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Tema 1.3. Filtrado en el dominio frecuencial

Compresión de Vídeo

Juan A. Michell Mar>n Gustavo A. Ruiz Robredo

Departamento de Electrónica y Computadores

Este tema se publica bajo Licencia: Crea9ve Commons BY-‐NC-‐SA 4.0

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación 2Ejemplo 1

TransformadaDirecta

TransformadaInversa

FiltroFrecuencial

F(u,v)f(x,y)

G(u,v)g(x,y)

DOMINIO ESPACIAL DOMINIO FRECUENCIAL

Imagen deEntrada

Imagen deSalida

H(u,v)

FILTRADO EN EL DOMINIO FRECUENCIAL

Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación

1. Transformación de la imagen f : Transformada Discreta deFourier (2D-DFT) de f.

2. Selección del tipo de filtro H en el dominio de la frecuencia yespecificación de sus características.

3. Filtrado de la transformada F con H: Cálculo de latransformada filtrada G.

3. Generación de la Imagen filtrada g: Transformada Discretade Fourier Inversa (2D-IDFT) de G.

3

Secuencia de operaciones

Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación 4Ejemplo 1

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

0

0.510

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FxFy

Mag

nitu

de

1/9 1/9 1/9

1/9 1/9 1/9

1/9 1/9 1/9

Dominio en el espacio

Dominio en la frecuencia

Filtro de desenfoque (average)

Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación Ejemplo 2

Dominio en el espacio

Dominio en la frecuencia

0 -1 0

-1 5 -1

0 -1 0

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

0

0.510

2

4

6

8

10

FxFy

Mag

nitu

de

5

Filtro de enfoque (Laplaciano)


f(x,y): Imagen M×NF(u,v): Transformada de Fourier de f(x,y)F(0,0): Componente DC de la Transformada

( ) ( )1 1 2

0 0

0 1 1 0 1 1

ux vyM N jM N

x yF u,v f x , y e

u , , ... M , v , , ... N

π − − − +

= =

= ⋅

= − = −

∑∑

F(u,v)f(x,y)

Dominio del espacio

Dominio de la frecuencia

6

TRANSFORMADA DE FOURIER 2D

2-D DFT


( ) ( )1 1 2

0 0

1, ,

0, 1, ... 1 , 0, 1, ... 1

ux vyM N jM N

u vf x y F u v e

M Nx M y N

π − − +

= =

= ⋅×

= − = −

∑∑

F(u,v) f(x,y)

Dominio del espacio

Dominio de la frecuencia

7

TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER 2D

2-D IDFT


La 2D-DFT de una imagen es un array 2D de númeroscomplejos de igual tamaño que la imagen.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

, R , I ,

, Real ,

, Imag ,

F u v u v j u v

R u v F u v

I u v F u v

= +

=

=

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )1

, ,

, ,

, ,

f x y F u v

F u v f x y

f x y F u v−

⇔

= ℑ

= ℑ

8


( ) ( ) ( )1

2 2 2, , ,F u v R u v I u v = +

( ) ( )( )

,, arctan

,I u v

u vR u v

φ

=

Espectro de Fourier:

Ángulo de fase de la transformada:

( ) ( ) 2, ,P u v F u v=

Espectro de Potencia:

9


F=fft2(f)2D-DFT of f; F es un array complejo del mismo tamaño que f.

f=ifft2(F)2D-IDFT of F; f es un array complejo del mismo tamaño que F.

fftshift(F)Reagrupa la DFT moviendo la componente de DC hacia el centro del array.

ifftshift(G)Intercambia el primer cuadrante de un array con el tercero y el segundo con el cuarto.

2D-DFT en MATLAB:

10


F

f

F’

f F

Ejemplo 3

IDÉNTICAS

Imagen Original

Imagen recuperada

11

fft2(f) fftshift(F)

ifftshift(F’)ifft2(F)


f1>f2>f3 >f4

DC

Distribución de las frecuencias de la FFT

Valor absoluto delespectro centrado

f1>f2>f3 >f4DC

Valor absoluto delespectro sin centrado

12

fftshift()

ifftshift()


Lenna 512×512

Espectro Centrado(Vista Imagen) Espectro Centrado (Vista 3D)

Ejemplo 4 13


( )( )

