1

1

________________________________________________________________________________

CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES

La palabra Termodinámica procede de las palabras del griego therme (calor) y dynamis (fuerza).

El estudio formal de la Termodinámica empezó en los comienzos del siglo XIX a partir de las consideraciones sobre la potencia motriz del calor: la capacidad de los cuerpos calientes para producir trabajo. Hoy su alcance es mucho mayor, teniendo que ver, en general, con la energía y con las relaciones entre las propiedades de la materia.

Cualquier actividad en la naturaleza implica una interacción entre energía y materia, por ello es difícil imaginar un área que no se relacione con la termodinámica en algún aspecto.

Tradicionalmente la termodinámica ha abarcado el estudio de campos tan distintos como son: los dispositivos productores de potencia fijos y móviles, los procesos de refrigeración y acondicionamiento de aire, los expansores y compresores de fluidos, los motores de aviación y cohetes, los procesos químicos habidos en las refinerías de petróleo. Más recientemente se han desarrollado otras áreas de interés: el empleo de energía solar, la producción de energía a partir de fluidos calentados por fuentes geotérmicas, a partir del viento, a partir de las mareas, a partir del uso de la ∆T entre la superficie y el fondo del océano, etc. Se sigue estudiando el ciclo de potencia magneto-hidrodinámico (MHD) que genera electricidad haciendo pasar un gas a alta temperatura a través de un campo magnético. Otros procesos de interés son los que incluyen dispositivos termoiónicos y fotovoltáicos.

1.1 Dimensiones y unidades

Las dimensiones son nombres que caracterizan a las cantidades físicas. Ejemplos de dimensiones: L, t, F, m, T y carga eléctrica Qc.

En ingeniería, cualquier ecuación que relacione magnitudes físicas tiene que ser dimensionalmente homogénea: iguales dimensiones en ambos miembros. Esta homogeneidad se conserva después de cualquier operación matemática posterior, por lo tanto es una herramienta poderosa para la comprobación de la consistencia de una ecuación.

Las unidades son las magnitudes arbitrarias asignados a las dimensiones adoptadas como

estándares de medida. Ej. la dimensión primaria longitud puede medirse en pies, metros,....todas ellas son longitudes

arbitrarias que pueden relacionarse unas con otras mediante factores de conversión de unidades, o constantes unitarias.

Son factores de conversión de unidades: 60 s = 1 min, o

1min160

=s

Los términos de una ecuación se pueden multiplicar siempre por un factor de conversión ya que

siempre se puede multiplicar por la unidad.

TERMODINAMICA Departamento de Física - UNS Carreras: Ing. Industrial y Mecánica

2

2

El Sistema Internacional (SI) El SI utiliza siete dimensiones primarias: masa, long, tiempo, temperatura, corriente eléctrica,

intensidad luminosa y cantidad de sustancia. Cada unidad tiene una definición. Por ej. el metro se define como la 1.650.763,73 longitudes de

onda de la línea rojo-anaranjada de emisión de los átomos del criptón-86 en el vacío. El segundo: la duración de 20770.631.192.9 ± ciclos de una transformación específica del átomo

de Cesio. Cuando intervienen valores muy grandes o muy pequeños, se utilizan un conjunto de prefijos

para simplificar la escritura:

Múltiplos Prefijo Múltiplos Prefijo 1012 tera, T 10-1 deci, d 109 giga, G 10-2 centi, c 106 mega, M 10-3 mili, m 103 kilo, k 10-6 micro, µ 102 hecto, h 10-9 nano, n 101 deca, da 10-12 pico, p

La unidad de sustancia en el SI es el mol: es la cantidad de sustancia que contiene el mismo

número de partículas elementales (átomos, moléculas, iones, electrones) que átomos hay en 12 g de C12 puro.

El número de partículas por mol, 6,02205x1023, se conoce como el número de Avogadro, NA. En los cálculos de ingeniería a veces es útil expresar la cantidad de sustancia en (kmol), que es

1000 veces mayor que el mol.

El número de moles de una sustancia se define como: Mmn = , donde M es la masa molar

Ej. la masa molar del helio es 4,003 g/mol o 4,003 kg/kmol.

Todas las demás son unidades secundarias, que se derivan de las siete primarias. Ej., la unidad de fuerza (N) se deriva de la ley de Newton, F = m.a. (Cte de proporcionalidad: k = 1).

Se necesita una fuerza de 1 N para acelerar a una masa de 1 kgm a una razón de 1 m/s2:

Como 1 N = 1 kgm x 1 m/s2, se deduce que 1..1 2

=mkgsN

m

,

que es un factor de conversión que relaciona las unidades fuerza y masa.

3

3

El peso se refiere siempre a una fuerza. Cuando se dice que un cuerpo pesa una determinada cantidad, esto significa que es una fuerza con que el cuerpo es atraído hacia otro cuerpo, tal como la Tierra o la Luna.

Peso = m.g La aceleración de la gravedad varía con la distancia entre los dos cuerpos (ej, altura del cuerpo

respecto de la Tierra), por lo tanto el peso del cuerpo varía con la elevación, mientras que su masa permanece Cte.

El valor de la aceleración de la gravedad estándar al nivel del mar y a 45° de latitud es 9.80665 m/s2.

Sistema Inglés de unidades Se emplea en Estados Unidos. A veces lleva a confusiones, ya que define a la libra para designar

a la unidad de fuerza (lbf) como de masa (lbm). Por definición, una fuerza gravitatoria de una lbf acelerará a una lbm hacia la Tierra a la

aceleración estándar de 32,1740 ft/s2 ( 9.80665 m/s2) . Esta definición permite hallar un factor de conversión:

Como: 2174.321s

ftlblb m

f = , se deduce que 1174.32 2 =slbftlb

f

m

La unidad de sustancia en el sistema inglés es lbmol.

1.2 Sistemas cerrados y abiertos Un sistema termodinámico es una región del espacio tridimensional o una cantidad de materia

elegida para su estudio. La masa o región fuera del sistema recibe el nombre de alrededores o medio ambiente. La superficie real o imaginaria que separa al sistema de sus alrededores se llama frontera, la que

puede hallarse en reposo o en movimiento y puede variar de tamaño y de forma.

Frontera Sistema

Medio ambiente

4

4

Los sistemas serán cerrados o abiertos dependiendo que se elija para el estudio una masa fija o un volumen fijo en el espacio.

Sistema cerrado o una masa de control es un sistema en el que la masa no atraviesa la frontera. Aunque la cantidad de materia es fija, la energía puede atravesar sus fronteras. También puede cambiar la composición química dentro de la frontera.

Sistema abierto: tanto masa como energía pueden atravesar las fronteras elegidas. La región del espacio descripta se llama volumen de control. La frontera del volumen de control

se llama superficie de control que pueden ser reales o imaginarias. Cuando ni la masa ni la energía atraviesan la frontera el sistema se denomina sistema aislado.

1.3 Propiedades de un sistema Una propiedad es una característica de un sistema y su valor es independiente de la historia del

sistema. Generalmente una propiedad es medible directamente, por ejemplo, la presión P, el volumen V, la temperatura T, la masa m.

Sin embargo, no todas las propiedades son independientes. Algunas se definen en términos de otras. Por ejemplo, la densidad se define como la masa por unidad de volumen:

Vm

=ρ (kg/m3)

Las propiedades se clasifican en extensivas e intensivas: Consideremos un sistema subdividido en un conjunto de subsistemas. Una propiedad es extensiva si su valor para todo el sistema es la suma de los valores de los

distintos subsistemas o partes. (Ej.: V, energía, la cantidad de carga eléctrica). Generalmente se designan con letras mayúsculas ( a excepción de la masa).

Las propiedades intensivas tienen valores independientes del tamaño o de la cantidad de masa

del sistema. Las propiedades intensivas tienen un valor en un punto. Si se divide arbitrariamente un sistema monofásico en equilibrio en n partes. El valor de una propiedad intensiva será el mismo en cada uno de los n subsistemas. (Ej.: P, T, densidad, velocidad, concentración química).

Subsistema 1 E1, V1, P, T

Subsistema 2 E2, V2, P, T

Frontera del sistemaEsistema = E1 + E2 Vsistema = V1 + V2

5

5

Cuando una propiedad extensiva “Y” del sistema global se divide por la masa del mismo, la

propiedad resultante se denomina propiedad específica y = Y/m

Ejemplos: v = V/m (volumen específico), e = E/m (energía total específica).Las letras minúsculas representan propiedades intensivas y específicas. Con excepción de la P y T.

La densidad se define como la masa por unidad de volumen Vm

=ρ

La densidad relativa es el cociente entre su densidad y la del agua a una temperatura dada,

como 4°C, ó 20°C y 1 atm. Densidad relativa = ρ/ρagua

La densidad del agua a 4°C es cercana a 1,00 kg/L Volumen específico: volumen por unidad de masa, o sea el inverso de la densidad

ρ1

==mVv

Las unidades típicas para el volumen específico en el SI podría ser m3/kg o m3/kmol, ya que el

mol es una unidad de masa. Inversamente, la densidad molar = n/V, pordría expresarse en kmol/m3. El peso específico de una sustancia es el peso por unidad de volumen Pe = peso/volumen = mg/V = ρ.g Una fase es una cantidad de materia homogénea en cuanto a su estructura física y a su

composición química. Un sistema puede contener varias fases dentro de la frontera. Una estructura física homogénea requiere que la sustancia sea toda gas, toda líquida o toda sólida.

La homogeneidad en la composición química no exige una única especie. Las mezclas de gases como el aire atmosférico se consideran que forman una sola fase. De igual modo la disoluciones de líquidos miscibles.

Una sustancia pura designa a una sustancia con estructura química única (atómica o

molecular).

6

6

1.4 Estado y equilibrio

El estado de un sistema es la condición del sistema descripta por el valor de sus propiedades. Pero sabemos por experiencia que no es necesario especificar todas las propiedades para fijar un

estado. El número de propiedades que se requiere para fijar el estado de un sistema está dado por el postulado de estado:

El estado de un sistema compresible simple se determina completamente por dos propiedades intensivas independientes. Las propiedades de un sistema solo se pueden definir cuando el sistema se encuentra en

equilibrio. En un sistema aislado en equilibrio, el estado macroscópico del sistema no cambia con el tiempo.

Un sistema se encuentra en equilibrio termodinámico si no es capaz de experimentar un cambio finito, espontáneo, hasta otro estado sin un cambio finito del estado de su medio ambiente.

Por lo tanto, un sistema en equilibrio estable no puede cambiar su estado sin una interacción con su medio ambiente.

Entre las muchas clases de equilibrio se encuentran - el equilibrio térmico: requiere que la T sea uniforme en todo el sistema. - el equilibrio mecánico: requiere igualdad de fuerzas en todos los puntos. - el equilibrio de fases: se refiere a la ausencia de cualquier transferencia de una - especie química de una fase a otra. - el equilibrio químico: si no hay tendencia a ninguna reacción química.

Para que se cumpla la condición de equilibrio termodinámico deben estar presentes todas las

formas de equilibrio.

1.5 Procesos y ciclos Cualquier cambio que experimente un sistema de un estado de equilibrio a otro, se llama

proceso, y la serie de estados por la cual pasa un sistema durante un proceso recibe el nombre de trayectoria del proceso.

La descripción completa de un proceso consiste en la especificación de los estados de equilibrio

inicial y final, el camino y las interacciones que tienen lugar a través de las fronteras durante el proceso.

Un proceso cíclico, o ciclo, es un proceso en el que los estados extremos son idénticos. La variación de una propiedad intensiva “y” en un ciclo se expresa matemáticamente por:

∫ = 0dy

P

v

7

7

El recíproco de esta ecuación también es válido. Si la integral de una magnitud dy a lo largo de un ciclo arbitrario es cero, entonces y es una propiedad (función de estado).

Una propiedad tiene un valor fijo en un estado de equilibrio dado, independientemente como

llegue el sistema a ese estado. Ese valor único del cambio de una propiedad en un proceso con estados extremos 1 y 2 dados se describe matemáticamente mediante la diferencial exacta dy, de modo que

∫ ∆=−=2

1 12 yyydy

donde dy representa un cambio infinitesimal de una propiedad intensiva y. Por ej. un cambio infinitesimal en la P viene dado por dP.

El cambio finito del valor de una propiedad se denota mediante el símbolo ∆, por ej. ∆P. El cambio del valor de una propiedad ∆y representa siempre el valor final y2 menos el valor inicial y1

Las magnitudes termodinámicas se pueden dividir en dos categorías:

- Funciones de estado. Todas las propiedades son funciones de estado (dependen del estado inicial y final y no del camino).

- Funciones del camino o del proceso: Si Z representa una función de proceso extensiva, una cantidad infinitesimal (diferencial) de Z, en termodinámica se representa por δZ, mejor que dZ. (δ no es una diferencial exacta en el sentido matemático, sino una diferencial inexacta)

Así, su valor en un proceso finito viene dado por

12

2

1ZZ ≡∫ δ

donde Z12 es la suma de los valores de δZ a lo largo del camino elegido entre 1 y 2.

En la Fig. se muestra un diagrama y-x y un camino arbitrario entre los estados 1 y 2, siendo y y

x dos propiedades como son P y v. Con cada incremento del camino se asocia la cantidad δZ = ydx. La suma de estos valores de δZ para el proceso global es Z12. Un camino distinto conducirá a una Z12 distinto. Más adelante veremos que Q y W son dos funciones del proceso o del camino.

Cuando un proceso ocurre de tal manera que el sistema permanece infinitesimalmente cercano a

un estado de equilibrio en todo momento, se llama proceso cuasiestático o de cuasiequilibrio. Un proceso cuasiestático se considera lo suficientemente lento, como para permitir al sistema realizar un ajuste interno de manera que las propiedades en una parte del sistema no cambien más rápido que en otras.

Debe señalarse que un proceso de cuasiequilibrio es un caso idealizado y no una representación verídica de un proceso real. Pero varios procesos reales tienden a él y pueden modelarse como de cuasiequilibrio con un error insignificante.

y

x

1

2δZ= y dx

dx

8

8

Proceso de flujo estable

El término estable significa que no existe cambio del parámetro en relación con el tiempo. El opuesto es no estable o transitorio.

El término uniforme implica que no hay cambio en relación con la posición sobre una región especificada.

1.5 Presión

Se define como la fuerza normal por unidad de área que actúa sobre la frontera del sistema. En los sistemas en reposo, la P es uniforme en todas las direcciones alrededor de un volumen

elemental del fluido. Sin embargo, la P puede variar dentro del sistema en el caso de un fluido en presencia de un campo gravitatorio. Balance de fuerzas en un elemento de fluido de una columna de líquido:

Para líquidos, ρ es aprox. independiente de la presión. Además, g varía poco con la altura. Por lo

tanto si ρ y g son constantes: ∆P = P2 - P1 = -ρ g ∆z El signo surge de tomar z positiva hacia arriba, mientras que P disminuye .

La unidad básica de presión en el SI es el Pascal. 1 Pascal = Pa = 1 N/m2.

