concepto de matriz, tabla de verdad y logica matematicas

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser nmeros ordenados en filas y columnas.

Se llamamatrizde orden "m n" a un conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz tambin se denominadimensinotamao , siendo m y n nmeros naturales.

Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adems de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc...

La utilizacin de matrices constituye actualmente una parte esencial donde los lenguajes de programacin, ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de clculo, bases de datos,...

Las matrices se denotan con letras maysculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minsculas y subndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genrico que ocupe la fila i y la columna j se escribe a ij. Si el elemento genrico aparece entre parntesis tambin representa a toda la matriz : A = (a ij )

Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de lneas. El nmero total de elementos de una matriz Amn es mn En matemticas, tanto lasListascomo lasTablasreciben el nombre genrico de matrices.

Unalista numricaes un conjunto de nmeros dispuestos uno a continuacin del otro.

MATRICES IGUALES

Dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq son iguales, s y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir :

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que segn su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :

Para establecer las reglas que rigen el clculo con matrices se desarrolla un lgebra semejante al lgebra ordinaria, pero en lugar de operar con nmeros lo hacemos con matrices.

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

La suma de dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq de la misma dimensin (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (c ij )mn = (a ij +b ij )

Es una ley de composicin interna con las siguientes PROPIEDADES :

Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C Conmutativa: A+B = B+A Elem. neutro: ( matriz cero 0 mn) , 0+A = A+0 = A Elem. simtrico: ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0

Al conjunto de las matrices de dimensin mn cuyos elementos son nmeros reales lo vamos a representar por M mn y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.

PRODUCTO DE UN NMERO REAL POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obtenindose otra matriz del mismo orden.

Es una ley de composicin externa con las siguientes PROPIEDADES :

PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq donde n = p, es decir, el nmero de columnas de la primera matriz A es igual al nmero de filas de la matriz B , se define el producto AB de la siguiente forma :

El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.

MATRIZ INVERSA

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A -1 , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A -1 A = AA -1= I

Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y es "singular" si su determinante es igual a cero.

PROPIEDADES :

Slo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si sta es regular.

La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es nica.

Entre matrices NO existe la operacin de divisin, la matriz inversa realiza funciones anlogas .

es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposicin compuesta, para cada combinacin de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los aos 1880, pero el formato ms popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en suTractitos logico-philosophicus , publicado en 1921.

Considrese dosproposiciones AyB . Cada una puede tomar uno de dosvalores de verdad : o 1 (verdadero), o 0 (falso). Por lo tanto, los valores de verdad deAy deBpueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; oAes verdadera yBfalsa, oAes falsa yBverdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

Considrese adems a " " como unaoperacinoconjuncin lgicaque realiza unafuncin de verdadal tomar los valores de verdad deAy deB , y devolver un nico valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fcil construir una tabla que muestre qu devuelve cada funcin frente a las distintas combinaciones de valores de verdad deAy deB .

Se entiende por proposicin contradictoria, o contradiccin, aquella proposicin que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de laformaen que estn establecidas lasrelacionesde unas con otras. Sea el caso: [(A/B)/(A/B)]/C

Se entiende por proposicin tautolgica, o tautologa, aquella proposicin que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de laformaen que estn establecidas lasrelaciones sintcticasde unas con otras. Sea el caso: [(A->B)/(B->C)] ->(A->C)

Siguiendo la mecnica algortmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad:

En realidad toda la lgica est contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifest todo lo que implican las relaciones sintcticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposicin con ms de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magnficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

Que nicamente ser aplicable a unesquema de inferencia , oargumentocuando la proposicin condicionada, como conclusin, sea previamente conocida, al menos como hiptesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautologa.

La lgica matemtica es ladisciplinaque trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos losprogramas ; en las ciencias fsica y naturales, para sacar conclusiones deexperimentos ; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad.

Una proposicin o enunciado es una oracin que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposicin es un elemento fundamental de la lgica matemtica.

A continuacin se tienen algunos ejemplos de proposiciones vlidas y no vlidas, y se explica el porqu algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minscula, dos puntos y la proposicin propiamente dicha. Ejemplo.

p: Latierraes plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia ser campen en la presente

temporada de Fut-Bol.

t: Hola como estas?

w: Lava el coche por favor.

Existen conectores u operadores lgicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores bsicos son:

Operador and (y) : Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si smbolo es: {, un punto (.), un parntesis}. Se le conoce como la multiplicacin lgica

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batera

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batera.

Una proposicin condicional, es aquella que est formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p q Se lee Si p entonces q

Ejemplo. El candidato del PRI dice Si salgo electo presidente de la Repblica recibirn un 50% de aumento en su sueldo el prximo ao. Una declaracin como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

p: Sali electo Presidente de la Repblica.

q: Recibirn un 50% de aumento en su sueldo el prximo ao.

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposicin bicondicinal de la siguiente manera:

p q Se lee p si solo si q

Esto significa que p es verdadera si y solo si q es tambin verdadera. O bien p es falsa si y solo si q tambin lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposicin bicondicional

Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez

Donde:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

Se dice que dos proposiciones son lgicamente equivalentes, o simplementeequivalentes . Si coinciden sus resultados para los mismovaloresde verdad. Se indican como p q.

Considero que un buen ejemplo es el que se estableci para ilustrar la tautologa en donde se puede observar que las columnas de (pq) y (qp) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (pq) (qp)

Los argumentos basados en tautologas representan mtodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llamareglas de inferencia.Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o ms tautologas o hiptesis en una demostracin.

concepto de matriz, tabla de verdad y logica matematicas

Travel