Capıtulo 3. Conjuntos infinitos y cardinales

Leccion 2. Conjuntos contables

Son aquellos conjuntos con a lo mas tantos elementos como el conjunto de losnumeros naturales; nos proponemos demostrar que el conjunto de los numerosracionales (aun cuando para algunos lectores sea difıcil de creer) es contable.

3.17 Definicion Diremos que un conjunto es contable si y solo si es domi-nado por el de los numeros naturales, es decir, A es contable si y solo si A � N.

3.18 Definicion Un conjunto se llamara numerable si y solo si es equi-potente con N . Segun el ejercicio 9 de la seccion 1, A es contable si y solo

si(A ≺ N)(A ≈ N), o sea si y solo si A es finito o numerable.

Notese entonces que si un conjunto es contable y no es finito, debera sernumerable; como usaremos con frecuencia este hecho, lo destacaremos: Un con-junto contable e infinito es numerable.

3.19 Proposicion

a) Todo conjunto equipotente con uno contable es contable.

b) Todo conjunto equipotente con uno numerable es tambien numerable.

c) Entre dos conjuntos numerables, siempre existe al menos una biyecciondel uno en el otro.

d) Si A es contable y B es numerable, entonces existe al menos una inyeccionde A en B.

Demostracion Las partes b) y c) son consecuencias inmediatas de la simetrıa y

la transitividad de la equipotencia y las a) y d) se siguen de la proposicion 3.

3.20 Proposicion Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable esnumerable. Demostracion Es practicamente igual a la del ejercicio 5 de la

seccion 1 anterior y no la haremos para que el lector ponga algo de su parte.

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3.21 Proposicion Todo subconjunto de un conjunto contable es contable.Demostracion Como A ⊆ B → A � B, es una consecuencia inmediata de la

transitividad de la dominacion. Trivialmente N y N∗ son numerables; tambien

lo son segun la Proposicion 3.21, el conjunto de los naturales pares {0, 2, 4, 5, · · · }y el de los impares {1, 3, 5, 7, · · · }. Mas interesante es ver que Z tambien esnumerable; la funcion definida mediante el diagrama siguiente es una biyeccion.

{. . . ,−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . } = Z

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓{. . . , 9, 7, 5, 3, 1, 0, 2, 4, 6, 8, . . . } = N

Para el lector que crea que las funciones solo se definen por “formulas”, laanterior funcion f : Z → N se puede determinar ası:

f(n) = 2n si n ≥ 0 (f : Z → N)= −2n − 1 si n < 0

Es decir que

f1 : Enteros no negativos → Naturales Pares, con f1(n) = 2n yf2 : Enteros negativos → Impares, con f2(n) = −2n − 1,

son biyecciones con dominios y codominios disyuntos de modo que su unionf = f1 ∪ f2 es tambien una biyeccion. Nuevamente la proposicion 3.19 ponede presente que los conjuntos {2n | n ∈ Z} y {2n + 1 | n ∈ Z} de enterospares e impares respectivamente, son numerables, lo mismo que Z∗ = Z − {0}.Vayamos hacia la numerabilidad de conjuntos mayores.

3.22 Teorema N×N es numerable. Demostracion [Primera Demostracion:]

Como la funcion N → N × N definida mediante n → (n, 0) es trivialmenteinyectiva, entonces N � (N × N); si logramos probar que (N × N) � N ,el teorema de Cantor-Bernstein nos permite concluir inmediatamente que N ≈N×N . Para obtener (N×N) � N , es suficiente hallar una funcion f : N×N →N inyectiva. Una manera de hacerlo es tomar dos naturales mayores que 1 quesean primos relativos, por ejemplo 2 y 3 y definir f en la forma f(m,n) = 2m ·3n;es facil probar que f es inyectiva; si f(m,n) = f(p, q), 2m · 3n = 2p · 3q, pero 2m

divide a 2m3n, luego 2m divide a 2p3q y siendo 2 primo con 3, 2m divide a 2p, demodo que m ≤ p. Intercambiando los papeles en el argumento anterior, m = p yutilizando la propiedad cancelativa del producto en la igualdad inicial se deduce3n = 3q, luego n = q y (m,n) = (p, q). Demostracion [Segunda demostracion]

Que un conjunto sea numerable significa que podemos disponer sus elementos en

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sucesion infinita sin repeticiones de elementos, ya que si f : N → A es biyectiva,entonces

A = {f(0), f(1), f(2), · · · } = {a0, a1, a2, · · · }.con ai �= aj cuando i �= j. Se dice que esta es una numeracion biyectiva de A.