Presión absoluta: se mide respecto a la presión absoluta cero. Presión manométrica: es la diferencia entre la presión absoluta del fluido y la presión

atmosférica. (La mayoría de los instrumentos de medida miden P manométrica) Pabs = P0 + Pman Cuando la P atmosférica es mayor que la presión absoluta, la Pman es negativa: P de vacío.

Peso = mg = ρ (A dz )g PA

(P+dP)A

z dzdP = - ρg dz

Ec. general de la hidrostática

P0

0

Pman Pabs

Pvacío Pabs

9

9

Ej. P de vacío = +30 kPa, equivale a P manométrica de –30 kPa. Si P0 =100 kPa, Pabs = 70 kPa. Si no se aclara lo contrario, cuando hablemos de P será absoluta. A la presión atmosférica se la suele llamar presión barométrica.

Tubo de Bourdon: es otro manómetro. Es un tubo curvado con una sección elíptica y con un

extremo conectado a la zona donde quiere medirse la P, mientras que el otro extremo se conecta a una aguja indicadora mediante un mecanismo. Cuando el fluido bajo presión llena el tubo, la sección elíptica tiende a hacerse circular tensando el tubo. Este movimiento se transmite a la aguja. Es un manómetro: la lectura cero corresponde a la situación en la que el interior y el exterior del tubo están a la misma P.

Ejemplo: Gas en un cilindro-pistón vertical, en equilibrio mecánico. Hallar P

La presión del gas se obtiene del balance de fuerzas que actúan sobre el émbolo en sentido

vertical.

P gas

P0A

Peso émbolo

Pgas.A = P0A + Pesoémbolo

Pgas = P0 + Pesoémbolo/A

Fig. 2 Dispositvo para medir la presión barométrica

Fig. 3. Medida de la presión mediante un tubo de Baurdon

10

10

1.6 Temperatura Considérense dos sistemas inicialmente en equilibrio por separado. Si se los pone en contacto a

través de una frontera rígida común, existen dos resultados posibles:

- Que permanezcan inalterados macroscópicamente, esto es están en equilibrio térmico. - Que experimenten un cambio hasta un nuevo estado de equilibrio

Es un hecho experimental que el valor de una única propiedad sea suficiente para determinar si

los sistemas van a estar en equilibrio térmico cuando se los ponga en contacto a través de una frontera rígida común. Esta propiedad es la Temperatura.

Si tiene lugar una interacción, se dice que los sistemas tienen temperaturas distintas. Tal interacción seguirá hasta que las T se igualen.

La Ley cero de la termodinámica

Establece que si dos cuerpos se encuentran en equilibrio térmico con un tercer cuerpo, están en

equilibrio térmico entre sí. Si se sustituye al tercer cuerpo por un termómetro, la ley cero se enuncia de la siguiente manera: dos cuerpos están en equilibrio térmico si indican la misma lectura de temperatura, incluso si no se encuentran en contacto.

La Fig. muestra la aplicación de la ley cero a la medida de la T. Los sistemas A y B se

encuentran a las temperaturas TA y TB. Si TA = TC y TB = TC , entonces TA = TB, es decir, los sistemas A y B estarían en equilibrio térmico al ponerlos en contacto. El sistema C está representando al termómetro.

Propiedades termométricas

La T de un sistema se determina poniéndolo en contacto con un segundo cuerpo, el termómetro,

y permitiendo que alcance el equilibrio térmico. El valor de la T se obtiene midiendo alguna propiedad del termómetro dependiente de la temperatura.

Estas propiedades incluyen: - V de gases , líquidos y sólidos. (ej. termómetro familiar) - P de gases a V= cte. - Resistencia eléctrica. - Fem de dos sólidos distintos. - Efectos magnéticos (a T extremadamente bajas) - Intensidad de radiación ( a T altas)

Sistema C

Sistema A

Sistema B

11

11

Escalas de temperatura Todas las escalas de temperatura se basan en algunos estados fáciles de producir, como los

puntos de congelamiento y de ebullición del agua, llamados punto de hielo y el punto de vapor, respectivamente.

Actualmente, las escalas de temperatura utilizadas en el SI y en el sistema inglés son la escala Celsius (antiguamente llamada escala centígrada) y la escala Fahrenheit, respectivamente.

En termodinámica es deseable tener una escala de temperaturas que sea independiente de las

propiedades de cualquier sustancia. Una escala de temperatura de este tipo se denomina escala de temperatura termodinámica, la que se analizará más adelante, cuando se vea la segunda ley de la termodinámica.

La escala de temperatura termodinámica en el SI es la escala Kelvin (K) y en el sistema ingles es la escala Rankine (R).

Experimentalmente se prueba que el volumen de un gas

ideal aumenta a medida que aumenta la temperatura a presión constante. Las líneas A, B y C representan la misma masa del mismo gas ideal, a diferentes presiones.

Lord Kelvin, un físico inglés, a mediados del siglo XIX

observó que la extrapolación a cero de las diferentes líneas produce un punto de intersección común: -273.15 °C, el cero absoluto.

Una escala que es idéntica a la Kelvin es la temperatura de gas ideal. Esta asigna el valor 273,16

al estado en que coexisten agua sólida-líquida–vapor en equilibrio (punto triple). El punto triple del agua es 0,01 K mayor que el punto normal de congelación del agua. Esto es,

congela a 273,15 (a 1 atm) que se define como 0°C en la escala Celsius. T(°C) = T(K) –273,15

Observar que los ∆T en ambas escalas son iguales: ∆T(K) = ∆T(ºC)

3232212

00100

−−

=−−

yx

T(°F) = 1,8T(°C) + 32

K °C

Cero absoluto

0

-273.15 0

273.15

v

T °C -276.15 °C

A B

C

P = CTE

°C °F 212

32 0

100

x (°C) y (°F)

12

12

En el sistema inglés hay dos escalas.

T(R) = 1,8 T(K) ⇒ ∆T(R) = 1,8 ∆T(K) La T en grados Rankine se define arbitrariamente como 1,8 veces la temperatura Kelvin. La temperatura del punto triple del agua es, por tanto, 491.69 R. Con respecto a los incrementos

de T, se ve que 1 K = 1,8 R. La escala Fahrenheit se define como:

T(°F) = T(R) – 459.67 Termómetro de gas ideal a V = Cte

Utiliza como propiedad termométrica la presión de un gas mantenido a V = cte.

Termómetro de gas a V =cte

Kelvin Celsius Rankine Fahrenheit

373.15 K 273.15 K 0 K

100 °C 0 °C -273.15 °C

672 R 492 R 0 R

212 °F 32 °F -460 °F

100 unidades 180 unidades

Punto de ebullición del agua normal

Punto de fusión del hielo

Cero absoluto

13

13

El tubo de la izquierda se sube o se baja hasta que el nivel del mercurio de la parte derecha se encuentre en la marca. Entonces, la altura z de la columna de Hg es una medida de la presión manométrica del gas interior del tubo del termómetro. La altura z variará al cambiar la P del gas. La variación de P está directamente relacionado con la variación de la T:

Basándose en datos experimentales, graficados en la Fig., se observa que todos los gases tienen

el mismo Pv a una temperatura dada, si la P es extremadamente baja. Por lo tanto, Pv se puede utilizar como propiedad termométrica, independientemente del tipo de gas.

Si un termómetro contiene un gas a baja presión, en el límite cuando P 0, al ponerlo con

contacto con dos sistemas diferentes, se encuentra:

** )(PvPv

TT

= donde el (*) representa el estado de referencia.

Si el termómetro se mantiene a V= Cte, la ec. queda ** PP

TT

=

O sea, cuando el termómetro se pone en contacto con el sistema a medir, y luego con un sistema

de referencia, el cociente de las presiones del gas medidas permite evaluar la T del sistema real, relativa a un valor T* asignado a un estado de referencia. Si se elige la temperatura del punto triple del agua (273,16 K), la T de cualquier otro estado será

PTPPKT 16.273)( =

Por lo tanto, la T de una sustancia en un estado dado se puede determinar midiendo P cuando el

termómetro de gas se encuentre en equilibrio con la sustancia, y midiendo PPT cuando el termómetro está en equilibrio en el punto triple del agua.

A la escala de T basada en el termómetro de gas a V= Cte se la denomina generalmente escala

de temperatura de gas ideal. A pesar de que esta escala depende del comportamiento del gas, se puede demostrar que coincide

con una escala “absoluta” de T o escala termodinámica, en base al 2° Principio.

Pv

P

CO2

Argón

N2

0

T = Cte

14

14

Sensores de temperatura

En la actualidad existen numerosos tipos de termómetros o sensores de temperatura que pueden ser usados para diferentes aplicaciones. Algunos de ellos se indican a continuación:

Termómetro de mercurio en vidrio

o Rango nominal (°C): -10 a 300. o Propiedad termométrica: el volumen de un líquido.

Termorresistencia, RTD (Resistance Temperature Devices)

o Rango nominal (°C): -200 a 1200. o Propiedad termométrica: la resistencia de un conductor. o Se fabrican de alambres finos soportados por un material aislante y luego encapsulados. o Frecuentemente son de Pt. Como la relación resistencia-temperatura para el alambre de

Pt es tan reproducible, la termoresistencia de Pt se utiliza como estándar internacional de temperatura.

o El aspecto exterior de las termoresistencias industriales es prácticamente idéntico al de las termocuplas.

Termocupla

o Rango nominal (°C): -150 a 1500. o Propiedad termométrica: la tensión eléctrica generada por un par termoeléctrico:

Un termopar es un circuito formado por dos metales distintos que produce un voltaje que es

función de la diferencia de temperatura entre los extremos (efecto Seebeck)

Termistor

o Rango nominal (°C): -15 a 115. o Propiedad termométrica: la resistencia de un semiconductor. o Compuesto de una mezcla sintetizada de óxidos metálicos. o Los termistores sirven para la medición de T de gases, líquidos o sólidos. o Las configuraciones constructivas del termistor de uso más común son glóbulos, sondas

y discos. o Son muy pequeños: 0.15 - 1.30 mm de diámetro.

Pirómetro óptico

o Rango de medición de T: superiores al de cualquier instrumento.

fem T Hilo metálico A

Hilo metálico B

15

15

o Utiliza el hecho que todos los objetos a T por encima del cero absoluto emiten radiación electromagnética, que es función de la T. La cantidad de radiación electromagnética depende de la T del cuerpo. A mayor temperatura, más intensa es la radiación.

o Propiedad termométrica: compara el brillo de un filamento de una lámpara calibrada con el del objeto caliente.

o Respuesta rápida y exactitud excelente. o Pueden utilizarse para:

- realizar mediciones de precisión de temperaturas sin contacto. - medir T de objetos que se mueven. - medir T de objetos que no son accesibles. - medir T de objetos que serían dañados si se los conecta un elemento primario. - medir T promedio de superficies muy grandes.

Otros termómetros: Termómetro de gas, Integrado lineal, Diodos, etc.

Horno

Diagrama de un pirómetro de radiación visible

1 ___________________________________________________________________________

PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA, SIMPLE Y

COMPRESIBLE Homogénea Sustancia pura (composición química única) Heterogénea Fases de una sustancia pura - Sólido: - Líquido: - Gas: Ej. Fases del agua

Molécula de agua

Sólido Líquido Vapor Sistema simple: asociado con una sola forma de trabajo. Postulado de estado: “Se necesita una propiedad independiente por cada una de las formas en que la energía puede modificarse independientemente”. Número de propiedades independientes = número de interacciones de trabajo + 1 Nº Propiedades Indep. = 2 (sistemas cerrados)

Pequeñas distancias intermoleculares. Las moléculas se arreglan en un patrón tridimensional (red) que se repite en todo el sólido. Enlaces moleculares fuertes. Las moléculas vibran. Al aumentar T, se escapan grupos de moléculas. Estas ya no tienen posiciones fijas. Disminuyen las fuerzas de atracción. El volumen cambia poco. Grandes distancias. Movimiento al azar. Pequeñas fuerzas

intermoleculares. CE−

∝ T.

TERMODINAMICA Departamento de Física - UNS Carreras: Ing. Industrial y Mecánica

2 Superficie PvT de una sustancia que se contrae al solidificarse

P

v

P

T

3

Superficie PvT de una sustancia que se expande al solidificarse

P

v

P

T

Diagrama P-v del equilibrio de fases líquido-vapor para agua

Diagrama de fases del agua

5Ejemplos de procesos en diagramas Pv y PT

a) Vapor de agua sobrecalentado se enfría a P = Cte hasta el momento justo en que empieza a formarse líquido.

b) Una mezcla de líquido y vapor con un título de 0.60 se calienta a v = Cte hasta vapor saturado.

c) Una mezcla de líquido y vapor de agua con título 0.50 se calienta a T = cte, siendo su estado final vapor sobrecalentado.

d) Líquido saturado se calienta a P = Cte. El estado final es una mezcla líquido-vapor.

P

P

P

P

6

El modelo de gas ideal

TRnPV_

=

7

Pv = cte ( T=cte) Ley de Boyle Naturaleza de la energía de un sistema cerrado ETOT ETOT ETOT = (EC + EP)extr. + (EC + EP)intr. macroscópica U

ECintr. = EC rot. + EC trasl. + EC vibr.

EP

intr. : por las interacciones moleculares

ECextr. = EC rot. + EC trasl.

EP

extr. = EP gravit. + EP electr.. + EP magnet.

ETOT = EC trasl. + EP gravit. + U

mgzmCUETOT ++= 2

21 (propiedad extensiva)

H = U + PV (entalpía) h = u + Pv (entalpía específica)

EC

EP

Intrínseca

Extrínseca

8Calor específico

Indica la capacidad de almacenamiento de la energía. Es la energía requerida para elevar un grado la temperatura de una masa unitaria de sustancia. De acuerdo al postulado de estado, para una sustancia simple: x = f(y, z)

u = f(T, v) → dvvudT

Tudu

Tv

∂∂

+

∂∂

=

cv

Por definición v

v Tuc

∂∂

= Calor específico a v = cte

Por lo tanto, para cualquier fase homogénea

dvvudTcdu

Tv

∂∂

+=

Por otro lado, h = f(T, P) → dPPhdT

Thdh

TP

∂∂

+

∂∂

=

cP

Por definición P

P Thc

∂∂

= Calor específico a P = cte

dPPhdTcdh

TP

∂∂

+=

cP y cv para gases ideales u = f(T ) → dTcdu v= → ∫=−=∆ 2

1

)(12

T

T v dTTcuuu

h = f(T ) → dTcdh P= → ∫=−=∆ 2

1

)(12

T

T P dTTchhh

9Relaciones entre cP y cv de gases ideales

Rcc vP += ; −−−

+= Rcc vP ; v

Pc

ck =

Gases No-ideales Factor de compresibilidad: medida de la desviación del comportamiento de gas ideal

TRZnPV_

=

A distintas P y T los gases se comportan diferente, pero lo hacen en forma similar a T y P normalizadas respecto de Tc y Pc. Principio de los estados correspondientes: El factor Z para todos los gases es aproximadamente el mismo a la misma PR y TR.

