conjuntos acotados
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Un conjunto A se dice que es un conjunto acotado, si está acotado superior e
inferiormente. Así por ejemplo los conjuntos B=
nn,
1, D = (-2,1) o E = [4,9) son
conjuntos acotados; mientras que non,24,,3 son conjuntos no acotados.
Un número real 0 x se dice que es el extremo superior del conjunto A si es la menor de
las cotas superiores. También se le llama supremo. Así por ejemplo, en el conjunto 1,2 el 1
es el extremo superior o supremo, en el conjunto 3,5 el 3 es el extremo superior o supremo,
en el conjunto B=
nn,
1el 1 es el extremo superior o supremo.
Un número real0
x se dice que es el extremo inferior del conjunto A si es la mayor de
las cotas inferiores. También se le llama ínfimo. Así por ejemplo, en el conjunto 1,2 el -2
es el extremo inferior o ínfimo, en el conjunto 3,5 el -5 es el extremo inferior o ínfimo, en
el conjunto B=
nn,
1el 0 es el extremo inferior o ínfimo.
Al supremo y al ínfimo de un conjunto se les llama máximo y mínimo respectivamente, si
pertenecen al conjunto del cual son cotas. Así por ejemplo el 3 es el supremo y además el
máximo del conjunto 3,5 , mientras que el 1 es el supremo del conjunto 1,2 , pero no es
el máximo de dicho conjunto ya que no pertenece a el 1,21 .
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Conjunto Acotado
Dícese del conjunto de elementos ordenados que consta de una mayorante, una minorante y un
subconjunto que contiene al resto de sus elementos. Y una parte de un todo
Conjunto Acotado en un espacio métrico
Sean M un espacio métrico y A un subconjunto de M. Se dice que A esta acotado si existe algún disco
abierto que lo contenga.
Conjunto Acotado en el conjunto de los números reales
Sean A un subconjunto de números reales y M un número real positivo. Se dice que A es acotado si existe
un M tal que para todo x ∈ A se verifica que |x| es menor o igual que M.
Conjunto Acotado Superiormente
Conjunto de elementos ordenados que consta de un supremo y un subconjunto que contiene al resto de
sus elementos. Decimos que y es cota superior para A si todos los elementos de A son menores o iguales
a y, llamamos supremo a la menor de las cotas superiores y, si el supremo pertenece al conjunto, también
decimos que es máximo.
Conjunto Acotado Inferiormente
Conjunto de elementos ordenados que consta de un elemento 'ínfimo' y un subconjunto que contiene al
resto de sus elementos.
Ejemplos
.El conjunto de números enteros positivos consta de un ínfimo, el 1, por lo que es un Conjunto
Acotado Inferiormente.
.El conjunto de los números enteros negativos consta de un supremo, el (-1), por lo que es un
Conjunto Acotado Superiormente.
.Un conjunto que conste de los números {-3, 0, 1, 5, 32, 120} consta de una mayorante (el 120), una
minorante (el -3) y un subconjunto que consta de los cuatro elementos restantes, por lo que es un
Conjunto Acotado.
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Mayorante
En matemáticas, particularmente en teoría del orden y de conjuntos, el mayorante o cota superior de un
subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P es un elemento de P mayor o igual que cualquier
elemento de S.
Entre todos los mayorantes o cotas superiores del conjunto P, se denomina supremo de S a la menor de
estas cotas superiores. Si, además, el supremo pertenece no sólo al conjunto P sino también a S se
denomina máximo de S.
Ejemplos
.Para el intervalo de números reales (0; 10]: 10 y 11 son mayorantes. 10 sería el supremo del
intervalo, y, como además pertenece al mismo, también sería el máximo.
. no tiene mayorante en .
Minorante
En matemáticas, particularmente en teoría del orden y de conjuntos, el minorante o cota inferior de un
subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P es un elemento de P menor o igual que cualquier
elemento de S.
Entre todos los minorantes o cotas inferiores del conjunto P, se denomina ínfimo de S a la mayor de estas
cotas inferiores. Si, además el ínfimo pertenece no sólo al conjunto P sino también a S se denomina
mínimo de S.