Representemos graficamente N × N y tracemos una sucesion de flechas, lascuales determinan la numeracion ( en forma diagonal) de los elementos de N×N ,como lo muestra el grafico adjunto.

El grafico puede interpretarse intuitivamente como un cordel que va pasandopor los puntos de N ×N , es decir, sobre el cual se van marcando los puntos deN × N ; si lo estirasemos, estos aparecerıan exactamente como uno marca lospuntos de N sobre una semirrecta con origen incluıdo.

La estrategia con que se recorre todo N × N fue creada por G. Cantor y esuno de sus famosos procedimientos diagonales. Puede modificarse para produciruna biyeccion f de N×N sobre N y convencer categoricamente al mas esceptico.Simplemente cambiamos el orden del recorrido, conservando la diagonalidad:

Comenzamos en (0, 0) (o sea que f(0, 0) = 0) y pasamos a (1, 0) y seguimosa (0, 1) (o sea que f(1, 0) = 1 y f(0, 1) = 2); saltamos a (2, 0) y continuamos

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a (1, 1) y a (0, 2) (o sea que f(2, 0) = 3, f(1, 1) = 4, f(2, 0) = 5); saltamos a(3, 0), · · ·

Si convenimos que “(0, 0) esta sobre la diagonal cero”, entonces (0, 1) y(1, 0) estan en la diagonal 1, y (2, 0), (1, 1) y (0, 2) estan en la diagonal 2, · · · .Observamos que todos los puntos (x, y) de la diagonal n son tales que x+y = ny que la diagonal n esta constituida por n + 1 puntos.

Ası para averiguar el sitio que ocupa en la sucesion un punto (x, y) (comen-zando a contar por 1), sumamos x + y; ası (x, y) esta en la diagonal x + y;sobre las diagonales anteriores hay 1 + 2 + 3 + · · · + (x + y) puntos; en la di-agonal x + y, el punto (x, y) ocupa el lugar y + 1, luego el punto (x, y) esta enel lugar 1 + 2 + 3 + · · · + (x + y) + (y + 1) (comenzando a contar por 1), o sea(x + y)(x + y + 1)

2+ y + 1; si comenzamos a contar por cero, (x, y) estara en el

lugar(x + y)(x + y + 1)

2+ y, es decir que f(x, y) =

(x + y)(x + y + 1)2

+ y es labiyeccion de N × N sobre N que estabamos buscando.

3.23 Corolario Z × Z∗ es numerable. Demostracion Como Z ≈ N y

Z∗ ≈ N , entonces (ejercicio 7 de la seccion 1 anterior) Z×Z∗ ≈ N ×N ≈ N . A

primera vista Z × Z∗ es mucho mas numeroso que Q, ya que los racionales sonclases de equivalencia de elementos de Z×Z∗ y hay menos clases de equivalenciaque elementos de Z×Z∗; esto implica que Q � Z×Z∗ y siendo Z×Z∗ numerable,Q sera contable, pero por ser infinito Q resultara numerable.

Para obtener realmente este resultado basta establecer de una manera rig-urosa que Q � Z×Z∗, para lo cual es suficiente demostrar que Q es equipotentecon un subconjunto (infinito) de Z × Z∗.

Sea Q = {(0, 1)} ∪ {(m,n) ∈ Z × Z∗ | n > 0 ∧ m primo relat. con n}.Evidentemente Q es un subconjunto infinito (∀k ∈ Z, (k, 1) ∈ Q) de Z ×Z∗

y en consecuencia numerable.

