

2,96 0,0050 0,001538 0,998462 0,0004396 2,96

2,97 0,0048 0,001489 0,998511 0,0004247 2,97

2,98 0,0047 0,001441 0,998559 0,0004101 2,98

2,99 0,0046 0,001395 0,998605 0,0003959 2,99

3,00 0,0044 0,001350 0,998650 0,0003822 3,00


( ) ( ) )(kPz )(kPz


3,01 0,0043 0,001306 0,998694 0,0003689 3,01

3,02 0,0042 0,001264 0,998736 0,0003560 3,02

3,03 0,0040 0,001223 0,998777 0,0003436 3,03

3,04 0,0039 0,001183 0,998817 0,0003316 3,04

3,05 0,0038 0,001144 0,998856 0,0003199 3,05

3,06 0,0037 0,001107 0,998893 0,0003087 3,06

3,07 0,0036 0,001070 0,998930 0,0002978 3,07

3,08 0,0035 0,001035 0,998965 0,0002873 3,08

3,09 0,0034 0,001001 0,998999 0,0002771 3,09

3,10 0,0033 0,0009676 0,9990324 0,0002672 3,10

3,11 0,0032 0,0009354 0,9990646 0,0002577 3,11

3,12 0,0031 0,0009043 0,9990957 0,0002485 3,12

3,13 0,0030 0,0008740 0,9991260 0,0002396 3,13

3,14 0,0029 0,0008447 0,9991553 0,0002311 3,14

3,15 0,0028 0,0008164 0,9991836 0,0002227 3,15

3,16 0,0027 0,0007888 0,9992112 0,0002147 3,16

3,17 0,0026 0,0007622 0,9992378 0,0002070 3,17

3,18 0,0025 0,0007364 0,9992636 0,0001995 3,18

3,19 0,0025 0,0007114 0,9992886 0,0001922 3,19

3,20 0,0024 0,0006871 0,9993129 0,0001852 3,20

3,21 0,0023 0,0006637 0,9993363 0,0001785 3,21

3,22 0,0022 0,0006410 0,9993590 0,0001720 3,22

3,23 0,0022 0,0006190 0,9993810 0,0001657 3,23

3,24 0,0021 0,0005976 0,9994024 0,0001596 3,24

3,25 0,0020 0,0005770 0,9994230 0,0001537 3,25

3,26 0,0020 0,0005571 0,9994429 0,0001480 3,26

3,27 0,0019 0,0005377 0,9994623 0,0001426 3,27

3,28 0,0018 0,0005190 0,9994810 0,0001373 3,28

3,29 0,0018 0,0005009 0,9994991 0,0001322 3,29

3,30 0,0017 0,0004834 0,9995166 0,0001273 3,30

3,31 0,0017 0,0004665 0,9995335 0,0001225 3,31

3,32 0,0016 0,0004501 0,9995499 0,0001179 3,32

3,33 0,0016 0,0004342 0,9995658 0,0001135 3,33

3,34 0,0015 0,0004189 0,9995811 0,0001093 3,34

3,35 0,0015 0,0004041 0,9995959 0,0001051 3,35

3,36 0,0014 0,0003897 0,9996103 0,0001012 3,36

3,37 0,0014 0,0003758 0,9996242 0,0009734 3,37

3,38 0,0013 0,0003624 0,9996376 0,00009365 3,38

3,39 0,0013 0,0003495 0,9996505 0,00009009 3,39

3,40 0,0012 0,0003369 0,9996631 0,00008666 3,40

3,41 0,0012 0,0003248 0,9996752 0,00083350 3,41

3,42 0,0012 0,0003131 0,9996869 0,00008016 3,42

3,43 0,0011 0,0003018 0,9996982 0,00007709 3,43

3,44 0,0011 0,0002909 0,9997091 0,00007413 3,44

3,45 0,0010 0,0002803 0,9997197 0,00007127 3,45

3,46 0,0010 0,0002701 0,9997299 0,00006852 3,46

3,47 0,0010 0,0002602 0,9997398 0,00006587 3,47

3,48 0,0009 0,0002507 0,9997493 0,00006331 3,48

3,49 0,0009 0,0002415 0,9997585 0,00006085 3,49

3,50 0,0090 0,0002326 0,9997674 0,00005848 3,50