10 Parámetros críticos de algunas sustancias

Otras ecuaciones de estado Ecuación de estado Virial

ó ....).´().´(1 2 +++= PTCPTBZ Ecuación de estado de van der Waals

( ) RTbvvaP =−

+ .2

Ecuación de estado de Beattie-Bridgemann

( )

−+

−= 232 1

vABv

vTC

vRTP

−=

vaAA 10

−=

vbBB 10

TC (ºC) PC (bar) He -268 2.3 CO2 31 73.8 H2O 374 220 N2 -146.8 34

...)()(1 2 +++=vTC

vTBZ

11Modelo de sustancias incompresibles Si v = cte

dvvudTcdu

Tv

∂∂

+= → dTcdu v=

ccc vv ==

)( 12 TTcu −≅∆ (Incompresibles)

)()( 1212 PPvTTch −+−≅∆

______________________________________________________________________

LA ENERGÍA

Y EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA

Transferencia de energía por calor, trabajo y masa

La energía es un concepto fundamental en Termodinámica y uno de los aspectos más relevantes del análisis en ingeniería. La energía puede almacenarse dentro de los sistemas en diversas formas macroscópicas. La energía también puede trasformarse de una forma a otra y transferirse entre sistemas (en forma de calor y de trabajo en el caso de sistemas cerrados). Ej.:

Cerrados

Sistemas

Abiertos Transferencia de Calor El calor se define como la forma de energía que se transfiere entre dos sistemas (o entre sistema

y medio) debido a una diferencia de temperatura. Note que el calor es energía en transición que se reconoce cuando atraviesa la frontera del sistema.

Unidades para el calor

Velocidad de transferencia de calor:

Q = dtQ [kJ/s] → dtQQ

t

t.2

1

[kJ]

Calor por unidad de masa: q = Q/m [kJ/kg]

Q

W

Cuerpo a T1 > T2 T2 Q Cuerpo a

T1 > T2

T2

Sistema adiabático

Q = 0

TW

Q

m

m , e = (u + ec + ep)

TERMODINAMICA Departamento de Física - UNS Carreras: Ing. Industrial y Mecánica

2Como se verá más adelante, existen tres mecanismos distintos para la transferencia del calor: Conducción: es la transferencia de energía de partículas más energéticas de una sustancia a las adyacentes menos energéticas, debido a las interacciones entre ellas.

dxdTkAQ cond

. Ley de Fourier de la conducción de calor

Convección: es el modo de transferencia de energía entre una superficie sólida y un líquido o un gas adyacente que está en movimiento.

)( sup fluidoconv TThAQ

Ley de enfriamiento de Newton Radiación: la radiación es la energía emitida por la materia mediante ondas electro- magnéticas (o fotones) como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas.

4sup, ATQ máxemit

Ley de Stefan-Boltzmann

Transferencia de energía por trabajo El trabajo mecánico, relacionado con el movimiento de un cuerpo rígido se define como: Transferencia de energía a través de la frontera del sistema asociada con una fuerza que actúa

a lo largo de una distancia. dxFW ext .

Una definición termodinámica de trabajo: Un sistema realiza trabajo sobre su entorno cuando el único efecto sobre cualquier elemento

externo al sistema podría haber sido la elevación de una masa.

Unidades de trabajo Trabajo: W [kJ] Convenio de signos

Trabajo específico: mWw [kJ/kg]

Potencia:

W = dtW [kJ/s]

Sistema

Q (+)

W (+)

Corte axial de un dispositivo Cilindro-pistón

3Diferencial exacta (dy)

y: es una propiedad o función de estado. El cambio finito de una propiedad se escribe:

2

112 dyyyy

Diferencial inexacta )( z

z: función del camino

2

1 1212 zzzz

Procesos cuasiestáticos o de cuasi-equilibrio

Es un proceso idealizado durante el cual el sistema está internamente, infinitesimalmente

próximo a un estado de equilibrio*, en todo momento. * equilibrio: ausencia de cualquier tendencia hacia un cambio en escala macroscópica.

Aunque sea una idealización, muchos procesos reales se pueden aproximar a esta condición de equilibrio ya que el tiempo para que alcancen el equilibrio interno es pequeño relacionado con el tiempo de cambio global (por ej. si el émbolo se mueve a bajas velocidades). Trabajo cuasiestático de expansión o compresión

dVA

FdxFW extext .

dVPW .

2

1.12

V

VdVPW

y

x

• •

(1)

(2)

Estados de equilibrio, definidos por sus propiedades

y

x

• •

(1)

(2)

ydxz

dx

V

P

P Pext

- Si Pext es levemente inferior a P, se expande cuasiestáticamente. - Si Pext es levemente superior a P, se comprime cuasiestáticamente.

F = P.A Pext

dx

P

V1 V2

W

1

2

4

fricción

V

V atmmotoreje WWWdVPW

2

1

.exp

Otros ejemplos de trabajo Resorte elástico: )(

21.. 2

122 xxkdxxkW

Alargamiento de una barra sólida:

Trabajo para acelerar un cuerpo:

dsdCmC

dtds

dsdCm

dtdCmF s

C

C

C

s

s s ECCmmCdCdsFW )(21 2

122

2

1

2

1

Trabajo eléctrico:

tIVqVWelect .. V: diferencia de potencial

q: carga; δq = I.dt

PdVW Feje

Ffricción

P0A

F = k.x

x

F=.A

x2 x1

.: esfuerzo normal

dxAW ..

2

P

V1 V2

1

2 W

P P

V1 V2

1

Wciclo

V1 V2

1

2

P

V1 V2

1

2 W

trayectoria cuerpo

F

Fs

Fn 0

s

Celda electrolítica

V -

+ I

-

5 Potencia transmitida por un eje:

.)/)(/(

RRCFW teje

En resumen, todas las interacciones de trabajo cuasiestático anteriores pueden expresarse en forma similar a la expresión del trabajo mecánico como el producto de una fuerza generalizada ( kF

) por la variación del desplazamiento generalizado ( kXd

), aunque los factores en una expresión de trabajo dada no tienen por qué ser fuerzas físicas y desplazamientos. Como resultado, la forma general para cualquier interacción de trabajo cuasiestático viene dada por

kk XdFW

.

Además de gases o líquidos en un dispositivo cilindro-pistón, también otros sistemas pueden considerarse sometidos a procesos de tipo cuasiestáticos. En tales casos, para aplicar el concepto de proceso cuasiestático es necesario imaginar una situación ideal en la que las fuerzas externas que actúen sobre el sistema varíen tan poco que la pérdida de equilibrio resultante sea infinitesimal. Como consecuencia, el sistema ejecuta un proceso en el que nunca se aparta significativamente del equilibrio termodinámico.

Observar que en el caso de la rueda de paletas que agita un gas o un líquido, el sistema sigue un proceso con estados de no equilibrio. Este proceso no será por lo tanto cuasiestático.

PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA

Entre todos los procesos que pueden llevar a un sistema cerrado desde un estado de equilibrio a otro, seleccionemos aquellos cuyas interacciones sistema-medio sean exclusivamente en forma de trabajo, esto es, procesos adiabáticos, por ejemplo:

(Estado1 Estado2) (Estado1 Estado2)

Gas

Weje

Motor : velocidad angular : Momento Ft: Fuerza tangencial R: radio

Q = 0

Weje gas

Q = 0

Batería

I

Weléctico

V

gas

6Se pueden emplear muchos procesos adiabáticos distintos para unir dos estados determinados, sin

embargo, experimentalmente se obtiene que el valor del trabajo neto hecho por o sobre el sistema es el mismo para todos esos procesos adiabáticos entre esos dos mismos estados.

Este postulado, basado en pruebas experimentales iniciadas por Joule a principios del siglo XIX, que no puede extraerse de ningún otro principio físico, se denomina primer principio y establece:

Cuando un sistema cerrado se altera adiabáticamente, el trabajo neto asociado con el cambio de estado es el mismo para todos los procesos posible entre los dos estados de equilibrio dados.

Es decir, depende solamente de los estados inicial y final. Como consecuencia de los errores

experimentales, es imposible probar que el trabajo neto sea exactamente igual para todos los procesos adiabáticos, sin embargo, la consistencia de diferentes experimentos apoya esta conclusión de modo que se adopta como principio fundamental, y es válido independientemente del tipo de trabajo o de la naturaleza del sistema cerrado.

Definición de la variación de energía Ya que el trabajo neto es el mismo para todos los procesos adiabáticos de un sistema cerrado

entre un par de estados definidos, puede concluirse que el trabajo adiabático define el cambio de alguna propiedad del sistema. Esta propiedad se llama energía (E).

E2- E1 = -Wadiabático

El símbolo E representa la energía total del sistema. En termodinámica técnica, el cambio de energía total del sistema se considera debido a tres

contribuciones macroscópicas: - Cambio de Ec: asociada con el movimiento del sistema como un todo, relativo al sistema

externo de coordenadas. - Cambio de Ep gravitatoria: asociada a la posición como un todo en el campo gravitatorio

terrestre. - Los demás cambios se incluyen en la energía interna del sistema.

E = Ec + Ep + U Ejemplos:

- Cuando se realiza trabajo comprimiendo un resorte, la energía se acumula dentro del resorte. - Cuando se carga una batería, la energía aumenta. - Cuando un gas o un líquido se agita vigorosamente, dejándolo alcanzar un estado de

equilibrio final, la energía del gas ha aumentado. En cada uno de estos casos, la energía del sistema no son ni Ec, ni Ep sino energía interna.

7Principio de conservación de la energía para sistemas cerrados

Si el sistema fuera no-adiabático, o sea, con interacción térmica, ahora el cambio de energía del

sistema no puede calcularse exclusivamente en función del trabajo realizado: Se encuentra experimentalmente que WA Wad WB Wad

Pero el sistema experimenta un único cambio de energía: E, siendo

E = -Wad

por lo tanto habrá otro cambio de energía involucrado además del trabajo: calor (Q)

Q = W - Wad

Q – W = E con un cambio de estado diferencial dEWQ

La ecuación de primer principio puede expresarse referida al tiempo, dividiéndola por un

intervalo finito de tiempo t y tomando el límite para t 0

t

Wt

QtE

netoneto WQ

dtdE

Proceso No-adiabático

(1)-

(2)

Wad

Proceso adiabático

WA

WB

y

x

Primer principio de la termodinámica para

sistemas cerrados

8Balance de energía para sistemas cerrados

PC EEUWQ

)()(21)( 12

21

2212 zzmgCCmUUWQ

Los términos de la izquierda de la igualdad representan las energías intercambiadas a través de la

frontera, y los de la derecha son propiedades del sistema. O dicho en palabras: Para sistemas cerrados en reposo

Qneto – Wneto = U Otra forma de expresar el primer principio es:

La energía de un sistema no puede ser creada ni destruida, sino solo transformada de una forma en otra.

Para un ciclo WQ

ciclociclo WQ De aquí que otra forma de enunciar el primer principio es:

En todo proceso cíclico, la integral cíclica del calor es proporcional a la integral cíclica del trabajo.

Cambio en la cantidad de energía contenida dentro del sistema

durante dicho intervalo de tiempo

-

Cantidad neta de E transferida al sistema a

través de su frontera por transferencia de Q

durante un intervalo de tiempo

=

Cantidad neta de E transferida fuera del sistema

a través de su frontera por W

durante el intervalo de tiempo

P

v

9Experiencia de Joule (1843) Durante ella se realiza la expansión libre de un gas que se comporta como ideal. A partir del gas en equilibrio, se abre la válvula y se registran las temperaturas de ambos

termómetros. Se encuentra que ninguno varía respecto del valor inicial. Calorímetro adiabático

Q – W = U por lo tanto

U = 0

Durante la experiencia P y v cambiaron, y a pesar de ello, U = cte, por lo que la energía interna no es función de la presión ni del volumen para un gas ideal, solo es función de la temperatura.

u = u(T)

para un gas ideal

agua

TA1 Tm

A vacío

4

4

Compresores y bombas (P2 > P1) Los compresores son dispositivos en los que se realiza trabajo sobre el gas que los atraviesa con el objetivo de aumentar la presión. En las bombas, el trabajo consumido se utiliza para cambiar el estado líquido que circula por ellas.

W (-) Las simplificaciones de los balances de materia y energía para compresores y bombas es similar a la realizada para turbinas. En los compresores rotativos, los Ec y Ep son pequeños comparados con el trabajo. En una bomba, la mayor parte del trabajo se emplea en aumentar la energía potencial. La transmisión de calor es también un efecto secundario en compresores y bombas, aunque en los compresores alternativos, el calor intercambiado no siempre es despreciable.

)()(21)( 121

22

212 zzgCChhmWQ vcvc

)( 12 hhmWvc

Bombas: (líquido incompresible) u = u(T,v) = u(T)

Pvuh PvPvTch Pvh Intercambiadores de calor Un tipo común de intercambiador de calor es un recipiente en el cual se mezclan directamente las corrientes caliente y fría, llamados Intercambiador de mezcla cuando forman parte de equipos de aire acondicionado o calentadores abiertos de agua de alimentación en plantas de potencia. Otro ejemplo son la mezcla de corrientes de agua caliente y fría de la ducha. Recuperadores: son otro tipo de intercambiador. Un gas o líquido está separado de otro gas o líquido por una pared a través de la cuál puede pasar energía por conducción. Pueden adoptar formas diferentes. Las configuraciones en contracorriente y paralelo de tubos concéntricos se ven en la Fig.

(si la compresión es en cuasi-equilibrio, T1 = T2; como lo comprobaremos con el 2 principio.

5

5

Otras configuraciones son las de flujos cruzados, como en los radiadores de automóvil. Y la de paso múltiple en condensadores y evaporadores de casco y tubo.

Los únicos intercambios de trabajo en la frontera del VC que encierra un intercambiador es el

trabajo de flujo en los lugares donde entra y sale materia, por lo tanto vcW

= 0 El calor entre el VC y el medio es generalmente muy pequeño y puede despreciarse, lo mismo que

Ec y Ep. En estado estacionario:

Proceso (1-2): 21

mmdt

dmvc Ammm

21

Proceso (3-4): 43

mmdt

dmvc Bmmm

43

eessvcvc ememWQ 31240 emememem BAAB

)()(0 1234 eemeem AB

)()(0121212343434 pcApcB eehmeehm

)()( 3412 hhmhhm BA

BA QQ

dado que, para cada corriente hmQ

(P = Cte) Ejemplo de balances másicos en una cámara de mezclado y en un codo T de la mezcladora de agua caliente-fría:

Q

0

Q Bm

(2)

(3)

(4)

C.M.

Q = 0 W = 0 (1)

(2) (3)

eC = eP =0

1

m 2

m

3

m

Am

(1)

6

6

0

sevc mm

dtmd

0)( 321

mmm

0)( 332211

hmhmhm Dispositivos de estrangulación

Se puede conseguir una disminución significativa de la presión de una manera simple: introduciendo una obstrucción en el conducto por el que fluye un gas o un líquido. Por lo general esto se realiza con una válvula parcialmente abierta, un tapón poroso o un tubo capilar. Para un VC:

Los balances de materia y energía dan

210

mm

)()(21)( 121

22

212 zzgCChhmWQ vcvc

Normalmente no existe una transferencia significativa de calor con el medio y el cambio de energía

potencial es despreciable. Con estas idealizaciones, los balances de materia y energía dan:

)(

21)( 1

22

212 CChh

Las mediciones muestran que el cambio de velocidades corriente arriba y corriente abajo del área reducida puede despreciarse. Con esta simplificación adicional: h1 = h2 Para el caso particular en el que es sistema sea un gas ideal T1 = T2

Si el sistema no fuera un gas ideal, al pasar por una válvula el fluido se podrá calentar o enfriar según las condiciones del problema, como lo veremos más adelante con el nombre de efecto Joule-Thompson.