La funcion f : Q → Q dada por f(m,n) =m

nes una biyeccion puesto que

f(0, 1) = 0 y para m �= 0 se tiene quem

nno es otra cosa que la forma irreducible

de un racional y es conocido que todo racional no nulo posee una unica formairreducible.

Enunciemoslo formalmente:

3.24 Teorema El conjunto de los racionales es numerable. Sabemos que

un conjunto A es contable si y solo si existe una funcion inyectiva f : A → N ;pero segun el teorema 4, esto sucede si y solo si existe una funcion sobreyectivag : N → A. En esta forma obtenemos una estrategia alternativa para demostrarque un conjunto es contable: construir una funcion de N sobre A. Mejor aun:

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3.25 Teorema Un conjunto A es contable si y solo si dado cualquier con-junto B numerable, existe una funcion de B sobre A. Demostracion Como B es

numerable, hay una biyeccion h : B → N . Si A es contable, existe una funcionsobreyectiva g : N → A; la compuesta g ◦ h : B → N es la funcion sobreyec-tiva buscada. Recıprocamente si existe f : B → A sobreyectiva, la compuestaf ◦h−1 es una funcion de N sobre A, luego A es contable. Como una aplicacion

del teorema 3.25, demostraremos nuevamente que Q es contable: Sabemos queZ ×Z∗ es numerable, de manera que basta hallar una funcion de Z ×Z∗ sobreQ. La mas natural es aquella que a toda pareja (m,n) hace corresponder elracional m/n. Contrasta esta prueba tan sencilla con la anterior para la cualutilizamos la unicidad de la representacion de un racional como m/n con m yn primos relativos.

Como un corolario mas del teorema 3.22 se tiene el resultado siguiente:

3.26 Proposicion Si A1, A2, · · ·An (n ≥ 2) son conjuntos contables, suproducto cartesiano tambien es contable. Demostracion

a) Si A1 y A2 son contables, A1 � N y A2 � N , luego por la ultima partedel ejercicio 7 de la seccion 1, (A1×A2) � (N ×N), y siendo N ×N ≈ N ,por la proposicion 3 concluimos que A1 × A2 � N .

b) Supongamos que la propiedad vale para n y mostremos que tambien setiene para n + 1:

A1 × A2 × · · · × An × An+1 = (A1 × A2 × · · · × An) × An+1

y este ultimo producto es contable ya que tanto A1 ×A2 × · · · ×An comoAn+1 lo son, y por la parte a) la propiedad se cumple para dos.

Observemos que si todos los conjuntos son finitos, su producto tambien lo es ysi todos los conjuntos son no vacıos y al menos uno es numerable, su productocartesiano sera infinito y en consecuencia numerable.

De suma utilidad son los dos resultados siguientes:

3.27 Proposicion La union de una coleccion numerable de conjuntos conta-bles disyuntos dos a dos es contable. Demostracion Sea {A0, A1, A2, · · · } una

numeracion biyectiva fija de la coleccion numerable C de conjuntos contablesdisyuntos dos a dos; como cada uno de los Ak es contable, dispongamos sus el-ementos en una sucesion fija, Ak = {ak0, ak1, ak2, · · · } (finita o no segun lo sea

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Ak). Definamos una funcion f :⋃

n∈N An → N × N en la forma siguiente: Seax ∈ ⋃

n∈N An; como los An son disyuntos dos a dos, existe un unico k tal quex ∈ Ak; entonces x = akj con k, j unicos. Definimos f(x) = (k, j) haciendolecorresponder la pareja ordenada de sus subındices (x pertenece al conjunto k-esimo y en el ocupa el j-esimo lugar). Claramente f esta bien definida ya quelos conjuntos son disyuntos dos a dos y ademas es inyectiva ( si x �= y, difierenen el conjunto al cual pertenecen, o si estan en el mismo, difieren en el lugarque ocupan en la sucesion). Entonces

⋃n∈N An � N × N y como N × N ≈ N ,

entonces por la proposicion 3,⋃

n∈N An � N . Una forma mas tecnica de hacer

esta prueba es la siguiente: Debido a que cada uno de los An es contable, cadaAn es equipotente con un subconjunto An de N ; si Dn = {n} × An, trivial-mente An ≈ Dn y por transitividad, An ≈ Dn. Existe entonces una biyeccionfn : An → Dn; siendo disyuntos dos a dos tanto los dominios de las fn como loscodominios, su union es una biyeccion f =

⋃n∈N fn :

⋃n∈N An → ⋃

n=∈N Dn.

