Ligera Introducción a conceptos de

termodinámica: por: Víctor Hugo R.A

• Este es un diagrama del aparato usado por joule, su objetivo era el de encontrar cuanto trabajo se necesita para aumentar la temperatura de 1g de agua en 1°C.

• El aparato consta de un recipiente totalmente aislado, esto implica que no existe transferencia de calor entre el sistema y el medio, las pesas que se muestran en el diagrama poseen gracias a su ubicación y masa una cierta energía potencial, al caer dichas pesas se genera trabajo sobre el agua esto gracias a las poleas y al rotor el cual a su vez posee paletas de metal. Así joule encontró que si dejaba caer 772 libras desde la altura de 1 pie la muestra de agua elevaba su temperatura 1°F. En unidades modernas esto es equivalente a decir que es necesario el trabajo de 4,184J para elevar la temperatura de 1 gr de agua en 1°C, en base a esto se plantea lo que se conoce como “equivalente mecánico del calor” el cual establece que: 4.184J de energía mecánica es equivalente a 1 cal1 de energía térmica.

Experimento de joule:

4.184J de energía mecánica es equivalente a 1 cal1 de energía térmica

Equivalente mecánico del calor.

Primer principio de la termodinámica:

• Como se mencionó con anterioridad, el recipiente del aparato de joule se encontraba totalmente asilado, sin embargo existen situaciones en la que los sistemas poseen paredes conductoras que no se encuentran aisladas, esto implica que existirá una trasferencia de calor entre el sistema y el medio, en este caso el aumento en la energía interna del sistema dependerá de la cantidad de trabajo aplicada y de la cantidad del calor añadido al sistema a través de las paredes conductoras del recipiente , así pues , la cantidad de calor agregado al sistema menos el trabajo realizado sobre él es igual a la variación de la energía interna del sistema. Este enunciado es lo que se conoce como el primer principio de la termodinámica, el cual como se puede apreciar es una derivación del principio de conservación de la energía.

Primer principio de la termodinamica

• Es importante mencionar que el trabajo “W” es negativo si se habla de trabajo aplicado sobre el sistema y W se utiliza si se trata de trabajo realizado por el sistema, así mismo, “Q” es positivo cuando se le aplica calor al sistema y se usa –Q para referiste a calor que se extrae del sistema.

• En este punto que se tratan los términos de calor y trabajo es importante mencionar que tanto el calor como el trabajo no son funciones de estado, dichos conceptos no dependen de una situación inicial y final de un proceso, mas bien dependen de los detalles del proceso que se lleva acabo. U si es una función de estado al igual que lo son P,V y T. por tal motivo es importante tener en cuenta que es correcto decir que un sistema tiene una gran cantidad de energía interna pero no es correcto afirmar que un sistema tiene una gran cantidad de calor o de trabajo.

Q Tanto el trabajo como el calor no son funciones de estado.

Muchas de las maquinas que nos facilitan la vida diaria aprovechan el principio de que un gas al expandirse genera trabajo, maquinas como los motores de combustión interna son un claro ejemplo de la aplicación de dicho principio.

Antes de definir la forma en cómo se describe matemáticamente el trabajo realizado por un gas que se expande, es importante conocer lo que es un proceso cuasiestático, un proceso termodinámico se considera cuasiestático cuando sufre un cambio de un estado de equilibrio térmico a otro estado con suficiente lentitud de manera que en cualquier instante el sistema se encuentre en esencia en equilibrio térmico (aunque con diferente temperatura, presión o volumen), los procesos cuasiestaticos no existen: son idealizaciones.

trabajo y diagrama PV para un gas:

• Pensemos ahora en un cilindro con gas el cual posee un pistón móvil y dejemos expansionar el gas cuasiestaticamente, si queremos conocer el trabajo que realiza dicho gas sobre el pistón tenemos que basarnos en el fundamento del trabajo diferencial el cual afirma que para una fuerza F Y desplazamientos cuya distancia es dx, el diferencial del trabajo es igual a:

Donde en este caso F es la fuerza que ejerce el gas sobre el pistón y dx es el cambio de posición del pistón

• Ahora bien, sabemos que la presión está definida como P=F/A por la tanto el módulo de la fuerza ejercida por el gas sobre el pistón es PA, donde A es el área del pistón Y P es la presión del gas, sustituyendo la fuerza en nuestro fundamento de diferencial de trabajo tenemos:

• Sabemos que un área dada (A) multiplicada por una altura (dx) nos da como resultado un volumen (dv) por lo que al final tenemos:

como mencionamos, el trabajo no es una función de estado , Nótese que la d usada para expresar el diferencia de trabajo no es una d común, si no una letra delta minúscula, dicha letra expresa un diferencial inexacto el cual es una función matemática cuyo valor ya no depende exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables, sino que además, depende del camino seguido para producir estos cambios en los valores de las variables.