7

7

Calorímetro de estrangulación Este dispositivo permite medir el título del vapor que circula por el conducto (mezcla bifásica

líquido-vapor a P1). Una pequeña fracción del flujo transportado se deriva a través del calorímetro y se libera a la atmósfera a P2 = P0 y T2.

luego h2 = h1 = hL1 + x1(hv1 – hL1) x1 Transferencia de calor en el VC

Observar que cuando se transfiere calor en estado estacionario como en el caso de la Fig. a través de la pared plana, CteQ

.

En estado estacionario, las propiedades del sistema no cambian con el tiempo, y por lo tanto la

ecuación del primer principio se simplificará:

ss

ssee

eevcvcvc gzChmgzChmWQ

dtdE

22

22

o sea, el flujo de calor neto es cero, de allí

0

saleentraVC QQQ

saleentra QQ

entraQ

saleQ

V.C.

Restricción

El vapor derivado sufre un proceso de estrangulación, por lo tanto, los balances de masa y energía se reducen a h1 = h2. Con el estado (2) definido ya que se pueden medir P2 y T2 h2 (de tablas de vapor sobrecalentado)

1

1

EJEMPLOS DE SISTEMAS ABIERTOS (VC) EN ESTADO ESTACIONARIO

Estado estacionario: 0dtmd vc y 0

dtdEvc

Se considerará flujo unidimensional en la zona de entrada y de salida. También se asume que en

dichas zonas son aplicables las relaciones de equilibrio entre las propiedades termodinámicas.

En varios ejemplos,

Q = 0 por resultar muy pequeño al compararlo con otros intercambios de energía.

Esta hipótesis puede provenir de uno o más de los siguientes hechos: - La superficie externa está bien aislada térmicamente. - La superficie externa es demasiado pequeña para que exista una transferencia de calor efectiva. - La T entre el VC y el entorno es demasiado pequeña por lo que puede ignorarse. - El gas o el líquido pasa demasiado rápido por el VC y no existe tiempo suficiente para que haya

transferencia de calor efectiva.

El término

W = 0 cuando: - no existan ejes rotativos, - desplazamientos de la frontera - efectos eléctricos u otros mecanismos de transferencia de trabajo asociados al VC.

Ejemplo de conservación del caudal masa

Por un conducto cuyo diámetro varía de 20 a 40 mm circula agua. Si en la sección de 20 mm la velocidad es de 40 m/s, determine la velocidad en la sección de 40 mm. Calcule también el flujo másico.

Aplicando la ecuación de continuidad, y haciendo 1 = 2 (flujo incompresible)

sevc mm

dtdm

siendo CAm

2211 ACAC

4

)04.0(4

)02.0(4022

2 C C2 = 10 m/s

El caudal másico es skgsmmmkgACm /57.12/404

)02.0(/00.1 22

311

2

2

Turbinas Una turbina es un dispositivo en el que se produce trabajo como resultado del paso de un gas o líquido a través de un sistema de alabes solidarios a un eje que puede girar libremente. Las turbinas son utilizadas en centrales de vapor (térmicas y nucleares), en centrales de turbina de gas y como motores de aviación. En general, un vapor sobrecalentado o un gas entra a la turbina y se expande hasta una presión menor de salida produciendo trabajo. Para una turbina en estado estacionario los balances de materia y energía pueden reducirse hasta dar:

)()(21)( 121

22

212 zzgCChhmWQ vcvc

Generalmente: )( 12 hhmWvc

ya que en muchos casos, el término Ep y Ec es despreciable. La única transferencia de calor entre la turbina y su entorno es la inevitable pérdida de calor, pero ésta es a menudo pequeña en relación al trabajo y a h. Para que ep = 1 kJ/kg................... z = 102 m Para que ec = 1 kJ/kg................... Toberas y difusores La tobera es un conducto de sección variable en el que la velocidad del gas o líquido aumenta en la dirección del flujo. En un difusor el gas o líquido se desacelera en la dirección del flujo.

C1 [m/s] C2 [m/s] 1 45 500 502

Tobera C2 > C1 P2 < P1

Difusor C2 < C1 P2 > P1

)(

W0

Q

3

3

Las toberas y difusores para flujos de gas a elevada velocidad también pueden estar constituidas por una sección convergente seguida de una sección divergente.

Número de Mach. En las toberas y difusores, el único trabajo intercambiado es el trabajo de flujo en las secciones de

entrada y salida del VC, por lo tanto vcW

= 0. Ep es despreciable en la mayoría de los casos. Por lo tanto, los balances de materia y energía en estado estacionario darán

2

.

1

.mm

dtdmvc

)()(21)( 121

22

212 zzgCChhmWQ vcvc

El flujo de calor es a menudo tan pequeño en comparación a los términos de Ec y h, que se

desprecia.

)(21

12

22 CCh

Aún cuando pueden aplicarse las relaciones de equilibrio entre las propiedades a la entrada y a la salida del VC, los estados intermedios del fluido no son necesariamente estados de equilibrio (por ello la línea discontinua). Las toberas y los difusores se utilizan en turbinas de gas para propulsión aérea.

subsónico supersónico

M = C/c =1

C

T

v

P1

P2 Ej.: vapor sobrecalentado que se expande en una tobera

1

1

_________________________________________________________________________

PRIMER PRINCIPIO - SISTEMAS ABIERTOS

Son ejemplo de sistemas abiertos equipos tales como: turbinas, bombas y compresores. Para su estudio se utiliza un volumen de control (VC), en lugar de una masa de control. CONSERVACIÓN DE LA MASA PARA UN VOLUMEN DE CONTROL Balance de materia

En la Fig. se observa la masa (una cantidad fija de materia, m que ocupa diferentes regiones del espacio en el tiempo t y (t + t) La masa en consideración es:

m = mvc(t) + me donde mvc(t) es la masa contenida en el volumen de control y me, la masa contenida en una pequeña región e, adyacente al VC. Vamos a estudiar la cantidad prefijada de masa m en el transcurso del tiempo.

En t, toda la masa de la región “e” atraviesa la frontera del VC, mientras que algo de masa (ms), inicialmente contenida en el volumen de control, sale para llenar la región “s” adyacente al VC. En un tiempo (t + t), la cantidad de masa en consideración puede expresarse como

m = mvc(t + t) + ms

Observar que las cantidades de masa en las regiones e y s no son iguales y que la cantidad de masa contenida en el volumen de control puede haber cambiado. Aunque el sistema ocupa diferentes regiones del espacio, siempre consiste en la misma cantidad de materia.

mvc(t) + me = mvc(t + t) + ms reordenando

mvc(t) me

ms mvc(t+t)

TERMODINAMICA Departamento de Física Carreras: Ing. Industrial y Mecánica

2

2

mvc(t + t) - mvc(t) = me - ms

O sea, el cambio en la masa en el VC durante t es igual a me - ms. Esta ecuación se puede expresar respecto a la unidad de tiempo. Primero se divide por t:

mvc(t + t) - mvc(t) = me - ms t t t El primer término representa la velocidad media del cambio de masa en el VC durante el intervalo t. Los términos del 2do miembro representan a la masa que atraviesa la frontera del VC y son los valores medios del flujo másico en dicho intervalo.

La velocidad instantánea puede obtenerse considerando el límite cuando t tiende a 0, en este límite el sistema coincide con el VC.

dt

dmt

tmttm vcvcvc

t

)()(lim

0

donde dt

dmvc representa la velocidad de cambio de masa contenida dentro del VC en el tiempo t.

En el límite cuando t 0, los términos del segundo miembro resultan

ee

tm

tm

0lim y s

s

tm

tm

0lim

em

y sm

son los flujos o caudales másicos instantáneos a la entrada y a la salida, respectivamente.

También para

W y

Q , los puntos representan velocidades de transferencia. En resumen, en el límite

sevc mm

dtdm

En general, podría existir distintas zonas de la frontera a través de las cuales la masa entra o sale.

Sumando todas ellas:

sevc mm

dtdm

(1)

3

3

o en palabras = - En el SI, la unidad es kg/s. Hipótesis importantes para definir modelos

La resolución de problemas de ingeniería requiere que se desarrolle un modelo que simule las características esenciales del sistema real. Hay ciertas hipótesis que se utilizan con frecuencia: Flujo unidimensional:

- El flujo es normal a las áreas de la frontera por donde entra o sale el volumen de control. - Todas las propiedades intensivas (incluyendo la velocidad y la ) son uniformes sobre las áreas

de entrada y salida.

Por lo tanto, las propiedades varían solo en la dirección del flujo. Esto es una aproximación al comportamiento real. Por ej., en un conducto, la velocidad suele variar desde cero en la pared hasta un valor máximo en el centro de la sección transversal (la forma del perfil de velocidades se determina mediante la mecánica de fluidos). Así se toma un único valor de velocidad (por ej. el valor medio)

Para estos casos, el flujo de materia es CAm

o en términos del volumen específico:

v

CAm .

Caudal másico o flujo másico [kg/s]

Siendo C la velocidad del flujo gaseoso o líquido, a la entrada o a la salida.

Velocidad de cambio de la masa contenida en el VC en el instante t

Flujo másico total que entra al VC en el instante t

Flujo másico total que sale al VC en el instante t

Perfil real Perfil medio

4

4

La cantidad CA es:

vmmCAV

Caudal volumétrico o caudal [m3/s]

Esta ecuación relaciona los caudales másicos y volumétricos. A menos que la densidad sea Cte, los flujos volumétricos a la entrada y a la salida son distintos. Estado estacionario

En ingeniería, muchos sistemas pueden idealizarse como si se encontraran en estado estacionario, o sea que todas las propiedades son constantes con el tiempo en cualquier posición dentro y sobre las fronteras del sistema. Estas propiedades incluyen las intrínsecas: T, P, y energía interna específica. extrínsecas: velocidad o altura O sea que el comportamiento del sistema es independiente del tiempo.

La cantidad total de materia presente en cualquier instante en el VC es Cte, entonces dt

dmvc = 0

Entonces ss

ee

mm

ss

ee CACA )(

esto es, los caudales másicos totales entrantes y salientes son iguales.

La igualdad de los caudales totales de masa entrante y saliente no significa necesariamente que el VC se encuentra en estado estacionario, pues si bien la cantidad total de masa contenida en el VC en todo instante será Cte, otras propiedades como la T o la P podrían variar con el tiempo. Cuando el VC está en estado estacionario, toda propiedad es independiente del tiempo. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA PARA UN VOLUMEN DE CONTROL

El sistema está constituido por una cantidad de materia “m” que ocupa diferentes regiones en el instante t y en un tiempo posterior (t + t).

Se supone que el VC tiene forma y tamaños fijos. En el instante t, la masa de control ocupa la región del VC y la pequeña región situada a la entrada (e) La masa e es tal que después de t, toda la masa me entra en el VC. Sin embargo, durante ese período, parte de la masa del VC queda afuera de éste.

Ec. de continuidad

5

5

En el tiempo t, la energía del sistema bajo consideración es

e

eeevc gzCumtEtE

2)()(

2

donde Evc(t) es la suma de las energías interna, cinética y potencial de la masa contenida por en volumen de control en el tiempo t. El segundo término del segundo miembro contabiliza la energía asociada a la me. En el intervalo t, además de entrar la me y salir la ms, pueden haber transferencias de Q y W. En el instante (t + t), la energía del sistema es:

s

sssvc gzCumttEttE

2)()(

2

Aunque la masa total m bajo consideración ocupa diferentes regiones del espacio en tiempos distintos, se trata de la misma cantidad de materia. En consecuencia, puede aplicarse el balance para un sistema cerrado:

E(t + t) - E(t) = Q – W Introduciendo las ecuaciones anteriores:

s

sssvc gzCumttE

2)(

2

-

e

eeevc gzCumtE

2)(

2

= Q – W

reordenando

)( ttEvc - )(tEvc = Q – W +

e

eee gzCum

2

2

-

s

sss gzCum

2

2

ze

En el tiempo t pueden existir transferencia de energía por Q y W

me

Evc(t) Volumen de control

ee = ue + Ce2/2 + gze

zs es = us + Cs2/2 + gzs

ms Evc(t+t) Volumen de control

6

6

Aplicando un procedimiento de aproximación al límite: primero se divide por el intervalo t

t

gzCumt

gzCumt

Wt

Qt

tEttE sssseeeevcvc

2/2/)()( 22

Luego se considera el límite de cada término cuando t 0. El primer término se transforma en

dtdE

ttEttE vcvcvc

t

)()(lim

0

donde dt

dEvc es la velocidad instantánea con que cambia la energía contenida en el VC.

Consideremos ahora el término de transferencia de calor. Conforme t 0, las fronteras del

sistema y las del VC tienden a coincidir y por lo tanto el calor transferido al sistema es también el calor transferido al VC. En el límite

Q

tQ

t 0lim

Igual razonamiento sirve para el trabajo.

Q y

W son flujos de energía que cruzan la frontera del VC en el instante t. Los términos restantes se transforman respectivamente en:

)2/(/)2/(lim 22

0 eeeeeeeetgzCumtgzCum

)2/(/)2/(lim 22

0 sssssssstgzCumtgzCum

donde

sm y

em son los flujos de materia.

Originalmente hemos supuesto propiedades intensivas uniformes para cada una de las masas me y ms, que atraviesan la frontera del VC. En consecuencia, en el paso a los límites anteriores, esto equivale a suponer flujo unidimensional a través de las áreas de entrada y salida.

7

7

En resumen, la ecuación de balance de energía para el VC es

ess

ssee

eevc gzCumgzCumWQ

dtdE

22

22

La ecuación muestra que además de calor y trabajo, existen otra forma en que la energía puede

transferirse a través de la frontera del VC: mediante la energía que acompaña la masa que entra o sale. Si no existe transferencia de masa en el VC, la ecuación se reduce a un balance de energía para un

sistema cerrado.

WQdt

dEvc

Trabajo para un volumen de control

La ecuación (2) se la expresa en otra forma más conveniente para las aplicaciones prácticas. Para

ello modificaremos el término

W que representa la transferencia neta de energía como trabajo a través de toda la frontera del VC. Resulta conveniente separar el trabajo en dos contribuciones:

- Una asociada con la presión del fluido cuya masa se introduce en las entradas y se evacua en las salidas.

- La otra, llamada Wvc, incluye todos los otros trabajos, como los asociados con ejes rotativos, desplazamiento de la frontera, efectos eléctricos, magnéticos y de tensión superficial.

Consideremos el trabajo a la salida asociado con la presión. Recordando que

CFW

.

La velocidad a la que se realiza trabajo a la salida es el producto de la fuerza normal a la superficie de salida en dirección del flujo, Ps As , debida a la presión, por la velocidad del flujo Cs. = Ps As Cs Habrá una expresión similar a la entrada Por lo tanto

eeesssvc CAPCAPWW

Velocidad de transferencia de energía por trabajo desde el VC

en la salida

(2)

Cs

Ce

Wvc

8

8

donde, de acuerdo con el convenio de signos para el trabajo, el término de entrada tiene signo negativo( trabajo realizado sobre el sistema).