Como An ⊆ N , {n} × An = Dn ⊆ {n} × N luego⋃

n∈N Dn ⊆ ⋃n∈N{n} ×

N = N×N o sea que f establece una equipotencia entre⋃

n∈N An y un subcon-junto de N ×N , lo cual prueba que

⋃n∈N An es contable (por las proposiciones

3.19 y 3.20).

El mismo argumento sirve para el caso en el cual la familia en vez de numer-able es finita, luego “la union de una coleccion contable de conjuntos contablesdisyuntos dos a dos es contable”.

La condicion de ser disyuntos dos a dos se puede eliminar, ya que de no serlo,la union posee intuitivamente menos elementos que en el caso de ser disyuntos.

3.28 Teorema La union de cualquier coleccion contable de conjuntos con-tables es tambien contable. Demostracion Como la coleccion {A0, A1, · · ·An}

posee la misma union que la coleccion numerable {A0, A1, A2, . . . , An, ∅, ∅, ∅, . . . },basta considerar el caso numerable. Sea {A0, A1, A2, . . . } una coleccion numera-bles de conjuntos contables; definamos una nueva coleccion numerable ası: B0 =A0, B1 = A1 − A0, B2 = A2 − (A0 ∪ A1) y en general Bn = An −

(⋃n−1k=0 Ak

);

se observa que Bn ⊆ An, ası que los Bn son contables y disyuntos dos a dos;ademas

⋃∞n=0 An =

⋃∞n=0 Bn (el lector debe probar estas dos afirmaciones; vea el

ejercicio 9 de la seccion 3 del Cap. I), siguiendose inmediatamente el teorema porla proposicion 3.27. Como un ejemplo de su aplicacion probemos nuevamente

que Q es contable; para cada n entero mayor que cero, sea Zn = { p

n| p ∈ Z}:

trivialmente Zn ≈ Z, ası que Zn es numerable. Por el teorema 3.28,⋃∞

n=1 Zn

es contable, pero esta union es precisamente Q, ası que este es contable; siendoinfinito, es numerable.

Combinando este resultado con la proposicion 3.26 se obtiene que tambienQ × Q, Q × Q × Q y en general Qn, son contables.

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Terminemos esta seccion ilustrando la forma como se puede manipular unconjunto infinito y demostrando el teorema 8 usando funciones sobreyectivas.

Mostremos que N puede descomponerse en infinitos subconjuntos infinitosdisyuntos dos a dos: Como A0 tomemos el conjunto de los impares:

A0 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, · · · } = {2n + 1 | n ∈ N} ≈ N

obtengamos A1 multiplicando por 2 todos los numeros de A0:

A1 = {2, 6, 10, 14, 18, 22, · · · } = {2(2n + 1) | n ∈ N} ≈ N

En general,Ak = {2k(2n + 1) | n ∈ N} ≈ N .

Claramente todos los Ak son numerables y⋃∞

k=0 Ak = N − {0} = N∗. Ademassi i �= k, necesariamente Ai ∩ Ak = ∅ ya que la descomposicion de un naturalno nulo en la forma 2k(2m + 1) es unica.

Si (Ck)k∈N es una familia numerable de conjuntos contables, por el teorema7 existe para cada k una funcion fk : Ak → Ck sobreyectiva. Como los Ak sondisyuntos dos a dos,

⋃∞k=0 fk es una funcion de

N∗ =⋃∞

k=0 Ak en⋃∞

k=0 Ck tambien sobreyectiva. (ejercicio 12, seccion 3, Cap.II), luego de nuevo por el teorema 3.25 se concluye que

⋃∞k=0 Ck es contable.

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