( ) ( ) )(kPz )(kPz


3,51 0,0008 0,0002241 0,9997759 0,00005620 3,51

3,52 0,0008 0,0002158 0,9997842 0,00005400 3,52

3,53 0,0008 0,0002078 0,9997922 0,00005188 3,53

3,54 0,0080 0,0002001 0,9997999 0,00004984 3,54

3,55 0,0007 0,0001926 0,9998074 0,00004788 3,55

3,56 0,0007 0,0001854 0,9998146 0,00045990 3,56

3,57 0,0007 0,0001785 0,9998215 0,00004417 3,57

3,58 0,0007 0,0001718 0,9998282 0,00004242 3,58

3,59 0,0006 0,0001653 0,9998347 0,00004073 3,59

3,60 0,0006 0,0001591 0,9998409 0,00003911 3,60

3,61 0,0006 0,0001531 0,9998469 0,00003755 3,61

3,62 0,0006 0,0001473 0,9998527 0,00003605 3,62

3,63 0,0005 0,0001417 0,9998583 0,00003460 3,63

3,64 0,0005 0,0001363 0,9998637 0,00003321 3,64

3,65 0,0005 0,0001311 0,9998689 0,00003188 3,65

3,66 0,0005 0,0001261 0,9998739 0,00003059 3,66

3,67 0,0005 0,0001213 0,9998787 0,00002935 3,67

3,68 0,0005 0,0001166 0,9998834 0,00002816 3,68

3,69 0,0004 0,0001121 0,9998879 0,00002702 3,69

3,70 0,0004 0,0001078 0,9998922 0,00002592 3,70

3,71 0,0004 0,0001036 0,9998964 0,00002486 3,71

3,72 0,0004 0,000069962 0,999930038 0,00002385 3,72

3,73 0,0004 0,00009574 0,99990426 0,00002287 3,73

3,74 0,0004 0,00009201 0,99990799 0,00002193 3,74

3,75 0,0004 0,00008842 0,99991158 0,00002103 3,75

3,76 0,0003 0,00008496 0,99991504 0,00002016 3,76

3,77 0,0003 0,00008162 0,99991838 0,00001933 3,77

3,78 0,0003 0,00007841 0,99992159 0,00001853 3,78

3,79 0,0003 0,00007532 0,99992468 0,00001776 3,79

3,80 0,0003 0,00007235 0,99992765 0,00001702 3,80

3,81 0,0003 0,00006948 0,99993052 0,00001632 3,81

3,82 0,0003 0,00006673 0,99993327 0,00001563 3,82

3,83 0,0003 0,00006407 0,99993593 0,00001498 3,83

3,84 0,0003 0,00006152 0,99993848 0,00001435 3,84

3,85 0,0002 0,00005906 0,99994094 0,00001376 3,85

3,86 0,0002 0,00005669 0,99994331 0,00001317 3,86

3,87 0,0002 0,00005442 0,99994558 0,00001262 3,87

3,88 0,0002 0,00005223 0,99994777 0,00001208 3,88

3,89 0,0002 0,00005012 0,99994988 0,00001157 3,89

3,90 0,0002 0,00004810 0,99995190 0,00001108 3,90

3,91 0,0002 0,00004615 0,99995385 0,00001061 3,91

3,92 0,0002 0,00004427 0,99995573 0,00001016 3,92

3,93 0,0002 0,00004247 0,99995753 0,00009723 3,93

3,94 0,0002 0,00004074 0,99995926 0,000009307 3,94

3,95 0,0002 0,00003908 0,99996092 0,000008908 3,95

3,96 0,0002 0,00003748 0,99996252 0,000008525 3,96

3,97 0,0002 0,00003594 0,99996406 0,000008158 3,97

3,98 0,0001 0,00003446 0,99996554 0,000007806 3,98

3,99 0,0001 0,00003304 0,99996696 0,000007469 3,99

4,00 0,0001 0,00003167 0,99996833 0,000007145 4,00


( ) ( ) )(kPz )(kPz

control de inventarios con demanda aleatoria

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