Tabla ANOVA. El contraste de regresión.

En este apartado se descompone la variabilidad de la variable respuesta en

variabilidad explicada por el modelo más variabilidad no explicada o residual,

esto permitirá contrastar si el modelo es significativo o no. Bajo la hipótesis

de que existe una relación lineal entre la variable respuesta y la regresora, se

quiere realizar el siguiente contraste de hipótesis,

frente a la alternativa

por tanto, si se acepta H0, la variable regresora no influye y no hay relación

lineal entre ambas variables. En caso contrario, si existe una dependencia

lineal de la variable respuesta respecto a la regresora.

Para todos los datos muestrales se hace la siguiente descomposición

elevando al cuadrado y sumando se obtiene,

en base a la ortagonalidad de los vectores se obtiene que los productos

cruzados son cero, de donde se sigue la siguiente igualdad (Teorema de

Pitágoras) que permite descomponer la variabilidad de la variable

respuesta en la variabilidad explicada por la recta

de regresión más la variabilidad residual o no explicada por el

modelo ajustado ,

Ahora se puede construir siguiente tabla ANOVA

Tabla ANOVA del modelo de regresión simple

Fuente de

Variación

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Varianzas

Por la recta

scE = i =

1n 2

1 e2 =

Residual scR = i =

1n 2

n - 2 R2 =

Global scG = i =

1n 2

n - 1 Y

2 =

Si H0 es cierta (la variable X no influye), la recta de regresión es

aproximadamente horizontal y se verifica que aproximadamente i , y por

tanto scE 0. PeroscE es una medida con dimensiones y no puede utilizarse

como medida de discrepancia, para resolver este inconveniente se divide por la varianza residual y como estadístico del contraste de regresión se utiliza

el siguiente

Por la hipótesis de normalidad y bajo H0 se deduce que el estadístico

R sigue una distribución F (Contraste de la F) con 1 y n - 2 grados de libertad.

(6.14)

Sí el p - valor = P es grande (mayor que ) se acepta H0.

El Contraste de la F es un contraste unilateral (de una cola) pero en este

modelo proporciona exactamente el mismo resultado que se obtiene por el

contraste individual de la t relativo al coeficiente de regresión 1 (Contraste de

la t).