Con vmAC

se tiene

)()( eeesssvc vPmvPmWW

los dos últimos términos contabilizan el trabajo asociado con la presión de entrada y salida.

Normalmente reciben el nombre de trabajo de flujo. El termino

vcW engloba todas la demás transferencias de energía en forma de trabajo a través de la frontera del VC. Formas del balance de energía para el volumen de control Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación (2)

ess

ssssee

eeeevcvcvc gzCvPumgzCvPumWQ

dtdE

22

22

y considerando a la entalpía específica h = u + Pv

ess

ssee

eevcvcvc gzChmgzChmWQ

dtdE

22

22

En la práctica pueden existir distintas zonas de la frontera a través de las cuales entra o sale materia. Esto se tiene en cuenta introduciendo sumatorias como en el balance de masa.

ss

ssee

eevcvcvc gzChmgzChmWQ

dtdE

22

22

Esta ecuación representa un balance contable de la energía en el VC. Establece que el incremento o disminución de energía dentro del VC es igual a la diferencia entre la energía que entra o sale por la frontera. Pueden intercambiarse calor y trabajo como para los sistemas cerrados, además de la energía que acompaña a los flujos de materia.

Esta ecuación es la forma más general del Principio de conservación de la energía.

(3)

9

9

ANÁLISIS DE SISTEMAS ABIERTOS EN ESTADO ESTACIONARIO

Varios equipos de interés en termodinámica técnica funcionan en estado estacionario: turbinas, compresores, toberas e intercambiadores de calor. Las ecuación obtenidas en estado estacionario no son aplicables en los períodos de operación de arranque y parada de estos equipos.

La condición de estado estacionario implica que la masa contenida en el VC no varían con el tiempo. Los flujos de energía mediante calor y trabajo también son constantes. No puede producirse una acumulación dentro del VC, por lo tanto,

0dt

dmvc ss

ee

mm

0dt

dEvc

en consecuencia, la ecuación (3) se puede escribir como

ess

ssee

eevcvc gzChmgzChmWQ22

022

Hay muchas aplicaciones en estado estacionario, en las que hay solo una entrada y solo una salida

de flujos de materia. El balance de materia conducirá a

mmm se

)()(21)( 22

esesesvcvc zzgCChhmWQ

(4)

________________________________________________________________________________

TRANSFORMACIONES CUASIESTÁTICAS DE GASES IDEALES

Consideraremos un sistema cerrado constituido por un gas ideal y estudiaremos diversas transformaciones cuasiestáticas (es decir, una sucesión de estados de equilibrio). Por tratarse de un proceso cuasiestático, podremos representarlo en un diagrama, por ej. P-v, teniendo en cuenta que cada punto representa un estado de equilibrio. Consideraremos calores específicos cp y cv constantes.

Por ser el sistema un gas ideal: mRTTRM

mTRnPV con Mmn ; ]/[

]./[]./[ kmolkgMKkmolkJRKkgkJR

TmcTcnU vv TmcTcnH pp Para que se cumpla el Primer Principio: UWQ Para una trasformación cuasiestática, el trabajo de expansión será: Pdvw

Transformación isocora ( V = Cte, superficie rígida)

CteVRn

TP

22

11

TP

TP

0 Pdvw

UWQ TmcQ vcteV

P

v T1

T2

TERMODINAMICA Departamento de Física - UNS Carreras: Ing. Industrial y Mecánica

2Transformación isobárica (P = Cte, superficie perfectamente elástica)

CtePRn

TV

22

11

TV

TV

vPPdvw

que por ser el sistema un gas ideal: TRPdvw TmRvmPW cteP

wuq

hTcTRcTRTcq pvv )( hmQ cteP

Transformación isotérmica (T = Cte, superficie permeable al calor)

CteTRnPV P1V1 = P2V2 21

12

PP

VV

vdvRTPdvw

21

12 lnln P

PRTvvRTw CteT

0 Tcu v 0WQ CteTCteT WQ

P

v

T = Cte

W

P

v T1

T2

W

3Transformación adiabática (Q = 0, superficie aislante)

duwq dTcduPdv v (por ser el sistema un gas ideal)

también por ser gas ideal: vRTP , que reemplazando en la ecuación anterior queda

0 v

dvRTdTcv

dividiendo por T y por cv 0 vdv

cR

TdT

v

Rcc vP

vvP

cR

cc 1 , siendo kc

cvP

por lo tanto 0)1( v

dvkTdT

integrando CtevkT ln)1(ln ó CtevT k )1(lnln

CteTv k )1( Relación entre T y v: Como R

PvT , reemplazando en la ecuación anterior se tiene

CtevRPv k )1(

CtePv k

o sea, kv

CteP Relación entre T y P:

Ec. de Poisson

P

v

4 Como P

RTv , reemplazando en la ecuación de Poisson se tiene

CtePRTP

k

CteTP kk

1

Trabajo adiabático (sistemas cerrados)

De acuerdo al primer principio, para el caso particular que el sistema sea un gas ideal:

TmcUW v [kJ] ó Tcuw v [kJ/kg] Otra manera de hallar el trabajo adiabático cuasiestático es:

dvvCtedvvCtePdvw k

k

Resolviendo la integral se obtiene

221111 vPvPkw

y sus equivalentes

121 11 T

TkRTw

1

211 11

k

vv

kRTw

k

k

PP

kRTw

1

121 11

5Trasformaciones Politrópicas CtePv n con n = Cte; [- ; +] Pendientes: CtePv n nvCP . v

PnvnCdvdP n 1)..(

Trabajo Politrópico Sistemas cerrados

El trabajo de expansión ( Pdvw ) para un sistema que evoluciona en forma politrópica presenta ecuaciones similares a las de las transformaciones adiabáticas. Sistemas abiertos

Se demostrará cuando se estudie el Segundo Principio que el trabajo del volumen de control, considerando que la trasformación es cuasi-estática, está dado por:

pcvc dedevdPw vdPwvc dado que para una transformación politrópica CtePv n , Cte = C = nn vPvP 2211

PCv n nn CPv /1/1 .

integrando la ec. anterior

P

v

n = ; v = Cte

n = 0 ; P = Cte n = 1 ; T = Cte n = k ; Q = 0

n = -1

1 < n < k

Asumiendo EC = EP ≈ 0

6

112211/1/1/1

111. 21

vPvPnnP

nCdPCPw P

Pnnnn

vc

nwvPvPnnwvc 22111

7Compresión de gases

Un compresor es el equipo que se utiliza para suministrar un gas a una presión mayor que aquella a la que se lo dispone. La presión del gas se eleva reduciendo el volumen específico del mismo durante su paso a través del compresor. En consecuencia, el gas penetrará en un estado y saldrá de él, en otro estado diferente. Es decir que en el compresor el gas experimentará una transformación termodinámica abierta y nunca un ciclo. Para efectuar tal transformación del estado del gas, se puede recurrir a equipos mecánicamente muy diferentes:

Compresores: a) alternativo, b) de tornillo (root), c) Centrífugo, d) de flujo axial. Si despreciamos las variaciones de energía cinética y potencial en la corriente de gas y

suponemos al proceso de compresión cuasi-estático, el trabajo intercambiado por unidad de masa de gas que circula lo podemos calcular como:

2

1

PP vdPw

Resolviendo esta ecuación, para una politrópica cualquiera que sufre un gas ideal, se halla un

trabajo específico:

n

n

vc PPRTn

nw1

121 11

a) b)

c) d)

v

P

1 2

wvc

8¿Qué tipo de politrópica será la más conveniente?

Observando las áreas representativas de cada trabajo se puede afirmar que el proceso isotérmico

es el que requiere menor trabajo. Es decir que se deberá tratar que la compresión sea isotérmica y no adiabática.

En un compresor real el proceso nunca será adiabático dado que para ello deberá construirse de materiales aislantes térmicos perfectos, que no existen. O bien tardar un tiempo nulo en realizar la compresión, o sea, a velocidad infinita de desplazamiento del pistón (en el caso de un compresor alternativo). Tampoco será isotérmica pues para que el gas no aumente su temperatura debería ceder calor a medida que recibe energía mecánica al comprimirse, en cantidad equivalente (si el gas se comportara como gas ideal), es decir, que requerirán paredes diatermas que tampoco existen, o bien, tiempo infinito de proceso.

En consecuencia, la politrópica a que podemos asimilar el proceso cumplido en el compresor será una intermedia entre la isotérmica y la adiabática. n se aproximará a la unidad cuanto mejor refrigerado esté el cilindro y más lento sea el movimiento del émbolo.

Compresión en etapas

A medida que la relación de presiones (P2/P1) crece, también crecen el exceso de trabajo con respecto a la compresión isotérmica, así como la elevación de la temperatura del gas. Esto último puede traer inconvenientes mecánicos. De allí que se recurre a la compresión en etapas con enfriamientos intermedios:

Para elegir la presión intermedia (Pi), de manera que el trabajo total requerido sea mínimo,

supondremos que en el enfriador el gas vuelve a la temperatura inicial (T1) y que las politrópicas en ambos cilindro son de igual exponente, entonces los trabajos requeridos en ambas etapas estarán dados por:

(1-2) Pvk = C ; n = k (1-2’) Pvn= C ; 1< n < k (1-2”) Pv= C ; n = 1

v

P

1

2” 2’ 2 Q = 0

T = C

C.B. C.A. Q

WCB WCA

1 2 3 4

v

P

1

Pvn = C T = C 2 3

4 Pf Pi P1

9

n

ni

CB PPRTn

nw1

11 11

n

n

if

CA PPRTn

nw1

1 11

El trabajo total requerido será la suma de ambos trabajos: CACBTOT www y para que este sea mínimo:

0i

TOTdP

dw

se cumple para: fi PPP .1 ó

ifi

PP

PP

1

10Transformaciones Politrópicas de gases ideales

ctePvn cteTv n 1 cteTP n

n 1 Trabajo específico, para n 1:

Sistemas cerrados, Pdvw :

22111

1 vPvPnw

121 11 T

TnRTw

1

211 11

n

vv

nRTw

n

n

PP

nRTw

1

121 11

Sistemas abiertos, con una entrada, una salida y ec eP 0. vdPwVC :

wnwVC .

TRANSFERENCIA DE CALOR

El calor es la forma de energía que se puede transferir de un sistema a otro como resultado de la diferencia en la temperatura. La ciencia que trata sobre la determinación de las velocidades de esa

transferencia es la transferencia de calor.

La cantidad de calor de un sistema que desarrolle cierto proceso, desde un estado de equilibrio a

otro, se puede determinar con la aplicación del análisis termodinámico, pero, la termodinámica no

indicará cuánto tiempo transcurrirá. En la práctica tiene gran interés hallar la velocidad de

transferencia de calor. La termodinámica trata de estados de equilibrio y de los cambios desde un

estado de equilibrio hacia otro. Por otra parte, la transferencia de calor se ocupa de los sistemas en

los que falta el equilibrio térmico y por lo tanto, existe un fenómeno de no equilibrio. Sin embargo,

las leyes de la termodinámica ponen la estructura para la ciencia de la transferencia de calor. En la

primera ley se requiere que la velocidad de transferencia de energía hacia un sistema sea igual a la

velocidad de incremento de energía de ese sistema. En la segunda ley se requiere que el calor se

transfiera en la dirección de la temperatura decreciente.

Como se dijo, el requisito básico para la transferencia de calor es la presencia de una diferencia

de temperatura. Esa diferencia de temperatura es la fuerza impulsora para la transferencia de calor.

Q [J] es la cantidad de calor transferido durante un proceso. La cantidad de calor transferido por

unidad de tiempo se llama velocidad de transferencia de calor, ]./[ sJQ•

La cantidad total de

calor transferido durante un intervalo de tiempo ∆t se puede determinar a partir de

dtQQt

∫•

=0

siempre que se conozca la variación de •

Q con el tiempo. Para el caso especial de cteQ =•

(estado estacionario), la ecuación anterior se reduce a

tQQ ∆=•

[J]

La velocidad de transferencia de calor por unidad de área perpendicular a la dirección de esa

transferencia se llama flujo de calor y el flujo promedio de calor se expresa como

A

Qq

••

= [W/m2]

1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

El calor se puede transferir en tres modos diferentes: conducción, radiación y convección. Todos

los modos de transferencia de calor requieren la existencia de una diferencia de temperatura y todos

ellos ocurren desde el medio que posee la temperatura más elevada hacia uno de temperatura más

baja, y la transferencia de calor se detiene cuando los dos medios alcanzan la misma temperatura.

1.1 CONDUCCIÓN

La conducción es la transferencia de energía de las partículas más energéticas de una sustancia

hacia las adyacentes menos energéticas, como resultado de interacciones entre esas partículas.

TERMODINAMICA Departamento de Física - UNS Carreras: Ing. Industrial y Mecánica

2

La conducción puede tener lugar en los sólidos, líquidos o gases. En los gases y líquidos la

conducción se debe a las colisiones y a la difusión de las moléculas durante su movimiento

aleatorio. En los sólidos se debe a la combinación de las vibraciones de las moléculas, ubicadas en

posiciones más o menos fijas de una red cristalina y al transporte de energía por parte de los

electrones libres.

La velocidad de conducción de calor a través de un medio depende de la configuración

geométrica de éste, su espesor y el material del que esté hecho, así como de la diferencia de temperatura a través de él. Se sabe que al envolver un tanque de agua caliente con fibra de vidrio

(un material aislante) se reduce la velocidad de la pérdida de calor de ese tanque. Cuanto más

grueso sea el aislamiento, menor será la pérdida de calor. También se conoce que un tanque de

agua caliente perderá calor a mayor velocidad cuando se baja la temperatura del medido en donde

se aloja. Además, entre más grande sea el tanque, mayor será el área superficial y, por

consiguiente, la velocidad de la pérdida de calor.

La experiencia ha demostrado que la velocidad de transferencia de calor por conducción a través

de una capa plana es proporcional a la diferencia de temperatura a través de esta y al área de

transferencia, pero es inversamente proporcional al espesor de esa capa, es decir,

Espesor

atemperaturdeDiferenciaÁreacalordelconduccióndeVelocidad

))((∞

o bien,

L

TA

x

TTAQ cond

∆−=

∆

−=

•

κκ)( 21

. [W]

donde la constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica del material. En el caso

límite de ∆x → 0, la ecuación se reduce a la forma diferencial

dx

dTAQ cond κ−=

•

[W]

dT

dx 0 L

T1

T2

condQ•

A

Ley de Fourier de la conducción del calor

(1)

3

Aquí, dT/dx es el gradiente de temperatura, esto es, la pendiente de la curva en un diagrama T-x,

o sea la razón de cambio de T con respecto a la ubicación x. El calor es conducido en la dirección de

la T decreciente y el gradiente de temperatura se vuelve negativo al crecer x. El signo negativo

garantiza que la transferencia de calor en la dirección de x positiva sea una cantidad positiva.

El área A de transferencia siempre es normal a la dirección de esa transferencia.