1 1 2 2

1 2 1 2

11 2 1 2

,f F f F

a f b f a F b F

a f b f a F b F−

⇔ ⇔

ℑ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ = ℑ ⋅ + ⋅

( )( ) ( )( ) ( )

* , ,, real

, ,

F u v F u vf x y

F u v F u v

= − −⇒ = − −

( ) ( )1, = 0,0f x y FM N×

14

Linealidad:

Simetría:

Valor medio:

Ejemplo 5

TRANSFORMADA DE FOURIER: PROPIEDADES


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, , M N , M, N

, , M N , M, N

f x y F u v F u v

F x y f x y F x y

× ⇒ = + +

× ⇒ = + +

Periodicidad:

Teorema de Convolución:

( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,f x y F u v h x y H u v⇔ ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , ,

f x y h x y F u v H u v

f x y h x y F u v H u v

∗ ⇔ ⋅

⋅ ⇔ ∗

15

Convolución correlación


( ) ( )( )

2 20

2 20

0

1 , si ,,

0 , si ,

0 : ( )

I

D u v u v DH u v

D u v u v D

D frecuencia radio de corte

= + ≤= = + >

≥

LPF IdealDo=50M=512, N=512Vista Superior

1

0

16

FILTROS DE PASO BAJO: LPF IDEAL


Do=50M=512N=512Vista 3D

Ejemplo 6 17


( ) ( ) ( )2 2

0

0

, 2

0

, ; , 0.607

0 :

D u v DG G D D

H u v e H u v

D equivalente a frecuencia de corte

−

== =

≥

LPF GaussianoDo=50M=512, N=512Vista Superior

1

0

18

FILTROS DE PASO BAJO: LPF GAUSSIANO



Ejemplo 7 19


( )( )

( )0

2

0

0

1, ; , 0.51 ,

0 :

B Gn D DH u v H u v

D u v D


== =

+ ≥

LPF ButterworthDo=50, n=4M=512, N=512Vista Superior

1

0

20

FILTROS DE PASO BAJO: LPF BUTTERWORTH



21Ejemplo 8

Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación 22

f(x,y)

g(x,y)

DOMINIO ESPACIAL DOMINIO FRECUENCIAL

Imagen deEntrada

Imagen deSalida

H(u,v)

fft2(f) fftshift(F)F(u,v)

G’(u,v)

ifftshift(G’)G(u,v)ifft2(G)

F’(u,v)

PASOS PARA EL FILTRADO EN EL DOMINIO DE LA FREQUENCIA

Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación 23

fft2()

fftshitf()

FILTRO IDEAL FILTRO GAUSS FILTRO BUTTERWORTH

ifftshitf()

ifft2()

PNSR

Step 1

Step 2

Step 3 Step 4

Step 5

Step 6Step 7

Step 8

Ejemplo 9: LPF, D0 = 50, n = 4


Imagen Original Salida LPF Ideal

Salida LPF Gaussiano Salida LPF Butterworth24


( ) ( )( )

2 20

2 20

0

0 , si ,,

1 , si ,

0 : ( )

I

D u v u v DH u v

D u v u v D

D frecuencia radio de corte

= + ≤= = + >

≥

HPF IdealDo=50M=512, N=512Vista Superior

1

0

25

FILTROS DE PASO ALTO: HPF IDEAL



Ejemplo 10 26


( ) ( )2 20, 2

0

, 10 :

D u v DGH u v e


−= −

≥

HPF GaussianoDo=50M=512, N=512Vista Superior

1

0

27

FILTROS DE PASO ALTO: HPF GAUSSIANO



Ejemplo 11 28


( )( ) 2

0

0

1,1 ,

0 :

B nH u vD D u v


= +

≥

HPF ButterworthDo=50, n=4M=512, N=512Vista Superior

1

0

29

FILTROS DE PASO ALTO: HPF BUTTERWORTH



Ejemplo 12 30


HPF: Lenna 512×512, D0 = 50, n = 4

Imagen Original Salida HPF Ideal

Salida HPF Gaussiano Salida HPF Butterworth

Ejemplo 13 31


Énfasis en alta frecuencia

Imagen Original

HENF

Imagen resaltada

32

El proceso de énfasis (realce) en alta frecuencia permite mejorar lascomponentes de alta frecuencial de una imagen modificando el filtro paso alto

( ) ( ), , , 0,ENFH u v a bH u v a b a= + ≥ >

Imagen Filtrada(Componentes de HF)

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