Para cambios finitos de volumen integramos dicha expresión:

Trabajo que efectúa el gas.

La presión y el volumen del gas se visualizan de manera adecuada en un diagrama P-V. Supongamos que el gas con volumen V1 y presión P1 iniciales experimentan un cambio cuasiestatico y se convierte en un volumen Vf y una presión Pf, el gas puede viajar de varias formas (procesos termodinámicos) entre sus estados inicial y final hacia otros estados de equilibrio termodinámico en el diagrama p-v. Cualquier que sea la trayectoria cuasiestática que siga el gas el trabajo que este realiza es el área bajo la trayectoria en el diagrama p-v. Esta área tiene dimensiones de presión por volumen o, en unidades del SI, joule.

Diagrama P-V de un proceso isotérmico, por definición tanto la presión como el volumen son variables mientras que la temperatura es constante.En este caso el área bajo la curva está dada por:

Un proceso en el que no existe flujo de calor ni entrante ni saliente del sistema se denomina proceso adiabático. Procesos como este se dan cuando el sistema está muy bien aislado o cuando el proceso ocurre muy rápidamente. E n este caso se hará el análisis de dicho proceso para cuando el sistema se encuentra perfectamente aislado. Consideremos la expansión adiabática cuasiestática de un gas durante la cual el gas, contenido en un recipiente se comprime lentamente mediante un pistón el cual realiza trabajo sobre el gas.

Para encontrar la ecuación que describe la curva adiabática de un gas ideal usare los fundamentos de la ecuación de estado del gas ideal PV=NRT y el primer principio de la termodinámica :

Si tomamos el principio de la termodinámica para cantidades pequeñas tenemos: Donde du es la diferencia de la función energía interna mientras que dQ y dW no son diferenciales de ninguna función de estado, esto solo indica cantidades pequeñas de calor adicional al sistema o de trabajo realizado sobre él.

Compresión adiabática para un gas :

Para poder seguir con la deducción de la ecuación pedida es necesario hablar acerca de las capacidades calóricas de los gases:Supongamos que tenemos un cilindro cuyas paredes están aisladas y cuya base es de un material conductor, dicho cilindro posee un pistón fijo, al aplicar calor en la base del cilindro la presión aumentara pero el volumen permanece constante, dado que el volumen no aumenta el gas no produce ningún trabajo, esto es:W=0

Por lo tanto usando el primer principio de termodinámica y considerando lo antes planteado tenemos:

Sé que el calor es igual a:

Por lo tanto sustituyendo obtengo:

Tomando el límite cuando tiende a cero:

Ahora, si se tiene un pistón móvil, al aplicar calor a la base conductora del cilindro el gas se expande manteniendo una presión constante y realiza trabajo positivo sobre el pistón.Según la definición de calor:

Y el primer principio de la termodinámica dicta que:

Sustituimos la “ecuación 1” en la expresión antes planteada y obtenemos:

Sustituimos la ecuación:

En nuestra ecuación anterior para tener:

para valores pequeños tenemos:

Capacidad calorífica a volumen constate

• Por definiciones anteriores se que aplicando esto la ecuación queda:

Nota: ya que se trata de trabajo realizado por el sistema utilizamos la convención de signos antes establecida, es por eso que se usa un signo positivo para el trabajo.

Ahora usare la ecuación de estado de los gases ideales y la diferenciare:

Como la presión no cambia Dp se hace cero quedando entonces:

Sustituyendo queda:

Podemos eliminar los dT quedando:

Reordenando queda:

Regresando al proceso adiabático acordamos que:

Sin embargo, como comentamos en un proceso adiabático no existe flujo de calor por lo que es igual a cero, por lo tanto el primer principio queda reducido a:

Según lo deducido con anterioridad la capacidad calórica a volumen constante esta dada por

Por lo que

Sustituyendo esto en la ecuación 2 tenemos:

Se también que el diferencial de trabajo está dado por: Por lo que obtengo:

Usando la ecuación de estado de los gases ideales:

Capacidad calorífica a presión constante

Al sustituir esto en la ecuación: Obtengo:

Simplificando:

Dividiendo todo primero entre y luego entre T obtengo:

Integrando todo indefinidamente obtengo:

Utilizando propiedades de los logaritmos llego a:

Sabiendo la definición de capacidad calorífica de un gas a presión constante:

Podemos deducir que Por lo que sustituyendo esto en el numerador del exponente del volumen de la ecuación 3 queda:

Simplificando:

Usando la ecuación del gas ideal: Eliminamos T de la ecuación:

Simplificando:

Solo para simplificar se acuerda que Quedando al final:

Proceso adiabático cuasiestatico