1.2 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

La conductividad térmica de un material (k), es la medida de la capacidad del material para

conducir calor. Un valor elevado para la conductividad térmica indica que el material es un buen

conductor del calor, y un valor bajo indica que es un mal conductor o aislante, ver Tabla 1.

Sus unidades son

k

=

mK

W

mK

mW

./

/ 2

Las conductividades térmicas de los materiales varían con la temperatura. Esta variación sobre

ciertos rangos de temperatura es despreciable para algunos materiales, pero significativa para otros.

Las conductividades térmicas de ciertos sólidos exhiben incrementos sorprendentes a temperaturas

cercanas al cero absoluto, cuando estos sólidos se convierten en superconductores. Por ej. la

conductividad del cobre alcanza un valor máximo de alrededor de 20 000 W/m.°C, la cual es

alrededor de 50 veces mayor a la correspondiente a la temperatura ambiente.

La dependencia de k con la temperatura causa complejidad considerable en el análisis de la

conducción, por lo tanto, es práctica común evaluar la conductividad térmica a la temperatura promedio y tratarla como una constante en los cálculos.

1.3 CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE UNA PARED PLANA

La conducción de calor en muchas configuraciones geométricas se puede considerar

unidimensional ya que la conducción a través de ellas será dominante en una dirección y

despreciable en las demás. Ej. una pared plana grande, el vidrio de una ventana, la pared de un

recipiente esférico, una bola metálica que está siendo templada por inmersión o revenida, etc.

Después de alcanzar estado estacionario, con flujo de calor unidimensional en un material

homogéneo simple, cuya conductividad térmica κ es constante, el gradiente de temperatura dT/dx

para una pared plana es constante (una línea recta- no lo es cuando κ varía con la temperatura).

dx

dTAQ κ−=

•

∫∫ −=•

2

10

T

T

LdTAdxQ κ

L

TTAQ

)( 12 −−=

•

κ

Aplicando la ec. (2) a una pared compuesta formada por tres materiales homogéneos A, B y C,

tenemos:

(2)

T1

T2

L

T

x

•

Q

4

AAA L

TTAQ

)( 12 −−=

•

κ , B

BB L

TTAQ

)( 23 −−=

•

κ , C

CC L

TTAQ

)( 34 −−=

•

κ

y notando que ••••

=== QQQQ CBA [W] para flujo en estado estacionario, encontramos

A

LQTT

A

A

κ

•

=− )( 21

A

LQTT

B

B

κ

•

=− )( 32

++=−

•

C

C

B

B

A

A LLL

A

QTT

κκκ)( 41

A

LQTT

C

C

κ

•

=− )( 43

iCCBBAA R

T

AL

T

LLL

TTAQ

Σ

∆=

∆=

++

−=

∑•

)(

)( 41

κκκκ

Observar que si fuera adicionada otra pared, el único cambio necesario en la ec.(4) sería

adicionarle otro término del tipo )( AL κ y considerar el correspondiente salto térmico.

Cada término )( ALR κ= se denomina resistencia térmica, y su inversa conductancia LAC κ= ,

que es la velocidad de transferencia de calor por unidad de diferencia de temperatura.

1.4 CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE UNA PARED CURVA

En este caso, el área por el que fluye calor no es constante. Considere un cilindro para el cual la

temperatura en la superficie interna es T1 y la conductividad térmica es κ . El calor fluye

radialmente, por ejemplo, desde adentro hacia fuera, cruzando áreas cada vez mayores, dado que el

área cilíndrica crece con el radio. Si las temperaturas de los fluidos dentro y fuera del tubo

permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de ese tubo es estacionaria y

unidimensional. En este caso, la temperatura del tubo dependerá solo de una dirección (radial).

Esta situación se presenta aproximadamente en la práctica en tubos cilíndricos largos y recipientes

esféricos. En operación estable no se tienen cambios en la temperatura con el tiempo en cualquier

punto, o sea, cteQ =•

.

(3)

(4)

T1

T2

T3 T4

LA LB LC

Bκ

Aκ

Cκ •

Q

RA RB RC

5

Considere un cilindro de longitud z y tome un elemento muy delgado de cilindro de espesor dr

con un radio r. El área de esta superficie cilíndrica es 2πrz. El cambio de temperatura que cruza dr

es una cantidad diferencial dT.

De esta forma, la ec. de Fourier dará

dr

dTrzQ πκ 2−=

•

Separando las variables e integrando, se obtiene

∫∫ −=•

2

1

0

2T

T

r

ridTz

r

drQ κπ

)(2ln 21 TTzr

rQ

i

o −=•

κπ

R

T

rr

TTzQ

i

∆=

−=

•

)ln(

)(2

0

21κπ

siendo z

rr

Q

TR i

πκ2

)ln( 0=∆

=•

la resistencia térmica para una pared cilíndrica.

Si la pared cilíndrica es compuesta, como en el caso de una cañería aislada, iRTQ Σ∆=•

.

2. CONVECCIÓN

La convección es un modo de transferencia de energía entre una superficie sólida y el líquido o

gas adyacentes que están en movimiento y comprende los efectos combinados de la conducción y el

movimiento de fluidos.

Cuanto más rápido es el movimiento del fluido, mayor es la transferencia de calor por

convección. En ausencia de cualquier movimiento masivo de fluido, la transferencia de calor entre

una superficie sólida y el fluido adyacente es por conducción pura. La presencia de movimiento

masivo del fluido acrecienta la transferencia de calor entre la superficie sólida y el fluido, pero

también complica la determinación de la velocidad de transferencia.

Considere el enfriamiento de un bloque caliente al soplar aire frío sobre su superficie superior

(ver Fig.). La energía se transfiere primero a la capa de aire adyacente al bloque, por conducción.

Posteriormente esta energía es transportada alejándola de la superficie, por convección; es decir, por

los efectos combinados de la conducción dentro del aire, que se debe al movimiento aleatorio de las

r

dr

T1, ri

T2, r0

z

Flujo de gas o líquido a Tfluido < TS

TS

•

Q

Sólido

(5)

6

moléculas de éste, y por el movimiento masivo o macroscópico de ese aire que remueve el aire

calentado cercano a la superficie y lo reemplaza por otro más frío.

La convección recibe el nombre de convección forzada si el fluido es forzado a fluir sobre la

superficie mediante medios externos como un ventilador, una bomba o el viento. Por otro lado, se

dice que es convección natural (o libre) si el movimiento del fluido es causado por las fuerzas de

empuje que son inducidas por diferencia de densidades debidas a la variación de temperatura en ese

fluido. Por ejemplo, en ausencia de un ventilador, la transferencia de calor del bloque caliente de la

figura será por convección natural, ya que, en este caso, cualquier movimiento en el aire se deberá a

la elevación del aire más caliente (y, por lo tanto, más liviano) cercano a la superficie y la caída del

más frío (y, por lo tanto, más pesado) para llenar su lugar.

A pesar de la complejidad de la convección, se observa que la rapidez de la transferencia de calor por convección es proporcional a la diferencia de temperatura y se expresa por la ley de Newton del enfriamiento como

)( fluidoSconv TThAQ −=•

[W]

donde h [W/m2] es el coeficiente de transferencia de calor por convección.

A es el área superficial a través de la cual tiene lugar la transferencia de calor por convección, Ts es

la temperatura de la superficie y Tfluido es la temperatura del fluido suficientemente alejado de esta

superficie. Notar que en la superficie, la temperatura del fluido es la misma que la del sólido.

El coeficiente h no es una propiedad del fluido. Es un parámetro que se determina en forma

experimental y cuyo valor depende de todas las variables que influyen sobre la convección, como la

configuración geométrica de la superficie, la naturaleza del movimiento del fluido, las propiedades

de éste y la velocidad masiva del mismo. En la Tabla 3 se dan valores típicos para h.

3. RADIACIÓN TÉRMICA

La radiación es la energía emitida por la materia en la forma de ondas electromagnéticas (o fotones), como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o

moléculas. En los estudios de transferencia de calor es de interés la radiación térmica, que es la

forma de radiación emitida por los cuerpos debido a su temperatura.

Considere un objeto caliente que está suspendido en una cámara en la que se ha hecho vacío y

cuyas paredes se encuentran a la temperatura ambiente. Llegará un momento en que el objeto

caliente se enfriará y alcanzará equilibrio térmico con sus alrededores. Es decir, perderá calor hasta

que su temperatura alcance la de las paredes de la cámara. Esta transferencia de calor no pudo

haber tenido lugar por conducción o convección, ya que estos mecanismos no pueden desarrollarse

en el vacío. Este nuevo mecanismo es la radiación.

(6)

Objeto caliente

Cámara al vacío

Radiación Pérdida de calor solo por

radiación

7

La trasferencia de energía por radiación ocurre en los sólidos, líquidos y gases. En la mayor

parte de las aplicaciones prácticas, los tres modos de trasferencia de calor ocurren de manera

concurrente en grados variables. Pero la trasferencia a través de un espacio en el que se ha hecho el

vacío solo puede ocurrir por radiación. Por ej., el sol llega a la Tierra por radiación.

Se recordará que la trasferencia de calor por conducción o convección tiene lugar en la dirección

de la temperatura decreciente. Resulta interesante observar que la transferencia de calor por

radiación puede ocurrir entre dos cuerpos separados por un medio más frío que ambos. Por ej., la

radiación solar llega a la superficie de la Tierra después de pasar a través de capas de aire frías a

grandes altitudes. Asimismo, las superficies que absorben radiación dentro de un invernadero

alcanzan temperaturas elevadas incluso cuando sus cubiertas de plástico o de vidrio permanecen

más o menos frías.

Aún cuando todas las ondas electromagnéticas (los rayos X, los rayos gama, las microondas, las

ondas de radio, de televisión) tienen las mismas características generales, las ondas de distinta

longitud difieren significativamente en su comportamiento. El tipo de radiación electromagnética

que resulta pertinente para la transferencia de calor es la radiación térmica emitida como resultado

de las transiciones energéticas de las moléculas, los átomos y los electrones de una sustancia. La

temperatura es una medida de la intensidad de estas actividades en el nivel microscópico y la

rapidez de la emisión de radiación térmica se incrementa al aumentar la temperatura.

La radiación térmica es emitida en forma continua por toda la materia cuya temperatura está por

arriba del cero absoluto. Es decir, todo lo que nos rodea, como las paredes, los muebles y nuestros

amigos, constantemente emite (y absorbe) radiación. La radiación térmica incluye toda la radiación

visible y la infrarroja, así como parte de la ultravioleta.

La radiación es un fenómeno volumétrico. Sin embargo, para los sólidos opacos (no

transparentes), como los metales, las madera y las rocas, se considera que la radiación es un

fenómeno superficial, ya que solo la radiación emitida por las moléculas que se hallan en la

superficie puede escapar del sólido. Note que las características relativas a la radiación de las

superficies se pueden cambiar por completo mediante la aplicación de capas delgadas de

recubrimiento sobre ellas.

3.1 RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO

Un cuerpo por encima de cero absoluto emite radiación en todas las direcciones a lo largo de una

amplia gama de longitudes de ondas. La cantidad máxima de radiación que puede ser emitida por

una superficie a una temperatura dada requiere de la definición de un cuerpo idealizado, llamado

cuerpo negro, para que sirva como estándar contra el cual se puedan comparar las propiedades de

radiación de las superficies reales.

Un cuerpo negro se definen como un emisor y absorbedor perfecto de la radiación. A una

temperatura y una longitud de onda específica, ninguna superficie puede emitir más energía que un

cuerpo negro.

La velocidad máxima de radiación que puede ser emitida desde una superficie a una temperatura

TS(en K o R) se expresa por la ley de Stefan-Boltmann como

Radiación emitida

Gas o vacío

Sólido

8

4

, Smáxemitida ATQ σ=•

[W]

donde σ = 5.67 . 10-8

[W/m2.K

4] es la constante de Stefan-Boltzmann.

La superficie idealizada que emita radiación a esta velocidad máxima se llama cuerpo negro y la

radiación emitida por éste es la radiación de cuerpo negro.

La radiación emitida por todas las superficies reales es menor que la emitida por un cuerpo negro

a la misma temperatura y se expresa como

4

Semitida ATQ εσ=•

[W]

en donde ε es la emisividad de la superficie.

La emisividad cuyo valor están en el intervalo (0 ≤ ε ≤ 1), es una medida de cuán próxima está

una superficie de ser un cuerpo negro, para el cual ε = 1. En la Tabla 2 se dan las emisividades de

algunas superficies.

Otra importante propiedad relativa a la radiación de una superficie es su absortividad α, la cuál

es la fracción de la energía de radiación incidente sobre una superficie que es absorbida por ésta.

También su valor está en el intervalo 0 ≤ α ≤ 1. Un cuerpo negro absorbe toda la radiación

incidente sobre el. Es decir, un cuerpo negro es un absorbente perfecto (α = 1), del mismo modo

que es un emisor perfecto.

Para las superficies opacas (no transparentes), la parte de la radiación incidente no absorbida por

la superficie se refleja.

La diferencia entre las velocidades de la radiación emitida por la superficie y la radiación

absorbida es la transferencia neta de calor por radiación. Si la velocidad de absorción de la

radiación es mayor que la de emisión, se dice que la superficie está ganando energía por radiación.

De lo contrario, se dice que la superficie está perdiendo energía por radiación. En general, la

determinación de la velocidad neta de la transferencia de calor por radiación entre dos superficies es

un tema complicado, ya que depende de las propiedades de las superficies, de la orientación de una

con respecto a la otra y de la interacción del medio que existe entre ellas con la radiación.

Cuando una superficie de emisividad ε y área superficial A que se encuentra a una temperatura

absoluta TS, está completamente encerrada por una superficie mucho mayor que se encuentra a la

temperatura absoluta Talred y separada por un gas (como el aire) que no interviene con la radiación,

la rapidez neta de transferencia de calor por radiación entre esas dos superficies se expresa por

)( 44

alredSrad TTAQ −=•

εσ [W]

incidenteQ•

incidenteabs QQ••

=α

incidenteref QQ••

−= )1( α

(7)

(8)

(9)

9

4. TRANSFERENCIA DE CALOR DE FLUIDO A FLUIDO

Si fuera simple y conveniente medir las temperaturas superficiales, en el caso de una pared plana, la ec.3 sería la única a usar. Sin embargo, en la práctica son más fáciles de obtener las

temperatura de los fluidos, por lo que es deseable expresar el flujo de calor en términos de esas

temperaturas (Ti y T0).

Para encontrar la ecuación correspondiente, se deben considerar los nuevos saltos térmicos que

intervienen en la transmisión de calor por convección.

Dado que se transfiere calor desde un fluido caliente a la temperatura Ti a la superficie interior de

la pared con un coeficiente de transferencia de calor por convección hi, y de la superficie exterior a

un fluido frío a la temperatura T0 con un coeficiente h0, la ley de enfriamiento de Newton puede

reescribirse como

)( 1TTAhQ ii −=•

⇒ AhQTT ii

•

=− )( 1 (10)

)( 040 TTAhQ −=•

⇒ AhQTT 004 )(•

=− (11)

En régimen estacionario, el flujo de calor a través de la pared es constante, por lo tanto, sumando

miembro a miembro la ec. (3), (10) y (11), tenemos

[ ]00 11)( hLLLhA

QTT CCBBAAii ++++=−

•

κκκ

R

TTQ i )( 0−

=•

, siendo

++= ∑

AhA

L

AhR

i 0

11

κ

Se define el coeficiente global de transferencia de calor, U, por medio de la relación

)( 0TTUAQ i −=•

entonces, 1/UA = R, es la resistencia térmica total.

