continuidad y límites ejemplos
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LÍMITES DE FUNCIONES
CONTINUIDAD
EJEMPLOS
Aurora Domenech
EJEMPLO 1: f(x)=2
42
x
x
EJEMPLO 1: f(x)=2
42
x
x
Es una función racional.Su dominio son todos los reales excepto x=2 que anula el denominador.Es continua en todo su dominio.
Analizamos el tipo de discontinuidad en x=2
¿Existe f(2)?
¿Existe el límite de la función en x=2?
¿Coinciden límite e imagen?
aciónerinf mindet0
0)2( No existe
4)2(lim
2
22lim
0
0
2
4lim
22
2
2
x
x
xx
x
xxxx
Evidentemente, no; ya que uno de ellos no existe
Tipo de discontinuidad: “falta un punto” discontinuidad evitable en x=2.
EJEMPLO 2:xxx
xxxf
23
2
2)(
Es una función racional.Su dominio son todos los reales excepto x=0 y x=1 que anulan el denominador.Es continua en todo su dominio.
Analizamos el tipo de discontinuidad en x=0
¿Existe f(0)?
¿Existe el límite de la función en x=0?
¿Coinciden límite e imagen?
aciónerinf mindet0
0)0( No existe
11
1
1
)1(lim
1·
1·lim
0
0
2lim 202023
2
0
x
x
xx
xx
xxx
xxxxx
Evidentemente, no; ya que uno de ellos no existe
Tipo de discontinuidad: “falta un punto” discontinuidad evitable en x=0.
EJEMPLO 2:xxx
xxxf
23
2
2)(
Analizamos ahora el tipo de discontinuidad en x=1
¿Existe f(1)?
¿Existe el límite de la función en x=1?
¿Coinciden límite e imagen?
0
2)1( f No existe
0
2
2lim
23
2
1
xxx
xxx
Evidentemente, no.
Tipo de discontinuidad: discontinuidad salto infinito en x=1.
EJEMPLO 2:xxx
xxxf
23
2
2)(
Obligatoriedad de estudiar límites laterales
0
2
2lim
23
2
1 xxx
xxx
0
2
2lim
23
2
1 xxx
xxx
Asíntota vertical en x=1
EJEMPLO 3:
1
1)(
2
x
xxf
EJEMPLO 3:1
1)(
2
x
xxf
Es una función racional.Su dominio son todos los reales excepto x=1 que anula el denominador.Es continua en todo su dominio.
¿Existe f(1)?
¿Existe el límite de la función en x=1?
Analizamos el tipo de discontinuidad en x=1
0
2
11
11)1(
2
f No existe
0
2
1
1lim
2
1
x
xx
Obligatoriedad de estudiar límites laterales
0
2
1
1lim
2
1 x
xx
0
2
1
1lim
2
1 x
xx
Asíntota vertical en x=1
Tipo de discontinuidad: discontinuidad salto infinito en x=1.
EJEMPLO 3:1
1)(
2
x
xxf
Es una función racional.Como el grado del numerador es uno mayor que el del denominador existirá una asíntota oblicua. Vamos a calcularla.
Asíntota oblicua es del tipo y=mx+n
1lim1
lim)(
lim2
2
2
2
x
x
xx
x
x
xfm
xxx
01
2lim·1
1
1lim·1
1
1lim·)(lim
22
x
xx
xx
x
xxmxfn
xxxx
Asíntota oblicua es y=x
EJEMPLO 4
1
4)(
2
2
x
xxf
EJEMPLO 41
4)(
2
2
x
xxf
Es una función racional cuyo dominio son todos los reales excepto el 1 y el -1.
Analizamos el tipo de discontinuidad en esos dos puntos.
Análisis de continuidad en x=-1
¿Existe f(-1)?
¿Existe el límite de la función en x= -1?
0
3
11
41)1( 2
2
f No existe
0
3
1
4lim
2
2
1
x
xx
Obligatoriedad de estudiar límites laterales
0
3
1
4lim
2
2
1 x
xx
0
3
1
4lim
2
2
1 x
xx
Tipo de discontinuidad: discontinuidad salto infinito en x= -1.
Asíntota vertical en x= - 1
EJEMPLO 41
4)(
2
2
x
xxf
Es una función racional cuyo dominio son todos los reales excepto el 1 y el -1.
Analizamos el tipo de discontinuidad en esos dos puntos.
Análisis de continuidad en x=1
¿Existe f(1)?
¿Existe el límite de la función en x= 1?
0
3
11
41)1( 2
2
f No existe
0
3
1
4lim
2
2
1
x
xx
Obligatoriedad de estudiar límites laterales
0
3
1
4lim
2
2
1 x
xx
0
3
1
4lim
2
2
1 x
xx
Tipo de discontinuidad: discontinuidad salto infinito en x= 1.
Asíntota vertical en x= 1
EJEMPLO 4 1
4)(
2
2
x
xxf
Al tener el mismo grado numerador y denominador, existirá una asíntota horizontal.
1lim1
4lim)(lim
2
2
2
2
x
x
x
xxf
xxx
1lim1
4lim)(lim
2
2
2
2
x
x
x
xxf
xxx
Por lo tanto la recta y=1 es una asíntota horizontal