Ejemplos
Para el intervalo de números reales (0 ; 10]: 0 y -7 son minorantes. 0 sería el ínfimo, pero como no
pertenece al intervalo, no sería mínimo del intervalo.
Para este otro intervalo de números reales -5 y -23 son minorantes, mientras que 0 es su
ínfimo.
Supremo
Sea Ω un conjunto no vacío entre cuyos elementos hay definida una relación de orden ; sea
un subconjunto acotado superiormente y sea el conjunto de las cotas superiores de A. El
supremo de A (denotado por sup(A)) es la menor de las cotas superiores (en otras palabras:
es supremo de A si para todo ).
Si A está acotado inferiormente y es el conjunto de las cotas inferiores, se dice que
es ínfimo de A (denotado por inf(A)) si es la mayor de las cotas inferiores (en otras palabras:
es ínfimo de A si para todo ). Todo lo que vale para el supremo vale
para el ínfimo si se invierte la relación de orden.
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Propiedades
El supremo de un conjunto es siempre una cota superior del mismo, pero no tiene por qué pertenecer
a él. Cuando lo hace, se denomina máximo (lo mismo para el ínfimo, y entonces se denomina
mínimo).
Un conjunto acotado superiormente no tiene por qué tener supremo. Por ejemplo, si denota el
conjunto de los números racionales, y definimos , entonces
es el conjunto de todas sus cotas superiores. Pero no hay ningún
elemento que verifique la definición de supremo: elijamos el que elijamos, siempre habrá
otro elemento de C menor que él. (En este ejemplo, el supremo de A es el número que denotamos
que no es racional, sino irracional. Es necesario ampliar el conjunto de los números racionales
con los números irracionales dando lugar a , el conjunto de los números reales, para que todo
conjunto acotado superiormente tenga un supremo.)
Si existe el supremo de un conjunto, éste es único. En efecto, si s1 y s2 son ambos supremos de A,
entonces, por la definición, y también , con lo que s1 = s2, por la propiedad
antisimétrica de la relación de orden.
Ejemplos
Vencidad
En un espacio métrico, y con referencia a una posición particular p en X , son los puntos que
están a una distancia menor que de p.
Con símbolos se define así
Este tipo de conjunto desempeña el rol de ser el bloque básico del concepto de conjunto abierto (en
espacios métricos), pues a partir de él definimos el conjunto interior de A como
y entonces un conjunto A es abierto si .
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Cualquier objeto x que este en una se le dice que está -cercano a p (epsilon-
cercano).
Punto de acumulación
El concepto de punto de acumulación de un conjunto en un espacio captura la noción de estar
extremadamente cercano al conjunto sin pertenecer necesariamente a él. Generaliza la noción de límite en
.
También se utiliza como sinónimo: punto límite.
Dado un conjunto E y un punto p en un espacio métrico X , decimos que él es un punto de acumulación
para E , si cualquier ε-vecindad de p sin p, tiene intersección con E . Es decir, hay elementos de E que
están ε-cercanos a p y son diferentes de p mismo (dicha restricción no aparece cuando se trata de puntosde adherencia). En esta definición podemos ver que p puede o no estar en E .
Es posible generalizar el concepto a espacios topológicos reemplazando las ε-vecindades con conjuntos
abiertos.
Con símbolos
Si denota con E ' al conjunto de puntos límite de E , podemos definir conforme a:
si
Ejemplo
El intervalo (0,1) tiene como puntos de acumulación al intervalo [0,1].
Un conjunto finito no tiene puntos de acumulación (hay que tener en cuenta que siempre hablamos
de numeros reales (o complejos, o incluso de racionales en un intervalo en el que sepamos con
seguridad que no hay irracionales), pues no tendria sentido hablar del concepto "infinitamente
próximo" con los números enteros por ejemplo.
El conjunto de puntos de acumulación en Q es igual al de R, ya que Q es denso en R.
N no tiene punto de acumulación. Por lo tanto, cada punto en N es aislado.