(12)

(13)

T1

T2

T3 T4

●

●

● ●

● Ti

T0 (Flujo turbulento)

κA κB κC

•

Q

No hay flujo de calor en esta dirección

Capa laminar

● hi h0

RA RB RC RI R0

10

Observar que, para R constante, cuanto mayor sea el salto térmico, mayor será el flujo de calor.

Si la resistencia total aumenta por haber adicionado más resistencias, o por un incremento en el

tamaño de las mismas, el calor fluirá a menor velocidad. Este efecto es el esperado al proveer

aislación. Por otro lado, si lo que se espera es una mayor velocidad en el flujo de calor, como en el

caso de intercambiadores de calor, lo que se procura es reducir la resistencia.

El ingeniero debe tener en mente que U puede disminuir significativamente durante la operación

de un intercambiador de calor debido a la acumulación de depósitos sobre la superficie transmisora.

Por otro lado, el coeficiente U de paredes aisladas puede incrementar debido al deterioro del

material aislante.

Consideremos ahora una pared cilíndrica compuesta, tal como una cañería aislada. Una

ecuación para el flujo de calor se consigue sumando resistencias, de acuerdo a la ec. (5),

RTQ Σ∆=•

. Considere la Fig., la cual representa una cañería X con una aislación Y, siendo hi el

coeficiente convectivo interno y h0 el externo. Las temperatura de los fluidos interno y externo son

Ti y T0, respectivamente. En este caso, con Ti > T0.

Aplicando la ec. (5) a los capas X e Y, (según la Fig.: Db/Da = rb/ra), se obtienen las

resistencias por conducción

x

abX z

DDR

κπ2

)ln(= y

y

bcY z

DDR

κπ2

)ln(=

De esta forma, el flujo de calor es ∑∆

=•

R

TQ , o

00

0

1

2

)ln(

2

)ln(1

)(

hAz

DD

z

DD

hA

TTQ

y

bc

x

ab

ii

i

+++

−=

•

κπκπ

o generalizando para cualquier número de capas cilíndricas, cada una con diámetros interno y

externo Di y D0, con conductividad κ y longitud z, se tiene para un estado estable

A0

Ai

h0

κx κy

hi Ti T1

T2

T3 T0

rc

rb ra

Ri RX RY R0

Las resistencias por convección son

iii hA

R1

=

00

0

1

hAR =

11

∑∑ +

∆=

•

κπz

DD

Ah

TQ

i

2

)ln(1 0

[W]

donde ∆T es el salto térmico entre ambos fluidos, Σ(1/Ah) es la suma de todas las resistencias por

convección en el camino del flujo de calor, y el otro término en el denominador suma todas las otras

resistencias. El calor solo está fluyendo radialmente.

Aplicando TUAQ ∆=•

a paredes curvas, es necesario especificar de qué área se trata.

Considerando que está pasando una cierta cantidad de calor (en estado estable) a través de las

paredes, entonces

TAUQ ∆=•

00 ó TAUQ ii ∆=•

que comparando con la ec. (14),

∑∑ +==

κπz

DD

Ah

AUAUi

ii

2

)ln(1

1

0

00

Por lo tanto, si se da como dato el coeficiente global de transferencia de calor para una pared

curva, se deberá indicar cuál es el área de referencia.

5. INTERCAMBIADORES DE CALOR

Los intercambiadores de calor son aparatos que facilitan el intercambio de calor entre dos fluidos

que se encuentran a temperaturas diferentes y evitan al mismo tiempo que se mezclen entre sí.

En la práctica, los intercambiadores de calor son de uso común en una amplia variedad de

aplicaciones, desde los sistemas domésticos de calefacción y aire acondicionado del aire hasta los

procesos químicos y la producción de energía en las plantas grandes.

5.1 TIPOS DE INTERCAMBIADORES

El tipo más simple de intercambiador de calor consta de dos tubos concéntricos de diámetros

diferentes, como se muestra en la Fig. llamado de doble tubo. En un intercambiador de este tipo

uno de los fluidos pasa por el tubo más pequeño, en tanto que el otro lo hace por el espacio anular

entre los dos tubos. En un intercambiador de calor de doble tubo son posibles dos tipos de

disposición del flujo:

- De flujo paralelo: en el que los dos fluidos, el frío y el caliente, entran en el intercambiador

por el mismo extremo y se mueven en la misma dirección.

(14)

(15)

12

- De contracorriente o contraflujo: los fluidos entran al intercambiador por los extremos

opuestos y fluyen en direcciones opuestas.

Por lo común un intercambiador de calor está relacionado con dos fluidos que fluyen separados

por una pared sólida. En primer lugar, el calor se transfiere del fluido caliente hacia la pared por

convección, después a través de la pared por conducción y por último, de la pared hacia el fluido

frío de nuevo por convección.

La red de resistencias térmicas asociada con este proceso de transferencia de calor contiene dos

resistencias a la convección y una a la conducción.

Los subíndices i y o se refieren a las superficies interior y exterior del tubo interior. Para un

intercambiador de calor de tubo doble, se tiene Ai = πDiz y A0 = πD0z,

kz

DDR i

pared π2

)/ln( 0=

donde k es la conductividad térmica del material y z la longitud del tubo. Entonces la resistencia térmica total queda

Fluido

frío

Fluido

caliente

Ti

T0 Pared

Transferencia de

calor

Fluido frío Fluido caliente

Ai

hi

A0

h0

→→

→

↑

↑

→

→

→ →→

→

↓

↓

←

→

←

Fluido caliente

Fluido frío

T

Flujo paralelo Contracorriente

Fluido caliente

Fluido frío

T

→→

→

↓

↓

←

→

←

iii Ah

R1

= 00

0

1

AhR =Rpared

Ti T0

13

00

00

1

2

)/ln(1

Ahkz

DD

AhRRRR i

iipareditotal ++=++=

π

La velocidad de transferencia de calor entre los dos fluidos es

TAUTAUTUAR

TQ ii

total

∆=∆=∆=∆

=•

00

donde U es el coeficiente de transferencia de calor total o global. Notar que a menos que las áreas

interna y externa sean iguales, se deberá especificar al considerar U sobre cuál área está basado.

5.2 ANÁLISIS DE LOS INTERCAMBIADORES

Los intercambiadores de calor suelen operar durante largos períodos de tiempo sin cambios en

sus condiciones de operación. Por lo tanto, se pueden considerar como equipos de flujo estable, por

ello, el caudal másico de cada fluido permanece constante y las propiedades de los fluidos, como la

temperatura y velocidades en cualquier entrada o salida son las mismas. Además, las corrientes del

fluido experimentan poco o ningún cambio en sus velocidades y elevaciones, y como consecuencia,

los cambios en la energía cinética y potencial son despreciables. Además, con poca pérdida de

exactitud, el calor específico se puede considerar constante. Por último, se supone que la superficie

exterior del intercambiador está perfectamente aislada.

El primer principio de la termodinámica requiere que la velocidad de transferencia de calor

desde el fluido caliente sea igual al del frío, es decir

)( ,,, entradaFsalidaFFPF TTcmQ −=••

y )( ,,, salidaCentradaCCPC TTcmQ −=••

Observar los signos. Notar que la velocidad de transferencia de calor •

Q se toma como una

cantidad positiva.

La velocidad de la transferencia de calor en un intercambiador también se puede expresar de una

manera análoga a la ley de Newton del enfriamiento como

mTUAQ ∆=•

donde U es el coeficiente de transferencia de calor total (como se determinó en la sección anterior),

A es el área de transferencia y ∆Tm es una diferencia promedio de las temperatura entre dos fluidos.

Una forma apropiada de este ∆Tm es la diferencia media logarítmica de la temperatura (DTML o ∆∆∆∆Tml):

Si se supone que la superficie exterior del intercambiador está bien aislada, de modo que

cualquier transferencia de calor ocurre entre los dos fluidos y se descartan los cambios de EC y EP,

un balance de energía de cada fluido, en una sección diferencial del intercambiador dará:

(16)

(17)

(18)

(19)

14

CCPC dTcmQ ,

••

−=δ

FFPF dTcmQ ,

••

=δ

Combinando y resolviendo estas dos ecuaciones (ver apéndice) se obtiene:

)ln( 21

21

TT

TTTml ∆∆

∆−∆=∆

∆T1 y ∆T2 representa la deferencia de temperatura entre los dos fluidos en ambos extremos (de

entrada y de salida) del intercambiador. No existe diferencia con respecto a cuál de los extremos de

éste se designe como entrada y salida.

Si el intercambiador es a contracorriente, notar que los fluidos caliente y frío entran por

extremos opuestos, y en este caso, la temperatura de salida del fluido frío es posible que sobrepase a

la de salida del fluido caliente. En el caso límite, el fluido frío se calentará hasta la temperatura de

entrada del fluido caliente. Sin embargo, la temperatura de salida del fluido frío nunca puede ser

mayor que la de entrada del fluido caliente, ya que esto sería una violación al segundo principio.

Para un condensador (en el que una de las corrientes se mantiene a T = cte) es indiferente hablar

de flujo paralelo o contracorriente, ya que los dos enfoques conducen al mismo resultado.

El método de la diferencia de temperatura media logarítmica resulta adecuado para la

determinación del tamaño, o sea A, de un intercambiador, cuando se conocen los caudales másicos

y las temperaturas de entrada y salida de ambos fluidos.

→→

→

↓

↓ ←

→

←

TC,entrada

TC,salida

TF,entrada

TF,salida

∆T2

∆T1

(20)

→→

→

↑

↑

→

→

→

TC

TF

T

TC,entrada

TF,entrada

TC,salida

TF,salida

•

Qδ

TC,entrada

TF,entrada

TF,salida

TC,salida

∆T1

∆T2

∆T2

∆T1

dTC

dTF

___________________________________________________________________________

PROBLEMAS DE TRNSMISIÓN DE CALOR Ejemplo 1. Pérdida de calor a través de una pared plana

Considere una pared gruesa de 3 m de alto, 5 m de ancho y 0.30 m de espesor, cuya conductividad térmica es kpared = 0.90 W/m.°C. Cierto día se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior de esa pared y resultan ser de 16 °C y 2 °C, respectivamente.

Determine: a) La velocidad de pérdida de calor a través de la pared en ese día. b) Idem a), si la pared interna tuviera un aislamiento de madera de 0.02 m de espesor, con

iguales temperaturas de las caras expuestas (kmadera = 0.08 W/m.°C). c) La temperatura entre ambos materiales.

a) Wm

CmCmW

L

TTkAQa 630

3.0

)216()15)(/9.0( 212 =

°−°=

−−=

•

b) WAkLAkL

TT

R

TQ

ppmmi

b360

)()(

)( 21 =+

−=

Σ

∆=

•

Observar que con un aislamiento de poco espesor, el flujo de calor se redujo aprox. a la mitad.

c) m

i

mbL

TTAkQ 1−

−=•

→ Ti = 6 °C

Ejemplo 2. Pérdida de calor a través de una ventana de una sola hoja

Considere una ventana de vidrio de 0.80 m de alto y 1.50 m de ancho, con un espesor de 8 mm y una conductividad térmica de k = 0.78 W/m.°C. Determine la velocidad de transferencia de calor a través de esta ventana de vidrio y la temperatura de su superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 20 °C, en tanto que la temperatura del exterior es de –10°C.

Tome coeficientes de transferencia de calor por convección de las superficies interior y exterior de la ventana como h1 = 10 W/m

2.°C y h2 = 40 W/m

2.°C.

Hipótesis: la transferencia de calor a través de la ventana es estacionaria, dado que las

temperaturas superficiales permanecen constantes. Usando el concepto de resistencias térmicas, tenemos

WCmCmWAh

RR convi /08333.0)2.1)(./10(

1122

11, °=

°===

•

Q

T1 =16 °C

T2 = 2 °C

•

Q

T1

T2

Ti

Rm Rp

TERMODINAMICA Departamento de Física - UNS Carreras: Ing. Industrial y Mecánica

2

WCmCmW

m

kA

LRvidrio /00855.0

)2.1)(./78.0(

008.02

°=°

==

WCmCmWAh

RR conv /02083.0)2.1)(./40(

1122

22,0 °=

°===

Por lo tanto, la velocidad de transferencia de calor a través de la ventana es

WWC

C

R

TTQ

total

aireaire 266/1127.0

)]10(20[,2,1 =°

°−−=

−=

•

Si se conoce la rapidez de la transferencia de calor, se puede determinar la temperatura de la

superficie interior a partir de

1,

1,1

conv

aire

R

TTQ

−=

•

→ T1 = -2.2 °C

Note que la temperatura de la superficie interior de la ventana de vidrio estará a –2.2°C, aun

cuando la temperatura del aire en el cuarto se mantenga a 20 °C. Temperaturas superficiales así de bajas son del todo indeseables ya que causarán que se empañen las superficies interiores del vidrio cuando la humedad del cuarto sea alta.

Ejemplo 3. Pérdida de calor a través de una ventana de doble hoja

Considere una ventana de hoja doble de 0.80 m de alto, y de 1.50 m de ancho que consta de dos capas de vidrio de 4 mm de espesor (k = 0.78 W/m.°C) separadas por un espacio de aire estancado de 10 mm de ancho (k = 0.026 W/m.°C). Determine la velocidad de transferencia de calor a través de la ventana de hoja doble y la temperatura en la superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 20 °C, en tanto que la temperatura del exterior es –10 °C.

Tome coeficientes de transferencia de calor por convección en las superficies interior y exterior como h1 = 10 W/m

2.°C y h2 = 40 W/m

2.°C, respectivamente.

T1

T2

Ri Rvidrio R0

20 °C

-10 °C

-10 °C

20 °C

T1 • • T2

T3 • • T4

Ri R1 R2 R3 R0 Taire,1 • • Taire,2

Aire

3

WCmCmWAh

RR convi /08333.0)2.1)(./10(

1122

11, °=

°===

WCmCmW

m

Ak

LRRR vidrio /00427.0

)2.1)(./78.0(

004.02

1

131 °=

°====

WCmCmW

m

Ak

LRR aire /3205.0

)2.1)(./026.0(

01.02

2

22 °=

°===

WCmCmWAh

RR conv /02083.0)2.1)(./40(

1122

22,0 °=

°===

Por lo tanto, la transferencia de calor a través de la ventana será

WWC

C

R

TTQ

total

aireaire 2.69/4332.0

)]10(20[,2,1 =°

°−−=

−=

•

la cual es alrededor de la cuarta parte del resultado obtenido en el ejemplo anterior. Observar que la drástica reducción en la velocidad de la transferencia de calor se debe a la gran resistencia térmica de la capa de aire entre los vidrios.

En este caso, la temperatura de la superficie interior de la ventana será

CWCWCRQTT convaire °=°−°=−=•

2.14)/08333.0)(2.69(201,,11

la cuál es considerablemente más alta que los –2.2 °C obtenidos en el ejemplo anterior. Por lo tanto, una ventana de doble hoja rara vez se empaña. Además, reducirá la ganancia de calor en verano y, en consecuencia, reduce los costos del acondicionamiento del aire. Ejemplo 4. Pérdida de calor a través de un tubo aislado de vapor de agua

En un tubo de hierro fundido (k = 80 W/m.°C), cuyos diámetros interior y exterior son D1 = 5 cm

y D2 =5.5 cm, respectivamente, fluye vapor de agua a Tvapor,1 =320 °C. El tubo está cubierto con un aislamiento de fibra de vidrio de 3 cm de espesor, con k = 0.05 W/m.°C. Se pierde calor hacia los alrededores que están a Taire,2 = 5 °C, con un coeficiente h2 = 18 W/m

2.°C. Si el coeficiente por

convección dentro del tubo es h1 = 60 W/m2.°C, determine:

a) La velocidad de pérdida de calor por unidad de longitud del tubo. b) Caída de temperatura a través del casco. c) Caída de temperatura a través del aislamiento. Si L = 1 m, las áreas de las superficies expuestas a la

convección son

211 157.0)1)(0025.0(22 mmmLrA === ππ

232 361.0)1)(00575.0(22 mmmLrA === ππ

•

Q

r1 r2 r3

•T1

•T2 •T3

Aislamiento

Ri R1 R2 R0

Tvapor,1 • • Taire,2 • • • T1 T2 T3

4

WCmCmWAh

RR conv /106.0)157.0)(./60(

1122

11.,1 °=

°===

WCmCmWLk

rrRR tubo /0002.0

)1)(./80(2

)5.2/75.2ln(

2

)/ln(

1

121 °=

°===

ππ

WCmCmWLk

rrRR aisl /35.2

)1)(./05.0(2

)75.2/75.5ln(

2

)/ln(

2

232 °=

°===

ππ

WCmCmWAh

RR conv /154.0)361.0)(./18(

1122

322.,0 °=

°===

Por lo tanto, la velocidad de pérdida de calor del vapor será

WW

C

R

TTQ

total

airevapor 121/61.2

)5320(,2,1=

°

°−=

−=

•

(por metro de longitud de tubo).

La caída de temperatura a través del tubo y del aislamiento será

CWCWRQT tubotubo °=°==∆•

02.0)/0002.0)(121(

CWCWRQT oaislamientoaislamient °=°==∆•

284)/35.2)(121(

Note que la resistencia térmica del tubo es demasiado pequeña con relación a las otras

resistencias y se puede despreciar sin causar algún error significativo. Además, note que la caída de temperatura a través del tubo es prácticamente cero, y por lo tanto se puede suponer que el tubo es isotérmico. La resistencia al flujo de calor en los tubos aislados se debe principalmente al aislamiento.

Ejemplo 5. Transferencia de calor en un recipiente esférico

El O2 líquido se almacena con frecuencia en recipientes esféricos debido a que la relación entre superficie externa y volumen es mínimo para una esfera. Calcular la transferencia de calor por conducción en un recipiente de 5 pie de diámetro, aislado con una capa de 1 pie de espesor de sílice. Su temperatura sobre la superficie interna es de –290 °F y sobre la externa de 50 °F.

k = 0.022 BTU/h.pie°F.

dr

dTrk

dx

dTkAQ

24π−=−=•

que integrado da

hBTUkrrrr

TT

R

TT

rr

TTkrrQ

esf

820]4/)[(

)()(

)(

)(4

2112

2121

12

2121 −=−

−=

−=

−

−=

•

π

π

El signo negativo nos indica que el flujo de calor se realiza desde afuera hacia adentro del recipiente.

5Ejemplo 6. Intercambiadores – Diferencia de temperatura media logarítmica

Un intercambiador de calor recibe gas caliente (cp = 0.27 BTU/lb°R) y agua en una relación 1.5 lbgas/lbagua. El gas entra a 850 °F y parte a 355 °F. El agua entra a 120 °F. Halle la temperatura de salida del agua y el ∆Tml para:

a) flujo contracorriente, b) flujo paralelo. Asumir que no hay pérdidas de energía hacia el exterior. Como la energía que pierde el gas caliente es absorbida por el agua fría:

aguagasQQ••

−=

aguaaguapaguagasgaspgas TcmTcm ∆−=∆••

)355850(27.05.1)120(1 2 −×=−T ⇒ T2 = 320 °F

Por lo tanto, como ( )AA

BA

mlTT

TTT

∆∆

∆−∆=∆

ln

a) Flujo contracorriente

( )FTml °=

−=∆ 363

235530ln

235530

b) Flujo paralelo

( )FTml °=

−=∆ 229

35730ln

35730

Para temperaturas de entrada y de salida específicas, la diferencia de temperatura media

logarítmica para un intercambiador de calor a contraflujo siempre es mayor que la correspondiente a la de flujo paralelo. Por ende, se necesita un área superficial más pequeña (y por consiguiente, un intercambiador más pequeño) para lograr una velocidad específica de la transferencia de calor en un intercambiador de este tipo. Por lo tanto, en los intercambiadores de calor es una práctica común usar dispositivos a contraflujo.

Ejemplo 7. La condensación de vapor de agua en un condensador

Se va a condensar vapor de agua de una planta generadora a una temperatura de 30 °C, con agua de enfriamiento de un lago cercano, la cual entra en los tubos del condensador a 14 °C y sale a 22 °C. el área superficial de los tubos es de 45 m2 y el coeficiente de transferencia de calor total es de 2100 W/m

2 .°C. Determine el gasto de masa de agua de enfriamiento necesario y la velocidad de la

condensación del vapor en el condensador.

gas

agua

850 °F

320 °F

∆∆∆∆TA = 530 °

120 °F

355 °F

∆∆∆∆TB = 235 °

850 °F

120 °F

355 °F

320 °F

∆∆∆∆TA = 730 ° ∆∆∆∆TB = 35 °

gas

agua

6Hipótesis: El condensador está aislado térmicamente, y los cambios de energía cinéticas y

potenciales de las corrientes son despreciables. Entalpía de vapor saturado de agua (30 °C): 2556.3 kJ/kg. Entalpía de líquido saturado de agua(30 °C): 125.79 kJ/kg. Calor específico del agua fría a la temperatura promedio de 18 °C : cP = 4184 J/kg.°C.

5.11)16/8ln(

168

)/ln( 21

21 =−

=∆∆

∆−∆=∆

TT

TTTml °C

La velocidad de transferencia de calor será

kWWxCmCmWTUAQ ml 108710087.1)5.11)(45).(./2100( 622 ==°°=∆=•

Por lo tanto, el vapor de agua perderá calor a razón de 1087 kW a medida que fluye a través del

condensador, y el agua de enfriamiento ganará prácticamente todo ese calor, puesto que el condensador está bien aislado.

A partir de vaporLVagua hmTTcmQ )()]([ 12 ∆−=−=•••

, se pueden determinar los caudales

El caudal de agua de enfriamiento y de vapor son

skgCCkgkJ

skJ

TTc

Qmagua /5.32

)1422(./184.4

/1087

)( 12

=°−°

=−

=

••

skgkgkJ

skJ

h

Qm

LV

vapor /45.0/2431

/1087==

∆=

••

Por lo tanto, se necesitará circular alrededor de 72 kg de agua de enfriamiento por cada 1 kg de

vapor de agua en condensación para eliminar el calor liberado durante el proceso.

Ejemplo 8. Calentamiento de agua en un intercambiador de calor a contraflujo Se va a calentar agua en un intercambiador de tubo doble a contraflujo, desde 20 °C hasta 80 °C,

a razón de 1.2 kg/s. El calentamiento se va a realizar por medio de agua geotérmica de la que se dispone a 160 °C con un caudal másico de 2 kg/s. El tubo interior es de pared delgada y tiene un diámetro de 1.5 cm. Si el coeficiente de transferencia de calor total del intercambiador es de 640

14 °C Agua de enfriamiento

22 °C

Vapor de agua 30 °C

30 °C

∆T1 = (30 – 22) °C = 8 °C

∆T2 = (30 – 14) °C = 16 °C La diferencia promedio de temperaturas entre los dos fluidos es la temperatura media logarítmica:

7W/m

2. °C, determine la longitud requerida de ese intercambiador para lograr el calentamiento

deseado. Hipótesis: El condensador está aislado térmicamente, y los cambios de energía cinéticas y

potenciales de las corrientes son despreciables. Existen condiciones estables de operación. Tomamos calores específicos del agua y del fluido geotérmico como 4.18 y 4.31 kJ/kg.°C,

respectivamente.

La velocidad de transferencia de calor se puede determinar a partir de

kWCCkgkJskgTTcmQ agua 301)2080)(./18.4)(/2.1()]([ 12 =°−°=−=••

Dado que todo este calor es suministrado por el agua geotérmica, la temperatura de salida del

agua es

geotérmicaTTcmQ )]([ 12 −=••

→ CCkgkJskg

kWC

mc

QTT °=

°−°=−=

•

•

125)./31.4).(/2(

30116012

Conociendo las temperaturas de entrada y salida de los dos fluidos, la deferencia de temperatura

media logarítmica para este intercambiador será

∆T1 = (160 – 80) °C = 80 °C ∆T2 = (125 – 20) °C = 105 °C

CTT

TTTml °=

−=

∆∆

∆−∆=∆ 0.92

)105/80ln(

10580

)/ln( 21

21

El área superficial del intercambiador es

mlTUAQ ∆=•

→ 22

11.5)92)(./640(

301000m

CCmW

W

TU

QA

ml

=°°

=∆

=

•

Para proporcionar esta gran área superficial de transferencia de calor, la longitud del tubo debe

ser

DLA π= → mm

m

D

AL 108

)015.0(

11.5 2

===ππ

Con el fin de lograr la transferencia de calor deseada, el intercambiador necesita tener más de

100 m de largo, lo cual no es práctico. En casos como este se necesita usar un intercambiador de placas o de casco y tubos de pasos múltiples.

→→

→

↓

↓ ← → ←

Agua fría 20 °C 1.2 kg/s

80 °C

Agua geotérmica caliente 160 °C, 2 kg/s

D = 1.5 cm

8Ejemplo 9. Transferencia de calor por radiación

0.5 kg de agua líquida a 0 °C se colocan al aire libre, un día en que la temperatura es de -12 °C. Asuma que el agua pierde calor solo por radiación, y que la emisividad de la superficie radiante es de 0.60. Halle el tiempo para que el agua se convierta en hielo a 0 °C cuando el área de radiación es:

a) 0.035 m2 (como si el agua estuviera en una taza) b) 1.5 m2 (como si el agua fuera derramada formando una capa fina).

=•

Q Q/t = ε.σ.A(T4-To

4) ó t = Q/[εσA(T

4 - To

4)]

El calor necesario extraer para que congele es el calor latente de solidificación (∆hSL = 335 kJ/kg) a) Área pequeña: t = 1.5x105

s (42 h) b) Área grande t = 3.6x103 s (1 h) Ejemplo 10. Transferencia de calor por radiación

Considere a una persona que está parada en un cuarto mantenido a 22 °C en todo momento. Se observa que las superficies interiores de las paredes, pisos y el techo de la casa se encuentran a una temperatura promedio de 10 °C, en invierno, y de 25 °C, en verano. Determine la velocidad de transferencia de calor por radiación entre esta persona y las superficies circundantes, si el área superficial expuesta y la temperatura promedio de la superficie exterior de ella son de 1.4 m2

y 30 °C, respectivamente.

)( 4,

4,

inviernoalredS

inviernorad

TTAQ −=•

εσ

444228 ])27310()27330)[(4.1)(./1067.5)(95.0( KmKmWx +−+= − = 152 W

)( 4,

4,

veranoalredS

veranorad

TTAQ −=•

εσ

444228 ])27325()27330)[(4.1)(./1067.5)(95.0( KmKmWx +−+= − = 40.9 W

Note que en los cálculos sobre radiación se deben usar temperaturas absolutas. Asimismo, note que la velocidad de pérdida de calor de una persona por radiación es casi cuatro veces más grande en invierno que en verano, incluso, si el ajuste del termostato se mantiene igual.

30 °C 1.4 m2

Cuarto Talred.

�

•

radQ

Se asume que existen condiciones estacionarias de operación y que no hay transferencia de calor por convección. La emisividad de una persona es ε = 0.95.

La velocidad de transferencia de calor por radiación del cuerpo hacia las paredes, techo y piso, en invierno y en verano, son

APÉNDICE : DIFERENCIA DE TEMPERATURA MEDIA LOGARÍTMICA (ml

T∆ )

En intercambiadores de calor, tanto en contracorriente como en los de flujo paralelo, la

temperatura de cada corriente va cambiando, por lo tanto, al expresar la velocidad de

transferencia de calor se define una temperatura media entre los fluidos:

mlTUAQ ∆=

•

donde U es el coeficiente global de transmisión de calor. Dado que la superficie de transferencia

de calor dentro del tubo es menor que la de afuera, se asume con poco error para tubos de poco

espesor que el área de transferencia por unidad de longitud de tubo es igual a πDm, con

Dm = ½ (D0+Di), siendo D0: diámetro exterior y Di: diámetro interior.

Para una longitud infinitesimal, asumiendo U = cte, la velocidad de transferencia de calor desde

el fluido de afuera al de adentro del tubo es

xTdAUQd ∆=

•

los cambios de temperatura de los fluidos de afuera y de adentro del tubo para la distancia dx

son: dTCx y dTF x. Asumiendo que no hay transferencia de calor hacia afuera del intercambiador

y que ∆EC = 0, tenemos

•••

==− QdQdQdFC

con CCCC

dTcmQd =•

y FFFF dTcmQd =•

ya que xx FCx TTT −=∆

( )xx FCx

dTdTTd −=∆

(1)

TC A

A B

TF A

TC B

TF B

dTCx

dTFx

x x+dx

∆TA ∆TB

fuera del tubo mc

dentro del tubo mF

TC A

TF A

TC B

TF B

TC

TF

∆Tx

( )•

+−=∆ Qd

cmcmTd

FFCC

x

11

que integrado a lo largo del tubo (A-B):

( )•

+−=∆ ∫∫ Qd

cmcmTd

FFCC

B

Ax

B

A

11

•

+−=∆−∆ Qd

cmcmTT

FFCC

AB

11

Combinando (1) y (2)

( )UdA

cmcmT

Td

FFCCx

x

+−=

∆

∆ 11

o

( )UdA

cmcmT

Td

FFCC

B

A

B

Ax

x

+−=

∆

∆∫∫

11

UAcmcmT

T

FFCCA

B

+−=

∆

∆ 11ln

del cociente entre (3) y (4)

UA

Q

T

T

TT

A

B

AB

•

=

∆

∆

∆−∆

ln

o sea

ml

A

B

AB TUA

T

T

TTUAQ ∆=

∆

∆

∆−∆=

•

ln

→

A

B

AB

ml

T

T

TTT

∆

∆

∆−∆=∆

ln

siendo AA FCA TTT −=∆ y

BB FCB TTT −=∆

(2)

(3)

(4)